Fourier series of the curl operator and Sobolev spaces

TL;DR

This paper analyzes the spectral properties of curl and divergence operators in 3D domains, providing formulas for boundary value problems and conditions for Fourier series decompositions in Sobolev spaces.

Contribution

It introduces exact formulas for solving boundary value problems and establishes conditions for Fourier series decompositions involving curl and divergence operators.

Findings

Eigenfunctions form a basis in certain subspaces

Exact formulas for boundary value problems in a ball

Conditions for vector function decompositions

Abstract

The properties of curl and gradient of divergence operators in the domain $G$ of three-dimensional space are described. The self-conjugacy of these operators in the subspaces $\mathbf{L}_{2}(G) $ and the basis property of the system of eigenfunctions are discussed. Exact formulas are founded for solving boundary value problems in a ball and the conditions for the decomposition of vector functions into Fourier series in eigenfunctions of the curl and the gradient of divergence operators.

Equations

$${\mathbf{L}}_2(G)=\mathcal{A}(G)\oplus \mathcal{B}(G).$$

$${\mathcal{B}}_H=\{\mathbf{u}\in {\mathbf{L}}_2(G):\mathrm{rot}\mathbf{u}=0,\mathrm{div}\mathbf{u}=0,\gamma (\mathbf{n}\cdot \mathbf{u})=0\}.$$

$$\mathcal{B}(G)={\mathbf{V}}^0(G)\oplus {\mathcal{B}}_H(G).$$

$${\mathcal{A}}_{\gamma }=\{\nabla h,h\in H^1(G),\gamma (\mathbf{n}\cdot \nabla h)=0\},$$

$${\mathbf{H}}_{\gamma }^{s+1}(G)=\{\mathbf{u}\in {\mathbf{H}}^{s+1}(G):\gamma (\mathbf{n}\cdot \mathbf{u})=0\}.$$

$$-\Delta \mathbf{v}=\mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathbf{v}-\nabla \mathrm{div}\mathbf{v}.$$

$$\mathrm{curl}{\mathbf{u}}_j^{\pm }=\pm {\lambda }_j{\mathbf{u}}_j^{\pm },{\lambda }_j\in \Lambda \subset \mathbb{R},\nabla \mathrm{div}{\mathbf{q}}_j={\mu }_j{\mathbf{q}}_J,{\mu }_j\in M\subset \mathbb{R},$$

$$\mathbf{a}(x)=\sum _{{\mu }_j\in M}(\mathbf{a},{\mathbf{q}}_j){\mathbf{q}}_j(x),\text{T2AcyreT2AcyrsT2AcyrlT2Acyri}\mathbf{a}(x)\in {\mathcal{A}}_{\gamma }(G),\Vert {\mathbf{q}}_j\Vert =1,$$

$$\mathbf{b}(x)=\sum _{{\lambda }_j\in \Lambda }[(\mathbf{b},{\mathbf{u}}_j^{+}){\mathbf{u}}_j^{+}(x)+(\mathbf{b},{\mathbf{u}}_j^{-}){\mathbf{u}}_j^{-}(x)],\mathbf{b}(x)\in {\mathbf{V}}^0(G),\Vert {\mathbf{u}}_j^{\pm }\Vert =1.$$

$$\mathbf{rot}{\mathbf{u}}_{\kappa }^{\pm }=\pm {\lambda }_{\kappa }{\mathbf{u}}_{\kappa }^{\pm },\gamma \mathbf{n}\cdot {\mathbf{u}}_{\kappa }^{\pm }=0;\mathbf{rot}{\mathbf{q}}_{\kappa }=0\kappa =(n,m,k),$$

$$\nabla div{\mathbf{u}}_{\kappa }^{\pm }=0,\nabla div{\mathbf{q}}_{\kappa }={\nu }_{\kappa }^2{\mathbf{q}}_{\kappa },\gamma \mathbf{n}\cdot {\mathbf{q}}_{\kappa }=0,|k|\le n,$$

$${\psi }_n(z)=(-z{)}^n{\left(\frac{d}{zdz}\right)}^n\frac{\sin z}{z},n\ge 0,m\in \mathbb{N}.$$

$$\mathrm{rot}\mathbf{u}=\lambda \mathbf{u}\text{T2Acyrv}G,\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}{|}_{\Gamma }=0,$$

$$\text{rot}\mathbf{u}+\lambda \mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in G,\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}{|}_{\Gamma }=g$$

$$C_s\Vert \mathbf{u}{\Vert }_{s+1}\le \Vert \mathrm{rot}\mathbf{u}{\Vert }_s+|\lambda |\Vert \mathrm{div}\mathbf{u}{\Vert }_s+|\gamma (\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}){|}_{s+1/2}+\Vert \mathbf{u}{\Vert }_s.$$

$$\nabla \text{div}\mathbf{u}+\lambda \mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in G,\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}{|}_{\Gamma }=g$$

$$C_s\Vert \mathbf{u}{\Vert }_{s+2}\le |\lambda |\Vert {\mathrm{rot}}^2\mathbf{u}{\Vert }_s+\Vert \nabla \mathrm{div}\mathbf{u}{\Vert }_s+|\gamma (\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}){|}_{s+3/2}+\Vert \mathbf{u}{\Vert }_s.$$

$$\text{rot}\mathbf{u}+\lambda \mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in G,\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}{|}_{\Gamma }=g.$$

$$\mathrm{rot}\mathbf{u}+\lambda \mathbf{u}=\mathbf{f},\lambda \mathrm{div}\mathbf{u}=\mathrm{div}\mathbf{f},$$

$$\mathrm{rot}(i\xi )\mathbf{w}=0,\lambda \mathrm{div}(i\xi )\mathbf{w}=0,\forall \xi \ne 0$$

$$\mathrm{rot}(i\tau +\mathbf{n}d/dz)\mathbf{v}=0,\mathrm{div}(i\tau +\mathbf{n}d/dz)\mathbf{v}=0,\forall \tau \ne 0,$$

$$\mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathbf{v}=-\Delta \mathbf{v}+\nabla \mathrm{div}\mathbf{v}.$$

$${\mathbf{E}}^{\mathbf{s}}(G)=\{\mathbf{f}\in {\mathbf{H}}^s(G):\mathrm{div}\mathbf{f}\in H^s(G)\},$$

$$\mathbb{A}\mathbf{u}\equiv \begin{array}{c}\mathrm{rot}\mathbf{u}+\lambda \mathbf{u}\\ \gamma (\mathbf{n}\cdot \mathbf{u})\end{array}:{\mathbf{H}}^{\mathbf{s}+1}(\mathbf{G})\to \begin{array}{c}{\mathbf{E}}^{\mathbf{s}}(\mathbf{G})\\ H^{s+1/2}(\Gamma )\end{array}.$$

$$C_s\Vert \mathbf{u}{\Vert }_{s+1}\le \Vert \mathrm{rot}\mathbf{u}{\Vert }_s+|\lambda |\Vert \mathrm{div}\mathbf{u}{\Vert }_s+|\gamma (\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}){|}_{s+1/2}+\Vert \mathbf{u}{\Vert }_s.$$

$$\mathcal{B}=\{\mathbf{u}\in {\mathbf{L}}_2(G):\underset{G}{\int }\mathbf{u}\cdot \nabla hdx=0,\text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrlT2AcyryuT2AcyrbT2AcyroT2Acyrishrt}h\in H^1(G)\}.$$

$${\mathcal{B}}_H=\{\mathbf{u}\in \mathcal{B}:\underset{G}{\int }\mathbf{u}\cdot \mathrm{rot}\mathbf{v}d\mathbf{x}=0,\text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrlT2AcyryuT2AcyrbT2AcyroT2Acyrishrt}\mathbf{v}\in \mathcal{D}(G)\}.$$

$$\mathcal{B}=\{\mathbf{u}\in {\mathbf{L}}_2(G):\mathrm{div}\mathbf{u}=0,\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}{|}_{\Gamma }=0\},$$

$${\mathcal{B}}_H=\{\mathbf{u}\in {\mathbf{L}}_2(G):\mathrm{rot}\mathbf{u}=0,\mathrm{div}\mathbf{u}=0,\mathbf{n}\cdot \mathbf{u}{|}_{\Gamma }=0\}.$$

$${\mathbf{L}}_2(G)=\mathcal{A}\oplus \mathcal{B},\mathcal{B}={\mathcal{B}}_H\oplus {\mathbf{V}}^0(G).$$

Full text

УДК517.984.50

Ряды Фурье оператора ротор и пространства Соболева

Р.С. Сакс

Аннотация. В работе описаны свойства операторов ротор и градиент дивергенции в области $G$ трехмерного пространства. Обсуждается само-сопряженность этих операторов в подпространствах $\mathbf{L}_{2}(G)$ и базисность системы собственных функций. Выписаны явные формулы для решения краевых задач в шаре и условия разложимости вектор-функций в ряды Фурье по собственным функциям ротора и градиента дивергенции.

1. Введение и основные результаты

1.1. Основные пространства

В статье мы рассматриваем линейные пространства над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел. Через $\mathbf{L}_{2}(G)$ обозначаем пространство Лебега вектор-функций, квадратично интегрируемых в $G$ с внутренним произведением $(\mathbf{u},\mathbf{v})=\int_{G}\,\mathbf{u}\cdot\overline{\mathbf{v}}\,d\,\mathbf{x}$ и нормой $\|\mathbf{u}\|\leavevmode\nobreak\ =(\mathbf{u},\mathbf{u})^{1/2}$. Пространство Соболева порядка $s\geq 0$ обозначается через $\mathbf{H}^{s}(G)$, $\|\mathbf{f}\|_{s}$ -норма его элемента $\mathbf{f}$; замыкание в $\mathbf{H}^{s}(G)$ пространства $\mathcal{C}^{\infty}_{0}(G)$ обозначается через $\mathbf{H}^{s}_{0}(G)$. Пространство Соболева отрицательного порядка $\mathbf{H}^{-s}(G)$ двойственно к $\mathbf{H}^{s}_{0}(G)$ (см. пространство $W_{p}^{(l)}(\Omega)$ при $p=2$ в $\S 3$ гл. 4 [1] , $H^{k}(Q)$ в $\S 4$ гл. 3 [10], а также гл.1 в [16]).

В области $G$ с гладкой границей $\Gamma$ в каждой точке $y\in\Gamma$ определена нормаль $\mathbf{n}(y)$ к $\Gamma$.  Вектор-функция $\mathbf{u}$ из $\mathbf{H}^{s+1}(G)$ имеет след $\gamma(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})$ на $\Gamma$ ее нормальной компоненты, который принадлежит пространству Соболева-Слободетцкого $\mathbf{H}^{s+1/2}(G)$, $|\gamma(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})|_{s+1/2}$- его норма.

Пусть функция $h\in{H}^{1}(G)$, а $\mathbf{u}=\nabla h$ - ее градиент. Через ${\mathcal{{A}}}(G)$ обозначим подпространство $\{\nabla h,h\in H^{1}(G)\}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$, а через ${\mathcal{{B}}}(G)$ - его ортогональное дополнение. Так что

[TABLE]

Отметим, что в разложении Вейля [6], Теорема II, роль $\mathcal{A}$ играет пространство $\mathfrak{G}$-замыкание в норме ${L}_{2}$ градиентов функций $\psi\in\Gamma=\mathcal{C}_{0}^{1}(G)$.

