Schwarz-Christoffel: piliero en rivero (a pillar on a river)

TL;DR

This paper discusses conformal Schwarz-Christoffel transformations mapping the complex upper half plane to polygonal regions, focusing on coupling upper and lower half-plane maps and applying this to fluid motion analysis.

Contribution

It introduces a method for coupling maps of the upper and lower half-planes in Schwarz-Christoffel transformations with a clear angle definition.

Findings

Effective coupling of upper and lower half-plane maps

Application to fluid motion modeling

Clarification of complex angle definitions

Abstract

La transformoj de Schwarz-Christoffel mapas, konforme, la superan kompleksan duon-ebenon al regiono limigita per rektaj segmentoj. Cxi tie ni priskribas kiel konvene kunigi mapon de la suba duon-ebeno al mapo de la supera duon-ebeno. Ni emfazas la bezonon de klara difino de angulo de kompleksa nombro, por tiu kunigo. Ni diskutas kelkajn ekzemplojn kaj donas interesan aplikon pri movado de fluido. ------- Schwarz-Christoffel transformations map, conformally, the complex upper half plane into a region bounded by right segments. Here we describe how to couple conveniently a map of the lower half plane to the map of the upper half plane. We emphasize the need of a clear definition of angle of a complex, to that coupling. We discuss some examples and give an interesting application for motion of fluid.

Equations

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

$$\Delta u\equiv \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0,\Delta v\equiv \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)=0.$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{C}{(z-x_1{)}^{k_1}(z-x_2{)}^{k_2}\cdots (z-x_n{)}^{k_n}},$$

$$w(z)=C\int \frac{\mathrm{d}z}{(z-x_1{)}^{k_1}(z-x_2{)}^{k_2}\cdots (z-x_n{)}^{k_n}}+K.$$

$$\angle [\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]=\angle C-k_1\angle (z-x_1)-k_2\angle (z-x_2)-\cdots -k_n\angle (z-x_n).$$

$$\angle [\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]=\angle C-\pi \Sigma k_i\mathrm{se}x<x_1;$$

$$\angle [\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]=\angle C\mathrm{se}x>x_n;$$

$$|w_{i+1}-w_i|=|C|\left|{\int }_{x_i}^{x_{i+1}}\frac{\mathrm{d}x}{(x-x_1{)}^{k_1}(x-x_2{)}^{k_2}\cdots (x-x_n{)}^{k_n}}\right|.$$

$$\angle [\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]=\angle C+\pi \Sigma k_i\mathrm{se}x<x_1.$$

$$\angle [\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]=\angle C\mathrm{if}x>x_n;$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{z^{1/2}},\Rightarrow w(z)=2z^{1/2}+K;$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{(z+1{)}^{1/2}(z-1{)}^{1/2}},\Rightarrow w(z)={\cosh }^{-1}(z)+K.$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{(z+1{)}^{2/3}(z-1{)}^{2/3}}\Rightarrow w(z)=-{\mathrm{e}}^{i\pi /3}zF\left(1/2,2/3;3/2;z^2\right)+K,$$

$$F(a,b;c;\zeta )=1+\frac{ab}{c}\zeta +\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\frac{{\zeta }^2}{2!}+\frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)}\frac{{\zeta }^3}{3!}+\cdots .$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{C}{(z+1{)}^{3/4}{z}^{1/2}(z-1{)}^{3/4}}\Rightarrow w(z)=-2C{\mathrm{e}}^{i\pi /4}{z}^{1/2}F\left(1/4,3/4;5/4;z^2\right)+K,$$

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{(z+2{)}^{1/2}(z+1{)}^{-1/2}(z-1{)}^{-1/2}(z-2{)}^{1/2}}={\left(\frac{z^2-1}{z^2-4}\right)}^{1/2}\Rightarrow w(z)=E(z/2,2)+K,\text{mbox}\text{leavevmode}\text{leavevmode}$$

$$E(Z,k)={\int }_0^Z\frac{\sqrt{1-k^2{\zeta }^2}\mathrm{d}\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}.$$

$$a={\int }_1^2\sqrt{\frac{x^2-1}{4-x^2}}\mathrm{d}x\approx 1,3\mathrm{and}b={\int }_{-1}^1\sqrt{\frac{1-x^2}{4-x^2}}\mathrm{d}x\approx 0,8.$$

Full text

Schwarz-Christoffel transformations map, conformally, the complex upper half plane into a region bounded by right segments. Here we describe how to couple conveniently a map of the lower half plane to the map of the upper half plane. We emphasize the need of a clear definition of angle of a complex, to that coupling. We discuss some examples and give an interesting application for motion of fluid.

{Parallel}

[v]

\ParallelLText

1 Enkonduko

\ParallelRText

1 Introduction

\ParallelPar

\ParallelLText

Ni konsideru mapojn de kartezia ebeno $z$, aŭ de regiono el ĝi. Ili asocios, al ĉiu punkto $z=[x,y]$ de la regiono, unu imagan punkton $w=[u,v]$ en kartezia ebeno $w$. \ParallelRTextLet’s consider maps of the cartesian plane $z$, or of a region of it. They will associate, to each point $z=[x,y]$ of the region, an image point $w=[u,v]$ in a cartesian plane $w$.\ParallelPar

\ParallelLText

Niaj mapoj estos tre specialaj: ili estos konfomaj. Per tiuj mapoj, du linioj en ebeno $z$ kiuj krucas je angulo $\alpha$ havos imagojn krucantajn je la sama $\alpha$. Sekvas, ke tiuj transformoj mapas malgrandan geometrian bildon en alia malgranda geometria bildo kun sama formo, tamen ĝenerale kun alia orientiĝo kaj alia grandeco [1, paĝo 541]. Figuro 1 montras mapon konforman kaj alian nekonforman. \ParallelRTextOur maps will be very special: they will be conformal. In these maps, two lines in the plane $z$ crossing with angle $\alpha$ will have images also crossing with $\alpha$. It follows that these transformations map a small geometric figure into another small geometric figure with the same form, though generally with other orientation and other size [1, page  541]. Figure 1 shows a conformal map, and another non-conformal.\ParallelPar

\ParallelLText

Je ajn mapo (konforma aŭ ne), la koordinatoj $u$ kaj $v$ de ĉiu imaga punkto estas funkcioj de koordinatoj $x$ kaj $y$ de la responda antaŭ-imaga punkto: $u=u(x,y)$ kaj $v=v(x,y)$. Demando: kiujn matematikajn propretojn tiuj funkcioj $u$ kaj $v$ havas, tial ke la mapo $[x,y]\rightarrow[u,v]$ estu konforma? Respondo: kondiĉojn de Cauchy-Riemann [2, p. 46], \ParallelRTextUnder any map (conformal or not), the coordinates $u$ and $v$ of each image point are functions of the coordinates $x$ and $y$ of the corresponding pre-image point: $u=u(x,y)$ and $v=v(x,y)$. Question: what mathematical properties these functions $u$ and $v$ have, so that the map $[x,y]\rightarrow[u,\,v]$ be conformal? Answer: the conditions of Cauchy-Riemann [2, p. 46],\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Ekzemple, la mapo $u(x,y)=x^{2}-y^{2},\hskip 2.84526ptv(x,y)\!=2xy$ estas konforma, kontraŭe $u(x,y)=x+y$, $v(x,y)=x-y$ ne estas. \ParallelRTextFor instance, the map $u(x,y)=x^{2}-y^{2}\,,\,\,v(x,y)=2xy$ is conformal, while $u(x,y)=x+y$, $v(x,y)=x-y$ is not.\ParallelPar

