Tores associ\'es \`a une alg\`ebre \'etale quartique

TL;DR

This paper investigates homomorphisms between multiplicative groups of degree 4 and 6 etale algebras, relating norm groups and describing 2-torsion in the Brauer group, extending properties of biquadratic extensions.

Contribution

It introduces new homomorphisms between multiplicative groups of degree 4 and 6 etale algebras, generalizing properties of biquadratic extensions to all such algebras.

Findings

Relates norm groups via homomorphisms

Describes 2-torsion in the Brauer group

Extends properties of biquadratic extensions

Abstract

Homomorphisms are defined between the multiplicative group of an etale algebra of dimension 4 and the multiplicative group of a canonically associated etale algebra of degree 6 over an arbitrary field. These homomorphisms are used to relate various norm groups and to describe the 2-torsion in the relative Brauer group of a separable extension of degree 4. Several remarkable properties of biquadratic extensions are thus extended to arbitrary etale algebras of dimension 4.

Equations

$${\mathfrak{S}}_4=W({\mathsf{A}}_3)=W({\mathsf{D}}_3)\subset {\mathfrak{S}}_2\wr {\mathfrak{S}}_3.$$

$${\sigma }^{\ast }:T_L\to T_S\text{et}{\tau }^{\ast }:T_S\to T_L$$

$$1\to T_L/{\mathbb{G}}_m\to T_S/{\mathbb{G}}_m\to T_C/{\mathbb{G}}_m\to 1\text{et}1\to T_C^1\to T_S^1\to T_L^1\to 1.$$

$$\{x\in k^{\times }\mid x^2\in N(L/k)\}=k^{\times 2}\cdot N(S/k)\text{et}{k}^{\times }\cap N(S/C)=k^{\times 2}\cdot N(L/k).$$

$${}_2\mathrm{Br}(L/k)=\{{\mathrm{cor}}_{C/k}(S/C,x)\mid x\in C^{\times }\}.$$

$${\epsilon }_E:\mathbb{Z}[E]\to \mathbb{Z},{\nu }_E:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}[E],$$

$$I[E]=\ker {\epsilon }_E\text{et}J[E]=\mathrm{coker}{\nu }_E.$$

$$\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}(X)=\bigl{\{}\{x_{1},x_{2}\},\>\{x_{1},x_{3}\},\>\{x_{1},x_{4}\},\>\{x_{2},x_{3}\},\>\{x_{2},x_{4}\},\>\{x_{3},x_{4}\}\bigr{\}}$$

$$\mathcal{R}(X)=\bigl{\{}\{\{x_{1},x_{2}\}\{x_{3},x_{4}\}\},\>\{\{x_{1},x_{3}\}\{x_{2},x_{4}\}\},\>\{\{x_{1},x_{4}\}\{x_{2},x_{3}\}\}\bigr{\}}.$$

$$\gamma :$$

$$\pi :$$

$$\displaystyle\varepsilon_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}\colon$$

$$\displaystyle\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}\colon$$

$$Id-\gamma :$$

$$\varepsilon_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}(\alpha)=\sum_{\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\alpha_{\lambda}\cdot\pi(\lambda)=\sum_{r\in\mathcal{R}}\>\Bigl{(}\sum_{\pi(\lambda)=r}\alpha_{\lambda}\Bigr{)}r,$$

$$\alpha=(Id-\gamma)\Bigl{(}\sum_{r\in\mathcal{R}}\alpha_{\lambda_{r}}\cdot\lambda_{r}\Bigr{)}.$$

$$0\leftarrow\mathbb{Z}[\mathcal{R}]\xleftarrow{\varepsilon_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}}\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\xleftarrow{Id-\gamma}\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\xleftarrow{\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}}\mathbb{Z}[\mathcal{R}]\leftarrow 0.$$

$$I[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}]\xleftarrow{\sim}J[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}].$$

$$\sigma\colon\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\to\mathbb{Z}[X],\qquad\lambda\mapsto\sum_{x\in\lambda}x\qquad\text{pour $\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}$.}$$

$$0\leftarrow\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xleftarrow{\overline{\varepsilon}_{X}}\mathbb{Z}[X]\xleftarrow{\sigma}\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\xleftarrow{\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}}I[\mathcal{R}]\leftarrow 0.$$

$$\begin{split}\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 9.5pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\\&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-6.05556pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}}$}}}}}}}{\hbox{\kern 51.73083pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}[X]\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 26.10345pt\raise 5.19028pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-0.82361pt\hbox{$\scriptstyle{\varepsilon_{X}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 6.05556pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-6.05556pt\raise-30.71193pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern-9.5pt\raise-15.35597pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.25555pt\hbox{$\scriptstyle{2}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 40.19885pt\raise-30.71193pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 65.09889pt\raise-15.35597pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.50694pt\hbox{$\scriptstyle{\sigma}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 65.09889pt\raise-5.5pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 8.62842pt\raise-24.61388pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.08417pt\hbox{$\scriptstyle{\varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 6.05556pt\raise-30.71193pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces\qquad\qquad\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 24.90004pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\kern 0.0pt\offinterlineskip\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\\&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-13.36806pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}[X]}$}}}}}}}{\hbox{\kern 65.50168pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 32.89206pt\raise 5.19028pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-0.82361pt\hbox{$\scriptstyle{\nu_{X}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 13.36806pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-24.90004pt\raise-30.71193pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern-9.9999pt\raise-15.35597pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.50694pt\hbox{$\scriptstyle{\sigma}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-5.5pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 59.04333pt\raise-30.71193pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\mathbb{Z}[\mathcal{R}]\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 25.57051pt\raise-24.11388pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.58417pt\hbox{$\scriptstyle{\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 24.90005pt\raise-30.71193pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 71.55724pt\raise-15.35597pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-0.82361pt\hbox{$\scriptstyle{\varepsilon_{\mathcal{R}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 71.55724pt\raise-3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces}}}}\ignorespaces\end{split}$$

$$\sigma(\alpha)=\sum_{\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\alpha_{\lambda}\Bigl{(}\sum_{x\in\lambda}x\Bigr{)}=\sum_{x\in X}\>\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni x}\alpha_{\lambda}\Bigr{)}x,$$

$$2\alpha_{\{x_{1},x_{2}\}}-2\alpha_{\{x_{3},x_{4}\}}=\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni x_{1}}\alpha_{\lambda}\Bigr{)}+\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni x_{2}}\alpha_{\lambda}\Bigr{)}-\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni x_{3}}\alpha_{\lambda}\Bigr{)}-\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni x_{4}}\alpha_{\lambda}\Bigr{)},$$

$$\alpha_{\lambda}=\Bigl{(}\sum_{x\in\lambda}\xi_{x}\Bigr{)}-\zeta=\frac{1}{2}\Bigl{(}\sum_{x\in\lambda}\xi_{x}-\sum_{y\in\gamma(\lambda)}\xi_{y}\Bigr{)}\in\mathbb{Z}.$$

$$\beta_{\lambda}-\beta_{\gamma(\lambda)}={\frac{1}{2}}\Bigl{(}\sum_{x\in\lambda}\xi_{x}-\sum_{y\in\gamma(\lambda)}\xi_{y}\Bigr{)}\quad\text{pour tout $\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}$.}$$

$$\sum_{\lambda\ni z}(\beta_{\lambda}-\beta_{\gamma(\lambda)})=\sum_{\lambda\ni z}\beta_{\lambda}-\sum_{\lambda\not\ni z}\beta_{\lambda}=2\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni z}\beta_{\lambda}\Bigr{)}-\varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}(\beta),$$

