Ortoedres amb longitud d'arestes enteres / Cuboids with integer length edges

TL;DR

This paper develops an iterative method to count the number of distinct cuboids with integer edges and volume N, providing explicit formulas for certain cases and extending the analysis to rectangles made of squares.

Contribution

It introduces a new iterative approach to compute the number of cuboids with integer edges for any volume N, including explicit formulas for specific factorizations.

Findings

Derived an iterative method for calculating (N)

Provided explicit formulas for (N) when N is a product of two prime powers

Extended analysis to count rectangles formed by squares with a given area

Abstract

In this article we study the number of different cuboids $\mathcal{O}(N)$ that can be built with an arbitrary number $N$ of equal cubes. This problem is equivalent to find the number of different cuboids of volume $N$ with integer length edges. We obtain an iterative method to calculate the value of $\mathcal{O}(N)$ for any $N$. Using this method we obtain an explicit formula when $N$ is the product of two powers of prime numbers. The bidimensional case is also studied and we give a general formula to determine the number of different rectangles that can be built with an arbitrary number of equal squares.

Equations

$$♯\mathcal{A}=\text{nombre d’elements del conjunt }\mathcal{A}.$$

$$\mathcal{R}(N)=♯\{\text{Rectangles diferents d’aˋrea }N\text{ i longitud dels costats enteres}\},$$

$$d(N)=♯\{\text{Divisors del nombre }N\},$$

$${\mathbb{Z}}^{+}=\{n\in \mathbb{Z}\text{ amb }n>0\},$$

$$[x]=\sup \{z\in \mathbb{Z}\text{ tal que }z\le x\}.$$

$$\mathcal{R}(N)=\left\{\begin{array}[]{lll}\displaystyle\frac{(m_{1}+1)\cdots(m_{n}+1)+1}{2}&\text{ si }&N=t^{2}\text{ per algun }t\in{\mathbb{Z}}\\ \\ \displaystyle\frac{(m_{1}+1)\cdots(m_{n}+1)}{2}&\text{ si }&N=t^{2}+1\text{ per algun }t\in{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$$

$$\mathcal{O}(N)=♯\{\text{Ortoedres diferents de volum }N\text{ i longitud de les arestes enteres}\}.$$

$$\mathcal{O}(N)=f_{{\alpha }^k}(s^k)+g_{{\alpha }^k}(s^k)+h_{{\alpha }^k}(s^k),$$

$$w(n,m)=\frac{2n^2+2m^2+12nm+3n^{2}m+3n{m}^2+n^2{m}^2}{24},$$

$$\begin{array}[]{rll}\mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{24+12n+12m}{24}+w(n,m)&\text{ si }m\equiv 0\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+2)\cdot(m+1)\cdot(nm+2n+m+5)}{24}&\text{ si }m\equiv 1\text{ o }5\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+2)\cdot(m+2)\cdot(nm+n+m+4)}{24}&\text{ si }m\equiv 2\text{ o }4\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{18+9n+12m}{24}+w(n,m)&\text{ si }m\equiv 3\mod(6)\\ \end{array}$$

$$\begin{array}[]{rll}\mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+1)\cdot(m+2)\cdot(nm+n+2m+5)}{24}&\text{ si }m\equiv 0,\;2\text{ o }4\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+1)\cdot(m+1)\cdot(nm+2n+2m+7)}{24}&\text{ si }m\equiv 1,\;3\text{ o }5\mod(6)\\ \end{array}$$

$$\begin{array}[]{rll}\mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+2)\cdot(m+2)\cdot(nm+n+m+4)}{24}&\text{ si }m\equiv 0,\;2\text{ o }4\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+2)\cdot(m+1)\cdot(nm+2n+m+5)}{24}&\text{ si }m\equiv 1,\;3\text{ o }5\mod(6)\\ \end{array}$$

$$\begin{array}[]{rll}\mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{18+12n+9m}{24}+w(n,m)&\text{ si }m\equiv 0\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+1)\cdot(m+1)\cdot(nm+2n+2m+7)}{24}&\text{ si }m\equiv 1\text{ o }5\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{(n+1)\cdot(m+2)\cdot(nm+n+2m+5)}{24}&\text{ si }m\equiv 2\text{ o }4\mod(6)\\ \mathcal{O}(N)=&\displaystyle\frac{15+9n+9m}{24}+w(n,m)&\text{ si }m\equiv 3\mod(6)\\ \end{array}$$