С.Л.Соболев [2] приводит разложение $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ в двух случаях, когда $\Omega$ совпадает со всем пространством и случай ограниченной области $\Omega$, гомео-морфной шару. Множества вектор-функций вида $\{\nabla\,\varphi\}$ при $\varphi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty}(\Omega)$ и $\varphi\in\mathcal{C}^{\infty}(\Omega)$, называемых потенциальными, обозначаются как $\widetilde{G}_{0}$ и $\widetilde{G}_{1}$, а множества вектор-функций вида $\{\mathrm{rot}\,\psi\}$ при $\psi\in\mathcal{C}_{0}^{\infty}(\Omega)$ и $\psi\in\mathcal{C}^{\infty}(\Omega)$, называемых соленоидальными, обозначаются как $\widetilde{J}_{0}$ и $\widetilde{J}_{1}$, соответственно. ${G}_{0}$, ${G}_{1}$ и ${J}_{0}$, ${J}_{1}$ - их замыкания в норме $H={L}_{2}(\Omega)$. Автор доказывает, что первом случае $H=G\oplus\,J$, где $G={G}_{0}={G}_{1}$, $J=J_{0}=J_{1}$, а во втором: $H=G_{0}\oplus\,I\oplus\,J_{0}$, где $I=G_{1}\cap\,J_{1}$.

О.А.Ладыженская в $\S 2$ гл.1 книги [4] приводит разложение пространства $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ на два ортогональных подпространства $\mathbf{G}(\Omega)$ и $\mathbf{J}^{\circ}(\Omega)$, где $\mathbf{J}^{\circ}(\Omega)$ есть замыкание в норме $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ множества $\mathbf{\dot{J}}(\Omega)$ бесконечно дифференцируемых финитных в $\Omega$ соленоидаьных векторов, а $\mathbf{G}(\Omega)$ его ортогональное дополнение в $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$. Она пишет: "имеются разные способы определения этих пространств (см. прежде всего работу Вейля [6], а также [12] и [13])".   Э.Быховский и Н.Смирнов [13] отмечают: "К.Фридрихс [8] доказал близкие результаты для дифференциальных форм на римановых многообразиях".

Мы будем придерживаться разложения (1).

Если граница области $G$ имеет положительный род $\rho$, то $\mathcal{B}$ содержит в себе конечномерное подпространство

[TABLE]

Его размерность равна $\rho$ [30], а базисные функции $h_{j}\in\mathcal{C}^{\infty}(G)$. Гладкость обобщенных рещений системы (2) доказали С.Соболев [3] и Г.Вейль [6]. Ортогональное дополнение $\mathcal{B}_{H}$ в $\mathcal{B}(G)$, следуя А.Фурсикову [19], обозначим через $\mathbf{V}^{0}(G)$. Значит,

[TABLE]

Индексом $\gamma$ будем снабжать пространства вектор-функций $\mathbf{u}$, нормальные компоненты которых имеют на $\Gamma$ нулевой след $\gamma(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})$:

[TABLE]

[TABLE]

1.2. Свойства операторов ротор и градиент дивергенции

Операторы градиент, ротор и дивергенция определяются в трехмерном векторном анализе [11]. Им соответствует оператор $d$ внешнего диф-ференцирования на формах $\omega^{k}$ степени $k=0,1$ и 2. Соотношения $dd\omega^{k}=0$ при $k=0,1$ имеют вид $\mathrm{rot}\,\nabla h=0$ и $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{u}=0$.

Формулы $\mathbf{u}\cdot\nabla h+h\mathrm{div}\mathbf{u}=\mathrm{div}(h\,\mathbf{u})$,  $\mathbf{u}\cdot\mathrm{rot}\,\mathbf{v}-\mathrm{rot}\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathrm{div}[\mathbf{v},\mathbf{u}]$, где $[\mathbf{v},\mathbf{u}]$ - векторное произведение, и интегрирование по области $G$ используются при определении операторов $\mathrm{div}\,\mathbf{u}$ и $\mathbf{rot}\mathbf{u}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$.

Оператор Лапласа выражается через $\mathrm{rot}\,\mathrm{rot}$ и $\nabla\,\mathrm{div}$:

[TABLE]

Оператор Лапласа эллиптичен, а операторы $\mathrm{rot}$ и $\nabla\,\mathrm{div}$ не являются таковыми [15]. Они вырождены, причем $\mathrm{r}ot\,\mathbf{u}=0$ при $\mathbf{u}\in\leavevmode\nobreak\ \mathcal{A}(G)$, $\nabla\mathrm{d}iv\,\mathbf{v}=0$ при $\mathbf{v}\in\mathcal{B}(G)$ в смысле теории распределений.

Операторы $\mathrm{rot}+\lambda\,I$ на $\mathcal{A}(G)$ и $\nabla\mathrm{div}+\lambda\,I$ на $\mathcal{B}(G)$ сводятся к умножению на $\lambda\neq 0$, а на ортогональных подпространствах при обращении требуют краевых условий; например, $\gamma(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})=0$. Они принадлежат классу Б.Вайберга и В.Грушина [14] операторов, приводимых к эллиптическим, так как их расширения являются эллиптическими переопределенными операторами. Краевые задачи с условием $\gamma(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})=g$ являются эллиптическими по Солонникову [15].В пространства $\mathbf{V}^{0}(G)$ и ${\mathcal{{A}}_{\gamma}}(G)$ операторы ротор и градиент дивергенции допускают самосопряженные расширения.

А именно, оператор  $S:\mathbf{V}^{0}(G)\longrightarrow\mathbf{V}^{0}(G)$ с областью определения  $\mathbf{W}^{1}=\{\mathbf{u}\in\mathbf{V}^{0}(G):\mathrm{rot}\mathbf{u}\in\mathbf{V}^{0}(G)\}$, совпадающий с $\mathrm{rot}\,\mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in\mathbf{W}^{1}$, является самосопряженным и имеет вполне непрерывный обратный $S^{-1}$ из $\mathbf{V}^{0}$ в $\mathbf{W}^{1}$ [26].

Соответственно, оператор $\mathcal{N}_{d}:\mathcal{A}_{\gamma}(G)\longrightarrow\mathcal{A}_{\gamma}(G)$ , совпадающий с $\nabla\mathrm{div}\mathbf{u}$ на $\mathcal{A}^{2}=\{\mathbf{u}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G):\nabla\mathrm{div}\mathbf{u}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G)\}$, самосопряжен и его обратный оператор $\mathcal{N}^{-1}_{d}:\mathcal{A}_{\gamma}\rightarrow\mathcal{A}^{2}$ вполне непрерывен ( п.4.3).

Следовательно, каждый из этих операторов имеет полную систему собственных функций, отвечающих ненулевым собственным значениям:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

В шаре $B$ радиуса $R$ собственные функции $\mathbf{u}^{\pm}_{\kappa}$ ротора, отвечающие ненулевым собственным значениям $\pm\lambda_{\kappa}=\pm\rho_{n,m}/R$ и собственные функции $\mathbf{q}_{\kappa}$ градиента дивергенции с собственными значениями $\nu_{\kappa}^{2}$, $\nu_{\kappa}=\alpha_{n,m}/R,$ выражаются явными формулами (см. пп. 3.2 и 5.3) и

[TABLE]

[TABLE]

где числа $\pm\rho_{n,m}$ и $\alpha_{n,m}$ - нули функций $\psi_{n}$ и их производных $\psi_{n}^{\prime}$, а

[TABLE]

Cобственные функции каждого из операторов взаимно ортогональны и их совокупная система полна в ${\mathbf{{L}}_{2}}(B)$ [42].

Найдены необходимые и достаточные условия на вектор-функции $\mathbf{u}$ из $\mathbf{V}^{0}(B)$ и $\mathbf{v}$ из $\mathcal{A}_{\gamma}(B)$, при которых их ряды Фурье сходятся в норме пространства Соболева $\mathbf{H}^{s}(B)$ порядка $s>0$. Они состоят в принадлежности $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ пространствам $\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$ п. 3.3 и $\mathcal{A}_{\mathcal{K}}^{s}(B)$ п. 5.7.

Предлагается единый подход к изучению краевых задач (9),(11) в пространствах $\mathbf{H}^{s}(G)$, $s\geq 1$, при $\lambda\neq 0$. Их разрешимость зависит от пространств, к которым принадлежат $\mathbf{f}$ и $g$ ( пп.2.3 и 4.3 ).

1.3. Спектральная задача

Пусть $G$ - ограниченная область в ${{R}^{3}}$ с гладкой границей $\Gamma$, $\mathbf{n}$- внешняя нормаль к $\Gamma$. В частности, $G$ может быть шаром $B$, $|x|<R$, с границей $S$.

Задача 1**.**

Найти все собственные значения $\lambda$ и собственные вектор-функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ в ${{\mathbf{L}}_{2}}(G)$ оператора ротор такие, что

[TABLE]

где $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}$ - скалярное произведение векторов $\mathbf{u}$ и $\mathbf{n}$.

К области определения $\mathcal{M}_{\mathcal{R}}$ оператора $\mathcal{R}$ задачи 1 отнесем все вектор-функции $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ класса $\mathcal{C}^{2}(G)\cap\mathcal{C}(\overline{G})$, удовлетворяющие граничному условию и такие, что $\text{rot}\,\mathbf{v}\in{\mathbf{L}}_{2}(G)$. Пространство основных вектор-функций ${\mathcal{D}}(G)$ содержится в $\mathcal{M}_{\mathcal{R}}$ и плотно в ${{\mathbf{L}}_{2}}(G)$ [7].

1.4. О приложениях

Собственные функции задачи 1 имеют приложения в гидродинамике, где они называются полями Бельтрами; в астрофизике и в физике плазмы они называются бессиловыми полями (force-free magnetic fields - С. Чандрасекхар и П.Кендал [23], free-decay fields - Д. Тэйлор [22]). В теоремах В.И.Арнольда [17]  1965, и В.В.Козлова, 1983, (см. [9]) изучавших топологию линий тока течений идеальной жидкости, имеется условие $[\text{rot }\mathbf{v},\mathbf{v}]\neq 0$. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости со скоростью $\mathbf{v}(\mathbf{x})$, удовлетворяющей уравнению $\text{rot }\mathbf{v}=\lambda\,\mathbf{v}$ (в классе периодических функций) изучал М. Энон [18]. Ссылаясь на его вычисления, В.  Арнольд пишет, что такие течения "могут иметь линии тока с весьма сложной топологией, характерной для задач небесной механики".

Самосопряженные расширения оператора ротор и его свойства изучали П.Е.Берхин [25]  1975,   З. Иошида и И. Гига [26]  1990 а также Р. Пикар [27]  1996, и Н.Филонов [28].

Д. Кантарелла и Де Турк, Г.Глюк и М.Тэйтель 2000 [29] исследовали топологию линий тока собственных функций ротора с минимальным собственным значением в шаре и в шаровом слое.

С.Чандрасекхара и П.Кендала [23]  1957, заметили, что собственные функции ротора можно выразить через решения уравнения Гельмгольца. В цилиндре ( с условием периодичности вдоль оси), эта идея была реализована в работе Д. Монтгомери, Л.Тернера и Г.Вахалы о магнито-гидродинамической турбулентности [24]  1978. Они отмечают: "три интегральных инварианта ( полная энергия, магнитная и крос спиральность) имеют простые квадратичные выражения в терминах коэффициентов разложения в ряды Фурье".

Другие приложения собственных функций и рядов Фурье оператора ротор имеются в работах автора. В частности, найдена связь между собственными функциями операторов ротора и Стокса, построены явные решения нелинейных уравнений Навье-Стокса, разработан метод численного решения задачи Коши для уравнений Навье-Стокса [37]–[42].333В 2003 году О.А. Ладыженская решала задачу ”О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей” [5] и искала способы вычисления собственных функций оператора Стокса в областях простейших форм в явном виде. Автору удалось найти их в случае периодических граничных условий и в шаре [37],[41].

