Automata system in finitelly generated groups

TL;DR

This paper investigates the capabilities of finite automata systems in exploring Cayley graphs of groups, establishing limitations based on the group's periodicity and providing conditions under which exploration is possible.

Contribution

It proves that finite automata systems cannot leave certain areas in Cayley graphs of periodic groups and characterizes exploration possibilities for non-periodic and aperiodic groups.

Findings

Finite automata cannot explore some regions of Cayley graphs of periodic groups.

Groups with non-periodic elements can be explored by finite automata with 3 pebbles.

Finitely generated aperiodic groups cannot be explored by any finite automata system.

Abstract

We prove that any finite system of interacted automata can not leave some finite arear of Calley graph of periodic group. If group has non-periodic element, then its Calley graph can be explored by some finite automata with 3 pebbles. If group is finitely generated and aperiodic then it can not be explored by any system of finite automata.

Equations

$$a_i(\vec{q},\vec{v})=(q_{i1}^{\prime },q_{i2}^{\prime },...,q_{im}^{\prime })$$

$${\mathrm{Int}}_i({\mathcal{A}}_{\overrightarrow{q_0}},{\Gamma }_{\overrightarrow{v_0}})=\bigcup _{t=0}^{\infty }\{v_t^i\},\forall i=1,...,m$$

$$\mathrm{Int}({\mathcal{A}}_{\overrightarrow{q_0}},{\Gamma }_{\overrightarrow{v_0}})=\bigcup _{t=1}^m{\mathrm{Int}}_i({\mathcal{A}}_{\overrightarrow{q_0}},{\Gamma }_{\overrightarrow{v_0}})$$

$$\mathrm{Fr}({\mathcal{A}}_{\overrightarrow{q_0}},{\Gamma }_{\overrightarrow{v_0}})=V\setminus \mathrm{Int}({\mathcal{A}}_{\overrightarrow{q_0}},{\Gamma }_{\overrightarrow{v_0}})$$

$$H_l\ge \max (O_i,O_j)+M^2{O}_i{O}_j+1,\forall i>0,j>0,i+j=l$$

$$H_l\ge H_i,\forall i<l$$

Full text

Коллектив автоматов в конечно-порождённых группах

Гусев Даниил∗

  

Канель-Белов Алексей*∗∗*

(∗ Московский физико-технический институт, ${}^{*}*$ College of Mathematics, Shenzhen University, Shenzhen, China

)

1 Введение

Данная работа посвящена обхождению лабиринта коллективом конечных автоматов. Эта часть теории автоматов породила довольно широкий спектр различных задач [14, 8], в том числе связанных с задачами теории сложности вычислений и теорией вероятностей. В этой работе показывается, что рассмотрение сложных алгебраических объектов, таких как бёрнсайдовы группы, может быть интересном в данном контексте.

Есть довольно большое число вариаций задачи, но в целом она выглядит так: коллектив конечных автоматов двигается по рёбрам некоторого (возможно бесконечного) графа, необходимо выяснить смогут ли автоматы посетить все вершины графа.

Простейшим примером такой задачи, является обход $\mathbb{Z}$. Конечный автомат, двигающийся по решётке $\mathbb{Z}$ по некоторым внутренним правилам, не сможет обойти эту прямую, т.к. в какой-то момент зациклится. Однако можно рассмотреть коллектив из одного полноценного конечного автомата и двух автоматов-камней, которые не имеют внутреннего состояния и могут передвигаться только совместно с главным автоматом. Легко показать, что подобная система может обойти $\mathbb{Z}$ (главный автомат бегает между камнями и постепенно раздвигает их). В случае решёток $\mathbb{Z}^{k},k>1$ для обхода достаточно коллектива из автомата и трёх камней, причём с меньшим количеством камней обойти не получиться. Если из плоской решётки $\mathbb{Z}^{2}$ разрешить выкидывать некоторые вершины, то окажется, что автомата и трёх камней не достаточно для обхода [5, 10] таких лабиринтов, при этом пяти камней хватит [6] (4 - открытый вопрос).