$$\displaystyle\mathcal{O}(N)=\left\{\begin{array}[]{lll}\displaystyle\frac{n^{2}+6n+12}{12}&\text{ si }&n\equiv 0\mod{6}\\ \\ \displaystyle\frac{n^{2}+6n+5}{12}&\text{ si }&n\equiv 1\mod{6}\text{ o }\;n\equiv 5\mod{6}\\ \\ \displaystyle\frac{n^{2}+6n+8}{12}&\text{ si }&n\equiv 2\mod{6}\text{ o }\;n\equiv 4\mod{6}\\ \\ \displaystyle\frac{n^{2}+6n+9}{12}&\text{ si }&n\equiv 3\mod{6}\end{array}\right.$$

$$\mathcal{O}(N)=\frac{3^{n-1}+1}{2}$$

$$\mathcal{O}(N)=\frac{3^n-3}{6}+1=\frac{3^{n-1}-1}{2}+1=\frac{3^{n-1}+1}{2}$$

$$\mathcal{O}(N)=♯\{(p^i\cdot q^k,p^j\cdot q^l,p^{n-i-j}\cdot q^{m-k-l})\}$$

$$\begin{array}[]{ll}(A,B,C)\otimes(D,E,F)=\{&\!\!\!\!(A\cdot D,B\cdot E,C\cdot F),\;(A\cdot D,B\cdot F,C\cdot E),\\ &\!\!\!\!(A\cdot E,B\cdot D,C\cdot F),\;(A\cdot E,B\cdot F,C\cdot D),\\ &\!\!\!\!(A\cdot F,B\cdot D,C\cdot E),\;(A\cdot F,B\cdot E,C\cdot D)\;\,\},\end{array}$$

$$\mathcal{A}=\{(A,B,C)\otimes (D,E,F)\}.$$

$$\sharp\mathcal{A}=\left\{\begin{array}[]{lll}6&\text{si}&A,B,C\text{ diferents i }\;D,E,F\text{ diferents}\\ 3&\text{si}&\text{dos elements de }A,B,C\text{ iguals i }\;D,E,F\text{ diferents o viceversa}\\ 2&\text{si}&\text{dos elements de }A,B,C\text{ iguals i }\;\text{dos elements de }D,E,F\text{ iguals}\\ 1&\text{si}&A=B=C\text{ o b\'{e} }\;D=E=F.\\ \end{array}\right.$$

$$(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B)\text{ i }(C,B,A)$$

$$\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}=\Big{\{}(A,B,C)\otimes(D,E,F)\Big{\}}_{\begin{array}[]{l}(A,B,C)\in\mathcal{A}\\ (D,E,F)\in\mathcal{B}\;.\end{array}}$$

$$\mathcal{A}=\Big{\{}(p^{i},p^{j},p^{n-i-j})\Big{\}}_{\begin{array}[]{l}i=0,...,[\frac{n}{3}]\\ j=i,...,\left[\frac{n-i}{2}\right]\end{array}}$$

$$\mathcal{B}=\Big{\{}(q^{k},q^{l},q^{m-k-l})\Big{\}}_{\begin{array}[]{l}k=0,...,[\frac{m}{3}]\\ l=k,...,\left[\frac{m-k}{2}\right]\end{array}},$$

$$\mathcal{O}(N)=♯\{\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}\},$$

$$\mathcal{O}(N)=\sum _{(A,B,C)\in \mathcal{A}}\sum _{(D,E,F)\in \mathcal{B}}♯\{(A,B,C)\otimes (D,E,F)\}.$$

$$\mathcal{A}^{\alpha}(s)=\Big{\{}(p^{i},p^{j},p^{6s+\alpha-i-j})\Big{\}}_{\begin{array}[]{l}i=0,...,\left[\frac{6s+\alpha}{3}\right]\\ j=i,...,\left[\frac{6s+\alpha-i}{2}\right].\end{array}}$$

$${\mathcal{A}}^{\alpha }(s)={\mathcal{A}}_o^{\alpha }(s)\uplus {\mathcal{A}}_e^{\alpha }(s),$$

$$\mathcal{A}_{o}^{\alpha}(s)=\Big{\{}(p^{2u},p^{j},p^{6s+\alpha-2u-j})\Big{\}}_{\begin{array}[]{l}u=0,...,s\\ j=2u,...,3s-u+\left[\frac{\alpha}{2}\right]\end{array}}$$

$$\mathcal{A}_{e}^{\alpha}(s)=\Big{\{}(p^{2u+1},p^{j},p^{6s+\alpha-2u-1-j})\Big{\}}_{\begin{array}[]{l}u=0,...,\left[\frac{6s+\alpha-3}{6}\right]\\ j=2u+1,...,3s-u+\left[\frac{\alpha-1}{2}\right]\end{array}}$$

