Spinor fields on the bulk and on compactified dimensions

TL;DR

This paper classifies fermionic spinor fields in supergravity contexts, exploring their properties on bulk and compactified spaces, and relates these classifications to physical phenomena like black hole invariants and brane generation.

Contribution

It introduces a new classification scheme for spinor fields in supergravity, deriving Lagrangians and analyzing their implications on black holes and compactified dimensions.

Findings

Identified Lagrangian terms for free spinor fields in seven-dimensional compactified spaces.

Linked bilinear covariants of fermionic fields to invariants of axisymmetric black holes.

Discovered that flag-dipole spinors do not generate branes but degenerate into dipole spinors.

Abstract

This work has as the main aim to explore the nature of the fermionic fields, through a classification of spinor fields about physical space of interest, such as the bulk and the compactified space $S^7$ from the supergravity theories. This classification has an extreme utility in the exploration and in the search for new type of particles, whose observables correspond to bilinear covariants. In this way, these fields are classified into classes, through constraints obtained by means of the Fierz-Pauli-Kofink identities and the bilinear symmetries. We found the Lagrangian terms for the free spinor fields on spaces of seven compactified dimension in supergravity and, as application of our spinor fields classification on the bulk, we associate the invariants on axisymmetric black holes to the components of the bilinear covariants of the correspondent fermionic field. Besides, we found that a type of spinor denominated flag-dipole does not generate a brane, but degenerate itself in other type of spinor called dipole and, in compactification theories, we obtained the expression to the quantum field on compactified spaces for low energies in terms of creation and annihilation operators.

Equations

$$\left(-\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2+{\partial }_i{\partial }^i\right)\psi =\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi .$$

$$(\square +m^2)\varphi (x)=0,$$

$$(i\hslash {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-mc)\psi (x)=0,$$

$$\mathbf{J}(\mathbf{x})={\gamma }_{\mu }\underset{J^{\mu }}{\underbrace{({\psi }^{†}(x){\gamma }_0{\gamma }^{\mu }\psi (x))}}.$$

$$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc);a,b,c,d\in \mathbb{R}$$

$$|z{|}^2=\bar{z}z=(a-ib)(a+ib)=a^2+b^2.$$

$$(r_1{e}^{i{\theta }_1})(r_2{e}^{i{\theta }_2})=(r_1{r}_2)(e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}).$$

$$ij=\alpha +\beta i+\gamma j\stackrel{\cdot i}{\Rightarrow }-j=\alpha i-\beta +\gamma ij\Rightarrow ij=\frac{\beta }{\gamma }-\frac{\alpha }{\gamma }i-\frac{1}{\gamma }j$$

$$\to \alpha =\frac{\beta }{\gamma },\beta =-\frac{\alpha }{\gamma },\gamma =-\frac{1}{\gamma }\Rightarrow \beta =\alpha \gamma ,\alpha =-\beta \gamma ,{\gamma }^2=-1,$$

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,$$

$$\mathbf{ab}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{b}.$$

$${\mathbb{R}}^3$$

$$\mathbf{r}$$

$$u\circ v+v\circ u=-2u\cdot v,$$

$${\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i\right)}^2=\sum _{i=1}^p({\alpha }_i{)}^2-\sum _{i=p+1}^m({\alpha }_i{)}^2.$$

$$e_i^2$$

$$e_j^2$$

$$e_i{e}_j$$

$$\mathcal{C}{\ell }_{0,0}=\mathbb{R},$$

$$\mathcal{C}{\ell }_{1,0}=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R},$$

$$\mathcal{C}{\ell }_{2,0}=\mathbb{R}(2),$$

$$\mathcal{C}{\ell }_{n,0}\otimes \mathcal{C}{\ell }_{0,2}$$

$$\mathcal{C}{\ell }_{0,n}\otimes \mathcal{C}{\ell }_{2,0}$$

$$\mathcal{C}{\ell }_{p,q}\otimes \mathcal{C}{\ell }_{1,1}$$

$$e_i^{\prime }\otimes e_1^{\prime \prime }{e}_2^{\prime \prime }\mapsto e_i$$

$$1\otimes e_1^{\prime \prime }\mapsto e_{n+1},$$

$$1\otimes e_2^{\prime \prime }\mapsto e_{n+2},$$

$$(e_i^{\prime }\otimes e_1^{\prime \prime }{e}_2^{\prime \prime }{)}^2$$

$$(1\otimes e_j^{\prime \prime }{)}^2$$

$$e_i^{\prime }\otimes e_1^{\prime \prime }{ϵ}_1^{\prime \prime }$$

$$1\otimes e_1^{\prime \prime }$$

$${ϵ}_j^{\prime }\otimes e_1^{\prime \prime }{ϵ}_1^{\prime \prime }$$

$$1\otimes {ϵ}_1^{\prime \prime }$$

$$\mathcal{C}{\ell }_V=\frac{⨂V}{I},$$

$$({)}^t:x_1{x}_2\dots x_k\mapsto x_k\dots x_2{x}_1,\text{ onde }{x}_1,\dots ,x_k\in V$$

$$\varphi_{e_{i}}(e_{j})=e_{i}e_{j}e_{i}=\left\{\begin{tabular}[]{c}$-(e_{i})^{2}e_{j}=e_{j};\qquad{\rm se}\;j\neq i$,\\ $(e_{i})^{2}e_{j}=-e_{j};\qquad{\rm se}\;j=i$\end{tabular}\right.$$

$$\phi :{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$$

Full text

1. 1 Introdução

2. 2 Preliminares

3. 2.1 Álgebras de Clifford e Grupo Spin

4. 2.1.1 Definição

5. 2.1.2 Transformações Ortogonais

6. 2.1.3 Primeiros exemplos de grupos ortogonais e espinoriais:

7. 2.1.4 Espinores Clássicos de Dimensão Finita

8. 2.2 Geometria Semi-Riemanniana

9. 2.2.1 Variedades Diferenciáveis

10. 2.2.2 Fibrados

11. 2.3 Formalismo de Compactificação em Supergravidade

12. 2.3.1 Modelo de Kaluza-Klein

13. 2.3.2 Formalismo de Compactificação de Freund e Rubin

14. 2.3.3 Bulk $AdS_{5}$

15. 2.3.4 $AdS_{4}\times S^{7}$

16. 3 Classificação de Espinores de Acordo com Bilineares Covariantes

17. 3.1 Bilineares Covariantes

18. 3.2 Identidades de Fierz-Pauli-Kofink

19. 3.2.1 Reconstrução de espinores

20. 3.3 Classificação de Espinores no Espaço-Tempo de Minkowski

21. 4 Classificação de Espinores em Dimensões Arbitrárias

22. 4.1 Formas Bilineares em Dimensões e Assinaturas Arbitrárias

23. 4.1.1 Estruturas Real $D$ e Complexa $J$

24. 4.1.2 Forma Bilinear Admissível $B$ e Suas Simetrias

25. 4.1.3 Bilineares covariantes em dimensões e assinaturas arbitrárias

26. 4.2 Classificação de Campos Espinoriais em Espaços Riemannianos de Sete Dimensões

27. 4.3 Classificação de campos espinoriais no espaço Lorentziano de cinco dimensões

28. 4.4 Espinores sobre buracos negros axissimétricos de cinco dimensões

29. 5 Conclusões e perspectivas

30. A

31. A.1 Compactificação

32. A.2 Invariantes sobre buracos negros em cinco dimensões

33. A.3 Espinores Elko

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Capítulo 1 Introdução

O cerne deste trabalho é a classificação de espinores sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, como por exemplo a 7-esfera ($S^{7}$), e sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, como por exemplo o espaço de anti-de Sitter de cinco dimensões ($AdS_{5}$). Dessa forma, essa classificação desempenhará um papel importante no estudo e exploração da dinâmica de campos de matéria em teorias de supergravidade. Por essa razão, iniciamos com uma contextualização histórica dessas teorias.

No final do século XIX e início do século XX, entendia-se, de acordo com uma afirmação de William Thomson (Lord Kelvin), que toda a teoria física da época estava bem fundamentada, exceto por alguns poucos experimentos não explicados. Ele chegou a afirmar que a tarefa da física no século seguinte seria apenas completar as casas decimais do que já havia sido feito. Com isso, sugeriu que os estudantes não se dedicassem à física, pois só alguns detalhes pouco interessantes faltavam, como, por exemplo, medições mais precisas [1]. No entanto, ele afirmou também que ainda haviam dois pequenos problemas a serem resolvidos: o resultado do experimento de Michelson-Morley e o porquê da distribuição de energia de um corpo negro [2, 3]. Desses dois experimentos nasceriam duas áreas que seriam amplamente estudadas no século seguinte, respectivamente a Relatividade Restrita e a Mecânica Quântica, as quais mudariam completamente a nossa forma de ver o mundo.

As equações de Maxwell prevêem, a partir das constantes eletromagnéticas de vácuo, a natureza ondulatória da luz e sua velocidade de $\simeq 2,998\cdot 10^{8}m/s$. Mas, a mecânica Newtoniana nos diz que há um referencial privilegiado, onde a velocidade da luz seria isotrópica. Assim, da mesma forma que as ondas mecânicas e o som necessitam de um meio elástico para se propagar, imaginava-se que o mesmo ocorreria com a luz. Esse meio, denominado éter, teria propriedades muito estranhas e permearia todo o espaço. Foi então proposto um experimento com interferômetro que o detectaria, caso ele existisse. Através desse experimento, Michelson e Morley mostraram que não é necessária a sua existência e que a velocidade da luz é constante no vácuo e independente do referencial. Dessa forma, diante do resultado do experimento, entre a mecânica de Newton e o eletromagnetismo de Maxwell, foi necessário que Einstein escolhesse a segunda opção, apesar de a mecânica clássica de Newton já estar bastante enraizada, principalmente por recorrer bastante ao senso comum. Então, Einstein postulou que as leis físicas são as mesmas para todos os referenciais inerciais, entre elas as equações de Maxwell, e que a velocidade da luz é constante e aproximadamente $2,998\cdot 10^{8}m/s$ em todos os referenciais inerciais. A partir desses dois postulados, ele deduziu toda a sua teoria da relatividade restrita, que discorda da nossa compreensão cotidiana de espaço e tempo [4].

O outro problema também requeria uma nova forma de pensar. Foi o que fez Max Planck ao admitir, para explicar o espectro de energia de radiação de corpo negro, que a luz se propaga em quanta de energia, denominados fótons, os quais possuem energia proporcional à sua frequência $E=2\pi\hbar\nu$, onde $\hbar\approx 1,05\cdot 10^{-34}J\cdot s$ é a constante de Planck reduzida, também denominada constante de Dirac [3]. Da quantização da energia, nasceu a mecânica quântica, uma nova área de pesquisa que viria a ser bastante explorada no século XX. Outro fenômeno que só foi explicado pela mecânica quântica é a estabilidade das órbitas eletrônicas no átomo, pois de acordo com o eletromagnetismo clássico, elétrons acelerados emitiriam radiação, perdendo energia e isso colapsaria o átomo. Para explicar por que os elétrons descreveriam órbitas estáveis, em 1913, Niels Bohr postulou que elétrons localizam-se em níveis atômicos discretos bem definidos [5]. Dessa forma, a radiação que o elétron pode absorver ou emitir também assume valores discretos de energia. Essas ideias foram o início do que se tornaria a mecânica quântica, ramo da física que descreve fenômenos em escalas microscópicas, onde todas as noções de fenômeno clássico e cotidiano se perdem e emergem experimentos que contrariam o senso comum do ponto de vista macroscópico. Através dessa nova área do conhecimento, os fenômenos que antes eram obscuros foram muito bem explicados, como o efeito fotoelétrico, as linhas de Fraunhofer, o calor específico de sólidos, o espectro atômico descontínuo e o experimento de Stern-Gerlach, dentre outros.

Essas duas novas teorias abriram novos caminhos para uma gama de experimentos que surgiam, vindo novos desafios pela frente. Como descrever fenômenos microscópicos de altas energias, se isso implica em velocidades da ordem da velocidade da luz? A mecânica quântica usual já não bastaria para descrever esses experimentos? Do processo de quantização de energia das equações da teoria da relatividade, análogos ao seguido para obter a equação de Schrödinger, surgiram a equação de Klein-Gordon, que descreve campos escalares, e a equação de Dirac, que é uma linearização da equação de Klein-Gordon e descreve campos de matéria, consolidando a utilidade do formalismo de espinores. Desses desdobramentos, surgiu outra área da física que se desenvolveu bastante na segunda metade do século XX, denominada teoria quântica de campos, que aparece da tentativa de mesclar a relatividade restrita com a mecânica quântica [6].

[TABLE]

Tabela 1. Àreas da física dentro dos seus limites de validade.

Como subárea da teoria quântica de campos, a eletrodinâmica quântica (QED-Quantum Eletrodynamics) foi uma das teorias de mais sucesso pelo seu grau de precisão nas previsões. Através de teorias de renormalização, pode-se fazer, então, uma unificação das forças eletromagnética e fraca, surgindo uma teoria bem sucedida, denominada teoria eletrofraca. Da mesma forma, a força forte pode ser bem estudada em altas energias, também através de processos de renormalização, o que deu origem à cromodinâmica quântica (QCD-quantum cromodynamics) [6]. Dessa maneira, todas as forças, exceto a força da gravidade, foram bem explicadas pelo modelo padrão com alta precisão para fenômenos de alta energia, através de renormalização. No entanto, uma teoria que surgiu no início para explicar melhor a força forte, conhecida como teoria de cordas, parece ser uma candidata a uma teoria quântica da gravidade.

Kaluza e Klein conseguiram expressar as equações de relatividade geral de Einstein e do eletromagnetismo de Maxwell em uma só teoria. Foi uma das primeiras tentativas em se construir uma teoria unificada envolvendo a gravidade. A façanha foi conseguida adicionando-se uma dimensão compacta ao espaço-tempo ($\mathbb{R}^{1,3}\times S^{1}$). Provou-se que os modos excitados de uma partícula sem massa em cinco dimensões possuem massa quando a partícula é restrita ao espaço-tempo quadridimensional. Essa ideia pode ser facilmente estendida para outros tipos de compactificações. Dessa forma, uma teoria sem massa em $M^{4}\times M^{n}$, onde $M^{4}$ é o espaço-tempo e $M^{n}$ é um espaço compacto, adquire massa quando restrita ao espaço-tempo $M^{4}$, através dos modos excitados [7].

Em uma teoria quântica da gravidade, para que os valores divergentes devido a singularidade de um buraco negro seja contornado, as fontes de campo não são consideradas pontuais, como em teoria de campos usual, mas unidimensionais como uma corda. A Lagrangiana de uma corda bosônica é escrita em termos das coordenadas do cone de luz para que seja invariante por transformação de Poincaré e os modos normais de vibração sejam quantizados através do formalismo de operadores, os quais são denotados por $\alpha^{\mu}_{n}$. O primeiro modo de vibração da corda bosônica, o qual é o modo taquiônico, admite no mínimo 26 dimensões 111Quando a corda é quantizada no cone de luz, ela não preserva a simetria de Lorentz. Assim, para se retirar essa anomalia, ou seja, para que os comutadores dos geradores de Lorentz $J^{\mu\nu}=\int d\sigma M^{\mu\nu}_{\tau}=x^{\mu}p^{\nu}-x^{\nu}p^{\mu}-i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(\alpha^{\mu}_{-n}\alpha^{\nu}_{n}-\alpha^{\nu}_{-n}\alpha^{\mu}_{n})$ sejam preservados são necessárias 26 dimensões. De forma que, em uma etapa dos cálculos, os quais não entraremos em detalhes, pode ser utilizado o somatório de Ramanujan $\sum_{n=1}^{\infty}n=-\frac{1}{12}$, no sentido do limite da função zeta de Riemann. e somente com esse número de dimensões a teoria é conformalmente invariante 222Invariância conforme é um difeomorfismo $f:M\rightarrow M$ que preserva a métrica a menos de um fator escalar $e^{-2\omega(x)}:M\rightarrow\mathbb{R}$, ou seja, para todo $x\in M,\;f^{*}g_{f(x)}=e^{-2\omega(x)}g_{x}$, onde $g_{x}$ denota a métrica no ponto $x\in M$ . Sobre o espaço-tempo, essa invariância é uma extensão da invariância de Poincaré, a qual está relacionada às transformações de Weyl, que são transformações locais no tensor métrico, dadas por: $g_{\mu\nu}\mapsto e^{-2\omega(x)}g_{\mu\nu}$, as quais produzem classes de métricas, denominadas classes conformes [8]. e livre de anomalias. Então, para que a teoria também incorpore férmions, é necessário introduzir supersimetria 333Supersimetria é dada pela álgebra de supersimetria sobre o superespaço, que é um espaço de representação dado pelos parâmetros $x^{\mu}$ do espaço-tempo e pelos parâmetros $\theta^{\alpha},\bar{\theta}^{\dot{\alpha}}$ que anticomutam entre si. Os geradores de supersimetria são operadores de criação [aniquilação] que adicionam [subtraem] $\frac{1}{2}$ ao número de spin do campo, transformando férmions em bósons e vice-versa. Para mais detalhes, veja[9]., e é denominada teoria de supercordas [10]. Dessa forma, o número de dimensões para que esta teoria não tenha carga central 444Cargas centrais são operadores de simetria que comutam com todos os outros e formam, assim, uma sub-álgebra abeliana da álgebra dos operadores de simetria. e seja admissível deve ser igual a dez, cuja compactificação mais conhecida é $AdS_{5}\times S^{5}$. Há um total de cinco teorias de supercordas, que estão relacionadas por dualidades e que são conectadas, tornando-se uma só teoria se levamos em conta naturalmente a constante de acoplamento ao ser adicionada mais uma dimensão ao espaço da teoria de supercordas. Além disso, em outro contexto, $AdS_{5}$ também é um dos possíveis bulks da teoria de branas e onde está a 3-brana que representa nosso universo. Existem ainda objetos de ordem mais elevadas, que possuem $p$ dimensões, conhecidos como $p$-branas. Uma compactificação bastante conhecida para espaços de onze dimensões é $AdS_{4}\times S^{7}$, em que o espaço-tempo é um espaço de anti-de Sitter e as outras sete dimensões são compactificadas [11]. No Cap. 2, resultados já começaram a ser apresentados. Escrevemos o campo quântico sobre espaços compactificados mais gerais em baixas energias, segundo uma extensão dos modos de Kaluza-Klein. Mostramos que flag-dipoles em branas espessas, por não gerar brana, degenera-se em dipoles, os quais foram localizados na brana.

De forma resumida, o que faremos [12]:

Iniciaremos com uma revisão sobre as álgebras de Clifford, as quais são extensões das álgebras dos reais ($\mathbb{R}$), dos complexos ($\mathbb{C}$) e dos quatérnions ($\mathbb{H}$). Alguns conceitos e definições de geometria semi-Riemanniana, que serão utilizados ao longo do texto, são introduzidos, tais como por exemplo: torção, curvatura e fibrados e, em seguida, apresentamos a teoria física acerca das compactificações em supergravidade, sobre a qual está fundamentada nosso trabalho, para uma melhor compreensão e motivações deste. Como passo intermediário, no terceiro capítulo, discorremos sobre a classificação de espinores no espaço de Minkowski segundo os observáveis definidos pelos bilineares covariantes, cuja motivação é dada a seguir:

Os geradores da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{1,3}$ aparecem naturalmente de uma linearização da equação de Klein-Gordon, feita por Dirac, em 1928,

[TABLE]

Normalizando as constantes ($c=1,\hbar=1$),

[TABLE]

de onde segue-se covariância da equação resultante, a qual é denominada, por razões óbvias, equação de Dirac [13, 14]. Essa equação é escrita em termos da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{1,3}$ e descreve a dinâmica do elétron, que é representado pelo espinor $\psi$:

[TABLE]

com o qual podemos expressar alguns observáveis, dentre eles, a densidade de corrente

[TABLE]

Logo em seguida, vínculos entre esses bilineares puderam ser encontrados. Tais vínculos são denominados identidades de Fierz e são úteis na resolução de diversos problemas envolvendo a dinâmica de espinores. As identidades de Fierz também foram usadas por Lounesto para classificar espinores sobre o espaço-tempo de Minkowski. Além disso, Dirac calculou as equações de onda relativísticas em notação espinorial para partículas de spin $s>\frac{1}{2}$, como consta em [15].

No Cap. 4, previamente listamos todos os bilineares possíveis em dimensões arbitrárias. A seguir, construímos e analisamos uma classificação para espinores sobre espaços Riemannianos de sete dimensões de acordo com seus bilineares covariantes [16], a qual é uma generalização da classificação de espinores em $1+3$ dimensões espaço-temporais. Como caso particular, em supergravidade, campos espinoriais sobre a esfera $S^{7}$ podem ser classificados em classes e analisadas a dinâmica de cada uma dessas classes. No entanto, isto foge do escopo deste trabalho.

Dessa forma, as simetrias dos bilineares covariantes e suas identidades de Fierz nos dão vínculos locais para os campos espinoriais. Tais vínculos nos dão as classes obtidas aqui para os campos espinoriais sobre espaços Riemannianos de sete dimensões e Lorentzianos de cinco dimensões. Além disso, integrais construídas com os bilineares covariantes vindas de invariantes topológicos podem nos dar vínculos globais com os campos. Assim, esses vínculos locais e globais, juntamente com o teorema de Stiefel-Whitney, nos dão uma classificação completa de campos espinoriais sobre espaços arbitrários. No entanto, os cálculos envolvendo os vínculos topológicos estão fora do escopo deste trabalho. Todavia, são satisfeitas todas as condições necessárias para a existência de estruturas espinoriais sobre os espaços utilizados aqui [17].

Na seção seguinte, trabalhamos uma classificação de campos espinoriais para cinco dimensões e assinatura $(1,4)$ [18]. Temos boas motivações físicas para construir essa classificação sobre o bulk de teoria de branas, pois nos permite propor novos campos, que podem ser candidatos a matéria escura e analisar suas dinâmicas por meio de uma análise de seus bilineares covariantes [18]. Fizemos isso, ao fim do Cap. 4, com buracos negro axissimétricos de cinco dimensões ao calcularmos os bilineares covariantes de vetores de Killing e mostrarmos que perfazem todos os invariantes possíveis que possam ser construídos com as componentes desse vetor.

No último capítulo, abordamos algumas perspectivas de temas de trabalho mais gerais a serem desenvolvidos posteriormente ao curso de doutorado. Dessa forma, são abordados ideias e questionamentos bastante gerais, que intentam serem motivadores para anos de pesquisa e uma alavanca para uma pesquisa frutífera.

Dessa forma, nas perspectivas, iniciamos uma tentativa de classificação segundo bilineares covariantes para espinores escritos em segunda quantização sobre o espaço de Minkowski. Fizemos, assim, uma caracterização dos espinores de Dirac e Weyl em termos dos tais bilineares. Também almejamos estudar extensões octoniônicas sobre $S^{7}$, explorar uma classificação de espinores nessa abordagem, através do grupo de Lie $G_{2}$ e suas dinâmicas para cada classe a ser encontrada.