$$\sum_{\lambda\ni z}(\beta_{\lambda}-\beta_{\gamma(\lambda)})={\frac{1}{2}}\sum_{\lambda\ni z}\>\Bigl{(}\sum_{x\in\lambda}\xi_{x}-\sum_{y\in\gamma(\lambda)}\xi_{y}\Bigr{)}={\frac{1}{2}}\bigl{(}3\xi_{z}-\sum_{x\neq z}\xi_{x}\bigr{)}=2\xi_{z}-\zeta.$$

$$2\Bigl{(}\sum_{\lambda\ni z}\beta_{\lambda}\Bigr{)}-\varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}(\beta)=2\xi_{z}-\zeta,$$

$$0\leftarrow I[X]\xleftarrow{\sigma_{I}}I[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\xleftarrow{\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}}I[\mathcal{R}]\leftarrow 0.$$

$$0$$

$$0\leftarrow\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\leftarrow J[X]\leftarrow J[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}/\mathcal{R}]\leftarrow 0$$

$$0\leftarrow\mathbb{Z}\xleftarrow{(\varepsilon_{X},-2)}\mathbb{Z}[X]\times\mathbb{Z}\xleftarrow{\sigma\times\varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}}\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\xleftarrow{\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large$\wedge$}}{\mbox{\large$\wedge$}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}}I[\mathcal{R}]\leftarrow 0.$$

Full text

À toute algèbre étale $L$ de dimension $4$ sur un corps $k$ arbitraire est associée canoniquement (à isomorphisme près) une extension quadratique étale $S$ d’une $k$-algèbre étale cubique $C$: dans [12] (où l’on utilise la notation \operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}_{2}(L) pour $S$ et $\mathcal{R}(L)$ pour $C$), les algèbres $S$ et $C$ sont définies comme dans (14) ci-dessous à l’aide de la correspondance entre $k$-algèbres étales et ensembles finis munis d’une action du groupe de Galois absolu $\Gamma$ de $k$. En termes de polynômes, cette construction est très classique: si $P$ est le polynôme minimal (de degré $4$) d’un générateur de $L$, alors $C$ est engendrée par une racine de la cubique résolvante de $P$, et $S$ est caractérisée par la condition que $P$ se factorise en produit de deux polynômes de degré $2$ dans $S[X]$. On peut aussi formuler la définition de $S$ et $C$ en termes de cohomologie galoisienne des groupes symétriques $\mathfrak{S}_{n}$, comme dans [12, §5.2]. En effet, les $k$-algèbres étales quartiques sont classifiées par l’ensemble de cohomologie $H^{1}(\Gamma,\mathfrak{S}_{4})$, tandis que les extensions quadratiques étales de $k$-algèbres étales cubiques sont classifiées par $H^{1}(\Gamma,\mathfrak{S}_{2}\wr\mathfrak{S}_{3})$, où $\mathfrak{S}_{2}\wr\mathfrak{S}_{3}$ est le produit couronne de $\mathfrak{S}_{2}$ et $\mathfrak{S}_{3}$. La correspondance entre algèbres quartiques et extensions quadratiques d’algèbres cubiques apparait alors comme un avatar de la coïncidence de diagrammes de Dynkin $\mathsf{A}_{3}\equiv\mathsf{D}_{3}$, qui a pour conséquence l’identité des groupes de Weyl associés

[TABLE]

Nous appellerons $S/C$ l’extension quadratique résolvante de $L$.

Le but de ce travail est de décrire les relations entre les $k$-tores des groupes multiplicatifs de $L$, $S$ et $C$. Si l’on note ces tores $T_{L}$, $T_{S}$ et $T_{C}$, que l’on désigne par $T^{1}_{L}$ le noyau de la norme $T_{L}\to\mathbb{G}_{m}$ et que l’on définit semblablement $T^{1}_{S}$ et $T^{1}_{C}$, notre outil principal consiste en deux morphismes

[TABLE]

qui donnent deux suites exactes

[TABLE]

Ces morphismes sont utilisés pour obtenir une description de plusieurs groupes définis par des normes. En notant $N(L/k)=N_{L/k}(L^{\times})$ le groupe des normes de $L/k$, et en définissant de même les groupes de normes $N(S/k)$ et $N(S/C)$, on montre dans la proposition 3.1:

[TABLE]

De plus, on donne dans le corollaire 3.5 une paramétrisation des éléments de $2$-torsion déployés par $L$ dans le groupe de Brauer $\operatorname{Br}(k)$: ces éléments sont des corestrictions d’algèbres de quaternions sur $C$ déployées par $S$:

[TABLE]

Ces résultats étendent aux $k$-algèbres quartiques arbitraires plusieurs énoncés qui sont bien connus dans le cas des extensions biquadratiques, comme le «lemme biquadratique» et le “Common Slot Theorem”: voir l’exemple 5.1. Le théorème 4.1 montre comment calculer une forme quadratique d’Albert d’une $k$-algèbre de biquaternions déployée par $L$ à partir de sa description ci-dessus comme corestriction. À l’aide de ce théorème, on retrouve dans le corollaire 4.4 la paramétrisation des $k$-algèbres de quaternions déployées par $L$ donnée dans [8, Cor. 22], [9, Th. 6.2]111Hoffmann et Sobiech se limitent à la caractéristique $2$, mais ils envisagent aussi le cas où $L$ est une extension inséparable de $k$. et [18, Cor. 4] (et dans [14, Th. 3.9] pour le cas particulier où $L$ est une $2$-extension). Dans le cas où $k$ est un corps global, on obtient un principe de Hasse modulo les carrés pour les normes d’extensions quartiques étales: voir la remarque 3.2. Ce principe de Hasse a été établi par Sivatski [19] par des arguments substantiellement différents.

Les méthodes utilisées n’imposent aucune restriction sur la caractéristique du corps de base. Sauf mention explicite, $k$ désigne un corps de base arbitraire.

1 $\Gamma$-modules

Soit $k_{s}$ une clôture séparable de $k$ et $\Gamma=\operatorname{Gal}(k_{s}/k)$ son groupe de Galois. Par définition, un $\Gamma$-ensemble est un ensemble fini muni d’une action continue de $\Gamma$, et un $\Gamma$-module est un $\mathbb{Z}$-module de type fini muni d’une action continue de $\Gamma$. Pour tout $\Gamma$-ensemble $E$, le $\mathbb{Z}$-module libre de base $E$, que l’on désigne par $\mathbb{Z}[E]$, hérite de $E$ une action de $\Gamma$ qui en fait un $\Gamma$-module. Les modules de ce type sont appelés $\Gamma$-modules de permutation. Ils sont équipés d’homomorphismes équivariants $\varepsilon_{E}$ et $\nu_{E}$ appelés respectivement «augmentation» et «norme»

[TABLE]

définis sur les éléments de base par $\varepsilon_{E}(e)=1$ et $\nu_{E}(1)=\sum_{e\in E}e$. On note

[TABLE]

On peut identifier tout module de permutation $\mathbb{Z}[E]$ à son dual $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[E],\mathbb{Z})$ de sorte que la base $E$ soit auto-duale. Les homomorphismes $\varepsilon_{E}$ et $\nu_{E}$ apparaissent alors comme duaux l’un de l’autre, et il en est de même des modules $I[E]$ et $J[E]$.

Soit à présent $X$ un $\Gamma$-ensemble à quatre éléments. On associe à $X$ le $\Gamma$-ensemble \operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}(X) dont les éléments sont les paires (non ordonnées) d’éléments de $X$, et $\mathcal{R}(X)$ le $\Gamma$-ensemble dont les éléments sont les partitions de $X$ en sous-ensembles de $2$ éléments: si $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$, alors

[TABLE]

et

[TABLE]

L’ensemble $X$ étant fixé dans la suite, on écrira simplement \operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2} pour \operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}(X) et $\mathcal{R}$ pour $\mathcal{R}(X)$, afin d’alléger les notations.

