The best approximation of functions from anisotropic Nikol'skii-Besov classes defined in $\mathbb{R}^d$

TL;DR

This paper derives precise estimates for the best approximation of multivariable functions from anisotropic Nikol'skii-Besov classes by entire functions in Lebesgue spaces, advancing understanding of approximation theory in these function spaces.

Contribution

It provides the exact-order estimates of best approximations for functions in anisotropic Nikol'skii-Besov classes, a novel result in multivariable approximation theory.

Findings

Established exact-order approximation estimates in Lebesgue spaces.

Extended approximation theory to anisotropic Nikol'skii-Besov classes.

Enhanced understanding of function approximation in multivariable settings.

Abstract

We establish the exact-order estimates of the best approximations of the functions from anisotropic Nikol'skii-Besov classes of several variables by entire functions in the Lebesgue spaces.

Equations

$$\Vert f{\Vert }_{L_p({\mathbb{R}}^d)}=\Vert f{\Vert }_p:={\left(\underset{{\mathbb{R}}^d}{\int }|f(\mathbf{x}){|}^{p}d\mathbf{x}\right)}^{\frac{1}{p}},1⩽p<\infty ,$$

$$\Vert f{\Vert }_{L_{\infty }({\mathbb{R}}^d)}=\Vert f{\Vert }_{\infty }:=\underset{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d}{\mathrm{esssup}}|f(\mathbf{x})|.$$

$$\omega_{k}(f,{t}e_{i})_{p}=\sup\limits_{|\boldsymbol{h}|\leqslant{t}}\|\Delta^{k}(f,\boldsymbol{h}e_{i})\|_{p}=\sup\limits_{|\boldsymbol{h}|\leqslant{t}}\bigg{\|}\sum\limits_{l=0}^{k}(-1)^{k-l}C_{k}^{l}f(\boldsymbol{x}+l\boldsymbol{h}e_{i})\bigg{\|}_{p},$$

$$D_i^{k}f=\frac{{\partial }^{k}f}{{\partial }^k{x}_i},k=\overline{0,\overline{r_i}},i=\overline{1,d},$$

$$\Vert f{\Vert }_{B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}}=\Vert f{\Vert }_p+\sum _{i=1}^d{\left(\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^{-\theta {\alpha }_i-1}{\omega }_{1+[{\alpha }_i]}^{\theta }(D_i^{\overline{r_i}}f,t{e}_i{)}_{p}dt\right)}^{\frac{1}{\theta }}<\infty \text{mbox}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyrr}\text{T}2A\text{cyri}1⩽\theta <\infty$$

$$\Vert f{\Vert }_{B_{p,\infty }^{\mathbf{r}}}=\Vert f{\Vert }_{H_p^{\mathbf{r}}}=\Vert f{\Vert }_{\infty }+\sum _{i=1}^d\sup t^{-{\alpha }_i-1}{\omega }_{1+[{\alpha }_i]}(D_i^{\overline{r_i}}f,t{e}_i{)}_p<\infty \text{mbox}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyrr}\text{T}2A\text{cyri}\theta =\infty .$$

$$B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}({\mathbb{R}}^d):=\left\{f\in L_p({\mathbb{R}}^d):\Vert f{\Vert }_{B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}({\mathbb{R}}^d)}⩽1\right\}.$$

$$B_{p,1}^{\mathbf{r}}\subset B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}\subset B_{p,{\theta }^{\prime }}^{\mathbf{r}}\subset B_{p,\infty }^{\mathbf{r}}=H_p^{\mathbf{r}},1⩽\theta <{\theta }^{\prime }⩽\infty .$$

$$E_{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_d}(f{)}_p=\underset{g_{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_d}}{\inf }\Vert f-g_{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_d}{\Vert }_p$$

$$f(\mathbf{x})=\sum _{s=0}^{\infty }{P}_{{\mathbf{a}}^s}(\mathbf{x}),P_{{\mathbf{a}}^s}(\mathbf{x})=P_{a_1^s,\dots ,a_d^s}(\mathbf{x}),$$

