Pricing Asian options for NIG and VG Levy markets

TL;DR

This paper compares two methods for pricing Asian options in incomplete exponential Levy markets, specifically NIG and VG models, and finds they generally yield similar prices.

Contribution

It introduces and compares two approaches for constructing risk-neutral measures in NIG and VG Levy markets for Asian options.

Findings

Both methods produce similar option prices in numerical experiments.

The study focuses on incomplete markets with exponential Levy models.

Results support the equivalence of the two pricing approaches.

Abstract

In this work, we study the value of an Asian option in the case of exponential Levy markets. More specifically, we are interested in the NIG (normal inverse Gaussian) the VG (variance gamma) models. The exponential Levy models produce incomplete markets. There are therefore an infinite number of equivalent martingale measures. We are interested in two methods of constructing of the risk-neutral measures. The first is based on the Esscher transform, and the other consists of bringing a risk-neutral correction on the dynamics of the trajectories. It turns out, according to the numerical results obtained, that the two methods generally produce the same prices.

Equations

$$C_t=e^{-r(T-t)}{\mathbf{E}}^{\ast }\left(f(S_{u,t\le u\le T})|{\mathcal{F}}_t\right)$$

$$\mathbf{E}(e^{i\xi X_t})=e^{t\kappa (t\xi )}=\exp \left\{t\left(ia\xi -\frac{{\sigma }^2{\xi }^2}{2}+{\int }_{\mathbb{R}}(e^{i\xi x}-1-i\xi x{1}_{|x|<1})\nu (dx)\right)\right\}$$

$$S_t=S_0{e}^{rt+X_t}$$

$${\int }_{\mathbb{R}}(e^{\varphi (x)/2}-1{)}^2\nu (dx)<\infty$$

$$U_t:=\eta X^c+{\int }_0^t{\int }_{\mathbb{R}}(e^{\varphi (x)}-1){\tilde{J}}_X(\mathrm{d}s\mathrm{d}x)$$

$$\frac{\mathrm{d}{\mathbf{P}}^{\prime }{|}_{{\mathcal{F}}_t}}{\mathrm{d}\mathbf{P}{|}_{{\mathcal{F}}_t}}=\mathcal{E}(U{)}_t$$

$${\nu }^{\prime }$$

$${\sigma }^{\prime }$$

$$\mathrm{d}{F}^{\theta }(x)=\frac{e^{\theta x}\mathrm{d}F(x)}{{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{\theta y}\mathrm{d}F(y)}$$

$$f^{\theta }(x)=\frac{e^{\theta x}f(x)}{{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{\theta y}f(y)\mathrm{d}y}$$

$$\mathrm{d}{\mathbf{P}}^{\theta }=\frac{e^{\theta X}\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathbf{E}[e^{\theta X}]}$$

$$e^{rt}=E_Q(e^{X_t})=exp\{t{\kappa }_Q(1)\}$$

$${\kappa }_Q(x)=\kappa (x+\theta )-\kappa (\theta )$$

$$\kappa ({\theta }^{\ast }+1)-\kappa ({\theta }^{\ast })=0$$

$$\frac{\mathrm{d}{P}^{\ast }}{\mathrm{d}P}=e^{{\theta }^{\ast }{X}_T-\kappa ({\theta }^{\ast })T}$$

$$a^{\ast }$$

$${\sigma }^{\ast }$$

$${\nu }^{\ast }(\mathrm{d}x)$$

$$f(x)=\frac{\alpha }{\delta }\frac{K_1\left(\alpha \sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2}\right)}{\sqrt{{\delta }^2+(x-\mu {)}^2}}\exp \left\{\delta \sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}+\beta (x-\mu )\right\}$$

$$\nu (x;\alpha ,\beta ,\delta )=\frac{\delta \alpha }{\pi |x|}{e}^{\beta x}{K}_1(\alpha |x|)$$

$$\kappa (\xi )=\mu \xi +\delta \left(\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}-\sqrt{{\alpha }^2-(\beta +\xi {)}^2}\right)$$

$${\beta }^{\ast }=\beta +{\theta }^{\ast }=\frac{-1}{2}+\sqrt{\frac{{\alpha }^2(\mu -r{)}^2}{{\delta }^2+(\mu -r{)}^2}-\frac{(\mu -r{)}^2}{4{\delta }^2}}$$

