On multiply monotone functions

TL;DR

This paper investigates the algebraic properties of multiply monotone functions, providing conditions under which certain functions can be represented as Fourier transforms, with implications for analysis on $ _+$.

Contribution

It introduces new algebraic insights into multiply monotone functions and establishes criteria for Fourier transform representation of specific functions.

Findings

Algebraic structure of differences of multiply monotone functions analyzed.

Sufficient conditions for Fourier transform representation of certain functions derived.

Criteria for functions of the form $f_0(|x|_{p,d})$ to be Fourier transformable established.

Abstract

In this paper, the algebra of the differences of two multiply monotone functions on $\mathbb{R}_+=(0,+\infty)$ is studied. A sufficient condition for the function $f_0\big(|x|_{p,d}\big)$, where $|x|_{p,d}=\Big(\sum\limits_{j=1}^d|x_j|^p\Big)^{\frac{1}{p}}$, $p\in(0,+\infty]$, to be represented as the Fourier transform is given.

Equations

$$A(\mathbb{R}^{d})=\Big{\{}f(x)=\widehat{g}(x)=\int\limits_{\mathbb{R}^{d}}g(y)e^{-i(x,y)}dy,\ \|f\|_{A}=\int\limits_{\mathbb{R}^{d}}|g(y)|dy<\infty\Big{\}}\quad?$$

$$f(\infty )=\underset{\max |x_j|\to \infty }{\lim f(x)}=0,$$

$$f_{0}(t)=\frac{e^{it^{\alpha}}}{(1+t)^{\beta}},\quad f_{0}\big{(}|x|_{2,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d})\quad\Leftrightarrow\quad 2\beta>d\alpha\geq 0.$$

$$\big{|}f_{1}(t+h)-f_{1}(t)\big{|}\leq\big{|}f_{2}(t+h)-f_{2}(t)\big{|}\quad(t,h\in\mathbb{R}),$$

$$(-1{)}^{\nu }{f}^{(\nu )}(0\le \nu \le m-1,m\in \mathbb{N})$$

$$f(t)=\underset{0}{\overset{+\infty }{\int }}(1-tu{)}_{+}^{m}d\mu (u)(a_{+}=\max \{a,0\}),$$

$$(-1{)}^{m+\nu +1}{f}^{(\nu )}(t)\ge 0$$

$$\underset{t\to 0}{\lim }{t}^{\nu }{f}^{(\nu )}(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }{t}^{\nu }{f}^{(\nu )}(t)=0(1\le \nu \le m)$$

$$(-1)^{m+\nu+1}f^{(\nu)}(t)>0\qquad\big{(}t\in(0,a)\big{)}$$

$$f(t)=\sum _{\nu =0}^m\frac{1}{\nu !}{f}^{(\nu )}(a)(t-a{)}^{\nu }+\frac{1}{m!}\underset{a}{\overset{t}{\int }}(t-a{)}^{m}d{f}^{(m)}(u)\le \sum _{\nu =0}^m\frac{1}{\nu !}{f}^{(\nu )}(a)(t-a{)}^{\nu }.$$

$$(-1{)}^{m+\nu +1}{f}^{(\nu )}(t)\ge 0,f^{(\nu )}(+\infty )=0(1\le \nu \le m).$$

$$\int\limits_{0}^{\infty}\sup\limits_{u\geq t}|f^{\prime}(u)|dt=\Big{|}\int\limits_{0}^{\infty}|f^{\prime}(t)|dt\Big{|}=\big{|}f(+\infty)-f(+0)\big{|}.$$

$$0\le t^{\alpha +1}g(2t)\le \underset{t}{\overset{2t}{\int }}{u}^{\alpha }g(u)du\to 0(t\to +0,t\to +\infty ).$$

$$\underset{t\to +0}{\lim }t{f}^{\prime }(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }t{f}^{\prime }(t)=0.$$

$$\int\limits_{0}^{\infty}t\sup\limits_{t\geq u}|f^{\prime\prime}(u)|dt=\Big{|}\int\limits_{0}^{\infty}tf^{\prime\prime}(t)dt\Big{|}=\Big{|}\int\limits_{0}^{\infty}f^{\prime}(t)dt\Big{|}<\infty.$$

