La forma della Terra: una lezione sulla gravit\`a Newtoniana

TL;DR

This paper proposes a physics lecture demonstrating how Newtonian gravity and empirical measurements confirm Earth’s spherical shape, emphasizing the scientific method and quantitative analysis to rule out alternative models like disk or non-spherical Earth.

Contribution

It introduces a teaching approach focusing on gravitational acceleration measurements and theoretical predictions to validate Earth's spherical shape, suitable for high school and university physics classes.

Findings

Non-spherical Earth models predict measurable deviations in gravitational acceleration.

A disk-shaped Earth would produce a significant parallel gravitational component.

Quantitative predictions show how abnormal gravity components affect free fall motion.

Abstract

We suggest a lecture on Newtonian gravity, discussing how the use of the scientific method allows to rule out some of the models for the shape of Earth leaving a spherical Earth as the only possibility, in agreement with empirical observation. In particular, we suggest to focus on a physical quantity, namely the gravitational acceleration, that can be both computed theoretically and measured in experiments. Rather than insisting on the numerical code for the evaluation of the gravitational acceleration -- that can be computed anyway in any numerical analysis course -- we want to focus on the formal setting of the problem, emphasizing the importance of having a mathematical formulation capable of quantitative predictions, present the result and discuss it both qualitatively and quantitatively, comparing it with daily experience. We let the student notice that assuming a non-spherical Earth would result in a parallel component of the gravitational acceleration, in disagreement with measurement; moreover, in case we consider a disk-shaped Earth we show that this parallel component becomes more and more important as the boundaries of Earth are approached by an observer. Finally, we make quantitative predictions on how this abnormal component of the gravitational force would affect the free fall motion. We think that the topics discussed here can be presented both in high school and university classes of general physics, as well as in introductory classes about the scientific method.

Equations

$$\mathbf{F}=-G\frac{mM}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r},$$

$$G=6.67\times 10^{-11}\text{leavevmode}\frac{\mathrm{N}\times {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}.$$

$$\mathbf{g}=-G\frac{M}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r},$$

$$\mathbf{F}=m\mathbf{g};$$

$$\mathbf{F}({\mathbf{r}}_P)=-Gm\sum _{i=1}^N\frac{M_i}{|{\mathbf{r}}_P-{\mathbf{r}}_i{|}^2}\frac{{\mathbf{r}}_P-{\mathbf{r}}_i}{|{\mathbf{r}}_P-{\mathbf{r}}_i|},$$

$$\mathbf{F}({\mathbf{r}}_P)=-Gm{\int }_{\Omega }{d}^{3}r\frac{\rho (\mathbf{r})}{|{\mathbf{r}}_P-\mathbf{r}{|}^2}\frac{{\mathbf{r}}_P-\mathbf{r}}{|{\mathbf{r}}_P-\mathbf{r}|},$$

$$M={\int }_{\Omega }{d}^{3}r\rho (\mathbf{r}),$$

$$\mathbf{F}({\mathbf{r}}_P)=m\mathbf{g}({\mathbf{r}}_P),$$

$$\mathbf{g}({\mathbf{r}}_P)=-G{\int }_{\Omega }{d}^{3}r\frac{\rho (\mathbf{r})}{|{\mathbf{r}}_P-\mathbf{r}{|}^2}\frac{{\mathbf{r}}_P-\mathbf{r}}{|{\mathbf{r}}_P-\mathbf{r}|},$$

$${\mathbf{r}}_P=(R_T\cos \varphi \sin \theta ,R_T\sin \varphi \sin \theta ,R_T\cos \theta ),$$

$${\mathbf{r}}_P=(R_T\sin \theta ,0,R_T\cos \theta );$$

$${\mathbf{a}}_n=-\sqrt{g_z^2+g_x^2}\mathbf{n},\text{leavevmode}\text{leavevmode}\text{leavevmode}{\mathbf{a}}_t=0,$$

$$R_{\mathrm{MAX}}\approx 2\times 10^4\text{leavevmode}\mathrm{km},\text{leavevmode}\text{leavevmode}\text{leavevmode}{L}_z\approx 4.73\times 10^3\text{leavevmode}\mathrm{km}.$$

$${\mathbf{a}}_n={\mathbf{g}}_z\text{leavevmode},\text{leavevmode}\text{leavevmode}\text{leavevmode}{\mathbf{a}}_t={\mathbf{g}}_x.$$

$$\mathbf{a}({\mathbf{r}}_P)=\mathbf{g}({\mathbf{r}}_P),$$

$$\Delta x=z_0\frac{g_x}{g_z}.$$

Full text

11institutetext: College of Physics, University of Chinese Academy of Sciences, Yuquanlu 19A, Beijing 100049, China 22institutetext: Theoretical Physics Center for Science Facilities, Institute of High Energy Physics, Beijing 100049, China

