H\"ormander spaces on manifolds, and their application to elliptic boundary-value problems

TL;DR

This paper develops an extended Sobolev scale of H"ormander spaces on manifolds with boundary, which are used to analyze elliptic boundary-value problems and establish their Fredholm properties and regularity of solutions.

Contribution

It introduces a new scale of H"ormander spaces on manifolds that are interpolation spaces independent of local charts, and applies this to elliptic boundary-value problems.

Findings

Established Fredholm property for elliptic boundary-value problems in the new scale.

Derived conditions for solutions to belong to spaces of continuously differentiable functions.

Extended the functional framework for elliptic problems on manifolds.

Abstract

We introduce an extended Sobolev scale on a smooth compact manifold with boundary. The scale is formed by inner-product H\"ormander spaces for which an RO-varying radial function serves as a regularity index. These spaces do not depend on a choice of local charts on the manifold. The scale consists of all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of inner-product Sobolev spaces, is obtained by the interpolation with a function parameter of these pairs, and is closed with respect to this interpolation. As an application of the scale introduced, we give a theorem on the Fredholm property of a general elliptic boundary-value problem on appropriate H\"ormander spaces and find sufficient conditions under which its generalized solutions belong to the space of $p\geq0$ times continuously differential functions.

Equations

$$c_0{\lambda }^{s_0}\le \frac{\phi (\lambda t)}{\phi (t)}\le c_1{\lambda }^{s_1}\text{mbox}длявс\text{T}2A\text{cyrii}хt\ge 1,\lambda \ge 1.$$

$$\Vert w{\Vert }_{\phi ,{\mathbb{R}}^n}^2:={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\phi }^2(⟨\xi ⟩)|\hat{w}(\xi ){|}^{2}d\xi <\infty .$$

$$\|u\|_{\varphi,\Omega}:=\inf\bigl{\{}\|w\|_{\varphi,\mathbb{R}^{n}}:w\in H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n}),\;\,u=w\;\,\mbox{в}\;\,\Omega\bigr{\}},$$

$$\|u\|_{\varphi,M^{\circ}}=\biggl{(}\,\sum_{j=1}^{\varkappa}\|(\chi_{j}u)\circ\pi_{j}\|^{2}_{\varphi,\mathbb{R}^{n}_{+}}+\sum_{j=\varkappa+1}^{\varkappa+\varkappa_{0}}\|(\chi_{j}u)\circ\pi_{j}\|^{2}_{\varphi,\mathbb{R}^{n}}\biggr{)}^{1/2}.$$

$$\|h\|_{\eta,\partial M}=\biggl{(}\,\sum_{j=1}^{\varkappa}\|(\chi_{j}h)(\pi_{j}(\cdot,0))\|^{2}_{\eta,\mathbb{R}^{n-1}}\biggr{)}^{1/2}.$$

$$\inf\bigl{\{}\|u\|_{\eta\rho^{1/2},M^{\circ}}:u\in H^{\eta\rho^{1/2}}(M^{\circ}),\;Ru=h\bigr{\}},$$

$$H^{\varphi}(M^{\circ})=\bigl{[}H^{(s_{0})}(M^{\circ}),H^{(s_{1})}(M^{\circ})\bigr{]}_{\psi}\quad\mbox{з екв\T2A\cyrii валентн\T2A\cyrii стю норм.}$$

$$\bigl{[}H^{\varphi_{0}}(M^{\circ}),H^{\varphi_{1}}(M^{\circ})\bigr{]}_{\psi}=H^{\varphi}(M^{\circ})\quad\mbox{з екв\T2A\cyrii валентн\T2A\cyrii стю норм},$$

$$Au=f\text{mbox}наM^{\circ },B_{j}u=g_j\text{mbox}на\partial M,j=1,...,q$$

$$H^{\phi }(M^{\circ })\text{mbox}\text{T}2A\text{cyrii}{H}^{\phi {\varrho }^{-2q}}(M^{\circ })\oplus \underset{j=1}{\overset{q}{⨁}}{H}^{\phi {\varrho }^{-m_j-1/2}}(\partial M).$$