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Capítulo 2 Preliminares

2.1 Álgebras de Clifford e Grupo Spin

A partir do processo de contagem, surgiu o conceito de número. Esse conceito foi estendido cada vez mais para satisfazer a novas necessidades e foram obtidas novas classes cada vez maiores de conjuntos numéricos. Partindo-se dos números naturais ($\mathbb{N}$), passando pelos inteiros ($\mathbb{Z}$), racionais ($\mathbb{Q}$) e chegando aos números reais ($\mathbb{R}$), complexos ($\mathbb{C}$) e quatérnions ($\mathbb{H}$). Estes dois últimos simplificaram bastantes cálculos sobre os espaço vetoriais $\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3}$ e $\mathbb{R}^{4}$. De uma forma geral, as álgebras de Clifford, que definiremos mais adiante e que incluem as álgebras $\mathbb{R,C}$ e $\mathbb{H}$, permitiram explorar bastante a geometria de espaços bastante gerais.

Para que equações cúbicas fossem resolvidas, foi preciso lidar com a raiz quadrada de números negativos. Daí, surgiu a necessidade de introduzir um novo conjunto de números mais geral, que contém a reta real. Tal conjunto é denominado conjunto dos números complexos $z\in\mathbb{C}$, onde $z$ pode ser escrito como $z=a+bi$; $a,b\in\mathbb{R}$ e $i=\sqrt{-1}$. Surge, então, a questão: há algum polinômio com coeficientes complexos que possua alguma raiz que não seja um número complexo? Gauss, em 1799, respondeu-a ao propor o conhecido teorema fundamental da álgebra, o qual tem como corolário que todas as raízes de todos os polinômios de coeficientes complexos são complexas [19].

Em 1835, Hamilton, aos 30 anos, descobriu como tratar os números complexos como um par de números reais e ficou intrigado com a relação existente entre $\mathbb{C}$ e a geometria de $\mathbb{R}^{2}$, pois essa álgebra ($\mathbb{C}$) isomorfa como espaço vetorial a $\mathbb{R}^{2}$ satisfaz a seguinte regra de multiplicação

[TABLE]

e contém todas as soluções de todas as equações polinomiais. Há ainda uma operação, denominada conjugação, que é definida como $\bar{z}=a-bi$, com a qual a norma em $\mathbb{R}^{2}$ pode ser indicada por um simples produto:

[TABLE]

A partir da relação de Euler $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i{\rm sen}(\theta)$, a multiplicação complexa escrita em coordenadas polares $z=re^{i\theta}$ torna-se óbvia:

[TABLE]

Além disso, no contexto das funções complexas, pode-se mostrar que se $f(z)$ é uma função analítica, então ela também é conforme, ou seja, é uma transformação em $\mathbb{R}^{2}$ que preserva ângulos [20].

Hamilton explorou essa questão por muitos anos na busca por espaços de três dimensões com propriedades semelhantes a essas, que são válidas para a álgebra dos complexos. Buscou, assim, por uma álgebra quadrática com unidade e isomorfa a $\mathbb{R}^{3}$ como espaço vetorial. Por fim, mostrou que a mesma não existe. Como ilustração, considere a extensão mais direta dos complexos, suponha que exista uma tal álgebra com elementos do tipo $\alpha+i\beta+j\gamma$ e com unidade, onde $i^{2}=j^{2}=-1$ e $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$, então para que a álgebra seja fechada, devem existir $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$, tal que

[TABLE]

o que é inconsistente. Mas, se adicionarmos $k:=ij$ à álgebra, ela torna-se uma álgebra fechada, a qual é denotada por $\mathbb{H}$ e denominada álgebra dos quatérnions, cujos elementos são escritos como $\mathbb{H}\ni q=a+bi+cj+dk$, onde $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ [14, 17].

Conta-se que, em 16 de outubro de 1843, quando passava pelo Canal Royal a caminho de um encontro na Royal Irish Academy, em Dublin, ele teve uma compreensão para o seu problema e em um ato de vandalismo matemático, escreveu na ponte de Brougham a seguinte expressão [21]:

[TABLE]

que são exatamente as relações que determinam o produto da álgebra dos quatérnions. Esse é o primeiro resultado importante que é construído em quatro dimensões e é fortemente relacionada à estrutura do espaço-tempo, a qual tem assinatura 1+3. Os quatérnions foram bastante explorados por físicos teóricos e diversos modelos puderam ser simplificados com o uso dos mesmos [22]. Por exemplo, pode se notar que o produto quaterniônico de dois vetores ${\bf a,b}\in\mathbb{R}^{3}$ incorporam os produtos interno e vetorial dos mesmos, conforme é dado na seguinte expressão [14]:

[TABLE]

Além disso, tomando-se $a\in\mathbb{H}$, rotações em $\mathbb{R}^{3}$ podem ser escritas em termos de uma representação quaterniônica [14]:

[TABLE]

Aparece, então, uma questão mais geral: seria possível construir uma álgebra quadrática de dimensão arbitrária com unidade, ou seja, dada uma base vetorial seria possível construir uma álgebra que induzisse um produto interno e, consequentemente uma geometria, como os números complexos? Seria possível construir uma tal álgebra que tivesse 3,4,5,… dimensões? Essa busca foi feita em dimensões superiores, e as álgebras possíveis encontradas foram denominadas álgebras de Clifford. Este ramo de pesquisa foi bastante explorado e se desenvolveu bastante no último século.

Desses desenvolvimentos, alguns são relatados a seguir:

“Em 1929, a equação de Dirac foi arranjada em termos de pares de quatérnions por Lanczos [23]. Mais tarde, Juvet e Sauter, em 1930, substituíram essa representação de espinores como colunas por matrizes quadradas, onde apenas a primeira coluna é diferente de zero [14]. Apenas em 1947, Marcel Riesz considerou os espinores como elementos de um ideal mínimo a esquerda em uma álgebra de Clifford. Depois disso, uma representação quaterniônica da equações de Dirac em termos de matrizes $2\times 2$ foi dada, em 1956, por Gürsey” (sic) [24]. Além disso, mais recentemente, foi proposta uma formulação quaterniônica da mecânica quântica [25].

2.1.1 Definição

Surgiu assim a ideia de se colocar uma geometria sobre uma álgebra, através de uma relação de simetrização do produto da álgebra, para se obter um produto interno, que define um tipo de geometria sobre o espaço $\mathbb{R}^{n}$. Como dissemos acima, essa busca por uma interpretação geométrica de vetores e tensores deu origem às tão conhecidas álgebras de Clifford. Assim, dados $u$ e $v$ em um espaço vetorial $V$, a álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{V}$ correspondente é uma álgebra com unidade e definida pelas relações [26]:

[TABLE]

onde $\circ$ indica o produto de Clifford, que será denotado apenas pela justaposição daqui em diante, e $\cdot$, o produto interno padrão. De forma equivalente, dada uma base ortonormal $\{e_{1},\ldots,e_{n}\}$ em $V$ com assinatura $(p,q);\;\;p+q=n$, segue-se que

[TABLE]

Ou seja, a álgebra de Clifford pode ser determinada pela seguinte regra de multiplicação [27]:

[TABLE]

Dessa forma, as primeiras álgebras de Clifford podem ser encontradas e são bastante úteis [27, 28]:

[TABLE]

onde $\mathbb{K}(n)$ denota o espaço vetorial das matrizes de ordem $n$, cujas entradas são elementos do corpo $\mathbb{K}$. Em seguida, a partir dos seguintes isomorfismos, todas as álgebras de Clifford finitas são obtidas [17]:

[TABLE]

Prova: Provemos o isomorfismo (2.12). Seja o espaço vetorial $\mathbb{R}^{n+2}$ com uma base ortonormal $\{e_{1},\ldots,e_{n+2}\}$ e considere sua álgebra de Clifford associada ${\cal C}\ell_{0,n+2}$. Considere também a base de geradores $\{e^{\prime}_{1},\ldots,e^{\prime}_{n}\}$ da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{n,0}$ e os geradores $\{e^{\prime\prime}_{1},e^{\prime\prime}_{2}\}$ de ${\cal C}\ell_{0,2}$. Então a aplicação

[TABLE]

quando estendida linearmente às suas respectivas álgebras de Clifford, determina o isomorfismo desejado, pois

[TABLE]

O isomorfismo (2.13) é construído de forma análoga. Provemos o terceiro isomorfismo. Para isso, considere os geradores $\{e_{1},\ldots,e_{p+1},\epsilon_{1},\ldots,\epsilon_{q+1}\}$ da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{p+1,q+1}$, os geradores $\{e^{\prime}_{1},\ldots,e^{\prime}_{p},\epsilon^{\prime}_{1},\ldots,\epsilon^{\prime}_{q}\}$ da álgebra ${\cal C}\ell_{p,q}$ e os geradores $\{e^{\prime\prime}_{1},\epsilon^{\prime\prime}_{1}\}$ de ${\cal C}\ell_{1,1}$. Se a seguinte aplicação é definida:

[TABLE]

e estendida à sua álgebra de Clifford, o isomorfismo $(\ref{iso3})$ pode ser mostrado.

A partir desses resultados, todas as álgebras de Clifford podem ser organizadas na seguinte tabela:

[TABLE]

onde $\mathbb{H}$ denota o anel dos quatérnions. As representações para o caso complexo são mais simples:

[TABLE]

Em termos mais formais, a álgebra de Clifford é construída a partir da álgebra tensorial, como uma álgebra quociente:

[TABLE]

onde $I=\{x\otimes x-\langle x,x\rangle\in\bigotimes V;\;x\in V\}$ é um ideal. É interessante notar que há uma graduação sobre a álgebra de Clifford, que a faz isomorfa a álgebra exterior (${\cal C}\ell_{V}\approx\Lambda^{*}(V)$) [17] e que nos permite definir dois anti-automorfismos: a reversão ($x^{t}$), dada diretamente pela reversão da ordem de todos os fatores

[TABLE]

e a conjugação ($\bar{x}$), que é a composição de um automorfismo $\alpha$ que satisfaz $\alpha(v)=-v$ para todo $v\in V$, e da reversão $(\;)^{t}$, como se segue: $\bar{x}=\alpha(x^{t})=\alpha(x)^{t}$ [14]. A definição de norma pode ser estendida e dada por $N(x)=\langle x\bar{x}\rangle_{0},$ onde $\langle\;\;\rangle_{0}$ denota a parte escalar.

Como veremos, as álgebras de Clifford são bastante importantes para visualizações e compreensões no contexto das transformações ortogonais.

2.1.2 Transformações Ortogonais

As álgebras de Clifford nos permitem implementar reflexões e rotações em $\mathbb{R}^{n}$, pois dado o conjunto de vetores ortonormais \{e_{i}\in\mathbb{R}^{n}$$;\quad(e_{i})^{2}=-1\} e o hiperplano $H_{i}$, que por definição é o subespaço de dimensão $n-1$ ortogonal ao vetor $e_{i}$, temos que

[TABLE]

descreve a reflexão do vetor $e_{j}$ em relação a $H_{i}$. Se estendida linearmente a $\mathbb{R}^{n}$, ela pode ser escrita como:

[TABLE]

O teorema de Dieudonné-Cartan nos diz que qualquer transformação ortogonal em $\mathbb{R}^{p,q}$ pode ser escrita como uma composição de no máximo $p+q$ reflexões. Isso nos permite escrever qualquer transformação ortogonal a partir de reflexões expressas na eq. (2.26). Ao trabalharmos com as álgebras de Clifford, esse tratamento a respeito das rotações e transformações pode ser formalizado e estendido, como é mostrado a seguir.

Dessa forma, seja o automorfismo $\alpha:{\cal C}\ell_{V}{\rightarrow}{\cal C}\ell_{V}$, tal que $\alpha(\alpha(s))=s$ e $\alpha(s)=-s$, onde se $s\in V$, o subgrupo $\Gamma_{p,q}$ de elementos invertíveis da álgebra de Clifford é dado por [17]

[TABLE]

denominado grupo de Clifford. Uma representação adjunta contorcida de elementos da álgebra de Clifford pode ser construída através desse grupo e é definida como:

[TABLE]

com a qual podemos obter transformações lineares em $\mathbb{R}^{p,q}$ [17]. Em particular, o subgrupo de $\Gamma_{p,q}$, cuja representação adjunta contorcida é o grupo das transformações ortogonais $O(p,q)$, isto é, transformações que preservam a norma, é denominado grupo Pin e é definido, equivalentemente, por

[TABLE]

Como pré-imagem do grupo $SO(p,q)$, obtemos o grupo Spin [14, 28]

[TABLE]

ou seja, o grupo Spin é o subgrupo do grupo Pin, cujos elementos têm grau par:

[TABLE]

o qual também tem o subgrupo Spin${}^{+}_{p,q}$, que é conexo para $p+q\geq 2$, com exceção de $p=q=1$:

[TABLE]

O grupo Pin possui produtos de reflexões arbitrárias, enquanto que o grupo Spin engloba todos os produtos de rotações. Nota-se que os grupos Pin${}_{p,q},{\rm Spin}_{p,q}$ e ${\rm Spin}^{+}_{p,q}$ são espaços de recobrimento duplo de ${\rm O}(p,q),{\rm SO}(p,q)$ e ${\rm SO}^{+}(p,q)$, respectivamente [14]. Vejamos alguns exemplos.

2.1.3 Primeiros exemplos de grupos ortogonais e espinoriais:

$U(1)\simeq SO(2)$

O caso mais simples e conhecido de transformações que preservam a norma é uma transformação unitária no plano complexo, representada através de uma multiplicação por um número complexo unitário

[TABLE]

onde $e^{-i\varphi}=\frac{1-it}{1+it},\;\;t=\tan(\frac{\varphi}{2})$. Isso é equivalente a uma rotação no plano $\mathbb{R}^{2}$, dada pela transformação:

[TABLE]

onde usamos a equivalência:

[TABLE]

Assim, nota-se o isomorfismo $U(1)\simeq SO(2)$. Observe que uma multiplicação pelo imaginário $i$ equivale a uma rotação de $\frac{\pi}{2}$ no plano complexo.

Seja o espaço vetorial $\mathbb{R}^{2}$, cuja norma é dada pela forma quadrática [14] $(x{\bf e}_{1}+y{\bf e}_{2})^{2}=x^{2}+y^{2}$. Então, ${\bf e}_{1}^{2}={\bf e}_{2}^{2}=1$ e ${\bf e}_{1}{\bf e}_{2}=-{\bf e}_{2}{\bf e}_{1}$, tal que o elemento ${\bf e}_{1}{\bf e}_{2}$ não é nem escalar, nem vetor; mas um bivetor, pois satisfaz $({\bf e}_{1}{\bf e}_{2})^{2}=-1$. Como resultado, temos a álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{2,0}$, cuja multiplicação de elementos de $\mathbb{R}^{2}$ é dada por:

[TABLE]

o que oferece uma abordagem geométrica bem interessante e ilustrativa, pois do lado direito da equação (2.35), temos os produtos interno e vetorial, respectivamente. Extensões para dimensões arbitrárias surgem naturalmente. Se ${\bf x,y}\in\mathbb{R}^{n}$ e $u,v\in{\cal C}\ell_{n,0}$, então [14]

[TABLE]

onde ${\bf x}\,\rfloor\,u$ é definido por:

[TABLE]

e denominado produto interior, enquanto que ${\bf x}\wedge u$ é o produto exterior, que é associativo e distributivo, dado a partir de ${\bf x}\wedge{\bf x}=0,\;\;\forall{\bf x}\in\mathbb{R}^{n}$.

Desta forma, uma rotação no plano pode ser escrita ainda através da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{2,0}$ [14]

[TABLE]

a qual pode ser convenientemente escrita para abranger generalizações para espaços de dimensões maiores. Segue diretamente o isomorfismo $SO(2)/\mathbb{Z}_{2}\approx S^{1}$. 2. 2.

$\bf SU(2)=Spin_{3,0}$ Elementos do grupo de rotações $SO(3)$ agem como $x^{\prime}=R_{\theta,\phi,\psi}x$ e têm a forma [14, 29]:

[TABLE]

onde $\theta,\phi$ e $\psi$ são os ângulos de Euler. Essa transformação pode ser escrita ainda segundo a decomposição de Cartan

[TABLE]

onde

[TABLE]

[TABLE]

Se representamos $p\in\mathbb{R}^{3}$ como matrizes complexas de ordem 2

[TABLE]

então pode ser encontrada uma transformação equivalente a $R_{\theta,\phi,\psi}$ nesse espaço, a qual é escrita como:

[TABLE]

onde $\sigma_{i}$ são as matrizes de Pauli:

[TABLE]

As transformações $Q_{\theta,\phi,\psi}$ são elementos de ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ que atuam segundo a expressão $p^{\prime}=Q_{\theta,\phi,\psi}\,p\,Q_{\theta,\phi,\psi}^{\dagger}$. Dessa forma, é notável o seguinte isomorfismo SO$(3)\simeq{\rm SU}(2)/\mathbb{Z}_{2}$, onde

[TABLE]

Outro isomorfismo segue imediato deste: ${\rm SU}(2)={\rm Spin}_{3,0}$. Além disso, se denotamos uma bola fechada no $\mathbb{R}^{n}$ centrada na origem de raio $r$ por $B_{n}[0,r]$, uma rotação em torno de um eixo $u\in B_{3}[0,\pi]$, cuja norma é usada para medir o ângulo de rotação, pode ser expressa em termos da álgebra ${\cal C}\ell_{3,0}$, como:

[TABLE]

onde $\exp(ue_{123})=\cos(|u|)+e_{123}\frac{u}{|u|}\text{sen}(|u|)$,  $(ae_{123})^{2}=-|a|^{2},\;u\in\mathbb{R}^{3}\subset\mathbb{H}$. Temos os seguintes isomorfismos ${\rm Spin}_{3,0}/{\rm Spin}_{2,0}={\rm SO}(3)/{\rm SO}(2)=S^{2}$ [14], onde

[TABLE]

Podemos notar aqui, que se esse processo da eq. (2.47) é estendido para $u\in B_{n}[0,\pi]$, o seguinte isomorfismo mais geral é obtido:

[TABLE] 3. 3.

${\bf SO(1,3)}$ Transformações de Lorentz são descritas por elementos do grupo de Lorentz

[TABLE]

os quais preservam a norma de vetores em $\mathbb{R}^{1,3}$, ou seja, têm determinante $\pm 1$. Este grupo possui quatro componentes desconexas, intercambiadas através da inversão espacial (paridade) e da reversão temporal. Os elementos com determinante $+1$ formam o grupo especial de Lorentz $SO(1,3)$, que por sua vez apresenta duas componentes intercambiáveis através da operação de paridade. Uma dessas componentes é o grupo de Lorentz ortócrono especial denotado por $SO_{+}(1,3)$, o qual preserva as orientações espaço-temporais [14].

Quando a álgebra de Clifford é construída para o espaço-tempo de Minkowski, ela possui subgrupos que herdam uma hierarquia de componentes análogas às transformações ortogonais descritas acima. Se representadas na álgebra ${\cal C}\ell_{3,0}\simeq\mathbb{C}(2)$, a pré-imagem de $\rho$ restrita a $SO_{+}(3,1)$ é denotada por \pin_{+}(1,3)$

[TABLE]

No entanto, se escrevemos um subgrupo com definição equivalente na álgebra ${\cal C}\ell_{3,1}\simeq\mathbb{R}(4)$, ele é denotado por ${\rm Spin}^{+}_{3,1}$ [14].

2.1.4 Espinores Clássicos de Dimensão Finita

Denotamos por $S_{p,q}$ o espaço das representações irredutíveis do grupo ${\rm Spin}^{+}_{p,q}=\{\xi\in{\cal C}\ell^{+}_{p,q}|\bar{\xi}\xi=1\;e\;\forall x\in\mathbb{R}^{p,q},\alpha(\xi)x\xi^{-1}\in\mathbb{R}^{p,q}\}$ conectadas com a unidade, o qual age sobre cada fibra do espaço de espinores clássicos (fibrado espinorial) relacionados ao fibrado de Clifford sobre $M$. Através de algumas identidades muito importantes ${\cal C}\ell^{+}_{p,q}\simeq{\cal C}\ell^{+}_{q,p}\simeq{\cal C}\ell_{p,q-1}\simeq{\cal C}\ell_{q,p-1}$, obtemos a tabela abaixo:

[TABLE]

onde $\mathbb{H}$ denota o anel dos quatérnions. As representações para o caso complexo são mais simples:

[TABLE]

Além do aspecto algébrico dos campos espinoriais, é necessário compreendermos também sua natureza geométrica, para que possa ser feita uma melhor exploração a respeito de sua classificação em espaços de dimensões arbitrárias.

2.2 Geometria Semi-Riemanniana

As estruturas básicas em uma teoria física são o espaço de fundo 222Utilizamos a palavra “fundo” para se denotar background. e os observáveis medidos sobre este, respectivamente dados por uma ‘estrutura global’ e uma ‘estrutura interna’. Uma estrutura desse tipo mais simples que podemos imaginar é um campo de temperaturas dinâmico dentro de uma sala, a qual corresponde ao espaço Euclidiano $\mathbb{R}^{3}$. Essas intuições a respeito do espaço físico são uma forma de incorporar o fenômeno dentro da geometria, a qual foi sendo construída ao longo da história.

Na Grécia antiga, para se construir as noções geométricas faziam-se uso somente de régua e compasso. Por volta de 300 a.C., por meio dos seus cinco postulados em sua obra Os Elementos, Euclides criou o que mais tarde veio a ser conhecido por geometria Euclidiana. Essa obra foi o principal livro de geometria por bastante tempo, durante o qual por mais de 2000 anos o quinto axioma de Euclides foi questionado [30]: “Se em um ponto de uma linha reta qualquer concorrerem de partes opostas duas retas, fazendo com a primeira reta os ângulos adjacentes iguais a dois retos, as retas, que concorrem para o dito ponto, estarão em direitura uma da outra” (p.14) [31], que pode ser parafraseado como: Duas retas não-coincidentes não podem se interceptar em mais de um ponto. Desse questionamento, por volta do século XVIII, surgiram, de forma mais sólida, geometrias mais gerais que a geometria plana de Euclides, denominadas geometrias não-Euclidianas, as quais são subdivididas ainda em: geometria (semi-)Riemanniana, geometria de Cartan, geometria de Finsler, dentre outras. Estudaremos em mais detalhes apenas a geometria semi-Riemanniana, o qual é iniciado na subseção seguinte, pois nos será útil na construção dos fibrados espinoriais, necessários para o entendimento deste trabalho.