\ParallelLText

Oportune, kondiĉoj (1) implicas, ke $u$ kaj $v$ ambaŭ estas harmoniaj funkcioj: \ParallelRTextBy the way, the conditions (1) imply $u$ and $v$ are harmonic, both:\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Se du harmoniaj funkcioj, $u$ kaj $v$, plenumas kondiĉojn (1), oni diras ke $v$ estas harmonia dualo de $u$, kaj ke $u$ estas harmonia dualo de $-v$. Harmoniaj funkcioj havas tre interesajn proprecojn, kaj ni bedaŭras ke ni ne povas haltiĝi por plezuriĝi pri tio [3, p. 508]. \ParallelRTextIf two harmonic functions, $u$ and $v$, obey conditions (1), one says that $v$ is dual harmonic of $u$, and that $u$ is dual harmonic of $-v$. Harmonic functions have very interesting properties, and we regret to have not enough space and time to appreciate them here [3, p. 508].\ParallelPar

\ParallelLText

Ni uzos la kompleksan kalkulon, por faciligi traktadon de konformaj mapoj. Por tio, al ĉiu punkto $z=[x,y]$ de la kartezia ebeno $z$ ni asocios la kompleksan nombron $z=x+i\,y$; same, al ĉiu punkto $w=[u,v]$ de la kartezia ebeno $w$ ni asocios la kompleksan nombron $w=u+i\,v$. Plue, havante paron de ajn realaj funkcioj, $u(x,y)$ kaj $v(x,y)$, ni difinos la kompleksan funkcion $w(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y)$; ĉi tiu funkcio asocias, al ĉiu punkto $[x,y]$ en la ebeno $z$, unu punkton $[u,v]$ en la ebeno $w$. \ParallelRTextWe use the complex calculus, to facilitate handling of conformal maps. To that end, to each point $z=[x,y]$ of the cartesian plane $z$ we associate the complex number $z=x+i\,y$; equally, to each point $w=[u,v]$ of the cartesian plane $w$ we associate the complex number $w=u+i\,v$. Still, having a pair of arbitrary real functions, $u(x,y)$ and $v(x,y)$, we define the complex function $w(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y)$; this function associates, to each point $[x,y]$ of plane $z$, a point $[u,v]$ in plane $w$.\ParallelPar

\ParallelLText

Se funkcio $u(x,y)$ estas harmonia, kaj se $v(x,y)$ estas ĝia harmonia dualo, tiuokaze la funkcio $w(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ estos dirita kompleksa konforma. Okazas, ke se ni anstataŭigas $x$ per $\frac{1}{2}(z+z^{*})$  kaj  $y$ per $\frac{1}{2\,i}(z-z^{*})$ en la kompleksa konforma funkcio $w(x,y)$, ni aperigos la analitikan funkcion $w(z)$, libera de $z^{*}$ (la konjugaĵon de $z$). \ParallelRTextIf the function $u(x,y)$ is harmonic, and if $v(x,y)$ is its dual harmonic, then the function $w(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ is told complex conformal. It happens that, if we substitute $x\rightarrow\frac{1}{2}(z+z^{*})$  and  $y\rightarrow\frac{1}{2\,i}(z-z^{*})$ in the complex conformal function $w(x,y)$, we make appear the analytical function $w(z)$, exempt of $z^{*}$ (the complex conjugate of $z$).\ParallelPar

\ParallelLText

Ni memoru, ke iu kompleksa nombro $\Omega$ skribiĝas en polara formo kiel $\Omega=\rho\,{\rm e}^{i\,\alpha}$, estante $\rho$ reala ne-negativa. La angulo $\alpha$, ankaŭ reala, indikas la orientiĝon de la vektoro $0\rightarrow\Omega$ en la kompleksa ebeno. En ĉi tiu teksto ni konvencias $\alpha\in(-\pi,\,\pi\,]$ kaj skribas $\alpha\,=\,$∠ $\Omega$. \ParallelRTextWe remember that a complex number $\Omega$ is written in polar form as $\Omega=\rho\,{\rm e}^{i\,\alpha}$, with $\rho$ real non-negative. The angle $\alpha$, also real, indicates the orientation of the vector $0\rightarrow\Omega$ in the complex plane. In this text we agree $\alpha\in(-\pi,\,\pi\,]$ and write $\alpha\,=\,$∠ $\Omega$.\ParallelPar

\ParallelLText

Ni ankaŭ memoru, ke se $\Omega=\Omega_{1}\Omega_{2}\,$, tio estas, $\rho\,{\rm e}^{i\,\alpha}=(\rho_{1}\,{\rm e}^{i\,\alpha_{1}})(\rho_{2}\,{\rm e}^{i\,\alpha_{2}})$, tiel $\rho=\rho_{1}\rho_{2}$ kaj $\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$; se ĉi tiu sumo estas ekstere la intervalo $(-\pi,\,\pi\,]$, ni devos adicii aŭ subtrahi $2\pi$, por havi la konvenciitan $\alpha$. \ParallelRTextWe also remember that if $\Omega=\Omega_{1}\Omega_{2}\,$, that is, $\rho\,{\rm e}^{i\,\alpha}=(\rho_{1}\,{\rm e}^{i\,\alpha_{1}})(\rho_{2}\,{\rm e}^{i\,\alpha_{2}})$, then $\rho=\rho_{1}\rho_{2}$ and $\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$; if this sum is out the interval $(-\pi,\,\pi\,]$, we must add or subtract $2\pi$, to have the $\alpha$ agreed.\ParallelPar

\ParallelLText

2 Schwarz-Christoffel

\ParallelRText

2 Schwarz-Christoffel

\ParallelPar

\ParallelLText

Gravan familion, SC, de analitikaj mapoj $w(z)$ studis Schwarz kaj Christoffel, sendepende. Por priskribi ĝin, ni komencas kun difino: funkcio $w(z)$ estas dirita SC se ĝia derivaĵo havas formon [1, p. 550] \ParallelRTextSchwarz and Christoffel, independently, studied an important family (SC) of analytical maps $w(z)$. To describe it, we start with a definition: a function $w(z)$ is said SC if its derivative has the form [1, p. 550]\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

kie $C$ estas kompleksa aŭ reala konstanto, kaj $x_{i}$ kaj $k_{i}$ estas realaj konstantoj. Notu ke $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ estas analitika, kaj ke punktoj $x_{i}$, en reala akso de ebeno $z$, estas singularaj punktoj por la funkcio (3); pli specife, ili kutime estos branĉ-punktoj. \ParallelRTextwhere $C$ is a constant complex or real, and the $x_{i}$ and $k_{i}$ are real constants. Note that $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ is analytical, and that the points $x_{i}$, in the real axis of plane $z$, are singular points for the function (3); more specifically, they will generally be branch points.\ParallelPar