1.5. Структура работы и основные результаты

В $\S\,2$ в ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma$ исследована краевая задача

[TABLE]

для оператора ротор в пространствах $\mathbf{H}^{s+1}(G)$, число $s+1\geq 1$ целое. Определяется ее оператор $\mathbb{A}$ (см.(19)).

Доказано, что при $\lambda\neq 0$ эта задача является обобщенно эллиптической: она приводится к переопределенной эллиптической задаче по определению Солонникова [15]. Из его Теоремы 1.1 вытекает Теорема 1 и, в частности, конечномерность ядра оператора $\mathbb{A}$ задачи в пространстве Соболева $\mathbf{H}^{s+1}(G)$ и априорная оценка:

[TABLE]

В п.2.3 мы изучаем оператор $\mathrm{rot}\leavevmode\nobreak\ +\lambda\mathbf{I}$ в ортогональных подпространст-вах в $\mathbf{L}_{2}(G)$. На $\mathcal{A}$ и $B_{H}$ он сводится к $\lambda\,\mathbf{u}$. На $\mathbf{V}^{0}(G)$ он продолжается как самосопряженный оператор $S+\lambda\,I$ Выписаны необходимые и достаточные условия его обратимости   (Теорема 2).

В $\S\,3$ указывается способ решения спектральной задачи 1 в шаре. При $\lambda\neq 0$ задача сводится к спектральной задаче Дирихле для скалярного оператора Лапласа с условием $v(0)=0$ в центре шара. Она решается явно [7], это позволяет определить радиальные компоненты собственных вектор-функций и числа $\lambda^{2}_{\kappa}>0$. Две другие компоненты определяются из уравнений $\mathrm{rot}\mathbf{u}_{\kappa}=\pm\lambda_{\kappa}\mathbf{u}_{\kappa}$, $\mathrm{div}\mathbf{u}_{\kappa}=0$  . Ее решение опубликовано [42], в п.3.2 мы приводим уравнения для ненулевых собственных значений и формулы собственных функций.

В.П.Михайлов [10] выделил подпространства $H^{s}_{\mathcal{D}}(G)$ и $H^{s}_{\mathcal{N}}(G)$ в пространстве Соболева $H^{s}(G)$ и доказал, что условие принадлежно-сти $f$ к $H^{s}_{\mathcal{D}}(G)$ (соотв., к $H^{s}_{\mathcal{N}}(G)$) необходимо и достаточно для сходимости ее ряда Фурье по системе собственных функций оператора Лапласа c условием Дирихле ( Неймана) в норме $H^{s}(G)$.

Мы приводим в п.3.3 аналогичный результат для оператора ротор (Теорема 3 ), а п.5.6 – для градиента дивергенции.

В $\S\,4$ исследована краевая задача

[TABLE]

в ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma$. Доказано,что эта задача обобщенно эллиптична при $\lambda\neq 0$: она приводится к эллиптической задаче [15]. Откуда вытекает Теорема 4, конечно-мерность ядра оператора $\mathbb{B}$ задачи в пространстве Соболева $\mathbf{H}^{s+2}(G)$ и априорная оценка:

[TABLE]

В п.4.3 мы изучаем оператор $\nabla\mathrm{div}+\lambda\mathbf{I}$ в ортогональных подпространствах $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$. На $\mathcal{B}$ оператор $\nabla\mathrm{div}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}$ сводится к $\lambda\mathbf{u}$. На $\mathcal{A}_{\gamma}$ он продолжается как самосопряженный оператор $\mathcal{N}_{d}+\lambda\,I$ Найдены необходимые и достаточные условия его обратимости (Теорема 5b).

В $\S\,5$ спектральная задача для оператора градиент дивергенции в области с гладкой границей сводится к решению спектральной задачи Неймана для скалярного оператора Лапласа.

В шаре ее решения вычислены явно [7]. В результате мы получаем формулы (77) собственных функций $\mathbf{q}_{\mu}(\mathbf{x})$ градиента дивергенции.

В $\S 6$ мы рассматриваем совокупную систему собственных функций ротора и градиента дивергенции: $\{\mathbf{q}_{i}(\mathbf{x}),\,\mathbf{h}_{j}(\mathbf{x}),\,\mathbf{q}_{k}^{+}(\mathbf{x}),\,\mathbf{q}_{k}^{-}(\mathbf{x})\}$ 444Вектор-функции $\mathbf{q}_{i}(\mathbf{x})$ удовлетворяют также уравнениям $\bf{rot}\mathbf{q}_{i}=0$, а $\mathbf{q}_{k}^{\pm}(\mathbf{x})$ - уравнениям $\nabla div\mathbf{q}_{k}^{\pm}(\mathbf{x})=0$.

$\mu_{i}\in M,\,\,j\in[1,\rho],\,\,\lambda_{k}\in\Lambda,$ они взаимно ортогональны и образует в ${\mathbf{{L}}_{2}}(G)$ ортонормированный базис.

В шаре $B$ векторное поле $\mathbf{f}\in\mathbf{L}_{2}(B)$ разлагается на потенциальное и соленоидальное поле $\mathbf{a}_{f}$ и $\mathbf{b}_{f}$: $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{a}_{f}(\mathbf{x})+\mathbf{b}_{f}(\mathbf{x})$.

В качестве примера в $\S\,7$ методом Фурье решена краевая задача (13) в шаре при любых $\lambda$ и $g=0$ (Теорема 8).

2. Оператор ротор в ограниченной области

2.1. Краевая задача:

в ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma$ заданы векторная и скалярная функции $\mathbf{f}$ и ${g}$, найти вектор-функцию $\mathbf{u}$, такую что

[TABLE]

Эта задача не эллиптична. Оператор $\text{rot }+\lambda\text{I}$ первого порядка не является эллиптическим, так как ранг его символической матрицы $\mathrm{rot}(i\xi)$, равный двум при всех $\xi\in\mathcal{R}^{3}\backslash 0$, меньше трех [33].

Б.Вайнберг и В.Грушин [14] 1967 определили на гладком многообразии $X$ без края класс равномерно неэллиптических систем (РНС) сингуляр-ных интегро-дифференциальных уравнений и класс матричных с.и.д. операторов, глобально приводимых к эллиптическим матрицам, и доказали их эквивалентность. Эти определения требуют введения дополнительных понятий.

Мы приведем их для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, который обозначим как (РНСp)

Система дифференциальных уравнений, $S(D)u=f$ порядка $m$, из этого класса обладает свойствами:

а) ее символическая матрица $S_{0}(i\xi)$ имеет постоянный ранг при всех $\xi\in\mathcal{R}^{3}\backslash 0$.

Это позволяет построить аннулятор $C(D)$ оператора $S_{0}(D)$ такой, что $(CS_{0})(D)\equiv 0$ на $X$ и определить

б)  расширенную систему  $Su=f,//CSu=Cf$ порядка $m$.

Ее символическая матрица $S_{0}(i\xi),//(CS)_{0}(i\xi)$ определяется младшей частью оператора $S(D)$ и дополняет матрицу $S_{0}(i\xi)$.

в) Если ранг расширенной матрицы максимален, то исходная система $Su=f$ принадлежит классу (РНС1) и степень ее приводимости равна единице.

г)  Если система $Su=f$ такова, что ранг расширенной матрицы не максимален, но постоянный, то процесс повторяется и при определенных условиях система принадлежит классу (РНС2). И так далее.

Авторы [14] доказали, что система $Su=f$ класса (РНСp) являются разрешимой по Фредгольму или Нетеру в пространствах Соболева $\mathbf{H}^{s}(X)$, если $f\in\mathbf{H}^{s-m+p}(X)$, где $s\geq m$ целое. В качестве примера оператора из класса (РНС1) они приводят оператор $d+\ast$ на дифферен-циальных формах степени $k$ в $2k+1$-мерном многообразии $X$.555Другие классы обобщенно эллиптических операторов см. в работе [34].

Покажем, что дифференциальный оператор $(\text{rot}+\lambda\,I)$ при $\lambda\neq 0$ принадлежит классу (РНС1) в любой области $X\subset\mathbf{E}^{3}$. Действительно,

а) его символическая матрица $\mathrm{rot}(i\xi)$ не зависит от $x$ и ее ранг равен двум при всех $\xi\in\mathcal{R}^{3}\backslash 0$.

б) оператор $\mathrm{rot}$ имеет левый аннулятор $\mathrm{div}$ : $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{u}=0$ на $X$.

в) ранг символичекой $(4\times 3)$-матрицы $[\mathrm{rot}(i\xi)//\lambda\,\mathrm{div}(i\xi)]$ равен трем при всех $\xi\in\mathcal{R}^{3}\backslash 0$. Следовательно расширенная система

[TABLE]

является эллиптической системой первого порядка, а система (13) принадлежит классу (РНС1).

Далее, система (14) с произвольной функцией $f_{4}$ вместо $\mathrm{div}\,\mathbf{f}$ и с краевым условием $\gamma\,\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=g$ составляют переопределенную эллиптическую краевую задачу по Солонникову [15]. А именно,

1. система (14) эллиптична,

2. оператор краевого условия $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}$  "накрывает"  оператор системы.

Первое условие сводится к тому, что однородная система линейных алгебраических уравнений:

[TABLE]

c параметром $\xi\in\mathcal{R}^{3}$ имеет только тривиальное решение $\mathbf{w}=0$.

Второе условие означает, что однородная система линейных диф-ференциальных уравнений:

[TABLE]

на полуоси $z\geq 0$ с краевым условием: $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}|_{z=0}=0$ и убыванием, $\mathbf{v}(y,\tau;z)\rightarrow 0$ при $z\rightarrow+\infty$, имеет только тривиальное решение.

Здесь $\tau$ и $\mathbf{n}$ – касательный и нормальный векторы к $\Gamma$ в точке $y\in\Gamma$ и $|\mathbf{n}|=1$. 666 Главные части системы в [15] определяются с помощью весов $s_{k}$ и $t_{j}$ таких, что $ord\,L_{k,j}\leq s_{k}+t_{j}$. Положив $s_{k}=0$  при $k=1-4$ и $t_{j}\leavevmode\nobreak\ =1$ при $j=1-3$ мы получим операторы системы (15), а в краевом операторе - $\sigma_{1}=-1$.

При доказательстве утверждений 1),2) воспользуемся соотношением

[TABLE]

Тогда $1^{0})$. Из уравнений (15) вытекает уравнение $-\Delta(i\xi)\mathbf{w}=0$. Оно распадается на три скалярных уравнения $|\xi|^{2}w_{j}=0$.Значит, $\mathbf{w}=0$ при $|\xi|\neq 0$. Эллиптичность системы (14) доказана.

$2^{0})$. Из уравнений (16) получаем уравнение $(-|\tau|^{2}+(d/dz)^{2})\mathbf{v}=0$ с параметром $|\tau|>0$. Его убывающее при $z\rightarrow+\infty$ решение имеет вид: $\mathbf{v}=\mathbf{w}e^{-|\tau|z}$ . Оно удовлетворяет уравнениям (16), если вектор-функция $\mathbf{w}$ такова, что $\omega\times\mathbf{w}=0,\quad{\omega}^{\prime}\cdot\mathbf{w}=0$, где $\omega\equiv i\tau-|\tau|\mathbf{n}$ –вектор-столбец, $\omega^{\prime}$ – вектор-строка, а ${\omega}^{\prime}\cdot{\omega}$ – их произведение.