$${\left(\sum _{s=0}^{\infty }{b}^{s\theta }\Vert P_{{\mathbf{a}}^s}{\Vert }_p^{\theta }\right)}^{\frac{1}{\theta }}<\infty ,\text{mbox}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyre}b=a_i^{r_i}>1,i=\overline{1,d}.$$

$$\Vert f{\Vert }_{B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}}⩽C_1{\left(\sum _{s=0}^{\infty }{b}^{s\theta }\Vert P_{{\mathbf{a}}^s}{\Vert }_p^{\theta }\right)}^{\frac{1}{\theta }}.$$

$${\left(\sum _{s=0}^{\infty }{b}^{s\theta }\Vert P_{{\mathbf{a}}^s}{\Vert }_p^{\theta }\right)}^{\frac{1}{\theta }}⩽C_2\Vert f{\Vert }_{B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}}.$$

$$(\mathfrak{F}\phi )(\mathbf{\lambda })=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}}\underset{{\mathbb{R}}^d}{\int }\phi (\mathbf{t})e^{-i(\mathbf{\lambda },\mathbf{t})}d\mathbf{t}\equiv \tilde{\phi }(\mathbf{\lambda }).$$

$$({\mathfrak{F}}^{-1}\phi )(\mathbf{t})=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}}\underset{{\mathbb{R}}^d}{\int }\phi (\mathbf{\lambda })e^{i(\mathbf{\lambda },\mathbf{t})}d\mathbf{\lambda }\equiv \hat{\phi }(\mathbf{t}).$$

$$⟨\mathfrak{F}f,\phi ⟩=⟨f,\mathfrak{F}\phi ⟩(⟨\tilde{f},\phi ⟩=⟨f,\tilde{\phi }⟩),$$

$$⟨{\mathfrak{F}}^{-1}f,\phi ⟩=⟨f,{\mathfrak{F}}^{-1}\phi ⟩(⟨\hat{f},\phi ⟩=⟨f,\hat{\phi }⟩).$$

$$⟨f,\phi ⟩=\underset{{\mathbb{R}}^d}{\int }f(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x},\phi \in S,$$

$$f(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}}\underset{{\mathbb{R}}^d}{\int }\tilde{f}(\mathbf{\lambda })e^{i(\mathbf{\lambda },\mathbf{x})}d\mathbf{\lambda }.$$

$$S_{\mathbf{\sigma }}(f)=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}}\underset{-{\sigma }_1}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\dots \underset{-{\sigma }_d}{\overset{{\sigma }_d}{\int }}\tilde{f}(\mathbf{\lambda })e^{i(\mathbf{\lambda },\mathbf{x})}d\mathbf{\lambda },$$

$$f_{{\mathbf{a}}^s}=S_{{\mathbf{a}}^s}(f)-S_{{\mathbf{a}}^{s-1}}(f)=\underset{{\Gamma }_{{\mathbf{a}}^s}}{\int }\tilde{f}(\mathbf{\lambda })e^{i(\mathbf{\lambda },\mathbf{x})}d\mathbf{\lambda },s⩾1,$$

$$f_{{\mathbf{a}}^0}=S_{{\mathbf{a}}^0}(f)=\underset{{\Gamma }_{{\mathbf{a}}^0}}{\int }\tilde{f}(\mathbf{\lambda })e^{i(\mathbf{\lambda },\mathbf{x})}d\mathbf{\lambda }.$$

$$f=f_{{\mathbf{a}}^0}+\sum _{s=1}^{\infty }{f}_{{\mathbf{a}}^s}=\sum _{s=0}^{\infty }{f}_{{\mathbf{a}}^s}$$

$${\mathcal{E}}_{D_{{\mathbf{a}}^n}}(f{)}_p=\Vert f-S_{{\mathbf{a}}^{n-1}}(f){\Vert }_p,n\in \mathbb{N},$$

