On the number of faces of Gelfand-Zetlin polytopes

TL;DR

This paper derives a recurrence relation for the f-polynomial of Gelfand-Zetlin polytopes using geometric analysis, leading to explicit formulas for their f- and h-polynomials in certain families.

Contribution

It introduces a new recurrence relation for Gelfand-Zetlin polytopes' f-polynomials based on geometric projections, enabling explicit formula derivation.

Findings

Derived recurrence relation for f-polynomial

Explicit formulas for f- and h-polynomials in specific families

Enhanced understanding of Gelfand-Zetlin polytope combinatorics

Abstract

We obtain a recurrence relation for the f-polynomial of Gelfand-Zetlin polytopes by analyzing geometric properties of a linear projection of the Gelfand-Zetlin polytope onto a cube. We apply this recurrence relation to find explicit formulas for the f-polynomials and h-polynomials of Gelfand-Zetlin polytopes that belong to several simplest one-parameter families.

Equations

$$\text{setcounter}MaxMatrixCols11\begin{array}{ccccccccccc}{\lambda }_1& & {\lambda }_2& & {\lambda }_3& & {\lambda }_4& & \dots & & {\lambda }_s\\ & u_{1,1}& & u_{1,2}& & u_{1,3}& & \dots & & u_{1,s-1}& \\ & & u_{2,1}& & u_{2,2}& & \dots & & u_{2,s-2}& & \\ & & & \ddots & \ddots & ⋮& \text{iddots}& \text{iddots}& & & \\ & & & & u_{s-2,1}& & u_{s-2,2}& & & & \\ & & & & & u_{s-1,1}& & & & & \end{array}.$$

$$\begin{array}{ccc}a& & c\\ & b& \end{array},$$

$$\begin{array}{ccccc}1& & 2& & 3\\ & u_{1,1}& & u_{1,2}& \\ & & u_{2,1}& & \end{array}\iff \{\begin{array}{l}1\le u_{1,1}\le u_{2,1}\le u_{1,2}\le 3,\\ u_{1,1}\le 2,\\ u_{1,2}\ge 2;\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1\le u_{1,1}\le 2,\\ 2\le u_{1,2}\le 3,\\ u_{1,1}\le u_{2,1}\le u_{1,2}.\end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc}0& & 1& & 1\\ & u_{1,1}& & u_{1,2}& \\ & & u_{2,1}& & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccc}0& & 1& & 1\\ & v_1& & 1& \\ & & v_2& & \end{array}.$$

$$1\le u_1\le 2\le u_2\le 3\cdots \le k-1\le u_{k-1}\le k.$$

$$\text{setcounter}MaxMatrixCols17\begin{array}{ccccccccccccccccc}1& & \dots & & 1& & 2& & \dots & & k-1& & k& & \dots & & k\\ & 1& \dots & 1& & u_{1,i_1}& & 2& \dots & k-1& & u_{1,i_1+\dots i_{k-1}}& & k& \dots & k& \\ & & & & & \Vert & & & & & & \Vert & & & & & \\ & & & & & u_1& & & & & & u_{k-1}& & & & & \end{array}$$

$$1\le u_1\le 2\le u_2\le 3.$$

$$1\le u_1\le 2;u_2=2.$$

$$1\le u_{1,1}\le u_{2,1}\le 2;u_{1,2}=2.$$

$$u_1=2;2\le u_2\le 3.$$

$$u_{1,1}=2;2\le u_{2,1}=u_{1,2}\le 3$$

$$u_{1,1}=2;u_{2,1}=2;2\le u_{1,2}\le 3.$$

$$u_1=1;u_2=3.$$

$$u_{1,1}=1;u_{1,2}=3;u_{2,1}=1$$

$$u_{1,1}=1;u_{1,2}=3;u_{2,1}=3.$$

$$1\le u_1\le 2\le u_2\le 3.$$

$$p=(x_1+x_{1.5}+x_2)(x_2+x_{2.5}+x_3).$$

$$\begin{array}[]{l}(1,2)\mapsto x_{1}x_{2}\\ (1,3)\mapsto x_{1}x_{3}\\ (2,2)\mapsto x_{2}^{2}\\ (2,3)\mapsto x_{2}x_{3}\\ \end{array},$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(1,2)& \simeq & & 1& & 2& & =& GZ(12);\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(1,3)& \simeq & & 1& & 3& & =& GZ(13);\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(2,2)& \simeq & & 2& & 2& & =& GZ(2^2);\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(2,3)& \simeq & & 2& & 3& & =& GZ(23).\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}(1.5,2)\mapsto x_{1.5}x_{2}\\ (1.5,3)\mapsto x_{1.5}x_{3}\\ (1,2.5)\mapsto x_{1}x_{2.5}\\ (2,2.5)\mapsto x_{2}x_{2.5}\\ \end{array},$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(1.5,2)& \simeq & & 1.5& & 2& & =& GZ(1.52);\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(1.5,3)& \simeq & & 1.5& & 3& & =& GZ(1.53);\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(1,2.5)& \simeq & & 1& & 2.5& & =& GZ(12.5);\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(2,2.5)& \simeq & & 2& & 2.5& & =& GZ(22.5).\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}(1.5;2.5)\mapsto x_{1.5}x_{2.5},\\ \end{array}$$

$$\begin{array}{ccccccccc}& & \text{xout}1& & \text{xout}2& & \text{xout}3& & \\ {\pi }^{-1}(1.5,2.5)& \simeq & & 1.5& & 2.5& & =& GZ(1.52.5).\\ & & & & u& & & & \end{array}$$

Full text

1. Введение

Пусть $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ — неубывающая конечная последовательность действительных чисел. Рассмотрим треугольную таблицу

[TABLE]

Будем считать, что каждые три символа $a,\ b,\ c$, которые в таблице стоят в вершинах треугольника

[TABLE]

связаны двойным неравенством: $a\leq b\leq c$. Тогда наша таблица даёт конкретный набор линейных неравенств, зависящих от $\lambda_{i}$, который определяет некоторый выпуклый многогранник в $\mathbb{R}^{\frac{s(s-1)}{2}}$. Заметим, что координаты $u_{i,j}$ в нашем случае занумерованы упорядоченной парой целых чисел $(i,\,j)$, где $i$ пробегает значения от $1$ до $s-1$, а $j$ пробегает значения от $1$ до $s-i$. Этот выпуклый многогранник и называется многогранником Гельфанда–Цетлина, соответствующим последовательности $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$. Обозначим его через $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$.

Пример 1.1.

