Spectral spaces versus distributive lattices: a dictionary

TL;DR

This paper explores the classical anti-equivalence between distributive lattices and spectral spaces, providing a dictionary and methods to translate theorems into constructive forms even without clear pointwise content.

Contribution

It offers a detailed dictionary for the anti-equivalence and demonstrates how to convert classical theorems into constructive versions using this correspondence.

Findings

Examples illustrating the anti-equivalence

A dictionary translating between the categories

Constructive reformulations of classical theorems

Abstract

The category of distributive lattices is, in classical mathematics, antiequivalent to the category of spectral spaces. We give here some examples and a short dictionary for this antiequivalence. We propose a translation of several abstract theorems (in classical mathematics) into constructive ones, even in the case where points of a spectral space have no clear constructive content. La cat\'egorie des treillis distributifs et celle des espaces spectraux sont anti\'equivalentes (en math\'ematiques classiques). Nous proposons ici un petit dictionnaire pour cette anti\'equivalence. Nous indiquons comment un certain nombre de th\'eor\`emes \'etranges des math\'ematiques classiques obtiennent un contenu constructif gr\^ace \`a cette anti\'equivalence, m\^eme dans le cas, fr\'equent, o\`u les points des espaces spectraux consid\'er\'es n'ont pas de contenu constructif clair.

Equations

$$\left.\begin{array}[]{rclcrcl}\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a\wedge b)&=&\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)\cap\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(b),&&\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(0)&=&\emptyset,\\ \mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a\vee b)&=&\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)\cup\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(b),&&\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(1)&=&\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}.\end{array}\right\}$$

$$\mathrm{Oqc}(\xi ):\mathrm{Oqc}(Y)\to \mathrm{Oqc}(X),U\mapsto {\xi }^{-1}(U)$$

$$a\preccurlyeq b⟺({\mathfrak{D}}_{\mathbf{T}}(a)\cap Z)\subseteq ({\mathfrak{D}}_{\mathbf{T}}(b)\cap Z)$$

$$(({\mathbf{T}}_i{)}_{1⩽i⩽n},({\mathbf{T}}_{ij}{)}_{1⩽i<j⩽n};({\pi }_{ij}{)}_{1⩽i\ne j⩽n}).$$

$${\big{(}(\mathbf{T}_{i})_{i\in I},(\mathbf{T}_{ij})_{i<j\in I},(\mathbf{T}_{ijk})_{i<j<k\in I};(\pi_{ij})_{i\neq j},(\pi_{ijk})_{i<j,j\neq k\neq i}\big{)}}$$

$${\mathrm{J}}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{J})=\left\{a\in \mathbf{T}|\forall x\in \mathbf{T}(a\vee x=1\Rightarrow \exists z\in \mathfrak{J}z\vee x=1)\right\}.$$

$$\begin{array}[]{rclcl}\qquad a\preccurlyeq_{\mathsf{He}(\mathbf{T})}b&\buildrel{\rm def}\over{\;\Longleftrightarrow\;}&\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(a)\subseteq\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(b)&\Longleftrightarrow&a\in\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(b)\end{array}$$

$$\mathbf{T}⟶\mathsf{He}(\mathbf{T}),a⟼{\mathrm{J}}_{\mathbf{T}}(a)$$

$$\bigl{(}\,x\wedge a\;\leqslant\;b\,\bigr{)}\quad\&\quad\bigl{(}\,a\;\leqslant\;x\vee b\,\bigr{)}\quad\Longrightarrow\quad a\leqslant\;b.$$

$$\bigvee A:={\bigvee }_{x\in A}x\mathrm{and}\bigwedge A:={\bigwedge }_{x\in A}x.$$

$$\frac{A⊢B\text{buildrel}\mathrm{def}}{⟺\bigwedge A⩽\bigvee B.}$$

$$\begin{array}[]{rcrclll}&&a&\,\vdash&a&&(R)\\[2.84526pt] A\,\vdash\,B&\;\Longrightarrow&A,A^{\prime}&\,\vdash&B,B^{\prime}&&(M)\\[2.84526pt] (A,x\,\vdash\,B)\;\;\&\;\;(A\,\vdash\,B,x)&\;\Longrightarrow&A&\,\vdash&B&&(T).\end{array}$$

$$A{⊢}_{\mathbf{T}}B$$

$$A{⊢}_{\mathbf{T}}B⟹A{⊢}_{S}B.$$

$$\Gamma \text{stixvdash}\text{stixexists}\underline{y^1}{\Delta }_1\mathrm{or}\cdots \mathrm{or}\text{stixexists}\underline{y^m}{\Delta }_m$$

$$(a_1,b_1),\dots ,(a_n,b_n)$$

$$P(a_1,b_1)\text{,}\dots \text{,}P(a_n,b_n)$$

$$(\cdot =0,\mathrm{U}(\cdot );\cdot +\cdot ,\cdot \times \cdot ,-\cdot ,0,1).$$

$$a_1,\dots ,a_n$$

$$\mathrm{U}(a_1)\text{,}\dots \text{,}\mathrm{U}(a_n)$$

$$a_1,\dots ,a_n{⊢}_{\mathrm{Zar}\mathbf{A}}{c}_1,\dots ,c_m⟺\exists k>0(a_1\cdots a_n{)}^k\in ⟨c_1,\dots ,c_m⟩$$

$$A_1,\dots ,A_n$$

$$A_1\text{,}\dots \text{,}{A}_n$$

$$\mathfrak{D}(y_{1}\wedge\dots\wedge y_{m}):=\mathfrak{D}(y_{1})\cap\dots\cap\mathfrak{D}(y_{m})=\big{\{}{\,N\subseteq M\;\big{|}\;\left\langle{y_{i}}\right\rangle_{i\in\llbracket 1..m\rrbracket}\subseteq N\,}\big{\}}\quad\hbox{where }y_{i}\hbox{'s}\in M.$$

$$\mathfrak{R}(a_1,\dots ,a_n)=\left\{\mathfrak{c}\in \mathrm{Sper}\mathbf{A}|{\&}_{i=1}^n-a_i\notin \mathfrak{c}\right\}.$$

$$a_1,\dots ,a_n$$

$$a_1⩾0\text{,}\dots \text{,}{a}_n⩾0$$

$$a_1,\dots ,a_n{⊢}_{\mathrm{Liog}(\Gamma )}{b}_1,\dots ,b_m⟺\exists k>0(b_1^{-}\wedge \cdots \wedge b_m^{-})⩽k(a_1^{-}\vee \cdots \vee a_n^{-})$$

$$d\big{(}1+\sum\nolimits_{j=1}^{m}y_{j}P_{j}({\underline{x}},{\underline{y}})\big{)}\in\left\langle{(x_{i}a_{i}-b_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket},(y_{j}d_{j}-c_{j})_{j\in\llbracket 1..m\rrbracket}}\right\rangle$$

$$\frac{{\mathrm{J}}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{J})\text{buildrel}\mathrm{def}}{=\left\{x\in \mathbf{A}|\forall y\in \mathbf{A},1+xyis\; invertible\; modulo\mathfrak{J}\right\}.}$$

$$f(a_1),\dots ,f(a_n){\text{stixvdash}}_{{\mathbf{T}}^{\prime }}f(b_1),\dots ,f(b_m)\Rightarrow a_1,\dots ,a_n{\text{stixvdash}}_{\mathbf{T}}{b}_1,\dots ,b_m$$

$$f(a){⊢}_{{\mathbf{T}}^{\prime }}f(c),y⟹\exists x\in \mathbf{T}a{⊢}_{\mathbf{T}}c,xandf(j){⩽}_{{\mathbf{T}}^{\prime }}x.$$

Full text

\startcontents

[english]

Note: This article is a slightly expanded version of the chapter “Spectral spaces versus distributive lattices: a dictionary”, in the book Advances in rings, modules and factorizations. Selected papers based on the presentations at the international conference on rings and factorizations, Graz, Austria, February 19–23, 2018, published by Springer in 2020, ISBN 978-3-030-43415-1. We have also fixed some typographical bugs and improved the bibliography.

\printcontents

[english]1

Introduction

This paper is written in Bishop’s style of constructive mathematics (Bishop, (1967); Bishop and Bridges, (1985); Bridges and Richman, (1987); Lombardi and Quitté, (2015); Mines et al., (1988); Yengui, (2015)). We give a short dictionary between classical and constructive mathematics w.r.t. properties of spectral spaces and of the associated dual distributive lattices. We give several examples of how this works.

1 Distributive lattices and spectral spaces: some general facts

References: Cederquist and Coquand, (2000); Coquand and Lombardi, (2006); Dickmann et al., (2019); Lombardi, (2006, 2022); Stone, (1937), (Balbes and Dwinger, , 1974, Chapter 4) and (Lombardi and Quitté, , 2015, Chapters XI and XIII).

1.1 The seminal paper by Stone

In classical mathematics, a prime ideal $\mathfrak{p}$ of a distributive lattice $\mathbf{T}\neq\mathbf{1}$ is an ideal whose complement $\mathfrak{f}$ is a filter (a prime filter). The quotient lattice $\mathbf{T}/(\mathfrak{p}=0,\allowbreak\mathfrak{f}=1)$ is isomorphic to $\mathbf{2}$. Giving a prime ideal of $\mathbf{T}$ is the same thing as giving a lattice morphism $\mathbf{T}\rightarrow\mathbf{2}$. We will write $\theta_{\mathfrak{p}}:\mathbf{T}\to\mathbf{2}$ the morphism corresponding to $\mathfrak{p}$.

If $S$ is a system of generators for a distributive lattice $\mathbf{T}$, a prime ideal $\mathfrak{p}$ of $\mathbf{T}$ is characterised by its trace $\mathfrak{p}\cap S$ (cf.  Cederquist and Coquand, (2000)).

The (Zariski) spectrum of the distributive lattice $\mathbf{T}$ is the set $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ whose elements are prime ideals of $\mathbf{T}$, with the following topology: an open basis is provided by the subsets $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)\buildrel\rm def\over{\;=\;}\left\{{\,\mathfrak{p}\in\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}\,|\,a\notin\mathfrak{p}\,}\right\}=\left\{{\,\mathfrak{p}\,|\,\theta_{\mathfrak{p}}(a)=1\,}\right\}.$ One has

[TABLE]

The complement of $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$ is a basic closed set denoted by $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(a)$. This notation is extended to $I\subseteq\mathbf{T}$: we let $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(I)\buildrel\rm def\over{\;=\;}\bigcap_{x\in I}\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(x)$. If $\mathfrak{I}$ is the ideal generated by $I$, one has $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(I)=\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{I})$. The closed set $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(I)$ is also called the subvariety of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ defined by $I$.

The closure of a point $\mathfrak{p}\in\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ is provided by all $\mathfrak{q}\supseteq\mathfrak{p}$. Maximal ideals are the closed points of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$. The spectrum $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ is empty iff $0=_{\mathbf{T}}1$.

The spectrum of a distributive lattice is the paradigmatic example of a spectral space. Spectral spaces can be characterised as the topological spaces satisfying the following properties :

• •

the space is quasi-compact,111The nowadays standard terminology is quasi-compact, as in Bourbaki and Stacks, rather than compact.

• •

every open set is a union of quasi-compact open sets,

• •

the intersection of two quasi-compact open sets is a quasi-compact open set,

• •

for two distinct points, there is an open set containing one of them but not the other,

• •

every irreducible closed set is the closure of a point.

The quasi-compact open sets then form a distributive lattice, the supremum and the infimum being the union and the intersection, respectively. A continuous map between spectral spaces is said to be spectral if the inverse image of every quasi-compact open set is a quasi-compact open set.

Stone’s fundamental result Stone, (1937) can be stated as follows. The category of distributive lattice is, in classical mathematics, antiequivalent to the category of spectral spaces.

Here is how this works.

The quasi-compact open sets of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ are exactly the $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(u)$’s. 2. 2.

The map $u\mapsto\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(u)$ is well-defined and it is an isomorphism of distributive lattices.

In the other direction, if $X$ is a spectral space we let $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X)$ be the distributive lattice formed by its quasi-compact open sets. If $\xi:X\to Y$ is a spectral map, the map

[TABLE]

is a morphism of distributive lattices. This defines $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits$ as a contravariant functor.

Johnstone calls coherent spaces the spectral spaces (Johnstone, (1986)). Balbes and Dwinger, (1974) give them the name Stone space. The name spectral space is given by Hochster in a famous paper Hochster, (1969) where he proves that all spectral spaces can be obtained as Zariski spectra of commutative rings.

In constructive mathematics, spectral spaces may have no points. So it is necessary to translate the classical stuff about spectral spaces into a constructive rewriting about distributive lattices. It is remarkable that all useful spectral spaces in the literature correspond to simple distributive lattices.

Two other natural spectral topologies can be defined on $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ by changing the definition of basic open sets. When one chooses the $\mathfrak{V}(a)$’s as basic open sets, one gets the spectral space corresponding to $\mathbf{T}^{\circ}$ (obtained by reversing the order). When one chooses boolean combinations of the $\mathfrak{D}(a)$’s as basic open sets one gets the constructible topology (also called the patch topology). This spectral space can be defined as the spectrum of $\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T})$ (the Boolean algebra generated by $\mathbf{T}$).

Spectral subspaces versus quotient lattices

The following theorem explains that the notion of spectral subspace is translated by the notion of quotient distributive lattice. Some détails are added. See also the Theorem 3.1.

Theorem 1.1** (Subspectral spaces).**

Let $\mathbf{T}^{\prime}$ be a quotient lattice of $\mathbf{T}$ and $\pi:\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ the quotient morphism. Let us write $X^{\prime}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}$, $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ and $\pi^{\star}:X^{\prime}\to X$ the dual map of $\pi$.

$\pi^{\star}$* identifies $X^{\prime}$ with a topological subspace of $X$. Moreover $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X^{\prime})=\allowbreak{\left\{{\,U\cap X^{\prime}\,|\,U\in\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X)\,}\right\}}$. We say that $X^{\prime}$ is a subspectral space of $X$.* 2. 2.

*A subset $X^{\prime}$ of $X$ is a subspectral space of $X$ if and only if *

– the induced topology by $X$ on $X^{\prime}$ is spectral, and

– $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X^{\prime})=\left\{{\,U\cap X^{\prime}\,|\,U\in\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X)\,}\right\}$. 3. 3.

A subset $X^{\prime}$ of $X$ is a subspectral space if and only if it is closed for the patch topology. 4. 4.

If $Z$ is an arbitrary subset of $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$, its closure for the patch topology is given by $X^{\prime}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}$, where $\mathbf{T}^{\prime}$ is the quotient lattice of $\mathbf{T}$ defined by the following preorder $\preccurlyeq$:

[TABLE]

Proposition 1.2** (Basic open and closed subsets).**

Let $\mathbf{T}$ be a distributive lattice and $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$.

$\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$* is a spectral subspace of $X$ canonically homeomorphic to $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}/(a=1))$.* 2. 2.

$\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(b)$* is a spectral subspace of $X$ canonically homeomorphic to $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}/(b=0))$.*

Proposition 1.3** (Closed subsets of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$).**

Any closed subset of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ hs the form $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{J}):=\bigcap_{x\in\mathfrak{J}}\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(x)$ where $\mathfrak{J}$ is an ideal of $\mathbf{T}$. It is a spectral subspace and corresponds to the quotient lattice $\mathbf{T}/(\mathfrak{J}=0)$. 2. 2.

The intersection of a family of closed subsets corresponds to the sup of the family of corresponding ideals. The union of two closed subsets corresponds to the intersection of the corresponding ideals. 3. 3.

The closure of $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(x)$ corresponds to the quotient $\mathbf{T}/((0:x)=0)$. 4. 4.

The quotient lattice $\mathbf{T}/((a:b)=0)$ corresponds to $\overline{\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(a)\cap\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(b)}$.

Gluing distributive lattices and spectral subspaces

Let $(x_{1},\ldots,x_{n})$ be a system of comaximal elements in a commutative ring $\mathbf{A}$. Then the canonical morphism $\mathbf{A}\to\prod_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}\mathbf{A}[1/x_{i}]$ identifies $\mathbf{A}$ with a finite subproduct of localisations of $\mathbf{A}$.

Similarly a distributive lattice can be recovered from a finite number of good quotient lattices.

Definition 1.4**.**

Let $\mathbf{T}$ be a distributive lattice and $(\mathfrak{a}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$ (resp. $(\mathfrak{f}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$) a finite family of ideals (resp. of filters) of $\mathbf{T}$. We say that the ideals $\mathfrak{a}_{i}$ cover $\mathbf{T}$ if  $\bigcap_{i}\mathfrak{a}_{i}=\left\{{0}\right\}$. Similarly we say that the filters $\mathfrak{f}_{i}$ cover $\mathbf{T}$ if  $\bigcap_{i}\mathfrak{f}_{i}=\left\{{1}\right\}$.

Let $\mathfrak{b}$ be an ideal of $\mathbf{T}$; we write $x\equiv y\;\mathrm{mod}\;\mathfrak{b}$ as meaning $x\equiv y\;\mathrm{mod}\;(\mathfrak{b}=0)$. Let us recall that for $s\in\mathbf{T}$ the quotient $\mathbf{T}/(s=0)$ is isomorphic to the principal filter $\mathop{\uparrow\!s}\nolimits$ (one sees this filter as a distributive lattice with $s$ as [math] element).

Fact 1.5**.**

Let $\mathbf{T}$ be a distributive lattice, $(\mathfrak{a}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$ a finite family of principal ideals ($\mathfrak{a}_{i}=\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{i}$) and $\mathfrak{a}=\bigcap_{i}\mathfrak{a}_{i}$.

If $(x_{i})$ is a family in $\mathbf{T}$ s.t. for each $i,j$ one has $x_{i}\equiv x_{j}\,\;\mathrm{mod}\;\,\mathfrak{a}_{i}\vee\mathfrak{a}_{j}$, then there exists a unique $x$ modulo $\mathfrak{a}$ satisfying: $x\equiv x_{i}\,\;\mathrm{mod}\;\,\mathfrak{a}_{i}\;(i\in\llbracket 1..n\rrbracket)$. 2. 2.

Let us write $\mathbf{T}_{i}=\mathbf{T}/(\mathfrak{a}_{i}=0)$, $\mathbf{T}_{ij}=\mathbf{T}_{ji}=\mathbf{T}/(\mathfrak{a}_{i}\vee\mathfrak{a}_{j}=0)$, $\pi_{i}:\mathbf{T}\to\mathbf{T}_{i}$ and $\pi_{ij}:\mathbf{T}_{i}\to\mathbf{T}_{ij}$ the canonical maps. If the ideals $\mathfrak{a}_{i}$ cover $\mathbf{T}$, the system $(\mathbf{T},(\pi_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket})$ is the inverse limit of the diagram

[TABLE] 3. 3.

The analogous result works with quotients by principal filters.

[TABLE] \textstyle{\mathbf{T}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{k}}$$\scriptstyle{\pi_{j}}$$\scriptstyle{\pi_{i}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ij}}$$\scriptstyle{\pi_{ik}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{j}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ji}}$$\scriptstyle{\pi_{jk}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{k}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ki}}$$\scriptstyle{\pi_{kj}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{ij}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{ik}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{jk}}

We have also a gluing procedure described in the following proposition.222In commutative algebra, a similar procedure works for $\mathbf{A}$-modules ((Lombardi and Quitté, , 2015, XV-4.4)) But in order to glue commutative rings, it is necessary to pass to the category of Grothendieck schemes.

Proposition 1.6** (Gluing distributive lattices).**

Let $I$ be a finite set and a diagram of distributive lattices

[TABLE]

and a family of elements ${(s_{ij})_{i\neq j\in I}\in\prod\nolimits_{i\neq j\in I}\mathbf{T}_{i}}$ satisfying the following properties

• •

the diagram is commutative,

• •

if $i\neq j$, $\pi_{ij}$ is a quotient morphism w.r.t. the ideal $\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{ij}$,

• •

if $i$, $j$, $k$ are distinct, $\pi_{ij}(s_{ik})=\pi_{ji}(s_{jk})$ and $\pi_{ijk}$ is a quotient morphism w.r.t. the ideal $\mathop{\downarrow\!\pi}\nolimits_{ij}(s_{ik})$.

[TABLE] \textstyle{\mathbf{T}_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ij}}$$\scriptstyle{\pi_{ik}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{j}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ji}}$$\scriptstyle{\pi_{jk}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{k}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ki}}$$\scriptstyle{\pi_{kj}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{ij}\leavevmode\nobreak\ \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ijk}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{ik}\leavevmode\nobreak\ \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ikj}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{jk}\leavevmode\nobreak\ \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{jki}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{ijk}\leavevmode\nobreak\ }

Let \big{(}\mathbf{T}\,;\,(\pi_{i})_{i\in I}\big{)} be the limit of the diagram. Then there exist $s_{i}$’s in $\mathbf{T}$ such that the principal ideals $\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{i}$ cover $\mathbf{T}$ and the diagram is isomorphic to the one in Fact 1.5. More precisely each $\pi_{i}$ is a quotient morphism w.r.t. the ideal $\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{i}$ and $\pi_{i}(s_{j})=s_{ij}$ for all $i\neq j$.

