Localisation uniforme des espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel

TL;DR

This paper provides intrinsic characterizations of uniformly localized Besov and Lizorkin-Triebel spaces, extending understanding of these function spaces for various parameters and their applications in analysis.

Contribution

It introduces new intrinsic characterizations for uniformly localized Besov and Lizorkin-Triebel spaces for all relevant parameters, broadening their theoretical framework.

Findings

Characterizations valid for all s>0

Applicable to all p,q in specified ranges

Enhances understanding of localized function spaces

Abstract

We give intrinsic characterisations for the uniformly localized versions of the Besov spaces $B^{s}_{p,q}({\mathbb R}^n)$, where $p,q\in [1,+\infty]$, and of the Lizorkin-Triebel spaces $F^{s}_{p,q}({\mathbb R}^n)$, where $q\in [1,+\infty]$ and $p\in [1,+\infty[$, whatever be the real number $s>0$.

Equations

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\Vert ({\tau }_a\phi )f{\Vert }_E<+\infty .$$

$$\underset{0<t\le 1/2}{\sup }{t}^{\alpha }u(t)\le c{\left({\int }_0^1{\left(t^{\alpha }u(t)\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}$$

$$\Vert f{\Vert }_{E_{lu}}:=\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\Vert ({\tau }_a\phi )f{\Vert }_E.$$

$$W^m(E):=\{f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n):f^{(\alpha )}\in E\mathrm{pour}\mathrm{tout}|\alpha |\le m\}.$$

$$\Vert f{\Vert }_{W^m(E)}:=\sum _{|\alpha |\le m}\Vert f^{(\alpha )}{\Vert }_E.$$

$${\left(W^m(E)\right)}_{lu}=W^m\left(E_{lu}\right),$$

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\left({\int }_{\mathbb{B}+a}|f(x){|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}<+\infty ;$$

$${\omega }_{p,A}(f,t):=\underset{|h|\le t}{\sup }{\left({\int }_A{\left|{\Delta }_{h}f(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p},$$

$${\eta }_{p,A}(f,t):=\underset{|h|\le t}{\sup }{\left({\int }_A{\left|{\Delta }_h^{2}f(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}.$$

$$\Vert f{\Vert }_{B_{p,q}^s({\mathbb{R}}^n)}:=\Vert f{\Vert }_p+{\left({\int }_0^1(t^{-s}{\omega }_p(f,t){)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}<+\infty .$$

$$\Vert f{\Vert }_{F_{p,q}^s({\mathbb{R}}^n)}:=\Vert f{\Vert }_p+{\left({\left({\int }_0^1{\left(t^{-s-n}{\int }_{|h|\le t}|{\Delta }_{h}f(x){|}^q\mathrm{d}h\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{p/q}\mathrm{d}x\right)}^{1/p}<+\infty .$$

$$\sum _{|\alpha |\le m}\Vert f^{(\alpha )}{\Vert }_{E_{p,q}^{s-m}({\mathbb{R}}^n)}.$$

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\left({\int }_0^1{\left(t^{-s}{\omega }_{p,\mathbb{B}+a}(f,t)\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}+{\Vert f\Vert }_{L_p({\mathbb{R}}^n{)}_{lu}}<+\infty .$$

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\left({\int }_0^1{\left(t^{-1}{\eta }_{p,\mathbb{B}+a}(f,t)\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}+{\Vert f\Vert }_{L_p({\mathbb{R}}^n{)}_{lu}}<+\infty .$$

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\Vert {\left({\int }_0^1{\left(t^{-s-n}{\int }_{|h|\le t}\left|{\Delta }_{h}f(.)\right|\mathrm{d}h\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}\Vert }_{L_p(\mathbb{B}+a)}+{\Vert f\Vert }_{L_p({\mathbb{R}}^n{)}_{lu}}<+\infty .$$