$${\mathcal{E}}_{D_{{\mathbf{a}}^n}}(f{)}_p\asymp E_{{\mathbf{a}}^n}(f{)}_p.$$

$$g(\boldsymbol{r})=\Bigg{(}\frac{1}{d}\sum\limits_{j=1}^{d}\frac{1}{r_{j}}\Bigg{)}^{-1}.$$

$$\Vert f{\Vert }_{B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}({\mathbb{R}}^d)}\asymp {\left(\sum _{s=0}^{\infty }{b}^{s\theta }\Vert f_{{\mathbf{a}}^s}{\Vert }_p^{\theta }\right)}^{\frac{1}{\theta }}<\infty ,\text{mbox}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyrr}\text{T}2A\text{cyri}1⩽\theta <\infty ,$$

$$\Vert f{\Vert }_{B_{p,\infty }^{\mathbf{r}}({\mathbb{R}}^d)}\asymp \underset{s⩾0}{\sup }{b}^s\Vert f_{{\mathbf{a}}^s}{\Vert }_p<\infty ,$$

$$\Vert g_{\mathbf{\nu }}{\Vert }_{L_{p_2}({\mathbb{R}}^d)}⩽2^d{\left(\prod _{j=1}^d{\nu }_k\right)}^{\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}}\Vert g_{\mathbf{\nu }}{\Vert }_{L_{p_1}({\mathbb{R}}^d)}.$$

$${\mathcal{E}}_{D_{{\mathbf{a}}^n}}(B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}{)}_q\asymp E_{{\mathbf{a}}^n}(B_{p,\theta }^{\mathbf{r}}{)}_q\asymp 2^{-n\left(g(\mathbf{r})-d\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)\right)},$$

Full text

Одержано точнi за порядком оцiнки найкращого наближення функцiй з анiзотропних класiв Нiкольського–Бєсова функцiй багатьох змiнних цiлими функцiями у просторах Лебега.

UDC 517.51

The best approximation of functions from anisotropic Nikol’skii–Besov classes defined in $\mathbb{R}^{d}$

Найкраще наближення функцiй з анiзотропних класiв Нiкольського–Бєсова визначених на $\mathbb{R}^{d}$

S. Ya. Yanchenko

Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv

C. Я. Янченко

Iнститут математики НАН України, Київ

У роботi дослiджується питання найкращого наближення функцiй з анiзотропних класiв Нiкольського–Бєсова $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ [1], [2], де параметр $\boldsymbol{r}$ — $d$-вимiрний вектор з додатними координатами ($r_{j}>0$, $j=\overline{1,d}$). Похибка наближення при цьому вимiрюється у метрицi простору $L_{q}(\mathbb{R}^{d})$ $1<p\leqslant q<\infty$. В якостi апарату наближення використовуються цiлi функцiї експоненцiального типу (див., наприклад, [3]) з носiями їх перетворення Фур’є в $d$-вимiрних паралелепiпедах.

1. Основнi позначення та означення класiв Нiкольського–Бєсова. Нехай $\mathbb{R}^{d}$, $d\geqslant 1$ — $d$-вимiрний евклiдiв простiр з елементами ${\boldsymbol{x}=(x_{1},...,x_{d})}$, ${(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=x_{1}y_{1}+...+x_{d}y_{d}}$. ${L_{p}(\mathbb{R}^{d})}$, ${1\leqslant p\leqslant\infty}$, — простiр вимiрних на $\mathbb{R}^{d}$ функцiй ${f(\boldsymbol{x})=f(x_{1},...,x_{d})}$ зi скiнченною нормою

[TABLE]

[TABLE]

Для $k\in\mathbb{N}$, $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^{d}$ означимо модуль гладкостi $k$-го порядку функцiї ${f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})}$ за змiнною $x_{i}$, який будемо позначати $\omega_{k}(f,{t}e_{i})_{p}$, такою формулою:

[TABLE]

де $|\boldsymbol{h}|=\sqrt{h_{1}^{2}+\ldots+h_{d}^{2}}$ — евклiдова норма вектора $\boldsymbol{h}$, а $e_{i}$ — одиничний вектор, який направлений вздовж осi $x_{i}$.