The analogous result works with quotients by principal filters.

Remark 1.7*.*

The reader can translate the previous result in gluing of spectral spaces.

Heitmann lattice and J-spectrum

An ideal $\mathfrak{m}$ of a distributive lattice $\mathbf{T}$ is maximal when $\mathbf{T}/(\mathfrak{m}=0)\simeq\mathbf{2}$, i.e. if $1\notin\mathfrak{m}$ and ${\forall}x\in\mathbf{T}\;(x\in\mathfrak{m}$ or ${\exists}y\in\mathfrak{m}\;x\vee y=1)$.

In classical mathematics we have the following result.

Lemma 1.8**.**

The intersection of all maximal ideals containing an ideal $\mathfrak{J}$ is called the Jacobson radical of $\mathfrak{J}$ and is equal to

[TABLE]

We write $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(b)$ for $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(\mathop{\downarrow\!b}\nolimits)$. The ideal $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(0)$ is the Jacobson radical of $\mathbf{T}$.

In constructive mathematics, equality (3) is used as definition.

The Heitmann lattice of $\mathbf{T}$, denoted by $\mathsf{He}(\mathbf{T})$, is the quotient of $\mathbf{T}$ corresponding to the following preorder $\preccurlyeq_{\mathsf{He}(\mathbf{T})}$:

[TABLE]

Elements of $\mathsf{He}(\mathbf{T})$ can be identified with ideals $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(a)$, via the canonical map

[TABLE]

The next definition follows the remarkable paper Heitmann, (1984). In this paper, R. Heitmann explains that the usual notion of j-spectrum of a commutative ring is not the good one in the non-Noetherian case because it does not correspond to a spectral space in the sense of Stone. He introduces the following modification of the usual definition : instead of considering the set of prime ideals which are intersections of maximal ideals, he proposes to consider the closure of the maximal spectrum in the prime spectrum, the closure being taken for the patch topology.

Definition 1.9**.**

Let $\mathbf{T}$ be a distributive lattice.

The maximal spectrum of $\mathbf{T}$, denoted by $\mathop{\mathsf{Max}}\nolimits\mathbf{T}$, is the topological subspace of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ provided by the maximal ideals of $\mathbf{T}$. 2. 2.

The j-spectrum of $\mathbf{T}$, denoted by $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits\mathbf{T}$, is the topological subspace of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ provided by the primes $\mathfrak{p}$ s.t. $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$, i.e. the prime ideals $\mathfrak{p}$ which are intersections of maximal ideals. 3. 3.

The Heitmann $\mathrm{J}$-spectrum of $\mathbf{T}$, denoted by $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits\mathbf{T}$, is the closure of $\mathop{\mathsf{Max}}\nolimits\mathbf{T}$ in $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ for the patch topology. It is a spectral subspace of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$, canonically homeomorphic to $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathsf{He}(\mathbf{T}))$. 4. 4.

The minimal spectrum of $\mathbf{T}$, denoted by $\mathop{\mathsf{Min}}\nolimits\mathbf{T}$, is the topological subspace of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ provided by minimal primes of $\mathbf{T}$.

In general $\mathop{\mathsf{Max}}\nolimits\mathbf{T}$, $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits\mathbf{T}$ and $\mathop{\mathsf{Min}}\nolimits\mathbf{T}$ are not spectral spaces.

Theorem 1.10**.**

$\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits\mathbf{T}$* is a spectral subspace of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ canonically homeomorphic to $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathsf{He}(\mathbf{T}))$.*

1.2 Distributive lattices and entailment relations

A particularly important rule for distributive lattices, known as cut, is

[TABLE]

For $A\in{\rm P}_{{\rm fe}}(\mathbf{T})$ (finitely enumerated subsets of $\mathbf{T}$) we write

[TABLE]

We denote by $A\,\vdash\,B$ or $A\vdash_{\mathbf{T}}B$ the relation defined as follows over the set ${\rm P}_{{\rm fe}}(\mathbf{T})$

[TABLE]

This relation satisfies the following axioms, in which we write $x$ for $\{x\}$ and $A,B$ for $A\cup B$.

[TABLE]

We say that the relation is reflexive, monotone and transitive. The third rule (transitivity) can be seen as a version of rule (5) and is also called the cut rule.

Definition 1.11**.**

For an arbitrary set $S$, a relation over ${\rm P}_{{\rm fe}}(S)$ which is reflexive, monotone and transitive is called an entailment relation.

The following theorem is fundamental. It says that the three properties of entailment relations are exactly what is needed for the interpretation in the form of a distributive lattice to be adequate.

Theorem 1.12** (Fundamental theorem of entailment relations).**

*See (Cederquist and Coquand, , 2000, Theorem 1), (Lombardi and Quitté, , 2015, XI-5.3), (Lorenzen, , 1951, Satz 7).

Let $S$ be a set with an entailment relation $\vdash_{S}$ on ${\rm P}_{{\rm fe}}(S)$. We consider the distributive lattice $\mathbf{T}$ defined by generators and relations as follows: the generators are the elements of $S$ and the relations are the*

[TABLE]

each time that $A\;\vdash_{S}\;B$. Then, for all $A$, $B$ in ${\rm P}_{{\rm fe}}(S)$, we have

[TABLE]

Remark. The relation $x\vdash_{S}y$ is a priori a preorder, and not an order, on $S$. Let us denote by $\overline{x}$ the element $x$ seen in the ordered set $\overline{S}$ defined by this preorder. For a subset $A$ of $S$ let us denote $\overline{A}=\left\{{\,\overline{x}\,|\,x\in A\,}\right\}$. In the theorem we consider a distributive lattice $\mathbf{T}$ which gives on $S$ the same entailment relation as $\vdash_{S}$. Strictly speaking, we should have written $\overline{A}\;\vdash_{\mathbf{T}}\;\overline{B}$ instead of $A\;\vdash_{\mathbf{T}}\;B$ since the equality in $\mathbf{T}$ is coarser than in $S$. In particular, it is $\overline{S}$, and not $S$, which can be identified with a subset of $\mathbf{T}$.

2 Spectral spaces in algebra

The usual spectral spaces in algebra are (always?) understood as spectra of distributive lattices associated to coherent theories describing relevant algebraic structures. We describe this general situation and give some examples.

2.1 Dynamical algebraic structures, distributive lattices and associated spectra

References: Coste et al., (2001) and Lombardi, (2022). The paper Coste et al., (2001) introduces the general notion of “dynamical theory” and of “dynamical proof”. See also the paper Bezem and Coquand, (2005) which illustrates the usefulness of these notions.

Dynamical theories and dynamical algebraic structures

Dynamical theories are a version “without logic, purely computational” of coherent theories (here, we say “theory” for “first order formal theory”).

Dynamical theories use only dynamical rules, i.e. deduction rules of the form

[TABLE]

where $\Gamma$ and the $\Delta_{i}$’s are lists of atomic formulae in the language $\mathcal{L}$ of the theory $\hbox{\large T}\,=(\mathcal{L},\mathcal{A})$.

The computational meaning of “$\boldsymbol{\stixexists}{\underline{y}}\,\Delta$” is “$\textsf{{{Introduce }}}{\hbox{fresh variables\ }\underline{y}}\textsf{{{ such that }}}\,\,\Delta$”. The computational meaning of “$U\;\textsf{{{or}}}\;V\;\textsf{{{or}}}\;W$” is “open three branches of computations, in the first one, the predicates in $U$ are valid …”.

Axioms (elements of $\mathcal{A}$) are dynamical rules, and theorems are valid dynamical rules (validity is described in a simple way and uses only a computational machinery)

A dynamical algebraic structure for a dynamical theory T  is given through a presentation $(G,R)$ by generators and relations. Generators are the element of $G$ and they are added to the constants in the language. Relations are the elements of $R$. They are dynamical rules without free variables and they are added to the axioms of the theory.

A dynamical algebraic structure is intuitively thought of as an incompletely specified algebraic structure. The notion corresponds to lazy evaluation in Computer Algebra.

Purely equational algebraic structures correspond to the case where the only predicate is equality and the axioms are Horn rules.

Dynamical theories whose axioms contain neither $\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits$ nor    nor are called Horn theories (algebraic theories in Coste et al., (2001)). E.g. theories of absolutely flat rings and of pp-rings can be given as Horn theories.

A coherent theory is a finitary geometric theory. In general geometric theories we accept dynamical rules that use infinite disjunctions at the right of   . In this paper we speak only of finitary geometric theories.

A fundamental result about finitary dynamical theories says that adding the classical logic to a dynamical theory does not change valid rules: first order classical logic is conservative over dynamical theories (Coste et al., , 2001, Theorem 1.1).

Distributive lattices associated to a dynamical algebraic structure

Let \mathbf{A}=\big{(}(G,R),\hbox{\large T}\,\big{)} be a dynamical algebraic structure for $\hbox{\large T}\,=(\mathcal{L},\mathcal{A})$.

First example.

If $P(x,y)$ belongs to $\mathcal{L}$ and if $\mathit{Clt}=\mathrm{Clt}(\mathbf{A})$ is the set of closed terms of $\mathbf{A}$, we get the following entailment relation $\vdash_{\mathbf{A},P}$ for $\mathit{Clt}\times\mathit{Clt}$:

[TABLE]

Intuitively the distributive lattice $\mathbf{T}$ generated by this entailment relation represents the “truth values” of $P$ in the dynamical algebraic structure $\mathbf{A}$. In fact to give an element $\alpha:\mathbf{T}\to\mathbf{2}$ of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ amounts to giving the value (resp. ) to $P(a,b)$ when $\alpha(a,b)=1$ (resp. $\alpha(a,b)=0$).

Second example, the Zariski lattice of a commutative ring.

Let Lr  be a dynamical theory of nontrivial local rings, e.g. with signature

[TABLE]

This is an extension of the purely equational theory of commutative rings. The predicate $\mathrm{U}(x)$ is defined as meaning the invertibility of $x$,

$\bullet$

$\,\,\mathrm{U}(x)\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixexists}y\,xy=1$

     

$\bullet$

$\,\,xy=1\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\mathrm{U}(x)$

and the axioms of nontrivial local rings are written as

LR

$\,\,\mathrm{U}(x+y)\,\boldsymbol{\stixvdash}\mathrm{U}(x)\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits\mathrm{U}(y)$

     

$\bullet$

$\,\,\mathrm{U}(0)\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\,\boldsymbol{\stixbot}$

The Zariski lattice ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$ of a commutative ring $\mathbf{A}$ is defined as the distributive lattice generated by the entailment relation $\vdash_{{\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}}$ for $\mathbf{A}$ defined as

[TABLE]

Here $\hbox{\large Lr}\,(\mathbf{A})$ is the dynamical algebraic structure of type Lr  over $\mathbf{A}$.

We get the following equivalence (we call it a formal Nullstellensatz):

[TABLE]

So, ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$ can be identified with the set of ideals $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}({\underline{x}})=\sqrt[\mathbf{A}]{\left\langle{{\underline{x}}}\right\rangle}$, with $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\wedge\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}\mathfrak{j}_{2})$ and $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\vee\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}+\mathfrak{j}_{2})$.

Now, the usual Zariski spectrum $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$ is canonically homeomorphic to $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits({\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}})$. Indeed, to give a point of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$ (a prime ideal) amounts to giving an epimorphism $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ where $\mathbf{B}$ is a local ring, or also, that is the same thing, to giving a minimal model of $\hbox{\large Lr}\,(\mathbf{A})$. This corresponds to the intuition of “forcing the ring to be a local ring”.

More generally.

Let us consider a set $S$ of closed atomic formulae of the dynamical algebraic structure \mathbf{A}=\big{(}(G,R),\hbox{\large T}\,\big{)}. We define a corresponding entailment relation (with the $A_{i}$’s and $B_{j}$’s in $S$):

[TABLE]

We may denote by $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A},S)$ this distributive lattice.

Points of a spectrum and models in classical mathematics.

With a good choice of predicates in the language, to give a point of the spectrum of the corresponding lattice amounts often to giving a minimal model of the dynamical algebraic structure. This is the case when all existence axioms in the theory imply unique existence. The topology of the spectrum is in any case strongly dependent on the choice of predicates.

The complete Zarisiki lattice of a dynamical algebraic structure $\mathbf{A}$

is defined by choosing for $S$ the set $\mathrm{Clat}(\mathbf{A})$ of all closed atomic formulas of $\mathbf{A}$. When the theory has no existential axioms, this lattice corresponds to the entailment relation for $\mathrm{Clat}(\mathbf{A})$ generated by the axioms of T , replacing the variables with arbitrary closed terms of $\mathbf{A}$.

2.2 A very simple case

Let T  be a Horn theory. Any dynamical algebraic structure $\mathbf{S}=((G,R),\hbox{\large T}\,)$ of type T  defines an ordinary algebraic structure $\mathbf{B}$ and there is no significant difference between dynamical algebraic structures and ordinary algebraic structures.

The minimal models df $\mathbf{S}$ are (identifiable with) the quotient structures $\mathbf{C}=\mathbf{B}/\!\!\sim$. Let us consider the complete Zariski lattice $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{B})$. The points of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{B}):=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{B}))$ are identified with these quotient structures of $\mathbf{B}$. An element of $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{S})=\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{B})$ can be identified with a quotient of $\mathbf{B}$ when we add only a finite number of relations in the presentation.

For example, let us consider the purely equational theory $\hbox{\large T}\,=\hbox{\large Mod}\,_{\mathbf{A}}$ (the theory of modules over a fixed ring $\mathbf{A}$). For an $\mathbf{A}$-module $M$ we get the lattice $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(M)$ generated by the entailment relation $y_{1},\ldots,y_{m}\vdash x_{1},\ldots,x_{n}$ on $M$ defined by:

$\bullet$

$\,\,y_{1}=0,\dots\textsf{{{,}}}\,y_{m}=0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x_{1}=0\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits\dots\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits x_{n}=0$

or by:

$\bullet$

one $x_{k}$ is in the module $\mathbf{A}y_{1}+\dots+\mathbf{A}y_{m}=\left\langle{y_{1},\ldots,y_{m}}\right\rangle$ (formal Nullstellensatz for linear algebra).

Points of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(M)$ can be identified with the quotient structures $M/N$ of $M$. Elements of $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits M$ define the quasi-compact open sets in $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(M)=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits M)$. Finitely generated submodules of $M$ give in this way a basis of quasi-compact open sets of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(M)$.

[TABLE]

It might be that these kinds of lattices and spectra are too simple to lead to interesting results in algebra.

2.3 The real spectrum of a commutative ring

The real spectrum $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$ of a commutative ring corresponds to the intuition of “forcing the ring $\mathbf{A}$ to be an ordered (discrete333We ask the order relation to be decidable.)” field.

A point of $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$ can be given as an epimorphism $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$, where $(\mathbf{K},\mathbf{C})$ is an ordered field.444$\mathbf{C}$ is the cone of nonnegative elements. Moreover two such morphisms $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ and $\varphi^{\prime}:\mathbf{A}\to\mathbf{K}^{\prime}$ define the same point of the spectrum if there exists an isomorphism of ordered fields $\psi:\mathbf{K}\to\mathbf{K}^{\prime}$ making the suitable diagram commutative.

We write “$x\geqslant 0$” the predicate over $\mathbf{A}$ corresponding to “$\varphi(x)\geqslant 0$ in $\mathbf{K}$”. We get the following axioms:

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x^{2}\geqslant 0$

$\bullet$

$\,\,x\geqslant 0{\textsf{{{,}}}}\,y\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x+y\geqslant 0$

$\bullet$

$\,\,x\geqslant 0{\textsf{{{,}}}}\,y\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}xy\geqslant 0$

     

$\bullet$

$\,\,-1\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$

$\bullet$

$\,\,-xy\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x\geqslant 0\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits y\geqslant 0$

This means that $\left\{{\,x\in\mathbf{A}\,|\,x\geqslant 0\,}\right\}$ is a prime cone: to give a model of this theory is the same thing as to give a point of $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$.

In order to get the usual topology of $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$, it is necessary to use the opposite predicate $x<0$. For the sake of comfort, we take $x>0$. This predicate satisfies the dual axioms to those for $-x\geqslant 0$:

$\bullet$

$\,\,-x^{2}>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$

$\bullet$

$\,\,x+y>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x>0\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits y>0$

$\bullet$

$\,\,xy>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x>0\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits-y>0$

     

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}1>0$

$\bullet$

$\,\,x>0{\textsf{{{,}}}}\,y>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}xy>0$

So the real lattice of $\mathbf{A}$, denoted by $\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits(\mathbf{A})$, is the distributive lattice generated by the minimal entailment relation for $\mathbf{A}$ satisfying the following relations (we write $\mathrm{R}(a)$ instead of $a$):

$\bullet$

$\,\,\mathrm{R}(-x^{2})\vdash$

$\bullet$

$\,\,\mathrm{R}(x+y)\vdash\mathrm{R}(x),\mathrm{R}(y)$

$\bullet$

$\,\,\mathrm{R}(xy)\vdash\mathrm{R}(x),\mathrm{R}(-y)$

     

$\bullet$

$\,\,\vdash\mathrm{R}(1)$

$\bullet$

$\,\,\mathrm{R}(x),\mathrm{R}(y)\vdash\mathrm{R}(xy)$

So $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits\mathbf{A})$ is isomorphic to $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$, viewed as the set of prime cones of $\mathbf{A}$. The spectral topology admits the basis of open sets

[TABLE]

This approach to the real spectrum was proposed in Cederquist and Coquand, (2000).

An important point is the following formal Positivstellensatz.

Theorem 2.1** (Formal Positivstellensatz for ordered fields).**

T.F.A.E.

We have $\mathrm{R}(x_{1}),\dots,\mathrm{R}(x_{k})\vdash\mathrm{R}(a_{1}),\dots,\mathrm{R}(a_{n})$ in the lattice $\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits\mathbf{A}$. 2. 2.

We have $x_{1}>0{\textsf{{{,}}}}\,\dots\textsf{{{,}}}\,x_{k}>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a_{1}>0\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits\dots\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits a_{n}>0$ in the theory of ordered fields over $\mathbf{A}$. 3. 3.

We have $x_{1}>0{\textsf{{{,}}}}\,\dots\textsf{{{,}}}\,x_{k}>0{\textsf{{{,}}}}\,a_{1}\leqslant 0{\textsf{{{,}}}}\,\dots\textsf{{{,}}}\,a_{n}\leqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$ in the theory of ordered fields over $\mathbf{A}$. 4. 4.

We have an equality $s+p=0$ in $\mathbf{A}$, with $s$ in the monoid generated by the $x_{i}$’s and $p$ in the cone generated by the $x_{i}$’s and the $-a_{j}$’s.

2.4 Linear spectrum of a lattice-group

The theory of lattice-groups, denoted by Lgr  is a purely equational theory over the signature $(\cdot=0;\cdot+\cdot,-\cdot,\cdot\vee\cdot,0)$. The following rules express that $\vee$ defines a join semilattice and the compatibility of $\vee$ with $+$:

sdt1

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x\vee x=x$

sdt2

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x\vee y=y\vee x$

     

sdt3

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}(x\vee y)\vee z=x\vee(y\vee z)$

grl

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x+(y\vee z)=(x+y)\;\vee\;(x+z)$

We get the theory Liog  by adding to Lgr  the axiom $\,\boldsymbol{\stixvdash}x\geqslant 0\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits-x\geqslant 0$.

The linear spectrum of an $\ell$-group $\Gamma$ corresponds to the intuition of “forcing the group to be linearly ordered”. So a point of this spectrum can be given as a minimal model of the dynamical algebraic structure $\hbox{\large Liog}\,(\Gamma)$, or equivalently by a linearly ordered group $G$ quotient of $\Gamma$, or as the kernel $H$ of the canonical morphism $\pi:\Gamma\to G$. This subgroup $H$ is a prime solid subgroup of $\Gamma$.

The linear lattice of $\Gamma$, denoted by $\mathop{\mathsf{Liog}}\nolimits(\Gamma)$, is generated by the entailment relation for $\Gamma$ defined in the following way:

[TABLE]

The spectral space previously defined is (isomorphic to) $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Liog}}\nolimits\Gamma)$. We have a formal Positivstellensatz for this entailment relation ($m,n\neq 0$): with $a^{-}=(-a)\vee 0$, we get

[TABLE]

2.5 Valuative spectrum of a commutative ring

The valuative spectrum $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$ of a commutative ring corresponds to the intuition of “forcing the ring to be a valued field”. A point of this spectrum is given by an epimorphism $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ where $(\mathbf{K},\mathbf{V})$ is a valued field.555$\mathbf{V}$ is a valuation ring of $\mathbf{K}$. Moreover two such morphisms $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ and $\varphi^{\prime}:\mathbf{A}\to\mathbf{K}^{\prime}$ define the same point of the spectrum if there exists an isomorphism of valued fields $\psi:\mathbf{K}\to\mathbf{K}^{\prime}$ making the suitable diagram commutative.

