On Nonintersection of Spectra of some Functionals on Spaces $\mathop{W}\limits^\circ{}^2_n$, $\mathop{W}\limits^\circ{}^2_{n+1}$, $\mathop{W}\limits^\circ{}^2_{n+2}$

TL;DR

This paper investigates the spectra of specific functionals in certain Sobolev-like spaces, proving non-intersection for adjacent spaces and establishing conditions for intersection when the space indices differ by more than two.

Contribution

It demonstrates non-intersection of spectra between spaces with consecutive indices and derives necessary conditions for spectral intersection at larger index differences.

Findings

Spectra of functionals do not intersect for adjacent spaces.

Necessary conditions for spectral intersection are identified for larger index differences.

Results apply to even functions in the considered function spaces.

Abstract

Spectra of functionals $$\Phi(u)=\frac{\left\langle u^{(n)}u^{(n)}\right\rangle}{\left\langle u^{(n-p)}u^{(n-p)}\right\rangle}$$ in spaces ${\mathop{W}\limits^\circ}^2_n$ are considered for different $n$. One has shown that for even functions in $\mathop{W}\limits^\circ{}^2_n$ and $\mathop{W}\limits^\circ{}^2_m$ spectra of functionals do not intersect for $m=n+1, n+2$. The neccesary conditions for two spectra to intersect are written for $\Delta=m-n>2$.

Equations

$$\Phi (u)=\frac{⟨u^{(n)}{u}^{(n)}⟩}{⟨u^{(n-p)}{u}^{(n-p)}⟩}$$

$$\stackrel{\circ }{W}{}_2^n=\left\{u\in C^{n-1}[0,1]|u^{(j)}(0)=u^{(j)}(1)=0,j=0,\dots ,n-1,u^{(n)}\in L_2(0,1)\right\}.$$

$$\Vert u{\Vert }_n^2=⟨u^{(n)}{u}^{(n)}⟩\text{ T2AcyrgT2AcyrdT2Acyre}⟨ab⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}a(t)b(t)dt.$$

$$\Phi (u)=\frac{⟨u^{(n)}{u}^{(n)}⟩}{⟨u^{(n-p)}{u}^{(n-p)}⟩}.$$

$${\Lambda }_n=\underset{u\in \stackrel{\circ }{W}{}_2^n}{\min }\Phi (u)$$

$${{\Phi }_{\epsilon }^{\prime }|}_{\epsilon =0}=0=⟨u^{(n)}{v}^{(n)}⟩-\Lambda ⟨u^{(n-p)}{v}^{(n-p)}⟩\text{T2AcyrdT2AcyrlT2Acyrya}\forall v\in \stackrel{\circ }{W}{}_2^n.$$

$${\Omega }^n=C^r[0,1]\cap \stackrel{\circ }{W}{}_2^n,$$

$$⟨v{L}^{2n}y⟩=0\text{ T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyryaT2AcyrkT2AcyroT2AcyrgT2Acyro}v\in {\Omega }^n,$$

$$L^{2n}=L^{2n}(\Lambda )=(-1{)}^n{d}^{2n}-\Lambda (-1{)}^{n-p}{d}^{2n-2p},d=\frac{d}{dt}.$$

$$z=R+P_{2n-2p-1},$$

$$z_{ns}=R+P_{2n-2p-2}.$$

$$c_n=L^{2n-2}{z}_n$$

$$⟨z_n{L}^{2n}{z}_n⟩-{\lambda }^2⟨z_n{L}^{2n-2}{z}_n⟩=-{\lambda }^2{c}_n⟨z_n⟩,$$

$$L^{2n}-{\lambda }^2{L}^{2n-2}=\left({\sigma }^2-{\lambda }^2\right)L^{2n-2}.$$

$${\sigma }^{2p}-\overline{{\Lambda }_n}=\left({\sigma }^2-{\lambda }_0^2\right)\cdot \prod _{i=1}^{p-1}\left(\sigma -{\lambda }_i\right)\cdot \left(\sigma -\overline{{\lambda }_i}\right),$$

$$L^{2n}-{\lambda }^2{L}^{2n-2}=\overline{A}(\sigma )A(\sigma ),\text{T2AcyrgT2AcyrdT2Acyre}A={\sigma }^{n-p-1}\left({\sigma }^2-{\lambda }^2\right)\cdot \prod _{i=1}^{p-1}\left(\sigma -{\lambda }_i\right),$$

