Schwarz-Christoffel: piliero en rivero (a pillar on a river)
F.M. Paiva, A.F.F. Teixeira

TL;DR
This paper discusses conformal Schwarz-Christoffel transformations mapping the complex upper half plane to polygonal regions, focusing on coupling upper and lower half-plane maps and applying this to fluid motion analysis.
Contribution
It introduces a method for coupling maps of the upper and lower half-planes in Schwarz-Christoffel transformations with a clear angle definition.
Findings
Effective coupling of upper and lower half-plane maps
Application to fluid motion modeling
Clarification of complex angle definitions
Abstract
La transformoj de Schwarz-Christoffel mapas, konforme, la superan kompleksan duon-ebenon al regiono limigita per rektaj segmentoj. Cxi tie ni priskribas kiel konvene kunigi mapon de la suba duon-ebeno al mapo de la supera duon-ebeno. Ni emfazas la bezonon de klara difino de angulo de kompleksa nombro, por tiu kunigo. Ni diskutas kelkajn ekzemplojn kaj donas interesan aplikon pri movado de fluido. ------- Schwarz-Christoffel transformations map, conformally, the complex upper half plane into a region bounded by right segments. Here we describe how to couple conveniently a map of the lower half plane to the map of the upper half plane. We emphasize the need of a clear definition of angle of a complex, to that coupling. We discuss some examples and give an interesting application for motion of fluid.
Peer Reviews
No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.
Videos
No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.
Taxonomy
TopicsMathematics and Applications
Schwarz-Christoffel: piliero en rivero
Schwarz-Christoffel: a pillar in a river
F.M. Paiva
Departamento de Física, Campus Humaitá II, Colégio Pedro II
Rua Humaitá 80, 22261-001 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; [email protected]
A.F.F. Teixeira
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
22290-180 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; [email protected]
Abstract
La transformoj de Schwarz-Christoffel mapas, konforme, la superan kompleksan duon-ebenon al regiono limigita per rektaj segmentoj. Ĉi tie ni priskribas kiel konvene kunigi mapon de la suba duon-ebeno al mapo de la supera duon-ebeno. Ni emfazas la bezonon de klara difino de angulo de kompleksa nombro, por tiu kunigo. Ni diskutas kelkajn ekzemplojn kaj donas interesan aplikon pri movado de fluido.
Schwarz-Christoffel transformations map, conformally, the complex upper half plane into a region bounded by right segments. Here we describe how to couple conveniently a map of the lower half plane to the map of the upper half plane. We emphasize the need of a clear definition of angle of a complex, to that coupling. We discuss some examples and give an interesting application for motion of fluid.
{Parallel}
[v]
\ParallelLText
1 Enkonduko
\ParallelRText
1 Introduction
\ParallelPar
\ParallelLText
Ni konsideru mapojn de kartezia ebeno , aŭ de regiono el ĝi. Ili asocios, al ĉiu punkto de la regiono, unu imagan punkton en kartezia ebeno . \ParallelRTextLet’s consider maps of the cartesian plane , or of a region of it. They will associate, to each point of the region, an image point in a cartesian plane .\ParallelPar
\ParallelLText
Niaj mapoj estos tre specialaj: ili estos konfomaj. Per tiuj mapoj, du linioj en ebeno kiuj krucas je angulo havos imagojn krucantajn je la sama . Sekvas, ke tiuj transformoj mapas malgrandan geometrian bildon en alia malgranda geometria bildo kun sama formo, tamen ĝenerale kun alia orientiĝo kaj alia grandeco [1, paĝo 541]. Figuro 1 montras mapon konforman kaj alian nekonforman. \ParallelRTextOur maps will be very special: they will be conformal. In these maps, two lines in the plane crossing with angle will have images also crossing with . It follows that these transformations map a small geometric figure into another small geometric figure with the same form, though generally with other orientation and other size [1, page 541]. Figure 1 shows a conformal map, and another non-conformal.\ParallelPar
\ParallelLText
Je ajn mapo (konforma aŭ ne), la koordinatoj kaj de ĉiu imaga punkto estas funkcioj de koordinatoj kaj de la responda antaŭ-imaga punkto: kaj . Demando: kiujn matematikajn propretojn tiuj funkcioj kaj havas, tial ke la mapo estu konforma? Respondo: kondiĉojn de Cauchy-Riemann [2, p. 46], \ParallelRTextUnder any map (conformal or not), the coordinates and of each image point are functions of the coordinates and of the corresponding pre-image point: and . Question: what mathematical properties these functions and have, so that the map be conformal? Answer: the conditions of Cauchy-Riemann [2, p. 46],\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Ekzemple, la mapo estas konforma, kontraŭe , ne estas. \ParallelRTextFor instance, the map is conformal, while , is not.\ParallelPar