\ParallelLText

La funkcio $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ determinas en ebeno $w$ la formon (angulojn kaj distancojn) de la imago de ajn figuro en ebeno $z$. La funkcio indikas ankaŭ la orientiĝon de la imago, sed ne indikas la lokon de la imago en ebeno $w$. Vidu figuron 2. \ParallelRTextThe function $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ determines, in the plane $w$, the form (angles and distances) of the image of any figure in the plane $z$. The function also indicates the orientation of the image, but does not indicate the localization of the image in the plane $w$. See figure 2.\ParallelPar

\ParallelLText

La mapo $w(z)$ estas havita per malderivo de (3), kaj adicio de nova kompleksa konstanto, $K$: \ParallelRTextThe map $w(z)$ is obtained by indefinite integration of (3), and addition of a new complex constant, $K$:\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Ekv. (4) elektas, el la nefinia kvanto de eblaj solvoj de (3), tion kion ni volas. \ParallelRTextThe eq. (4) selects, from the infinity of possible solutions of (3), the one that we want.\ParallelPar

\ParallelLText

En figuro 3, la punkto $x_{i}$ estas en la akso $x$; notu, ke se la punkto $z$ estas en la supera duon-ebeno de $z$, tio estas, $\Im(z)>0$, tial ĉiam okazos $0<\angle(z-x_{i})<\pi$; kaj notu, ke se $z$ estas en la suba duon-ebeno, t.e., $\Im(z)<0$, tial ĉiam okazos $-\pi<\angle(z-x_{i})<0$. Tiuj asertoj veriĝas se nur la konvencio uzita estas $\alpha\in(-\pi,\,\pi\,]$. \ParallelRTextIn figure 3, the point $x_{i}$ is in the $x$-axis; note that if a point $z$ is in the upper half-plane of $z$, that is, $\Im(z)>0$, it always happens $0<\angle(z-x_{i})<\pi$; and note that if $z$ is in the lower half-plane, that is, $\Im(z)<0$, it always happens $-\pi<\angle(z-x_{i})<0$. These assertions are true only if the convention used is $\alpha\in(-\pi,\,\pi\,]$.\ParallelPar

\ParallelLText

Ni konvencias, ke la $x_{i}$ estu aranĝitaj tiel ke $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}$ , kaj ni limigas nian studon al okazoj $-2\leq k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}\leq 2$ . \ParallelRTextWe agree that the $x_{i}$ be ordinated so that $x_{1}\!<\!x_{2}\!<\!\cdots\!<\!x_{n}$ , and we limit our study to the cases $-2\leq k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}\leq 2$ .\ParallelPar

\ParallelLText

En la du sekvantaj sekcioj ni montros, ke ĉiu SC mapas orientitan horizontalan rekton $R^{+}$, kuŝanta iomete super linio $y=0$, en orientita linio farita de rektaj segmentoj, en la ebeno $w$. Plue, tiu sama esprimo $w(z)$ mapas orientitan horizontalan rekton $R^{-}$, kuŝanta iomete sub linio $y=0$, en alia linio ankaŭ farita de rektaj segmentoj. Ni opinias, ke la analizo de la mapoj de $R^{+}$ kaj de $R^{-}$ estas la kulmino de la studo de transformoj de Schwarz-Christoffel. \ParallelRTextIn the next two sections we show that every SC maps an oriented horizontal straight line $R^{+}$, laying slightly above the line $y=0$, into an oriented line made of straight segments, in the plane $w$. More, that same expression $w(z)$ maps an oriented horizontal straight line $R^{-}$, laying slightly below the line $y=0$, into another oriented line also made of straight segments. In our opinion, the analysis of the maps of $R^{+}$ and of $R^{-}$ is the highest point in the study of Schwarz-Christoffel transformations.\ParallelPar

\ParallelLText

Indas rememori, ke ‘ĉiuj punktoj’ en ne-finio en kompleksaj ebenoj estas unu sola punkto, skribita $\infty$. En nia teksto, la imago de tiu punkto $z=\infty$ estos skribita $w_{\infty}$. En la mapo de la supera duon-ebeno, la imago de najbaro de punkto $x_{i}$ skribiĝos $w_{i}$, kontraŭe en la mapo de suba duon-ebeno ĝi skribiĝos $W_{i}$. \ParallelRTextIt is worth remember that ‘all the points’ at infinity in complex planes are one single point, written $\infty$. In our text, the image of this point $z=\infty$ will be written $w_{\infty}$. In the map of the upper half-plane, the image of the neighborhood of a point $x_{i}$ will be written $w_{i}$, while in the map of the lower half-plane it will be written $W_{i}$.\ParallelPar

\ParallelLText

3 Mapo SC de rekto $R^{+}$

\ParallelRText

3 Map of straight line $R^{+}$

\ParallelPar

\ParallelLText

Ni nun priskribos la mapon de la supera duon-ebeno de $z$, farita per elektita funkcio SC. Tiu duon-ebeno enhavas nur punktojn kun $y>0$, do ĝi ne enhavas la realan akson $y=0$. Ni unue serĉas la formon de la imago, per $w(z)$, de horizontala rekto $R^{+}$ kuŝanta infinitezime super la rekto $y=0$ de la ebeno $z$. Por tio, ni supozas punkton $z$ iranta en la rekto $z=x+i\,\epsilon$, estante $\epsilon$ pozitiva infinitezimo, de $x=-\infty$ al $x=+\infty$, kiel figuro 4 montras. Kaj ni konstruos la imagon $w(R^{+})$ de tiu movado, en la ebeno $w$. \ParallelRTextWe shall now describe the map of the upper half-plane of $z$, made by a selected function SC. This half-plane contains only points with $y>0$, so it does not contain the real axis $x$. We first search the form of the image, under $w(z)$, of a horizontal straight line $R^{+}$ laying infinitesimally above the line $y=0$ of the plane $z$. To that end, we suppose a point $z$ going along the straight line $z=x+i\,\epsilon$, with $\epsilon$ a positive infinitesimal, from $x=-\infty$ to $x=+\infty$, as figure 4 shows. And we shall construct the image $w(R^{+})$ of that motion, in the plane $w$.\ParallelPar

\ParallelLText

Komence ni konsideras la angulojn de ambaŭ flankoj de la derivaĵo (3), elektante (tio gravas!) la valoron $k_{i}$∠$(z-x_{i})$ por la angulo ∠$(z-x_{i})^{k_{i}}$ : \ParallelRTextWe initially consider the angles of both sides of the derivative (3), choosing (this is important!) the value $k_{i}$∠$(z-x_{i})$ for the angle ∠$(z-x_{i})^{k_{i}}$ :\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Dum $z=x+i\,\epsilon$ trakuras de $x=-\infty$ al tre proksima al $x_{1}$, ĉiuj anguloj $\angle(z-x_{i})$ en (5) valoras $\pi$, do \ParallelRTextWhile $z=x+i\,\epsilon$ goes from $x=-\infty$ to very near $x_{1}$, all angles $\angle(z-x_{i})$ in (5) are $\pi$, so\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

tial ∠$[\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]$ estas konstanta en la intervalo $x\in(-\infty,\,x_{1})$. Tio implicas, ke la imaga kurbo $w(z)$ estu rekta segmento en la komenca peco $w_{\infty}\rightarrow w_{1}$, kun orientiĝo $\alpha_{0}=\angle C-\pi\,\Sigma k_{i}$. La apendico A pravigas tiun valoron por la orientiĝo. \ParallelRTextthus ∠$[\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z]$ is constant in the interval $x\in(-\infty,\,x_{1})$. This implies that the image line $w(z)$ be a straight segment in the initial part $w_{\infty}\rightarrow w_{1}$, with orientation $\alpha_{0}=\angle C-\pi\,\Sigma k_{i}$. The appendix A justifies this value for the orientation.\ParallelPar

