\"Uber die von einem Ideal $I \subset R$ erzeugten $R$-Moduln II

TL;DR

This paper characterizes injective and flat modules generated or cogenerated by an ideal in a noetherian local ring, establishing duality, closure properties, and explicit submodule structures in this context.

Contribution

It provides a complete description of injective and flat modules within classes generated or cogenerated by an ideal, and explores their duality and closure properties.

Findings

Characterization of injective and flat modules in classes ormed by ideal I

Establishment of duality between classes ormed by ideal I

Identification of conditions for closure under submodules, factor modules, and extensions

Abstract

Let $(R, \mathfrak m)$ be a commutative noetherian local ring and $I$ an ideal of $R$. Let $\mathcal{P}$ be the class of all $I$-generated $R$-modules $M$ (i.e. there is an epimorphism $I^{(\Lambda)} \twoheadrightarrow M$) and let $\mathcal{S}$ be the class of all $I^{\circ}$-cogenerated $R$-modules $N$ (i.e. there is a monomorphism $N \hookrightarrow (I^{\circ})^{\Lambda}$ with $I^{\circ} = \operatorname{Hom}_R(I,E)$). We give a complete description of all injective and flat modules in $\mathcal{P}$ and $\mathcal{S}$. We show that $(\mathcal{S},\mathcal{P})$ forms a dual pair in the sense of Mehdi--Prest(2015) and that $\mathcal{P}$ is always closed under pure submodules. We determine all ideals $I$ for which $\mathcal{P}$ is closed under submodules, $\mathcal{S}$ is closed under factor modules and $\mathcal{P}$ (resp. $\mathcal{S}$) is closed under group extensions. In the last section, we examine the submodules $\gamma(M) = \sum\{U \subset M \,|\, U \in \mathcal{P}\}$ and $\kappa(M) = \bigcap \{V \subset M \,|\, M/V \in \mathcal{S}\}$ for all $R$-modules $M$, and we specify their explicit structure in special cases.

Equations

$$IM=M⟹M\in \mathcal{P}⟹{\mathrm{Ann}}_R(I)\cdot M=0.$$

$$\overline{I}\not\subset \mathfrak{p}⟺{\mathrm{Ann}}_R(I)\cdot R_{\mathfrak{p}}=0⟺I_{\mathfrak{p}}\text{ist regula¨r in}{R}_{\mathfrak{p}}.$$

$$\mathfrak{a}M=M[{\mathrm{Ann}}_R(\mathfrak{a})],$$

$$\widehat{R_{\mathfrak{p}}}{\subset }^{\oplus }E(R/\mathfrak{p}{)}^{\circ },$$

$$E(R/\mathfrak{p}){\subset }^{\oplus }(R_{\mathfrak{p}}{)}^{\circ }$$

$$0⟶(A/B{)}^{\circ }⟶A^{\circ }⟶B^{\circ }⟶0$$

$$0⟶(X/M{)}^{\circ }⟶X^{\circ }⟶M^{\circ }⟶0$$

$$N\in \mathcal{S}⟺N^{\circ }\in \mathcal{P},M\in \mathcal{P}⟺M^{\circ }\in S$$

$$\gamma (M)=M[{\mathrm{Ann}}_R(I)],\kappa (M)={\mathrm{Ann}}_R(I)\cdot M.$$

$${\mathrm{Hom}}_R(R/I,K)⟶{\mathrm{Hom}}_R(R/I,K/R)⟶{\mathrm{Ext}}_R^1(R/I,R)$$

$$\gamma (M)=M_{n-s},\kappa (M)=M_s.$$

$$\gamma (M^{\circ })={\mathrm{Ann}}_{M^{\circ }}(\kappa (M)),\kappa (M^{\circ })={\mathrm{Ann}}_{M^{\circ }}(\gamma (M)).$$

Full text

Abstract

Key words: $I$-generated and $I^{\circ}$-cogenerated modules, basically full ideals, dual pairs of modules, Matlis duality.

Mathematics Subject Classification (2010): 13C05, 13C11, 16D70, 16S90.

1 Die injektiven $R$-Moduln in $\mathcal{P}$ und $\mathcal{S}$

Stets sei $(R,\mathfrak{m})$ ein kommutativer, noetherscher, lokaler Ring, $E$ die injektive Hülle des Restklassenkörpers $k=R/\mathfrak{m}$ und $M^{\circ}=\operatorname{Hom}_{R}(M,E)$ das Matlis-Duale eines $R$-Moduls $M$.