2.2.1 Variedades Diferenciáveis

Uma variedade $M$ é um espaço topológico $(M,\mathfrak{T})$ de Hausdorff que possui uma base $\{\mathfrak{T}_{i}\}$ contável, a qual é formada por abertos de um espaço Euclidiano de uma dada dimensão $n$, ou seja, $M$ pode ser reconstruído por meio de uma união de abertos 333Em outras palavras, uma variedade (topológica) $n$-dimensional é um espaço topológico de Hausdorff segundo contável que é localmente Euclidiano e de $n$ dimensões [33]. [26]. Dado $p\in M$, há um homeomorfismo $\phi$ entre uma vizinhança $V$ de $p\in M$ e um aberto do $\mathbb{R}^{n}$. Consequentemente, dadas duas cartas $\phi_{1}:U_{1}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ e $\phi_{2}:U_{2}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, há um homeomorfismo (função $C^{0}$) entre os abertos $\phi_{1}(U_{1}\cap U_{2})$ e $\phi_{2}(U_{1}\cap U_{2})$ do $\mathbb{R}^{n}$. Isto nos diz que as cartas $\phi_{1}$ e $\phi_{2}$ estão $C^{0}$-relacionadas [32].

Precisamos de uma coleção de cartas para cobrir toda a variedade $M$, a essa coleção chamamos de atlas. Para que uma dada carta $\phi$ seja admissível em um $C^{0}$-atlas, é necessário que ela esteja $C^{0}$-relacionada a todas as outras cartas do atlas. Este procedimento transfere propriedades da variedade $M$ para relações entre abertos do $R^{n}$. Assim, uma dada variedade $M$ recebe o mesmo adjetivo que seus homeomorfismos em $\mathbb{R}^{n}$ correspondentes. O caso fundamental acima, em que os homeomorfismos entre os abertos do $\mathbb{R}^{n}$ caracterizam a variedade como topológica, pode ser estendido para outras caracterizações de $M$ [32]. Dessa maneira, $C^{k}$ [$C^{\infty}$, analítica, …]-variedades são definidas por atlas, cujas cartas admissíveis são $C^{k}$ [$C^{\infty}$, analítica, …]-relacionadas entre si. Em outras palavras, se queremos adicionar uma propriedade $P$ a uma variedade $M$, substituímos $C^{0}$, nas proposições acima, por $P$ e a chamamos de $P$-variedade $M$. Enfim, uma variedade $M$ é diferenciável de classe $C^{k}$ [$C^{\infty}$, analítica, …], se suas cartas admissíveis são $C^{k}$ [$C^{\infty}$, analítica, …]-relacionadas entre si [32].

Seja $M$ uma $C^{\infty}$-variedade (variedade suave). A partir de curvas suaves sobre $M$, denotadas pela aplicação $c:(-1,1)\;{\rightarrow}\;M$, tais que direção e velocidade são bem definidas em cada ponto $p\in c$, uma estrutura local linear pode ser adicionada. Para isso, considere funções suaves sobre $U\subset M$,

[TABLE]

que podem ser usadas para se formalizar o conceito empírico de campo de velocidades. Considere derivadas totais de $f$ ao longo de $c$ 444Há um abuso de linguagem aqui, $\frac{\partial f}{\partial x^{\mu}}$ denota na verdade $\frac{\partial(f\circ\phi^{-1}(x))}{\partial x^{\mu}}$.:

[TABLE]

Essa estrutura linear local $X=X^{\mu}\partial_{\mu}$ (onde $\partial_{\mu}$ denota $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$) é denominada vetor tangente a $M$ em $p=c(0)$. A partir de todas as curvas que passam por $p\in M$, obtemos o espaço tangente $T_{p}M$, que é tangente a $M$ em $p$. Com essa estrutura, $M$ pode ser analisado localmente nesse ponto $p\in M$. Outras estruturas lineares podem ser adicionadas ao espaço tangente $T_{p}M$, tais como por exemplo: o espaço de 1-formas, a álgebra tensorial, a álgebra exterior e a álgebra de Clifford. Vejamos alguns casos.

O espaço vetorial dual a $T_{p}M$ é denominado espaço cotangente $T_{p}^{*}M$. Quando tratamos com formas diferenciais, covetores $\omega:T_{p}M\;{\rightarrow}\;\mathbb{R}$ pertencentes ao espaço dual $T_{p}^{*}M$ são decompostos na base natural $\{dx^{\mu}\}$ como $\omega=\omega_{\mu}dx^{\mu}$ e denominados 1-formas. As duas bases, duais entre si, se relacionam por:

[TABLE]

Um produto interno pode então ser definido trivialmente, como

[TABLE]

Objetos multilineares construídos a partir de $T_{p}M$ e $T_{p}M^{*}$ sobre cada ponto $p$ de $M$ são denominados $tensores$. Um tal elemento $T$, com $r$ entradas vetoriais e $s$ covetoriais, é dito ser um tensor do tipo $(r,s)$, expresso em componentes como

[TABLE]

e mapeia elementos de $\otimes^{r}T^{*}_{p}M\otimes^{s}T_{p}M$ em $\mathbb{R}$ [32, 8, 34].

Além disso, podemos munir uma variedade diferenciável $M$ de uma estrutura de produto interno local (métrica), a qual é uma espécie de generalização do produto interno de $R^{n}$. Essa variedade é dita ser semi-Riemanniana, se em cada ponto $p$ pertencente a $M$, temos um espaço tangente $T_{p}M$ munido de uma métrica semi-Riemanniana. Essa métrica é definida como uma forma bilinear $g_{p}(\;,\;)$ simétrica, não-degenerada, com assinatura $\epsilon^{\nu}$ constante sobre M, onde $\epsilon^{\nu}=+1$ para $1\leq\nu\leq s$ e $\epsilon^{\nu}=-1$ para $s+1\leq\nu\leq n$. Vetores tangentes $u\in T_{p}M$ são classificados, por meio dessa métrica, como:

[TABLE]

Numa outra abordagem, a métrica $g$ é um campo tensorial $g_{p}=g_{\mu\nu}(p)dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}$ sobre $M$ do tipo $(0,2)$, denominado tensor métrico. Considere um deslocamento infinitesimal $dx^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\in T_{p}M,$ a quantidade que mede uma distância infinitesimal sobre $M$,

[TABLE]

é conhecida por métrica. Se $t=0$ ou $n$, a variedade é dita ser Riemanniana. Se $t=1$ ou $n-1$, ela é Lorentziana [8, 35, 36].

Uma variedade diferenciável $M$ e um espaço tangente em cada ponto $p\in M$ foram definidos e munidos de uma métrica $g$. Com essas estruturas, somente vetores no mesmo espaço tangente podem ser comparados. Para que vetores em pontos diferentes de $M$ o possam também, é necessária a adição de uma nova estrutura denominada conexão. Dados $p,q\in M$, é por meio dessa estrutura que dizemos como vetores em um dado $T_{p}M$ deve ser transladado para $T_{q}M$ ao longo de um caminho que une $p$ a $q$. Seja o conjunto $\Xi(M)$ de todos os campos vetoriais sobre $M$, uma conexão é uma aplicação diferenciável $\nabla:\Xi(M)\times\Xi(M)\;{\rightarrow}\;\Xi(M)$. Para garantir a diferenciabilidade de campos vetoriais sobre $M$, precisamos garantir que a conexão seja linear em suas entradas e satisfaça a regra de Leibniz:

[TABLE]

A essa conexão denominamos conexão afim [8]. Dados os campos vetoriais $X,Y,Z$, uma conexão afim $\nabla$ tem as seguintes características:

$\bullet$ não-metricidade: $\nabla_{X}g$ (compatibilidade com a métrica),

$\bullet$ torção: $T(X,Y)=\nabla_{X}Y-\nabla_{Y}X-[X,Y]$ e

$\bullet$ curvatura: $R(X,Y)Z=\nabla_{X}\nabla_{Y}Z-\nabla_{Y}\nabla_{X}Z-\nabla_{[X,Y]}Z.$

É interessante escrevermos essas grandezas em termos de suas componentes, para isso considere uma carta $(U,\varphi)$ sobre $M$, cujas coordenadas são $x^{\mu}=\varphi^{\mu}(p)$. Os coeficientes da conexão $\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$ determinam o quanto uma base em $T_{p}M$ é alterada por um transporte paralelo infinitesimal:

[TABLE]

Seja $(M,g)$ uma variedade semi-Riemanniana. Para que normas e produtos internos, sobre o espaço tangente $T_{p}M$ de cada ponto $p$ arbitrário de $M$, fiquem invariantes sob transporte paralelo, é necessário que a métrica seja covariantemente constante, ou seja, que sua não-metricidade seja nula:

[TABLE]

Então, essa conexão afim $\nabla$, que é compatível com a métrica, é também chamada de conexão métrica. Se além disso, essa conexão, por motivos empíricos, compara vetores em espaços tangentes infinitesimalmente separados, simplesmente projetando um diretamente no outro, ela é conhecida também por conexão de Levi-Civita. Em outras palavras, uma conexão métrica é de Levi-Civita, se dados $p,q\in M$, o paralelismo por meio dessa conexão entre $V_{q}$ em $q$ e $V_{p}$ em $p$ é dada através da comparação entre a projeção usual de $V_{q}$ em $T_{p}M$ e $V_{p}$.

Vejamos agora o conceito de torção. Tome dois pontos $q$ e $s$ infinitesimalmente próximos a $p\in M$, identifique $\hat{pq}$ e $\hat{ps}$ com vetores infinitesimais $\vec{pq}$ e $\vec{ps}$, respectivamente, em $T_{p}M$. Translade $\vec{pq}$ até $s$ e $\vec{ps}$ até $q$, o vetor deslocamento entre os pontos $q$ e $s$ deslocados medirá a torção de $M$ em $p$. Se o paralelismo de vetores é dada pela conexão de Levi-Civita, obtem-se uma torção nula, isto é, os deslocamentos paralelos da definição da torção formam um paralelogramo [8]. Nesse caso, a conexão tem seus coeficientes simétricos $\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}$ e pode-se mostrar que ela é única, podendo ser escrita em termos do tensor métrico $g_{\mu\nu}$ como:

[TABLE]

Então, a curvatura sobre $M$ pode ser determinada também somente em termos do tensor métrico $g$,

[TABLE]

A partir da qual, definem-se o tensor de Ricci

[TABLE]

e a curvatura escalar

[TABLE]

Espaços maximalmente simétricos

Utilizando os conceitos revisados acima, podemos compreender melhor as simetrias de um dado espaço. Um espaço é denominado maximalmente simétrico se ele possui o mesmo número de simetrias que o espaço Euclidiano de mesmo número de dimensões, ou seja, $\frac{1}{2}n(n+1)$ simetrias. Além disso, dizer que um espaço é maximalmente simétrico é equivalente a dizer que ele é homogêneo e isotrópico. O tensor de curvatura de Riemann sobre esse tipo de espaço pode ser simplificado e escrito como [8]

[TABLE]

Sendo assim, esses espaços são esquematizados na tabela abaixo:

[TABLE]

Tabela 4. Espaços maximalmente simétricos

onde $\rtimes$ denota o produto semidireto e $T(n)$, o grupo de translações no $\mathbb{R}^{n}$. Sobre uma variedade $M$ podem ser construídos espaços tangentes e operações podem ser feitas com eles. Surgem então novos objetos mais gerais, denominados fibrados, que são descritos na seção seguinte, como exemplo temos: o fibrado vetorial, o fibrado exterior e o fibrado de Clifford.

2.2.2 Fibrados

Considerando todos os espaços tangentes $T_{p}M$ em cada ponto $p$ de $M$, temos o fibrado tangente $TM$, que é o fibrado mais intuitivo que conhecemos. Formalmente, dada uma ${\it(p+q)}$-variedade semi-Riemanniana $(M,g)$,

[TABLE]

é chamado de fibrado tangente. A definição de fibrado cotangente $T^{*}M$ é similar. A esses fibrados podemos adicionar uma estrutura que dá um nome mais específico ao fibrado, como por exemplo: o fibrado exterior, o fibrado de Clifford e o fibrado espinorial.

Um fibrado de fibras $(E,\pi,M,F,G)$, que é o conceito mais geral de fibrados, é descrito por:

• •

$E$, uma variedade diferenciável denominada espaço total,

• •

$M$, uma variedade diferenciável chamada de espaço base,

• •

$F$, a variedade diferenciável imagem inversa $\pi^{-1}(p)\cong F$ e chamada de fibra,

• •

$\pi:E\;{\rightarrow}\;M$, uma aplicação sobrejetora, denominada projeção, e

• •

$G$, um grupo de Lie que age sobre a fibra $F$, denominado grupo estrutural e que satisfaz:

• –

o que chamamos de trivialização local $\pi\circ\phi_{i}(p,f)=p$, através do difeomorfismo $\phi_{i}:U_{i}\times F{\rightarrow}\pi^{-1}(U_{i})$, tal que $p\in M$, $f\in F$ e $\{U_{i}\}$ é uma cobertura de $M$,

• –

e os difeomorfismos $\phi_{i}$ e $\phi_{j}$ são relacionados em $U_{i}\cap U_{j}\neq\emptyset$ pelas funções de transição $t_{ij}(p)\equiv\phi^{-1}_{i}(p)\circ\phi_{j}(p)$, como se segue [8]:

[TABLE]

Se o fibrado $E$ decompõe-se no produto direto $M\times F$, dizemos que o fibrado é trivial. Vejamos alguns casos bastante gerais de fibrado:

Fibrado Vetorial

Se a fibra $F$ do fibrado de fibras $\pi:E\;{\rightarrow}\;M$ é um espaço vetorial real [complexo] $V$ de dimensão $k$, ele é dito ser um fibrado vetorial e as funções de transição $\phi_{i}$ pertencem a $GL(k,\mathbb{R})$[$GL(k,\mathbb{C})$]. Como exemplo de fibrados vetoriais triviais temos o cilindro $S^{1}\times\mathbb{R}$ e a esfera com feixes de linhas normais $S^{2}\times\mathbb{R}$. A faixa de Möbius é um caso não-trivial de fibrado, onde $M=S^{1},\;F=[-1,1]$ e $G\cong\mathbb{Z}_{2}$.

Fibrado Principal

Se a fibra $F$ é idêntica ao grupo estrutural $G$, obtemos o fibrado principal $\pi:P\;{\rightarrow}\;M$, também denotado por $P(M,G)$ e chamado de $G$-fibrado sobre $M$. Como exemplo, podemos exibir os fibrados de Hopf $\pi_{1}:S^{3}\;{\rightarrow}\;S^{2}$, onde $F\approx G=U(1)\approx S^{1}$, e $\pi_{2}:S^{7}\;{\rightarrow}\;S^{4}$, onde $F\approx G=SU(2)\approx S^{3}$.

Fibrado Associado

O fibrado associado ao fibrado principal $P(M,G)$ é o fibrado $(E,\pi,M,G,F,P)$ determinado pela seguinte relação de equivalência sobre $P\times F$:

[TABLE]

Dessa forma, o fibrado associado é identificado com o quociente $\frac{(P\times F)}{G}$.

Considerando que $F$ é um espaço vetorial $V$, inserimos uma relação de equivalência análoga no produto $P\times V$:

[TABLE]

e obtemos o fibrado vetorial associado $P\times_{\rho}V.$

Fibrado de Referenciais

Um fibrado de referenciais é um fibrado principal sobre $M$ associado ao fibrado vetorial tangente $TM$, cujo grupo estrutural é $GL(n,\mathbb{R})$. Um elemento ${g^{i}}_{j}\in GL(n,\mathbb{R})$ age sobre um referencial $\{X_{i}\}$ em $p\in M$ como $Y_{j}=X_{i}{g^{i}}_{j}.$

Sejam os fibrados $\pi:E\;{\rightarrow}\;M$ e $\pi^{\prime}:E^{\prime}\;{\rightarrow}\;M$ e suas respectivas fibras $F$ e $F^{\prime}$. O fibrado produto tensorial $E\otimes E^{\prime}$ tem suas fibras dada pelo produto $F\otimes F^{\prime}$, em cada ponto $p\in M$, e o fibrado soma de Whitney $E\oplus E^{\prime}$ tem como fibras $F\oplus F^{\prime}$. Através desses conceitos de fibrado podem ser construídos sobre um fibrado vetorial $P\times_{\rho}V$ as mesmas estruturas construídas sobre um espaço linear $V$, como por exemplo: o fibrado tensorial, o fibrado exterior e o fibrado de Clifford. Como as definições desses fibrados são bastante análogas, basta definirmos o que vem a ser um fibrado de Clifford.

Fibrado de Clifford

Seja um fibrado vetorial $\pi:E\;{\rightarrow}\;M$, tal que $M$ é uma variedade semi-Riemanniana. Em cada fibra vetorial $E_{p}=\pi^{-1}(p)=V$, uma forma quadrática $||v||^{2}=\langle v,v\rangle$ está bem definida, o que permite a construção da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell(E_{p})$, e daí segue o fibrado de Clifford $\pi:{\cal C}\ell(E)\;{\rightarrow}\;M$, que é dado pela seguinte união disjunta não-trivial [17]

[TABLE]

Esse fibrado tem uma estrutura $\mathbb{Z}_{2}$-graduada que vem da álgebra de Clifford ${\cal C}\ell(V)$.

Fibrado Espinorial

Considere novamente o fibrado vetorial $\pi:E\;{\rightarrow}\;M$ com métrica $g$ semi-Riemanniana e assinatura $p+q$, e o fibrado de referênciais orientados e ortonormais $P_{SO}(E)$. O homomorfismo $s:{\rm Spin}_{p,q}\;{\rightarrow}\;SO_{n}$, para $n\geqq 3$, cujo núcleo é isomorfo a $\mathbb{Z}_{2}$, induz uma estrutura de spin sobre $E$ [17]

[TABLE]

onde $\forall\;p\in P_{\rm Spin}(E)$ e $g\in{\rm Spin}_{p,q}$, $s^{\prime}(pg)=s^{\prime}(p)s(g)$. Surge assim o conceito de fibrado espinorial $P_{\rm Spin}(E)$ a partir de uma estrutura de spin, o que dá origem à noção de spinor. As estruturas de spin tem aplicações na física-matemática, em particular na teoria quântica de campo, desempenhando um papel fundamental em teorias contendo férmions. Condições necessárias e suficientes para a existência de tais estruturas em espaços Riemannianos foram encontrados por A. Haefliger, as quais nos dizem que esses espaços admitem estrutura espinorial se, e somente se a segunda classe de Stiefel-Whitney $w_{2}(M)$ 555$w_{2}(M)\in H_{2}(M,\partial)$ é um invariante topológico do fibrado vetorial. é trivial [37, 38]. Se além disso, os grupos de cohomologia $\tilde{H}^{0}(M,\mathbb{Z}_{2})$ e $H^{1}(M,\mathbb{Z}_{2})$ forem triviais, pode-se afirmar que há apenas uma estrutura espinorial a menos de isomorfismos sobre M, onde $\tilde{H}$ denota a cohomologia reduzida [38].

Fibrado de Kähler-Atiyah

Uma decomposição do produto de Clifford em partes simétrica e antissimétrica resulta nos produtos escalar e exterior, respectivamente. Dessa forma, o fibrado exterior $\wedge(M)$ munido do produto de Clifford é denominado fibrado de Kähler-Atiyah $(\sec\wedge(TM),\circ),$ tal que $\circ$ denota o produto de Clifford e obviamente satisfaz as álgebras de Grassmann e de Clifford. De forma que dadas as 1-formas $\phi$ e $\psi$, temos a seguinte expressão:

[TABLE]

onde $\cdot$ é o produto escalar.

Abordados os conceitos matemáticos, vejamos o arcabouço da teoria física necessária a compreensão deste trabalho e suas motivações.

2.3 Formalismo de Compactificação em Supergravidade

Abordaremos, nesta seção, como o formalismo de compactificação surgiu em meio às teorias de unificação. Para isso, na subseção a seguir, revisaremos uma das primeiras tentativas de unificação, buscando escrever a teoria da gravitação de Einstein e a teoria eletromagnética de Maxwell em termos de uma teoria para campos não-massivos em cinco dimensões. Isso resulta em uma quantização na massa através de modos harmônicos nas dimensões extras compactificadas. Depois disso, na seção seguinte, esse formalismo de compactificação é estendido para dimensões arbitrárias através da inserção de um campo de $s$-forma $F$, o qual foi feito por Freund e Rubin [39]. Finalmente, nas duas últimas subseções, são estudados os casos particulares, mas muito importantes, sobre os espaços $AdS_{5}\times S^{5}$, o bulk $AdS_{5}$ e $AdS_{4}\times S^{7}$.

2.3.1 Modelo de Kaluza-Klein

Um dos primeiros a realizar cálculos com dimensões extras na física foi Kaluza, cujo modelo foi um precursor das teorias de cordas. Posteriormente, Klein deu uma interpretação em termos da teoria de campos ao modelo de Kaluza, tornando-se conhecido como modelo de Kaluza-Klein [40].

Em um nível clássico, a unificação das equações da relatividade com as equações do eletromagnetismo é obtida através de uma teoria pura de gravidade em cinco dimensões. Dessa forma, as equações de Einstein escritas no espaço de cinco dimensões $M^{1,3}\times S^{1}$ se decompõem nas equações de Einstein clássicas e nas equações de Maxwell 666Nesta seção, $M^{1,3}$ denota o espaço-tempo de quatro de dimensões, o qual é uma variedade Lorentziana, não necessariamente o espaço de Minskowski $\mathbb{R}^{1,3}$.. Isso é feito ao se considerar uma métrica sobre $M^{1,3}\times S^{1}$ dada por 777Note que esta já era uma ideia desenvolvida exclusivamente em geometria, pois o grupo de rotações $SO(1,3)$ (no espaço de Minkowski) pode ser visto como o grupo de rotações e boosts no espaço tridimensional Euclidiano. [40]:

[TABLE]

e sua matriz inversa associada

[TABLE]

Considere a velocidade da luz $c=1$. A partir da ação para gravidade em cinco dimensões

[TABLE]

a Lagrangiana se decompõe em

[TABLE]

onde $R_{5}$ e $R$ são a curvatura escalar em cinco e quatro dimensões, respectivamente. Assim, obtemos as seguintes equações de movimento [40]:

[TABLE]

Se escolhermos o campo escalar, denominado radion, constante e igual a 1, as equações tornam-se

[TABLE]

As primeiras equações são as equações de Einstein (com o tensor de energia-momento para matéria) na presença de campo eletromagnético. A segunda equação codifica as equações de Maxwell na ausência de carga e corrente. No entanto, $\phi=1$ só é consistente, se a terceira equação é um vínculo para o campo $F^{\mu\nu}$, que pode ser expresso também como $E_{i}E^{i}-B_{i}B^{i}=0$ [7].

Compactificação no Modelo de Kaluza-Klein

Em 1926, Oscar Klein propôs uma compactificação dessa dimensão extra, o que resultou em uma teoria massiva no espaço-tempo de Minkowski a partir de uma teoria não-massiva em cinco dimensões. Dessa forma, o campo escalar pode ser decomposto em uma série de Fourier

[TABLE]

o que nos permite escrever a seguinte ação [7]

[TABLE]

Note que o primeiro termo é o termo cinético de uma campo escalar sem massa, enquanto que os outros termos da somatória são campos escalares massivos com massa $m_{n}^{2}=\frac{n^{2}}{{\rm R}^{2}}$. Esta ideia pode ser estendida para teoria de compactificação de dimensões superiores. Em geral, para campos massivos de massa $m_{0}$ sobre um espaço $M^{1,3}\times T^{q}$ que possui $q$ dimensões extras, com raios de compactificação ${\rm R}_{1},\,{\rm R}_{2},\ldots,{\rm R}_{q}$, é válida a seguinte expressão para as massas de Kaluza-Klein:

[TABLE]

onde $j$ refere-se ao $j$-ésimo modo de Kaluza-Klein.