Full text

1. Introducció

Els ortoedres han estat llargament estudiats. Fixem-nos per exemple en l’estudi dels ortoedres racionals [2, 3]. Els ortoedres racionals estan caracteritzats per 7 nombres racionals positius (3 arestes diferents, 3 diagonals de les cares diferents i la diagonal interior). Els bricks d’Euler són ortoedres amb les arestes i les diagonals de les cares enteres [1]. Si a més a més la diagonal principal de l’ortoedre és entera aleshores parlem d’un ortoedre perfecte.

En el nostre cas no treballem amb ortoedres perfectes. Ens interessa estudiar un cas més general d’ortoedres en què l’úncia restricció és que les longituds de les arestes siguin enteres. Donat un nombre $N\in{\mathbb{N}}$ voldríem saber quants ortoedres diferents de volum $N$ existeixen que tinguin la longitud de les seves arestes enteres.111El problema d’estudiar el nombre d’ortoedres diferents que es poden formar amb $p^{n}\cdot q^{m}$ cubs el va proposar el Jordi Font Gonzàlez a partir d’una proposta d’investigació amb policubs.

Donat un conjunt $\mathcal{A}$ qualsevol, definim

[TABLE]

Estudiarem primer el cas bidimensional.

2. Recompte de rectangles

Donat un nombre $N\in{\mathbb{N}}$ qualsevol voldríem saber quants rectangles diferents es poden obtenir de manera que els seus costats tinguin longitud entera i el seu volum sigui $N$.

Sigui $N\in{\mathbb{N}}$ i $x\in{\mathbb{R}}$, definim

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Donat un nombre $N\in{\mathbb{N}}$, el següent resultat ens dóna una fórmula per $\mathcal{R}(N)$.

Teorema A**.**

Sigui $N=p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ amb $\{p_{i}\}_{i=1,...,n}$ nombres primers diferents i $m_{i}\in{\mathbb{Z^{+}}}$ per $i=1,...,n.$ Aleshores

[TABLE]

Demostració.

Fixem-nos que les dimensions d’un rectangle qualsevol d’àrea $N$ venen determinades per dos divisors $a,b$ de $N$ amb $a\cdot b=N.$ Així doncs el teorema quedarà provat si veiem que $d(N)=(m_{1}+1)\cdots(m_{n}+1)$.

Fixem-nos que $d(p_{1}^{m_{1}})=m_{1}+1,\;$ ja que els divisors de $p_{1}^{m_{1}}$ són $1,\;p_{1},\;p_{1}^{2},...,p_{1}^{m_{1}}$.

Observem que $d(p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}})=d(p_{1}^{m_{1}})\cdot d(p_{2}^{m_{2}}).$ En efecte, qualsevol divisor de $p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}}$ és producte d’un divisor de $p_{1}^{m_{1}}$ per un divisor de $p_{2}^{m_{2}}$ ja que $p_{1}$ i $p_{2}$ són nombres primers diferents. Així doncs $d(p_{1}^{m_{1}}\cdot p_{2}^{m_{2}})=(m_{1}+1)\cdot(m_{2}+1).$

Per recurrència podem extendre el raonament i obtenim el resultat desitjat.

∎

3. Recompte d’ortoedres

Donat un nombre $N\in{\mathbb{N}}$ voldríem saber quants ortoedres diferents podem construir amb longitud de les arestes enteres i volum $N$.

Definim

[TABLE]

Direm que $(A,B,C)$ és un ortoedre de volum $N$ si $A\cdot B\cdot C=N.$ Pensarem que les tripletes $(A,B,C),\;(A,C,B),\;(B,A,C),\;(B,C,A),\;(C,A,B)$ i $(C,B,A)$ representen el mateix ortoedre.