We denote by $x\,{|}\,y$ the predicate over $\mathbf{A}\times\mathbf{A}$ corresponding to “$\varphi(x)$ divides666I.e., $\exists z\in\mathbf{V}\,z\varphi(x)=\varphi(y)$. $\varphi(y)$ in $\mathbf{K}$”. We get the following axioms for the dynamical theory val :

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}1\,{|}\,0$

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}-1\,{|}\,1$

$\bullet$

$\,\,a\,{|}\,b\,\,\boldsymbol{\stixvdash}ac\,{|}\,bc$

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,b\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits b\,{|}\,a$

     

$\bullet$

$\,\,0\,{|}\,1\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$

$\bullet$

$\,\,a\,{|}\,b{\textsf{{{,}}}}\,b\,{|}\,c\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,c$

$\bullet$

$\,\,a\,{|}\,b{\textsf{{{,}}}}\,a\,{|}\,c\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,b+c$

$\bullet$

$\,\,ax\,{|}\,bx\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,b\mathop{\textsf{{{ or }}}}\nolimits 0\,{|}\,x$

Let $\mathbf{A}$ be a commutative ring. The dynamical algebraic structure $\hbox{\large val}\,(\mathbf{A})$ is defined by adding the positive diagram of the commutative ring $\mathbf{A}$.

Any predicate $x\,{|}\,y$ over $\mathbf{A}\times\mathbf{A}$ satisfying the axioms of $\hbox{\large val}\,(\mathbf{A})$ defines a point in $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$. So we define the valuative lattice of $\mathbf{A}$, denoted by $\mathop{\mathsf{val}}\nolimits(\mathbf{A})$ as generated by the minimal entailment relation for $\mathbf{A}\times\mathbf{A}$ satisfying the following relations.

$\bullet$

$\,\,\vdash(1,0)$

$\bullet$

$\,\,\vdash(-1,1)$

$\bullet$

$\,\,(a,b)\vdash(ac,bc)$

$\bullet$

$\,\,\vdash(a,b),(b,a)$

     

$\bullet$

$\,\,(0,1)\vdash$

$\bullet$

$\,\,(a,b),(b,c)\vdash(a,c)$

$\bullet$

$\,\,(a,b),(a,c)\vdash(a,b+c)$

$\bullet$

$\,\,(ax,bx)\vdash(a,b),(0,x)$

The two spectral spaces $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{val}}\nolimits\mathbf{A})$ and $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$ can be identified. The spectral topology of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{val}}\nolimits\mathbf{A})$ corresponds in $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$ to the topology generated by the basic open sets $\mathfrak{D}(a,b)=\left\{{\,\varphi\in\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}\,|\,\varphi(a)\,{|}\,\varphi(b)\,}\right\}.$

We have a formal Valuativstellensatz.

Theorem 2.2** **(Formal Valuativstellensatz

for a dynamical algebraic structure $\hbox{\large val}\,(\mathbf{A})$).

Let $\mathbf{A}$ be a commutative ring, t.f.a.e.

One has $\,\,a_{1}\,{|}\,b_{1}{\textsf{{{,}}}}\,\dots\textsf{{{,}}}\,a_{n}\,{|}\,b_{n}\,\,\boldsymbol{\stixvdash}c_{1}\,{|}\,d_{1}{\textsf{{{,}}}}\,\dots\textsf{{{,}}}\,c_{m}\,{|}\,d_{m}$ in the dynamical algebraic structure $\hbox{\small val}\,(\mathbf{A})$. 2. 2.

One has $(a_{1},b_{1}),\dots,(a_{n},b_{n})\,\vdash\,(c_{1},d_{1}),\dots,(c_{m},d_{m})$ in the lattice $\mathop{\mathsf{val}}\nolimits\mathbf{A}$. 3. 3.

Introducing indeterminates $x_{i}$’s ($i\in\llbracket 1..n\rrbracket$) and $y_{j}$’s ($j\in\llbracket 1..m\rrbracket$) we have in the ring $\mathbf{A}[{\underline{x}},{\underline{y}}]$ an equality

[TABLE]

where $d$ is in the monoid generated by the $d_{j}$’s, and the $P_{j}(x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\allowbreak\dots,y_{m})$’s are in $\mathbb{Z}[{\underline{x}},{\underline{y}}]$.

2.6 Heitmann lattice and J-spectrum of a commutative ring

In a commutative ring the Jacobson radical of an ideal $\mathfrak{J}$ denoted by $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{J})$ is defined in classical mathematics as the intersection of the maximal ideals containing $\mathfrak{J}$. In constructive mathematics we use the classically equivalent definition

[TABLE]

We write $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})$ for $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\left\langle{x_{1},\ldots,x_{n}}\right\rangle)$. The ideal $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(0)$ is called the Jacobson radical of $\mathbf{A}$.

The Heitmann lattice of $\mathbf{A}$ is $\mathsf{He}({\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}})$, denoted by ${\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A}}$; it is a quotient of ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$. In fact ${\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A}}$ can be identified with the set of ideals $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})$, with $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\wedge\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}\mathfrak{j}_{2})$ and $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\vee\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}+\mathfrak{j}_{2})$.

We denote by $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ the spectral space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits({\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A}})$. In classical mathematics it is the closure (for the patch topology) of the maximal spectrum in $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$. We call it the (Heitmann) J-spectrum of $\mathbf{A}$. It is a subspectral space of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$. When $\mathbf{A}$ is Noetherian, $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ coincides with the subspace $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ of $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$ made of the prime ideals which are intersections of maximal ideals.

Remark. $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})$ is a radical ideal but not generally the radical of a finitely generated ideal.

3 A short dictionary

References: Balbes and Dwinger, (1974); Cederquist and Coquand, (2000); Coquand and Lombardi, 2001- (2018).

In this section we consider the following context: $f:\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ is a morphism of distributive lattices and $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(f)$, denoted by $f^{\star}:X^{\prime}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}\to X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$, is the dual morphism.

When results are given for distributive lattices they are also valid for commutative rings, considering each time the lattice or the morphism $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\bullet)$.

We first recall some usual definitions in classical mathematics.

• •

The morphism $f$ is said to be lying over when $f^{\star}$ is onto: any prime ideal of $\mathbf{T}$ is the preimage of a prime ideal in $\mathbf{T}^{\prime}$.

• •

The morphism $f$ is said to be going up when one has: if $\mathfrak{q}\in X^{\prime}$, $f^{\star}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}$, and $\mathfrak{p}\subseteq\mathfrak{p}_{2}$ in $X$, then there exists $\mathfrak{q}_{2}\in X^{\prime}$ such that $\mathfrak{q}\subseteq\mathfrak{q}_{2}$ and $f^{\star}(\mathfrak{q}_{2})=\mathfrak{p}_{2}$.

• •

In a similar way $f$ is said to be going down when one has: if $\mathfrak{q}\in X^{\prime}$, $f^{\star}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}$, and $\mathfrak{p}\supseteq\mathfrak{p}_{2}$ in $X$, then there exists $\mathfrak{q}_{2}\in X^{\prime}$ such that $\mathfrak{q}\supseteq\mathfrak{q}_{2}$ and $f^{\star}(\mathfrak{q}_{2})=\mathfrak{p}_{2}$.

• •

The morphism $f$ has the incomparability property when one has: if $\mathfrak{q}_{1}\subseteq\mathfrak{q}_{2}\in X$ and $f^{\star}(\mathfrak{q}_{1})=f^{\star}(\mathfrak{q}_{2})$ in $X^{\prime}$ then $\mathfrak{q}_{1}=\mathfrak{q}_{2}$.

• •

The spectral space $X$ is said to be normal if for all $x$, the closure $\overline{\left\{{z}\right\}}$ contains a unique closed point.

• •

The spectral space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ is said to be completely normal if for all $x,y,z$ such that $x\in\overline{\left\{{z}\right\}}$ and $y\in\overline{\left\{{z}\right\}}$ one has $x\in\overline{\left\{{y}\right\}}$ or $y\in\overline{\left\{{x}\right\}}$.

3.1 Properties of morphisms

Theorem 3.1**.**

(Balbes and Dwinger, , 1974, Theorem IV-2.6)* In classical mathematics we have the following equivalences.*

$f^{\star}$* is onto ($f$ is lying over) $\Longleftrightarrow$ $f$ is injective $\Longleftrightarrow$ $f$ is a monomorphism $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ is an epimorphism.* 2. 2.

$f$* is an epimorphism $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ is a monomorphism $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ is injective.* 3. 3.

$f$* is onto777In other words, $f$ is a quotient morphism. $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ is an isomorphism on its image, which is a subspectral space of $X$.*

There are bijective morphisms of spectral spaces that are not isomorphisms. E.g. the morphism $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T}))\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ is rarely an isomorphism and the lattice morphism $\mathbf{T}\to\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T})$ is an injective epimorphism which is rarely onto.

Lemma 3.2**.**

Let $S$ be a system of generators for $\mathbf{T}$. The morphism $f$ is lying over if and only if for all $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}\in S$ we have

[TABLE]

Proposition 3.3** (Going up versus lying over).**

In classical mathematics t.f.a.e. (see Coquand and Lombardi, 2001- (2018)):

For each prime ideal $\mathfrak{q}$ of $\mathbf{T}^{\prime}$ and $\mathfrak{p}=f^{-1}(\mathfrak{q})$, the morphism $f^{\prime}:\mathbf{T}/(\mathfrak{p}=0)\to\mathbf{T}^{\prime}/(\mathfrak{q}=0)$ is lying over. 2. 2.

For each ideal $I$ of $\mathbf{T}^{\prime}$ and $J:=f^{-1}(I)$, the morphism $f_{I}:\mathbf{T}/(J=0)\to\mathbf{T}^{\prime}/(I=0)$ is lying over. 3. 3.

For each $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ and $J=f^{-1}(\mathop{\downarrow\!y}\nolimits)$, the morphism $f_{y}:\mathbf{T}/(J=0)\to\mathbf{T}^{\prime}/(y=0)$ is lying over. 4. 4.

For each $a,c\in\mathbf{T}$ and $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ we have

[TABLE]

Theorem 3.4**.**

In classical mathematics we have the following equivalences (Coquand and Lombardi, 2001- (2018)).

$f$* is going up $\Longleftrightarrow$ for each $a,c\in\mathbf{T}$ and $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ we have*

[TABLE] 2. 2.

$f$* is going down $\Longleftrightarrow$ for each $a,c\in\mathbf{T}$ and $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ we have*

[TABLE] 3. 3.

$f$* has the property of incomparability $\Longleftrightarrow$ $f$ is zero-dimensional.888See Theorem 3.8.*

Theorem 3.5**.**

In classical mathematics t.f.a.e.

$\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(f)$* is an open map.* 2. 2.

There exists a map $\widetilde{f}:\mathbf{T}^{\prime}\to\mathbf{T}$ with the following properties.

1. (a)

*For $c\in\mathbf{T}$ and $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, one has $b\leqslant f(c)\Leftrightarrow\widetilde{f}(b)\leqslant c$. *

In particular, $b\leqslant f(\widetilde{f}(b))$ and $\widetilde{f}(b_{1}\vee b_{2})=\widetilde{f}(b_{1})\vee\widetilde{f}(b_{2})$. 2. (b)

For $a,c\in\mathbf{T}$ and $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, one has $f(a)\wedge b\leqslant f(c)\Leftrightarrow a\wedge\widetilde{f}(b)\leqslant c$. 3. (c)

For $a\in\mathbf{T}$ and $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, one has $\widetilde{f}(f(a)\wedge b)=a\wedge\widetilde{f}(b)$. 4. (d)

For $a\in\mathbf{T}$, one has $\widetilde{f}(f(a))=\widetilde{f}(1)\wedge a$. 3. 3.

There exists a map $\widetilde{f}:\mathbf{T}^{\prime}\to\mathbf{T}$ satisfying property 2b. 4. 4.

For $b\in\mathbf{T}$ the g.l.b. $\bigwedge\limits_{b\leqslant f(c)}c$ exists, and if we write it $\widetilde{f}(b)$, the property 2b holds.

For this result in locales’ theory see (Borceux, , 1994, section 1.6). We give now a proof for spectral spaces. Implications concerning item 1 need classical mathematics. The other equivalences are constructive.

Lemma 3.6**.**

Let $f:A\to A^{\prime}$ be a nondecreasing map between ordered sets ${(A,\leqslant)}$ and $(A^{\prime},\leqslant^{\prime})$ and $b\in A^{\prime}$. An element $b_{1}\in A$ satisfies the equivalence

[TABLE]

if and only if

• •

on the one hand $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$,

• •

and on the other hand $b_{1}=\bigwedge_{x:b\leqslant^{\prime}f(x)}x$.

In particular, if $b_{1}$ exists, it is uniquely determined.

Proof*.*

If $b_{1}$ satisfies the equivalence, one has $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$ since $b_{1}\leqslant b_{1}$. If $z\in A$ satisfies the implication $\forall x\in A\,(b\leqslant^{\prime}f(x)\Rightarrow z\leqslant x)$, we get $z\leqslant b_{1}$ since $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$. So when $b_{1}$ satisfies the equivalence it is the maximum of $S_{b}\buildrel\rm def\over{\;=\;}\bigcap_{b\leqslant^{\prime}f(x)}\mathop{\downarrow\!x}\nolimits\subseteq A$, i.e. the g.l.b. of $\left\{{\,x\in A\,|\,b\leqslant^{\prime}f(x)\,}\right\}$.

Conversely, if such a g.l.b. $b_{1}$ exists, it satisfies the implication $\forall x\in A\,(b\leqslant^{\prime}f(x)\Rightarrow b_{1}\leqslant x)$ since $b_{1}\in S_{b}$. Moreover, if $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$ we have the converse implication $\forall x\in A\,(b_{1}\leqslant x\Rightarrow b\leqslant^{\prime}f(x))$ because if $b_{1}\leqslant x$ then $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})\leqslant^{\prime}f(x)$. ∎

Proof of Theorem 3.5.

3 $\Rightarrow$ 2. The property 2a is the particular case of 2b with $a=1$. The property 2d is the particular case of 2c with $b=1$. It remains to see that 2b implies 2c. Indeed

[TABLE]

1 $\Rightarrow$ 3. We assume the map $f^{\star}:\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ to be open. If $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, the quasi-compact open set $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}^{\prime}}(b)=\mathfrak{B}$ has as image a quasi-compact open set of $\mathbf{T}$, written as $f^{\star}(\mathfrak{B})=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{b})$ for a unique $\widetilde{b}\in\mathbf{T}$. We write $\widetilde{b}=\widetilde{f}(b)$ and we get a map $\widetilde{f}:\mathbf{T}^{\prime}\to\mathbf{T}$.

It remains to see that item 2b is satisfied. For $a,c\in\mathbf{T}$ let us write $\mathfrak{A}=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$, $\mathfrak{C}=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(c)$ and $g=f^{\star}$. We have to prove the equivalence 2b, written as

[TABLE]

For the direct implication, we consider an $x\in\mathfrak{B}$ such that $g(x)\in\mathfrak{A}$. We have to show that $g(x)\in\mathfrak{C}$. But $x\in g^{-1}(\mathfrak{A})\cap\mathfrak{B}$, so $x\in g^{-1}(\mathfrak{C})$, i.e. $g(x)\in\mathfrak{C}$.

For the converse implication, we transform the r.h.s. by $g^{-1}$. This operation respects inclusion and intersection. We get $g^{-1}(\mathfrak{A})\cap g^{-1}(g(\mathfrak{B}))\subseteq g^{-1}(\mathfrak{C})$ and we conclude by noticing that $\mathfrak{B}\subseteq g^{-1}(g(\mathfrak{B}))$.

2 $\Rightarrow$ 1. We show that $f^{\star}(\mathfrak{D}_{\mathbf{T}^{\prime}}(b))=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$.

First we show $f^{\star}(\mathfrak{D}_{\mathbf{T}^{\prime}}(b))\subseteq\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$. Let $\mathfrak{p}^{\prime}\in\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}$ with $b\notin\mathfrak{p}^{\prime}$ and let

[TABLE]

If one had $\widetilde{f}(b)\in\mathfrak{p}$ one would have $f(\widetilde{f}(b))\in f(\mathfrak{p})\subseteq\mathfrak{p}^{\prime}$ and since $b\leqslant f(\widetilde{f}(b))$, $b\in\mathfrak{p}^{\prime}$. So we have $\mathfrak{p}\in\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$.

For the reverse inclusion, let us consider a $\mathfrak{p}\in\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$. As $\widetilde{f}$ is non decreasing and respects $\vee$, the inverse image $\mathfrak{q}={\widetilde{f}}^{-1}(\mathfrak{p})$ is an ideal.

We have $b\notin\mathfrak{q}$ because if $b\in\mathfrak{q}$ we have $\widetilde{f}(b)\in\widetilde{f}({\widetilde{f}}^{-1}(\mathfrak{p}))\subseteq\mathfrak{p}$.

If $y\in\mathfrak{q}$ then $\widetilde{f}(y)=z\in\mathfrak{p}$ so $y\leqslant f(z)$ for a $z\in\mathfrak{p}$ (item 2a). Conversely if $y\leqslant f(z)$ for a $z\in\mathfrak{p}$, then $\widetilde{f}(y)\leqslant\widetilde{f}(f(z))\leqslant z$ (item 2d), so $\widetilde{f}(y)\in\mathfrak{p}$. So we get

[TABLE]

So $f^{-1}(\mathfrak{q})=\left\{{\,x\in\mathbf{T}\,|\,\exists z\in\mathfrak{p}\,\,f(x)\leqslant f(z)\,}\right\}$. But $f(x)\leqslant f(z)$ is equivalent to $x\wedge\widetilde{f}(1)\leqslant z$ (item 2b with $b=1$). Moreover $\widetilde{f}(1)\notin\mathfrak{p}$ since $\widetilde{f}(b)\leqslant\widetilde{f}(1)$ and $\widetilde{f}(b)\notin\mathfrak{p}$. So

[TABLE]

Nevertheless it is possible that $\mathfrak{q}$ be not a prime ideal. In this case let us consider an ideal $\mathfrak{q}^{\prime}$ which is maximal among those satisfying $f^{-1}(\mathfrak{q}^{\prime})=\mathfrak{p}$ and $\widetilde{f}(b)\notin\mathfrak{q}^{\prime}$. We want to show that $\mathfrak{q}^{\prime}$ is prime. Assume we have $y_{1}$ and $y_{2}\in\mathbf{T}^{\prime}\setminus\mathfrak{q}^{\prime}$ such that $y=y_{1}\wedge y_{2}\in\mathfrak{q}^{\prime}$. By maximality there is an element $z_{i}\in\mathbf{T}\setminus\mathfrak{p}$ such that $f(z_{i})$ is in the ideal generated by $\mathfrak{q}^{\prime}$ and $y_{i}$ ($i=1,2$), i.e. $f(z_{i})\leqslant x_{i}\vee y_{i}$ with $x_{i}\in\mathfrak{q}^{\prime}$. Taking $z=z_{1}\wedge z_{2}$ (it is in $\mathbf{T}\setminus\mathfrak{p}$) and $x=x_{1}\vee x_{2}$ we get $f(z_{i})\leqslant x\vee y_{i}$ and $f(z)=f(z_{1})\wedge f(z_{2})\leqslant x\vee y_{i}$, so $f(z)\leqslant x\vee y\in\mathfrak{q}^{\prime}$, and finally $z\in f^{-1}(\mathfrak{q}^{\prime})=\mathfrak{p}$: a contradiction.

4 $\Leftrightarrow$ 3. Use Lemma 3.6 by noticing that 2b implies 2a. ∎

3.2 Dimension properties

Theorem 3.7** (Dimension of spaces).**

See Coquand and Lombardi, (2003); Lombardi, (2002), (Lombardi and Quitté, , 2015, chapter XIII).* In classical mathematics t.f.a.e.*

The spectral space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ is of Krull dimension $\leqslant n$ (with the meaning of chains of primes) 2. 2.

For each sequence $(x_{0},\dots,x_{n})$ in $\mathbf{T}$ there exists a complementary sequence $(y_{0},\dots,y_{n})$, which means

[TABLE]

E.g. for the dimension $n\leqslant 2$, the inequalities in (10) correspond to the following diagram in $\mathbf{T}$.

[TABLE]

A zero-dimensional distributive lattice is a Boolean algebra.

Theorem 3.8** (Dimension of morphisms).**

See Coquand and Lombardi, 2001- (2018), (Lombardi and Quitté, , 2015, section XIII-7).* Let $\mathbf{T}\subseteq\mathbf{T}^{\prime}$ and $f$ be the inclusion morphism. In classical mathematics t.f.a.e.*

The morphism $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(f):\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}^{\prime})\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ has Krull dimension $\leqslant n$. 2. 2.

For any sequence $(x_{0},\dots,x_{n})$ in $\mathbf{T}^{\prime}$ there exists an integer $k\geqslant 0$ and elements $a_{1},\ldots,a_{k}\in\mathbf{T}$ such that for each partition $(H,H^{\prime})$ of $\{1,\ldots,k\}$, there exist $y_{0},\dots,y_{n}\in\mathbf{T}^{\prime}$ such that

[TABLE]

E.g. for the relative dimension $n\leqslant 2$, the inequalities in (11) correspond to the following diagram in $\mathbf{T}$. with $u=\bigwedge_{j\in H^{\prime}}a_{j}$ and $i=\bigvee_{j\in H}a_{j}$.