Легко убедиться, что векторное и скалярное произведения $\omega$ на $\omega$ равны нулю: $\omega\times\omega=0,$   $\omega^{\prime}\cdot\omega=0$. Ранг матрицы $\mathrm{rot}(i\xi)$ равен двум при $\xi\neq 0$, поэтому $\mathbf{w}=c\,\omega$, где $c$ - постоянная, и других решений нет. Граничное условие приводит нас к уравнению: $|\tau|c=0$. Значит $c=0$ при $|\tau|>0$ и, следовательно, $\mathbf{v}=0$.

Итак, система (14) с краевым условием $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}{{|}_{\Gamma}}=g$ при $\lambda\neq 0$ является эллиптической задачей.

Мы скажем в этом случае, что задача (13) при $\lambda\neq 0$ является обобщенно эллиптической.

2.2. Оператор задачи в пространствах Соболева

Пусть вектор-функция $\mathbf{u}$ принадлежит пространству Соболева ${\bf{H}^{s+1}}(G)$, где $s\geq 0$–целое. Тогда компоненты $\mathrm{rot}\mathbf{u}$ и $\mathrm{div}\mathbf{u}$ принадлежат ${H}^{s}(G)$, а вектор-функция $\mathbf{f}:=\mathrm{rot}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}$ принадлежит пространству

[TABLE]

которое снабжается нормой $\|\mathbf{v}\|_{\mathbf{E}^{s}}=(\|\mathbf{v}\|^{2}_{s}+\|\mathrm{div}\mathbf{v}\|^{2}_{s})^{1/2}$.

Далее $g:=\gamma({\mathbf{n}}\cdot\mathbf{u})\equiv\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_{\Gamma}$ принадлежит пространству Соболева-Слободетского $H^{s+1/2}(\Gamma)$.

Следовательно, при $\lambda\neq 0$ задаче соответствует ограниченный оператор

[TABLE]

Согласно Теореме 1.1 из работы Солонникова [15] о переопределенных эллиптических краевых задачах в ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma\in\mathcal{C}^{s+1}$, обобщенно эллиптический оператор (19) имеет левый регуляризатор: то-есть ограниченный оператор $\mathbb{A}^{L}$ такой, что $\mathbb{A}^{L}\mathbb{A}=\mathbb{I}+\mathbb{T}$, где $\mathbb{I}$ - единичный, а $\mathbb{T}$ - вполне непрерывный операторы, и существует постоянная $C_{s}>0$ такая, что выполняется априорная оценка:

[TABLE]

Оценка (20) известна (см. например [20, 26]). Мы показали, что она получается из работы В.А.Солонникова [15]. 777Он приводит оценку в банаховых пространствах Соболева ${{W}^{l+t_{j}}_{p}}(G)$, $l\geq 0,p>1$, которые при $l=s,p=\leavevmode\nobreak\ 2,t_{j}=\leavevmode\nobreak\ 1$ совпадают ${{H}^{s+1}}(G)$, и доказывает, что эта оценка является точной.

Линейное пространство решений однородной задачи обозначим через $\mathcal{N}$. Итак, имеет место

Теорема 1**.**

Оператор $\mathbb{A}$ в пространствах (19) имеет левый регуля-ризатор. Его ядро $\mathcal{N}$ конечномерно и выполняется оценка (20).

Из этой теоремы и оценки следует, что при $\lambda\neq 0$

a)число линейно независимых решений задачи 1 конечно,

b)любое (обобщенное) решение задачи бесконечно дифференцируемо вплоть до границы, если граница области бесконечно дифференцируема.

2.3. Оператор $\mathrm{rot}+\lambda\mathbf{I}$ в подпространствах $\mathbf{L}_{2}(G)$

На подпространстве $\mathcal{A}$ оператор $\mathrm{rot}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}$ сводится к $\lambda\mathbf{u}$.

Ортогональное дополнение $\mathcal{B}$ к $\mathcal{A}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$ определяется так

[TABLE]

Для функций $\mathbf{u}$ из $\mathbf{H}^{1}(G)$ получаем: $\mathrm{div}\,\mathbf{u}=0$ в $G$ и $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_{\Gamma}=0$.

В пространстве $\mathcal{B}$ выделяется подпространство

[TABLE]

Пространства $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}_{H}$ в обобщенном смысле обозначают так:

[TABLE]

[TABLE]

Ввиду оценки (20) базис $\mathcal{B}_{H}$ состоит из бесконечно дифференцируемых в $G$ вектор-функций $\{\mathbf{h}_{j}\}_{j\in\overline{1\rho}}$, где $\rho$ есть род границы $G$ [30].

Ортогональное дополнение к $\mathcal{B}_{H}$ в $\mathcal{B}$ обозначим как $\mathbf{V}^{0}(G)$, причем $\|\mathbf{u}\|_{\mathbf{V}^{0}}=\|\mathbf{u}\|_{\mathbf{L}_{2}}$. Так, что

[TABLE]

В случае шара $\mathcal{B}=\mathbf{V}^{0}(G)$. В полнотории $dim\,\mathcal{B}_{H}=1$.

Наконец, в $\mathbf{V}^{0}(G)$ выделяется подпространство

[TABLE]

В силу оценки (20) оно содержится $\mathbf{H}^{1}(G)$ и плотно в $\mathbf{V}^{0}(G)$, так как плотное в нем множество $\mathbf{C}_{0}^{\infty}\cap\mathbf{V}^{0}(G)$ содержится в $\mathbf{W}^{1}(G)$.

З. Иошида и И. Гига [26] определили в гильбертовом пространстве $\mathbf{V}^{0}(G)$ оператор $S:\mathbf{V}^{0}(G)\rightarrow\mathbf{V}^{0}(G)$, который совпадает с $\mathrm{rot}\,\mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in\mathbf{W}^{1}(G)$, и доказали, что

*Оператор $S$ является самосопряженным и имеет вполне непрерывный обратный оператор $S^{-1}$ из $\mathbf{V}^{0}(G)$ в $\mathbf{W}^{1}(G)$. Спектр $\sigma(S^{-1})$ точечный и действительный и не содержит точек накопления кроме нуля. Семейство собственных функций оператора $S$ образует ортогональный базис в пространстве $\mathbf{V}^{0}(G)$. *

Собственные функции оператора $S$ принадлежат пространствам $\mathbf{W}^{1}(G)$ и $\mathcal{C}^{\infty}(\overline{G})$. Из соотношения

[TABLE]

и определения пространства $V^{0}(G)$ видим, что собственные функции ротора $\mathbf{u}^{\pm}_{\lambda}$, отвечающие ненулевым собственным значениям $\pm\lambda$, является также собственными функциями оператора Лапласа:

[TABLE]

Нормированные собственные функции ротора обозначим через $\mathbf{q}^{\pm}_{j}$.

[TABLE]

Они составляют полный ортонормированный базис в пространстве $\mathbf{V}^{0}(G)$. Спектральное разложение вектор-функции $\mathbf{f}\in V^{0}(G)$ по этому базису имеет вид:

[TABLE]

В случае шара собственные числа ротора суть корни квадратные из собственных чисел оператора Лапласа-Дирихле, а собственные функции ротора вычисляются явно: (40)

Наряду с оператором $S$ рассмотрим оператор

[TABLE]

который на $\mathbf{W}^{1}(G)$ совпадает с $\mathrm{rot}+\lambda\,I$.

Оператор $S+\lambda\,I$ является самосопряженным, так как

[TABLE]

для любых функций $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ из $\mathbf{W}^{1}(G)$. Это доказано в общем случае в [26], а в случае шара другим способом - в работе автора [42].

Условие обратимости оператора $S+\lambda\,I$ совпадает с условием:

[TABLE]

Пусть $\mathbf{f}\in V^{0}(G)$, так как $(S+\lambda\,I)\mathbf{f}\in V^{0}(G)$ то

[TABLE]

и ряд сходится в $\mathbf{L}_{2}(G)$. Если $\lambda$ совпадает с одним из собственных значений $\pm\lambda_{j_{0}}$, то соответствующее слагаемое в этом ряду исчезает.

Если элемент $(S+\lambda\,I)^{-1}\mathbf{f}\in V^{0}(G)$, то

[TABLE]

и ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в бесконечность. Это означает, что $(\mathbf{f},\mathbf{q}^{-}_{j})=0$ при $\lambda=\lambda_{j}=\lambda_{j_{0}}$, то-есть функция $\mathbf{f}$ ортогональна всем собственным функциям $\mathbf{q}^{-}_{j}(\mathbf{x})$ ротора, отвечающим собственному значению $\lambda_{j_{0}}$.

Теорема 2**.**

Оператор $S+\lambda\,I:\mathbf{V}^{0}(G)\rightarrow\mathbf{V}^{0}(G)$ однозначно обратим, если $\lambda$ не совпадает ни с одним из собственных значений оператора $S$, и его обратный задается формулой (33).

Если $\lambda=\lambda_{j_{0}}$, то он обратим тогда и только тогда, когда

[TABLE]

Ядро оператора $S+\lambda_{j_{0}}\,I$ определяется собственными функциями $\mathbf{q_{j}^{-}}(\mathbf{x})$, собственные значения которых равны $\lambda_{j_{0}}$:

[TABLE]

Построение собственных функций ротора в заданной области – сложная задача. Один случай выделяется особо.

3. Построение собственных функций ротора в шаре

Обозначим через $v(\mathbf{x})$ скалярное произведение векторов $\mathbf{x}$ и $\mathbf{u}$. Автор заметил, что внутри шара функция $v(\mathbf{x})=\mathbf{x}\cdot\mathbf{u}$ удовлетворяет уравнению $-\Delta v(\mathbf{x})=\lambda^{2}v(\mathbf{x})$, краевому условию $v|_{S}=0$, и условию $\quad v(0)=0$ в его центре. Тем самым, Любому решению $(\lambda,\mathbf{u})$ задачи 1 в шаре $B$ при $\lambda\neq 0$ соответствует решение $(\lambda^{2},\mathbf{x}\cdot\mathbf{u})$ задачи:

Задача 2**.**

Найти собственные значения $\mu$ и собственные функции $v(x)$ оператора Лапласа $-\Delta$ в шаре $B$ такие, что

[TABLE]

Результаты этого параграфа подробно изложены в работе [42]. Здесь мы приведем основные моменты доказательства и формулы ее решений.

3.1. Функции $\psi_{n}(z)$.

[TABLE]

Как показал Л. Эйлер (см. [7], §23, с. 356) цилиндрические функции $J_{n+\frac{1}{2}}(z)$ полуцелого порядка выражаются через элементарные и

[TABLE]

Откуда видно, что нули функций $\psi_{n}(z)$ лежат на действительной оси и располагаются на ней симметрично относительно точки $z=0$.

3.2. Спектральная задача Дирихле для уравнения Лапласа.

В шаре она решена в сферической системе координат $(r,\theta,\varphi)$ методом разделения переменных (см.[7], $\S 26$).

собственные значения оператора $\mathcal{L}$ задачи равны $\lambda_{n,m}^{2}=(\rho_{n,m}/{R})^{2}$, где $n\geq 0$, $m\in N$, а числа $\rho_{n,m}>0$ - нули функций $\psi_{n}(z)$,

их действительные собственные функции $v_{\kappa}$ имеют вид:

[TABLE]

где $\kappa=(n,m,k)$- мультииндекс, $n\geq 0$, $|k|\leq n,$ $m\in\mathbb{N}$, $c_{\kappa}$-произвольные постоянные, $P_{n}^{k}(\cos\theta)$ - присоединенные функции Лежандра, $0<r\leq R$, $0\leq\theta\leq\pi$, $0\leq\varphi\leq 2\pi$,  $Y_{n}^{k}(\theta,\varphi)$- сферические функции:

[TABLE]

3.3. Решение задачи 2.

