Propagation des singularit\'es et r\'esonances

TL;DR

This paper refines the understanding of how singularities propagate in semiclassical resonances, linking resolvent estimates to trapped set dynamics, and improves analysis near the trapped set for resonance asymptotics.

Contribution

It introduces a more precise connection between resolvent polynomial estimates and singularity propagation through the trapped set in semiclassical analysis.

Findings

Enhanced understanding of singularity propagation in resonances

Refined methods for analyzing the trapped set influence

Successful application to asymptotic resonance analysis

Abstract

In the framework of semiclassical resonances, we make more precise the link between polynomial estimates of the extension of the resolvent and propagation of the singularities through the trapped set. This approach makes it possible to eliminate infinity and to concentrate the study near the trapped set. It has allowed us in previous papers to obtain the asymptotic of resonances in various geometric situations.

Equations

$$P=-h^2\Delta +V(x),$$

$$\big{\|}\chi(P-z)^{-1}\chi\big{\|}\lesssim h^{-N},$$

$${\Gamma }_{\pm }(E)=\{\rho \in p^{-1}(E);\exp (t{H}_p)(\rho )\nrightarrow \infty \text{ quand }t\to \mp \infty \},$$

$$\{\begin{array}{rlrl}& (P-z)u=v& & \text{ microlocalement preˋs de }K(E_0),\\ & u=u_0& & \text{ microlocalement preˋs de tout point de }{\Gamma }_{-}(E_0)\setminus K(E_0).\end{array}$$

$$\int_{[E_{0}-\delta,E_{0}+\delta]}\big{\|}\chi(P-z)^{-1}\chi\big{\|}\,dz\lesssim h^{-N},$$

$$\{\begin{array}{rlrl}& (P-z)u=0& & \text{ microlocalement preˋs de }K(E_0),\\ & u=0& & \text{ microlocalement preˋs de tout point de }{\Gamma }_{-}(E_0)\setminus K(E_0),\end{array}$$

$$\mathrm{Op}(\psi )(P-z)u=\mathcal{O}(h^{\infty }).$$

$$v=\mathrm{Op}(\phi )u,$$

$$-ih{\partial }_{t}U+(P_{\theta }-z)U=\mathcal{O}(h^{\infty }),$$

$$(P_{\theta }-z)U(t)w=U(t)(P_{\theta }-z)w+\mathcal{O}(h^{\infty }),$$

$$U(t)w=\mathcal{O}(h^{-C+\epsilon t}).$$

$$v_t=U(t)v=U(t)\mathrm{Op}(\phi )u.$$

$$(P_{\theta }-z)v_t$$

$$=U(t)(P_{\theta }-z)\mathrm{Op}(\phi )u+\mathcal{O}(h^{\infty })$$

$$=U(t)(P-z)\mathrm{Op}(\phi )u+\mathcal{O}(h^{\infty })$$

$$\displaystyle=U(t)\big{(}\mathop{\rm Op}\nolimits(\varphi)(P-z)u+[P,\mathop{\rm Op}\nolimits(\varphi)]u\big{)}+\mathcal{O}(h^{\infty})$$

$$=U(t)[P,\mathrm{Op}(\phi )]u+\mathcal{O}(h^{\infty }).$$

$$(P_{\theta }-z)v_t=\mathcal{O}(h^{-C+\epsilon t}),$$

$$\mathrm{Op}(\chi )U(t)[P,\mathrm{Op}(\phi )]u=\mathcal{O}(h^{\infty }),$$

$${\partial }_t\mathrm{Op}(\chi )v_t$$

$$=-i{h}^{-1}\mathrm{Op}(\chi )(P_{\theta }-z)U(t)\mathrm{Op}(\phi )u+\mathcal{O}(h^{\infty })$$

$$=-i{h}^{-1}\mathrm{Op}(\chi )U(t)[P,\mathrm{Op}(\phi )]u+\mathcal{O}(h^{\infty })$$