Le complémentaire de toute paire d’éléments de $X$ est aussi une paire d’éléments de $X$; on peut donc définir des applications $\Gamma$-équivariantes comme suit:

[TABLE]

La projection \pi\colon\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}\to\mathcal{R} permet de définir des homomorphismes qui sont des analogues relatifs de l’augmentation et de la norme: on pose

[TABLE]

Choisissons $\{\lambda_{r}\mid r\in\mathcal{R}\}$ une section (ensembliste) de $\pi$, c’est-à-dire un ensemble de trois éléments de \operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2} tels que $\pi(\lambda_{r})=r$ pour tout $r\in\mathcal{R}$. Un élément \alpha=\sum_{\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\alpha_{\lambda}\cdot\lambda\in\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] (avec $\alpha_{\lambda}\in\mathbb{Z}$ pour \lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}) est dans le noyau de $Id-\gamma$ si et seulement si $\alpha_{\lambda}=\alpha_{\gamma(\lambda)}$ pour tout \lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}. Alors \alpha=\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}\bigl{(}\sum_{r\in\mathcal{R}}\alpha_{\lambda_{r}}\cdot\pi(\lambda_{r})\bigr{)}. De plus,

[TABLE]

donc \varepsilon_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}(\alpha)=0 si et seulement si $\alpha_{\lambda}+\alpha_{\gamma(\lambda)}=0$ pour tout \lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}. Lorsque cette condition est satisfaite, on a

[TABLE]

Ces observations permettent d’établir l’exactitude de la suite

[TABLE]

Dès lors, en posant I[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}]=\ker\varepsilon_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}} et J[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}]=\operatorname{coker}\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}, on voit que l’homomorphisme $Id-\gamma$ induit un isomorphisme canonique

[TABLE]

1.1 L’homomorphisme $\sigma$

Avec les notations introduites au début de cette section, on considère l’homomorphisme équivariant

[TABLE]

Proposition 1.1**.**

L’homomorphisme $\overline{\varepsilon}_{X}\colon\mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ composé de $\varepsilon_{X}$ et de la réduction modulo $2$ s’insère dans la suite exacte

[TABLE]

De plus, les carrés suivants sont commutatifs:

[TABLE]

Démonstration.

La commutativité des diagrammes résulte de calculs directs; la nullité de la suite en découle. Comme il est clair que \nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}} est injective et $\overline{\varepsilon}_{X}$ est surjective, il reste seulement à établir l’exactitude de la suite (3) en \mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] et en $\mathbb{Z}[X]$.

Pour \alpha=\sum_{\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\alpha_{\lambda}\cdot\lambda\in\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] (avec $\alpha_{\lambda}\in\mathbb{Z}$ pour tout \lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}), on a

[TABLE]

donc $\sigma(\alpha)=0$ si et seulement si $\sum_{\lambda\ni x}\alpha_{\lambda}=0$ pour tout $x\in X$. Notons $X=\{x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}\}$. Comme

[TABLE]

on voit que $\alpha_{\{x_{1},x_{2}\}}=\alpha_{\{x_{3},x_{4}\}}$ pour $\alpha\in\ker\sigma$. De même, $\alpha_{\{x_{1},x_{3}\}}=\alpha_{\{x_{2},x_{4}\}}$ et $\alpha_{\{x_{1},x_{4}\}}=\alpha_{\{x_{2},x_{3}\}}$ pour $\alpha\in\ker\sigma$, donc $\alpha=\gamma(\alpha)$ si $\sigma(\alpha)=0$. Vu l’exactitude de la suite (1), on peut donc trouver pour tout $\alpha\in\ker\sigma$ un élément $\beta\in\mathbb{Z}[\mathcal{R}]$ tel que \alpha=\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}(\beta). La commutativité du diagramme de droite de (4) montre que $\varepsilon_{\mathcal{R}}(\beta)=0$, donc $\beta\in I[\mathcal{R}]$. La suite (3) est donc exacte en \mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}].

Pour établir l’exactitude en $\mathbb{Z}[X]$, considérons $\xi=\sum_{x\in X}\xi_{x}\cdot x\in\mathbb{Z}[X]$ (avec $\xi_{x}\in\mathbb{Z}$ pour tout $x\in X$) tel que $\sum_{x\in X}\xi_{x}=2\zeta$ pour un certain $\zeta\in\mathbb{Z}$. Pour tout \lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}, posons

[TABLE]

Alors $\alpha_{\gamma(\lambda)}=-\alpha_{\lambda}$ pour tout \lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}, donc l’élément \alpha=\sum_{\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\alpha_{\lambda}\cdot\lambda est dans le noyau de \varepsilon_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}}. Vu l’exactitude de la suite (1), on peut trouver \beta=\sum_{\lambda\in\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\beta_{\lambda}\cdot\lambda\in\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] tel que $\alpha=\beta-\gamma(\beta)$, ce qui signifie que

[TABLE]

Pour un élément $z\in X$ fixé on a alors d’une part

[TABLE]

et d’autre part

[TABLE]

En comparant ces équations, on obtient

[TABLE]

ce qui montre que \varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}(\beta)\equiv\zeta\bmod 2. Or, la condition $\alpha=\beta-\gamma(\beta)$ ne détermine $\beta$ qu’à un élément de l’image de \nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}} près, et \varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}(\operatorname{im}\nu_{{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}})=2\mathbb{Z}, donc quitte à ajuster $\beta$ on peut supposer \varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}(\beta)=\zeta. L’équation (5), qui vaut pour tout $z\in X$, donne alors $\sum_{\lambda\ni z}\beta_{\lambda}=\xi_{z}$, donc $\xi=\sigma(\beta)$. ∎

Corollaire 1.2**.**

La restriction de $\sigma$ à I[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] est un homomorphisme \sigma_{I}\colon I[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}]\to I[X] qui s’insère dans la suite exacte suivante:

[TABLE]

Démonstration.

Le diagramme de gauche de (4) s’étend en un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes:

[TABLE]

Comme $\operatorname{coker}(2)=\operatorname{coker}\sigma$ et $\ker(2)=0$, le corollaire s’obtient en appliquant le lemme du serpent à ce diagramme. ∎

On peut raisonner de même avec le diagramme de droite de (4). On obtient une suite exacte

[TABLE]

avec des homomorphismes induits par $\overline{\varepsilon}_{X}$ et par $\sigma$. Il est cependant utile d’éliminer les éléments de torsion en modifiant quelque peu $\sigma$ et $\nu_{X}$: d’abord, on peut remplacer la suite exacte (3) par la suivante:

[TABLE]

Ensuite, on peut remplacer le carré de droite de (4) par le suivant:

[TABLE]

Corollaire 1.3**.**

Soit $J^{\prime}[X]=\operatorname{coker}(\nu,2)$. On a une suite exacte

[TABLE]

où les homomorphismes $\varepsilon^{\prime}$ et $\sigma^{\prime}$ sont induits par $(\varepsilon_{X},-2)$ et \sigma\times\varepsilon_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}} respectivement.

Démonstration.

