Il Fattore di Sylvester

TL;DR

This paper explores the Sylvester factor, a key component in the Hardy-Littlewood asymptotic formula related to the extended Goldbach conjecture, highlighting its properties as a strongly multiplicative arithmetic function.

Contribution

It provides an in-depth analysis of the Sylvester factor's properties and its role within the context of the extended Goldbach conjecture.

Findings

Identifies key properties of the Sylvester factor.

Clarifies its role in the Hardy-Littlewood asymptotic formula.

Highlights its multiplicative nature.

Abstract

Sylvester factor, an essential part of the asymptotic formula of Hardy and Littlewood which is the extended Goldbach conjecture, regarded as strongly multiplicative arithmetic function, has several remarkable properties.

Equations

$$g(n)\sim h(n):=\frac{4cn}{(\lg n{)}^2}\prod _{\begin{array}{c}p|n\\ p\ne 2\end{array}}\frac{p-1}{p-2},(1)$$

$$\prod_{p\neq 2}\dfrac{p(p-2)}{(p-1)^{2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigg{[}\prod_{2<p<n}\Big{(}1-\dfrac{1}{(p-1)^{2}}\Big{)}\bigg{]}=\vspace{2mm}0,6601618.\dots$$

$$\prod _{\begin{array}{c}p|n\\ p\ne 2\end{array}}\text{vspace}1mm\frac{p-1}{p-2}$$

$$\mathcal{S}(n):=\prod _{\begin{array}{c}p|n\\ p\ne 2\end{array}}\text{vspace}1mm\frac{p-1}{p-2}\sim G(n):=\frac{(\lg n{)}^2}{4cn}g(n).(2)$$

$$s_{m}^{*}(n)=\sharp\,\{(\bar{r},\bar{s})\in\mathbb{Z}_{m}^{{}^{*}}\times\mathbb{Z}_{m}^{{}^{*}}\;|\;\bar{r}+\bar{s}=\bar{n}\}=m\prod_{\begin{subarray}{n}p\,|\,m\\ p\,|\,n\end{subarray}}\bigg{(}1-\dfrac{1}{p}\bigg{)}\prod_{\begin{subarray}{n}p\,|\,m\\ p\,\nmid\,n\end{subarray}}\bigg{(}1-\dfrac{2}{p}\bigg{)}$$

$$s_{m}^{*}(2n)=m\prod_{p\,|\,d}\bigg{(}1-\dfrac{1}{p}\bigg{)}\prod_{p\,|\,\frac{m}{d}}\bigg{(}1-\dfrac{2}{p}\bigg{)}=\prod_{i=1}^{t}(q_{i}-1)^{\alpha_{i}}(q_{i}-2)^{1-\alpha_{i}}$$

$$=\prod_{i=1}^{t}\bigg{(}\dfrac{q_{i}-1}{q_{i}-2}\bigg{)}^{\alpha_{i}}\prod_{i=1}^{t}(q_{i}-2).\ \qquad\textrm{In altri termini:}$$

$$s_m^{\ast }(2n)=\text{vspace}\ast 6mm\mathcal{S}(d)\cdot s_m^{\ast }(2).$$

Full text

Il Fattore di Sylvester

**Donato Saeli $\;\cdot\;$ Maurizio Spano

Abstract ** Sylvester factor, an essential part of the asymptotic formula of Hardy and Littlewood which is the extended Goldbach conjecture, regarded as strongly multiplicative arithmetic function, has several remarkable properties.

Il fattore di Sylvester, parte essenziale della formula asintotica di Hardy e Littlewood che costituisce la congettura  estesa  di Goldbach, riguardato come funzione aritmetica fortemente moltiplicativa, presenta diverse proprietà significative.

**Keywords ** Goldbach’s extended conjecture, Sylvester factor. $\;\cdot\;$ Strongly multiplicative function. $\;\cdot\;$ Convolution inverse.

**MSC ** 11P32

 

Donato Saeli

Via Giovanni XXIII, 29 - 85100 Potenza (PZ), Italy

Tel.: +39-0971-51280

Email: donato.saeli@gmail.com

Maurizio Spano

Via Rocco Scotellaro, 19 - 75019 Tricarico (MT), Italy

Tel.: +39-348 998 5205

1  Introduzione

Consideriamo la funzione aritmetica $\,g(n)\,,\,$ che associa ad $\,n\,$ il numero delle coppie ordinate $\,(p,q)\,$ di numeri primi dispari tali che $\,{p+q=2n};\,$ il grafico di $\,g(n)\,$ in $\,[3,N],\,$ con $\,N\,$ sufficientemente grande, ap-

pare come una cometa. †††  La cometa di Goldbach: l’affermazione  g(n)>0\ \ per\ ogni\ \ n>2\ equivale

alla congettura di Goldbach: *Ogni numero pari non inferiore a quattro è somma

di due primi*.