Возникает закономерный вопрос, существуют ли лабиринты, которые не обходятся подобными системами. Ответ на этот вопрос положительный. Например, можно построить бесконечную лабиринт-ловушку на решётке $\mathbb{Z}^{3}$ для любой системы автоматов [11]. Но построение таких лабиринтов обычно довольно громоздко. В работе мы предлагаем другой подход для построения подобных ловушек.

В качестве лабиринтов можно рассматривать графы Кели конечно порожденных групп. Такой подход даёт довольно интересные результаты. Оказывается, графы Кели бесконечных свободных бёрнсайдовых групп, существование которых доказано Новиковым и Адаяном [15], нельзя обойти никакой системой конечных автоматов. Проблемы Бернсайдовского типа имеют большое значение в современной алгебре, поэтому кажется интересным, что такие серьёзные результаты находят применение в довольно удалённых от алгебры областях.

Данная работа была проведена с помощью Российского Научного Фонда Грант N 17-11-01377.

2 Определения

В этой секции мы введём формальные определения, которые нам понадобятся. Во-первых мы определим понятие лабиринта. В нашем случае лабиринтом будет граф Кэли некоторой конечно-порождённой группы. Отметим, что возможны и другие определения лабиринта. Во-вторых, определим коллектив конечных автоматов и поведение коллектива в лабиринте. Также введём определение лабиринта-ловушки.

Будем пользоваться основными понятиями и обозначениями теории из автоматов и графов, принятыми здесь [12, 13, 17].

Пусть $G$ группа, $S=\{s_{1},s_{2},...,s_{n}\}$ – множество образующих группы $G$, $S^{-1}=\{s_{1}^{-1},s_{2}^{-1},...,s_{n}^{-1}\}$. Граф Кэли группы $G$ на образующих $S$ будем обозначать $\Gamma=\Gamma(G,S)$. Для простоты будем считать, что $G$ - это вершины графа, также будет использовать групповые операции над вершинами, если это потребуется. За $E(\Gamma)$ обозначим множество рёбер графа. $\Gamma$ - будет лабиринтом в нашей задаче.

Под конечным автоматом $\mathfrak{A}$ будем понимать пятёрку $(A,Q,B,\phi,\psi)$, где $A,B,Q$ – конечные множества (алфавиты): входной, выходной и алфавит состояний. $\phi:Q\times A\rightarrow Q$, $\psi:Q\times A\rightarrow B$ – функции переходов и выходов. Если начальное состояние $q_{0}\in Q$ фиксировано, то такой автомат $\mathfrak{A}_{q_{0}}=(A,Q,B,\phi,\psi,q_{0})$ будем называть инициальным. Далее, если факт инициальности будет важен для нас, тогда будем обозначать автомат нижним индексом. Часто вместо конечного автомата будем говорить просто автомат.

Пусть задана группа $G$ с множеством образующих $S$.

Определение 1**.**

Набор $\mathcal{A}=(\mathfrak{A}_{1},\mathfrak{A}_{2},...,\mathfrak{A}_{m})$ называется коллективом $(G,S)$-допустимых автоматов, где $\mathfrak{A}_{i}=(A_{i},Q_{i},B_{i},\phi_{i},\psi_{i})$, для $i=1,...m$, некоторые автоматы, такие что:

• •

$A_{i}=\{a\in\prod\limits_{j=1}^{m}(\theta\cup Q_{j})|\Pr_{i}(a)=\theta\}$, где $\theta\notin\bigcup\limits_{i=1}^{m}Q_{i}$ – некоторый выделенный элемент

• •

$B_{i}=S\cup S^{-1}\cup\{e\}$**

Если у всех $m$ автоматов заданы начальные состояния $\vec{q_{0}}=(q_{0}^{1},...,q_{0}^{m})$, то коллектив будем называть инициальным и обозначать $\mathcal{A}_{\vec{q}}$

Пусть $\Gamma(G,S)$ - граф Кэли. $\vec{v}=(v_{1},...,v_{m})$, $v_{i}\in G$ - его набор вершин; $\vec{q}=(q_{1},...,q_{m})$, где $q_{i}\in Q_{i}$ – некоторое состояние автомата $\mathfrak{A}_{i}$. Тогда для для любого $i=1,...,m$ определим функции:

[TABLE]

где для $1\leq j\leq m$, $q_{ij}^{\prime}=q_{j}$, если $v_{i}=v_{j}$ и $i\neq j$, иначе $q_{ij}=\theta$.

