Inverse conductivity problem in dimension two

TL;DR

This paper presents a method to reconstruct a Riemann surface with boundary and conductivity tensor from boundary measurements, enabling the recovery of all information obtainable from such data in two dimensions.

Contribution

It introduces a process to reconstruct the entire Riemann surface and conductivity tensor from boundary data in two dimensions, advancing inverse boundary value problem solutions.

Findings

Successful reconstruction of Riemann surfaces with boundary from boundary data.

Complete recovery of the conductivity tensor and surface geometry from Dirichlet-Neumann data.

Applicable to two-dimensional real Riemannian surfaces with boundary.

Abstract

This article proposes a process to reconstruct a Riemann surface with boundary equipped with a conductivity tensor from its boundary and its Dirichlet-Neumann operator. When initial data comes from a two dimensional real Riemannian oriented surface equipped with a conductivity tensor, this process recover the whole of what can be determined from this data.

Equations

$${\Sigma }_p:T_p^{\ast }\overline{M}\times T_p^{\ast }M\ni {\sigma }_p\left(a,b\right)\mapsto \frac{a\wedge {\sigma }_p\left(b\right)}{{\mu }_p}$$

$$a\wedge {\sigma }_p\left(b\right)$$

$$=\left(r{a}_x{b}_x+u{a}_x{b}_y+t{a}_y{b}_x+s{b}_x{b}_y\right)dx\wedge dy$$

$$d\sigma dU=0\text{leavevmode}\&\text{leavevmode}{U|}_{bM}=u.$$

$$g_{\mu ,\sigma }\left(t\right)=\frac{{\sigma }^{-1}\left(t┘\mu \right)\wedge \left(t┘\mu \right)}{\mu }.$$

$$Ma{t}_{dx}^{\left(d{x}_2,-d{x}_1\right)}({\sigma }_p)=s_{\sigma }\left(p\right)I_2$$

$$\sigma =s_{\sigma }.c_{\sigma }=\sqrt{\det \sigma }.c_{\sigma },$$

$$Mat_{dx}^{dx}(c_{\sigma})=\left(\begin{array}[c]{cc}0&-1\\ 1&0\end{array}\right)\overset{d\acute{e}f}{=}J.$$

$$d\sigma dU=d{s}_{\sigma }{d}^{\sigma }U$$

$$Ma{t}_{\left(d{x}^{\prime },d{y}^{\prime }\right)}^{\left(dx,dy\right)}\left(\left({}^{t}Df\right)\circ c_{{\sigma }^{\prime }}\right)$$

$$Ma{t}_{\left(d{x}^{\prime },d{y}^{\prime }\right)}^{\left(dx,dy\right)}\left(c_{\sigma }\circ \left({}^{t}Df\right)\right)$$

$$N_{\nu }^{\sigma }u={\frac{\partial E_{\sigma }u}{\partial \nu }|}_{bM}$$

$$d{E}_{\sigma }u=\left(E_{\sigma }u.\nu \right){\nu }^{\ast }+\left(E_{\sigma }u.\tau \right){\tau }^{\ast }=\left(N_{\nu }^{\sigma }u\right){\nu }^{\ast }+\left(du.\tau \right){\tau }^{\ast }.$$

$$N_d^{\sigma }u=d{E_{\sigma }u|}_{bM}$$

$${\theta }_c^{\sigma }u={\partial E_{\sigma }u|}_{bM}=\left(L_{\nu }^{c_{\sigma }}u\right)\left({\nu }^{\ast }+i{\tau }^{\ast }\right)$$

$$\sum _{j,k=1,2}\frac{\partial }{\partial x_j}\left({\sigma }_{jk}\frac{\partial U}{{\partial }_{x_k}}\right)=0\text{leavevmode}\text{leavevmode}\&\text{leavevmode}\text{leavevmode}{U|}_{bM}=u.$$

$$N^{s,c}:\mathcal{F}\left(bM\right)\ni u\mapsto {d^c{E}_{s.c}u|}_{bM}$$

$$\left[F^{\ast }{\theta }_c^{\mathcal{M}}{f}_{\ast }u\right]=\left[F^{\ast }{\theta }_c^{\mathcal{M}}{f}_{\ast }{u}_0:\cdots :F^{\ast }{\theta }_c^{\mathcal{M}}{f}_{\ast }{u}_3\right]$$

$$\overline{\partial }{}^{\sigma }{\partial }^{\sigma }U=0\text{leavevmode}\text{leavevmode}\&\text{leavevmode}\text{leavevmode}U|{}_{bM}=u.$$

$$\overline{\partial }\partial w=0\text{leavevmode}\text{leavevmode}\&\text{leavevmode}\text{leavevmode}w|{}_{\mathcal{M}}=w$$

$${\partial }^{\sigma }\widetilde{u_j}=F^{\ast }\partial {\hat{w}}_j=F^{\ast }{\theta }_c^{\mathcal{M}}{w}_j=F^{\ast }{\theta }_c^{\mathcal{M}}{f}_{\ast }{u}_j$$

$$\left[F^{\ast }{\theta }_c^{\mathcal{M},\alpha }{f}_{\ast }u\right]=\left[F^{\ast }\partial {\widehat{f_{\ast }{u}_0}}^{{\alpha }^0}|{}_{b\mathcal{M}}:\cdots :F^{\ast }\partial {\widehat{f_{\ast }{u}_4}}^{{\alpha }^4}|{}_{b\mathcal{M}}\right]$$

$$Tv:M\ni q\mapsto \frac{i}{2}{\int }_{\partial M}v\overline{\partial }{g}_q$$

$$Sv:\tilde{M}\backslash \overline{M}\ni q\mapsto \frac{i}{2}{\int }_{\partial M}v\overline{\partial }{g}_q$$

$${\mathcal{Y}}_0=\mathcal{Y}\cap {\Omega }^{\ast }\subset \Omega ,$$

$$\Phi \left(z^{\prime }\right)-\Phi \left(z\right)=⟨\Psi \left(z^{\prime },z\right),z^{\prime }-z⟩$$

$$\omega$$

$$k\left(z^{\prime },z\right)=\det \left[\frac{\overline{z^{\prime }}-\overline{z}}{{\left|z^{\prime }-z\right|}^2},\Psi \left(z^{\prime },z\right)\right].$$

$$g_{q_{\ast }}\left(q\right)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{q^{\prime }\in {\mathcal{Y}}_0}k\left(q^{\prime },q\right)k\left(q_{\ast },q^{\prime }\right)\text{leavevmode}i\omega \left(q^{\prime }\right)\wedge \overline{\omega }\left(q^{\prime }\right).$$

$$\partial g_{q_{\ast }}={\tilde{k}}_{q_{\ast }}\omega$$

$$\Phi \left(z\right)=\left(z_2-\phi \left(z_1\right)\right)\Theta \left(z\right)$$

Full text

Abstact

This article proposes a process to reconstruct a Riemann surface with boundary equipped with a linked conductivity tensor from its boundary and the Dirichlet-Neumann operator associated to this conductivity. When initial data comes from a two dimensional real Riemannian surface equipped with a conductivity tensor, this process recover the whole of what can be determined from this data.

Dédicace

En janvier 2016 décédait mon ami Gennadi Henkin avec qui j’ai travaillé pendant plus de quinze ans. Ce travail qui revient sur un sujet qu’il avait apporté lui est dédié. Par les nombreuses citations d’articles où il figure en tant qu’auteur, le lecteur pourra constater la profondeur de la pensée mathématique de Gennadi.

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Mots clés: surface de Riemann, problème de Dirichlet-Neumann, fonction de Green, conductivité, onde de choc, plongement.

Key words: Riemann surface, Dirichlet-to-Neumann problem, Green function, conductivity, shock wave, embedding.

Classification AMS: Primaire, 32c25, 32d15, 32v15, 35r30, 58j32 secondaire 35r30

1. 1 Structures de conductivité

2. 1.1 Factorisation d’une conductivité

3. 1.2 L’opérateur de Dirichlet-Neumann

4. 2 Surfaces de Riemann nodales à bord

5. 3 Théorèmes d’unicité

6. 3.1 Conductivité anisotrope

7. 3.2 Fonctions de Green nodale

8. 3.3 Conductivité de coefficient constant

9. 4 Reconstruction

10. 4.1 Conductivité isotrope

11. 4.2 Conductivité anisotrope

12. 4.3 Indicatrices de Cauchy-Fantapié

13. 4.4 Développement des indicatrices

14. 4.5 Une genèse des ondes de chocs multiples

15. 4.6 Systèmes différentiels

16. 4.7 Unicité des décompositions en ondes de choc

17. 4.8 Procédé de reconstruction

18. 4.9 Genre d’une surface de Riemann à bord

Cet article est organisé de la manière suivante. La section 1 propose une formalisation du problème d’impédance tomographique électrique inverse qui, si elle n’est pas nouvelle, n’est pas vraiment explicite dans la littérature. La section 2 énonce ce que nous avons besoin de savoir sur les surfaces nodales qui apparaissent naturellement dans ce problème.

La troisième section regroupe des théorèmes inédits et d’autres déjà connus afin de dresser le panorama de l’unicité et de la construction d’une solution au problème formalisé dans la section 1.2.

La section 4.1 aborde le problème de la construction effective d’une solution dans le cas clé de la reconstruction d’une surface de Riemann à bord à partir de son opérateur de Dirichlet-Neumann. La méthode proposée est à notre connaissance entièrement nouvelle et repose sur l’analyse a priori de la décomposition d’une fonction holomorphe de deux variables en somme d’onde de chocs, c’est à dire de solutions de l’équation différentielle $\frac{\partial h}{\partial y}=h\frac{\partial h}{\partial x}$.

1 Structures de conductivité

Nous définissons une structure de conductivité de dimension deux comme un couple $\left(M,\sigma\right)$ où $M$ est une surface réelle à bord*(111On considère qu’une surface à bord $M$ est un ouvert dense d’une variété réelle orientée à bord de dimension deux $\overline{M}$ dont toutes les composantes connexes sont bordées par des variétés réelles de dimension pure $1$ ; ainsi, le bord $bM$ de $M$ est $\overline{M}\backslash M$ . Une surface de Riemann à bord est une variété complexe connexe de dimension $1$ qui est aussi une surface à bord réelle.)* connexe orientée munie d’une conductivité $\sigma:T^{\ast}\overline{M}\rightarrow T^{\ast}\overline{M}$, c’est-à-dire d’un tenseur tel que pour tout $p\in\overline{M}$,

[TABLE]

est une forme bilinéaire définie positive, $\mu$ étant une forme volume $\mu$ pour $\overline{M}$ fixée une fois pour toute. Cette définition, peut être inhabituelle, n’est qu’une reformulation*(*222Si on fixe un point $p$ dans $\overline{M}$, des coordonnées $\left(x,y\right)$ au voisinage de $p$ et qu’on pose comme dans [24] $\left(\xi,\eta\right)=\left(dy,-dx\right)$ puis $\sigma\left(dx\right)=r\xi+t\eta$ et $\sigma\left(dy\right)=u\xi+s\eta$, pour $a=a_{x}dx+a_{y}dy$ et $b=b_{x}dx+b_{y}dy$ dans $T_{p}\overline{M}$, $\sigma_{p}\left(b\right)=\left(b_{x}r+b_{y}u\right)\xi+\left(b_{x}t+b_{y}s\right)\eta$ et

$\displaystyle a\wedge\sigma_{p}\left(b\right)$ $\displaystyle=\left(a_{x}dx+a_{y}dy\right)\wedge\left[\left(b_{x}r+b_{y}u\right)dy-\left(b_{x}t+b_{y}s\right)dx\right]$

$\displaystyle=\left(ra_{x}b_{x}+ua_{x}b_{y}+ta_{y}b_{x}+sb_{x}b_{y}\right)dx\wedge dy$

) intrinsèque de celle donnée par [24] et [29]. La section 1.2 montre comment affranchir cette définition du choix de cette forme volume auxiliaire.

Pour toute fonction continue $u:bM\rightarrow\mathbb{R}$, il existe alors dans $C^{0}\left(\overline{M},\mathbb{R}\right)$ une unique fonction $E_{\sigma}u$ qui résout le problème de Dirichlet suivant

[TABLE]

Dans le problème d’impédance tomographique électrique inverse qui est le sujet de cet article, il est courant de considérer que la donnée essentielle est l’opérateur de Dirichlet-Neumann associé à (1). Dans son acceptation usuelle, celui-ci fait intervenir une dérivée normale et donc une métrique. Lorsque $M$ est une surface réelle contenue dans $\mathbb{R}^{3}$, on peut utiliser celle induite sur $\overline{M}$ par celle standard de $\mathbb{R}^{3}$ bien que cette dernière ne soit pas forcément corrélée à $\sigma$. Avant de donner définition intrinsèque à $\sigma$ de cet opérateur, la section suivante donne une analyse a priori, souvent en filigrane dans la littérature, des structures de conductivité de dimension 2.

Certains auteurs préfèrent considérer une métrique Riemannienne $g$ sur $M$ et construire l’opérateur de Dirichlet-Neumann à partir de la solution du problème de Dirichlet $\left(\Delta_{g}U=0\leavevmode\nobreak\ \&\leavevmode\nobreak\ \left.U\right|_{bM}=u\right)$ où $\Delta_{g}$ est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à $g$. En écrivant les équations $d\sigma dU=0$ et $\Delta_{g}U=0$ en coordonnées, on constante que ces deux formulations ne sont équivalentes que dans le cas particulier où $\det\sigma_{p}=1$ pour tout $p\in\overline{M}$. La formule (4) de la section (1.1) montre que $\sigma$ se réduit alors à une structure complexe et que dans le problème de tomographie inverse, c’est alors la seule chose à reconstruire. reconstruire autre chose que cette structure conforme.

1.1 Factorisation d’une conductivité

Les conditions imposées à $\sigma$ pour être une conductivité indiquent l’implication d’une métrique naturelle. Il est remarqué dans [14] qu’une forme volume $\mu$ pour $\overline{M}$ ayant été, on définit une métrique naturelle $g_{\mu,\sigma}$ sur $\overline{M}$ en posant pour tout $t\in T\overline{M}$

[TABLE]

Sa classe conforme $\mathcal{C}_{\sigma}$ ne dépend pas de $\mu$ et $\sigma$ se factorise (voir [14]) à travers $\mathcal{C}_{\sigma}$ au sens où il existe une fonction $s_{\sigma}:\overline{M}\rightarrow\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ de même régularité que $\sigma$, appelée coefficient de conductivité dans cet article, telle que lorsque $\left(x_{1},x_{2}\right)$ est un couple de coordonnées isothermiques locales pour $\mathcal{C}_{\sigma}$,

[TABLE]

pour tout $p$ dans l’ouvert de $\overline{M}$ où $\left(x_{1},x_{2}\right)$ est défini, $I_{2}$ étant la matrice unité d’ordre $2$ et $dx=\left(dx_{1},dx_{2}\right)$. Notons $\det\sigma$ l’application qui à tout point $p$ de $\overline{M}$ associe le déterminant de l’application linéaire $\sigma_{p}$. Alors (3) entraîne que $\det\sigma=s_{\sigma}^{2}$, c’est-à-dire $s_{\sigma}=\sqrt{\det\sigma}$. Si on note $c_{\sigma}$ la conductivité définie par

[TABLE]

$\mathcal{C}_{\sigma}$ est aussi la classe conforme associée à $c_{\sigma}$ et quand $\left(x_{1},x_{2}\right)$ est un couple de coordonnées isothermiques locales pour $\mathcal{C}_{\sigma}$,

[TABLE]

Autrement dit, $c_{\sigma}$ est aussi l’opérateur de conjugaison agissant sur les 1-formes de $M$. De plus, si $d^{\sigma}=c_{\sigma}d$, $\overline{\partial}{}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(d-id^{\sigma}\right)$ est l’opérateur de Cauchy-Riemann associé à $\mathcal{C}_{\sigma}$ et

[TABLE]

pour toute fonction $U\in C^{2}\left(\overline{M}\right)$.