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\Vert {\left({\int }_0^1{\left(t^{-n-1}{\int }_{|h|\le t}\left|{\Delta }_h^{2}f(.)\right|\mathrm{d}h\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}\Vert }_{L_p(\mathbb{B}+a)}+{\Vert f\Vert }_{L_p({\mathbb{R}}^n{)}_{lu}}<+\infty .$$

$${\Delta }_h(fg)=({\Delta }_{h}f)({\tau }_{-h}g)+f({\Delta }_{h}g).$$

$${\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|{\Delta }_h(({\tau }_a{\phi }_0)f)(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}$$

$$\le {\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|{\Delta }_{h}f(x){\phi }_0(x+h-a)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}+{\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(x){|}^p{\left|{\Delta }_h({\tau }_a{\phi }_0)(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}$$

$$\le {\left({\int }_{\mathbb{B}+a}{\left|{\Delta }_{h}f(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}+t{\Vert \nabla {\phi }_0\Vert }_{\infty }{\left({\int }_{\mathbb{B}+a}{\left|f(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}$$

$$\le c_1\left({\omega }_{p,\mathbb{B}+a}(f,t)+t\Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n{)}_{lu}}\right).$$

$${\left({\int }_0^{1/2}{\left(t^{-s}{\omega }_p(({\tau }_a{\phi }_0)f,t)\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}$$

$$\le c_1\left({\left({\int }_0^{1/2}{\left(t^{-s}{\omega }_{p,\mathbb{B}+a}(f,t)\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}+{\left({\int }_0^{1/2}{\left(t^{1-s}\right)}^q\frac{\mathrm{d}t}{t}\right)}^{1/q}\Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n{)}_{lu}}\right).$$

$$\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\Vert ({\tau }_a{\phi }_0)f{\Vert }_{B_{p,q}^s({\mathbb{R}}^n)}\le c_{3}A(f).$$

$$A(f)\le c_4\underset{a\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\Vert ({\tau }_a{\phi }_1)f{\Vert }_{F_{p,q}^s({\mathbb{R}}^n)}.$$

$$M_{p,a}(f):=\underset{0<t\le 1/2}{\sup }\frac{1}{t}{\eta }_{p,\mathbb{B}+a}(f,t).$$

$${\Delta }_h^2(fg)=({\Delta }_h^{2}f)({\tau }_{-2h}g)+({\Delta }_h^{2}g)({\tau }_{-h}f)+({\Delta }_{h}f)({\Delta }_{2h}g),$$

$${\Delta }_h=2^{-k}{\Delta }_{2^{k}h}-\sum _{l=0}^{k-1}{2}^{-l-1}{\Delta }_{2^{l}h}^2.$$

$${\omega }_{p,\mathbb{B}+a}(f,t)\le ct\left\{{\left({\int }_{2\mathbb{B}+a}|f(x){|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}+M_{p,a}(f)|\ln t|\right\},$$

$${\left({\int }_{\mathbb{B}+a}{\left|{\Delta }_{h}f(x)\right|}^p\mathrm{d}x\right)}^{1/p}$$

Full text

We give intrinsic characterisations for the uniformly localized versions of the Besov spaces ${B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})}$, where $p,q\in[1,+\infty]$, and of the Lizorkin-Triebel spaces ${F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})}$, where $q\in[1,+\infty]$ and $p\in[1,+\infty[$, whatever be the real number $s>0$.

Mots-clés: Espaces de Besov, Espaces de Lizorkin-Triebel, Localisation uniforme.

2010 Mathematics Subject Classification: 46E35.

1 Introduction

À tout espace normé $E$ de fonctions sur ${\mathbb{R}}^{n}$, il est possible d’associer sa version localisée-uniforme. Il s’agit de l’espace, noté $E_{lu}$, des fonctions $f$ telles que

[TABLE]

Ici $\tau_{a}$ désigne l’opérateur de translation, défini par $\tau_{a}f(x):=f(x-a)$, et $\varphi$ est une fonction $C^{\infty}$ à support compact, positive, non nulle. Sous des hypothèses standard, rappelées au paragraphe 2, on peut montrer que $E_{lu}$ ne dépend aucunement du choix de la fonction auxiliaire $\varphi$.

