Solution de l'Hypoth\`ese de Riemann

TL;DR

This paper claims to provide a proof of the Riemann Hypothesis by demonstrating that all nontrivial zeros of the zeta function have real part 1/2, addressing a long-standing mathematical conjecture.

Contribution

The paper presents a proof of the Riemann Hypothesis based on an equivalent formulation of the conjecture, claiming to resolve a major open problem in mathematics.

Findings

Proof that all nontrivial zeros have real part 1/2

Validation of the Riemann Hypothesis

Advancement in understanding the zeta function zeros

Abstract

In 1859, Riemann had announced the following conjecture : the nontrivial roots (zeros) $s=\alpha+i\beta$ of the zeta function, defined by: $$\zeta(s) =\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s},\,\mbox{for}\quad \Re(s)>1$$ have real part $\alpha= \displaystyle \frac{1}{2}$. We give a proof that $\alpha= \displaystyle \frac{1}{2}$ using an equivalent statement of Riemann Hypothesis.

Equations

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^s},\text{mbox}pour\Re (s)>1$$

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^s},\text{mbox}for\Re (s)>1$$

$${\zeta }_1(s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^s},\text{mbox}pour\Re (s)=\sigma >1$$

$$s=\frac{1}{2}+it$$

$${\zeta }_1(s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^s},\text{mbox}avec\Re (s)=\sigma >1$$

$$\zeta (1-s)=2^{1-s}{\pi }^{-s}cos\frac{s\pi }{2}\Gamma (s)\zeta (s)$$

$$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-t}{t}^{s-1}dt,$$

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=(1-2^{1-s})\zeta (s)$$

$$(1-2^{1-s})\zeta (s)=\left[A(1-2^{1-\sigma }cos\theta )-2^{1-\sigma }Bsin\theta \right]+i\left[B(1-2^{1-\sigma }cos\theta )+2^{1-\sigma }Asin\theta \right]$$

$$A(1-2^{1-\sigma }cos\theta )-2^{1-\sigma }Bsin\theta =0$$

$$B(1-2^{1-\sigma }cos\theta )+2^{1-\sigma }Asin\theta =0$$

$$\frac{A(1-2^{1-\sigma }cos\theta )}{2^{1-\sigma }sin\theta }(1-2^{1-\sigma }cos\theta )+2^{1-\sigma }Asin\theta =0⟹A=0$$

$$\framebox{$s\,\mbox{{est un z\'{e}ro de}}\,\eta(s)\,\,\mbox{{dans la bande critique est aussi un z\'{e}ro de}}\,\zeta(s)$}$$

$$\framebox{$s\,\mbox{{est un z\'{e}ro de}}\,\zeta(s)\,\,\mbox{{dans la bande critique est aussi un z\'{e}ro de}}\,\eta(s)$}$$

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n-1}{e}^{-sLogn}=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n-1}{e}^{-(\sigma +it)Logn}=$$

$$=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n-1}{e}^{-\sigma Logn}.e^{-itLogn}$$

$$=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n-1}{e}^{-\sigma Logn}(cos(tLogn)-isin(tLogn))$$

$${\eta }_n(s)=\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k^s}=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{cos(tLogk)}{k^{\sigma }}-i\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{sin(tLogk)}{k^{\sigma }}$$

$$li{m}_{n⟶+\infty }\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{cos(tLogk)}{k^{\sigma }}=0$$

$$li{m}_{n⟶+\infty }\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}\frac{sin(tLogk)}{k^{\sigma }}=0$$

$$\forall {ϵ}_1>0\exists n_r,\forall N>n_r|\Re (\eta (s{)}_N)|<{ϵ}_1$$

$$\forall {ϵ}_2>0\exists n_i,\forall N>n_i|\Im (\eta (s{)}_N)|<{ϵ}_2$$

$$0<\sum _{k=1}^N\frac{co{s}^2(tLogk)}{k^{2\sigma }}+2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N\frac{(-1{)}^{k+k^{\prime }}cos(tLogk).cos(tLog{k}^{\prime })}{k^{\sigma }{k}^{\prime \sigma }}<{ϵ}^2$$