\ParallelLText
Oportune, kondiĉoj (1) implicas, ke kaj ambaŭ estas harmoniaj funkcioj: \ParallelRTextBy the way, the conditions (1) imply and are harmonic, both:\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Se du harmoniaj funkcioj, kaj , plenumas kondiĉojn (1), oni diras ke estas harmonia dualo de , kaj ke estas harmonia dualo de . Harmoniaj funkcioj havas tre interesajn proprecojn, kaj ni bedaŭras ke ni ne povas haltiĝi por plezuriĝi pri tio [3, p. 508]. \ParallelRTextIf two harmonic functions, and , obey conditions (1), one says that is dual harmonic of , and that is dual harmonic of . Harmonic functions have very interesting properties, and we regret to have not enough space and time to appreciate them here [3, p. 508].\ParallelPar
\ParallelLText
Ni uzos la kompleksan kalkulon, por faciligi traktadon de konformaj mapoj. Por tio, al ĉiu punkto de la kartezia ebeno ni asocios la kompleksan nombron ; same, al ĉiu punkto de la kartezia ebeno ni asocios la kompleksan nombron . Plue, havante paron de ajn realaj funkcioj, kaj , ni difinos la kompleksan funkcion ; ĉi tiu funkcio asocias, al ĉiu punkto en la ebeno , unu punkton en la ebeno . \ParallelRTextWe use the complex calculus, to facilitate handling of conformal maps. To that end, to each point of the cartesian plane we associate the complex number ; equally, to each point of the cartesian plane we associate the complex number . Still, having a pair of arbitrary real functions, and , we define the complex function ; this function associates, to each point of plane , a point in plane .\ParallelPar
\ParallelLText
Se funkcio estas harmonia, kaj se estas ĝia harmonia dualo, tiuokaze la funkcio estos dirita kompleksa konforma. Okazas, ke se ni anstataŭigas per kaj per en la kompleksa konforma funkcio , ni aperigos la analitikan funkcion , libera de (la konjugaĵon de ). \ParallelRTextIf the function is harmonic, and if is its dual harmonic, then the function is told complex conformal. It happens that, if we substitute and in the complex conformal function , we make appear the analytical function , exempt of (the complex conjugate of ).\ParallelPar
\ParallelLText
Ni memoru, ke iu kompleksa nombro skribiĝas en polara formo kiel , estante reala ne-negativa. La angulo , ankaŭ reala, indikas la orientiĝon de la vektoro en la kompleksa ebeno. En ĉi tiu teksto ni konvencias kaj skribas ∠ . \ParallelRTextWe remember that a complex number is written in polar form as , with real non-negative. The angle , also real, indicates the orientation of the vector in the complex plane. In this text we agree and write ∠ .\ParallelPar
\ParallelLText
Ni ankaŭ memoru, ke se , tio estas, , tiel kaj ; se ĉi tiu sumo estas ekstere la intervalo , ni devos adicii aŭ subtrahi , por havi la konvenciitan . \ParallelRTextWe also remember that if , that is, , then and ; if this sum is out the interval , we must add or subtract , to have the agreed.\ParallelPar
\ParallelLText
2 Schwarz-Christoffel
\ParallelRText
2 Schwarz-Christoffel
\ParallelPar
\ParallelLText
Gravan familion, SC, de analitikaj mapoj studis Schwarz kaj Christoffel, sendepende. Por priskribi ĝin, ni komencas kun difino: funkcio estas dirita SC se ĝia derivaĵo havas formon [1, p. 550] \ParallelRTextSchwarz and Christoffel, independently, studied an important family (SC) of analytical maps . To describe it, we start with a definition: a function is said SC if its derivative has the form [1, p. 550]\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
kie estas kompleksa aŭ reala konstanto, kaj kaj estas realaj konstantoj. Notu ke estas analitika, kaj ke punktoj , en reala akso de ebeno , estas singularaj punktoj por la funkcio (3); pli specife, ili kutime estos branĉ-punktoj. \ParallelRTextwhere is a constant complex or real, and the and are real constants. Note that is analytical, and that the points , in the real axis of plane , are singular points for the function (3); more specifically, they will generally be branch points.\ParallelPar
\ParallelLText
La funkcio determinas en ebeno la formon (angulojn kaj distancojn) de la imago de ajn figuro en ebeno . La funkcio indikas ankaŭ la orientiĝon de la imago, sed ne indikas la lokon de la imago en ebeno . Vidu figuron 2. \ParallelRTextThe function determines, in the plane , the form (angles and distances) of the image of any figure in the plane . The function also indicates the orientation of the image, but does not indicate the localization of the image in the plane . See figure 2.\ParallelPar
\ParallelLText