$$=\mathcal{O}(h^{\infty }),$$

$$\mathrm{Op}(\chi )v_t=\mathrm{Op}(\chi )v+\mathcal{O}(h^{\infty })=\mathrm{Op}(\chi )u+\mathcal{O}(h^{\infty }).$$

$$\|v_{t}\|\gtrsim\|\mathop{\rm Op}\nolimits(\chi)v_{t}\big{\|}\geq h^{C+1},$$

$$\big{\|}(P_{\theta}-z)^{-1}\big{\|}\lesssim h^{-N}.$$

$$h^{C+1}\lesssim\|v_{t}\|\leq\big{\|}(P_{\theta}-z)^{-1}\big{\|}\mathcal{O}(h^{-C+\varepsilon t})\lesssim h^{-N-C+\varepsilon t},$$

Full text

{altabstract}

Propagation of singularities and resonances. In the framework of semiclassical resonances, we make more precise the link between polynomial estimates of the extension of the resolvent and propagation of the singularities through the trapped set. This approach makes it possible to eliminate infinity and to concentrate the study near the trapped set. It has allowed us in previous papers to obtain the asymptotic of resonances in various geometric situations.

1. Introduction

Dans cette note, on considère un opérateur de Schrödinger semiclassique sur $L^{2}({\mathbb{R}}^{n})$, $n\geq 1$,

[TABLE]

avec $V\in C^{\infty}_{0}({\mathbb{R}}^{n};{\mathbb{R}})$. Plus généralement, on peut traiter le cas des opérateurs pseudodifférentiels rentrant dans le cadre des opérateurs “black box” de Sjöstrand et Zworski (voir par exemple [12]). La résolvante $(P-z)^{-1}$ est alors bien définie pour $\mathop{\rm Im}\nolimits z>0$ et admet, en tant qu’opérateur de $L^{2}_{\rm comp}({\mathbb{R}}^{n})$ dans $L^{2}_{\rm loc}({\mathbb{R}}^{n})$, un prolongement méromorphe à un secteur angulaire $\{z\in{\mathbb{C}};\ -\theta_{0}<\mathop{\rm arg}\nolimits z\leq 0\}$ avec $\theta_{0}>0$. On appelle résonances de $P$ les pôles de ce prolongement. Nous renvoyons le lecteur à [12] pour une présentation détaillée de cette théorie.

On fixe une énergie $E_{0}>0$ et on s’intéresse aux résonances $z=z_{h}$ dans $B(E_{0},Ch|\ln h|)=\{z\in{\mathbb{C}};\ |z-E_{0}|<Ch|\ln h|\}$ avec $C>0$, qui est le domaine naturel d’étude des résonances dans le cadre $C^{\infty}$ (voir par exemple [9]). On dit que la résolvante tronquée de $P$ vérifie une estimation polynomiale dans $\Omega=\Omega_{h}\subset B(E_{0},Ch|\ln h|)$ lorsque $P$ n’a pas de résonance dans $\Omega$ et, pour tout $\chi\in C^{\infty}_{0}({\mathbb{R}}^{n})$, il existe $N>0$ tel que

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uniformément pour $z\in\Omega$. Ici, $(P-z)^{-1}$ désigne le prolongement de la résolvante mentionné ci-dessus. Pour que cela soit vrai, il suffit d’ailleurs que (1.2) soit satisfaite pour une seule fonction $\chi\in C^{\infty}_{0}({\mathbb{R}}^{n})$ égale à $1$ dans un compact assez grand. Néanmoins $N$ dépend de $\chi$. En fait, cette propriété est équivalente à une majoration polynomiale de la résolvante de $P_{\theta}$, l’opérateur distordu d’angle $\theta=Mh|\ln h|$ avec $M\gg 1$. Ce genre d’estimation correspond donc à l’absence de pseudospectre semiclassique polynomial pour l’opérateur non-autoadjoint $P_{\theta}$. Les remarques précédentes découlent de la proposition D.1 de [2] étendue au cas $|\mathop{\rm Im}\nolimits z|\lesssim h|\ln h|$.