\ParallelLText

Figuroj 4 kaj 5 montras, ke kiam $z$ pasas super $x_{1}$, la angulo ∠$(z-x_{1})$ bruske malkreskas de $\pi$ al nulo, kontraŭe la aliaj anguloj ∠$(z-x_{i})$ ne ŝanĝas; tio okazigas bruskan ŝanĝon $k_{1}\pi$ de la direkto de $w(R^{+})$ en punkto $w_{1}$. Notu, ke tiu ŝanĝo estas pozitiva se $k_{1}>0$, kaj estas negativa se $k_{1}<0$. \ParallelRTextFigures 4 and 5 show that, when $z$ overpasses $x_{1}$, the angle ∠$(z-x_{1})$ abruptly decreases from $\pi$ to zero, while the other angles ∠$(z-x_{i})$ do not change; this causes an abrupt change $k_{1}\pi$ of the direction of the image $w(R^{+})$ at point $w_{1}$. Note that this change is positive if $k_{1}>0$, and is negative if $k_{1}<0$.\ParallelPar

\ParallelLText

Post $z$ pasas super $x_{1}$ kaj iras en la direkto de $x_{2}$, ĉiuj anguloj $\angle(z-x_{i})$ estas konstantaj; tio farigas, ke la imago $w_{1}\rightarrow w_{2}$ denove estu rekta segmento. \ParallelRTextAfter $z$ overpasses $x_{1}$ and proceeds in the direction to $x_{2}$, all angles $\angle(z-x_{i})$ are constant; this makes the image $w_{1}\rightarrow w_{2}$ again be a straight segment.\ParallelPar

\ParallelLText

Resume, la paso de $z$ super iu $x_{i}$ faras la orientiĝon de la nova rekta segmento en ebeno $w$ ŝanĝi $k_{i}\pi$ relative al la orientiĝo de la antaŭa segmento [1, p. 552]. \ParallelRTextSumming up, the passing of $z$ over any $x_{i}$ makes the orientation of the new straight segment in the plane $w$ change $k_{i}\pi$ relatively to the orientation of the previous segment [1, p. 552].\ParallelPar

\ParallelLText

Fine, post $z$ pasas super $x_{n}$, la lasta $x_{i}$ de la sinsekvo, okazas ke ĉiuj anguloj $\angle(z-x_{i})$ estas nulaj, do \ParallelRTextAt the end, after $z$ overpasses $x_{n}$, the last $x_{i}$ of the sequence, all angles $\angle(z-x_{i})$ are null, so\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

tio signifas, ke la orientiĝo de la imaga kurbo $w(z)$ de la rekto $R^{+}$ en la fina peco $w_{n}\rightarrow w_{\infty}$ estas $\alpha_{n}=\angle C$. Vidu figuron 5. \ParallelRTextthis means that the orientation of the image line $w(z)$ of the straight line $R^{+}$ in the final part $w_{n}\rightarrow w_{\infty}$ is $\alpha_{n}=\angle C$. See figure 5.\ParallelPar

\ParallelLText

Havante ĉiujn ŝanĝojn $k_{i}\pi$ de orientiĝo de tiu imaga kurbo, ni konsideru 4 malsamajn tipojn de mapo $w(R^{+})$, laŭ la valoro $|\Sigma\,k_{i}\pi|$ estu plieta ol $\pi$, egala al $\pi$, inter $\pi$ kaj $2\pi$, aŭ egala al $2\pi$: \ParallelRTextHaving all changes $k_{i}\pi$ of orientation of that image curve, let’s consider 4 different types of map $w(R^{+})$, according the value $|\Sigma\,k_{i}\pi|$ is less than $\pi$, equal to $\pi$, between $\pi$ and $2\pi$, or equal to $2\pi$:\ParallelPar

\ParallelLText

$\bullet$ tipo a: se $|\Sigma\,k_{i}|<1$ ;

$\bullet$ tipo b: se $|\Sigma\,k_{i}|=1$ ;

$\bullet$ tipo c: se $1<|\Sigma\,k_{i}|<2$ ; kaj

$\bullet$ tipo d: se $|\Sigma\,k_{i}|=2$ .

Figuro 6 montras unu imagon por ĉiu tipo, kaj sekcioj de 5 al 8 donos unu ekzemplon de ĉiu tipo. \ParallelRText$\bullet$ type a: if $|\Sigma\,k_{i}|<1$ ;

$\bullet$ type b: if $|\Sigma\,k_{i}|=1$ ;

$\bullet$ type c: if $1<|\Sigma\,k_{i}|<2$ ; and

$\bullet$ type d: if $|\Sigma\,k_{i}|=2$ .

Figure 6 shows one image for each type, and sections from 5 to 8 will give one example of each type.\ParallelPar

\ParallelLText

Por kompletigi la imagon de la rekto $R^{+}$, ni nun kalkulas la longojn de la rektaj segmentoj, uzante (4), \ParallelRTextTo complete the image of the straight line $R^{+}$, we now calculate the lengths of the straight segments, using (4),\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Ĉar la funkcio $w(z)$ estas kontinua, la imagoj de la aliaj rektoj $y=$ konst $>0$ najbaraj al rekto $y=0$ estas similaj al la imago de rekto $R^{+}$, kiel ni konstatos en sekcioj de 5 al 8. \ParallelRTextSince the function $w(z)$ is continuous, the images of the other straight lines $y=$ const $>0$ neighbor to the straight line $y=0$ are similar to the image of $R^{+}$, as we shall verify in sections from 5 to 8.\ParallelPar

\ParallelLText

4 Mapo SC de rekto $R^{-}$

\ParallelRText

4 Map of straight line $R^{-}$

\ParallelPar

\ParallelLText

Nun ni havigu la mapon de suba duon-ebeno de $z$ uzante la saman esprimon (4) uzita por la supera duon-ebeno. Simile kiel antaŭe, ni komence serĉas la imagon de horizontala rekto $R^{-}$ kuŝanta je infinitezime negativa ordinato $-\epsilon$ de ebeno $z$. Vidu figuron 7. \ParallelRTextLet’s now get the map of the lower half-plane of $z$ using the same expression (4) used for the upper half-plane. Similarly as before, we initially search the image of a horizontal straight line $R^{-}$ laying in negative infinitesimal ordinate $-\epsilon$ of plane $z$. See figure 7.\ParallelPar