Supposons que $\mathcal{C}$ soit une structure complexe sur $\overline{M}$, c’est-à-dire la donnée d’un atlas de $\overline{M}$ qui fasse de $M$ une surface de Riemann à bord de bord $bM$. Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les parties réelles et imaginaires d’une même coordonnée holomorphe de $M$, les matrices jacobiennes relatives à $\left(x_{1},x_{2}\right)$ d’applications holomorphes commutent avec $J$. Cela signifie qu’on peut définir un tenseur $c:T\overline{M}\rightarrow T\overline{M}$ par le fait que dans de telles coordonnées, $Mat_{dx}^{dx}(c)=J$. Par construction, $c$ est une conductivité de coefficient constant $1$, $c\circ d=i\left(\overline{\partial}-\partial\right)\overset{d\acute{e}f}{=}d^{c}$ et $c$ est son opérateur de Hodge agissant sur les 1-formes quand $M$ est muni de la métrique duale de celle définie sur chaque $T_{p}^{\ast}\overline{M}$ par $\left\langle a,b\right\rangle\mu=a\wedge\ast b=\frac{1}{\sqrt{\det\sigma}}a\wedge\sigma\left(b\right)$.

La décomposition (4) fait donc apparaître une structure complexe naturellement associée à $\sigma$. Celle-ci est unique au sens où si $c^{\prime}$ est l’opérateur de conjugaison associé à une structure complexe $\mathcal{C}^{\prime}$ et si $s^{\prime}\in\left(\mathbb{R}_{+}^{\ast}\right)^{M^{\prime}}$, l’égalité $\sigma=s^{\prime}.c^{\prime}$ impose $s=s^{\prime}$ puis $c_{\sigma}=c^{\prime}$ car $\det c_{\sigma}=1=\det c^{\prime}$.

La formule (3) montre que pour tout $p\in M$, $\sigma_{p}$ commute avec les automorphismes orthogonaux de $\left(T_{p}M,\left(g_{\mu,\sigma}\right)_{p}\right)$. Lorsque $M$ est une sous-variété de $\mathbb{R}^{3}$, en particulier si $M$ est un domaine de $\mathbb{R}^{2}$, et lorsque la classe conforme de $g_{\mu,\sigma}$ est induite par la métrique standard de $\mathbb{R}^{3}$, ceci signifie que $\sigma$ est isotrope au sens usuel (voir [24] et [29] par exemple). La proposition ci-dessous résume ce qui précède.

Proposition 1

Soit $M$ une surface à bord orientée de dimension réelle $2$. Une structure complexe $\mathcal{C}$ sur $\overline{M}$ définit un tenseur de conductivité de coefficient égal à $1$. Inversement, pour toute conductivité $\sigma$ sur $\overline{M}$, il existe une unique structure complexe $\mathcal{C}_{\sigma}$ telle que $\sigma=\sqrt{\det\sigma}c_{\sigma}$ où $c_{\sigma}$ est l’opérateur de conjugaison associé à $\mathcal{C}_{\sigma}$.

Ainsi, il est naturel de dire qu’une fonction $f$ d’un ouvert $U$ de $M$ à valeurs dans $\mathbb{C}$ est $\sigma$-holomorphe si $\overline{\partial}{}^{\sigma}f=0$, ou de façon équivalente, lorsque pour toute carte $z:V\rightarrow\mathbb{C}$ de l’atlas holomorphe de $\left(M,\mathcal{C}_{\sigma}\right)$, $f\circ z^{-1}$ est holomorphe sur $z^{-1}\left(U\right)$ au sens usuel.

Si $\left(M^{\prime},\sigma^{\prime}\right)$ est une autre structure de conductivité de dimension $2$, une fonction $f$ d’un ouvert $U$ de $M$ à valeurs dans $M^{\prime}$ est dite $\left(\sigma,\sigma^{\prime}\right)$-analytique si pour toute carte holomorphe $z^{\prime}:V^{\prime}\rightarrow\mathbb{C}$ de $\left(M^{\prime},\mathcal{C}_{\sigma^{\prime}}\right)$, $z^{\prime}\circ f$ est $\sigma$-holomorphe sur $f^{-1}\left(V^{\prime}\right)\cap U$, c’est-à-dire si $z^{\prime}\circ f\circ z^{-1}$ est holomorphe sur $z^{-1}\left(f^{-1}\left(V^{\prime}\right)\cap U\right)$ au sens usuel pour toute carte holomorphe $z:V\rightarrow\mathbb{C}$ de $\left(M,\mathcal{C}_{\sigma}\right)$. Cette propriété se caractérise aussi par le lemme suivant.

Lemme 2

Soient $\left(M,\sigma\right)$ et $\left(M^{\prime},\sigma^{\prime}\right)$ des structures de conductivité de dimension $2$, $U$ un ouvert de $M$ et $f:U\rightarrow M^{\prime}$ une application différentiable. Alors $f$ est $\left(\sigma,\sigma^{\prime}\right)$-analytique si et seulement si $\left({}^{t}Df\right)\circ c_{\sigma^{\prime}}=c_{\sigma}\circ\left({}^{t}Df\right)$. Lorsque $f$ réalise un difféomorphisme $\varphi$ de $U$ sur $f\left(U\right)$, $\varphi$ est $\left(\sigma,\sigma^{\prime}\right)$-analytique si et seulement si $\varphi_{\ast}c_{\sigma}=c_{\sigma^{\prime}}$ et en particulier si $\varphi_{\ast}\sigma=\sigma^{\prime}$.

Démonstration.

Considérons des cartes holomorphes $z:V\rightarrow\mathbb{C}$ de $\left(M,\mathcal{C}_{\sigma}\right)$ et $z^{\prime}:V^{\prime}\rightarrow\mathbb{C}$ de $\left(M^{\prime},\mathcal{C}_{\sigma^{\prime}}\right)$ et posons $F=Mat_{\left(dx,dy\right)}^{\left(dx^{\prime},dy^{\prime}\right)}\left(Df\right)$ où $\left(x,y\right)=\left(\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z\right)$ et $\left(x^{\prime},y^{\prime}\right)=\left(\operatorname{Re}z^{\prime},\operatorname{Im}z^{\prime}\right)$. Alors

[TABLE]

La relation $\left({}^{t}Df\right)\circ c_{\sigma^{\prime}}=c_{\sigma}\circ\left({}^{t}Df\right)$ a donc lieu si et seulement si $JF=FJ$. Traduite sur les entrées de matrice, ceci est équivalent au fait que $\operatorname{Re}f$ et $\operatorname{Im}f$ vérifient le système des équations de Cauchy-Riemann, c’est-à-dire $\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}=0$.

Supposons maintenant que $\varphi=f\left|{}_{U}^{f\left(U\right)}\right.$ est difféomorphisme. Puisque par définition, $\varphi_{\ast}c_{\sigma}=\left({}^{t}Df\right)_{\psi}^{-1}\circ\left(c_{\sigma}\right){}_{\psi}\circ{}^{t}\left(D\varphi\right)_{\psi}$ où $\varphi=\psi^{-1}$, le point précédent donne que $\varphi$ est $\left(\sigma,\sigma^{\prime}\right)$-analytique si et seulement si $\varphi_{\ast}c_{\sigma}=c_{\sigma^{\prime}}$. Par ailleurs, $\varphi_{\ast}c_{\sigma}=\left(\det\sigma\right)_{\psi}.\varphi_{\ast}c_{\sigma}=\det\left(\sigma_{\psi}\right).\varphi_{\ast}c_{\sigma}$. Donc la relation $\varphi_{\ast}\sigma=\sigma^{\prime}$ impose $\det\left(\sigma_{\psi}\right)=\det c_{\sigma^{\prime}}$ et $\varphi_{\ast}c_{\sigma}=c_{\sigma^{\prime}}$. ∎

1.2 L’opérateur de Dirichlet-Neumann

Considérons une structure de conductivité $\left(M,\sigma\right)$ de dimension $2$ et $\mu$ une forme volume sur $\overline{M}$. On équipe $M$ d’une métrique $g$ arbitraire et on note $\nu$ le champ de vecteur défini sur $bM$ tel que pour tout $p\in bM$, $\left(\nu_{p},\tau_{p}\right)$ est une base $g$-orthonormée directe de $T_{p}\overline{M}$. On dispose alors de l’opérateur de Dirichlet-Neumann «normal» $N_{\nu}^{\sigma}$ défini pour toute fonction suffisamment régulière $u:bM\rightarrow\mathbb{R}$ par

[TABLE]

Ainsi, lorsque $u:bM\rightarrow\mathbb{R}$ est suffisamment régulière,

[TABLE]

Cette formule montre que la donnée de $N_{\nu}^{\sigma}$ qui dépend du choix d’une métrique peut être remplacée par celle de l’opérateur de Dirichlet-Neumann «différentiel» $N_{d}^{\sigma}$ dont l’action sur une fonction $u:bM\rightarrow\mathbb{R}$ suffisamment régulière est définie par

[TABLE]

Dans le cas particulier où $\det\sigma=1$, il est noté dans [14] que $\left.\partial E_{\sigma}u\right|_{bM}=\left(L_{\nu}^{\sigma}u\right)\left(\nu^{\ast}+i\tau^{\ast}\right)$ où $L_{\nu}^{\sigma}=\frac{1}{2}\left(N_{\nu}^{\sigma}-i\frac{\partial}{\partial\tau}\right)$ de sorte qu’on peut considérer que l’opérateur de Dirichlet-Neumann «complexe» $\theta_{c}^{\sigma}$ défini sur les fonctions $u:bM\rightarrow\mathbb{R}$ suffisamment régulières par

[TABLE]

Ceci étant, la tâche à accomplir est généralement pensée comme la reconstruction de $\left(M,\sigma\right)$ à partir de $\left(\partial M,N_{\nu}^{\sigma}\right)$, $\partial M$ étant $bM$ muni de l’orientation induite par $M$ et $\nu$. Cette formulation est ambiguë car elle ne dit pas s’il s’agit de déterminer $M$ comme une variété abstraite, comme une variété plongée ou encore plus précisément comme une certaine sous-variété d’un espace standard et le succès de cette entreprise dépend du point de vue adopté.

Lorsque $M$ est un domaine de $\mathbb{R}^{2}$, la conductivité est souvent assimilée à la matrice $\left(\sigma_{jk}\right)=Mat_{\left(dx_{1},dx_{2}\right)}^{\left(dx_{2},-dx_{1}\right)}\left(\sigma\right)$ où $\left(x_{1},x_{2}\right)$ est le couple des coordonnées standards de $\mathbb{R}^{2}$; (1) s’écrit alors sous la forme

[TABLE]

et les conditions imposées à $\sigma$ pour être une conductivité se traduisent par le fait que $\left(\sigma_{jk}\right)$ est symétrique et définie positive.

Si le problème posé est compris comme celui de reconstruire $\left(\sigma_{jk}\right)$ à partir $\left(\partial M,N_{d}^{\sigma}\right)$, il est sans solution naturelle car d’après une remarque de Tartar citée par [22], lorsque $\varphi\in C^{1}\left(\overline{M},\overline{M}\right)$ est un difféomorphisme coïncidant avec l’identité sur $bM$ et $\Phi$ est la matrice jacobienne de $\varphi$, $\left(\beta_{jk}\right)=\frac{1}{\det\Phi}{}^{t}\Phi\left(\sigma_{jk}\right)\Phi$ définit une conductivité $\beta$ telle que $N_{d}^{\beta}=N_{d}^{\sigma}$. Cependant, la section précédente indique que $\varphi$ est alors un biholomorphisme entre les surfaces de Riemann $\left(M,\mathcal{C}_{\beta}\right)$ et $\left(M,\mathcal{C}_{\alpha}\right)$. Bien qu’elles le même ensemble sous-jacent, il est plus indiqué de les voir comme deux plongement différents de la même surface de Riemann abstraite.

Cet exemple invite à considérer le problème de conductivité inverse comme étant celui de la reconstruction d’une surface de Riemann à bord abstraite $M$ et d’une fonction $s:\overline{M}\rightarrow\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ à partir de la donnée de $bM$, de la restriction de $s.c$ à $T_{bM}\overline{M}$ où $c$ est l’opérateur de conjugaison de $T^{\ast}\overline{M}$ et de l’opérateur

[TABLE]

où $\mathcal{F}\left(M\right)$ est n’importe quel espace raisonnable de fonctions comme $C^{0}\left(bM\right)$, $C^{\infty}\left(bM\right)$ ou $H^{1/2}\left(bM\right)$, $d^{c}=i\left(\overline{\partial}-\partial\right)$, $\partial=d-\overline{\partial}$ et $\overline{\partial}$ est l’opérateur de Cauchy-Riemann de $M$.

Comme il a été précisé au début de la section précédente, il est possible de s’affranchir de la forme volume auxiliaire $\mu$. Puisque dans le problème inverse envisagé ici, l’opérateur de Dirichlet-Neumann $N_{d}^{\sigma}$ et $\sigma\left|{}_{bM}\right.$ sont considérés comme connus, l’opérateur $\ast_{\sigma}$ de conjugaison associé à la structure complexe $\mathcal{C}_{\sigma}$ de $\left(M,\sigma\right)$ est connu quand il agit sur le fibré $T_{bM}^{\ast}\overline{M}=\underset{s\in bM}{\cup}T_{s}\overline{M}$. Ayant fixé une section lisse et génératrice $\tau^{\ast}$ de $T^{\ast}bM$, on pose $\nu_{s}^{\ast}=-\left(\ast_{\sigma}\right)_{s}\tau_{s}^{\ast}$ pour tout $s\in bM$. Par définition d’une conductivité, $bM\ni s\mapsto\nu_{s}^{\ast}\wedge\tau_{s}^{\ast}$ est alors une section lisse du fibré des formes volumes de $\overline{M}$ et peut être prolongée en une forme volume lisse pour $\overline{M}$. Bien que ce prolongement ne soit pas unique, tout tenseur qui serait une conductivité pour l’un de ces prolongements le serait pour tous.

2 Surfaces de Riemann nodales à bord

Une surface de Riemann nodale à bord $Q$ est un ensemble de la forme $\left(\overline{S}/\mathcal{R}\right)\backslash\pi\left(bS\right)$ où $S$ est une surface de Riemann à bord, $\mathcal{R}$ une relation d’équivalence identifiant un nombre fini de points de $\overline{S}$ mais telle que deux points distincts de $bS$ sont dans deux classes différentes et $\pi$ est la projection naturelle de $\overline{S}$ sur $\overline{S}/\mathcal{R}$. En particulier, $\pi_{bS}=\pi\left|{}_{bS}^{bS}\right.$ est une bijection.

On munit $\overline{S}/\mathcal{R}$ de la topologie quotient de sorte que $Q$ est un ouvert, $\overline{Q}=\overline{S}/\mathcal{R}$ et $bQ=\pi\left(bS\right)$. On désigne par $\operatorname*{Reg}Q$ l’ensemble des points de $Q$ qui n’ont par $\pi$ qu’un antécédent et on pose $\operatorname*{Sing}Q=Q\backslash\operatorname*{Reg}Q$ ; on définit de façon analogue $\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ et $\operatorname*{Sing}\overline{Q}$. Puisque $\pi$ est bijective de $\overline{S}\cap\pi^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q}\right)$ sur $\operatorname*{Reg}\overline{Q}$, $\pi$ permet de donner à $\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ une structure de surface de Riemann ouverte à bord de bord $\left(bQ\right)\cap\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ et à $\pi_{\operatorname*{reg}}=\pi\left|{}_{S\cap\pi^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q}\right)}^{\operatorname*{Reg}\overline{Q}}\right.$ le statut d’isomorphisme.