Soit $p(x,\xi)=\xi^{2}+V(x)$ le symbole semiclassique de $P$ et $H_{p}=\partial_{\xi}p\cdot\partial_{x}-\partial_{x}p\cdot\partial_{\xi}=2\xi\cdot\partial_{x}-\nabla V\cdot\partial_{\xi}$ son champ hamiltonien. Pour $E\in{\mathbb{R}}$, on note

[TABLE]

les ensembles sortant/entrant à l’infini. L’ensemble capté à énergie $E$ est défini par $K(E)=\Gamma_{-}(E)\cap\Gamma_{+}(E)$. On sait que $\Gamma_{\pm}(E)$ est fermé et que $K(E)$ est compact (voir [6, Appendix]).

Toutes les fonctions $u=u_{h}\in L^{2}({\mathbb{R}}^{n})$ considérées dans la suite seront supposées polynomialement bornées, c’est à dire telles qu’il existe $N\in{\mathbb{R}}$ avec $\|u\|\lesssim h^{-N}$. Pour $K\subset T^{*}{\mathbb{R}}^{n}$ un compact et $u$ une fonction polynomialement bornée, on dit que $u=0$ microlocalement près de $K$ s’il existe $\varphi\in C^{\infty}_{0}(T^{*}{\mathbb{R}}^{n})$ avec $\varphi=1$ près de $K$ tel que $\mathop{\rm Op}\nolimits(\varphi)u=\mathcal{O}(h^{\infty})$ en norme $L^{2}$. Le lecteur pourra se reporter à Dimassi et Sjöstrand [4], Martinez [8] ou Zworski [15] pour une présentation détaillée de l’analyse microlocale semiclassique. On considère le problème de Cauchy microlocal près de l’ensemble capté, c’est à dire les solutions $u$ de

[TABLE]

Cette équation doit être vue comme une équation de propagation, $u_{0}$ étant la donnée initiale et $v$ le second membre. On parle d’unicité du problème de Cauchy microlocal si toute solution $u$ de (1.3) avec $v=u_{0}=0$ est microlocalement nulle près de $K(E_{0})$. Dans la littérature, ce genre de résultat porte parfois le nom de propagation des singularités. On parle d’existence du problème de Cauchy microlocal si, pour toutes données $v,u_{0}$ vérifiant $(P-z)u_{0}=v$ microlocalement près de tout point de $\Gamma_{-}(E_{0})\setminus K(E_{0})$, il existe une fonction $u$ solution de (1.3).

Les notions introduites ci-dessus sont reliées par le résultat suivant.

Théorème 1**.**

Sous les hypothèses précédentes, sont équivalentes:

1. (i)

une estimation polynomiale dans $\Omega$ de la résolvante tronquée, 2. (ii)

l’unicité du problème de Cauchy microlocal (1.3) pour $z\in\Omega$.

L’implication (ii)$\Rightarrow$(i) a déjà été prouvée dans [2]. Elle s’est révélée un argument clé pour le calcul asymptotique des résonances dans diverses situations géométriques (cf. [1, 2]). La réciproque est démontrée dans la section suivante. L’idée est d’étendre une solution du problème de Cauchy microlocal près de l’ensemble capté, à l’aide du flot quantique associé à l’opérateur distordu $P_{\theta}$, afin de construire un quasimode de $P_{\theta}-z$.

A notre connaissance, dans tous les cas où la distribution des résonances a été établie, la résolvante tronquée est polynomialement bornée dès que l’on s’éloigne des résonances. Par ailleurs, Stefanov a démontré dans [13] sous des hypothèses très générales que

[TABLE]

avec $N,\delta>0$ et donc (i) est presque toujours vrai sur l’axe réel. Mais (i) est faux à distance $\mathcal{O}(h^{\infty})$ des résonances. Ainsi, les assertions équivalentes du théorème peuvent être vraies ou fausses pour $|\mathop{\rm Im}\nolimits z|\lesssim h|\ln h|$. Par contre, il n’est pas possible d’avoir une estimation polynomiale de la résolvante tronquée plus profondément dans le complexe (i.e. $\mathop{\rm Im}\nolimits z\ll-h|\ln h|$), comme le montre la proposition 1.5 de [3].