$$\underset{t\to +0}{\lim }{t}^2{f}^{\prime \prime }(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }{t}^2{f}^{\prime \prime }(t)=0$$

$$f^{(\nu )}(t)=-\underset{t}{\overset{\infty }{\int }}{f}^{(\nu +1)}(u)du.$$

$$f_{0}\big{(}|x|_{2,d}\big{)}=\int\limits_{\mathbb{R}^{d}}g(y)e^{-i(x,y)}dy,\quad g\in L_{1}(\mathbb{R}^{d}),\quad g(y)\geq 0\quad(y\in\mathbb{R}^{d}).$$

$$f(t)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ut}d\mu (u)(t\ge 0,f(0)=f(+0)),$$

$$(-1{)}^{\nu +1}{h}^{(\nu )}(t)\ge 0(1\le \nu \le m).$$

$$\|f\|_{V_{m}}=\sup\limits_{t\in\mathbb{R}_{+}}|f(t)|+\int\limits_{0}^{\infty}t^{m}\big{|}df^{(m)}(t)\big{|}<\infty.$$

$$\int\limits_{0}^{\infty}t|df_{1,2}(t)|=\Big{|}\int\limits_{0}^{\infty}tdf_{1,2}(t)\Big{|}=\Big{|}\int\limits_{0}^{\infty}f^{\prime}_{1,2}(t)dt\Big{|}=\big{|}f_{1,2}(+0)-f_{1,2}(+\infty)\big{|}<\infty.\\$$

$$|f_1(t)|\le \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}u|d{f}^{\prime }(u)|,f_1^{\prime }(t)=\underset{t}{\overset{\infty }{\int }}|d{f}^{\prime }(u)|\searrow$$

$$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}t|d{f}_1^{\prime }(t)|=-\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}td{f}_1^{\prime }(t)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{f}_1^{\prime }(t)dt=-f_1(+0).$$

$$\Vert f_1{\Vert }_{V_1}\le \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}t|d{f}^{\prime }(t)|+|f_1(+0)|=2\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}t|d{f}^{\prime }(t)|.$$

$$f^{\prime}_{2}(t)=\int\limits_{t}^{\infty}|df^{\prime}(u)|-f^{\prime}(t)=\int\limits_{t}^{\infty}\big{(}|df^{\prime}(u)+df^{\prime}(u)\big{)}\searrow$$

$$\Vert f_2{\Vert }_{V_1}\le \Vert f_1{\Vert }_{V_1}+\Vert f{\Vert }_{V_1}\le 3\Vert f{\Vert }_{V_1}.$$

$$f_{2,h}(t)=\frac{1}{h^2}{\int }_0^{h}d{u}_1{\int }_0^{h}f(t+u_1+u_2)d{u}_2.$$

$$\Vert f{\Vert }_{V_0^{\ast }}=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{u\ge t}{\mathrm{esssup}}|f^{\prime }(u)|dt.$$

$$\int\limits_{0}^{b}t\Big{(}1-\frac{t}{b}\Big{)}|df^{\prime}(t)|,\qquad\int\limits_{0}^{b}\underset{b\geq u\geq t}{{\rm ess}\sup}\big{(}|f^{\prime}(u)|+|f^{\prime}(b-u)|\big{)}dt.$$

Full text

R. M. Trigub

On multiply monotone functions

Abstract. In this paper, the algebra of the differences of two multiply monotone functions on $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$ is studied. A sufficient condition for the function f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}, where |x|_{p,d}=\Big{(}\sum\limits_{j=1}^{d}|x_{j}|^{p}\Big{)}^{\frac{1}{p}}, $p\in(0,+\infty]$, to be represented as the Fourier transform is given.

2010 Mathematics Subject Classification. Primary 26A48; Secondary 42A38, 26A45, 42B35.

Keywords: Functions: of bounded variation, convex, multiply monotone, completely monotone and positive definite on $\mathbb{R}_{+}$; Fourier transform.

Р. М. Тригуб

О кратно монотонных функциях

Аннотация. В статье изучена алгебра разностей двух ограниченных кратно монотонных функций на $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$ и указано достаточное условие представимости функции f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}, где |x|_{p,d}=\Big{(}\sum\limits_{j=1}^{d}|x_{j}|^{p}\Big{)}^{\frac{1}{p}}, $p\in(0,+\infty]$, в виде преобразования Фурье.

