Ortoedres amb longitud d'arestes enteres / Cuboids with integer length edges
Daniel Blasi Babot

TL;DR
This paper develops an iterative method to count the number of distinct cuboids with integer edges and volume N, providing explicit formulas for certain cases and extending the analysis to rectangles made of squares.
Contribution
It introduces a new iterative approach to compute the number of cuboids with integer edges for any volume N, including explicit formulas for specific factorizations.
Findings
Derived an iterative method for calculating (N)
Provided explicit formulas for (N) when N is a product of two prime powers
Extended analysis to count rectangles formed by squares with a given area
Abstract
In this article we study the number of different cuboids that can be built with an arbitrary number of equal cubes. This problem is equivalent to find the number of different cuboids of volume with integer length edges. We obtain an iterative method to calculate the value of for any . Using this method we obtain an explicit formula when is the product of two powers of prime numbers. The bidimensional case is also studied and we give a general formula to determine the number of different rectangles that can be built with an arbitrary number of equal squares.
Peer Reviews
No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.
Videos
No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.
Taxonomy
TopicsAnalytic Number Theory Research · Mathematics and Applications · Mathematical Dynamics and Fractals
Ortoedres amb longitud d’arestes enteres / Cuboids with integer length edges
Daniel Blasi Babot
Daniel Blasi Babot
Resum.
L’objectiu d’aquest article és estudiar el nombre d’ortoedres diferents que es poden formar amb una quantitat arbitrària de cubs. A l’article s’obté un métode iteratiu per a calcular el valor de per qualsevol. Utilitzant el métode s’obté una fórmula explícita quan és producte de dues potències de nombres primers diferents. També s’estudia el cas bidimensional i es dóna una fórmula general que determina el nombre de rectangles diferents que es poden formar amb una quantitat arbitrària de quadrats.
1. Introducció
Els ortoedres han estat llargament estudiats. Fixem-nos per exemple en l’estudi dels ortoedres racionals [2, 3]. Els ortoedres racionals estan caracteritzats per 7 nombres racionals positius (3 arestes diferents, 3 diagonals de les cares diferents i la diagonal interior). Els bricks d’Euler són ortoedres amb les arestes i les diagonals de les cares enteres [1]. Si a més a més la diagonal principal de l’ortoedre és entera aleshores parlem d’un ortoedre perfecte.
En el nostre cas no treballem amb ortoedres perfectes. Ens interessa estudiar un cas més general d’ortoedres en què l’úncia restricció és que les longituds de les arestes siguin enteres. Donat un nombre voldríem saber quants ortoedres diferents de volum existeixen que tinguin la longitud de les seves arestes enteres.111El problema d’estudiar el nombre d’ortoedres diferents que es poden formar amb cubs el va proposar el Jordi Font Gonzàlez a partir d’una proposta d’investigació amb policubs.
Donat un conjunt qualsevol, definim
[TABLE]
Estudiarem primer el cas bidimensional.
2. Recompte de rectangles
Donat un nombre qualsevol voldríem saber quants rectangles diferents es poden obtenir de manera que els seus costats tinguin longitud entera i el seu volum sigui .
Sigui i , definim
[TABLE]
[TABLE]
[TABLE]
[TABLE]
Donat un nombre , el següent resultat ens dóna una fórmula per .
Teorema A**.**
Sigui amb nombres primers diferents i per Aleshores
[TABLE]
Demostració.
Fixem-nos que les dimensions d’un rectangle qualsevol d’àrea venen determinades per dos divisors de amb Així doncs el teorema quedarà provat si veiem que .
Fixem-nos que ja que els divisors de són .
Observem que En efecte, qualsevol divisor de és producte d’un divisor de per un divisor de ja que i són nombres primers diferents. Així doncs
Per recurrència podem extendre el raonament i obtenim el resultat desitjat.
∎
3. Recompte d’ortoedres
Donat un nombre voldríem saber quants ortoedres diferents podem construir amb longitud de les arestes enteres i volum .