La congettura  estesa  di Goldbach, formulata nel 1922 da Hardy

e Littlewood afferma che

[TABLE]

dove Il prodotto $\,\displaystyle\prod_{\begin{subarray}{c}p\,|\,n\\ p\neq 2\end{subarray}}\dfrac{p-1}{p-2}\,$ s’intende esteso a tutti i numeri primi dispari che dividono $\,n$ e si pone uguale a 1 se è privo di fattori, cioè se $\,n=2^{k}\ (k\geq 0).$

La costante $\,c\,$ è il valore del prodotto (infinito), esteso a tutti i primi dispari:

[TABLE]

Sylvester [S] nel 1871, aveva proposto una formula equivalente alla

$\,g(n)\sim 2\,e^{-\gamma}\,h(n);$ ‡‡‡  $2\,e^{-\gamma}=1,1229.\dots$  ma la (1)

“… è la sola formula di questa sorta che può essere corretta, cosicché la formula di Sylvester è errata.  Ma Sylvester è stato il primo ad identificare il fattore

[TABLE]

a cui sono dovute le irregolarità della $\,h(n).\,$ Non vi sono indicazioni sufficienti per mostrare come sia stato condotto al suo risultato. …” [HL] (pp.​ 32, 33).

La (1) può essere riguardata in vari modi [Smd] (pp.​ 2-4), molto suggestivo è il seguente:

[TABLE]

Se si effettua il confronto fra i due membri della (2), il risultato inizialmente irrilevante (fig. 1), diventa piuttosto interessante al crescere di n (fig. 2).

Fig. 1    $\mathscr{S}(n),$      $\,G(n)$

Fig. 2    $\mathscr{S}(n),$     $\,G(n)$

Gli autori hanno verificato che è $\,\mathscr{S}(n)<G(n)\,,\,$ per \,72.065\leq n\leq 2.000.000\,.\ Sarebbe interessante stabilire se e per quale valore di $\,n\ (>2\cdot 10^{6})\,$ risulti $\,\mathscr{S}(n)>\vspace{2mm}G(n)\,.$

Vogliamo richiamare infine l’attenzione su un’altra relazione nella quale il fattore di Sylvester riveste un ruolo essenziale. Se $\,m\in\mathbb{N},\,$ indichiamo con $\,\mathbb{Z}_{m}\,$ l’anello delle classi di resto modulo $\,m\,$ e con $\,\mathbb{Z}_{m}^{{}^{*}}\,$ il gruppo delle classi prime con $\,m.\,$ È noto che

[TABLE]

[Dm], [Sj];  se scegliamo $\,m=2\cdot q_{1}\cdots q_{t},\,$ con $\,q_{1}<q_{2}<\cdots<q_{t}\,$ numeri primi dispari e per $\,n\in\mathbb{N}\,$ poniamo \displaystyle\alpha_{i}=\left\{\begin{array}[]{l}1\ \;\textrm{se}\ \;q_{i}|n\\ 0\ \;\textrm{se}\ \;q_{i}\nmid n\\ \end{array}\right.\ \ \textrm{per}\ \ i=1,\,\dots,\,\vspace{2mm}t, allora $\,d=(2n,\,m)=2\cdot q_{1}^{\alpha_{1}}\cdots p_{t}^{\alpha_{t}}\,$ e quindi anche

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

2  Osservazioni sulle funzioni fortemente moltiplicative

Una funzione aritmetica $\,f(n)\,$ si dice fortemente moltiplicativa se è moltiplicativa e quali che siano $\,p\,$ primo, $\,k\,$ intero positivo, è $\,f(p^{k})=f(p).$

Esempi di funzioni fortemente moltiplicative sono:

la funzione $\quad\displaystyle\overline{\varphi}(n)=\prod_{p\,|\,n}\dfrac{p-1}{p}=\dfrac{\varphi(n)}{n}$   ($\varphi(n)\,$ indicatore di Eulero)

e giust’appunto il fattore di Silvester $\quad\displaystyle\mathscr{S}(n)=\prod_{\begin{subarray}{c}p\,|\,n\\ p\neq 2\end{subarray}}\vspace{3mm}\dfrac{p-1}{p-2}\qquad$ (fig. 3 e 4).

