High-frequency asymptotics of time-periodic solutions to differential   equations systems in a critical case

Valeriy Borisovich Levenshtam; Linh Kop Nguyen; Marat Rashidovich; Ishmeev

arXiv:1706.06055·math.AP·June 20, 2017

High-frequency asymptotics of time-periodic solutions to differential equations systems in a critical case

Valeriy Borisovich Levenshtam, Linh Kop Nguyen, Marat Rashidovich, Ishmeev

PDF

Open Access

TL;DR

This paper investigates the existence, uniqueness, and asymptotic behavior of time-periodic solutions in linear differential systems with rapidly oscillating coefficients, focusing on critical degeneracy cases.

Contribution

It provides new results on the existence, uniqueness, and asymptotic expansions of solutions for both ODE and PDE systems with oscillatory coefficients in degenerate cases.

Findings

01

Existence and uniqueness of solutions established.

02

Asymptotic expansions constructed and proved.

03

Convergence and stability analyzed for ODE systems.

Abstract

For two linear evolution differential equations systems - a normal ordinary differential equations system and a partial differential equations system with Stokes operator in a main part - with rapidly oscillating by time coefficients in a case of an averaged stationary operator multiple degeneracy time-periodic solutions problem was considered. The results about their existence and uniqueness were proved and their asymptotic expansions were constructed and proved. Moreover, for normal ordinary differential equations system the convergence of the asymptotic expansion was proved in the ordinary meaning and Lyapunov's stability questions were investigated.

Equations366

\frac{d x}{d t} = (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{0}) x + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum (B_{l} x + d_{l}) e^{i l ω t} + d_{0},

\frac{d x}{d t} = (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{0}) x + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum (B_{l} x + d_{l}) e^{i l ω t} + d_{0},

A_{1} = B_{0} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{- l} B _{l}}{i l} .

A_{1} = B_{0} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{- l} B _{l}}{i l} .

A_{0} x + A_{1} (μ_{1} a_{1} + μ_{2} a_{2} + \dots + μ_{s} a_{s}) = 0

A_{0} x + A_{1} (μ_{1} a_{1} + μ_{2} a_{2} + \dots + μ_{s} a_{s}) = 0

x (t) = ω j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j} + k = 0 \sum \infty \frac{1}{ω ^{k}} (x_{k} + y_{k} (ω t) + j = 1 \sum s C_{k}^{j} a_{j}),

x (t) = ω j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j} + k = 0 \sum \infty \frac{1}{ω ^{k}} (x_{k} + y_{k} (ω t) + j = 1 \sum s C_{k}^{j} a_{j}),

x (t) - ω j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j} + k = 0 \sum r \frac{1}{ω ^{k}} (x_{k} + y_{k} (ω t) + j = 1 \sum s C_{k}^{j} a_{j}) ⩽ \frac{M _{0}^{r + 1}}{ω ^{r + 1}},

x (t) - ω j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j} + k = 0 \sum r \frac{1}{ω ^{k}} (x_{k} + y_{k} (ω t) + j = 1 \sum s C_{k}^{j} a_{j}) ⩽ \frac{M _{0}^{r + 1}}{ω ^{r + 1}},

\frac{d x}{d t} = (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{0}) x + 1 ⩽ l ⩽ m \sum B_{l} x e^{i l ω t} .

\frac{d x}{d t} = (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{0}) x + 1 ⩽ l ⩽ m \sum B_{l} x e^{i l ω t} .

\frac{d y}{d t} = (A_{0} + \frac{1}{ω} A_{1} + \frac{1}{ω ^{2}} A_{2} + \dots) y \equiv A_{ω} y .

\frac{d y}{d t} = (A_{0} + \frac{1}{ω} A_{1} + \frac{1}{ω ^{2}} A_{2} + \dots) y \equiv A_{ω} y .

Γ (ω) = α_{1} α_{3} ⋮ α_{2 n - 1} 1 α_{2} ⋮ α_{2 n - 2} 0 α_{1} ⋮ α_{2 n - 3} 01 ⋮ α_{2 n - 4} \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ α_{n},

Γ (ω) = α_{1} α_{3} ⋮ α_{2 n - 1} 1 α_{2} ⋮ α_{2 n - 2} 0 α_{1} ⋮ α_{2 n - 3} 01 ⋮ α_{2 n - 4} \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ α_{n},

\begin{array}[]{c}D_{1\omega}=\alpha_{1}=\sum\limits_{q=0}^{\infty}\omega^{-q}d_{1q},\quad D_{2\omega}=\begin{vmatrix}\alpha_{1}&1\\ \alpha_{3}&\alpha_{2}\end{vmatrix}=\sum\limits_{q=0}^{\infty}\omega^{-q}d_{2q},\dots,\\ D_{n\omega}=\det\Gamma=\sum\limits_{q=0}^{\infty}\omega^{-q}d_{nq}.\end{array}

\begin{array}[]{c}D_{1\omega}=\alpha_{1}=\sum\limits_{q=0}^{\infty}\omega^{-q}d_{1q},\quad D_{2\omega}=\begin{vmatrix}\alpha_{1}&1\\ \alpha_{3}&\alpha_{2}\end{vmatrix}=\sum\limits_{q=0}^{\infty}\omega^{-q}d_{2q},\dots,\\ D_{n\omega}=\det\Gamma=\sum\limits_{q=0}^{\infty}\omega^{-q}d_{nq}.\end{array}

\frac{d x}{d t} = 000000 - 1 0 - 1 + \frac{1}{ω} 112012 - 1 - 1 - 2 x \equiv (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{01}) x \equiv A_{1 ω} x,

\frac{d x}{d t} = 000000 - 1 0 - 1 + \frac{1}{ω} 112012 - 1 - 1 - 2 x \equiv (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{01}) x \equiv A_{1 ω} x,

\frac{d x}{d t} = 000000 - 1 0 - 1 + \frac{1}{ω} 102010 - 1 0 - 2 x \equiv (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{02}) x \equiv A_{2 ω} x,

\frac{d x}{d t} = 000000 - 1 0 - 1 + \frac{1}{ω} 102010 - 1 0 - 2 x \equiv (A_{0} + \frac{1}{ω} B_{02}) x \equiv A_{2 ω} x,

∣ λ E - A_{1 ω} ∣ = λ^{3} + λ^{2} + \frac{1}{ω ^{2}} λ + \frac{1}{ω ^{2}}, ∣ λ E - A_{2 ω} ∣ = λ^{3} + λ^{2} - \frac{1}{ω ^{2}} λ - \frac{1}{ω ^{2}}

∣ λ E - A_{1 ω} ∣ = λ^{3} + λ^{2} + \frac{1}{ω ^{2}} λ + \frac{1}{ω ^{2}}, ∣ λ E - A_{2 ω} ∣ = λ^{3} + λ^{2} - \frac{1}{ω ^{2}} λ - \frac{1}{ω ^{2}}

\begin{array}[]{c}\omega\frac{dy_{0}}{d\tau}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^{k}}\frac{dy_{k+1}}{d\tau}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{A_{0}}{\omega^{k}}(x_{k}+y_{k}(\tau))+\\ +\frac{B_{0}}{\omega}\left[\omega\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^{k}}\left(x_{k}+y_{k}(\tau)+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{k}^{j}a_{j}\right)\right]+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left[\omega\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^{k}}\left(x_{k}+y_{k}(\tau)+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{k}^{j}a_{j}\right)\right]e^{ilt}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}d_{l}e^{ilt}+d_{0},\end{array}

\begin{array}[]{c}\omega\frac{dy_{0}}{d\tau}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^{k}}\frac{dy_{k+1}}{d\tau}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{A_{0}}{\omega^{k}}(x_{k}+y_{k}(\tau))+\\ +\frac{B_{0}}{\omega}\left[\omega\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^{k}}\left(x_{k}+y_{k}(\tau)+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{k}^{j}a_{j}\right)\right]+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left[\omega\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\omega^{k}}\left(x_{k}+y_{k}(\tau)+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{k}^{j}a_{j}\right)\right]e^{ilt}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}d_{l}e^{ilt}+d_{0},\end{array}

\frac{d y _{0}}{d τ} = 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum B_{l} (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j}) e^{i l τ}, ⟨ y_{0} (τ)⟩ = 0

\frac{d y _{0}}{d τ} = 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum B_{l} (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j}) e^{i l τ}, ⟨ y_{0} (τ)⟩ = 0

y_{0} (τ) = 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{l}}{i l} (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j}) e^{i l τ} .

y_{0} (τ) = 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{l}}{i l} (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j}) e^{i l τ} .

\begin{array}[]{c}\frac{dy_{1}}{d\tau}=A_{0}(x_{0}+y_{0})+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}B_{0}a_{j}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left(x_{0}+y_{0}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}d_{l}e^{il\tau}+d_{0}.\end{array}

\begin{array}[]{c}\frac{dy_{1}}{d\tau}=A_{0}(x_{0}+y_{0})+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}B_{0}a_{j}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left(x_{0}+y_{0}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}d_{l}e^{il\tau}+d_{0}.\end{array}

0 = A_{0} x_{0} + j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} B_{0} a_{j} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{- l} B _{l}}{i l} (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j}) + d_{0},

0 = A_{0} x_{0} + j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} B_{0} a_{j} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{- l} B _{l}}{i l} (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} a_{j}) + d_{0},

A_{0} x_{0} + j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} A_{1} a_{j} + d_{0} = 0

A_{0} x_{0} + j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} A_{1} a_{j} + d_{0} = 0

(A_{1} a_{1}, z_{1}) (A_{1} a_{1}, z_{2}) ⋮ (A_{1} a_{1}, z_{s}) (A_{1} a_{2}, z_{1}) (A_{1} a_{2}, z_{2}) ⋮ (A_{1} a_{2}, z_{s}) \dots \dots ⋱ \dots (A_{1} a_{s}, z_{1}) (A_{1} a_{s}, z_{2}) ⋮ (A_{1} a_{s}, z_{s}) C_{- 1}^{1} C_{- 1}^{2} \dots C_{- 1}^{s} = - (d_{0}, z_{1}) (d_{0}, z_{2}) \dots (d_{0}, z_{s}) \equiv b_{- 1}

(A_{1} a_{1}, z_{1}) (A_{1} a_{1}, z_{2}) ⋮ (A_{1} a_{1}, z_{s}) (A_{1} a_{2}, z_{1}) (A_{1} a_{2}, z_{2}) ⋮ (A_{1} a_{2}, z_{s}) \dots \dots ⋱ \dots (A_{1} a_{s}, z_{1}) (A_{1} a_{s}, z_{2}) ⋮ (A_{1} a_{s}, z_{s}) C_{- 1}^{1} C_{- 1}^{2} \dots C_{- 1}^{s} = - (d_{0}, z_{1}) (d_{0}, z_{2}) \dots (d_{0}, z_{s}) \equiv b_{- 1}

j = 1 \sum s μ_{j} (A_{1} a_{j}, z_{k}) = 0, k = 1, \dots, s, j = 1 \sum s μ_{j}^{2} \neq = 0.

j = 1 \sum s μ_{j} (A_{1} a_{j}, z_{k}) = 0, k = 1, \dots, s, j = 1 \sum s μ_{j}^{2} \neq = 0.