$$0<\sum _{k=1}^N\frac{si{n}^2(tLogk)}{k^{2\sigma }}+2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N\frac{(-1{)}^{k+k^{\prime }}sin(tLogk).sin(tLog{k}^{\prime })}{k^{\sigma }{k}^{\prime \sigma }}<{ϵ}^2$$

$$0<\sum _{k=1}^N\frac{1}{k^{2\sigma }}+2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(tLog(k/k^{\prime }))}{k^{\sigma }{k}^{\prime \sigma }}<2{ϵ}^2$$

$$0<\sum _{k=1}^N\frac{1}{k}+2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(t_{j}Log(k/k^{\prime }))}{\sqrt{k}\sqrt{k^{\prime }}}<2{ϵ}^2$$

$$\sum _{k=1}^N\frac{1}{k}<2{ϵ}^2-2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(t_{j}Log(k/k^{\prime }))}{\sqrt{k}\sqrt{k^{\prime }}}$$

$$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k}\le 2{ϵ}^2-2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^{+\infty }(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(t_{j}Log(k/k^{\prime }))}{\sqrt{k}\sqrt{k^{\prime }}}$$

$$li{m}_{N⟶+\infty }\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(t_{j}Log(k/k^{\prime }))}{\sqrt{k}\sqrt{k^{\prime }}}=-\infty$$

$$li{m}_{N⟶+\infty }\sum _{k=1}^N(-1{)}^{k-1}\frac{1}{k^{s_j}}=0$$

$$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k}\le 2{ϵ}^2-2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^{+\infty }(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(tLog(k/k^{\prime }))}{\sqrt{k}\sqrt{k^{\prime }}}$$

$$0<\sum _{k=1}^N\frac{1}{k^{2\sigma }}+2\sum _{k,k^{\prime }=1;k<k^{\prime }}^N(-1{)}^{k+k^{\prime }}\frac{cos(tLog(k/k^{\prime }))}{k^{\sigma }{k}^{\prime \sigma }}<2{ϵ}^2$$

Full text

[TABLE]

ont comme parties réelles $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$.

On donne une démonstration que $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$ en utilisant une proposition équivalente de l’Hypothèse de Riemann.

{altabstract}

In 1859, Georg Friedrich Bernhard Riemann had announced the following conjecture [1], called Riemann Hypothesis : The nontrivial roots (zeros) $s=\sigma+it$ of the zeta function, defined by:

[TABLE]

have real part $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$.

We give a proof that $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$ using an equivalent statement of Riemann Hypothesis.

1. 1 Introduction

2. 1.1 La fonction $\zeta$

3. 1.2 Une Proposition équivalente à l’Hypothèse de Riemann

4. 2 Démonstration que les zéros de la $\eta(s)$ sont sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$

5. 2.1 Cas $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}\Longrightarrow 2\sigma=1$

6. 2.2 Cas $\displaystyle 0<\sigma<\frac{1}{2}$

7. 2.2.1 Cas où il n’existe pas de zéros de $\eta(s)$ avec $s=\sigma+it$ et $\displaystyle 0<\sigma<\frac{1}{2}$

8. 2.2.2 Cas où il existe des zéros de $\eta(s)$ avec $s=\sigma+it$ et $0<\sigma<\displaystyle\frac{1}{2}$

9. 2.3 Cas $\displaystyle\frac{1}{2}<\Re(s)<1$

10. 3 Conclusion

1. Introduction

En 1859, G.F.B. Riemann avait annoncé la conjecture suivante [1]:

Conjecture 1.1**.**

Soit $\zeta(s)$ la fonction complexe de la variable complexe $s=\sigma+it$ définie par le prolongement analytique de la fonction:

[TABLE]

sur tout le plan complexe sauf au point $s=1$. Alors les zéros non triviaux de $\zeta(s)=0$ sont de la forme:

[TABLE]

Dans cette communication, nous donnons une démonstration que $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$. Notre idée est de partir d’une proposition équivalente de l’Hypothèse de Riemann et en utilisant la définition de la limite des suites réelles.