[TABLE]

Note that the dimension of the morphism $\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ is less than or equal to the dimension of $\mathbf{T}^{\prime}$: take $k=0$ in item 2.

The Krull dimension of a ring $\mathbf{A}$ and of a morphism $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ can be defined as those of ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$ and $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\varphi$. They are denoted $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}$ et $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\varphi$. In classical mathematics, this coincides with the usual definitions for $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}$ and $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\varphi$ (see Coquand and Lombardi, 2001- (2018)).

Moreover the paper Coquand and Lombardi, 2001- (2018) shows that the definitions given in the book Lombardi and Quitté, (2015) coincide in constructive mathematics with $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits({\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}})$ and $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\varphi)$. In particular we get the result in Proposition 3.9.

A commutative ring $\mathbf{A}$ is zero-dimensional when for each $a\in\mathbf{A}$ there exist $n\in\mathbb{N}$ and $x\in\mathbf{A}$ such that $x^{n}(1-xa)=0$. A reduced zero-dimensional ring999Such a ring is also called absolutely flat or von Neumann regular. is a ring in which any element $a$ has a quasi-inverse $b=a^{\bullet}$, i.e. such that $aba=a$ and $bab=b$.

Proposition 3.9**.**

Let $\mathbf{A}^{\bullet}$ the reduced zero-dimensional ring generated by $\mathbf{A}$. Then the Krull dimension of a morphism $\rho:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ equals the Krull dimension of the ring $\mathbf{A}^{\bullet}\otimes_{\mathbf{A}}\mathbf{B}$.

3.3 Properties of spaces

Theorem 3.10**.**

(Johnstone, , 1986, Chapter II, 4.2, 4.4, 4.9) T.F.A.E.

The spectral space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ is Hausdorff. 2. 2.

The topological space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ is compact, Hausdorff, and totally disconnected. 3. 3.

The distributive lattice $\mathbf{T}$ is a Boolean algebra.

A distributive lattice $\mathbf{T}$ is said to be normal if each time one has $a\vee b=1$ in $\mathbf{T}$ there exist $x,y$ such that $a\vee x=b\vee y=1$ and $x\wedge y=0$. See Wehrung, (2019); Dickmann et al., (2019). Note that when replacing $x$ and $y$ with $x_{1}=x\vee(a\wedge b)$ and $y_{1}=y\vee(a\wedge b)$ we get $a\vee x_{1}=b\vee y_{1}=1$ and $x_{1}\wedge y_{1}=a\wedge b$.

Theorem 3.11**.**

T.F.A.E.

The spectral space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ is normal. 2. 2.

*The distributive lattice $\mathbf{T}$ is normal. *

Theorem 3.12**.**

T.F.A.E.

The spectral space $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ is completely normal. 2. 2.

Each interval $[a,b]$ in $\mathbf{T}$, seen as a distributive lattice, is normal. 3. 3.

For all $a,b\in\mathbf{T}$ there exist $x,y$ such that $a\vee b=a\vee y=x\vee b$ and $x\wedge y=0$.

Theorem 3.13**.**

T.F.A.E.

Any quasi-compact open set in $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ is a finite union of irreducible quasi-compact open sets. 2. 2.

For all $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}$ one has $a_{1},\dots,a_{n}\vdash_{\mathbf{T}}b_{1},\dots,b_{m}$ if and only if there is a $j$ such that $a_{1},\dots,a_{n}\vdash_{\mathbf{T}}b_{j}$. 3. 3.

*The distributive lattice $\mathbf{T}$ is constructed from a dynamical algebraic structure corresponding to a Horn theory. *

4 Some examples

We give in this section constructive versions of classical theorems. Often, the theorem has exactly the same wording than the classical one. But now, these theorems have a clear computational content, which was impossible when using classical definitions. Sometimes the new theorem is stronger than the previously known classical results (e.g. Theorem 4.13 or 4.15 or 4.16).

4.1 Relative dimension, lying over, going up, going down

See Coquand and Lombardi, 2001- (2018) and (Lombardi and Quitté, , 2015, sections XIII-7 and XIII-9).

Theorem 4.1**.**

*Let $\rho:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ be a morphism of commutative rings or distributive lattices.

If $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{A}\leqslant m$ and $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\rho\leqslant n$, then $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{B}\leqslant(m+1)(n+1)-1$.*

Theorem 4.2**.**

If a morphism $\alpha:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ of distributive lattices or of commutative rings is lying over and going up (or lying over and going down) one has $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{A})\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{B})$.

Lemma 4.3**.**

Let $\rho:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ be a morphism of commutative rings. If $\mathbf{B}$ is generated by primitively algebraic elements 101010An element of $\mathbf{B}$ is said to be primitively algebraic over $\mathbf{A}$ if it annihilates a polynomial in $\mathbf{A}[X]$ whose coefficients are comaximal. over $\mathbf{A}$, then $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\rho\leqslant 0$ and so $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{B}\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}$.

Lemma 4.4**.**

Let $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ be a morphism of commutative rings. The morphism $\varphi$ is lying over if and only if for each ideal $\mathfrak{a}$ of $\mathbf{A}$ and each $x\in\mathbf{A}$, one has $\,\varphi(x)\in\varphi(\mathfrak{a})\mathbf{B}\,\Rightarrow\,x\in\sqrt[\mathbf{A}]{\mathfrak{a}}.$

Lemma 4.5**.**

Let $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ be a morphism of commutative rings. T.F.A.E.

The morphism $\varphi$ is going up (i.e. the morphism $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\,\varphi$ is going up). 2. 2.

For any ideal $\mathfrak{b}$ of $\mathbf{B}$, with $\mathfrak{a}=\varphi^{-1}(\mathfrak{b})$, the morphism $\varphi_{\mathfrak{b}}:\mathbf{A}/\mathfrak{a}\to\mathbf{B}/\mathfrak{b}$ is lying over. 3. 3.

The same thing with finitely generated ideals $\mathfrak{b}$. 4. 4.

(In classical mathematics) the same thing with prime ideals.

Lemma 4.6**.**

Let $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}$ be a faithfully flat $\mathbf{A}$-algebra. The morphism $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ is lying over and going up. So $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{A}\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{B}$.

Lemma 4.7** (A classical Going Up).**

Let $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}$ be commutative rings with $\mathbf{B}$ integral over $\mathbf{A}$. Then the morphism $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ is lying over and going up. So $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{A}\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{B}$.

Lemma 4.8**.**

Let $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ be a morphism of commutative rings. T.F.A.E.

The morphism $\varphi$ is going down. 2. 2.

For $b$, $a_{1}$, …, $a_{q}\in\mathbf{A}$ and $y\in\mathbf{B}$ such that $\varphi(b)y\in\sqrt[\mathbf{B}]{\left\langle{\varphi(a_{1},\dots,a_{q})}\right\rangle}$, there exist $x_{1}$, …, $x_{p}\in\mathbf{A}$ such that

[TABLE] 3. 3.

(In classical mathematics) for each prime ideal $\mathfrak{p}$ of $\mathbf{B}$ with $\mathfrak{q}=\varphi^{-1}(\mathfrak{p})$ the morphism $\mathbf{A}_{\mathfrak{q}}\to\mathbf{B}_{\mathfrak{p}}$ is lying over.

Theorem 4.9** (Going down).**

Let $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}$ be commutative rings. The inclusion morphism $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ is going down in the following cases.

$\mathbf{B}$* is flat over $\mathbf{A}$.* 2. 2.

$\mathbf{B}$* is a domain integral over $\mathbf{A}$, and $\mathbf{A}$ is integrally closed.*

4.2 Kronecker, Forster-Swan, Serre and Bass Theorems

References: Coquand et al., (2004); Coquand et al., 2006- (2022) and (Lombardi and Quitté, , 2015, chapter XIV).

Theorem 4.10** **(Kronecker-Heitmann theorem,

with Krull dimension, without Noetherianity).

Let $n\geqslant 0$. If $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}<n$ and $b_{1}$, …, $b_{n}\in\mathbf{A}$, there exist $x_{1}$, …, $x_{n}$ such that for all $a\in\mathbf{A}$, $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(a,b_{1},\dots,b_{n})=\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(b_{1}+ax_{1},\dots,b_{n}+ax_{n})$. 2. 2.

Consequently in a ring wuth Krull dimension $\leqslant n$, every finitely generated ideal has the same nilradical as an ideal generated by at most $n+1$ elements.

For a commutative ring $\mathbf{A}$ we define $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}$ (J-dimension of $\mathbf{A}$) as being $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A})$. In classical mathematics it is the dimension of the Heitmann J-spectrum $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$.

Another dimension, called Heitmann dimension and denoted by $\mathop{\mathsf{Hdim}}\nolimits(\mathbf{A})$, has been introduced in Coquand et al., (2004); Coquand et al., 2006- (2022). One has always $\mathop{\mathsf{Hdim}}\nolimits(\mathbf{A})\leqslant\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits(\mathbf{A})\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{A})$. The following results with $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$ hold also for $\mathop{\mathsf{Hdim}}\nolimits$.

Definition 4.11**.**

A ring $\mathbf{A}$ is said to have stable range (of Bass) less than or equal to $n$ when unimodular vectors of length $n+1$ may be shortened in the following meaning

[TABLE]

Theorem 4.12** **(Bass-Heitmann Theorem, without

Noetherianity).

Let $n\geqslant 0$. If $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}<n$, then $\mathbf{A}$ has stable range $\leqslant n$. In particular each stably free $\mathbf{A}$-module of rank $\geqslant n$ is free.

A matrix is said to be of rank $\geqslant k$ when the minors of size $k$ are comaximal.

Theorem 4.13**.**

(Serre’s Splitting Off theorem, for $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$)

*Let $k\geqslant 1$ and $M$ be a projective $\mathbf{A}$-module of rank $\geqslant k$, or more generally isomorphic to the image of a matrix of rank $\geqslant k$.

Assume that $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}<k$. Then $M\simeq N\oplus\mathbf{A}$ for a suitable module $N$ isomorphic to the image of a matrix of rank $\geqslant k-1$.*

Corollary 4.14**.**

Let $\mathbf{A}$ be a ring such that $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}\leqslant h$ and $M$ be an $\mathbf{A}$-module isomorphic to the image of a matrix of rank $\geqslant h+s$. Then $M$ has a direct summand which is a free submodule of rang $s$. Precisely, if $M$ is the image of a matrix $F\in\mathbf{A}^{n\times m}$ of rank $\geqslant h+s$, one has $M=N\oplus L$ where $L$ is a direct summand that is free of rank $s$ in $\mathbf{A}^{n}$, and $N$ the image of a matrix of rank $\geqslant h$.

In the following theorem we use the notion of finitely generated module locally generated by $k$ elements. In classical mathematics this means that after localisation at any maximal ideal, $M$ is generated by $k$ elements. A classically equivalent constructive definition is that the $k$-th Fitting ideal of $M$ is equal to $\left\langle{1}\right\rangle$.

Theorem 4.15** (Forster-Swan theorem for $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$).**

If $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}\leqslant k$ and if the $\mathbf{A}$-module $M=\left\langle{y_{1},\dots,y_{k+r+s}}\right\rangle$ is locally generated by $r$ elements, then it is generated by $k+r$ elements : one can compute $z_{1},\,\ldots,\,z_{k+r}$ in $\left\langle{y_{k+r+1},\ldots,y_{k+r+s}}\right\rangle$ such that $M$ is generated by $(y_{1}+z_{1},\ldots,y_{k+r}+z_{k+r})$.

Given two modules $M$ and $L$ we say that $M$ is cancellative for $L$ if $M\oplus L\simeq N\oplus L$ implies $M\simeq N$.

Theorem 4.16** (Bass’ cancellation theorem, with $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$).**

Let $M$ be a finitely generated projective $\mathbf{A}$-module of rank $\geqslant k$. If $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}<k$, then $M$ is cancellative for every finitely generated projective $\mathbf{A}$-module. I.e. if $Q$ is finitely generated projective and $M\oplus Q\simeq N\oplus Q$, then $M\simeq N$.

Theorems 4.13, 4.15 and 4.16 were conjectured in Heitmann, (1984) (Heitmann proved these theorems for the Krull dimension without Noetherianity assumption).

4.3 Other results concerning Krull dimension

In Lombardi and Quitté, (2015) Theorem XII-6.2 gives the following important characterisation. An integrally closed coherent ring $\mathbf{A}$ of Krull dimension at most $1$ is a Prüfer domain. This explains in a constructive way the nowadays classical definition of Dedekind domains as Noetherian, integrally closed domains of Krull dimension $\leqslant 1$, and the fact that, from this definition, in classical mathematics, one is able to prove that finitely generated nonzero ideals are invertible.

In (Lombardi and Quitté, , 2015, chapter XVI) there is a constructive proof of the Lequain-Simis theorem. This proof uses the Krull dimension.

In (Yengui, , 2015, section 2.6) we find the following new result, with a constructive proof. If $\mathbf{A}$ is a ring of Krull dimension $\leqslant d$, then the stably free modules of rank $>d$ over $\mathbf{A}[X]$ are free.

4.4 Open map

A theorem by Grothendieck in commutative algebra says that if a ring morphism $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{A}[X_{1},\ldots,X_{n}]\!\left/\left\langle{f_{1},\ldots,f_{s}}\right\rangle\right.\!$ is flat, then the dual morphism $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\varphi$ is an open map.

It should be interesting to give a constructive proof of this result. The first case should be $\mathbf{A}[X_{1},\ldots,X_{n}]\!\left/\left\langle{f}\right\rangle\right.\!$: we know that $\varphi$ is flat if and only if the ideal generated by the coefficients of $f$ is generated by an idempotent.

Introduction

On donne un dictionnaire entre mathématiques classiques et mathématiques constructives pour les propriétés liées aux espaces spectraux d’une part et à leurs traductions en termes des treillis distributifs duaux d’autre part.

Ce travail se situe dans le style des mathématiques constructives à la Bishop (Bishop, (1967); Bishop et Bridges, (1985); Bridges et Richman, (1987); Lombardi et Quitté, (2021); Mines et al., (1988); Yengui, (2015)).

1 Treillis distributifs et espaces spectraux: généralités

Références: Cederquist et Coquand, (2000); Coquand et Lombardi, (2006); Dickmann et al., (2019); Lombardi, (2006, 2022); Stone, (1937), (Balbes et Dwinger, , 1974, Chapter 4) et (Lombardi et Quitté, , 2021, Chapitres XI et XIII).

1.1 L’article fondateur de Stone

En langage moderne l’article Stone, (1937) dit à très peu près ceci. La catégorie des treillis distributifs est, en mathématiques classiques, antiéquivalente à la catégorie des espaces spectraux.

En mathématiques classiques un idéal premier $\mathfrak{p}$ d’un treillis distributif $\mathbf{T}\neq\mathbf{1}$ est un idéal dont le complémentaire $\mathfrak{f}$ est un filtre (qui est alors un filtre premier). On a alors le treillis quotient $\mathbf{T}/(\mathfrak{p}=0,\mathfrak{f}=1)\simeq\mathbf{2}$. Il revient au même de se donner un idéal premier de $\mathbf{T}$ ou un morphisme de treillis distributifs $\mathbf{T}\rightarrow\mathbf{2}$.

Nous noterons $\theta_{\mathfrak{p}}:\mathbf{T}\to\mathbf{2}$ l’homomorphisme associé à l’idéal premier $\mathfrak{p}$.

On vérifie facilement que si $S$ est une partie génératrice du treillis distributif $\mathbf{T}$, un idéal premier $\mathfrak{p}$ de $\mathbf{T}$ est complètement caractérisé par sa trace sur $S$ (cf. Cederquist et Coquand, (2000)).

Le spectre d’un treillis distributif $\mathbf{T}$ est l’ensemble $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ de ses idéaux premiers, muni de la topologie suivante: une base d’ouverts est donnée par les $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$ définis comme suit ($a\in\mathbf{T}$)

[TABLE]

On vérifie que

[TABLE]

Le complémentaire de $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$ est un fermé que l’on note $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(a)$. L’adhérence de $\left\{{\mathfrak{p}}\right\}$ est l’ensemble des $\mathfrak{q}$ qui contiennent $\mathfrak{p}$. Les points fermés sont les idéaux maximaux.

On étend la notation $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(a)$ comme suit: pour $I\subseteq\mathbf{T}$, on pose $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(I)\buildrel\rm def\over{\;=\;}\bigcap_{x\in I}\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(x)$. Si $\mathcal{I}_{\mathbf{T}}(I)=\mathfrak{I}$, on a $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(I)=\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{I})$. On dit parfois que $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(I)$ est la sous-variété de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ associée à $I$.

Définition. Un espace topologique homéomorphe à un espace $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est appelé un espace spectral. Tout homomorphisme $\varphi:\mathbf{T}\rightarrow\mathbf{T}^{\prime}$ de treillis distributifs fournit par dualité111On définit $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\varphi)(\mathfrak{p})=\varphi^{-1}(\mathfrak{p})$: on a alors avec $\mathfrak{q}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\varphi)(\mathfrak{p})$, $\theta_{\mathfrak{q}}=\theta_{\mathfrak{p}}\circ\varphi$. une application continue $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\varphi):\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}^{\prime}\rightarrow\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$, (souvent notée $\varphi^{\star}$) qui est appelée une application spectrale.

Les espaces spectraux proviennent de l’article Stone, (1937). Ils sont appelés espaces cohérents dans Johnstone, (1986). Balbes et Dwinger, (1974) les appelle des Stone spaces. Le nom d’espace spectral vient de l’article Hochster, (1969) qui démontre que tout espace spectral peut être obtenu comme spectre de Zariski d’un anneau commutatif. Néanmoins ce résultat précis semble sans aucune importance réelle.

Avec la logique classique et l’axiome du choix, l’espace $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ a $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$suffisamment de points$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$: on peut retrouver le treillis $\mathbf{T}$ à partir de son spectre. Voici comment.

Tout d’abord on a le théorème de Krull.

**Théorème de Krull ** (en mathématiques classiques).

Supposons que $\mathfrak{J}$ est un idéal, $\mathfrak{F}$ un filtre et $\mathfrak{J}\cap\mathfrak{F}=\emptyset$. Alors il existe un idéal premier $\mathfrak{P}$ tel que $\mathfrak{J}\subseteq\mathfrak{P}$ et $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{F}=\emptyset$.

On en déduit que:

• •

l’application $a\in\mathbf{T}\,\mapsto\,\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)\in\mathcal{P}(\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T})$ est injective: elle identifie $\mathbf{T}$ à un treillis d’ensembles (théorème de représentation de Birkhoff);

• •

si $\varphi:\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ est un homomorphisme injectif l’application $\varphi^{\star}:\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}^{\prime}\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ obtenue par dualité est surjective;

• •

tout idéal de $\mathbf{T}$ est intersection des idéaux premiers qui le contiennent;

• •

L’application $\mathfrak{I}\mapsto\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{I})$, des idéaux de $\mathbf{T}$ vers les fermés de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ est un isomorphisme d’ensembles ordonnés (pour l’inclusion et l’inclusion renversée).

On montre aussi que les ouverts quasi-compacts de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ sont exactement les $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$. D’après les égalités (1) les ouverts quasi-compacts de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ forment un treillis distributif de parties de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$, isomorphe à $\mathbf{T}$.

À partir d’un espace spectral $X$ on peut considérer le treillis distributif $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X)$ formé par ses ouverts quasi-compacts. Puisque pour tout treillis distributif $\mathbf{T}$, $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}))$ est canoniquement isomorphe à $\mathbf{T}$, pour tout espace spectral $X$, $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X))$ est canoniquement homéomorphe à $X$.

Pour qu’une application continue entre espaces spectraux soit spectrale il faut et il suffit que l’image réciproque de tout ouvert quasi-compact soit un ouvert quasi-compact.

L’article fondateur de Stone démontre pour l’essentiel que la catégorie spectrale ainsi définie (espaces spectraux et applications spectrales) est antiéquivalente à celle des treillis distributifs (Johnstone, , 1986, II-3.3, coherent locales), Stone, (1937). En fait, cette antiéquivalence signifie pour l’essentiel que les ouverts quasi-compacts d’un espace $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ forment un treillis distributif canoniquement isomorphe à $\mathbf{T}$. Pour les morphismes, il faut se restreindre, parmi les applications continues, aux applications spectrales. L’énoncé devient nettement plus subtil lorsque l’on donne une définition des espaces spectraux en termes purement d’espaces topologiques, comme dans la remarque qui suit.

Remarque. Une définition purement topologique des espaces spectraux est la suivante (Stone, (1937)).

• •

L’espace est un espace de Kolmogoroff (i.e., de type $\mathrm{T}_{0}$): étant donnés deux points il existe un voisinage de l’un des deux qui ne contient pas l’autre.

• •

L’espace est quasi-compact.

• •

L’intersection de deux ouverts quasi-compacts est un ouvert quasi-compact.