$$(f,g_1,\dots ,g_q)\in H_{\mathrm{loc}}^{\phi {\varrho }^{-2q}}(U)\times \prod _{j=1}^q{H}_{\mathrm{loc}}^{\phi {\varrho }^{-m_j-1/2}}(V)$$

$${\int }_1^{\infty }{t}^{2p+n-1}{\phi }^{-2}(t)dt<\infty .$$

Full text

**HÖRMANDER SPACES ON MANIFOLDS,

AND THEIR APPLICATION TO ELLIPTIC BOUNDARY-VALUE PROBLEMS**

T.M. Kasirenko, A.A. Murach, I.S. Chepurukhina

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv

E-mail: kasirenko@imath.kiev.ua, murach@imath.kiev.ua, Chepurukhina@gmail.com

**ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА НА МНОГОВИДАХ ТА

ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО ЕЛIПТИЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ111Публiкацiя мiстить результати дослiджень, проведених за грантом Президента України за конкурсним проектом Ф75/29007 Державного фонду фундаментальних дослiджень.**

Т.М. Касiренко, О.О. Мурач, I.С. Чепурухiна

We introduce an extended Sobolev scale on a smooth compact manifold with boundary. The scale is formed by inner-product Hörmander spaces for which an RO-varying radial function serves as a regularity index. These spaces do not depend on a choice of local charts on the manifold. The scale consists of all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of inner-product Sobolev spaces, is obtained by the interpolation with a function parameter of these pairs, and is closed with respect to this interpolation. As an application of the scale introduced, we give a theorem on the Fredholm property of a general elliptic boundary-value problem on appropriate Hörmander spaces and find sufficient conditions under which its generalized solutions belong to the space of $p\geq 0$ times continuously differential functions.

Keywords: Hörmander space, extended Sobolev scale, interpolation between spaces, interpolation space, elliptic boundary-value problem.

Вступ. У сучасному математичному аналiзi важливу роль вiдiграють простори розподiлiв, для яких показником регулярностi служить не число (як у класичних просторах Соболєва), а досить загальний функцiональний параметр, залежний вiд частотних змiнних (див., наприклад, [1 – 5]). Бiльше нiж пiвстолiття тому Л. Хермандер [1] увiв i дослiдив широкi класи таких просторiв та навiв їх застосування до диференцiальних рiвнянь, заданих у евклiдових областях. Втiм, довгий час простори Хермандера не знаходили широкого застосування у теорiї багатовимiрних крайових задач, що було пов’язано з браком зручних аналiтичних методiв для роботи з цими просторами i вiдсутнiстю коректного їх означення на многовидах. В останнiй час ситуацiя iстотно змiнилася завдяки роботам В.А. Михайлеця, О.О. Мурача та їх учнiв (див. монографiю [5] i наведену там лiтературу). Ними видiлено класи гiльбертових просторiв Хермандера, якi отримуються iнтерполяцiєю з функцiональним параметром пар соболєвських просторiв i допускають коректне означення на многовидах (незалежне вiд вибору локальних карт). Для таких класiв вдалося побудувати теорiю розв’язностi загальних елiптичних крайових задач.

Серед цих класiв найширшим є сiм’я усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв Соболєва. Її уведено i дослiджено в [6 – 8] для евклiдових областей i замкнених гладких многовидiв та названо розширеною соболєвською шкалою. Вона замкнена вiдносно iнтерполяцiї гiльбертових просторiв з функцiональним параметром.

Мета цiєї роботи — увести розширену соболєвську шкалу на довiльному гладкому компактному многовидi з краєм i дослiдити її властивостi, зокрема, iнтерполяцiйнi. Окрiм того, ми наведемо деякi застосування цiєї шкали до загальних елiптичних крайових задач.