Построим многогранник $GZ(1\,2\,3)$. Выпишем соответствующую ему треугольную таблицу и систему линейных неравенств. Неравенства сгруппируем двумя способами, чтобы увидеть два различных способа построения многогранника, проиллюстрированных на рис. 1.

[TABLE]

Отметим, что если в последовательности $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ есть повторяющиеся числа, то размерность соответствующего многогранника Гельфанда–Цетлина будет строго меньше, чем $\frac{s(s-1)}{2}$. Это следует из того, что двойное неравенство $a\leq b\leq a$ влечет равенство $b=a$, а значит некоторое количество координат примет постоянное значение. Например, рассмотрим многогранник Гельфанда–Цетлина, который задан треугольной таблицей

[TABLE]

Этот многогранник не является полномерным в $\mathbb{R}^{3}$, так как $1\leq u_{1,2}\leq 1$, то есть $u_{1,2}=1$. Таким образом, в таблице есть только две координаты, обладающие ненулевой свободой, обозначим их через $v_{1},v_{2}$, тогда наша таблица примет вид

[TABLE]

Многогранник $GZ(0\,1^{2})$ – это двумерный симплекс. В 3.1 мы покажем, что $GZ(0\,1^{k})$ – это $k$-мерный симплекс. (Здесь и далее мы используем мультипликативную запись для последовательности $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ с повторениями: показатель равен количеству копий основания. В частности, $GZ(0\,1^{k})$ – это многогранник Гельфанда–Цетлина, отвечающий последовательности из одного нуля и $k$ единиц.)

В настоящей работе мы рассматриваем многогранники Гельфанда–Цетлина с точностью до комбинаторной эквивалентности. Напомним, что решёткой граней $L(P)$ многогранника $P$ называют множество его граней, упорядоченное по включению, и что два многогранника $P$ и $P^{\prime}$ называют комбинаторно эквивалентными, если их решётки граней изоморфны, то есть существует биекция $L(P)$ на $L(P^{\prime})$, сохраняющая отношение включения. Если многогранник $P$ комбинаторно эквивалентен многограннику $P^{\prime}$, мы будем писать $P\simeq P^{\prime}$.

Замечание 1.2.

Многогранник $GZ(1\,2\,3)$, рассмотренный в примере 1.1,– единственный, с точностью до комбинаторной эквивалентности, непростой многогранник Гельфанда–Цетлина в трёхмерном пространстве. Поэтому, если нам понадобится геометрическая иллюстрация, мы будем обращаться к нему.

Одной из важнейших характеристик класса комбинаторно эквивалентных многогранников является конечная последовательность $(f_{0},f_{1},\dots,f_{n})$, где $n$ – размерность многогранника, $f_{i}$ – число граней размерности $i$. Эта последовательность получила название $f$-вектора. Соответствующая производящая функция $f(t)=f_{0}+f_{1}\cdot t+\dots+f_{n}\cdot t^{n}$ получила название $f$-многочлена. В некоторых случаях нам будет удобнее рассуждать на языке $h$-многочлена. Последний восстанавливается по $f$-многочлену однозначно, а именно: $h(s):=f(s-1)=\sum_{i=0}^{n}h_{i}s^{i}$, $h_{i}=\sum_{k=i}^{n}f_{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}$. Конечную последовательность $(h_{0},h_{1},\dots,h_{n})$ называют $h$-вектором многогранника.

Перейдём к описанию полученных результатов.

В разделе 2 мы выводим рекуррентное соотношение на $f$-многочлен многогранника Гельфанда–Цетлина, пользуясь геометрическими свойствами линейной проекции на некоторый куб, впервые построенной в работе [GKT]. Ключевой момент состоит в том, что эта проекция настолько хороша, что каждая грань многогранника Гельфанда–Цетлина отображается на некоторую грань куба, и для каждой грани куба полный прообраз любой её внутренней точки комбинаторно эквивалентен некоторому многограннику Гельфанда–Цетлина. Полученное рекуррентное соотношение 2.11 выражает $f$-многочлен исходного многогранника Гельфанда–Цетлина через $f$-многочлены многогранников, комбинаторно эквивалентных полным прообразам барицентров граней куба при рассматриваемой проекции. Геометрическая часть доказательства Теоремы 2.11 заключена в Леммах 2.2, 2.6 и Следствии 2.9.

В разделе 3 мы применяем найденное рекуррентное соотношение для исследования многогранников Гельфанда–Цетлина, соответствующих неубывающим последовательностям $(12^{k}3)$, $(123^{k})$ и $(223^{k})$. Пункт 3.3 посвящён многогранникам $GZ(12^{k}3)$. C технической опорой на пункт 3.1 и Лемму 3.1 он доказывает, что, говоря неформально, $h_{GZ(12^{k}3)}$ имеет вид несимметричной горки: его компоненты сначала возрастают, а затем убывают, причём если исключить из рассмотрения компоненту $h_{2k+1}$, то любые две соседние компоненты отличаются на единицу, см. Теорему 3.3.

В пункте 3.4 мы изучаем многогранники $GZ(123^{k})$ и $GZ(223^{k})$, технически он также опирается на пункт 3.1 и Лемму 3.1. Результатом является Теорема 3.4, которая даёт достаточно компактные формулы для $h$-многочленов многогранников $GZ(123^{k})$ и $GZ(223^{k})$ (используя рекуррентную последовательность (24), естественным образом возникшую в результате вычислений); а также Следствие 3.6, которое по этим формулам находит производящие функции последовательностей $\{h_{GZ(123^{k})}\}$ и $\{h_{GZ(223^{k})}\}$.

2. Рекуррентное соотношение

Мы будем работать с классами комбинаторно эквивалентных многогранников Гельфанда–Цетлина, для удобства в каждом классе выберем для себя эталонного представителя. Для этого покажем, что если $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\dots<\lambda_{k}$ , то $GZ(\lambda_{1}^{i_{1}}\lambda_{2}^{i_{2}}\dots\lambda_{k}^{i_{k}})\sim GZ(1^{i_{1}}2^{i_{2}}\dots k^{i_{k}})$. Переформулируем это утверждение следующим образом:

Пусть между наборами чисел $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ и $\lambda_{1}^{\prime}\leq\dots\leq\lambda_{s}^{\prime}$ существует биекция, сохраняющая отношения $=$ и $<$, тогда соответствующие многогранники Гельфанда–Цетлина комбинаторно эквивалентны.