• •

Tout ouvert est réunion d’ouverts quasi-compacts.

• •

Pour tout fermé $F$ et pour tout ensemble $S$ d’ouverts quasi-compacts tels que

[TABLE]

on a aussi $F\cap\bigcap_{U\in S}U\neq\emptyset$.

En présence des quatre premières propriétés, la dernière peut se reformuler comme suit d’après Hochster, (1969).

• •

Tout fermé irréductible admet un point générique.

En mathématiques constructives les espaces spectraux manquent souvent de points, et on essaie de traduire les discours des mathématiques classiques sur les espaces spectraux (très fréquents en algèbre) en des discours constructifs sur les treillis distributifs correspondants. On a en fait un dictionnaire assez complet que nous exposons dans la section 3.

Deux autres topologies spectrales sont obtenues sur l’ensemble $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ en variant les ouverts de base: on peut prendre les complémentaires $\mathfrak{V}(a)$ des ouverts de base $\mathfrak{D}(a)$, ou encore les combinaisons booléennes d’ouverts $\mathfrak{D}(a)$. Dans ce dernier cas on parle de la $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$topologie constructible$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ (dans la littérature anglaise, de la $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$patch topology$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$). Les ouverts quasi-compacts de ces espaces sont les treillis distributifs respectivement isomorphes à $\mathbf{T}^{\circ}$, (le treillis opposé à $\mathbf{T}$) et à $\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T})$ (l’algèbre de Boole engendrée par $\mathbf{T}$).

Sous-espaces spectraux et treillis quotients

Références: Balbes et Dwinger, (1974); Coquand et al., 2006- (2022).

Le théorème suivant explique que la notion de sous-espace spectral est traduite par la notion de treillis distributif quotient. Quelques détails supplémentaires sont ajoutés. Voir aussi le théorème 3.1.

Théorème 1.1** **(Définition et caractérisations des sous-espaces

spectraux).

Soit $\mathbf{T}^{\prime}$ un treillis quotient de $\mathbf{T}$ et $\pi:\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ la projection canonique. Notons $X^{\prime}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}^{\prime}$, $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ et $\pi^{\star}:X^{\prime}\to X$ l’injection duale de $\pi$.

L’injection $\pi^{\star}$ identifie $X^{\prime}$ à un sous-espace topologique de $X$. En outre $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X^{\prime})=\left\{{\,U\cap X^{\prime}\,|\,U\in\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X)\,}\right\}$. On dit que $X^{\prime}$ est un sous-espace spectral de $X$. 2. 2.

*Pour qu’une partie $X^{\prime}$ d’un espace spectral $X$ soit un sous-espace spectral il faut et suffit que les conditions suivantes soient vérifiées: *

– La topologie induite par $X$ fait de $X^{\prime}$ un espace spectral, et

– $\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X^{\prime})=\left\{{\,U\cap X^{\prime}\,|\,U\in\mathop{\mathsf{Oqc}}\nolimits(X)\,}\right\}$. 3. 3.

Une partie $X^{\prime}$ d’un espace spectral $X$ est un sous-espace spectral si, et seulement si, elle est fermée pour la topologie constructible. 4. 4.

Si $Z$ est une partie arbitraire d’un espace spectral $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ son adhérence pour la topologie constructible est égale à $X^{\prime}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}^{\prime}$ où $\mathbf{T}^{\prime}$ est le treillis quotient de $\mathbf{T}$ défini par la relation de préordre $\preccurlyeq$ suivante:

[TABLE]

Proposition 1.2** (Ouverts et fermés de base).**

Soit $\mathbf{T}$ un treillis distributif et $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$.

$\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$* est un sous-espace spectral de $X$ canoniquement homéomorphe à $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}/(a=1))$.* 2. 2.

$\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(b)$* est un sous-espace spectral de $X$ canoniquement homéomorphe à $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}/(b=0))$.*

Proposition 1.3** (Sous-ensembles fermés de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$).**

Un fermé arbitraire de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ est de la forme $\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{J}):=\bigcap_{x\in\mathfrak{J}}\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(x)$ où $\mathfrak{J}$ est un idéal arbitraire de $\mathbf{T}$. C’est un sous-espace spectral et il correspond au quotient $\mathbf{T}/(\mathfrak{J}=0)$. 2. 2.

L’intersection d’une famille de fermés correspond au sup de la famille d’idéaux. La réunion de deux fermés correspond à l’intersection des deux idéaux. 3. 3.

À l’adhérence de $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(x)$ correspond le quotient $\mathbf{T}/((0:x)=0)$. 4. 4.

Le treillis $\mathbf{T}/((a:b)=0)$ est le quotient correspondant à $\overline{\mathfrak{V}_{\mathbf{T}}(a)\cap\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(b)}$.

Recollement de treillis quotients et de sous-espaces spectraux

En algèbre commutative, si $(x_{1},\ldots,x_{n})$ est un système d’éléments comaximaux d’un anneau $\mathbf{A}$ le morphisme $\mathbf{A}\to\prod_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}\mathbf{A}[1/x_{i}]$ identifie $\mathbf{A}$ à un sous-produit fini de ses localisés. Ce résultat peut être considéré comme la version constructive d’un principe local-global abstrait qui dit que certaines propriétés de $\mathbf{A}$ sont satisfaites si, et seulement si, elles sont satisfaites après localisation en n’importe quel idéal premier.

De la même manière on peut récupérer un treillis distributif à partir d’un nombre fini de ses quotients, si l’information qu’ils contiennent est $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$suffisante$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$. On peut voir ceci au choix comme une procédure de recollement (de passage du local au global), ou comme une version du théorème des restes chinois pour les treillis distributifs. Voyons les choses plus précisément.

Définition 1.4**.**

Soit $\mathbf{T}$ un treillis distributif, $(\mathfrak{a}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$ (resp. $(\mathfrak{f}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$) une famille finie d’idéaux (resp. de filtres) de $\mathbf{T}$. On dit que les idéaux $\mathfrak{a}_{i}$ recouvrent $\mathbf{T}$ si $\bigcap_{i}\mathfrak{a}_{i}=\left\{{0}\right\}$. De même on dit que les filtres $\mathfrak{f}_{i}$ recouvrent $\mathbf{T}$ si $\bigcap_{i}\mathfrak{f}_{i}=\left\{{1}\right\}$.

Pour un idéal $\mathfrak{b}$ nous écrivons $x\equiv y\;\mathrm{mod}\;\mathfrak{b}$ comme abréviation pour $x\equiv y\allowbreak\;\mathrm{mod}\;(\mathfrak{b}=0)$. Rappelons que pour $s\in\mathbf{T}$ le quotient $\mathbf{T}/(s=0)$ est isomorphe au filtre principal $\mathop{\uparrow\!s}\nolimits$ que l’on voit comme un treillis distributif dont l’élément [math] est $s$.

Fait 1.5**.**

Soit $\mathbf{T}$ un treillis distributif, $(\mathfrak{a}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$ une famille finie d’idéaux principaux ($\mathfrak{a}_{i}=\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{i}$) de $\mathbf{T}$ et $\mathfrak{a}=\bigcap_{i}\mathfrak{a}_{i}$.

Si $(x_{i})$ est une famille d’éléments de $\mathbf{T}$ telle que pour chaque $i,j$ on a $x_{i}\equiv x_{j}\;\;\mathrm{mod}\;\;\mathfrak{a}_{i}\vee\mathfrak{a}_{j}$, alors il existe un unique $x$ modulo $\mathfrak{a}$ vérifiant: $x\equiv x_{i}\;\;\mathrm{mod}\;\;\mathfrak{a}_{i}\;(i=1,\ldots,n)$. 2. 2.

Notons $\mathbf{T}_{i}=\mathbf{T}/(\mathfrak{a}_{i}=0)$, $\mathbf{T}_{ij}=\mathbf{T}_{ji}=\mathbf{T}/(\mathfrak{a}_{i}\vee\mathfrak{a}_{j}=0)$, $\pi_{i}:\mathbf{T}\to\mathbf{T}_{i}$ et $\pi_{ij}:\mathbf{T}_{i}\to\mathbf{T}_{ij}$ les projections canoniques. Si les $\mathfrak{a}_{i}$ recouvrent $\mathbf{T}$, $(\mathbf{T},(\pi_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket})$ est la limite projective du diagramme $((\mathbf{T}_{i})_{1\leqslant i\leqslant n},(\mathbf{T}_{ij})_{1\leqslant i<j\leqslant n};(\pi_{ij})_{1\leqslant i\neq j\leqslant n})$ (voir la figure ci-après) 3. 3.

Soit maintenant $(\mathfrak{f}_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket}$ une famille finie de filtres principaux, notons $\mathbf{T}_{i}=\mathbf{T}/(\mathfrak{f}_{i}=1)$, $\mathbf{T}_{ij}=\mathbf{T}_{ji}=\mathbf{T}/(\mathfrak{f}_{i}\cup\mathfrak{f}_{j}=1)$, $\pi_{i}:\mathbf{T}\to\mathbf{T}_{i}$ et $\pi_{ij}:\mathbf{T}_{i}\to\mathbf{T}_{ij}$ les projections canoniques. Si les $\mathfrak{f}_{i}$ recouvrent $\mathbf{T}$, $(\mathbf{T},(\pi_{i})_{i\in\llbracket 1..n\rrbracket})$ est la limite projective du diagramme $((\mathbf{T}_{i})_{1\leqslant i\leqslant n},(\mathbf{T}_{ij})_{1\leqslant i<j\leqslant n};(\pi_{ij})_{1\leqslant i\neq j\leqslant n})$.

[TABLE] \textstyle{\mathbf{T}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{k}}$$\scriptstyle{\pi_{j}}$$\scriptstyle{\pi_{i}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ij}}$$\scriptstyle{\pi_{ik}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{j}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ji}}$$\scriptstyle{\pi_{jk}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{k}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ki}}$$\scriptstyle{\pi_{kj}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{ij}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{ik}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{jk}}

Il y a aussi une procédure de recollement proprement dit222En algèbre commutative une telle procédure de recollement fonctionne pour les modules. Par contre recoller des anneaux commutatifs de manière formelle nécessite de passer à la catégorie des schémas de Grothendieck..

Proposition 1.6** (Recollement abstrait de treillis distributifs).**

Supposons donnés un ensemble fini totalement ordonné $I$ et dans la catégorie des treillis distributifs un diagramme

\big{(}(\mathbf{T}_{i})_{i\in I},(\mathbf{T}_{ij})_{i<j\in I},(\mathbf{T}_{ijk})_{i<j<k\in I};(\pi_{ij})_{i\neq j},(\pi_{ijk})_{i<j,j\neq k\neq i}\big{)}

comme dans la figure ci-après, ainsi qu’une famille d’éléments

$(s_{ij})_{i\neq j\in I}\in\prod\nolimits_{i\neq j\in I}\mathbf{T}_{i}$

satisfaisant les conditions suivantes:

• •

le diagrammme est commutatif ($\pi_{ijk}\circ\pi_{ij}=\pi_{ikj}\circ\pi_{ik}$* pour tous $i$, $j$, $k$ distincts),*

• •

pour $i\neq j$, $\pi_{ij}$ est un morphisme de passage au quotient par l’idéal $\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{ij}$,

• •

pour $i$, $j$, $k$ distincts, $\pi_{ij}(s_{ik})=\pi_{ji}(s_{jk})$ et $\pi_{ijk}$ est un morphisme de passage au quotient par l’idéal $\mathop{\downarrow\!\pi}\nolimits_{ij}(s_{ik})$.

[TABLE] \textstyle{\mathbf{T}_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ij}}$$\scriptstyle{\pi_{ik}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{j}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ji}}$$\scriptstyle{\pi_{jk}}$$\textstyle{\mathbf{T}_{k}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ki}}$$\scriptstyle{\pi_{kj}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{ij}\leavevmode\nobreak\ \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ijk}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{ik}\leavevmode\nobreak\ \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{ikj}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{jk}\leavevmode\nobreak\ \ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi_{jki}}$$\textstyle{\leavevmode\nobreak\ \mathbf{T}_{ijk}\leavevmode\nobreak\ }

Alors si \big{(}\mathbf{T}\,;\,(\pi_{i})_{i\in I}\big{)} est la limite projective du diagramme, les $\pi_{i}:\mathbf{T}\to\mathbf{T}_{i}$ forment un recouvrement par quotients principaux de $\mathbf{T}$, et le diagramme est isomorphe à celui obtenu dans le fait 1.5. Plus précisément, il existe des $s_{i}\in\mathbf{T}$ tels que chaque $\pi_{i}$ est un morphisme de passage au quotient par l’idéal $\mathop{\downarrow\!s}\nolimits_{i}$ et $\pi_{i}(s_{j})=s_{ij}$ pour tous $i\neq j$.

Le théorème analoque est valable pour les quotients par des filtres principaux.

Remarque 1.7*.*

Nous laissons au lecteur le soin de traduire les résultats précédents en termes de recollements de sous-espaces spectraux en utilisant le dictionnaire fourni pas le théorème 1.1.

Treillis et J-spectrum de Heitmann

Un idéal $\mathfrak{m}$ d’un treillis distributif $\mathbf{T}$ non trivial (i.e. distinct de $\mathbf{1}$) est dit maximal si $\mathbf{T}/(\mathfrak{m}=0)\,=\,\mathbf{2}$, c’est-à-dire si $1\notin\mathfrak{m}$ et ${\forall}x\in\mathbf{T}\;(x\in\mathfrak{m}$ ou ${\exists}y\in\mathfrak{m}\;x\vee y=1)$.

Il revient au même de dire qu’il s’agit d’un idéal $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$maximal parmi les idéaux stricts$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$.

En mathématiques classiques on a le lemme suivant, qui vaut aussi bien pour le treillis trivial $\mathbf{1}$.

Lemme 1.8**.**

Dans un treillis distributif $\mathbf{T}\neq\mathbf{1}$ l’intersection des idéaux maximaux est égale à l’idéal

[TABLE]

*On l’appelle le radical de Jacobson de $\mathbf{T}$. On le note $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(0)$.

Plus généralement l’intersection des idéaux maximaux contenant un idéal strict $\mathfrak{J}$ est égale à l’idéal *

[TABLE]

On l’appelle le radical de Jacobson de l’idéal $\mathfrak{J}$. En particulier:

[TABLE]

En mathématiques constructives les égalités (3) et (4) servent de définition.

Un quotient intéressant de $\mathbf{T}$, qui n’est ni un quotient par un idéal ni un quotient par un filtre, est le treillis de Heitmann.

On appelle treillis de Heitmann de $\mathbf{T}$ et on note $\mathsf{He}(\mathbf{T})$ le treillis quotient de $\mathbf{T}$ obtenu en remplaçant sur $\mathbf{T}$ la relation d’ordre $\leqslant_{\mathbf{T}}$ par la relation de préordre $\preccurlyeq_{\mathsf{He}(\mathbf{T})}$ définie comme suit

[TABLE]

Ce treillis quotient peut être identifié à l’ensemble des idéaux $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(a)$, avec la projection canonique

[TABLE]

Dans un article remarquable (Heitmann, (1984)) R. Heitmann explique que la notion usuelle de j-spectrum pour un anneau commutatif n’est pas la bonne dans le cas non noethérien car elle ne correspond pas à un espace spectral au sens de Stone. Il introduit la modification suivante de la définition usuelle: au lieu de considérer l’ensemble des idéaux premiers qui sont intersections d’idéaux maximaux il propose de considérer l’adhérence du spectre maximal dans le spectre premier, adhérence à prendre au sens de la topologie constructible (la $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$patch topology$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$).

Définitions 1.9**.**

Soit $\mathbf{T}$ un treillis distributif.

On note $\mathop{\mathsf{Max}}\nolimits\,\mathbf{T}$ le sous-espace topologique de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ formé par les idéaux maximaux de $\mathbf{T}$. On l’appelle le spectre maximal de $\mathbf{T}$. 2. 2.

On note $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ le sous-espace topologique de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ formé par les $\mathfrak{p}$ qui vérifient l’égalité $\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$, c’est-à-dire les idéaux premiers $\mathfrak{p}$ qui sont intersections d’idéaux maximaux (c’est le j-spectrum $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$usuel$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$). 3. 3.

On appelle $\mathrm{J}$-spectre de Heitmann de $\mathbf{T}$ et on note $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ l’adhérence du spectre maximal dans $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$, adhérence à prendre au sens de la topologie constructible. Ce spectre est un sous-espace spectral de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$, canoniquement homéomorphe à $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathsf{He}(\mathbf{T}))$. 4. 4.

On note $\mathop{\mathsf{Min}}\nolimits\,\mathbf{T}$ le sous-espace topologique de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ formé par les idéaux premiers minimaux de $\mathbf{T}$. On l’appelle le spectre minimal de $\mathbf{T}$.

Notez que malgré leurs dénominations, $\mathop{\mathsf{Max}}\nolimits\,\mathbf{T}$, $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ et $\mathop{\mathsf{Min}}\nolimits\,\mathbf{T}$ ne sont pas en général des espaces spectraux.

Théorème 1.10**.**

*Pour tout treillis distributif $\mathbf{T}$ l’espace $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ est un sous-espace spectral de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ canoniquement homéomorphe à $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathsf{He}(\mathbf{T}))$. *

1.2 Treillis distributifs et relations implicatives

Une règle particulièrement importante pour les treillis distributifs, dite coupure, est la suivante

[TABLE]

Si $A\in{\rm P}_{{\rm fe}}(\mathbf{T})$ (ensemble des parties finiment énumérées de $\mathbf{T}$) on notera

[TABLE]

On note $A\,\vdash\,B$ ou $A\vdash_{\mathbf{T}}B$ la relation définie comme suit sur l’ensemble ${\rm P}_{{\rm fe}}(\mathbf{T})$:

$A\,\vdash\,B\;\;\buildrel{\rm def}\over{\;\Longleftrightarrow\;}\;\;\bigwedge A\;\leqslant\;\bigvee B.$

Cette relation vérifie les axiomes suivants, dans lesquels on écrit $x$ pour $\{x\}$ et $A,B$ pour $A\cup B$.

[TABLE]

On dit que la relation est réflexive, monotone et transitive. La troisième règle (transitivité) peut être vue comme une généralisation de la règle (6) et s’appelle également la règle de coupure.

Définition 1.11**.**

Pour un ensemble $S$ arbitraire, une relation binaire sur ${\rm P}_{{\rm fe}}(S)$ qui est réflexive, monotone et transitive est appelée une relation implicative (en anglais, entailment relation). On note en général une telle relation avec le symbole $\,\vdash\,$ ou $\,\vdash_{S}\,$.

Le théorème suivant est fondamental. Il dit que les trois propriétés des relations implicatives sont exactement ce qu’il faut pour que l’interprétation d’une relation implicative comme la trace de celle d’un treillis distributif soit adéquate.

Théorème 1.12** (Théorème fondamental des relations implicatives).**

Voir (Cederquist et Coquand, , 2000, Theorem 1), (Lombardi et Quitté, , 2021, XI-5.3), (Lorenzen, , 1951, Satz 7)*.

Soit un ensemble $S$ avec une relation implicative $\vdash_{S}$ sur ${\rm P}_{{\rm fe}}(S)$. On considère le treillis distributif $\mathbf{T}$ défini par générateurs et relations comme suit: les générateurs sont les éléments de $S$ et les relations sont les*

$A\;\vdash_{\mathbf{T}}\;B$

chaque fois que $A\;\vdash_{S}\;B$. Alors, pour tous $A$, $B$ dans ${\rm P}_{{\rm fe}}(S)$, on a

$\hbox{si }A\;\vdash_{\mathbf{T}}\;B\hbox{ alors }A\;\vdash_{S}\;B.$

En particulier, deux éléments $x$ et $y$ de $S$ définissent le même élément de $\mathbf{T}$ si, et seulement si, on a $x\;\vdash_{S}\;y$ et $y\;\vdash_{S}\;x$.

Remarque. La relation $x\vdash_{S}y$ est à priori une relation de préordre, et non une relation d’ordre, sur $S$. Notons $\overline{x}$ l’élément $x$ vu dans l’ensemble ordonné $\overline{S}$ associé à ce préordre, et pour toute partie $A$ de $S$ notons $\overline{A}=\left\{{\,\overline{x}\,|\,x\in A\,}\right\}$. Dans l’énoncé du théorème on considère un treillis distributif $\mathbf{T}$ qui donne sur $S$ la même relation implicative que $\vdash_{S}$. En toute rigueur, on aurait dû noter $\overline{A}\;\vdash_{\mathbf{T}}\;\overline{B}$ plutôt que $A\;\vdash_{\mathbf{T}}\;B$ pour tenir compte du fait que l’égalité dans $\mathbf{T}$ est plus grossière que dans $S$. En particulier c’est $\overline{S}$, et non pas $S$, qui s’identifie à une partie de $\mathbf{T}$.

2 Espaces spectraux en algèbre

Les espaces spectraux couramment utilisés en algèbre peuvent très souvent (voire toujours) être compris comme les spectres de treillis distributifs qui proviennent de structures algébriques décrites par des théories cohérentes.