1. Простори Хермандера на многовидах. Нехай $M$ — компактний орiєнтовний нескiнченно гладкий многовид вимiрностi $n\geq 1$ з краєм $\partial M\neq\varnothing$. Уведемо клас гiльбертових функцiональних просторiв на $M^{\circ}:=M\setminus\partial M$, узявши за основу простори Хермандера $B_{p,\mu}(\mathbb{R}^{n})$ [1, п. 2.2; 2, п. 10.1], де число $p=2$, а функцiя $\mu$ частотного аргументу $\xi\in\mathbb{R}^{n}$ набирає вигляду $\mu(\xi)=\varphi(\langle\xi\rangle)$; тут $\langle\xi\rangle:=(1+|\xi|^{2})^{1/2}$, а $\varphi\in\mathrm{RO}$.

За означенням, множина $\mathrm{RO}$ складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй $\varphi:\nobreak[1,\infty)\rightarrow(0,\infty)$, для яких iснують числа $b>1$ i $c\geq 1$ такi, що $c^{-1}\leq\varphi(\lambda t)/\varphi(t)\leq c$ для будь-яких $t\geq 1$ i $\lambda\in[1,b]$ (числа $b$ i $c$ залежать вiд $\varphi$). Клас $\mathrm{RO}$ введений В.Г. Авакумовичем [9], допускає простий опис i досить повно вивчений (див., наприклад, [10, приложение]). Функцiю $\varphi\in\mathrm{RO}$ називають RO-змiнною на нескiнченностi.

Як вiдомо [10, с. 88], для кожної функцiї $\varphi\in\mathrm{RO}$ iснують дiйснi числа $s_{0}\leq s_{1}$ та додатнi числа $c_{0}$ i $c_{1}$ такi, що

[TABLE]

Поклавши тут $t:=1$, бачимо, що ця функцiя є мiжстепеневою. Її зв’язок зi степеневими функцiями характеризують числа $\sigma_{0}(\varphi)$ i $\sigma_{1}(\varphi)$, перше з яких є супремумом усiх дiйсних $s_{0}$ таких, що виконується лiва частина нерiвностi (1), а друге є iнфiмумом усiх дiйсних $s_{1}$ таких, що виконується права частина нерiвностi (1). Числа $\sigma_{0}(\varphi)$ i $\sigma_{1}(\varphi)$ називаються вiдповiдно нижнiм i верхнiм iндексами Матушевської [11] функцiї $\varphi\in\mathrm{RO}$. Зокрема, якщо вона правильно змiнна на нескiнченностi [10, с. 9], то цi iндекси дорiвнюють її порядку.

Нехай $\varphi\in\mathrm{RO}$. Нагадаємо означення вказаного простору Хермандера $B_{2,\varphi(\langle\cdot\rangle)}(\mathbb{R}^{n})$, який будемо позначати через $H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})$. Ми розглядаємо комплекснозначнi функцiї i розподiли та комплекснi функцiональнi простори. За означенням, лiнiйний простiр $H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})$ складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв $w$ на $\mathbb{R}^{n}$ таких, що їх перетворення Фур’є $\widehat{w}$ є локально iнтегровним за Лебегом на $\mathbb{R}^{n}$ i задовольняє умову

[TABLE]

Простiр $H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})$ гiльбертiв i сепарабельний вiдносно норми $\|\cdot\|_{\varphi,\mathbb{R}^{n}}$.

У випадку степеневої функцiї $\varphi(t)\equiv t^{s}$ вiн стає гiльбертовим простором Соболєва $H^{(s)}(\mathbb{R}^{n})$ порядку $s\in\mathbb{R}$. Узагалi виконуються щiльнi неперервнi вкладення $H^{(s_{1})}(\mathbb{R}^{n})\hookrightarrow H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})\hookrightarrow H^{(s_{0})}(\mathbb{R}^{n})$ для довiльних дiйсних чисел $s_{0}$ i $s_{1}$, якi задовольняють умову (1), зокрема, для довiльних $s_{0}<\sigma_{0}(\varphi)$ i $s_{1}>\sigma_{1}(\varphi)$. Клас просторiв $\{H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n}):\varphi\in\mathrm{RO}\}$ дослiджено в [7; 5, п. 2.4.2] i названо розширеною соболєвською шкалою.