1.1. La fonction $\zeta$

Notons par $s=\sigma+it$ la variable complexe de ${\mathbb{C}}$. Pour $\Re(s)=\sigma>1$, appelons $\zeta_{1}$ la fonction définie par :

[TABLE]

Nous savons qu’avec la définition précédente, la fonction $\zeta_{1}$ est une fonction analytique de $s$. Notons par $\zeta(s)$ la fonction obtenue par prolongement analytique de $\zeta_{1}(s)$, alors nous rappelons le théorème suivant [2]:

Théorème 1.2**.**

Les zéros de $\zeta(s)$ satisfont :

1. $\zeta(s)$ n’a pas de zéros pour $\Re(s)>1$;

2. le seul pôle de $\zeta(s)$ est au point $s=1$; son résidu vaut 1 et il est simple;

3. les zéros triviaux de $\zeta(s)$ sont déterminés pour les valeurs $s=-2,-4,\ldots$;

4. les zéros non triviaux se situent dans la région $0\leq\Re(s)\leq 1$ dite bande critique et ils sont symétriques respectivement par rapport à l’axe vertical $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$ et l’axe des réels $\Im(s)=0$.

Par suite, la conjecture relative à l’Hypothèse de Riemann est exprimée comme suit:

Conjecture 1.3**.**

(Hypothèse de Riemann,[2]) Tous les zéros non triviaux de $\zeta(s)$ sont sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$.

En plus des propriétes citées par le théorème cité ci-dessus, la fonction $\zeta(s)$ vérifie la relation fonctionnelle [2] pour $s\neq 1$:

[TABLE]

où $\Gamma(s)$ est la fonction définie sur le demi-plan $\Re(s)>0$ par:

[TABLE]

Alors, au lieu d’utiliser la fonctionnelle donnée par (1.1), nous allons utiliser celle présentée par G.H. Hardy [3] à savoir la fonction eta de Dirichlet [2]:

[TABLE]

Elle est convergente pour tout $s\in{\mathbb{C}}$ avec $\Re(s)>0$.

1.2. Une Proposition équivalente à l’Hypothèse de Riemann

Parmi les propositions équivalentes à l’Hypothèse de Riemann celle de la fonction eta de Dirichlet qui s’énnonce comme suit [2]:

Equivalence 1.4**.**

L’Hypothèse de Riemann est équivalente à l’énnoncé que tous les zéros de la fonction eta de Dirichlet:

[TABLE]

qui se situent dans la bande critique $0<\Re(s)<1$, sont sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$.

2. Démonstration que les zéros de la $\eta(s)$ sont sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$

Notons par $s=\sigma+it$ avec $0<\sigma<1$. Considérons maintenant un zéro de $\eta(s)$ qui se trouve dans la bande critique et appelons $s=\sigma+it$ ce zéro, nous avons donc $0<\sigma<1$ et $\eta(s)=0\Longrightarrow(1-2^{1-s})\zeta(s)=0$. Notons $\zeta(s)=A+iB$, et $\theta=tLog2$, alors:

[TABLE]

$(1-2^{1-s})\zeta(s)=0$ donne le système:

[TABLE]

Comme les fonctions sin et cos ne s’annulent pas simultanément, supposons par exemple que $sin\theta\neq 0$, la première équation du système donne $B=\displaystyle\frac{A(1-2^{1-\sigma}cos\theta)}{2^{1-\sigma}sin\theta}$, la deuxième équation s’écrit:

[TABLE]

Par suite, $B=0\Longrightarrow\zeta(s)=0$, il s’ensuit que:

[TABLE]

Reciproquement, si $s$ est un zéro de $\zeta(s)$ dans la bande critique, soit $\zeta(s)=A+iB=0\Longrightarrow\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)=0$, donc $s$ est aussi un zéro de $\eta(s)$ dans la bande critique. Nous pouvons écrire:

[TABLE]

Ecrivons la fonction $\eta$:

[TABLE]

Définissons la suite de fonctions $((\eta_{n})_{n\in{\mathbb{N}}^{*}}(s))$, par:

[TABLE]

avec $s=\sigma+it$ et $t\neq 0$.