Així doncs, el problema que volem estudiar es pot reformular de la següent manera: donat un nombre $N\in{\mathbb{N}}$ qualsevol, voldríem saber quantes tripletes diferents $(A,B,C)$ existeixen amb $A,\;B,\;C\in{\mathbb{Z^{+}}},$ $A\leq B\leq C$ i $A\cdot B\cdot C=N.$

El següent resultat ens dóna un métode recursiu per a calcular $\mathcal{O}(N),$ partint de la descomposició en factors primers d’un nombre $N\in{\mathbb{N}}$ qualsevol.

Teorema B**.**

Si $N=p_{1}^{n_{1}}\cdot...\cdot p_{k}^{n_{k}},$ amb $n_{j}=6s_{j}+\alpha_{j},$ per $j=1,...,k$, aleshores

[TABLE]

on $\alpha^{k}=(\alpha_{1},...,\alpha_{k}),$ $s^{k}=(s_{1},...,s_{k})$ i $f_{\alpha^{k}}(s^{k}),\;g_{\alpha^{k}}(s^{k}),\;h_{\alpha^{k}}(s^{k})$ són les funcions definides a (5.1).

A la secció 6 trobarem un exemple de com aplicar aquest resultat per calcular $\mathcal{O}(N)$ en un cas concret. Així mateix, el següent resultat mostra una fórmula explícita per $\mathcal{O}(N)$, quan $N$ és producte de dues potències de nombres primers diferents, utilitzant el mètode recursiu del Teorema B.

Teorema C**.**

Sigui $N=p^{n}\cdot q^{m}$ amb $p\neq q$ nombres primers i $n,m\in{\mathbb{Z^{+}}},$ sigui

[TABLE]

aleshores

• •

si $n\equiv 0\mod{6}$,

[TABLE]

• •

si $n\equiv 1\text{ o }n\equiv 5\mod{6},$

[TABLE]

• •

si $n\equiv 2\text{ o }n\equiv 4\mod{6},$

[TABLE]

• •

si $n\equiv 3\mod{6},$

[TABLE]

El cas $m=0$ del teorema anterior ens dóna una fórmula per $\mathcal{O}(N)$ quan $N$ és una potència d’un nombre primer.

Corol-lari D**.**

Sigui $N=p^{n}$ amb $p$ un nombre primer i $n\in{\mathbb{Z^{+}}},$ aleshores

[TABLE]

Si $N$ és producte de nombres primers diferents, el següent resultat ens dóna una fórmula per $\mathcal{O}(N).$

Teorema E**.**

Sigui $N=p_{1}\cdots p_{n}$ amb $\{p_{i}\}_{i=1,...,n}$ nombres primers diferents, aleshores

[TABLE]

Demostració.

Volem comptar el nombre de tripletes $(A,B,C)$ amb $A,B,C\in{\mathbb{Z^{+}}}$, $A\cdot B\cdot C=N$ i $A\leq B\leq C.$

Com que $N=p_{1}\cdot...\cdot p_{n},$ per comptar totes les tripletes possibles pensem que cadascun dels factors $p_{i}$ per $i=1,\cdots,n$ pot estar inclós en la factorització de $A,$ de $B$ o de $C$. Tenim doncs $3^{n}$ possibilitats, però algunes d’elles no compleixen $A\leq B\leq C$.

Cada ortoedre $(A,B,C)$ l’estem comptant 6 vegades si els tres valors $A,\;B$ i $C$ són diferents: $(A,B,C)$, $(A,C,B)$, $(B,A,C)$, $(B,C,A)$, $(C,A,B)$ i $(C,B,A)$.

Si a dues lletres els correspon el valor 1 tenim tres repeticions: $(1,1,N)$, $(1,N,1)$ i $(N,1,1)$. Per tant,

[TABLE]

i el resultat queda provat. ∎

4. Prova del teorema C

Si $N=p^{n}\cdot q^{m}$ amb $p\neq q$ nombres pirmers i $n,m\in{\mathbb{N}}$ llavors

[TABLE]

amb $i,j,k,l\in{\mathbb{Z^{+}}}$, $i+j\leq n,$ $k+l\leq m$.

Donats dos ortoedres $(A,B,C)$ i $(D,E,F)$ definim

[TABLE]

és a dir, el conjunt d’ortoedres que tenen en cada coordenada el producte d’una coordenada del primer ortoedre i una coordenada del segon ortoedre sense repetir-les.

Lemma F**.**

Donats $A,B,C,D,E,F\in{\mathbb{N}},$ considerem el conjunt d’ortoedres

[TABLE]

Aleshores

[TABLE]

Demostració.