$$C_t$$

$$f(x)=\frac{{\gamma }^{\lambda }{x}^{\lambda -1}{e}^{-\gamma x}}{\Gamma (\lambda )},\text{mbox}x>0$$

$$\mathbf{E}(e^{iu{X}_t})=(1-iu/\gamma {)}^{-\lambda t}$$

$$\nu (x)=\frac{\lambda e^{-\gamma x}}{x}{1}_{x>0}$$

$$Y_t=x_0+\beta X_t+\sigma B_{X_t}$$

$$f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi {\sigma }^2}}\frac{{\gamma }^{\lambda }{e}^{\beta (x-x_0)/{\sigma }^2}(|x-x_0|/\sigma {)}^{\lambda -1/2}}{\Gamma (\lambda ){\left(\sqrt{{\beta }^2/{\sigma }^2+2\gamma }\right)}^{\lambda -1/2}}{K}_{\lambda -1/2}\left(\frac{|x-x_0|}{\sigma }\sqrt{{\beta }^2/{\sigma }^2+2\gamma }\right)$$

$${\theta }^{\ast }=-\beta +\frac{-1+\sqrt{1+{\beta }^2{\epsilon }^2-\epsilon +2\gamma {\epsilon }^2}}{\epsilon }\text{mbox}o\epsilon =1-e^{x0/\lambda },x_0>0$$

$$\left\{\begin{array}[]{cl}\gamma^{*}&=\gamma-\beta\theta^{*}-{\theta^{*}}^{2}/2\\[8.53581pt] \beta^{*}&=\beta+\theta^{*}\end{array}\right.$$

$$Y_t=G^{+}(t)-G^{-}(t)$$

$${\mu }^{+}$$

Full text

Mots cl : Mod les exponentiels de L vy, Th or me fondamental, Produits d riv s, Transform e d’Esscher

1 Introduction

Le mod le de march standard de Black-Scholes est le mod le le plus populaire et le plus utilis par les institutions financi res. Dans ce mod le, le cours $S_{t}$ est un processus trajectoire continues et accroissements relatifs ind pendants et stationnaires. Les rendement de $S_{t}$ suivent une loi log-normale i.e. $\log(S_{t}/S_{t-1})\rightsquigarrow{\cal N}((\mu-\sigma^{2}/2),\sigma^{2})$. Ces hypoth ses "simplistes" conduisent un march complet qui donnent lieu des formules ferm es, par exemple pour le calcul de la valeur d’une option europ enne.

En fait, le th or me fondamental de l’asset pricing" (voir [47]) traduit la compl tude du march par l’unicit de la MME (mesure martingale quivalente) $P^{*}$, appel e galement mesure risque-neutre, sous laquelle les prix actualis s sont une ${\cal F}$-martingale. Cette mesure permet donc d’ crie la valeur d’une option de type europ enne, de fonction de payement $f$ sous la forme :

[TABLE]

o $E^{*}$ d signe l’esp rance sous la mesure risque-neutre. Lorsque on faire une call europ en $f(S_{u,t\leq u\leq T})=(S_{T}-K)_{+}$, la r solution de cette quation peut se faire de fa on explicite, et donne lieu la c l bre formule de Black-Scholes.

Bien que le mod le de Black-Scholes soit tr s pratique et tr s utilis , il se trouve qu’il ne r pond pas la r alit statistique observ e e.g. [32] et [36].

Toutes les tudes num riques effectu es sur les donn es de march s financiers invalident le mod le log-normal. On peut citer par exemple l’asym trie de la distribution empiriques de $\log(S_{t})$ et le fait que les queues des distributions de $S_{t}$ sont plus paisses que log-normal (e.g. [36], [11], [22]).

Dans des travaux de recherches r cents, beaucoup de chercheurs se sont int ress des alternatives au mod le standard de Black-Scholes. Des mod les plus repr sentatifs des donn es statistiques observ es sur les march s. On peut citer titre d’exemples les mod les volatilit stochastique et ceux bas s sur les processus de L vy (voir : Berdjane & Pergamenschikov [1][2], Boyarchenko & Levendorskii [13], Chan [14] et Schoutens [21] etc.)