Pour prouver l’existence de résonances très proches de l’axe réel, il est souvent fait usage de quasimodes de $P-z$ à support compact, comme par exemple dans Tang et Zworski [14]. De tels quasimodes n’existent pas lorsque $\mathop{\rm Im}\nolimits z$ est d’ordre $h$ (voir [3]). Le théorème 1 permet de s’en passer, en transformant tout défaut d’unicité du problème de Cauchy microlocal en la production d’un quasimode global. De plus, comme le montre le résultat suivant, les deux implications du théorème 1 permettent parfois d’obtenir l’existence de résonances.

Corollaire 2**.**

Soit $D\subset B(E_{0},Ch|\ln h|)$ un disque ouvert tel que l’unicité du problème de Cauchy microlocal (1.3) est vraie dans $\partial D$ mais pas dans $D$. Alors, $P$ a au moins une résonance dans $D$ pour $h$ assez petit.

En effet, supposons que $P$ n’a pas de résonance dans $D$. Ainsi, $\chi(P-z)^{-1}\chi$ est holomorphe dans $D$ et continue dans $\overline{D}$. Comme on a unicité du problème de Cauchy microlocal (1.3), l’implication (ii)$\Rightarrow$(i) du théorème 1 montre que cette résolvante tronquée est polynomialement bornée dans $\partial D$. Par le principe du maximum, il en est de même dans $\overline{D}$. Par l’implication (i)$\Rightarrow$(ii) du théorème 1, on en déduit l’unicité du problème de Cauchy microlocal (1.3) dans $D$, ce qui contredit les hypothèses.

On donne maintenant quelques exemples d’application du théorème 1. Dans le cas non-captif, c’est-à-dire $K(E_{0})=\emptyset$, on a $\Gamma_{-}(E_{0})=\Gamma_{+}(E_{0})=\emptyset$ et l’unicité du problème de Cauchy microlocal est automatiquement vérifié. Le théorème 1 implique donc qu’il n’y a pas de résonance proche de $E_{0}$ vérifiant $|\mathop{\rm Im}\nolimits z|\leq Ch|\ln h|$. On retrouve ainsi un résultat de Martinez [9]. Par ailleurs, dans le cas d’un “puits dans l’isle”, on a $\Gamma_{-}(E_{0})=\Gamma_{+}(E_{0})=K(E_{0})$. Par conséquent, (1.3) devient $(P-z)u=v$ microlocalement près du puits (il n’y a plus de condition initiale). Soit $Q$ la réalisation de Dirichlet de l’opérateur $P$ restreint à un voisinage du puits. En utilisant la régularité elliptique hors du puits (i.e. dans la zone physiquement interdite), on montre facilement que l’unicité pour cette équation microlocale est vraie pour les $z$ suffisamment loins des valeurs propres de $Q$, mais est fausse sinon. Le corollaire 2 permet de conclure que les résonances de $P$ coïncident avec les valeurs propres de $Q$ modulo $\mathcal{O}(h^{\infty})$. On retrouve ainsi une version $C^{\infty}$ des résultats obtenus par Helffer et Sjöstrand [7] dans cette situation géométrique (voir aussi [5, 10, 11]). Le théorème 1 peut aussi être adapté au cadre de l’étude des valeurs propres d’un opérateur (1.1), avec $E_{0}<0$, par exemple. Comme dans le cas du puits dans l’isle, la condition initiale sur $\Gamma_{-}(E_{0})\setminus K(E_{0})$ dans (1.3) disparait. Le théorème 1 permet de caractériser l’absence de valeurs propres près de $E_{0}$ par : $(P-z)u=0$ microlocalement près de $K(E_{0})$ $\Rightarrow$ $u=0$ microlocalement près de $K(E_{0})$.