Так как ${{\psi}_{0}}(0)=1$, функции $\{v_{\kappa}\}$ при $\kappa=(0,m,0)$ удовлетворяют условию $v_{\kappa}(0)=0$ задачи 2 тогда и только тогда, когда коэффициенты $c_{(0,m,0)}=0$. Откуда следует, что серия $n=0$ в (38) выпадает.

3.4. Решение задачи 1

В шаре $B$ любому решению $(\mu,v)$ задачи 2 при $\mu>0$ соответствуют два и только два решения $(\sqrt{\mu},{{\mathbf{u}}^{+}})$ и $(-\sqrt{\mu},{{\mathbf{u}}^{-}})$ задачи 1 такие , что $\mathbf{x}\cdot{{\mathbf{u}}^{+}}=\mathbf{x}\cdot{{\mathbf{u}}^{-}}=v$. [42]. Ее обственные значения $\pm\lambda_{n,m}$ - это корни квадратные из собственных чисел задачи 2.

3.5. Формулы решений задачи

Ненулевые собственные значения $\lambda_{n,m}^{\pm}$ задачи 1 равны $\pm\lambda_{n,m}=\pm(\rho_{n,m})/R$, , где $R$–радиус шара, а числа $\rho_{n,m}$ – нули функций $\psi_{n}(z)$. Собственные функции $u_{\kappa}^{\pm}$ задачи 1 в сферических координатах вычисляются по формулам:

[TABLE]

где числа $c_{\kappa}^{\pm}\in\mathbb{R}$, $m{{,}}n\in\mathbb{N}$, $|k|\leq n$,$\kappa=(n,m,k)$, $Y_{n}^{k}(\theta,\varphi)$–сферические функции, $\mathbf{i}_{r},\mathbf{i}_{\theta},\mathbf{i}_{\varphi}$-репер,

[TABLE]

[TABLE]

Эти формулы используются при рассчетах поля скоростей $u_{\kappa}^{\pm}(x)$ вихревого потока при заданном $\kappa$.

Г.Г.Исламов (Удмурдский ГУ, Ижевск), используя программы Volfram Mathematica рассчитал эти поля при минимальном собственном значении и траектории их линий тока. (см. его доклад в http://www.wolfram.com/events/technology-conference-ru/2016/ resources.html)

Траектория отдельной точки похожа на нить, которая наматывается на тороидальную катушку, каждая на свою.

В работе [29] также определены собственные функции ротора при минимальном собственном значении и рассчитаны траектории их линий тока.

Идея сведения краевой задачи $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_{S}=g$ для системы $\mathbf{rot}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}=\mathbf{f}$ в шаре при $\lambda\neq 0$ к задаче Дирихле для уравнения Гельмгольца возникла давно [31, 32]. 888В 1970 А.А.Фурсенко, студент НГУ, в дипломной работе таким способом решил эту задачу в классах Гельдера. Мы выписали формулы решений задачи, но не опубликовали их. Я опубликовал формулы (40) в 2000 году [35, 36], когда узнал о приложениях и о работе [23].

3.6. Сходимость ряда

Фурье по собственным функциям ротора в норме пространства Соболева $\mathbf{H}^{s}(B)$, $s\geq 1$

Положим

[TABLE]

Теорема 3**.**

Для того, чтобы $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{0}(B)$ разлагалась в ряд Фурье

[TABLE]

по собственным вектор-функциям $\mathbf{q}_{\kappa}^{\pm}(\mathbf{x})$ ротора в шаре, сходящийся в норме пространства Соболева $\mathbf{H}^{s}(B)$, необходимо и достаточно, чтобы $\mathbf{f}$ принадлежала $\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$.

Если $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$, то сходится ряд

[TABLE]

и существует такая положительная постоянная $C>0$, не зависящая от $\mathbf{f}$, что

[TABLE]

Если $s\geq 2$, то любая вектор-функция $\mathbf{f}$ из $\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$ разлагается в в ряд Фурье, сходящийся в пространстве $\mathbf{C}^{s-2}(\overline{B})$.

Действительно, граница шара $S\in\mathcal{C}^{\infty}$ и собственные функции ${q}_{\kappa}^{\pm}(\mathbf{x})$, $\text{rot}\,{q}_{\kappa}^{\pm}(\mathbf{x})=\pm{\lambda}_{\kappa}{q}_{\kappa}^{\pm}(\mathbf{x})$, первой краевой задачи для оператора ротор в шаре принадлежат классу $\mathcal{C}^{\infty}$ в $\overline{B}$ . Значит, они и их конечные линейные комбинации $\sum_{\kappa}(c^{+}_{\kappa}\,{q}^{+}_{\kappa}(\mathbf{x})+c^{-}_{\kappa}\,{q}^{-}_{\kappa}(\mathbf{x}))$ принадлежат любому из пространств $\mathbf{V}^{l}_{\mathcal{R}}(B)$ при $l>0$ и $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{q}^{\pm}_{\kappa}(\mathbf{x})=0$,

$\gamma\mathbf{n}\cdot\text{rot}\,\mathbf{q}^{\pm}_{\kappa}(\mathbf{x})=0$, и так далее.

Для следа нормальной компоненты вектор-функции $\mathbf{f}\in\mathbf{H}^{l}(B)$ на $S$ и ее производных $\gamma\partial^{\alpha}\mathbf{f}$ при $|\alpha|<l$ имеются оценки (см. [10], $\S\ 5.1$ главы 3):

[TABLE]

Обозначим через $\mathbf{S}_{N}(\mathbf{x})$ частичную сумму ряда (42), $\mathbf{S}_{N}(\mathbf{x})\in\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$ при всех $N\geq 1$ и $s\geq 1$. Рассмотрим разность $\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{S}_{N}(\mathbf{x})$ и воспользуемся оценкой следа на $S$ ее нормальной компоненты:

[TABLE]

Если функция $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{0}(B)$ и ряд Фурье (42)сходится в норме $\mathbf{H}^{1}(B)$, то $\|\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{S}_{N}(\mathbf{x})\|_{{\mathbf{H}}^{1}(B)}\rightarrow 0$ при $N\rightarrow\infty$. Так как $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{S}_{N}=0$ при любых $N$, то $\|\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{f}\|_{L_{2}(S)}=0$ и, значит, $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{f}=0$ и $\mathbf{f}\in\mathbf{V}_{\mathcal{R}}^{1}(B)$.

Если функция $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{0}(B)$ и ряд Фурье (42) сходится в норме $\mathbf{H}^{2}(B)$, то воспользуемся оценкой следа нормальной компоненты ротора:

[TABLE]

Так как $\gamma\mathbf{n}\cdot\text{rot}\,\mathbf{S}_{N}=0$ при любых $N$, то аналогично предыдущему $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{f}=0$ и $\gamma\mathbf{n}\cdot\text{rot}\mathbf{f}=0$. Значит, $\mathbf{f}\in\mathbf{V}_{\mathcal{R}}^{2}(B)$.

И так далее, если функция $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{0}(B)$ и ряд Фурье (42) сходится в норме $\mathbf{H}^{s}(B)$, то $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$, где $s>2$ . Необходимость доказана.

Пусть $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$, где $s>0$ . Установим справедливость неравенства (44). Так как $\text{rot}\,\mathbf{q}^{\pm}_{\kappa}={\pm}\lambda_{\kappa}\mathbf{q}^{\pm}_{\kappa}$, согласно формуле Грина имеем

[TABLE]

Сокращенно эту формулу запишем так

[TABLE]

${c}^{\pm}_{\kappa}(\mathbf{f})$- ограниченный функционал над $\mathbf{H}^{1}(B)$, так как

[TABLE]

Отметим, что ${c}^{\pm}_{\kappa}(\mathbf{f})=0$, если $\mathbf{f}|_{S}=0$ или если $\mathbf{f}=\mathbf{S}_{N}$ при $N<\infty$.

Обозначим через $\beta_{\kappa}^{\pm}$ коэффициенты Фурье функции $\text{rot}^{s}\mathbf{f}$. Согласно формуле (48)

[TABLE]

[TABLE]

Поскольку $\text{rot}^{s}\mathbf{f}\in\mathbf{L}_{2}(B)$, то

[TABLE]

Для финитных вектор-функций из $\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$ имеем

[TABLE]

Но финитные вектор-функции $\mathbf{f}\in\mathcal{D}(B)$ из $\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$ плотны в $\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$. Неравенство (44) доказано.

Вернемся к частичной сумме $\mathbf{S}_{l}(\mathbf{x})$ ряда (42). Как мы уже отмечали $\mathbf{S}_{l}(\mathbf{x})\in\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$ при всех $l>0$. В частности, $\text{div}\mathbf{S}_{l}(\mathbf{x})=0$ и

$\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{S}_{l}(\mathbf{x})=0$. Поэтому оценка (20) при $s=0$ принимает вид

[TABLE]

Легко видеть, что $\|\mathbf{S}_{l}\|^{2}\leq c\|\mathrm{rot}\mathbf{S}_{l}\|^{2}$, где $c=max_{m,n}\lambda_{m,n}^{-2}$. Поэтому

[TABLE]

По индукции при $s>1$

[TABLE]

Пусть $\mathbf{f}\in\mathbf{V}^{s}_{\mathcal{R}}(B)$, где $s>0$. Согласно неравенству (44), ряды в его левой части сходятся и если $l>m\geq 1$, то

[TABLE]

[TABLE]

при $l,m\rightarrow\infty$. Это означает, что ряд (42) сходится к $\mathbf{f}$ в $\mathbf{H}^{s}(B)$.

При $s\geq 2$ в трехмерном шаре $B$ имеется вложение пространств $\mathbf{H}^{s}(B)\subset\mathbf{C}^{s-2}(\overline{B})$ и оценка:

[TABLE]

для любой функции $\mathbf{f}\in\mathbf{H}^{s}(B)$, в которой постоянная $C_{s}>0$ не зависит от $\mathbf{f}$ (см., например, Теорему 3 $\S\,6.2$ в [10])). В частности,

[TABLE]

Если $\|\mathbf{S}_{l}-\mathbf{S}_{m}\|_{\mathbf{H}^{s}(B)}\rightarrow 0$ при $l,m\rightarrow\infty$, то $\|\mathbf{S}_{l}-\mathbf{S}_{m}\|_{\mathbf{C}^{s-2}(\overline{B})}\rightarrow 0$. Это означает, что ряд (42) сходится к $\mathbf{f}$ в $\mathbf{C}^{s-2}(\overline{B})$. Теорема доказана.

Следствие. Любая соленоидальная вектор-функция $\mathbf{f}$ из $\mathbf{C}^{\infty}_{0}({B})$ разлагается в ряд Фурье (42), сходящийся в пространстве $\mathbf{C}^{\infty}(\overline{B})$.

3.7. Скалярное произведение функций $\mathbf{f}$ и

$\mathbf{g}$ из $\mathcal{B}$ в базисе из собственных функций ротора

Оно имеет вид:

[TABLE]

Если $\mathbf{f}$ и $\mathbf{g}$ принадлежат $\mathbf{V}^{1}_{\mathcal{R}}(B)$, то равенства

[TABLE]

показывают, что оператор $\mathbf{rot}$ является самосопряженным в $\mathcal{B}$.