Нехай $r_{i}>0$, $r_{i}=\bar{r_{i}}+\alpha_{i}$, де $\bar{r_{i}}$ — цiле, $0<\alpha_{i}\leqslant 1$, $i=\overline{1,d}$.

Означення** 1. Будемо говорити, що функцiя $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ належить простору $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$, $1\leqslant p,\ \theta\leqslant\infty$, $\boldsymbol{r}>0$, якщо вона має iнтегрованi в степенi $p$ на $\mathbb{R}^{d}$ частковi, узагальненi в сенсi Соболєва, похiднi вигляду**

[TABLE]

i при цьому

[TABLE]

та

[TABLE]

Вiдзначимо, що з так введеною нормою простори $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ будуть банаховими.

Простори $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ були введенi О. В. Бєсовим [2] i $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\infty}(\mathbb{R}^{d})=H^{\boldsymbol{r}}_{p}(\mathbb{R}^{d})$, де $H^{\boldsymbol{r}}_{p}(\mathbb{R}^{d})$ — простори, якi ввiв С. М. Нiкольський [1]. Далi, зберiгаючи тi самi позначення, будемо розглядати класи $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$, тобто одиничнi кулi у просторах $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$:

[TABLE]

Крiм цього, для спрощення записiв, замiсть $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ та $H^{\boldsymbol{r}}_{p}(\mathbb{R}^{d})$ будемо використовувати позначення $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ та $H^{\boldsymbol{r}}_{p}$.

Зазначимо, що важливим для встановлення результатiв є той факт, що простори $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$ зi зростанням параметра $\theta$ розширюються (див., наприклад, [3, с. 278]), тобто

[TABLE]

Наведемо один результат П. I. Лiзоркiна (див. [4]), який дає можливiсть означити норму функцiй з просторiв $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ в iншiй формi, яка в подальшому зумовлює використання перетворення Фур’є в теорiї даних просторiв.

Для цього попередньо наведемо необхiднi означення.

Назвемо найкращим наближенням функцiї $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ за допомогою цiлих функцiй степеня $\nu_{1},\ldots,\nu_{d}$ величину

[TABLE]

де $\inf$ береться по всiх цiлих функцiях $g_{\nu_{1},\ldots,\nu_{d}}(x_{1},\ldots,x_{d})$ степеня $\nu_{1},\ldots,\nu_{d}$ вiдповiдно за змiнними $x_{1},\ldots,x_{d}$.

Теорема A [4]. Функцiя $f$ належить простору $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$, $\boldsymbol{r}>0$, ${1\leqslant p,\theta\leqslant\infty}$, тодi i тiльки тодi, коли вона зображується збiжним у метрицi простору $L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ рядом

[TABLE]

де $P_{\nu_{1},\ldots,\nu_{d}}(\boldsymbol{x})$ — цiлi функцiї степеня не вищого за $\nu_{1},\ldots,\nu_{d}$ по кожнiй змiннiй $x_{1},\ldots,x_{d}$ вiдповiдно, i виконується умова

[TABLE]

Окрiм цього має мiсце оцiнка

[TABLE]

Якщо, крiм того, частиннi суми $n$-го порядку ряду $(\ref{f-efet})$ реалiзують найкраще наближення або дають порядок найкращого наближення, то вираз у лiвiй частинi $(\ref{f-norm-dek1})$ i $\|f\|_{B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}}$ еквiвалентнi, тобто разом iз $\eqref{f-norm-dek2}$ має мiсце оцiнка

[TABLE]

На основi теореми А дамо еквiвалентне означення анiзотропних просторiв $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}$, яким будемо користуватися у подальших мiркуваннях. Для цього нагадаємо означення перетворення Фур’є (див., наприклад, [5]) з використанням якого дається вiдповiдне означення.