Lemma 1.1**.**

• (a)

Für jeden $R$-Modul $M$ gelten die Implikationen

[TABLE]

• (b)

Ist $M$ injektiv und $\overline{I}=\operatorname{Ann}_{R}\operatorname{Ann}_{R}(I)$, so ist jede der drei Bedingungen äquivalent mit $M[\overline{I}]=0$.

• (c)

Für jedes Primideal $\mathfrak{p}$ von $R$ gilt

[TABLE]

Beweis

*(a) ist klar, weil nach ([7] Proposition 1.1) $M$ genau dann zu $\mathcal{P}$ gehört, wenn es eine Erweiterung $M\subset X$ gibt mit $M=IX$.

(b) Für jeden $R$-Modul $M$ und jedes Ideal $\mathfrak{a}$ von $R$ sei $M[\mathfrak{a}]:=\operatorname{Ann}_{M}(\mathfrak{a})=\{x\in M\,|\,ax=0\ \text{für alle}\ a\in\mathfrak{a}\}$. Ist nun $M$ injektiv, gilt bekanntlich*

[TABLE]

*so dass aus $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M=0$, d. h. $M=M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$ sofort folgt $IM=M$, wegen $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M=M[\overline{I}]$ aber auch der zweite Teil.

(c) Beide Äquivalenzen sind wohlbekannt: Genau dann ist $\mathfrak{a}R_{\mathfrak{p}}=0$, wenn es ein $s\in R\setminus\mathfrak{p}$ gibt mit $s\mathfrak{a}=0$, und $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot R_{\mathfrak{p}}$ ist im Ring $R_{\mathfrak{p}}$ der Annullator des Ideals $IR_{\mathfrak{p}}$. $\Box$*

Für jeden $R$-Modul $X$ und jedes Ideal $\mathfrak{a}$ von $R$ ist genau dann $X[\mathfrak{a}]=0$, wenn $\mathfrak{a}\not\subset\mathfrak{p}$ ist für alle $\mathfrak{p}\in\operatorname{Ass}(X)$, so dass mit (b) und (c) folgt:

Satz 1.2**.**

*Ist $M$ injektiv, so gilt: $M\in\mathcal{P}\iff I_{\mathfrak{p}}$ ist regulär in $R_{\mathfrak{p}}$ für alle $\mathfrak{p}\in\operatorname{Ass}(M)$. *

Bemerkung 1.3**.**

In (1.1, b) kann man nicht erwarten, dass $M[I]=0$ ist. Ist z. B. $V$ der kleinste Untermodul von $E$ mit $E/V\in\mathcal{S}$, so gilt $E[\overline{I}]\subset V\subset E[I]$, und der erste Untermodul ist genau dann Null, wenn $I$ regulär ist, der zweite, wenn $I\cong R$ ist ([7] p. 6, Beispiel 4), der dritte, wenn $I=R$ ist. $\Box$

Bemerkung 1.4**.**

Für jeden flachen $R$-Modul $N$ ist $N^{\circ}=\operatorname{Hom}_{R}(N,E)$ injektiv, so dass man alle bisherigen Ergebnisse via Matlis-Dualität von $N^{\circ}$ auf $N$ übertragen kann. Weil nach ([7] Proposition 3.1) $N^{\circ}\in\mathcal{P}$ äquivalent ist mit $N\in\mathcal{S}$, erhält man sofort:

Für jeden $R$-Modul $N$ gilt: $N[I]=0\implies N\in\mathcal{S}\implies\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot N=0$. Falls $N$ flach ist, ist jede der drei Bedingungen äquivalent mit $\overline{I}\cdot N=N$, d. h. mit $I_{\mathfrak{p}}$ regulär in $R_{\mathfrak{p}}$ für alle $\mathfrak{p}\in\operatorname{Koass}(N)$. $\Box$

Ist $N$ injektiv und $N\in\mathcal{S}$, folgt aus $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot N=0$ nach (1.1, b) $N\in\mathcal{P}$. Um wie viel stärker die Bedingung $N\in\mathcal{S}$ ist, wollen wir jetzt präzisieren:

Lemma 1.5**.**

*Für ein Primideal $\mathfrak{p}$ von $R$ sind äquivalent: *

• (i)

$E(R/\mathfrak{p})\in\mathcal{S}$**

• (ii)

$(R_{\mathfrak{p}})^{\circ\circ}\in\mathcal{P}$**

• (iii)

$R_{\mathfrak{p}}\in\mathcal{P}$**

• (iv)

$I_{\mathfrak{p}}\cong R_{\mathfrak{p}}$**

Beweis

(i $\to$ iv) Nach Schenzel ([5] Lemma 2.3) ist $E(R/\mathfrak{p})^{\circ}\cong\widehat{R_{\mathfrak{p}}^{(J)}}$ für eine Indexmenge $J\neq\varnothing$, also

[TABLE]

*wobei $\widehat{\phantom{aa}}$ die Vervollständigung über $R_{\mathfrak{p}}$ sei. Mit $E(R/\mathfrak{p})^{\circ}$ ist also auch $X=\widehat{R_{\mathfrak{p}}}$ aus $\mathcal{P}$, der $R$-Epimorphismus $I^{(\Lambda)}\twoheadrightarrow X$ induziert einen $\widehat{R}$-Epimorphismus $(I_{\mathfrak{p}})^{(\Lambda)}\twoheadrightarrow X$, und weil $X$ über $R_{\mathfrak{p}}$ das Biduale von $R_{\mathfrak{p}}$ ist, folgt nach ([7] p. 6, Beispiel 4) $I_{\mathfrak{p}}\cong R_{\mathfrak{p}}$.

(iv $\to$ iii) Es genügt zu zeigen, dass $I_{\mathfrak{p}}$ als $R$-Modul $I$-generiert ist. Allgemeiner gilt aber für jeden $R$-Modul $A\in\mathcal{P}$, d. h. $A\cong IB$, dass $A_{S}\cong I\cdot B_{S}$, also auch $A_{S}\in\mathcal{P}$ ist.

(iii $\to$ ii) Für jeden $R$-Modul $A\in\mathcal{P}$, d. h. $A\cong IB$, ist nach ([7] Proposition 3.1) $A^{\circ\circ}\cong I\cdot B^{\circ\circ}$, also auch $A^{\circ\circ}\in\mathcal{P}$.

(ii $\to$ i) Es genügt zu zeigen, dass*

[TABLE]

*ist. Bei $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ ist sogar $E\cong R^{\circ}$, bei $\mathfrak{p}\neq\mathfrak{m}$ gilt nach ([6] p. 7, l. 2)

$(R_{\mathfrak{p}})^{\circ}\cong\coprod\limits_{\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}}E(R/\mathfrak{q})^{(J_{\mathfrak{q}})}$ mit $J_{\mathfrak{q}}\neq\varnothing$ für alle $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$, also wieder die Behauptung. $\Box$*

Weil jeder injektive $R$-Modul direkte Summe von unzerlegbaren der Form $E(R/\mathfrak{p})$ ist, erhält man:

Satz 1.6**.**

*Ist $N$ injektiv, so gilt: $N\in\mathcal{S}\iff I_{\mathfrak{p}}\cong R_{\mathfrak{p}}$ für alle $\mathfrak{p}\in\operatorname{Ass}(N)$. *

Bemerkung 1.7**.**

Die Implikation (ii $\to$ iii) in (1.5) gilt sogar für jeden $R$-Modul $M$, denn nach (2.1, a) ist $M\in\mathcal{P}$ äquivalent mit $M^{\circ}\in\mathcal{S}$. Falls also $M$ flach war, ist $M^{\circ}$ injektiv, und (1.6) liefert sofort: $M\in\mathcal{P}\iff I_{\mathfrak{p}}\cong R_{\mathfrak{p}}$ für alle $\mathfrak{p}\in\operatorname{Koass}(M)$. $\Box$

2 Das duale Paar $(\mathcal{S},\mathcal{P})$

Die Klasse $\mathcal{P}$ aller $I$-generierten $R$-Moduln ist natürlich gegenüber direkten Produkten, direkten Summen und Faktormoduln abgeschlossen. Weiter gilt:

Lemma 2.1**.**

*Die Klasse $\mathcal{P}$ ist gegenüber *

• (a)

reinen Untermoduln,

• (b)

reinen Gruppenerweiterungen und

• (c)

rein-injektiven Hüllen

*abgeschlossen. *

Beweis

*(a) 1. Schritt Eine beliebige Modulerweiterung $M\subset X$ heißt nach ([7] p. 7) $I$-klein, wenn $M_{*}=I(M:_{X}I)$ mit $M$ übereinstimmt. War $X$ injektiv, ist das nach ([7] Proposition 1.1, iii) äquivalent mit $M\in\mathcal{P}$.