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W

\vol

42

Month year

La forma della Terra: una lezione sulla gravità Newtoniana

Marco Ruggieri and Guang Xiong Peng 111122

††issue: 2

1 Introduzione

Uno degli aspetti fondamentali della didattica della Fisica, in particolare dei corsi di Fisica generale sia nelle scuole secondarie che universitari, è quello di sottolineare come il metodo scientifico sia lo strumento più importante nell’affermazione delle teorie scientifiche. Ovvero, l’esposizione di nozioni più o meno astratte è sempre affiancata alla verifica sperimentale delle leggi più importanti, e si invitano gli studenti ad apprendere non solo la formulazione teorica delle leggi ma anche il modo in cui queste sono verificate sperimentalmente. Questo mette in luce la complessa, ma allo stesso tempo rigorosa, natura di una teoria scientifica, che alla formulazione matematica di una legge affianca la misura sperimentale che verifichi la bontà della suddetta legge.

Uno dei metodi che riteniamo efficace nella presentazione di una teoria scientifica è quello di porre lo studente di fronte ad un problema concreto, affrontando il quale lo studente stesso apprenda il modo di lavorare di uno scienziato e sviluppi uno spirito critico che gli permetta poi di risolvere problemi più complicati. Quello riportato in questo articolo è un esempio che, con una esposizione riproducibile in una classe di Fisica generale sia di scuola secondaria che di università, evidenzia come affrontare un problema attraverso il metodo scientifico, fissando un modello teorico e focalizzando l’attenzione sulla scelta delle quantità fisicamente rilevanti per il problema, da cui si intuisce l’utilità nel calcolarle, fare il calcolo utilizzando una strategia appropriata (numerica o analitica) e confrontare poi la predizione teorica del modello con l’esperienza.

In particolare ci proponiamo in questa lezione di mostrare come, assumendo che sia valida la teoria della gravitazione di Newton, questa sia incompatibile con una forma non sferica della Terra analizzando del moto dei gravi in caduta libera. Nonostante la forma sferica (o a geoide) della Terra sia ben conosciuta e non deve essere messa in discussione in una lezione di Fisica, riteniamo interessante mostrare come ipotizzando la correttezza della gravità Newtoniana e l’applicazione della stessa permettano di comprendere gli effetti che si dovrebbero misurare nel momento in cui la Terra non fosse sferica. Come spiegheremo più in dettaglio nel seguito, la semplice analisi del moto dei gravi nel campo gravitazionale di una Terra non sferica mostra come tale moto sia in netto contrasto con quello osservato sperimentalmente. Assunta quindi la gravità Newtoniana come teoria della gravità, l’analisi del moto mostra l’incompatibilità tra questa ed una forma non sferica del pianeta.

In una lezione di Fisica generale il problema che presentiamo qui andrebbe impostato nel modo seguente: dopo aver spiegato agli studenti la formulazione Newtoniana della gravitazione, e aver messo in luce come questa sia una teoria scientifica corredata sia di una descrizione matematica dell’interazione gravitazionale che di accurate verifiche sperimentali, nonchè come questa permetta di fare previsioni quantitative su grandezze fisiche misurabili sperimentalmente, si può suscitare negli studenti la curiosità su che tipo di grandezza fisica si potrebbe studiare per evidenziare la compatibilità della gravità Newtoniana con la forma sferica della Terra. L’individuazione di un’opportuna grandezza fisica porta poi al calcolo della stessa usando vari modelli, ognuno caratterizzato da una certa geometria per la distribuzione di massa della Terra. Infine, il confronto dei risultati ottenuti con quelli empirici permette di escludere uno o più modelli, lasciando in effetti come unica possibilità compatibile con la gravità Newtoniana quella di una Terra sferica. La quantità fisica che proponiamo di studiare in questa lezione è l’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra. Mostreremo infatti che questa grandezza, oltre ad essere misurabile sperimentalmente ed accessibile qualitativamente tramite l’esperienza quotidiana, sia sensibile alla distribuzione geometrica della massa che la produce. In particolare, l’accelerazione di gravità è utile perchè anche l’aspetto qualitativo del moto di un grave è fortemente influenzato dalla forma del pianeta.