В самом деле, пусть $G$ – некоторая непустая собственная грань многогранника $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$, тогда система определяющих её линейных неравенств и равенств получается из соответствующей треугольной таблицы заменой некоторых знаков неравенства на знаки равенства (не приводящей к противоречащим друг другу равенствам, таким как, скажем, $1=u_{1,1}=u_{2,1}=u_{1,2}=3$). Если в таблице, определяющей многогранник $GZ(\lambda_{1}^{\prime}\dots\lambda_{s}^{\prime})$, заменить знаки неравенства на знаки равенства ровно на тех же местах (что возможно в силу введённого условия на поcледовательности $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ и $\lambda_{1}^{\prime}\leq\dots\leq\lambda_{s}^{\prime}$), то мы получим систему линейных неравенств и равенств, определяющую некоторую непустую собственную грань $G^{\prime}$ многогранника $GZ(\lambda_{1}^{\prime}\dots\lambda_{s}^{\prime})$, её и поставим в соответствие грани $G$. Это биекция, так как обратное отображение строится ровно по тому же правилу. Ясно, что эта биекция сохраняет отношение включения.

Замечание 2.1.

Менее очевидно, что если между наборами чисел $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ и $\lambda_{1}^{\prime}\leq\dots\leq\lambda_{s}^{\prime}$ существует биекция, сохраняющая отношение $=$, но обращающая строгий порядок, то соответствующие многогранники Гельфанда–Цетлина также будут комбинаторно эквивалентны. См. лемму 3.1.

Итак, далее в наших рассуждениях многогранник $GZ(1^{i_{1}}\,2^{i_{2}}\,\dots\,k^{i_{k}})$ будет использоваться в качестве эталонного представителя своего комбинаторного класса. Cледуя статье [GKT] , рассмотрим линейную проекцию $\pi$ многогранника $GZ(1^{i_{1}}\,2^{i_{2}}\,\dots\,k^{i_{k}})$ на куб $C$, заданный в координатах неравенствами

[TABLE]

Образно говоря, проекция $\pi$ состоит в запоминании у точки $w\in GZ(1^{i_{1}}\,2^{i_{2}}\,\dots\,k^{i_{k}})$ только координат, стоящих во второй строке таблицы между разными числами первой строки, и забывании всех остальных.

[TABLE]

Сформулируем и докажем простую лемму.

Лемма 2.2**.**

Пусть $G$ – непустая грань многогранника $GZ(1^{i_{1}}\,2^{i_{2}}\,\dots\,k^{i_{k}})$, тогда $\pi(G)$ – непустая грань куба $C$.

Доказательство.

Нам уже известно, что образом всего многогранника является весь куб, поэтому будем считать, что рассматриваемая грань – собственная. Так как $G$ – непустая собственная грань многогранника $GZ(1^{i_{1}}\,2^{i_{2}}\,\dots\,k^{i_{k}})$, то система определяющих её линейных неравенств и равенств получается из соответствующей треугольной таблицы заменой некоторых знаков неравенства на знаки равенства. При этом проекция $\pi$ забывает равенства и неравенства, находящиеся ниже второй строки таблицы, но оставляет неизменными неравенства и равенства, связывающие вторую и первую строки. Последние не могут носить противоречивый характер, так как иначе грань $G$ оказалась бы пустой. А значит они определяют некоторую грань куба $C$. Ясно также, что над любой точкой из полученной таким образом грани куба висит точка исходной грани $G$, то есть $\pi(G)$ – непустая грань куба $C$. ∎

Пример 2.3.

Рассмотрим проекцию $\pi$ многогранника $GZ(1\,2\,3\,)$ на квадрат $C$, заданный в координатах неравенствами

[TABLE]

Выпишем все двумерные грани многогранника $GZ(1\,2\,3\,)$, которые отображаются на ребро квадрата $C$, заданное в координатах

[TABLE]

Она всего одна (см. рис 2):

[TABLE]

Выпишем все рёбра многогранника $GZ(1\,2\,3\,)$, которые отображаются на ребро квадрата $C$, заданное в координатах

[TABLE]

Их всего два (см. рис 2):

[TABLE]

и

[TABLE]

Выпишем все вершины многогранника $GZ(1\,2\,3\,)$, которые отображаются на вершину квадрата $C$, заданную в координатах

[TABLE]

Их всего две (см. рис 2):

[TABLE]

и

[TABLE]

Теперь мы знаем, что при проекции $\pi$ над каждой гранью куба $C$ висит некоторое количество граней исходного многогранника Гельфанда–Цетлина. Идея состоит в том, чтобы собрать искомый $f$-многочлен многогранника $GZ(1^{i_{1}}\,2^{i_{2}}\,\dots\,k^{i_{k}})$ из кусочков, соответствующих граням куба $C$. Как мы это будем делать?

Пусть $A$ – некоторая грань куба $C$, обозначим через $\widehat{A}$ барицентр грани $A$. Заметим, что между множеством барицетров всех граней куба $C$ и множеством мономов многочлена $p:=\prod_{j=1}^{k-1}(x_{j}+x_{j+0.5}+x_{j+1})$ существует взаимнооднозначное соответствие. Поясним это соответствие, практически дословно повторив рассуждение из статьи [GKT]. В самом деле, чтобы зафиксировать барицетр $\widehat{A}$ некоторой грани куба $C$ нужно для каждого $j$ от $1$ до $k-1$ указать, какое из равенств u_{j}=j,\ u_{j}=j+0.5\ или $\ u_{j}=j+1$ имеет место. Аналогично, чтобы зафиксировать моном в многочлене $p$ нужно для каждого $j$ от $1$ до $k-1$ указать, какое слагаемое из скобки $(x_{j}+x_{j+0.5}+x_{j+1})$ войдёт в моном.

Пример 2.4.

Снова рассмотрим проекцию $\pi$ многогранника $GZ(1\,2\,3\,)$ на квадрат $C$, заданный в координатах неравенствами

[TABLE]

Тогда

[TABLE]

На рис.3 изображены полные прообразы барицентров вершин и рёбер квадрата $C$ при проекции $\pi$.

Вершинам $C$ соответствуют мономы с целыми индексами

[TABLE]

причём

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Рёбрам $C$ соответствуют мономы, в которых один из сомножителей имеет полуцелый индекс

[TABLE]

причём

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Единственной двумерной грани соответствует моном, в котором оба сомножителя имеют полуцелый индекс

[TABLE]

причём

[TABLE]

Теперь вернёмся к рассмотрению общего случая. Пусть $\widehat{A}$ – барицентр, соответствующий моному

[TABLE]

Тогда $\pi^{-1}(\widehat{A})$ комбинаторно эквивалентен

[TABLE]

Почему это так? Из примера 2.4 становится ясно, что $\pi^{-1}(\widehat{A})$ комбинаторно эквивалентен многограннику Гельфанда–Цетлина, первая строка которого может быть получена в два шага. На первом шаге мы вносим в неё $i_{q}-1$ символов $q$ для каждого $q$ от $1$ до $k$ и $(k-1)$ пустой кружок так, как показано на схеме (6).

