Preuve simplifi\'ee du th\'eor\`eme de Serret sur les nombres   \'equivalents

Anne Bauval

arXiv:1706.06082·math.NT·June 20, 2017

Preuve simplifi\'ee du th\'eor\`eme de Serret sur les nombres \'equivalents

Anne Bauval

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TL;DR

This paper provides a simpler, purely algebraic proof of Serret's theorem, which characterizes when two irrational numbers are related by the action of PGL(2,Z) based on their continued fractions sharing a common quotient.

Contribution

It offers a simplified and algebraic proof of Serret's theorem, enhancing understanding of the relation between continued fractions and PGL(2,Z) actions.

Findings

01

Proves the converse of Serret's theorem using algebraic methods

02

Shows that sharing a common quotient in continued fractions implies orbit relation

03

Simplifies the existing proof of Serret's theorem

Abstract

If the continued fractions of two irrational numbers have a common complete quotient, then these two numbers are in the same orbit under the action of $PGL (2, Z)$ . The converse is Serret's well-known theorem, but we give a simpler and purely algebraic proof of it.

Equations32

x = [a_{0}, a_{1}, \dots] = a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{a _{2} + \dots}} (avec a_{0} \in Z et a_{n} \in N^{*} si n \geq 1),

x = [a_{0}, a_{1}, \dots] = a_{0} + \frac{1}{a _{1} + \frac{1}{a _{2} + \dots}} (avec a_{0} \in Z et a_{n} \in N^{*} si n \geq 1),

\forall n \in N x = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}, x_{n}] et x_{n} = [a_{n}, a_{n + 1}, \dots] .

\forall n \in N x = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}, x_{n}] et x_{n} = [a_{n}, a_{n + 1}, \dots] .

\begin{array}[]{ccc}p_{-2}=0,&p_{-1}=1,&p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2},\\ q_{-2}=1,&q_{-1}=0,&q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2},\end{array}

\begin{array}[]{ccc}p_{-2}=0,&p_{-1}=1,&p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2},\\ q_{-2}=1,&q_{-1}=0,&q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2},\end{array}

[a_{0}, \dots, a_{n}] = \frac{p _{n}}{q _{n}}, x = \frac{p _{n - 1} x _{n} + p _{n - 2}}{q _{n - 1} x _{n} + q _{n - 2}} et p_{n - 1} q_{n - 2} - p_{n - 2} q_{n - 1} = (- 1)^{n} .

[a_{0}, \dots, a_{n}] = \frac{p _{n}}{q _{n}}, x = \frac{p _{n - 1} x _{n} + p _{n - 2}}{q _{n - 1} x _{n} + q _{n - 2}} et p_{n - 1} q_{n - 2} - p_{n - 2} q_{n - 1} = (- 1)^{n} .

\begin{array}[]{ccccc}x\sim y&\Leftrightarrow&\exists i,j\in\mathbb{N}&&x_{i}=y_{j}\\ &\Leftrightarrow&\exists i,j\in\mathbb{N}&\forall k\in\mathbb{N}&a_{i+k}=b_{j+k}\\ &\Leftrightarrow&\exists i,j\in\mathbb{N}&\forall k\in\mathbb{N}&x_{i+k}=y_{j+k}.\end{array}

\begin{array}[]{ccccc}x\sim y&\Leftrightarrow&\exists i,j\in\mathbb{N}&&x_{i}=y_{j}\\ &\Leftrightarrow&\exists i,j\in\mathbb{N}&\forall k\in\mathbb{N}&a_{i+k}=b_{j+k}\\ &\Leftrightarrow&\exists i,j\in\mathbb{N}&\forall k\in\mathbb{N}&x_{i+k}=y_{j+k}.\end{array}

- [a_{0}, a_{1}, x_{2}] = {[- a_{0} - 1, 1, a_{1} - 1, x_{2}] [- a_{0} - 1, x_{2} + 1] si a_{1} > 1 si a_{1} = 1.