La presentazione in classe del tema qui riportato può inoltre essere supportata da una lezione applicativa di laboratorio di calcolo numerico. Infatti, durante l’esposizione degli argomenti qui discussi sarà necessario fare riferimento ad alcuni integrali di volume per il campo gravitazionale sulla superficie della Terra, che sono facilmente calcolabili utilizzando tecniche Monte Carlo che certamente non fanno parte del programma di un corso di Fisica generale ma che possono facilmente essere parte di un corso di calcolo numerico o di un laboratorio di informatica. Nella presentazione in classe dunque si può illustrare direttamente il risultato del calcolo del campo gravitazionale, dopo aver mostrato agli studenti che tipo di integrale è coinvolto nell’analisi del problema, rimandare ai corsi di calcolo o di laboratorio la scrittura di un codice numerico per la sua concreta valutazione.

2 Un richiamo sulla gravità di Newton

In questa sezione richiamiamo molto brevemente la formulazione dell’interazione gravitazionale Newtoniana. Per una trattazione più approfondita si veda ad esempio [1, 2, 3].

Consideriamo due masse puntiformi che chiamiamo $m$ ed $M$ poste a distanza $r$ nello spazio; la forza gravitazionale che la massa $M$ esercita su $m$ è data da

[TABLE]

dove $\bm{r}$ denota il vettore che congiunge le due particelle e $G$ denota la costante di gravitazione universale; ovviamente la forza che esercita $1$ su $2$ sarà uguale in modulo ed opposta in verso. Notiamo che $\bm{F}$ è diretta sempre in direzione opposta al vettore $\bm{r}$: la forza è dunque sempre attrattiva. La costante $G$ che compare nella (1) è detta costante di gravitazione universale; il suo valore numerico è stato misurato indirettamente per la prima volta da Cavendish nel 1798 [4] ed il valore oggi accettato dalla comunità scientifica internazionale è (tralasciando per semplicità il valore dell’incertezza)

[TABLE]

Notiamo che definendo il campo gravitazionale generato dalla massa $M$, e denotandolo con $\bm{g}$, come

[TABLE]

allora la forza di interazione gravitazionale (1) può essere riscritta nella forma

[TABLE]

il campo $\bm{g}$ è anche chiamato, in questo contesto, accelerazione di gravità in quanto rappresenta l’accelerazione che un corpo sperimenterebbe qualora fosse soggetto alla forza (4). Assumendo $M\gg m$ gli effetti di $m$ sul moto di $M$ sono trascurabili. Diciamo allora che il corpo di massa $M$ è la sorgente del campo gravitazionale mentre $m$ è una particella test che sonda il campo prodotto da $M$ senza perturbarlo.

Nel caso in cui la sorgente del campo gravitazionale sia estesa nello spazio è necessario generalizzare l’equazione (1). Tale generalizzazione è immediata in quanto nella formulazione di Newton della gravità, il campo gravitazionale gode del principio di sovrapposizione: per calcolare la forza di gravità prodotta da un insieme di $N$ masse puntiformi $\{M_{i}\}$ su una massa che chiamiamo massa test e denotiamo con $m$, è sufficiente sommare l’equazione (1) su tutte le masse in $\{M_{i}\}$, per cui

[TABLE]

dove $\bm{r}_{P}$ corrisponde al vettore posizione della massa $m$ ed $\bm{r}_{i}$ al vettore posizione della massa $i-$esima appartenente ad $\{M_{i}\}$. Nel caso in cui il set $\{M_{i}\}$ sia sostituito da una distribuzione continua di massa caratterizzata da una densità $\rho(\bm{r})$ l’equazione (5) si generalizza come

[TABLE]

dove $\Omega$ rappresenta la regione di spazio occupata dalla distribuzione di massa, e la densità è definita come

[TABLE]

essendo $M$ la massa totale del sistema.