Les mod les alternatifs les plus populaires sont probablement ceux bas s sur les processus de L vy. Une classe importante de ces processus est la classe GH (Hyperbolique g n ralis e) qui a t introduite pour la premi re fois en 1977 dans [34]. Les mod le NIG (Normal Inverse Gaussienne), et les mod les VG (Variance Gamma) font parties de la classe GH est sont investis par de nombreux chercheurs. Le mod le NIG en particulier, est devenu un centre d’int r t important cause de sa flexibilit (voir Barndorff & Nielsen [11]).

Les cons quences sur l’ valuation des options, de l’introduction de ces nouveaux mod les, sont multiples. La plus importante serait probablement la perte de la compl tude du march (et donc la perte de l’unicit de la mesure risque-neutre). Etant donn qu’on a pas unicit de la MME, il est l gitime de se poser la question de savoir, si deux diff rentes MME produisent les m mes prix. Dans ce rapport on va tenter d’apporter une r ponse cette question, travers les mod le NIG et VG, qu’on va utiliser pour l’ valuation d’une option asiatique.

Ce travail est organis comme suit: La section 1 est l’introduction, la section 2 est consacr e au processus de L vy et toute la th orie qui nous concerne. On commencera par rappeler les d finitions de processus de L vy, puis par l’introduction des mod les de march de type exponentiel de L vy. La section 2.1 et 2.2 seront consacr e la construction de la MME l’aide de la transform e d’Esscher. On pr sentera dans la section 2.3 la transform e d’Esscher pour un processus NIG, et dans la section 2.4, celle d’un processus de type VG. La section 3 sera consacr e au r sulats num riques obtenus. La section 4 fera l’objet de la conclusion.

2 Mod les Exponentiels de L vy

Les mod les exponentiels de L vy constituent une g n ralisation du mod le classique de Black-Scholes en autorisant des sauts dans les trajectoires des prix. Ils s’av rent que ces mod les sont une meilleure repr sentation de la r alit statistique observ e sur les march s, pour plusieurs raisons. Premi rement les prix peuvent sauter soudainement ( v nement particulier, crash,…) et certains risque de march ne peuvent pas tre consid r s dans le cadre des mod les trajectoires continues. Deuxi mement, le ph nom ne du "smile de volatilit ", l’asym trie des logarithme des rendement, ainsi que l’ paisseur des queues de leurs distributions, qui sont des propri t s observ es dans les donn es de march , peuvent bien tre repr sent s par les mod les exponentiels de L vy; ce qui n’est pas le cas du mod le classique de Black-Scholes (voir [37]).

Un processus de L vy de triplet $(a,\sigma,\nu)$ est un processus trajectoires discontinues (stochastiquement continu), et accroissements ind pendants et stationnaires. Ces conditions suffisent assurer l’existence de l’exposant caract ristique $\kappa(\xi)$ dont la forme est donn e par la repr sentation de L vy-Khintchine de sa fonction caract ristique :

[TABLE]

Les processus de L vy sont essentiellement des processus avec sauts, car on peut d montrer (voir [37]) que tout processus de L vy continu est un mouvement brownien avec drift.

Pour assurer la positivit des prix, on mod lise souvent les cours d’actions comme exponentielles de processus de L vy

[TABLE]

Pour appliquer ce mod le l’ valuation des options, il faudrait montrer l’existence d’une mesure martingale quivalente, afin d’avoir la viabilit du march (Th or me fondamental de l’"asset pricing"). Lorsque le processus de L vy $X_{t}$ est un MB ou un processus de Poisson, les prix d’actifs bas s sur ce mod le donnent lieu un march complet (unicit de la mesure martingale). Dans tous les autres cas le march est incomplet (voir [14] et [15]). Mais avant de parler de viabilit de compl tude du mod le, nous avons besoins de savoir si deux probabilit s sont quivalentes ou pas, lorsqu’on conna t les caract ristiques de deux processus de L vy diff rents.