4. Градиент дивергенции

в ограниченной области

4.1. Краевая задача:

в ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma$ заданы векторная и скалярная функции $\mathbf{f}$ и ${g}$, найти вектор-функцию $\mathbf{u}$, такую что

[TABLE]

При $\lambda\neq 0$ она является обобщенно эллиптической (см. $\S 2$). Действительно, оператор $\nabla\,\text{div}+\lambda\text{I}$ второго порядка принадлежит классу (RNS1) (см. п.2.1 ), так как а) ранг его символической матрицы $\nabla\,\text{div}(i\xi)$ постоянный и равен единице, б)оператор $\nabla\,\text{div}$ имеет левый аннулятор rot: $\text{rot}\,\nabla\,\text{div}\mathbf{u}=0$, в) оператор $\nabla\,\text{div}$// $\lambda\text{rot}$ эллиптичен. Поэтому расширенная система:

[TABLE]

является эллиптической системой при выборе порядков: $s_{k}=0$ при $k=1,-,3$ и $s_{k}=-1$ при $k=4,-,6$; $t_{j}=2$ при $j=1,-,3$.

Далее, система (60) с краевым условием $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=g$ эллиптична по определению В.А.Солонникова, так как

1. Расширенная переопределенная система (60) эллиптична,

2. граничный оператор $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}$ "накрывает" оператор системы (60).

А именно, $1^{0})$ однородная система линейных алгебраических уравнений:

[TABLE]

c параметром $\xi\in T^{\prime}(G)$ имеет только тривиальное решение $\mathbf{w}=0$;

$2^{0})$ однородная система линейных дифференциальных уравнений:

[TABLE]

на полуоси $z\geq 0$ с краевым условием: $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}|_{z=0}=0$ и условием убывания: $\mathbf{v}(y,\tau;z)\rightarrow 0$ при $z\rightarrow+\infty$, имеет только тривиальное решение. Здесь $\tau$ и $\mathbf{n}$ касательный и нормалльный векторы к $\Gamma$ в точке $y\in\Gamma$ и $|\mathbf{n}|=1$.

Доказательство этих утверждений 999Ввиду ограничения объема статьи я вынужден опустить это и другие подобные рассуждения. Надеюсь, читатель без труда восстановит их. почти такое же, как в п.2.1.

Итак, краевая задача (59) при $\lambda\neq 0$ является обобщенно эллиптической.

4.2. Оператор задачи (59) в пространствах Соболева

Пусть $\mathbf{u}$ принадлежит пространству ${\mathbf{H}^{s+2}}(G)$, то-есть каждая компонента $u_{j}\in H^{s+2}(G)$. Тогда $\nabla\text{div}\mathbf{u}$ принадлежит $\mathbf{H}^{s}(G)$, и $\text{rot}^{2}\mathbf{u}$ принадлежит $\mathbf{H}^{s}(G)$. Поэтому вектор-функция $\mathbf{f}:=\nabla\text{div}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}$ принадлежит пространству

[TABLE]

которое снабдим нормой

[TABLE]

Функция $g:=\gamma({\mathbf{n}}\cdot\mathbf{u})$ принадлежит пространству $H^{s+3/2}(\Gamma)$. Следовательно, при $\lambda\neq 0$ задаче соответствует ограниченный оператор

[TABLE]

Согласно Теоремем 1.1 в работе Солонникова [15], о переопределенных эллиптических краевых задачах в ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma\in\mathcal{C}^{s+2}$, обобщенно эллиптический оператор (64) имеет левый регуляризатор, то-есть ограниченный оператор $\mathbb{B}^{L}$ такой, что $\mathbb{B}^{L}\mathbb{B}=\mathbb{I}+\mathbb{T}$, где $\mathbb{I}$ - единичный, а $\mathbb{T}$ - вполне непрерывный операторы, и существует постоянная $C_{s}>0$ такая, что выполняется априорная оценка:

[TABLE]

А также аналогичная оценка в пространствах Соболева $W^{s+2}_{p}(G)$, $p>1$. Значит, имеет место

Теорема 4**.**

Оператор $\mathbb{B}$ в пространствах (64) имеет левый регуля-ризатор. Его ядро $\mathcal{M}$ конечномерно и выполняется оценка (65).

Из этой теоремы и оценки следует, что при $\lambda\neq 0$

a)число линейно независимых решений однородной задачи (59) конечно,

b)любое ее обобщенное решение бесконечно дифференцируемо вплоть до границы, если граница области бесконечно дифференцируема.

4.3. Оператор $\nabla\mathrm{div}+\lambda I$ в подпространствах

На подпространстве $\mathcal{B}$ в $\mathbf{L}_{2}(G)$, ортогональном подпространству $\mathcal{A}$, оператор $\nabla\,\text{div}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}$ является оператором умножения: $\lambda\mathbf{u}$.

Пространство $\mathcal{A}_{\gamma}=\{\mathbf{u}=\nabla\,h:\,\,h\in H^{1}(G),\quad(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})|_{\Gamma}=0\}$ плотно в $\mathcal{A}$, так как функции из $\mathcal{C}_{0}^{\infty}\cap\mathcal{A}_{\gamma}$ плотны в $\mathbf{L}_{2}(G)$. Пространство

[TABLE]

плотно в $\mathcal{A}_{\gamma}$ и содержится в $\mathbf{H}^{2}(G)$ в силу оценки (65).

Введем оператор $\mathcal{N}_{d}:\mathcal{A}_{\gamma}\rightarrow\mathcal{A}_{\gamma}$ с областью определения $\mathcal{A}^{2}(G)$, который совпадает с $\nabla\mathrm{div}\,\mathbf{v}$ при $\mathbf{v}\in\mathcal{A}^{2}(G)$.

Оператор $\mathcal{N}_{d}+\lambda I:\mathcal{A}_{\gamma}\rightarrow\mathcal{A}_{\gamma}$ является самосопряженным (эрмитовым). Действительно, согласно формуле Гаусса-Остроградсного

[TABLE]

[TABLE]

Если вектор-функции $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ принадлежат $\mathcal{A}^{2}(G)$, то граничные интегралы пропадают, остальные интегралы сходятся. Следовательно,

[TABLE]

Область определения $\mathcal{A}^{2}(G)$ оператора $\mathcal{N}_{d}$ содержится в $\mathbf{H}^{2}(G)$ и плотна в $\mathcal{A}_{\gamma}$, а область его значений совпадает с $\mathcal{A}_{\gamma}$.

Так как $\mathcal{A}_{\gamma}$ ортогонально $Ker\mathcal{N}_{d}$, оператор $\mathcal{N}_{d}$ имеет единственный обратный $\mathcal{N}_{d}^{-1}$ определенный на $\mathcal{A}_{\gamma}$. Оператор $\mathcal{N}_{d}^{-1}:\mathcal{A}_{\gamma}\rightarrow\mathcal{A}^{2}(G)$ имеет точечный спектр, который не содержит точек накопления кроме нуля Следовательно, спектр самосопряженного оператора $\mathcal{N}_{d}$ точечный и действительный, а система его собственных вектор-функций ортогональна и полна в пространстве $\mathcal{A}_{\gamma}$. Каждому собственному значению соответствует конечное число собственных вектор-функций.

Пусть $\mathbf{f}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G)$, так как $(\mathcal{N}_{d}+\lambda\,I)\mathbf{f}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G)$ то

[TABLE]

и ряд сходится в $\mathbf{L}_{2}(G)$. Если $\lambda+\mu_{j_{0}}=0$, то соответствующее слагаемое в этом ряду исчезает.

Если элемент $(\mathcal{N}_{d}+\lambda\,I)^{-1}\mathbf{f}\in\mathcal{A}_{\gamma}(G)$, то

[TABLE]

и ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в бесконечность. Это означает, что $(\mathbf{f},\mathbf{q}_{j})=0$ при $-\lambda=\mu_{j}=\mu_{j_{0}}$, то-есть функция $\mathbf{f}$ ортогональна всем собственным функциям $\mathbf{q}_{j}(\mathbf{x})$ градиента дивергенции, отвечающим собственному значению $\mu_{j_{0}}$. Итак, имеет место

Теорема 5**.**

a). Оператор $\mathcal{N}_{d}:\mathcal{A}_{\gamma}\rightarrow\mathcal{A}_{\gamma}$ является самосопряженным. Его спектр $\sigma(\mathcal{N}_{d})$ точечный и действительный. Семейство собственных функций $\mathbf{q}_{j}(x)$ оператора $\mathcal{N}_{d}$ образует полный ортонормированный базис в пространстве $\mathcal{A}_{\gamma}$; разложение $\mathbf{a}(x)\in{\mathcal{{A}}_{\gamma}}(G)$ имеет вид

[TABLE]

b). Если $-\lambda$ не совпадает ни с одним из собственных значений оператора $\mathcal{N}_{d}$, то оператор $\mathcal{N}_{d}+\lambda\,I:\mathcal{A}_{\gamma}\rightarrow\mathcal{A}_{\gamma}$ однозначно обратим, и его обратный задается формулой (70). Если $-\lambda=\mu_{j_{0}}$, то он обратим тогда и только тогда,когда

[TABLE]

Ядро оператора $\mathcal{N}_{d}-\mu_{j_{0}}\,I$ определяется собственными функциями $\mathbf{q_{j}}(\mathbf{x})$, собственные значения которых равны $\mu_{j_{0}}$:

[TABLE]

5. Построение собственных функций оператора $\nabla div$

5.1. Связь между собственными функциями операторов $\nabla div$

и Лапласа-Неймана в ограниченной области

Задача 3**.**

Найти все ненулевые собственные значения $\mu$ и собственные вектор-функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ в ${{\mathbf{L}}_{2}}(G)$ оператора градиент дивергенции такие, что

[TABLE]

где $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}$ - проекция вектора $\mathbf{u}$ на нормальный вектор $\mathbf{n}$.

К области определения оператора $\mathcal{N}_{d}$ задачи 3 отнесем все вектор-функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ класса $\mathcal{C}^{2}(G)\cap\mathcal{C}^{1}(\overline{G})$, которые удовлетворяют граничному условию $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=0$ и условию $\nabla\text{ div }\,\mathbf{u}\in{\mathbf{L}}_{2}(G)$.

Эта задача связана со спектральной задачей Неймана для скалярного оператора Лапласа.

Задача 4**.**

Найти все собственные значения $\nu$ и собственные функции $g(\mathbf{x})$ оператора Лапласа $-\Delta$ такие, что

[TABLE]

К области определения оператора $\mathcal{N}_{\Delta}$ задачи 4 относят все функции $g(\mathbf{x})$ класса $\mathcal{C}^{2}(G)\cap\mathcal{C}^{1}(\overline{G})$, удовлетворяющие условиям $\gamma\mathbf{n}\cdot\nabla\,g=0$ , $\Delta\,g\in{{L}}_{2}(G)$. Эта задача является самосопряженной [7, 10]. Решения задач 3 и 4 принадлежат классу $\mathcal{C}^{\infty}(\overline{G})$, так как $\Gamma\in\mathcal{C}^{\infty}$.

Легко убедиться, что

Лемма 1**.**

Любому решению $(\mu,\mathbf{u})$ задачи 3 в области G соответствует решение $(\nu,g)=(\mu,\text{div }\mathbf{u})$ задачи 4. Обратно, любому решению $(\nu,g)$ задачи 4 соответствует решение $(\mu,\mathbf{u})=(\nu,\nabla g)$ задачи 3.