[TABLE]

Мультипликативный вариант картинки выглядит так

[TABLE]

А затем заполняем пустые кружочки координатами точки $\widehat{A}$, двигаясь слева направо. При этом показатель $\alpha_{r}$, где $r\in\{1,\,1.5,\,2,\dots,\,k\}$ в мономе (4) говорит нам, сколько чисел $r$ мы должны использовать.

Итак, теперь мы знаем, что прообразы барицентров граней куба $C$ являются многогранниками Гельфанда–Цетлина, более того для каждого прообраза мы знаем определяющую его неубывающую последовательность действительных чисел

[TABLE]

Покажем теперь, что проекция $\pi$ позволяет выписать рекуррентное соотношение, связывающее $f$-многочлен исходного многогранника Гельфанда–Цетлина с $f$-многочленами прообразов барицентров граней куба $C$.

Пусть $G$ – некоторая грань многогранника $GZ(1^{i_{1}}\dots k^{i_{k}})$, обозначим через $A_{G}$ грань куба $C$, которая является образом грани $G$ при проекции $\pi$ (здесь мы пользуемся леммой 2.2), тогда $\widehat{A_{G}}$ – барицентр грани $A_{G}$. Пересечение многогранника $\pi^{-1}(\widehat{A_{G}})$ и грани $G$ является некоторой гранью этого многогранника, которую мы обозначим через $E_{G}$.

Пример 2.5.

Рассмотрим многогранник $GZ(1\,2\,3\,)$, рис. 4. Пусть грань $G$ задана в координатах

[TABLE]

найдём $E_{G}$. Сначала выпишем условия, определяющие $A_{G}$

[TABLE]

теперь ясно, что барицетр $\widehat{A_{G}}$ – это точка $(1.5,2)$. Следующим шагом выпишем условия, определяющие полный прообраз барицентра $\pi^{-1}(\widehat{A_{G}})$

[TABLE]

а теперь и искомое пересечение $E_{G}$ у нас в кармане, в рассматриваемом случае это точка с координатами

[TABLE]

Пользуясь введёнными обозначениями и приобретённой в результате рассмотрения примера интуицией, сформулируем и докажем лемму 2.6.

Лемма 2.6**.**

Отображение из множества всех непустых граней многогранника $GZ(1^{i_{1}}\dots k^{i_{k}})$ во множество всех непустых граней многогранников $\pi^{-1}(\widehat{A})$, которое переводит грань $G$ в грань $E_{G}$ является биекцией, причём оно не сохраняет размерность грани, но изменяет её понятным образом, а именно

[TABLE]

Мы приведём доказательство леммы 2.6, которое опирается на определения симплициального комплекса и производного измельчения многогранника. Напомним эти определения для полноты картины.

Определение 2.7**.**

Сиплициальный комплекс $K$ – это такой конечный набор симплексов, лежащих в некотором евклидовом пространстве, что

1. (1)

любая грань симплекса из $K$ снова принадлежит $K$; 2. (2)

пересечение любых двух симплексов $\sigma_{1},\,\sigma_{2}\in K$ либо пусто, либо является гранью как симплекса $\sigma_{1}$, так и симплекса $\sigma_{2}$.

Множество $|K|=\bigcup_{\sigma\in K}\sigma$ называется телом комплекса $K$.

Определение 2.8**.**

Производное измельчение многогранника $P$ – это симплициальный комплекс $\Delta^{P}$, описание которого мы дадим с помощью индукции по размерности граней многогранника $P$.

• •

(база индукции) Каждая нульмерная грань многогранника $P$ совпадает со своим производным измельчением, поэтому симплексами комплекса $\Delta^{P}$, полученными на первом шаге, являются вершины многогранника $P$.

• •

(шаг индукции) Предположим, что мы построили производное измельчение всех граней $F\in L(P)$ размерности от [math] до $k-1$. Для каждой $k$-мерной грани многогранника $P$ мы делаем следующее: во внутренности грани фиксируем некоторую точку, а затем берем выпуклую оболочку зафиксированной точки с каждым из $(k-1)$-мерных симплексов, лежащих в границе рассматриваемой грани. Заметим, что выпуклая оболочка $(k-1)$-мерного симплекса и точки, не принадлежащей его аффинной оболочке, есть в точности $k$-мерный симплекс. Все грани полученных таким образом $k$-мерных симплексов, которые ещё не были включены в $\Delta^{P}$, на этом шаге добавляются.

Непосредственно из определения 2.8 следует, что множество вершин производного измельчения взаимнооднозначно соответствует множеству граней исходного многогранника, причём по множеству вершин производное измельчение восстанавливается однозначно.

Теперь мы готовы доказать лемму 2.6.

Доказательство.

Рассмотрим производное измельчение куба $C$, вершины которого являются барицентрами граней, а также производное измельчение многогранника Гельфанда–Цетлина, вершины которого лежат в прообразах барицентров граней куба $C$ при проекции $\pi$. По определению производного измельчения, во внутренности каждой грани $G$ исходного многогранника Гельфанда–Цетлина есть единственная вершина производного измельчения, и она по построению лежит в грани $E_{G}$. Поскольку она лежит в грани $E_{G}$ и во внутренности грани $G$, то она лежит во внутренности грани $E_{G}$. Причём верно, что такая вершина только одна, потому что внутренность $E_{G}$ высекается из внутренности единственной грани исходного многогранника, а именно из внутренности грани $G$. Таким образом, и грани исходного многогранника, и грани многогранников $\pi^{-1}(\widehat{A})$ оказались занумерованы вершинами производного измельчения исходного многогранника, причём грани $G$ и $E_{G}$ имеют один и тот же номер.

Формула (7), связывающая размерности граней $G$ и $E_{G}$, может быть выписана сразу, как только мы вспомним,что размерность образа конечномерного векторного пространства при линейном отображении равна разности размерностей пространства и ядра отображения. ∎

Следствие 2.9**.**

Можно восстановить $f$-многочлен многогранника $GZ(1^{i_{1}}\dots k^{i_{k}})$ по $f$-многочленам многогранников $\pi^{-1}(\widehat{A})$ при помощи равенства

[TABLE]

Пример 2.10.

Пользуясь формулой (8) и примером 2.4, выпишем $f$-многочлен многогранника $GZ(1\,2\,3)$.

[TABLE]

В рассматриваемом случае один из прообразов нульмерен, а все остальные комбинаторно эквивалентны отрезку, поэтому искомый $f$-многочлен равен

[TABLE]

То есть многогранник $GZ(1\,2\,3)$ имеет $7$ вершин, $11$ рёбер и $6$ двумерных граней.