On applique le lemme du serpent au diagramme commutatif suivant, obtenu en étendant le diagramme (8):

[TABLE]

∎

1.2 L’homomorphisme $\tau$

Rappelons que les $\Gamma$-modules de permutation sont auto-duaux. On peut donc définir un homomorphisme \tau\colon\mathbb{Z}[X]\to\mathbb{Z}[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] en prenant le dual de $\sigma$. De manière explicite,

[TABLE]

Par dualité à partir de (4) (ou par un calcul direct) on obtient les carrés commutatifs suivants:

[TABLE]

On a aussi une suite exacte duale de (7):

[TABLE]

Proposition 1.4**.**

L’homomorphisme $\tau$ induit un homomorphisme \tau_{J}\colon J[X]\to J[\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}] et la suite suivante est exacte:

[TABLE]

Démonstration.

Le noyau et le conoyau de (\tau,\nu_{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}) étant donnés par la suite (12), il suffit d’appliquer le lemme du serpent au diagramme suivant, dont les lignes sont exactes:

[TABLE]

∎

2 Tores

Comme dans la section précédente, on désigne par $k$ un corps arbitraire; on fixe une clôture séparable $k_{s}$ de $k$ et on pose $\Gamma=\operatorname{Gal}(k_{s}/k)$. En associant à toute $k$-algèbre étale $A$ l’ensemble E(A)=\operatorname{Hom}_{\text{k-alg}}(A,k_{s}) des homomorphismes de $k$-algèbres de $A$ dans $k_{s}$, on définit une anti-équivalence de catégories entre les $k$-algèbres étales et les $\Gamma$-ensembles. De même, on a une anti-équivalence de catégories entre $k$-tores et $\Gamma$-modules, qui associe à tout $k$-tore $T$ le module de ses caractères $\widehat{T}=\operatorname{Hom}(T_{s},\mathbb{G}_{m,k_{s}})$. Ces deux anti-équivalences sont liées de la manière suivante: toute $k$-algèbre étale $A$ définit d’une part un $\Gamma$-ensemble $E(A)$ et d’autre part un $k$-tore

[TABLE]

obtenu à partir du groupe multiplicatif $\mathbb{G}_{m,A}$ de $A$ par restriction des scalaires (à la Weil) de $A$ à $k$. Ces deux constructions sont liées par

[TABLE]

La correspondance fonctorielle entre $\Gamma$-modules et tores associe à l’augmentation $\varepsilon_{E(A)}$ l’inclusion $i_{A}\colon\mathbb{G}_{m}\to T_{A}$, et à la norme $\nu_{E(A)}$ la norme $N_{A}\colon T_{A}\to\mathbb{G}_{m}$. Dès lors, le tore correspondant au module $I[E(A)]$ est le quotient $T_{A}/\mathbb{G}_{m}$, et $J[E(A)]$ correspond au tore $R^{1}_{A/k}(\mathbb{G}_{m,A})$ noyau de la norme $N_{A}$, que l’on notera simplement $T^{1}_{A}$.

À partir d’ici, fixons une $k$-algèbre étale $L$ de dimension $4$, et notons simplement $X$ pour le $\Gamma$-ensemble $E(L)$, qui a quatre éléments. L’extension quadratique résolvante $S/C$ de $L$ est définie à isomorphisme près par les conditions

[TABLE]

(L’application équivariante \pi\colon\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}(X)\to\mathcal{R}(X) du §1 définit un homomorphisme injectif d’algèbres $C\to S$ que l’on considère comme une inclusion.) Les homomorphismes $\sigma$ et $\tau$ du §1 donnent des homomorphismes de $k$-tores

[TABLE]

et l’on peut interpréter en termes de tores les suites exactes et les diagrammes commutatifs du §1. On trouve ainsi les diagrammes commutatifs suivants déduits de (4)

[TABLE]

et ceux déduits de (11)

[TABLE]

On obtient aussi à partir de (6) et (13) les suites exactes

[TABLE]

et

[TABLE]

Considérons à présent le tore $U$ noyau de l’homomorphisme

[TABLE]

Son $\Gamma$-module des caractères est le module $J^{\prime}[X]$ introduit dans le corollaire 1.3. En notant $T^{1}_{S/C}$ le noyau de $N_{S/C}\colon T_{S}\to T_{C}$ (dont le module des caractères est J[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}]) on obtient à partir de (9) la suite exacte

[TABLE]

Théorème 2.1**.**

Le $k$-tore $U$ est stablement rationnel.

Démonstration.

Montrons d’abord que le $k$-tore $T^{1}_{S/C}$ est stablement rationnel. L’isomorphisme I[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}]\simeq J[{\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}}\!/\mathcal{R}] de (2) entraine un isomorphisme de tores $T_{S}/T_{C}\simeq T^{1}_{S/C}$ induit par $Id-\gamma$. On a donc une suite exacte

[TABLE]

La fibre de $Id-\gamma$ au point générique de $T^{1}_{S/C}$ est un torseur sous $T_{C}$. Or le lemme de Shapiro et le théorème 90 de Hilbert donnent $H^{1}(k(T^{1}_{S/C}),T_{C})=1$, donc $T_{S}$ est birationnellement équivalent à $T^{1}_{S/C}\times T_{C}$. Comme $T_{S}$ et $T_{C}$ sont $k$-rationnels, on voit que $T^{1}_{S/C}$ est stablement rationnel.

Considérons ensuite la suite exacte (18). Comme $H^{1}(k(T^{1}_{S/C}),\mathbb{G}_{m})=1$, le même argument que dans la première partie de la preuve montre que $U$ est birationnellement équivalent à $T^{1}_{S/C}\times\mathbb{G}_{m}$, donc $U$ est stablement rationnel. ∎

3 Normes et groupe de Brauer relatif

Conservons les notations du §2, et considérons à présent la cohomologie (étale) des tores qui y sont définis. Pour toute $k$-algèbre étale $A$, on note $N_{A/k}\colon A^{\times}\to k^{\times}$ la norme, et

[TABLE]

Le théorème 90 de Hilbert et le lemme de Shapiro entrainent $H^{1}(k,T_{A})=1$; dès lors de la suite exacte qui définit $T_{A}^{1}$

[TABLE]

on déduit que $H^{1}(k,T_{A}^{1})=A^{\times}/N(A/k)$.

Proposition 3.1**.**

Soit $S/C$ l’extension quadratique résolvante de la $k$-algèbre étale quartique $L$. On a

[TABLE]

Démonstration.

On a un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes

[TABLE]

La première colonne de ce diagramme est exacte par la proposition 1.4 (voir (17)). On en déduit en cohomologie un diagramme commutatif dont la deuxième colonne est exacte

[TABLE]

La première égalité en découle. Pour établir la deuxième, on considère le diagramme commutatif déduit de (10); ses lignes sont exactes:

[TABLE]

On en déduit la commutativité du carré suivant, où $\sigma^{1}$ est l’application induite par ${\sigma^{\prime}}^{*}$:

[TABLE]

Par ailleurs, l’exactitude des lignes du diagramme (19) permet d’identifier

[TABLE]

donc l’application $\sigma^{1}\colon k^{\times}/N(L/k)k^{\times 2}\to C^{\times}/N(S/C)$ est induite par l’inclusion $k\subset C$. Or, le corollaire 1.3 donne la suite exacte

[TABLE]

qui montre que $\sigma^{1}$ est injective. La deuxième égalité s’en déduit. ∎

Remarque 3.2*.*

Comme le tore $U$ est stablement rationnel, le principe de Hasse vaut pour $H^{1}(k,U)$ lorsque $k$ est un corps global: voir [5, §8]. Vu l’interprétation de $H^{1}(k,U)$ en (20), on a donc un principe de Hasse modulo les carrés pour les normes d’extensions quartiques étales. On retrouve ainsi (en caractéristique arbitraire) le théorème 2.1 de [19].

