L'\'equation diophantienne $ax^2-by^2=1$

TL;DR

This paper introduces an effective method for solving the Diophantine equation ax^2 - by^2 = 1, utilizing continued fraction expansions of quadratic irrationals, with applications to generalized Pell-Fermat equations.

Contribution

It presents a novel approach based on continued fractions of quadratic irrationals to solve the specific Diophantine equation and extends this method to generalized Pell-Fermat equations.

Findings

Effective solution method for ax^2 - by^2 = 1

Complete description of continued fraction expansions used

Application to generalized Pell-Fermat equations

Abstract

On propose une m\'ethode de r\'esolution effective de l'\'equation diophantienne $(E_2): ax^2-by^2=1$ o\`u $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Cette m\'ethode s'appuie sur le d\'eveloppement en fraction continu\'ee de certains nombres irrationnels quadratiques que l'on d\'ecrit compl\`etement. On commence par utiliser ces d\'eveloppements pour r\'esoudre certaines \'equations de Pell-Fermat g\'en\'eralis\'ees avant d'appliquer \`a l'\'equation $(E_2)$ les r\'esultats obtenus.