La mapo estas havita per malderivo de (3), kaj adicio de nova kompleksa konstanto, : \ParallelRTextThe map is obtained by indefinite integration of (3), and addition of a new complex constant, :\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Ekv. (4) elektas, el la nefinia kvanto de eblaj solvoj de (3), tion kion ni volas. \ParallelRTextThe eq. (4) selects, from the infinity of possible solutions of (3), the one that we want.\ParallelPar
\ParallelLText
En figuro 3, la punkto estas en la akso ; notu, ke se la punkto estas en la supera duon-ebeno de , tio estas, , tial ĉiam okazos ; kaj notu, ke se estas en la suba duon-ebeno, t.e., , tial ĉiam okazos . Tiuj asertoj veriĝas se nur la konvencio uzita estas . \ParallelRTextIn figure 3, the point is in the -axis; note that if a point is in the upper half-plane of , that is, , it always happens ; and note that if is in the lower half-plane, that is, , it always happens . These assertions are true only if the convention used is .\ParallelPar
\ParallelLText
Ni konvencias, ke la estu aranĝitaj tiel ke , kaj ni limigas nian studon al okazoj . \ParallelRTextWe agree that the be ordinated so that , and we limit our study to the cases .\ParallelPar
\ParallelLText
En la du sekvantaj sekcioj ni montros, ke ĉiu SC mapas orientitan horizontalan rekton , kuŝanta iomete super linio , en orientita linio farita de rektaj segmentoj, en la ebeno . Plue, tiu sama esprimo mapas orientitan horizontalan rekton , kuŝanta iomete sub linio , en alia linio ankaŭ farita de rektaj segmentoj. Ni opinias, ke la analizo de la mapoj de kaj de estas la kulmino de la studo de transformoj de Schwarz-Christoffel. \ParallelRTextIn the next two sections we show that every SC maps an oriented horizontal straight line , laying slightly above the line , into an oriented line made of straight segments, in the plane . More, that same expression maps an oriented horizontal straight line , laying slightly below the line , into another oriented line also made of straight segments. In our opinion, the analysis of the maps of and of is the highest point in the study of Schwarz-Christoffel transformations.\ParallelPar
\ParallelLText
Indas rememori, ke ‘ĉiuj punktoj’ en ne-finio en kompleksaj ebenoj estas unu sola punkto, skribita . En nia teksto, la imago de tiu punkto estos skribita . En la mapo de la supera duon-ebeno, la imago de najbaro de punkto skribiĝos , kontraŭe en la mapo de suba duon-ebeno ĝi skribiĝos . \ParallelRTextIt is worth remember that ‘all the points’ at infinity in complex planes are one single point, written . In our text, the image of this point will be written . In the map of the upper half-plane, the image of the neighborhood of a point will be written , while in the map of the lower half-plane it will be written .\ParallelPar
\ParallelLText
3 Mapo SC de rekto
\ParallelRText
3 Map of straight line
\ParallelPar
\ParallelLText
Ni nun priskribos la mapon de la supera duon-ebeno de , farita per elektita funkcio SC. Tiu duon-ebeno enhavas nur punktojn kun , do ĝi ne enhavas la realan akson . Ni unue serĉas la formon de la imago, per , de horizontala rekto kuŝanta infinitezime super la rekto de la ebeno . Por tio, ni supozas punkton iranta en la rekto , estante pozitiva infinitezimo, de al , kiel figuro 4 montras. Kaj ni konstruos la imagon de tiu movado, en la ebeno . \ParallelRTextWe shall now describe the map of the upper half-plane of , made by a selected function SC. This half-plane contains only points with , so it does not contain the real axis . We first search the form of the image, under , of a horizontal straight line laying infinitesimally above the line of the plane . To that end, we suppose a point going along the straight line , with a positive infinitesimal, from to , as figure 4 shows. And we shall construct the image of that motion, in the plane .\ParallelPar
\ParallelLText
Komence ni konsideras la angulojn de ambaŭ flankoj de la derivaĵo (3), elektante (tio gravas!) la valoron ∠ por la angulo ∠ : \ParallelRTextWe initially consider the angles of both sides of the derivative (3), choosing (this is important!) the value ∠ for the angle ∠ :\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Dum trakuras de al tre proksima al , ĉiuj anguloj en (5) valoras , do \ParallelRTextWhile goes from to very near , all angles in (5) are , so\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
tial ∠ estas konstanta en la intervalo . Tio implicas, ke la imaga kurbo estu rekta segmento en la komenca peco , kun orientiĝo . La apendico A pravigas tiun valoron por la orientiĝo. \ParallelRTextthus ∠ is constant in the interval . This implies that the image line be a straight segment in the initial part , with orientation . The appendix A justifies this value for the orientation.\ParallelPar
