Inequalities of Jackson-Stechkin type for elements of Hilbert space (in Russian)

TL;DR

This paper introduces a new generalized modulus of continuity for Hilbert space elements and derives exact Jackson-Stechkin type inequalities, unifying and extending classical approximation results for various function classes.

Contribution

It proposes a novel generalized modulus of continuity and establishes new exact inequalities of Jackson-Stechkin type for Hilbert space elements, encompassing many classical approximation inequalities.

Findings

New generalized modulus of continuity for Hilbert space elements

Exact Jackson-Stechkin type inequalities derived using the new modulus

Results include and extend classical approximation inequalities

Abstract

In this paper we introduced a new characteristics of the elements of a Hilbert space - generalized moduli of continuity $\omega_\varphi(x;L_{p,V}([0,\delta]))$ and obtain new exact inequalities of Jackson - Stechkin type with these moduli of continuity for the approximation of elements of a Hilbert space. These results include many well-known inequalities for approximation of periodic functions by trigonometric polynomials, approximation of non-periodic functions by entire functions of exponential type, similar results for almost periodic functions, and others. A number of results is new even in these classic situations.

Equations

$$E{\left(f,W\right)}_X=\underset{h\in W}{\inf }{\Vert f-h\Vert }_X.$$

$${\omega }_m{\left(f,\delta \right)}_{X(G)}=\underset{0\le t\le \delta }{\sup }{\Vert {\Delta }_t^{m}f\Vert }_{X(G)}=\underset{0\le t\le \delta }{\sup }{\Vert \sum _{k=0}^m(-1{)}^{m-k}{C}_m^{k}f(\cdot +kt)\Vert }_{X(G)}.$$

$$E_n{\left(f\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)}\le \frac{1}{\sqrt{2}}{\omega }_1{\left(f,\frac{\pi }{n}\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)},E_n{\left(f\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)}\le \frac{1}{\sqrt{C_{2m}^m}}{\omega }_m{\left(f,\frac{2\pi }{n}\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)},m\ge 2.$$

$$E_n(f)\le K{\left\{\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}{\omega }_m^2(f,t)v(t)dt\right\}}^{1/2}$$

$$E_n{\left(f\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)}\le \chi {\omega }_m{\left(f,\frac{\pi }{n}\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)},m\ge 2?$$

$$E_n{\left(f\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)}\le \frac{1}{\sqrt{C_{2m}^m}}{\omega }_m{\left(f,\frac{\delta }{n}\right)}_{L_2\left(\mathbb{T}\right)},m\ge 2?$$

$$|(Tx,f)|\le \Vert Sx\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert .$$

$${\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }(H)\subset S(T(H)),$$

$$\tilde{x}=(S{|}_{T(H)}{)}^{-1}{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f.$$

$$|(Tx,f)|=|((S_{T(H)}{)}^{-1}S{|}_{T(H)}Tx,f)|=|((S_{T(H)}{)}^{-1}STx,f)|=$$

$$=|((S_{T(H)}{)}^{-1}TSx,f)|=\left|\left(Sx,{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\right)\right|\le \Vert Sx\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert .$$

$$S\tilde{x}=S(S{|}_{T(H)}{)}^{-1}{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f=S{|}_{T(H)}(S{|}_{T(H)}{)}^{-1}{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f={\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f.$$

$$(T\tilde{x},f)=\left(S\tilde{x},{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\right)=\left({\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f,{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\right)=$$

$$={\Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert }^2=\Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert =$$

$$=\Vert S\tilde{x}\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert .$$

$$\Vert Tx\Vert \le \Vert Sx\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\Vert .$$

$$\Vert Tx\Vert =\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{f\in H}{\Vert f\Vert \le 1}}{\sup }|(Tx,f)|\le \Vert Sx\Vert \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{f\in H}{\Vert f\Vert \le 1}}{\sup }\Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }f\Vert =\Vert Sx\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\Vert .$$

$$\Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\tilde{f}\Vert =\Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\Vert .$$

$$\tilde{x}=(S{|}_{T(H)}{)}^{-1}{\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\tilde{f}.$$

$$\Vert T\tilde{x}\Vert \ge |(T\tilde{x},\tilde{f})|=\Vert S\tilde{x}\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\tilde{f}\Vert =\Vert S\tilde{x}\Vert \cdot \Vert {\left((S{|}_{T(H)}{)}^{-1}T\right)}^{\ast }\Vert .$$