\ParallelLText

Ni nun supozas punkton $z=x-i\,\epsilon$ iranta dekstren en rekto $R^{-}$, ekde $x=-\infty$. Inter $x=-\infty$ kaj $x=x_{1}$ ĉiuj anguloj ∠$(z-x_{i})$ valoras $-\pi$, do la imago de komenca peco havas la konstantan orientiĝon (5) \ParallelRTextWe now suppose a point $z=x-i\,\epsilon$ going rightwards in the straight line $R^{-}$, since $x=-\infty$. Between $x=-\infty$ and $x=x_{1}$ all angles ∠$(z-x_{i})$ are $-\pi$, so the image of the initial part of $R^{-}$ has orientation (5) constant\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Kiam $z$ pasas sub $x_{1}$, la angulo de $(z-x_{1})$ bruske kreskas de $-\pi$ al nulo, kontraŭe la anguloj de la aliaj $(z-x_{i})$ ne ŝanĝas; tio implicas ŝanĝon $-k_{1}\pi$ de orientiĝo de $w(R^{-})$ en punkto $W_{1}$. Ni notas, ke tiu ŝanĝo havas saman absolutan valoron, sed kontraŭan signumon, al la ŝanĝo en la responda imaga punkto $w_{1}$ de rekto $R^{+}$. \ParallelRTextWhen $z$ passes under $x_{1}$, the angle of $(z-x_{1})$ abruply increases from $-\pi$ to zero, while the angles of the other $(z-x_{i})$ do not change; this implies a change $-k_{1}\pi$ in the orientation of $w(R^{-})$ at point $W_{1}$. We note that this change has same absolute value, but opposite sign, as that of the change in the corresponding image point $w_{1}$ of straight line $R^{+}$.\ParallelPar

\ParallelLText

Daŭrigante ni konstatas, ke en ĉiu imaga punkto $W_{i}$ de rekto $R^{-}$ la ŝanĝo de orientiĝo havas saman absolutan valoron, sed kontraŭan signumon, al de la responda imaga punkto $w_{i}$ de rekto $R^{+}$. Post $z$ pasas sub $x_{n}$, ĉiuj anguloj ∠$(z-x_{i})$ estas nulaj, do (5) reskribiĝas \ParallelRTextProceeding, we see that at every image point $W_{i}$ of the straight line $R^{-}$ the change of direction has same absolute value, but opposite sign, as that on the corresponding image point $w_{i}$ of straight line $R^{+}$. After $z$ passes under $x_{n}$, all angles $\angle(z-x_{i})$ are null, so (5) rewrites\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

tial ni vidas, ke la orientiĝo de la fina peco $W_{n}\rightarrow w_{\infty}$ de la imaga kurbo de rekto $R^{-}$ valoras $\angle C$. Tiu valoro koincidas kun la orientiĝo (7) de la fina peco $w_{n}\rightarrow w_{\infty}$ de la imago de rekto $R^{+}$. \ParallelRTextthus we see that the orientation of the final part $W_{n}\rightarrow w_{\infty}$ of the image of straight line $R^{-}$ is $\angle C$. This value coincides with the orientation (7) of the final part $w_{n}\rightarrow w_{\infty}$ of the image of straight line $R^{+}$.\ParallelPar

\ParallelLText

Per analizo de (8) ni konstatas, ke ĉiu longo $\;|W_{i+1}-W_{i}|\;$ egalas la respondan longon $|w_{i+1}-w_{i}|$. Do, la formo de imago de rekto $R^{-}$ haviĝas per iu reflekto de la imago de rekto $R^{+}$. Ĉar la orientiĝoj de la imagoj de peco $x_{n}\rightarrow\infty$ en rektoj $R^{+}$ kaj $R^{-}$ koincidas (ambaŭ estas $\alpha_{n}=\angle C$), tial la reflekto okazas paralele al fina rekta peco $w_{n}\rightarrow w_{\infty}$ . Vidu figuron 8. \ParallelRTextBy analysis of (8) we see that each size $|W_{i+1}-W_{i}|$ equals the corresponding size $|w_{i+1}-w_{i}|$. Thus, the form of the image of straight line $R^{-}$ is obtained via some reflection of the image of straight line $R^{+}$. Since the orientations of the images of the part $x_{n}\rightarrow\infty$ in straight lines $R^{+}$ and $R^{-}$ coincide (both are $\alpha_{n}=\angle C$), the reflection occurs parallel to the final straight part $w_{n}\rightarrow w_{\infty}$ . See figure 8.\ParallelPar

\ParallelLText

La sekvantaj kvar sekcioj prezentas ekzemplojn de la kvar tipoj de transformo $w(z)$ priskribitaj en sekcio 3. Sekcio 9 prezentas praktikan aplikon. \ParallelRTextThe next four sections give examples of the four types of transformation $w(z)$ described in section 3. Section 9 presents a practical application.\ParallelPar

\ParallelLText

5 Ekzemplo de tipo a

\ParallelRText

5 An example of type a

\ParallelPar

\ParallelLText

Se en (3) ni elektas $n=1$ , $C=1$ , $x_{1}=0$ , $k_{1}=1/2$ , ni havos \ParallelRTextIf in (3) we choose $n=1$ , $C=1$ , $x_{1}=0$ , $k_{1}=1/2$ , we shall have\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

elektante $K=0$, ni havigas imagojn $w(z)$ kiel en figuro 9 . \ParallelRTextchoosing $K=0$, we obtain images $w(z)$ as in figure 9 . \ParallelPar

\ParallelLText

En figuro 9b ni vidas, ke la imago de $R^{+}$ trakuras de $v=+\infty$ al origino, poste iras al $u=+\infty$; ni vidas ankaŭ, ke la imago de $R^{-}$ trakuras de $v=-\infty$ al origino, poste iras al $u=+\infty$. Notu, en figuro 9d, ke imagoj de rektoj $x=\,{\rm konst\,}<0$ estas malkontinuaj, kaj notu ke la imago de rekto $x=0$ estas zigzaga en punkto $w_{1}$ ; kaj fine notu ke imagoj de rektoj $x=\,{\rm konst}\,>0$ estas kontinuaj kaj ne-zigzagaj. Kontraŭe, la imagoj de ĉiuj horizontalaj rektoj ($y={\rm konst}$) estas kontinuaj; tio estos tre interesa kiam ni uzos tiajn mapojn por priskribi fluadon de likvoj, kiel en sekvantaj sekciojn. \ParallelRTextIn figure 9b we see that the image of $R^{+}$ runs from $v=+\infty$ till the origin, then goes to $u=+\infty$; we also see that the image of $R^{-}$ runs from $v=-\infty$ till the origin, then goes to $u=+\infty$. Note, in figure 9d, that the images of the lines $x=\,{\rm const\,}<0$ are discontinuous, and note that the image of the line $x=0$ brakes at point $w_{1}$; further note that the images of the lines $x=\,{\rm const}\,>0$ are continuous and do not brake. Oppositely, the images of all horizontal lines ($y={\rm const}$) are continuous; this will be very interesting when we shall use such maps to describe flow of liquids, as in sections to follow.\ParallelPar

\ParallelLText

Eble interesas akompani, paŝo post paŝo, konforman mapon ekde komenca formo ĝis la fina formo. Figuro 10 skizas kvar imagojn, per $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z=1/z^{k_{1}}$, de horizontalaj rektoj $y=\,$konst, por $k_{1}$ kreskanta ekde [math] ĝis $1/2$. \ParallelRTextIt is perhaps interesting to follow, step by step, a conformal map since the initial form till the final one. Figure 10 sketches four images, for $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z=1/z^{k_{1}}$, of horizontal lines $y=\,$const, for $k_{1}$ increasing from [math] to $1/2$.\ParallelPar