- [a_{0}, a_{1}, x_{2}] = {[- a_{0} - 1, 1, a_{1} - 1, x_{2}] [- a_{0} - 1, x_{2} + 1] si a_{1} > 1 si a_{1} = 1.

1/ [a_{0}, x_{1}] = {[0, a_{0}, x_{1}] x_{1} si a_{0} \geq 1 si a_{0} = 0

1/ [a_{0}, x_{1}] = {[0, a_{0}, x_{1}] x_{1} si a_{0} \geq 1 si a_{0} = 0

\frac{a}{c} = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}]

\frac{a}{c} = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}]

a = p_{n - 1} et c = q_{n - 1} .

a = p_{n - 1} et c = q_{n - 1} .

b = r p_{n - 1} + p_{n - 2} et d = r q_{n - 1} + q_{n - 2}

b = r p_{n - 1} + p_{n - 2} et d = r q_{n - 1} + q_{n - 2}

y = \frac{a x + b}{c x + d} = \frac{p _{n - 1} ( x + r ) + p _{n - 2}}{q _{n - 1} ( x + r ) + q _{n - 2}} = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}, x + r] .

y = \frac{a x + b}{c x + d} = \frac{p _{n - 1} ( x + r ) + p _{n - 2}}{q _{n - 1} ( x + r ) + q _{n - 2}} = [a_{0}, \dots, a_{n - 1}, x + r] .

y \sim [a_{1}, \dots, a_{n - 1}, x + r] \sim [a_{2}, \dots, a_{n - 1}, x + r] \sim \dots \sim x + r \sim x .

y \sim [a_{1}, \dots, a_{n - 1}, x + r] \sim [a_{2}, \dots, a_{n - 1}, x + r] \sim \dots \sim x + r \sim x .

P G L_{2} (Z) = ⟨ T, U, V ∣ U^{2} = V^{2} = (T V)^{2} = (U V)^{2} = (T U V)^{3} = 1 ⟩ .

P G L_{2} (Z) = ⟨ T, U, V ∣ U^{2} = V^{2} = (T V)^{2} = (U V)^{2} = (T U V)^{3} = 1 ⟩ .

P G L_{2} (Z) = ⟨ T, U ∣ U^{2} = (U T U T^{- 2})^{2} = (U T U T^{- 1})^{3} = 1 ⟩ .

P G L_{2} (Z) = ⟨ T, U ∣ U^{2} = (U T U T^{- 2})^{2} = (U T U T^{- 1})^{3} = 1 ⟩ .

t : x \mapsto 1 + x, u : x \mapsto 1/ x et v : x \mapsto - x,

t : x \mapsto 1 + x, u : x \mapsto 1/ x et v : x \mapsto - x,

V^{e} T^{a_{0}} U T^{a_{1}} U \dots U T^{a_{n}}

V^{e} T^{a_{0}} U T^{a_{1}} U \dots U T^{a_{n}}

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TopicsHistory and Theory of Mathematics · Algebraic Geometry and Number Theory · Analytic Number Theory Research

Full text

Preuve simplifiée du théorème de Serret sur les nombres équivalents

A. Bauval

Institut de Mathématiques de Toulouse

Université Toulouse III

118 Route de Narbonne, 31400 Toulouse - France

Résumé.

Si les fractions continues de deux irrationnels $x$ et $y$ ont un quotient complet commun alors $x$ et $y$ sont équivalents, c’est-à-dire qu’il existe $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ tels que $ad-bc=\pm 1$ et $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ . La réciproque, due à Serret, est désormais classique, mais on en donne une preuve plus simple et purement algébrique.