Настало время объединить полученные знания в одну формулу. Вспомним, что мы занумеровали барицентры граней куба $C$ мономами многочлена $p:=\prod_{j=1}^{k-1}(x_{j}+x_{j+0.5}+x_{j+1})$. Определим коэффициенты $c_{\alpha_{1},\alpha_{1.5},\dots,\alpha_{k-0.5},\alpha_{k}}$ таким образом, что

[TABLE]

Итоговая формула будет более читаемой, если мы будем использовать мульти-индексы $\alpha=(\alpha_{1},\alpha_{1.5},\dots,\alpha_{k-0.5},\alpha_{k})$ и $i=(i_{1},i_{2},\dots,i_{k})$ для её записи. Обозначим через $GZ[\alpha,\,i]$ многогранник Гельфанда–Цетлина, комбинаторно эквивалентный $\pi^{-1}(\widehat{A}_{\alpha})$, явный вид которого мы уже выписали формулой (5), тогда имеет место

Теорема 2.11**.**

Справедливо следующее рекуррентное соотношение на $f$-многочлен многогранника Гельфанда–Цетлина $GZ(1^{i_{1}}\dots k^{i_{k}})$

[TABLE]

Замечание 2.12.

Рекуррентное соотношение на $f$-многочлен многогранников Гельфанда–Цетлина получено также в недавней работе Ан, Чо и Кима [BYJ], о чём я узнала уже после того, как записала набросок доказательства теоремы 2.11.

Подход авторов работы [BYJ] заметно отличается от используемого в данной статье. Приведённое ниже доказательство теоремы 2.11 основано на геометрических свойствах линейной проекции многогранника Гельфанда–Цетлина на некоторый куб. Можно сказать, что оно развивает методы и идеи работы [GKT], в которой было найдено рекуррентное соотношение на число вершин многогранников Гельфанда–Цетлина.

Авторы работы [BYJ] дают описание решётки граней многогранника Гельфанда–Цетлина в терминах некоторого ориентированного плоского графа, называемого ступенчатой диаграммой (ladder diagram). Каждому классу комбинаторно эквивалентных многогранников Гельфанда–Цетлина они ставят в соответствие некоторую ступенчатую диаграмму и доказывают, что их решётки граней изоморфны. (<<Гранями>> ступенчатой диаграммы авторы называют некоторые её подграфы специального вида.) Пользуясь только комбинаторными свойствами ступенчатых диаграмм, авторы выводят рекуррентное соотношение, которое описывает $f$-многочлен ступенчатой диаграммы через $f$-многочлены ступенчатых диаграмм меньших размерностей.

Следует отметить, что ступенчатые диаграммы из работы [BYJ] позволяют легко находить размерность заданной грани многогранника Гельфанда–Цетлина – это просто количество независимых циклов (т.е. ранг первых гомологий) соответствующей <<грани>> ступенчатой диаграммы. Зато при нашем подходе яснее прослеживается связь рекуррентного соотношения с геометрией, что можно попытаться использовать для нахождения явных формул. Заметим, например, что проекция многогранника Гельфанда–Цетлина на куб раскладывается в композицию аффинных отображений между многогранниками, задаваемыми первыми $k$ строками треугольной таблицы, $k=2,\dots,s$.

3. Вычисления с использованием рекуррентного соотношения

Покажем, что найденное рекуррентное соотношение позволяет вычислить $f$-многочлен для некоторых серий многогранников Гельфанда–Цетлина. Мы проведём вычисления для многогранников $GZ(1\,2^{k}\,3)$, $GZ(1\,2\,3^{k})$ и $GZ(2^{2}\,3^{k})$. В наших рассуждениях неизбежно возникнут многогранники, отвечающие простейшим неубывающим последовательностям вида $(0\,1^{k})$; давайте начнём этот раздел с того, что опишем комбинаторику и геометрию этих многогранников.

3.1. Симплексы Гельфанда–Цетлина

Рассмотрим подробнее многогранник Гельфанда–Цетлина, соответствующий последовательности $(0\,1^{3})$. Сразу проставив все единицы в соответствующей треугольной таблице, мы увидим, что останется ровно три переменных координаты

[TABLE]

Такая таблица равносильна цепочке неравенств $0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq v_{3}\leq 1$, по которой мы можем очень быстро восстановить полный список вершин нашего многогранника (для простоты укажем только значения координат $v_{1},\ v_{2}$ и $v_{3}$): $(0,0,0)$, $(0,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$. Таким образом, многогранник $GZ(0\,1^{3})$ является выпуклой оболочкой четырёх аффинно независимых точек в $\mathbb{R}^{3}$, то есть трёхмерным симплексом. Заметим, что многогранник, полученный из $GZ(0\,1^{3})$ ортогональным преобразованием трёхмерного пространства, заданным некоторой перестановкой координат, также будет трёхмерным симплексом. Рассмотрим множество симплексов, которые получаются из $GZ(0\,1^{3})$ всевозможными перестановками координат. Будем обозначать их через $GZ_{\sigma}(0\,1^{3})$, где $\sigma\in S_{3}$. Для каждого из $GZ_{\sigma}(0\,1^{3})$ выпишем систему определяющих его неравенств.

[TABLE]

Заметим, что объединение $\bigcup_{\sigma\in S_{3}}GZ_{\sigma}(0\,1^{3})$ совпадает с единичным кубом $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$, причём общими для двух различных симплексов $GZ_{\sigma_{i}}(0\,1^{3})$ и $GZ_{\sigma_{j}}(0\,1^{3})$ при $i\neq j$ могут оказаться только точки границы. В самом деле, пусть $(v_{1},v_{2},v_{3})$ – некоторая точка единичного куба $[0,1]^{3}$. Если все её координаты различны, то их можно упорядочить по возрастанию одним и только одним способом. Этот способ определяет, какому из симплексов $GZ_{\sigma}(0\,1^{3})$ принадлежит точка $(v_{1},v_{2},v_{3})$. Если у точки $(v_{1},v_{2},v_{3})$ две координаты совпадают, а третья отлична от них, то она попадает на общую двумерную грань ровно двух симплексов. И, наконец, если у точки $(v_{1},v_{2},v_{3})$ все три координаты совпадают, то она попадает на ребро, соединяющее вершины $(0,0,0)$ и $(1,1,1)$, общее для всех симплексов $GZ_{\sigma}(0\,1^{3})$.