$$⟨z_n\overline{A}(\sigma )A(\sigma )z_n⟩=-{\lambda }^2{c}_n⟨z_n⟩.$$

$$A(\sigma )z_n=\overline{A}(\sigma )z_n=0.$$

$$\displaystyle\left\langle z_{n}^{(n-1)}z_{n-1}^{(n-1)}\right\rangle=\left[\begin{array}[]{l}\overline{\mathstrut\Lambda}_{n-1}\langle\cdots\rangle+\left\langle z_{n}L^{2n-2}z_{n-1}\right\rangle=\overline{\mathstrut\Lambda}_{n-1}\langle\cdots\rangle\\ \overline{\mathstrut\Lambda}_{n}\langle\cdots\rangle+\left\langle z_{n-1}L^{2n-2}z_{n}\right\rangle=\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}\langle\cdots\rangle+c_{n}\left\langle z_{n-1}\right\rangle\end{array}\right.,$$

$${\Lambda }_{1,n}\ne {\Lambda }_{2,n}.$$

$$h_n^k$$

$$⟨z_m{h}_n^k⟩-(-1{)}^{\Delta }⟨z_n{h}_m^{k+\Delta }⟩=\left({\Lambda }_m-{\Lambda }_n\right)\cdot (-1{)}^k⟨\dots ⟩$$

$$\left({\sigma }^2-{\lambda }^2\right)L^{(2n-2k-2)}=\overline{A_{n-k}}{A}_{n-k},$$

$$\text{ T2AcyrgT2AcyrdT2Acyre}{A}_{n-k}={\sigma }^{n-p-k-1}\left({\sigma }^2-{\lambda }^2\right)\cdot \prod _{i=1}^{p-1}\left(\sigma -{\lambda }_i\right).$$

$$⟨z_n\overline{A_{n-k}}{A}_{n-k}{z}_m⟩=(-1{)}^{k-1}⟨z_n{h}_n^{k-1}⟩-(-1{)}^k{\lambda }_n^2⟨z_n{h}_n^k⟩>0,\forall k⩾0$$

$$\text{T2Acyri}(-1{)}^{k-1}⟨z_m{h}_m^{k-1}⟩-(-1{)}^k{\lambda }_m^2⟨z_m{h}_m^k⟩>0,\text{ T2AcyrpT2AcyrrT2Acyri}{\lambda }_n^2={\Lambda }_n^{1/p},{\lambda }_m^2={\Lambda }_m^{1/p}.$$

$$⟨z_n\frac{x^{2k}}{(2k)!}⟩=a_k,⟨z_m\frac{x^{2k}}{(2k)!}⟩=b_k,c_{kn}=c_k,c_{km}=d_k,$$

$$(f,g{)}_k=(-1{)}^k\left(f_k{g}_0+f_{k-1}{g}_1+\dots +f_0{g}_k\right);(f,g{)}_k=0,k<0.$$

$$(b,c{)}_k-(a,d{)}_{k+\Delta }=\left({\Lambda }_{n+\Delta }-{\Lambda }_n\right)⟨\dots ⟩$$

$$\displaystyle\left\{\begin{array}[]{ll}\varepsilon_{n}(a,c)_{k-1}>(a,c)_{k}&\forall k\geqslant 0\\ \varepsilon_{m}(b,d)_{k-1}>(b,d)_{k}&\varepsilon_{n}=\Lambda_{n}^{-1/p},\;\varepsilon_{m}=\Lambda_{m}^{-1/p}\end{array}\right.$$

$${\left|⟨z_n\overline{A_{n-l}}{A}_{\mu -2k+l}{z}_m⟩\right|}^2<⟨z_n\overline{A_{n-l}}{A}_{n-l}{z}_n⟩\cdot ⟨z_m\overline{A_{\mu -2k+l}}{A}_{\mu -2k+l}{z}_m⟩$$

Full text

О НЕПЕРЕСЕЧЕНИИ СПЕКТРОВ МИНИМИЗИРУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{n}$, $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{n+1}$, $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{n+2}$

Андрей Михайлович Минарский

Физико-Техническая Школа, СПб

Сондужская Высшая Школа, Тотьма

Аннотация

Рассмотрены спектры собственных значений функционала

[TABLE]

в $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{n}$ при разных $n$. Показано, что спектры на четных функциях в $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{n}$ и $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{m}$ не пересекаются при $m=n+1,n+2$. Написаны необходимые условия возможности пересечения при $\Delta=m-n>2$.

Введение

Пусть дано (соболевское) пространство вещественных функций

[TABLE]

Введем стандартную норму

[TABLE]

Рассмотрим функционал

[TABLE]

Задача нахождения минимума

[TABLE]

при варьировании с $\delta u=\varepsilon v$ приводит к уравнению

[TABLE]

Обозначим

[TABLE]

где $r\geqslant 2n$ — наибольшая используемая в дальнейшем исследовании производная.