Até aqui, tratamos apenas compactificações sobre $S^{1}$ e toros $T^{n}=\overbrace{S^{1}\times\cdots\times S^{1}}^{n{\rm\;vezes}}$. No entanto, essas mesmas ideias podem ser estendidas para espaços compactos de dimensões superiores, como por exemplo a esfera de $q$ dimensões $S^{q}$. Portanto, da mesma forma que sobre $S^{1}$ e sobre $S^{2}$, os campos são decompostos em uma série de Fourier e em uma série de harmônicos esféricos, [41]:

[TABLE]

respectivamente, os quais são auto-funções do Laplaciano [7]:

[TABLE]

Similarmente, sobre o espaço compactificado $M_{4}\times K_{q}$, onde $K_{q}$ é um produto de esferas, podemos decompor os campos nos harmônicos:

[TABLE]

os quais obtemos, através de um Laplaciano escrito neste espaço:

[TABLE]

Como resultado, podemos interpretar uma teoria sem massa em $4+q$ dimensões, para cada modo $\phi_{n}(\vec{x},\vec{y})=\phi_{n}^{I_{n}}(\vec{x})Y_{n}^{I_{n}}(\vec{y})$, como uma teoria massiva de massa $m_{n}$ em $4$ dimensões, como esquematizamos a seguir [41]

[TABLE]

Sabemos que um campo quântico $\psi(x)$ sobre o espaço de Minkowski pode ser escrito como [6]:

[TABLE]

No entanto, um campo quântico $\psi^{\prime}(y)$ sobre $K_{q}$, quando escrito em termos de operadores de criação e aniquilação, resulta em uma série de harmônicos sobre esse espaço $K_{q}$, cujos respectivos momentos são quantizados. Dessa forma, se $M^{4}$ é o espaço-tempo e $K_{q}$ é o espaço compactificado, o campo quântico $\Psi$ sobre $M^{4}\times K_{q}$ pode ser escrito como $\Psi=\Psi_{4}(\vec{x})\Psi_{q}(\vec{y})$, onde aos harmônicos do espaço compacto $K_{q}$ estão associados operadores de criação e aniquilação. Então, o campo quântico $\Psi_{q}$ é decomposto como se segue [7, 41]

[TABLE]

onde $I^{*}_{l,m}=I_{l,-m}$ e $a_{I_{n}}$, $b_{I^{*}_{n}}$ são coeficientes a valores de operadores. Em particular, para $q=7$, $Y_{n}^{I_{n}}(\vec{y})$ são harmônicos esféricos sobre $S^{7}$. Esse procedimento é válido para teoria de campos sobre espaços compactificados em baixas energias e em um formalismo de operadores de criação e aniquilação.

2.3.2 Formalismo de Compactificação de Freund e Rubin

Toda essa construção feita acima pode ser bastante explorada no contexto de supergravidade, pois para que esta fosse consistente foi necessário admitir a existência de um número de dimensões maior que quatro. Isso só foi possível através de compactificações das dimensões extras ou admitindo que fazemos parte de um universo com mais que três dimensões espaciais, onde vivemos em 3-branas. Como resultado, admitindo supergravidade em $d$ dimensões, surgiram modelos maximalmente simétricos de vários tipos. Entre esses modelos, há uma classe que pode ser expressa como $[A]dS_{d-q}\times S^{q}$. Posteriormente, Freund e Rubin obtiveram essa teoria de compactificação geral a partir de um campo totalmente antissimétrico $F^{\alpha_{1}\ldots\alpha_{s}}$, ou seja, a partir de uma $s$-forma dada pelo ansatz [39],

[TABLE]

Há extensões do tensor eletromagnético na equação de Einstein para ordens superiores, que herdam antissimetria total:

[TABLE]

onde

[TABLE]

Dessa forma, admitindo uma decomposição do espaço $M$ em $M^{s}\times M^{d-s}$, os escalares de curvatura em cada espaço são obtidos a partir do ansatz (2.93) (Apêndice [A.1])

[TABLE]

onde $\lambda=8\pi G\cdot sgn(g_{s})$. Nesse caso, um espaço maximalmente simétrico tem métrica dada pela seguinte expressão:

[TABLE]

onde $dx^{2}_{AdS_{s}}$ denota a métrica sobre o espaço $AdS_{s}$, $\rho$ é o raio de compactificação do espaço $S^{d-s}$ e $d\Omega_{d-s}$ são ângulos infinitesimais sobre $S^{d-s}$. No caso particular, em que $d=11$ e $s=4$, o espaço $M$ maximalmente simétrico tem curvaturas escalares dadas por:

[TABLE]

Concluímos então, que $M^{4}$ é um espaço Lorentziano de curvatura escalar negativa (espaço de anti-de Sitter) e $M^{7}$, um espaço Riemanniano de curvatura escalar positiva (espaço esférico), ou seja, $M$ é escrito como $AdS_{4}\times S^{7}$. Como vimos, aos modos de Kaluza-Klein sobre essa compactificação estão associados os harmônicos esféricos sobre $S^{7}$. Através desses, uma teoria sem massa em $d=11$ torna-se uma teoria efetiva sobre $AdS_{4}$ com massa. Esse é um aspecto que pode ser analisado: investigar os modos de Kaluza-Klein para cada tipo de espinor que encontramos sobre $S^{7}$.

No outro caso, em que $d=10$ e $s=5$, o espaço de Einstein se decompõe com simetria maximal como $AdS_{5}\times S^{5}$ e possui curvaturas escalares dadas por [39]:

[TABLE]

resultando em uma decomposição nos seguintes espaços de Einstein:

[TABLE]

2.3.3 Bulk $AdS_{5}$

A partir de supergravidade em $d=10$, admitindo a decomposição $M=M_{5}\times M^{\prime}_{5}$, podemos obter a compactificação $AdS_{5}\times S^{5}$ através da $5$-forma $F_{\alpha_{1}\ldots\alpha_{5}}=4L^{4}(\epsilon_{\alpha_{1}\ldots\alpha_{5}}+*\epsilon_{\alpha_{1}\ldots\alpha_{5}})$, que é equivalente a abordagem acima, se identificamos $\lambda=\frac{8}{L^{2}}$. Dessa maneira, inserindo essa $5$-forma nas equações de Einstein, obtemos os tensores de Ricci [39, 42]:

[TABLE]

que determinam, no caso maximalmente simétrico, os espaços $AdS_{5}$ e $S^{5}$, respectivamente, como veremos adiante. Isso resulta em uma curvatura escalar nula sobre $AdS_{5}\times S^{5}$. Para analisar esse caso, considere a seguinte solução

[TABLE]

Levando em conta a mudança de coordenadas $\delta_{ij}dx^{i}dx^{j}=dr^{2}+r^{2}ds^{2}_{S^{5}}$ e pondo $z=L^{2}/r$, a métrica é simplificada,

[TABLE]

que é exatamente a métrica do espaço $AdS_{5}\times S^{5}$. Considere então, cordas fechadas e cordas abertas em supergravidade do tipo IIB sobre um espaço assintoticamente plano $\mathbb{R}^{9,1}$ [43, 44, 45]. Observado próximo ao horizonte de eventos, através do formalismo de cordas fechadas, ele se comporta como supergravidade do tipo IIB compactificada sobre o espaço $AdS_{5}\times S^{5}$, a qual pode ser explorada no contexto de dimensões infinitas, por meio espaços quocientes [46]. Vale frisar que nossa motivação aqui é apenas compactificação, não sendo nosso intuito explorar cordas do tipo IIB.

Além disso, em outro contexto o espaço $AdS_{5}$ também é utilizado na resolução do problema de hierarquia. Para isso, foi proposto o modelo de Randall-Sundrum, que descreve um bulk de cinco dimensões contido entre duas 3-branas, sendo que uma é chamada de brana de Planck, onde os parâmetros de massa e a massa de Planck se identificam, e a outra é a brana fraca, onde ocorrem as interações e os parâmetros diferem entre si. Esse espaçamento entre as duas branas é uma fatia de $AdS_{5}$ que determina a quantização (discretização) dos modos de Kaluza-Klein. Dessa forma, a métrica sobre esse espaço $\mathbb{R}^{1,3}\times(S^{1}/\mathbb{Z}_{2})$ é dada pelo ansatz [7]

[TABLE]

Considere um campo escalar sem massa $\phi$ sobre o fundo de Randall-Sundrum em cinco dimensões, sua Lagrangiana é ${\cal L}=\frac{1}{2}(g^{MN}\partial_{M}\phi\partial_{N}\phi)=\frac{1}{2}e^{3A(z)}(\eta^{MN}\partial_{M}\phi\partial_{N}\phi)$. Então, através das equações de Lagrange, obtemos:

[TABLE]

a partir da qual podemos calcular o potencial efetivo, por meio da substituição $\phi(x^{\mu},y)=:e^{-ip\cdot x}\phi(y)=:e^{-ip\cdot x}e^{f(y)}\psi(y)$:

[TABLE]

que simplifica a eq. (2.107) e assume a forma da equação de Schrödinger, se escolhemos $2\partial_{y}f+3\partial_{y}A=0$. Se uma segunda brana é adicionada como uma função delta em $y=L$, o seguinte potencial, denominado potencial vulcão, é obtido [7]

[TABLE]

No espaço entre as branas, a equação de onda [7]

[TABLE]

nos dá os modos do gráviton de Kaluza-Klein, em termos das funções de Bessel de primeiro e segundo tipo:

[TABLE]

cujas massas de Kaluza-Klein são quantizadas pelas condições de fronteira, o que resulta nas seguintes massas $m_{n}\simeq j_{0}^{n}/L$. Outras soluções deste conjunto de soluções foram propostas em diferentes contextos em [47, 48, 49, 50, 51].

  Se além do campo escalar, considerarmos um campo espinorial fermiônico $\xi$ sem massa, obtemos a seguinte Lagrangiana total

[TABLE]

A partir da qual, a dinâmica é calculada para esses campos [52]. Dessa forma, se escolhemos o campo espinorial representado por $\xi=\left(a(y),0,b(y),0\right)^{\intercal}$ e implementado sobre a brana, as equações de Einstein e de Dirac são escritas, para esse caso, como:

[TABLE]

a densidade de energia pode ser calculada e é dada por ${T_{0}}^{0}=-2\lambda a^{2}b^{2}$ [52]. As componentes do espinor $\xi$ também podem ser espressas em termos de constantes de acoplamento e da dimensão extra [52]:

[TABLE]

Se em vez disso, considerarmos um campo espinorial do tipo flag-dipole de duas componentes, representado por $\xi=\left(a(y),0,0,b(y)\right)^{\intercal}$ e uma métrica dada por $ds^{2}=\phi^{2}(y)\left(dx_{0}^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}\right)-dy^{2}$, encontramos que as componentes diagonais do tensor energia-momento $T_{\mu\nu}$ são identicamente nulas. Além disso, através da eq. (2.113) e do fato de o tensor de Ricci e de vielbein ${e_{a}}^{A}$ serem diagonais, resulta que o tensor $T_{\mu\nu}$ também é nulo fora da diagonal [52, 53, 54]. Dessa forma, como o tensor energia-momento é nulo, esse flag-dipole não gera brana e não tem existência. Pois, a partir de um dos vínculos obtido da componente ${T_{\bar{0}}}^{1}\,=\,0\,=\,\phi^{\prime}(y)a(y)b(y),$ obtemos que pelo menos uma das componentes do espinor deve ser nula. Por essa razão, o espinor $\xi$ deve ser, na verdade, do tipo dipole, dado por: $\xi=\left(a(y),0,0,0\right)^{\intercal}$. Calculamos o fator de dobra $\phi$ da métrica e a componente do dipole e encontramos:

[TABLE]

Esses espinores sobre o bulk são classificados no capítulo seguinte e sua dinâmica pode ser explorada para cada uma das classes de espinores listadas [18]. Campos espinoriais de ordem mais elevada também podem ser explorados nesse contexto [55]

2.3.4 $AdS_{4}\times S^{7}$

A principal motivação para se classificar campos de espinores sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, em particular $S^{7}$, o que é feito no capítulo central deste trabalho, reside na importância, em supergravidade, de se explorar o espaço compactificado $M_{4}\times M^{7},$ onde $M_{4}$ é o espaço-tempo de quatro dimensões e $M^{7}$, um espaço de Einstein-Riemann arbitrário de sete dimensões com uma estrutura spin compatível[16].

Em supergravidade, espaços de onze dimensões com uma 4-forma são compactificados através do ansatz de Freund-Rubin, resultando na compactificação $M_{4}\times M^{7}$, podendo este ser, principalmente: $S^{7},S^{5}\times S^{2},S^{4}\times S^{3},S^{2}\times S^{2}\times S^{3},T^{7}$ e outros [17, 37, 38, 39]. No entanto, se adicionamos a isso que $M^{7}$ é maximalmente simétrico, resta apenas a escolha $M^{7}=S^{7}$, que é invariante sob o grupo de simetria $SO(8)$ e tem uma métrica induzida do espaço Euclidiano, dada por [40]:

[TABLE]

a partir da qual, o tensor de curvatura de Riemann pode ser obtido:

[TABLE]

Em outras palavras, uma compactificação espontânea sobre $S^{7}$ de supergravidade em onze dimensões resulta em uma teoria de supergravidade em quatro dimensões com simetria maximal. Espaços-tempos com simetria maximal podem ser apenas espaços de de Sitter, Minkowski ou anti-de Sitter, isto é, cujo vácuo é invariante sob a ação do grupo $SO(4,1)$, Poincaré ou $SO(3,2)$, respectivamente. Esses têm como solução o vácuo e são produzidos por meio de uma constante cosmológica positiva, zero ou negativa, respectivamente. Dessa forma, um possível espaço de $11$ dimensões maximalmente simétrico é $AdS_{4}\times S^{7}$. É interessante notar que um campo fermiônico sobre um espaço maximalmente simétrico pode ter valor esperado de vácuo nulo.

Essa compactificação – $AdS_{4}\times S^{7}$ – em supergravidade em $d=11$ é uma solução maximalmente simétrica para o espaço-tempo, a qual é compatível com o produto direto $M_{4}\times M_{7}$ e é obtida através do ansatz de Freund e Rubin [39]:

[TABLE]

onde todas as outras componentes são nulas e $a$ é um escalar. Isso pode ser verificado substituindo esse ansatz nas equações de campo. Sobre o espaço-tempo de quatro dimensões, obtemos

[TABLE]

e sobre o espaço de Einstein-Riemann de sete dimensões,

[TABLE]

Entre os campos espinoriais sobre $S^{7}$, os quais classificamos neste trabalho e encontramos duas novas classes não-triviais, há um tipo que é muito útil na exploração de simetrias em supergravidade, os denominados espinores de Killing 888De uma forma geral espinores de Killing $\xi$ são definidos como $\nabla_{X}\xi=\lambda X\xi$, onde a justaposição é a multiplicação de Clifford e $X$ são vetores tangentes. Em particular, sobre o espaço $AdS_{4}$, ele é dado através da seguinte equação $\nabla_{\mu}\xi=im\gamma\Gamma_{\mu}\xi$, onde $\lambda$ é constante e $\lambda^{2}=1$. No outro caso, em que o espaço é a esfera $S^{7}$, ele é dado pela equação $\nabla_{i}\psi=\frac{i}{2}m\Gamma_{i}\psi$ [56, 57]., e satisfazem à seguinte equação sobre $S^{7}$:

[TABLE]

onde $\tilde{D}_{M}$ denota derivadas supercovariantes calculadas em 11 dimensões. De fato, as matrizes gama são decompostas através da compactificação de Freund-Rubin

[TABLE]

onde

[TABLE]

o que resulta também em uma decomposição das derivadas

[TABLE]

tal que $\gamma_{\mu}=e_{\mu}^{\alpha}\gamma_{\alpha}$ e $\Gamma_{m}=e_{m}^{a}\Gamma_{a}$.

Tendo em mãos essas definições, a Lagrangiana pode ser escrita para supergravidade em $d=11$ e é dada por [39, 42, 58, 59, 60]:

[TABLE]

onde $[\alpha_{1}\dots\alpha_{n}]$ indica que os índices nos colchetes são antissimetrizados e $A_{\nu\rho\sigma}$ é um campo de calibre que pode ser escrito como uma forma bilinear $A_{npq}=c\bar{\xi}\Gamma_{npq}\xi$, onde $\xi$ é um espinor de Killing sobre $S^{7}$ [16]. Dessa forma, o campo $4$-forma $F_{mnpq}$ sobre $S^{7}$ é um invariante de calibre, pois pode ser escrito como $F_{mnpq}\equiv 4\partial_{[m}A_{npq]}$ e tem sua dinâmica regida pela equação:

[TABLE]

A importância de nossos resultados para supergravidade em $d=11$ reside no fato que a identificação da 3-forma bilinear covariante $\bar{\psi}\gamma_{\mu\nu\rho}\psi$ com o tensor de torção $A_{\mu\nu\rho}$ nos dá uma forma mais natural e formal de expressar, por meio desse ansatz, que a torção sobre $S^{7}$, possivelmente, deve ser não-nula quando consideramos campos fermiônicos de Majorana sobre a mesma:

[TABLE]

onde $m_{7}$ é o parâmetro de massa sobre $S^{7}$. Este ansatz é motivado pela equação de estrutura entre os geradores:

[TABLE]

Há também uma relação com as constantes de estrutura octoniônicas [40, 42]

[TABLE]

Então, um caso que pode ser considerado é $S_{jkl}=-m_{7}c_{jkl}$. Nesse caso, a 4-forma intensidade de campo $F_{jklm}=4!\partial_{[j}A_{klm]}$ (curvatura) é zero, mas a 4-forma dual de Hodge $\star A$ é não-nula [60, 16]. Dessa forma, a torção $A_{jkl}$, sobre $AdS_{4}\times S^{7}$, comporta-se como um campo de calibre. É interessante notar, que já em estudos da dinâmica de campos espinoriais sobre o espaço-tempo de Minkowski surge a proposta de se incluir uma torção diferente de zero, no contexto da geometria de Riemann-Cartan, através de uma extensão da geometria da relatividade geral, denominada geometria de Lyra [61, 62].

Sendo assim, uma das principais motivações para se classificar campos espinoriais fermiônicos sobre $S^{7}$ é que a não-trivialidade desses espinores sobre $AdS_{4}\times S^{7}$ surge ao escolhermos somente espinores de Majorana, quando restritos a $S^{7}$. Pois, a forma $A=A_{jkl}\gamma^{j}\gamma^{k}\gamma^{l}$ pode ser identificada com a 3-forma $\hat{\varphi}_{3}$, que é não-nula. Além disso, a 4-forma dual também é não-nula, diferentemente do campo intensidade $F_{jklm}=4!\partial_{[j}A_{klm]}$, que pode ser zero [16, 60]. Através de uma extensão complexa dos espinores de Majorana sobre $M^{7}$, em particular $S^{7}$, encontramos duas novas classes não-triviais: uma singular e uma regular. Abordaremos em detalhes, no Cap. 4, tal formulação. Além disso, essas duas novas classes encontradas sobre $S^{7}$ nos sugerem novos espinores, que podem ser novos candidatos às soluções das equações de campos em supergravidade [16].

Um modelo muito estudado em onze dimensões, como vimos acima, é $AdS_{4}\times S^{7}$. É interessante notar, que sobre seu espaço compacto $S^{7}$ há mais duas geometrias como soluções das equações de movimento, além da geometria Riemanniana trivial [63, 64]. No entanto, foi mostrado posteriomente haver uma família de geometrias a um parâmetro sobre $S^{7}$ [58]. Encarando isso de uma forma mais abrangente, temos como perspectivas, estender essas geometrias para uma família de geometrias a um parâmetro octoniônico, através de um produto octoniônico bastante geral conhecido como produto-$u$, generalizando o que foi feito em [58, 59], pois permite introduzir geometrias paralelizáveis sobre $S^{7}$, incorporando a estas aspectos das álgebras de Clifford [65, 66, 67, 68]. \cleartooddpage[]

Capítulo 3 Classificação de Espinores de Acordo com Bilineares Covariantes

Neste capítulo, apresentamos uma classificação de espinores sobre o espaço-tempo de Minkowski segundo bilineares covariantes [14]. Essa mesma abordagem será utilizada, no capítulo seguinte, para classificarmos espinores em espaços Riemannianos de sete dimensões, em particular $S^{7}$, e sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, em especial o bulk da teoria de branas. Tomamos como arcabouço o que foi abordado no capítulo anterior: as álgebras de Clifford e a geometria (semi-)Riemanniana. Bilineares covariantes são escritos utilizando-se de elementos da álgebra de Clifford correspondente. Assim, a classificação abordada neste capítulo serve de base à classificação de espinores sobre $S^{7}$ [sobre o bulk], por meio de bilineares covariantes, através do uso de simetrias e das identidades de Fierz. Em seguida, por meio de uma complexificação, é possível generalizar essa classificação, resultando em outras duas [seis] classes não-triviais.

3.1 Bilineares Covariantes

Apesar de já havermos definido as ferramentas necessárias para a construção dos bilineares covariantes, cumpre-nos formalizar todo seu arcabouço através da introdução sucinta de cada um desses conceitos. Considere, então, em particular, espinores no espaço-tempo de Minkowski $(M,g)$, o qual possui uma métrica localmente Lorentziana $sgn(g)=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$, onde $sgn(g)$ denota o sinal da métrica. O conjunto $\{x^{\mu}\}$ são as coordenadas globais adaptadas ao referencial inercial ${e}_{0}=\partial/\partial x^{0}$ e ${e}_{i}=\partial/\partial x^{i}$, $i=1,2,3$, que são seções do fibrado dos referenciais $\mathbf{P}_{\mathrm{SO}_{1,3}^{e}}(M)$ sobre o espaço de Minkowski, cujas fibras sofrem a ação do grupo $\mathrm{SO}_{1,3}^{e}$. Uma métrica $g$ do espaço $\bigwedge^{1}(TM)=T^{*}M$ de 1-formas pode ser estendida para o espaço das formas arbitrárias $\sec\bigwedge(TM)$. Para isso, considere de uma forma geral, um funcional linear definido a partir da métrica $g$ [24]:

[TABLE]

Em seguida, considere um campo $k$-vetorial, que é uma seção do fibrado exterior, denotado por $a\in\sec\bigwedge^{k}(TM)$. Dessa forma, a seguinte extensão do funcional linear pode ser construída:

[TABLE]

Consequentemente, a métrica pode ser também estendida para elementos arbitrários da álgebra exterior $\bigwedge(V)$ [24]

[TABLE]

onde ${\rm G}(v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{p},u_{1}\wedge\cdots\wedge u_{p})=(v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{p})^{\#}(u_{1}\wedge\cdots\wedge u_{p})$. Explicitamente, temos:

[TABLE]

Resta então, para completar a definição acima, fixar a relação bilinear entre elementos de graus diferentes:

[TABLE]

Além disso, o operador dual de Hodge $\star:\sec\bigwedge(TM)\rightarrow\sec\bigwedge(TM)$ é definido por $a\wedge\star b={\rm G}(a,b)$. É interessante notar que a álgebra de Grassmann $(\bigwedge(TM),{\rm G})$, enquanto espaço vetorial, é isomorfa à álgebra de Clifford correspondente $C\kern-1.00006pt\ell_{p,q}$, pois ambas são álgebras quadráticas associadas ao espaço $\sec\bigwedge^{1}(TM)$ $\simeq\mathbb{R}^{p,q}$. Determinada a métrica $G$ sobre o espaço onde moram os bilineares covariantes, vamos introduzir os espinores no espaço de Minkowski e construir seus bilineares covariantes.