Определение 2**.**

Поведением коллектива $(G,S)$-допустимых автоматов $\mathcal{A}=(\mathfrak{A}_{1},\mathfrak{A}_{2},...,\mathfrak{A}_{m})$ с начальными состояниями $\vec{q_{0}}=(q_{0}^{1},...,q_{0}^{m})$, $q_{i}\in Q_{i}$ в графе Кэли $\Gamma(G,S)$ с набором начальных вершин $\vec{v_{0}}=(v_{0}^{1},...,v_{0}^{m})$, назовем последовательность $\pi(\mathcal{A}_{\vec{q_{0}}},\Gamma_{\vec{v_{0}}})=(\vec{q_{0}},\vec{v_{0}}),(\vec{q_{1}},\vec{v_{1}}),...,$ где $\vec{q_{t}}=(q_{t}^{1},...,q_{t}^{m})$, $\vec{v_{t}}=(v_{t}^{1},...,v_{t}^{m})$, такую, что

• •

$q_{t}^{i}\in Q_{i}$, $v_{t}^{i}\in G$, $(v_{t}^{i},v_{t+1}^{i})\in E(\Gamma)$ или $v_{t}^{i}=v_{t+1}^{i}$

• •

$\phi_{i}(q_{t}^{i},a_{i}(\vec{v_{t}},\vec{q_{t}}))=q_{t+1}^{i}$**

• •

$\psi_{i}(q_{t}^{i},a_{i}(\vec{v_{t}},\vec{q_{t}}))=g$, где $v_{t}^{i}g=v_{t+1}^{i},g\in S\cup S^{-1}\cup e$

То есть, у нас есть коллектив автоматов, который перемещается по лабиринту. Они могут взаимодействовать друг с другом, когда находятся в одной вершине. Формально - следующее состояние и направление хода одного автомата, зависит от состояний автоматов, которые находятся с ним в одной вершине.

Пусть,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Будем говорить, что $\mathcal{A}_{q_{0}}$ обходит $\Gamma_{v_{0}}$, если $\mathrm{Fr}(\mathfrak{A}_{q_{0}},\Gamma_{\vec{v_{0}}})=\emptyset$. Говорим, что $\mathcal{A}_{q_{0}}$ сильно обходит $\Gamma$, если он обходит его начиная из любой вершины лабиринта. $\Gamma_{v_{0}}$ – ловушка для $\mathcal{A}_{q_{0}}$, если автомат не обходит граф; $\Gamma$ – ловушка для $\mathcal{A}_{q_{0}}$, если автомат не обходит лабиринт с какой бы вершины он ни начинал.

3 Построение сильной ловушки для любого коллектива автоматов

В этой секции мы построим сильную ловушку для любого коллектива автоматов. Ловушка будет выглядеть как граф Кэли некоторой группы. Сама группа будет и, соответственно, лабиринт бесконечны, но любой коллектив автоматов обойдёт лишь конечную область в нём, что мы и докажем.

3.1 Проблема Бёрнсайда и её решения

Проблема Бёрнсайда о периодических группах фиксированного периода была поставлена Бёрнсайдом в 1902 году в следующей форме [2]

Проблема 1**.**

Пусть группа $G$ имеет $m$ независимых порождающих элементов $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ и для любого элемента $x\in G$ выполнено соотношение $x^{n}=1$, где n — данное целое число. Будет ли определенная таким образом группа конечной, и если да, то каков ее порядок?

Сейчас группы, определенные $m$ порождающими и соотношением $x^{n}=1$, называют свободными бёрнсайдовыми группами ранга $m$ и периода $n$ (экспоненты $n$). Обычно они обозначаются как $B(m,n)$.

Понятно, что вопрос нетривиален для случая $m>1$. Самим Бёрнсайдом показана конечность $B(m,n)$ для $n\leq 3$ и любого $m$ и $B(2,4)$ [2]. Сановым [16] показана конечность $B(m,n)$ для $n=4$ и любого, М.Холлом [4] для $n=6$ и любого.