5.2. Явные решения спектральной задачи Лапласа-Неймана в шаре

Согласно книге [7] В.С.Владимирова

собственные значения оператора Лапласа-Неймана $\mathcal{N}_{\Delta}$ в шаре $B$ равны $\nu_{n,m}^{2}$, где $\nu_{n,m}={{\alpha}_{n,m}}{{R}^{-1}}$, $n\geq 0$, $m\in N$, а числа ${{\alpha}_{n,m}}>0$ суть нули функций ${{\psi}_{n}^{\prime}}(z)$, производных ${{\psi}_{n}}(z)$, т.е. ${{\psi}_{n}}^{\prime}({{\alpha}_{n,m}})=0$. Соответствующие $\nu_{n,m}^{2}$ собственные функции $g_{\kappa}$ имеют вид:

[TABLE]

где $\kappa=(n,m,k)$- мультииндекс,   $c_{\kappa}$-произвольные действительные постоянные,  $Y_{n}^{k}(\theta,\varphi)$ - действительные сферические функции,   $n\geq 0$,  $|k|\leq n,\,m\in N$.

Функции $g_{\kappa}(x)$ принадлежат классу ${{C}^{\infty}}(\overline{B})$ и при различных $\kappa$ ортогональны в ${{L}_{2}}(B)$. Система функций $\{g_{\kappa}\}$ полна в ${{L}_{2}}(B)$ [10]. Нормируя их, получим ортонормированный в ${{L}_{2}}(B)$ базис.

5.3. Решение спектральной задачи 3 для $\nabla div$ в шаре

Согласно лемме 3 вектор-функции ${{\mathbf{q}}_{\kappa}}(x)=\nabla{{g}_{\kappa}}(x)$ являются решениями задачи 3 при ${\mu}_{n,m}={\alpha}_{n,m}^{2}R^{-2}$ в ${{\mathbf{L}}_{2}}(B)$. Их компоненты $(q_{r},q_{\theta},q_{\varphi})$ имеют вид

[TABLE]

При $\kappa=(0,m,0)$ функция $Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)=1$, $\text{H}Y_{0}^{0}=0$. Поэтому

[TABLE]

Отметим, что ${{\mathbf{q}}_{\kappa}}$ и ${{\mathbf{q}}_{{{\kappa}^{\prime}}}}$ ортогональны при ${\kappa}^{\prime}\neq\kappa$.

Действительно, используя формулу Гаусса-Остроградского и свойства этих векторов имеем

[TABLE]

Но функции ${{g}_{\kappa}}(x)$ и ${{g}_{{{\kappa}^{\prime}}}}(x)$ взаимно ортогональны в ${{\text{L}}_{2}}(B)$ Значит, вектор - функции ${{\mathbf{q}}_{\kappa}}$ и $\mathbf{q}_{{\kappa}^{\prime}}$ также взаимно ортогональны в ${{\mathbf{L}}_{2}}(B)$ и $\left\|{{\mathbf{q}}_{\kappa}}(x)\right\|=({\alpha}_{n,m}/{R})\left\|{{{g}}_{\kappa}}(x)\right\|$.

5.4. Решение спектральной задачи 1 для ротора при $\lambda=0$ в шаре

Числа $\mu_{n,m}={\alpha}_{n,m}^{2}R^{-2}>0$ при любых $n\geq 0$, $m\in N$. Поэтому вектор-функции $\mathbf{q}_{\kappa}$ являются также решениями задачи 1 при $\lambda=0$.

5.5. Сходимость ряда Фурье по собственным функциям

оператора Лапласа-Неймана в норме пространства Соболева

В $\S\ 2.5$ главы 4 книги В.П.Михайлова [10] для областей $G$ с границей $\Gamma\in\mathcal{C}^{s}$ определены подпространства $H^{s}_{\mathcal{N}}(G)$ в $H^{s}(G)$:

[TABLE]

где $\sigma$ равна целой части $[s/2-1]$ числа $s/2-1$, $s\geq 2$, и $H^{0}_{\mathcal{N}}(G)=L_{2}(G)$, $H^{1}_{\mathcal{N}}(G)=H^{1}(G)$ по определению. Доказано, что принадлежность $f$ пространству $H^{s}_{\mathcal{N}}(G)$ необходима и достаточна для сходимости ее ряда Фурье по системе собственных функций оператора Лапласа-Неймана в $H^{s}(G)$(см. теоремы 8 и 9 $\S\ 2.5$ гл. 4).

5.6. Сходимость ряда (81)

в норме пространства Соболева $H^{s}(B)$

Определим подпространство $\mathbf{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$ в $\mathcal{A}$ при $s\geq 1$:

[TABLE]

где $\sigma=[(s-1)/2]+1$. Имеет место

Теорема 6**.**

Для того, чтобы $\mathbf{f}\in\mathcal{A}$ разлагалась в ряд Фурье

[TABLE]

по системе собственных вектор-функций $\mathbf{q}_{\kappa}(\mathbf{x})$ оператора градиента дивергенции в шаре, сходящийся в норме пространства Соболева $\mathbf{H}^{s}(B)$, необходимо и достаточно, чтобы $\mathbf{f}$ принадлежала $\mathbf{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$.

Если $\mathbf{f}\in\mathbf{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$, то сходится ряд

[TABLE]

и существует такая положительная постоянная $C>0$, не зависящая от $\mathbf{f}$, что

[TABLE]

Если $s\geq 2$, то любая вектор-функция $\mathbf{f}$ из $\mathbf{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$ разлагается в в ряд Фурье, сходящийся в пространстве $\mathbf{C}^{s-2}(\overline{B})$.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3 для оператора ротор.

Следствие. Любая вектор-функция $f$ из $\mathcal{A}\cap\mathbf{C}^{\infty}_{0}({B})$ разлагается в ряд Фурье (81), сходящийся в пространстве $\mathbf{C}^{\infty}(\overline{B})$.

5.7. Скалярное произведение функций $\mathbf{f}$ и

$\mathbf{g}$ из $\mathcal{A}_{\gamma}$ в базисе из собственных функций градиента дивергенции

Оно имеет вид:

[TABLE]

Если $\mathbf{f}$ и $\mathbf{g}$ принадлежат $\mathbf{A}^{1}_{\mathcal{K}}(B)$, то равенства

[TABLE]

показывают, что оператор $\nabla\mathbf{div}$ является самосопряженным в $\mathcal{A}_{\gamma}$.

6. Базисные подпространства в $\mathbf{L}_{2}(G)$

6.1. Пространства $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в

${{\mathbf{L}}_{2}}({G})$

В $\S 1$ мы рассмотрели ортогональные подпространства $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{B}_{H}$ и $\mathbf{V}^{0}$. Пространства $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}_{H}$ принадлежат ядру оператора ротор; а в $\mathbf{V}^{0}$ он продолжается как самосопряженный оператор $S$, собственные функции которого образуют базис в $\mathbf{V}^{0}$.

Пространство $\mathcal{B}$ принадлежат ядру оператора градиент дивергенции; а в $\mathcal{A}_{\gamma}$ он продолжается как самосопряженный оператор $\mathcal{N}_{d}$, собственные функции которого образуют базис в $\mathcal{A}_{\gamma}\subset\mathcal{A}$.

$\mathcal{B}_{H}$–конечномерное пространство.

Согласно (1) и (3) пространство ${\mathbf{{L}}_{2}}(G)$ разлагается на ортогональные подпространства:

[TABLE]

Следовательно, имеет место

Теорема 7**.**

Система $\{\mathbf{q}_{j}(x)\}\cup\{\mathbf{h}_{j}(x)\}\cup\{\mathbf{q}_{j}^{+}(x)\}\cup\{\mathbf{q}_{j}^{-}(x)\}$ решений задачи 1 образует в пространстве ${\mathbf{{L}}_{2}}(G)$ ортонормированный базис. Любую вектор-функцию $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ из ${\mathbf{{L}}_{2}}(G)$ можно разложить в ряд Фурье по этому базису:

[TABLE]

В случае шара пространство $\mathcal{B}_{H}$ пусто.

6.2. Разложение векторного поля $\mathbf{f}\in\mathbf{L}_{2}(B)$

на безвихревое поле $\mathbf{a}_{f}$ и соленоидальное поле $\mathbf{b}_{f}$: $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{a}_{f}(\mathbf{x})+\mathbf{b}_{f}(\mathbf{x})$, где

[TABLE]

[TABLE]

Частичные суммы $\mathbf{S}^{0}_{N}$ и $\mathbf{S}^{1}_{N}$ рядов (87) и (88) состоят из элементов с индексами $n,m,k$, для которых $0<\alpha_{n,m}<N$ и $0<\rho_{n,m}<N$, соответственно.

Имеет место равенство Парсеваля-Стеклова: $\|\mathbf{f}\|^{2}=\|\mathbf{a}_{f}\|^{2}+\|\mathbf{b}_{f}\|^{2}$, которое запишем так

[TABLE]

где решетка $\mathbb{P}_{N}=\{(n,m):0<\rho_{n,m}<N,\,0<\alpha_{n,m}<N\}$ и векторы ${\mathbf{q}}_{0,m,0}^{\pm}=0$.

Отметим, что разложение векторного поля $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ на безвихревое поле $\nabla{h}(\mathbf{x})$ и соленоидальное поле $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ связано с решением задачи Неймана

[TABLE]

в классической или обобщенной постановках (cм.[4, 13]).

Мы сводим решение задачи к вычислению интегралов $(\mathbf{f},{\mathbf{q}}_{\kappa})$, $(\mathbf{f},{\mathbf{q}}_{\kappa}^{+})$, $(\mathbf{f},{\mathbf{q}}_{\kappa}^{-})$ и ее решение получаем в виде рядов (87), (88).

7. Решение краевой задачи 5 в шаре

Методом Фурье легко решается краевая

Задача 5**.**

Пусть задана вектор-функция $\mathbf{f}(\mathbf{x})\in\mathbf{L}_{2}(B)$. Найти вектор-функцию $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ в $\mathbf{H}^{1}(B)$ такую, что

[TABLE]

7.1. Основные пространства

Через $\mathbf{E}^{s}(B)$ обозначают [21] пространство

[TABLE]

где число $s\geq 0$ целое. Оно является пространством Гильберта и

[TABLE]

Согласно п. 2.2, ${\bf rot}\,\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}\in\mathbf{E}^{s}(B)$, если $\mathbf{u}\in\mathbf{H}^{s+1}(B)$.

Как известно [10], для функций $v$ из пространства $H^{1}(B)$ определен оператор следа $\gamma:H^{1}(B)\rightarrow H^{1/2}(S)$, равный следу $v$ на $S$ для гладких функций из $\mathcal{C}^{1}(\overline{B})$: $\gamma\,v=v|_{S}$, причем $\quad\|\gamma\,v\|_{L_{2}(S)}\leq c\|v\|_{H^{1}(B)}$.

Аналогично, для вектор-функций $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ из $\mathbf{E}^{0}(B)$ определен [21] оператор следа нормальной компоненты $\gamma_{\mathbf{n}}:\mathbf{E}^{0}(B)\rightarrow H^{-1/2}(S)$, равный сужению $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}$ на $S$ для функций из $\mathcal{C}^{1}(\overline{B})$: $\gamma_{\mathbf{n}}\,\mathbf{u}={\mathbf{n}}\cdot\mathbf{u}|_{S}$.