Cette structure complexe se prolonge à travers les éventuelles singularités de $\overline{Q}$ de la façon suivante. Soient pour $q\in\overline{Q}$ donné, les antécédents $p_{1},...,p_{\nu\left(q\right)}$ de $q$ par $\pi$ et $V_{q,1},...,V_{q,\nu\left(q\right)}$ des voisinages connexes ouverts dans $\overline{S}$ de ces points tels que pour tout $j\in\left\{1,...,\nu\left(q\right)\right\}$, $\overline{V_{q,j}}\cap\pi^{-1}\left(\operatorname*{Sing}\overline{Q}\right)=\left\{p_{j}\right\}$, $\overline{V_{q,j}}\cap bS$ est soit vide, soit un ouvert connexe de $bS$ et $\overline{V_{q,j}}\cap\overline{V_{q,k}}=\emptyset$ lorsque $k\neq j$. Pour chaque $j$, $\pi$ réalise une bijection $\pi_{q,j}$ de $V_{q,j}\backslash bS$ sur $Q_{q,j}$, ce qui permet de munir $Q_{q,j}$ ou $Q_{q,j}\cup\left(\overline{Q_{q,j}}\cap bS\right)$ si $q\in bQ$ et $j$ est l’indice tel que $p_{j}\in\left(bS\right)\cap\pi^{-1}\left(Q\right)$, d’une structure de surface de Riemann, à bord si $q\in bQ$. Par construction, $\pi_{q,j}$ prolonge holomorphiquement la restriction de $\pi_{\operatorname*{reg}}$ à $V_{q,j}$ pour tout $j$.

On appelle branche de $\overline{Q}$ en $q$ toute surface de Riemann connexe $B$ de la forme $Q_{q,j}$ - si $\overline{B}\cap bS=\varnothing$, $B$ est dite intérieure et si $\overline{B}\cap bS$ contient un voisinage de $q$ dans $bS$, $B$ est dite de bord.

Par fonction nodale classe $C^{k}$ sur $U$ ou $\overline{U}$, $0\leqslant k\leqslant\infty$, (resp. holomorphe sur $U$), $U$ étant un ouvert de $Q$, on entend une fonction usuelle sur $\operatorname*{Reg}U$ qui se prolonge en fonction de classe $C^{k}$ (resp. holomorphe) le long de toute branche de $U$ ou $\overline{U}$ selon le cas échéant. On définit de façon similaire la notion d’application nodale de classe $C^{k}$ ou holomorphe à valeurs dans une variété de classe $C^{k}$ ou analytique. Une application $f$ à valeurs dans $\overline{Q}$ est dite de classe $C^{k}$ (resp. holomorphe) si pour toute branche $B$ de $\overline{Q}$, $f^{-1}\left(B\right)$ est une variété nodale de classe $C^{k}$ (ou analytique) et $f$ est de classe $C^{k}$ (resp. holomorphe) sur $f^{-1}\left(B\right)$.

Si $X$ est une variété réelle à bord de classe $C^{k}$ et $Q$ une surface de Riemann à bord, une $C^{k}$-normalisation (resp. normalisation) de $X$ sur $Q$ est une application $f:\overline{X}\rightarrow\overline{Q}$ qui est un $C^{k}$-difféomorphisme (resp. biholomorphisme) usuel de $f^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q}\right)$ sur $\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ et de $f^{-1}\left(B\right)$ sur $B$ pour toute branche $B$ de $Q$. Avec cette définition, $\pi:\overline{S}\rightarrow\overline{Q}$ est une normalisation de $Q$.

Considérons une autre surface de Riemann nodale à bord $Q^{\prime}$ qui est le quotient d’une surface de Riemann à bord $S^{\prime}$ et notons $\pi^{\prime}$ la projection naturelle de $\overline{S^{\prime}}$ sur $\overline{Q^{\prime}}$. On se donne une application nodale $\varphi:\overline{Q}\longrightarrow\overline{Q^{\prime}}$ ; $\varphi$ est donc univaluée sur $\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ et multivaluée sur $\operatorname*{Sing}\overline{Q}$. On dit que $\varphi$ est un isomorphisme approximatif de surfaces de Riemann nodale à bord si les deux conditions suivantes sont réalisées :

i) $\varphi$ est bijective de $\varphi^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q^{\prime}}\right)\cap\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ sur $\varphi\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q}\right)\cap\operatorname*{Reg}\overline{Q^{\prime}}$.

ii) Pour toute branche $B^{\prime}$ intérieure (resp. de bord) issue d’un point $q^{\prime}$ de $\overline{Q}$, $\varphi^{-1}\left(B^{\prime}\right)$ est une branche intérieure (resp. de bord) de $\overline{Q}$ en $q$ et $\varphi\left|{}_{B}^{B^{\prime}}\right.$ est un isomorphisme de surfaces de Riemann (resp. à bord).

Ces conditions entraînent les propriétés suivantes :

iii) $\varphi$ réalise isomorphisme de surfaces de Riemann à bord de $\varphi^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q^{\prime}}\right)\cap\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ sur $\varphi\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q}\right)\cap\operatorname*{Reg}\overline{Q^{\prime}}$

iv) Pour chaque $q^{\prime}\in\operatorname*{Sing}\overline{Q^{\prime}}$, on se donne un jeu $\left(Q_{q^{\prime},j}^{\prime}\right)_{1\leqslant j\leqslant\nu\left(q^{\prime}\right)}$ complet de branches deux à deux disjointes de $\overline{Q^{\prime}}$ en $q^{\prime}$. Alors $\left(\varphi^{-1}\left(Q_{q^{\prime},j}^{\prime}\right)\right)_{q\in\operatorname*{Sing}\overline{Q^{\prime}},\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant j\leqslant\nu\left(q^{\prime}\right)}$ est un jeu de branches de $\overline{Q}$ en ses points singuliers, complet au sens où pour tout $q\in\operatorname*{Sing}\overline{Q}$, il existe une partie $E_{q}$ de $\left\{\left(q^{\prime},j\right);\leavevmode\nobreak\ q^{\prime}\in\operatorname*{Sing}\overline{Q^{\prime}},\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant j\leqslant\nu\left(q^{\prime}\right)\right\}$ telle que les branches de $\overline{Q}$ en $q$ sont les $\varphi^{-1}\left(Q_{q^{\prime},j}^{\prime}\right)$, $\left(q^{\prime},j\right)\in E_{q}$.

v) $\varphi$ se relève en un isomorphisme $\widetilde{\varphi}:\overline{S}\longrightarrow\overline{S^{\prime}}$ tel que pour toute branche $B$ de $\overline{Q}$, $\varphi=\pi^{\prime}\circ\widetilde{\varphi}\circ\left(\pi\left|{}_{B}^{\pi^{-1\left(B\right)}}\right.\right)^{-1}$ .

Si $\varphi$ est un isomorphisme approximatif et respecte les noeuds de $\overline{Q}$ et $\overline{Q^{\prime}}$, c’est-à-dire si les branches de $\overline{Q^{\prime}}$ en $\varphi\left(q\right)$ sont les images par $\varphi$ des branches de $\overline{Q}$ en $q$, ou de façon équivalente, $\left(\pi^{\prime}\right){}^{-1}\left(\left\{\varphi\left(q\right)\right\}\right)=\widetilde{\varphi}\left(\pi^{-1}\left(\left\{q\right\}\right)\right)$ pour tout $q\in\overline{Q^{\prime}}$, on dit que $\varphi$ est un isomorphisme de surfaces de Riemann nodales à bord. Dans ce cas, $\varphi$ est un homéomorphisme de \overline{Q}\sur $\overline{Q^{\prime}}$.

Une structure de conductivité sur $\overline{Q}$ est une structure de conductivité sur $\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ qui se prolonge en structure de conductivité le long de toute branche de $\overline{Q}$. Les considérations de la section précédente s’appliquent alors de façon naturelle et nous n’en faisons pas le détail. Dans cet article, nous n’utilisons pour les surfaces nodales que les conductivités de coefficient $1$, c’est à dire les structures complexes sous-jacentes.

Pour conclure cette section, précisons que d’après*(333Cette caractérisation est prouvée pour le cas où $bQ\subset\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ mais la preuve s’applique sans changement au cas présent.)* [16, prop. 2] une distribution $u$ sur un ouvert $W$ de $\overline{Q}$ est harmonique si elle est harmonique au sens usuel sur $W\cap\operatorname*{Reg}Q$, continue sur $W\cap\operatorname*{Reg}\overline{Q}$ et si pour tout point singulier $q$ de $\overline{Q}$ les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. pour toute branche intérieure $B$ de $\overline{Q}$ en $q$ suffisamment petite pour qu’on puisse s’en donner une une coordonnée holomorphe $z$, il existe $c_{B}\in\mathbb{C}$ tel que $u\left|{}_{Q_{q,j}\backslash\left\{q\right\}}\right.-2c_{B}\ln\left|z\right|$ se prolonge à $B$ en fonction harmonique usuelle.

2. $\sum c_{B}=0$, la somme étant étendue aux branches intérieures de $\overline{Q}$ en $q$.

Inversement, toute distribution ayant ces deux propriétés est une distribution harmonique. Ceci entraîne qu’une même fonction $u$ continue sur $bQ$ admet plusieurs prolongements en tant que distribution harmonique $U$ ; le problème de Dirichlet pour $u$ n’est bien posé que si on spécifie pour tout $q\in\operatorname*{Sing}\overline{Q}$ et toute branche intérieure $\mathcal{B}$ de $\overline{Q}$ en $q$, le résidu $c_{B}$ de $\partial U\left|{}_{\mathcal{B}}\right.$ en $q$. En particulier, $\widehat{u}$ désignant le prolongement harmonique de $u\circ\pi_{bS}^{-1}$ à $S$, $\pi_{\ast}\widehat{u}$ est la seule distribution harmonique qui est continue le long de toute branche de $\overline{Q}\backslash\left\{q\right\}$ et coïncide avec $u$ sur $bQ$ ; on l’appelle le prolongement harmonique simple de $u$.

En particulier, on peut définir pour une surface de Riemann nodale un opérateur de Dirichlet-Neumann complexe $\theta_{c}^{\sigma}$ où dans (7) on utilise les extensions harmoniques simples.

3 Théorèmes d’unicité

3.1 Conductivité anisotrope

Lorsque la conductivité n’est pas isotrope, les auteurs se sont concentrés sur l’injectivité à difféomorphisme près de $\sigma\mapsto N_{\nu}^{\sigma}$, c’est-à-dire à la réciproque de la remarque de Tartar. Cette injectivité est prouvée par Nachman [25] pour une conductivité de classe $C^{2}$ et un domaine de $\mathbb{R}^{2}$. Dans [4], elle est établie pour une conductivité de classe $L^{\infty}$ mais pour un domaine simplement connexe de $\mathbb{R}^{2}$.

Dans le cas spécial où le coefficient de conductivité est constant, la question est de savoir si deux structures conformes sur $M$ sont identiques lorsqu’elles partagent le même opérateur de Dirichlet à Neumann. Une réponse positive est affirmée par Lassas et Uhlmann [23] quand $M$ est connexe et Belishev la corrobore dans [5] en montrant que $M$ peut être retrouvée comme le spectre de l’algèbre des restrictions à $bM$ des fonctions holomorphes sur $M$ se prolongeant continûment à $\overline{M}$.

Dans [23] et [5], la connaissance complète de l’opérateur de Dirichlet-Neumann est nécessaire pour obtenir l’unicité de la structure conforme. Dans [14], il est dit que celle-ci est déterminée par l’action de l’opérateur de Dirichlet-Neumann sur trois fonctions génériques mais la preuve donnée de ce résultat n’est correcte qu’en renforçant un peu les conditions génériques imposées à ces trois fonctions, ce qui est fait dans [16]. L’unicité en question ici peut être aussi obtenue en augmentant le nombre de fonctions génériques comme dans [18]. Le théorème 9 de cet article en donne une preuve avec les hypothèses de [14] et la section 4.8 propose une reconstruction plus explicite de la structure complexe $M$ à partir de son opérateur de Dirichlet-Neumann.

Dans [20] pour un domaine de $\mathbb{R}^{2}$, puis dans [21] pour le cas général d’une variété réelle connexe $M$ de dimension $2$, Henkin et Santacesaria ont fait une avancée majeure dans la théorie en prouvant que l’opérateur de Dirichlet-Neumann détermine la structure complexe de $\left(M,\sigma\right)$ sous la forme d’une surface de Riemann nodale à bord plongée dans $\mathbb{C}^{2}$.

Th or me 3** **(Henkin-Santacesaria, 2012)

Soit $\left(M,\sigma\right)$ une structure de conductivité de dimension $2$, $\sigma$ étant de classe $C^{3}$. Il existe alors une surface de Riemann nodale à bord $\mathcal{M}$ plongée dans $\mathbb{C}^{2}$ et une $C^{3}$-normalisation $F:\overline{M}\rightarrow\overline{\mathcal{M}}$ telle que $F_{\ast}\sigma=tc_{\mathcal{M}}$ où $t\in C^{3}\left(\mathcal{M},\mathbb{R}_{+}^{\ast}\right)$ et $c_{\mathcal{M}}$ est la structure complexe induite par $\mathbb{C}^{2}$ sur $\mathcal{M}$. En outre si $F:\overline{M}\rightarrow\overline{\mathcal{M}^{\prime}}$ est une autre $C^{3}$-normalisation du même type, $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}^{\prime}$ sont approximativement isomorphes. Enfin, les valeurs au bord de $F$ et en particulier $b\mathcal{M}$ sont déterminées par $bM$, $\sigma\left|{}_{T_{bM}M}\right.$ et l’opérateur de Dirichlet-Neumann $N_{d}^{\sigma}$ de $\left(M,\sigma\right)$.

Notons que grâce au lemme 2, $F$ est holomorphe au sens où pour toute branche $B$ de $\mathcal{M}$, $F$ est analytique de $\left(F^{-1}\left(B\right),\mathcal{C}_{\sigma}\right)$ dans $\mathbb{C}^{2}$. Par ailleurs, il résulte de la preuve de ce théorème que les singularités de $\mathcal{M}$ sont les points de $F\left(\overline{M}\right)$ ayant plusieurs antécédents par $F$. Ainsi, lorsque $\mathcal{M}$ n’a pas de singularité, $F$ est un difféomorphisme de $\overline{M}$ sur $\mathcal{M}$ vérifiant les hypothèses du lemme 2, ce qui en fait un isomorphisme de surfaces de Riemann à bord.