Proposizione 2.1 - *Se $\,f\,$ e $\,g\,$ sono funzioni aritmetiche fortemente moltiplicative, $\,p\,$ un primo e $\,k\,$ un intero positivo, allora

$\,(f\ast g)(p^{k})=\displaystyle\sum_{i=0}^{k}f(p^{i})g(p^{k-i})=f(p)+g(p)+(k-1)f(p)g(p)$

e per \,k\geq 2,\qquad f^{-1}(p^{k})=(-1)^{k}f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}^{k-1}\,. * $\bullet$

Fig. 3    $\overline{\varphi}(n)=\dfrac{\varphi(n)}{n}$

Fig. 4   $\mathscr{S}(n)$

Dimostrazione.  (Per induzione su $\,k$).

f^{-1}(p^{2})=\vspace{1mm}-f(p)f^{-1}(p)-f(p^{2})f^{-1}(1)=f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}.

$f^{-1}(p^{k+1})=\vspace{1mm}\displaystyle-\sum_{i=1}^{k+1}f(p^{i})f^{-1}(p^{k-i+1})$

\displaystyle=-f(p)\Big{\{}-f(p)+1+\sum_{i=1}^{k-1}f^{-1}(p^{k-i+1})\Big{\}}

\displaystyle=-f(p)\Big{\{}-f(p)+1+\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-i+1}f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}^{k-i}\Big{\}}

\displaystyle=f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}\Big{\{}1+\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{k-i}f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}^{k-i-1}\Big{\}}

\displaystyle=f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}\sum_{i=1}^{k}f^{-1}(p^{k-i})=\vspace{1mm}\big{[}f(p)-1\big{]}\sum_{i=1}^{k}f(p^{i})f^{-1}(p^{k-i})

=-\big{[}f(p)-1\big{]}f^{-1}(p^{k})=\vspace{2mm}-\big{[}f(p)-1\big{]}(-1)^{k}f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}^{k-1}

=(-1)^{k+1}f(p)\big{[}f(p)-1\big{]}^{k}. $\vartriangle$

Così abbiamo:

\,(\overline{\varphi}\ast\mathscr{S})(p^{k})=(k+1)\Big{(}1+\dfrac{1}{p(p-2)}\Big{)}\,,  se $\,p\neq 2\,;\qquad(\overline{\varphi}\ast\mathscr{S})(2^{k})=\vspace{1mm}1+\dfrac{k}{2}\,.$

$\,\bar{\varphi}^{-1}(p^{k})=\vspace{2mm}\dfrac{1-p}{p^{k}}\,.$

$\,\mathscr{S}^{-1}(p^{k})=\dfrac{1-p}{(p-2)^{k}}\,,$  se $\,p\neq 2\,;\qquad\mathscr{S}^{-1}(2)=-1\,,\ \ \mathscr{S}^{-1}(2^{k})=0\,,$ se $\,k\geq 2\,.$

Proposizione 2.2 - *Sia $\,f\,$ una funzione aritmetica fortemente moltiplicativa. Per ogni intero $\,m>1\,,\,$ posto $\,y=f(m)\,$ e $\,f^{-}(y)=\{n\in\mathbb{N}\,|\,f(n)=y\}\,,\,$ si ha$:$ $\,|f^{-}(y)|=\aleph_{0}\,.$ * $\bullet$

Notiamo che $\,\bar{\varphi}^{-}(1)=\{1\}\,.\,$ mentre $\,|\mathscr{S}^{-}(1)|=\aleph_{0}\,.$

3  Proprietà particolari delle funzioni $\,\boldsymbol{\bar{\varphi}}\,$ e $\,\boldsymbol{\mathscr{S}}$

Se indichiamo con $\,\{p_{n}\}\,$ la successione dei numeri primi in ordine crescente, è chiaro che la successione $\,\{\overline{\varphi}(p_{n})\}\,$ è monotona crescente,  la $\,\{\mathscr{S}(p_{n})\}\,$ è,

per $\,n>1,\,$ monotona decrescente e  $\,\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{\varphi}(p_{n})=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathscr{S}(p_{n})=1.$

Proposizione 3.1 - $\,\mathscr{R}(\mathscr{S})\,$* e $\,\mathscr{R}(\overline{\varphi})\,$ sono entrambi insiemi perfetti e totalmente sconnessi. * $\bullet$

Dimostrazione.  Infatti $\,\forall\,n\in\mathbb{N},\ \mathscr{S}(n)\in\mathbb{Q}\,;\quad$ e se $\,p>n\,$ è un primo dispari, allora $\,\mathscr{S}(np)\neq\mathscr{S}(n)\,$ e $\,|\mathscr{S}(np)-\mathscr{S}(n)|=|\mathscr{S}(n)||\mathscr{S}(p)-1|<\varepsilon\,,\,$

con $\,\varepsilon>0\,$ arbitrario, posto sia anche $\,p>M_{\varepsilon}\,.$  Considerazioni simili valgono per la $\,\overline{\varphi}\,.$ $\vartriangle$