В 1964 году Голод и Шафаревич [9] доказали, что существуют бесконечные $2$ - порожденные периодические группы с неограниченными периодами элементов. В 1968 году Новиков и Адян представили отрицательное решение проблемы Бёрнсайда [15] для любого нечётного периода $n>4381$ и любого $m>1$. В [7] Адяном решение упрощено и доказано, что $B(m,n)$ бесконечны для любого нечётного $n>665$ и любого $m>1$. Недавно Адяном было объявлено о улучшении оценки до $n\geq 101$ [1].

Теорема 1**.**

$B(m,n)$* – бесконечна для всех нечётных $n>101$ при $m>1$.*

В 1992 году Иванов [3] анонсировал отрицательное решение для больших чётных периодов.

Таким образом, мы имеет бесконечные группы, порождённые конечным количеством элементов, при этом период каждого элемента равномерно ограничен.

3.2 Определение лабиринта

Пусть $G$ бесконечная конечно-порождённая группа, $M$ такое, что $g^{M}=1$ для любого $g\in G$. $S=\{s_{1},s_{2},...,s_{n}\}$ – множество образующих группы $G$, среди которых нет повторяющихся и обратных. $\Gamma(G,S)$ - граф Кэли для этой группы и образующих.

Пусть $g=t_{1}t_{2}...t_{n}$, где $g\in G$ и $t_{i}\in S\cup S^{-1}$, причем $n$ минимальное число с такими свойствами, т.е $g$ нельзя представить меньшим количеством элементов из $S\cup S^{-1}$. Тогда будем обозначать $d(g)=n$. Заметим, что $d(g)=d(g^{-1})$. Также, легко видеть, что кратчайшее расстояние в лабиринте между двумя вершинами $v_{1}$ и $v_{2}$, равно $d(v_{1}^{-1}v_{2})=d(v_{2}v_{1}^{-1})$.

3.3 Единичный автомат

Рассмотрим сначала случай с одним автоматом. Покажем, что единичный автомат сможет обойти только ограниченную часть $\Gamma$.

Пусть $\mathfrak{A}$ – $(G,S)$-допустимый коллектив из одного автомата. Заметим, что ход автомата в конкретной вершине определяется исключительно его состоянием, т.к. других автоматов нет. Пусть этот автомат $\mathfrak{A}$ начинает движение из некоторой вершины $v_{0}$. Тогда, его движение будет довольно простым.

Лемма 1**.**

Поведение автомата $\mathfrak{A}_{q_{0}}$ в $\Gamma$ c $|Q|$ состояниями будет обладать следующими свойствами:

• •

На начальной стадии автомат сделает $U<|Q|$ ходов, с неповторяющимися состояниями;

• •

Далее, состояния будут повторяться с периодом $T\leq|Q|$;

• •

Каждые $M$ периодов вершины посещаемые автоматом будут повторятся;

Доказательство леммы.

Так как количество состояний конечно, какое-то состояние автомата повториться как минимум два раза. Пусть первое такое состояние $q_{1}$ и между первым и вторым появлением сделано $T$ ходов (очевидно $T\leq|Q|$), а перед $q_{1}$ было $U<|Q|$ ходов. Заметим, что текущее состояние однозначно определяет следующее, таким образом после второго появления $q_{1}$ последовательность состояний будет такой же, как и после первого появления. Отсюда получаем зацикленность состояний с периодом $T$. Обозначим через $v_{1}$ вершину лабиринта, в которой автомат впервые оказался в состоянии $q_{1}$.

Пусть $s_{1}^{\prime},s_{2}^{\prime},...,s_{T}^{\prime}$ – направления движения автомата в цикле, $s_{i}^{\prime}\in S\cup S^{-1}$. Пусть $g_{T}=s_{1}^{\prime}s_{2}^{\prime}...s_{T}^{\prime}$, $g_{T}\in G$. Тогда через $M$ циклов после посещения вершины $v_{1}$ автомат окажется в вершине $v_{1}g_{T}^{M}=v_{1}$, то есть вернётся обратно. Таким образом, сначала автомат посетит не более $U$ вершин, а дальше в цикле будет посещать не более $TM$ вершин.