Dans [21], il est dit que $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}^{\prime}$ sont isomorphes mais sans que le sens en soit précisé. Démontrons succinctement qu’il s’agit au moins d’isomorphie approximative. Supposons que $F:\overline{M}\rightarrow\overline{\mathcal{M}}$ et $G:F:\overline{M}\rightarrow\overline{\mathcal{M}^{\prime}}$ sont deux $C^{3}$-normalisations du type ci-dessus. Posons $G_{\operatorname{reg}}=G\left|{}_{{}_{\operatorname*{Reg}\mathcal{M}}}^{{}_{G^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\mathcal{M}\right)}}\right.$, $F_{\operatorname{reg}}=F\left|{}_{{}_{\operatorname*{Reg}\mathcal{M}^{\prime}}}^{{}_{F^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\mathcal{M}^{\prime}\right)}}\right.$ et notons $H_{\operatorname{reg}}$ l’application de $\operatorname*{Reg}\mathcal{M}\cap G\left(F^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\mathcal{M}^{\prime}\right)\right)$ dans $\operatorname*{Reg}\mathcal{M}\cap F\left(\operatorname*{Reg}\mathcal{M}^{\prime}\right)$ définie par $H_{\operatorname{reg}}\left(z\right)=F_{\operatorname{reg}}\left(G_{\operatorname{reg}}^{-1}\left(z\right)\right)$. Parce que $F$ et $G$ sont des normalisations, $H_{\operatorname{reg}}$ se prolonge holomorphiquement le long de toute branche de $\mathcal{M}$ en une application (multivaluée) $H$ de $\mathcal{M}$ à valeurs dans $\mathcal{M}^{\prime}$. Par construction, $H\left(\mathcal{M}^{\prime}\right)$ et $\mathcal{M}$ sont des courbes complexes qui ne différent qu’en un nombre fini de points. Elles sont donc égales et en particulier, $\operatorname*{Sing}\mathcal{M}$ et $\operatorname*{Sing}\mathcal{M}^{\prime}$ ont même cardinal. Il s’ensuit que $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}^{\prime}$ sont approximativement isomorphes.

En réalité, $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}^{\prime}$ sont bien isomorphes au sens fort donné dans cet article. En effet, $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}^{\prime}$ induisent par relèvement sur $M$ des structures complexes a priori différentes mais qui coïncident sur $bM$ et partagent le même opérateur de Dirichlet-Neumann. Grâce au théorème 9 énoncé et prouvé plus loin, les surfaces de Riemann à bord correspondantes sont donc isomorphes et du coup, $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}^{\prime}$ le sont aussi en tant que surfaces de Riemann nodale à bord.

Ainsi, $\mathcal{M}$ est un modèle, éventuellement singulier, de la structure complexe de $\left(M,\sigma\right)$. Ce modèle est calculable au sens effectif du terme. En effet, $\mathcal{M}$ est un sous-ensemble analytique de dimension $1$ de $\mathbb{C}^{2}\backslash b\mathcal{M}$ qui au sens des courants de $\mathbb{C}^{2}$ satisfait $d\left[\mathcal{M}\right]=F_{\ast}\left[\partial M\right]$ où $\left[\mathcal{M}\right]$ désigne le courant d’intégration sur $\mathcal{M}$ et $\left[\partial M\right]$ celui du bord de $M$ orienté par $M$. Dans cette situation, on sait, essentiellement depuis les travaux de Harvey et Lawson [10, 11], que $\mathcal{M}$ peut être calculée de façon effective grâce à des formules de type Cauchy (voir par exemple [14, th. 2] ou [21, prop. 1]).

On peut considérer que $\mathcal{M}$ suffit comme présentation de $M$ en tant que surface de Riemann mais on peut aussi souhaiter disposer d’un atlas de la structure complexe de $M$. Le paragraphe suivant explique comment le travail de [14, 16] permet d’obtenir $M$ à partir de $\mathcal{M}$ et donc in fine à partir de $N_{d}^{\sigma}$.

Dans le théorème ci-dessous, on note $\left[w_{0}:\cdots:w_{d}\right]$ les coordonnées homogènes standards de $\mathbb{CP}_{d}$. Si $\omega_{0},...,\omega_{d}$ sont des $\left(1,0\right)$-formes deux à deux proportionnelles ne s’annulant pas simultanément, on note $\left[\omega_{0}:\cdots:\omega_{d}\right]$ ou $\left[\omega\right]$ l’application définie sur chaque $\left\{\omega_{j}\neq 0\right\}$ par $\left[\omega\right]=\left[\frac{\omega_{0}}{\omega_{j}}:\cdots:\frac{\omega_{d}}{\omega_{j}}\right]$.

Th or me 4

Soient $\left(M,\sigma\right)$ une structure de conductivité de dimension $2$, $\sigma$ étant de classe $C^{3}$, et $F:\overline{M}\rightarrow\overline{\mathcal{M}}$ une normalisation comme dans le théorème 3. On considère l’opérateur $\theta_{c}^{\sigma}$ défini en (7) et, $\mathcal{M}$ étant muni de la conductivité de coefficient associée à sa structure complexe, on désigne par $\theta_{c}^{\mathcal{M}}$ l’opérateur de Dirichlet-Neumann complexe défini de façon similaire à la fin de la section 2. Enfin, on pose $f=F\left|{}_{bM}^{F\left(bM\right)}\right.$.

Alors pour $u\in C^{\infty}\left(bM,\mathbb{R}\right)$ et $w=u\circ f^{-1}=f_{\ast}u$, $F_{\ast}\theta_{c}^{\sigma}u=\theta_{c}^{\mathcal{M}}w$ est la restriction à $b\mathcal{M}$ de $\partial\widehat{w}$ où $\widehat{w}$ est l’extension harmonique simple de $w$. De plus, pour $\left(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ générique dans $C^{\infty}\left(bM,\mathbb{R}\right)^{4}$, l’application

[TABLE]

plonge dans $\mathbb{CP}_{3}$ la courbe réelle $bM$ sur une courbe réelle bordée dans $\mathbb{CP}_{3}$ par une surface de Riemann à bord $S$ isomorphe à $M$.

Démonstration.

Considérons une fonction $u$ de $C^{0}\left(bM,\mathbb{R}\right)$. Notons $\widetilde{u}$ le prolongement harmonique de $u$ à $M$ ; puisque $2\overline{\partial}{}^{\sigma}\partial^{\sigma}=idd^{c_{\sigma}}$, $\widetilde{u}$ est l’unique solution dans $C^{0}\left(\overline{M}\right)$ du système

[TABLE]

D’après [14, formule 1.1], $\theta_{c}^{\sigma}u$ est la restriction à $bM$ de la $\left(1,0\right)$-forme $c_{\sigma}$-holomorphe $\partial^{\sigma}\widetilde{u}$.

Puisque $F_{B}=F\left|{}_{F^{-1}\left(B\right)}^{B}\right.$ est un isomorphisme $\left(\sigma,c_{\mathcal{M}}\right)$-analytique pour toute branche $B$ de $\mathcal{M}$ et puisque $\widetilde{u}$ est lisse, $F_{\ast}\widetilde{u}$ est lisse le long de toute branche $B$ de $\mathcal{M}$ et vérifie $\left(\overline{\partial}\partial\left(F_{B}\right){}_{\ast}\widetilde{u}\right)\left|{}_{B}\right.=\left(F_{B}\right){}_{\ast}\overline{\partial}{}^{\sigma}\partial^{\sigma}\widetilde{u}=0$. Ainsi, $\widetilde{u}\circ\left(F_{\operatorname*{Reg}\mathcal{M}}\right)^{-1}$ se prolonge harmoniquement le long de toute branche de $\mathcal{M}$ et définit sur $\mathcal{M}$ une distribution $\widehat{w}$ qui est l’unique solution continue le long de toute branche de $\mathcal{M}$ du problème

[TABLE]

quand $w=u\circ f^{-1}$. Les mêmes calculs que dans [14, formule 1.1] donnent que $\theta_{c}^{\mathcal{M}}w$ est la restriction à $b\mathcal{M}$ de la $\left(1,0\right)$-forme holomorphe $\partial\widehat{w}$. Etant donné que $F$ est $\left(\sigma,c_{\mathcal{M}}\right)$-analytique, $\partial\widehat{w}=F_{\ast}\partial^{\sigma}\widetilde{u}$.

Considérons maintenant dans $C^{\infty}\left(bM,\mathbb{R}\right)$ quatre fonctions $u_{0},...,u_{3}$ dont on note par un tilde leur prolongement $c_{\sigma}$-harmonique à $\overline{M}$. Grâce à la remarque faite page 327 pour le théorème 4 de [18], on sait que pour $\left(u_{0},...,u_{3}\right)$ générique, les formes $\partial^{\sigma}\widetilde{u_{j}}$ ne s’annulent pas simultanément et que $\left[\partial^{\sigma}u\right]=\left[\partial^{\sigma}u_{0}:\cdots:\partial^{\sigma}u_{3}\right]$ plonge $\overline{M}$ dans $\mathbb{CP}_{3}$ sur une surface de Riemann $S$ à bord. Dans une telle situation, les distributions harmoniques $\widehat{w_{j}}$ qui sont les solutions du problème (9) quand $w=f_{\ast}u_{j}$ vérifient

[TABLE]

pour tout $j\in\mathbb{N}$. ∎

Remarque. $\left[\partial w\right]$ est définie sans ambiguïté sur $\operatorname*{Reg}\mathcal{M}$ et se prolonge holomorphiquement le long de toute branche $B$ de $\mathcal{M}$. L’application multivaluée $\left[\partial\widehat{w}\right]$ qui en résulte désingularise $\mathcal{M}$ au sens où il existe une normalisation $G:S\rightarrow\mathcal{M}$ telle que $G\circ\left[\partial\widehat{w}\right]=Id_{\mathcal{M}}$.

$\theta_{c}^{\sigma}$ n’étant pas directement accessible à partir de $N_{d}^{\sigma}$, la méthode proposée par le théorème 4 pour construire un plongement de $\overline{M}$ dans $\mathbb{CP}_{3}$ repose sur l’utilisation de la surface nodale $\mathcal{M}$ fabriquée par le théorème de Henkin et Santacesaria pour obtenir $\theta_{c}^{\mathcal{M}}$ à partir d’extensions harmonique simples à $\mathcal{M}$ de fonctions définies sur $b\mathcal{M}$. Bien que $\mathcal{M}$ soit connue, le fait que $\mathcal{M}$ soit nodale complique les choses car ce problème de Dirichlet n’a de solution unique que si on spécifie des données aux points nodaux.

Plus précisément, notons $q_{1},...,q_{s}$ les points de $\overline{\mathcal{M}}$ où $\overline{\mathcal{M}}$ a au moins deux branches intérieures. Pour chacun de ces points $q_{j}$, notons $B_{j,1}$,…,$B_{j,\mu_{j}}$ les branches intérieures de $\mathcal{M}$ en $q_{j}$. Alors, pour $v\in C^{\infty}\left(b\mathcal{M}\right)$ donnée, on sait d’après [16, prop. 2] que pour toute famille $\alpha=\left(\left(\alpha_{j,k}^{r}\right)_{1\leqslant j\leqslant s}\right)_{1\leqslant k\leqslant\mu_{j}}$ de nombre complexes vérifiant $\sum\limits_{1\leqslant k\leqslant\mu_{j}}\alpha_{j,k}=0$ pour tout $j$, il existe un et un seul prolongement de $v$ en distribution harmonique $\widehat{v}^{\alpha}$ tel que pour tous $j,k$ le résidu en $q_{j}$ de $\partial\widehat{v}^{\alpha}\left|{}_{\mathcal{B}_{j,k}}\right.$ vaut $\alpha_{j,k}$. En particulier, $\widehat{v}^{0}=\widehat{v}$.

Si dans le théorème 4, on remplace $\left[F^{\ast}\theta_{c}^{\mathcal{M}}f_{\ast}u\right]$ par

[TABLE]

où les familles de réels $\alpha^{r}=\left(\left(\alpha_{j,k}^{r}\right)_{1\leqslant j\leqslant s}\right)_{1\leqslant k\leqslant\mu_{j}}$ vérifient $\sum\limits_{1\leqslant k\leqslant\mu_{j}}\alpha_{j,k}^{r}=0$ , on obtient encore les mêmes conclusions quand $\left(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ est générique et l’application $\left(j,k\right)\mapsto\left[\alpha_{j,k}^{0}:\cdots:\alpha_{j,k}^{3}\right]$ est bien définie et injective. Notons que la seconde partie du théorème admet aussi une modification similaire.

Cette modification du théorème 4 dit en substance qu’il n’est pas utile de se soucier de quels prolongements en distribution harmonique on use. Cependant, la construction de tels prolongements n’est pas forcément évidente. La section suivante en propose une.

3.2 Fonctions de Green nodale

Quand $M$ est une surface de Riemann à bord lisse, une fonction de Green pour $M$ est une fonction symétrique réelle $g$ définie sur $\overline{M}\times\overline{M}$ privée de sa diagonale $\Delta_{\overline{M}}$ telle que pour tout $q\in M$, $g_{q}=g\left(q,.\right)$ est harmonique sur $M\backslash\left\{q\right\}$, continue sur $\overline{M}\backslash\left\{q\right\}$ et présente une singularité logarithmique isolée en $q$, ce qui signifie qu’ayant choisi au voisinage de $q$ dans $M$ une coordonnée holomorphe $z$ centrée en $q$, $g_{q}-\frac{1}{2\pi}\ln\left|z\right|$ se prolonge harmoniquement au voisinage de $q$. L’unique fonction de Green telle que $g_{q}\left|{}_{bM}\right.=0$ pour tout $q\in M$ est dite principale. Avec une fonction de Green $g$, on fabrique l’opérateur $T$ qui à $v\in C^{\infty}\left(bM\right)$ associe la fonction $Tv$ définie par

[TABLE]

Lorsque $v\in C^{\infty}\left(bM\right)$, $Tv$ est harmonique sur $M$, se prolonge à $\overline{M}$ en fonction de classe $C^{\infty}$ et si $g$ est principale, coïncide avec $v$ sur $bM$. Si on se ramène au cas où $\overline{M}$ est relativement compact dans une surface de Riemann $\widetilde{M}$ (on peut par exemple choisir pour $\widetilde{M}$ le double de $M$), on peut considérer l’opérateur $S$ qui à $v\in C^{\infty}\left(bM\right)$ associe la fonction $Sv$ définie par

[TABLE]

Lorsque $v\in C^{\infty}\left(bM\right)$, $Sv$ est harmonique sur $M$, se prolonge à $\overline{M}$ en fonction de classe $C^{\infty}$ et d’après un résultat de Sohotksy de 1873, vérifie $v=Tv-Sv$ sur $bM$. En outre, d’après les travaux de Fredholm en 1900, l’équation intégrale $v=w+\left(Sw\right)\left|{}_{bM}\right.$ admet une unique solution qu’on note $Rv$ et le prolongement harmonique $Ev$ de $v$ à $M$ est $Ev=TRv$. En particulier, $G_{M}:\left(q,z\right)\mapsto g\left(q,z\right)-E\left(g_{z}\left|{}_{bM}\right.\right)\left(q\right)$ est la fonction de Green principale de $M$. Quand $g$ est une fonction de Green principale, la formule (10) donne le prolongement harmonique de $v$ à $M$.

D finition 5

Soit $\mathcal{Y}$ une courbe complexe ouverte, éventuellement singulière, d’un ouvert de $\mathbb{C}^{2}$. Une fonction de Green pour $\mathcal{Y}$ est une fonction $g:\left(\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}\times\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}\right)\backslash\Delta_{\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}}\rightarrow\mathbb{R}$ symétrique telle que pour tout $q_{\ast}\in\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}$, $g_{q_{\ast}}=g\left(q_{\ast},.\right)$ vérifie $i\partial\overline{\partial}g_{q_{\ast}}=\delta_{q_{\ast}}dV$ au sens des courant, $\delta_{q_{\ast}}$ étant la mesure de Dirac portée par $\left\{q_{\ast}\right\}$ et $dV=i\partial\overline{\partial}\left|.\right|^{2}$ - ceci implique en particulier que $\partial g_{q_{\ast}}$ est une $\left(1,0\right)$-forme faiblement holomorphe sur $\mathcal{Y}\backslash\left\{q_{\ast}\right\}$ au sens de [27].