Definiamo la successione $\,\{P_{n}\}\,$ come segue:

         $P_{1}=p_{1},\ \ P_{2}=p_{1}\cdot p_{2},\ \ \dots,\ \ P_{n}=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n},\ \ \cdots\ .$

Abbiamo: \,\displaystyle\overline{\varphi}(P_{n})=\prod_{i=1}^{n}\bigg{(}1-\dfrac{1}{p_{i}}\bigg{)}\quad e quindi

\,\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{\varphi}(P_{n})=\prod_{i=1}^{\infty}\bigg{(}1-\dfrac{1}{p_{i}}\bigg{)}=0\,;\ \ dato che $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{1}{p_{i}}=+\infty\,.$

Per lo stesso motivo \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\mathscr{S}(P_{n})=\prod_{i=2}^{\infty}\bigg{(}1+\dfrac{1}{p_{i}-2}\bigg{)}=+\infty\,.

Proposizione 3.2 - *Se $\,m<P_{n},\,$ allora $\,\overline{\varphi}(m)>\overline{\varphi}(P_{n})\,.$

Se $\,m<P_{n}\,$ e $\,2m\neq P_{n},\,$ allora $\,\mathscr{S}(m)<\mathscr{S}(P_{n})\,.$ * $\bullet$

Dimostrazione.  Infatti se $\,m<P_{n}\,$ e $\,q_{1}^{\alpha_{1}}\cdots q_{\nu}^{\alpha_{\nu}}=m\,$ ne è la decom-

posizione canonica in fattori primi, allora deve essere $\,\nu<n\,$ e $\,q_{i}\geq p_{i}\,,$

per $\,i=1,\dots,\nu\,.$

Ne segue \ \displaystyle\overline{\varphi}(m)=\prod_{i=1}^{\nu}\bigg{(}1-\dfrac{1}{q_{i}}\bigg{)}\geq\prod_{i=1}^{\nu}\bigg{(}1-\dfrac{1}{p_{i}}\bigg{)}>\prod_{i=1}^{\nu+1}\bigg{(}1-\dfrac{1}{p_{i}}\bigg{)}\geq\overline{\varphi}(P_{n})\,.

Se $\,m\,$ è pari, abbiamo

\ \displaystyle\mathscr{S}(m)=\prod_{i=2}^{\nu}\bigg{(}1+\dfrac{1}{q_{i}-2}\bigg{)}\leq\prod_{i=2}^{\nu}\bigg{(}1+\dfrac{1}{p_{i}-2}\bigg{)}<\prod_{i=2}^{\nu+1}\bigg{(}1+\dfrac{1}{p_{i}-2}\bigg{)}\leq\vspace{2.5mm}\mathscr{S}(P_{n})\,.

Se $\,m\,$ è dispari e $\,\nu<n-1\,,\,$ abbiamo $\,q_{i}\geq p_{i+1}\,,\,$ per $\,i=1,\dots,\nu\,$ e

\ \displaystyle\mathscr{S}(m)=\prod_{i=1}^{\nu}\bigg{(}1+\dfrac{1}{q_{i}-2}\bigg{)}\leq\prod_{i=2}^{\nu+1}\bigg{(}1+\dfrac{1}{p_{i}-2}\bigg{)}<\prod_{i=2}^{\nu+2}\bigg{(}1+\dfrac{1}{p_{i}-2}\bigg{)}\leq\vspace{2.5mm}\mathscr{S}(P_{n})\,.

Se $\,m\,$ è dispari e $\,\nu=n-1\,,\,$ allora deve essere necessariamente $\,q_{i}=p_{i+1}\,,\,$ per $\,i=1,\dots,n-1\,$ e $\ \mathscr{S}(m)=\mathscr{S}(P_{n})\,.$ $\vartriangle$

**Bibliografia

[Dm] M. Deaconescu, Adding units mod n,

Elem. Math., 55(2000), 123-127.

[HL] G. H. Hardy - J. E. Littlewood,  Some problems

of ‘partitio numerorum’ III: on the expression of a number

as a sum of primes, Acta Math., 44(1922), 1-70.

[S] J. J. Sylvester, On the partition of an even number into

two primes, Proc. London Math. Soc. Ser. I, 4(1871), 4-6.

[Sj] J. W. Sander, On the addition of units and nonunits mod m,

Journal of Number Theory, 129(2009), 2260-2266.

[Smd] D. Saeli - M. Spano, La cometa di Goldbach e … le altre,

Lecture Notes of Seminario interdisciplinare di Matematica,

Vol. 10(2011), 45-57.

**