\ParallelLText
Figuroj 4 kaj 5 montras, ke kiam pasas super , la angulo ∠ bruske malkreskas de al nulo, kontraŭe la aliaj anguloj ∠ ne ŝanĝas; tio okazigas bruskan ŝanĝon de la direkto de en punkto . Notu, ke tiu ŝanĝo estas pozitiva se , kaj estas negativa se . \ParallelRTextFigures 4 and 5 show that, when overpasses , the angle ∠ abruptly decreases from to zero, while the other angles ∠ do not change; this causes an abrupt change of the direction of the image at point . Note that this change is positive if , and is negative if .\ParallelPar
\ParallelLText
Post pasas super kaj iras en la direkto de , ĉiuj anguloj estas konstantaj; tio farigas, ke la imago denove estu rekta segmento. \ParallelRTextAfter overpasses and proceeds in the direction to , all angles are constant; this makes the image again be a straight segment.\ParallelPar
\ParallelLText
Resume, la paso de super iu faras la orientiĝon de la nova rekta segmento en ebeno ŝanĝi relative al la orientiĝo de la antaŭa segmento [1, p. 552]. \ParallelRTextSumming up, the passing of over any makes the orientation of the new straight segment in the plane change relatively to the orientation of the previous segment [1, p. 552].\ParallelPar
\ParallelLText
Fine, post pasas super , la lasta de la sinsekvo, okazas ke ĉiuj anguloj estas nulaj, do \ParallelRTextAt the end, after overpasses , the last of the sequence, all angles are null, so\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
tio signifas, ke la orientiĝo de la imaga kurbo de la rekto en la fina peco estas . Vidu figuron 5. \ParallelRTextthis means that the orientation of the image line of the straight line in the final part is . See figure 5.\ParallelPar
\ParallelLText
Havante ĉiujn ŝanĝojn de orientiĝo de tiu imaga kurbo, ni konsideru 4 malsamajn tipojn de mapo , laŭ la valoro estu plieta ol , egala al , inter kaj , aŭ egala al : \ParallelRTextHaving all changes of orientation of that image curve, let’s consider 4 different types of map , according the value is less than , equal to , between and , or equal to :\ParallelPar
\ParallelLText
tipo a: se ;
tipo b: se ;
tipo c: se ; kaj
tipo d: se .
Figuro 6 montras unu imagon por ĉiu tipo, kaj sekcioj de 5 al 8 donos unu ekzemplon de ĉiu tipo. \ParallelRText type a: if ;
type b: if ;
type c: if ; and
type d: if .
Figure 6 shows one image for each type, and sections from 5 to 8 will give one example of each type.\ParallelPar
\ParallelLText
Por kompletigi la imagon de la rekto , ni nun kalkulas la longojn de la rektaj segmentoj, uzante (4), \ParallelRTextTo complete the image of the straight line , we now calculate the lengths of the straight segments, using (4),\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Ĉar la funkcio estas kontinua, la imagoj de la aliaj rektoj konst najbaraj al rekto estas similaj al la imago de rekto , kiel ni konstatos en sekcioj de 5 al 8. \ParallelRTextSince the function is continuous, the images of the other straight lines const neighbor to the straight line are similar to the image of , as we shall verify in sections from 5 to 8.\ParallelPar
\ParallelLText
4 Mapo SC de rekto
\ParallelRText
4 Map of straight line
\ParallelPar
\ParallelLText
Nun ni havigu la mapon de suba duon-ebeno de uzante la saman esprimon (4) uzita por la supera duon-ebeno. Simile kiel antaŭe, ni komence serĉas la imagon de horizontala rekto kuŝanta je infinitezime negativa ordinato de ebeno . Vidu figuron 7. \ParallelRTextLet’s now get the map of the lower half-plane of using the same expression (4) used for the upper half-plane. Similarly as before, we initially search the image of a horizontal straight line laying in negative infinitesimal ordinate of plane . See figure 7.\ParallelPar
\ParallelLText
Ni nun supozas punkton iranta dekstren en rekto , ekde . Inter kaj ĉiuj anguloj ∠ valoras , do la imago de komenca peco havas la konstantan orientiĝon (5) \ParallelRTextWe now suppose a point going rightwards in the straight line , since . Between and all angles ∠ are , so the image of the initial part of has orientation (5) constant\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Kiam pasas sub , la angulo de bruske kreskas de al nulo, kontraŭe la anguloj de la aliaj ne ŝanĝas; tio implicas ŝanĝon de orientiĝo de en punkto . Ni notas, ke tiu ŝanĝo havas saman absolutan valoron, sed kontraŭan signumon, al la ŝanĝo en la responda imaga punkto de rekto . \ParallelRTextWhen passes under , the angle of abruply increases from to zero, while the angles of the other do not change; this implies a change in the orientation of at point . We note that this change has same absolute value, but opposite sign, as that of the change in the corresponding image point of straight line .\ParallelPar
\ParallelLText