Нехай $S=S(\mathbb{R}^{d})$ — простiр Л. Шварца основних нескiнченно диференцiйовних на $\mathbb{R}^{d}$ комплекснозначних функцiй $\varphi$, що спадають на нескiнченностi разом зi своїми похiдними швидше за будь-який степiнь функцiї $|\boldsymbol{x}|^{-1}$ (див., наприклад, [5], [6]). Через $S^{\prime}$ позначимо простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на $S$. Зазначимо, що елементами простору $S^{\prime}$ є узагальненi функцiї. Якщо $f\in S^{\prime}$ i $\varphi\in S$, то $\langle f,\varphi\rangle$ позначає значення $f$ на $\varphi$.

Перетворення Фур’є $\mathfrak{F}\varphi:S\rightarrow S$ визначається згiдно з формулою

[TABLE]

Обернене перетворення Фур’є $\mathfrak{F}^{-1}\varphi:\ S\rightarrow S$ задається таким чином:

[TABLE]

Перетворення Фур’є узагальнених функцiй $f\in S^{\prime}$ (для нього ми зберiгаємо те ж позначення) визначається згiдно з формулою

[TABLE]

де $\varphi\in S$.

Обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї $f\in S^{\prime}$ також позначимо $\mathfrak{F}^{-1}f$, i визначається воно аналогiчно до прямого перетворення Фур’є згiдно з формулою

[TABLE]

Зазначимо, що кожна функцiя $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, визначає лiнiйний неперервний функцiонал на $S$ згiдно з формулою

[TABLE]

i, як наслiдок, у цьому сенсi вона є елементом $S^{\prime}$. Тому перетворення Фур’є функцiї $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, можна розглядати як перетворення Фур’є узагальненої функцiї $\langle f,\varphi\rangle$.

Носiєм узагальненої функцiї $f$ будемо називати замикання $\overline{\mathfrak{N}}$ такої множини точок $\mathfrak{N}\subset\mathbb{R}^{d}$, що для довiльної $\varphi\in S$, яка дорiвнює нулю в $\overline{\mathfrak{N}}$, виконується рiвнiсть $\langle f,\varphi\rangle=0$. Носiй узагальненої функцiї $f$ будемо позначати через $\mbox{supp}\,f$. Також будемо говорити, що функцiя $f$ зосереджена на множинi $G$, якщо $\mbox{supp}\,f\subseteq G$.

У подальшому будемо користуватися такими позначеннями. Нехай функцiя $f$ представлена iнтегралом Фур’є

[TABLE]

Тодi вiдрiзком iнтегралу Фур’є функцiї $f$ назвемо вираз

[TABLE]

де $\tilde{f}(\boldsymbol{\lambda})$ — перетворення Фур’є функцiї $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$.

Нехай $D_{\boldsymbol{a}^{s}}=D_{a_{1}^{s},\ldots,a_{d}^{s}}$ — паралелепiпед: $|\lambda_{j}|<a_{j}^{s}$, $j=\overline{1,d}$, $s\geqslant 0$, а ${\Gamma_{\boldsymbol{a}^{s}}=D_{\boldsymbol{a}^{s}}-D_{\boldsymbol{a}^{s-1}}}$ при $s\geqslant 1$ i $\Gamma_{\boldsymbol{a}^{0}}=D_{\boldsymbol{a}^{0}}$. Покладемо

[TABLE]

i

[TABLE]

Представлення функцiї $f$ рядом

[TABLE]

будемо називати розшаруванням $f$ ($\boldsymbol{a}$-розшаруванням $f$). У випадку, коли $f\in L_{p}$, ${p>2}$, $S_{\boldsymbol{a}^{s}}(f)$ розумiють, взагалi кажучи, як результат дiї на $f$ деякого оператора, який в образах Фур’є зводиться до множення на характеристичну функцiю областi $D_{\boldsymbol{a}^{s}}$ (див. [5], (§3, гл.1)).

Для функцiї $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ розглянемо величину

[TABLE]

яка називається наближенням функцiї $f$ $\boldsymbol{a}^{n}$-вiдрiзками iнтеграла Фур’є.