Dual heißt $B\subset A$ nach ([7] p. 6) $I$-groß, wenn $B$ mit $B^{*}=(IB):_{A}I$ übereinstimmt (siehe auch [2] Theorem 2.12). Allgemeiner als in [7] gilt jetzt: War $A$ flach, ist $B=B^{*}$ äquivalent mit $A/B\in\mathcal{S}$. Nur „$\Leftarrow$“ ist zu zeigen, und da ist in der exakten Folge*

[TABLE]

$(A/B)^{\circ}\in\mathcal{P}$* und $A^{\circ}$ injektiv, also nach eben $\operatorname{Ann}_{A^{\circ}}(B)$ $I$-klein in $A^{\circ}$ und dann nach ([7] Bemerkung 4.4) $B$ $I$-groß in $A$.

2. Schritt Zeigen wir zuerst den Spezialfall $M\subset M^{\circ\circ}$ mit $M^{\circ\circ}\in\mathcal{P}$, d. h. $M^{\circ}\in\mathcal{S}$. Mit einer injektiven Erweiterung $M\subset X$ ist dann*

[TABLE]

*exakt und $X^{\circ}$ flach, also nach eben $\operatorname{Ann}_{X^{\circ}}(M)$ $I$-groß in $X^{\circ}$, und mit ([7] Lemma 4.3) folgt $M$ $I$-klein in $X$, also $M\in\mathcal{P}$.

Ist jetzt $A\hookrightarrow B$ ein reiner Monomorphismus und $B\in\mathcal{P}$, ist mit $B^{\circ\circ}\in\mathcal{P}$ auch der direkte Summand $A^{\circ\circ}\in\mathcal{P}$, also $A\in\mathcal{P}$.

(b) Ist $0\to A\to B\to C\to 0$ rein-exakt und $A,C\in\mathcal{P}$, folgt aus $C^{\circ},A^{\circ}\in\mathcal{S}$ sogar $B^{\circ}\in\mathcal{S}$ (weil die entsprechende Folge zerfällt), also nach (a) $B\in\mathcal{P}$.

(c) Sei $M\in\mathcal{P}$ und $M\subset N$ eine rein-injektive Hülle. Dann ist $N$ bis auf Isomorphie direkter Summand in $M^{\circ\circ}$, also auch $N\in\mathcal{P}$. $\Box$*

Aus (2.1) und den Regeln

[TABLE]

folgt, dass $(\mathcal{S},\mathcal{P})$ ein im Sinne von Mehdi–Prest ([3] p. 1389) duales Paar bildet. Wir wollen untersuchen, wann seine Komponenten gegenüber Untermoduln, Faktormoduln oder Gruppenerweiterungen abgeschlossen sind.

Satz 2.2**.**

*Äquivalent sind: *

• (i)

$\mathcal{P}$* ist gegenüber Untermoduln abgeschlossen.*

• (ii)

$\mathcal{S}$* ist gegenüber Faktormoduln abgeschlossen.*

• (iii)

$\mathcal{P}=\mathcal{S}=\{M\in R\text{-}\mathrm{Mod}\ |\,\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M=0\}$.

• (iv)

Es gibt einen Epimorphismus $I\twoheadrightarrow R/\operatorname{Ann}_{R}(I)$.

Beweis

*(i $\to$ iv) Mit $I=Rr_{1}+\dots+Rr_{n}$ ($n\geq 1$) und $x=(r_{1},\dotsc,r_{n})\in I\times\dots\times I$ ist nach Voraussetzung auch $Rx\in\mathcal{P}$, d. h. $I\twoheadrightarrow Rx\cong R/\operatorname{Ann}_{R}(x)=R/\operatorname{Ann}_{R}(I)$.