\ParallelLText

6 Ekzemplo de tipo b

\ParallelRText

6 An example of type b

\ParallelPar

\ParallelLText

En (3), kun $n=2$ , $C=1$ , $x_{1}=-1$ , $x_{2}=1$ , $k_{1}=k_{2}=\frac{1}{2}$, ni havigas \ParallelRTextIn (3), with $n=2$ , $C=1$ , $x_{1}=-1$ , $x_{2}=1$ , $k_{1}=k_{2}=\frac{1}{2}$, we obtain\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Ni elektas $K=0$ kaj havas imagojn kiel en figuroj 11 kaj 12. \ParallelRTextWe choose $K=0$ and have images as in figures 11 and 12.\ParallelPar

\ParallelLText

En figuro 11 ni vidas, ke la  imago  de  $R^{+}\,$ venas  horizontale  de $u=+\infty$ ĝis $u=0$, kun $v=\pi$, daŭrigas en la akso $v$ ĝis la origino, poste iras horizontale al $u=+\infty$ en la akso $u$. La imago de $R^{-}$ venas horizontale de $u=+\infty$ ĝis $u=0$, kun $v=-\pi$, daŭrigas en la akso $v$ ĝis la origino, kaj iras horizontale al $u=+\infty$ en la akso $u$. Tiel, la imago de $R^{+}$ kaj $R^{-}$ kun $x>x_{2}$ koincidas je la pozitiva parto de akso $u$. \ParallelRTextIn figure 11 we see that the image of $R^{+}$ comes horizontally from $u=+\infty$ till $u=0$, with $v=\pi$, stays in the axis $v$ till the origin, then goes horizontally to $u=+\infty$ in the axis $u$. The image of $R^{-}$ comes horizontally from $u=+\infty$ till $u=0$, with $v=-\pi$, stays in the axis $v$ till the origin, then goes horizontally to $u=+\infty$ in axis $u$. Thus the images of $R^{+}$ and $R^{-}$ with $x>x_{2}$ coincide in the positive part of $u$-axis.\ParallelPar

\ParallelLText

Kiel en antaŭa ekzemplo (tipo a), ĉiuj horizontaj rektoj en ebeno $z$ havas kontinuajn imagojn, kiel montras figuro 11. Denove, ne ĉiuj vertikalaj rektoj en ebeno $z$ havas kontinuajn imagojn, kiel montras figuro 12; nur imagoj de rektoj kun $x\geq 1$ estas kontinuaj. \ParallelRTextSimilarly as in the previous example (type a), all horizontal lines in plane $z$ have continuous images, as figure 11 shows. And again, not all vertical lines in plane $z$ have continuous image, as figure 12 shows; only the images of vertical lines with $x\geq 1$ are continuous.\ParallelPar

\ParallelLText

7 Ekzemplo de tipo c

\ParallelRText

7 An example of type c

\ParallelPar

\ParallelLText

Se en (3) ni elektas $n=2$ , $C=1$ , $x_{1}=-1$ , $x_{2}=1$ , $k_{1}=k_{2}=\frac{2}{3}$ , ni havos \ParallelRTextIf in (3) we choose $n=2$ , $C=1$ , $x_{1}=-1$ , $x_{2}=1$ , $k_{1}=k_{2}=\frac{2}{3}$ , we shall have\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

kie $F$ estas la hipergeometria funkcio donata per la serio de Taylor [1, p. 179] \ParallelRTextwhere $F$ is the hypergeometric function given by the Taylor series [1, p. 179]\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Plue, elektante la konstanto $K=\alpha\,{\rm e}^{i\,2\pi/3}$ kun $\alpha=F\left(\,\frac{1}{2}\>,\,\frac{2}{3}\>;\,\frac{3}{2}\>;\,1\right)\approx 2,1$ ni havigas, post iun da kalkuloj, $w_{2}=-w_{\infty}$ kaj la mapojn montritajn en figuroj 13 kaj 14. \ParallelRTextFurther choosing constant $K=\alpha\,{\rm e}^{i\,2\pi/3}$ with $\alpha=F\left(\,\frac{1}{2}\>,\,\frac{2}{3}\>;\,\frac{3}{2}\>;\,1\right)\approx 2,1$ we obtain, after some calculus, $w_{2}=-w_{\infty}$ and the maps shown in figures 13 and 14.\ParallelPar

\ParallelLText

En figuro 13 ni vidas, ke la imagoj de $R^{+}$ kaj de $R^{-}$ estas du egallateraj trianguloj. La horizontalaj lateroj koincidas, kaj estas la imagoj de $R^{+}$ kaj $R^{-}$ kun $x>x_{2}$. \ParallelRTextIn figure 13 we see that the images of $R^{+}$ and $R^{-}$ are two equilateral triangles. The horizontal sides coincide, and are the images of $R^{+}$ and $R^{-}$ with $x>x_{2}$.\ParallelPar

\ParallelLText

Kiel en antaŭaj du ekzemploj, ĉiu horizontala rekto en ebeno $z$ havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 13. Denove, ne ĉiu vertikala rekto havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 14. \ParallelRTextSimilarly as in the previous two examples, every horizontal straight line in plane $z$ has continuous image, as figure 13 shows. And again, not all vertical straight lines in plane $z$ have continuous image, as figure 14 shows.\ParallelPar

\ParallelLText

8 Ekzemplo de tipo d

\ParallelRText

8 An example of type d

\ParallelPar

\ParallelLText

Se en (3) kun $n=3$ ni uzos $x_{1}=-1$ , $x_{2}=0$ , $x_{3}=1$ , $k_{1}=\frac{3}{4}$ , $k_{2}=\frac{1}{2}$ , kaj $k_{3}=\frac{3}{4}$ , ni havos \ParallelRTextIf in (3) with $n=3$ we use $x_{1}=-1$ , $x_{2}=0$ , $x_{3}=1$ , $k_{1}=\frac{3}{4}$ , $k_{2}=\frac{1}{2}$ , and $k_{3}=\frac{3}{4}$ , we shall have\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

estante $K$ konstanto, kaj estante $F$ la hipergeometria funkcio kiel en (14). Ni elektas $C=1$ kaj $K=i\,\sqrt{2}\,F(\,\frac{1}{4},\;\frac{3}{4}\,;\frac{5}{4}\,;\,1)\approx 2,62\,i$, kaj havigas imagojn kiel en figuroj 15 kaj 16. \ParallelRTextbeing $K$ a constant and being $F$ the hypergeometric function as in (14). We choose $C=1$ and $K=i\,\sqrt{2}\,F(\,\frac{1}{4},\;\frac{3}{4}\,;\frac{5}{4}\,;\,1)\approx 2,62\,i$, and obtain images as in figures 15 and 16.\ParallelPar

\ParallelLText

En figuro 15 vidu, ke la imagoj de $R^{+}$ kaj $R^{-}$ estas ortaj trianguloj. La horizontalaj hipotenuzoj koincidas, kaj estas la imagoj de $R^{+}$ kaj $R^{-}$ kun $x<x_{1}$ kaj $x>x_{3}$. \ParallelRTextIn figure 15, see that the images of $R^{+}$ and $R^{-}$ are rectangular triangles. The horizontal hypotenuses coincide, and are the images of $R^{+}$ and $R^{-}$ with $x<x_{1}$ and $x>x_{3}$.\ParallelPar