Список литературы: 17 названий.

Ключевые слова: функции ограниченной вариации, выпуклые, кратно монотонные, вполне монотонные и положительно определенные на $\mathbb{R}_{+}$, преобразование Фурье.

§0 Введение

$m$-кратно монотонными называют функции $f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow\mathbb{R}$, у которых $(-1)^{\nu}f^{(\nu)}$ $(0\leq\nu\leq m+1)$ принимают значения одного знака (каждая из них и все вместе). Например, убывающая функция с возрастающей производной (выпуклая)-1-кратно монотонная, а при $m=\infty$ – вполне монотонная.

Когда функция $d$ переменных $x_{1}$, …, $x_{d}$ представима на $\mathbb{R}^{d}$ в виде преобразования Фурье, т.е. принадлежит винеровской банаховой алгебре \Big{(}(x,y)=\sum\limits_{j=1}^{d}x_{j}y_{j}\Big{)}

[TABLE]

Эта алгебра возникает, напр., при изучении мультипликаторов Фурье из $L_{1}$ в $L_{1}$ (см. [Список литературы–Список литературы]).

Обзор свойств этой алгебры см. в [Список литературы]. В частности, функции из $A(\mathbb{R}^{d})$ принадлежат $C_{0}(\mathbb{R}^{d})$, т.е. непрерывны на $\mathbb{R}^{d}$ и

[TABLE]

а также обладают локальным свойством.

Есть много разных достаточных условий принадлежности $A(\mathbb{R}^{d})$ [Список литературы]. Особенно хорошо изучены радиальные функции, т.е. функции вида f_{0}\big{(}|x|_{2,d}\big{)}, где $|x|_{2,d}=\sqrt{(x,x)}$ — евклидова норма. В этом случае вопрос о принадлежности $A(\mathbb{R}^{d})$ при $d\geq 2$ полностью сводится к принадлежности $A(\mathbb{R})=A(\mathbb{R}^{1})$ другой функции (см. [Список литературы], 6.3.6 и [Список литературы]).

Приведем один пример (см. [Список литературы], гл. IV, 7.4):

[TABLE]

Алгебра $A^{*}(\mathbb{R})$ (ее свойства см. в [Список литературы]) состоит из преобразований Фурье $f=\widehat{g}$, где $g\in L_{1}^{*}(\mathbb{R})$, т.е. удовлетворяет условию: $\underset{|y|\geq|x|}{{\rm ess}\sup}|g(y)|\in L_{1}(\mathbb{R})$.

Beurling [Список литературы] доказал, что если $f_{1}(\infty)=0$ и

[TABLE]

где $f_{2}\in A^{*}(\mathbb{R})$, то $f_{1}\in A(\mathbb{R})$.

Отметим еще, что принадлежность $A(\mathbb{R}^{d})$ является существенной при изучении сходимости на $L_{1}$ и $C$ линейных средних рядов и интегралов Фурье, определяемых одной функцией–множителем ([Список литературы], 8.1.2), а принадлежность $A^{*}$ является определяющей для сходимости тех же средних во всех точках Лебега (почти всюду). См. [Список литературы], 8.1.3.

В настоящей статье изучена алгебра $V_{m}$ функций, равных разности двух ограниченных и $m$–кратно монотонных функций на $\mathbb{R}_{+}$, и указано достаточное условие для того чтобы f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}), $p\in(0,+\infty]$ (см. следствия и примеры в §3).

Далее по плану:

§1 Кратно монотонные функции.

§2 Алгебра $V_{m}(\mathbb{R}_{+})$.

§3 О функциях вида f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)} \big{(}d\geq 2,p\in(0,+\infty]\big{)}.

Через $\gamma(...)$, возможно с индексами, обозначаем положительные величины, зависящие лишь от переменных, стоящих в скобках.

§1 Кратно монотонные функции

Известно ([Список литературы–Список литературы]), что если все функции

[TABLE]

неотрицательны, убывают и выпуклы вниз на $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$, то при $t\geq 0$ \big{(}f(0)=f(+0)\big{)}

[TABLE]

где $\mu$ — некоторая положительная мера и конечная на $[0,a]$ при любом $a>0$.