La prova és immediata tenint en compte que

[TABLE]

representen el mateix ortoedre, per qualssevol $A,B,C\in{\mathbb{N}}.$

∎

Donats dos conjunts $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$ d’ortoedres definim el conjunt

[TABLE]

Siguin

[TABLE]

i

[TABLE]

dos conjunts d’ortoedres, aleshores (4.1) es pot reescriure com

[TABLE]

o equivalentment,

[TABLE]

Si $p$ és un nombre primer i $n\in{\mathbb{N}}$, podem escriure $n=6s+\alpha$ amb $s\in{\mathbb{N}}$ i $\alpha=0,1,2,3,4,5.$ Definim

[TABLE]

Dividim el conjunt $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$ en dos subconjunts disjunts

[TABLE]

on

[TABLE]

correspon al conjunt de ternes de $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$ amb la primera coordenada una potència d’exponent parell i

[TABLE]

correspon al conjunt de ternes de $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$ amb la primera coordenada una potència d’exponent senar.

Considerem una altra partició disjunta de $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$:

[TABLE]

on

[TABLE]

Fixem-nos que $\mathcal{A}_{1}^{\alpha}(s)$ correspon a les ternes de $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$ amb les tres coordenades iguals, $\mathcal{A}_{2}^{\alpha}(s)$ a les ternes de $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$ amb dues coordenades iguals i una diferent i $\mathcal{A}_{3}^{\alpha}(s)$ correspon a les ternes de $\mathcal{A}^{\alpha}(s)$ amb les tres coordenades diferents. Definim

[TABLE]

Lemma G**.**

Donat un nombre primer $p$ i un nombre $n\in{\mathbb{N}},$ escrivim $n=6s+\alpha$ amb $\alpha\in{\mathbb{N}}$ i $s=0,1,2,3,4,5$. Sigui

[TABLE]

Aleshores,

[TABLE]

$\text{on}\quad f_{\alpha}(s)=\sharp\mathcal{A}_{1}^{\alpha}(s),\quad g_{\alpha}(s)=\sharp\mathcal{A}_{2}^{\alpha}(s)\quad\text{i}\quad h_{\alpha}(s)=\sharp\mathcal{A}_{3}^{\alpha}(s),\quad\text{per}\quad\alpha=0,...,5.$

Demostració.

Podem suposar sense pèrdua de generalitat qu $s>0$ ja que en aquest cas el resultat és obvi. Anem a diferenciar la prova pels diferents valors de $\alpha$.

• •

Si $\alpha=0,$ és a dir, $n=6\alpha,$

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Fixem-nos que

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Així doncs tenim que

[TABLE]

Considerant la partició (4.2) de $\mathcal{A}^{0}(s)$

[TABLE]

tenim que

[TABLE]

per tant

[TABLE]

• •

Si $\alpha=1,$ és a dir, $n=6\alpha+1,$

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Fixem-nos que

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Així doncs tenim que

[TABLE]

Considerant la partició (4.2) de $\mathcal{A}^{1}(s)$

[TABLE]

tenim que

[TABLE]

per tant

[TABLE]

• •

Si $\alpha=2,$ és a dir, $n=6\alpha+2,$

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Fixem-nos que

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Així doncs tenim que

[TABLE]

Considerant la partició (4.2) de $\mathcal{A}^{2}(s)$

[TABLE]

tenim que

[TABLE]

per tant

[TABLE]

• •

Si $\alpha=3,$ és a dir, $n=6\alpha+3,$

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Fixem-nos que

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Així doncs tenim que

[TABLE]

Considerant la partició (4.2) de $\mathcal{A}^{3}(s)$

[TABLE]

tenim que

[TABLE]

per tant

[TABLE]

• •

Si $\alpha=4,$ és a dir, $n=6\alpha+4,$

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Fixem-nos que

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Així doncs tenim que

[TABLE]

Considerant la partició (4.2) de $\mathcal{A}^{4}(s)$

[TABLE]

tenim que

[TABLE]

per tant

[TABLE]

• •

Si $\alpha=5,$ és a dir, $n=6\alpha+5,$

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Fixem-nos que

[TABLE]

i per tant

[TABLE]

Així doncs tenim que

[TABLE]

Considerant la partició (4.2) de $\mathcal{A}^{5}(s)$

[TABLE]

tenim que

[TABLE]

per tant

[TABLE]

∎

A continuació detallem la prova del teorema C.