(iv $\to$ iii) In $\mathcal{P}\subset\{M\in R\text{-}\mathrm{Mod}\ |\,\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M=0\}$ gilt Gleichheit, denn aus $R^{(\Lambda)}\twoheadrightarrow M$ und $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M=0$ folgt $(R/\operatorname{Ann}_{R}(I))^{(\Lambda)}\twoheadrightarrow M$, also nach Voraussetzung $I^{(\Lambda)}\twoheadrightarrow M$. Damit gilt auch $N\in\mathcal{S}\iff N^{\circ}\in\mathcal{P}\iff\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot N^{\circ}=0\iff\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot N=0$.

(iii $\to$ i) klar.

(i $\to$ ii) Aus $N\in\mathcal{S}$ und $V\subset N$ folgt $N^{\circ}\in\mathcal{P}$, also nach Voraussetzung auch $(N/V)^{\circ}\in\mathcal{P}$, d. h. $N/V\in\mathcal{S}$.

(ii $\to$ iv) Mit $I$ und $x$ wie am Anfang folgt $(I^{\circ})^{n}\twoheadrightarrow(Rx)^{\circ}$, so dass nach Voraussetzung $(Rx)^{\circ}\in\mathcal{S}$, d. h. $Rx\in\mathcal{P}$ ist, also $I\twoheadrightarrow R/\operatorname{Ann}_{R}(I)$. $\Box$*

Bemerkung 2.3**.**

Die Bedingung (iv) ist natürlich erfüllt, wenn $I$ zyklisch oder halbeinfach $\neq 0$ ist. Das ist z. B. der Fall, wenn $\mathfrak{m}^{2}=0$ ist. $\Box$

Bemerkung 2.4**.**

Die Bedingung (iv) ist genau dann erfüllt, wenn es einen zyklischen direkten Summanden $I_{1}$ von $I$ gibt mit $\operatorname{Ann}_{R}(I_{1})=\operatorname{Ann}_{R}(I)$. War also $I$ direkt unzerlegbar (z. B. wenn $R$ uniform ist), muss $I$ bereits zyklisch sein. $\Box$

Satz 2.5**.**

*Äquivalent sind: *

• (i)

$\mathcal{P}$* ist gegenüber Gruppenerweiterungen abgeschlossen.*

• (ii)

$\mathcal{S}$* ist gegenüber Gruppenerweiterungen abgeschlossen.*

• (iii)

Es ist $I=0$ oder $I\cong R$.

Beweis

*(iii $\to$ i) ist klar, ebenso (i $\to$ ii), denn aus $0\to A\to B\to C\to 0$ exakt und $A,C\in\mathcal{S}$ folgt $C^{\circ},A^{\circ}\in\mathcal{P}$, also nach Voraussetzung $B^{\circ}\in\mathcal{P}$, d. h. $B\in\mathcal{S}$.

Für (ii $\to$ iii) sei gleich $I\neq 0$. Zeigen wir im 1. Schritt, dass $I$ regulär ist: Mit $R/\mathfrak{m}$ gehört auch jeder reduzierte $R$-Modul $N$ zu $\mathcal{S}$, denn der kleinste Untermodul $V$ von $N$, mit $N/V\in\mathcal{S}$, hat nach Voraussetzung keinen maximalen Untermodul, ist also radikalvoll, d. h. es ist $V=0$. Insbesondere ist $R\in\mathcal{S}$, also $\operatorname{Ann}_{R}(I)=0$.

Sei im 2. Schritt $V$ der kleinste Untermodul von $E$ mit $E/V\in\mathcal{S}$. Dann ist $\operatorname{Hom}_{R}(V,I^{\circ})=0$, denn für jedes $f\colon V\to I^{\circ}$ ist $V/\operatorname{Ke}f\in\mathcal{S}$, also nach Voraussetzung $E/\operatorname{Ke}f\in\mathcal{S}\implies\operatorname{Ke}f=V$, d. h. $f=0$. Aus $\operatorname{Hom}_{R}(I,V^{\circ})=0$ folgt $\operatorname{Ass}(V^{\circ})\cap\operatorname{Supp}(I)=\varnothing$ ([1] chap. IV, § 1, Proposition 10), wegen $\operatorname{Supp}(I)=V(\operatorname{Ann}_{R}(I))=\operatorname{Spec}(R)$ nach dem 1. Schritt also $\operatorname{Ass}(V^{\circ})=\varnothing$, $V=0$. Aber $E\in\mathcal{S}$ bedeutet nach ([7] p. 6, Beispiel 4) schon $I\cong R$. $\Box$*