2.1 Mesure Martingale quivalente

Pour s’assurer qu’un mod le de L vy est souhaitable pour une mod lisation de march s financiers, on a besoin de s’assurer qu’il ne permet pas d’opportunit s d’arbitrage. On d’autre terme, il doit permettre l’existence d’une mesure martingale quivalente (MME) voir e.g. [25], [29], [24].

Dans le cas du mod le de Black-Scholes, l’unicit de la mesure martingale peut tre obtenue en changeant le drift du brownien. Dans les mod les de sauts purs, ceci n’est pas possible, mais une grande vari t de mesures quivalentes peut tre obtenue. La proposition suivante d crit le changement de mesure sous laquelle un processus de L vy reste un processus de L vy.

Proposition 2.1** (voir [18] Th or mes 33.1 et 33.2).**

Soit $(X,P)$ un processus de L vy, valeurs r elles, et soit $(a,\sigma,\nu)$ sont triplet caract ristique. Soit $\eta\in{\mathbb{R}}$ et $\phi:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ tel que

[TABLE]

et soit

[TABLE]

o $X^{c}$ d signe la partie continue (Mouvement brownien) de $X$, et $\tilde{J}_{X}$ c’est la mesure de sauts compens e de X. Le processus ${\cal E}(U)_{t}$ (l’exponentielle stochastique de $U$) est une martingale positive telle que la mesure de probabilit $P^{\prime}$ d finie par

[TABLE]

est quivalente ${\bf P}$. Sous la mesure $P^{\prime}$, le processus $X$ est un processus de L vy de triplet caract ristique $(a,\sigma^{\prime},\nu^{\prime})$ o

[TABLE]

Un exemple, qui sera par la suite, la base de la construction de la MME, est donn par la transform e d’Esscher.

2.2 Transform e d’Esscher

Une des m thodes populaires pour trouver une MME dans le cas des mod le de L vy est d’utiliser la transform e d’Esscher. Pour une distribution de probabilit $F(x)$, et pour $\theta$ un param tre r el tel que $\int_{\mathbb{R}}e^{\theta y}\mathrm{d}F(y)<\infty$, la transform e d’Esscher $F^{\theta}(x)$ est d finie par :

[TABLE]

Si la distribution $F$ admet une densit alors $F^{\theta}$ admet galement une densit

[TABLE]

Pour plus d’informations sur la transform e d’Esscher on peut se r f rer [28] et [26].

La transform e d’Esscher pour une mesure de probabilit s, peut tre d finie de fa on analogue. tant donn un espace de probabilit $(\Omega,{\cal F},{\bf P})$, et une variable al atoire $X$, et un param tre $\theta$; la transform e d’Esscher ${\bf P}^{\theta}$ (ou la mesure d’Esscher) est d finie par

[TABLE]

A condition que l’esp rance existe.

Dans le cadre de mod les de L vy, il existe une infinit de mesures martingales $Q$ telles que $X_{t}$ reste un processus de L vy et satisfait

[TABLE]

o $\kappa_{Q}$ est l’exposant caract ristique de $X_{t}$ sous $Q$. $\kappa_{Q}$ est sous la forme

[TABLE]

Lorsque l’ quation $\kappa_{Q}(1)=r$ admet une seule solution $\theta^{*}$ l’exposant caract ristique $\kappa_{Q}$ est appel la transform e d’Esscher. L’ quation peut ne pas admettre de solution (cas de queues de distribution paisses).

Theorem 2.2**.**

On suppose $T>0$ et qu’il existe $\theta^{*}\in{\mathbb{R}}$ tel que

[TABLE]

avec ${\bf E}[e^{\theta^{*}X_{T}}]<\infty$ et ${\bf E}[e^{(\theta^{*}+1)X_{T}}]<\infty$, alors:

[TABLE]

d finit une MME (mesure martingale quivalente) pour $(S_{t})_{0\leq t\leq T}$. Le processus $X_{t}$ est un processus de L vy sous $P^{*}$ et sont triplet caract ristique est $(a^{*},\sigma^{*},\nu^{*})$ avec

[TABLE]

**Proof. ** Voir [59] th or me 4.1.  ∎

2.3 Le processus Normal Inverse Gaussien (NIG)

Un processus de L vy $NIG(\alpha,\beta,\mu,\delta)$ est un processus stochastique tel que $X_{t}\sim NIG(\alpha,\beta,\mu t,\delta t)$. Nous rappelons la densit $NIG(\alpha,\beta,\mu,\delta)$, $\alpha\geq 0,\,\delta\geq 0$, $|\beta|\geq\alpha$, $\mu\in{\mathbb{R}}$, qui est d finie par la formule

[TABLE]

o $K_{1}$ est la fonction de Bessel modifi e de troisi me type.