Notiamo che analogamente alla (4), grazie alla (6) la forza di gravità sulla massa puntiforme $m$ può essere scritta nella forma

[TABLE]

dove

[TABLE]

è l’accelerazione di gravità che si misurerebbe in $\bm{r}_{P}$ e la (8) assume la forma della forza peso standard. Nel seguito calcoleremo $\bm{g}(\bm{r}_{P})$ essendo ovvio che nota questa quantità la forza $\bm{F}(\bm{r}_{P})$ si ottiene banalmente dalla (8).

3 Come la geometria influenza la gravità

In questa sezione introduciamo tre modelli per la geometria della Terra, che chiameremo rispettivamente Terra sferica, Terra a disco (o piatta) e Terra a calotta. Per ognuno di questi tre modelli ci proponiamo di calcolare la forza di gravità sulla superficie esercitata su un grave di massa $m$: questo equivale a calcolare l’accelerazione di gravità. Lo scopo di questo calcolo è quello di mostrare come l’accelerazione di gravità dipende, sia qualitativamente che quantitativamente, dalla geometria assunta per il pianeta.

3.1 La gravità sulla Terra sferica

Il primo modello discutiamo è quello di una Terra sferica. Come è noto la Terra è un geoide, ovvero un solido tridimensionale ellissoidale dalla superficie irregolare: nonostante il raggio equatoriale medio sia maggiore di quello polare medio, la variazione fra i due è di appena dello $0.3\%$; il raggio medio terrestre è $R_{T}\approx 6370$ km. Inoltre, le irregolarità della superficie della Terra dovute ad esempio alle montagne sono irrilevanti per il problema: basta considerare che le più alte montagne della Terra, ovvero quelle della catena dell’Himalaya, hanno altezza rispetto al livello del mare inferiore ai 9 km, per cui le fluttuazioni della distribuzione di massa rispetto sulla superficie di una sfera con raggio uguale ad $R_{T}$ sono dell’ordine dello $0.1\%$. Per i nostri scopi è sufficiente dunque considerare una Terra sferica con raggio pari al raggio medio terrestre. Per calcolare la densità usiamo anche la massa $M_{T}\approx 5.97\times 10^{24}$ kg; in questo caso la densità è data da $\rho_{T}=M_{T}/V_{T}\approx 5.5\times 10^{3}\leavevmode\nobreak\ \mathrm{kg/m^{3}},$ dove $V_{T}=4\pi R_{T}^{3}/3$ denota il volume della Terra sferica. Come vedremo, e come dovrebbe essere fatto notare allo studente, queste assunzioni per quanto forti sono sufficienti a riprodurre il valore medio dell’accelerazione di gravità misurata sperimentalmente, $g_{\mathrm{fen}}\approx 9.81$ m/sec2.

Nel pannello A della Fig. 1 è rappresentata una sezione longitudinale della Terra sferica, ed il sistema di riferimento $x-z$ che useremo per il calcolo dell’accelerazione di gravità con la definizione dell’angolo $\theta$. Abbiamo inoltre definito tre osservatori: $O_{1}$ per $\theta=0$ situato al Polo Nord, $O_{2}$ per $\theta=\pi/2$ situato all’equatore ed $O_{3}$ per $\theta=\pi$ al Polo Sud. Lo scopo che ci proponiamo è quello di calcolare la forza di gravità che un osservatore misurerebbe sulla superficie della Terra tonda spostandosi con continuità dalla posizione occupata da $O_{1}$ a quella occupata da $O_{3}$.

In generale, nota la distribuzione di massa definita tramite la densità, l’equazione (6) il calcolo della forza di gravità esercitata sulla massa puntiforme $m$ nel punto $\bm{r}_{P}$ richiede il calcolo di un integrale di volume che, a meno di alcuni casi di geometrie semplici, può essere calcolato solo numericamente. Nel caso della Terra sferica, assumendo una densità indipendente da $\bm{r}$, il teorema del flusso di Gauss permetterebbe il calcolo immediato del campo gravitazionale sulla superficie terrestre; useremo qui però direttamente l’equazione (6), come controllo della strategia numerica usata per il calcolo dell’integrale che nel caso di altri modelli di Terra è più complicato.