$\bullet$

Из этой леммы легко видеть, что $\Gamma$ – сильная ловушка для любого одиночного автомата.

3.4 Коллектив

Теперь рассмотрим случай коллектива автоматов. Пусть $\mathcal{A}_{\vec{q_{0}}}=(\mathfrak{A}_{1},\mathfrak{A}_{2},...,\mathfrak{A}_{m})$ – $(G,S)$-допустимый коллектив автоматов. Основная наша цель – доказать, что построенный нами лабиринт – сильная ловушка для любого такого коллектива, причём коллектив сможет обойти только конечное число вершин лабиринта.

Пусть $|Q_{1}|,...|Q_{m}|$ – количество состояний у автоматов. Обозначим через $Q_{A}$ максимум из $|Q_{i}|$ $i=1,...,m$.

Назовём состоянием коллектива $\mathcal{A}$ в момент времени $t$ набор $I=(q_{t}^{1},q_{t}^{2},...q_{t}^{m},F_{t})$, где $q_{t}^{i}\in Q_{i}$ – состояние конкретного автомата в момент $t$; $F_{t}=\{F_{t}^{1},F_{t}^{2},...,F_{t}^{k}\}$, $k\leq m$, где $F_{t}^{i}$ – множество номеров всех автоматов находящихся в какой-то вершине в данный момент. Причём $\bigcup\limits_{i=1}^{k}F_{t}^{i}=\{1,...,m\}$ и один индекс принадлежит только одному $F_{t}^{i}$. Если все автоматы находятся в разных вершинах, то $F_{t}^{i}$ состоят их одного индекса каждый и их $m$ штук. То есть, состояние коллектива – это состояния всех автоматов и разбивка автоматов на группы стоящих в одной вершине. Далее факт нахождения в одной вершине двух или более автоматов будем называть встречей.

Положением коллектива в лабиринте в момент времени $t$, назовём набор вершин $(v_{t}^{1},v_{t}^{2},...,v_{t}^{m})$, в котором находятся автоматы. Заметим, что пара положение-состояние однозначно все определяет последующее поведение коллектива автоматов.

Теорема 2**.**

Поведение коллектива автоматов $\mathcal{A}_{\vec{q_{0}}}=(\mathfrak{A}_{1},\mathfrak{A}_{2},...,\mathfrak{A}_{m})$ в $\Gamma$ в вектором начальных вершин $\vec{v_{0}}$ обладает следующим свойством: существуют такие $O_{m}$ и $H_{m}$ зависящее только от $m$, $M$ и $Q_{A}$, что:

• •

Состояния коллектива $\mathcal{A}$ любые в $H_{m}$ подряд идущих моментов времени однозначно определяют следующее состояние.

• •

На начальной стадии коллектив автоматов сделает $U\leq O_{m}$ ходов, после которых состояния будут повторяться с периодом $T\leq O_{m}$;

• •

Каждые $M$ периодов, положение коллектива будет повторяться, т.е. после первых $U$ ходов пара положение-состояние коллектива $\mathcal{A}$ будет повторяться с периодом $MT\leq MO_{m}$.

Доказательство теоремы.

Будем доказывать индукции по числу автоматов. В случае с одним автоматом, состояние коллектива фактически состояние автомата и $O_{1}=Q_{A}$, $H_{1}=1$, что было доказано ранее. Таким образом база индукции есть.

Пусть $m=l$, тогда по предположению индукции для всех $m<l$ утверждение верно. $H_{l}$ и $O_{l}$ будем выражать через $l$, $M$, $Q_{A}$, $H_{i}$ и $O_{i}$ для $i<l$. Поскольку $H_{i}$ и $O_{i}$ по предположению зависят только от $i$, $M$ и $Q_{A}$, $H_{l}$ и $O_{l}$ тоже можно будет выразить через $l$, $M$ и $Q_{A}$.

Лемма 2**.**

Пусть существуют две группы автоматов размерами $a$ и $b$, $a+b=l$. Пусть $O_{a}$ и $O_{b}$ константы из индукции. Тогда, если никакие два автомата из этих групп (один из первой, один из второй) не встречались $h=\mathrm{max}(O_{a},O_{b})+M^{2}O_{a}O_{b}+1$ ходов подряд, то и в дальнейшем никакие два не встретятся.