$$E\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }{\beta }_j\right)=\sum _{j=1}^{\infty }E({\beta }_j).$$

$$U_{t}x=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{e}^{ist}dE(s)x,(t\in \mathbb{R}),Ax=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}tdE(t)x.$$

$$F(A)x=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}F(t)dE(t)x.$$

$$D(F(A)):=\left\{x\in H:\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}|F(t){|}^{2}d(E(t)x,x)<\infty \right\}\text{mbox}\text{T}2A\text{cyri}\Vert F(A){\Vert }^2=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}|F(t){|}^{2}d(E(t)x,x).$$

$$F(A{)}^{\ast }x=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\overline{F(t)}dE(t)x\text{mbox}\text{T}2A\text{cyri}F(A{)}^{-1}x=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{F(t)}dE(t)x.$$

$${\omega }_{\psi }{\left(f,\delta \right)}_{L_2(\mathbb{T})}=\underset{t\in [0,\delta ]}{\max }{\left(\sum _{s\in \mathbb{Z}}\psi (st)|\widehat{f_s}{|}^2\right)}^{\frac{1}{2}},\delta \ge 0.$$

$${\Delta }_t^{\phi }x=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\phi \left(e^{its}\right)dE(s)x.$$

$${\Vert {\Delta }_t^{\phi }x\Vert }^2=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\phi \left(e^{its}\right)\right|}^{2}d\left(E(s)x,x\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\psi \left(st\right)d\left(E(s)x,x\right).$$

$${\omega }_{\phi }\left(x,\delta \right)=\underset{0\le t\le \delta }{\max }\Vert {\Delta }_t^{\phi }x\Vert ={\Vert \Vert {\Delta }_t^{\phi }x\Vert \Vert }_{C([0,\delta ])}={\Vert \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\psi \left(st\right)d\left(E(s)x,x\right)\Vert }_{C([0,\delta ])}^{1/2}.$$

$${\omega }_{\phi }(x;L_{p,V}([0,\delta ]))={\left(\frac{1}{\delta }\underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\Vert {\Delta }_t^{\phi }x{\Vert }^{p}V\left(\frac{t}{\delta }\right)dt\right)}^{1/p}.$$

Full text

In this paper we introduced a new characteristics of the elements of a Hilbert space - generalized moduli of continuity $\omega_{\varphi}(x;L_{p,V}([0,\delta]))$ and obtain new exact inequalities of Jackson - Stechkin type with these moduli of continuity for the approximation of elements of a Hilbert space. These results include many well-known inequalities for approximation of periodic functions by trigonometric polynomials, approximation of non-periodic functions by entire functions of exponential type, similar results for almost periodic functions, and others. A number of results is new even in these classic situations.

В роботе введены новые характеристики элементов гильбертова пространства – обобщенные модули непрерывности $\omega_{\varphi}(x;L_{p,V}([0,\delta]))$ и получены новые точные неравенства типа Джексона – Стечкина с этими модулями непрерывности для аппроксимации элементов гильбертова пространства. Эти результаты включают в себя много известных неравенств для аппроксимации периодических функций тригонометрическими полиномами, аппроксимации непериодических функций целыми функциями експоненциального типа, аналогичные результаты для почти периодических функций и другие. Ряд результатов являются новыми уже в этих классических ситуациях.

УДК 517.5

Неравенства типа Джексона – Стечкина для аппроксимации элементов гильбертова пространства

В.Ф. Бабенко, С.В. Конарева

Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск

1. Введение. Пусть $X$ – нормированное пространство над полем комплексных чисел. Наилучшим приближением элемента $x\in X$ подпространством $W\subset X$ называется величина

[TABLE]

Если $G$ есть действительная ось $\mathbb{R}$ или единичная окружность $\mathbb{T}$, реализованная как отрезок $\left[0,2\pi\right]$ с отождествлёнными концами, то через $X(G)$ будем обозначать нормированное пространство комплекснозначных функций, заданных на $G$. В частности, мы будем иметь дело с пространствами $L_{p}(G)$ и $C(G)$. Наилучшее приближение функции $f\in X(\mathbb{T})$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1$ будем обозначать через $E_{n}(f)_{X(\mathbb{T})}$.