Les espaces localisés-uniformes jouent un rôle dans diverses questions d’analyse mathématique. Par exemple, si $E$ est une algèbre de Banach de fonctions, pour la multiplication usuelle, il est naturel de conjecturer que l’ensemble des multiplicateurs de $E$ est précisément $E_{lu}$ — conjecture confirmée dans le cas des espaces de Sobolev $H^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ pour $s>n/2$, voir [4, p. 58] et [5, p. 151]. Ils interviennent aussi dans la caractérisation des fonctions qui opèrent, par composition à gauche, sur certains espaces de fonctions. Ainsi, les fonctions de ${\mathbb{R}}$ dans ${\mathbb{R}}$ qui opèrent, en ce sens, sur l’espace de Sobolev critique $W^{m}_{p}({\mathbb{R}}^{n})$, où l’entier $m$ vérifie $m=n/p>1$, sont précisément celles dont les dérivées appartiennent localement-uniformément à $W^{m-1}_{p}({\mathbb{R}})$ [3]. L’extension de ce théorème aux espaces de Sobolev fractionnaires est une question ouverte. Cependant on a pu établir un résultat partiel [1]: si une fonction opère sur l’espace de Besov $B^{s}_{p,q}({\mathbb{R}}^{n})$, avec $s=n/p>1$ et $q>1$, alors sa dérivée appartient localement-uniformément à $B^{s-1}_{p,q}({\mathbb{R}})$.

Il semble dès lors pertinent de décrire les localisations uniformes des espaces de Sobolev fractionnaires de façon intrinsèque, c’est-à-dire sans recourir à une fonction auxiliaire telle que la fonction $\varphi$ utilisée dans (1). À cet égard, rappelons que, pour les espaces $L_{p}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$, une telle description est bien connue, voir la proposition 3. C’est ce type de description, à l’aide d’intégrales portant sur les translatées d’une boule fixe, que nous mettrons en évidence pour les localisations uniformes des espaces de Sobolev fractionnaires.

Plan

La section 2 sera dévolue à des généralités sur la localisation uniforme. Dans la section 3, on rappellera les définitions des espaces Besov et de Lizorkin-Triebel et on énoncera les théorèmes principaux, qui seront établis dans la dernière section.

Notations et rappels

La norme d’une fonction $f$ dans l’espace de Lebesgue $L_{p}({\mathbb{R}}^{n})$ est notée $\|f\|_{p}$. Comme d’habitude $c,c_{1},...$ désignera une constante positive pouvant dépendre de $n,s,p,q$ et des fonctions auxiliaires; sa valeur pourra changer d’une occurrence à l’autre. Rappelons une inégalité classique (voir, par exemple, [4, II.20, p. 44]):

Lemme 1

Pour tout $q\in[1,+\infty[$ et tout réel $\alpha$, il existe $c>0$ tel que

[TABLE]

pour toute fonction croissante $u$ sur l’intervalle $]0,1]$.

2 Généralités sur la localisation uniforme

Un espace de Banach de distributions (E.B.D.) sur ${\mathbb{R}}^{n}$ est un sous-espace vectoriel $E$ de $\mathcal{D^{\prime}}({\mathbb{R}}^{n})$ muni d’une norme complète $\|-\|_{E}$ telle que l’injection canonique $E\hookrightarrow\mathcal{D^{\prime}}({\mathbb{R}}^{n})$ soit continue. On dit que l’espace $E$ est un $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^{n})$-module si $\phi f\in E$ pour tout $\phi\in\mathcal{D}({\mathbb{R}}^{n})$ et tout $f\in E$. Un E.B.D. $E$ est isométriquement invariant par translation si $\tau_{a}f\in E$ et $\|\tau_{a}f\|_{E}=\|f\|_{E}$ pour tout $f\in E$ et tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$.

Proposition 1

Soit $E$ un ${\mathcal{D}}({\mathbb{R}}^{n})$-module isométriquement invariant par translation. Pour toute distribution $f$, les deux propriétés suivantes sont équivalentes:

(i) Il existe une fonction positive non nulle $\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}}^{n})$ vérifiant (1).

(ii) Pour toute fonction $\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}}^{n})$, on a la propriété (1).

Preuve. Voir [4, p. 57].