Доказательство леммы. Заметим, что эти $h$ ходов, группы не влияют на движения друг друга, поэтому эти две группы мы можем в течении $h$ ходов рассматривать как два коллектива в лабиринте $L_{G}$ c некоторыми начальными состояниями и вектором начальных вершин. Заметим, так как $a,b<l$, то к этим коллективам применимы предположения индукции (но только на $h$ первых ходов, в дальнейшем в худшем случае автоматы из разных групп встретятся и независимость пропадёт).

Тогда, после $\mathrm{max}(O_{a},O_{b})$ ходов (могут и раньше), состояния автоматов в обоих группах зацикливаются, причем циклы длиной не более $O_{a}$ и $O_{b}$ и каждые $M$ таких циклов положения групп автоматов повторяются.

Заметим, что за следующие $M^{2}O_{a}O_{b}+1$ ходов первая группа будет находиться в не более $MO_{a}$ различных парах положение-состояние, аналогично вторая в не более $MO_{b}$ различных парах. Тогда существуют два момента времени $t_{1},t_{2}$ из этих $M^{2}O_{a}O_{b}+1$ ходов, когда положение первого коллектива – $\vec{v_{a}}$, состояние – $(\vec{q_{a}},F_{a})$, положение второго коллектива – $\vec{v_{b}}$, состояние – $(\vec{q_{b}},F_{b})$. Заметим, что из эти двух пар положение-состояние однозначно получается пара положение-состояние всего коллектива. Таким образом, пара положение-состояние всего коллектива из $m$ автоматов повторилась, то есть оно и дальше будет повторяться с периодом $T_{ab}=t_{2}-t_{1}<M^{2}O_{a}O_{b}$. Поскольку, между $t_{1}$ и $t_{2}$ группы автоматов не встречались, они и дальше не будут встречаться.

$\bullet$

Докажем, следующую лемму, являющуюся подпунктом теоремы.

Лемма 3**.**

Положим $H_{l}$ минимальным натуральным числом со следующими свойствами:

[TABLE]

[TABLE]

Тогда, по последовательности $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$ из $H_{l}$ состояний коллектива можно однозначно определить состояние $I_{H_{l}+1}$.

Доказательство леммы.

Заметим, что по этим $H_{l}$ состояниям мы можем определить, есть ли две группы автоматов, автоматы из которых не встречаются друг с другом за эти $H_{l}$ ходов (в состояниях записана информация о встречах автоматов).

Пусть есть две такие группы $A$ и $B$ c размерами $a$ и $b$. Тогда в силу выбора $H_{l}$ эти группы удовлетворяют условию предыдущей леммы. Следовательно, автоматы из этих групп не встретятся после этих $H_{l}$ ходов, а, следовательно, и на ходу $H_{l}+1$. Заметим, что состояние коллектива их $l$ камней однозначно определяется состоянием коллектива $A$ и коллектива $B$ и наоборот (если их рассматривать как коллективы автоматов в $L_{G}$) на этих $H_{l}+1$ ходу.

Тогда, $I_{H_{l}+1}$ – состояние коллектива $\mathcal{A}$ из $l$ камней, однозначно определяется состоянием коллектива $A$ и коллектива $B$ на $H_{l}+1$-ом ходу. В свою очередь, состояния коллективов $A$ и $B$ на этом ходу, однозначно определяются предыдущими своими $H_{a}$ и $H_{b}$ состояниями, а значит и предыдущими $H_{l}$ состояниями. Следовательно $I_{H_{l}+1}$ однозначно определяется через предыдущие $H_{l}$ состояний коллективов $A$ и $B$, а значит и $\mathcal{A}$, что и требовалось.