Модуль непрерывности порядка $m\in\mathbb{N}$ функции $f\in X(G)$ определяется так:

[TABLE]

Неравенства, оценивающие величины $E\left(f,W\right)_{X(G)}$ через значение модуля непрерывности $\omega_{m}\left(f,\delta\right)_{X(G)}$ в некоторой точке $\delta$, называются неравенcтвами типа Джексона (Джексона – Стечкина при $m\geq 2$). Первое точное неравенство типа Джексона для наилучших равномерных приближений функций из $C(\mathbb{T})$ тригонометрическими полиномами было получено Н.П. Корнейчуком [1] в 1962 году. Аналогичный результат для наилучших равномерных приближений функций $f\in C(\mathbb{R})$ целыми функциями экспоненциального типа $\sigma$ был получен В.К. Дзядыком [2].

В 1967г. Н.И. Черных [3, 4] доказал следующие два неулучшаемых неравенства для функций $f\in L_{2}\left(\mathbb{T}\right)$:

[TABLE]

Аналогичные результаты для наилучших $L_{2}\left(\mathbb{R}\right)$-приближений функций $f\in L_{2}\left(\mathbb{R}\right)$ целыми функциями экспоненциального типа $\sigma$ были получены в [5, 6], а для наилучших приближений $B^{2}$-почти периодических функций в [7, 8].

Для получения неравенств (1) в [3, 4] были установлены точные неравенства вида

[TABLE]

c $\delta=\pi/n$ и $v(t)=\sin nt$ для $m=1$ и с $\delta=2\pi/n$ и $v(t)=\sin nt+2\sin(nt/2)$ для $m\geq 2$.

Л. В. Тайков [9, 10] начал систематическое исследование задачи о точных неравенствах вида (2). В дальнейшем работы многих математиков были посвящены получению точных неравенств такого типа. Информацию о полученных в этом направлении результатах и дальнейшие ссылки см. в работах [11, 12].

В связи сo вторым из неравенств (1) изучались, в частности, следующие вопросы.

1. Чему равна точная константа в неравенстве

[TABLE]

2. Каково минимальное $\delta>0$ такое, что для произвольной функции $f\in L_{2}\left(\mathbb{T}\right)$

[TABLE]

В [13, 14] показано, что для точной константы $\chi$ в неравенстве (3) справедлива оценка $\chi\leq\frac{\sqrt{m+1}}{2^{m}}.$ В [13] также показано, что для минимальной точки $\delta$ в неравенстве (4) справедлива оценка $\delta\leq{1.4\pi}.$

Неравенства типа Джексона-Стечкина с обобщенными модулями непрерывности, введенными в работах Шапиро и Бомана [15, 16, 17] (совокупность таких модулей непрерывности включает в себя, помимо классических, модули непрерывности, порожденные более общими, по сравнению с $\Delta_{t}^{m}f$ конечно разностными операторами, разностными операторами дробных порядков и многие другие), изучались, например, в работах  [18, 13, 19, 20].

В ряде работ (см., например, [21, 22]) задача о точных неравенствах типа Джексона-Стечкина изучалась в абстрактных гильбертовых пространствах. Целью данной статьи является дальнейшее изучение этой задачи.

В §2 мы приводим два неравенства для операторов в гильбертовом пространстве. Некоторые необходимые факты из спектральной теории приведены в §3. В §4 вводятся обобщенные модули непрерывности элементов гильбертова пространства. Точные оценки величин $|(x-\Lambda x,f)|$ в терминах введенных характеристик получены в §5 (при этом используются неравенства из §2), а неравенства типа Джексона – Стечкина в гильбертовом пространстве – в §6. Некоторые конкретизации результатов §6 обсуждаются в §7.

2. Одно неравенство для операторов в гильбертовом пространстве. Пусть $H$ - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением $(\cdot,\cdot)$ и нормой $\|\cdot\|=\sqrt{(\cdot,\cdot)}$. Пусть $S,T:H\to H$ – линейные ограниченные операторы, такие, что $ST=TS$. Будем предполагать, что оператор $S|_{T(H)}\;:\;T(H)\to S(T(H))$ имеет обратный $(S|_{T(H)})^{-1}$. Через $T^{*}$ и $S^{*}$ будем, как обычно, обозначать сопряженные операторы.