У випадку $1<p<\infty$ величини (2) i (6) мають один i той же порядок [4], тобто для функцiї $f\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$

[TABLE]

Далi для вектора $\boldsymbol{r}=(r_{1},\ldots,r_{d})$, $r_{j}>0$, $j=\overline{1,d}$, введемо величину

[TABLE]

Зауважимо, що при $r_{1}=r_{2}=\ldots=r_{d}=r$ маємо $g(\boldsymbol{r})=r$.

Тодi для норми анiзотропних просторiв $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$, згiдно з теоремою А, можна записати спiввiдношення [4]:

[TABLE]

[TABLE]

де $b=2^{g(\boldsymbol{r})}$, тобто $a_{j}=2^{g(\boldsymbol{r})/r_{j}}$, $j=\overline{1,d}$.

2. Наближення класiв $B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ у метрицi простору $L_{q}(\mathbb{R}^{d})$, ${1<p\leqslant q<\infty}$.

Попередньо сформулюємо твердження, яке буде iстотно використовуватися при встановленнi результатiв.

Теорема Б [3, c. 150]. Якщо $1\leqslant p_{1}\leqslant p_{2}\leqslant\infty$, то для цiлої функцiї експоненцiального типу $g=g_{\boldsymbol{\nu}}\in L_{p}(\mathbb{R}^{d})$ має мiсце ‘‘нерiвнiсть рiзних метрик’’

[TABLE]

Наведемо одержанi результати.

Теорема 1. Нехай $1<p\leqslant q<\infty$, $1\leqslant\theta\leqslant\infty$. Тодi для ${g(\boldsymbol{r})>d\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)}$, мають мiсце порядковi спiввiдношення

[TABLE]

де $a_{j}=2^{g(\boldsymbol{r})/r_{j}}$, $j=\overline{1,d}$.

Доведення.  Спочатку отримаємо в (12) оцiнки зверху. Оскiльки ${B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}\subset B^{\boldsymbol{r}}_{p,\infty}=H^{\boldsymbol{r}}_{p}}$, $1\leqslant\theta<\infty$, то шукану оцiнку достатньо отримати для величини $\mathcal{E}_{D_{\boldsymbol{a}^{n}}}(H_{p}^{\boldsymbol{r}})_{q}$. У залежностi вiд спiввiдношення мiж параметрами $p$ i $q$ розглянемо два випадки.

1. Нехай $1<p=q<\infty$. Оскiльки для $f\in H^{\boldsymbol{r}}_{p}$ згiдно з (10) ${\|f_{\boldsymbol{a}^{s}}\|_{p}\ll 2^{-sg(\boldsymbol{r})}}$, то скориставшись нерiвнiстю Мiнковського, будемо мати

[TABLE]

[TABLE]

2. Нехай тепер $1<p<q<\infty$. Тодi для $f\in H^{\boldsymbol{r}}_{p}$, врахувавши (10) та скориставшись нерiвностями Мiнковського i рiзних метрик Нiкольського (11), можемо записати

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Оцiнку зверху для величини $\mathcal{E}_{D_{\boldsymbol{a}^{n}}}(H_{p}^{\boldsymbol{r}})_{q}$ i, таким чином, згiдно з (7) для найкращого наближення $E_{D_{\boldsymbol{a}^{n}}}(H_{p}^{\boldsymbol{r}})_{q}$ встановлено.

Отримаємо тепер в (12) оцiнки знизу. Оскiльки має мiсце вкладення ${B^{\boldsymbol{r}}_{p,1}\subset B^{\boldsymbol{r}}_{p,\theta}}$, $1<\theta\leqslant\infty$, то шукану оцiнку достатньо отримати для величини $\mathcal{E}_{D_{\boldsymbol{a}^{n}}}(B^{\boldsymbol{r}}_{p,1})_{q}$. Iншими словами достатньо оцiнити знизу величину ${\|f-S_{\boldsymbol{a}^{n-1}}(f)\|_{q}}$ для деякої функцiї ${f\in B^{\boldsymbol{r}}_{p,1}}$.

