Autour d'une conjecture de Kato et Kuzumaki

TL;DR

This paper proves new results related to Kato and Kuzumaki's conjectures on cohomological dimensions of fields, including a local-global principle for number fields and proofs for complex function fields.

Contribution

It introduces a local-global principle for number fields and confirms all Kato-Kuzumaki conjectures for certain complex and Laurent series fields, extending previous work.

Findings

Proved a local-global principle for number fields.

Confirmed all conjectures for $\

$ ext{C}(x_1,...,x_n)$ and $ ext{C}(x_1,...,x_n)((t))$ fields.

Abstract

In 1986, Kato and Kuzumaki stated several conjectures in order to give a diophantine characterization of cohomological dimension of fields. In this article, we first prove a local-global principle in this context for number fields. This allows us to give a new proof of one of Kato and Kuzumaki's conjectures for totally imaginary number fields (the first proof was given by Olivier Wittenberg). Our arguments can be generalized to get results for global fields of positive characteristic. We then establish all the conjectures for the fields $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)$ and $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)((t))$. We finally prove a partial result for the field of Laurent series in two variables $\mathbb{C}((x,y))$. En 1986, Kato et Kuzumaki ont formul\'e des conjectures cherchant \`a donner une caract\'erisation diophantienne de la dimension cohomologique des corps. Dans cet article, nous montrons d'abord un \'enonc\'e de type principe local-global dans ce contexte pour les corps de nombres. Cela nous permet de donner une nouvelle d\'emonstration d'une des conjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps de nombres totalement imaginaires (la premi\`ere preuve \'etant due \`a Olivier Wittenberg). Nos arguments nous permettent aussi d'obtenir des r\'esultats pour les corps globaux de caract\'eristique positive. Dans la suite de l'article, nous \'etablissons toutes les conjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)$ et $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)((t))$. Nous montrons finalement un r\'esultat partiel pour le corps de s\'eries de Laurent \`a deux variables $\mathbb{C}((x,y))$.