[TABLE]

Если

[TABLE]

то неравенство (5) является точным и обращается в равенство для

[TABLE]

$\Box$ Имеем

[TABLE]

[TABLE]

Неравенство (5) доказано.

Для элемента $\tilde{x}$ имеем

[TABLE]

Следовательно,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Теорема доказана. $\Box$

[TABLE]

Если выполнено условие (6), то неравенство (8) является точным.

$\Box$ Из неравенства (5) получаем

[TABLE]

Докажем точность полученного неравенства. Пусть элемент $\tilde{f}\in H$, $\|\tilde{f}\|=1$, таков, что

[TABLE]

Положим

[TABLE]

Тогда будем иметь (см. доказательство точности неравенства (5))

[TABLE]

Следствие доказано. $\Box$

3. Необходимые сведения из спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве. Пусть задано гильбертово пространство $H$. Говорят (см. [23, гл. ХIII, §1]) что на $\sigma$-алгебре ${\cal B}$ борелевских подмножеств числовой прямой задано разложение единицы $E$, если каждому $\beta\in{\cal B}$ поставлен в соответствие проектирующий оператор $E(\beta)$ в $H$ причем выполняются следующие условия:

$E(\emptyset)=0,\;\;E(\mathbb{R})=I$; 2. 2.

Для любой последовательности $\{\beta_{j}\}_{j=1}^{\infty}\subset{\cal B}$, состоящей из попарно непересекающихся множеств,

[TABLE]

Заданное разложение единицы порождает  [23, гл. ХIII, §§6, 7] группу унитарных операторов $U_{t}$ и самосопряженный оператор $A$:

[TABLE]

Измеримая и почти везде конечная функция $F:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ определяет функцию $F(A)$ от самосопряженного оператора $A$:

[TABLE]

При этом

[TABLE]

Для сопряженного оператора $F(A)^{*}$ и для оператора, обратного к $F(A)$ (если он определен) имеем

[TABLE]

4. Обобщенные модули непрерывности элементов гильбертова пространства. Обозначим через $\Phi$ множество непрерывных неотрицательных $2\pi$ - периодических функций $\psi$, имеющих нигде не плотное множество нулей и таких, что $\psi(0)=0$. Пусть $\widehat{f_{s}}$ - коэффициенты Фурье функции $f$, $\psi(\cdot)\in\Phi$. В работах  [15, 16, 17] было предложено обобщенным модулем непрерывности функции $f\in L_{2}\left(\mathbb{T}\right)$ называть функцию

[TABLE]

Пусть $\varphi:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ – непрерывная функция, такая, что $\psi(t)=|\varphi(e^{it})|^{2}\in\Phi$. В частности, $\varphi(1)=0$ и на любой дуге окружности $|z|=1$ функция $\varphi(z)$ отлична от тождественного нуля. Определим обoбщенную разность элемента $x\in H$ с шагом $t$ полагая

[TABLE]

Ясно, что

[TABLE]

Отметим, что $\left\|\Delta_{t}^{\varphi}x\right\|$ непрерывно зависит от $t$ и $\left\|\Delta_{t}^{\varphi}x\right\|\to 0,\;t\to 0$.

Обобщенным модулем непрерывности элемента $x$ гильбертова пространства $H$ назовем

[TABLE]

Кроме $\omega_{\varphi}\left(x,\delta\right)=\omega_{\varphi}\left(x,C([0,\delta])\right)$, будем рассматривать характеристики $\omega_{\varphi}(x;L_{p,V}([0,\delta]))$, в которых $1\leq p<\infty$, $V(t)$ есть вес, то есть неотрицательная интегрируемая на $[0,1]$ функция, отличная от нуля на множестве полной меры. Положим

[TABLE]

Ясно, что

[TABLE]

где

[TABLE]

Функция $\Gamma(V;t)$ непрерывно зависит от $t$ и обращается в нуль только в точке нуль. Отметим, что при любом $\delta>0$ будет $\omega_{\varphi}(x;L_{p,V}([0,\delta]))\to\omega_{\varphi}(x;C([0,\delta]))$, если $p\to\infty$.