La processus NIG est un processus de saut dont la mesure de L vy admet comme densit

[TABLE]

et son exposant caract ristique est donn par

[TABLE]

A l’aide de (8) on peut montrer (voir [7]) que sous la mesure martingale quivalente d’Esscher, $X_{t}$ est un processus $NIG(\alpha,\beta^{*},\mu,\delta)$ o

[TABLE]

Cette derni re propri t et la formule (1) permettent de calculer par simulations Mont -Carlo, la valeur d’une option de type europ enne.

Dans le cas d’un call europ en, et dans le cadre du mod le NIG, on peut m me obtenir une formule explicite de type Black-Scholes (voir [7]).

[TABLE]

Cette formule nous sera tr s utile pour des fins de comparaison, afin de valider le programme de simulation.

2.4 Cas du processus Variance Gamma

L’un des exemples les plus simples de processus de L vy, avec une intensit infinie de sauts, est le processus gamma. C’est un processus accroissements ind pendants et stationnaires tel que pour tout $t\geq 0$, $X_{t}\sim\Gamma(\lambda t,\gamma)$. Nous rappelons la densit de la loi gamma $\Gamma(\lambda,\gamma)$

[TABLE]

Le processus gamma admet comme fonction caract ristique la fonction

[TABLE]

et la densit de la mesure de L vy associ e ce processus est donn e par

[TABLE]

A partir du processus gamma, on peut construire un autre processus de saut appel le processus VG (variance gamma) [38], [39]. Ce nouveau processus $VG(x_{0},\lambda,\gamma,\beta,\sigma)$ est obtenu en changeant l’ chelle de temps d’un mouvement brownien avec drift, par un processus gamma:

[TABLE]

C’est donc un mouvement brownien sur une chelle de temps al atoire donn e par le processus gamma. Le processus variance gamma est galement un processus de L vy avec intensit infinie de sauts.

La densit d’une loi $VG(x_{0},\lambda,\gamma,\beta,\sigma)$ de param tres $x_{0}\in{\mathbb{R}},\,\lambda>0,\gamma>0,\beta\in{\mathbb{R}}$ et $\sigma>0$ est donn e par

[TABLE]

Dans le cas du mod le exponentiel de L vy de type $VG(x_{0},\lambda,\gamma,\beta,\sigma=1)$ ie: $Y_{t}\sim VG(x_{0}t,\lambda t,\gamma,\beta,1)$ pour tout $t\geq 0$, Hubalek et Sgarra [40] ont calcul la MME l’aide de la transform e d’Esscher. Il s’av re que si $\beta^{2}+2\gamma\leq\frac{1}{4}$ la mesure martingale d’Esscher $P^{*}$ du processus $e^{Y}$ n’existe pas. Si $\beta^{2}+2\gamma>\frac{1}{4}$ la mesure d’Esscher $P^{*}$ existe et le param tre d’Esscher est donn par la formule explicite:

[TABLE]

Le processus $Y$ sous $P^{*}$ est un processus $VG(x_{0},\lambda,\gamma^{*},\beta^{*},1)$ avec

[TABLE]

Grace donc cette propri t , et l’aide de la formule (1), on peut calculer la valeur d’une option de type europ enne l’aide de simulations Mont -Carlo.

Noter qu’un process variance gamma peut tre crit comme la diff rence de deux processus gamma ind pendants

[TABLE]

$G^{+}$ est un processus $gamma(\lambda=\frac{(\mu^{+})^{2}}{\nu^{+}},\gamma=\frac{\mu^{+}}{\nu^{+}})$, c’est dire de param tre de moyenne $\mu^{+}$ et de param tre de variance $\nu^{+}$, et $G^{-}$ est un processus $gamma(\frac{(\mu^{-})^{2}}{\nu^{-}},\frac{\mu^{-}}{\nu^{-}})$ tel que :

[TABLE]

Cette propri t est tr s int ressante, et sera utilis e pour les simulations.