Considérons à présent les groupes de cohomologie étale (ou galoisienne) de degré 2. Le groupe $H^{2}(k,\mathbb{G}_{m})$ s’identifie au groupe de Brauer $\operatorname{Br}(k)$. Plus généralement,

[TABLE]

pour toute $k$-algèbre étale $A$, et la norme $T_{A}\to\mathbb{G}_{m}$ induit la corestriction

[TABLE]

Si $A\subset B$ est une extension d’algèbres étales, on note $\operatorname{Br}(B/A)$ le noyau de l’homomorphisme d’extension des scalaires $\operatorname{Br}(A)\to\operatorname{Br}(B)$, et ${}_{2}\operatorname{Br}(B/A)$ le sous-groupe de $2$-torsion de $\operatorname{Br}(B/A)$.

Théorème 3.3**.**

Soit $L$ une $k$-algèbre étale quartique, et soit $S/C$ l’extension résolvante associée. On a un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes:

[TABLE]

Démonstration.

Soit $X$ le $\Gamma$-ensemble à quatre éléments $E(L)$ canoniquement associé à $L$. Comme dans le §1, on considère \operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}=\operatorname{\mathchoice{\mbox{\large\wedge}}{\mbox{\large\wedge}}{\wedge}{\wedge}}^{2}(X) et $\mathcal{R}=\mathcal{R}(X)$. On a un diagramme commutatif de $\Gamma$-modules, dont les lignes sont exactes (la ligne inférieure est la suite exacte (7)):

[TABLE]

On en déduit un diagramme commutatif de tores, dont les lignes sont exactes:

[TABLE]

Soient

[TABLE]

On a un morphisme canonique (d’inclusion) $T^{1}_{S/C}\to T$, et le diagramme (22) se partage en deux:

[TABLE]

Le diagramme de gauche donne en cohomologie les diagrammes commutatifs suivants, dont les lignes sont exactes:

[TABLE]

et

[TABLE]

De l’exactitude des suites de ce dernier diagramme, on déduit des isomorphismes canoniques

[TABLE]

Par ailleurs, le diagramme de droite de (23) donne en cohomologie le diagramme commutatif suivant, dont les lignes sont exactes:

[TABLE]

Le théorème se déduit en recollant les diagrammes (24) et (26), et en utilisant (25). ∎

Remarque 3.4*.*

L’exactitude de la ligne inférieure de (21) en $S^{\times}$ donne une autre preuve de l’égalité $k^{\times}\cap N(S/C)=k^{\times 2}\cdot N(L/k)$ de la proposition 3.1, avec une précision supplémentaire: si $y\in S^{\times}$ est tel que $N_{S/C}(y)\in k^{\times}$, alors il existe $x\in L^{\times}$ et $\lambda\in k^{\times}$ tels que $y=\lambda\sigma^{*}(x)$ (ce qui entraine $N_{S/C}(y)=\lambda^{2}N_{L/k}(x)$ vu (15)).

Pour décrire les homomorphismes $\delta$ et $\overline{\delta}$ qui apparaissent dans le diagramme (21), on introduit la notation suivante: pour une extension quadratique étale $A\subset B$ de $k$-algèbres étales, dont l’automorphisme non trivial est noté $\rho$, et pour $a\in A^{\times}$, on considère la $A$-algèbre de quaternions

[TABLE]

où la multiplication est définie par

[TABLE]

L’algèbre $(B/A,a)$ est une algèbre d’Azumaya sur $A$; on désigne encore par $(B/A,a)$ sa classe de Brauer dans $\operatorname{Br}(A)$. Le calcul montre que l’application $\delta$ est donnée par

[TABLE]

Dès lors, vu la commutativité du diagramme (21), on a

[TABLE]

Corollaire 3.5**.**

Avec les notations du théorème 3.3,

[TABLE]

De plus, pour $x\in C^{\times}$ la classe de Brauer $\operatorname{cor}_{C/k}(S/C,x)$ est déployée si et seulement si $x\in k^{\times}\cdot N(S/C)$.

Démonstration.

Vu la définition de $\overline{\delta}$, le corollaire découle immédiatement de l’exactitude de la ligne inférieure du diagramme (21) en ${}_{2}\operatorname{Br}(L/k)$ et en $C^{\times}/k^{\times}$. ∎

4 Formes d’Albert

À toute algèbre simple centrale $A$ de degré $4$ et d’exposant $2$ sur un corps $k$, Albert associe une forme quadratique $q$ de dimension $6$ et de discriminant222Pour éviter les distinctions de cas, nous appelons discriminant d’une forme quadratique sur un corps de caractéristique $2$ son invariant d’Arf. trivial sur $k$, déterminée de manière unique à similitude près, dont l’indice de Witt est directement lié à l’indice de Schur de l’algèbre: $A$ est déployée (resp. est un corps) si et seulement si $q$ est hyperbolique (resp. est anisotrope), et par conséquent $A$ est d’indice $2$ si et seulement si $q$ est d’indice $1$; voir [11, §16.A]. Si $L$ est une $k$-algèbre étale de dimension $4$, les éléments de ${}_{2}\operatorname{Br}(L/k)$ sont tous représentés par des algèbres simples centrales de degré $4$ et d’exposant $2$ sur $k$. On montre dans cette section comment calculer une forme d’Albert associée à une algèbre dont la classe de Brauer est dans ${}_{2}\operatorname{Br}(L/k)$ à partir d’une représentation de cette classe comme dans le corollaire 3.5. Si $k$ est un corps fini, la question est sans intérêt puisque $\operatorname{Br}(k)=0$. Dans toute cette section, on suppose donc que $k$ est un corps infini.

Soit $S/C$ l’extension résolvante associée à la $k$-algèbre $L$. L’algèbre de Lie du tore $T_{L}$ s’identifie à $L$ (avec un crochet de Lie nul), et la différentielle du morphisme $\sigma^{*}\colon T_{L}\to T_{S}$ est une application linéaire $d\sigma^{*}\colon L\to S$ décrite dans [12, (5.55)] (où l’image de tout $x\in L$ est notée $\lambda_{x}$). Rappelons de [12, Prop. 5.16] qu’il existe un ouvert de Zariski non vide de $L$ dont les éléments $\ell$ satisfont les propriétés suivantes:

1. (i)

la $k$-algèbre engendrée par $\ell$ est $L$; 2. (ii)

la $C$-algèbre engendrée par $d\sigma^{*}(\ell)$ est $S$; 3. (iii)

la $k$-algèbre engendrée par N_{S/C}\bigl{(}d\sigma^{*}(\ell)\bigr{)} est $C$.

Fixons un tel élément $\ell\in L$ et notons c=N_{S/C}\bigl{(}d\sigma^{*}(\ell)\bigr{)}\in C. Les éléments $1$, $c$, $c^{2}$ forment donc une base de $C$ sur $k$. Choisissons une forme linéaire $s\colon C\to k$ non nulle telle que $s(1)=s(c)=0$. Si $\ker s$ contient un idéal non nul de $C$, alors il contient un idempotent $e\neq 0$, $1$. Cet idempotent s’écrit $e=\alpha+\beta c$ pour certains $\alpha\in k$, $\beta\in k^{\times}$, et l’égalité $e^{2}=e$ entraine que $c$ est racine d’un polynôme de degré $2$ à coefficients dans $k$. C’est impossible puisque $c$ engendre $C$, donc $\ker s$ ne contient pas d’idéal non nul. On peut alors associer à toute forme quadratique non singulière $q\colon V\to C$ sur un $C$-module libre $V$ une forme quadratique non singulière $s_{*}(q)\colon V\to k$ définie par

[TABLE]

La forme $s_{*}(q)$ est appelée transfert de $q$ (induit par $s$); voir [6, §20.A] pour les propriétés du transfert des formes quadratiques. Si $C$ n’est pas un corps, une forme quadratique sur $C$ est une collection de formes quadratiques sur les composantes simples de $C$; cela ne change rien d’essentiel aux propriétés du transfert.