C_{- 1}^{j} = (Δ^{- 1})_{j} b_{- 1}, j = 1, \dots, s

C_{- 1}^{j} = (Δ^{- 1})_{j} b_{- 1}, j = 1, \dots, s

x_{0} = - W (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} A_{1} a_{j} + d_{0}),

x_{0} = - W (j = 1 \sum s C_{- 1}^{j} A_{1} a_{j} + d_{0}),

\begin{array}[]{c}\frac{dy_{1}}{d\tau}=\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left(x_{0}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}d_{l}e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{A_{0}B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l_{1}|,|l_{2}|\leqslant m,l_{1}+l_{2}\neq 0}\frac{B_{l_{2}}B_{l_{1}}}{il_{1}}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{i(l_{1}+l_{2})\tau},\left(y_{0}(\tau)\right)=0,\end{array}

\begin{array}[]{c}\frac{dy_{1}}{d\tau}=\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left(x_{0}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}d_{l}e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{A_{0}B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l_{1}|,|l_{2}|\leqslant m,l_{1}+l_{2}\neq 0}\frac{B_{l_{2}}B_{l_{1}}}{il_{1}}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{i(l_{1}+l_{2})\tau},\left(y_{0}(\tau)\right)=0,\end{array}

\begin{array}[]{c}y_{1}(\tau)=\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}x_{0}}{il}e^{il\tau}-\\ -\sum\limits_{1\leqslant|l_{1}|,|l_{2}|\leqslant m,l_{1}+l_{2}\neq 0}\frac{B_{l_{2}}B_{l_{1}}}{(l_{1}+l_{2})l_{1}}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{i(l_{1}+l_{2})\tau}-\\ -\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{A_{0}B_{l}}{l^{2}}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{d_{l}}{il}e^{il\tau}\equiv\\ \equiv\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant 2m}\beta_{l}^{1}e^{il\tau},\end{array}

\begin{array}[]{c}y_{1}(\tau)=\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}x_{0}}{il}e^{il\tau}-\\ -\sum\limits_{1\leqslant|l_{1}|,|l_{2}|\leqslant m,l_{1}+l_{2}\neq 0}\frac{B_{l_{2}}B_{l_{1}}}{(l_{1}+l_{2})l_{1}}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{i(l_{1}+l_{2})\tau}-\\ -\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{A_{0}B_{l}}{l^{2}}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{d_{l}}{il}e^{il\tau}\equiv\\ \equiv\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{0}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant 2m}\beta_{l}^{1}e^{il\tau},\end{array}

y_{r} (τ) = 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{l}}{i l} (j = 1 \sum s C_{r - 1}^{j} a_{j}) e^{i l τ} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ (r + 1) m \sum β_{l}^{r} e^{i l τ},

y_{r} (τ) = 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum \frac{B _{l}}{i l} (j = 1 \sum s C_{r - 1}^{j} a_{j}) e^{i l τ} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ (r + 1) m \sum β_{l}^{r} e^{i l τ},

\begin{array}[]{c}y_{p+1}(\tau)=\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{p}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant(p+2)m}\beta_{l}^{p+1}e^{il\tau},\end{array}

\begin{array}[]{c}y_{p+1}(\tau)=\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}}{il}\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{p}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant(p+2)m}\beta_{l}^{p+1}e^{il\tau},\end{array}

\begin{array}[]{c}\frac{dy_{p+1}}{d\tau}=A_{0}(x_{p}+y_{p})+B_{0}\left(x_{p-1}+y_{p-1}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{p-1}^{j}a_{j}\right)+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left(x_{p}+y_{p}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{p}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}.\end{array}

\begin{array}[]{c}\frac{dy_{p+1}}{d\tau}=A_{0}(x_{p}+y_{p})+B_{0}\left(x_{p-1}+y_{p-1}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{p-1}^{j}a_{j}\right)+\\ +\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{l}\left(x_{p}+y_{p}+\sum\limits_{j=1}^{s}C_{p}^{j}a_{j}\right)e^{il\tau}.\end{array}

A_{0} x_{p} + j = 1 \sum s C_{p - 1}^{j} A_{1} a_{j} + B_{0} x_{p - 1} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum B_{- l} β_{l}^{p} = 0.

A_{0} x_{p} + j = 1 \sum s C_{p - 1}^{j} A_{1} a_{j} + B_{0} x_{p - 1} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum B_{- l} β_{l}^{p} = 0.

j = 1 \sum s C_{p - 1}^{j} A_{1} a_{j} + B_{0} x_{p - 1} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum B_{- l} β_{l}^{p}, z_{k} = 0, k = 1, \dots, s,

j = 1 \sum s C_{p - 1}^{j} A_{1} a_{j} + B_{0} x_{p - 1} + 1 ⩽ ∣ l ∣ ⩽ m \sum B_{- l} β_{l}^{p}, z_{k} = 0, k = 1, \dots, s,

\Delta\large\left(\begin{array}[]{c}C_{p-1}^{1}\\ C_{p-1}^{2}\\ \cdots\\ C_{p-1}^{s}\end{array}\right)=b_{p-1},

\Delta\large\left(\begin{array}[]{c}C_{p-1}^{1}\\ C_{p-1}^{2}\\ \cdots\\ C_{p-1}^{s}\end{array}\right)=b_{p-1},

Peer Reviews

No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.

Videos

No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.

Taxonomy

TopicsDifferential Equations and Boundary Problems · Differential Equations and Numerical Methods · Material Science and Thermodynamics

Full text

Высокочастотные асимптотики периодических по времени решений систем дифференциальных уравнений в критическом случае

Левенштам В. Б., Нгуен Л. К., Ишмеев М. Р

Аннотация

Для двух линейных эволюционных систем дифференциальных уравнений — нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и системы уравнений в частных производных с оператором Стокса в главной части — с быстро осцилирующими по времени коэффициентами в случае кратного вырождения усредненного стационарного оператора рассмотрена задача о периодических по времени решениях. Доказаны результаты о существовании и единственности таких решений и построены с обоснованием асимптотические разложения последних. Для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, кроме того, установлена сходимость асимптотического ряда в обычном смысле и исследованы вопросы об устойчивости по Ляпунову решения.

УДК 519.4+513.88

Ключевые слова: линейная нормальная система дифференциальных уравнений, оператор Стокса, высокочастотная осцилляция коэффициентов, метод усреднения, полная асимптотика, критический случай, метод пограничного слоя.

Введение

В работах [1], [2] рассматривается нормальная система линейных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, для которой предельная (усредненная в смысле [3]) стационарная задача имеет простое нулевое собственное значение. Установлены существование и единственность периодического решения данной системы и построена его полная асимптотика по степеням малой величины, обратной частоте осцилляций коэффициентов системы, в двух случаях: когда собственный вектор, отвечающий простому нулевому собственному значению предельной стационарной задачи, не имеет обобщенных (в смысле Вишика-Люстерника [4]) присоединенных векторов [1], и когда имеет обобщенный присоединенный вектор [2]. Исследованы также вопросы устойчивости и неустойчивости по Ляпунову этого решения и доказана сходимость в обычном смысле асимптотического ряда.

В работах [5]–[6] рассматривались линейные параболические задачи в случае простого вырождения стационарной предельной задачи при отсутствии и наличии обобщенных присоединенных векторов 1-го порядка. Доказаны результаты о существовании и единственности периодических по времени решений, а также при помощи метода пограничного слоя [7] построены их асимптотические разложения. Аналогичные результаты получены в [8], [9] для линейных систем уравнений в частных производных с оператором Стокса в главной части также в случае простого вырождения.

В первом параграфе работы рассматривается возмущённая нормальная система того же вида, что в [1], [2]. Однако предельная стационарная задача имеет нулевое собственное значение произвольной конечной кратности. Предполагается, что все собственные векторы предельной задачи , отвечающие нулевому собственному значению, не имеют обобщенных присоединенных (в смысле Вишика-Люстерника) векторов. Для указанной системы решены те же, что в [1], [2], вопросы.

Во втором параграфе работы исследуется линейная система уравнений в частных производных с оператором Стокса в главной части в случае кратного вырождения стационарной предельной задачи. Доказаны существование и единственность периодического по времени решения, а также при помощи метода погранслоя построена и обоснована его асимптотика в равномерных по области метриках.

Отметим, что результаты §1 были получены в магистерской диссертации Л. К. Нгуена в 2012 г. В работе Л. И. Сазонова [10] доказаны существование и единственность периодических решений, а также построены полные асимптотики последних для линейных дифференциальных уравнений с ограниченными быстро осциллириющими коэффициентами в банаховых пространствах в случае произвольного (в частности кратного) вырождения. В работе Л. И. Сазонова [11] аналогичные [10] результаты получены для уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Актуальный для приложений вопрос о погранслойных составляющих асимптотик, приближающих решение в равномерных метриках, в столь широкой постановке [11], естественно, не расматривался.

Работа частично поддержана Грантом РФФИ ( N12-01-00402-a ).

1 Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1 Основной результат

Обозначим через $M_{n}(C)$ множество квадратных матриц порядка $n$ с комплексными элементами, а через $C^{n}$ — множество $n$ -мерных вектор-столбцов с комплексными компонентами. Пусть $m,n\in N$ ; $A_{0},B_{l}\in M_{n}(C)$ ; $d_{l}\in C^{n}$ , $0\leqslant|l|\leqslant m$ . Рассмотрим задачу о $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодическом решении системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

[TABLE]

где $\omega$ — большой параметр. Пусть $\lambda=0$ — собственное значение матрицы $A_{0}$ , $\{a_{1},a_{2},\dots,a_{s}\}$ — некоторый базис собственного подпространства $\ker A_{0}$ , $(1\leqslant s\leqslant n)$ . Введём в рассмотрение матрицу

[TABLE]

Будем предполагать, что все собственные векторы с нулевым собственным значением матрицы $A_{0}$ не имеют присоединенных относительно матриц $A_{0}$ , $A_{1}$ векторов (см., например [4]), т.е. уравнение

[TABLE]

не имеет решений для любого нетривиального набора чисел $\mu_{1},\dots,\mu_{s}$ .