Известно также, что любая выпуклая (вниз, напр.) функция принадлежит $AC_{loc}(\mathbb{R}_{+})$ (на любом отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}_{+}$ абсолютно непрерывна и даже из ${\rm Lip}1$) и является интегралом от своей (убывающей) правой или левой производной. Выпуклая функция дифференцируема всюду, кроме, возможно, не более счетного числа точек, в которых существуют односторонние производные. Если же выпуклая на $\mathbb{R}_{+}$ функция ограничена, то она и монотонная.

Лемма 1 *Если $f$ ограничена на $\mathbb{R}_{+}$ и при $m\geq 2$ $\ f^{(m-1)}$ выпукла вверх, то при любом $\nu\in[0,m]$ и $t>0$ *

[TABLE]

и существуют пределы $f(+0)$ и $f(+\infty)$. Кроме того,

[TABLE]

*и *\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}t^{m}\big{|}df^{(m-1)}(t)\big{|}<\infty.

На самом деле, для любой такой ненулевой функции существует $a\in(0,+\infty]$, при котором и $\nu\geq 1$

[TABLE]

*и при $a<+\infty$ и $t\geq a$ $\ f(t)=f(+\infty)$. *

$\rhd$ Если функция $f$ ограничена снизу и при некотором $m\in\mathbb{N}$  $f^{(m)}\searrow$ (убывает), то $f^{(m)}(t)\geq 0$ при $t>0$. Действительно, как видно из формулы Тейлора, при любом $a\in\mathbb{R}_{+}$ и $t\geq a$ (интеграл Стилтьеса)

[TABLE]

А если бы было $f^{(m)}(a)<0$, то было бы и $f(+\infty)=-\infty$. Следовательно, существует предел $f^{(m)}(+\infty)$ и $f^{(m-1)}\nearrow$.

Если $m\geq 2$, то по той же причине ($-f^{(m-1)}\searrow$) $f^{(m-1)}(t)\leq 0$ на $\mathbb{R}_{+}$ и существует предел $f^{(m-1)}(+\infty)$. При этом $f^{(m)}(+\infty)=0$, так как в противном случае $f^{(m-1)}$ не может быть ограниченной около $+\infty$.

Продолжая таким же образом, получаем

[TABLE]

В силу монотонности функции и ее производных

[TABLE]

А если $g(t)\geq 0$ и $g\searrow$ на $\mathbb{R}_{+}$, то при $\alpha\geq 0$

[TABLE]

Поэтому

[TABLE]

Но тогда и

[TABLE]

В силу (1)

[TABLE]

и т.д.

Еще нужно учесть, что если непрерывная и ненулевая $f^{(\nu)}$ убывает к нулю, напр., то существует $a_{\nu}\in(0,+\infty]$, при котором $f^{(\nu)}(t)>0$ на $(0,a_{\nu})$ и $f^{(\nu)}(t)=0$ при $a_{\nu}<+\infty$ и $t\geq a_{\nu}$.

Очевидно, что $a_{\nu+1}\leq a_{\nu}$. Но и $a_{\nu}\leq a_{\nu+1}$, так как

[TABLE]

$\blacktriangleleft$

Вопрос о кратной монотонности стал существенным при определении положительной определенности, т.е. представлении в виде преобразования Фурье положительной меры.

Так, по признаку Пойя, если четная функция $f\in C_{0}[0,+\infty)$ и выпукла вниз на $\mathbb{R}_{+}$, то $f=\widehat{g}$, где $g\in L_{1}(\mathbb{R})$ и $g(y)\geq 0$.

Более того, $g\in L_{1}^{*}(\mathbb{R})$, т.е. $f\in A^{*}(\mathbb{R})$ (см.[Список литературы], с. 302).