Lorsque $\mathcal{Y}$ est une surface de Riemann nodale ouverte, quotient d’une surface de Riemann $S$ par une relation d’équivalence et lorsque $\pi$ est la projection canonique de $S$ sur $\mathcal{Y}$, une fonction de Green simple pour $\mathcal{Y}$ est une fonction $g:\left(\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}\times\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}\right)\backslash\Delta_{\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}}\rightarrow\mathbb{R}$ pour laquelle il existe une fonction $\widetilde{g}:\left(S\times S\right)\backslash\Delta_{S}\rightarrow\mathbb{R}$ ayant les propriétés suivantes : - lorsque $q_{\ast}\in\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}$ et $\left\{s_{\ast}\right\}=\pi^{-1}\left(q_{\ast}\right)$, $g_{q_{\ast}}=\pi_{\ast}\widetilde{g}_{s_{\ast}}$ au sens des courants - lorsque $q_{\ast}\in\operatorname*{Sing}\mathcal{Y}$, $\mathcal{B}$ est une branche de $\mathcal{Y}$ en $q_{\ast}$ et $\left\{s_{\ast}\right\}=\left(\pi\left|{}_{\mathcal{B}}\right.\right)^{-1}\left(q_{\ast}\right)$, $g_{q}$ tend au sens des courants vers $\pi_{\ast}\widetilde{g}_{s_{\ast}}$ lorsque $q\in\mathcal{B}\backslash\left\{q_{\ast}\right\}$ tend vers $q_{s}$.

Une fonction de Green principale pour une surface de Riemann nodale à bord $\mathcal{Y}$ est une fonction de Green simple $g$ pour $\mathcal{Y}$ telle que si $\mathcal{B}$ est une branche de bord de $\mathcal{Y}$, $g\left|{}_{\mathcal{B}}\right.$ se prolonge continûment à $\overline{\mathcal{B}}$ par la valeur [math] sur $\overline{\mathcal{B}}\cap b\mathcal{Y}$.

Détaillons maintenant la formule explicite de la proposition 17 de [17] établissant l’existence de fonctions Green pour une famille à 1 paramètre de courbes complexes dont les singularités éventuelles sont quelconques. On se donne une courbe complexe $\mathcal{Y}$ d’un ouvert de $\mathbb{C}^{2}$, $\Omega$ un voisinage de Stein de $\mathcal{Y}$ dans $\mathbb{C}^{2}$, $\Phi$ une fonction holomorphe sur $\Omega$ telle que $\mathcal{Y}=\left\{\Phi=0\right\}$ et $d\Phi\left|{}_{\mathcal{Y}}\right.\neq 0$ puis un domaine strictement pseudoconvexe $\Omega^{\ast}$ de $\mathbb{C}^{2}$ vérifiant

[TABLE]

et enfin une fonction symétrique $\Psi\in\mathcal{O}\left(\Omega\times\Omega,\mathbb{C}^{2}\right)$ telle que pour tout $\left(z,z^{\prime}\right)\in\mathbb{C}^{2}$,

[TABLE]

où $\left\langle v,w\right\rangle=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}$ lorsque $v,w\in\mathbb{C}^{2}$. On définit sur $\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}$ une $\left(1,0\right)$-forme $\omega$ en posant

[TABLE]

et on considère

[TABLE]

Lorsque $q_{\ast}\in\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}_{0}$, [17, prop. 17 ] établit que la formule

[TABLE]

définit pour $\mathcal{Y}_{0}$ une fonction de Green au sens ci-dessus. En outre, la preuve de [17, prop. 17 ] apporte que si $q_{\ast}\in\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}_{0}$

[TABLE]

où $\widetilde{k}_{q_{\ast}}=\frac{1}{2\pi}k\left(.,q_{\ast}\right)$. La proposition ci-dessous donne un complément utile.

Proposition 6

On suppose $\mathcal{Y}$ n’a que des singularités nodales. Dans ce cas, la fonction $g$ définie par (11) est une fonction de Green simple pour $\mathcal{Y}$.

Démonstration.

Commençons par prouver que $q_{\ast}$ étant fixé dans $\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}_{0}$, $g_{q_{\ast}}$ se prolonge en fonction harmonique usuelle le long des branches de $\mathcal{Y}_{0}\backslash\left\{q_{\ast}\right\}$. Puisque, $g_{q_{\ast}}$ est une distribution harmonique sur $\mathcal{Y}_{0}\backslash\left\{q_{\ast}\right\}$, on sait déjà que $g_{q_{\ast}}\left|{}_{\operatorname*{Reg}\mathcal{Y}_{0}}\right.$ est une fonction harmonique usuelle et grâce à [16, prop. 2] que pour toute branche $\mathcal{B}$ de $\mathcal{Y}_{0}$ en $q$, $g_{q_{\ast}}\left|{}_{\mathcal{B}}\right.$ a au plus une singularité logarithmique isolée en $q$ et donc que $\partial g_{q_{\ast}}$ au plus un pôle simple en $q$. Fixons $q$ dans $\operatorname*{Sing}\mathcal{Y}_{0}$ et $\mathcal{B}$ une branche de $\mathcal{Y}_{0}$ en $q$. En diminuant $\mathcal{B}$ et en changeant éventuellement de coordonnées, on se ramène au cas où $q=0$ et où $\Phi$ est au voisinage de [math] de la forme

[TABLE]

avec $\varphi$ holomorphe dans un disque $V=D\left(0,r\right)$ assez petit et $\Theta\left|{}_{\mathcal{B}}\right.$ ne s’annulant qu’en [math]. En particulier, il existe une fonction $\theta$ holomorphe sur $V$ telle que $\theta\left(0\right)\neq 0$ et $\Theta\left(z_{1},\varphi\left(z_{1}\right)\right)=z_{1}^{\nu-1}\theta\left(z_{1}\right)$ lorsque $z_{1}\in V$, $\nu$ désignant le nombre de branches de $\mathcal{Y}_{0}$ en $q$. Sur $\mathcal{B}\backslash\left\{q\right\}$, on a donc $\omega=\frac{dz_{1}}{\theta\left(z_{1}\right)z_{1}^{\nu-1}}$. Considérons alors $\chi$ une $\left(0,1\right)$-forme à support compact dans $\mathcal{B}$ ; $\chi$ s’écrit donc $\xi d\overline{z_{1}}$ avec $\xi\in\mathcal{D}\left(V\right)$. D’où, par définition,

[TABLE]

où $\widehat{k}_{q_{\ast}}\left(z_{1}\right)=\widetilde{k}_{q_{\ast}}\left(z_{1},\varphi\left(z_{1}\right)\right)$. Ecrivons

[TABLE]

où l’expression $\left.D^{p}f\right|_{w}.z^{p}$ se lit comme étant la valeur prise par la différentielle totale d’ordre $p$ de $f$ en $w$ sur le vecteur $\left(z,...,z\right)$. Puisque $\int_{0}^{2\pi}e^{i\theta\left(\alpha-\beta-\nu+1\right)}d\theta=0$ lorsque $\alpha+\beta<\nu-1$, on obtient

[TABLE]

Par ailleurs, il existe $c\in\mathbb{C}$ et $h\in\mathcal{O}\left(V\right)$ telle que l’expression de $\partial g_{q_{\ast}}\left|{}_{\mathcal{B}}\right.$ dans la coordonnée $z_{1}$ soit $\frac{c}{z_{1}}dz_{1}+hdz_{1}$. D’où

[TABLE]

Ecrivons $\xi\left(z_{1}\right)=\xi\left(0\right)+\xi_{1,0}z_{1}+\xi_{0,1}\overline{z_{1}}+\int_{0}^{1}\left(1-t\right)\left.D^{2}\xi\right|_{tz_{1}}.z_{1}^{2}dt$. Il vient alors

[TABLE]

Comme (12) ne comporte pas de dérivation de la mesure de Dirac en [math], la comparaison avec (13) impose $c=0$, ce qu’il fallait prouver.

Fixons maintenant q_{s}\dans $\operatorname*{Sing}\mathcal{Y}$. Considérons une branche $\mathcal{B}$ de $\mathcal{Y}$ en $q_{s}$ suffisamment petite pour qu’on puisse s’y donner une coordonnée holomorphe $z$ centrée en $q_{s}$. La symétrie de $g$ et ce qui précède impliquent que lorsque $q_{\ast}\in\mathcal{B}$ tend vers $q_{s}$, $g_{q_{\ast}}-\frac{1}{2\pi}\ln\left|z-z\left(q_{\ast}\right)\right|$ converge uniformément sur $\mathcal{B}$ vers une fonction harmonique de la forme $g_{\mathcal{B},q_{s}}^{\mathcal{B}}-\frac{1}{2\pi}\ln\left|z\right|$ où $g_{\mathcal{B},q_{s}}$ est harmonique sur $\mathcal{B}\backslash\left\{q_{s}\right\}$. Pour la même raison, si $\mathcal{B}^{\prime}$ est une autre branche de $\mathcal{Y}$ en $q_{s}$ et $\mathcal{B}\ni q_{\ast}$ tend vers $q_{s}$, $g_{q_{\ast}}$ converge uniformément sur $\mathcal{B}^{\prime}$ vers une une fonction harmonique $g_{\mathcal{B},q_{s}}^{\mathcal{B}^{\prime}}$. Enfin, l’expression explicite (11) de $g$ donne que lorsque $q_{\ast}\in\mathcal{B}$ tend vers $q_{s}$ et que $\mathcal{B}^{\prime}$ est une branche de $\mathcal{Y}$ relativement compacte dans $\mathcal{Y}\backslash\left\{q_{s}\right\}$, $g_{q_{\ast}}$ converge uniformément sur $\mathcal{B}^{\prime}$ vers une fonction harmonique $g_{\mathcal{B},q_{s}}^{\mathcal{B}^{\prime}}$. Quand $\mathcal{B}^{\prime}$ parcoure l’ensemble des branches de $\mathcal{Y}$, ces fonctions $g_{\mathcal{B},q_{s}}^{\mathcal{B}^{\prime}}$ se recollent en une fonction $g_{\mathcal{B},q_{s}}$ qui est harmonique sur $\mathcal{B}^{\prime}\backslash\left\{q_{s}\right\}$ pour toute branche $\mathcal{B}^{\prime}$ de $\mathcal{Y}$, dont la restriction à $\mathcal{B}$ présente une singularité logarithmique en $q_{s}$ et telle que $g_{q_{\ast}}\underset{\mathcal{B}\ni q_{\ast}}{\rightarrow}g_{\mathcal{B},q_{s}}$ au sens des courants.

Procédant ainsi pour tous les points singuliers de $\mathcal{Y}$, on constate que $g$ est une fonction de Green simple pour $\mathcal{Y}$. ∎

Corollaire 7

Soit $\left(M,\sigma\right)$ une structure de conductivité de dimension deux. On se donne, ce qui est toujours possible, une structure de conductivité $(\widetilde{M},\widetilde{\sigma})$ de dimension $2$ qui prolonge simplement $\left(M,\sigma\right)$, ce qui signifie que $M\subset\subset\widetilde{M}$, $\widetilde{\sigma}\left|{}_{M}\right.=\sigma$ et que $\widetilde{\sigma}\left|{}_{p}\right.=Id_{T_{p}^{\ast}\overline{\widetilde{M}}}$ pour tout $p\in b\widetilde{M}$. On note alors $F:\widetilde{M}\rightarrow\mathbb{C}^{2}$ l’application obtenue en appliquant le théorème 3 à $(\widetilde{M},\widetilde{\sigma})$, on pose $\mathcal{Y}=F\left(\widetilde{M}\right)$ et on fixe un voisinage de Stein $\Omega$ de $\mathcal{Y}$ dans $\mathbb{C}^{2}$. Enfin, $\mathcal{M}=F\left(M\right)$ étant relativement compacte dans $\mathcal{Y}$, on peut se donner un domaine strictement pseudoconvexe $\Omega^{\ast}$ de $\mathbb{C}^{2}$ vérifiant $\mathcal{M}\subset\subset\mathcal{Y}_{0}=\mathcal{Y}\cap\Omega^{\ast}\subset\Omega$. On note $g$ la fonction définie par (11). Alors, $F^{\ast}g\left|{}_{\overline{M}\times\overline{M}\backslash\Delta_{M}}\right.$ est une fonction de Green pour $\left(M,c_{\sigma}\right)$.

Démonstration.

Puisque $F:M\rightarrow\mathcal{M}$ est une normalisation $\left(c_{\sigma},c_{Q}\right)$-analytique, $h=F^{\ast}g$ est bien définie sur $\overline{M}_{\operatorname{reg}}\times\overline{M}_{\operatorname{reg}}\backslash\Delta_{\overline{M}_{\operatorname{reg}}}$ où $\overline{M}_{\operatorname{reg}}=F^{-1}\left(\operatorname*{Reg}\overline{Q}\right)$, symétrique et pour tout $x\in\overline{M}$, $h_{x}=h\left(.,x\right)$ est harmonique sur $\overline{M}_{\operatorname{reg}}\backslash bM\cup\left\{x\right\}$, continue sur $\overline{M}_{\operatorname{reg}}\backslash\left\{x\right\}$ et vérifie $i\partial^{\sigma}\overline{\partial^{\sigma}}h=\delta_{x}dV$ où $dV$ est une forme volume pour $M$. Lorsque $p\in F^{-1}\left(\operatorname*{Sing}\mathcal{\overline{\mathcal{Y}}}\right)\cap M$ et $U$ est un voisinage ouvert connexe de $p$ dans $M$, $B=F\left(U\right)$ est une branche intérieure de $\overline{\mathcal{M}}$ en $q=F\left(p\right)$ et on peut poser $h_{p}=F^{\ast}g_{p,B}$. La proposition 6 entraîne que $h$ ainsi construite est une fonction de Green pour $M$. ∎

Le corollaire 7 permet aussi de compléter le théorème 4 en donnant une formule explicite $F^{\ast}\theta_{c}^{\mathcal{M}}f_{\ast}u$.

Corollaire 8

Les hypothèses et les notations sont celles du théorème 4 et du corollaire 7. $\mathcal{M}$ admet une fonction de Green principale et si $g$ est une telle fonction, pour tout $u\in C^{\infty}\left(bM\right)$, $F^{\ast}\theta_{c}^{\mathcal{M}}f_{\ast}u$ est donné par la formule

[TABLE]

Démonstration.

Ceci découle directement du corollaire 7 et du procédé de construction des fonctions de Green principale rappelé au début de cette section. ∎

**Remarque. **Le corollaire 7 permet aussi de déterminer la fonction de Green principale de $\left(M,c_{\sigma}\right)$ grâce à la méthode décrite au début de cette section.

Cette section fournit donc un procédé pour déterminer l’opérateur $N_{d}^{c_{\sigma}}$ à partir de $N_{d}^{\sigma}$ et ramène le problème initial à celui où le coefficient de conductivité est constant et donc à la situation étudiée dans [14, 16] à laquelle sont consacrées les sections 3.3 et 4.2.

3.3 Conductivité de coefficient constant

Dans cette section, on revient sur l’unicité de la structure complexe dans le cas d’une conductivité de coefficient constant. Comme il est noté dans la section 3.1, cela permet de compléter le théorème de Henkin-Santacesaria ainsi que la preuve du théorème 1 de [14] qui est le théorème ci-dessous pour $n=2$. Notons que l’hypothèse faite sur les fonctions $u_{j}$ est génériquement vérifiée (voir [14, 16]).