Для вiдкритої непорожньої множини $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ простiр $H^{\varphi}(\Omega)$ складається, за означенням, iз звужень на $\Omega$ усiх розподiлiв $w\in H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})$. Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно норми

[TABLE]

де $u\in H^{\varphi}(\Omega)$. Вiн є iзотропним випадком просторiв, дослiджених Л.Р. Волєвичем i Б.П. Панеяхом [12, § 3]. Нас окремо буде цiкавити випадок, коли $\Omega$ є пiвпростором $\mathbb{R}^{n}_{+}:=\{(x^{\prime},x_{n}):x^{\prime}\in\mathbb{R}^{n-1},\;x_{n}>0\}$.

Означимо тепер гiльбертiв простiр $H^{\varphi}(M^{\circ})$ за допомогою локальних карт i розбиття одиницi на $M$ та норм у просторах $H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})$ i $H^{\varphi}(\mathbb{R}^{n}_{+})$. Iз $C^{\infty}$-структури на компактному многовидi $M$ виберемо який-небудь його скiнченний атлас. Не обмежуючи загальностi, вважаємо, що останнiй складається з $\varkappa$ локальних карт $\pi_{j}:\overline{\mathbb{R}^{n}_{+}}\leftrightarrow M_{j}$, де $j=1,\ldots,\varkappa$, i $\varkappa_{0}$ локальних карт $\pi_{j}:\mathbb{R}^{n}\leftrightarrow M_{j}$, де $j=\varkappa+1,\ldots,\varkappa+\varkappa_{0}$. Тут вiдкритi (у топологiї на $M$) множини $M_{j}$, де $j=1,\ldots,\varkappa+\varkappa_{0}$, утворюють покриття многовиду $M$ таке, що $\nobreak{M_{j}\cap\partial M\neq\varnothing}$ тодi i лише тодi, коли $j\leq\varkappa$. Звiсно, $\overline{\mathbb{R}^{n}_{+}}:=\{(x^{\prime},x_{n}):x^{\prime}\in\mathbb{R}^{n-1},\;x_{n}\geq\nobreak 0\}$. Окрiм того, виберемо розбиття одиницi на $M$, утворене деякими функцiями $\chi_{j}\in C^{\infty}(M)$, де $j=1,\ldots,\varkappa+\varkappa_{0}$, якi задовольняють умову $\mathrm{supp}\,\chi_{j}\subset M_{j}$.

Нехай, як i ранiше, $\varphi\in\mathrm{RO}$. За означенням, простiр $H^{\varphi}(M^{\circ})$, є поповненням лiнiйного многовиду $C^{\infty}(M)$ за нормою

[TABLE]

Тут, звiсно, $(\chi_{j}u)\circ\pi_{j}$ позначає функцiю $(\chi_{j}u)(\pi_{j}(x))$ аргументу $x\in\overline{\mathbb{R}^{n}_{+}}$ або $x\in\mathbb{R}^{n}$. Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно вказаної норми.

Теорема 1. Гiльбертiв простiр $H^{\varphi}(M^{\circ})$, де $\varphi\in\mathrm{RO}$, не залежить з точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору атласу многовиду $M$ i вiдповiдного розбиття одиницi на $M$.

Клас просторiв $\{H^{\varphi}(M^{\circ}):\varphi\in\mathrm{RO}\}$ називаємо розширеною соболєвською шкалою на $M^{\circ}$. Якщо $\varphi(t)\equiv t^{s}$ для деякого $s\in\mathbb{R}$, то $H^{\varphi}(M^{\circ})$ стає гiльбертовим простором Соболєва порядку $s$, який позначаємо через $H^{(s)}(M^{\circ})$. У випадку, коли функцiя $\varphi$ правильно змiнна на нескiнченностi за Й. Караматою, простiр $H^{\varphi}(M^{\circ})$, уведено i дослiджено в [13, п. 3]. Якщо $M^{\circ}$ — евклiдова область $\Omega$ (обмежена з межею класу $C^{\infty}$), то $H^{\varphi}(M^{\circ})=H^{\varphi}(\Omega)$ з точнiстю до еквiвалентностi норм. У цьому випадку розширена соболєвська шкала дослiджена в [8] (навiть для областей з лiпшiцевою межею).