Рассмотрим теперь многогранник Гельфанда–Цетлина $GZ(0\,1^{k})$. Аналогично рассмотренному выше частному случаю $k=3$ легко видеть, что соответствующая треугольная таблица равносильна цепочке нестрогих неравенств $0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq\dots\leq v_{k}\leq 1$ и полный список вершин многогранника $GZ(0\,1^{k})$ (в котором вновь для простоты указаны только значения координат $v_{1},\ v_{2}б\dots,\ v_{k}$) выглядит так:

[TABLE]

где $n_{1}+n_{2}=k$. Таким образом, многогранник $GZ(0\,1^{k})$ является выпуклой оболочкой $k+1$ аффинно независимой точки в $\mathbb{R}^{k}$, то есть $k$-мерным симплексом. Далее в тексте мы будем называть этот симплекс симплексом Гельфанда–Цетлина. Совершенно аналогичными приведённым выше рассуждениями можно показать, что $\bigcup_{\sigma\in S_{k}}GZ_{\sigma}(0\,1^{k})=[0,1]^{k}$, причём вновь общими для двух различных симплексов $GZ_{\sigma_{i}}(0\,1^{k})$ и $GZ_{\sigma_{j}}(0\,1^{k})$ при $i\neq j$ могут быть только точки границы.

Упомянутое разбиение куба на симплексы хорошо известно. Случай $k=3$ описал китайский математик Лиу Хуэй в 3 в.н.э. (см. [W]), а общий случай – Ханс Фройденталь в 1942 году [F]. А сами симплексы Гельфанда–Цетлина были хорошо известны уже Л. Шлефли в 19 в. (см. [Cox]*стр. 137).

3.2. Одна лемма о комбинаторной эквивалентности

Лемма 3.1**.**

Если между наборами чисел $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ и $\lambda_{1}^{\prime}\leq\dots\leq\lambda_{s}^{\prime}$ существует биекция, сохраняющая отношение $=$, но обращающая строгий порядок, то соответствующие многогранники Гельфанда–Цетлина комбинаторно эквивалентны.

Доказательство.

Рассмотрим многогранники $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$ и $GZ({-\lambda_{s}}\dots-\lambda_{1})$, покажем, что они аффинно (и, следовательно, комбинаторно) эквивалентны.

Для удобства будем считать, что координаты точек пространства $\mathbb{R}^{\frac{s(s-1)}{2}}$ занумерованы так же, как в треугольной таблице (1), то есть двойным индексом $(i,j)$, где $1\leq i\leq s-1$, $1\leq j\leq s-i$. Рассмотрим линейное отображение $F$, переводящее точку с координатами $u_{i,j}$ в точку с координатами $u^{\prime}_{i,j}$, где $u^{\prime}_{i,j}=-u_{i,(s-i)-(j-1)}$. (Поясним происходящее с точки зрения геометрии треугольной таблицы: $F$ отражает треугольную таблицу относительно вертикальной оси и обращает все знаки.) Найдём образ многогранника $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$ при линейном отображении $F$. Заметим, что линейные неравенства, связывающие первую и вторую строку треугольной таблицы, определяющей многогранник $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$, перейдут в неравенства вида $-\lambda_{s-j+1}\leq u^{\prime}_{1,j}\leq-\lambda_{s-j}$, где $j$ пробегает значения от $1$ до $s-1$. Теперь посмотрим, во что перейдут остальные неравенства треугольной таблицы, определяющей многогранник $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$. По определению многогранника Гельфанда–Цетлина, для всех $2\leq i\leq(s-1)$ и $1\leq j\leq(s-i)$ выполнено двойное неравенство:

[TABLE]

Умножив его на $(-1)$, получим

[TABLE]

то есть

[TABLE]

Таким образом, F\big{(}GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})\big{)}=GZ({-\lambda_{s}}\dots-\lambda_{1}). Ясно, что линейное отображение $F$ обратно само себе и, следовательно, обратимо. Значит многогранники $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})$ и $GZ({-\lambda_{s}}\dots-\lambda_{1})$ аффинно (и, следовательно, комбинаторно) эквивалентны.

Обозначим через $\varphi$ биекцию из $\lambda_{1}^{\prime}\leq\dots\leq\lambda_{s}^{\prime}$ в $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$, сохраняющую отношение $=$, но обращающую строгий порядок, и обозначим через $\psi$ биекцию между наборами чисел $\lambda_{1}\leq\dots\leq\lambda_{s}$ и $-\lambda_{s}\leq\dots\leq-\lambda_{1}$, при которой $\lambda_{j}\mapsto-\lambda_{j}$. Тогда композиция $\psi\circ\varphi$ будет биекцией из $\lambda_{1}^{\prime}\leq\dots\leq\lambda_{s}^{\prime}$ в $-\lambda_{s}\leq\dots\leq-\lambda_{1}$, сохраняющей отношения $=$ и $<$, как следствие

[TABLE]

Ранее мы показали, что $GZ(\lambda_{1}\dots\lambda_{s})\simeq GZ({-\lambda_{s}}\dots-\lambda_{1}).$ Так как отношение эквивалентности транзитивно, то

[TABLE]

∎

3.3. Вычисление $f$- и $h$-многочлена многогранников $GZ(1\ 2^{k}\ 3)$

Рассмотрим серию многогранников $GZ(1\,2^{k}\,3)$. В этом случае куб $C$, как и в примере 2.4, может быть задан в координатах неравенствами

[TABLE]

Выпишем первые строки многогранников Гельфанда–Цетлина, комбинаторно эквивалентных полным прообразам барицентров граней куба $C$. В рассматриваемом случае искомые многогранники получаются очень просто. Пусть барицентр $\widehat{A}$ некоторой грани куба $C$ имеет координаты $(u_{1},u_{2})$, тогда $\pi^{-1}(\widehat{A})\simeq GZ(u_{1}\ 2^{k-1}\ u_{2})$.