Ниже нам будет удобно предполагать, что $\|V(\cdot)\|_{1}:=\|V(\cdot)\|_{L_{1}([0,1])}=1$. Тогда, в силу неравенства Гельдера, для $2\leq p\leq\infty$ при всех $\delta>0$

[TABLE]

5. Оценки величин $|(x-\Lambda x,f)|$. Будем рассматривать задачи аппроксимации элементов гильбертова пространства подпространствами вида

[TABLE]

Для аппроксимации будем использовать линейные методы приближения вида

[TABLE]

где $\lambda(t)$ - непрерывная в $(-\sigma,\sigma)$, ограниченная, комплекснозначная функция, тождественно равная единице в некотором интервале $(-\epsilon,\epsilon),\;0<\epsilon<\sigma$. Тогда

[TABLE]

где $\theta(t)=1-\lambda(t)$, если $|t|<\sigma$, и $\theta(t)=1$, если $|t|\geq\sigma$.

Для любого элемента $x\in H$ такого, что $x\neq U_{t}x$ при некотором $t$, рассмотрим значение функционала $f\in H^{*}=H$ на разности $x-\Lambda x$. Получим неравенства, связывающие $|(x-\Lambda x,f)|$ и $\omega_{\varphi}(x;L_{2,V}([0,\delta])).$ В теореме 1 положим $S=\Gamma(V,\delta\cdot)^{1/2}(A)$, $T=I-\Lambda$. $T$ и $S$ – ограниченные операторы. При этом, в силу того, что $\theta(t)\equiv 0$ для $t\in(-\epsilon,\epsilon)$, а непрерывная функция $\Gamma(V,\delta t)$ обращается в нуль только в точке нуль, оператор $\left(S_{T(H)}\right)^{-1}$ существует,

[TABLE]

(как обычно, считаем, что $0/0=0$) и для любых $x,f\in H$

[TABLE]

Используя неравенство (5), получим

[TABLE]

Как следует из теоремы 1 это неравенство обращается в равенство для элемента

[TABLE]

Итак, нами доказана

[TABLE]

6. Неравенства типа Джексона – Стечкина. Из неравенства (8) с учетом (11) выводим

[TABLE]

Положим

[TABLE]

Будем иметь

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Покажем, что если разложение единицы таково, что $E([t,t+\varepsilon])\neq 0$ для произвольных $t\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$, то

[TABLE]

Рассмотрим случай, когда $\max\left\{\frac{|1-\lambda(t)|^{2}}{{\cal H}(V;\delta;\sigma)},\frac{1}{{\cal G}(V;\delta;\sigma)}\right\}=\frac{1}{{\cal G}(V;\delta;\sigma)}.$ Зададим произвольное $\varepsilon>0$. Пусть $t_{\varepsilon},\;|t_{\varepsilon}|\geq\sigma,$ таково, что $\Gamma(V,\delta t_{\varepsilon})\leq{\cal G}(V;\delta;\sigma)+\varepsilon$ (для определенности будем считать, что $t_{\varepsilon}\geq\sigma.$) Пусть $\gamma>0$ настолько мало, что в интервале $[t_{\varepsilon},t_{\varepsilon}+\gamma]$ выполняется неравенство $\Gamma(V,\delta t)\leq\Gamma(V,\delta t_{\varepsilon})+\varepsilon$ (в силу непрерывности функции $\Gamma(V,\delta t)$ такой выбор $\gamma$ возможен). Выберем элемент $f_{\epsilon}\in E([t_{\varepsilon},t_{\varepsilon}+\gamma])(H)$ такой, что $\|f_{\varepsilon}\|=1$. Будем иметь

[TABLE]

[TABLE]

В силу произвольности $\varepsilon$ в рассматриваемом случае соотношение (13) доказано. Cлучай, когда $\max\left\{\frac{|1-\lambda(t)|^{2}}{{\cal H}(V;\delta;\sigma)},\frac{1}{{\cal G}(V;\delta;\sigma)}\right\}=\frac{1}{{\cal H}(V;\delta;\sigma)}$, разбирается аналогично.

Таким образом, доказана

[TABLE]

В частности, для наилучшего приближения элемента $x\in H$ подпространством $W_{\sigma}$ имеем

[TABLE]

Если разложение единицы таково, что $E([t,t+\varepsilon])\neq 0$ для произвольных $t\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$, то неравенства (14) и (15) являются точными.

[TABLE]

Приведем обобщения некоторых результатов из [13, 19].