А признак типа Пойя для радиальных функций ([Список литературы], см. также [Список литературы], 6.3.7) теперь можно сформулировать так:

если $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$ и при m=1+\Big{[}\frac{d}{2}\Big{]} $(d\in\mathbb{N})$ $(-1)^{m}f_{0}^{(m-1)}$ выпукла вверх на $\mathbb{R}_{+}$, то

[TABLE]

По теореме Бернштейна ограниченная и вполне монотонная функция на $\mathbb{R}_{+}$ представима в виде

[TABLE]

где $\mu$ — конечная положительная мера $[0,+\infty)$.

А по теореме Schoenberg f_{0}\big{(}|x|_{2,d}\big{)} имеет представление (2) при любом $d\in\mathbb{N}$ в том и только в том случае, когда $f_{0}(\sqrt{t})$ вполне монотонная.

Отметим еще, что вместе с $m$–кратно монотонной функцией $f$ и суперпозиция $f\circ h$ такая же, если $h(t)\geq 0$, $h(t)\not\equiv 0$ и при $t\in\mathbb{R}_{+}$

[TABLE]

Пример: $h(t)=t^{\alpha},\alpha\in(0,1)$.

§2 Алгебра $V_{m}(\mathbb{R}_{+})$

Разность двух кратно монотонных функций может не быть кратно монотонной.

Обозначим через $V_{0}(\mathbb{R}_{+})$ — множество функций ограниченной вариации на $\mathbb{R}_{+}$, т.е. множество функций, представимых в виде разности двух ограниченных и монотонных функций.

При $m\in\mathbb{N}$ $V_{m}(\mathbb{R}_{+})$ — это множество функций с условием $(f^{(m)}\in V_{0,loc})$

[TABLE]

Это условие при $m\in\mathbb{R}_{+}$ W. Trebels [Список литературы] использовал как достаточное условие для мультипликаторов Фурье.Это банахова алгебра. См. также [Список литературы].

Функции из $V_{1}(\mathbb{R}_{+})$ называют квазивыпуклыми.

Лемма 2 Для того чтобы $f\in V_{1}(\mathbb{R}_{+})$ необходимо и достаточно, чтобы функция была разностью двух ограниченных и выпуклых функций на $\mathbb{R}_{+}$.

$\rhd$ $\underline{\textrm{Достаточность.}}$

Если $f=f_{1}-f_{2}$, где $f_{1}$ и $f_{2}$ — ограниченные выпуклые, то, используя еще лемму 1,получаем

[TABLE]

$\underline{\textrm{Необходимость.}}$

Полагаем f_{1}(t)=-\int\limits_{0}^{\infty}(u-t)\big{|}df^{\prime}(u)\big{|}\ \ (f_{1}(+\infty)=0).

Очевидно, что при $t>0$

[TABLE]

и

[TABLE]

Так что

[TABLE]

Функция $f_{2}=f_{1}-f$ ограничена, как разность ограниченных,

[TABLE]

и

[TABLE]

$\blacktriangleleft$

Отметим, что функции из $C^{2}(\mathbb{R}_{+})$ образуют плотное множество в $V_{1}(\mathbb{R}_{+})$. Для доказательства достаточно применить при $h\rightarrow+0$ функцию Стеклова

[TABLE]

Введем еще промежуточное пространство между $V_{0}$ и $V_{1}$. Это множество $V_{0}^{*}(\mathbb{R}_{+})$ функций из $AC_{loc}(\mathbb{R}_{+})$ с нормой

[TABLE]

Это банахово пространство не сепарабельное, рефлексивное, в котором непрерывные функции не образуют плотное множество. Эта алгебра (кольцо относительно поточечного умножения) существенно отличается от $L_{1}(\mathbb{R}_{+})$.

Отметим лишь одно отличие $V_{0}^{*}$ от $V_{1}$. Любую функцию из ${\rm Lip}\leavevmode\nobreak\ 1$ на отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}_{+}$ можно продолжить до функции из $V_{0}^{*}(\mathbb{R}_{+})$, но не всегда — до функции из $V_{1}$. По этому поводу см. [Список литературы], где еще сравниваются и преобразования Фурье четных функций из $V_{0}^{*}$ и $V_{1}$.

Заметим, что множества $V_{1}$ и $V_{0}^{*}$ можно рассматривать и на отрезке вещественной оси.

Для отрезка $[0,b]$, напр., появляются нормы

[TABLE]

Переходим к общему пространству $V_{m}$, $m\in\mathbb{N}$.