L’integrale nella (9) si può calcolare numericamente usando un metodo Monte Carlo standard. Per la massa $m$ possiamo scrivere

[TABLE]

dove stiamo assumendo che $m$ si muova sulla superficie per cui il modulo del raggio vettore coincide con $R_{T}$; inoltre possiamo supporre che $\phi=0$ per cui

[TABLE]

si vede quindi che essendo $R_{T}$ fissato, l’unica variabile da cui dipende la forza è l’angolo $\theta$ definito nella figura 1.

Nella Fig. 2 mostriamo le componenti $g_{z}$ e $g_{x}$ dell’accelerazione di gravità nel caso della Terra sferica, in funzione dell’angolo $\theta$ espressa in radianti; le barre di errore, la cui larghezza è comunque comparabile con la dimensione dei punti riportati, sono dovute alla natura probabilistica del calcolo dell’integrale con le tecniche Monte Carlo.

Osserviamo subito, come test dell’integrazione numerica della (9), che il valore dell’accelerazione di gravità calcolata è in ottimo accordo con quello fenomenologico, $g_{\mathrm{fen}}$. Ricordiamo che stiamo considerando la Terra come una sfera perfetta, trascurando quindi lo schiacciamento ai poli e la correzione dovuta alla forza centrifuga che introducono una dipendenza di $\bm{g}$ dalla latitudine. Tali correzioni non influenzano comunque in modo considerevole il valore di $g$: la sua massima variazione con la latitudine infatti è dell’ordine dello $0.5\%$. Confrontando $\bm{g}$ calcolata in $O_{1}$ e $O_{2}$ notiamo che le componenti $g_{z}$ e $g_{x}$ si scambiano ma l’accelerazione risultante è sempre diretta verso il centro della Terra, ovvero ha solo componente ortogonale alla superficie stessa.

Osserviamo infine che per l’osservatore al Polo Sud, $O_{3}$, l’accelerazione di gravità è ancora diretta verso il centro della Terra, anche se la componente cambia segno in quanto nel sistema di riferimento in figura 1 la $\bm{g}$ al Polo Sud è concorde alla direzione dell’asse $z$. Nel pannello B della 1 mostriamo i vettori $\bm{g}$ per i tre osservatori. Si può quindi riassumere il risultato ottenuto scrivendo

[TABLE]

dove $\bm{a}_{n}$ e $\bm{a}_{t}$ rappresentano le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione di gravità rispettivamente, ed $\bm{n}$ denota il versore normale alla superficie.

3.2 La gravità sulla Terra a disco

Calcoliamo ora l’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra a disco. Nella figura 3 mostriamo il modello usato per la presente analisi. I pannelli A e B corrispondono alla vista dall’alto e laterale del modello rispettivamente. Sono inoltre evidenziate le due lunghezze fondamentali del modello, ovvero il raggio della Terra a disco $R_{\mathrm{MAX}}$ e lo spessore $L_{z}$. In figura è anche indicata, per completezza, la traiettoria lungo la quale è calcolata l’accelerazione di gravità, rappresentata dalla linea gialla tratteggiata. In questo modello di Terra, il Polo Nord corrisponderebbe al centro del cerchio mentre i bordi corrisponderebbero all’Antartide. Chiaramente non vogliamo mettere assolutamente in discussione la sfericità della Terra e non vogliamo dare alcun peso scientifico al modello qui considerato: ricordiamo che lo scopo della presente lezione è quello di stuzzicare lo spirito critico dello studente, mostrandogli come una semplice considerazione sulle accelerazioni e sul moto dei gravi permette di escludere il modello a disco (o piatto) della Terra.

Il calcolo della $\bm{g}$ che compare nelle (8) e (9) nel caso della Terra a disco procede in maniera analoga a quello per la Terra sferica presentato nella sezione precedente. Assumiamo che la densità della Terra a disco sia la stessa di quella della Terra sferica; inoltre, $R_{\mathrm{MAX}}$ può essere facilmente fissato in quanto conosciamo la distanza che deve essere percorsa per andare dal Polo Nord, situato al centro della Terra piatta, al bordo che rappresenterebbe l’Antartide, muovendosi lungo un meridiano: tale distanza è pari a $\pi R_{T}$ dove $R_{T}$ rappresenta il raggio della Terra sferica. Infine, per fissare $L_{z}$ richiediamo che il modello dia un’accelerazione di gravità al Polo Nord in accordo con il valore sperimentale $g_{\mathrm{fen}}$: troviamo