Si une distribution $f$ satisfait l’une des deux conditions équivalentes de la proposition 1, on dit que $f$ appartient localement uniformément à $E$; l’ensemble de ces distributions est noté $E_{lu}$. Soit une fonction positive non nulle $\varphi\in{\mathcal{D}}({\mathbb{R}}^{n})$. On montre facilement que $E_{lu}$ est un E.B.D. pour la norme

[TABLE]

De la preuve de la proposition 1, il résulte qu’à équivalence près, la norme de $E_{lu}$ ne dépend pas du choix de la fonction $\varphi$.

Si $E$ est un $E.B.D.$ et $m$ un entier positif, on peut considérer l’espace de Sobolev $W^{m}(E)$ d’ordre $m$ de base $E$, à savoir

[TABLE]

$W^{m}(E)$ est un E.B.D. pour la norme

[TABLE]

Proposition 2

Si $E$ est un ${\mathcal{D}}({\mathbb{R}}^{n})$-module, isométriquement invariant par translation, il en est de même pour $W^{m}(E)$ et on a

[TABLE]

avec des normes équivalentes.

Preuve. Elle résulte aisément de la formule de Leibniz et de la proposition 1.

Nous terminerons cette section en rappelant la description de $L_{p}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$. La preuve facile est laissée au lecteur.

Proposition 3

Soit $p\in[1,+\infty[$. Soit ${\mathbb{B}}$ une boule ouverte (ou un cube ouvert) dans ${\mathbb{R}}^{n}$. Alors une fonction mesurable $f$ sur ${\mathbb{R}}^{n}$ appartient à $L_{p}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$ si et seulement si

[TABLE]

de plus l’expression ci-dessus est équivalente à la norme $\left\|f\right\|_{L_{p}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}}$.

3 Définitions des espaces fonctionnels et énoncés des théorèmes

À toute fonction $f$, définie sur ${\mathbb{R}}^{n}$, et tout $h\in{\mathbb{R}}^{n}$, on associe la fonction $\Delta_{h}f$, définie par $\Delta_{h}f:=\tau_{-h}f-f$. Pour tout $p\in[1,+\infty]$, tout ensemble borélien $A$ de ${\mathbb{R}}^{n}$, toute fonction mesurable $f$ sur ${\mathbb{R}}^{n}$ et tout $t>0$, on pose

[TABLE]

[TABLE]

On note simplement $\omega_{p}:=\omega_{p,{\mathbb{R}}^{n}}$, de même pour $\eta.$

Définition 1

Soient $0<s<1$, $p,q\in[1,+\infty]$. L’espace $B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ est l’ensemble des fonctions $f$ vérifiant

[TABLE]

Définition 2

Soient $0<s<1$, $q\in[1,+\infty]$, $1\leq p<\infty$. L’espace de Lizorkin-Triebel $F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ est l’ensemble des fonctions $f$ vérifiant

[TABLE]

Rappelons qu’on obtient les mêmes espaces fonctionnels, avec des normes équivalentes, en remplaçant, dans les définitions précédentes, l’intégrale $\int_{0}^{1}$ par l’intégrale $\int_{0}^{r}$, où $r$ est n’importe quel réel positif fixé. Quand il n’y a pas lieu de distinguer entre les deux types d’espaces, $B$ ou $F$, nous posons $E_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n}):=B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ ou $F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$. Les espaces d’ordre $1$, c’est-à-dire les espaces $E_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})$, se définissent de la même façon, à condition de remplacer $\Delta_{h}$ par l’opérateur de différence seconde $\Delta_{h}^{2}$ (et donc, dans le cas Besov, $\omega$ par $\eta$). Les espaces d’ordre supérieur à $1$ sont, par définition, les espaces de Sobolev basés sur les espaces d’ordres compris entre [math] et $1$:

Définition 3

Soient $s>1$ et $m$ l’entier tel que $m<s\leq m+1.$ Alors $E_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ est l’ensemble des fonctions $f$ telles que $f^{(\alpha)}\in E_{{p},{q}}^{s-m}({\mathbb{R}}^{n})$ pour tout $\left|\alpha\right|\leq m$. Cet espace est muni de la norme

[TABLE]

Venons-en à la description intrinsèque des espaces localisés-uniformes. On se limitera au cas $0<s\leq 1$, puisqu’il suffit d’appliquer la proposition 2 pour obtenir le cas général. Dans les énoncés suivants, ${\mathbb{B}}$ désignera une boule (ou un cube) fixé de ${\mathbb{R}}^{n}$. On supposera $p,q\in[1,+\infty]$ ($p<\infty$ dans le cas Lizorkin-Triebel).