3 Die Funktoren $\gamma$ und $\kappa$

Für jeden $R$-Modul $M$ hat die Menge $\{U\subset M\,|\,U\in\mathcal{P}\}$ ein größtes Element, das wir mit $\gamma(M)$ bezeichnen, und $\{V\subset M\,|\,M/V\in\mathcal{S}\}$ ein kleinstes Element, das wir mit $\kappa(M)$ bezeichnen (siehe die beiden Schritte im letzten Beweis).

Beispiel 1 Gibt es einen Epimorphismus $I\twoheadrightarrow R/\operatorname{Ann}_{R}(I)$ wie in (2.2), so gilt für jeden $R$-Modul $M$

[TABLE]

Beweis

Nach (2.2, iii) gilt für $U\subset M$, dass $U\in\mathcal{P}$ äquivalent ist mit $U\subset M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$, und für $V\subset M$, dass $M/V\in\mathcal{S}$ äquivalent ist mit $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M\subset V$. $\Box$

Beispiel 2

• (a)

Ist $M\subset X$ und $X$ injektiv, so gilt $\gamma(M)=I(M:_{X}I)$.

• (b)

Ist $B\subset A$ und $A$ flach, so gilt $\kappa(A/B)=(IB:_{A}I)/B$.

Beweis

*(a) „$\subset$“ Für $U=\gamma(M)$ gilt nach ([7] Proposition 1.1, iii) $U=I(U:_{X}I)\subset I(M:_{X}I)=M_{*}$. „$\supset$“ $M_{*}$ ist ein Untermodul von $M$ und natürlich $I$-generiert, also enthalten in $\gamma(M)$.

(b) „$\supset$“ Mit $V/B=\kappa(A/B)$ ist $A/V\in\mathcal{S}$, also nach dem Beweis von (2.1, a) $V=(IV):_{A}I\supset(IB):_{A}I=B^{*}$. „$\subset$“ $\frac{A}{IB}/\frac{A}{IB}[I]$ ist nach ([7] Proposition 3.1) $I^{\circ}$-kogeneriert und isomorph zu $A/B^{*}\cong\frac{A}{B}/\frac{B^{*}}{B^{\phantom{*}}}$, also $\kappa(\frac{A}{B})\subset\frac{B^{*}}{B^{\phantom{*}}}$. $\Box$*

Beispiel 3 Ist $R$ ein Integritätsring und $\operatorname{Ext}_{R}^{1}(R/I,R)=0$, so gilt $\gamma(R)=I$.

Beweis

Bei $I=0$ ist $\gamma(M)=0$ für jeden $R$-Modul $M$. Bei $I\neq 0$ folgt mit dem Quotientenkörper $K$ von $R$, dass in der exakten Folge

[TABLE]

das erste und dritte Glied Null ist, also auch $(K/R)[I]=(R:_{K}I)/R$. Aus $R:_{K}I=R$ folgt dann mit Beispiel 2 (a) die Behauptung. $\Box$

Satz 3.1**.**

*Für jeden $R$-Modul $M$ gilt: *

• (a)

$IM\subset\gamma(M)\subset M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$* und $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M\subset\kappa(M)\subset M[I]$.*

• (b)

$\gamma(M)$* ist groß in $M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$ und $\kappa(M)/\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M$ ist klein in $M/\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M$.*

• (c)

$\operatorname{Ass}(\gamma(M))=\operatorname{Ass}(M)\cap\operatorname{Supp}(I)$* und $\operatorname{Koass}(M/\kappa(M))=\operatorname{Koass}(M)\cap\operatorname{Supp}(I)$.*

Beweis

*(a) Aus $IM\in\mathcal{P}$ und $\gamma(M)\in\mathcal{P}$ folgen die beiden ersten Inklusionen, aus $M/\kappa(M)\in\mathcal{S}$ und $M/M[I]\in\mathcal{S}$ ([7] Proposition 3.1) die beiden anderen.

