The extrema of the first eigenvalue of the Sturm--Liouville problem with third-type boundary conditions

TL;DR

This paper determines the minimum and maximum possible values of the first eigenvalue for a Sturm--Liouville problem with third-type boundary conditions, considering a class of nonnegative functions with a specific integral constraint.

Contribution

It provides the extremal bounds of the first eigenvalue for a Sturm--Liouville problem under a new class of integral constraints on the potential function.

Findings

Derived explicit infimum and supremum of the first eigenvalue.

Characterized extremal potentials achieving these bounds.

Extended understanding of eigenvalue behavior under integral constraints.

Abstract

We get the infima and suprema of the first eigenvalue of the problem $y'' + qy + \lambda y = 0$, $y'(0) - k_0^2 y(0) = y'(1) + k_1^2 y(1) = 0$, where $q$ belongs to the set of nonnegative summable functions on [0,1] such that $\int_0^1 q^\gamma dx = 1$, where $\gamma \in R\setminus \{0\}$.

Equations

$$y^{\prime \prime }+qy+\lambda y=0,$$

$$y^{\prime }(0)-k_0^{2}y(0)=y^{\prime }(1)+k_1^{2}y(1)=0,$$

$$A_{\gamma }=\{q\in L_1[0,1]:q(x)⩾0,{\int }_0^1{q}^{\gamma }dx=1\}$$

$$\Vert y{\Vert }_{W_2^{-1}[0,1]}\rightleftharpoons \underset{\Vert z{\Vert }_{W_2^1[0,1]}=1}{\sup }{\int }_0^{1}yzdx.$$

$$⟨y,z⟩\rightleftharpoons \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{y}_{n}zdx(\text{T2AcyrgT2AcyrdT2Acyre}y=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n,y_n\in L_2[0,1]).$$

$$m_{\gamma }=\underset{q\in {\Gamma }_{\gamma }}{\inf }{\lambda }_1(q),M_{\gamma }=\underset{q\in {\Gamma }_{\gamma }}{\sup }{\lambda }_1(q).$$

$$\Vert y{\Vert }_p=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{r\to p}{r\ne 0}}{\lim }{\left({\int }_0^1|y{|}^{r}dx\right)}^{1/r}.$$

$$\Vert y{\Vert }_0=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{r\to 0}{r\ne 0}}{\lim }{\left({\int }_0^1|y{|}^{r}dx\right)}^{1/r}=\exp \left({\int }_0^1\ln |y|dx\right)$$

$$\Vert y{\Vert }_p={\left({\int }_0^1|y{|}^{p}dx\right)}^{1/p}⩽{\left({\left({\int }_0^1|y{|}^{r}dx\right)}^{p/r}\right)}^{1/p}=\Vert y{\Vert }_r.$$

$$\Vert y{\Vert }_r={\left({\int }_0^1|y{|}^{r}dx\right)}^{1/r}⩾{\left({\left({\int }_0^1|y{|}^{p}dx\right)}^{r/p}\right)}^{1/r}=\Vert y{\Vert }_p.$$

$$q_{n}(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}n,&x-(\zeta-1/n)^{+}\in(0,1/n),\\ 0,&\mbox{ \T2A\cyri\T2A\cyrn\T2A\cyra\T2A\cyrch\T2A\cyre}.\end{array}\right.$$

$$a^{+}=\{\begin{array}{ll}a& \text{mbox}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrs}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}a>0,\\ 0& \text{mbox}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrn}\text{T}2A\text{cyra}\text{T}2A\text{cyrch}\text{T}2A\text{cyre}.\end{array}$$

$$\Vert q_n{\Vert }_{\gamma }=n^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}<\epsilon .$$

$$\Vert q_n-q_m{\Vert }_{W_2^{-1}[0,1]}=\underset{\Vert z{\Vert }_{W_2^1[0,1]}=1}{\sup }{\int }_0^1(q_n-q_m)zdx=\underset{\Vert z{\Vert }_{W_2^1[0,1]}=1}{\sup }(z({\xi }_z)-z({\eta }_z)),$$

$$|z({\xi }_z)-z({\eta }_z)|\le \Vert z{\Vert }_{W_2^1[0,1]}\sqrt{|{\xi }_z-{\eta }_z|},$$