При рассмотрении $\Phi(y)$ на $y\in\Omega^{n}$, из (2) получим

[TABLE]

где оператор

[TABLE]

Если функция $z$ есть решение (3), то она имеет вид

[TABLE]

где $R$ — часть, удовлетворяющая $\left[d^{2p}-(-1)^{p}\Lambda\right]R=0$, а $P$ — полином. В дальнейшем будем писать $P_{k}$ для полиномов с $\deg P_{k}\leqslant k$.

Обозначим через $z_{n}$ собственную функцию (с.ф.) $L^{2n}$: $L^{2n}z_{n}=0$, а через $\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}$ — соответствующее собственное значение (с.з.): $L^{2n}\left(\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}\right)z_{n}=0$. Пусть $S_{n}=\left\{\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}\right\}$ — спектр с.з., а $\Lambda_{n}$ — минимальное с.з.

Спектр с.з. для оператора $L^{2n}$ в $\Omega^{n}$ совпадает со спектром с.з. $\Phi(u)$ в $\mathop{W}\limits^{\circ}{}_{2}^{n}$. Далее будем изучать ситуацию в $\Omega^{n}$. Замена $t=\frac{x+1}{2}$ превращает $[0,1]\rightarrow[-1,1]$, при соответствующем переобозначении $d$ в (4) и изменении с.з.

С.ф. разделим на симметричные $z_{n,s}=z_{n}(x)+z_{n}(-x)$ и антисимметричные $z_{n,a}=z_{n}(x)-z_{n}(-x)$. Соответствующие с.з. и спектры обозначим $\overline{\mathstrut\mathstrut\Lambda}_{n,s}$, $\overline{\mathstrut\mathstrut\Lambda}_{n,a}$; $S_{n,s}$, $S_{n,a}$.

Очевидно, что $S_{n,a}=S_{n+1,s}$.***Следует из того, что $z_{n,a}^{(-1)}=\int_{-1}^{x}z_{n,a}(\xi)\,d\xi$ есть некоторая $z_{n+1,s}$ и обратно $\forall z_{n+1,s}^{(1)}$ в силу (5, 6) есть $z_{n,a}$. В силу $\Omega^{n+1}\mathop{\subset}\Omega^{n}$ имеем $\Lambda_{n,s}\leqslant\Lambda_{n+1,s}=\Lambda_{n,a}$. В дальнейшем, не оговаривая, рассматриваем только симметричные функции.

Заметим, что

[TABLE]

Ниже везде в обозначении $L^{2k}z_{l}$ подразумевается, что $\Lambda$ в $L^{2k}$ есть с.з. оперируемой функции $z_{l}$ для $L^{2l}$: $L^{2l}(\Lambda)z_{l}=0$.

Камень в оперируемом

В разделе доказано $S_{n-1,s}\mathop{\cap}S_{n,s}=\varnothing$.

Определение**.**

Пусть $n>p$. Назовем

[TABLE]

камнем в $z_{n}$.

Лемма (о <<неизымаемости>> камня): Если $c_{n}=0$, то $z_{n}=0$.

Доказательство. Имеем:

[TABLE]

где $\langle a\rangle=\langle 1,a\rangle$.

Обозначим $\sigma=i\cdot d=i\cdot\frac{d}{dx}$ (<<импульс>>). Тогда

[TABLE]

Пусть

[TABLE]

где $\lambda_{0}$ — вещественный, $\lambda_{i}$ и $\overline{\mathstrut\lambda_{i}}$ — сопряженные корни $\sigma^{2p}-\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}$ как полинома от $\sigma$.

Выберем $\lambda=\lambda_{0}$. Из (4) и (9) очевидно:

[TABLE]

а $\overline{\mathstrut A}$, как полином от $\sigma$, комплексно сопряжен $A$.

Из (8, 10) получаем

[TABLE]

Отсюда, в силу эрмитовости в $\Omega^{n}$ операторов $\sigma^{k}$ при $k\leqslant 2n$, если $c_{n}=0$:

[TABLE]

Тогда $R$ (см. (6)) содержит лишь $\cos\lambda x$ и $\left(\sigma^{2}-\lambda^{2}\right)z_{n}=Q$ — полином. В силу (10, 12) $\deg Q\leqslant n-p-2\leqslant n-3$, однако $Q\in\Omega^{n-2}\Rightarrow Q=0.$ Остающаяся в $z_{n}$ часть $\cos\lambda x$ исчезает в $\Omega^{n}$ при $\forall n\geqslant 2$. $\square$

Докажем $\overline{\mathstrut\Lambda}_{n-1}\neq\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}.$ Имеем:

[TABLE]

где $\langle\ldots\rangle=\left\langle z_{n}^{(n-p-1)}z_{n-1}^{(n-p-1)}\right\rangle$.

