Modules projectifs de type fini, applications lin\'eaires crois\'ees et inverses g\'en\'eralis\'es

TL;DR

This paper develops a constructive, algorithmic theory of generalized inverses linked to finitely generated projective modules, including complexity analysis and polynomial-time algorithms for matrix invertibility and projectivity testing.

Contribution

It introduces a constructive framework connecting generalized inverses with finitely generated projective modules, providing polynomial-time algorithms and complexity analysis.

Findings

Decides existence of generalized inverse in polynomial time

Calculates generalized inverse using polynomial operations

Tests module projectivity efficiently

Abstract

We give a general theory of generalised inverses and we explain the link with the theory of finitely generated projective modules. All the paper is written in constrctive mathematics in Bishop style. So all results do have a clear algorithmic content. We give also a complexity analysis of the algorihms corresponding to the main theorems. Here is a more detailed abstract in french: D'une part, nous d\'eveloppons la th\'eorie g\'en\'erale des inverses g\'en\'eralis\'es de matrices en la mettant en rapport avec la th\'eorie constructive des modules projectifs de type fini. D'autre part nous pr\'ecisons certains aspects de cette th\'eorie li\'es au calcul formel et \`a l'analyse num\'erique matricielle. Nous d\'emontrons en particulier qu'on peut tester si un $\bf A$-module de pr\'esentation finie est projectif et calculer une matrice de projection correspondante "en temps polynomial". Plus pr\'ecis\'ement pour une matrice $A\in {\bf A}^{m \times n}$ on peut d\'ecider s'il existe un inverse g\'en\'eralis\'e $B$ pour $A$ (i.e. une matrice $B$ v\'erifiant $ABA=A$ et $BAB=B$) et, en cas de r\'eponse positive, calculer un tel inverse g\'en\'eralis\'e par un algorithme qui utilise $O(p^6\,q^{2})$ op\'erations arithm\'etiques (avec $p=\inf(m,n)$, $q=\sup(m,n)$) et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un \'el\'ement \`a un id\'eal engendr\'e par "un petit nombre d'\'el\'ements".