Dans cette section nous donnons une description générale de ce type de situation et nous montrons comment cela fonctionne pour quelques espaces spectraux usuels.

2.1 Structures algébriques dynamiques, treillis distributifs et spectres associés

Références: Coste et al., (2001); Lombardi, (2022). Dans l’article Coste et al., (2001) sont introduites les notions de $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$dynamical theory$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ et de $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$dynamical proof$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$. Voir également l’article Bezem et Coquand, (2005) qui décrit un certain nombre d’avantages fournis par cette approche.

Théories dynamiques et structures algébriques dynamiques

Les théories dynamiques, introduites dans Coste et al., (2001), sont une version purement calculatoire $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$sans logique$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ des théories (formelles du premier ordre) cohérentes.

Elles utilisent uniquement des règles dynamiques, c’est-à-dire des règles de la forme

[TABLE]

où $\Gamma$ et les $\Delta_{i}$ sont des listes de formules atomiques du langage considéré.

Les axiomes d’une théorie dynamique sont des règles dynamiques et les $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$théorèmes$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ sont les règles dynamiques validées à partir des axiomes selon un processus élémentaire bien défini. Le contenu calculatoire de \scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$$\boldsymbol{\stixexists}{\underline{y}}\,\Delta$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle est \scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$$\textsf{{{Introduire }}}{\hbox{\ des\ nouveaux\ param\`{e}tres\ }\underline{y}}\textsf{{{ tel que }}}\,\,\Delta$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle. Le contenu calculatoire de \scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$$U\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits V\,\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits W$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle est $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$ouvrir trois branches de calculs, dans la première les prédicats de la liste $U$ sont valides, …$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$.

Une structure algébrique dynamique pour une théorie dynamique T  est obtenue en ajoutant une présentation $(G,R)$ $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$par générateurs et relations$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$: les générateurs sont les éléments de $G$ et sont ajoutés comme constantes dans le langage. Les relations sont les éléments de $R$, ce sont des règles dynamiques sans variables libres ajoutées aux axiomes de la théorie.

Les structures algébriques purement équationnelles, comme celles des groupes, des treillis distributifs, des groupes réticulés, des anneaux commutatifs, correspondent à des théories dynamiques particulièrement simples, où tous les axiomes sont simplement des équations.

Les théories dynamiques dont les axiomes ne contiennent ni $\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits$, ni , ni au second membre sont appelées des théories de Horn (théories algébriques dans Coste et al., (2001)). Par exemple les anneaux zéro-dimensionnels réduits ou les anneaux quasi intègres sont décrits par des théories de Horn.

Un règle dynamique est dite existentielle simple si le second membre (la conclusion) est de la forme $\boldsymbol{\stixexists}{\underline{x}}\;\Delta$ où $\Delta$ est une liste finie de formules atomiques. Une théorie dynamique est dite existentielle si ses axiomes sont tous des règles algébriques ou existentielles simples (une regular theory dans la littérature anglaise).

Les théories existentiellement rigides sont les théories dynamiques dans lesquelles les axiomes existentiels sont simples et correspondent à des existences uniques. Une théorie existentielle existentiellement rigide est dite cartésienne.

Une théorie cohérente est aussi appelée une théorie géométrique finitaire. Les théories géométriques générales admettent en plus des axiomes avec des disjonctions infinies dans le second membre. Nous parlerons dans cet article uniquement des théories géométriques finitaires.

Un résultat fondamental pour les théories dynamiques dit que si l’on ajoute la logique classique à une théorie dynamique on ne change pas les règles valides: la théorie formelle du premier ordre classique est une extension conservative de la théorie dynamique (Coste et al., , 2001, Theorem 1.1).

Treillis distributifs associés à une structure algébrique dynamique

Considérons une structure algébrique dynamique \mathbf{A}=\big{(}(G,R),\hbox{\large T}\,\big{)} pour une théorie dynamique $\hbox{\large T}\,=(\mathcal{L},\mathcal{A})$.

Premier exemple.

Si $P(x,y)$ est un prédicat dans la signature, et si $\mathit{Tcl}=\mathrm{Tcl}(\mathbf{A})$ est l’ensemble des termes clos de $\mathbf{A}$, on obtient une relation implicative $\vdash_{\mathbf{A},P}$ sur $\mathit{Tcl}\times\mathit{Tcl}$ en posant

[TABLE]

Intuitivement le treillis distributif $\mathbf{T}$ engendré par cette relation implicative est le treillis des $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$valeurs de vérité$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ du prédicat $P$ dans la structure algébrique dynamique $\mathbf{A}$. En effet, donner un élément $\alpha:\mathbf{T}\to\mathbf{2}$ de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ revient à attribuer la valeur ou la valeur à $P(a,b)$ selon que $\alpha(a,b)=1$ ou [math]. Comme cette structure est incomplètement spécifiée, dynamique, les valeurs de vérité sont des éléments du treillis $\mathbf{T}$ plutôt que de $\left\{{\boldsymbol{\stixbot},\boldsymbol{\stixtop}}\right\}$

Deuxième exemple, le treillis de Zariski d’un anneau commutatif.

On considère une théorie dynamique des anneaux locaux non triviaux Al , par exemple basée sur la signature $(\,\cdot=0,\mathrm{U}(\cdot)\mathrel{;}\cdot+\cdot,\cdot\times\cdot,-\,\cdot,0,1\,)$.

La théorie est une extension de la théorie des anneaux commutatifs. Ici $\mathrm{U}(x)$ est défini comme le prédicat d’inversibilité de $x$ au moyen des axiomes

$\bullet$

$\,\,\mathrm{U}(x)\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixexists}y\,xy=1$

     

$\bullet$

$\,\,xy=1\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\mathrm{U}(x)$

et les axiomes des anneaux locaux non triviaux sont les suivants

fAL

$\,\,\mathrm{U}(x+y)\,\boldsymbol{\stixvdash}\mathrm{U}(x)\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits\mathrm{U}(y)$

     

$\bullet$

$\,\,\mathrm{U}(0)\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\,\boldsymbol{\stixbot}$

Le treillis de Zariski ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$ d’un anneau commutatif $\mathbf{A}$ est défini comme le treillis distributif engendré par la relation implicative $\vdash_{{\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}}$ sur $\mathbf{A}$ définie par

[TABLE]

Ici $\hbox{\large Al}\,(\mathbf{A})$ est la structure algébrique dynamique de type Al  sur l’anneau $\mathbf{A}$.

On a alors l’équivalence suivante (que l’on appelle un Nullstellensatz formel)

[TABLE]

Vu le Nullstellensatz formel, le treillis ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$ s’identifie à l’ensemble des idéaux $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sqrt[\mathbf{A}]{\left\langle{x_{1},\ldots,x_{n}}\right\rangle}$, avec $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\wedge\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}\mathfrak{j}_{2})$ et $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\vee\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}+\mathfrak{j}_{2})$.

Le spectre de Zariski usuel est (canoniquement homéomorphe à) le spectre de ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$. Donner un point de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$ (un idéal premier) revient en effet à donner un épimorphisme $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ où $\mathbf{B}$ est un anneau local, ou encore à donner un modèle minimal de la théorie des anneaux locaux basés sur l’anneau $\mathbf{A}$. Cela correspond à l’intuition $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$forcer l’anneau à être un anneau local$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$.

Plus généralement.

On peut considérer un ensemble $S$ de formules atomiques closes de la structure algébrique dynamique \mathbf{A}=\big{(}(G,R),\hbox{\large T}\,\big{)} et définir une relation implicative correspondante (avec les $A_{i}$ et $B_{j}\in S$)

[TABLE]

On pourra noter $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A},S)$ le treillis distributif ainsi construit.

En fait, pour un anneau commutatif $\mathbf{A}$, nous avons défini $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}$ selon ce schéma, avec la théorie dynamique Al , la structure algébrique dynamique \hbox{\large Al}\,(\mathbf{A})=\big{(}(G,R),\hbox{\large A}\,l\big{)}, où $(G,R)$ est le diagramme positif de $\mathbf{A}$ comme anneau commutatif, et où $S=\left\{{\,\mathrm{U}(a)\,|\,a\in\mathbf{A}\,}\right\}$.

Points d’un spectre et modèles en mathématiques classiques.

En général on choisit pour ensemble $S$ les formules atomiques closes construites sur un seul ou sur un petit nombre de prédicats du langage, en s’arrangeant pour que les autres prédicats puissent être définis à partir de ceux de $S$ dans la théorie formelle du premier ordre correspondante (en mathématiques classiques). Dans ce cas donner un point du spectre $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A},S))$ revient à peu près à donner un modèle de la structure algébrique dynamique $\mathbf{A}$. Précisément, dans le cas d’une théorie existentiellement rigide, donner un point du spectre $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A},S))$ revient exactement à donner un modèle minimal de la structure algébrique dynamique $\mathbf{A}$. Le modèle est minimal au sens où tous ses éléments sont construits de manière unique à partir des générateurs $G$ de la structure algébrique dynamique au moyen des symboles de fonction d’une part et par utilisation des axiomes existentiels rigides d’autre part. Le choix de l’ensemble $S$ influe alors sur la topologie de l’espace spectral associé. Deux choix différents de $S$ donnent les mêmes points mais pas la même topologie sur l’espace spectral correspondant.

Le treillis de Zariski (complet) d’une structure algébrique dynamique $\mathbf{A}$

est défini en prenant pour $S$ l’ensemble $\mathrm{Atcl}(\mathbf{A})$ de toutes les formules atomiques closes de $\mathbf{A}$. On le note $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A},\hbox{\large T}\,)$ ou par un nom particulier correspondant à la théorie T , par exemple $\mathop{\mathsf{Val}}\nolimits\mathbf{A}$ pour la théorie Val . L’espace spectral dual est appelé le spectre de Zariski de la structure algébrique dynamique $\mathbf{A}$ ou avec un nom particulier.

Lorsque la théorie T  est sans axiomes existentiels, $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A})$ est (à isomorphisme canonique près) le treillis distributif correspondant à la relation implicative sur $\mathrm{Atcl}(\mathbf{A})$ engendrée par les instantiations des axiomes de T  obtenues en y remplaçant les variables par des termes clos arbitraires.

2.2 Un cas très simple

Considérons une théorie algébrique T . Toute structure algébrique dynamique \mathbf{S}=\big{(}(G,R),\hbox{\large T}\,\big{)} de type T  définit une structure algébrique ordinaire $\mathbf{B}$, le modèle générique de $\mathbf{S}$. Il n’y a alors pas de différence significative entre structures algébriques dynamiques et structures algébriques usuelles. Nous supposons que (l’ensemble sous-jacent à) $\mathbf{B}$ est non vide.

Les modèles minimaux de $\mathbf{S}$ sont (identifiables avec) les structures quotients $\mathbf{C}=\mathbf{B}/\!\!\sim$ (au sens usuel d’une structure quotient pour une structure algébrique). Considérons le treillis de Zariski complet $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{B})$, les points de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{B}):=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{B}))$ sont donc identifiables avec ces structures quotients de $\mathbf{B}$. Et un élément de $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{S})=\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{B})$ s’identifie à un quotient de $\mathbf{B}$ obtenu en ajoutant un nombre fini de relations dans la présentation.

Nous examinons maintenant un exemple simple, mais tout à fait significatif. On considère la théorie $\hbox{\large T}\,=\hbox{\large Mod}\,_{\mathbf{A}}$ (théorie purement équationnelle des modules sur un anneau commutatif fixé $\mathbf{A}$).

Pour tout $\mathbf{A}$-module $M$, les modèles minimaux de la structure algébrique dynamique $\hbox{\large Mod}\,_{\mathbf{A}}(M)$ sont les quotients de $M$. On peut donc identifier un point de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(M)$ au sous-module $N$ de $M$ tel que $M/N$ soit le quotient considéré. Le treillis distributif correspondant $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(M)$ est très simple, il est défini par la relation implicative $y_{1},\ldots,y_{m}\vdash x_{1},\ldots,x_{n}$ sur $M$ équivalente à

$\bullet$

$\,\,y_{1}=0,\dots\textsf{{{,}}}\;y_{m}=0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x_{1}=0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits\dots\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits x_{n}=0$

c’est-à-dire encore à

$\bullet$

l’un des $x_{k}$ est dans le sous-module $\mathbf{A}y_{1}+\dots+\mathbf{A}y_{m}=\left\langle{y_{1},\ldots,y_{m}}\right\rangle$ (Nullstellensatz formel pour l’algèbre linéaire).

Une base d’ouverts quasi-compacts de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(M)$ est définie à partir des sous-modules de type fini de $M$

[TABLE]

Il reste à savoir si la considération de tels (treillis distributifs et) espaces spectraux, un peu trop simples, peut produire des résultats intéressants en mathématiques classiques.

Note. On peut préférer le treillis opposé à celui défini ci-dessus, ce qui donne une autre topologie sur $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits M$.

2.3 Treillis et spectre réel d’un anneau commutatif

Le spectre réel d’un anneau commutatif correspond à l’intuition de $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$forcer l’anneau à être un corps ordonné (discret333On demande que la relation d’ordre, et a fortiori la relation d’égalité, soit décidable.)$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$. Un point du spectre est ici considéré comme donné par un morphisme $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ où $(\mathbf{K},\mathbf{C})$ est un corps ordonné444$\mathbf{C}$ est le cône formé par les éléments $\geqslant 0$. $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$engendré par555En termes plus savants, $\varphi$ est un épimorphisme de la catégorie des anneaux commutatifs.$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ l’image de $\mathbf{A}$ dans $\mathbf{K}$. En outre, deux morphismes $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ et $\varphi^{\prime}:\mathbf{A}\to\mathbf{K}^{\prime}$ définissent le même point du spectre s’il existe un isomorphisme de corps ordonnés $\psi:\mathbf{K}\to\mathbf{K}^{\prime}$ qui fait commuter le diagramme convenable.

Si l’on note \scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$$x\geqslant 0$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle le prédicat sur $\mathbf{A}$ correspondant à \scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$$\varphi(x)\geqslant 0 dans \mathbf{K}$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle, ce prédicat vérifie notamment les règles suivantes.

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x^{2}\geqslant 0$

$\bullet$

$\,\,x\geqslant 0\textsf{{{,}}}\;y\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x+y\geqslant 0$

$\bullet$

$\,\,x\geqslant 0\textsf{{{,}}}\;y\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}xy\geqslant 0$

     

$\bullet$

$\,\,-1\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$

$\bullet$

$\,\,-xy\geqslant 0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x\geqslant 0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits y\geqslant 0$

On reconnait en fait les axiomes pour un cône premier dans un anneau. Autrement dit, si un prédicat (noté $x\geqslant 0$) sur $\mathbf{A}$ satisfait ces règles, il définit un unique point du spectre réel de $\mathbf{A}$, tel que défini précédemment.

Mais pour obtenir la topologie usuelle du spectre réel, il faut plutôt considérer le prédicat opposé $x<0$, et pour le confort de la lecture on prend le prédicat $x>0$, et les règles qu’il satisfait sont les duales de celle satisfaites par $-x\geqslant 0$.

$\bullet$

$\,\,-x^{2}>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$

$\bullet$

$\,\,x+y>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x>0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits y>0$

$\bullet$

$\,\,xy>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x>0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits-y>0$

     

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}1>0$

$\bullet$

$\,\,x>0\textsf{{{,}}}\;y>0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}xy>0$

On définit donc le treillis réel de l’anneau $\mathbf{A}$, noté $\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits(\mathbf{A})$ comme le treillis distributif défini par la relation implicative sur (l’ensemble sous-jacent à) $\mathbf{A}$ engendrée par les relations suivantes.

$\bullet$

$\,\,-x^{2}\vdash$

$\bullet$

$\,\,x+y\vdash x,y$

$\bullet$

$\,\,xy\vdash x,-y$

     

$\bullet$

$\,\,\vdash 1$

$\bullet$

$\,\,x,y\vdash xy$

On trouve alors que $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits(\mathbf{A}))$, noté $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$, s’identifie en mathématiques classiques avec l’ensemble des cônes premiers de $\mathbf{A}$, muni de la topologie spectrale définie par les ouverts

[TABLE]

Cette approche du spectre réel est proposée dans Cederquist et Coquand, (2000).

Du point de vue constructif on essaie alors de remplacer tout discours des mathématiques classiques sur l’espace $\mathop{\mathsf{Sper}}\nolimits\mathbf{A}$ par un discours constructif sur le treillis $\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits\mathbf{A}$.

Pour cela, un point important est le Positivstellensatz formel dont nous donnons ici l’énoncé constructif. Dans l’énoncé en mathématiques classiques on remplacerait le point 2 par: pour tout morphisme d’anneaux commutatifs $\varphi$ de $\mathbf{A}$ vers un corps ordonné $\mathbf{K}$, si les $\varphi(x_{i})$ sont tous $>0$, au moins l’un des $\varphi(a_{j})$ est $>0$.

Théorème 2.1** (Positivstellensatz formel).**

Les propriétés suivantes sont équivalentes.

On a

[TABLE]

dans le treillis $\mathop{\mathsf{Reel}}\nolimits\mathbf{A}$. 2. 2.

On a

[TABLE]

*dans la théorie des corps ordonnés *$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$sur $\mathbf{A}$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$. 3. 3.

On a

[TABLE]

*dans la théorie des corps ordonnés *$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$sur $\mathbf{A}$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$. 4. 4.

On a une égalité $s+p=0$ dans $\mathbf{A}$, où $s$ est dans le monoïde engendré par les $x_{i}$ et $p$ est dans le cône engendré par les $x_{i}$ et les $-a_{j}$.

Démonstration directe de 1 $\Rightarrow$ 4*.*

On laisse le soin à la lectrice de vérifier que les axiomes indiqués plus haut pour le prédicat $x>0$, se traduisent tous par des égalités $s+p=0$ décrites dans le point 3. On vérifie aussi que la condition exprimée en 4 définit une relation implicative $\vdash^{\prime}$ sur $\mathbf{A}$: réflexivité et monotonie sont faciles. Voyons la coupure, avec $X\vdash^{\prime}z,A$ et $X,z\vdash^{\prime}A$. On a par hypothèse deux égalités, pour $z$ avant ou après $\vdash^{\prime}$,

[TABLE]

Les $s_{i}$, $p_{i}$ et $q_{i}$ ($i=1,2$) ne font intervenir que $X$ et $A$. Dans $(a)$ on peut supposer $k=2\ell$ pair (sinon on multiplie par $z$). En multipliant $(a)$ et $(b)$ on obtient une égalité du type $z^{k}s_{3}+p_{3}=-z^{2}q_{1}q_{2}$, i.e. aussi $z^{k}s_{3}=-q_{3}$. En élevant $(b)$ à la puissance $k$ on obtient une égalité $s_{4}+p_{4}=z^{k}q_{4}$. En combinant les deux dernières égalités on obtient

[TABLE]

∎

2.4 Treillis et spectre linéaire d’un groupe (abélien) réticulé

La structure de groupe (abélien) réticulé est obtenue à partir de la structure de groupe abélien en ajoutant une loi $\vee$ de sup-demi treillis. La théorie Grl  des groupes réticulés sur la signature

[TABLE]

est purement équationnelle. Les identités suivantes expriment le fait que $\vee$ définit un sup-demi treillis ainsi que la compatibilité de $\vee$ avec $+$.

sdt1

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x\vee x=x$

sdt2

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x\vee y=y\vee x$

     

sdt3

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}(x\vee y)\vee z=x\vee(y\vee z)$

grl

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}x+(y\vee z)=(x+y)\;\vee\;(x+z)$

On obtient la théorie Glio  des groupes abéliens totalement ordonnés en ajoutant à Grl  l’axiome $\,\boldsymbol{\stixvdash}x\geqslant 0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits-x\geqslant 0$. On en déduit en particulier la règle

$\bullet$

$\,\,a\geqslant 0\textsf{{{,}}}\;b\geqslant 0\textsf{{{,}}}\;a\boldsymbol{\stixwedge}b=0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a=0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits b=0$.

Le spectre linéaire d’un groupe réticulé $\Gamma$ correspond à l’intuition de $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$forcer le groupe à être totalement ordonné$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ (on dit aussi, surtout dans la littérature anglaise $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$linéairement ordonné$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$). Un point du spectre est ici considéré comme donné par un groupe totalement ordonné $G$ quotient de $\Gamma$, ou ce qui revient au même par le noyau $H$ du morphisme canonique $\pi:\Gamma\to G$. Ce sous groupe $H$ est un sous-groupe solide (comme tout noyau d’un morphisme de groupes réticulés) premier (i.e. le quotient est totalement ordonné).

Le treillis linéaire de $\Gamma$, noté $\mathop{\mathsf{Glio}}\nolimits(\Gamma)$ est alors celui engendré par la relation implicative sur (l’ensemble sous-jacent à) $\Gamma$ définie comme suit.

[TABLE]

Sur la deuxième ligne, $\hbox{\large Glio}\,(\Gamma)$ est la structure algébrique dynamique de type Glio  avec pour présentation le diagramme positif de $\Gamma$.