При указанных условиях имеет место следующее утверждение

Теорема 1.

Система (1) при достаточно больших $\omega$ имеет единственное $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодическое решение, представимое в виде равномерно и абсолютно сходящегося на оси $t\in R$ ряда

[TABLE]

где $C_{-1}^{j},C_{k}^{j}\in C$ ; $x_{k}\in C^{n}$ ; $y_{k}:R\rightarrow C^{n}$ — $2\pi$ -периодические вектор-функции с нулевым средним, $j=1,\dots,s$ , $k=0,1,2,\dots$ , которые эффективно определяются. При этом существует такая постоянная $M_{0}$ , что для всех $t\in R$ при достаточно больших $\omega$ имеет место оценка

[TABLE]

$r=0,1,2,\dots$ , свидетельствующая о том, что ряд (2) - асимптотический.

Напомним при этом, что средним непрерывной $T$ -периодической функции $a(\tau)$ называется величина $\langle a(\tau)\rangle=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}a(\tau)d\tau$ , а среднее вектор-функции $(a_{1}(\tau),a_{2}(\tau),\dots,a_{n}(\tau))$ определяется равенством $\langle(a_{1}(\tau),a_{2}(\tau),\dots,a_{n}(\tau))\rangle=(\langle a_{1}(\tau)\rangle,\langle a_{2}(\tau)\rangle,\dots,\langle a_{n}(\tau)\rangle)$ .

Под эффективностью нахождения коэффициентов ряда (2) понимаем тот факт, что нахождение каждого из них сводится к конечному числу арифметических действий над известными числами и функциями (см. п.3). Доказательство теоремы 1 изложено в п.3-5.

Заметим, что решение $x(t)$ будет вещественным, если коэффициенты правой части системы (1) вещественны.

Предполагается теперь, что матрицы $A_{0}$ , $B_{0}$ вещественны, а матрицы $B_{-l}$ , $B_{l}$ $(1\leqslant l\leqslant m)$ комплексно сопряжены, т.е. коэффициент при $x$ правой части системы (1) веществен. Рассмотрим соответствующую (1) однородную систему

[TABLE]

Производя здесь последовательно бесконечное число замен переменных Крылова-Боголюбова (см.[3], с.24) ( $x=y+\sum\limits_{1\leqslant l\leqslant m}\frac{1}{il\omega}B_{l}ye^{il\omega t}$ — первая из них), придем к формальной системе

[TABLE]

Рассмотрим характеристический многочлен $|\lambda E-A_{\omega}|=\lambda^{n}+\alpha_{1}\lambda^{n-1}+\dots+\alpha_{n}$ и составим по нему матрицу Гурвица

[TABLE]

где $\alpha_{s}=0$ , $\forall s>n$ . Детерминантами Гурвица, относящимся к формальной системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (4), являются все диагональные миноры $D_{j\omega}(j=1,\dots,n)$ матрицы Гурвица $\Gamma(\omega)$ . Пусть все эти детерминанты $D_{j\omega}$ $(j=1,\dots,n)$ , отличны от нуля. Разложим их в формальные ряды по степеням $\omega^{-1}$

[TABLE]

Обозначим через $d_{jq_{j}}$ , $j=1,2,\dots,n$ — первые ненулевые коэфициенты этих разложений. Имеет место следующее утверждение об устойчивости и неустойчивости по Ляпунову $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодического решения системы (1).

Теорема 2.

Если в разложениях по степеням $\omega^{-1}$ детерминантов Гурвица, относящимся к формальной системе (4), все первые ненулевые коэффициенты $d_{jq_{j}}(j=1,\dots,n)$ положительны, то при достаточно больших $\omega$ решение $x(t)$ системы (1) устойчиво по Ляпунову. Если же хотя бы один из первых ненулевых коэффициентов $d_{jq_{j}}(j=1,\dots,n)$ отрицателен, то решение $x(t)$ системы (1) неустойчиво.

Заметим, что если среди детерминантов Гурвица $D_{j\omega}(j=1,\dots,n)$ существуют тождественные нулю (хотя бы один), то об устойчивости и неустойчивости системы (1) ничего сказать нельзя. Действительно, рассмотрим следующие системы:

[TABLE]

и

[TABLE]

Очевидно, для систем (5), (6) выполняются все условия теоремы 1, т.е. матрица $A_{0}$ имеет двукратное нулевое собственное значение, и все её собственные векторы, отвечающие нулевому собственному значению, не имеют присоединённых относительно $A_{0}$ , $B_{01}$ (и также относительно $A_{0}$ , $B_{02}$ векторов). При этом

[TABLE]

Соответствующие детерминанты Гурвица систем (5), (6) равны при этом: $D^{(a)}_{1\omega}=D^{(b)}_{1\omega}=1$ , $D^{(a)}_{2\omega}=D^{(b)}_{2\omega}=D^{(a)}_{3\omega}=D^{(b)}_{3\omega}=0$ . Система (5), устойчива по Ляпунову,поскольку все корни её характеристического уравнения имеют неположительные вещественные части. Система (6) неустойчива, так как её характеристическое уравнение имеет корень $\lambda=\omega^{-1}>0$ .

Доказательство теоремы 2 опускается. Отметим лишь, что оно базируется на работе [12], а также использует идеи и подходы классической теории устойчивости (см., например [13]).

1.2 Нахождение коэффициентов асимптотического ряда (2)

Формальное асимптотическое разложение решения системы (1) на основании метода двухмасштабных разложений и метода Вишика-Люстерника (см.[4]) будем искать в виде (2). Подставляя (2) в (1), получим

[TABLE]

где $\tau=\omega t$ . Приравняем коэффициенты в левой и правой частях равенства (7) при одинаковых степенях $\omega$ . Начнём со старшей степени $\omega$ :

[TABLE]

так что

[TABLE]

Равенство коэффициентов в (7) при $\omega^{0}$ имеет вид

[TABLE]

Подставляя сюда $y_{0}(\tau)$ из (8) и применяя к полученному равенству операцию усреднения, получим равенство

[TABLE]

или

[TABLE]

Заметим, что число $\lambda=0$ является собственным значением сопряжённой к $A_{0}$ матрицы $A_{0}^{*}$ , ему также отвечает $s$ линейно независимых собственных векторов $z_{1},z_{2},\dots,z_{s}$ матрицы $A_{0}^{*}$ . При этом линейная оболочка, натянутая на векторы $z_{1},z_{2},\dots,z_{s}$ , совпадает со множеством всех собственных векторов матрицы $A_{0}^{*}$ , отвечающих собственному значению $\lambda=0$ . Уравнение (9) разрешимо относительно $x_{0}$ тогда и только тогда, когда вектор $\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}A_{1}a_{j}+d_{0}$ ортогонален этой оболочке, т.е. $\left(\sum\limits_{j=1}^{s}C_{-1}^{j}A_{1}a_{j}+d_{0},z_{k}\right)=0$ , $k=1,\dots,s$ . Последнее равносильно СЛАУ

[TABLE]

Докажем, что матрица $\Delta=(\sigma_{kj})_{k,j=1}^{s}\equiv\left((A_{1}a_{j},z_{k})\right)_{k,j=1}^{s}$ невырождена. Действительно, в противном случае обращалась бы в нуль некоторая линейная комбинация столбцов

[TABLE]

Но отсюда у собственного вектора $\sum\limits_{j=1}^{s}\mu_{j}a_{j}$ матрицы $A_{0}$ будет какой-то присоединённый относительно матриц $A_{0},A_{1}$ вектор, что невозможно в силу нашего предложения. Итак матрица $\Delta$ невырождена. Из (10) теперь находим

[TABLE]

где $\left(\Delta^{-1}\right)_{j}-j$ -ая строка обратной к $\Delta$ матрицы $\Delta^{-1}$ . Из (9) находим ещё

[TABLE]

где $W$ — обратный оператор (матрица) к сужению оператора (матрицы) $A_{0}$ на ортогональное дополнение векторов $a_{1},a_{2},\dots,a_{s}$ . Подставляя $C_{-1}^{j}$ из (11) в (8), определим $y_{0}(\tau)$ . Далее имеем

[TABLE]

так что

[TABLE]

где $\beta_{l}^{1}$ , $1\leqslant|l|\leqslant 2m$ — известные векторы.

Итак, определены числа $C_{-1}^{j}$ , $j=1,\dots,s$ , вектор $x_{0}$ и вектор-функция $y_{0}(\tau)$ . Предположим теперь, что для некоторого целого $p\geqslant 1$ определены числа $C_{-1}^{j},C_{0}^{j},\dots,C_{p-2}^{j}$ $(j=1,\dots,s)$ , векторы $x_{0},\dots,x_{p-1}$ , вектор-функции $y_{0},\dots,y_{p-1}$ . Кроме того, вектор-функции $y_{r}(\tau)(0\leqslant r\leqslant p)$ представимы в виде:

[TABLE]

где $\beta_{l}^{0}=0,\beta_{l}^{r}(1\leqslant r\leqslant p,1\leqslant|l|\leqslant(r+1)m$ — известные векторы. Докажем, что отсюда можно определить числа $C_{p-1}^{j}(j=1,\dots,s)$ , вектор $x_{p}$ и вектор-функцию $y_{p}(\tau)$ . Докажем также, что

[TABLE]

где $\beta_{l}^{p+1},1\leqslant|l|\leqslant(p+2)m$ — известные векторы. Действительно, приравняем коэффициенты в левой и правой частях равенства (7) при $\omega^{-p}$ :

[TABLE]

Подставляя сюда $y_{p-1}(\tau),y_{p}(\tau)$ вида (14), и применяя к полученному равенству операцию усреднения, придем к равенству

[TABLE]

Последнее разрешимо относительно $x_{p}$ тогда и только тогда, когда выполняются равенства

[TABLE]

т.е.

[TABLE]

где $b_{p-1}=(b_{p-1}^{1},\cdots,b_{p-1}^{s})$ , $b_{p-1}^{k}=\left(B_{0}x_{p-1}+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}B_{-l}\beta_{l}^{p},z_{k}\right)$ , $k=1,\dots,s$ . Отсюда находим

[TABLE]

Подставляя $C_{p-1}^{j},j=1,\dots,s$ в (14), определим вектор-функцию $y_{p}(\tau)$ . Из (15) находим ещё

[TABLE]

Далее

[TABLE]

так что

[TABLE]

где $\beta_{l}^{p+1}$ , $1\leqslant|l|\leqslant(p+2)m$ — известные векторы, определённые равенством

[TABLE]

Таким образом, можно найти все коэффициенты, векторы и вектор-функции, фигурирующие в формальной асимптотике (2).