\ParallelLText

Kiel en antaŭaj tri ekzemploj, ĉiu horizontala rekto en ebeno $z$ havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 15. Denove, ne ĉiu vertikala rekto en ebeno $z$ havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 16. \ParallelRTextSimilarly as in the previous three examples, every horizontal line in plane $z$ has continuous image, as figure 15 shows. And again, not all vertical lines in plane $z$ have continuous image, as figure 16 shows.\ParallelPar

\ParallelLText

9 Piliero en rivero

\ParallelRText

9 A pillar in a river

\ParallelPar

\ParallelLText

En figuroj de 9 al 15 ni vidas, ke la imago, en ebeno $w$, de linioj $y={\rm konst}$ el ebeno $z$, similiĝas al linioj de fluo de iu fluido. Tiu simileco ne estas akcidenta: vere, baza literaturo [1, p. 313] montras ke SC mapo generas liniojn de fluo de fluido limigita per rektaj segmentoj. Ni nun prezentas ekzemplon de mapo SC, kiu simulas la movadon de akvo en kanalo kun ortangula piliero en ĝia bordo; la dimensioj de tiu piliero estas malgrandaj kompare al la larĝo de la kanalo. Ni perceptos, en figuro 17, ke ĉi tiu ekzemplo taŭgas ankaŭ por piliero en mezo de kanalo. \ParallelRTextIn figures from 9 to 15 we see that the image of the horizontal lines $y={\rm const}$, in plane $w$, resemble lines of flow of some fluid. This resemblance is not accidental: indeed, basic texts [1, p. 313] show that an SC map generates lines of flow of fluid bounded by straight segments. We now present an example of SC map which simulates the motion of water in a channel with a rectangular pillar on its boundary; the dimensions of this pillar are small in comparison with the width of the channel. We shall perceive, in figure 17, that this example serves also for a pillar in the middle of a channel.\ParallelPar

\ParallelLText

Por havi la ortan formon ni uzas kvar ortangulojn: $k_{1}=k_{4}=1/2$ kaj $k_{2}=k_{3}=-1/2$. Ni elektas konvenajn $x_{i}$ kaj $C$: $x_{1}=-2$ , $x_{2}=-1$ , $x_{3}=1$ , $x_{4}=2$ , $C=1$. Tiel (3) donas \ParallelRTextTo have the rectangular form we use four right angles: $k_{1}=k_{4}=1/2$ and $k_{2}=k_{3}=-1/2$. We choose convenient $x_{i}$ and $C$: $x_{1}=-2$ , $x_{2}=-1$ , $x_{3}=1$ , $x_{4}=2$ , $C=1$. So (3) gives\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

kie $E$ estas la nekompleta eliptika integralaĵo de dua tipo [4, p. 170], \ParallelRTextwhere $E$ is the incomplete elliptical integral of second type [4, p. 170],\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

La grandoj $a:=v_{2}-v_{1}$ kaj $b:=u_{3}-u_{2}$ de la piliero estas \ParallelRTextThe dimensions $a:=v_{2}-v_{1}$ and $b:=u_{3}-u_{2}$ of the pillar are\ParallelPar

[TABLE]

\ParallelLText

Figuro 17 respondas al valoro $K=1,3\,i$ en ekv. (16), kaj montras imagojn de kelkaj horizontalaj kaj vertikalaj rektoj en ebeno $z$. Tiu figuro estas pripensebla je du eblecoj: piliero je mezo de kanalo, kaj piliero ĉe bordo de kanalo. Fakte, se ni forigas la suban duon-ebenon de $w$, tiel la supera duon-ebeno montras pilieron ĉe bordo de kanalo. \ParallelRTextFigure 17 corresponds to the value $K=1,3\,i$ in eq. (16), and shows images of some horizontal and vertical lines in plane $z$. This figure can be thought under two possibilities: pillar in middle of the channel, and pillar on the border of the channel. Indeed, if we eliminate the lower half-plane of $w$, then the upper half-plane shows a pillar on the border of the channel.\ParallelPar

\ParallelLText

10 Komentoj

\ParallelRText

10 Comments

\ParallelPar

\ParallelLText

La uzado de ne-entjeraj potencoj $k_{i}$ en (3) kaj (4) necesigas konvencion por angulo de komplekso. Ĉi tie ni proponis, ke anguloj estu montritaj en la intervalo $(-\pi,\,\pi]$; tio multe faciligas havigi imagojn de rektoj $R^{-}$ (sekcio 4). Tamen, ĉi tiu konvencio ne estas universala; aliaj intervaloj ofte uzitaj estas $[0,\,2\pi)$ kaj $(-\pi/2,\,3\pi/2]$ , ekzemple. Se iu el tiuj alternativaj konvencioj estas uzita, nia formulo (9) de angulo de derivaĵo necesigas modifon, same kiel la analizo farita en sekcio 4. \ParallelRTextThe use of non-integer powers $k_{i}$ in (3) and (4) forces a convention for angle of a complex. Here we proposed that the angles be shown in the interval $(-\pi,\,\pi]$; this greately facilitates obtaining images of straight lines $R^{-}$ (section 4). However, this convention is not universal; other intervals often used are $[0,\,2\pi)$ and $(-\pi/2,\,3\pi/2]$ , for example. If any of these alternative conventions is used, our formula (9) for angle of the derivative needs a modification, as well as the analysis made in section 4.\ParallelPar

\ParallelLText

Plue, la konvencio $\alpha\in(-\pi,\,\pi]$ ne sufiĉas por precizigi la transformon $w(z)$ kiel en (3). Fakte, ankoraŭ estas iuj elektoj kiojn ni devas fari por havi la solvon kion ni volas. Ekzemple, se iu eksponento $k_{i}$ estas $m/n$, kie $m$ kaj $n$ estas interprimoj (2 kaj 9, ekzemple), tiam $(z-x_{i})^{m/n}$ havas $n$ malsamajn eblajn orientiĝojn, el kiuj nur unu eble interesas al ni. En ĉi tiu teksto ni elektis ke la angulo $\angle(z-x_{i})^{k_{i}}$ estas $k_{1}\angle(z-x_{i})$. \ParallelRTextMore, the convention $\alpha\in(-\pi,\,\pi]$ does not suffice to disambiguate the transformation $w(z)$ as in (3). Indeed, there are still some choices that we must make to have the solution we want. For example, if some exponent $k_{i}$ is $m/n$, where $m$ and $n$ are coprimes (2 and 9, say), then $(z-x_{i})^{m/n}$ has $n$ different possible orientations, among which only one possibly is of our interest. In this text we chose the angle $\angle(z-x_{i})^{k_{i}}$ to be $k_{1}\angle(z-x_{i})$.\ParallelPar

\ParallelLText

11 Konkludo

\ParallelRText

11 Conclusion

\ParallelPar

\ParallelLText

Komencante pri harmoniaj funkcioj, ni difinis SC mapojn. La interesa aspekto de tiaj mapoj estas ke iliaj bordoj estas rektaj segmentoj. Ni tiam eksploris plurajn eblecojn de segmentoj, kaj klasifikis ilin je kvar tipoj: a, b, c, d. Ni montris ekzemplon el ĉiu tipo kaj poste ni komentis, ke tiaj mapoj memorigas nin pri movado de fluido. Tiam ni pripensis pli interesan ekzemplon de piliero en rivero, faritan per SC mapo. \ParallelRTextStarting with harmonic functions, we defined SC maps. The most interesting feature of such maps is that their boundaries are straight segments. We then explored several possibilities of segments, and classified them into four types: a, b, c, d. One example of each type was shown, and we commented that such maps resemble motion of fluids. We then imagined a more interesting example, that of a pillar in a river, via an SC map.\ParallelPar