Anne Bauval, [email protected], IMT, UMR 5219, Université Toulouse III

2010 Mathematics Subject Classification: 11A55

1. Préliminaires

Un irrationnel $x$ , décrit par sa fraction continue

[TABLE]

la suite $(a_{n})$ de ses quotients partiels, et la suite $(x_{n})$ de ses quotients complets, sont liés par :

[TABLE]

De plus, si $(p_{n})$ et $(q_{n})$ sont les deux suites d’entiers définies par

[TABLE]

pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a

[TABLE]

En particulier, $x$ est équivalent à tous les $x_{n}$ , c’est-à-dire dans la même orbite pour l’action du groupe $G:=PGL_{2}(\mathbb{Z})$ sur $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ par homographies, ce que l’on notera : $x\in Gx_{n}$ .

On notera d’autre part $\sim$ la relation d’équivalence sur les irrationnels “avoir un quotient complet commun”. Autrement dit, pour tous irrationnels $x=[a_{0},a_{1},\dots]$ et $y=[b_{0},b_{1},\dots]$ :

[TABLE]

Ces deux relations d’équivalence sur $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sont en fait la même :

Théorème 1.

[Serret 1866]** Deux irrationnels $x$ et $y$ sont équivalents si et seulement si $x\sim y$ .

Il est clair que $x\sim y\Rightarrow y\in Gx$ . Nous proposons une preuve de la réciproque, inspirée de [Lachaud 1988] et plus simple que la démonstration originelle reproduite dans tous les manuels ([Perron 1913, Hardy et Wright 1938, Lang 1966, Rockett et Szüsz 1992, Vorobiev 1992, Borwein et al. 2014], etc.).

2. Démonstration

Lemme 1.

Pour tout irrationnel $x$ , on a $-x\sim x$ .

Démonstration.

([Perron 1913])

[TABLE]

∎

Lemme 2.

Pour tout irrationnel $x$ , on a $1/x\sim x$ .

Démonstration.

[TABLE]

([Lang 1966]), ce qui démontre le cas $x>0$ . Le cas $x<0$ s’en déduit grâce au lemme précédent. ∎

Proposition 1.

Si deux irrationnels $x$ et $y$ sont équivalents alors $x\sim y$ .

Démonstration.

Soient $a,b,c,d\in\mathbb{Z}$ tels que $ad-bc=\pm 1$ et $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ . Quitte à remplacer si nécessaire $(a,b,c,d)$ par son opposé (ce qui ne modifie pas $y$ ), on peut de plus supposer que $(c,d)=(0,1)$ ou $c>0$ . Dans le premier cas, $y=\pm x+b\sim\pm x\sim x$ d’après le lemme 1. Supposons maintenant $c>0$ . Le rationnel $a/c$ admet deux développements en fraction continue finie, chacun se déduisant de l’autre en raccourcissant ou rallongeant artificiellement ce dernier de $1$ . Choisissons celui,

[TABLE]

(avec $n\geq 1$ ), pour lequel la parité de $n$ est telle que $ad-bc=(-1)^{n}$ . Les suites $(p_{i}),(q_{i})_{i<n}$ étant définies comme dans la section 1, on a $\frac{a}{c}=\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ et même (puisque ces deux fractions sont irréductibles et de dénominateurs positifs)

[TABLE]

Puisque de plus $ad-bc=(-1)^{n}=p_{n-1}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n-1}$ , il existe un entier $r$ tel que

[TABLE]

donc

[TABLE]

On conclut grâce au lemme 2 et à l’invariance de $\sim$ par translations entières :

[TABLE]

∎

Remarque 1.

On vient en fait de redémontrer le théorème suivant, classique111Plus précisément ([Coxeter et Moser 1957]) :

$PGL_{2}(\mathbb{Z})=\langle T,U,V\mid U^{2}=V^{2}=(TV)^{2}=(UV)^{2}=(TUV)^{3}=1\rangle.$

et un peu plus fort que la proposition 1 :

*le groupe $PGL_{2}(\mathbb{Z})$ est engendré par les trois éléments $T,U,V$ 222Ou même seulement par $T$ et $U$ , puisque – cf. preuve du lemme 1 – $UV=T^{-1}UTUT^{-1}$ . Plus précisément :

$PGL_{2}(\mathbb{Z})=\langle T,U\mid U^{2}=(UTUT^{-2})^{2}=(UTUT^{-1})^{3}=1\rangle.$

correspondant respectivement aux homographies*

[TABLE]

tout en le précisant :

tout élément de $PGL_{2}(\mathbb{Z})$ s’écrit sous la forme

[TABLE]

*où tous les $a_{i}$ sont strictements positifs sauf éventuellement le premier et le dernier, et $e$ est égal à [math], ou éventuellement à $1$ si $n=0$ .