Если найдется такой вес $V=\widetilde{V}$ (напомним, что $\|{V}\|_{1}=1$), что для него при некотором $\gamma>0$ выполняется неравенство

[TABLE]

где ${\cal I}(\psi)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\psi(t)dt$, то из (16) при $2\leq p\leq\infty$ будем иметь

[TABLE]

В частности, при $p=\infty$

[TABLE]

В  [19] доказано, что такой вес существует, и приведена схема построения функции $\widetilde{V}(t)$. Таким образом установлено следующее утверждение.

Сузим по сравнению с $\Phi$ класс рассматриваемых функций $\psi$. Через $\Psi$ обозначим (см. [13]) совокупность функций $\psi\in\Phi$ таких, что

$\psi(-t)=\psi(t)$ и $\psi(\pi-t)=\psi(\pi+t)$ для $t\in\mathbb{R}$, 2. 2.

$\frac{1}{t}\int\limits_{0}^{t}\psi(s)ds\leq\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\psi(s)ds$ для любого $t\in(0,\pi)$.

Пусть

[TABLE]

Положим $V^{*}(t)=Z(t)/\|Z(\cdot)\|_{1}$. Из результатов работы  [13, теорема 1] следует, что для веса $V=V^{*}$, для $\psi\in\Psi$ и любого $\gamma\geq\frac{7\pi}{5}$ выполняется неравенство (17). Поэтому справедлива

Теперь рассмотрим вес

[TABLE]

В [13, теорема 2] показано, что для $\psi\in\Psi$ и $\gamma=\pi$ выполняется неравенство

[TABLE]

Из (16) выводим, что справедлива

[TABLE]

7. Некоторые приложения. Приведенные выше результаты включают в себя ряд точных неравенств типа Джексона – Стечкина (см., например, [13, 19]) для наилучших $L_{2}$ - приближений периодических функций тригонометрическими полиномами, результаты по наилучшим $L_{2}$ приближениям функций, заданных на всей оси целыми функциями экспоненциального типа, а также аналогичные результаты для почти периодических функций. Уже в этих конкретных случаях некоторые результаты являются новыми.

Результаты для периодических функций получаются, если в пространстве $L_{2}(\mathbb{T})$ выбрать разложение единицы следующим образом. Для любоых борелевского множества $\beta\subset\mathbb{T}$ и функции $x\in L_{2}(\mathbb{T})$

[TABLE]

Результаты для функций из $L_{2}(\mathbb{R})$ получаются, если в этом пространстве выбрать разложение единицы, отвечающее оператору $i\frac{d}{dt}$, для которого, в силу формулы обращения преобразования Фурье,

[TABLE]

Подробнее остановимся на случае почти периодических функций. В линейном пространстве $\Pi$ функций, почти периодических по Бору, можно ввести скалярное произведение (см. [24, Дополнение, §7]) $(x,y)=M[x(t)\overline{y(t)}]$ и норму $\|\cdot\|=(\cdot,\cdot)^{1/2}$. Пополняя полученное предгильбертово пространство, получаем гильбертово пространство $\widetilde{\Pi}$, которое содержится в пространстве $B^{2}$ функций почти периодических по Безиковичу (пространства такого типа рассматривались, например, в [25]). Для $x\in\widetilde{\Pi}$ и $\lambda\in\mathbb{R}$ положим

[TABLE]

Как известно, для любой $x\in\widetilde{\Pi}$ множество ${\rm Sp}(x)=\{\lambda\;:\;a(x,\lambda)\neq 0\}$ не более чем счетно.

В пространстве $\widetilde{\Pi}$ определим разложение единицы следующим образом. Для любых борелевского множества $\beta\subset\mathbb{R}$ и функции $x\in\widetilde{\Pi}$

[TABLE]

Тогда будем иметь

[TABLE]

Для $\sigma>0$ положим

[TABLE]

Будем для простоты рассматривать только функции $x\in\widetilde{\Pi}$, для которых ${\rm Sp}(x)$ имеет единственную предельную точку в бесконечности. В силу равенства Парсеваля

[TABLE]

Теперь легко видеть, что для величин ${\cal E}_{\sigma}(x)$ и обобщенных модулей непрерывности $\omega_{\varphi}(x,\delta)$, построенных с помощью определенного выше разложения единицы, справедливы утверждения теоремы 3, следствия 2, а также (при дополнительных предположениях о функции $\varphi$) утверждения теорем 4, 5 и 6.