Th or me 9** **(Henkin-Michel, 2007)

Soient $M$ et $M^{\prime}$, deux surfaces de Riemann à bord lisses bordées par la même courbe réelle $\gamma$. On pose $\partial=d-\overline{\partial}$ (resp. $\partial^{\prime}=d-\overline{\partial^{\prime}}$), $\overline{\partial}$ (resp. $\overline{\partial^{\prime}}$) étant l’opérateur de Cauchy-Riemann de $M$ (resp. $M^{\prime}$). Si $u\in C^{\infty}\left(\gamma\right)$, on note $\widetilde{u}$ (resp. $\widehat{u}$) le prolongement harmonique de $u$ à $M$ (resp. $M^{\prime}$) et on pose $\theta u=\left(\partial\widetilde{u}\right)\left|{}_{\gamma}\right.$ (resp. $\theta^{\prime}u=\left(\partial^{\prime}\widehat{u}\right)\left|{}_{\gamma}\right.$) ; $\theta$ (resp. $\theta^{\prime}$) est aussi l’opérateur $\theta_{c}^{\sigma}$ défini par (7) lorsque $\sigma$ est la conductivité associée à la structure complexe de $M$ (resp. $M^{\prime}$).

On se donne $u_{0},...,u_{n}\in C^{\infty}\left(\gamma\right)$ où $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on suppose que pour tout $j\in\left\{0,...,n\right\}$, $\theta u_{j}=\theta^{\prime}u_{j}$, l’application $\left[\theta u\right]=\left[\theta u_{0}:\cdots:\theta u_{n}\right]=\left[\theta^{\prime}u\right]$ est bien définie, réalise un plongement de $\gamma$ dans $\left\{\left[w_{0}:\cdots:w_{n}\right]\in\mathbb{CP}_{n};\leavevmode\nobreak\ w_{0}\neq 0\right\}$ et on suppose en outre que $\left[\partial\widetilde{u}\right]$ (resp. $\left[\partial^{\prime}\widehat{u}\right]$) est bien définie sur $M$ (resp. $M^{\prime}$) et prolonge méromorphiquement $\left[\theta u\right]$ (resp. $\left[\theta^{\prime}u\right]$) à $M$ (resp. $M^{\prime}$). Dans ces conditions, il existe un isomorphisme de surfaces de Riemann à bord de $\overline{M}$ sur $\overline{M^{\prime}}$ dont la restriction à $\gamma$ est l’identité.

L’une des étapes de la preuve de ce théorème utilise [18] dont les lemmes 11 à 14 avaient été écrits au départ par l’auteur de ces lignes pour donner une preuve complète du théorème ci-dessus.

On note $\left(U_{\ell}\right)$ et $\left(U_{\ell}^{\prime}\right)$ les extensions harmoniques de $u$ à $M$ et $M^{\prime}$ respectivement. Par hypothèse, $F=\left[\partial U\right]:\overline{M}\longrightarrow\mathbb{CP}_{n}$ et $F^{\prime}=\left[\partial U^{\prime}\right]:\overline{M^{\prime}}\longrightarrow\mathbb{CP}_{n}$ sont bien définies, coïncident sur $\gamma$ et $f=F\left|{}_{\gamma}\right.=F^{\prime}\left|{}_{\gamma}\right.$ plonge $\gamma$ dans $\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ où $w_{0},...,w_{n}$ sont les coordonnées homogènes standards de $\mathbb{CP}_{n}$. On munit $\delta=f\left(\gamma\right)$ de l’orientation de $\gamma$ transportée par $f$. Les hypothèses de régularité faites sur $M$ et $M^{\prime}$ impliquent que $F$ et $F^{\prime}$ sont de classe $C^{1}$. On pose

[TABLE]

Puisque $f$ est un plongement de $\gamma$ dans $\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ qui est isomorphe à $\mathbb{C}^{n}$, il existe un voisinage $G$ ouvert de $\gamma$ dans $\overline{M}$ tel que $F_{G}=F\left|{}_{G}\right.$ soit un plongement de $G$ dans $\mathbb{C}^{2}$; l’orientation de $\delta$ est donc aussi celle induite par celle naturelle de $G$. Lorsque $A$ est un espace topologique, on note $CC\left(A\right)$ l’ensemble des composantes connexes de $A$. Si $A\subset\overline{M}$ et $B\subset F\left(A\right)$, on note $\nu\left(F,A,B\right)$ le degré de $F\left|{}_{A}^{B}\right.$ quand il existe. On adopte pour $M^{\prime}$ des notations similaires à celle prises pour $M$. La notation $\mathcal{D}_{p,q}\left(U\right)$ désigne l’espace des $\left(p,q\right)$-formes de classe $C^{\infty}$ à support compact dans un ouvert $U$ d’une variété complexe. La notation $\mathcal{H}^{d}\left(E\right)$ désigne la mesure $d$-dimensionnelle de Hausdorff d’un ensemble $E$ quand ceci a un sens.

Lemme 10

$\Gamma\backslash\gamma$* est un compact de $M$ et $Y$ est une courbe complexe de $\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta$.*

Démonstration.

Puisque $F_{G}$ plonge $G$ dans $\mathbb{C}^{2}$, $\Gamma\cap G=\gamma$ et $\Gamma\backslash\gamma=\Gamma\cap\left(\overline{M}\backslash G\right)$ est un compact contenu dans $M$. En particulier, $\widetilde{M}=M\backslash\Gamma$ est une surface de Riemann ouverte. Par construction, $\widetilde{F}$ est propre car si $L$ est un compact de $\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta$, $\widetilde{F}{}^{-1}\left(L\right)$ est un compact de $\overline{M}$ qui ne rencontre pas $\Gamma$ et donc est un compact de $\widetilde{M}$. Par un théorème de Remmert, inutile dans le cas très simple $n=1$, $Y=\widetilde{F}(\widetilde{M})$ est un sous-ensemble analytique de $\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta$. ∎

Lemme 11

$F_{\ast}\left[M\right]$* est un courant normal positif porté par $\overline{Y}$ et $dF_{\ast}\left[M\right]=\left[\delta\right]$.*

Démonstration.

Si $\chi$ est une forme lisse à support compact de $\mathbb{CP}_{n}$,

[TABLE]

$F_{\ast}\left[M\right]$ est donc un courant de bidegré $\left(1,1\right)$ porté par $\overline{F\left(M\right)}$ c’est-à-dire $\overline{Y}$. Il est positif car si $\chi\in\mathcal{D}_{1,1}\left(\mathbb{CP}_{n}\right)$ est positive, $\left(F^{\ast}\chi\right)\left|{}_{M}\right.$ est une $\left(1,1\right)$-forme positive de $M$ car $F$ est holomorphe et donc $\left\langle F_{\ast}\left[M\right],\chi\right\rangle\geqslant 0$. Soit $\xi\in C^{\infty}\left(\mathbb{CP}_{n}\right)$ tel que $\chi=\xi\omega_{FS}$ où $\omega_{FS}=\frac{i}{2\pi}\partial\overline{\partial}\ln\left|w\right|^{2}$ est la $\left(1,1\right)$-forme qui induit la métrique de Fubini-Study. On a alors

[TABLE]

Comme $\left\|\chi\right\|=\underset{p\in\mathbb{CP}_{n}}{\sup}\left\|\chi_{p}\right\|$ et

[TABLE]

on obtient que la masse de $F_{\ast}\left[M\right]$ est finie et au plus $\int_{M}F^{\ast}\omega_{FS}$. Si $\chi\in\mathcal{D}\left(\mathbb{CP}_{n}\right)$,

[TABLE]

Autrement dit, $dF_{\ast}\left[M\right]=F_{\ast}\left[\gamma\right]=\left[\delta\right]$. En particulier, la masse de $dF_{\ast}\left[M\right]$ est finie  ; $F_{\ast}\left[M\right]$ est un courant normal porté par $\overline{Y}$. ∎

Lemme 12

$F_{\ast}\left[M\right]\left|{}_{\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta}\right.$* est une chaîne holomorphe positive de $\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta$ portée par $Y$.*

Démonstration.

Etant donné que $T=F_{\ast}\left[M\right]$ est porté par $\overline{Y}$ et que $Y=\overline{Y}\backslash\delta$, $S=T\left|{}_{\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta}\right.$ est un courant normal et donc localement rectifiable de $\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta$, sans bord et porté par $Y$. D’après le théorème de structure 2.1 de [11], il existe donc $\left(n_{j}\right)_{1\leqslant j\leqslant N}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ tel que $S={\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant N}}n_{j}\left[Y_{j}\right]$ où $\left(Y_{j}\right)$ est la famille des composantes irréductibles de $Y$. $S$ étant par ailleurs un courant positif d’après le lemme 11, les $n_{j}$ sont des entiers naturels. ∎

Lemme 13

$F_{\ast}\left[M\right]=F_{\ast}\left[M^{\prime}\right]$* et $Y^{\prime}=Y$.*

Démonstration.

D’après le lemme 11, le courant $T=F_{\ast}\left[M\right]-F_{\ast}^{\prime}\left[M^{\prime}\right]$ est un courant normal sans bord de bidegré $\left(1,1\right)$ porté par $\overline{Y}\cup\overline{Y^{\prime}}$. Il est par conséquent de la forme ${\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant N}}n_{j}\left[Z_{j}\right]$ où $\left(n_{j}\right)\in\left(\mathbb{Z}^{\ast}\right)^{\mathbb{N}}$ et les $Z_{j}$ sont des courbes complexes compactes irréductibles de $\mathbb{CP}_{n}$ contenues dans $\overline{Y}\cup\overline{Y^{\prime}}$. Soit $Z$ l’une de ces courbes. $Z\cap\delta\neq\varnothing$ car sinon $F^{-1}\left(Z\right)$ est une courbe complexe compacte contenue dans $M$ ou $M^{\prime}$, ce qui est exclu. L’une des composantes connexes $\beta$ de $\delta$ est donc contenue dans $Z$; on munit $\beta$ de l’orientation induite par $\delta$. $\beta$ étant lisse, il existe dans $Z$ une surface de Riemann (lisse) $B$ telle que $B\backslash\beta$ est contenue dans $\left(\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta\right)\cap\operatorname*{Reg}\overline{Y}\cap\operatorname*{Reg}\overline{Y^{\prime}}$ et n’a que deux composantes connexes $B^{-}$ et $B^{+}$.

Par construction, $B^{-}$ est une surface de Riemann ouverte connexe contenue dans la courbe complexe $Y\cup Y^{\prime}$ et donc l’un au moins des deux nombres $\mathcal{H}^{2}\left(B^{-}\cap Y\right)$ ou $\mathcal{H}^{2}\left(B^{-}\cap Y^{\prime}\right)$ est strictement positif, par exemple $\mathcal{H}^{2}\left(B^{-}\cap Y\right)>0$. Puisque $B^{-}$ est connexe, ceci implique*(*444

Puisque $B^{-}\cap\delta=\varnothing$, $B^{-}=\left(B^{-}\cap Y\right)\cup\left(B^{-}\backslash\overline{Y}\right)$. $B^{-}\cap Y$ est un ouvert de $B^{-}$ car par construction, $B^{-}\subset\operatorname*{Reg}\overline{Y}\cap\operatorname*{Reg}\overline{Y^{\prime}}$. Il est non vide par hypothèse. Donc $B^{-}=B^{-}\cap Y\subset Y$.) que $B^{-}\subset Y$. Etant donné que $\beta$ est contenu dans les bords de $Y$ et $B$, on en déduit quitte à diminuer $B$, que $Y\cap B\subset Z$ et donc que $Y\cap B\subset B^{-}\cup B^{+}$.

Supposons que $\mathcal{H}^{2}\left(B^{+}\cap Y\right)=0$. Alors, comme $B\subset\operatorname*{Reg}\overline{Y}$, $B^{+}\cap Y=\varnothing$, $Y\cap B=B^{-}$ et, par force, $B^{+}\subset Y^{\prime}$. Supposons en outre que $\mathcal{H}^{2}\left(B^{-}\cap Y^{\prime}\right)=0$, alors, quitte à diminuer $B$, on a de la même façon qu’auparavant $Y^{\prime}\cap B=B^{+}$ et donc $d\left[Y\right]=-d\left[Y^{\prime}\right]$ près de $\beta$. Ceci est incompatible avec le fait que $F_{\ast}\left[M\right]$ et $F_{\ast}^{\prime}\left[M^{\prime}\right]$ sont deux chaînes holomorphes positives de $\mathbb{CP}_{n}\backslash\delta$ portées respectivement par $Y$ et $Y^{\prime}$. Par conséquent, $\mathcal{H}^{2}\left(B^{-}\cap Y^{\prime}\right)>0$ et donc $B^{-}\subset Y^{\prime}$. D’où $B\subset Y^{\prime}$ puis $Z\subset Y^{\prime}$, ce qui est de nouveau une contradiction. Revenant à notre première supposition, on en déduit que $\mathcal{H}^{2}\left(B^{+}\cap Y\right)>0$ et donc $B\subset Y$, ce qui est de nouveau absurde. Le lemme est prouvé. ∎

Lemme 14

Lorsque $y\in\overline{Y}$, $\overline{M_{y}}=F^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)$ est un ensemble fini et $\nu:\overline{Y}:y\mapsto\operatorname{Card}\overline{M}_{y}$ est bornée.

Démonstration.

Supposons que $F^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)$ est infini pour un un certain $y\in\overline{Y}$. Si $F^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)$ possède un point d’accumulation dans $M$, $F=y$ sur une composante connexe de $M$ et donc sur un ouvert non vide de $\gamma$. Dans le cas contraire, $F^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)$ possède un point d’accumulation dans $\gamma$ et $dF$ s’annule en ce point. Dans les deux cas, ceci contredit que $F\left|{}_{\gamma}\right.$ est un plongement.

Supposons que $\nu$ ne soit pas bornée. Il existe alors $\left(y_{m}\right)\in\overline{Y}^{\mathbb{N}}$ telle que $\left(\nu_{m}\right)=\left(\nu\left(y_{m}\right)\right)$ a $+\infty$ comme limite et $\left(y_{m}\right)$ converge vers $y_{\ast}\in\overline{Y}$. Puisque $\overline{M}$ est compacte, il existe dans $\overline{M}^{\mathbb{N}}$ une suite convergente de limite $x_{\ast}^{0}\in F^{-1}\left(\left\{y_{\ast}\right\}\right)$ et une extractrice $\varphi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ telle que $y_{\varphi\left(m\right)}=F\left(x_{m}\right)$ pour tout $m\in\mathbb{N}$. Si $dF\left|{}_{x_{\ast}^{0}}\right.\neq 0$, il existe un voisinage ouvert $U_{0}$ de $x_{\ast}^{0}$ dans $\overline{M}$ tel que $V_{0}=F\left(U_{0}\right)$ est une surface de Riemann (à bord si $x_{\ast}^{0}\in\gamma$) et $F\left|{}_{U_{0}}^{V_{0}}\right.$ est un biholomorphisme (de surfaces de Riemann à bord si $x_{\ast}^{0}\in\gamma$) ; on pose $m_{\ast}^{0}=1$ dans ce cas. Si $dF\left|{}_{x_{\ast}^{0}}\right.=0$, $x_{0}^{\ast}\notin\gamma$ et on peut choisir des coordonnées holomorphes $\left(\zeta_{1},...,\zeta_{n}\right)$ pour $\mathbb{CP}_{n}$ au voisinage de $y_{\ast}$ tel que l’ordre d’annulation $m_{\ast}$ de $\left(d\left(\zeta_{1}\circ F\right),...,d\left(\zeta_{n}\circ F\right)\right)$ en $x_{\ast}^{0}$ est aussi celui de $d\left(\zeta_{1}\circ F\right)$ en $x_{\ast}^{0}$. Dans ce cas, il existe un voisinage ouvert $U_{0}$ de $x_{\ast}^{0}$ dans $M$ tel que si $y\in V_{0}=F\left(U_{0}\right)$, $\zeta_{1}\left(F\left(y\right)\right)$ a exactement $m_{\ast}^{0}$ antécédents par $\zeta_{1}\circ F$ dans $U_{0}$, deux à deux distincts si $y\neq y_{\ast}$ ; si $y\in V_{0}=F\left(U_{0}\right)$, $y$ a donc au moins un antécédent par $F$ dans $U_{0}$ et au plus $m_{\ast}^{0}$.