1.3 Сходимость ряда (2) к решению системы (1)

Докажем, что существует такое число $\omega_{0}>0$ , что при $\omega>\omega_{0}$ ряд (2) с коэффициентами, определёнными в пункте 3, равномерно сходится и действительно является решением системы (1). В $C^{n}$ для любых двух векторов $x=(x_{1},\dots,x_{n})$ и $y=(y_{1},\dots,y_{n})$ определим скалярное произведение $(x,y)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\overline{y_{i}}$ , а также введем норму вектора $|x|=\sqrt{(x,x)}$ . Введём в $M_{n}(C)$ норму матрицы $A=(a_{ij})$ :

[TABLE]

Напомним при этом, что для любого вектора $x\in C^{n}$ и любой матрицы $A\in M_{n}(C)$ выполняется неравенство $|Ax|\leqslant\parallel A\parallel|x|$ .

Не теряя общности, будем считать, что при всех $l:0\leqslant|l|\leqslant m$ выполняются соотношения $\parallel A_{0}\parallel\leqslant 1,\parallel B_{l}\parallel\leqslant 1,|d_{l}|\leqslant 1$ . Действительно, этого всегда можно добиться заменой независимой переменной $t\rightarrow pt$ , $t\in R$ .Также можно считать, что $|a_{i}|=1,i=1,\dots,s$ . Введём ряд обозначений

[TABLE]

где векторы $\beta_{l}^{1}(1\leqslant|l|\leqslant 2m)$ определены соотношением (13), а векторы $\beta_{l}^{p}$ ( $p\geqslant 2$ , $1\leqslant|l|\leqslant(p+1)m$ ) — соотношением (19). Имеем для коэффициентов ряда (2) следующие соотношения

[TABLE]

Из соотношений (20) очевидно, что существует положительное $L$ такое, что выполняются равенства

[TABLE]

В силу (13) имеем теперь

[TABLE]

Далее, в силу (19) для всех $p\geqslant 2$ выполняется неравенство

[TABLE]

Положим $K=2m+2$ , $\varphi_{0}=2m$ , $\varphi_{p}=(2m+1)\mu_{p}+\mu_{p-1}+2mL|\theta_{p-1}|,p=1,2,\dots$ Докажем следующий результат для величин $\varphi_{p},p\geqslant 1$ .

Лемма 1.

При всех $p\geqslant 1$ имеет место неравенство

[TABLE]

Действительно, в силу (22) имеем

[TABLE]

При $p\geqslant 2$ в силу (22), (23) имеют место неравенства

[TABLE]

Лемма 1 доказана.

Докажем теперь следующий результат для векторов $\theta_{p}$ , $p=0,1,2,\dots$

Лемма 2.

Для любого целого числа $p\geqslant 0$ выполняется неравенство $|\theta_{p}|\leqslant K^{p}(KL+1)^{p}$ .

Доказательство. Имеем $|\theta_{0}|=|d_{0}|\leqslant 1$ . В силу соотношения (22) находим

[TABLE]

Используя соотношение (23) и лемму 1, для любого $p\leqslant 2$ имеем

[TABLE]

Лемма 2 доказана. В силу доказательства леммы 2 справедливо также неравенство

[TABLE]

Оценим теперь норму общего члена ряда (2). В силу леммы 1 и соотношения (24) для любого $p\geqslant 0$ , имеем

[TABLE]

где $C=(2mL+L+1)+LK(KL+1)$ — некоторое положительное постоянное. Положим $\omega_{0}=K(KL+1)$ . Таким образом, при достаточно больших $\omega>\omega_{0}$ ряд (2) сходится абсолютно и равномерно. Отсюда и в силу последнего соотношения нетрудно вывести оценку (3).

Проверим теперь, что сумма ряда (2) при достаточно больших $\omega$ действительно является решением системы (1). Пусть

[TABLE]

$r$ -ая частичная сумма ряда (3). Тогда $S_{\omega}^{(r)}$ при $\omega>\omega_{0}$ равномерно относительно $t\in R$ сходится к некоторой вектор-функции $x(t):S_{\omega}^{(r)}\rightrightarrows x(t)$ . Из равенства

[TABLE]

следует равномерная сходимость

[TABLE]

Отсюда находим

[TABLE]

так что

[TABLE]

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим

[TABLE]

т.е. $x(t)$ — решение системы (1).

1.4 Единственность $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодического по $t$ решения системы (1)

Докажем, что система (1) при указанных условиях и достаточно больших $\omega$ имеет не более одного $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодического решения. Ввиду $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодичности по $t$ коэффициентов системы (1) с каждым её решением $x(t)$ решением является $y(t)=x\left(t+\frac{2\pi}{\omega}\right)$ . Поэтому нам достаточно доказать, что система (1) имеет не более одного $N\frac{2\pi}{\omega}$ -периодического решения для некоторого натурального $N$ при достаточно больших $\omega$ .

Пусть $\varepsilon>0$ , $A_{1}=(b_{ij})$ , $\quad A_{\varepsilon}=A_{0}+\varepsilon A_{1}$ . Не нарушая общности, будем считать, что матрица $A_{0}$ задана в жордановой форме:

[TABLE]

где

[TABLE]

— клетка Жордана порядка $e_{r}$ $(r=1,\dots,s)$ , $\sum\limits_{r=1}^{s}e_{r}=p$ — кратность собственного значения $\lambda=0$ матрицы $A_{0}$ , $\lambda_{p+1}\lambda_{p+2}\cdots\lambda_{n}\neq 0$ , а $\beta_{j}(j=p+1,\dots,n-1)$ равно 1 или 0.

Положим $p_{r}=\sum\limits_{j=1}^{r}e_{j}+1$ $(r=1,\dots,s)$ . Тогда

[TABLE]

где для каждого вектора $a_{r}\quad(r=2,\dots,s)$ элемент 1 находится в $p_{r-1}$ -ой строке соответственно, являются линейно независимыми собственными векторами матрицы $A_{0}$ , отвечающими нулевому собственному значению, причём любой собственный вектор $a$ , отвечающий нулевым собственному значению матрицы $A_{0}$ имеет вид

[TABLE]

где компоненты $\mu_{r}\quad(r=1,\dots,s)$ вектора $a$ находятся в $p_{r-1}$ -ой строке соответственно. Так как все собственные векторы матрицы $A_{0}$ , отвечающие собственному значению $\lambda=0$ , не имеют присоединённых относительно матриц $A_{0}$ , $A_{1}$ векторов, то уравнение $A_{0}x=-A_{1}a$ не разрешимо для всех векторов $a$ вида (25). Поэтому для любого набора чисел $\mu_{1},\mu_{2},\dots,\mu_{s}$ , таких что $\sum\limits_{j=1}^{s}|\mu_{j}|\neq 0$ , выполняется хотя бы одно из следующих соотношений

[TABLE]

Следовательно, определитель

[TABLE]

Согласно регулярной теории возмущений (см., например [14]) существует нумерация собственных значений $\lambda_{j}$ , $\lambda_{j}^{\varepsilon}$ , $j=1,\dots,n$ матриц $A_{0}$ , $A_{\varepsilon}$ соответственно такая что $\lambda_{j}^{\varepsilon}=\lambda_{j}+o(1)$ при $\varepsilon\rightarrow 0$ , $j=1,\dots,n$ , причём $\lambda_{j}=0$ , $j=1,\dots,p$ . Кроме того, как известно, все собственные значения $\lambda_{j}^{\varepsilon},\quad j=1,\dots,p$ , матрицы $A_{\varepsilon}$ при достаточно малых $\varepsilon$ разлагаются в ряд по целым или дробным степеням $\varepsilon$ . Пусть $p_{j}>0$ (целые или дробные, $j=1,\dots,p$ ) — наименьшие степени $\varepsilon$ этих разложений с соответствующими первыми ненулевыми коэффициентами $\varphi_{j}$ $(j=1,\dots,p)$ , т. е.

[TABLE]

Докажем от противного, что $0<p_{j}\leqslant 1$ для всех $1\leqslant j\leqslant p$ . Действительно, в противном случае положим, что $\lambda_{0}^{\varepsilon}=\varphi_{0}\varepsilon^{p_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{\infty}\mu_{i}\varepsilon^{\alpha_{i}}$ , где $\varphi_{0}\neq 0$ , $1<p_{0}<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\dots$ — некоторое собственное значение матрицы $A_{\varepsilon}$ при достаточно малых $\varepsilon$ . Согласно теоремы Лапласа имеем

[TABLE]

где $y_{i}\in C,\xi_{i}>s$ для $i\geqslant s+1$ . С учётом (26) отсюда получим, что $\left|A_{\varepsilon}-\lambda_{0}^{\varepsilon}E\right|\neq 0$ , что невозможно, поскольку $\lambda_{0}^{\varepsilon}$ — собственное значение матрицы $A_{\varepsilon}$ . Итак, $0<p_{j}\leqslant 1$ для всех $1\leqslant j\leqslant p$ .

Пусть $R=\max\limits_{p+1\leqslant j\leqslant n}|\lambda_{j}|+1$ , тогда как множество $R^{+}$ несчётно, а множество $\left\{2k\pi i\lambda_{j}^{-1},\quad j=p+1,\dots,n,\quad k\in Z\right\}\cup\left\{2k\pi R^{-1},\quad k\in Z\right\}$ счётно, то существует такое число $T>0$ , что $TR\neq 2k\pi$ , $T\lambda_{j}\neq 2k\pi i$ , $\forall k\in Z$ , $j=p+1,\dots,n$ . Пусть $T_{\varepsilon}=\left[T(2\pi\varepsilon)^{-1}\right]2\pi\varepsilon$ , где $[a]$ — целая часть числа $a$ , тогда $T_{\varepsilon}=T+O(\varepsilon)$ при $\varepsilon\rightarrow 0$ . Поэтому выполняются следующие соотношения

[TABLE]

и при достаточно малых $\varepsilon$ имеют место неравенства $T_{\varepsilon}R\neq 2k\pi$ , $T_{\varepsilon}\lambda_{j}^{\varepsilon}\neq 2k\pi i$ , $\forall k\in Z$ , $j=1,\dots,n$ . Оценим теперь величину $\parallel\left(e^{T_{\varepsilon}A_{\varepsilon}}-E\right)^{-1}\parallel$ .

Лемма 3.