Daŭrigante ni konstatas, ke en ĉiu imaga punkto de rekto la ŝanĝo de orientiĝo havas saman absolutan valoron, sed kontraŭan signumon, al de la responda imaga punkto de rekto . Post pasas sub , ĉiuj anguloj ∠ estas nulaj, do (5) reskribiĝas \ParallelRTextProceeding, we see that at every image point of the straight line the change of direction has same absolute value, but opposite sign, as that on the corresponding image point of straight line . After passes under , all angles are null, so (5) rewrites\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
tial ni vidas, ke la orientiĝo de la fina peco de la imaga kurbo de rekto valoras . Tiu valoro koincidas kun la orientiĝo (7) de la fina peco de la imago de rekto . \ParallelRTextthus we see that the orientation of the final part of the image of straight line is . This value coincides with the orientation (7) of the final part of the image of straight line .\ParallelPar
\ParallelLText
Per analizo de (8) ni konstatas, ke ĉiu longo egalas la respondan longon . Do, la formo de imago de rekto haviĝas per iu reflekto de la imago de rekto . Ĉar la orientiĝoj de la imagoj de peco en rektoj kaj koincidas (ambaŭ estas ), tial la reflekto okazas paralele al fina rekta peco . Vidu figuron 8. \ParallelRTextBy analysis of (8) we see that each size equals the corresponding size . Thus, the form of the image of straight line is obtained via some reflection of the image of straight line . Since the orientations of the images of the part in straight lines and coincide (both are ), the reflection occurs parallel to the final straight part . See figure 8.\ParallelPar
\ParallelLText
La sekvantaj kvar sekcioj prezentas ekzemplojn de la kvar tipoj de transformo priskribitaj en sekcio 3. Sekcio 9 prezentas praktikan aplikon. \ParallelRTextThe next four sections give examples of the four types of transformation described in section 3. Section 9 presents a practical application.\ParallelPar
\ParallelLText
5 Ekzemplo de tipo a
\ParallelRText
5 An example of type a
\ParallelPar
\ParallelLText
Se en (3) ni elektas , , , , ni havos \ParallelRTextIf in (3) we choose , , , , we shall have\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
elektante , ni havigas imagojn kiel en figuro 9 . \ParallelRTextchoosing , we obtain images as in figure 9 . \ParallelPar
\ParallelLText
En figuro 9b ni vidas, ke la imago de trakuras de al origino, poste iras al ; ni vidas ankaŭ, ke la imago de trakuras de al origino, poste iras al . Notu, en figuro 9d, ke imagoj de rektoj estas malkontinuaj, kaj notu ke la imago de rekto estas zigzaga en punkto ; kaj fine notu ke imagoj de rektoj estas kontinuaj kaj ne-zigzagaj. Kontraŭe, la imagoj de ĉiuj horizontalaj rektoj () estas kontinuaj; tio estos tre interesa kiam ni uzos tiajn mapojn por priskribi fluadon de likvoj, kiel en sekvantaj sekciojn. \ParallelRTextIn figure 9b we see that the image of runs from till the origin, then goes to ; we also see that the image of runs from till the origin, then goes to . Note, in figure 9d, that the images of the lines are discontinuous, and note that the image of the line brakes at point ; further note that the images of the lines are continuous and do not brake. Oppositely, the images of all horizontal lines () are continuous; this will be very interesting when we shall use such maps to describe flow of liquids, as in sections to follow.\ParallelPar
\ParallelLText
Eble interesas akompani, paŝo post paŝo, konforman mapon ekde komenca formo ĝis la fina formo. Figuro 10 skizas kvar imagojn, per , de horizontalaj rektoj konst, por kreskanta ekde [math] ĝis . \ParallelRTextIt is perhaps interesting to follow, step by step, a conformal map since the initial form till the final one. Figure 10 sketches four images, for , of horizontal lines const, for increasing from [math] to .\ParallelPar
\ParallelLText
6 Ekzemplo de tipo b
\ParallelRText
6 An example of type b
\ParallelPar
\ParallelLText
En (3), kun , , , , , ni havigas \ParallelRTextIn (3), with , , , , , we obtain\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Ni elektas kaj havas imagojn kiel en figuroj 11 kaj 12. \ParallelRTextWe choose and have images as in figures 11 and 12.\ParallelPar
\ParallelLText
En figuro 11 ni vidas, ke la imago de venas horizontale de ĝis , kun , daŭrigas en la akso ĝis la origino, poste iras horizontale al en la akso . La imago de venas horizontale de ĝis , kun , daŭrigas en la akso ĝis la origino, kaj iras horizontale al en la akso . Tiel, la imago de kaj kun koincidas je la pozitiva parto de akso . \ParallelRTextIn figure 11 we see that the image of comes horizontally from till , with , stays in the axis till the origin, then goes horizontally to in the axis . The image of comes horizontally from till , with , stays in the axis till the origin, then goes horizontally to in axis . Thus the images of and with coincide in the positive part of -axis.\ParallelPar