$$\Vert q_n-q_m{\Vert }_{W_2^{-1}[0,1]}\le \underset{\Vert z{\Vert }_{W_2^1[0,1]}=1}{\sup }\sqrt{|{\xi }_z-{\eta }_z|}<\epsilon \text{mbox}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyrr}\text{T}2A\text{cyri}n,m>\frac{1}{\epsilon }.$$

$$⟨q,z⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{q}_{n}zdx=n\underset{\zeta -1/n}{\overset{\zeta }{\int }}zdx=z(\zeta ).$$

$$m_{\gamma }=-\infty .$$

$$q_{n}(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}n^{1/\gamma},&x\in(0,1/n),\\ 0,&\mbox{ \T2A\cyri\T2A\cyrn\T2A\cyra\T2A\cyrch\T2A\cyre}.\end{array}\right.$$

$$⟨q,z⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{q}_{n}zdx=0,$$

$$M_{\gamma }=\underset{q\in {\Gamma }_{\gamma }}{\sup }{\lambda }_1(q)={\lambda }_1(0).$$

Full text

Экстремальные свойства первого собственного значения

задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего типа.

Карулина Е.С.

Рассматривается задача Штурма—Лиувилля

[TABLE]

где $k_{0},\,k_{1}\in\mathbb{R}$, а функция $q$ принадлежит множеству

[TABLE]

при $\gamma\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Пусть $m_{\gamma}=\inf\limits_{q\in A_{\gamma}}\lambda_{1}(q)$, $M_{\gamma}=\sup\limits_{q\in A_{\gamma}}\lambda_{1}(q)$, где $\lambda_{1}$ — первое собственное значение задачи (1)–(2). Цель данной работы —  найти значения $m_{\gamma}$ и $M_{\gamma}$ при некоторых значениях $\gamma$.

Значения $m_{\gamma}$ и $M_{\gamma}$ для уравнения $y^{\prime\prime}+\lambda q(x)y=0$ с условиями Дирихле были найдены Егоровым и Кондратьевым в 1996 г. (см., например, [2]). Ими впервые была рассмотрена задача такого типа.

Значение $m_{\gamma}$ для задачи Дирихле с уравнением (1) было рассмотрено в 2003 г. Винокуровым и Садовничим при $\gamma\geq 1$ (см. [3]). В работах Ежак С.С. для этой задачи были получены значения $m_{\gamma}$ и $M_{\gamma}$ при всех значениях $\gamma$ (см., например, [4]). Также в работе Владимирова А.А. в 2016 г. было уточнено значение $m_{\gamma}$ при $\gamma\in[1/3,1/2)$ (см. [5]).

Задача $y^{\prime\prime}-qy+\lambda y=0$ с условиями (2), $q\in A_{\gamma}$ подробно рассмотрена в работах автора (см., например, [6]).

В 2013 г. в [7] были найдены значения $m_{1}$ и $M_{1}$ для задачи (1)–(2).

В 2016 г. Ежак С.С. и Тельновой М.Ю. получены первые результаты для задачи Дирихле с уравнением (1) и весовым интегральным условием (см., например, [8]).

Основным результатом данной работы являются следующие теоремы:

Теорема 1. Если $\gamma<1$, то $m_{\gamma}=-\infty$.

Теорема 2. Если $\gamma>1$, то $M_{\gamma}$ — это первое собственное значение задачи $y^{\prime\prime}+\lambda y=0$, (2).

Мы предполагаем, что все рассматриваемые пространства являются вещественными.

В данной статье мы расширяем класс допускаемых к рассмотрению потенциалов с пространства $L_{1}[0,1]$ до пространства $W_{2}^{-1}[0,1]$ (см. [1], [7]). Это пространство, в частности, содержит всевозможные дельта-функции. Такое обобщение рассматриваемой задачи позволяет получить нужные нам оценки, а также доказать, что они достигаются на потенциалах из расширенного класса.

Через $W_{2}^{-1}[0,1]$ будем обозначать гильбертово пространство, являющееся пополнением пространства $L_{2}[0,1]$ по норме

[TABLE]

Если $y\in W_{2}^{-1}[0,1]$, то через $\int_{0}^{1}yz\,dx$ мы обозначаем результат применения линейного функционала $y$ к функции $z\in W_{2}^{1}[0,1]$:

[TABLE]

Пусть $\Gamma_{\gamma}$ —  замыкание в пространстве $W_{2}^{-1}[0,1]$ множества $A_{\gamma}$. Тогда

[TABLE]

Для $p\in\mathbb{R}$ и $y\in L_{\infty}[0,1]:y^{-1}\in L_{\infty}[0,1]$ определим величину

[TABLE]

Из асимптотического соотношения

[TABLE]

следует, что при фиксированном $y$ величина $\|y\|_{p}$ зависит от $p$ непрерывно.