Pour $x\in C^{\times}$ on considère en particulier la forme quadratique ${\langle{x}\rangle}N_{S/C}\colon S\to C$ qui envoie $y\in S$ sur $x\cdot N_{S/C}(y)\in C$.

Théorème 4.1**.**

Pour tout $x\in C^{\times}$, la forme quadratique $s_{*}({\langle{x}\rangle}N_{S/C})$ obtenue par transfert de la forme quadratique ${\langle{x}\rangle}N_{S/C}$ au moyen de $s$ est une forme d’Albert de l’algèbre de degré $4$ qui représente $\operatorname{cor}_{C/k}(S/C,x)$.

La démonstration est précédée de deux lemmes.

Lemme 4.2**.**

La forme quadratique $s_{*}(N_{S/C})$ est hyperbolique.

Démonstration.

Montrons en premier lieu que le sous-espace $k+k\cdot d\sigma^{*}(\ell)\subseteq S$ est totalement isotrope pour la forme $s_{*}(N_{S/C})$. En notant $\operatorname{Tr}_{S/C}$ la trace $S\to C$, on a pour $\alpha$, $\beta\in k$

[TABLE]

Or, en prenant les différentielles des morphismes du carré de droite de (15), on voit que

[TABLE]

(Voir aussi [12, Prop. 5.16].) Dès lors, N_{S/C}\bigl{(}\alpha+\beta d\sigma^{*}(\ell)\bigr{)} est dans le $k$-sous-espace de $C$ engendré par $1$ et $c$. Comme $s(1)=s(c)=0$, la forme quadratique $s_{*}(N_{S/C})$ s’annule sur $k+k\cdot d\sigma^{*}(\ell)$.

De cette observation, il résulte que l’indice de Witt de $s_{*}(N_{S/C})$ est au moins égal à $2$, donc $s_{*}(N_{S/C})$ est Witt-équivalente à une forme quadratique binaire. Pour achever de prouver le lemme, il suffit donc de prouver que le discriminant \operatorname{disc}\bigl{(}s_{*}(N_{S/C})\bigr{)} est trivial.

Soit $\mathfrak{S}_{2}$ le groupe à deux éléments. On considère \operatorname{disc}\bigl{(}s_{*}(N_{S/C})\bigr{)} comme un élément de $H^{1}(k,\mathfrak{S}_{2})$:

[TABLE]

Pour le calculer, on choisit une forme quadratique hyperbolique $q_{0}\colon S\to C$. Soit $\operatorname{\mathbf{O}}(q_{0})$ son groupe orthogonal. La classe d’isométrie de la forme $N_{S/C}$ s’identifie à un élément $\nu$ de l’ensemble de cohomologie $H^{1}(C,\operatorname{\mathbf{O}}(q_{0}))$, et son discriminant à l’image de $\nu$ dans $H^{1}(C,\mathfrak{S}_{2})$ sous l’application induite par le déterminant (ou, en caractéristique $2$, l’invariant de Dickson [11, (12.12)]) $\delta\colon\operatorname{\mathbf{O}}(q_{0})\to\mathfrak{S}_{2}$:

[TABLE]

Toute isométrie de $q_{0}$ peut être vue comme une isométrie de son transfert $s_{*}(q_{0})$, donc on a un morphisme canonique de $k$-schémas en groupes s_{\dagger}\colon R_{C/k}\bigl{(}\operatorname{\mathbf{O}}(q_{0})\bigr{)}\to\operatorname{\mathbf{O}}\bigl{(}s_{*}(q_{0})\bigr{)}. Ce morphisme fait commuter le diagramme suivant:

[TABLE]

On en déduit un diagramme commutatif en cohomologie:

[TABLE]

Comme $s_{\dagger}(\nu)$ représente la classe d’isométrie de $s_{*}(N_{S/C})$, il en découle

[TABLE]

Pour conclure, on fait le lien avec une autre notion de discriminant: à toute $k$-algèbre étale $E$ on fait correspondre une classe de cohomologie $\xi_{E}\in H^{1}(k,\mathfrak{S}_{n})$, où $n=\dim E$ et $\mathfrak{S}_{n}$ est le groupe des permutations de $n$ lettres (voir [11, (29.9)] ou [20]). Le discriminant $\operatorname{disc}(E/k)$ est l’image de $\xi_{E}$ dans $H^{1}(k,\mathfrak{S}_{2})$ sous l’application déduite de la signature $\mathfrak{S}_{n}\to\mathfrak{S}_{2}$. Cette notion s’applique aussi à la $C$-algèbre $S$, et on vérifie sans peine que

[TABLE]

La formule pour le discriminant d’une tour d’extensions [20, Th. 4] donne

[TABLE]

Or, la $k$-algèbre $S$ a un discriminant trivial d’après [12, Prop. 5.1], donc

[TABLE]

Le lemme découle de (28), (29) et (30). ∎

Dans l’énoncé suivant, on désigne par $I^{2}_{q}(k)$ le groupe de Witt des formes quadratiques sur $k$ de discriminant trivial et par $\operatorname{Cl}\colon I^{2}_{q}(k)\to{}_{2}\operatorname{Br}(k)$ l’homomorphisme induit par l’application qui à chaque forme quadratique associe son algèbre de Clifford. On définit de même le groupe $I^{2}_{q}(C)$ et l’homomorphisme $\operatorname{Cl}\colon I^{2}_{q}(C)\to{}_{2}\operatorname{Br}(C)$.

Lemme 4.3**.**

Le diagramme suivant est commutatif:

[TABLE]

Démonstration.

Si la caractéristique est différente de $2$, le groupe $I^{2}_{q}(C)$ est engendré par les $2$-formes de Pfister $\langle 1,-a\rangle\langle 1,-b\rangle$ où $a\in k^{\times}$ et $b\in C^{\times}$: voir [15, Lemma 2]. La commutativité du diagramme découle alors aisément de la réciprocité de Frobenius [6, Prop. 20.2] et de la formule de projection. Les mêmes arguments s’appliquent en caractéristique $2$ car $I^{2}_{q}(C)$ est engendré comme $W(C)$-module par les $2$-formes de Pfister quadratiques $[1,a]\langle 1,b\rangle$ et $[1,b]\langle 1,a\rangle$ où $a\in k^{\times}$ et $b\in C^{\times}$. ∎

Démonstration du théorème 4.1.

Vu la caractérisation des formes d’Albert dans [11, (16.3)], il s’agit de prouver que $s_{*}(\langle x\rangle\cdot N_{S/C})\in I^{2}_{q}(k)$ et

[TABLE]

Du lemme 4.2 on déduit l’égalité suivante dans le groupe de Witt des formes quadratiques non dégénérées de dimension paire:

[TABLE]

Comme $\langle 1,x\rangle\cdot N_{S/C}\in I^{2}_{q}(C)$, le lemme 4.3 montre d’une part $s_{*}(\langle x\rangle\cdot N_{S/C})\in I^{2}_{q}(k)$, et d’autre part

[TABLE]

Le théorème résulte alors de l’observation que $\operatorname{Cl}(\langle 1,x\rangle\cdot N_{S/C})=(S/C,x)$. ∎

À partir du théorème 4.1 il est aisé de déterminer quelles sont les algèbres de quaternions sur $k$ qui sont déployées par $L$: celles-ci sont Brauer-équivalentes à des algèbres de degré $4$ dont la forme d’Albert est isotrope. Nous allons préciser la forme de ces algèbres, en supposant pour simplifier l’exposé que la caractéristique est différente de $2$, hypothèse qui n’est cependant nullement essentielle. Nous utiliserons la notation usuelle $(\alpha,\beta)_{k}$ pour la $k$-algèbre de quaternions $(k[\sqrt{\alpha}]/k,\beta)$. Soient $\ell_{1}$, $\ell_{2}$, $\ell_{3}$, $\ell_{4}\in k_{s}$ les racines du polynôme minimal de $\ell$ sur $k$, et soit $\rho(X)\in k[X]$ le polynôme unitaire dont les racines dans $k_{s}$ sont

[TABLE]

Le polynôme $\rho$ est une cubique résolvante du polynôme minimal de $\ell$: voir [12, (5.53)].