З цiєю метою розглянемо функцiю $F_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x})$ на основi якої побудуємо функцiю для якої досягається оцiнка (12).

Нехай $\boldsymbol{k}\in\mathbb{N}^{d}$, $\boldsymbol{k}=(k,\ldots,k)$,

[TABLE]

та

[TABLE]

Тодi для перетворення Фур’є функцiї $F_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x})$ має мiсце спiввiдношення

[TABLE]

де

[TABLE]

[TABLE]

Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати

[TABLE]

Вiдзначимо, що таким чином $F_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x})$ — цiла функцiя з $L_{p}(\mathbb{R}^{d})$, носiй перетворення Фур’є якої зосереджене в $\Gamma_{\boldsymbol{a}^{\boldsymbol{k}}}$.

Перш нiж безпосередньо перейти до встановлення оцiнки знизу в (12), одержимо порядок величини

[TABLE]

Для оцiнки зверху будемо мати

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Врахувавши, що $a_{j}=2^{g(\boldsymbol{r})/r_{j}}$ та спiввiдношення (8), оцiнку (14) продовжимо таким чином

[TABLE]

При оцiнцi норми $\|F_{\boldsymbol{k}}\|_{p}$ знизу, отримаємо

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Спiвставивши (15) i (16), для $\|F_{\boldsymbol{k}}\|_{p}$ можемо записати порядкове спiввiдношення

[TABLE]

Далi розглянемо функцiю

[TABLE]

де $\boldsymbol{n}=(n,\ldots,n)\in\mathbb{N}^{d}$, $1/p+1/p^{\prime}=1$, $C_{1}>0$.

Покажемо, що з деякою константою $C_{1}>0$ функцiя $g_{1}$ належить класу $B^{\boldsymbol{r}}_{p,1}(\mathbb{R}^{d})$. Згiдно з (9) та (17) маємо

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Оскiльки, за вибором функцiї $g_{1}$ для неї має мiсце спiввiдношення $S_{\boldsymbol{a}^{n-1}}(g_{1})=0$, то

[TABLE]

[TABLE]

Оцiнку знизу в (12) встановлено. Теорему доведено.

Зауваження** 1. У випадку $r_{1}=\ldots=r_{d}=r$, тобто для iзотропних класiв Нiкольського–Бєсова $B^{r}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$, оцiнку (12) встановлено в [8]. Зазначимо також, що апроксимативнi характеристики iзотропних класiв $B^{r}_{p,\theta}(\mathbb{R}^{d})$ дослiджувалися у роботi [9].**

Зауваження** 2. Анiзотропнi класи Нiкольського–Бєсова функцiй багатьох змiнних, що визначенi на $\mathbb{R}^{d}$ з точки зору знаходження точних за порядком значень деяких апроксимативних характеристик дослiджувалися, зокрема, у роботах [10], [11], а iзотропнi та анiзотропнi класи Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних — у роботах [12] – [15].**

Зауваження** 3. В одномiрному випадку $(d=1)$ анiзотропнi класи Нiкольського–Бєсова збiгаються з класами Нiкольського–Бєсова мiшаної гладкостi, якi дослiджувалися в роботах [16], [17]. Розв’язку ряду екстремальних проблем апроксимацiї функцiй визначених на прямiй присвяченi роботи С. Б. Вакарчука [18], [19], де також проведено детальний порiвняльний аналiз завершених результатiв, якi пов’язанi з розв’язком екстремальних задач теорiї наближення в перiодичному випадку i випадку всiєї дiйсної осi.**