Для достаточно малых $\varepsilon$ выполняется неравенство $\parallel\left(e^{T_{\varepsilon}A_{\varepsilon}}-E\right)^{-1}\parallel<L\varepsilon^{-1}$ при некотором $L=const>0$ .

Действительно, пусть $\varphi=\min\limits_{1\leqslant j\leqslant p}|\varphi_{j}|$ , $\Gamma_{1}=\left\{\lambda\in C:|\lambda|=\frac{1}{2}\varphi\varepsilon\right\}$ , $\Gamma_{2}=\left\{\lambda\in C:|\lambda|=R\right\}$ . Тогда при достаточно малых $\varepsilon$ все собственные значения матрицы $A_{\varepsilon}$ лежат внутри области $\Omega$ , ограниченной котурами $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ . Положим $f(A)=\left(e^{T_{\varepsilon}A}-E\right)^{-1}$ и пусть контуры $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ ориентированы положительно. т.е. так, что при обходе вдоль области остаётся слева. Тогда (см. [14], c. 110)

[TABLE]

Заметим здесь, что $\left(\lambda E-A_{\varepsilon}\right)^{-1}=\left(det(\lambda E-A_{\varepsilon})\right)^{-1}(A_{ij})$ , где $(A_{ij})$ — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы $\lambda E-A_{\varepsilon}$ . Для доказательства леммы будем использовать следующие утверждения

Утверждение 1.

Для всех $\lambda\in\Gamma_{1}$ и при достаточно малых $\varepsilon$ существует такое число $L_{1}>0$ , что выполняется неравенство

[TABLE]

Доказательство. Пусть $\lambda\in\Gamma_{1}$ , тогда $\lambda=\beta_{0}\varepsilon$ , где $\beta_{0}\neq 0$ — некоторая постоянная. Рассмотрим случай, когда все клетки Жордана $K_{r}(r=1,\dots,s)$ жордановой формы матрицы $A_{0}$ являются кратными. т.е. $e_{1},e_{2},\dots,e_{s}>1$ . Имеем тогда при $\varepsilon\rightarrow 0$

[TABLE]

Положим

[TABLE]

и обозначим через $P_{ij}(i=q_{1},\dots,q_{s},j=1,p_{1},\dots,p_{s-1})$ — алгебраические дополнения элементов матрицы $P$ . Отсюда

[TABLE]

для всех $i=q_{1},\dots,q_{s},j=1,p_{1},\dots,p_{s-1})$ , а

[TABLE]

Так как в силу (26) $\det P\neq 0$ , то существует хотя бы одно алгебраическое дополнение $P_{ij}\neq 0$ . Отсюда вытекает неравенство

[TABLE]

при некотором $L_{1}=const>0$ и для достаточно малых $\varepsilon$ .

Рассмотрим теперь случай, когда среди клеток Жордана $K_{r}(r=1,\dots,s)$ жордановой формы матрицы $A_{0}$ существует некоторые простые клетки $K_{r_{1}},K_{r_{2}},\dots,K_{r_{l}}$ $(1\leqslant r_{1}<r_{2}<\dots<r_{l}\leqslant s$ . Положим

[TABLE]

где $\sigma_{k}=\beta_{0}$ , если $k\in\{r_{1},r_{2},\dots,r_{l}\}$ , а иначе $\sigma_{k}=0$ , и обозначим через $P^{\prime}_{ij}$ ( $i=q_{1},q_{2},\dots,q_{s}$ , $j=1,p_{1},p_{2},\dots,p_{s-1}$ ) — алгебраические дополнения элементов матрицы $P$ . Тогда имеют место следующие соотношения

[TABLE]

для всех $i=q_{1},q_{2},\dots,q_{s}$ , $j=1,p_{1},p_{2},\dots,p_{s-1}$ , а

[TABLE]

Поскольку $\det P\neq 0$ , а радиус окружности $\Gamma_{1}$ можно немного повернуть, то, не нарушая общности, можно считать, что $\det P^{\prime}\neq 0$

т.е. $\sum\limits_{i=0}^{\infty}\beta_{i}\varepsilon^{i+1}$ является собственным значением матрицы $A_{\varepsilon}$ . Для нахождения чисел $\beta_{i}$ , $i=1,2,\dots$ , положим $f_{i}=0,i=1,2,\dots$ Очевидно, что если для некоторого $s\geqslant 1$ известны все $\beta_{i}$ , $i=0,\dots,s-1$ , то $f_{s}=0$ есть уравнение первой степени для $\beta_{s}$ . Так как $\beta_{0}$ — известное число, то отсюда последовательно решив уравнения $f_{s}=0$ , $s=1,2,\dots$ находим числа $\beta_{i}$ , $i=1,2,\dots$ . Следовательно, число $\beta_{0}$ совпадает с каким-то числом $\varphi_{j}$ , $i=1,\dots,p$ , что невозможно в силу того, что $\lambda\in\Gamma_{1}$ . Итак, $\det P^{\prime}\neq 0$ . Отсюда следует неравенство (27). Утверждение 1 полностью доказано.

Утверждение 2.

Для всех $\lambda\in\Gamma_{2}$ и при достаточно малых $\varepsilon$ выполняется неравенство $\parallel(\lambda E-A_{\varepsilon})^{-1}\parallel\leqslant L_{2}$ при некотором $L_{2}=const>0$ .

Действительно, при $\lambda\in\Gamma_{2}$ имеем

[TABLE]

где $C_{ij}$ — некоторые постоянные, $i,j=1,\dots,n$ , $i\neq j$ . Отсюда следует

[TABLE]

Утверждение 2 доказано.

Далее для $\lambda\in\Gamma_{1}$ по правилу Лопиталя $\frac{e^{|T_{\varepsilon}\lambda|}-1}{|T_{\varepsilon}\lambda|}\rightarrow 1$ при $\varepsilon\rightarrow 0$ . Поэтому при достаточно малых $\varepsilon$ имеет место неравенство $\left|e^{T_{\varepsilon}\lambda}-1)^{-1}\right|\leqslant L_{3}\varepsilon^{-1}$ , где $L_{3}>0$ — некоторое постоянное. Имеем теперь $T_{\varepsilon}R-2l\pi=(T+O(\varepsilon))R-2l\pi=TR-2l\pi+O(\varepsilon)$ при $\varepsilon\rightarrow 0$ . Следовательно, для достаточно малых $\varepsilon$ , $|T_{\varepsilon}R-2l\pi|>\frac{\delta}{2}>0$ , $\forall l\in Z$ , где $\sigma=\min\{TR-2l\pi,l\in Z\}$ . Поэтому $|T_{\varepsilon}\lambda-2l\pi|>\frac{\delta}{2}>0$ , $\forall\lambda\in\Gamma_{2}$ , $\forall l\in Z$ . Тогда существует $\sigma=\sigma(\delta)>0$ такое, что $\left|e^{T_{\varepsilon}\lambda}-1\right|>\sigma$ для достаточно малых $\varepsilon$ , т.е. существует такое число $L_{4}>0$ , что $\left|(e^{T_{\varepsilon}\lambda}-1)^{-1}\right|\leqslant L_{4}$ , $\forall\lambda\in\Gamma_{2}$ . В силу утверждений 1 и 2 отсюда находим

[TABLE]

где $L_{5}$ , $L_{6}$ , $L$ — некоторые положительные постоянные. Лемма 3 доказана.

Докажем теперь, что при достаточно больших $\omega$ система (1) имеет не более одного $T_{\omega^{-1}}$ -периодического решения. Пусть $x^{(1)}(t)$ , $x^{(2)}(t)$ — два $T_{\omega^{-1}}$ -периодических решения системы (1), $x^{(0)}(t)=x^{(1)}(t)-x^{(2)}(t)$ . Тогда вектор-функция $x^{(0)}(t)$ удовлетворяет уравнению

[TABLE]

Производя в последнем последовательно замены переменных $x^{(0)}(t)=y(t)+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{B_{l}y(t)}{il\omega}e^{il\omega t}$ , $y(t)=z(t)+\sum\limits_{1\leqslant|l|\leqslant m}\frac{D_{l}z(t)}{il\omega^{2}}e^{il\omega t}$ , придём (см. [1]) к уравнению

[TABLE]

где $Q(t,\omega)$ — $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодическая относительно $t$ матрица-функция с равномерно ограниченной нормой: $\parallel Q(t,\omega)\parallel\leqslant C_{0}$ , $C_{0}>0$ не зависит от $\omega\gg 1$ , $t\in R$ . Как известно (см. [15], с. 34), $T_{\omega^{-1}}$ -периодическое решение $z(t)$ системы (29) удовлетворяет уравнению

[TABLE]

Заметим, что при $\omega\geqslant 1$ , $|T_{\omega^{-1}}|=\left|\left[T\frac{\omega}{2\pi}\right]\frac{2\pi}{\omega}\right|\leqslant T$ , $\parallel T_{\omega^{-1}}A_{\omega^{-1}}\parallel\leqslant C_{1}$ , где $C_{1}$ — некоторое положительное число. Тогда при достаточно больших $\omega$ в силу леммы 3 имеем $\forall t\in[0,T_{\omega^{-1}}]$

[TABLE]

где $C_{3}$ , $C_{4}$ , $C$ — некоторые положительные постоянные, независимые от $\omega$ . Отсюда следует, что $z\equiv 0$ при больших $\omega$ , т.е. при достаточно больших $\omega$ система (1) имеет не более одного $T_{\omega^{-1}}$ — периодического решения.

2 Линейная система в частным производных с оператором Стокса в главной части

2.1 Основной результат

Пусть $\Omega$ — ограниченная область в $R^{3}$ со сколь угодно гладкой границей $\partial\Omega$ , $m\in N$ , $\omega\gg 1$ . В бесконечном цилиндре $Q=\Omega\times R$ рассмотрим задачу о вещественных $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодических по времени $t$ решениях системы уравнений

[TABLE]

с граничным условием

[TABLE]

Здесь $x=(x_{1},x_{2},x_{3})\in\Omega$ , $t\in R$ , $u=u(x,t)$ — неизвестная трехмерная функция, а $B_{0}(x)$ , $C(x)$ , $L_{k}(x)$ и $d_{0}(x)$ , $d_{k}(x)$ — известные бесконечно гладкие матрицы-функции и вектор-функции соответственно, причем $B_{0}(x)$ , $C(x)$ и $d_{0}(x)$ — вещественные, а $L_{k}(x)$ , $d_{k}(x)$ комплексно сопряжены с $L_{-k}(x)$ , $d_{-k}(x)$ соответственно.