При $\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}=\overline{\mathstrut\Lambda}_{n-1}$ имеем $c_{n}\left\langle z_{n-1}\right\rangle=0$. В силу (8, 11) и леммы о камне либо $z_{n}$, либо $z_{n-1}$ исчезают.†††Условие $n>p$ обеспечивается существованием $z_{n-1}$. Не попавший прямо под доказательство случай $n-1=p$, $\left\langle z_{n-1}\right\rangle=0$ устраняется тем, что тогда $z_{n,a}=z_{n-1,s}^{(-1)}=\int_{-1}^{x}z_{n-1,s}(\xi)\,d\xi$ и $z_{n+1,s}^{\prime\prime}=z_{n,a}^{\prime}=z_{n-1,s}$, откуда $c_{n+1}=L^{2n}z_{n+1,s}=L^{2n-2}z_{n-1,s}=0$.

Итак, доказано $S_{n-1,s}\mathop{\cap}S_{n,s}=\varnothing$ при $\forall n$. В частности, отсюда $\Lambda_{n-1}<\Lambda_{n}$.

Утверждение (о простоте спектра в $\Omega^{n}$): Если у $L^{2n}$ есть две линейно независимые с.ф. в $\Omega^{n}$: $z_{1,n}$ и $z_{2,n}$, то

[TABLE]

Действительно, пусть не так. Тогда их линейная комбинация $z=\alpha\cdot z_{1,n}+\beta\cdot z_{2,n}$, где $\alpha=z_{2,n}(1)$, $\beta=-z_{1,n}(1)$, такова, что $z\in\Omega^{n+1}$, $L^{2n}z=0\Rightarrow z=0$ в силу леммы о камне.

Соотношения между камнями и моментами

Далее обозначаем $\Lambda_{n}$ вместо $\overline{\mathstrut\Lambda}_{n}$. В разделе доказано $\Lambda_{n}\neq\Lambda_{n+\Delta}$ при $\Delta=1,2$. Получены некоторые требования для возможности выполнения равенства при бóльших $\Delta$.

Назовем (неполным) полиномом камней:

[TABLE]

Очевидно $d^{2}h_{n}^{k}=h_{n}^{k-1}$.

Пусть $m>n$; обозначим $\mu=n+2\left[\frac{m-n}{2}\right]$. Выполняя для $\left\langle z_{n}^{(n-k)}z_{m}^{(\mu-k)}\right\rangle$ то же, что в (15), с учетом (17) и сдвигая $k$ на $-1-[\Delta/2]$, получим

[TABLE]

для $\forall k\geqslant-1-\left[\Delta/2\right]$, $\Delta=m-n$, где $\left\langle\ldots\right\rangle=\left\langle z_{n}^{(n-p-k-1)}z_{m}^{(n-p-k-1)}\right\rangle$.

Обобщая (10):

[TABLE]

Тогда

[TABLE]

Для анализа условий (18) и (3) удобно представить их следующим образом: обозначим

[TABLE]

где $a=\left(a_{0},a_{1},\dots\right)$, $b=\left(b_{0},b_{1},\dots\right)$ — моменты функций $z_{n}$ и $z_{m}$. Обозначим также

[TABLE]

Тогда (18) и (3) перепишутся

[TABLE]

Соотношения (23, 26) закрывают возможность $\Lambda_{n}=\Lambda_{n+\Delta}$ при $\Delta=1,2$ в силу $(ad)_{0}\cdot(bc)_{0}=(ac)_{0}\cdot(bd)_{0}\neq 0$.

Неравенства (26) могут быть несколько усилены при $\Lambda_{n}=\Lambda_{m}(=\Lambda)$. Учитывая

[TABLE]

и поступая, как при получении (3) и (26), с учетом (23) получим

[TABLE]

[TABLE]

где $q=[\Delta/2]$, $\delta=\Delta-2q$, $\Delta=m-n$. Обозначено

[TABLE]

и аналогично для $\beta$ и $b$, $\varepsilon=\Lambda^{-1/p}$.

Ограничения сверху на $k$ и $l$ написаны на случай рассмотрения всей системы соотношений. Они должны быть дополнены равенствами (23), записываемыми как

[TABLE]

Соотношения (26) имеют вид

[TABLE]

и, фактически, выполняются в силу (27, 30).