Таким образом, многогранники, комбинаторно эквивалентные полным прообразам вершин:

[TABLE]

Многогранники, комбинаторно эквивалентные полным прообразам барицентров рёбер:

[TABLE]

Многогранник, комбинаторно эквивалентный полному прообразу барицентра двумерной грани

[TABLE]

Один из прообразов вершин оказался нульмерным многогранником, а именно точка $GZ(2^{k+1})$ в $\mathbb{R}^{\frac{k(k+1)}{2}}$, у которой все координаты равны $2$. У точки $f$-многочлен равен 1, поэтому согласно формуле (8), $f$-многочлен многогранника $GZ(1\ 2^{k}\ 3)$ удовлетворяет рекуррентному соотношению

[TABLE]

Далее, заметим, что многогранники $GZ(1\,2^{k})$ и $GZ(2^{k}\,3)$ комбинаторно эквивалентны (согласно лемме 3.1), причём каждый из них является $k$-мерным симмплексом (согласно пункту 3.1), поэтому

[TABLE]

Явная формула для $f$-многочлена симплекса нам понадобится чуть позже, а пока запишем рекуррентное соотношение для $f$-многочлена многогранника $GZ(1\ 2^{k}\ 3)$ в следующем виде:

[TABLE]

Будем решать его с учётом того, что $f$-многочлен симплекса $GZ(1\ 2^{k})$ нам известен. Итак, соотношение (11) имеет вид $b_{k}=\mu b_{k-1}+\nu a_{k}+1,$ где $b_{k}=f_{GZ(1\ 2^{k}\ 3)}$ и $a_{k}=f_{GZ(1\ 2^{k})}$ – это $f$-многочлены, а $\mu=(1+t)^{2}$ и $\nu=2+2t$ – это коэффициенты, зависящие от $t$. Его общее решение имеет вид:

[TABLE]

Так как $b_{0}=f_{GZ(1\,3)}$ и $a_{j}=\frac{(1+t)^{j+1}-1}{t}$, то

[TABLE]

В нашем случае удобно перейти к многочлену $h_{GZ(1\ 2^{k}\ 3)}(s)=f_{GZ(1\ 2^{k}\ 3)}(s-1)=\sum_{i=0}^{2k+1}h_{i}s^{i}$:

[TABLE]

Перепишем последний многочлен так, чтобы было проще вычислить его коэффициенты

[TABLE]

теперь распишем более подробно последнюю сумму в полученном выражении

[TABLE]

Пример 3.2.

Положим $k=5$ и найдём $h$-многочлен и $h$-вектор многогранника $GZ(1\,2^{5}\,3)$. При заданном значении $k$ формула (15) принимает вид (часть формулы разрезана на ступени, соответствующие значениям $j$ от 1 до 5):

[TABLE]

Мы получили многочлен $11$-ой степени, коэффициенты которого легко считываются по столбцам одинаковых степеней с учётом того, что сумма

[TABLE]

делает вклад равный единице в каждый коэффициент, стоящий при степени с чётным показателем. Итак,

[TABLE]

и соответствующий $h$-вектор $h_{GZ(1\,2^{5}\,3)}=(1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,1).$

Что же ожидает нас в общем случае? Рассмотрим подробнее сумму $\sum_{j=1}^{k}(s^{2k+1-j}+\dots+s^{2k+1-2j})$; понимание её вклада в коэффициенты многочлена (15) даст ответ на поставленный вопрос. При фиксированном значении $j$ слагаемые внутри соответствующей скобки – это степени $s$, показатели которых убывают от $2k+1-j$ до $2k+1-2j$. При увеличении значения $j$ на единицу количество слагаемых в скобке возрастает на один, но при этом наибольшим показателем становится $2k-j$, а наименьшим $2k-2j-1$. Это наблюдение даёт возможность представлять себе рассматриваемую сумму в виде ступеней, каждая из которых соответствует конкретному значению $j$ (подобно тому, как мы делали в примере 3.2). При этом для каждого нечётного числа от $1$ до $2k-1$ и для каждого чётного числа от $2$ до $2k$ несложно вычислить значение $j^{\prime}$, при котором оно возникает в качестве показателя степени впервые (в случае нечётного – у последнего слагаемого, а в случае чётного – у предпоследнего слагаемого в некоторой скобке). Далее заметим, что, степень, появившись в некоторой скобке впервые, в каждой следующей скобке продвигается на одну позицию ближе к началу, причём возможны два варианта:

• •

при некотором значении $j^{\prime\prime}$ она становится старшим членом в скобке и (если $j^{\prime\prime}\neq k$) в последующих скобках уже не появляется,

• •

присутствует во всех последующих скобках (быть может, став старшим членом в последней, соответствующей значению $j=k$).

Так как коэффициенты степеней $s$ в каждой скобке равны единице, то для вычисления коэффициента перед заданной степенью достаточно посчитать количество скобок, в которых она встречается. Рассмотрим отдельно случаи чётного и нечётного показателя.

Найдём $j^{\prime}$ и $j^{\prime\prime}$ для степени $s^{2k-2l}$. Так как $2k+2-2j^{\prime}=2k-2l$, то $j^{\prime}=l+1$. Так как $2k+1-j^{\prime\prime}=2k-2l$, то $j^{\prime\prime}=2l+1$.

Найдём $j^{\prime}$ и $j^{\prime\prime}$ для степени $s^{2k-2l-1}$. Так как $2k+1-2j^{\prime}=2k-2l-1$, то $j^{\prime}=l+1$. Так как $2k+1-j^{\prime\prime}=2k-2l-1$, то $j^{\prime\prime}=2l+2$.

Теперь мы можем вычислить коэффициент перед заданными степенями:

[TABLE]

Подставляя полученные формулы в многочлен (15), получим

[TABLE]

то есть

[TABLE]

для $0\leq j\leq k$

[TABLE]

и для $0\leq j\leq k-1$

[TABLE]

Непосредственное вычисление с использованием полученных формул показывает нам, что компоненты $h$-вектора многогранника $GZ(1\,2^{k}\,3)$, неформально говоря, образуют несимметричную горку, вершиной которой (наибольшей компонентой вектора) является $h_{k+1}$. В рассмотренном примере 3.2 мы получили горку $h_{GZ(1\,2^{5}\,3)}=(1,2,3,4,5,6,7,6,5,4,3,1)$ с вершиной (наибольшей компонентной) $h_{5+1}=h_{6}=7$. Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 3.3**.**

Компоненты $h$-вектора многогранника $GZ(1\,2^{k}\,3)$, имеющего размерность $2k+1$, имеют вид

[TABLE]

[TABLE]

3.4. Вычисление $f$- и $h$-многочленов многогранников $GZ(1\,2\,3^{k})$ и $GZ(2^{2}\,3^{k})$

Теперь рассмотрим серию многогранников $GZ(1\,2\,3^{k})$. В этом случае куб $C$ также может быть задан в координатах неравенствами

[TABLE]

Снова выпишем первые строки многогранников Гельфанда–Цетлина, комбинаторно эквивалентных полным прообразам барицентров граней куба $C$. Пусть барицентр $\widehat{A}$ некоторой грани куба $C$ имеет координаты $(u_{1},u_{2})$, тогда $\pi^{-1}(\widehat{A})\simeq GZ(u_{1}\ u_{2}\ 3^{k-1})$.