Кожний простiр $H^{\varphi}(M^{\circ})$ неперервно вкладається у лiнiйний топологiчний простiр усiх продовжуваних розподiлiв на $M^{\circ}$. Тому цi простори можна порiвнювати.

Теорема 2. Нехай $\varphi_{0},\varphi_{1}\in\mathrm{RO}$. Вкладення $H^{\varphi_{1}}(M^{\circ})\subset H^{\varphi_{0}}(M^{\circ})$ виконується тодi i тiльки тодi, коли функцiя $\varphi_{0}/\varphi_{1}$ обмежена в околi нескiнченностi. У цьому випадку вкладення неперервне. Воно компактне тодi i тiльки тодi, коли $\varphi_{0}(t)/\varphi_{1}(t)\to 0$ при $t\to\infty$.

З теореми 2 випливає, що для довiльних дiйсних чисел $s_{0}$ i $s_{1}$, якi задовольняють (1), виконуються неперервнi вкладення $H^{(s_{1})}(M^{\circ})\hookrightarrow H^{\varphi}(M^{\circ})\hookrightarrow H^{(s_{0})}(M^{\circ})$. Цi вкладення компактнi, якщо $s_{0}<\sigma_{0}(\varphi)$ i $s_{1}>\sigma_{1}(\varphi)$.

Обговоримо зв’язок простору $H^{\varphi}(M^{\circ})$ з його аналогом на $\partial M$; тут $n\geq 2$. Зауважимо, що $\partial M$ — замкнений нескiнченно гладкий многовид вимiрностi $n-1$. Простiр $H^{\eta}(\partial M)$, де $\eta\in\mathrm{RO}$, уведено i дослiджено в [6] (див. також [5, п. 2.4.2]). Вiн є поповненням лiнiйного многовиду $C^{\infty}(\partial M)$ за нормою

[TABLE]

Простiр $H^{\eta}(\partial M)$ гiльбертiв та сепарабельний вiдносно цiєї норми i з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд вибору локальних карт $\pi_{j}(\cdot,0):\mathbb{R}^{n-1}\leftrightarrow M_{j}\cap\partial M$, якi покривають многовид $\partial M$, та вiдповiдного розбиття одиницi на $\partial M$ [6, с. 32].

Теорема 3. Нехай $\varphi\in\mathrm{RO}$ i $\sigma_{0}(\varphi)>1/2$. Тодi вiдображення $R:u\mapsto u\!\upharpoonright\!\partial M$, де $u\in\nobreak C^{\infty}(M)$, продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого лiнiйного оператора слiду $R:H^{\varphi}(M^{\circ})\to H^{\varphi\rho^{-1/2}}(\partial M)$. Цей оператор сюр’єктивний i має обмежений лiнiйний правий обернений оператор $S:H^{\varphi\rho^{-1/2}}(\partial M)\to H^{\varphi}(M^{\circ})$ такий, що вiдображення $S$ не залежить вiд $\varphi$.

Тут i далi використано функцiональний параметр $\varrho(t):=t$ аргументу $t\geq 1$. Отже, $\varphi\rho^{-1/2}$ позначає функцiю $\varphi(t)t^{-1/2}$ аргументу $t$.

З теореми 3 випливає, що простiр $H^{\eta}(\partial M)$, де $\eta\in\mathrm{RO}$ i $\sigma_{0}(\eta)>0$, складається зi слiдiв на $\partial M$ усiх розподiлiв $u\in H^{\eta\rho^{1/2}}(M^{\circ})$, а норма у цьому просторi еквiвалентна нормi

[TABLE]

де $h\in H^{\eta}(\partial M)$.