Наконец, вводя производящие функции

[TABLE]

соотношения (27, 30) могут быть записаны в виде

[TABLE]

где $\alpha=(1-\varepsilon t)a$, $\beta=(1-\varepsilon t)b$, и

[TABLE]

Замечу, условие применения (27) несколько шире, чем (35).

Камни и корни

В разделе доказано $S_{n}\mathop{\cap}S_{m}=\varnothing$ для $\forall\,m,n$.

Для краткости неполиномиальные части $R_{n}$ и $R_{m}$ функций $z_{n}$ и $z_{m}$ назовем их ядрами.

Лемма (о полноте корней): Любой корень уравнения $\lambda^{2p}=\Lambda_{n}$ представлен в ядре функции $z_{n}$ в ненулевом слагаемом $\mathrm{const}\cdot e^{i\lambda x}$.

Доказательство. В силу четности и вещественности ядра вместе с каждым корнем $\lambda_{j}$ присутствует $-\lambda_{j}$ и $\overline{\mathstrut\lambda}_{j}$. Если в $R_{n}$ отсутствует $\lambda_{0}$, то из $L^{2p}(\sigma)$ в уравнении $L^{2p}R_{n}=0$ можно отбросить операторный множитель $\left(\sigma^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)$, при отсутствии же $\lambda_{j}$ отбрасываем $\left(\sigma-\lambda_{j}\right)\left(\sigma-\overline{\lambda}_{j}\right)$; в итоге имеем $M(\sigma)R_{n}=0,\;\deg M\leqslant 2p-2$; соответственно $L(\sigma)z_{n}=0,\;\deg L\leqslant 2n-2$, где $L(\sigma)=M(\sigma)\cdot\sigma^{2n-2p}$. При отсутствии $\left(\sigma^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)$ представим сам $L(\sigma)$, а иначе $\left(\sigma^{2}-\lambda_{0}^{2}\right)L(\sigma)$ в виде $\overline{\mathcal{A}}(\sigma)\mathcal{A}(\sigma)$, где $\mathcal{A}$ и $\overline{\mathcal{A}}$ — комплексно-сопряженные полиномы от $\sigma$, вводимые аналогично (10).

Имеем $\left\langle z_{n}\overline{\mathcal{A}}\mathcal{A}z_{n}\right\rangle=0,\;\deg\mathcal{A}=\deg\overline{\mathcal{A}}\leqslant n\Rightarrow z_{n}=0$ аналогично лемме о камне.

Пусть $\Lambda_{n}=\Lambda_{m}=\Lambda$. Представим:

[TABLE]

Обозначим $\mu=m-p-1$, $\nu=n-p-1$.

Сделав подстановку $x^{2}=1+(x^{2}-1)$ в полиномиальных частях $p_{2\nu}$ и $p_{2\mu}$, представим $z_{n}$ и $z_{m}$ в виде:

[TABLE]

Обозначим $\xi=x^{2}$, $\partial=\frac{d}{d\xi}$; если, как ранее, $d=\frac{d}{dx}$, то $d=2x\cdot\partial$. Индукцией по $j$ легко доказывается:

[TABLE]

Из (38) получаем

[TABLE]

Наконец, учитывая (39), $z_{n}\in\Omega^{n}$, $z_{m}\in\Omega^{m}$, получим

[TABLE]

Обсуждение

В случае совпадения с.з. соотношения (23) или (36) задают довольно сильную связь между моментами и камнями функций $z_{n}$ и $z_{m}$. При наличии дополнительного исследования старших полиномиальных слагаемых в (6) или моментов (21) эти соотношения плюс неравенства (27) или (35), либо прямо отношения (18, 3) могут помочь как в решении вопроса о пересечении спектров для конкретных $\Delta=m-n$, так и проверить выполнимость гипотезы $S_{n}\mathop{\cap}S_{m}=\varnothing$ для любых $m,n$.

1–15 июля 2016 года

дер. Сондуга, г. Тотьма

Благодарности

Я выражаю свое восхищение А. И. Назарову, чей проницательный интерес к проблеме, хоть и опосредовано, был воспринят мной. Я очень признателен Юлии Петровой, которая передала для меня формулировку задачи в первоначальной постановке о минимуме $\Lambda_{n-1}<\Lambda_{n}$. Я благодарен Станиславу Крымскому за интересную дискуссию по работе и спасибо Павлу Муленко за согласие набрать данный текст.

Наконец, я выражаю свою сердечную благодарность Алексею, Ирине и Александру Завьяловым, Алексею Гущину и Любови Власовой за великолепные условия для работы и вдохновляющую поддержку.