Теорема 1 Для того чтобы $f\in V_{m}(\mathbb{R}_{+})$ (см. (3)), необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде разности двух ограниченных функций с выпуклыми производными порядка $m-1$.

$\rhd$ $\underline{\textrm{Достаточность.}}$

Если $f=f_{1}-f_{2}$, то используя лемму 1, получаем

[TABLE]

$\underline{\textrm{Необходимость.}}$ Полагаем

[TABLE]

Тогда $f_{1}$ ограничена:

[TABLE]

и

[TABLE]

При этом

[TABLE]

И $f_{2}=f_{1}-f$ ограничена, как разность двух ограниченных, а

[TABLE]

Предел $f^{(m)}(+\infty)$ существует, так как при $x_{1}\rightarrow+\infty$ и $x_{2}>x_{1}$

[TABLE]

При этом

[TABLE]

$\blacktriangleleft$

Trebels [Список литературы] (см. также [Список литературы], теорема 9.5) доказал, что при $m>\frac{d-1}{2}$ и $f_{0}\in V_{m}(\mathbb{R}_{+})$

[TABLE]

при любой положительной однородной функции $d$ переменных положительной степени с условием $H\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{d}\setminus\{0\})$.

Теперь эту теорему можно сформулировать так:

если $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$ и ее можно представить в виде разности двух ограниченных функций, у которых производные порядка $m-1$ при $m>\frac{d-1}{2}$ выпуклы, то $f_{0}\circ H\in A(\mathbb{R}^{d})$.

§3 О функциях вида f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)} $(d\geq 2,p\in(0,+\infty])$

При $p\in(0,+\infty)$

[TABLE]

а при $p=\infty$ $\ \|x\|_{\infty,d}=\max\limits_{1\leq j\leq d}|x_{j}|$.

Еще раз об особом случае $p=2$.

Предложение Если $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$ и $f_{0}\in V_{m}(\mathbb{R}_{+})$ при m=1+\Big{[}\frac{d}{2}\Big{]}, то f_{0}\big{(}|x|_{2,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}).

$\rhd$ Для доказательства достаточно представить $f$ в виде разности согласно теореме 1 и применить признак положительной определенности типа Пойя, приведенный в §1. $\blacktriangleleft$

Когда f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}) в зависимости от $p$?

Заметим, что при $p\neq 2$ не существует частной производной

[TABLE]

в точках, в которых $x_{2}\neq 0$. Поэтому лучше учитывать поведение смешанных производных (дифференцирование по $x_{j}$ $(j\in[1,d])$ не более одного раза).

Теорема 2 Пусть $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$ и $f_{0}^{(d-1)}\in AC_{loc}(\mathbb{R}_{+})$. Если еще выполнено условие А или В, то f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}) при $p\in[1,+\infty]$, а если — условие Б, то f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}) при $p\in(0,1)$.

А. $\int\limits_{0}^{\infty}t^{d-1}\underset{u\geq t}{{\rm ess}\sup}|f_{0}(u)|dt<\infty,$

Б. $\int\limits_{0}^{\infty}t^{dp-1}\underset{u\geq t}{{\rm ess}\sup}\ u^{d(1-p)}|f_{0}^{(d)}(u)|dt<\infty,$

В. $f_{0}(t)=0$ при $t\in[0,a]$, а при $t>0$

[TABLE]

Следствие 1 Если $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$ и $f_{0}\in V_{d}(\mathbb{R}_{+})$, то при $p\in[1,+\infty]$

[TABLE]

Следствие 2 Если $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$ и $f_{0}\in V_{d+1}(\mathbb{R}_{+})$, то при $p\in(0,1)$

[TABLE]

$\rhd$ Приведем доказательство, пропуская в А и Б некоторые вычисления.

Лемма 3 Если симметричная относительно переменных $x_{j}$ $(1\leq j\leq d)$ и чётная по $x_{j}$ $(1\leq j\leq d)$ функция $f\in C_{0}(\mathbb{R}^{d})$ имеет на $\mathbb{R}^{d}_{+}$ непрерывную смешанную производную

[TABLE]

а

[TABLE]

то $f\in A(\mathbb{R}^{d})$.