Definim
[TABLE]
Direm que és un ortoedre de volum si Pensarem que les tripletes i representen el mateix ortoedre.
Així doncs, el problema que volem estudiar es pot reformular de la següent manera: donat un nombre qualsevol, voldríem saber quantes tripletes diferents existeixen amb i
El següent resultat ens dóna un métode recursiu per a calcular partint de la descomposició en factors primers d’un nombre qualsevol.
Teorema B**.**
Si amb per , aleshores
[TABLE]
on i són les funcions definides a (5.1).
A la secció 6 trobarem un exemple de com aplicar aquest resultat per calcular en un cas concret. Així mateix, el següent resultat mostra una fórmula explícita per , quan és producte de dues potències de nombres primers diferents, utilitzant el mètode recursiu del Teorema B.
Teorema C**.**
Sigui amb nombres primers i sigui
[TABLE]
aleshores
- •
si ,
[TABLE]
- •
si
[TABLE]
- •
si
[TABLE]
- •
si
[TABLE]
El cas del teorema anterior ens dóna una fórmula per quan és una potència d’un nombre primer.
Corol-lari D**.**
Sigui amb un nombre primer i aleshores
[TABLE]
Si és producte de nombres primers diferents, el següent resultat ens dóna una fórmula per
Teorema E**.**
Sigui amb nombres primers diferents, aleshores
[TABLE]
Demostració.
Volem comptar el nombre de tripletes amb , i
Com que per comptar totes les tripletes possibles pensem que cadascun dels factors per pot estar inclós en la factorització de de o de . Tenim doncs possibilitats, però algunes d’elles no compleixen .
Cada ortoedre l’estem comptant 6 vegades si els tres valors i són diferents: , , , , i .
Si a dues lletres els correspon el valor 1 tenim tres repeticions: , i . Per tant,
[TABLE]
i el resultat queda provat. ∎
4. Prova del teorema C
Si amb nombres pirmers i llavors
[TABLE]
amb , .
Donats dos ortoedres i definim
[TABLE]
és a dir, el conjunt d’ortoedres que tenen en cada coordenada el producte d’una coordenada del primer ortoedre i una coordenada del segon ortoedre sense repetir-les.
Lemma F**.**
Donats considerem el conjunt d’ortoedres
[TABLE]
Aleshores
[TABLE]
Demostració.
La prova és immediata tenint en compte que
[TABLE]
representen el mateix ortoedre, per qualssevol
∎
Donats dos conjunts i d’ortoedres definim el conjunt
[TABLE]
Siguin
[TABLE]
i
[TABLE]
dos conjunts d’ortoedres, aleshores (4.1) es pot reescriure com
[TABLE]
o equivalentment,
[TABLE]
Si és un nombre primer i , podem escriure amb i Definim
[TABLE]
Dividim el conjunt en dos subconjunts disjunts
[TABLE]
on
[TABLE]
correspon al conjunt de ternes de amb la primera coordenada una potència d’exponent parell i
[TABLE]
correspon al conjunt de ternes de amb la primera coordenada una potència d’exponent senar.
Considerem una altra partició disjunta de :
[TABLE]
on
[TABLE]
Fixem-nos que correspon a les ternes de amb les tres coordenades iguals, a les ternes de amb dues coordenades iguals i una diferent i correspon a les ternes de amb les tres coordenades diferents. Definim
[TABLE]
Lemma G**.**
Donat un nombre primer i un nombre escrivim amb i . Sigui
[TABLE]
Aleshores,
[TABLE]
Demostració.
Podem suposar sense pèrdua de generalitat qu ja que en aquest cas el resultat és obvi. Anem a diferenciar la prova pels diferents valors de .