Dans [1] et [2], on a donné l’asymptotique des résonances dans le cas d’un point fixe hyperbolique et des trajectoires homoclines/hétéroclines. Pour ce faire, on a d’abord obtenu des zones sans résonances grâce à l’implication (ii)$\Rightarrow$(i) du théorème 1. Ensuite, on a démontré la présence des résonances en utilisant l’existence du problème de Cauchy microlocal près de l’ensemble capté et des “fonctions test” bien choisies. Pour prouver l’unicité du problème de Cauchy microlocal, on a suivi l’approche suivante : on considère une solution $u$ de (1.3) avec $v=u_{0}=0$. D’abord, on montre que $u$ possède une structure particulière (par exemple, $u$ est une distribution lagrangienne de variété associée bien déterminée). Ensuite, on projette l’équation (1.3) sur cette structure pour obtenir une équation réduite (par exemple, une équation de transport sur le symbole d’une distribution lagrangienne). Finalement, on résout cette équation simplifiée et on conclut que $u$ est nul microlocalement près de $K(E_{0})$.

La propagation des singularités est une question classique de la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires. Dans le cas présent, le défaut de propagation des singularités est du à la “géométrie globale” de l’ensemble capté : le symbole $p$ peut très bien être réel de type principal (et donc vérifier le théorème classique d’Hörmander en tout point de $K(E_{0})$) bien qu’il n’y ait pas unicité du problème de Cauchy microlocal (1.3). Par contre, la plupart des résultats obtenus dans ce domaine concernent des “situations irrégulières” (singularités des coefficients, obstacles, croisements de modes, …). En adaptant la stratégie présentée dans cette note, il devrait être possible d’appliquer certains de ces résultats en théorie des résonances.

2. Preuve du théorème 1

L’implication (ii)$\Rightarrow$(i) a été démontrée dans la section 8 de [2]. Dans cet article, on supposait $|\mathop{\rm Im}\nolimits z|\lesssim h$, mais la preuve s’étend sans modification au cas $|\mathop{\rm Im}\nolimits z|\lesssim h|\ln h|$.

On montre maintenant l’implication (i)$\Rightarrow$(ii) par l’absurde. Supposons que (i) soit vrai et qu’il existe une solution $u$ de

[TABLE]

avec $z\in\Omega$, $\|u\|=1$ et telle que $u$ n’est pas nulle microlocalement près de $K(E_{0})$. Notons que cette assertion n’a lieu que pour une suite de valeurs de $h$ qui tend vers [math]. En particulier, il existe $\mathds{1}_{K(E_{0})}\prec\psi\in C^{\infty}_{0}(T^{*}{\mathbb{R}}^{n})$ telle que

[TABLE]

La notation $f\prec g$ signifie que $g=1$ au voisinage du support de $f$. On définit alors

[TABLE]

pour $\varphi\in C^{\infty}_{0}(T^{*}{\mathbb{R}}^{n})$ avec $\mathds{1}_{K(E_{0})}\prec\varphi\prec\psi$.

Soit $P_{\theta}$ l’opérateur distordu d’un angle $\theta=Mh|\ln h|$ à partir de $P$, avec $M>0$ assez grand. On suppose que la distortion a lieu en dehors d’un voisinage de $K(E_{0})$. On cherche une paramétrixe $U(t)$ de $e^{-it(P_{\theta}-z)/h}\mathop{\rm Op}\nolimits(\psi)$ même si ce dernier opérateur peut ne pas être bien défini, $P_{\theta}$ n’étant pas autoadjoint. En utilisant la méthode BKW, on peut construire une famille lisse d’opérateurs bornés $U(t)$ de $\mathcal{S}^{\prime}({\mathbb{R}}^{n})$ dans $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^{n})$ telle que $U(0)=\mathop{\rm Op}\nolimits(\psi)+\mathcal{O}(h^{\infty})$ et