\ParallelLText
Kiel en antaŭa ekzemplo (tipo a), ĉiuj horizontaj rektoj en ebeno havas kontinuajn imagojn, kiel montras figuro 11. Denove, ne ĉiuj vertikalaj rektoj en ebeno havas kontinuajn imagojn, kiel montras figuro 12; nur imagoj de rektoj kun estas kontinuaj. \ParallelRTextSimilarly as in the previous example (type a), all horizontal lines in plane have continuous images, as figure 11 shows. And again, not all vertical lines in plane have continuous image, as figure 12 shows; only the images of vertical lines with are continuous.\ParallelPar
\ParallelLText
7 Ekzemplo de tipo c
\ParallelRText
7 An example of type c
\ParallelPar
\ParallelLText
Se en (3) ni elektas , , , , , ni havos \ParallelRTextIf in (3) we choose , , , , , we shall have\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
kie estas la hipergeometria funkcio donata per la serio de Taylor [1, p. 179] \ParallelRTextwhere is the hypergeometric function given by the Taylor series [1, p. 179]\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Plue, elektante la konstanto kun ni havigas, post iun da kalkuloj, kaj la mapojn montritajn en figuroj 13 kaj 14. \ParallelRTextFurther choosing constant with we obtain, after some calculus, and the maps shown in figures 13 and 14.\ParallelPar
\ParallelLText
En figuro 13 ni vidas, ke la imagoj de kaj de estas du egallateraj trianguloj. La horizontalaj lateroj koincidas, kaj estas la imagoj de kaj kun . \ParallelRTextIn figure 13 we see that the images of and are two equilateral triangles. The horizontal sides coincide, and are the images of and with .\ParallelPar
\ParallelLText
Kiel en antaŭaj du ekzemploj, ĉiu horizontala rekto en ebeno havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 13. Denove, ne ĉiu vertikala rekto havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 14. \ParallelRTextSimilarly as in the previous two examples, every horizontal straight line in plane has continuous image, as figure 13 shows. And again, not all vertical straight lines in plane have continuous image, as figure 14 shows.\ParallelPar
\ParallelLText
8 Ekzemplo de tipo d
\ParallelRText
8 An example of type d
\ParallelPar
\ParallelLText
Se en (3) kun ni uzos , , , , , kaj , ni havos \ParallelRTextIf in (3) with we use , , , , , and , we shall have\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
estante konstanto, kaj estante la hipergeometria funkcio kiel en (14). Ni elektas kaj , kaj havigas imagojn kiel en figuroj 15 kaj 16. \ParallelRTextbeing a constant and being the hypergeometric function as in (14). We choose and , and obtain images as in figures 15 and 16.\ParallelPar
\ParallelLText
En figuro 15 vidu, ke la imagoj de kaj estas ortaj trianguloj. La horizontalaj hipotenuzoj koincidas, kaj estas la imagoj de kaj kun kaj . \ParallelRTextIn figure 15, see that the images of and are rectangular triangles. The horizontal hypotenuses coincide, and are the images of and with and .\ParallelPar
\ParallelLText
Kiel en antaŭaj tri ekzemploj, ĉiu horizontala rekto en ebeno havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 15. Denove, ne ĉiu vertikala rekto en ebeno havas kontinuan imagon, kiel montras figuro 16. \ParallelRTextSimilarly as in the previous three examples, every horizontal line in plane has continuous image, as figure 15 shows. And again, not all vertical lines in plane have continuous image, as figure 16 shows.\ParallelPar
\ParallelLText
9 Piliero en rivero
\ParallelRText
9 A pillar in a river
\ParallelPar
\ParallelLText
En figuroj de 9 al 15 ni vidas, ke la imago, en ebeno , de linioj el ebeno , similiĝas al linioj de fluo de iu fluido. Tiu simileco ne estas akcidenta: vere, baza literaturo [1, p. 313] montras ke SC mapo generas liniojn de fluo de fluido limigita per rektaj segmentoj. Ni nun prezentas ekzemplon de mapo SC, kiu simulas la movadon de akvo en kanalo kun ortangula piliero en ĝia bordo; la dimensioj de tiu piliero estas malgrandaj kompare al la larĝo de la kanalo. Ni perceptos, en figuro 17, ke ĉi tiu ekzemplo taŭgas ankaŭ por piliero en mezo de kanalo. \ParallelRTextIn figures from 9 to 15 we see that the image of the horizontal lines , in plane , resemble lines of flow of some fluid. This resemblance is not accidental: indeed, basic texts [1, p. 313] show that an SC map generates lines of flow of fluid bounded by straight segments. We now present an example of SC map which simulates the motion of water in a channel with a rectangular pillar on its boundary; the dimensions of this pillar are small in comparison with the width of the channel. We shall perceive, in figure 17, that this example serves also for a pillar in the middle of a channel.\ParallelPar