La règle dynamique ci-dessus est successivement équivalente aux règles suivantes (en notant $a^{-}=(-a)\vee 0$)

$\bullet$

$\,\,{a_{1}^{-}=0}\textsf{{{,}}}\;\dots\textsf{{{,}}}\;{a_{n}^{-}=0}\,\,\boldsymbol{\stixvdash}b_{1}^{-}=0\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits\dots\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits b_{m}^{-}=0$

$\bullet$

$\,\,(a_{1}^{-}\vee\dots\vee a_{n}^{-})=0\,\,\boldsymbol{\stixvdash}(b_{1}^{-}\wedge\dots\wedge b_{m}^{-})=0$

On obtient ainsi un Nullstellensatz formel pour cette relation implicative.

[TABLE]

2.5 Treillis et spectre valuatif d’un anneau commutatif

Le spectre valuatif d’un anneau commutatif correspond à l’intuition de $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$forcer l’anneau à être un corps valué$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$. Un point du spectre noté $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$ est ici considéré comme donné par un morphisme $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ où $(\mathbf{K},\mathbf{V})$ est un corps valué666$\mathbf{V}$ est un anneau de valuation de $\mathbf{K}$. $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$engendré par777En termes plus savants, $\varphi$ est un épimorphisme de la catégorie des anneaux commutatifs.$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ l’image de $\mathbf{A}$ dans $\mathbf{K}$. En outre, deux morphismes $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{K}$ et $\varphi^{\prime}:\mathbf{A}\to\mathbf{K}^{\prime}$ définissent le même point du spectre s’il existe un isomorphisme de corps valués $\psi:\mathbf{K}\to\mathbf{K}^{\prime}$ qui fait commuter le diagramme convenable.

Si l’on note $x\,{|}\,y$ le prédicat sur $\mathbf{A}\times\mathbf{A}$ correspondant à \scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$$\varphi(x) divise888I.e., $\exists z\in\mathbf{V}\,z\varphi(x)=\varphi(y)$. $\varphi(y)$ dans \mathbf{K}$$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle, ce prédicat vérifie notamment les règles suivantes, qui définissent la théorie dynamique val .

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}1\,{|}\,0$

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}-1\,{|}\,1$

$\bullet$

$\,\,a\,{|}\,b\,\,\boldsymbol{\stixvdash}ac\,{|}\,bc$

$\bullet$

$\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,b\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits b\,{|}\,a$

     

$\bullet$

$\,\,0\,{|}\,1\,\,\boldsymbol{\stixvdash}\boldsymbol{\stixbot}$

$\bullet$

$\,\,a\,{|}\,b\textsf{{{,}}}\;b\,{|}\,c\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,c$

$\bullet$

$\,\,a\,{|}\,b\textsf{{{,}}}\;a\,{|}\,c\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,b+c$

$\bullet$

$\,\,ax\,{|}\,bx\,\,\boldsymbol{\stixvdash}a\,{|}\,b\mathop{\textsf{{{ ou }}}}\nolimits 0\,{|}\,x$

Si $\mathbf{A}$ est un anneau commutatif, la structure algébrique dynamique $\hbox{\large val}\,(\mathbf{A})$ est obtenue en ajoutant le diagramme positif de l’anneau $\mathbf{A}$.

Si un prédicat (noté $x\,{|}\,y$) sur $\mathbf{A}\times\mathbf{A}$ satisfait les axiomes de $\hbox{\large val}\,(\mathbf{A})$, il définit un unique point du spectre valuatif de $\mathbf{A}$, tel que défini précédemment.

On définit donc le treillis valuatif de l’anneau $\mathbf{A}$, noté $\mathop{\mathsf{val}}\nolimits(\mathbf{A})$ comme le treillis distributif défini par la relation implicative sur (l’ensemble sous-jacent à) $\mathbf{A}\times\mathbf{A}$ engendrée par les relations suivantes.

$\bullet$

$\,\,\vdash(1,0)$

$\bullet$

$\,\,\vdash(-1,1)$

$\bullet$

$\,\,(a,b)\vdash(ac,bc)$

$\bullet$

$\,\,\vdash(a,b),(b,a)$

     

$\bullet$

$\,\,(0,1)\vdash$

$\bullet$

$\,\,(a,b),(b,c)\vdash(a,c)$

$\bullet$

$\,\,(a,b),(a,c)\vdash(a,b+c)$

$\bullet$

$\,\,(ax,bx)\vdash(a,b),(0,x)$

On trouve alors que les points de l’espace spectral $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{val}}\nolimits\mathbf{A})$ s’identifient à ceux de $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$. La topologie spectrale de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathop{\mathsf{val}}\nolimits\mathbf{A})$ correspond dans $\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}$ à la topologie engendrée par les ouverts de base $\mathfrak{D}(a,b)=\left\{{\,\varphi\in\mathop{\mathsf{Spev}}\nolimits\mathbf{A}\,|\,\varphi(a)\,{|}\,\varphi(b)\,}\right\}.$

On a enfin le Valuativstellensatz formel suivant.

Théorème 2.2** (Valuativstellensatz formel pour la théorie $\hbox{\large val}\,(\mathbf{A})$).**

Pour tout anneau commutatif $\mathbf{A}$ les propriétés suivantes sont équivalentes.

Dans la structure algébrique dynamique $\hbox{\small val}\,(\mathbf{A})$, on a

[TABLE] 2. 2.

Dans le treillis $\mathop{\mathsf{val}}\nolimits\mathbf{A}$, on a

[TABLE] 3. 3.

En introduisant des indéterminées $x_{i}$ ($i\in\llbracket 1..n\rrbracket$) et $y_{j}$ ($j\in\llbracket 1..m\rrbracket$) on a dans l’anneau $\mathbf{A}[{\underline{x}},{\underline{y}}]$ une égalité de la forme

[TABLE]

où $d$ est dans le monoïde engendré par les $d_{j}$, et les $P_{j}(x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{m})$ sont dans $\mathbb{Z}[{\underline{x}},{\underline{y}}]$.

2.6 Treillis et J-spectrum de Heitmann d’un anneau commutatif

Dans un anneau commutatif, le radical de Jacobson d’un idéal $\mathfrak{J}$ est (du point de vue des mathématiques classiques) l’intersection des idéaux maximaux qui contiennent $\mathfrak{J}$. On le note $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{J})=\mathrm{J}(\mathbf{A},\mathfrak{J})$, ou encore $\mathrm{J}(\mathfrak{J})$ si le contexte est clair. En mathématiques constructives on utilise la définition suivante, classiquement équivalente:

[TABLE]

On notera $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})=\mathrm{J}(\mathbf{A},x_{1},\ldots,x_{n})$ pour $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\left\langle{x_{1},\ldots,x_{n}}\right\rangle)$. L’idéal $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(0)$ est appelé le radical de Jacobson de l’anneau $\mathbf{A}$.

On appelle treillis de Heitmann d’un anneau commutatif $\mathbf{A}$ le treillis $\mathsf{He}({\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}})$, on le note ${\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A}}$. En fait ${\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A}}$ s’identifie à l’ensemble des $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})$, avec $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\wedge\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}\mathfrak{j}_{2})$ et $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1})\vee\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{2})=\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(\mathfrak{j}_{1}+\mathfrak{j}_{2})$.

On note $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ l’espace spectral $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits({\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}})=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits({\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A}})$. En mathématiques classiques c’est l’adhérence du spectre maximal, pour la topologie constructible, dans $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$. On l’appelle le J-spectrum de Heitmann. Dans le cas où $\mathbf{A}$ est noethérien, $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ coïncide avec $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$, lequel est le sous-espace topologique de $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{A}$ formé par les idéaux premiers qui sont intersections d’idéaux maximaux. Heitmann a montré que dans le cas non noethérien utiliser $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ permet de généraliser des résultats obtenus avec $\mathop{\mathsf{jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$ dans le cas noethérien.

Remarques.  

1. On a, avec $\mathbf{T}={\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$, \mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\mathbf{A}/\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(0))\simeq\mathbf{T}/\big{(}\mathrm{J}_{\mathbf{T}}(0)=0\big{)}, et $\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits(\mathbf{A})\simeq\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits(\mathbf{A}/\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(0))$. Par contre il ne semble pas qu’il y ait une $\mathbf{A}$-algèbre $\mathbf{B}$ naturellement attachée à $\mathbf{A}$ pour laquelle on ait $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\,\mathbf{B}\simeq\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\,\mathbf{A}$.

2. En général $\mathrm{J}_{\mathbf{A}}(x_{1},\ldots,x_{n})$ est un idéal radical mais pas le radical d’un idéal de type fini.

3 Petit dictionnaire de l’antiéquivalence de catégories

Références: le théorème de Krull page 1.1, Balbes et Dwinger, (1974); Cederquist et Coquand, (2000); Coquand et Lombardi, 2001- (2018).

Le contexte de cette section est le suivant: $f:\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ est un morphisme de treillis distributifs et $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(f)$, noté $f^{\star}$, est le morphisme dual, de $X^{\prime}=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}^{\prime})$ vers $X=\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$, dans la catégorie des espaces spectraux.

Les résultats énoncés pour les treillis distributifs sont valides pour les anneaux commutatifs en considérant chaque fois le treillis ou le morphisme $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits(\bullet)$.

On rappelle tout d’abord quelques définitions usuelles en mathématiques classiques.

• •

Le morphisme $f$ est dit lying over (en français, il possède la propriété de relèvement) lorsque $f^{\star}$ est surjectif: tout idéal premier de $\mathbf{T}$ est image réciproque d’un idéal premier de $\mathbf{T}^{\prime}$.

• •

Le morphisme $f$ est dit going up (en français, il possède la propriété de montée pour les chaînes d’idéaux premiers) lorsque l’on a: si $\mathfrak{q}\in X^{\prime}$, $f^{\star}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}$, et $\mathfrak{p}\subseteq\mathfrak{p}_{2}$ dans $X$, il existe $\mathfrak{q}_{2}\in X^{\prime}$ tel que $\mathfrak{q}\subseteq\mathfrak{q}_{2}$ et $f^{\star}(\mathfrak{q}_{2})=\mathfrak{p}_{2}$.

• •

De même $f$ est dit going down (en français, il possède la propriété de descente pour les chaînes d’idéaux premiers) lorsque l’on a: si $\mathfrak{q}\in X^{\prime}$, $f^{\star}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}$, et $\mathfrak{p}\supseteq\mathfrak{p}_{2}$ dans $X$, il existe $\mathfrak{q}_{2}\in X^{\prime}$ tel que $\mathfrak{q}\supseteq\mathfrak{q}_{2}$ et $f^{\star}(\mathfrak{q}_{2})=\mathfrak{p}_{2}$.

• •

On dit que le morphisme $f$ possède la propriété d’incomparabilité lorsque ses $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$fibres$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ sont formées d’idéaux premiers deux à deux incomparables: si $\mathfrak{q}_{1}\subseteq\mathfrak{q}_{2}\in X$ et $f^{\star}(\mathfrak{q}_{1})=f^{\star}(\mathfrak{q}_{2})$ dans $X^{\prime}$ alors $\mathfrak{q}_{1}=\mathfrak{q}_{2}$.

• •

L’espace spectral $X$ est dit normal si l’adhérence d’un point contient un et un seul point fermé (tout idéal premier de $\mathbf{T}$ est contenu dans un unique idéal maximal).

• •

L’espace spectral $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ est dit complètement normal si pour tous $x,y,z$ avec $x\in\overline{\left\{{z}\right\}}$ et $y\in\overline{\left\{{z}\right\}}$ on a $x\in\overline{\left\{{y}\right\}}$ ou $y\in\overline{\left\{{x}\right\}}$.

3.1 Propriétés des morphismes

Théorème 3.1**.**

(Balbes et Dwinger, , 1974, Theorem IV-2.6)* En mathématiques classiques on a les équivalences suivantes.*

$f^{\star}$* est surjectif ($f$ est lying over) $\Longleftrightarrow$ $f$ est injectif $\Longleftrightarrow$ $f$ est un monomorphisme $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ est un épimorphisme.* 2. 2.

$f$* est un épimorphisme $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ est un monomorphisme $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ est injectif.* 3. 3.

$f$* est surjectif999Autrement dit, puisque c’est une structure équationnelle, $f$ est un morphisme de passage au quotient. $\Longleftrightarrow$ $f^{\star}$ est un isomorphisme sur son image, qui est un sous-espace spectral de $Y$.*

Il y a des épimorphismes de treillis distributifs non surjectifs (voir (Balbes et Dwinger, , 1974, section V-8)). Cela correspond à la possibilité d’un morphisme bijectif entre espaces spectraux qui ne soit pas un isomorphisme. Par exemple le morphisme spectral bijectif $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T}))\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\,\mathbf{T}$ n’est pas (en général) un isomorphisme et le morphisme de treillis $\mathbf{T}\to\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T})$101010$\mathbb{B}\mathrm{o}(\mathbf{T})$ est l’algèbre de Boole librement engendrée par $\mathbf{T}$. est un $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$épimono$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ qui n’est pas (en général) surjectif.

Lemme 3.2**.**

Soit $S$ un système générateur de $\mathbf{T}$. Pour que $f$ soit lying over, il faut et suffit que pour tous $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}\in S$ soit satisfaite l’implication

[TABLE]

Proposition 3.3** (Going up versus lying over).**

En mathématiques classiques les propriétés suivantes sont équivalentes.

Pour tout idéal premier $\mathfrak{q}$ de $\mathbf{T}^{\prime}$, en notant $\mathfrak{p}=f^{-1}(\mathfrak{q})$, le morphisme

[TABLE]

est injectif (i.e., lying over). 2. 2.

Pour tout idéal $I$ de $\mathbf{T}^{\prime}$, et $J:=f^{-1}(I)$, le morphisme $f_{I}:\mathbf{T}/(J=0)\to\mathbf{T}^{\prime}/(I=0)$ est injectif. 3. 3.

Pour tout $y\in\mathbf{T}^{\prime}$, avec $J=f^{-1}(\mathop{\downarrow\!y}\nolimits)$ le morphisme $f_{y}:\mathbf{T}/(J=0)\to\mathbf{T}^{\prime}/(y=0)$ est injectif. 4. 4.

Pour tous $a,c\in\mathbf{T}$ et $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ on a

[TABLE]

Démonstration*.*

Voir Coquand et Lombardi, 2001- (2018). ∎

Théorème 3.4**.**

En mathématiques classiques on a les équivalences suivantes.

$f$* est going up $\Longleftrightarrow$ pour tous $a,c\in\mathbf{T}$ et $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ on a*

[TABLE] 2. 2.

$f$* est going down $\Longleftrightarrow$ pour tous $a,c\in\mathbf{T}$ et $y\in\mathbf{T}^{\prime}$ on a*

[TABLE] 3. 3.

$f$* possède la propriété d’incomparabilité $\Longleftrightarrow$ $f$ est zéro-dimensionnel111111Voir ci-dessous 3.8..*

Démonstration*.*

Voir Coquand et Lombardi, 2001- (2018). ∎

Théorème 3.5**.**

En mathématiques classiques les propriétés suivantes sont équivalentes.

$\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(f)$* est une application ouverte.* 2. 2.

Il existe une application $\widetilde{f}:\mathbf{T}^{\prime}\to\mathbf{T}$ satisfaisant les propriétés suivantes.

1. (a)

*Pour tous $c\in\mathbf{T}$ et $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, $b\leqslant f(c)\Leftrightarrow\widetilde{f}(b)\leqslant c$. *

En particulier $b\leqslant f(\widetilde{f}(b))$ et $\widetilde{f}(b_{1}\vee b_{2})=\widetilde{f}(b_{1})\vee\widetilde{f}(b_{2})$. 2. (b)

Pour tous $a,c\in\mathbf{T}$ et $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, $f(a)\wedge b\leqslant f(c)\Leftrightarrow a\wedge\widetilde{f}(b)\leqslant c$. 3. (c)

Pour tous $a\in\mathbf{T}$ et $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, $\widetilde{f}(f(a)\wedge b)=a\wedge\widetilde{f}(b)$. 4. (d)

Pour tout $a\in\mathbf{T}$, $\widetilde{f}(f(a))=\widetilde{f}(1)\wedge a$. 3. 3.

Il existe une application $\widetilde{f}:\mathbf{T}^{\prime}\to\mathbf{T}$ satisfaisant la propriété 2b. 4. 4.

Pour tout $b\in\mathbf{T}$ la borne inférieure $\bigwedge\limits_{b\leqslant f(c)}c$ existe, et si on la note $\widetilde{f}(b)$, la propriété 2b est satisfaite.

Pour un traitement dans le cadre de la théorie des locales on peut voir (Borceux, , 1994, section 1.6). Nous donnons maintenant une démonstration pour les espaces spectraux. Les implications qui concernent le point 1 sont démontrées en mathématiques classiques. Le reste est constructif.

Dans un ensemble ordonné $(A,\leqslant)$ nous notons $\mathop{\downarrow\!a}\nolimits=\left\{{\,x\in A\,|\,x\leqslant a\,}\right\}$.

Lemme 3.6**.**

Soit $f:A\to A^{\prime}$ une application croissante entre les ensembles ordonnés $(A,\leqslant)$ et $(A^{\prime},\leqslant^{\prime})$. Soit $b\in A^{\prime}$, un élément $b_{1}\in A$ satisfait l’équivalence

[TABLE]

si, et seulement si,

• •

d’une part $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$,

• •

et d’autre part $b_{1}=\bigwedge_{x:b\leqslant^{\prime}f(x)}x$.

En particulier, si $b_{1}$ existe, il est uniquement déterminé.

Démonstration.

Si $b_{1}$ satisfait l’équivalence on a $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$ car $b_{1}\leqslant b_{1}$. Si $z\in A$ satisfait l’implication $\forall x\in A\,(b\leqslant^{\prime}f(x)\Rightarrow z\leqslant x)$, on obtient $z\leqslant b_{1}$ car $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$. Ainsi lorsque $b_{1}$ satisfait l’équivalence il est l’élément maximum de $S_{b}\buildrel\rm def\over{\;=\;}\bigcap_{b\leqslant^{\prime}f(x)}\mathop{\downarrow\!x}\nolimits\subseteq A$, c’est-à-dire la borne inférieure de $\left\{{\,x\in A\,|\,b\leqslant^{\prime}f(x)\,}\right\}$.

Inversement, si un telle borne inférieure $b_{1}$ existe, elle satisfait tout d’abord l’implication $\forall x\in A\,(b\leqslant^{\prime}f(x)\Rightarrow b_{1}\leqslant x)$ car $b_{1}\in S_{b}$. Ensuite, si $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})$ on a l’implication réciproque $\forall x\in A\,(b_{1}\leqslant x\Rightarrow b\leqslant^{\prime}f(x))$ parce que si $b_{1}\leqslant x$ alors $b\leqslant^{\prime}f(b_{1})\leqslant^{\prime}f(x)$. ∎

Démonstration du théorème 3.5.

3 $\Rightarrow$ 2. La propriété 2a est le cas particulier de 2b avec $a=1$. La propriété 2d est le cas particulier de 2c avec $b=1$. Il reste à voir que 2b implique 2c. En effet

[TABLE]

1 $\Rightarrow$ 3. On suppose que l’application $f^{\star}:\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}$ est ouverte. Si $b\in\mathbf{T}^{\prime}$, l’ouvert quasi-compact $\mathfrak{D}_{\mathbf{T}^{\prime}}(b)=\mathfrak{B}$ a pour image un ouvert quasi-compact de $\mathbf{T}$, qui est de la forme $f^{\star}(\mathfrak{B})=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{b})$ pour un unique $\widetilde{b}\in\mathbf{T}$. On note $\widetilde{b}=\widetilde{f}(b)$ et cela fournit une application $\widetilde{f}:\mathbf{T}^{\prime}\to\mathbf{T}$.

Il reste à voir que le point 2b est vérifié. Pour $a,c\in\mathbf{T}$ on note $\mathfrak{A}=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(a)$, $\mathfrak{C}=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(c)$ et $g=f^{\star}$. L’équivalence 2b à vérifier s’écrit

[TABLE]

Pour l’implication directe, on considère un $x\in\mathfrak{B}$ tel que $g(x)\in\mathfrak{A}$, on doit montrer que $g(x)\in\mathfrak{C}$. Or $x\in g^{-1}(\mathfrak{A})\cap\mathfrak{B}$, donc $x\in g^{-1}(\mathfrak{C})$, c’est-à-dire $g(x)\in\mathfrak{C}$.

Pour l’implication réciproque, on transforme le second membre par $g^{-1}$. Cette opération respecte l’inclusion et l’intersection. On obtient $g^{-1}(\mathfrak{A})\cap g^{-1}(g(\mathfrak{B}))\subseteq g^{-1}(\mathfrak{C})$ et on conclut en notant que $\mathfrak{B}\subseteq g^{-1}(g(\mathfrak{B}))$.

2 $\Rightarrow$ 1. On va montrer que $f^{\star}(\mathfrak{D}_{\mathbf{T}^{\prime}}(b))=\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$.