(b) Sei $0\neq U\subset M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$. Mit irgendeinem $\mathfrak{p}_{0}\in\operatorname{Ass}(U)$ ist dann $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot R/\mathfrak{p}_{0}=0$, also $\mathfrak{p}_{0}\in\operatorname{Ass}(U)\cap\operatorname{Supp}(I)=\operatorname{Ass}(\operatorname{Hom}_{R}(I,U))$ nach ([1] chap. IV, § 1, Proposition 10) $\implies\operatorname{Hom}_{R}(I,U)\neq 0$, $\gamma(U)\neq 0$.

Entsprechend müssen wir für jeden Zwischenmodul $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M\subset V\subsetneqq M$ zeigen, dass $V+\kappa(M)\subsetneqq M$ ist. Mit irgendeinem $\mathfrak{p}_{0}\in\operatorname{Koass}(M/V)$ folgt, weil $M/V$ durch $\operatorname{Ann}_{R}(I)$ annulliert wird, $\mathfrak{p}_{0}\in\operatorname{Ass}((M/V)^{\circ})\cap\operatorname{Supp}(I)$, also $\operatorname{Hom}_{R}(I,(M/V)^{\circ})\cong\operatorname{Hom}_{R}(M/V,I^{\circ})\neq 0$, $V\subset V_{1}\subsetneqq M$ mit $M/V_{1}\in\mathcal{S}$, also $\kappa(M)\subset V_{1}$.

(c) Für jeden wesentlichen Monomorphismus $A\hookrightarrow B$ gilt bekanntlich $\operatorname{Ass}(A)=\operatorname{Ass}(B)$, für jeden wesentlichen Epimorphismus $B\twoheadrightarrow C$ dual $\operatorname{Koass}(B)=\operatorname{Koass}(C)$. $\Box$*

Folgerung 3.2**.**

*Mit $\overline{I}=\operatorname{Ann}_{R}\operatorname{Ann}_{R}(I)$ gilt: *

• (a)

$M$* injektiv $\implies IM=\gamma(M)=M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$ und $M[\overline{I}]\subset\kappa(M)\subset M[I]$.*

• (b)

$M$* flach $\implies\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M=\kappa(M)=M[I]$ und $IM\subset\gamma(M)\subset\overline{I}M$.*

Beweis

*(a) Weil $M$ injektiv ist, gilt $\mathfrak{a}M=M[\operatorname{Ann}_{R}(\mathfrak{a})]$ für alle Ideale $\mathfrak{a}$ von $R$, so dass $\mathfrak{a}=I$ in (3.1, a) die Gleichung und $\mathfrak{a}=\operatorname{Ann}_{R}(I)$ die Ungleichung liefert.

(b) Entsprechend, weil für jeden flachen $R$-Modul $M$ gilt $\operatorname{Ann}_{R}(\mathfrak{a})\cdot M=M[\mathfrak{a}]$. $\Box$*

Folgerung 3.3**.**

*Falls $I$ ein Annullatorideal, d. h. $I=\overline{I}$ ist, folgt *

• (a)

für jeden injektiven $R$-Modul $M\in\mathcal{P}$ sogar $M\in\mathcal{S}$,

• (b)

für jeden flachen $R$-Modul $M\in\mathcal{S}$ sogar $M\in\mathcal{P}$.

Beweis

Bei (a) ist $M[\overline{I}]=0$ nach (1.1, b), also $\kappa(M)=0$, bei (b) ist $\overline{I}\cdot M=M$ nach (1.4), also $\gamma(M)=M$. $\Box$

Bemerkung 3.4**.**

(1) Auch wenn $I$ zyklisch ist, kann $IM\subsetneqq\gamma(M)$ und $\kappa(M)\subsetneqq M[I]$ sein, z. B. wenn $I\subset\operatorname{Ann}_{R}(M)\subsetneqq R$ und $I\cong R$ ist (denn dann ist $IM=0$, $\gamma(M)=M$, $\kappa(M)=0$ und $M[I]=M$).