Supposons que nous disposons dans $F^{-1}\left(y_{\ast}\right)$ de $k+1$ points deux à deux distincts $x_{\ast}^{0},...,x_{\ast}^{k}$ et de voisinages ouverts $U_{0},...,U_{k}$ de ces points dans $\overline{M}$ tels que pour tout $j\in\left\{1,...,k\right\}$, $1\leqslant\operatorname{Card}F^{-1}\left(y_{\ast}\right)\cap U_{j}\leqslant m_{\ast}^{j}$ et $U_{j}\subset\overline{M}\backslash V_{j-1}$ où $V_{j-1}=\underset{1\leqslant\ell\leqslant j-1}{\cup}U_{\ell}$. Alors $\operatorname{Card}F^{-1}\left(y_{\ast}\right)\cap V_{k}\leqslant\sum\limits_{0\leqslant j\leqslant k}m_{\ast}^{j}$ et puisque $\overline{M}\backslash V_{k+1}$ est compact, on peut donc trouver une extractrice $\varphi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ telle que pour tout $m\in\mathbb{N}$, $F^{-1}\left(y_{\varphi\left(m\right)}\right)\cap\left(\overline{M}\backslash V_{k+1}\right)$ contient au moins un point $x_{m}^{k+1}$ qui, lorsque $m$ tend vers $+\infty$ , tend vers un point $x_{\ast}^{k+1}\in F^{-1}\left(\left\{y_{\ast}\right\}\right)$. Comme précédemment, on peut alors trouver un entier $m_{\ast}^{k+1}$ et un voisinage $U_{k+1}$ de $x_{\ast}^{k+1}$ dans $\overline{M}$ tels que $1\leqslant\operatorname{Card}F^{-1}\left(y_{\ast}\right)\cap U_{k}\leqslant m_{\ast}^{k+1}$.

On construit ainsi par récurrence une suite $\left(x_{\ast}^{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ de points deux à deux distincts de $\overline{M}_{y}$, ce qui est impossible. $\nu$ est donc bornée. ∎

Lemme 15

Soit $h\in\mathcal{O}\left(M\right)\cap C^{0}\left(\overline{M}\right)$. Alors $F_{\ast}h$ est holomorphe et bornée sur $\operatorname*{Reg}Y$ et $F^{\prime\ast}F_{\ast}h=\left(F_{\ast}h\right)\circ F^{\prime}\in\mathcal{O}\left(M^{\prime}\right)\cap C^{0}\left(\overline{M^{\prime}}\right)$

Démonstration.

Par définition $F_{\ast}h$ est la fonction définie sur $Y$ par $\left(F_{\ast}h\right)\left(y\right)=\sum\limits_{x\in F^{-1}\left(y\right)}h\left(x\right)$. Soit $y_{\ast}\in\left(\operatorname*{Reg}Y\right)\backslash F\left(\left\{dF=0\right\}\right)$. Posons $F^{-1}\left(y_{\ast}\right)=\left\{x_{\ast 1},...x_{\ast k}\right\}$ où $k=\nu\left(y\right)$. Il existe un voisinage $B$ de $y$ dans $\operatorname*{Reg}Y$ tel que pour tout $j\in\left\{1,...,k\right\}$, il existe un voisinage $A_{j}$ de $x_{\ast j}$ dans $M$ pour lequel $F_{j}=F\left|{}_{A_{j}}^{B}\right.$ est un biholomorphisme. Supposons que $\left(y_{\nu}\right)\in B^{\mathbb{N}}$ converge vers $y_{\ast}$ et $\operatorname{Card}F^{-1}\left\{y_{n}\right\}\geqslant k$ pour tout $n$. Pour chaque $n\in\mathbb{N}$, il existe donc $a_{n}\in M\backslash\left\{F_{1}^{-1}\left(y_{n}\right),...,F_{k}^{-1}\left(y_{n}\right)\right\}$ tel que $F\left(a_{n}\right)=y_{n}$. Quitte à considérer une sous-suite, $\left(a_{n}\right)$ converge vers un point $a$ de $\overline{M}$ qui vérifie $F\left(a\right)=y_{\ast}$. Etant donné que $y\in Y=F\left(M\right)\backslash F\left(bM\right)$, $a\notin bM$ et il existe $j\in\left\{1,...,k\right\}$ tel que $a=x_{\ast j}$. Pour $n$ assez grand, $a_{n}$ et $F_{j}^{-1}\left(y_{n}\right)$ sont alors deux points distincts de $A_{j}$ qui ont la même image par $F$, à savoir $y_{n}$. Ceci est absurde. Donc, $F_{\ast}h=\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant k}h\circ F_{j}^{-1}$ est holomorphe au voisinage de. De plus, $\left|F_{\ast}h\right|\leqslant k\left\|h\right\|_{\infty}$ et $k=\nu\left(y\right)$. $F_{\ast}h$ est donc bornée d’après le lemme 14. Etant donné que $\left(\operatorname*{Reg}Y\right)\cap F\left(\left\{dF=0\right\}\right)$ est fini, $F_{\ast}h$ se prolonge holomorphiquement à $\operatorname*{Reg}Y$. Ceci implique que $F^{\prime\ast}F_{\ast}h=\left(F_{\ast}h\right)\circ F^{\prime}$ est holomorphe et est bornée sur $M^{\prime}\backslash F^{\prime-1}\left(\operatorname*{Sing}Y\right)$. Comme $F^{\prime-1}\left(\operatorname*{Sing}Y\right)$ est un ensemble fini, $F^{\prime\ast}F_{\ast}h$ se prolonge holomorphiquement à $M^{\prime}$. ∎

Lemme 16

Si $\omega^{\prime}\in C^{1,0}\left(\overline{M^{\prime}}\right)\cap\Omega^{1,0}\left(M^{\prime}\right)$, il existe $\omega\in C^{1,0}\left(\overline{M}\right)\cap\Omega^{1,0}\left(M\right)$ telle que $\omega\left|{}_{\gamma}\right.=\omega^{\prime}\left|{}_{\gamma}\right.$.

Démonstration.

Il s’agit de constater que $\omega^{\prime}\left|{}_{\gamma}\right.$ vérifie la condition des moments quand $\gamma$ est vue comme le bord de $M$. Soit donc $h\in\mathcal{O}\left(M\right)\cap C^{0}\left(\overline{M}\right)$. D’après le lemme 15, $g=F^{\prime\ast}F_{\ast}h\in\mathcal{O}\left(M^{\prime}\right)\cap C^{0}\left(\overline{M^{\prime}}\right)$. Puisque $f_{\ast}\left[\gamma\right]=\left[\delta\right]$,

[TABLE]

car $F^{\prime\ast}F_{\ast}h\in\mathcal{O}\left(M^{\prime}\right)\cap C^{0}\left(\overline{M^{\prime}}\right)$ et $\omega^{\prime}\in\Omega^{1,0}\left(M^{\prime}\right)$. ∎

Preuve du théorème 9.

9 Puisque par hypothèse $\left[\left(\partial U_{\ell}\right)_{0\leqslant\ell\leqslant n}\right]$ est une application bien définie de $\overline{M}$ dans $\mathbb{CP}_{n}$, on peut utiliser le lemme 12 d’adjonction de [18] qui bien, qu’écrit pour le cas particulier $n=2$, s’applique sans changement pour $n$ quelconque dans $\mathbb{N}^{\ast}$ : il existe des fonctions $U_{n+1},...,U_{N}$ harmoniques sur $M$ et continues sur $\overline{M}$ telles que $\left[\left(\partial U_{\ell}\right)_{0\leqslant\ell\leqslant N}\right]$ est un plongement de $M$ dans $\mathbb{CP}_{N}$. De même, il existe des fonctions $U_{N+1}^{\prime},...,U_{N^{\prime}}^{\prime}$ harmoniques sur $M^{\prime}$ et continues sur $\overline{M^{\prime}}$ telles que $\left[\left(\partial U_{\ell}^{\prime}\right)_{\ell\in\left\{0,..,n,N+1,..,N^{\prime}\right\}}\right]$ est un plongement de $M^{\prime}$ dans $\mathbb{CP}_{n+N^{\prime}-N}$. Lorsque $\ell\in\left\{N+1,...,N+N^{\prime}\right\}$, le lemme 16 donne que $\left(\partial U_{\ell}^{\prime}\right)\left|{}_{\gamma^{\prime}}\right.$ se prolonge à $M$ en une $\left(1,0\right)$-forme holomorphe $\Sigma_{\ell}$. De même, lorsque $\ell\in\left\{n+1,...,N\right\}$, $\left(\partial U_{\ell}\right)\left|{}_{\gamma}\right.$ se prolonge à $M^{\prime}$ en une $\left(1,0\right)$-forme holomorphe $\Sigma_{\ell}^{\prime}$. Considérons alors

[TABLE]

Par construction $\Sigma$ et $\Sigma^{\prime}$ coïncident sur $\gamma$. Notons $\left(w_{\ell}\right)_{0\leqslant\ell\leqslant L}$ les coordonnées naturelles de $\mathbb{C}^{L+1}$. Lorsque $0\leqslant\ell_{\ast}\leqslant n$, $\left[\Sigma\right]\left|{}_{\left\{\partial U_{\ell}\neq 0\right\}}\right.$ s’écrit $\left(\partial U_{\ell}/\partial U_{\ell_{\ast}}\right)_{\ell\neq\ell^{\ast}}$ dans les coordonnées naturelles de $\mathbb{C}^{L}$ identifié à $\left\{w_{\ell_{\ast}}\neq 0\right\}$. Notons $p_{\ell_{\ast}}$ la projection naturelle de $\mathbb{C}^{L}$ sur $\mathbb{C}^{N}$, $\left(z_{\ell}\right)_{\ell\neq\ell_{\ast}}\mapsto\left(z_{\ell}\right)_{0\leqslant\ell\leqslant N\text{,\leavevmode\nobreak\ }\ell\neq\ell_{\ast}}$. L’application $\left(\partial U_{\ell}/\partial U_{\ell_{\ast}}\right)_{0\leqslant\ell\leqslant N\text{,\leavevmode\nobreak\ }\ell\neq\ell_{\ast}}$ est par construction un plongement de $\left\{\partial U_{\ell}\neq 0\right\}$ dans $\mathbb{C}^{N}$. $\left[\Sigma\right]$ est par ailleurs injective car $\overline{M}=\underset{0\leqslant\ell\leqslant n}{\cup}\left\{\partial U_{\ell}\neq 0\right\}$ et car une relation de la forme $\left[\Sigma\right]\left(x\right)=\left[\Sigma\right]\left(y\right)$ impose $y\in\underset{\left(\partial U_{\ell}\right)_{x}\neq 0}{\cap}\left\{\partial U_{\ell}\neq 0\right\}$. $\left[\Sigma\right]$ est donc un plongement de $\overline{M}$ dans $\mathbb{CP}_{L}$. De même, $\left[\Sigma^{\prime}\right]$ est un plongement de $M^{\prime}$ dans $\mathbb{CP}_{L}$. Remarquant que la preuve du lemme 11 n’utilise pas que $F$ est une application canonique, c’est-à-dire de la forme $\left[\partial U\right]$, ou en utilisant le lemme 8 de [18] qui montre que $\Sigma$ et $\Sigma^{\prime}$ sont forcément de ce type, on en conclut que $\Sigma\left(M\right)=\Sigma^{\prime}\left(M^{\prime}\right)$ puis que $M$ et $M^{\prime}$ sont rendues isomorphes par une application dont la restriction à $\gamma$ est l’identité. ∎

4 Reconstruction

4.1 Conductivité isotrope

Lorsque $M$ est un domaine de $\mathbb{R}^{2}$ est muni de la structure complexe induite par la métrique euclidienne standard de $\mathbb{R}^{2}$, c’est-à-dire quand $M$ est muni d’une conductivité isotrope $\sigma$, on sait que $\sigma$ est entièrement déterminée par son opérateur de Dirichlet-Neumann. Cette unicité est établie pour une conductivité réelle analytique dans [22]. Pour une conductivité isotrope lisse, un procédé de reconstruction effective a été donné dans [26] par Novikov et pour une conductivité de classe $L^{\infty}$ par Nachman dans [25]. Une autre preuve de ce résultat a été écrite par Gutarts dans [9] pour une conductivité lisse. Lorsque $M$ est une surface de Riemann connexe dont le genre est connu, Henkin et Novikov dans [19, th. 1.2] généralisent et corrigent les résultats de reconstruction d’une conductivité isotrope de [15]. L’aspect nécessairement technique du principal résultat de [19, th. 1.2] ne nous permet de n’en citer ici qu’un résumé.

Th or me 17** **(Henkin-Novikov, 2011)

Soit $\left(M,\sigma\right)$ une structure de conductivité de genre $g$ avec $\sigma$ de classe $C^{3}$. Alors $\sigma$ peut être reconstruite à partir de l’opérateur de Dirichlet-Neumann $N_{d}^{\sigma}$ en résolvant $g$ équations de type Fredholm associées à $g$ données génériques de $N_{d}^{\sigma}$ puis en résolvant $g$ systèmes explicites qui, dans le cas où $M$ est un domaine de $\left\{z\in\mathbb{C}^{2};\leavevmode\nobreak\ P\left(z\right)=0\right\}$, $P\in\mathbb{C}_{N}\left[X\right]$, sont des systèmes linéaires de $N\left(N-1\right)$ équations à $N\left(N-1\right)$ inconnues.

4.2 Conductivité anisotrope

Le théorème de Henkin-Santacesaria cité dans la section 3.1 permet pour une structure de conductivité $\left(M,\sigma\right)$ de construire dans $\mathbb{C}^{2}$ une courbe complexe nodale qui est l’image par une immersion $\sigma$-holomorphe de $\overline{M}$ dont la restriction à $bM$ est un plongement.

A l’aide du théorème 4 et du corollaire 8, on peut reconstruire l’opérateur de Dirichlet-Neumann de la structure complexe $\left(M,c_{\sigma}\right)$ sous-jacente à $\left(M,\sigma\right)$. Ceci permet de produire une courbe complexe $S$ de $\mathbb{CP}_{3}$ qui est isomorphe à $\left(M,c_{\sigma}\right)$ et ramène le problème initial à celui où le coefficient de conductivité est constant, c’est-à-dire au cas particulier étudié dans [14]. Si cette étape est franchie de façon constructive, le théorème de Henkin-Novikov rappelé dans la section 4.1 permet de reconstruire la conductivité $\sigma$ elle-même. Le problème initial est alors entièrement résolu s’il s’agit de produire une structure de conductivité abstraite dont le bord orienté et l’opérateur de Dirichlet-Neumann sont prescrits.

Dans cette section, on aborde la reconstruction effective de $S$, que sans perte de généralité, on suppose être un domaine relativement compact d’une surface de Riemann ouverte $\widetilde{S}$ de $\mathbb{CP}_{3}$. Pour un choix générique du quadruplet $\left(u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}\right)$ de fonctions utilisées dans le théorème 4, on peut supposer que les projections $\pi_{3}:\left(w_{0}:w_{1}:w_{2}:w_{3}\right)\mapsto\left(w_{0}:w_{1}:w_{2}\right)$ et $\pi_{2}:\left(w_{0}:w_{1}:w_{2}:w_{3}\right)\mapsto\left(w_{0}:w_{1}:w_{3}\right)$ immergent $\widetilde{S}$ dans $\mathbb{CP}_{2}$ sur des courbes nodales $\widetilde{S}_{3}$ et $\widetilde{S}_{2}$ telles que $\pi_{3}^{-1}\left(\operatorname*{Sing}\widetilde{S}_{3}\right)\cap\pi_{2}^{-1}\left(\operatorname*{Sing}\widetilde{S}_{2}\right)\cap\widetilde{S}=\varnothing$. Dès lors, pour obtenir un atlas de $S$, il suffit d’en produire pour $\overline{S}\cap\operatorname*{Reg}\widetilde{S}_{2}$ et $\overline{S}\cap\operatorname*{Reg}\widetilde{S}_{3}$, c’est-à-dire pour une surface de Riemann nodale à bord $Q$ plongée dans $\mathbb{CP}_{2}$ et qui est un domaine relativement compact d’une surface de Riemann nodale ouverte $\widetilde{Q}$ de $\mathbb{CP}_{2}$ et dont le bord orienté $\partial Q$ est connu. Notons que le genre des courbes nodales $S_{3}$ et $S_{2}$ est le même que celui de $S$ et donc de $M$.