Espinores clássicos $\psi$ são elementos de um espaço associado a uma representação $\rho:D^{(1/2,0)}\oplus D^{(0,1/2)}$ de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. Dessa forma, o fibrado vetorial associado $\mathbf{P}_{\mathrm{Spin}_{1,3}^{e}}(M)\times_{\rho}\mathbb{C}^{4}$ é denominado fibrado espinorial, onde $\rho$ é estabelecido pela representação $D^{(1/2,0)}\oplus D^{(0,1/2)}$ do grupo de Lorentz. Os bilineares covariantes obtidos a partir desses espinores são seções do fibrado exterior $\bigwedge(TM)$ [14, 69, 70]. Para que esses bilineares possam ser definidos, é necessário introduzir os seguintes endomorfismos:

[TABLE]

onde $a=a_{1}a_{2}\ldots a_{k}\in\bigwedge^{k}(TM)$. Usando a notação padrão $\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$, os bilineares covariantes são listados abaixo:

[TABLE]

onde a base vetorial de matrizes gama $\{\mathbf{1}_{4},\gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\rho},\gamma_{0}\gamma_{1}\gamma_{2}\gamma_{3}\}$ satisfaz $\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}=2\eta_{\mu\nu}\mathbf{1}_{4}$ e é uma base para $\mathcal{M}(4,\mathbb{C})$, tal que $\mu,\nu,\rho=0,1,2,3$ e $\mu<\nu<\rho$, onde a justaposição denota o produto de Clifford [71].

Se nos preocupamos em descrever o elétron como um espinor de Dirac (classes 1), cada bilinear acima descrito está associado com uma propriedade do elétron, como se segue:  ${\bf J}$ é uma 1-forma tipo-tempo correspondente à densidade de corrente; a densidade de momento eletromagnético intrínseco do elétron é representada pela 2-forma  $\mathbf{S}$; a direção do spin do elétron ou corrente quiral é dada pela 1-forma tipo-espaço $\mathbf{K}$ e o pseudoescalar $\omega$ nos dá indícios do espinor sob a simetria $CPT$ [14]. Esses observáveis podem ser vinculados entre si através de identidades envolvendo as matrizes gama, denominadas identidades de Fierz, que são descritas na seção seguinte. Tal classificação também foi implementada e estudada em regimes de gravidade quântica em [72].

3.2 Identidades de Fierz-Pauli-Kofink

Identidades de Fierz gerais são bastantes úteis para se escrever relações de completeza e ortogonalidade [73, 74], com as quais é construída uma equivalência entre representações espinorial e tensorial. Assim, através do estudo dessas identidades surgiram novas classes de campos espinoriais, principalmente nessa última década, quando esse assunto e suas aplicações têm sido cada vez mais explorados. Entre essas aplicações, vínculos relacionados ao termo exótico da equação de Dirac podem ser calculados [75, 76, 77], outros aspectos sobre operadores de Dirac são abordados em [78], uma compreensão algébrica e geométrica do Elko 111Elko é uma abreviação para Eigenspinoren des LadungsKonjugationsOperators, que quer dizer autoespinores do operador de conjugação de carga e suas propriedades, juntamente com suas relações com o espinor de Dirac podem ser encontrados [79]. Assim como, sua radiação Hawking através de tunelamento de horizonte de corda negra [80, 81] e, através de uma Lagrangiana em supergravidade, uma ação de gravidade para cada tipo de espinor, em particular, o próprio Elko [82]. Este pode ser útil em revelar simetrias escondidas no modelo Duffin-Kemmer-Petiau, mostrando que uma teoria da relatividade muito especial seria suficiente ao experimento de Michelson-Morley [83, 84]. Um resultado mais recente nos revela um caráter mais realístico do Elko, através de um mapeamento entre os campos de Dirac e os campos de Elko, que se dá por meio de uma extensão do modelo padrão que inclui a matéria escura [85].

Conceitualmente, um produto bilinear entre dois espinores pode ser escrito como uma combinação linear de produtos de bilineares covariantes de cada um dos seus respectivos espinores, essas importantes identidades recebem o nome de identidades de Fierz-Pauli-Kofink, cujas aplicações mostramos acima. No entanto, utilizaremos a denominação identidade de Fierz daqui para frente. Vejamos, se considerarmos o produto interno $\langle A,B\rangle:=tr(B^{\dagger}A)$, entre as matrizes $\Gamma^{A}$ este é dado por:

[TABLE]

então as identidades de Fierz mais gerais em quatro dimensões são escritas como [6]

[TABLE]

onde o coeficiente $C^{AB}_{CD}$ é obtido a partir da relação de completeza das 16 matrizes $\Gamma^{A}$:

[TABLE]

Essas identidades de Fierz podem ser construídas em termos dos bilineares covariantes estudados na seção anterior, seguindo uma abordagem diferente [14, 70, 86].

[TABLE]

as quais como dissemos é bastante útil na classificação de espinores. Assim, o espinor é dito ser regular, se $\sigma+\omega\gamma_{5}\neq 0$. Caso contrário, ele é singular. Um campo multivetorial $Z$ pode ser construído fazendo-se uso dos bilineares covariantes associados às propriedades importantes do elétron, acima listados [14]:

[TABLE]

Esse objeto é denominado agregado de Fierz, se $\omega,\mathbf{S},\mathbf{K},\mathbf{J}$ e $\sigma$ satisfazem as identidades de Fierz (3.13). Além disso, se $Z$ satisfaz a identidade $\gamma^{0}Z\gamma^{0}=Z^{\dagger}$, ele é chamado de boomerang [14].

Quando espinores singulares são examinados, as identidades de Fierz (3.13) podem ser substituídas por expressões mais gerais, válidas também para espinores regulares [70]:

[TABLE]

No espaço-tempo de Minkowski 4D, as identidades de Fierz vinculam os espinores e nos dão importantes propriedades sobre esses, com algumas aplicações inesperadas. Se tentamos generalizar essas identidades para dimensões superiores, podemos encontrar vínculos mais gerais com os bilineares covariantes. Isso foi feito por meio da álgebra geométrica para dimensões e assinaturas arbitrárias [87, 88] e é baseado no que foi desenvolvido em [89, 90].

Uma abordagem diferente do agregado de Fierz pode ser obtida através de representações espinoriais da álgebra de Lorentz $\mathfrak{so}(1,3)$. Suas representações espinoriais fundamentais são $(\frac{1}{2},0)$ e $(0,\frac{1}{2})$, as quais levam em conta os espinores de Weyl levógiro $\psi_{-}$ e dextrógiro $\psi_{+}$, respectivamente. Por essa razão, ela é isomorfa à soma direta $\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$. De outra forma, elementos da representação $(0,\frac{1}{2})\oplus(\frac{1}{2},0)$ agem sobre espinores de Dirac e representações irredutíveis do grupo de Lorentz podem ser obtidas, através do seguinte produto tensorial [91]

[TABLE]

Note que esse produto é decomposto em uma soma direta das partes homogêneas do agregado. Considerações físicas determinam um conteúdo geométrico subjacente ao agregado de Fierz, que é representado acima de outra forma ao levarmos em conta o isomorfismo ${\rm Spin}_{1,3}\simeq{\rm SL}(2,\mathbb{C})$. Por exemplo, o vetor densidade de corrente ${\bf J}$, que é representado por $\psi^{*}_{+}\sigma^{\mu}\psi_{+}$ e $\psi^{*}_{-}\bar{\sigma}^{\mu}\psi_{-}$, é rotacionado ou boosted por ações dos elementos de $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Enquanto, que o termo $(1,0)\oplus(0,1)$ da densidade de spin denota as representações à esquerda e à direita e está relacionado às matrizes antissimétricas. Existe ainda uma relação entre a existência de duas formas bilineares covariantes naturais sobre o espaço de espinores e elementos da álgebra exterior [92] e, reciprocamente, há uma reconstrução de espinores a partir das componentes multivetorias de $Z$, através das identidades de Fierz [93].

3.2.1 Reconstrução de espinores

Para espinores regulares, o agregado $Z$, expresso na eq. (3.14), é fatorado da seguinte forma:

[TABLE]

Se os multivetores $\sigma,{\bf J,S,K},\omega$ satisfazem as identidades de Fierz, cada um dos multivetores está associado a um bilinear do espinor $\psi$, que pode ser reobtido a menos de uma diferença de fase a partir do agregado de Fierz $Z$ por meio da fatorização (3.16) [14, 70]:

[TABLE]

Reciprocamente,

[TABLE]

O que torna as identidades de Fierz de grande relevância são suas recentes aplicações na classificação de novos campos de partículas espinoriais, as quais tem sido cada vez mais abrangentes, principalmente nos últimos dez anos. Elas foram usadas por Lounesto para classificar espinores sobre o espaço de Minkowski por meio de bilineares covariantes [14]. De fato, ele mostrou que espinores construídos sobre o espaço-tempo podem ser distribuídos em seis classes disjuntas. Consequentemente, três dessas são regulares e englobam espinores de Dirac, enquanto as outras três classes são singulares, onde Weyl e Majorana são casos particulares. Além dessas, há outras três classes com ${\bf J}=0$ [94]. Na próxima seção, explicaremos e detalharemos melhor essas classes.

3.3 Classificação de Espinores no Espaço-Tempo de Minkowski

Fisicamente, cada bilinear de um espinor está associado a um observável. Uma classificação dos espinores baseada em seus bilineares covariantes impõe vínculos sobre estes e são de extrema importância para a física de partículas na busca por novos campos de partículas e suas propriedades.

Lounesto classificou espinores sobre o espaço-tempo nas seis seguintes classes disjuntas [14]. Por razões físicas, temos para todas as classes que a corrente $\mathbf{J}\neq 0$. Está implícito que as classes (1), (2) e (3) abaixo possuem $\mathbf{K}$ e $\mathbf{S}$ não-nulos:

$\sigma\neq 0,\;\;\;\omega\neq 0$.

• 2)

$\sigma\neq 0,\;\;\;\omega=0$.

• 3)

$\sigma=0,\;\;\;\omega\neq 0$.

• 4)

$\sigma=0=\omega,\;\;\;\mathbf{K}\neq 0,\;\;\;\mathbf{S}\neq 0$.

• 5)

$\sigma=0=\omega,\;\;\;\mathbf{K}=0,\;\;\;\mathbf{S}\neq 0$.

• 6)

$\sigma=0=\omega,\;\;\;\mathbf{K}\neq 0,\;\;\;\mathbf{S}=0$.

Os tipos de espinores (1), (2) e (3) são chamados de espinores regulares para partículas de spin-1/2 pelo fato de o bilinear covariante escalar ou pseudoescalar ser diferente de zero. De outra sorte, para as outras três classes de espinores (4), (5), e (6), ambos os bilineares covariantes escalar e pseudoescalar são nulos e, daí, esses serem denominados espinores singulares, respectivamente, flag-dipoles, flagpoles e dipoles.

Este último tipo de espinor – dipole – inclui os espinores de Weyl [14], os quais, sendo levógiros $\xi_{-}$ ou dextrógiros $\xi_{+}$, satisfazem $\frac{1}{2}(1\pm\gamma_{5})\xi_{\mp}=0,\;\;\frac{1}{2}(1\pm\gamma_{5})\xi_{\pm}=\xi_{\pm}$ e possuem uma rica geometria [14, 24]. Esses espinores têm uma nova dinâmica, ditada pelas seguintes equações:

[TABLE]

onde $\sigma^{\mu}\equiv(1,\sigma^{1},\sigma^{2},\sigma^{3})$ e $\bar{\sigma}^{\mu}\equiv(1,-\sigma^{1},-\sigma^{2},-\sigma^{3})$. Essas equações são resultantes do desacoplamento das equações de Dirac em duas outras para espinores de duas componentes, quando escolhemos $m=0$. Espinores do tipo flagpole foram considerados recentemente em cosmologia [95] e têm sido explorados como candidatos a matéria escura em vários contextos [75, 76, 77, 96, 97, 98]. Como caso particular de flagpole, temos um tipo especial de campos fermiônicos de dimensão canônica de massa um, denominado Elko [82, 99], que é utilizado em métodos de tunelamento em buracos negros, como mencionamos mais acima [80, 81]. No apêndice A.3, expomos de maneira mais detalhada os fundamentos sobre esse tipo de espinor. Além desse, há outro flagpole, o espinor de Majorana, que pode ser construído a partir de um espinor de Weyl:

[TABLE]

o qual satisfaz a equação de Majorana $-i\not{\partial}\psi+mC\psi=0$, onde $C=\gamma^{2}K$ é o operador de conjugação de carga e $K$ é a conjugação complexa [100]. É interessante notar que para partículas de spin-$\frac{1}{2}$, a conjugação de carga ($C$), juntamente com a paridade ($P$) e a inversão temporal ($T$), totalizam as simetrias discretas do espaço-tempo subjacente. Disso, emerge um novo tipo de campo, denominado campo de anti-matéria [101]. Em geral, para flagpoles, os autovalores do operador de carga podem ser quaisquer elementos do grupo $U(1)$ [$C\psi=e^{i\theta}\psi$]. Em particular, $C$ pode ter autovalores $\pm 1$, que correspondem ao Elko e ao espinor de Majorana. O primeiro exemplo físico de espinor do tipo flag-dipole foi encontrado recentemente no contexto das teorias de gravidade ESK (Einstein-Sciama-Kibble), como soluções das equações de Dirac em um fundo-$f(R)$ com torção [54, 102, 103, 104, 105, 106].

Os espinores de Dirac usualmente estudados estão restritos a primeira classe dos espinores regulares. Os quais, em particular, podem ser obtidos como soluções livres da equação de Dirac, para as quais são obtidas representações através de um boost na representação do referencial da partícula, como segue.

No referencial da partícula, $p=(m,\vec{0})$ e a equação de Dirac $(\gamma^{\mu}p_{\mu}-m\cdot 1_{4})u(p)=0$ se torna $(m\gamma^{0}-m)u(p_{0})=0$, cuja solução é u(p_{0})=\sqrt{m}\left(\begin{tabular}[]{c}\xi$\\$\xi\end{tabular}\right), onde \xi=\left(\begin{tabular}[]{c}1$\\$0\end{tabular}\right) indica que a partícula tem spin ao longo da direção $z$. Por meio da parametrização \left(\begin{tabular}[]{c}E$\\$p^{3}\end{tabular}\right)=\left(\begin{tabular}[]{c}m\cosh\eta$\\$m\sinh\eta\end{tabular}\right), essa solução pode ser escrita em um referencial arbitrário, através de um boost, o qual resulta no seguinte espinor [6]

[TABLE]

Essa é a representação mais geral para o espinor de Dirac.

Todas essas classes de espinores foram caracterizadas com detalhes recentemente [53] e uma revisão completa sobre classificação de espinores foi feita, juntamente com suas aplicações a teoria de campos e gravitação [107]. Essa classificação também foi bastante explorada no contexto de termodinâmica de buracos negros [80, 81].

Além dessas seis classes que possuem espinores com densidade de corrente não-nula, foram encontradas outras três classes com ${\bf J}=0$. Por causa disso, esses espinores não descrevem partículas de Dirac, mas apenas satisfazem a equação de Klein-Gordon e, daí, sua dimensão de massa é igual a um. Essas classes são listadas abaixo [94]:

[TABLE]

Conjectura-se que tais classes representam campos fantasmas. Tal estudo ainda está em desenvolvimento.

Para que a dinâmica desses campos, de cada classe, possa ser explorada, a descrição dada pela Lagrangiana através dos bilineares covariantes correspondentes é suficiente. Relembremos, então, o estudo das simetrias dessa Lagrangiana e suas respectivas corrente e carga conservadas. No entanto, para facilitar essa compreensão acerca dos campos espinoriais, torna-se necessária uma abordagem para o campo escalar. Seja, então, uma transformação infinitesimal no campo escalar $\phi$ [6]

[TABLE]

Considere a densidade Lagrangiana ${\cal L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$, então o princípio da mínima ação de Hamilton :

[TABLE]

garante que a Lagrangiana é invariante a menos de uma transformação de calibre

[TABLE]

Como resultado, obtemos [6]

[TABLE]

onde $j^{\mu}(x)$ é a densidade de corrente, que está associada à simetria do sistema. Essa simetria nos garante uma grandeza que é constante no tempo, denominada carga $Q:=\int d^{3}x\;j^{0}$. Note que a equação de continuidade $\partial_{\mu}j^{\mu}=0$ deve ser satisfeita. Isso pode ser verificado também para campos espinoriais $\psi$, para o qual a densidade de corrente é $J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$. De fato, como $\psi$ satisfaz a equação de Dirac $\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi=-im\psi$ [$\partial_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}=im\bar{\psi}$], temos [6]

[TABLE]

Além disso, se escrevemos o campo $\psi$ em termos dos operadores de criação e aniquilação [6]:

[TABLE]

a carga associada à densidade de corrente $J^{\mu}$ é dada por

[TABLE]

onde $:\;\;:$ denota o ordenamento normal. De forma equivalente, ainda no formalismo de primeira quantização, usando a equação de Dirac, obtemos a equação de continuidade para a densidade de corrente quiral $J^{\mu 5}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\gamma^{5}\psi=K^{\mu}$:

[TABLE]

onde a mesma ($K^{\mu}=J^{\mu 5}$) se conserva apenas quando $m=0$, como nota-se diretamente da equação acima. Além da densidade de corrente $J^{\mu}$, a simetria rotacional para espinores também pode ser obtida através do teorema de Noether. Dessa forma, a partir de uma rotação infinitesimal do espinor $\psi$ de um ângulo $\theta$ em torno do eixo $z$ [6]:

[TABLE]

onde $\Lambda_{\frac{1}{2}}$ e $\Lambda$ são as transformações de Lorentz espinoriais e vetoriais respectivamente, é obtida a componente temporal da corrente de Noether:

[TABLE]

Nesta expressão, o spin intrínseco pode ser representado por $\Sigma^{j}:=1_{2}\otimes\sigma^{j},\;j=1,2,3$. Seguindo o mesmo raciocínio para as outras componentes da densidade de corrente para a simetria rotacional, a seguinte expressão para o operador de momento angular pode ser obtida [6]:

[TABLE]

Considere partículas em repouso, então apenas o termo espinorial contribui. Dessa forma, a componente $z$ do momento angular pode ser expressa por [6]:

[TABLE]

Depois de serem exploradas as simetrias e suas cargas associadas, podemos observar que os espinores de Dirac 222Espinores de Dirac são espinores que satisfazem a equação de Dirac e de paridade [$P\psi=\pm\psi$]. (bem como Weyl e Majorana) não são o único tipo de espinores que existem. Apesar de haver um teorema em que apenas eles são permitidos, se satisfeitas algumas hipóteses. Isso pode ser contornado, através da violação de pelo menos uma dessas hipóteses, permitindo a existência de outros espinores que não são de Dirac. O teorema mencionado é o teorema de Weinberg-Witten [108, 109], do qual resulta que espinores de spin-$\frac{1}{2}$, dimensão de massa $\frac{3}{2}$, com grupo de simetria ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$ e que satisfazem o grupo completo de transformações de Lorentz sobre o espaço de Minkowski só podem ser espinores de Dirac. Sobre considerações a respeito desse teorema, generalizações para partículas de spin de ordens superiores e suas respectivas equações de campo reportados e discutidos na referência [110], consideramos aqui apenas férmions de spin-$\frac{1}{2}$ e bósons de spin [math] e $1$ [15]. Além disso, Fierz e Pauli estudaram o caso de partícula de spin arbitrário na presença de um campo eletromagnético [111].

Em outras palavras, se os espinores deixam de satisfazer uma das condições, não será obrigatório que esse teorema seja satisfeito, consequentemente o espinor não será necessariamente de Dirac. Assim, uma das hipóteses é contornada, se a dimensão de massa é um. Nesse caso, podem ser considerados flagpoles, como por exemplo o Elko. Todos esses campos de espinores têm sido amplamente estudados na última década: foi feita uma abordagem bastante abrangente sobre álgebras de Clifford e campos de espinores [24]; um novo campo quântico de spin-$\frac{1}{2}$ com dimensão de massa $1$ foi construído, quando o teorema de Weinberg é contornado [109]; foi mostrado que o Elko pode ser um bom candidato a matéria escura, pelo fato de haverem poucas interações com outras partículas do modelo padrão [97, 98, 112], além de evitar, no contexto do período de expansão acelerada do nosso universo, o problema do ajuste fino associado às condições iniciais [95]; foram construídos possíveis cenários advindos do acoplamento exóticos entre esses campos espinoriais escuros (Elko) e campos escalares topológicos [75, 76, 77, 96]. Além dessas, foram feitas outras aplicações desses campos de espinores em gravitação, cosmologia, matéria escura, branas e física de partículas. Não entraremos em mais detalhes a respeito.

No capítulo seguinte, utilizaremos o mesmo método utilizado aqui para classificar espinores, de acordo com seus bilineares covariantes, sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, em particular a esfera $S^{7}$, bastante útil em supergravidade em $AdS_{4}\times S^{7}$, e sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, por exemplo o bulk ($AdS_{5}$), através dos vínculos vindos das identidades de Fierz.

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Capítulo 4 Classificação de Espinores em Dimensões Arbitrárias

Neste capítulo, exploraremos vários aspectos de espinores em espaços de dimensões e assinaturas arbitrárias e listaremos todos os bilineares covariantes possíveis. Além disso, estenderemos os espinores de Majorana através de uma complexificação do grupo spin $Spin^{+}_{p,q}$, obtendo, assim, elementos de $Spin_{p,q}$. Em particular, classificaremos nas seções que se seguem espinores sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, por exemplo a esfera $S^{7}$, e sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, como o bulk ($AdS_{5}$). Esses casos são muito importantes na exploração da dinâmica de espinores em supergravidade. É interessante notar que uma teoria sem massa em onze dimensões ganha um espectro de massas de Kaluza-Klein, quando compactificada. Esse espectro poderá ser analisado futuramente, tanto sobre o espaço $AdS_{4}\times S^{7}$, quanto sobre o espaço $M_{4}\times S^{1}/\mathbb{Z}_{2}$, onde $M_{4}$ denota o espaço-tempo de Minkowski, que é o bulk no caso do modelo de Randall-Sundrum, através do cálculo do potencial efetivo para cada uma das classes de campos espinoriais obtidas nesse trabalho. Isso também poderá ser feito futuramente. Não entraremos em mais detalhes sobre supergravidade 111Verifique mais informações nessa referência [113].[113].