[TABLE]

Nella figura 4 mostriamo le componenti normale, $g_{z}$, e tangenziale, $g_{x}$, dell’accelerazione di gravità sulla superficie della Terra a disco. L’accelerazione è calcolata lungo la traiettoria indicata dalla linea gialla nella figura 3. In particolare $x=0$ corrisponde al Polo Nord, mentre $x=R_{\mathrm{MAX}}$ al bordo del disco. Analogamente a quanto definito per la Terra sferica, vedi equazione (12), abbiamo

[TABLE]

Osserviamo che spostandosi sulla superficie lungo un meridiano dal centro della Terra a disco fino al suo ipotetico bordo, si sviluppa una componente tangenziale dell’accelerazione di gravità, orientata verso il Polo Nord. Questo è evidente dai dati mostrati nella figura 4: la componente $g_{x}$ è nulla al Polo Nord, che corrisponde ad $x=0$, ed è diversa da zero per $x>0$, diventando inoltre paragonabile in intensità alla componente $g_{z}$. Questo risultato è in netto contrasto con quello ottenuto per il modello della Terra sferica. Deduciamo quindi che è possibile, attraverso una misura di accelerazioni, discernere fra Terra a disco e Terra sferica. Infine, osserviamo che la componente tangenziale che si svilupperebbe ai bordi della Terra a disco, essendo orientata verso il centro agirebbe come una forza di richiamo tanto più intensa quanto più ci si avvicina ai bordi. Questo avrebbe un effetto sia sulla stabilità gravitazionale del pianeta, che sulla superficie libera degli oceani. Senza entrare nel dettaglio di questi problemi, sottolineiamo solo che la presenza della componente tangenziale dell’accelerazione di gravità produrrebbe un moto di un grave in caduta libera diverso da quello osservato sperimentalmente, come discuteremo in una sezione successiva.

Qualitativamente, il risultato sulla forza di gravità sulla superficie della Terra a disco può essere compreso aiutandosi con la figura 5. Nel pannello C della figura mostriamo la Terra a disco in prospettiva: le masse $m_{1}$ corrispondono a quelle di due elementi di volume diametralmente opposti che esercitano ognuno l’attrazione gravitazionale, $\bm{F}_{1}$ ed $\bm{F}_{2}$, nei confronti del grave di massa $m$. Nel pannello A della figura 5 mostriamo una proiezione del sistema sul piano della superficie della Terra. Nel pannello B mostriamo la composizione delle forze nel suddetto piano: la forza risultante $\bm{F}=\bm{F}_{1}+\bm{F}_{2}$ ha una componente non nulla orientata verso il centro della superficie: questa componente è esattamente la componente tangenziale dell’attrazione che abbiamo discusso sopra.

3.3 La gravità sulla Terra a calotta

Consideriamo come ultimo modello quello di una Terra a forma di calotta sferica, si veda il pannello in alto a sinistra in figura 6. La forma geometrica che consideriamo qui è quella di una semisfera perfetta; notiamo che aumentando il raggio di curvatura della semisfera è possibile passare con continuità da questa al caso della Terra a disco esaminato prima. Geometricamente il problema è simile a quello del calcolo dell’accelerazione di gravità per il modello Terra tonda: anche in questo caso calcoliamo l’accelerazione di gravità in funzione dell’angolo $\theta$, vedi pannello in basso a destra in figura 6. Data la geometria del modello però l’angolo $\theta$ misurato in radianti varia da $\theta=0$, che corrisponde al Polo Nord, a $\theta=\pi/2$ che invece corrisponderebbe al bordo della semisfera occupato dall’Antartide.

Ancora una volta, per semplicità assumiamo una densità uniforme pari alla densità media della Terra tonda, ovvero $\rho_{T}\approx 5.5\times 10^{3}$ kg/m3. Questa ipotesi lascia come unico parametro libero del modello il raggio di curvatura della semisfera, che denotiamo con $R_{\mathrm{MAX}}$ e che fissiamo richiedendo che l’accelerazione di gravità per $\theta=0$ sia numericamente in accordo con il valore sperimentale $g_{\mathrm{fen}}$: questo porta a $R_{\mathrm{MAX}}\approx 8030$ km.