Утверждение 0. Если $p,r\in\mathbb{R}$, $p<r$, то $\|y\|_{p}\leq\|y\|_{r}$.

Доказательство утверждения 0.

Используем неравенство Гёльдера.

Пусть $p>0$, тогда

[TABLE]

Пусть $r<0$, тогда

[TABLE]

Из (3) и непрерывности величины $\|y\|_{p}$ следует, что данное неравенство выполняется и для произвольных $p,r\in\mathbb{R}$.

Обобщённая функция $q\in W_{2}^{-1}[0,1]$ называется неотрицательной, если для любой неотрицательной функции $y\in W_{2}^{1}[0,1]$ выполняется неравенство $\langle q,y\rangle\geq 0$.

Утверждение 1. Пусть $\gamma\in(0,1)$, $\varepsilon>0$, $\rho\in W_{2}^{-1}[0,1]$, $\rho\geq 0$. Тогда найдется последовательность $\{q_{n}\}$ неотрицательных функций из $L_{\infty}[0,1]$ со свойствами $\|q_{n}\|_{\gamma}<\varepsilon$ для достаточно больших $n$, $\rho=\lim\limits_{n\to\infty}{q_{n}}$ в $W_{2}^{-1}[0,1]$.

Доказательство утверждения 1.

Пусть $\zeta\in[0,1]$,

[TABLE]

Символом $a^{+}$ здесь и далее обозначается положительная часть числа $a$, то есть число

[TABLE]

Для любого $\varepsilon>0$ при достаточно больших $n$ выполняется неравенство

[TABLE]

Докажем, что последовательность $\{q_{n}\}$ фундаментальна в $W_{2}^{-1}[0,1]$ и что $\lim\limits_{n\to\infty}{q_{n}}=\delta_{\zeta}$111Здесь и далее символом $\delta_{\zeta}$ мы обозначаем дельта-функцию Дирака с носителем в точке $\zeta\in[0,1]$.. Поскольку любая функция из $W_{2}^{-1}[0,1]$ может быть аппроксимирована линейной комбинацией дельта-функций, этого будет достаточно для доказательства утверждения 1.

По определению нормы в $W_{2}^{-1}[0,1]$, для любых $n,m\in\mathbb{N}$

[TABLE]

где $\left|\xi_{z}-\eta_{z}\right|<\max{\left(1/n,1/m\right)}$.

Используем неравенство Гельдера:

[TABLE]

откуда следует

[TABLE]

Следовательно, последовательность $\{q_{n}\}$ фундаментальна в $W_{2}^{-1}[0,1]$.

Пусть $q=\lim\limits_{n\to\infty}{q_{n}}$ в $W_{2}^{-1}[0,1]$, тогда при $z\in W_{2}^{1}[0,1]$

[TABLE]

Отсюда следует, что $q=\delta_{\zeta}$.

Утверждение 2. Пусть $\gamma<1$, $\rho\in W_{2}^{-1}[0,1]$, $\rho$ — равномерно положительная функция. Тогда найдутся последовательность $\{q_{n}\}$ функций из $\Gamma_{\gamma}$ и последовательность $\{\kappa_{n}\}$, где $\kappa_{n}\in(0,1)$ со свойством $\rho=\lim\limits_{n\to\infty}{\kappa_{n}q_{n}}$ в $W_{2}^{-1}[0,1]$.

Доказательство утверждения 2.