Para classificarmos campos espinoriais sobre espaços Riemannianos de sete dimensões 222Motivado pela compactificação de $AdS_{4}\times M^{7}$ é usual considerar-se $M^{7}$ como sendo uma variedade compacta [114]., serão introduzidas uma estrutura real $D$ e uma complexa $J$, que agem como uma conjugação complexa ${\psi}^{*}$ e como um produto com a unidade imaginária $i\psi$, respectivamente. A admissibilidade de um dado bilinear $B$ é dada por alguns sinais, que permitem que alguns vínculos sejam obtidos, os quais anulam algumas componentes dos bilineares covariantes. Posteriormente, o uso das identidades de Fierz, que também são vínculos entre os bilineares covariantes, garantirá a existência de apenas uma classe de espinores de Majorana em sete dimensões. Finalmente, após complexificar esses bilineares covariantes e obter espinores e bilineares covariantes mais gerais, garantiremos a existência de duas novas classes não-triviais de espinores em espaços de sete dimensões Riemannianas, como por exemplo, sobre a esfera $S^{7}$: uma classe regular e outra singular. Um procedimento bastante análogo é seguido ao classificar campos de espinores sobre o bulk $AdS_{5}$.

Essas classificações são baseadas no mesmo critério pelo qual Lounesto classificou espinores em $\mathbb{R}^{1,3}$ em seis classes disjuntas, isto é, com base nos bilineares covariantes [115, 60, 116].

4.1 Formas Bilineares em Dimensões e Assinaturas Arbitrárias

Nesta seção, através das estruturas real $D$ e complexa $J$ e das simetrias de uma forma bilinear covariante admissível $B$, outros bilineares covariantes serão construídos a partir desta. Por último, todos os bilineares covariantes para espinores em espaços de dimensões e assinaturas arbitrárias serão listados em termos de suas componentes.

4.1.1 Estruturas Real $D$ e Complexa $J$

Seja o fibrado de Kähler-Atiyah $(\sec\bigwedge(TM),\circ)$, onde $\circ$ denota o produto de Clifford. A partir de sua parte par $(\sec\wedge^{2k}(TM),\circ)$, o fibrado espinorial $S$ associado à variedade $(M,g)$, a qual possui dimensão $n$ e assinatura $p+q$, pode ser construído, através de uma estrutura de módulo333Módulo é uma extensão do conceito de espaço vetorial, tal que os escalares não são elementos de um corpo, mas pertencentes a um anel. Por isso, a multiplicação é apenas associativa e distributiva. dada pelo morfismo444O conjunto dos morfismos é o conjunto de aplicações que possui a identidade e cuja composição é associativa. $\gamma:(\wedge(TM),\circ)\;{\rightarrow}\;(End(S),\Ganz)$ [69, 87, 88, 117, 118, 119].

Um endomorfismo555Endomorfismo é um morfismo de um espaço nele mesmo, em nosso caso o fibrado $S$. idempotente666$R$ é idempotente, pois satisfaz $R\circ R=1$. $R$ sobre $S$, que em algumas dimensões e assinaturas pode ser identificado com o elemento de volume $\gamma^{n+1}=\gamma^{1}\Ganz\cdots\Ganz\gamma^{n}$, o qual satisfaz $(\gamma^{n+1})^{2}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}+q}$ e decompõe este mesmo fibrado $S$ nos sub-fibrados $S^{+}$ e $S^{-}$, ou seja, $S=S^{+}\oplus S^{-}$. Esses sub-fibrados $S^{+}$ e $S^{-}$ são determinados pelos auto-valores de $R$: $+1$ e $-1$, respectivamente, e obtidos através de projeções de spin $\Pi_{\pm}=\frac{1}{2}(I\pm R)$, onde $I$ denota a identidade sobre $S$ e $S^{\pm}=\Pi_{\pm}(S).$ Por meio dessas decomposições, podemos encontrar representações irredutíveis para $S$. Essa decomposição é dita ser não-trivial, se ambos $S^{+}$ e $S^{-}$ são não-nulos.

Sobre esse fibrado $S$, podem ser definidos ainda os endomorfismos D e J, de forma que o primeiro nos fornece uma estrutura real que implementa a conjugação complexa, enquanto que ${\it J}$ define uma estrutura complexa [87, 120], isto é, $D$ e $J$ são definidos por:

[TABLE]

as quais obedecem as seguintes propriedades:

[TABLE]

onde denotamos o comutador com uma multiplicação $\Ganz$ restrita a $S^{\pm}$ por $[\ \ ,\ \ ]_{\pm,\Ganz}$. Em particular, se $p-q=3,7\mod 8$, a estrutura complexa $J$ se identifica com o elemento de volume $\gamma^{n+1}$, a menos de um sinal.

Espinores reais em espaços de dimensões arbitrárias são caracterizados, juntamente com sua estrutura real $D$, conforme é dado na tabela abaixo

[TABLE]

Tabela 5. Tipos de espinores reais em dimensões arbitrárias e sua estrutura real

Determinadas as estruturas real e complexa sobre o fibrado $S$, resta-nos, na subseção seguinte, determinar simetrias com essas estruturas para as formas bilineares admissíveis, para que seja possível encontrar os vínculos, bastante úteis na nossa classificação dos campos espinoriais em classes.

4.1.2 Forma Bilinear Admissível $B$ e Suas Simetrias

Seja um referencial local $\{\epsilon_{\alpha}\}_{\alpha=1\dots\Delta}$ sobre $S_{+}$, cuja dimensão real é dada por $\Delta$ ( onde $\Delta=2^{[d/2]}$), construído a partir do co-referencial ortonormal local $\{e^{a}\}_{a=1,\,\ldots,\,n}\subset{\bf P}_{SO^{e}_{p,q}}(M)$ de $(M,g)$ [121]. Dada uma forma bilinear arbitrária $B$, para que ela seja admissível, deve satisfazer:

• a)

$B$ é simétrica ou antissimétrica,

• b)

$S^{+}$ e $S^{-}$ são isotrópicos ou ortogonais com respeito a $B$, para $p-q\equiv 0,4,6,7\mod 8$,

• c)

Dados $\xi\in\sec\bigwedge(TM)$ e $\gamma(\xi)$, uma representação de $\xi$, a identidade \gamma(\xi)^{\intercal}=\gamma(\underaccent{\tilde}{\xi}) é satisfeita, se e somente se B(\gamma(\xi)\psi,\psi^{\prime})=B(\psi,\gamma(\underaccent{\tilde}{\xi})\psi^{\prime}), tal que, se $B$ é simétrico, \underaccent{\tilde}{\xi} é a reversão usual $\tilde{\xi}$ ou a conjugação de Clifford, caso contrário.

A partir dessa forma bilinear $B$ e das estruturas introduzidas $D$ e $J$, um bilinear mais geral pode ser construído por meio de uma complexificação, juntamente com outros três bilineares covariantes. Para isso, considere os campos espinoriais $\psi,\psi^{\prime}\in\Gamma(S),$ onde $\Gamma(S)$ denota o espaço das seções suaves do fibrado espinorial $S$, então obtemos uma fibra correspondente $\mathbb{C}$-bilinear $\beta$ a partir de uma complexificação do bilinear $B$ restrito a $S_{+}\otimes S_{+}$ ($B|_{S_{+}\otimes S_{+}}$) [87]:

[TABLE]

onde as partes real e imaginária de $\psi$ são, respectivamente, ${}^{\rm(Re)}\psi=\frac{1}{2}(\psi+D(\psi))$ e ${}^{\rm(Im)}\psi=\frac{1}{2}(\psi-D(\psi))$. Tal bilinear $\beta$ satisfaz:

[TABLE]

onde $\Gamma(M,S)$ denota o espaço de todas as seções ${\cal C}^{\infty}$ do fibrado espinorial $S$. Partindo de $\beta$, reciprocamente, outros quatro bilineares $\mathscr{B}_{0},\mathscr{B}_{1},\mathscr{B}_{2},\mathscr{B}_{3}$ podem ser definidos por:

[TABLE]

É necessário introduzir alguns sinais, para que $B$ possa ser analisado com mais detalhes, explorado um pouco mais e uma classificação de espinores seja encontrada. O sinal $\sigma_{\mathscr{B}}=\pm 1$ é definido a partir da transposta de $\mathscr{B}_{k}$, por

[TABLE]

e é chamado de simetria de $\mathscr{B}_{k}$. Outro sinal, que aparece de uma relação entre os sub-fibrados $S^{\pm}$ e através de $\mathscr{B}_{k}$, é $\iota_{k}$, denominado isotropia de $\mathscr{B}_{k}$:

[TABLE]

Por fim, $\epsilon_{k}$ vem da transposta das matrizes $\gamma^{A}$ e é denominado tipo de $\mathscr{B}_{k}$:

[TABLE]

No nosso caso, em que $p=7$ e $q=0$, estes sinais $\sigma_{k},\epsilon_{k}$ e $\iota_{k}$ são calculados e mostrados na tabela abaixo, pois serão úteis mais adiante [87]:

[TABLE]

Tabela 6. Sinais da forma bilinear $B$ para $p=7$ e $q=0$.

4.1.3 Bilineares covariantes em dimensões e assinaturas arbitrárias

No capítulo anterior, para que se produzisse uma quantidade invariante de Lorentz 777Daqui em diante, para multi-índices $(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{k})$, $1\leq\alpha_{k}\leq n$, usaremos a notação $e^{\alpha_{1}\ldots\alpha_{k}}=e^{\alpha_{1}}\wedge\cdots\wedge e^{\alpha_{k}}$ e uma equivalente para termos contravariantes. Além disso, o produto $\Ganz$ será denotado apenas por justaposição. , o espinor dual de $\psi$ foi identificado com a conjugação de spin $\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$. Procurando uma quantidade invariante em dimensões arbitrárias, encontramos formas bilineares mais gerais, que são produtos invariantes de spin e que podem ser escritas como

[TABLE]

onde $\psi,\psi^{\prime}$ são campos espinoriais e $a\in\Gamma({\rm End}(S))$ [122]. Dessa forma, denotando uma involução adjunta arbitrária por $\;\mathring{\mathring{}}\;$, resulta de $\tilde{a}=a$ e $\mathring{\mathring{b}}=ab^{\dagger}a^{-1}$ que $a^{-1}\tilde{a}=a^{\dagger}a^{-1}=1$. Logo, $a$ é hermitiano: $a^{\dagger}=a$ [122]. De uma forma geral, a conjugação espinorial é dada por $\bar{\psi}=a^{-1}\tilde{\psi}=\psi^{\dagger}a^{-1}$, de onde segue o bilinear mais geral que pode ser escrito sobre $S$ e que é bastante estudado [6, 123]:

[TABLE]

Feito isso, fica claro como listar todos os bilineares covariantes em espaços de dimensões e assinaturas arbitrárias, os quais são escritos em termos de seções $\psi$ do fibrado espinorial $S$:

[TABLE]

Dados multivetores arbitrários $\Omega_{1},\,J_{\mu},\,\ldots,\,\Omega_{2}$ [um escalar, um vetor, …, um escalar], se as identidades de Fierz são satisfeitas para esses multivetores, o seguinte agregado é denominado agregado de Fierz

[TABLE]

que se reduz ao agregado de Fierz padrão (3.14) para $n=4$. Uma generalização do boomerang pode ser obtida de forma imediata. Assim, se as componentes $\Omega_{1},\,J_{\mu},\,\ldots,\,\Omega_{2}$ são os bilineares covariantes de algum espinor $\psi\in S$ e o agregado de Fierz generalizado acima satisfaz $\gamma^{0}{\rm Z}\gamma^{0}={\rm Z}^{\dagger}$, então $Z$ é denominado boomerang generalizado [14, 122].

Identidades de Fierz geométricas são bastante utilizadas na busca por vínculos entre bilineares covariantes de espinores, os quais, como dissemos acima, nos dão uma classificação desses campos espinoriais de $S$ [14]. Isso é feito na seção (4.2) para espinores sobre variedades Riemannianas de sete dimensões, como por exemplo $S^{7}$, e na seção (4.3), sobre variedades Lorentzianas de cinco dimensões, em particular o bulk ($AdS_{5}$).1

4.2 Classificação de Campos Espinoriais em Espaços Riemannianos de Sete Dimensões

Nosso interesse aqui é determinar a natureza de campos espinoriais por meio de uma classificação em classes. Assim, campos espinoriais de Majorana são explorados nesses espaços, em particular, a esfera $S^{7}$, e o agregado de Fierz graduado pode ser definido. Como resultado, é obtida só uma classe de espinores de Majorana, já existente na literatura, de acordo com uma classificação baseada em bilineares covariantes [87]. Isso endossa os teoremas de álgebras de Clifford já conhecidos [24], mas analisamos isso por meio das identidades geométricas de Fierz [87]. A complexificação desses bilineares nos permitirá explorarmos campos pinoriais e obtermos mais duas classes não-triviais, ou seja, há quatro classes de espinores para o caso complexo sobre espaços Riemannianas de sete dimensões: uma trivial, uma de Majorana em $S^{+}$, uma regular e uma singular.

O endomorfismo $D$ mencionado acima, para um espaço $7$-dimensional Riemanniano, determina a conjugação complexa, isto é, decompõe um espinor $\psi$ em partes real e imaginária. Além disso, quando $p-q=7\mod\,8$, que é o nosso caso, $D$ é idêntico ao endomorfismo $R$. Os projetores $\frac{1}{2}(I\pm R)$ produzem uma decomposição em fibrados espinoriais reais $S=S^{+}\oplus S^{-}$. Reciprocamente, o fibrado espinorial total $S$, pode ser identificado com a complexificação do fibrado real $S^{+}$, que é formado por espinores de Majorana.

Dado um bilinear $B$ admissível sobre $S$, outros três bilineares podem ser obtidos. Se $n=7$, definimos os seguintes bilineares:

[TABLE]

Torna-se necessário também introduzir sobre $S$ o seguinte endomorfismo $A_{\psi|\psi^{\prime}}$ [87]:

[TABLE]

o qual é bastante importante na determinação das identidades de Fierz geométricas, que constam da seguinte expressão:

[TABLE]

Uma relação de completeza, denominada agregado de Fierz graduado, construída com a forma bilinear $B$ também pode ser considerada (3.14):

[TABLE]

tal que, se $p-q=0,1,2$, temos $\ell=2^{\llceil\frac{n}{2}\rrceil}$ ou $\ell=2^{\llceil\frac{n}{2}\rrceil+1}$ caso contrário, onde denotamos $\llceil\frac{n}{2}\rrceil\equiv\frac{n(n-1)}{2}\mod\,2$. A decomposição de $A_{\psi|\psi^{\prime}}\in\Gamma({\rm End}(S))$, através do endomorfismo $D$, é escrita de forma única como $A_{\psi|\psi^{\prime}}=D\,\Ganz\,A^{1}_{\psi|\psi^{\prime}}+A^{0}_{\psi|\psi^{\prime}}$ [87], onde

[TABLE]

Cada componente pode ser decomposta ainda, de forma graduada, como $A^{\lambda}_{\psi|\psi^{\prime}}=\frac{\ell}{2^{n}}\sum_{k}A^{\lambda,k}_{\psi|\psi^{\prime}}$, onde $\lambda=0,1$, e as componentes $A^{\lambda,k}_{\psi|\psi^{\prime}}\in\sec\bigwedge^{k}(TM)$ são dadas por

[TABLE]

Segue então, que as identidades de Fierz (3.13) podem ser generalizadas para dimensões arbitrárias:

[TABLE]

Voltando à nossa discussão, dado um espinor de Majorana $\xi$ e uma forma bilinear admissível $B$, essa pode ter seus graus de liberdade reduzidos, pois $B(\xi,\gamma^{A}\xi)$ é diferente de zero apenas quando $|A|=|(a_{1},...,a_{m})|=m$ é par [87]. Outro vínculo resulta da simetria de $B$ e da transposta de $\gamma^{A}$. A equação (4.15) implica a relação $(\gamma_{a})^{\intercal}=\epsilon_{0}\gamma_{a}=-\gamma_{a}$, que resulta em $(\gamma_{a_{1}\dots a_{m}})^{\intercal}=(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}}\gamma_{a_{1}\dots a_{m}}$ e juntamente com a simetria de $B$, nos dá

[TABLE]

onde $\delta_{0}=\delta_{1}=1$, $\delta_{2}=\delta_{3}=-1$ e $B_{0}=B$. Então, temos que

[TABLE]

se anula, a menos que $(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}}=+1$, ou seja, $m(m+1)=0\text{ mod }4$, ou ainda, $m=0,3,4,7$. Em outras palavras, se, juntamente a isso, o espinor $\xi$ é de Majorana, ou seja, $m$ é par, temos que $A^{0,m}_{\psi|\psi^{\prime}}$ se anula, a não ser que $m=0,4$.

A partir dos resultados acima para o bilinear $B$, um boomerang alternado pode ser definido como

[TABLE]

Bilineares de $\psi$ são, então, denotados de forma simplificada por

[TABLE]

Logo, os únicos bilineares covariantes possivelmente não-nulos que podem ser escritos com a forma bilinear $B$, tal que o espinor $\xi$ é normalizado por $\varphi_{0}=B(\xi,\xi)=1$, são

[TABLE]

os quais são as componentes do primeiro gerador da álgebra de Fierz $A^{0}_{\psi|\psi}=\frac{1}{16}(1+\varphi_{4})$. Isso simplifica as identidades de Fierz (4.29a,4.29b) e as transforma na igualdade

[TABLE]

Essa identidade pode ser decomposta em componentes $\psi_{k}\in\wedge^{k}(T^{*}M)$ através do produto $\Delta_{k}:\sec\bigwedge(TM)\times\sec\bigwedge(TM){\rightarrow}\sec\bigwedge(TM)$, dado pela iteração

[TABLE]

onde $\lrcorner$ é o produto interior entre duas formas de $\wedge T^{*}M$. O primeiro termo é $\Delta_{0}=\wedge$, que é o produto exterior padrão. A partir dessa iteração surgem os seguintes termos:

[TABLE]

Dessa forma, a partir da decomposição $\varphi_{4}\Ganz\varphi_{4}=||\varphi_{4}||^{2}-\varphi_{4}\Delta_{2}\varphi_{4}$, obtemos as identidades de Fierz:

[TABLE]

Mais vínculos advindos dos outros três bilineares restantes são necessários para uma classificação mais refinada. Os vínculos obtidos para o bilinear $B$ são equivalentes aos encontrados também para o bilinear $B_{2}$, pois

[TABLE]

Como $D$ denota uma conjugação complexa e estamos considerando espinores de Majorana, os outros dois bilineares $B_{1}$ e $B_{3}$ restantes também são equivalentes entre si, através de uma regra de seleção

[TABLE]

Pois, temos que a eq. (4.38) é nula, a não ser que $m$ seja ímpar. Disso resultam os mesmos vínculos. Podemos simplificar a notação desses, denotando-os por

[TABLE]

Similarmente ao cálculo para a forma bilinear $B$, consideramos a transposta das matrizes $\gamma^{A}$. $J=\gamma^{8}=\gamma^{1}\cdots\gamma^{7}$ nos diz que $[J,\gamma_{a_{i}}]=0$ e $J^{\intercal}=(-1)^{\frac{d(d+1)}{2}}J=+J$. Adicionado a isso a identidade $(\gamma^{A})^{\intercal}=\epsilon^{m}_{B_{i}}(-1)^{\frac{m(m+1)}{2}}\gamma^{A}$, temos

[TABLE]

e de maneira equivalente

[TABLE]

Ou seja, $B_{1}(\xi,\gamma_{A}\xi)$ se anula, exceto se ${m(m+1)}=0\mod\;4$, isto é, se $m=0,3,4,7$. Finalmente, esse vínculo, juntamente com o proveniente da regra de seleção, nos diz que $B_{1}(\xi,\gamma_{A}\xi)=0$, a menos que $m=3$ ou $7$. Fornecendo, assim, os únicos bilineares covariantes que podem ser não-nulos

[TABLE]

Como o elemento de volume $\gamma^{8}$ define uma estrutura complexa $J$, a seguinte expressão é válida

[TABLE]

Isso nos garante a dualidade de Hodge entre as formas dos bilineares $B$ e $B_{1}$, isto é, $\check{\varphi}_{k}=\star\varphi_{7-k}$. Usando isso, o fato de que os bilineares estão normalizados por $B(\xi,\xi)=1$ e as identidades de Fierz (4.33), essas podem ser escritas em componentes da álgebra exterior:

[TABLE]

Por questão de clareza, as componentes das identidades de Fierz (4.43) podem ser escritas em uma dada representação

[TABLE]

tal que os índices livres são antissimétricos. Assim, a decomposição

[TABLE]

nos diz que o bilinear $\varphi_{4}$ não pode ser nulo, isto é, temos uma parte da classificação desejada,

[TABLE]

Finalmente, como a dualidade de Hodge $\check{\varphi}_{k}=\star\varphi_{7-k}$ é satisfeita, as identidades de Fierz, que se resumem às eqs. (4.43), nos dão somente uma classe de espinores de Majorana no fibrado espinorial advindo do fibrado de Clifford ${\cal C}\ell_{7,0}$ de acordo com uma classificação baseada em bilineares covariantes, como se segue:

[TABLE]

Essa classificação de campos espinoriais de Majorana padrão $\xi\in\Gamma(S^{+})$ sobre variedades Riemannianas de sete dimensões, em particular $S^{7}$, pode ser estendida para seções $\psi$ do fibrado $\Gamma(S)$ através da definição de um bilinear covariante mais geral

[TABLE]

onde as componentes da generalização de $\varphi_{k}$ são construídas de forma a englobar o caso complexo:

[TABLE]

A partir dos seguintes resultados [87],

[TABLE]

e

[TABLE]

obtemos que tanto os termos da parte real como os termos da parte imaginária de (4.2) se anulam. Esses cancelamentos tornam possíveis o anulamento de pelo menos um dos bilineares $\varphi_{0}$ e $\varphi_{4}$, que nos garante a existência de classes de espinores adicionais na versão complexa do espinor $\psi$. Logo, são encontradas por meio dos vínculos acima quatro classes de campos espinoriais $\psi\in\Gamma(S)$ sobre variedades Riemannianas 7-dimensionais

[TABLE]

Para os outros valores $k=1,2,3,5,6,7$,  $\varphi_{k}=0$. Além disso, os bilineares $\check{\varphi}_{k}$ são duais de Hodge dos bilineares $\varphi_{7-k}$, isto é, $\check{\varphi}_{k}=\star\varphi_{7-k}$. Dessa forma, uma classificação de acordo com $\check{\varphi}_{k}$ é idêntica à descrita acima e, portanto, não nos dá nenhuma classe ou resultado adicional. Esses quatro pares de desigualdades resumem bem as três classes não-triviais de campos espinoriais possíveis e uma classe trivial, que obviamente é composta de um campos espinorial nulo. Se restringimos $\psi$ a $\Gamma(S^{+})$, isto é, tal que ${}^{({\rm Im})}\psi=0$, obtemos das eq. (4.54) somente uma classe de espinores de Majorana, como esperado.