2.5 Une autres mesures martingales quivalentes

La transform e d’Esscher n’est pas la seule m thode pour obtenir une MME pour le processus VG ou pour les processus NIG. On consid re le mod le exponentiel de L vy $S=\{S_{t}=S_{0}e^{Y_{t}},\,t\geq 0\}$ o $Y$ est un processus $VG(x_{0}=0,\lambda=1/\nu,\gamma=\nu,\beta,\sigma)$ (ie: que le subordinateur de (16) est un processus gamma de param tre de moyenne $\mu=1$ et param tre de variance $\nu$); dans ce cas la fonction caract ristique sera donn par :

[TABLE]

On suivant [32], [5] et [4], sous la mesure risque neutre, le cours $S_{t}$ adment comme trajectoires

[TABLE]

o $r$ est le rendement instantan de l’actif sans risque. La constante $\omega$ d finie par l’ quation $e^{-\omega}={\bf E}\left(e^{X_{1}}\right)$, assure que les prix actualis soient une martingale sous la mesure associ e l’accumulateur compte num raire. De l’ quation (22) on peut avoir une form explicite de $\omega$:

[TABLE]

Dans le cas des mod les NIG, un proc d similaire permet d’obtenir les trajectoires sous la mesure risque-neutre, qui seront sous la forme (23) avec

[TABLE]

Noter que dans ces deux cas le processus NIG et VG doivent commencer en zero, (ie: dans la formule (16) on aura $x_{0}=0$) et l’instant initial galement doit tre initialis $t_{0}=0$.

Ainsi donc, pour l’ valuation des options de type europ enne, on utilise l’expression sous la mesure risque neutre du processus $S_{t}$ (ie: la formule (23)), et on utilise les simulation Mont -Carlo pour trouver le prix grace la formule (1).

3 R sultats num riques

3.1 Mod le exponentiel de L vy de type NIG

On souhaite comparer la valeur d’une option asiatique donn par la mesure martingale d’Esscher et celle donn e par la formule (23) et (25). Pour ce fait on consid re les donn e de march suivantes. $T=1/12$ et $T=2/12$, $S_{0}=36$, $K=34,35,36,37...$ et les param tres du processus NIG sont tir s de l’article [7]; savoir : $\alpha=81.6$, $\beta=3.69$, $\delta=0.0103$, $\mu=-0.000123$. Pour valider notre algorithme de simulation, on value la valeur d’un call europ en, dans le mod le NIG, la fois avec la m thode Mont -Carl , en simulant les trajectoires de ce processus, mais galement l’aide la formule explicite donn e par (15). Par d faut d’avoir une machine puissante, le nombre de simulation effectu chaque fois est de $n=10000$. Les r sulats sont r p rtori s dans le tableau ci dessous.

[TABLE]

Les r sultats obtenus dans la colonne $C_{0}$ (valeur du call par la formule explicite) et celle de la colonne $C_{0}(MC)$ (valeur du call par simmulations Mont -Carlo) permettent de valider l’algorithme, m me si il y’a quelques diff rences notamment lorsque $K$ est tr s proche de $S_{0}$. Des diff rences que j’expliques pour le le nombre r duit de simulations effectu es (seulement 10 000), mais galement par l’impr cision dans le calcul de la fonction de r partition d’une loi NIG ( cause de la fonction de Bessel). La fonction de r partition de la loi NIG est utilis e pour le calcul explicite de la valeur du Call (formule (15)).