Пусть таких двух групп нет. Далее все моменты времени лежат в интервале от $1$ до $H_{l}$ (если не оговорено обратное). Заметим, что по состояниям $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$ можно определить, направление движения автомата $\mathfrak{A}_{i}$ в момент $t$ (будем обозначать его $g_{t}^{i}\in D(S)$). Следовательно, если известная вершина $v_{t_{1}}$, в которой $\mathfrak{A}_{i}$ находился в момент $t_{1}$, то и известна вершина $v_{t_{2}}$, в которой он находился любой другой момент $t_{2}$, причём $v_{t_{2}}=v_{t_{1}}g$, где $g\in G$ произведение каких-то $g_{j}^{i}$, либо их обратных.

Пусть $\mathfrak{A}_{1}$ в момент времени $1$ находится в вершине $v_{0}$. Тогда в остальные моменты $2\leq t\leq H_{l}$ он находится в вершинах $v_{0}h_{t}^{1}$, где $h_{t}^{1}\in G$ однозначно определяется через $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$. В силу предположения о том, что разделённых групп не существует, есть автомат, для удобства $\mathfrak{A}_{2}$, с которым он встретится в момент $t_{1}$, в вершине $v_{0}h_{t_{1}}^{1}$. Тогда, в момент $t_{1}$ известно положение $\mathfrak{A}_{2}$, а значит известны вершины в которой $\mathfrak{A}_{2}$ находится во все остальные моменты времени $t$, причём они имеют вид $v_{0}h_{t}^{2}$, где $h_{t}^{2}$ однозначно выражается через $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$ ($h_{t_{1}}^{1}=h_{t_{1}}^{2}$, а остальные получаются из $h_{t_{1}}^{2}$ с помощью $g_{j}^{2}$).

Аналогично, найдем автомат $\mathfrak{A}_{3}$, с которым встречается хотя бы один из двух первых, для него положения вершин будут определятся аналогично. Так будем продолжать и далее. Заметим, что в силу условия о не существовании двух не встречающихся групп, мы всегда найдем новый автомат, с которым есть встречи у уже рассмотренных. Таким образом, любой $\mathfrak{A}_{i}$ из $m$ автоматов в момент $t$ находится в вершине $v_{0}h_{t}^{i}$, причём $h_{t}^{i}$ однозначно выражается через $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$.

Рассмотрим момент времени $H_{l}+1$. Состояния каждого из $m$ автоматов, однозначно получаются из $I_{H_{l}}$. Пусть в момент $H_{l}+1$ $\mathfrak{A}_{i}$ находится в вершине $v_{0}h_{H_{l}}^{i}g_{i}$, $g_{i}\in G$. Заметим, что для определения, стоят ли $\mathfrak{A}_{i}$ и $\mathfrak{A}_{j}$ достаточно сравнить на равенство $h_{H_{l}}^{i}g_{i}$ и $h_{H_{l}}^{j}g_{j}$. $h_{H_{l}}^{i}$ и $h_{H_{l}}^{j}$ однозначно определяется через $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$, $g_{i}$ и $g_{j}$ через $I_{H_{l}}$. Следовательно, разбиение на группы стоящие в одной вершине на шаге $H_{l}+1$ однозначно определяется через $I_{1},I_{2},...,I_{H_{l}}$, а значит и $I_{H_{l}+1}$ однозначно через них определяется. Что нам и требовалось. Итого пункт про $H_{l}$ выполнен.

$\bullet$

Посчитаем, сколько различных состояний $I=(\vec{q},F)$ может быть у коллектива $\mathcal{A}$. Различных $\vec{q}$ не более $Q_{A}^{l}$ (т.к. состояний у каждого из автоматов не более $Q_{A}$). Количество различных $F$ грубо оценим сверху числом $l^{l}$. Действительно, разложить $l$ индексов автоматов по $l$ множествам можно не более чем $l^{l}$ способами, и каждому такому способу соответствует только одно $F$ (разбиение автоматов по группам, стоящим в одной вершине). Итого, различных состояний коллектива не более чем $(Q_{A}l)^{l}$.