Além disso, da mesma forma que o agregado de Fierz (3.14) foi construído por Lounesto sobre o espaço-tempo de Minkowski [14], um agregado graduado pode ser construído aqui:

[TABLE]

onde os bilineares $B(\psi,\gamma_{\alpha_{1}\ldots\alpha_{k}}\psi)=0$, exceto se $k\;=\;0,3,4,7$.

A classificação dos espinores dada sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, em particular $S^{7}$, pode restringir a Lagrangiana para os campos de matéria e garantir a obtenção de todos os seus termos. De acordo com [124], essa construção depende sobre que realização os campos são escritos. Como em uma realização real ou octoniônica, uma possível Lagrangiana não teria termos cinéticos, mas apenas termos de massa de não-Weyl do tipo $M_{\perp}=tr(\bar{\xi}_{+}\xi_{-}+\bar{\xi}_{-}\xi_{+})$, não faz sentido escrevê-la nessas realizações. Pois não há dinâmica de campo aqui. Note que a assinatura que estamos usando é $(p,q)=(7,0)$: [$t\mod 4=0\;{\rm e}\;t-s\mod 8=1$, onde $t$ é o número de coordenadas tipo-tempo e $s$, tipo-espaço]. Portanto, de acordo com [124], somente uma realização quaterniônica torna possível a construção de tal Lagrangiana, cujos termos são:

[TABLE]

onde $\mu,\nu,\rho=1,\ldots,7$ são tipo-espaço, $M,M_{\mu}$ são os termos de massa e $K_{\nu\rho},K_{\mu}$ são os termos cinéticos. Obviamente, consideramos a associatividade dos quatérnions e a conjugação $\bar{\psi}$ como sendo a mesma usada em (4.21).

Resumindo, nesta seção os bilineares construídos com espinores $\pi\in S$ foram explorados através das estruturas $D$ e $J$. Foram listados todos os bilineares covariantes possíveis em dimensão e assinatura arbitrárias e escrito o agregado de Fierz mais geral correspondente. Um bilinear admissível $B$ foi definido através de alguns sinais ($\sigma_{k},\epsilon_{k},\iota_{k};\quad k=1,2,3$), que juntamente com uma regra de seleção nos permitiram obter alguns vínculos entre seus bilineares e adicionando a isso as identidades de Fierz, encontramos uma classificação para espinores sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, em particular $S^{7}$. Após complexificar esse caso, foram classificados espinores gerais sobre essas variedades de sete dimensões por meio de vínculos e foram obtidas duas novas classes não-triviais de espinores e um resultado espúrio. Finalmente, encontramos os termos massivos e cinéticos de uma Lagrangiana de campos de matéria em uma realização quaterniônica sobre esses espaços.

Na seção abaixo, classificaremos espinores sobre espaço Lorentziano de cinco dimensões, de uma forma análoga a realizada nesta seção. Como exemplos da classificação a seguir temos o bulk da teoria de branas, o espaço de de Sitter $dS_{5}$ e de anti-de Sitter $AdS_{5}$. Esses espinores possuem uma estrutura quaterniônica e requerem mais atenção em sua classificação.

4.3 Classificação de campos espinoriais no espaço Lorentziano de cinco dimensões

Nesta seção, classificamos espinores sobre o bulk da teoria de branas. O bulk é um espaço de anti-de Sitter de cinco dimensões, onde está imersa a 3-brana que descreve nosso universo. Se a brana é localizada em quatro dimensões, por exemplo, pela função delta de Dirac, ela é denominada brana fina. Em outro caso, onde a localização da brana ao longo da dimensão extra é mais suave, é conhecida como brana espessa. Além disso, um estudo mais realístico de localização de matéria sobre branas espessas tornou-se possível ao ser construída uma Lagrangiana para campos espinoriais sobre o bulk a partir de seus bilineares covariantes, em vez de se considerar campos escalares acoplados com a gravidade [52]. Através dessa classificação de espinores sobre o bulk, que abordaremos a seguir, poderemos calcular a partir do tensor energia-momento como a matéria se distribui próximo da brana para cada tipo de espinor. No entanto, isso foge do escopo deste trabalho.

Através de nossa classificação, no final da próxima seção, verificamos de forma imediata que as componentes dos bilineares covariantes sobre buraços negros axissimétricos em cinco dimensões são todos os invariantes possíveis que podem ser construídos a partir de uma representação de um campo de férmion (espinorial) arbitrário [125, 126].

A partir daqui abordaremos a classificação de espinores sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões e assinatura $4+1$ (1 dimensão temporal e 4 espaciais) ( + + + + - ), introduzindo vínculos construídos com identidades de Fierz, simetrias da forma bilinear $B$ e regras de seleção, de um modo análogo à feita pelo Lounesto. Considere, então, tal espaço e seu fibrado de Kähler-Atiyah $(\Omega(TM),\circ)$, que é um fibrado espinorial $S$ munido com uma estrutura de módulo dada por um morfismo $\gamma:\wedge T^{*}M\rightarrow End(S)$, que não é injetivo, nem sobrejetivo. Como o elemento de volume $\gamma^{6}:=\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}\gamma^{5}$ satisfaz $\gamma^{6}\circ\gamma^{6}=+1$, este pode ser representado pela identidade: $\gamma^{6}={\rm id}_{S}$. Uma escolha para as matrizes $\gamma$’s pode ser dada por:

[TABLE]

De forma bastante análoga à classificação em sete dimensões, considere três endomorfismos locais $J_{i}:S{\rightarrow}S$ que satisfazem

[TABLE]

onde $\epsilon^{ijk}$ é o símbolo de Levi-Civita e $\sec\wedge(TU)$, o conjunto de seções do fibrado tangente restrito ao aberto $U\subset M$. Por meio dessas estruturas quaterniônicas $J_{\mu}$ é possível definir quatro bilineares admissíveis não-degenerados:

[TABLE]

Através do endomorfismo $A_{\psi|\psi^{\prime}}$ sobre $S$, que é definido a partir da forma bilinear $B$, como

[TABLE]

as identidades de Fierz são escritas da seguinte forma [87]:

[TABLE]

O endomorfismo $A_{\psi|\psi^{\prime}}$ admite ainda uma única decomposição através das estruturas quaterniônicas $J_{\mu}$:

[TABLE]

cujas componentes, em termos dos bilineares covariantes sobre o bulk, são expressas como

[TABLE]

Através dessa decomposição, as identidades de Fierz (4.63) também podem ser decompostas

[TABLE]

Além disso, para que os vínculos dos espinores possam ser melhor analisados precisamos levar em conta alguns sinais da forma bilinear $B$, denominados simetria $\sigma_{B}$ e tipo $\epsilon_{B}$ do bilinear covariante não-degenerado $B$, definidos sobre o fibrado espinorial $S$ e dados respectivamente por

[TABLE]

Se essas igualdades são válidas para $B$, dizemos que ele é uma forma bilinear admissível e temos

[TABLE]

onde $k=|A|$. É fácil ver que temos um vínculo a partir desses dois sinais e, como resultado, alguns bilineares são obrigatoriamente nulos. Segue-se que

[TABLE]

é nulo, exceto se $k(k-1)\equiv 0\mod 4$, ou seja, $A^{0,k}\equiv A^{0,k}_{\psi|\psi}$ é zero, a não ser se $k=0,1,4,5$. Portanto, a partir dos vínculos obtidos da forma bilinear $B$, apenas esses quatro bilineares podem ser não-nulos: $\varphi_{0},\varphi_{1},\varphi_{4}$ e $\varphi_{5}$.

Outros três bilineares $B(\psi^{\prime},J_{i}\circ\psi)$ podem ser construídos a partir das estruturas complexas quaterniônicas $J_{i},\ \ i=1,2,3$. Utilizando a comutatividade $[J_{i},\gamma_{j}]=0$ e a $B$-transposta $J_{i}^{t}=-J_{i}$, temos

[TABLE]

onde $l=|A|$. Segue-se que, se definimos o bilinear $\tilde{\varphi}_{l}^{i}$ como

[TABLE]

este é nulo, a não ser que $l(l-1)+2\equiv 0\mod 4$, ou seja, exceto se $l=2,3$. Disso resulta seis outros bilineares possivelmente não-nulos: $\tilde{\varphi}_{2}^{i}$ e $\tilde{\varphi}_{3}^{i}$.

No entanto, esses vínculos podem ser reduzidos ao considerarmos, através da dualidade de Hodge, apenas metade dos bilineares covariantes:

[TABLE]

Para isso, são definidas algumas formas não-homogêneas que contêm os bilineares [87]

[TABLE]

que podem ser reduzidas, através dualidade de Hodge:

[TABLE]

onde $\Pi=\frac{1}{2}(1+\star)$ é uma projeção, $\Omega^{\mathring{}}_{0}=\frac{1}{16}(\varphi_{0}+\varphi_{1})$ e $\Omega^{\mathring{}}_{i}=\frac{1}{16}\tilde{\varphi}^{i}_{2}$ são os geradores truncados da álgebra truncada $(\Omega^{\mathring{}}(M),\bullet)$, que é definida a partir da álgebra $(\Omega(M),\circ)$ e do homomorfismo $\Pi(\varphi\bullet\psi)=\Pi(\varphi)\circ\Pi(\psi)$. Além disso, as identidades de Fierz (4.67) também podem ser escritas na forma truncada

[TABLE]

e são simplificadas [87]

[TABLE]

Para uma melhor análise dessas expressões, precisamos decompô-las em $k$-formas e isso é feito iterativamente através do produto $\Delta_{k}:\Omega(TM)\times\Omega(TM)\rightarrow\Omega(TM)$ introduzido na seção anterior [87]:

[TABLE]

onde $g^{ab}$ denota os coeficientes do tensor métrico. Algumas identidades são obtidas para esse produto $\Delta_{k}$ [87] e serão úteis mais adiante:

[TABLE]

Note que, a partir da expressão $\varphi_{1}\lrcorner\tilde{\varphi}^{i}_{2}=0$, temos que $\varphi_{1}\bullet\tilde{\varphi}_{2}^{i}$ é idêntica à sua componente $\star(\varphi_{1}\wedge\tilde{\varphi}_{2}^{i})=a\;\tilde{\varphi}_{2}^{i}$. Dessa forma, as eqs. (4.79) podem ser decompostas em elementos de $\wedge^{k}T^{*}M$

[TABLE]

Essas equações podem ser manipuladas e encontrados alguns vínculos para as formas $\varphi_{1}$ e $\tilde{\varphi}_{2}^{i}$. Com esse fim, analisamos a expressão $\delta_{ij}\varphi_{1}\bullet\tilde{\varphi}_{2}^{i}\bullet\tilde{\varphi}_{2}^{j}$. Substitua a Eq. (4.85) na Eq. (4.81):

[TABLE]

De outra forma, as Eq. (4.85) resultam em:

[TABLE]

A partir das Eq. (4.88) e (4.89), através da associatividade do produto $\bullet$ e sua graduação em $k$-formas, obtemos [87]

[TABLE]

onde é considerado $\varphi_{1}\bullet\varphi_{1}=||\varphi_{1}||^{2}$. Um resultado imediato que vem dessas equações é $a^{2}=||\varphi_{1}||^{2}$. Se adicionado a isso, a eq. (4.90) for substituída na eq. (4.84), é encontrada a expressão $a^{2}+6a\varphi_{0}-7\varphi_{0}^{2}=0$. Esta tem como solução $a=\varphi_{0}$ e $a=-7\varphi_{0}$. No entanto, apenas a solução $a=\varphi_{0}$ é útil, pois a outra não é compatível com a eq. (4.90): $\sum_{i}||\tilde{\varphi}^{i}_{2}||^{2}=6a\varphi_{0}=6(-7\varphi_{0})\varphi_{0}=-42(\varphi_{0})^{2}$, o que é um absurdo.

Finalmente, a partir das identidades de Fierz (4.79), alguns vínculos são obtidos para as formas bilineares $\varphi_{1}$ e $\tilde{\varphi}_{2}^{i}$:

[TABLE]

Se o espinor $\psi$ é normalizado: $\varphi_{0}=B(\psi,\psi)=1$, garantimos a não-nulidade dos bilineares passíveis de serem não-nulos e exibimos, assim, uma classificação de espinores em espaços Lorentzianos de cinco dimensões de acordo com bilineares covariantes

[TABLE]

onde $\tilde{\varphi}_{n}\neq 0$ denota que $\tilde{\varphi}^{k}_{n}\neq 0$ para pelo menos um valor de $k$ e $\varphi_{i},\tilde{\varphi}_{i}^{k}\in\Omega^{i}(TM).$ Através da dualidade de Hodge $\varphi_{n}=\star\varphi_{5-n}$, mais uma simplificação é obtida, pois o número de bilineares covariantes necessários cai pela metade

[TABLE]

Podemos fazer algo análogo à classificação dos espinores mais gerais em espaços Riemannianos de sete dimensões, obtida na seção anterior após uma complexificação. Relembremos a expressão:

[TABLE]

e

[TABLE]

Essas expressões nos ajudam a ter uma compreensão melhor a respeito de bilineares covariantes com espinores em espaços Lorentzianos de cinco dimensões. Para isso, é importante que coloquemos os bilineares em termos dos endomorfismos $J_{1},J_{2}$ e $J_{3}$ do nosso caso em cinco dimensões. Então, é necessário trocar implicitamente as estruturas complexa e real, pelas estruturas quaterniônicas, esquematizadas como se segue:

[TABLE]

Dessa forma, a eq. (4.21) que descreve bilineares covariantes de grau $k$ pode ser estendidas para o caso quaterniônico sobre espaços de $4+1$ dimensões. As expressões abaixo nos mostram que depois de uma complexificação de espinores restritos pela regra de seleção, obtemos espinores mais gerais possíveis, os quais se dividem em um maior número de classes:

[TABLE]

e

[TABLE]

Isso nos permite escrever a forma bilinear $B$ de uma forma mais geral:

[TABLE]

Segue-se, então, uma extensão imediata para os bilineares covariantes

[TABLE]

Na eq. (4.101), os termos da parte real podem se cancelar e o mesmo ocorre com a parte imaginária. Uma classificação de espinores mais geral é dada através da forma bilinear $\upbeta_{k}$, que é a versão complexificada da forma bilinear $B$, e nos dá um número maior de classes, pois nessa classificação são possíveis valores nulos para os bilineares $\varphi_{0},$ $\varphi_{1}$ e $\tilde{\varphi}_{2}$. Logo, surgem seis novas classes não-triviais de espinores: três de espinores regulares e outras três de espinores singulares. Essa classificação de espinores em espaços Lorentzianos de cinco dimensões é esquematizado em termos de seus bilineares covariantes como se segue:

[TABLE]

onde $\upvarphi_{n}=\star\upvarphi_{5-n},\,\tilde{\upvarphi}_{m}=\star\tilde{\upvarphi}_{5-m}$, $\upvarphi_{l}=0$ para $l=2,3$  e  $\tilde{\upvarphi}_{p}=0$ para $p=0,1,4,5$.

Uma expressão mais geral para o agregado de Fierz graduado é definida em termos de uma classe de equivalência:

[TABLE]

Os tipos de campos espinoriais possíveis de acordo com essa classificação limita os termos que uma Lagrangiana correspondente em $4+1$ dimensões pode ter, além disso esses termos dependem de qual realização é levada em conta para os campos espinoriais.

Na próxima seção, exploraremos um pouco mais espinores em espaços Lorentzianos de cinco dimensões. Escreveremos os bilineares covariantes não-nulos em termos das componentes de seu espinor e concluiremos que totalizam todos os invariantes que podem ser construídos sobre o bulk, em particular sobre buracos negros axissimétricos em cinco dimensões.

4.4 Espinores sobre buracos negros axissimétricos de cinco dimensões

Nesta seção, consideraremos buracos negros axissimétricos em cinco dimensões, cujos análogos no espaço-tempo são os buracos negros de Kerr. Sobre esses buracos negros 5-dimensionais, construiremos campos espinoriais e calcularemos seus bilineares covariantes, os quais são invariantes sobre o bulk. Esses bilineares covariantes são os mesmos listados na seção anterior, aqui escreveremos esses bilineares em termos das componentes do espinor em uma base local de fünfbein [127].

Considere, então, buracos negros axissimétricos em um espaço-tempo de cinco dimensões. Eles são caracterizados totalmente por sua massa e seu momento angular [128, 129]. De acordo com Mei [130], vetores de Killing888Vetores de Killing são campos de vetores $\xi$, em cujas direções as propriedades geométricas do espaço-tempo permanecem invariantes, isto é, $(\nabla_{\xi}g)_{\mu\nu}=0$, o que nos diz quantas simetrias $\xi$ esse espaço possui. De forma que, os campos de Killing são determinados equivalentemente pela equação $\nabla_{\mu}\xi_{\nu}+\nabla_{\nu}\xi_{\mu}=0$. É interessante notar que a simetria do espaço-tempo referente a translações temporais ($\xi=\partial_{t}$) no horizonte de eventos nos dá vetores $\xi$ que são tipos-nulos e normais ao horizonte: $\nabla^{\alpha}(\xi_{\mu}\xi^{\mu})=-2\kappa\xi^{\alpha}$ [41]. nulos no horizonte de eventos se transformam em vetores de Killing tipo-tempo que estão a uma distância espacial infinita do buraco negro, quando interpolados através de um campo vetorial específico $\xi^{\mu}$ [130]. No entanto, esses vetores de Killing são preservados quando escritos na base fünfbein, que é o referencial próprio e é, por definição, a base vielbein $e^{A}={e^{A}}_{\mu}dx^{\mu}$ para o espaço de cinco dimensões. Nessa seção, calcularemos os bilineares quando escritos nessa base. Para isso, é admitida a existência de uma 1-forma densidade de corrente $(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)e_{\mu}$, que é preservada, ou seja, o campo espinorial $\psi$ satisfaz à equação de Dirac[130].

Seja uma métrica geral para um buraco negro axissimétrico e estacionário em cinco dimensões [130]

[TABLE]

onde $f_{t},f_{1},f_{2},f_{r},f_{\theta},g_{11},g_{12},g_{22},\omega_{1}$ e $\omega_{2}$ são funções apenas de $r$ e $\theta$. No referencial do buraco negro, $t$ representa a coordenada temporal, $r$ denota a distância radial, $\theta$ é o ângulo latitudinal, e $\phi_{1}$ e $\phi_{2}$ são ângulos azimutais. Nesse sentido, $\omega_{1}$ e $\omega_{2}$ são velocidades angulares referentes à essas direções azimutais, respectivamente. Como a métrica calculada próximo ao buraco negro não muda de sinal, podemos escrevê-la em termos de fünfbeinen.

[TABLE]

tal que as componentes dos $e^{A}={e^{A}}_{\mu}dx^{\mu}$ são [130]

[TABLE]

e podem ser expressos em termos matriciais, como [130]

[TABLE]

Considere agora um campo espinorial $\psi$ sobre esse espaço e o campo vetorial $\xi^{\mu}$, construído a partir do vetor densidade de corrente $J^{\mu}$ de $\psi$,

[TABLE]

onde $b_{\psi}$ é uma constante. As componentes do campo vetorial $\xi^{\mu}$ são obtidas através da matriz inversa $[{e^{A}}_{\mu}]^{-1}$. Mas para isso, considere uma mudança de base feita através das matrizes $\gamma$ e um vínculo no campo espinorial $\psi$

[TABLE]

onde $\gamma^{A}$ denota as matrizes $\gamma$ sobre um espaço de 4+1 dimensões na base fünfbein, as quais são representadas por [130]

[TABLE]

A eq. (4.110) torna-se

[TABLE]

Considere o campo espinorial $\psi$ regido pelo vínculo

[TABLE]

onde $\gamma^{5}=-\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}\gamma^{4}\gamma^{0}=-i{\bf 1}_{4}$ é o elemento de volume. Então, $\psi$ é simplificado, quando escrito na base fünfbein [130],

[TABLE]

Resumindo, o campo vetorial $\xi^{\mu}$ pode ser escrito em uma base local

[TABLE]

onde denotamos por $[\bar{\psi}\gamma^{A}\psi]$ a matriz coluna dos escalares $\bar{\psi}\gamma^{A}\psi$.

Como foi feito em [131] para campos espinoriais sobre espaços de $6+1$ dimensões, o campo vetorial densidade de corrente é escrito em termos das componentes de fünfbein:

[TABLE]

onde utilizamos a representação (4.111) para as matrizes $\gamma$. Essa expressão é muito similar à encontrada para a densidade de corrente sobre espaços Lorentzianos de sete dimensões [131].

Além desse bilinear vetorial $\varphi_{1}=J^{\mu}e_{\mu}$, em nossa classificação de campos espinorias sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, há apenas um outro bilinear covariante não-nulo, que denotamos por $\tilde{\varphi}_{2}$ e que possui estrutura quaterniônica. Se tal estrutura é representada da maneira mais direta

[TABLE]

então a forma bilinear covariante $\tilde{\varphi}_{2}=\frac{1}{2}\left(\bar{\psi}J_{k}\gamma_{\mu\nu}\psi\right)e^{\mu\nu}$ pode ser facilmente calculada no referencial próprio da base de fünfbein. Dessa forma, para o campo espinorial $\psi=(\alpha,\alpha)^{\intercal}$ dado acima, obtemos

[TABLE]

Concluímos, então, que as formas bilineares $\tilde{\varphi}^{1}_{2},\tilde{\varphi}^{2}_{2}$ e $\tilde{\varphi}^{3}_{2}$ são equivalentes entre si, pois possuem as mesmas componentes funcionais e diferem apenas por uma dualidade. Juntamente com $\varphi_{1}$, essas componentes totalizam todos os invariantes que podem ser construídos com o campo espinorial $\psi$:

[TABLE]

Esses novos espinores podem desempenhar um importante papel ao explorar localização de férmions sobre o bulk em modelos de branas. Espinores sobre o bulk têm sua dinâmica governada pela equação de Dirac, no entanto aqui exploramos um pouco além desse contexto. Investigar a localização de férmions sobre a brana está além dos objetivos deste trabalho. No entanto, ele nos permitiu uma compreensão mais profunda a respeito da dinâmica de campos espinoriais sobre o bulk $AdS_{5}$, tanto ao classificar espinores sobre esses espaços, quanto ao expressar todos os bilineares covariantes na base fünfbein. É importante ressaltar que essa classificação também pode ser muito útil na busca por novas partículas.