Список литературы

• [1]

Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д.Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // ДАН СССР. - 1962. - 145. - С. 514 - 515.

• [2]

Дзядик В.К. Про точнi верхнi гранi найкращих наближень на деяких класах функцiй, визначених на дiйснiй осi// Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1975. – №7. – с. 589 – 592.

• [3]

Черных Н.И. О неравенстве Джексона в $L_{2}$ // Труды МИАН. - 1967. - 88. - С. 71 - 74.

• [4]

Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических Функций тригонометрическими полиномами в $L_{2}$ // Матем. заметки. - 1967. - 2, № 5. - С. 513 - 522.

• [5]

Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций констепени // ДАН СССР. - 1970. - 194, № 5. - С. 1013

• 1016.
• [6]

Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Известия ВУЗов. Математика. - 1972. - 121, № 6. - С. 65 - 73.

• [7]

Притула Я.Г. О неравестве Джексона для $B^{2}$-почти периодических функций // Известия ВУЗов. Математика. - 1972. - 123, № 8. - С. 90 - 93.

• [8]

Притула Я.Г., Яцимiрський М.М. Оцiнки наближень $B^{2}$ майже перiодичних функцiй // Вопросы математического анализа и его приложение. Вести Львов. ун-та. Сер. мех.-мат. - 1983. - В.21. - С. 3 - 7.

• [9]

Тайков Л. В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства $L_{2}$ // Матем. заметки. - 1977. - 22. B.4 - C. 535–542.

• [10]

Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из $L_{2}$ // Матем. заметки. - 1979. - 25. B. 2. - C. 217 – 223.

• [11]

Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в $L_{2}$ // Сиб. матем. журн. - 2011. - 52, №6. - С. 1414 – 1427.

• [12]

Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Неравенства типа Джексона–Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве $L_{2}$ // Матем. заметки. - 2012. - 92. B. 4. - C. 497 – 514.

• [13]

Васильев С.Н. Неравество Джексона-Стечкина в $L_{2}\left[-\pi,\pi\right]$ // Тр. ин-та матем. и механ. УрО РАН. - 2001. - 7, № 1. - С. 75 - 84.

• [14]

Степанец А.И., Сердюк А.С. Прямые и обратные теоремы теории приближения функций в пространстве $S^{p}$ // Укр. мат. журн. - 2002.

• 54, № 1. - С. 106 - 124.
• [15]

Shapiro H.S. Tauberian theorem related to approximation theory // Acta Math - 1968. - 120 - P. 279 - 292.

• [16]

Shapiro H.S., Boman J. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity // Arkiv for matematik - 1971. - 9, № 1. - P. 91 - 116.

• [17]

Boman J. Equivalence of generalized modulus of continuity //Arkiv for Matematik - 1980. - 18, № 1. - P. 73 - 100.

• [18]

Бабенко А.Г. О неравенстве Джексона – Стечкина для наидучших $L_{2}$-приближений функций тригонометрическими полиномами // Тр. ин-та матем. и механ. УрО РАН. - 2001. - 7, № 1. - С. 30 - 46.

• [19]

Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона-Стечкина в $L_{2}$ с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коеффициетами // Докл. РАН. - 2002. - 385. № 1. С. 11 - 14.

• [20]

Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона с обощенным модулем непрерывности // Мат. сб. - 2004. - 195, № 8. - С. 3 - 46.

• [21]

*Горбачук М.Л., Грушка Я.I., Торба С.М.*Прямi й оберненi теореми в теорiї наближень методом Рiтца // Укр.мат.журн. - 2005. - 57, № 5. - С. 633 - 643.

• [22]

Бабенко В.Ф., Савела С.В. Оценки аппроксимации элементов гильбертова пространства // Збiрник праць Iнституту математики Нацiональної академiї наук України - 2013. - 10, № 1. - С. 18 - 27.

• [23]

Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. - К.: Выща шк. - 1990. - 600 с.

• [24]

Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука. - 1967. - 472 с.

• [25]

Кузьмина А. Л. Пространства $L^{p}(AP)$ и их сопряженные // Известия вузов. Математика. - 2008. - №7. - С. 11 – 18.