Символом $S_{2}(\Omega)$ будем обозначать замыкание по норме $L_{2}(\Omega)$ множества непрерывно дифференцируемых комплекснозначных вектор-функций $u$ , имеющих на $\partial\Omega$ равную нулю нормальную компоненту и удовлетворяющих условию $\mathop{div}u=0$ . Символом $\Pi$ обозначим известный ортогональный проектор в $L_{2}(\Omega)$ на $S_{2}(\Omega)$ (см. [16],[17]).

Введем теперь действующий в $S_{2}(\Omega)$ оператор $A=\Pi\Delta+\Pi B_{0}(x)$ , область определения $D(A)$ которого является замыканием по норме $W^{2}_{2}(\Omega)$ линеала гладких соленоидальных ( $div(u)=0$ ) вектор-функций, обращающихся в нуль на $\partial\Omega$ . Определим еще дифференциальное выражение $B=\Pi C(x)+\sum\limits_{1\leqslant|k|\leqslant m}\frac{\Pi L_{k}(x)\Pi L_{-k}(x)}{ik}$ . Предположим, что $\lambda=0$ — $n$ -кратное ( $n\in N$ ) собственное значение оператора $A$ , которому отвечает ортонормированный набор из $s(1\leqslant s\leqslant n)$ собственных функций: $e_{1}(x)$ , $e_{2}(x)$ , … , $e_{s}(x)$ . Будем предполагать, что ни одна собственная функция $e(x)$ оператора $A$ , отвечающая нулевому собственному значению, не имеет присоединенных относительно пары операторов $A$ , $B$ [4], т. е. задача

[TABLE]

не имеет классических решений, где $e(x)$ — любая собственная функция оператора $A$ . Согласно альтернативе Фредгольма, последнее равносильно соотношению

[TABLE]

где $b_{j}(x)$ , $j=1,2,\dots,s$ , — линейно независимые решения уравнения $A^{*}z(x)=0$ . Здесь $A^{*}$ — сопряженный к $A$ , а $(\cdot,\cdot)$ — скалярное произведение в $L_{2}(\Omega)$ . Покажем, что матрица $P\equiv\{(Be_{i}(x),b_{j}(x))\}_{i,j=1}^{s}$ невырождена. Действительно, составим линейную комбиницию из столбцов матрицы $P$ и приравняем ее к нулю:

[TABLE]

Если набор $c_{1}$ , $c_{2}$ , … , $c_{s}$ нетривиален, то из уравнения (36) следует нарушения условия (35), значит линейная комбинация столбцов обращается в ноль только при тривиальном наборе коэффициентов, а матрица $P$ невырождена.

C целью использования в дальнейшем метода пограничного слоя [7] перейдем в некоторой окрестности $\Omega_{0}$ границы $\partial\Omega$ области $\Omega$ к криволинейным координатам следующим образом. Через каждую точку $x\in\partial\Omega$ проведем внутреннюю нормаль, причем окрестность $\Omega_{0}$ будем считать настолько малой, что нормали в ней не пересекаются. В окрестности $\Omega_{0}$ положим $x=(\psi_{1},\psi_{2},r)$ , где $r$ расстояние от $x$ до границы $\partial\Omega$ по нормали, $\psi=(\psi_{1},\psi_{2})$ — координаты соответствующей точки границы.

Асимптотику вещественного $2\pi\omega^{-1}$ -периодического решения задачи (30)-(32) будем искать в виде

[TABLE]

Здесь $u_{k}$ , $y_{k}$ , $p_{k}$ , $m_{k}$ — регулярные, а $v_{k}$ , $z_{k}$ , $s_{k}$ , $n_{k}$ — погранслойные вектор-функции (см. [7]), причем $y_{k}$ , $z_{k}$ , $n_{k}$ являются $2\pi$ -периодическими по $\tau$ с нулевым средним, т. е.

[TABLE]

Погранслойные функции вначале определяются при $x\in\Omega_{0}$ , а затем продолжаются нулем вовнутрь области $\Omega$ и умножаются на соответствующую срезающую бесконечно дифференцируемую в $\Omega$ функцию.

Формулировке основного результата параграфа предпошлем ряд обозначений.

Задачей (A) назовем задачу Дирихле в $\bar{\Omega}$ вида

[TABLE]

где $G\in C^{\infty}(\bar{\Omega})$ , $(G,b_{j})=0$ , $j=1,2,\dots,s$ .

Задачей (B) — задачу Неймана в $\bar{\Omega}$

[TABLE]

где $\int\limits_{\Omega}g(x)dx=0$ , $g\in C^{\infty}(\bar{\Omega})$ . Как известно, задачи (A) и (B) однозначно разрешимы, если единственность $p$ и $q$ понимать с точностью до постоянного слагаемого.

Аналогичным образом, говоря о единственности решения $(u,p)$ системы (30)-(32), мы подразумеваем, что единственность его компоненты $p$ понимается с точностью до не зависящего от $x$ слагаемого.

Далее, определим частичные суммы $u^{n}_{\omega}$ и $p^{n}_{\omega}$ рядов (37), (38), заменив формально в (37), (38) $\infty$ на $n$ .

Теорема 3.

*Существует такое число $\omega_{0}$ , что при $\omega>\omega_{0}$ справедливы следующие утверждения.

Задача (30)-(32) имеет единственное $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодическое по $t$ решение $(u_{\omega}(x,t),p_{\omega}(x,t))$ , которое является вещественным и бесконечно дифференцируемым.
Построение вектор-функций $u_{\omega}^{n}$ , $p_{\omega}^{n}$ при каждом $n\geqslant-1$ сводится к решению конечного (зависящего от $n$ ) числа задач вида (A) и (B).
Для любого $l\geqslant 0$ и любого целого $n\geqslant-1$ справедливы оценки*

[TABLE]

где $c_{n,l}$ , $d_{n,l}=const>0$ .

2.2 Существование, единственность, гладкость и вещественность решения

Вначале напомним известные вспомогательные результаты (см., например, [16], [18], [19]). При этом символом $\|\cdot\|$ будем обозначать норму в пространстве $S_{2}(\Omega)\equiv H^{0}$ , а символом $Hom(B_{1},B_{2})$ , где $B_{1}$ , $B_{2}$ — банаховы пространства, — пространство линейных ограниченных операторов, действующих из $B_{1}$ в $B_{2}$ с обычной операторной нормой.

Определенный в п. 2.1 оператор $A$ , lдействующий в $H^{0}$ , замкнут и существуют такие положительные числа $a$ , $c$ , что при $Re\lambda\geqslant a$ справедлива оценка

[TABLE]

Из этой оценки следует, что $A$ порождает в $H^{0}$ аналитическую полугруппу $e^{tA}\in Hom(H^{0},H^{0})$ , $t\geqslant 0$ , и для любых $T>0$ , $\mu\in(0,1)$ , найдется постоянная $c$ , при которой для всех $u\in H^{0}$ выполняются неравенства

[TABLE]

Подействуем на уравнение (30) проектором $\Pi$ и перепишем (30)-(32) в операторной форме

[TABLE]

Здесь $A$ , $K=\Pi C(x)$ и $M_{k}=\Pi L_{k}(x)$ — линейные операторы в $H^{0}$ с областями определения

[TABLE]

$D(K)=D(M_{k})=D(A)$ ; $a_{s}(x)=\Pi d_{s}(x)$ — вектор-функции со значениями в $H^{0}$ .

Утверждение теоремы 3 о существовании и единственности решения задачи (30)-(32) эквивалентно аналогичному утверждению для уравнения (42). C доказательства последнего мы и начнем.

В уравнении (42) сделаем замену переменных типа замены Крылова-Боголюбова [3]

[TABLE]

Получим

[TABLE]

Отсюда находим

[TABLE]

Перепишем (43) в виде

[TABLE]

где

[TABLE]

Перейдем к исследованию некоторых спектральных характеристик оператора $A_{\omega}$ при $\omega\gg 1$ .

Пусть $r_{1}$ — столь малое положительное число, что внутри окружности $\Gamma_{1}=\{\lambda\in C:|\lambda|=r_{1}\}$ нет ненулевых собственных значений оператора $A$ . Введем спектральные проекторы:

[TABLE]

Обозначим через $n$ размерность образа $P$ и отметим, что далее в этом параграфе мы будем существенно использовать матричные представления операторов, связанные с определенными парами взаимно ортогональных проекторов. Представления такого рода активно использовал Л. И. Сазонов в работах [10], [11], [20].

Воспользуемся матричным представлением оператора

[TABLE]

Учитывая, что оператор $Q(A_{\omega}-\lambda I)Q$ при больших $\omega$ и $|\lambda|<r_{1}$ обратим в $QH^{0}$ , введем в рассмотрение оператор

[TABLE]

где

[TABLE]

При этом

[TABLE]

Далее учтем два следующих простых соображения. При больших $\omega$ и $|\lambda|<r_{1}$ оператор $J:H^{0}\rightarrow H^{0}$ обратим, причем

[TABLE]

а оператор $C_{\omega}$ обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор $C_{1\omega}$ , причем в этом случае

[TABLE]

откуда в силу равенства (46) следует что число $\lambda$ при $|\lambda|<r_{1}$ является собственным значением оператора $A_{\omega}$ при больших $\omega$ тогда и только тогда, когда оно является собственным значением конечномерного оператора $PAP+\omega^{-1}P[B-\omega^{-1}BQ(A_{\omega}-\lambda I)^{-1}QB]P$ в пространстве $PH^{0}$ .

Теперь заметим, что уравнение $Ax=Ba$ , $x\in H^{0}$ , $a\in KerA$ эквивалентно системе

[TABLE]

Поскольку второе уравнение этой системы однозначно разрешимо, то вектор $a\in\mathop{Ker}A$ не имеет присоединенных относительно пары операторов $A$ , $B$ в $H^{0}$ тогда и только тогда, когда он не имеет присоединенных относительно пары операторов $PAP$ , $PBP$ в $PH^{0}$ . Таким образом, вопрос о малых собственных значениях $\lambda_{\omega j}$ оператора $A_{\omega}$ , $\omega\gg 1$ , сведен к рассмотреному в §1 конечномерному случаю, поэтому:

[TABLE]

Как отмечалось выше, оператор $A$ порождает аналитическую полугруппу $e^{tA}$ , $t\geqslant 0$ , а потому в комплексной плоскости $C$ найдется острый угол $\{\lambda\in C:\arg(\lambda-a_{0})=\pm\theta_{0}\}$ , где $a_{0}>0$ , $\theta_{0}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ внутри которого лежит спектр оператора $A$ . Пусть $t_{0}$ — столь малое положительное число, что при всех ненулевых $\lambda\in C$ , лежащих внутри угла $\Gamma_{0}$ , $e^{\lambda t_{0}}\neq 1$ . Определенное выше число $\omega_{0}$ будем, по-прежнему, считать достаточно большим. Введем в рассмотрение при $\omega>\omega_{0}$ окружность $\gamma_{\omega}=\{\lambda\in C:|\lambda|=r_{0}\omega^{-1}\}$ и число $T_{\omega}=\frac{2\pi}{\omega}\left[t_{0}\frac{\omega}{2\pi}\right]$ . Тогда при больших $\omega$ действующий в $H^{0}$ оператор $I-e^{T_{\omega}A_{\omega}}$ обратим и справедливо следующее представление, которое понадобится нам в дальнейшем:

[TABLE]

где контуры $\Gamma_{0}$ , $\gamma_{\omega}$ ориентированы так, что при движении вдоль них спектр оператора $A_{\omega}$ лежит слева.