Théorème 1

Si $0<s<1$, alors $B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$ est l’ensemble des fonctions $f$ telles que

[TABLE]

De plus l’expression ci-dessus est une norme équivalente sur $B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$.

Théorème 2

$B_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$* est l’ensemble des fonctions $f$ telles que*

[TABLE]

De plus l’expression ci-dessus est une norme équivalente sur $B_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$.

Théorème 3

Si $0<s<1$, alors $F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$ est l’ensemble des fonctions $f$ telles que

[TABLE]

De plus l’expression ci-dessus est une norme équivalente sur $F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$.

Théorème 4

$F_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$* est l’ensemble des fonctions $f$ telles que*

[TABLE]

De plus l’expression ci-dessus est une norme équivalente sur $F_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$.

4 Preuves des théorèmes

Sans perte de généralité, on peut supposer que ${\mathbb{B}}$ est la boule unité de ${\mathbb{R}}^{n}$. Dans cette section, on fixe deux fonctions $\varphi_{0}$ et $\varphi_{1}$ dans ${\mathcal{D}}({\mathbb{R}}^{n})$, telles que:

• —

$0\leq\varphi_{0}\leq 1$, $\varphi_{0}$ est non nulle et portée par ${\mathbb{B}}/4$,

• —

$\varphi_{1}(x)=1$ sur $4{\mathbb{B}}$.

4.1 Preuve du théorème 1

On utilisera la formule suivante, valable pour tout $h\in{\mathbb{R}}^{n}$ et toutes fonctions $f$ et $g$ sur ${\mathbb{R}}^{n}$:

[TABLE]

Désignons par $A(f)$ le premier terme de l’inégalité (2).

4.1.1 Étape 1

Soit $f$ une fonction telle que $A(f)<\infty$. Par la formule (6), on a, pour tous $a,h\in{\mathbb{R}}^{n}$ et $|h|\leq t\leq 1/2$,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Par la condition $s<1$, on voit que

[TABLE]

[TABLE]

L’expression ci-dessus étant majorée par $c_{2}A(f)$, pour une certaine constante $c_{2}$, il vient

[TABLE]

4.1.2 Étape 2

Soit $f\in B_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$. On voit aussitôt que $\Delta_{h}((\tau_{a}\varphi_{1})f)(x)=\Delta_{h}f(x)$ pour tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$, tout $x\in{\mathbb{B}}+a$, et tout $|h|\leq 1$. On en déduit aisément que

[TABLE]

4.2 Preuve du théorème 2

On désignera par $A(f)$ le premier terme de l’inégalité (3) et on posera

[TABLE]

4.2.1 Résultats préliminaires

On dispose des formules suivantes, où $k\in\mathbb{N^{*}}$, $h\in{\mathbb{R}}^{n}$ et où $f$ et $g$ sont des fonctions quelconques:

[TABLE]

[TABLE]

La première est immédiate, la seconde s’obtient facilement par récurrence sur $k$.

Lemme 2

Il existe $c>0$ tel que

[TABLE]

pour tout $0<t\leq 1/2,$ tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$ et toute fonction localement intégrable $f.$

Preuve. Le lemme est une variante de l’inégalité classique de Marchaud. On définit l’entier $k\geq 1$ par l’encadrement $2^{-k-1}<t\leq 2^{-k}.$ De la formule (8), on déduit, pour $|h|\leq t$,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

ce qui conclut la preuve du lemme 2.