Les colonnes $A_{0}(Esscher)$ et $A_{0}$ r pertorient les valeurs d’une option asiatique, obtenues avec les deux m thode; la transform e d’Esscher et la m thode d crite en section 2.5. Les donn es r colt es permettent d’affirmer que les deux proc d s donnent de mani re g n rale la m me valeur de l’option. Les diff rences entre les deux colonnes sont n gligeables! On fait quand-m me remarquer que pour le calcul qui ne fait pas intervenir la transform e d’Esscher, le prix $A_{0}$ observ , s’annule pour $K\geq 37$, alors qu’il est juste proche de z ro pour $K=37$, avec la transform e d’Esscher. Ce fait est probablement due au faible nombre de trajectoires utilis e dans les simulations. En fait, m me en augmentant le nombre de trajectoires, on pourrait s’attendre, avec la croissance du prix d’exercice $K$, qu’un des deux algorithmes donne une valeur nulle, avant que l’autre ne le rejoignent en augmentant d’avantage la valeur de $K$. Ceci est pr visible, vue que sous les deux mesures martingales, les trajectoires des deux processus sont diff rentes. En d’autres termes, partir d’une certaine valeur de $K$ suffisamment grande, aucune trajectoires ne r alisera un payoff positif; d’o la nullit de la valeur de l’option.

3.2 Mod le exponentiel de L vy de type VG

Pour les simulation du mod le VG, on utilise les donn e de march tir es de l’article [3]. On a donc $T=1$, $s=16$ (nombre d’instants d’observations), $r=0.1$, $\beta=-0.1436$ (drift du MB), $\sigma=0.12136$, $\mu=1.0$ ( param tre de la moyenne du processus Gamma) et $\nu=0.3$ est le param tre de variance du processus gamma. On a galement $K=101.0$ et $S0=100.0$. On peut valider l’algorithme de simulation l’aide de l’artilce [3]. On effet pour les m me donn e de march on obtient la valeur d’une option asiatique $A_{0}=5.528$ avec un intervalle de confiance de $(5.203,5.853)$. Dans l’artile de L’Ecuyer ([3]), la valeur de $A_{0}=5.725$.

Dans cette partie, on aimerait bien comparer la valeur d’une option asiatique donn e par la mesure d’Esscher (section 2.4), et celle donn dans la section 2.5. Pour cette objectif on fait l’hypoth se (irr aliste) que $\sigma=1$ et $\nu=1$ afin que les deux d marches, d crites dans les sections pr c dentes, soient valables, et les calculs des deux approches soient coh rents. On pose galement $x_{0}=0.00000001$, une valeur tr s proche de z ro, comme point initial du processus VG, car le raisonnement en section 2.4 (avec la transform e d’Esscher), n’est valable que pour $x_{0}\neq 0$. Les r sultats obtenus sont r pertori s dans le tableau ci dessous :

[TABLE]

On utilise deux m thodes diff rentes pour simuler un processus VG. La premi re m thode est la m thode s quentielle (BGSS) (Brownian gamma sequential sampling), qui utilise un processus gamma comme un subordinateur d’un brownien avec drift. L’autre m thode est la m thode DG (Diff rence gamma sampling) bas e sur le fait qu’un processus VG peut s’ crire comme la diff rence de deux processus gamma ind pendants (voir section 2.4).

On voit bien d’apr s les observations du tableau, que la diff rence du prix donn par la mesure d’Esscher, et le prix donn par l’autre mesure martingale bas e sur la modification des trends du processus VG, donnent en g n ral les m mes prix d’options.

4 Conclusion

Dans ce rapport on s’est int ress l’ valuation d’une option de type europ enne, sous le mod le exponentiel de L vy. On a choisit comme exemple l’option asiatique, mais on aurait pu prendre n’importe quel option de type europ enne, sans en alt rer la d marche. Le mod le qu’on a choisit sont les mod le NIG et VG. On ne sait pas toujours trouver la mesure d’Esscher pour ces mod les dans le cas g n ral. Par example pour le mod le VG on avait besoin d’un processus qui ne d marre pas en $x_{0}=0$ et on avait pos $\sigma=1$. Ils serait bien d’avoir la mesure d’Esscher dans le cas plus g n ral. On s’est int ress deux m thodes de construction d’une MME. La premi re est bas e sur la transform e d’Esscher, et l’autre consiste apporter une correction "risque-neutre" sur la dynamique des trajectoires. Les r sultats num riques obtenus, nous disent que les deux m thodes produisent en g n ral les m me prix. Il serait int ressant de confirmer les r sultats de ce travail avec d’autres type d’options, en faisant un choix tr s vari des diff rents param tres, et en simulant un nombre lev de trajectoires.

Références

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