Resumindo, o que fizemos foi classificar campos espinoriais sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, entre eles o bulk e buracos axissimétricos em cinco dimensões, e encontramos três novas classes de espinores regulares e outras três de singulares. Além disso, notamos que os únicos bilineares covariantes que podem ser não-nulos são as formas $\varphi_{1}$, identificada com a densidade de corrente, e $\tilde{\varphi}_{2}$, que é o spin dual com estrutura quaterniônica. Verificamos que sobre o bulk, esses bilineares não nulos são constantes quando expressos na base fünfbein e totalizam todos os invariantes possíveis que podem ser escritos com o campo espinorial $\psi=(\alpha,\alpha)^{\intercal}$:

[TABLE]

Se é feita uma classificação de espinores sobre espaços Riemannianos de cinco dimensões, em particular $S^{5}$, é possível explorar a dinâmica de campos espinoriais em supergravidade $AdS_{5}\times S^{5}$, no entanto isso não foi realizado neste trabalho. Vale ressaltar que a natureza do bilinear $\tilde{\varphi}_{2}$ é algo que precisa ser bastante explorado. Uma compreensão maior a respeito desses campos sobre o bulk pode ser obtida através das equações de movimento, no entanto isso foge do escopo de nosso objeto de estudo.

\cleartooddpage

[]

Capítulo 5 Conclusões e perspectivas

Como vimos, o mote de nosso trabalho é a classificação de campos espinoriais sobre espaços Riemannianos de sete dimensões, em particular, sobre o espaço compacticado $AdS_{4}\times\underline{S^{7}}$ [16] e sobre espaços Lorentzianos de cinco dimensões, em particular, o bulk $\underline{AdS_{5}}\times S^{5}$ [18]. O primeiro é um estudo das propriedades de campos fermiônicos sobre a esfera $S^{7}$ [16] e no segundo trabalho verificamos que todos os invariantes sobre o bulk construídos com espinores correspondem aos obtidos por meio da classificação em classes [18].

Para que esse estudo pudesse ser iniciado, foi preciso revisar alguns dos conceitos preliminares, o que foi feito no segundo capítulo. Dessa forma, a primeira seção foi dedicada ao estudo das álgebras de Clifford e grupos ortogonais e espinoriais, na segunda seção alguns fundamentos geométricos foram revisitados. Na terceira seção, revisamos alguns conceitos de compactificações maximalmente simétricas. A seguir, no terceiro capítulo, apresentamos uma classificação de espinores feita por Lounesto, sobre o espaço de Minkowski segundo bilineares covariantes, que é o método de classificação de espinores [14]. Em seguida, no quarto capítulo, que é o capítulo central deste trabalho, classificamos espinores em espaço Riemannianos de sete dimensões e em espaços Lorentzianos de cinco dimensões. Na primeira seção, foram listados todos os bilineares covariantes que podem ser construídos em dimensões e assinaturas arbitrárias, bem como foram encontrados vínculos bem gerais para os campos espinoriais $\psi$ sob a forma de identidade de Fierz. Um agregado de Fierz mais geral pode ser escrito em espaços de dimensões arbitrárias. Então, na segunda seção, uma classificação dos espinores de Majorana sobre uma variedade Riemanniana $(M,g)$ de sete dimensões foi dada [16], seguindo os mesmos critérios que o Lounesto. Uma restrição no número de classes de espinores, através dos vínculos das identidades de Fierz, nos dá somente uma classe de espinores em uma classificação para espinores reais de Majorana $\psi\in\Gamma(S^{+})$. Vimos que, nesse caso, espinores $\psi$ são seções do fibrado espinorial $S$ sobre um espaço Riemanniano de sete dimensões $M^{7}$, em particular $S^{7}$. A partir disso, através de um extensão do bilinear admissível $B$ encontramos uma classificação de espinores mais geral em $\Gamma(S)$, a qual apresenta três classes não-triviais. Um agregado de Fierz graduado é também encontrado sobre $M^{7}$, o que é de grande utilidade, pois agrega todos os invariantes do campo espinorial $\psi$. Além disso, uma dinâmica para esses campos espinoriais de matéria é dada sobre tal variedade $(M,g)$, através de uma realização quaterniônica dos campos $\psi$ [124]. A classificação dos espinores, juntamente com a Lagrangiana que construímos para esses espinores, nos garante potenciais possibilidades em física e candidatos mais gerais a novas soluções sobre a compactificação $AdS_{4}\times S^{7}$ e suas versões exóticas.

Na terceira seção do quarto capítulo, classificamos campos espinoriais sobre variedades Lorentzianas 5-dimensionais, como por exemplo o bulk, seguindo o mesmo critério de classificação em classes acima, dando continuação aos trabalhos, onde foram classificados espinores sobre variedades Riemannianas [16] e Lorentziana [131] 7-dimensionais. Com isso, obtemos seis novas classes não-triviais de campos espinoriais, sendo três regulares e as outras três, singulares. Por fim, na última seção, calculamos explicitamente os bilineares sobre o bulk e concluímos que suas componentes perfazem todos os invariantes possíveis da teoria [18].

Perspectivas

Essas classificações dos espinores em classes em espaços arbitrários, tais como: o espaço de Minkowski, o bulk e o espaço compactificado $S^{7}$, dão margem a discussões bem interessantes e a novos resultados com férmions que podem ser encontrados. Assim, podemos explorar esses campos em outros contextos, entre eles: uma caracterização de espinores no bulk, uma classificação de espinores sobre o espaço de Minkowski em segunda quantização, modos de Kaluza-Klein espinoriais na brana, extensões octoniônicas de espinores em $S^{7}$, entre outros.

Caracterização de campos espinoriais no bulk

No momento, estamos trabalhando com a caracterização de espinores no bulk, pois este estudo trata-se de um detalhamento da classificação em classes e poderá ser bastante útil no estudo prático do comportamento e da dinâmica de tais campos fermiônicos e, consequentemente, também em sua compreensão [18, 52]. Além disso, possibilitará o cálculo de ações efetivas envolvendo interações desses campos com campos de espinores na brana e com a própria brana, através de uma curvatura induzida na mesma [42]. Isso nos possibilitará, também, uma compreensão mais abrangente acerca de localização de espinores sobre a brana [132, 133].

Seguindo uma linha de raciocínio análoga a caracterização de espinores no espaço de Minkowski [53], caracterizaremos os campos espinoriais no bulk, restringindo o número de componentes desses através dos vínculos com bilineares covariantes obtidos da classificação dos campos espinoriais sobre o bulk [18]. Dessa forma, estamos buscando por expressões gerais para os campos espinorias em cada classe. Para isso, os bilineares covariantes são expressos em termos das componentes complexas de cada espinor.

Classificação de espinores sobre o espaço de Minkowski em $2^{a}$ quantização

A classificação de campos espinoriais feita por Lounesto sobre o espaço-tempo de Minkowski e as classificações de campos espinoriais sobre espaços Riemannianos de sete dimensões [16] e Lorentzianos de sete [131] e de cinco dimensões [18] seguem um formalismo de primeira quantização, ou seja, descrevem apenas uma partícula. Se procurarmos por uma classificação de espinores no espaço de Minkowski para campos espinoriais em um formalismo de segunda quantização, uma tentativa ingênua seria basear nossa classificação nos valores esperados de vácuo dos bilineares covariantes segundo-quantizados de uma maneira direta. Tais VEV’s para o espinor de Dirac podem ser escritos em termos do propagador de Feymann $:\langle 0|T(\bar{\psi}_{a}(x)\psi_{b}(y))|0\rangle:=:{S_{F}}_{ab}(x-y):$. Vejamos, então, como fazer essa classificação, que é um tanto quanto rudimentar, em segunda quantização, mas que serve de exemplo para uma classificação mais consistente e realista que poderá ser feita futuramente. Seja, dessa forma, o seguinte VEV:

[TABLE]

onde

[TABLE]

Espinores de Dirac  A nulidade desses VEV’s para espinores de Dirac podem ser determinadas através do traço de matrizes gama [6]

[TABLE]

de onde se segue que

[TABLE]

se anula apenas para certos valores do índice composto $A=\{\phi,\mu,\mu\nu,\mu\nu\sigma,5\}$. Logo, apenas os seguintes VEV’s são não-nulos para espinores de Dirac

[TABLE]

Espinores de Weyl  Uma construção análoga pode ser feita para espinores de Weyl, utilizando também os resultados da subseção anterior, quando escrevemos os espinores de Weyl em termos de espinores de Dirac

[TABLE]

Então, usando o fato que $\left[\frac{1}{2}(1+\gamma^{5})\right]^{2}=\frac{1}{2}(1+\gamma^{5})$ e que $(\gamma^{5})^{2}=1$,

[TABLE]

Se $\gamma^{A}$ tem grau par, e como $\gamma^{5}$ anticomuta com todas as matrizes gama,

[TABLE]

então os VEV’s assumem os mesmos valores que no caso de espinores de Dirac, ou seja, os VEV’s são não-nulos apenas quando $\gamma_{A}$ tem grau 0 ou 2. Se o grau de $\gamma_{A}$ é impar, então

[TABLE]

Logo, todos os VEV’s para correspondentes a $\gamma_{A}$ de grau ímpar são nulos. Portanto, os únicos VEV’s não-nulos, sobre os quais basearíamos uma classificação de espinores, são os de grau 0 e 2, citados acima.

Uma classificação de espinores mais realista sobre o espaço de Minkowski em segunda quantização exige um maior cuidado.

Modos de Kaluza-Klein espinoriais na brana

Da mesma forma que um potencial efetivo para um campo escalar pode ser calculado sobre a brana no bulk, juntamente com seus modos de Kaluza-Klein, podemos fazer algo análogo para campos fermiônicos sobre o bulk. Então, a partir da equação de Dirac sobre $AdS_{5}$ e usando a métrica não-fatorizável [7]:

[TABLE]

podemos calcular o fator de dobra $\phi(y)$ para cada classe desses campos e também suas densidade de energia correspondentes. Consequentemente, os modos de Kaluza-Klein também podem ser obtidos [52, 7].

Como perspectiva, também calcularemos os modos e as massas de Kaluza-Klein sobre $S^{7}$ para cada classe de espinores, as quais foram obtidas nesse trabalho [40]. Abaixo, falamos brevemente sobre a álgebra dos octônions e algo mais que poderemos explorar por meio da álgebra octoniõnica.

Octônions

John T. Graves, inspirado pela descoberta dos quatérnions feita por seu amigo William Hamilton, descobriu, em 1843, os octônions, que ele mencionou em uma carta a Hamilton em 16 de dezembro de 1843 e os chamou de oitavas (octaves). No entanto, Arthur Cayley descobriu, independentemente, essa mesma álgebra e publicou seu trabalho em 1845, um pouco antes da publicação de Graves no mesmo ano [134]. O produto que define tal álgebra é dado pela seguinte tabela de multiplicação

[TABLE]

onde $\epsilon_{ab}^{c}$ é igual ao sinal da permutação cíclica $(abc)\in\{(126),(237),(341),(452),(563),$ $(674),(715)\}$, tal que tais permutações surgem mnemonicamente a partir do plano de Fano. Pode ser obtido ainda, de forma equivalente, usando a álgebra de Clifford ${\cal C}\ell_{0,7}$

[TABLE]

onde $\phi=e_{126}+e_{237}+e_{341}+e_{452}+e_{453}+e_{674}+e_{715}$ e denotamos

[TABLE]

tal que a justaposição é o produto de Clifford [65, 66, 67].

Elementos octoniônicos não satisfazem a identidade de Jacobi $J(x,y,z):=[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ como o fazem os quatérnions e, por isso, os octônions imaginários não formam uma álgebra de Lie. No entanto, eles possuem as seguintes relações de comutação: $[e_{a},e_{b}]=2\epsilon_{ab}^{c}e_{c}$ e, além disso, satisfazem às identidades de Malcev

[TABLE]

formando uma espécie de álgebra de Lie generalizada, denominada álgebra de Malcev. Para o caso particular de octônions imaginários, as identidades de Malcev identificam-se com as identidades de Jacobi estendidas, expressas por:

[TABLE]

onde $\epsilon_{ijkl}=-\epsilon_{mij}\epsilon_{mkl}-\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl}$.

É interessante considerar ainda alguns produtos octoniônicos que serão úteis futuramente:

* Produto $X$

Dados $X,Y\in\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{0,7}$ unitários, isto é, tal que $X\bar{X}=\bar{X}X=1$ e $Y\bar{Y}=\bar{Y}Y=1$, onde a conjugação octoniônica $\bar{X}$ é um antiautomorfismo equivalente à conjugação de Clifford restrita a $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{0,7}$ (paravetores), o produto-$X$ pode ser definido por [66]

[TABLE]

As seguintes identidades de Moufang podem ser escritas com esse produto

[TABLE]

Produto $\bullet$

Dado um multivetor $u=u_{1}\dots u_{k}\in\wedge^{k}(\mathbb{R}^{0,7})\subset{\cal C}\ell_{0,7}$, um paravetor $A\in\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{0,7}$ pode ser multiplicado à esquerda ou à direita por $u$, resultando também em paravetores definidos, respectivamente, por

[TABLE]

Este produto pode ser estendido trivialmente para $\wedge(\mathbb{R}^{0,7})\approx{\cal C}\ell_{0,7}$.

* Produto $u$

Se utilizamos o produto-$\bullet$, uma extensão do produto $X$ pode ser feita para $X$ pertencente a álgebra de Clifford, tal extensão é chamada de produto-$u$ e definida como se segue

[TABLE]

onde $A,B\in\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{0,7}$. Como consequência, $A\circ_{u}B\in\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{0,7}$. Como é referido em [66], as identidades equivalentes às eqs. (5.20) não são satisfeitas para o produto-$u$.

[TABLE]

De qualquer forma, não sabemos se o produto-$X$ ou produto-$u$ satisfazem as identidades de Moufang, ou seja, é um problema em aberto se, para cada $u\in{\cal C}\ell_{0,7}$, a álgebra $(\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{7},[\;,\;]_{\circ_{u}})$ é uma álgebra de Malcev, ou não. Apenas um caso particular foi considerado, o caso em que $u=e_{4}e_{2}e_{1}$, para o qual mostramos que, ao menos para uma dada componente, a álgebra $(\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{7},[\;,\;]_{\circ_{u}})$ comporta-se como uma álgebra de Malcev. Se queremos uma solução completa, é suficiente mostrar que as constantes de estrutura ${{}^{u}}{c^{k}}_{ji}$ do produto-$u$ satisfazem a seguinte identidade 111Verificaremos se a álgebra octoniônica do produto-$u$ é uma álgebra de Malcev ou tem uma sub-álgebra que seja de Malcev.

[TABLE]

ou ainda, que em uma dada representação matricial, as constantes ${[^{u}{c^{k}}_{j}]}_{i}$ devem satisfazer:

[TABLE]

Extensões octoniônicas para espinores sobre $S^{7}$

Futuramente, alguns cálculos realizados sobre $S^{7}$ poderão ser estendidos através da álgebra dos octônions e, posteriormente, para produtos octoniônicos mais gerais, como por exemplo o produto-$u$, que carrega algo das álgebras de Clifford [65, 66, 67]. Dessa forma, a classificação de espinores em sete dimensões, abordada no capítulo quatro, poderá ser considerada neste contexto da álgebra octoniônica [135] e assim poderemos procurar por uma classificação de campos espinorias que tomam valores na álgebra dos octônions [124, 136]. Pois, a estrutura octoniônica pode ser utilizada para se obter uma geometria paralelizável sobre $S^{7}$. Dessa forma, a torção é considerada proporcional às constantes de estrutura da álgebra octoniônica, das quais resultam uma curvatura nula sobre $S^{7}$ [58, 60, 68, 137]. Indo mais além, buscaremos por relações e interconexões entre o formalismo octoniônico e as extensões $Z_{3}$ das álgebras de Clifford, ambos no contexto dos campos espinoriais [22, 138, 139, 140].

Extensões octoniônicas das famílias de geometrias sobre $S^{7}$

Buscaremos explorar um pouco mais, tanto no aspecto geométrico quanto em propriedades dos campos, as extensões das família de geometrias sobre $S^{7}$ a um parâmetro construída por Loginov [58] através de produtos octoniônicos mais gerais. Akivis [68] e Loginov [58, 59, 137] estenderam os três tipos de geometrias em $S^{7}$ existentes: a geometria Riemanniana induzida do $\mathbb{R}^{8}$ e as multiplicações à esquerda e à direita, e encontraram uma família de geometrias a um parâmetro sobre $S^{7}$ que possui essas três geometrias como casos particulares. Pelo uso das extensões do produto octoniônico $u$, generalizamos ainda mais essa família de geometrias sobre $S^{7}$, as quais de certa forma são descritas pelo tensores torção e curvatura, sendo que estes estão estritamente relacionados ao campo de calibre que descreve o spin e ao tensor eletromagnético estendido [141, 58].

Apêndice A

A.1 Compactificação

Aqui escrevemos explicitamente os cálculos de compactificação realizados por Freund e Rubin [39]. Para isso, considere a cisão $M=M_{2}\times M_{d-2}$, cujo tensor métrico é dado por

[TABLE]

Assim, obtemos os tensores de Ricci e os escalares de curvatura através das equações de Einstein-Maxwell, que são expressas por

[TABLE]

onde $F^{ab}=\frac{\epsilon^{ab}}{\sqrt{|g_{2}|}}f$, $f$ é uma constante com dimensão de massa quadrada e $g_{2}$ é a métrica sobre o espaço $M_{2}$. Para isso, denotemos $R_{2}=g^{mn}R_{mn}$ e $R_{d-2}=g^{\bar{m},\bar{n}}R_{\bar{m},\bar{n}}$. Isso resulta que, para $a,b=m,n$, é obtida a equação

[TABLE]

Enquanto que, para $a,b=\bar{m},\bar{n}$, segue

[TABLE]

Então, como $R_{d-2}=\lambda$, os escalares de curvatura para os respectivos espaços $M_{2}$ e $M_{d-2}$ são expressos a seguir

[TABLE]

[TABLE]

Este resultado pode ser estendido, se consideramos o tensor eletromagnético $F^{\mu\nu}$ para ordens superiores

[TABLE]

Dessa forma, o tensor energia-momento pode ser escrito como

[TABLE]

Isso nos dá uma cisão do espaço $M$ em $M_{s}\times M_{d-s}$, de onde segue também uma decomposição da métrica, como em A.1, onde os parâmetros assumem os valores $1\leq m,n\leq s\text{\;\;e\;\;}s+1\leq\bar{m},\bar{n}\leq d.$ Daí, o escalar de Ricci é calculado em cada espaço.

• •

Para $a,b=m,n$, a equação de Einstein é escrita como

[TABLE]

[TABLE]

• •

Para $a,b=\bar{m},\bar{n}$,

[TABLE]

[TABLE]

Portanto, os valores para os escalares de Ricci são os seguintes:

[TABLE]

Diretamente, temos $R=R_{s}+R_{d-s}=\frac{2s-d}{d-2}\lambda$. A seguir, o tensor de Ricci pode ser calculado, o qual segue de maneira natural, pois $R^{ab}=\frac{1}{2}g^{ab}R-8\pi G\theta^{ab}$. Então, obtemos os seguintes espaços de Einstein:

[TABLE]

Como $d>s$, concluímos que se $d>2$ e $M_{s},M_{d-s}$ são espaços maximalmente simétricos, então eles são exatamente os espaços $AdS_{s}$ e $S^{d-s}$, respectivamente.

Vejamos o caso particular em que $d=11$. O espaço é decomposto em $M^{4}\times M^{7}$, se escolhemos $s=4$, ou seja, a $4$-forma $F_{abcd}$. Então, temos as seguintes curvaturas escalares e tensores de Ricci :

[TABLE]

Neste caso, como mencionamos acima, $M^{4}$ é um espaço Lorentziano de curvatura escalar negativa (espaço de anti-de Sitter) e $M^{7}$, um espaço Riemanniano de curvatura escalar positiva (espaço esférico), ou seja, o espaço $M$ é decomposto de forma maximalmente simétrica como $AdS_{4}\times S^{7}$.

A.2 Invariantes sobre buracos negros em cinco dimensões

Seja a representação das matrizes $\gamma$ para um espaço de assinatura $4+1$:

[TABLE]

Sabendo-se que $\sigma^{i}\sigma^{j}=\delta^{ij}+i\epsilon^{ijk}\sigma^{k}$ e que o vínculo $(\gamma^{0}\pm\gamma^{5})\psi=0$ é satisfeito para o espinor $\psi$, ou seja,

[TABLE]

então podemos calcular os bilineares covariantes $\varphi_{1},\,\tilde{\varphi}_{2}$ em termos das coordenadas de $\psi$:

[TABLE]

A partir dos outros bilineares que carregam as estruturas quaterniônicas, temos

[TABLE]

Se levamos em conta as seguintes expressões:

[TABLE]

o espinor dual $\tilde{\varphi}^{i}_{2}$ pode ser simplificado como segue:

[TABLE]

Portanto, $\tilde{\varphi}_{2}^{1},\tilde{\varphi}_{2}^{2}$ e $\tilde{\varphi}_{2}^{3}$ são equivalentes entre si. Dessa forma, os bilineares covariantes $\varphi_{1}$ e $\tilde{\varphi}^{k}_{2}$ contém todos os invariantes possíveis:

[TABLE]

A.3 Espinores Elko

Os campos espinoriais do Elko descrevem férmions do tipo spin-$\frac{1}{2}$ e dimensão de massa $1$, sendo também um possível candidato à matéria escura. Eles são definidos como autoespinores do operador de conjugação de carga com helicidade dual, ou seja, os campos do Elko satisfazem $C\lambda(p^{\mu}):=\gamma^{2}\lambda^{*}(p^{\mu})=\pm\lambda(p^{\mu})$ e são determinados, em seus referenciais próprios, por [80, 81]:

[TABLE]

onde $\Theta$ é o operador de reversão temporal e $k^{\mu}=(m,{\bf 0})$. Dessa forma, os campos do Elko são determinados em termos dos autoespinores $\left(\phi_{\pm}^{S,A}\right)$ do operador helicidade $\left(\sigma\cdot{\bf p}\right)$ e suas reversões temporais, os quais são expressos a seguir:

[TABLE]

tal que $p=|{\bf p}|$ e $\hat{\bf p}=({\rm sen}\,\theta\,\cos\,\phi,\,{\rm sen}\,\theta\,{\rm sen}\,\phi,\,\cos\,\theta)$. Esses espinores podem ser escritos explicitamente, como [80, 81]:

[TABLE]

Um espinor $\xi$ de momento arbitrário $p^{\mu}$ pode ser obtido a partir do referencial próprio

[TABLE]

se escrevemos o operador de transformação em termos do operador helicidade ${\bf\sigma}\cdot{\bf p}$ [80, 81]:

[TABLE]

onde $\cosh\,(\varphi)=E/m,\;\sinh\,(\varphi)=p/m,$ $\hat{\bf\varphi}=\hat{\bf p}$ e \kappa=\left(\begin{tabular}[]{cc}-i{\bf\sigma}/2&{\bf 0}$\\${\bf 0}&i{\bf\sigma}/2\end{tabular}\right). Calculamos isso para o Elko e obtemos após o boost, que:

[TABLE]

As equações de movimento do Elko são um sistema de equações do tipo Dirac acopladas [142]:

[TABLE]

Se combinadas essas equações, resulta que o Elko é aniquilado pelo operador de Klein-Gordon [80, 81]. Além disso, ele pode ser expresso em componentes [80, 81]:

[TABLE]

onde $\alpha$ e $\beta$ são campos escalares funções do espaço-tempo.

Referências

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