- •
Si és a dir,
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Fixem-nos que
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Així doncs tenim que
[TABLE]
Considerant la partició (4.2) de
[TABLE]
tenim que
[TABLE]
per tant
[TABLE]
- •
Si és a dir,
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Fixem-nos que
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Així doncs tenim que
[TABLE]
Considerant la partició (4.2) de
[TABLE]
tenim que
[TABLE]
per tant
[TABLE]
- •
Si és a dir,
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Fixem-nos que
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Així doncs tenim que
[TABLE]
Considerant la partició (4.2) de
[TABLE]
tenim que
[TABLE]
per tant
[TABLE]
- •
Si és a dir,
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Fixem-nos que
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Així doncs tenim que
[TABLE]
Considerant la partició (4.2) de
[TABLE]
tenim que
[TABLE]
per tant
[TABLE]
- •
Si és a dir,
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Fixem-nos que
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Així doncs tenim que
[TABLE]
Considerant la partició (4.2) de
[TABLE]
tenim que
[TABLE]
per tant
[TABLE]
- •
Si és a dir,
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Fixem-nos que
[TABLE]
i per tant
[TABLE]
Així doncs tenim que
[TABLE]
Considerant la partició (4.2) de
[TABLE]
tenim que
[TABLE]
per tant
[TABLE]
∎
A continuació detallem la prova del teorema C.
Demostració.
Si amb nombres primers i escrivim i amb Llavors,
[TABLE]
ja que els conjunts són disjunts.
Utilitzant el Lema F tenim que
[TABLE]
Utilitzant les fórmules obtingudes al Lema G el resultat és immediat.
∎
5. Prova del Teorema B
Donat considerem la seva descomposició factorial amb nombres primers diferents i Escrivim
[TABLE]
i definim els vectors
[TABLE]
Definim les funcions
[TABLE]
on són les funcions definides a (4.3) i és un vector unidimensional qualsevol de coordenada .
Observem que
- •
correspon al nombre de tripletes
\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,A)\text{ amb }\text{ amb }A\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A^{3}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}.\end{array}
- •
correspon al nombre de tripletes
\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,B)\text{ amb }\text{ amb }A,B\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A<B\text{ i }A^{2}\cdot B=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\text{ o b\'{e}}\\ \quad\quad(A,B,B)\text{ amb }\text{ amb }A,B\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A<B\text{ i }A\cdot B^{2}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}.\end{array}
- •
correspon al nombre de tripletes
\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,B,C)\text{ amb }\text{ amb }A<B<C\in{\mathbb{Z^{+}}},\text{ i }A\cdot B\cdot C=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}.\end{array}
Definim de manera recursiva les funcions
[TABLE]
per , on és un vector de dimensió . Observem que
- •
corresponen al nombre de tripletes
\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,A)\text{ amb }A\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A^{3}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}.\end{array}
- •
correspon al nombre de tripletes
\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,B)\text{ amb }A<B\in{\mathbb{Z^{+}}}\text{ i }A^{2}\cdot B=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}\text{ o b\'{e}}\\ \quad\quad(A,B,B)\text{ amb }A<B\in{\mathbb{Z^{+}}}\text{ i }A\cdot B^{2}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}.\end{array}
- •
correspon al nombre de tripletes
\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,B,C)\text{ amb }A<B<C\in{\mathbb{Z^{+}}}\text{ i }A\cdot B\cdot C=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}.\end{array}
Per tant
6. Exemple
Anem a veure com calcular en un cas concret.
- •
Si aleshores
[TABLE]
Per tant,
[TABLE]
Així doncs
[TABLE]
També
[TABLE]
Ara,
[TABLE]
i llavors
[TABLE]
Finalment considerem
[TABLE]
i llavors
[TABLE]
Per tant,
[TABLE]
Referències
- [1]
L. E. Dickson.
History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis.
Dover, New York, 2005.
- [2]
J. Leech.
The rational cuboid revisited.
American Math Monthly, 84, 1977.
- [3]
J. Leech.
A remark on rational cuboids.
Canad. Math Bull., 24(3), 1981.
The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.
- 1[1] L. E. Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis . Dover, New York, 2005.
- 2[2] J. Leech. The rational cuboid revisited. American Math Monthly , 84, 1977.
- 3[3] J. Leech. A remark on rational cuboids. Canad. Math Bull. , 24(3), 1981.