2. Iнтерполяцiйнi властивостi просторiв Хермандера. Розширена соболєвська шкала на $M^{\circ}$ складається (з точнiстю до еквiвалентностi норм) з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар соболєвських просторiв $H^{(s_{0})}(M^{\circ})$ i $H^{(s_{1})}(M^{\circ})$, де $s_{0}<s_{1}$. Нагадаємо, що гiльбертiв простiр $X$ називають iнтерполяцiйним для пари $[H_{0},H_{1}]$ гiльбертових просторiв, другий з яких неперервно вкладений у перший, якщо задовольняються такi двi властивостi: а) виконуються неперервнi вкладення $H_{1}\hookrightarrow X\hookrightarrow H_{0}$, б) як тiльки який-небудь лiнiйний оператор $T$ є обмеженим на $H_{0}$ i на $H_{1}$, то вiн є також обмеженим на $X$. Зазначена iнтерполяцiйна властивiсть цiєї шкали випливає з такого результату:

Теорема 4. Нехай $s_{0},s_{1}\in\mathbb{R}$ i $s_{0}<s_{1}$. Гiльбертiв простiр $X$ є iнтерполяцiйним для пари соболєвських просторiв $H^{(s_{0})}(M^{\circ})$ i $H^{(s_{1})}(M^{\circ})$ тодi i тiльки тодi, коли $X=\nobreak H^{\varphi}(M^{\circ})$ з точнiстю до еквiвалентностi норм для деякого параметра $\varphi\in\mathrm{RO}$, який задовольняє умову (1).

Зауважимо, що умову (1) можна переформулювати за допомогою iндексiв Матушевської. А саме, вона еквiвалентна такiй парi умов: i) $s_{0}\leq\sigma_{0}(\varphi)$, та, окрiм того, $s_{0}<\sigma_{0}(\varphi)$, якщо в означеннi $\sigma_{0}(\varphi)$ супремум не досягається, ii) $\sigma_{1}(\varphi)\leq s_{1}$ та, окрiм того, $\sigma_{1}(\varphi)<s_{1}$, якщо в означеннi $\sigma_{1}(\varphi)$ iнфiмум не досягається.

Для застосувань просторiв $H^{\varphi}(M^{\circ})$ важливо, що вони отримується iнтерполяцiєю з функцiональним параметром деяких пар гiльбертових соболєвських просторiв на $M^{\circ}$. У цьому зв’язку нагадаємо означення методу iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв, запропонованого Ч. Фояшом i Ж.-Л. Лiонсом [14]. При його викладi спираємося в основному на монографiю [5, п. 1.1].

Нам достатньо обмежитися випадком регулярної пари $H:=[H_{0},H_{1}]$ сепарабельних гiльбертових просторiв. Її регулярнiсть означає, що $H_{1}$ неперервно i щiльно вкладено в $H_{0}$. Для неї iснує самоспряжений додатно визначений оператор $J$ у гiльбертовому просторi $H_{0}$ з областю визначення $H_{1}$, який встановлює iзометричний iзоморфiзм мiж гiльбертовими просторами $H_{1}$ i $H_{0}$. Цей оператор визначається за парою $H$ однозначно.

Нехай вимiрна за Борелем функцiя $\psi:\nobreak(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ обмежена на кожному вiдрiзку $[a,b]$, де $0<a<b<\infty$, i вiдокремлена вiд нуля на кожнiй множинi $[r,\infty)$, де $r>0$. Множину усiх таких функцiй позначимо через $\mathcal{B}$. У гiльбертовому просторi $H_{0}$ за допомогою спектральної теореми означений (взагалi кажучи, необмежений) оператор $\psi(J)$ як борелева функцiя $\psi$ вiд самоспряженого оператора $J$. Позначимо через $[H_{0},H_{1}]_{\psi}$ або коротко через $H_{\psi}$ область визначення оператора $\psi(J)$, надiлену нормою $\|u\|_{H_{\psi}}:=\|\psi(J)u\|_{H_{0}}$, де $u\in H_{\psi}$. Простiр $H_{\psi}$ гiльбертiв i сепарабельний, до того ж виконується неперервне i щiльне вкладення $H_{\psi}\hookrightarrow H_{0}$.