Лiтература

• [1] S. M. Nikol’skii, Inequalities for entire functions of finite power and their application to the theory of differentiable functions of many variables, Tr. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 38, 244 – 278 (1951). (in Russian).
• [2] O. V. Besov, Investigation of one family of functional spaces in connection with the embedding and continuation theorems, Tr. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 60, 42 – 81 (1961). (in Russian).
• [3] S. M. Nikol’skii, Approximation of functions of several variables and imbedding theorems, Nauka, Moscow, 1969, 480 pp. (in Russian).
• [4] P. I. Lizorkin, Generalized Hölder spaces $B^{(r)}_{p,\theta}$ and their relationship with the Sobolev spaces $L^{(r)}_{p}$, Sib. Mat. Zh., 9, No. 5, 1127 – 1152 (1968). (in Russian).
• [5] P. I. Lizorkin, Generalized Liouville differentiation and the method of multiplicators in the theory of embeddings of classes of differentiable functions, Tr. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 105, 89 – 167 (1969). (in Russian).
• [6] V. S. Vladimirov, Equations of Mathematical Physics, Nauka, Moscow (1967), 436 pp. (in Russian).
• [7] S. M. Nikol’skii, Embedding theorems for the classes of generalized functions, Sib. Mat. Zh., 9, No. 5, 1107 – 1126 (1968). (in Russian).
• [8] S. Ya. Yanchenko, Approximation of functions from the Besov classes by entire functions in the space $L_{q}(\mathbb{R}^{d})$, in: Collection of Works “Approximation Theory of Functions and Related Problems” (in Ukrainian), Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukrain, Kyiv, 7, No. 1, 380 – 391 (2010).
• [9] S. Ya. Yanchenko, Approximation of functions from the isotropic Nikol’skii–Besov classe in the uniform and integral metrics, Ukr. Mat. Zh., 67, No. 10, 1423 – 1433 (2015) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 67, No. 10, 1599 – 1610 (2016).
• [10] Jiang Yanjie, Liu Yongping, Average Widths and Optimal Recovery of Multivariate Besov Classes in $L_{p}(\mathbb{R}^{d})$, J. of Approx. Theory, 102, 155 – 170 (2000).
• [11] Jiang Yanjie, Optimal recovery of anisotropic Besov–Wiener classes, Anal. Math., 28, 77 – 88 (2002).
• [12] A. S. Romanyuk, Approximative characteristics of the isotropic classes of periodic functions of many variables, Ukr. Mat. Zh., 61, No. 4, 513 – 523 (2009) (in Russian); English translation: Ukr. Math. J., 61, No. 4, 613 – 626 (2009).
• [13] A. S. Romanyuk and V. S. Romanyuk, Trigonometric and orthoprojection widths of classes of periodic functions of many variables, Ukr. Mat. Zh., 61, No.,10, 1348 – 1366 (2009) (in Russian); English translation: Ukr. Math. J., 61, No. 10, 1589 – 1609 (2009).
• [14] Gensun Fang, Fred J. Hickernell, Huan Li, Approximation on anisotropic Besov classes with mixed norms by standard information, J. of Complexity, 21, 294 – 313 (2005).
• [15] V. V. Myronyuk, Trigonometric approximations and Kolmogorov widths of anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables, Ukr. Mat. Zh., 66, No. 8, 1117 – 1132 (2014) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 66, No. 8, 1248 – 1266 (2015).
• [16] *Wang Heping, Sun Yongsheng. * Approximation of multivariate functions with certain mixed smoothness by entire functions, Northeast. Math. J., 11, No. 4, 454 – 466 (1995).
• [17] S. Ya. Yanchenko, Approximation of the classes $S^{r}_{p,\theta}B(\mathbb{R}^{d})$ of functions of many variables by entire functions of a spesial form, Ukr. Mat. Zh., 62, No. 8, 1124 – 1138 (2010) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 62, No. 8, 1307 – 1325 (2011).
• [18] S. B. Vakarchuk, Some extremal problems of the approximation theory of functions on the real axis. I, Ukr. Mat. Visn., 9, No. 3, 401 – 429 (2012). (in Russian).
• [19] S. B. Vakarchuk, Some extremal problems of the approximation theory of functions on the real axis. II, Ukr. Mat. Visn., 9, No. 4, 578 – 602 (2012). (in Russian).

Contact information: Department of the Theory of Functions, Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, 3, Tereshenkivska st., 01004, Kyiv, Ukraine.

E-mail: Yan.Sergiy@gmail.com