Demostració.

Si $N=p^{n}\cdot q^{m}$ amb $p\neq q$ nombres primers i $n,m\in{\mathbb{N}},$ escrivim $n=6s+\alpha$ i $m=6t+\beta$ amb $s,t\in{\mathbb{N}},\;$ $\alpha,\beta=0,1,2,3,4,5.$ Llavors,

[TABLE]

ja que els conjunts són disjunts.

Utilitzant el Lema F tenim que

[TABLE]

Utilitzant les fórmules obtingudes al Lema G el resultat és immediat.

∎

5. Prova del Teorema B

Donat $N\in{\mathbb{N}}$ considerem la seva descomposició factorial $N=p_{1}^{n_{1}}\cdot...\cdot p_{n}^{n_{k}},$ amb $p_{1},...,p_{n}$ nombres primers diferents i $n_{1},...,n_{k}\in{\mathbb{Z^{+}}}.$ Escrivim

[TABLE]

i definim els vectors

[TABLE]

Definim les funcions

[TABLE]

on $f_{\alpha_{1}}(t),\;g_{\alpha_{1}}(t),\;h_{\alpha_{1}}(t)$ són les funcions definides a (4.3) i $t^{1}=(t)$ és un vector unidimensional qualsevol de coordenada $t$.

Observem que

• •

$f_{\alpha_{1}}(s_{1})$ correspon al nombre de tripletes

\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,A)\text{ amb }\text{ amb }A\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A^{3}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}.\end{array}

• •

$g_{\alpha_{1}}(s_{1})$ correspon al nombre de tripletes

\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,B)\text{ amb }\text{ amb }A,B\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A<B\text{ i }A^{2}\cdot B=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\text{ o b\'{e}}\\ \quad\quad(A,B,B)\text{ amb }\text{ amb }A,B\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A<B\text{ i }A\cdot B^{2}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}.\end{array}

• •

$h_{\alpha_{1}}(s_{1})$ correspon al nombre de tripletes

\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,B,C)\text{ amb }\text{ amb }A<B<C\in{\mathbb{Z^{+}}},\text{ i }A\cdot B\cdot C=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}.\end{array}

Definim de manera recursiva les funcions

[TABLE]

per $i=2,...,k$, on $t^{i}=(t_{1},...,t_{i})$ és un vector de dimensió $i$. Observem que

• •

$f_{\alpha^{i}}(s^{i})$ corresponen al nombre de tripletes

\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,A)\text{ amb }A\in{\mathbb{Z^{+}}},\;A^{3}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}.\end{array}

• •

$g_{\alpha^{i}}(s^{i})$ correspon al nombre de tripletes

\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,A,B)\text{ amb }A<B\in{\mathbb{Z^{+}}}\text{ i }A^{2}\cdot B=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}\text{ o b\'{e}}\\ \quad\quad(A,B,B)\text{ amb }A<B\in{\mathbb{Z^{+}}}\text{ i }A\cdot B^{2}=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}.\end{array}

• •

$h_{\alpha^{i}}(s^{i})$ correspon al nombre de tripletes

\begin{array}[]{l}\quad\quad(A,B,C)\text{ amb }A<B<C\in{\mathbb{Z^{+}}}\text{ i }A\cdot B\cdot C=p_{1}^{6s_{1}+\alpha_{1}}\cdot...\cdot p_{i}^{6s_{i}+\alpha_{i}}.\end{array}

Per tant $\mathcal{O}(N)=f_{\alpha^{k}}(s^{k})+g_{\alpha^{k}}(s^{k})+h_{\alpha^{k}}(s^{k}).$

6. Exemple

Anem a veure com calcular $\mathcal{O}(N)$ en un cas concret.

• •

Si $N=2^{6}\cdot 3^{7}\cdot 5^{6}=2.187.000.000$ aleshores

[TABLE]

Per tant,

[TABLE]

Així doncs

[TABLE]

També

[TABLE]

Ara,

[TABLE]

i llavors

[TABLE]

Finalment considerem

[TABLE]

i llavors

[TABLE]

Per tant,

[TABLE]

Referències

• [1]

L. E. Dickson.

History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis.

Dover, New York, 2005.

• [2]

J. Leech.

The rational cuboid revisited.

American Math Monthly, 84, 1977.

• [3]

J. Leech.

A remark on rational cuboids.

Canad. Math Bull., 24(3), 1981.