Nella figura 7 mostriamo le componenti $g_{z}$ e $g_{x}$ dell’accelerazione di gravità in funzione dell’angolo $\theta$. Notiamo come per $\theta=0$ si ha solo la componente lungo $z$, in accordo con la quotidiana esperienza con la forza peso. Nella regione dell’Antartide però si misurerebbe una componente tangenziale dell’accelerazione: infatti la componente normale sarebbe data da $g_{x}$, e $g_{z}\neq 0$. Inoltre $g_{z}>0$ che implica che essa è rivolta verso il Polo Nord, quindi ancora una volta un osservatore spostandosi verso l’Antartide lungo un meridiano sulla superficie di questa Terra misurerebbe una forza di richiamo verso il Polo Nord, in netto contrasto con l’esperienza quotidiana.

Notiamo infine anche che per $\theta/\pi\approx 0.4$ troviamo che $g_{z}=0$ e $|g_{x}|\approx 8.67$ m/sec2, che sottostima il valore sperimentale $g_{\mathrm{fen}}=9.81$ m/sec2 di circa il $12\%$; per confronto, notiamo che la variazione di $g$ con la latitudine sulla Terra tonda è al più pari allo $0.5\%$.

3.4 Moto di un grave sulla Terra a disco

Abbiamo discusso nelle due sezioni precedenti di come i modelli di Terra a disco e sferica predicano due comportamenti diversi dell’accelerazione di gravità misurabili se ci si sposta lungo un qualsiasi meridiano dal Polo Nord all’Antartide. A questo punto può essere utile far notare allo studente come il moto di un grave sulla superficie della Terra apparirebbe a seconda della geometria scelta per il pianeta. A questo scopo è sufficiente considerare solo i modelli di Terra sferica e a disco, in quanto per la Terra a calotta valgono considerazioni qualitativamente in accordo con quelle che faremo per la Terra a disco.

L’accelerazione di gravità influenza il moto di un corpo per via della (8). Assumendo che la gravità sia l’unica forza in gioco su un corpo di massa $m$ abbiamo

[TABLE]

dove $\bm{g}(\bm{r}_{P})$ indica l’accelerazione di gravità calcolata nel punto $\bm{r}_{P}$. In questa sezione assumiamo che tutti gli spostamenti siano dell’ordine di grandezza del metro, in modo da poter trascurare la dipendenza dell’accelerazione di gravità dalla posizione111Si noti dalla figura 4 che sia $g_{x}$ che $g_{z}$ variano sensibilmente per lunghezze dell’ordine di $R_{\mathrm{MAX}}$ che è di circa $20\times 10^{3}$ km; si può quindi trascurare la dipendenza delle accelerazioni dalle coordinate per moti che si svolgono su scale di lunghezze più piccole come quelle che consideriamo qui..

Consideriamo il moto di un corpo in caduta libera nel caso della Terra piatta: assumiamo quindi che il corpo inizialmente si trovi immobile vincolato ad un’altezza $z_{0}$ rispetto alla superficie. Rimuovendo il vincolo il corpo si muoverà, per effetto della forza di gravità, di moto uniformemente accelerato lungo le direzioni $x$ e $z$. Considerazioni cinematiche elementari mostrano che nel tempo necessario per raggiungere il suolo, $z=0$, il grave si sposta lungo l’asse $x$ di una quantità pari a $\Delta x=x_{0}-x$

[TABLE]

Troviamo quindi che alla caduta libera di un grave corrisponderebbe anche uno spostamento in direzione longitudinale, parallelo alla superficie della Terra piatta, proporzionale al rapporto $g_{x}/g_{z}$. Notiamo che $\Delta x>0$ per cui l’effetto della caduta libera sarebbe quello di richiamare il grave verso il Polo Nord.