Corollaire 4.4**.**

Les algèbres de quaternions sur $k$ déployées par $L$ sont les algèbres de quaternions qui peuvent s’écrire sous la forme \bigl{(}\lambda,-\rho(\lambda)\bigr{)}_{k} pour un certain $\lambda\in k^{\times}$ tel que $\rho(\lambda)\neq 0$.

Démonstration.

Le polynôme minimal sur $C$ de $d\sigma^{*}(\ell)\in S$ est $X^{2}-\operatorname{Tr}_{L}(\ell)+c$: voir (27); on a donc

[TABLE]

Soit $Q$ une algèbre de quaternions sur $k$ déployée par $L$. Si $Q$ est déployée, on peut l’écrire sous la forme indiquée en prenant pour $\lambda$ un élément de $k^{\times 2}$ qui n’est pas racine de $\rho$. On peut donc supposer dans la suite que $Q$ n’est pas déployée. D’après le corollaire 3.5 on peut trouver $x\in C^{\times}$ tel que $Q=\operatorname{cor}_{C/k}(S/C,x)$ dans $\operatorname{Br}(k)$. Comme l’indice de $Q$ est $2$, la forme d’Albert de $\operatorname{cor}_{C/k}(S/C,x)$ est isotrope, donc le théorème 4.1 montre que la forme quadratique ${\langle{x}\rangle}\cdot N_{S/C}$ représente un élément de $\ker s$, c’est-à-dire un élément de la forme $\lambda-\mu a$ avec $\lambda$, $\mu\in k$ puisque $\ker s=k+ck=k+ak$. Alors $x\cdot(\lambda-\mu a)$ est une norme pour $S/C$, donc $(S/C,x)=(S/C,\lambda-\mu a)$ et

[TABLE]

Si $\mu=0$, alors le corollaire 3.5 indique que $Q$ est déployée, contrairement à l’hypothèse. Donc $\mu\neq 0$ et puisque $\operatorname{cor}_{C/k}(S/C,\alpha)=0$ pour tout $\alpha\in k^{\times}$ on peut supposer $\mu=1$. Alors

[TABLE]

On a $\lambda\neq 0$, sinon $Q$ est déployée. Comme $\operatorname{cor}_{C/k}(a,\lambda)_{C}=0$ on a aussi

[TABLE]

Or, en changeant de générateurs quaternioniens on voit que

[TABLE]

donc finalement

[TABLE]

pour un certain $\lambda\in k^{\times}$ tel que $\lambda-a\in C^{\times}$. Il reste à voir que $-\rho(\lambda)=N_{C/k}(a-\lambda)$. Pour cela, on observe que les images de $d\sigma^{*}(\ell)\in S$ sous les différents homomorphismes de $k$-algèbres $S\to k_{s}$ sont les $\ell_{i}+\ell_{j}$ avec $1\leq i<j\leq 4$: voir [12, Prop. 5.16]. Comme a=\frac{1}{4}\bigl{(}d\sigma^{*}(\ell)-\gamma(d\sigma^{*}(\ell))\bigr{)}^{2}, il en résulte que les images de $a$ sous les homomorphismes de $k$-algèbres $C\to k$ sont les racines de $\rho$, donc $\rho(X)=N_{C/k}(X-a)$ dans $k[X]$.

On a ainsi prouvé que toute algèbre de quaternions sur $k$ déployée par $L$ est de la forme indiquée. Réciproquement, si Q=\bigl{(}\lambda,-\rho(\lambda)\bigr{)}_{k} pour un certain $\lambda\in k^{\times}$ tel que $\rho(\lambda)\neq 0$, alors les calculs précédents montrent que $Q=\operatorname{cor}_{C/k}(a,\lambda-a)_{C}$, donc $Q$ est déployée par $L$ vu le corollaire 3.5. ∎

Le corollaire 4.4 a été prouvé par des méthodes différentes dans [8, Cor. 22], [9, Th. 6.2] et [18, Cor. 4] (et dans [14, Th. 3.9] pour le cas particulier où $L$ est une $2$-extension).

5 Exemples

Pour conclure, nous donnons quelques exemples destinés à illustrer les constructions et les principaux résultats de ce travail.

Le cas le plus général est celui où $L$ est un corps, extension séparable de $k$ dont la clôture galoisienne a pour groupe de Galois le groupe symétrique $\mathfrak{S}_{4}$. Supposons $L\subset k_{s}$, et désignons par $M$ la clôture galoisienne de $L$ dans $k_{s}$. Identifions le groupe de Galois de $M$ sur $k$ à $\mathfrak{S}_{4}$ de sorte que $L$ soit le sous-corps de $M$ fixe sous le groupe des permutations de $\{2,3,4\}$. Le corps $M$ contient trois sous-corps conjugués isomorphes à $S$ et trois sous-corps conjugués isomorphes à $C$: on peut choisir

[TABLE]

Avec ces choix, l’homomorphisme $\sigma^{*}\colon L^{\times}\to S^{\times}$ envoie $x\in L^{\times}$ sur $x\cdot(1,2)(x)$ et l’homomorphisme $\tau^{*}\colon S^{\times}\to L^{\times}$ envoie $y\in S^{\times}$ sur $y\cdot(2,3)(y)\cdot(2,4)(y)\in L^{\times}$.

Considérons ensuite quelques cas particuliers.

Exemple 5.1** (Extensions biquadratiques).**

Soit $L$ un corps, extension galoisienne de $k$ de groupe de Galois abélien élémentaire d’ordre $4$. Soient $L_{1}$, $L_{2}$, $L_{3}$ les sous-corps de $L$ qui sont quadratiques sur $k$. Alors

[TABLE]

Les homomorphismes $\sigma^{*}$ et $\tau^{*}$ opèrent comme suit:

[TABLE]

La proposition 3.1 prend la forme suivante:

[TABLE]

et

[TABLE]

La première égalité a déjà été observée (voir [3, Ex. 5.1, p. 360]); la deuxième traduit le «lemme biquadratique» bien connu (voir [7, 2.13], [16, Lemma 3] et les références qui y sont citées). La remarque 3.4 donne une précision supplémentaire: si on se donne $y_{i}\in L_{i}^{\times}$ pour $i=1$, $2$, $3$ tels que

[TABLE]

alors on peut trouver $x\in L^{\times}$ et $\lambda\in k^{\times}$ tels que

[TABLE]

Le corollaire 3.5 établit

[TABLE]

et montre que l’égalité

[TABLE]

entraine l’existence d’un élément $\lambda\in k^{\times}$ tel que

[TABLE]

Ces résultats sont connus: le premier est démontré dans [14, Prop. 5.2] et le second est une forme du “Common Slot Theorem” [13, Ch. III, Th. 4.13].