Для $u\in\mathbf{E}^{0}(B)$ и $v\in H^{1}(B)$ верна обобщенная формула Стокса: $\langle\gamma_{\mathbf{n}}\,{\mathbf{u}},\gamma\,v\rangle=(\mathbf{u},\nabla v)+(\text{div}\mathbf{u},v)$ где $\langle\gamma_{\mathbf{n}}\,{\mathbf{u}},\gamma\,v\rangle$- линейный функционал над $H^{1/2}(S)$; $\gamma_{\mathbf{n}}\,{\mathbf{u}}\in H^{-1/2}(S)$ при $\gamma\,v\in H^{1/2}(S)$. Имеют место непрерывные вложения: $H^{1/2}(S)\subset L_{2}(S)\subset H^{-1/2}(S)$

Пространство $\mathbf{{E}}_{\gamma}^{s}(B)=\{\mathbf{f}\in\mathbf{E}^{s}(B):{\mathbf{n}}\cdot{\mathbf{f}}|_{S}=0\},\quad s\geq 0.$

7.2. Решение краевой задачи (91)

при $\lambda\neq Sp\,(rot)$

Теорема 8**.**

Если $\lambda\neq 0,\pm{\lambda}_{n,m}$,  $n,m\in\mathbf{N}$ и $\mathbf{f}\in\mathbf{E}_{\gamma}^{0}(B)$, то единственное решение $\mathbf{u}$ задачи 5 дается суммой рядов $\mathbf{u}_{1}+\mathbf{u}_{2}$, где

[TABLE]

[TABLE]

*Решение задачи принадлежит пространству Соболева $\mathbf{H}^{1}_{\gamma}(B)$.

Если $\mathbf{f}\in\mathcal{A}\subset\mathbf{L}_{2}(B)$, то $\mathbf{u}={\lambda}^{-1}\mathbf{f}$ отображает $\mathcal{A}$ на $\mathcal{A}$.

Если $\mathbf{f}\in\mathcal{B}\bot\mathcal{A}$ в $\mathbf{L}_{2}(B)$, то $\mathbf{u}=\mathbf{u}_{2}$ принадлежит $\mathbf{W}^{1}(B)\subset\mathbf{H}^{1}_{\gamma}(B)$.

Если же $\mathbf{f}\in\mathcal{D}(B)$, то ряды (93), (94) сходятся в любом из пространств $\mathbf{H}^{s}(B)$,  $s\geq 1$ и их сумма есть классическое решение задачи класса $C^{\infty}(\overline{B})$.*

Доказательство приведено в [42].

Мы не будем выписывать подробно решение задачи 6 при $\lambda=0$. Отметим только, что условие $\text{div}\,\mathbf{f}=0$ необходимо и достаточно для ее разрешимости, а однородная задача имеет счетное число линейно независимых решений $\mathbf{q}_{\kappa}(\mathbf{x})$.

При $\lambda=\pm\lambda_{n,m}$ задача (91) разрешима по Фредгольму.

Задача: $\nabla\mathbf{div}\mathbf{v}+\lambda\mathbf{v}=\mathbf{f}$ в $B$, $\gamma\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0$ решается аналогично.

Список литературы

• [1] Sobolev, S.L. 1992 * Cubature Formulas and Modern Analysis: An Introduction* Gordon and Breach, Monteux
• [2] Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики. Известия АН СССР серия математическая 18(1954) 3-50
• [3] Соболев С.Л. Sur un probleme limite pour les equations polyharmoniques. Rec.Math.Moscou n.Ser. 2(44) No.3 465-499 (1937) Zbl 0018.02603
• [4] Ladyzhenskaya, O.A. 1969 Mathematical Theory of Viscous Incompressible flow Gordon and Breach, New York
• [5] Ладыженская О.А.  * О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей* Записки Науч. семинаров ПОМИ, 2003, т. 306, pp. 71 -85
• [6] H.Weyl *The method of orthogonal projection in potetial theory *// Duke Math. V.7, 1941, 411-444.
• [7] Vladimirov, V.S. 1971 Equations of Mathematical Physics Marcel Dekker,New York
• [8] Fridrichs, K. Differertial form on Riemannian manifolds Comm. Pure Appl. Math., VIII, № 2, Nov.1955.
• [9] Kozlov, V.V. 1998 General Vortex Theory Izhevsk:Udmurd.Univ.
• [10] Mikhailov, V.P. 1978 Partial Differential EquationsMoscow: Mir
• [11] В.А. Зорич, Математический анализ Часть II М. Наука

1984. 640 с.

• [12] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В.

• Теоретическая гидромеханика, ч. II, Гостехиздат, 1948*

• [13] Bykhovski, E.B., Smirnov, N.V. 1960  About orthogonal decomposition of Spaces $\mathbf{L}_{2}(\Omega)$ and operators of the vector analysisProceeding of Steclov MI LIX. Mathematical questions of the hidrodymamics and magnit hydrodymamics for a viscous incompressible fluids Moskow, Leningrad: Academy Sci. of USSR p.5-36
• [14] Vainberg, B.R., Grushin, V.V. 1967 Uniformly nonelliptic problems I Math.USSR-Sb. v.2(1),111-133.
• [15] Solonnikov, V.A. 1971 Overdeterminate elliptic Problems Leningrad:Notes of the Sci. seminar of LOMI vol.21, no. 5, p. 112-158
• [16] Агранович М.С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М.: МЦНМО, 2013, 365 с.
• [17] Арнольд В.И. *Sur la topologie des écoulements stationnaires des fluides parfaits. * С. R. Acad. Sci. Paris. 1965. 261. P. 17-20
• [18] M. Henon Sur la topologie des lignes de courant dans un case particulier. // C. R. Acad. Sci. Paris. 1966. 262. P. 312-314. 7.
• [19] A.Fursikov *Local existence theorems with unboundet set of input data and unboundeness of stable invariant manifolds for 3D Navier-Stokes equations * AIMS’ Journal v.3, is.2, pp. 269-289,

• [20] Bourguignon J.P , Brezis H. Remarks on the Euler equation. J. Funct. Anal. v. 15, pp. 341-363 (1974)
• [21] Temam, R.I.  1979 Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical AnalysisNorth-Holland, Amsterdam
• [22] J. B. Taylor Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magnetic fields // Phys. Rev. Letters. 1974. V. 33. P.  1139-1141.
• [23] S. Chandrasekhar, P.S. Kendall On force-free magnetic fields // Astrophys. Journal.1957. V. 126. P. 457-460.
• [24] D. Montgomery, L. Turner, G. Vahala Three-dimentional magnetohydrodyamic turbulence in cylindrical geometry// Phys. Fluids. 1978. V. 21. No  5. P.  757-764.
• [25] Берхин П.Е. Самосопряженная краевая задача для системы $\ast d\;u+\lambda\;u=f$ // ДАН. 1975. Т. 222, № 1. С. 15-17.
• [26] Z.Yoshida and Y.Giga, Remark on spectra of operator rot. // Math. Z. 1990. V. 204. P. 235-245.
• [27] R.Picard On selfadjoint realization of curl and some its applications. // Preprint : Technische Universitat Dresden: MATH-AN-02-96). Dresden, Marz 1996.
• [28] Н.Филонов Спектральный анализ самосопряженного оператора $rot$ в области конечной меры. Алгебра и анализ,1999, т.11, вып.6,с.178-230.
• [29] J.Cantarella, D.DeTurck, H.Gluck, M.TeitelThe spectrum of the curl operator on spherically symmetric domains // Physics of plasmas. 2000, Vol.7, No.7, pp.2766-2775
• [30] Borchers W., Sohr H. The equations $div\,u=f$ and $rot\,v=g$ with zero boundary conditions. Hokkaido Math. J. v.19, pp. 67-87, 1990
• [31] Сакс Р.C. On the boundary value problems for the systems $curlu+\lambda\,u=h$, Soviet Math. Doklady 12 (1971), N.4, 1240-1244.
• [32] Сакс Р.C. On the boundary value problems for the systems $curlu+\lambda\,u=h$, Differential Equations 8 (1972), N.1. p. 126-140.
• [33] Saks, R.S.  1975 Boundary Value Problems for Elliptic Systems of Differential Equations Novosibirsk: Gos. Univ. 165p.
• [34] Сакс Р.С. О свойствах обобщенно эллиптических псевдодифференциальных операторов на замкнутых многообразиях //Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28 (Записки научн. Семинаров ПОМИ, Т. 243). 1997. С.-П. С. 215-269.//
• [35] Сакс Р.С. Спектр оператора вихря в шаре при условии непротекания и собственные значения колебаний упругого шара, закрепленного на границе// Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. IV. Прикладная математика. Труды международной конференции. Уфа ИМ с ВЦ УНЦ РАН 2000, 61-68.
• [36] R.S.Saks* On spectrum of the $curl$ operator* Progresses in Analysis and its applications, Proceeding of the Intern. ISAAC Congress (Berlin Aug. 20-25 2001), 1, World Scientific, 2003, 811-819
• [37] Сакс Р.С. Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиям//Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 36 (Записки научн. Семинаров ПОМИ, т. 318). 2004. С.-П. С. 246-276.//
• [38] Saks, R.S.  2010 Global solutions of the Navier-Stokes equations in uniformly rotating space Theor. Math.Phys. v.162, No.2 p. 163-178
• [39] Сакс Р.С., Хайбуллин А.Г., Об одном методе численного решения задачи Коши для уравнений Навье-Стокса и рядах Фурье оператора ротор

«Доклады Академии Наук». 2009. Т. 429, №1, С. 22-27.

• [40] Saks, R.S. 2011 Cauchy Problem for the Navier-Stokes equations, Fourier method Ufim. Math. Zh., v.3 No.1, p. 53-79
• [41] Сакс Р.С.* Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса. * Доклады Акад. Наук. 2007. Т. 416, No 4, С. 446-450.
• [42] Saks, R.S. 2013 Solving of Spectal Problems for the curl and Stokes operators Ufim. Math. Zh., v.5 No.2, p. 63-81

Реферат:

Ряды Фурье оператора ротор и пространства Соболева.

Р.С.Сакс

Автор изучает свойства операторов ротор и градиент дивергенции в произвольной ограниченной области $G$ с гладкой границей $\Gamma$, их спектральные разложения и краевые задачи.

В пространстве $\mathbf{L}_{2}(G)$ выделяются ортогональные подпространства $\mathbf{V}^{0}(G)$ и ${\mathcal{{A}}_{\gamma}}(G)$. Доказано, что существуют продолжения $S$ и $\mathcal{N}_{d}$   операторов ротор и градиент дивергенции в эти пространства такие, что $S$ и $\mathcal{N}_{d}$ являются самосопряженными и имеют вполне непрерывные обратные $S^{-1}$ и $\mathcal{N}_{d}^{-1}$ . Откуда вытекает ортогональность собственных функций каждого из этих операторов в соответствующих подпространствах и полнота совокупной системы в их объединении.

Найдены необходимые и достаточные условия на $\mathbf{u}\in\mathbf{V}^{0}(B)$ и $\mathbf{v}\in{\mathcal{{A}}_{\gamma}}(B)$, при которых их ряды Фурье сходятся в норме пространства Соболева $\mathbf{H}^{s}(B)$.

При $\lambda\neq 0$ исследована разрешимость в $\mathbf{H}^{s}(G)$ краевых задач для систем $\mathbf{rot}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}=\mathbf{f}$ в $G$ и $\nabla\mathbf{div}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}=\mathbf{f}$ в $G$ с условием $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_{\Gamma}=g$ на границе.

Методом Фурье при любых $\lambda$ решена краевая задача для системы $\mathbf{rot}\mathbf{u}+\lambda\mathbf{u}=\mathbf{f}$ в шаре $B$ с условием $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_{S}=0$.

Fourier series of the curl operator and Sobolev spaces

Saks Romen Semenovich

Сакс Ромэн Семенович ведущий научный сотрудник Институт Математики с ВЦ УНЦ РАН 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, д.112 телефон: (347) 272-59-36 (347) 273-34-12 факс: (347) 272-59-36 телефон дом.: (347) 273-84-69 моб. +79173797538

e-mail: romen-saks@yandex.ru