Задача о классических $2\pi\omega^{-1}$ -периодических по $t$ решениях уравнения (44) эквивалентна задаче о $T_{\omega}$ -периодических решениях этого же уравнения. Последняя же эквивалентна задаче о решениях $z\in C_{\mu}([0,t_{0}],H^{0})\equiv C_{\mu}(H^{0})$ , $\mu\in(0,1)$ , уравнения

[TABLE]

Рассмотрим оператор $K_{\omega}:C_{\mu}(H^{0})\rightarrow C_{\mu}(H^{0})$ при $\omega>\omega_{0}$ . Существование и единственность решения уравнения (50) вытекает из следующего утверждения.

Лемма 4.

Оператор $K_{\omega}:C_{\mu}(H^{0})\rightarrow C_{\mu}(H^{0})$ при $\omega>\omega_{0}$ , где $\omega_{0}$ достаточно велико, удовлетворяет оценке

[TABLE]

Для доказательства последнего неравенства достаточно установить оценки

[TABLE]

Интегральные операторы $K_{\omega i}$ , $i=1,2$ , оцениваются аналогично, поэтому ограничимся лишь оценкой $K_{\omega 2}$ , в котором дополнительно (по сравнению с $K_{\omega 1}$ ) cодержится операторный сомножитель $\left(I-e^{T_{\omega}A_{\omega}}\right)^{-1}$ . Начнем с матричного представления резольвенты (см. (46)-(48)):

[TABLE]

Для $\forall x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}\in PH^{0}\times QH^{0}$ находим:

[TABLE]

Из соотношений (49), (53) следуют представления:

[TABLE]

Оценка (52) для оператора $K_{\omega 2}$ , определяемого равенством (50), осуществляется по хорошо разработанной в теории метода усреднения схеме (см., например, [19], [21] и формулы (40), (41)). При этом стандартным образом оценивается оператор $R_{\omega}$ и используются следующие две леммы.

Лемма 5.

При $\mu\in(0,1)$ для любых $t\in[0,t_{0}]$ , $\tau\in[0,T_{\omega}]$ и $\omega>\omega_{0}$ , где $\omega_{0}$ — достаточно большое число, справедливы оценки:

[TABLE]

где $c$ — не зависящая от $t$ , $\omega$ и $x$ постоянная.

Лемма 6.

При любом $t\in[t,t_{0}]$ и $\omega>\omega_{0}$ , где $\omega_{0}$ — достаточно большое число, справедлива оценка:

[TABLE]

где $c_{0}$ — не зависящая от $t$ , $\omega$ постоянная.

При доказательстве леммы 5 используются представления (54), (55) операторов $Z_{\omega}^{(i)}$ , $i=\overline{1,4}$ и (45), (46) операторов $C_{k\omega}$ , $k=\overline{0,3}$ . Кроме того, при оценке конечномерного оператора $Z_{\omega}^{(2)}(t)$ используется та же, что в п. 1.4, методика.

Для доказательства леммы 6, очевидно, достаточно установить оценку:

[TABLE]

где $A_{0}=\Pi\Delta$ , а $c_{1}$ — независящая от $t$ , $\omega$ и $k$ , $0<|k|\leqslant m$ постоянная. С этой целью введем в рассмотрение множество $M_{0}$ гладких соленоидальных финитных в $\Omega$ вектор-функций. Согласно лемме 5.2 [16] множество $M_{0}$ плотно в $S_{2}$ . При этом для любых $u,v\in M_{0}$ имеем:

[TABLE]

где

[TABLE]

Откуда следует, что

[TABLE]

где $c_{1}=const$ , таким образом неравенства (56), (57) доказаны.

Из неравенства (51), в силу принципа сжатых отображений, следует существование единственного решения $z\in C_{\mu}([0,T_{\omega}],H^{0})$ уравнения (50) при больших $\omega$ , т. е. $z(t)$ является слабым решением задачи (30)-(32) с начальным условием $z|_{t=0}=z(0)$ . Слагаемые уравнения (50), содержащие $\frac{d}{dt}$ проинтегрируем по частям. После этого выберем и подставим в правую часть последовательность $\{z^{(n)}\}_{n=1}^{\infty}\in C_{\mu}([0,T_{\omega}],H^{0}\cap W_{2,0}^{2}(\Omega))$ , которая сходится к $z$ по норме $H^{0}$ . Здесь и далее символом $W_{p,0}^{j}(\Omega)$ обозначается замыкание по норме $W_{p}^{j}(\Omega)$ гладких вектор-функций, обращающихся в нуль на границе $\partial\Omega$ . Тогда для соответствующей последовательности $\{\bar{z}^{(n)}\}_{n=1}^{\infty}$ левых частей получим

[TABLE]

Таким образом, $z\in C_{\mu,0}([0,T_{\omega}],H^{0}(\Omega)\cap W_{2,0}^{1}(\Omega))$ . Из [24] теперь следует, что

[TABLE]

поэтому $z(t)$ удовлетворяет задаче (30)-(32) в $C_{\mu}([0,T_{\omega}],H^{0})$ .

Обозначим символом $C_{\mu}(R,B)$ обычное банахово пространство вектор-функций $z:R\rightarrow B$ , удовлетворяющих равномерному условию Гельдера с показателем $\mu$ . Продолжим вектор-функцию $z(t)$ $T_{\omega}$ -периодическим образом на всю ось $t\in R$ , оставим за продолжением прежнее обозначение. Из (58) следует, что

[TABLE]

В силу $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодичности коэффициентов исходной задачи (30)-(32) и доказанной выше единственности решения задачи (30)-(32) в смысле $C_{\mu}([0,T_{\omega}],H^{0})$ , $z(t)$ является единственным $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодическим решением указанной задачи. Из соотношения (51) следует оценка при больших $\omega$ :

[TABLE]

Для завершения доказательства утверждения 1 осталось установить бесконечную дифференцируемость решения $z(x,t)$ : $z\in C^{\infty}(\bar{Q})$ . Пусть $\chi(t)$ , $t\in[0,1]$ , — бесконечно-дифференцируемая функция такая что $\chi(t)\neq 0$ , $t\in(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ и

[TABLE]

Вектор-функция $v(t)=\chi(t)z(t)$ , $t\in[0,1]$ , очевидно, является решением задачи Коши

[TABLE]

Поскольку коэффициенты левой части (61) и граница $\partial\Omega$ бесконечно дифференцируемы, а также для этой задачи выполнены условия согласования сколь угодно высокого порядка, то будем к ней применять теорему 2 из [24]. В силу $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодичности вектор-функции $z(x,t)$ по $t$ получим тогда, что $z\in C^{\infty}(\overline{Q})$ .

2.3 Построение асимптотики

Проведем теперь замену $\rho=r\sqrt{\omega}$ и воспользуемся известными (см., например, [22], [23]) соотношениями для операторов $\Delta$ , $\nabla$ , $\mathop{div}$ в криволинейных координатах $(\psi_{1},\psi_{2},r)$ :

[TABLE]

(символ $\Delta$ здесь отождествляется с матричным выражением $\Delta E$ , где $E$ — единичная матрица третьего порядка),

[TABLE]

Здесь $P_{-1}(\psi,\rho)p=\left(0,0,\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)^{T}$ , $N_{-2}(\psi,\rho)u=\left(\frac{\partial^{2}u^{(1)}}{\partial\rho^{2}},\frac{\partial^{2}u^{(2)}}{\partial\rho^{2}},0\right)^{T}$ , а остальные $P_{k}$ , $N_{k}$ , $D_{j,k}$ — дифференциальные выражения относительно $(\psi,\rho)$ с равномерно ограниченными относительно $(\psi,\rho)$ коэффициентами, $u^{(i)}$ , $i=1,2,3$ , — $i$ -ая криволинейная координата вектора $u$ .

Подставим ряды (37) и (38) в уравнения (30), (31) и граничное условие (32), сделав предварительно замену переменной $\tau=\omega t$ :

[TABLE]

В равенствах (65)-(67) с учетом представлений (62)-(64) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\omega$ отдельно для регулярных и погранслойных функций. Получим бесконечную последовательность задач. Выпишем первые из них. Из уравнений $(\ref{div})$ , $(\ref{eq:divC})$ для погранслойных функций получим

[TABLE]

так что $z_{-1}^{(3)}(\psi,\rho,\tau)\equiv 0$ , $v_{-1}^{(3)}(\psi,\rho)\equiv 0$ . Из уравнений (65)-(66) для регулярных функций находим

[TABLE]

Нижним индексом $n$ мы обозначаем проекцию вектора на внутреннюю нормаль к $\partial\Omega$ . Положим $y_{-1}=0$ , $m_{-3}=0$ . Для погранслойных функций имеем:

[TABLE]

Применяя к последнему равенству операцию усреднения и учитывая граничные условия, получим следующие четыре задачи

[TABLE]

Из соотношений (69)-(72) находим $z_{-1}^{(1,2)}\equiv 0$ , $v_{-1}^{(1,2)}\equiv 0$ , $s_{-2}\equiv 0$ , $n_{-2}\equiv 0$ .