Soit $s$ un zéro de $\eta$ dans la bande critique, soit $\eta(s)=0$, avec $0<\sigma<1$. Par suite, on peut écrire $lim_{n\longrightarrow+\infty}\eta_{n}(s)=0=\eta(s)$. Ce qui donne:

[TABLE]

Utilisons la définition de la limite d’une suite, on peut écrire:

[TABLE]

En prenant $\epsilon=\epsilon_{1}=\epsilon_{2}$ et $N>max(n_{r},n_{i})$, on obtient:

[TABLE]

En faisant la somme des deux dernières inégalités, on obtient:

[TABLE]

2.1. Cas $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}\Longrightarrow 2\sigma=1$

On suppose que $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}\Longrightarrow 2\sigma=1$. Commençons par rappeler le théorème de Hardy (1914) [2],[3]:

Théorème 2.1**.**

Il y’a une infinité de zéros de $\zeta(s)$ sur la droite critique.

Des propositions (2.2-2.3), nous déduisons la proposition suivante:

Proposition 2.2**.**

Il y’a une infinité de zéros de* $\eta(s)$ sur la droite critique.*

Soit $s_{j}=\frac{1}{2}+it_{j}$ un des zéros de la fonction $\eta(s)$ sur la droite critique, soit $\eta(s_{j})=0$. L’équation (2.4) s’écrit pour $s_{j}$:

[TABLE]

ou encore:

[TABLE]

Si on fait tendre $N$ vers $+\infty$, la série $\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}$ est divergente et devient infinie. Soit:

[TABLE]

Par suite, nous obtenons le résultat important suivant:

[TABLE]

sinon, nous aurons une contradiction avec le fait que :

[TABLE]

Comme $t_{j}\neq 0$, et qu’il y’a une infinité de zéros sur la droite critique, alors le résultat de la formule donnée par (2.5) est indépendant de $t_{j}$. Revenons maintenant à $s=\sigma+it$ un zéro de $\eta(s)$ dans la bande critique, soit $\eta(s)=0$. Prenons $\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$. En partant de la définition de la limite des suites appliquée ci-dessus, nous obtenons:

[TABLE]

avec sans aucune contradiction. De la proposition (2.2) il s’ensuit que $\zeta(s)=\zeta(\frac{1}{2}+it)=0$. Il existe donc des zéros de $\zeta(s)$ sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$.

2.2. Cas $\displaystyle 0<\sigma<\frac{1}{2}$

2.2.1. Cas où il n’existe pas de zéros de $\eta(s)$ avec $s=\sigma+it$ et $\displaystyle 0<\sigma<\frac{1}{2}$

En utilisant, pour ce cas, le point 4 du théorème (1.2), nous déduisons que la fonction $\eta(s)$ n’a pas de zéros avec $s=\sigma+it$ et $\displaystyle\frac{1}{2}<\sigma<1$. Par suite, d’après la proposition (2.2), il s’ensuit que la fonction $\zeta(s)$ a ses zéros seulement sur la droite critique $\Re(s)=\sigma=\displaystyle\frac{1}{2}$ et l’Hypothèse de Riemann est vraie.

2.2.2. Cas où il existe des zéros de $\eta(s)$ avec $s=\sigma+it$ et $0<\sigma<\displaystyle\frac{1}{2}$

Supposons qu’il existe $s=\sigma+it$ un zéro de $\eta(s)$ soit $\eta(s)=0$ avec $0<\sigma<\frac{1}{2}\Longrightarrow s\in$ à la bande critique. Nous écrivons l’équation (2.4),:

[TABLE]

ou:

[TABLE]

Or $2\sigma<1$, il s’ensuit que $lim_{N\longrightarrow+\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^{2\sigma}}$ tende vers $+\infty$ et nous obtenons:

[TABLE]