Remarque*.*

Vu la description de $S$ dans l’exemple 5.1, le tore coflasque associé par Colliot-Thélène [4, §3] au tore des éléments de norme $1$ d’une extension biquadratique est $T^{1}_{S}$, et le morphisme $\tau^{*}$ apparait dans la ligne médiane de [4, (3.1)]. (Lorsque $L$ n’est pas biquadratique, le tore $T^{1}_{S}$ n’est pas nécessairement coflasque.)

Exemple 5.2** (Extensions cycliques).**

Supposons que $L$ soit un corps, extension cyclique de $k$, et soit $K$ l’unique extension quadratique de $k$ contenue dans $L$. Soit encore $\theta$ un générateur du groupe de Galois de $L$ sur $k$. Dans ce cas

[TABLE]

et les homomorphismes $\sigma^{*}$ et $\tau^{*}$ sont donnés comme suit:

[TABLE]

Par la proposition 3.1 on a

[TABLE]

De plus, vu l’exactitude de la suite inférieure de (21) en $S^{\times}$, on voit que si $y_{1}\in K^{\times}$ et $y_{2}\in L^{\times}$ satisfont $N_{K/k}(y_{1})=N_{L/K}(y_{2})$, alors on peut trouver $\lambda\in k^{\times}$ et $x\in L^{\times}$ tels que $y_{1}=\lambda N_{L/K}(x)$ et $y_{2}=\lambda x\theta(x)$. Le corollaire 3.5 donne

[TABLE]

de plus, il montre que pour $x_{1}\in k^{\times}$ et $x_{2}\in K^{\times}$, la relation

[TABLE]

entraine l’existence de $\lambda\in k^{\times}$ tel que

[TABLE]

Les deux exemples précédents sont des cas particuliers du suivant:

Exemple 5.3** ($2$-extensions quartiques).**

On dit que le corps $L$ est une $2$-extension quartique de $k$ s’il est une extension séparable de degré $4$ qui contient une extension quadratique $K$ de $k$. Une telle extension est caractérisée par la condition que l’algèbre $C$ n’est pas un corps; dans ce cas $C=k\times\Delta(L)$ où $\Delta(L)$ est la $k$-algèbre quadratique discriminante de $L$ (qui correspond à $\operatorname{disc}(L/k)\in H^{1}(k,\mathfrak{S}_{2})$ par la correspondance entre $H^{1}(k,\mathfrak{S}_{2})$ et les classes d’isomorphisme de $k$-algèbres quadratiques étales); voir [12, Prop. 6.12]. La $k$-algèbre $L$ est biquadratique si et seulement si $\Delta(L)=k\times k$. Si l’on écarte ce cas (traité en détail dans l’exemple 5.1), l’extension quadratique $K$ est unique, et on associe canoniquement à $L$ (à isomorphisme près) une $k$-algèbre étale quartique $\check{L}$ «duale» de $L$ (voir [12, (6.19)]). L’algèbre $\check{L}$ contient $\Delta(L)$ et satisfait

[TABLE]

(Le cas particulier où $L$ est une extension cyclique de $k$ est celui où $\check{L}=L$.) La proposition 3.1 donne

[TABLE]

et

[TABLE]

D’autre part, le corollaire 3.5 montre

[TABLE]

De plus, si $x_{1}\in k^{\times}$ et $x_{2}\in\Delta(L)^{\times}$ satisfont

[TABLE]

alors il existe $\lambda\in k^{\times}$ tel que

[TABLE]

Dans notre dernier exemple, la $k$-algèbre quartique $L$ n’est pas un corps:

Exemple 5.4**.**

Soit $L=K_{1}\times K_{2}$ où $K_{1}$ et $K_{2}$ sont des extensions quadratiques séparables de $k$. On pose $M=K_{1}\otimes_{k}K_{2}$ et on désigne par $K_{0}$ le produit de $K_{1}$ et $K_{2}$ dans le groupe des extensions quadratiques séparables de $k$ (qui est isomorphe à $H^{1}(k,\mathfrak{S}_{2})$; voir [12, (4.29)]). On a alors

[TABLE]

Les homomorphismes $\sigma^{*}$ et $\tau^{*}$ opèrent comme suit:

[TABLE]

En l’occurrence, $N(S/k)=k^{\times}$ et $N(L/k)=N(K_{1}/k)\cdot N(K_{2}/k)$, donc $k^{\times 2}\subseteq N(L/k)$. La proposition 3.1 donne simplement

[TABLE]

De la remarque 3.4, on tire l’information plus précise suivante: si $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}\in k^{\times}$ et $m\in M^{\times}$ sont tels que $N_{M/K_{0}}(m)=\lambda_{1}\lambda_{2}$, alors on peut trouver $x_{1}\in K_{1}^{\times}$, $x_{2}\in K_{2}^{\times}$ et $\mu\in k^{\times}$ tels que

[TABLE]

Le corollaire 3.5 donne

[TABLE]

et montre que le noyau de la corestriction $\operatorname{cor}_{K_{0}/k}\colon\operatorname{Br}(M/K_{0})\to\operatorname{Br}(k)$ est formé des classes d’algèbres de quaternions de la forme $(M/K_{0},\lambda)$ où $\lambda\in k^{\times}$.

Remarque*.*

Soit $L$ une algèbre étale quartique sur un corps global $k$. Supposons que l’algèbre cubique résolvante $C$ ne soit pas un corps; elle a donc au moins un facteur isomorphe à $k$. Si $C\simeq k\times C^{\prime}$ où $C^{\prime}$ est une $k$-algèbre étale quadratique, alors $T^{1}_{C}\simeq T_{C^{\prime}}$, donc $H^{1}(k,T^{1}_{C})=1$ par le théorème 90 de Hilbert et ${}^{2}(k,T^{1}_{C})=1$ par le théorème de Brauer–Hasse–Noether–Albert. Dès lors, la suite exacte (17) donne un isomorphisme induit par le morphisme $\tau^{*}_{J}$:

[TABLE]

Si par exemple $L$ est un corps, extension biquadratique de $k$, et que $L_{1}$, $L_{2}$, $L_{3}$ sont les sous-corps de $L$ qui sont quadratiques sur $k$, comme dans l’exemple 5.1, alors ${}^{1}(k,T^{1}_{S})$ mesure l’obstruction au principe de Hasse pour les équations de la forme

[TABLE]

appelées équations multinormes. Vu (31), le principe de Hasse vaut pour l’équation (32) si et seulement s’il vaut pour l’équation $N_{L/k}(x)=a^{2}$. On sait que ce n’est pas toujours le cas: voir [3, Ex. 5, p. 360], [17, Ex. 2].

Si $L$ est un corps, $2$-extension quartique mais non biquadratique de $k$, comme dans l’exemple 5.3, alors $S$ est un produit direct de deux corps, $S\simeq K\times\check{L}$. Dans ce cas, les deux membres de (31) sont triviaux: cela découle d’un résultat de Bayer-Fluckiger–Lee–Parimala [2, Prop. 2.3] sur les équations multinormes pour les produits de deux corps et d’un théorème de Bartels [1, Satz 1] sur les normes d’extensions dont le groupe de Galois est diédral.

Enfin, si $L=K_{1}\times K_{2}$ où $K_{1}$ et $K_{2}$ sont deux corps, extensions quadratiques de $k$, comme dans l’exemple 5.4, alors ${}^{1}(k,T^{1}_{S})=1$ puisque $N(S/k)=k^{\times}$. Vu (31), le principe de Hasse vaut pour les équations multinormes de la forme

[TABLE]

C’est un cas particulier d’un résultat de Hürlimann [10, Prop. 3.3].

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