В данном случае многогранники, комбинаторно эквивалентные полным прообразам вершин:

[TABLE]

Многогранники, комбинаторно эквивалентные полным прообразам барицентров рёбер:

[TABLE]

Многогранник, комбинаторно эквивалентный полному прообразу барицентра двумерной грани

[TABLE]

Рекуррентное соотношение (8) для $f$-многочлена многогранника $GZ(1\,2\,3^{k})$ выглядит следующим образом

[TABLE]

После приведения подобных слагаемых с учётом комбинаторной эквивалентности симплексов $GZ(1\ 3^{k})$ и $GZ(2\ 3^{k})$, получим

[TABLE]

В полученном рекуррентном соотношении кроме многогранников нашей серии и симплексов Гельфанда–Цетлина появился многогранник из серии $GZ(2^{2}\ 3^{k})$. Пользуясь формулой (8), напишем и для многогранников этой серии рекуррентное соотношение. В этом случае куб $C$ может быть задан в координатах неравенством

[TABLE]

Пусть барицентр $\widehat{A}$ некоторой грани куба $C$ имеет координату $u_{1}$, тогда $\pi^{-1}(\widehat{A})\simeq GZ(2\ u_{1}\ 3^{k-1})$.

Таким образом, многогранники, комбинаторно эквивалентные полным прообразам вершин:

[TABLE]

Многогранник, комбинаторно эквивалентный полному прообразу барицентра ребра:

[TABLE]

Иcкомое рекуррентное соотношение для $f$-многочлена многогранника $GZ(2^{2}3^{k})$ имеет вид

[TABLE]

После приведения подобных слагаемых получим

[TABLE]

Соотношения (18) и (19) образуют систему

[TABLE]

Введём дополнительные обозначения: $d_{k}=f_{GZ(1\,2\,3^{k})}$ , $b_{k}=f_{GZ(2^{2}\,3^{k})}$, $a_{k}=f_{GZ(1\,3^{k})}$, $\mu_{1}=1+3t+t^{2}$, $\mu_{2}=t$, тогда система (20) примет вид

[TABLE]

Перепишем её в матричной форме

[TABLE]

тогда общее решение рассматриваемой системы

[TABLE]

Так как $d_{0}=f_{GZ(1\,2\,3^{0})}=2+t$ и $b_{0}=f_{GZ(2^{2}\,3^{0})}=1$, то

[TABLE]

где

[TABLE]

Для дальнейших вычислений нам будет удобно перейти к $h$-многочленам многогранников $GZ(1\,2\,3^{k})$ и $GZ(2^{2}\,3^{k})$

[TABLE]

где

[TABLE]

Приведём матрицу $M_{s}$ к фробениусовой нормальной форме, это упростит нам возведение в степень

[TABLE]

Несложно доказать по индукции, что

[TABLE]

где последовательность $\{\Phi_{k}\}$ задаётся рекуррентным соотношением

[TABLE]

с начальными условиями $\Phi_{0}=0$ и $\Phi_{1}=1$. Положим также $\Phi_{-1}=\frac{1}{A}$, что обеспечит нам корректное возведение в нулевую степень. В нашем случае $A=-s^{2}$, $B=s^{2}+s$, $\Phi_{k+1}=(s^{2}+s)\Phi_{k}-s^{2}\Phi_{k-1}$, $\Phi_{-1}=-\frac{1}{s^{2}}$. Вычислив производящую функцию

[TABLE]

мы находим общее решение рекуррентного соотношения (24) при $k\geq 0$

[TABLE]

Теперь вернёмся к возведению в степень матрицы $M_{s}$. Вычисления с использованием формулы (23) дают следующий результат

[TABLE]

Сформулируем теперь основной результат этого пункта, нам останется совсем немного сделать, чтобы его доказать.

Теорема 3.4**.**

Пусть $\{\Phi_{k}\}$ последовательность, заданная рекуррентным соотношением (24), для которой мы нашли явную формулу $k$-ого члена (26), тогда

A)формула для $h$-многочлена многогранника $GZ(1\,2\,3^{k})$ имеет вид

[TABLE]

Б) формула для $h$-многочлена многогранника $GZ(2^{2}\,3^{k})$ имеет вид

[TABLE]

Доказательство (окончание).

Подставим (27) в (22). Непосредственно после подстановки мы получим

[TABLE]

[TABLE]

Далее остаётся только привести подобные слагаемые. Заметим в завершении доказательства, что мы доопределили $\Phi_{-1}=\frac{1}{A}=-\frac{1}{s^{2}}$, выйдя из кольца многочленов в поле рациональных функций, но $\Phi_{-1}$ появляется только в формуле (31) и совершенно не мешает $h_{GZ(2^{2}\,3^{k})}(s)$ быть многочленом. ∎

Пример 3.5.

Положим $k=3$ и найдём $h$-многочлен и $h$-вектор для многогранников $GZ(1\,2\,3^{3})$ и $GZ(2\,2\,3^{3})$. При заданном значении $k$ формула (28) принимает вид:

[TABLE]

Обращаясь к рекуррентному соотношению (24), вычислим необходимые нам значения $\Phi_{k}$:

[TABLE]

Итак,

[TABLE]

и соответствующий $h$-вектор $h_{GZ(1\,2\,3^{3})}=(1,2,3,4,6,8,5,1)$. При заданном значении $k$ формула (29) принимает вид:

[TABLE]

Итак,

[TABLE]

и соответствующий $h$-вектор $h_{GZ(2^{2}\,3^{3})}=(1,1,1,2,1)$.

Следствие 3.6**.**

А) Замкнутая формула для производящей функций последовательности \big{(}h_{GZ(1\,2\,3^{k})}(s)\big{)}_{k=0}^{\infty} имеет вид

[TABLE]

Б) Замкнутая формула для производящей функции последовательности \big{(}h_{GZ(2^{2}\,3^{k})}(s)\big{)}_{k=0}^{\infty} имеет вид

[TABLE]

Доказательство.

Правая часть формулы (32) получается раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых в выражении

[TABLE]

где функция $\Phi(z)$ была определена ранее формулой (25). Последующие выкладки доказывают утверждение А:

[TABLE]

Правая часть формулы (33) получается раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых в выражении

[TABLE]

где функция $\Phi(z)$ определена формулой (25). Последующие выкладки доказывают утверждение Б:

[TABLE]

∎

4. Благодарности

Я признательна моему научному руководителю В.А Тиморину за постановку задачи и внимание к работе на всех её этапах, М.Н. Вялому, Н. П. Долбилину и С.П. Тарасову за полезные обсуждения и замечания. Также я очень благодарна моему мужу Сереже Мелихову за поддержку и веру в меня.

Список литературы

• [4]
• [6]
• [8]