[TABLE]

localement uniformément en $t\in{\mathbb{R}}$. De plus, $U(t)$ est un opérateur intégral de Fourier semiclassique de transformation canonique $\exp(tH_{p})$ et d’ordre $h^{-C-Ct}$ avec $C>0$. En effet, comme la partie imaginaire de $P_{\theta}-z$ est d’ordre $h|\ln h|$, l’équation eikonale pour (2.4) est la même que dans le cas autoadjoint et les équations de transport sont perturbées par des termes d’ordre $|\ln h|$ ce qui entraine l’estimation non uniforme par rapport à $t$ du symbole. Comme d’habitude, la construction de $U(t)$ se fait sur un petit intervalle de temps puis, pour tous temps, par recollement. Par ailleurs,

[TABLE]

pour toute fonction $w$ microsupportée à l’intérieur de $\psi^{-1}(1)$. En effet, les deux membres de cette égalité vérifient (2.4) avec même donnée initiale. Finalement, pour toute fonction à support compact $w$, microsupportée dans $p^{-1}(E_{0})$ mais hors de $\Gamma_{-}(E_{0})$, il existe $C,\varepsilon>0$ tels que

[TABLE]

C’est une conséquence du caractère dissipatif de $P_{\theta}-z$ en dehors d’un compact due à la distortion. Plus prosaïquement, cette estimation s’obtient par un argument de type Gronwall sur $\|U(t)w\|^{2}$.

Pour $t>0$, on définit

[TABLE]

On montre d’abord que $v_{t}$ est un quasimode pour $P_{\theta}-z$. En utilisant (2.2) et (2.5), on peut écrire

[TABLE]

Par régularité elliptique et (2.2), $[P,\mathop{\rm Op}\nolimits(\varphi)]u$ est microlocalisé dans la surface d’énergie $p^{-1}(E_{0})$. D’autre part, (2.1) et $\mathds{1}_{K(E_{0})}\prec\varphi$ impliquent que cette fonction est nulle microlocalement près de tout point de $\Gamma_{-}(E_{0})$. Donc, en combinant (2.6) et (2.7), il vient

[TABLE]

localement uniformément en $t\in{\mathbb{R}}$.

On minore maintenant la norme de $v_{t}$. Soit $\rho$ un point du microsupport de $[P,\mathop{\rm Op}\nolimits(\varphi)]u$. On vient de démontrer que $p(\rho)=E_{0}$ et que $\rho\notin\Gamma_{-}(E_{0})$. Ainsi, $\exp(tH_{p})(\rho)$ s’échappe à l’infini pour $t\to+\infty$ et ne rencontre pas $K(E_{0})$. Par compacité, il existe une fonction de troncature lisse $\chi$ indépendante de $\rho$ avec $\mathds{1}_{K(E_{0})}\prec\chi\prec\varphi$ dont le support évite $\exp([0,+\infty[H_{p})(\rho)$. En particulier,

[TABLE]

puisque $U(t)$ est un opérateur intégral de Fourier de transformation canonique $\exp(tH_{p})$. Les relations (2.4), (2.5), (2.7) et (2.9) impliquent

[TABLE]

localement uniformément en temps. En intégrant en temps, il vient

[TABLE]

D’autre part, comme $u$ n’est pas nul microlocalement près de $K(E_{0})$, il existe $C>0$ tel que $\|\mathop{\rm Op}\nolimits(\chi)u\|\geq h^{C}$ pour $h$ assez petit. Ainsi, on a

[TABLE]

pour tout $t$ fixé et $h$ assez petit.

D’après (i) et la proposition D.1 de [2], il existe $N>0$ tel que

[TABLE]

En combinant (2.8), (2.10) et (2.11), on obtient

[TABLE]

pour tout $t$ fixé et $h$ assez petit. En choisissant $t$ assez grand, on obtient une contradiction en prenant $h\to 0$. Ceci conclut la preuve du théorème 1.

Références

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