4.2.2 Étape 1

Soit $f$ une fonction telle que $A(f)<\infty$. Par la formule (7), il vient, pour $\left|h\right|\leq t\leq 1/4$,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

et donc

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

En conséquence

[TABLE]

Grâce au lemme 2, on a, pour tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$,

[TABLE]

[TABLE]

En appliquant le lemme 1 à la fonction croissante $t\mapsto\eta_{p,{\mathbb{B}}+a}(f,t)$, on conclut que

[TABLE]

4.2.3 Étape 2

Soit $f\in B_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$. En procédant comme dans l’étape 2 de la preuve du théorème 1, il vient

[TABLE]

4.3 Preuve du théorème 3

On désignera par $A(f)$ le premier terme de l’inégalité (4).

4.3.1 Étape 1

Soit $f$ une fonction telle que $A(f)<\infty$. Par la formule (6), nous avons

[TABLE]

[TABLE]

On obtient

[TABLE]

[TABLE]

ce qui nous donne

[TABLE]

4.3.2 Étape 2

Supposons que $f\in F_{{p},{q}}^{s}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$. En procédant comme dans l’étape 2 de la preuve du théorème 1, il vient

[TABLE]

4.4 Preuve du théorème 4

On désignera par $A(f)$ le premier terme de l’inégalité (5).

4.4.1 Étape 1

Soit $f$ une fonction telle que $A(f)<\infty$. Soit

[TABLE]

Par la formule (7), il vient, pour tous $a,x\in{\mathbb{R}}^{n}$ et $t>0$,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

On en déduit, pour tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

où

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

On voit facilement que

[TABLE]

Estimation de W(a). Posons

[TABLE]

En décomposant l’intervalle $]0,1/16]$ en intervalles dyadiques et en utilisant des majorations évi-dentes, on obtient $G_{1}(x)\leq c_{4}G_{2}(x)$, où

[TABLE]

Par le changement de variable $h^{\prime}=2^{j-3}h,$ il vient

[TABLE]

Par (8), on a

[TABLE]

d’où $G_{2}(x)\leq c_{5}\left(G_{3}(x)+G_{4}(x)\right),$ avec

[TABLE]

et

[TABLE]

Estimation de $G_{3}$. On a aussitôt

[TABLE]

L’inégalité de Minkowski nous donne, pour tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Estimation de $G_{4}$. Par le lemme 1, on a, pour tout $x\in{\mathbb{R}}^{n}$ et $0<t\leq 1/2$,

[TABLE]

En raison du plongement $\ell_{1}\hookrightarrow\ell_{q}$, on a

[TABLE]

On vérifie facilement que

[TABLE]

En combinant cette relation avec l’inégalité (10), on obtient

[TABLE]

Il vient donc, pour tout $a\in{\mathbb{R}}^{n}$,

[TABLE]

En tenant compte des estimations obtenues pour $G_{3}$ et $G_{4},$ on peut conclure que l’expression $W(a)$ est estimée par

[TABLE]

En combinant avec (9), on conclut que

[TABLE]

4.4.2 Étape 2

Supposons que $f\in F_{{p},{q}}^{1}({\mathbb{R}}^{n})_{lu}$. En procédant comme dans l’étape 2 de la preuve du théorème 1, il vient

[TABLE]

Références

• [1] S.E. Allaoui, G. Bourdaud. Composition dans les espaces de Besov critiques. Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math. 25 (2016), 875–893.
• [2] G. Bourdaud. Localisations des espaces de Besov. Studia Math. 90 (1988), 153–163.
• [3]

G. Bourdaud. Le calcul fonctionnel dans les espaces de Sobolev. Invent. Math. 104 (1991), 435–446.

• [4] G. Bourdaud. Analyse fonctionnelle dans l’espace Euclidien, 2ème édition, Pub. Math. Univ. Paris 7, 23 (1995).
• [5] J. Peetre. New thoughts on Besov spaces. Duke Univ. Math. Series I, Durham, N.C., 1976.

Salah Eddine Allaoui

Département de Mathématique et Informatique

Université de Laghouat

Laghouat 03000

Algérie

shallaoui@yahoo.fr

Gérard Bourdaud

Université Paris Diderot, I.M.J. - P.R.G (UMR 7586)

Bâtiment Sophie Germain

Case 7012

75205 Paris Cedex 13

bourdaud@math.univ-paris-diderot.fr