\ParallelLText
Por havi la ortan formon ni uzas kvar ortangulojn: kaj . Ni elektas konvenajn kaj : , , , , . Tiel (3) donas \ParallelRTextTo have the rectangular form we use four right angles: and . We choose convenient and : , , , , . So (3) gives\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
kie estas la nekompleta eliptika integralaĵo de dua tipo [4, p. 170], \ParallelRTextwhere is the incomplete elliptical integral of second type [4, p. 170],\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
La grandoj kaj de la piliero estas \ParallelRTextThe dimensions and of the pillar are\ParallelPar
[TABLE]
\ParallelLText
Figuro 17 respondas al valoro en ekv. (16), kaj montras imagojn de kelkaj horizontalaj kaj vertikalaj rektoj en ebeno . Tiu figuro estas pripensebla je du eblecoj: piliero je mezo de kanalo, kaj piliero ĉe bordo de kanalo. Fakte, se ni forigas la suban duon-ebenon de , tiel la supera duon-ebeno montras pilieron ĉe bordo de kanalo. \ParallelRTextFigure 17 corresponds to the value in eq. (16), and shows images of some horizontal and vertical lines in plane . This figure can be thought under two possibilities: pillar in middle of the channel, and pillar on the border of the channel. Indeed, if we eliminate the lower half-plane of , then the upper half-plane shows a pillar on the border of the channel.\ParallelPar
\ParallelLText
10 Komentoj
\ParallelRText
10 Comments
\ParallelPar
\ParallelLText
La uzado de ne-entjeraj potencoj en (3) kaj (4) necesigas konvencion por angulo de komplekso. Ĉi tie ni proponis, ke anguloj estu montritaj en la intervalo ; tio multe faciligas havigi imagojn de rektoj (sekcio 4). Tamen, ĉi tiu konvencio ne estas universala; aliaj intervaloj ofte uzitaj estas kaj , ekzemple. Se iu el tiuj alternativaj konvencioj estas uzita, nia formulo (9) de angulo de derivaĵo necesigas modifon, same kiel la analizo farita en sekcio 4. \ParallelRTextThe use of non-integer powers in (3) and (4) forces a convention for angle of a complex. Here we proposed that the angles be shown in the interval ; this greately facilitates obtaining images of straight lines (section 4). However, this convention is not universal; other intervals often used are and , for example. If any of these alternative conventions is used, our formula (9) for angle of the derivative needs a modification, as well as the analysis made in section 4.\ParallelPar
\ParallelLText
Plue, la konvencio ne sufiĉas por precizigi la transformon kiel en (3). Fakte, ankoraŭ estas iuj elektoj kiojn ni devas fari por havi la solvon kion ni volas. Ekzemple, se iu eksponento estas , kie kaj estas interprimoj (2 kaj 9, ekzemple), tiam havas malsamajn eblajn orientiĝojn, el kiuj nur unu eble interesas al ni. En ĉi tiu teksto ni elektis ke la angulo estas . \ParallelRTextMore, the convention does not suffice to disambiguate the transformation as in (3). Indeed, there are still some choices that we must make to have the solution we want. For example, if some exponent is , where and are coprimes (2 and 9, say), then has different possible orientations, among which only one possibly is of our interest. In this text we chose the angle to be .\ParallelPar
\ParallelLText
11 Konkludo
\ParallelRText
11 Conclusion
\ParallelPar
\ParallelLText
Komencante pri harmoniaj funkcioj, ni difinis SC mapojn. La interesa aspekto de tiaj mapoj estas ke iliaj bordoj estas rektaj segmentoj. Ni tiam eksploris plurajn eblecojn de segmentoj, kaj klasifikis ilin je kvar tipoj: a, b, c, d. Ni montris ekzemplon el ĉiu tipo kaj poste ni komentis, ke tiaj mapoj memorigas nin pri movado de fluido. Tiam ni pripensis pli interesan ekzemplon de piliero en rivero, faritan per SC mapo. \ParallelRTextStarting with harmonic functions, we defined SC maps. The most interesting feature of such maps is that their boundaries are straight segments. We then explored several possibilities of segments, and classified them into four types: a, b, c, d. One example of each type was shown, and we commented that such maps resemble motion of fluids. We then imagined a more interesting example, that of a pillar in a river, via an SC map.\ParallelPar
\ParallelLText
Krom tiuj fizikaj aspektoj de SC mapoj, ni detale pridiskutis la difinon de angulo en tiuj mapoj. Tiu diskuto enmiksiĝis tra nia tuta artikolo. En sekcio 10 ni revenis al tiu diskuto kaj aldonis eĉ pli da detalojn. \ParallelRTextBesides these physical aspects of SC maps, we discussed in detail the definition of angle in these maps. This discussion permeated all our article. In section 10 we came back to that discussion, and even presented more details.\ParallelPar