Функцiю $\psi$ називають iнтерполяцiйним параметром, якщо для довiльних регулярних пар $H:=[H_{0},H_{1}]$ i $G:=[G_{0},G_{1}]$ гiльбертових просторiв та для довiльного лiнiйного вiдображення $T$, заданого на $H_{0}$, виконується така властивiсть: якщо при кожному $j\in\{0,1\}$ звуження вiдображення $T$ на простiр $H_{j}$ є обмеженим оператором $T:H_{j}\to G_{j}$, то i звуження вiдображення $T$ на простiр $H_{\psi}$ є обмеженим оператором $T:H_{\psi}\to G_{\psi}$. Тодi кажуть, що простiр $H_{\psi}$ отримано iнтерполяцiєю з функцiональним параметром $\psi$ пари $H$. Функцiя $\psi\in\mathcal{B}$ є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiльки тодi, коли iснує угнута функцiя $\psi_{0}:(r,\infty)\to(0,\infty)$ така, що обидвi функцiї $\psi/\psi_{0}$ i $\psi_{0}/\psi$ обмеженi на $(r,\infty)$, де $r\gg 1$.

Теорема 5. Нехай $\varphi\in\mathrm{RO}$, а дiйснi числа $s_{0}<s_{1}$ задовольняють умову (1). Означимо iнтерполяцiйний параметр $\psi\in\mathcal{B}$ за формулами $\psi(\tau):=\tau^{-s_{0}/(s_{1}-s_{0})}\,\varphi(\tau^{1/(s_{1}-s_{0})})$, якщо $\tau\geq 1$, i $\psi(\tau):=\varphi(1)$, якщо $0<\tau<1$. Тодi

[TABLE]

Зауважимо, що будь-якi числа $s_{0}<\sigma_{0}(\varphi)$ i $s_{1}>\sigma_{1}(\varphi)$ задовольняють умову (1) стосовно $\varphi\in\mathrm{RO}$.

Розширена соболєвська шкала на $M^{\circ}$ замкнена вiдносно розглянутого методу iнтерполяцiї з функцiональним параметром.

Теорема 6. Нехай $\varphi_{0},\varphi_{1}\in\mathrm{RO}$ i $\psi\in\mathcal{B}$. Припустимо, що функцiя $\varphi_{0}/\varphi_{1}$ обмежена в околi нескiнченностi, а функцiя $\psi$ є iнтерполяцiйним параметром. Тодi

[TABLE]

де функцiя $\varphi(t):=\varphi_{0}(t)\,\psi(\varphi_{1}(t)/\varphi_{0}(t))$ аргументу $t\geq 1$ належить до класу $\mathrm{RO}$.

У випадку, коли $M^{\circ}$ — евклiдова область, теореми 4 – 6 доведено в [8].

3. Застосування. Розглянемо на $M^{\circ}$ елiптичну крайову задачу

[TABLE]

(див., наприклад, [15, п. 1.2]). Тут $A$ — лiнiйний диференцiальний оператор на $M$ довiльного парного порядку $2q\geq 2$, а кожне $B_{j}$ — крайовий лiнiйний диференцiальний оператор на $\partial M$ довiльного порядку $m_{j}\geq 0$. Усi коефiцiєнти цих операторiв належать до класiв $C^{\infty}(M)$ i $C^{\infty}(\partial M)$ вiдповiдно. Покладемо $B:=(B_{1},\ldots,B_{q})$ i $m:=\mathrm{max}\{m_{1},\ldots,m_{q}\}$.

Теорема 7. Припустимо, що $\varphi\in\mathrm{RO}$ i $\sigma_{0}(\varphi)>m+1/2$. Тодi вiдображення $u\mapsto\nobreak(Au,B_{1}u,,\ldots,B_{q}u)$, де $u\in C^{\infty}(M)$, продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого лiнiйного оператора на парi гiльбертових просторiв

[TABLE]

Цей оператор нетерiв. Його ядро лежить в $C^{\infty}(M)$ i разом з iндексом не залежить вiд $\varphi$.

Ця теорема виводиться з соболєвського випадку (коли $\varphi(t)\equiv t^{s}$) за допомогою iнтерполяцiйної теореми 5 та її аналогу для просторiв Хермандера на $\partial M$.