Пусть $\nu\in(\gamma^{+},1)$. Найдется такая постоянная функция $r\in(0,1)$, для которой выполняется неравенство $\rho(x)-r>0$ при всех $x$. Согласно утверждению 1, для любого $\varepsilon>0$ найдется последовательность $\{\psi_{n}\}$ неотрицательных функций из $L_{\infty}[0,1]$ со свойствами $\|\psi_{n}\|_{\nu}<\varepsilon$ при достаточно больших $n$, $\rho-r=\lim\limits_{n\to\infty}{\psi_{n}}$ в $W_{2}^{-1}[0,1]$. Пусть $f_{n}=\psi_{n}+r$, тогда $f^{-1}\in L_{\infty}[0,1]$, и $\|f_{n}\|_{\nu}\in(0,1)$, если $r$ и $\varepsilon$ выбрать достаточно малыми. Из утверждения 0 следует, что $\|f_{n}\|_{\gamma}\in(0,1)$. Пусть $q_{n}=f_{n}/\|f_{n}\|_{\gamma}$, тогда $q_{n}\in A_{\gamma}$ и $\|f_{n}\|_{\gamma}\cdot q_{n}=f_{n}\to\rho$.

Теорема 1. Если $\gamma<1$, то $m_{\gamma}=-\infty$.

Доказательство теоремы 1.

Будем рассматривать $\rho^{*}={\rm const}$ как функцию из $W_{2}^{-1}[0,1]$. Согласно утверждению 2, найдутся такие последовательности функций $q^{*}_{n}\in\Gamma_{\gamma}$ и чисел $\kappa_{n}\in(0,1)$, для которых верно $\kappa_{n}q^{*}_{n}\to\rho^{*}$. Функция $\lambda_{1}(q)$ убывает при возрастании $q$, следовательно, $\lim\limits_{n\to\infty}{\lambda_{1}(q^{*}_{n})}\leq\lim\limits_{n\to\infty}{\lambda_{1}(\kappa_{n}q^{*}_{n})}=\lambda_{1}(\rho^{*})$, т.е. для любого $\varepsilon>0$ при достаточно большом $n$ выполняется неравенство $\lambda_{1}(q^{*}_{n})<\lambda_{1}(\rho^{*})+\varepsilon$.

Т.к. $\rho^{*}$ можно выбрать сколь угодно большим, то из определения $m_{\gamma}$ следует, что

[TABLE]

Утверждение 3. Если $\gamma>1$, то $0\in\Gamma_{\gamma}$.

Доказательство утверждения 3.

Пусть $q=\lim\limits_{n\to\infty}{q_{n}}$ в пространстве $W_{2}^{-1}[0,1]$, где

[TABLE]

Найдем $q$:

[TABLE]

т.е. $q\equiv 0$.

Т.к. $q_{n}\in A_{\gamma}$, то $q\in\Gamma_{\gamma}$.

Теорема 2. Если $\gamma>1$, то $M_{\gamma}$ — это первое собственное значение задачи $y^{\prime\prime}+\lambda y=0$, (2).

Доказательство теоремы 1.

Из утверждения 3 и убывания функции $\lambda_{1}$ следует, что

[TABLE]

Список литературы

• [1] А. А. Владимиров. О сходимости последовательностей обыкновенных дифференциальных операторов// Математические заметки. — 2004. — т. 75. — вып. 6 — С. 941–943.
• [2] Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма–Лиувилля// Успехи матем. наук. — 

1996. —  Т. 51 (3). —  С. 73–144.

• [3] В. А. Винокуров, В. А. Садовничий. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала// Доклады РАН. —  2003. —  Т. 392 (5). —  С. 592–597.
• [4] С. С. Ежак. Об одной задаче минимизации функционала, порождённого задачей Штурма — Лиувилля с интегральным условием на потенциал // Вестник СамГУ. — 2015. — N 6 (128). — С. 57–61.
• [5] А. А. Владимиров Об одной априорной мажоранте собственных значений задач Штурма — Лиувилля // arXiv:1602.05228 [math.CA]
• [6] Е. С. Карулина. Оценки первого собственного значения задачи Штурма–Лиувилля с краевыми условиями третьего типа// Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа: научное издание под ред. И.В. Асташовой. — 

2012. —  М.: ЮНИТИ-ДАНА —  С. 560–607.

• [7] E. S. Karulina, A. A. Vladimirov. The Sturm–Liouville problem with singular potential and the extrema of the first eigenvalue// Tatra Mountains Mathematical Publications. —  2013. —  V. 54. —  P. 101–118.
• [8] S. Ezhak and M. Telnova On Estimates for the First Eigenvalue of Some Sturm-–Liouville Problems with Dirichlet Boundary Conditions and a Weighted Integral Condition // International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations (QUALITDE –– 2016), December 24 -– 26, 2016, Tbilisi, Georgia. Abstracts. P.81–85.