Nella figura 8 mostriamo il rapporto $g_{x}/g_{z}$ in funzione di $x/R_{\mathrm{MAX}}$, che per la (16) corrisponde allo spostamento longitudinale, espresso in unità dell’altezza iniziale $z_{0}$, che si misurerebbe sulla superficie della Terra piatta lasciando in caduta libera un grave dall’altezza $z_{0}$; ad esempio, vicini al bordo dove $g_{x}/g_{z}\approx 1$ si avrebbe $\Delta x\approx z_{0}$: lasciando cadere un grave da un metro di altezza, si dovrebbe misurare uno spostamento longitudinale circa uguale ad un metro. Usando i risultati riportati in figura 8 si può essere più quantitativi: fissando la quota iniziale ad un metro per semplicità, troviamo che nella zona equatoriale dove $x/R_{\mathrm{MAX}}\approx 0.5$ si avrebbe $\Delta x\approx 0.3$ metri: questo vuol dire che lasciando un grave in caduta libera dalla quota di un metro in Indonesia, Repubblica Democratica del Congo, Nord del Brasile, Gabon, Ecuador e così via, si dovrebbe misurare uno spostamento orizzontale di circa 30 centimetri in direzione del Polo Nord. Analogamente, per $x/R_{\mathrm{MAX}}\approx 0.7$ che corrisponde alla zona del Sud di Nuova Zelanda, Argentina e Cile, si misurerebbe uno spostamento $\Delta x\approx 0.5$ metri per ogni metro di quota. Il fatto che tale spostamento longitudinale non è mai stato osservato in nessun moto di caduta libera in nessuna parte del pianeta smentisce il modello di Terra a disco.

4 Conclusioni

In questo articolo abbiamo presentato una lezione sulla gravità Newtoniana che affronta il problema delle conseguenze misurabili di una forma non sferica della Terra. Lo scopo principale della lezione è mostrare allo studente come lavora il metodo scientifico, studiando un problema formalmente semplice ma allo stesso tempo efficace in quanto basato sulla individuazione di grandezze fisiche misurabili sperimentalmente, enfatizzando come la misura (o nel caso in esame, anche la semplice esperienza quotidiana) permetta di smentire o di confermare una ipotesi.

Nello specifico, affrontando il problema del calcolo del campo gravitazionale che sarebbe prodotto da una Terra a disco, e confrontando il risultato con quello che osserviamo quotidianamente, abbiamo mostrato che l’esperienza rende il suddetto modello incompatibile con la gravità Newtoniana. In particolare, tale modello comporterebbe una componente tangenziale della forza di gravità orientata verso il Polo Nord, ovvero una forza di richiamo, che causerebbe accelerazioni di gravità tangenziali tanto più importanti quanto più ci si avvicinerebbe all’Antartide. Questa avrebbe un effetto sul moto di caduta libera di un grave: ad esempio, lasciando cadere dalla quota di un metro un corpo, alle latitudini corrispondenti al Sud di Nuova Zelanda, Argentina e Cile si misurerebbe uno spostamento orizzontale nella direzione del Polo Nord di circa cinquanta centimetri, in netto contrasto con l’esperienza quotidiana.

Riteniamo che questa lezione possa essere presentata non solo durante la spiegazione della gravità Newtoniana, ma anche in una lezione introduttiva sul metodo scientifico in generale, in quanto illustra come questo permetta di affrontare e risolvere un problema concreto attraverso la formulazione matematica, la previsione quantitativa di grandezze fisiche e la verifica sperimentale delle predizioni teoriche.

Nell’esposizione del problema e della sua soluzione non abbiamo posto l’accento sul tipo di algoritmo necessario per il calcolo del campo gravitazionale, sebbene questo sia basato su tecniche standard di integrazione numerica e non presenterebbe alcuna difficiltà ad essere trattato in un corso di laboratorio o di calcolo numerico. Riteniamo infatti che nella presentazione in classe dell’argomento qui descritto, vada messo in evidenza non tanto il calcolo quanto la capacità di determinare quali grandezze fisiche è interessante studiare nel problema, studiare il risultato del calcolo e confrontarlo con i dati sperimentali. La nostra opinione è che la presentazione in classe di questo argomento non solo esercita lo spirito critico di uno studente, ma lo mette anche di fronte ad un problema concreto e soprattutto alla sua soluzione utilizzando il modus operandi che è tipico di uno scienziato.

Ringraziamenti

Gli autori ringraziano il Dr. Giuseppe Cinà per le numerose discussioni sull’argomento qui presentato. Questo lavoro è supportato dalla National Natural Science Foundation of China (grant 11575190 e 11475110) e dalla borsa President’s International Fellowship Initiative della Chinese Academy of Sciences (grant 2015PM008).