\ParallelLText

Krom tiuj fizikaj aspektoj de SC mapoj, ni detale pridiskutis la difinon de angulo en tiuj mapoj. Tiu diskuto enmiksiĝis tra nia tuta artikolo. En sekcio 10 ni revenis al tiu diskuto kaj aldonis eĉ pli da detalojn. \ParallelRTextBesides these physical aspects of SC maps, we discussed in detail the definition of angle in these maps. This discussion permeated all our article. In section 10 we came back to that discussion, and even presented more details.\ParallelPar

\ParallelLText

En sekvanta artikolo ni plu eksploros modeladon de fluido per SC mapoj. Ni donos pli interesajn ekzemplojn kaj studos kinematikajn detalojn kiel rapido, ktp. \ParallelRTextIn a next article we shall explore more the modeling of fluids via SC maps. We shall give more interesting examples and shall study kinematical details such as velocities, etc.\ParallelPar

\ParallelLText

Apendico A Notoj pri $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$

\ParallelRText

Apendico A Notes on $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$

\ParallelPar\ParallelLText

Bonkonate, en studo de realaj funkcioj $f(x)$, la valoro de derivaĵo $\mathrm{d}f(x)/\mathrm{d}x$ en ĉiu punkto $x$ estas la valoro de trigonometria tangento de angulo inter rekto tangenta al kurbo $y=f(x)$ kaj akso $x$. Populare, $\mathrm{d}y(x)/\mathrm{d}x=\tan\theta$. Demando: kion oni povas diri pri la responda derivaĵo $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$, en okazo de funkcioj $w(z)$ analitikaj kompleksaj ? \ParallelRTextAs is well known, in the study of real functions $f(x)$, the value of the derivative $\mathrm{d}f(x)/\mathrm{d}x$ in each point $x$ is the value of the trigonometric tangent of the angle between the straight line tangent to the curve $y=f(x)$ and the $x$-axis. Popularly, $\mathrm{d}y(x)/\mathrm{d}x=\tan\theta$. Question: what can be said about the corresponding derivative $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$, in case of the complex analytical functions $w(z)$ ?\ParallelPar

\ParallelLText

Indas pliprecizigi la demandon. Vidu, en figuro 18, orientitan kurbon $M$ en kompleksa ebeno $z$, kaj estu donata analitika funkcio $w(z)$; tiam ni havos, en la kompleksa ebeno $w$, la orientitan kurbon $w(M)$, imagon de la kurbo $M$. Elektante punkton $z$ en kurbo $M$, ni volas vidaĵon de la kompleksa nombro $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$ en la imaga punkto $w(z)$. \ParallelRTextIt is worth better explain the question. In figure 18, see an oriented curve $M$ in complex plane $z$, and let be given an analytic function $w(z)$; then we shall have, in the complex plane $w$, the oriented curve $w(M)$, image of curve $M$. Selecting a point $z$ in curve $M$, we want a visualization of the complex number $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$ at the image point $w(z)$.\ParallelPar

\ParallelLText

Komence ni elektas punkton $z+\mathrm{d}z$ en la kurbo $M$, najbare al la punkto $z$; la imagoj de tiuj punktoj estas $w(z)$ kaj $w(z+\mathrm{d}z)$, ambaŭ lokitaj en la imaga kurbo $w(M)$. Ni serĉas la vidaĵon de la kvociento (kompleksa nombro) $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z=[w(z+\mathrm{d}z)-w(z)]/\mathrm{d}z$. \ParallelRTextWe initially select a point $z+\mathrm{d}z$ on curve $M$, neighbor to the point $z$; the images of these points are $w(z)$ and $w(z+\mathrm{d}z)$, both on the image curve $w(M)$ on plane $w$. We want a visualization of the quotient (a complex number) $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z=[w(z+\mathrm{d}z)-w(z)]/\mathrm{d}z$.\ParallelPar

\ParallelLText

La infinitezima vektoro $\mathrm{d}z$ estas orientita kiel la geometria tangento $A$ al la kurbo $M$ en la punkto $z$. Simile, la infinitezima vektoro $\mathrm{d}w=w(z+\mathrm{d}z)-w(z)$ estas orientita kiel la geometria tangento $B$ al la imaga kurbo $w(M)$ en la imaga punkto $w(z)$. Tial la modulo de $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ estas la kvociento de la moduloj de tiuj infinitezimaj vektoroj, kaj la orientiĝo de $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ estas la diferenco de la respondaj orientiĝoj; tio estas, ∠$(\mathrm{d}w/\mathrm{d}z)=$∠$\mathrm{d}w-$∠$\mathrm{d}z=\varphi-\theta$. Figuro 18 montras la orientiĝon $C$ de la kompleksa nombro $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$. \ParallelRTextThe infinitesimal vector $\mathrm{d}z$ has the orientation of the geometric tangent $A$ to the curve $M$ at point $z$. Similarly, the infinitesimal vector $\mathrm{d}w=w(z+\mathrm{d}z)-w(z)$ has the orientation of the geometric tangent $B$ to the image curve $w(M)$ at the image point $w(z)$. Thus the modulus of $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ is the quotient of the moduli of these infinitesimal vectors, and the orientation of $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ is the difference between the correspondentes orientations; that is, ∠$(\mathrm{d}w/\mathrm{d}z)=$∠$\mathrm{d}w-$∠$\mathrm{d}z=\varphi-\theta$. Figure 18 shows the orientation $C$ of the complex number $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$.\ParallelPar

\ParallelLText

Do la vektoro $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$ ĝenerale ne estas same orientita kiel la geometria tangento $B$ al imaga kurbo $w(M)$. Por ke la du orientiĝoj koincidas, bezonas okazi $\theta=0$, tio estas, $A$ bezonas esti horizontala. Okazas, ke linioj $R^{+}$ kaj $R^{-}$ en transformoj de Schwarz-Christoffel estas horizontalaj rektoj, tiam la angulo de la derivaĵo $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ koincidas kun la klino de la imago de tiuj rektoj; ĉi tiu fakto estis uzita en sekcioj 3 kaj 4. \ParallelRTextThus the vector $\mathrm{d}w(z)/\mathrm{d}z$ has not, in general, the same orientation as the geometric tangent $B$ to the image curve $w(M)$. In order the two orientations coincide, it must happen $\theta=0$, that is, $A$ need be horizontal. It happens that the straight lines $R^{+}$ and $R^{-}$ in Schwarz-Christoffel transformations are horizontal, so the angle of the derivative $\mathrm{d}w/\mathrm{d}z$ coincides with the inclination of the image of these straight lines; this fact was used in sections seções 3 and 4.\ParallelPar

Citaĵoj

• [1] F.B. Hildebrand, Advanced Calculus for Engineers, Prentice -Hall, Inc. (1957);
• [2] Konrad Knopp, Teoría de Funciones, Editorial Labor, S.A. (1956) ;
• [3] Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Clarendon Press$\cdot$Oxford (1997) ;
• [4] H.B. Dwight, Tables of integrals and other mathematical data, $4^{th}$ Ed. (1961) .