De plus, cette écriture est unique.*

Références

[Borwein et al. 2014] Jonathan Borwein, Alf van der Poorten, Jeffrey Shallit et Wadim Zudilin, Neverending Fractions – An Introduction to Continued Fractions, Cambridge University Press, 2014, p. 38-39
[Coxeter et Moser 1957] Harold S. M. Coxeter et William O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups, Springer, 1957, chap. 7, §2
[Hardy et Wright 1938] Godfrey H. Hardy et Edward M. Wright (trad. de l’anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers », 1938], Vuibert-Springer, 2007, théorèmes 172 p. 179-180 et 175 p. 182-183
[Lachaud 1988] Gilles Lachaud, « Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions », in Algebra and Topology 1988, Korea Inst. Tech., Taejon, 1988, p. 1-56 : propositions 4 et 5, p. 8-10
[Lang 1966] Serge Lang, Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley, 1966, chap. 1
[Perron 1913] Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, 1913, Satz 13 p. 47 et Satz 23 p. 63-65
[Rockett et Szüsz 1992] Andrew M. Rockett et Peter Szüsz, Continued Fractions, World Scientific, 1992, th. 1 et 2 p. 5-7
[Serret 1866] Joseph-Alfred Serret, Cours d’algèbre supérieure, vol. 1, Gauthier-Villars, 1866, 3e éd., p. 34-37
[Vorobiev 1992] Nicolai N. Vorobiev (trad. du russe par M. Martin), Fibonacci Numbers [« Chisla Fibonacci », 1992], Springer, 2002, p. 115-118

Anne Bauval, [email protected]

Bibliography9

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

1[Borwein et al. 2014] Jonathan Borwein, Alf van der Poorten, Jeffrey Shallit et Wadim Zudilin, Neverending Fractions – An Introduction to Continued Fractions , Cambridge University Press, 2014, p. 38-39
2[Coxeter et Moser 1957] Harold S. M. Coxeter et William O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups , Springer, 1957, chap. 7, §2
3[Hardy et Wright 1938] Godfrey H. Hardy et Edward M. Wright (trad. de l’anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers », 1938], Vuibert-Springer, 2007, théorèmes 172 p. 179-180 et 175 p. 182-183
4[Lachaud 1988] Gilles Lachaud, « Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions », in Algebra and Topology 1988 , Korea Inst. Tech., Taejon, 1988, p. 1-56 : propositions 4 et 5, p. 8-10
5[Lang 1966] Serge Lang, Introduction to Diophantine Approximations , Addison-Wesley, 1966, chap. 1
6[Perron 1913] Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen , Teubner, 1913, Satz 13 p. 47 et Satz 23 p. 63-65
7[Rockett et Szüsz 1992] Andrew M. Rockett et Peter Szüsz, Continued Fractions , World Scientific, 1992, th. 1 et 2 p. 5-7
8[Serret 1866] Joseph-Alfred Serret, Cours d’algèbre supérieure, vol. 1 , Gauthier-Villars, 1866, 3e éd., p. 34-37

TL;DR

Contribution

Findings

Abstract

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Preuve simplifiée du théorème de Serret sur les nombres équivalents

Résumé.

1. Préliminaires

Théorème 1**.**

2. Démonstration

Lemme 1**.**

Démonstration.

Lemme 2**.**

Démonstration.

Proposition 1**.**

Démonstration.

Remarque 1**.**

Références

Théorème 1.

Lemme 1.

Lemme 2.

Proposition 1.

Remarque 1.