2.3. Cas $\displaystyle\frac{1}{2}<\Re(s)<1$

Soit $s=\sigma+it$ le zéro de $\eta(s)$ dans $0<\Re(s)<\displaystyle\frac{1}{2}$, objet du paragraphe précédent. Suivant le point 4 du théorème 1.2, le nombre complexe $s^{\prime}=1-\sigma+it$ est aussi un zéro de la fonction $\eta(s)$ dans la bande $\displaystyle\frac{1}{2}<\Re(s)<1$. En appliquant (2.4), nous avons:

[TABLE]

Or $2\sigma^{\prime}=2(1-\sigma)>1\Longrightarrow\sigma<\displaystyle\frac{1}{2}$, la série $\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\frac{1}{k^{2\sigma^{\prime}}}$ est convergente vers une constante $C(\sigma^{\prime})$. De l’équation (2.6), nous déduisons que :

[TABLE]

Maintenant fixons $t=\Im(s^{\prime})$ et considérons la fonction $F_{N}(u)$ définie par:

[TABLE]

La fonction $F_{N}(u)$ est continue pour $\forall N\in{\mathbb{N}}^{*}$ et $u\in]0,1[$, et nous avons obtenu précédement que pour $N\longrightarrow+\infty$ :

[TABLE]

Ecrivons que $F_{N}(u)$ est continue au point $u=1/2$, on peut écrire:

[TABLE]

Soit $u=\sigma^{\prime}\in]0,1[$ avec $\sigma^{\prime}>\frac{1}{2}$ vérifiant $\sigma^{\prime}-\frac{1}{2}<\delta$, on a alors l’équation:

[TABLE]

Comme pour $t,u$ fixés, la fonction $F_{N}$ est définie pour tout entier $N>0$, faisons alors tendre $N$ vers $+\infty$, nous obtenons:

[TABLE]

D’où la contradiction avec $C(\sigma^{\prime})$ bornée. Par suite, l’hypothèse qu’il existe des zéros de $\eta(s)$ dans l’intervalle $\displaystyle\frac{1}{2}<\Re(s)<1$ étudiée dans [2.3] est fausse. Il s’ensuit que la fonction $\eta(s)$ ne s’annule pas dans les intervalles $\displaystyle 0<\Re(s)<\frac{1}{2}$ et $\displaystyle\frac{1}{2}<\Re(s)<1$ et par suite la fonction $\eta(s)$ a ses zéros non triviaux sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$ de la bande critique.

3. Conclusion

En résumé: pour nos démonstrations, nous avons fait usage de la fonction $\eta(s)$ de Dirichlet:

[TABLE]

dans la bande critique $0<\Re(s)<1$, en obtenant:

• $\eta(s)$ s’annule pour $0<\sigma=\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$;

• $\eta(s)$ ne s’annule pas pour $0<\sigma=\Re(s)<\displaystyle\frac{1}{2}$ et $\displaystyle\frac{1}{2}<\sigma=\Re(s)<1$.

Par suite, tous les zéros non triviaux de $\eta(s)$ dans la bande critique $0<\Re(s)<1$ s’annulent sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$. En appliquant la proposition équivalente à l’Hypothèse de Riemann 1.4, les zéros non triviaux de la fonction $\zeta(s)$ se trouvent sur la droite critique $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$. La démonstration de l’Hypothèse de Riemann est ainsi achevée. Nous annonçons donc le théorème important :

Théorème 3.1**.**

(Abdelmajid Ben Hadj Salem, 2017):

Tous les zéros non triviaux de la fonction $\zeta(s)$ avec $s=\sigma+it$ se situent sur l’axe vertical $\Re(s)=\displaystyle\frac{1}{2}$.

Références

• [1] Enrico Bombieri. The Riemann Hypothesis, pp 107-124. The Millennium Prize Problems. J. Carlson, A. Jaffe, and A. Wiles Editors. 160 pages. Published by The American Mathematical Society, Providence, RI, for The Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA. 2006.
• [2] Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney and Andrea Weirathmueller. The Riemann Hypothesis - A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike. First Edition. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag New York. 533 pages. 2008.
• [3] E.C. Titchmarsh, D.R. Heath-Brown. The Theory of the Riemann Zeta-Function. Second Edition revised by D.R. Heath-Brown. Oxford University Press, New York. 418 pages. 1986.