Нехай $U$ — вiдкрита (у топологiї на $M$) пiдмножина многовиду $M$, а $V:=U\cap\partial M\neq\varnothing$. Позначимо через $H^{\varphi}_{\mathrm{loc}}(U)$, де $\varphi\in\mathrm{RO}$, лiнiйний простiр усiх продовжуваних розподiлiв $u$ на $M^{\circ}$ таких, що $\chi u\in H^{\varphi}(M^{\circ})$ для довiльної функцiї $\chi\in C^{\infty}(M)$, яка задовольняє умову $\mathrm{supp}\,\chi\subset U$. Аналогiчно, позначимо через $H^{\eta}_{\mathrm{loc}}(V)$, де $\eta\in\mathrm{RO}$, лiнiйний простiр усiх розподiлiв $h$ на $\partial M$ таких, що $\chi h\in H^{\eta}(\partial M)$ для довiльної функцiї $\chi\in C^{\infty}(\partial M)$, яка задовольняє умову $\mathrm{supp}\,\chi\subset V$.

Теорема 8. Припустимо, що функцiя $u\in\bigcup_{s>m+1/2}H^{(s)}(M)$ є розв’язком елiптичної крайової задачi (2), правi частини якої задовольняють умову

[TABLE]

для деякого $\varphi\in\mathrm{RO}$. Тодi $u\in H^{\varphi}_{\mathrm{loc}}(U)$.

З цiєї теореми i версiї теореми вкладення Хермандера [1, с. 59] для простору $H^{\varphi}(M)$ випливає

Теорема 9. Нехай цiле число $p\geq 0$. Припустимо, що функцiя $u$ задовольняє умову теореми $8$ для деякого параметра $\varphi\in\mathrm{RO}$ такого, що $\sigma_{0}(\varphi)>m+1/2$ i

[TABLE]

Тодi $u\in C^{p}(U)$.

REFERENCES

Hörmander, L. (1963). Linear partial differential operators. Berlin: Springer. 2. 2.

Hörmander, L. (1983). The analysis of linear partial differential operators, vol. II, Differential operators with constant coefficients. Berlin: Springer. 3. 3.

Jacob, N. (2001, 2002, 2005). Pseudodifferential operators and Markov processes (in 3 volumes). London: Imperial College Press. 4. 4.

Nicola, F. & Rodino, L. (2010). Global Pseudodifferential Calculus on Euclidean spaces. Basel: Birkhäser. 5. 5.

Mikhailets, V.A. & Murach, A.A. (2014). Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin, Boston: De Gruyter. 6. 6.

Mikhailets, V.A. & Murach, A.A. (2009). Elliptic operators on a closed compact manifold. Dopov. Nac. akad. nauk. Ukr., No. 3, pp. 13-19 (in Russian). 7. 7.

Mikhailets, V.A. & Murach, A.A. (2013). Extended Sobolev scale and elliptic operators. Ukr. Math. J., 65, No. 3, pp. 435-447. 8. 8.

Mikhailets, V.A. & Murach, A.A. (2015). Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces. Results Math, 67, No. 1, pp. 135-152. 9. 9.

Avakumović, V.G. (1936). O jednom O-inverznom stavu. Rad Jugoslovenske Akad. Znatn. Umjetnosti, 254, pp. 167-186. 10. 10.

Seneta, E. (1976). Regularly varying functions. Berlin: Springer. 11. 11.

Matuszewska, W. (1964). On a generalization of regularly increasing functions. Studia Math., 24, pp. 271-279. 12. 12.

Volevich, L.R. & Paneah B.P. (1965). Certain spaces of generalized functions and embedding theorems. Russian Math. Surveys, 20, No. 1, pp. 1-73. 13. 13.

Mikhailets, V.A. & Murach, A.A. (2006). Refined scales of spaces, and elliptic boundary value problems. II. Ukr. Math. J., 58, No. 3, pp. 398-417. 14. 14.

Foiaş, C. & Lions, J.-L. (1961). Sur certains théorèmes d’interpolation. Acta Sci. Math. (Szeged), 22, No. 3-4, pp. 269-282. 15. 15.

Agranovich, M.S. (1997). Elliptic boundary problems. Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial differential equations, IX. Berlin: Springer.