Приравняем коэффициенты при степени $\omega$ . Снова из уравнения $(\ref{eq:divC})$ получим

[TABLE]

Откуда найдем $z_{0}^{(3)}(\psi,\rho,\tau)$ и $v_{0}^{(3)}(\psi,\rho)$ . Для регулярных функций

[TABLE]

Отсюда

[TABLE]

где $n$ — внутренняя нормаль к $\partial\Omega$ . Теперь легко найдем $m_{-2}$ из задачи (74) и $y_{0}$ из задачи (73), зависящие от коэффициентов $c^{j}_{-2}$ , $j=1,2,\dots,s$ . При этом $y_{0}(x,\tau)=\sum\limits_{1\leqslant|k|\leqslant m}\frac{L_{k}}{ik}\sum\limits_{j=1}^{s}c^{j}_{-2}e_{j}(x)e^{ik\tau}$ . Из основного уравнения (65) для погранслойных функций получим

[TABLE]

где $q_{0}$ , $q_{1}$ — известные погранслойные вектор-функции, причем $q_{1}$ является $2\pi$ -периодической с нулевым средним по $\tau$ . Применяя операцию усреднения и учитывая граничные условия, получим задачи

[TABLE]

Так найдем первые две компоненты вектора $z_{0}$ , зависящие от неизвестных пока коэффициентов $c^{j}_{-2}$ , $j=1,2,\dots,s$ , а также $v_{0}^{(1,2)}$ и $s_{-1}$ .

Приравняем теперь коэффициенты при $\omega^{\frac{1}{2}}$ . Для регулярных функций имеем

[TABLE]

применим операцию усреднения, получим задачу для $u_{-1}$

[TABLE]

К задачам для последовательного нахождения $z^{3}_{1}$ , $v^{3}_{1}$ , $m_{-1}$ , $y_{1}$ , $z^{(1,2)}_{1}$ , $v^{(1,2)}_{3}$ , $s_{0}$ и $n_{0}$ вернемся после нахождения неизвестных коэффициентов $c^{j}_{-2}$ , $j=1,2,\dots,s$ .

Теперь приравняем коэффициенты при $\omega^{0}$

[TABLE]

применим операцию усреднения

[TABLE]

Избавимся от неоднородности в граничном условии, подействуем проектором Вейля, и в качестве условия разрешимости для этой задачи получим систему линейныйх алгебраических уравнений

[TABLE]

с известным столбцом свободных членов ( $f_{0}(x)$ — известная вектор-функция) и основной матрицей невырожденной матрицей $P$ . Таким образом, система (79) однозначно разрешима. Возвращаясь к задаче (75), однозначно находим $m_{-2}$ , $y_{0}$ , $z^{(1,2)}_{0}$ . Теперь можно вернуться к нерешенным на предыдущем шаге задачам (см. выше). Продолжим этот процесс.

Допустим известны все коэффициенты вплоть до $y_{j-5}(x,\tau)$ , $u_{j-5}(x)$ , $z^{(1,2)}_{j-5}(\psi,\rho,\tau)$ , $z^{3}_{j-4}(\psi,\rho,\tau)$ , $v_{j-4}(\psi,\rho)$ , $p_{j-5}(x)$ , $m_{j-7}(x,\tau)$ , $s_{j-4}(\psi,\rho)$ , $n_{j-4}(\psi,\rho,\tau)$ , $c^{l}_{j-5}$ включительно, $l=1,2,\dots,s$ . Причем $y_{j-4}$ , $m_{j-6}$ , $z^{(1,2)}_{j-4}$ зависят от неизвестного пока коэффициента $c^{l}_{j-6}$ , $l=1,2,\dots,s$ . На $j$ -м шаге, приравняв коэффициенты при $\omega^{-\frac{j-4}{2}}$ , для регулярных функций получим

[TABLE]

применим операцию усреднения, избавимся от неоднородности в граничных условиях и получим задачу для $u_{j-4}$

[TABLE]

Подействуем проектором Вейля, и в качестве условия разрешимости для этой задачи получим систему линейныйх алгебраических уравнений

[TABLE]

с известным столбцом свободных членов ( $f(x)$ — известная вектор-функция) и основной невырожденной матрицей вида $P$ . Cистема (80) однозначно разрешима.Теперь однозначно находим $y_{j-4}$ , $m_{j-6}$ , $z^{(1,2)}_{j-4}$ . Следующим шагом, как и показано выше, последовательно найдем $z^{(3)}_{j-3}$ , $v^{(3)}_{j-3}$ , $m_{j-5}$ , $y_{j-3}$ , $z^{(1,2)}_{j-3}$ , $v^{(1,2)}_{j-3}$ , $s_{j-4}$ , $n_{j-4}$ . Причем $m_{j-5}$ , $y_{j-3}$ , $z^{(1,2)}_{j-3}$ зависят от неизвестных пока коэффициентов $c^{l}_{j-5}$ , $l=1,2,\dots,s$ . Для погранслойных функций из основного уравнения (65) получим

[TABLE]

т. е.

[TABLE]

где $q_{0}$ , $q_{1}$ — известные вектор-функции, причем $q_{1}$ является $2\pi$ -периодической с нулевым средним по $\tau$ . Применяя операцию усреднения и учитывая граничные условия получим задачи

[TABLE]

К этим задачам вернемся после нахождения неизвестных коэффициентов $c^{l}_{j-5}$ , $l=1,2,\dots,s$ .

2.4 Обоснование оценок асимптотики

В заключение докажем оценки (39). В силу построения асимптотики частичная сумма $u_{\omega}^{j}$ удовлетворяет уравнению в операторной форме

[TABLE]

где при любом $l\geqslant 0$

[TABLE]

Из (42), (86) следует, что разность $w_{\omega}^{j}=u_{\omega}-u_{\omega}^{j}$ является решением уравнения

[TABLE]

Из оценок (60), (87) следует неравенство

[TABLE]

Очевидно, вектор-функция $v_{\omega}^{j}=\chi(t)w_{\omega}^{j}$ , $t\in[0,1]$ (определение $\chi(t)$ см. выше) является решением однородной начально-краевой задачи для уравнения

[TABLE]

Многократно применяя к (90) теорему 2 [24], с учетом (89), выводим оценки (39). Теорема 3 доказана.

Список литературы

[1] До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2011. Т. 51, №6 С. 1043–1055
[2] До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Дифф. уравн. 2012. Т. 48, №8 С. 1190–1192
[3] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука. 1974.
[4] Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, №3 С. 3 – 80
[5] Гусаченко В. В., Ильичева Е. А., Левенштам В. Б. Линейная параболическая задача. Высокочастотная асимптотика в критическом случае // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2013. Т. 53, №7 С. 1067–1081
[6] Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае // Мат. заметки. 2014. Т. 96, №4, С. 522–538
[7] Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярные вырождения и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, №5 С. 3 – 122
[8] Levenshtam V. B., Ishmeev M. R. Asymptotic integration of linear system with high-frequency coefficients and Stokes operator in the main part // Asymptotic Analysis. 2015. vol. 92, no. 3-4 p. 363–376
[9] Ishmeev M. R., Levenshtam V. B. High-Frequency Asymptotics of a Solution to a Linear System with the Stokes Operator in the Principal Part // Journal of Mathematical Sciences. 2015. vol. 208, no. 2 p. 151–159 (Translated from Problemy Matematicheskogo Analiza 80, April 2015, p. 3–10)
[10] Сазонов Л. И. О существовании периодических решений у ОДУ в банаховом пространстве с высокочастотными слагаемыми // Мат. заметки. 2016. Т. 100, №6, С. 310–319
[11] Сазонов Л. И. Высокочастотная асимптотика решений ОДУ в банаховом пространстве // mi.mathnet.ru/izv8298 (принята к печати)
[12] Штокало И. З. Критерии устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэфициентами // Матем. сб. 1946. Т. 19, №61(2) С. 263 – 286
[13] Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: Наука. 1967.
[14] Гантмахер Ф. Р. Теория матриц // М.: Наука. 1988.
[15] Красносельский М. А. Оператор сдвига по траектории дифференциальных уравнений // М.: Наука. 1966.
[16] Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости // Изд-во РГУ. 1984. 192 С.
[17] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости // М.: Наука. 1970. 288 С.
[18] Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций // М.: Наука. 1966.
[19] Симоненко И. Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1983.
[20] Сазонов Л. И. Периодические решения ОДУ в банаховом пространстве с высокочастотными слагаемыми // Серия матфорум, исследования по мат. анализу, дифф. уравнениям и мат. моделированию. Владикавказ. 2015. Т. 9 С. 200–209
[21] Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосцилирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, №2 С. 25 – 56
[22] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, часть 1 // М. 1963. 584 С.
[23] Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование задачи о вибрационной конвекции // Дифференц. ур-ния. 1998. Т. 34, №4. С. 523 – 532
[24] Солонников В. А. О дифференциальных свойствах решения первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье–Стокса // Тр. МИАН СССР. 1964. Т. 73 С. 221 – 291

Bibliography24

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

1[1] До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2011. Т. 51, №6 С. 1043–1055
2[2] До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Дифф. уравн. 2012. Т. 48, №8 С. 1190–1192
3[3] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука. 1974.
4[4] Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, №3 С. 3 – 80
5[5] Гусаченко В. В., Ильичева Е. А., Левенштам В. Б. Линейная параболическая задача. Высокочастотная асимптотика в критическом случае // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2013. Т. 53, №7 С. 1067–1081
6[6] Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае // Мат. заметки. 2014. Т. 96, №4, С. 522–538
7[7] Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярные вырождения и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, №5 С. 3 – 122
8[8] Levenshtam V. B., Ishmeev M. R. Asymptotic integration of linear system with high-frequency coefficients and Stokes operator in the main part // Asymptotic Analysis. 2015. vol. 92, no. 3-4 p. 363–376

TL;DR

Contribution

Findings

Abstract

Peer Reviews

Videos

Taxonomy

Высокочастотные асимптотики периодических по времени решений систем дифференциальных уравнений в критическом случае

Аннотация

Введение

1 Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1 Основной результат

Теорема 1**.**

Теорема 2**.**

1.2 Нахождение коэффициентов асимптотического ряда (2)

1.3 Сходимость ряда (2) к решению системы (1)

Лемма 1**.**

Лемма 2**.**

1.4 Единственность 2πω\frac{2\pi}{\omega}ω2π​-периодического по ttt решения системы (1)

Лемма 3**.**

Утверждение 1**.**

Утверждение 2**.**

2 Линейная система в частным производных с оператором Стокса в главной части

2.1 Основной результат

Теорема 3**.**

2.2 Существование, единственность, гладкость и вещественность решения

Лемма 4**.**

Лемма 5**.**

Лемма 6**.**

2.3 Построение асимптотики

2.4 Обоснование оценок асимптотики

Список литературы

Теорема 1.

Теорема 2.

Лемма 1.

Лемма 2.

1.4 Единственность $\frac{2\pi}{\omega}$ -периодического по $t$ решения системы (1)

Лемма 3.

Утверждение 1.

Утверждение 2.

Теорема 3.

Лемма 4.

Лемма 5.

Лемма 6.