\ParallelLText
En sekvanta artikolo ni plu eksploros modeladon de fluido per SC mapoj. Ni donos pli interesajn ekzemplojn kaj studos kinematikajn detalojn kiel rapido, ktp. \ParallelRTextIn a next article we shall explore more the modeling of fluids via SC maps. We shall give more interesting examples and shall study kinematical details such as velocities, etc.\ParallelPar
\ParallelLText
Apendico A Notoj pri
\ParallelRText
Apendico A Notes on
\ParallelPar\ParallelLText
Bonkonate, en studo de realaj funkcioj , la valoro de derivaĵo en ĉiu punkto estas la valoro de trigonometria tangento de angulo inter rekto tangenta al kurbo kaj akso . Populare, . Demando: kion oni povas diri pri la responda derivaĵo , en okazo de funkcioj analitikaj kompleksaj ? \ParallelRTextAs is well known, in the study of real functions , the value of the derivative in each point is the value of the trigonometric tangent of the angle between the straight line tangent to the curve and the -axis. Popularly, . Question: what can be said about the corresponding derivative , in case of the complex analytical functions ?\ParallelPar
\ParallelLText
Indas pliprecizigi la demandon. Vidu, en figuro 18, orientitan kurbon en kompleksa ebeno , kaj estu donata analitika funkcio ; tiam ni havos, en la kompleksa ebeno , la orientitan kurbon , imagon de la kurbo . Elektante punkton en kurbo , ni volas vidaĵon de la kompleksa nombro en la imaga punkto . \ParallelRTextIt is worth better explain the question. In figure 18, see an oriented curve in complex plane , and let be given an analytic function ; then we shall have, in the complex plane , the oriented curve , image of curve . Selecting a point in curve , we want a visualization of the complex number at the image point .\ParallelPar
\ParallelLText
Komence ni elektas punkton en la kurbo , najbare al la punkto ; la imagoj de tiuj punktoj estas kaj , ambaŭ lokitaj en la imaga kurbo . Ni serĉas la vidaĵon de la kvociento (kompleksa nombro) . \ParallelRTextWe initially select a point on curve , neighbor to the point ; the images of these points are and , both on the image curve on plane . We want a visualization of the quotient (a complex number) .\ParallelPar
\ParallelLText
La infinitezima vektoro estas orientita kiel la geometria tangento al la kurbo en la punkto . Simile, la infinitezima vektoro estas orientita kiel la geometria tangento al la imaga kurbo en la imaga punkto . Tial la modulo de estas la kvociento de la moduloj de tiuj infinitezimaj vektoroj, kaj la orientiĝo de estas la diferenco de la respondaj orientiĝoj; tio estas, ∠∠∠. Figuro 18 montras la orientiĝon de la kompleksa nombro . \ParallelRTextThe infinitesimal vector has the orientation of the geometric tangent to the curve at point . Similarly, the infinitesimal vector has the orientation of the geometric tangent to the image curve at the image point . Thus the modulus of is the quotient of the moduli of these infinitesimal vectors, and the orientation of is the difference between the correspondentes orientations; that is, ∠∠∠. Figure 18 shows the orientation of the complex number .\ParallelPar
\ParallelLText
Do la vektoro ĝenerale ne estas same orientita kiel la geometria tangento al imaga kurbo . Por ke la du orientiĝoj koincidas, bezonas okazi , tio estas, bezonas esti horizontala. Okazas, ke linioj kaj en transformoj de Schwarz-Christoffel estas horizontalaj rektoj, tiam la angulo de la derivaĵo koincidas kun la klino de la imago de tiuj rektoj; ĉi tiu fakto estis uzita en sekcioj 3 kaj 4. \ParallelRTextThus the vector has not, in general, the same orientation as the geometric tangent to the image curve . In order the two orientations coincide, it must happen , that is, need be horizontal. It happens that the straight lines and in Schwarz-Christoffel transformations are horizontal, so the angle of the derivative coincides with the inclination of the image of these straight lines; this fact was used in sections seções 3 and 4.\ParallelPar
Citaĵoj
- [1] F.B. Hildebrand, Advanced Calculus for Engineers, Prentice -Hall, Inc. (1957);
- [2] Konrad Knopp, Teoría de Funciones, Editorial Labor, S.A. (1956) ;
- [3] Tristan Needham, Visual Complex Analysis, Clarendon PressOxford (1997) ;
- [4] H.B. Dwight, Tables of integrals and other mathematical data, Ed. (1961) .
The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.
- 1[1] F.B. Hildebrand, Advanced Calculus for Engineers , Prentice -Hall, Inc. (1957);
- 2[2] Konrad Knopp, Teoría de Funciones , Editorial Labor, S.A. (1956) ;
- 3[3] Tristan Needham, Visual Complex Analysis , Clarendon Press ⋅ ⋅ \cdot Oxford (1997) ;
- 4[4] H.B. Dwight, Tables of integrals and other mathematical data , 4 t h superscript 4 𝑡 ℎ 4^{th} Ed. (1961) .