(2) Ist $I$ nicht zyklisch, kann auch $\gamma(M)\subsetneqq M[\operatorname{Ann}_{R}(I)]$ und $\operatorname{Ann}_{R}(I)\cdot M\subsetneqq\kappa(M)$ sein, z. B. wenn $I$ regulär, aber nicht isomorph zu $R$ ist (denn dann ist $\gamma(R)\subsetneqq R$ und $0\subsetneqq\kappa(E)$). $\Box$

Ist ein $R$-Modul $M$ einreihig (d. h. $\mathcal{L}(M)$ totalgeordnet und endlich), so zeigten wir in ([7] Satz 1.4 und Folgerung 3.3), dass $M\in\mathcal{P}$ äquivalent ist mit $M\in\mathcal{S}$ und das (mit Länge$(M)=n\geq 1$) weiter äquivalent ist mit $\mathfrak{m}^{n-1}\cdot I\not\subset\operatorname{Ann}_{R}(M)\cdot I$. Wir wollen zum Schluss genauer $\gamma(M)$ und $\kappa(M)$ berechnen, ebenso (weil auch $M^{\circ}$ einreihig ist) $\gamma(M^{\circ})$ und $\kappa(M^{\circ})$.

Satz 3.5**.**

Sei $M$ einreihig von der Länge $n\geq 1$, $M\supsetneqq M_{1}\supsetneqq M_{2}\supsetneqq\dots\supsetneqq M_{n-1}\supsetneqq 0$ sein Untermodulverband und $s$ die kleinste natürliche Zahl mit $\mathfrak{m}^{s}\cdot I\subset\operatorname{Ann}_{R}(M)\cdot I$. Dann ist $0\leq s\leq n$ und

[TABLE]

Beweis

*Aus $\mathfrak{m}^{n}\subset\operatorname{Ann}_{R}(M)$ folgt $s\leq n$. Nach ([7] Folgerung 1.5) gilt für alle $0\leq i\leq n$, dass $M/M_{i}\notin\mathcal{P}$ äquivalent ist mit $i>0$ und $\mathfrak{m}^{i-1}\cdot I\subset\operatorname{Ann}_{R}(M)\cdot I$, d. h. mit $i-1\geq s$, $i>s\implies\kappa(M)=M_{s}$.

Weil auch $M^{\circ}$ einreihig von der Länge $n\geq 1$ ist und $(M_{i})^{\circ}$ ein Faktormodul der Länge $n-i$, ist nach demselben Zitat $M_{i}\notin\mathcal{P}$ äquivalent mit $n-i>0$ und $\mathfrak{m}^{(n-i)-1}\cdot I\subset\operatorname{Ann}_{R}(M)\cdot I$, d. h. mit $(n-i)-1\geq s$, $n-s>i\implies\gamma(M)=M_{n-s}$. $\Box$*

Folgerung 3.6**.**

Sei $M$ einreihig von der Länge $n\geq 1$. Dann ist

[TABLE]

Beweis

Auch $D=M^{\circ}$ ist einreihig von der Länge $n\geq 1$, genauer $D\supsetneqq D_{1}\supsetneqq D_{2}\supsetneqq\dots\supsetneqq D_{n-1}\supsetneqq 0$ sein Untermodulverband mit $D_{i}=\operatorname{Ann}_{M^{\circ}}(M_{n-i})$. Wegen $\operatorname{Ann}_{R}(D)=\operatorname{Ann}_{R}(M)$ folgt mit (3.5) sofort $\gamma(M^{\circ})=D_{n-s}=\operatorname{Ann}_{M^{\circ}}(M_{s})=\operatorname{Ann}_{M^{\circ}}(\kappa(M))$, entsprechend $\kappa(M^{\circ})$. $\Box$

Literatur

• [1]

N. Bourbaki: Algèbre commutative: Hermann. Paris (1967)

• [2]

W. J. Heinzer – L. J. Ratliff Jr. – D. E. Rush: Basically full ideals in local rings: J. Algebra 250 (2002) 371–396

• [3]

A. R. Mehdi – M. Prest: Almost dual pairs and definable classes of modules: Commun. Algebra 43 (2015) 1387–1397

• [4]

J. J. Rotman: An introduction to homological algebra: Academic Press. New York (1997)

• [5] P. Schenzel: A note on the Matlis dual of a certain injective hull: J. pure appl. Algebra 219 (2015) 666–671
• [6]

H. Zöschinger: Über rein-wesentliche Erweiterungen: arXiv 1403.5957 (2014) 1–11

• [7] H. Zöschinger: Über die von einem Ideal $I\subset R$ erzeugten $R$-Moduln: arXiv 1604.02349 (2016) 1–9