Доказательство леммы основано на следующей теореме:

*если для всех $x\in\mathbb{R}^{d}$ *

[TABLE]

и

[TABLE]

то $f\in A(\mathbb{R}^{d})$ ([Список литературы], теорема 4, [Список литературы], 6.4.10).

Эта теорема получена в [Список литературы] с использованием полученного там же обобщения на кратный случай теоремы Бёрлинга, приведенной во введении.

Считая $f_{0}^{(d)}\in C(\mathbb{R}_{+})$, что не уменьшает общности, полагаем

[TABLE]

Очевидно, что при $p=\infty$ и $x\in\mathbb{R}^{d}_{+}$ \ \Big{|}\partial^{d}f_{0}\big{(}|x|_{\infty,d}\big{)}\Big{|}=\Big{|}f_{0}^{(d)}\big{(}|x|_{\infty,d}\big{)}\Big{|}.

Индукцией по $d$ легко доказать, что при $p\in(0,+\infty)$ и $x\in\mathbb{R}_{+}^{d}$

[TABLE]

Лемма 4 Пусть $d\geq 2$ и $\alpha>0$. Тогда при $p=\infty$

[TABLE]

а при $p\in(0,+\infty)$ ($\Gamma$ — гамма-функция Эйлера).

[TABLE]

(в предположении, что простой интеграл справа сходится абсолютно).

При $p\geq 1$ $(|x_{j}|\leq|x|_{p,d},1\leq j\leq d)$ и $\nu\geq 1$ (см. (4))

[TABLE]

В. Доказательство основано на теореме 2 (Б) из [Список литературы] (формулируем с учетом симметрии функции):

если

[TABLE]

и

[TABLE]

то $f\in A(\mathbb{R}^{d})$.

В рассматриваемом случае $\lambda_{0}=\varepsilon$,а при $\nu\geq 1$ в силу (5)

[TABLE]

Так что при $\delta\leq 1$ $\ \lambda_{\nu}=\varepsilon+\delta\nu$, а при $\delta>1$ $\ \lambda_{\nu}=\nu+\varepsilon+\delta-1$.

В первом случае $(\delta\leq 1)$

[TABLE]

при $\delta>1-\frac{2\varepsilon}{d}$.

Во втором случае $(\delta>1)$

[TABLE]

Теорема 2 доказана.                          $\blacktriangleleft$

$\rhd$ $\underline{\textrm{Доказательство следствия 1.}}$ Если $f_{0}\in V_{d}(\mathbb{R}_{+})$, то в силу теоремы 1 она представима в виде разности $f_{1}-f_{2}$ двух ограниченных функций с убывающими производными порядка $d$. Но тогда (см. еще лемму 1)

[TABLE]

И применяем теорему 2.                        $\blacktriangleleft$

$\rhd$ $\underline{\textrm{Доказательство следствия 2.}}$ Достаточно убедиться в неравенстве

[TABLE]

Левая часть не больше

[TABLE]

Осталось повторить доказательство следствия 1.            $\blacktriangleleft$

Пример 1

[TABLE]

принадлежит $A(\mathbb{R}^{d})$ только при $\alpha>0$ и $\alpha\beta>\gamma\geq 0$.

$\rhd$ $f_{0}\in C_{0}[0,+\infty)$. Поэтому должно быть $\alpha>0$ и $\alpha\beta>\gamma\geq 0$. $f_{0}\in C^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$. Любая производная $f_{0}$ в достаточно малой окрестности нуля сохраняет знак, т.к. при $t\in(0,1)$

[TABLE]

Таким же образом ведет себя любая производная и около $\infty$, т.к.

[TABLE]

$\blacktriangleleft$

Пример 2

[TABLE]

Если $2\beta>d\alpha$, то f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}) при $p\in[1,\infty]$.А если $\beta>d\alpha$, то f_{0}\big{(}|x|_{p,d}\big{)}\in A(\mathbb{R}^{d}) при $p\in(0,1)$

$\rhd$ При $p=2$ этот результат точный (см. пример во введении). Любая производная ${\rm Re}f_{0}$ и ${\rm Im}f_{0}$ сохраняет знак в окрестности нуля и можно, как и в примере 1, применить следствия 1 и 2.