Тогда заметим, что существует не более $(Q_{A}l)^{lH_{l}}$ различных блоков из $H_{l}$ подряд идущих состояний коллектива. Положим $O_{l}=(Q_{A}l)^{lH_{l}}+H_{l}$, рассмотрим первые $O_{l}$ ходов коллектива $\mathcal{A}$ в $L_{G}$. В этих ходах можно выделить $(Q_{A}l)^{lH_{l}}+1$ блок из $H_{l}$ подряд идущих состояний коллектива. Тогда, два блока начинающиеся в ходы $t_{1}$ и $t_{2}$ будут одинаковыми. Так как каждый такой блок однозначно определяет последующую последовательность состояний коллектива, мы получаем, что, начиная с момента $t_{1}$, состояния коллектива зацикливаются с периодом $t_{2}-t_{1}$. Таким образом, $U$ из условия теоремы равно $t_{1}\leq O_{l}$ (если первый ход считается нулевым), а $T=t_{2}-t_{1}\leq O_{l}$. Получаем, что второй пункт теоремы выполнен, нужное $O_{l}$ найдено

Для доказательства теоремы осталось показать, что каждые $M$ получившихся циклов, положения коллектива будут повторяться. Действительно, пусть любой $\mathfrak{A}_{i}$ на каком-то ходе $t\geq t_{1}$ находится в вершине $v_{t}$. Пусть за каждые $T$ ходов он сдвигается на $g_{i}\in G$, тогда через $M$ ходов он попадёт в вершину $v_{t}g_{i}^{M}=v_{t}$, что нам и требуется. Таким образом после первых $U$ ходов пара положение-состояние всего коллектива $\mathcal{A}$ будет повторяться с периодом $MT\leq MO_{m}$.

$\bullet$

Таким образом, мы показали, что любой коллектив автоматов стартующий из любых вершин обойдёт только конечную часть $\Gamma$.

4 Литература

Список литературы

• [1]

Adyan, S. "New Estimates of Odd Exponents of Infinite Burnside Groups"// Tr. Mat. Inst. Steklova 289, (2015) Pages 41–82

• [2]

Burnside W., “On an unsettled question in the theory of discontinuous groups” // Quart. J. Pure Appl. Math., 1902, 33, 230–238

• [3]

Ivanov S., “On the Burnside problem on periodic groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 27:2 (1992), 257–260; arXiv: math/9210221.

• [4]

Hall M. jun., “Solution of the Burnside problem for exponentsix” // Illinois J. Math., 1958, 2, 764–786.

• [5]

Kilibarda G. On the minimum universal collectives of automata for plane labyrinths // Discrete Math. Appl. 1993. Vol. 3. No. 6. Pp. 555–586.

• [6]

Szepietowski A. A finite 5-pebble-automaton can search every maze // Information Processing Letters. 1982. Vol. 15. No. 5. Pp. 199–204.

• [7]

Aдян С. И., Проблема Бернсайда и тождества в группах. – М.: Наука, 1975.

• [8]

Анджанс А. В. Поведение детерминированных и вероятностных автоматов в лабиринтах: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Рига, 1987. 90 с

• [9]

Голод Е. С., “О ниль-алгебрах в финитно-аппроксимируемых группах” // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1964, 28(2), 273–276.

• [10]

Килибарда Г. О минимальных универсальных коллективах автоматов для плоских лабиринтов // Дискретная математика. 1994. Т. 6. Вып. 4. C. 133–153.

• [11]

Килибарда Г., Ушчумлич Ш. О лабиринтах-ловушках для коллективов автоматов // Дискретная математика. 1993. Т. 5. Вып. 2. C. 29–50.

• [12]

Кудрявцев В.Б., Подколзин А.С, Ушчумлич Ш. Введение в теорию абстрактных автоматов. - М.: Изд-во МГУ, 1985.

• [13]

Кудрявцев В.Б., Алешин СВ., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. - М.: Наука, 1985.

• [14]

Кудрявцев, Г. Килибарда, Ш. Ушчумлич Системы автоматов в лабиринтах. Грант РФФИ № 06-01-00240.

• [15]

Новиков П. С., Адян С. И., “О бесконечных периодических группах. I, II, III” // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1968, 32(1), 212–244; 32(2), 251–524; 32(3), 709–731.

• [16]

Санов И. Н., “Решение проблемы Бернсайда для показателя 4” // Ученые записки ЛГУ. Сер. матем., 1940, 10, 166–170.

• [17]

Xарари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973