Montrons tout d’abord $f^{\star}(\mathfrak{D}_{\mathbf{T}^{\prime}}(b))\subseteq\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$. Soit $\mathfrak{p}^{\prime}\in\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\mathbf{T}^{\prime}$ avec $b\notin\mathfrak{p}^{\prime}$ et soit

[TABLE]

Si on avait $\widetilde{f}(b)\in\mathfrak{p}$ on aurait $f(\widetilde{f}(b))\in f(\mathfrak{p})\subseteq\mathfrak{p}^{\prime}$ et, puisque $b\leqslant f(\widetilde{f}(b))$, $b\in\mathfrak{p}^{\prime}$. Ainsi on a bien $\mathfrak{p}\in\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$.

Pour l’inclusion opposée, considérons un $\mathfrak{p}\in\mathfrak{D}_{\mathbf{T}}(\widetilde{f}(b))$. Comme $\widetilde{f}$ est croissante et respecte les $\vee$, l’image réciproque $\mathfrak{q}={\widetilde{f}}^{-1}(\mathfrak{p})$ est un idéal.

On a $b\notin\mathfrak{q}$ car sinon, $\widetilde{f}(b)\in\widetilde{f}({\widetilde{f}}^{-1}(\mathfrak{p}))\subseteq\mathfrak{p}$.

Si $y\in\mathfrak{q}$ alors $\widetilde{f}(y)=z\in\mathfrak{p}$ donc $y\leqslant f(z)$ pour un $z\in\mathfrak{p}$ (point 2a). Inversement si $y\leqslant f(z)$ pour un $z\in\mathfrak{p}$ alors $\widetilde{f}(y)\leqslant\widetilde{f}(f(z))\leqslant z$ (point 2d), donc $\widetilde{f}(y)\in\mathfrak{p}$. Ainsi

[TABLE]

Donc $f^{-1}(\mathfrak{q})=\left\{{\,x\in\mathbf{T}\,|\,\exists z\in\mathfrak{p}\,\,f(x)\leqslant f(z)\,}\right\}$. Mais $f(x)\leqslant f(z)$ équivaut à $x\wedge\widetilde{f}(1)\leqslant z$ (point 2b avec $b=1$). En outre $\widetilde{f}(1)\notin\mathfrak{p}$ car $\widetilde{f}(b)\leqslant\widetilde{f}(1)$ et $\widetilde{f}(b)\notin\mathfrak{p}$. Ainsi

[TABLE]

Il se peut cependant que $\mathfrak{q}$ ne soit pas un idéal premier. Considérons alors un idéal $\mathfrak{q}^{\prime}$ maximal parmi ceux qui vérifient $f^{-1}(\mathfrak{q}^{\prime})=\mathfrak{p}$ et $\widetilde{f}(b)\notin\mathfrak{q}^{\prime}$. On veut montrer que $\mathfrak{q}^{\prime}$ est premier. Supposons donc qu’on ait $y_{1}$ et $y_{2}\in\mathbf{T}^{\prime}\setminus\mathfrak{q}^{\prime}$ tels que $y=y_{1}\wedge y_{2}\in\mathfrak{q}^{\prime}$. Par maximalité il y a un élément $z_{i}\in\mathbf{T}\setminus\mathfrak{p}$ de tel que $f(z_{i})$ est dans l’idéal engendré par $\mathfrak{q}^{\prime}$ et $y_{i}$ ($i=1,2$), i.e. $f(z_{i})\leqslant x_{i}\vee y_{i}$ avec $x_{i}\in\mathfrak{q}^{\prime}$. En prenant $z=z_{1}\wedge z_{2}$ (qui est dans $\mathbf{T}\setminus\mathfrak{p}$) et $x=x_{1}\vee x_{2}$ on obtient $f(z_{i})\leqslant x\vee y_{i}$ puis $f(z)=f(z_{1})\wedge f(z_{2})\leqslant x\vee y_{i}$, donc $f(z)\leqslant x\vee y\in\mathfrak{q}^{\prime}$, et enfin $z\in f^{-1}(\mathfrak{q}^{\prime})=\mathfrak{p}$: absurde.

4 $\Leftrightarrow$ 3. D’après le lemme 3.6 en notant que 2b implique 2a. ∎

3.2 Propriétés de dimension

Théorème 3.7** (Dimension des espaces).**

Voir Coquand et Lombardi, (2003); Lombardi, (2002), (Lombardi et Quitté, , 2021, chapitre XIII).* En mathématiques classiques les propriétés suivantes sont équivalentes.*

L’espace spectral $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est de dimension $\leqslant n$ (au sens des chaînes d’idéaux premiers) 2. 2.

Pour toute suite $(x_{0},\dots,x_{n})$ dans $\mathbf{T}$ il existe une suite complémentaire $(y_{0},\dots,y_{n})$ au sens suivant

[TABLE]

Par exemple, pour $n=2$ les inégalités dans le point 2 correspondent au dessin suivant dans $\mathbf{T}$.

[TABLE]

Théorème 3.8** (Dimension des morphismes).**

Voir Coquand et Lombardi, 2001- (2018), (Lombardi et Quitté, , 2021, section XIII-7).* Soit $\mathbf{T}\subseteq\mathbf{T}^{\prime}$ et $f$ le morphisme d’inclusion. En mathématiques classiques les propriétés suivantes sont équivalentes.*

Le morphisme $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(f):\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T}^{\prime})\to\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est de dimension $\leqslant n$. 2. 2.

Pour toute liste $(x_{0},\dots,x_{n})$ dans $\mathbf{T}^{\prime}$ il existe un entier $k\geqslant 0$ et des éléments $a_{1},\ldots,a_{k}\in\mathbf{T}$ tels que pour tout couple de parties complémentaires $(H,H^{\prime})$ de $\{1,\ldots,k\}$, il existe $y_{0},\dots,y_{n}\in\mathbf{T}^{\prime}$ tels que

[TABLE]

Par exemple pour la dimension relative $\leqslant 2$ cela correspond au dessin suivant dans $B$ avec $u=\bigwedge_{j\in H^{\prime}}a_{j}$ et $i=\bigvee_{j\in H}a_{j}$.

[TABLE]

Notons que la dimension du morphisme $\mathbf{T}\to\mathbf{T}^{\prime}$ est inférieure à la dimension de $\mathbf{T}^{\prime}$: prendre la liste vide ($k=0$) dans le point 2 du théorème 3.8.

Pour ce qui concerne les anneaux commutatifs, la dimension de Krull d’un anneau $\mathbf{A}$ et la dimension de Krull relative d’un morphisme $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ sont par définition celles ${\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\mathbf{A}}$ et de $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\varphi$. Elles sont notées $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}$ et $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\varphi$.

On démontre en mathématiques classiques (voir Coquand et Lombardi, 2001- (2018)) que les définitions classiques usuelles de $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}$ et $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\varphi$ coïncident avec celles données ci-dessus.

En outre l’article Coquand et Lombardi, 2001- (2018) démontre que les dimensions introduites dans l’ouvrage Lombardi et Quitté, (2021) coïncident avec celles définies ci-dessus. En particulier on a le résultat suivant.

Proposition 3.9**.**

Soit $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ un morphisme d’anneaux commutatifs. Notons $\mathbf{A}^{\bullet}$ l’anneau zéro-dimensionnel réduit engendré par $\mathbf{A}$. Alors, $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\varphi=\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{A}^{\bullet}\otimes_{\mathbf{A}}\mathbf{B})$.

3.3 Propriétés des espaces

Théorème 3.10**.**

(Johnstone, , 1986, Chapter II, 4.2, 4.4, 4.9) Les propriétés suivantes sont équivalentes.

L’espace spectral $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est séparé. 2. 2.

L’espace topologique $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est un compact totalement discontinu. 3. 3.

Le treillis distributif $\mathbf{T}$ est une algèbre de Boole.

Un treillis distributif $\mathbf{T}$ est dit normal lorsque chaque fois que $a\vee b=1$ dans $\mathbf{T}$ il existe $x,y$ tels que $a\vee x=b\vee y=1$ et $x\wedge y=0$. Voir Wehrung, (2019); Dickmann et al., (2019). Notons qu’en remplaçant $x$ et $y$ par $x_{1}=x\vee(a\wedge b)$ et $y_{1}=y\vee(a\wedge b)$ on obtient $a\vee x_{1}=b\vee y_{1}=1$ et $x_{1}\wedge y_{1}=a\wedge b$.

Théorème 3.11**.**

Les propriétés suivantes sont équivalentes.

L’espace spectral $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est normal. 2. 2.

*Le treillis distributif $\mathbf{T}$ est normal. *

Théorème 3.12**.**

Les propriétés suivantes sont équivalentes.

L’espace spectral $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ est complètement normal. 2. 2.

Tout intervalle $[a,b]$ de $\mathbf{T}$, vu comme treillis distributif, est normal. 3. 3.

Pour tous $a,b\in\mathbf{T}$ il existe $x,y$ tels que $a\vee b=a\vee y=x\vee b$ et $x\wedge y=0$.

Théorème 3.13**.**

Les propriétés suivantes sont équivalentes.

Dans $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits(\mathbf{T})$ tout ouvert quasi-compact est une réunion finie d’ouverts quasi-compacts irréductibles. 2. 2.

Pour tous $a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{m}$ on a $a_{1},\dots,a_{n}\vdash_{\mathbf{T}}b_{1},\dots,b_{m}$ si, et seulement si, on a un $j$ tel que $a_{1},\dots,a_{n}\vdash_{\mathbf{T}}b_{j}$. 3. 3.

*Le treillis distributif $\mathbf{T}$ est construit à partir d’une structure algébrique dynamique pour une théorie algébrique. *

4 Quelques exemples

Les théorèmes classiques donnés dans cette section ont maintenant un contenu constructif clair. C’était impossible avant les définitions constructives des concepts utilisés. Certaines versions que nous donnons sont nouvelles ou plus fortes que les résultats connus auparavant en mathématiques classiques.

4.1 Dimension relative, lying over, going up, going down

Voir Coquand et Lombardi, 2001- (2018) et (Lombardi et Quitté, , 2021, sections XIII-7 et XIII-9).

Théorème 4.1**.**

Soit $\rho:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ un morphisme d’anneaux commutatifs ou de treillis distributifs. Supposons que $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{A}\leqslant m$ et $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\rho\leqslant n$, alors $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{B}\leqslant(m+1)(n+1)-1$.

Théorème 4.2**.**

Si un morphisme $\alpha:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ de treillis distributifs ou d’anneaux commutatifs est lying over et going up (ou bien lying over et going down) on a $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{A})\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{B})$.

Lemme 4.3**.**

On considère une algèbre $\rho:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$. Supposons que $\mathbf{B}$ est engendrée par des éléments primitivement algébriques 121212Un élément de $\mathbf{B}$ est dit primitivement algébrique sur $\mathbf{A}$ s’il annule un polynôme de $\mathbf{A}[X]$ dont les coefficients sont comaximaux. sur $\mathbf{A}$, alors $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\rho\leqslant 0$ et donc $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{B}\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}$.

Lemme 4.4**.**

Soit $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ un morphisme d’anneaux commutatifs. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

Le morphisme $\varphi$ est lying over. 2. 2.

Pour tout idéal $\mathfrak{a}$ de $\mathbf{A}$ et tout $x\in\mathbf{A}$, on a: $\,\varphi(x)\in\varphi(\mathfrak{a})\mathbf{B}\,\Rightarrow\,x\in\sqrt[\mathbf{A}]{\mathfrak{a}}.$

Lemme 4.5**.**

Soit $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ un morphisme d’anneaux commutatifs. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

Le morphisme $\varphi$ est going up (i.e. le morphisme $\mathop{\mathsf{Zar}}\nolimits\,\varphi$ est going up). 2. 2.

Pour tout idéal $\mathfrak{b}$ de $\mathbf{B}$, en notant $\mathfrak{a}=\varphi^{-1}(\mathfrak{b})$, le morphisme $\varphi_{\mathfrak{b}}:\mathbf{A}/\mathfrak{a}\to\mathbf{B}/\mathfrak{b}$ obtenu par factorisation est lying over. 3. 3.

Même chose en se limitant aux idéaux $\mathfrak{b}$ de type fini.

En mathématiques classiques, on peut se limiter aux idéaux premiers dans le point 2.

Lemme 4.6**.**

Soit $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}$ une $\mathbf{A}$-algèbre fidèlement plate sur $\mathbf{A}$. Le morphisme $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ est lying over et going up. En conséquence $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{A}\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{B}$.

Lemme 4.7** (Un going up classique).**

Soit $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}$ des anneaux commutatifs avec $\mathbf{B}$ entier sur $\mathbf{A}$. Alors le morphisme $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ est lying over et going up. En conséquence $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{A}\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\,\mathbf{B}$.

Lemme 4.8**.**

Soit $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ un morphisme d’anneaux commutatifs. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

Le morphisme $\varphi$ est going down. 2. 2.

Pour tous $b$, $a_{1}$, …, $a_{q}\in\mathbf{A}$ et $y\in\mathbf{B}$ tels que $\varphi(b)y\in\sqrt[\mathbf{B}]{\left\langle{\varphi(a_{1},\dots,a_{q})}\right\rangle}$, il existe $x_{1}$, …, $x_{p}\in\mathbf{A}$ tels que:

[TABLE] 3. 3.

(en mathématiques classiques) Pour tout idéal premier $\mathfrak{p}$ de $\mathbf{B}$, avec $\mathfrak{q}=\varphi^{-1}(\mathfrak{p})$, le morphisme $\mathbf{A}_{\mathfrak{q}}\to\mathbf{B}_{\mathfrak{p}}$ obtenu par passage au quotient est lying over.

Théorème 4.9** (Going Down).**

Soit $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{B}$ des anneaux. Le morphisme $\mathbf{A}\to\mathbf{B}$ est going down dans les deux cas suivants.

$\mathbf{B}$* est plat sur $\mathbf{A}$.* 2. 2.

$\mathbf{B}$* est intègre et entier sur $\mathbf{A}$, et $\mathbf{A}$ est intégralement clos.*

4.2 Théorèmes Kronecker, Forster-Swan, Serre et Bass

Références: Coquand et al., (2004); Coquand et al., 2006- (2022) et (Lombardi et Quitté, , 2021, chapitre XIV).

Théorème 4.10** **(Théorème de Kronecker-Heitmann,

avec la dimension de Krull, non noethérien).

Soit $n\geqslant 0$. Si $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits\mathbf{A}<n$ et $b_{1}$, …, $b_{n}\in\mathbf{A}$, il existe $x_{1}$, …, $x_{n}$ tels que pour tout $a\in\mathbf{A}$, $\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(a,b_{1},\dots,b_{n})=\mathrm{D}_{\mathbf{A}}(b_{1}+ax_{1},\dots,b_{n}+ax_{n})$. 2. 2.

En conséquence, dans un anneau de dimension de Krull $\leqslant n$, tout idéal de type fini a même nilradical qu’un idéal engendré par au plus $n+1$ éléments.

Pour un anneau commutatif $\mathbf{A}$ on définit $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}$ (la J-dimension de $\mathbf{A}$) comme égale à $\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathop{\mathsf{Heit}}\nolimits\mathbf{A})$. On démontre en mathématiques classiques que c’est la dimension du J-spectrum de Heitmann $\mathop{\mathsf{Jspec}}\nolimits(\mathbf{A})$.

Dans les références citées ci-dessus, une autre notion de dimension est introduite, la dimension de Heitmann, notée $\mathop{\mathsf{Hdim}}\nolimits(\mathbf{A})$. On a toujours $\mathop{\mathsf{Hdim}}\nolimits(\mathbf{A})\leqslant\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits(\mathbf{A})\leqslant\mathop{\mathsf{Kdim}}\nolimits(\mathbf{A})$. Nous donnons dans la suite les énoncés avec la J-dimension, mais il sont également vrais avec la dimension de Heitmann.

Définition 4.11**.**

Soit $n\geqslant 0$. On dit qu’un anneau $\mathbf{A}$ est de stable range (de Bass) $\leqslant n$ lorsque l’on peut $\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$raccourcir$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$ les vecteurs unimodulaires de longueur $n+1$ au sens suivant:

[TABLE]

Théorème 4.12** **(Théorème de Bass-Heitmann, sans

noethérianité).

Soit $n\geqslant 0$. Si $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}<n$, alors $\mathbf{A}$ est de stable range $\leqslant n$. En particulier tout $\mathbf{A}$-module stablement libre de rang $\geqslant n$ est libre.

Théorème 4.13** (Théorème Splitting Off de Serre, pour la $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$).**

*Soit $k\geqslant 1$ et soit $M$ un $\mathbf{A}$-module projectif de rang $\geqslant k$, ou plus généralement isomorphe à l’image d’une matrice de rang $\geqslant k$.

Supposons que $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}<k$. Alors $M\simeq N\oplus\mathbf{A}$ pour un certain module $N$ isomorphe à l’image d’une matrice de rang $\geqslant k-1$.*

Corolaire 4.14**.**

Soit un anneau $\mathbf{A}$ tel que $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}\leqslant h$ et soit $M$ un $\mathbf{A}$-module isomorphe à l’image d’une matrice de rang $\geqslant h+s$. Alors $M$ contient en facteur direct un sous-module libre de rang $s$. Précisément, si $M$ est l’image d’une matrice $F\in\mathbf{A}^{n\times m}$ de rang $\geqslant h+s$, on a $M=N\oplus L$ où $L$ est libre de rang $s$ en facteur direct dans $\mathbf{A}^{n}$, et $N$ est l’image d’une matrice de rang $\geqslant h$.

Dans le théorème suivant, intervient la notion d’un module de type fini localement engendré par $r$ éléments. En mathématiques classiques cela signifie qu’après localisation en n’importe quel idéal maximal, $M$ est engendré par $k$ éléments. Une définition constructive équivalente consiste à dire que le $k$-ème idéal de Fitting de $M$ est égal à $\left\langle{1}\right\rangle$.

Théorème 4.15** (Théorème de Forster-Swan pour la $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$).**

Soit $k\geqslant 0$ et $r\geqslant 1$. Si $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}\leqslant k$, et si un $\mathbf{A}$-module $M=\left\langle{y_{1},\dots,y_{k+r+s}}\right\rangle$ est localement engendré par $r$ éléments, alors il est engendré par $k+r$ éléments, plus précisément on peut calculer

[TABLE]

tels que $M$ soit engendré par $(y_{1}+z_{1},\ldots,y_{k+r}+z_{k+r})$.

Étant donnés deux modules $M$ et $L$ on dira que $M$ est simplifiable pour $L$ si $M\oplus L\simeq N\oplus L$ implique $M\simeq N$.

Théorème 4.16** (Théorème de simplification de Bass, pour la $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits$).**

Soit $M$ un $\mathbf{A}$-module projectif de type fini de rang $\geqslant k$. Si $\mathop{\mathsf{Jdim}}\nolimits\mathbf{A}<k$, alors $M$ est simplifiable pour tout $\mathbf{A}$-module projectif de type fini : si $Q$ est projectif de type fini et $M\oplus Q\simeq N\oplus Q$, alors $M\simeq N$.

Les théorèmes 4.13, 4.15 et 4.16 étaient conjecturés dans Heitmann, (1984).

4.3 Autres résultats utilisant la dimension de Krull

Dans l’ouvrage Lombardi et Quitté, (2021) le théorème XII-6.2 donne une caractérisation importante. Un anneau cohérent intégralement clos $\mathbf{A}$ de dimension de Krull $\leqslant 1$ est un domaine de Prüfer. Cela explique constructivement la définition aujourd’hui classique des domaines de Dedekind comme anneaux noethériens intégralement clos de dimension de Krull $1$, et le fait que, avec cette définition, en mathématiques classiques, on est capable de démontrer que les idéaux de type fini sont inversibles. Il fallait pour cela remplacer dans l’hypothèse la noethérianité par la cohérence. Et il n’y a pas de démonstration constructive du fait que la noethérianité implique la cohérence.

On trouve dans (Lombardi et Quitté, , 2021, chapitre XVI) une démonstration constructive du théorème de Lequain-Simis, utilisant la dimension de Krull.

On trouve dans (Yengui, , 2015, section 2.6) le résultat suivant (qui n’était pas connu auparavant) avec une démonstration constructive. Si $\mathbf{A}$ est un anneau de dimension de Krull $\leqslant d$, les modules stablement libres de rang $>d$ sur $\mathbf{A}[X]$ sont libres.

4.4 Application ouverte

Un théorème d’algèbre commutative dû à Grothendieck affirme que si un homomorphisme d’anneaux $\varphi:\mathbf{A}\to\mathbf{A}[X_{1},\ldots,X_{n}]\!\left/\left\langle{f_{1},\ldots,f_{s}}\right\rangle\right.\!$ est plat, le morphisme dual $\mathop{\mathsf{Spec}}\nolimits\varphi$ est une application ouverte.

Cela serait intéressant d’en donner une démonstration constructive ainsi qu’une application concrète, à trouver dans la littérature. On pourrait commencer par examiner le cas $\mathbf{A}[X_{1},\ldots,X_{n}]\!\left/\left\langle{f}\right\rangle\right.\!$: on sait que $\varphi$ est plat si, et seulement si, l’idéal engendré par les coefficients de $f$ est engendré par un idempotent.

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