А около $\infty$ применяем при $p\in[1,\infty]$ случай $B$ в теореме 2, учитывая,что

[TABLE]

$\varepsilon=\beta$, $\delta=1-\alpha>1-\frac{2\beta}{d}$ или $2\beta>d\alpha$.

При $p\in(0,1)$ применяем Б в теореме 2.                     $\blacktriangleleft$

Заметим, что для определения положительной определенности функций есть результаты, которые существенно зависят от $p\in(0,+\infty]$ (см. напр., [Список литературы]).

Отметим еще, что, в отличие от случая $d=1$, при $d=2$ средние арифметические квадратных частных сумм двойного ряда Фурье (суммы Марцинкевича) могут сходиться не во всех точках Лебега. Это следует из того, что в $A^{*}(\mathbb{R}^{2})$ нет, практически, функций вида f_{0}\big{(}|x|_{\infty,2}\big{)} или, что то же самое, функций вида f_{0}\big{(}|x|_{1,2}\big{)} [Список литературы].

Список литературы

• [1]
• [2] E. M. Stein Singular integrals and differentiability properties of functions. — Princeton Univ. Press. Princeton. — 1970.
• [3]
• [4] E. M. Stein and G. Weiss Introduction of Fourier analysis on Euclidean spaces. — Princeton Univ. Press. Princeton. — 1971.
• [5]
• [6] E. Liflyand, S. Samko, R. Trigub Absolute convergence of Fourier integrals. — Springer, Analysis and Math. Physis. —

2012. — v. 2, №1. — P. 1 – 68.

• [7]
• [8] R. Trigub and E. Belinsky Fourier analysis and approximation of functions. — Kluwer-Springer, Dordrecht. — 2004. — 585 p.
• [9]
• [10] Р. М. Тригуб О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций // Укр.матем.ж. — 2010. — т. 62, № 9. — С. 1280 –

• [11]
• [12] E. Belinsky, E. Liflyand and R. Trigub The Banach algebra $A^{*}$ and its properties // J. Fourier Anal. Appl. — 1997. — v. 3, №2. — P. 103 – 129.
• [13]
• [14] A. Beurling On the spectral synthesis of bounded functons // Acta Math. — 1949. — v. 81. — P. 225 – 238.
• [15]
• [16] I. J. Schoenberg On integral representations of completely monotone and related functions: abstract // Bull. Amer. Math. Soc. — 1941. — v. 47. — P. 208.
• [17]
• [18] R. E. Williamson Multiply monotone functions and their Laplace transforms // Duke Math. J. — 1956. — v. 23. — P. 189 – 207.
• [19]
• [20] R. Askey Radial characteristic functions. Tech. Report №1262 // Math. Resc. Center, University of Wisconsin – Madison. — 1973.
• [21]
• [22] W. Trebels Multipliers for $(C,\alpha)$-bounded Fourier expansions in Banach spaces and Approximation Theory // Lect. Notes Math., Springer. — 1973. — v. 329.
• [23]
• [24] Р. М. Тригуб Преобразование Фурье квазивыпуклых функций и функций класса $V^{*}$ // Укр. матем. вiсник. — 2014. — т. 11, №2. — С. 274 – 286 (English transl.: J. Math. Sciences. — 2015. — v. 204, №3).
• [25]
• [26] W. Trebels Some Fourier multiplier criteria and the spherical Bochner–Riesz kernel // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. — 1975. — v. 20. — P. 1173 – 1185.
• [27]
• [28] Р. М. Тригуб Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение полиномами функций на торе // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1980. — т. 44, №6. — С. 1378 –

• [29]
• [30] И. Р. Лифлянд, Р. М. Тригуб О представлении функций в виде абсолютно сходящегося интеграла Фурье // Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 2010. — т. 269. — С. 153 –

• [31]
• [32] V. P. Zastavnyi On positive definiteness of some functions // J. Multivariate Anal. — 2000. — v. 70. — P. 55 – 81.
• [33]
• [34] Р. М. Тригуб О преобразовании Фурье функций двух переменных, зависящих лишь от максимума модуля этих переменных // arXiv:151203183 v1[math CA]. — 10 Dec. 2015.
• [35]