La méthode que nous proposons dans la section 4.8 découle de l’analyse des indicatrices de Cauchy-Fantapié introduites dans la section ci-dessous et de la caractérisation des sommes d’ondes de chocs donnée dans la section 4.5. Cette méthode diffère sensiblement de celle proposée par Agaltsov-Henkin [1] pour des cas particuliers.

4.3 Indicatrices de Cauchy-Fantapié

Sans perte de généralité, on suppose que $bQ\subset\left\{w_{0}w_{1}w_{2}\neq 0\right\}$ ce qui permet de considérer

[TABLE]

Jusqu’à la fin de cette article, on fait en outre l’hypothèse générique et donc peu restrictive que

[TABLE]

où $\pitchfork$ désigne une intersection transverse. L’hypothèse $Q_{\infty}\subset\operatorname*{Reg}Q$ n’est pas nécessaire mais elle simplifie les calculs. Toutefois, nous indiquons pour certaines formules une version pour le cas où $Q_{\infty}\cap\operatorname*{Sing}Q\neq\varnothing$. Dans la situation régulière, on peut prendre $u_{0}=\frac{w_{0}}{w_{2}}$ comme coordonnée pour $Q$ au voisinage des points de $Q_{\infty}$ et il existe pour chaque $q\in Q_{\infty}$ une fonction $g^{q}$ holomorphe au voisinage de [math] dans $\mathbb{C}$ telle qu’au voisinage de $q$ dans $\mathbb{CP}_{2}$, $Q$ coïncide avec $\left\{\left(u_{0}:u_{1}:1\right);\leavevmode\nobreak\ u_{1}=g^{q}\left(u_{0}\right)\right\}$. On note alors $(\Sigma g_{\nu}^{q}u_{0}^{\nu})$ la série de Talyor de $g^{q}$ en [math]. Pour $q\in Q_{\infty}$, on a donc

[TABLE]

On pose aussi

[TABLE]

On note $U$ l’ouvert formé par les points $z=\left(x,y\right)$ de $\mathbb{C}^{2}$ tels que $bQ$ ne rencontre par $L_{z}=\left\{w\in\mathbb{CP}_{2};\leavevmode\nobreak\ xw_{0}+yw_{1}+w_{2}=0\right\}$. L’hypothèse $\left(0:1:0\right)\notin Q_{\infty}$ assure que $L_{z}\cap Q\subset\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ lorsque $y\neq 0$. On désigne par $U_{\operatorname{reg}}$ l’ouvert de $\mathbb{C}^{2}$ formé par les points $z$ de $U$ tels que pour tout $q\in Q\cap L_{z}$, $L_{z}$ coupe transversalement $Q$ en $q$ ; $U_{\operatorname{sing}}=U\backslash U_{\operatorname{reg}}$ est un sous-ensemble analytique de $U$ ; quand $E$ est une partie de $U$, on pose $E_{\operatorname{reg}}=E\cap U_{\operatorname{reg}}$ et $E_{\operatorname{sing}}=E\cap U_{\operatorname{sing}}$. L’ensemble $Z$ définit ci-dessous joue un rôle essentiel :

[TABLE]

où $\mathbb{D}=D\left(0,1\right)$ et

[TABLE]

Notons que par construction, $Z\subset U$ et que $\underset{\left|y\right|\rightarrow\infty}{\lim}m\left(y\right)=+\infty$ puisque $bQ\subset\left\{w_{1}\neq 0\right\}$. En général $Q$ n’est pas affine et donc $Q\cap L_{z}\neq\varnothing$ lorsque $z\in U$ mais le lemme ci-dessous assure que le procédé de reconstruction amorcé avec la proposition 19 aboutit bien à la connaissance complète de $Q$.

Lemme 18

Pour tout $w_{\ast}\in Q\cap\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ et tout $R\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$, il existe $z\in Z_{\operatorname{reg}}\cap\left(\mathbb{C}\times\mathbb{C}\backslash R\overline{\mathbb{D}}\right)$ tel que $w_{\ast}\in L_{z}$.

Démonstration.

Soient $R\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ et $w_{\ast}\in Q$ tel que $w_{\ast 0}\neq 0$. Posons $\zeta_{\ast}=\left(\frac{w_{\ast 1}}{w_{\ast 0}},\frac{w_{\ast 2}}{w_{\ast 0}}\right)$. Les points $z=\left(x,y\right)$ de $\mathbb{C}^{2}$ tels que $w_{\ast}\in L_{z}$ forment la droite $L_{w_{\ast}}^{\ast}$ d’équation $x+y\zeta_{\ast 1}+\zeta_{\ast 2}=0$. Si $L_{w_{\ast}}^{\ast}\left(R\right)=L_{w_{\ast}}^{\ast}\cap\left(\mathbb{C}\times\mathbb{C}\backslash R\overline{\mathbb{D}}\right)$ ne rencontre pas $U$, c’est que pour tout $y\in\mathbb{C}\backslash R\overline{\mathbb{D}}$, $\left(-y\zeta_{\ast 1}-\zeta_{\ast 2},y\right)\notin U$, ce qui implique l’existence dans $bQ$ d’un élément $w=\left(1:\zeta_{1}:\zeta_{2}\right)$ tel que $w\in L_{z}$, c’est-à-dire tel que $\left(-y\zeta_{\ast 1}-\zeta_{\ast 2}\right)+y\zeta_{1}+\zeta_{2}=0$ soit encore $y=-\frac{\zeta_{\ast 2}-\zeta_{2}}{\zeta_{\ast 1}-\zeta_{1}}$. Etant donné que $bQ$ est une courbe réelle, $\mathbb{C}\backslash R\overline{\mathbb{D}}$ ne peut être contenu dans l’image de $bQ$ par $\zeta\mapsto-\frac{\zeta_{\ast 2}-\zeta_{2}}{\zeta_{\ast 1}-\zeta_{1}}$. Ainsi, $L_{w_{\ast}}^{\ast}\left(R\right)\cap U$ est un ouvert non vide de $L_{w_{\ast}}^{\ast}$. Notons que lorsque $z\in L_{w^{\ast}}^{\ast}\cap U$, $Q\cap L_{z}$ est une partie finie non vide de $Q_{0}=Q\cap\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ car $L_{z}\cap bQ=\varnothing$, $w_{\ast}\in L_{z}$ et $\left(0:1:0\right)\notin Q_{\infty}$.

Recouvrons $Q_{0}$ par une famille localement finie $\mathcal{B}$ de branches de $Q$. Pour chaque branche $B\in\mathcal{B}$, on se donne une fonction holomorphe $f$ définie sur un ouvert $V_{B}$ de $\mathbb{C}^{2}$ tel que $V_{B}=\left\{\left(1:\zeta_{1}:\zeta_{2}\right);\leavevmode\nobreak\ \zeta\in V_{B}\leavevmode\nobreak\ \&\leavevmode\nobreak\ f_{B}\left(\zeta\right)=0\right\}$. Notons $E\left(R\right)$ l’ensemble des $z$ de $L_{w_{\ast}}^{\ast}\left(R\right)$ tels que $L_{z}$ et $Q$ soient tangentes en un point de $L_{z}\cap Q$. Un point $z$ de $\mathbb{C}^{2}$ appartient à $E\left(R\right)$ lorsque $\left|y\right|>R$ et qu’il existe $B\in\mathcal{B}$ et $\zeta\in V_{B}$ vérifiant les conditions

[TABLE]

Lorsque $\zeta\neq\zeta_{\ast}$, ceci impose $\zeta_{\ast 1}\neq\zeta_{1}$ et $-\frac{\partial f_{B}/\partial\zeta_{1}}{\partial f_{B}/\partial\zeta_{2}}\left(\zeta\right)=\frac{\zeta_{\ast 2}-\zeta_{2}}{\zeta_{\ast 1}-\zeta_{1}}$. Les points $\zeta$ vérifiant cette équation forment donc un sous-ensemble analytique $C_{B}$ de $B$. A ce titre, $C_{B}$ est soit discret, soit égal à $B$.

Supposons que $C_{B}=B$ pour un élément $B$ de $\mathcal{B}$. Alors $\partial f_{B}/\partial\zeta_{2}$ ne s’annule pas et on peut trouver localement une fonction $\varphi_{B}$ telle que $f_{B}\left(\zeta\right)=0$ si et seulement si $\zeta_{2}=\varphi_{B}\left(\zeta_{1}\right)$. La fonction $\varphi_{B}$ vérifie alors $\varphi^{\prime}\left(\zeta_{1}\right)+\frac{1}{\zeta_{\ast 1}-\zeta_{1}}\varphi\left(\zeta_{1}\right)=\frac{\zeta_{\ast 2}}{\zeta_{\ast 1}-\zeta_{1}}$, c’est-à-dire $\left(\frac{1}{\zeta_{1}-\zeta_{\ast 1}}\varphi\left(\zeta_{1}\right)\right)^{\prime}=\left(\frac{\zeta_{\ast 2}}{\zeta_{1}-\zeta_{\ast 1}}\right)^{\prime}$. D’où $\varphi\left(\zeta_{1}\right)=\left(\zeta_{1}-\zeta_{\ast 1}\right)c+\zeta_{\ast 2}$ où $c$ est une constante. Dans ce cas, $B$ est un ouvert de la droite d’équation $\zeta_{2}=\left(\zeta_{1}-\zeta_{\ast 1}\right)c+\zeta_{\ast 2}$ et il suffit de prendre $y\neq c$ pour que $L_{z}$ ne coupe pas $B$ tangentiellement. Lorsque $C_{B}$ est une partie discrète de $B$, l’ensemble $E\left(R,B\right)$ des éléments $z$ de $L_{w_{\ast}}^{\ast}\left(R\right)$ tels que $L_{z}$ et $B$ soient tangentes en un point de $L_{z}\cap B$ est contenu, du fait des relations ci-dessus, dans un ensemble discret. Puisque $\mathcal{B}$ est localement finie, on en déduit de l’étude de ces deux cas que $L_{w_{\ast}}^{\ast}\left(R\right)$ rencontre $Z_{\operatorname{reg}}\cap\left(\mathbb{C}\times\mathbb{C}\backslash R\overline{\mathbb{D}}\right)$. ∎

On utilise comme dans [14] les indicatrices de Cauchy-Fantapié de $Q$ qui sont les fonctions $G_{k}$, $k\in\mathbb{N}$, définies sur $U$ par

[TABLE]

Le point départ de la reconstruction est un résultat de Dolbeault-Henkin essentiellement contenu dans [8]; leur preuve qui consiste à utiliser la formule de Stokes s’applique sans changement au cas où $Q_{\infty}$ contient des noeuds de $\overline{Q}$. Dans cet énoncé et ensuite, on utilise les notations suivantes lorsque $h_{1},...,h_{p}$ sont des fonctions à valeurs dans $\mathbb{C}$ et $k\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

Les identités de Newton sont que pour tout $k\in\mathbb{N}^{\ast}$,

[TABLE]

On note $\mathbb{C}\left[X,Y\right)$ l’ensemble des éléments de $\mathbb{C}\left(X,Y\right)$ qui sont des polynômes en $X$. $\mathbb{C}_{k}\left[X,Y\right)$ désigne l’anneau des polynômes en $X$ de degré au plus $k$ dont les coefficients sont des fractions rationnelles en $Y$ de degré compris entre $-1$ et $-k$. Une onde de choc est par définition une fonction $h$ holomorphe sur un ouvert de $\mathbb{C}^{2}$ telle que dans le système $\left(x,y\right)$ des coordonnées standards

[TABLE]

Proposition 19** **(Dolbeault-Henkin, 1997)

Soient $z_{\ast}\in U_{\operatorname{reg}}\backslash E_{\infty}$ et $p=\operatorname{Card}\left(L_{z_{\ast}}\cap Q\right)$. Si $U_{\ast}$ est un voisinage suffisamment petit de $z_{\ast}$ dans $U_{\operatorname{reg}}$, il existe des ondes de choc $h_{1},...,h_{p}$ sur $U_{\ast}$ dont les images sont deux à deux distinctes telles que pour tout $z\in U_{\ast}$,

[TABLE]

En outre, pour tout $k\in\mathbb{N}$, il existe $P_{k}\in\mathbb{C}_{k}\left[X,Y\right)$ tel que pour tout $z\in U_{\ast}$

[TABLE]

De plus, notant $\eta$ l’injection naturelle de $Q$ dans $\mathbb{CP}_{2}$, $P_{k}=\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}\operatorname*{Res}\left(\eta^{\ast}\Omega_{z}^{k},q\right)$ et

[TABLE]

D’un point de vue pratique, la principale difficulté est de déterminer le nombre $p$ et les polynômes $P_{k}$. [1] contient une méthode quand $p\in\left\{1,2\right\}$. Pour celle que proposée dans la section 4.8, il faut commencer par apporter des précisions sur $p$ les polynômes $P_{k}$. Le lemme ci-dessous prouve les polynômes $P_{k}$ ne dépendent que des germes de $Q$ en les points de $Q_{\infty}$.

Lemme 20

$P_{0}=-q_{\infty}$* où $q_{\infty}=\operatorname{Card}Q_{\infty}$ et lorsque $k\in\mathbb{N}^{\ast}$, posant $P_{k}=\sum\limits_{0\leqslant m\leqslant k}p_{k,m}X^{m}$,*

[TABLE]

En outre, si on pose

[TABLE]

Alors

[TABLE]

où les $p_{k,0,j}^{q}$ sont des polynômes universels en les coefficients du jet d’ordre $k-j+1$ de $Q$ en $q$ et $p_{k,0,j}=\sum\limits_{q}p_{k,0,j}^{q}\underset{q^{\prime}\neq q}{\Pi}\left(1+Yb_{q^{\prime}}\right)^{j}$. En particulier, $P_{k}$ ne dépend pas de $z_{\ast}$ et est entièrement déterminé par les $k\left(q_{\infty}+1\right)$ nombres $b_{q}$, $p_{k,0,j}^{q}$, $\left(q,j\right)\in Q_{\infty}\times\left\{1,...,k\right\}$

**Remarque. **Dans le cas où $Q_{\infty}\cap\operatorname*{Sing}Q\neq\varnothing$, la formule (22) devient $B_{\infty}=\prod\limits_{q\in Q_{\infty}}\left(1+Yb_{q}\right)^{\nu\left(q\right)}$ où $\nu\left(q\right)$ désigne le nombre de branches de $Q$ en $q$, (23) reste inchangée et dans (24), il faut remplacer $g_{1}^{q}$ par $\sum\limits_{B}g_{1}^{B,q}$ où la sommation se fait sur un jeu complet de branches de $Q$ en $q$ et $g_{1}^{B,q}=\left(g^{B}\right)^{\prime}\left(0\right)$, $g^{B}$ désignant la fonction holomorphe telle qu’au voisinage de [math], une équation de la branche $B$ est $u_{1}=g_{1}^{B}\left(u_{0}\right)$.

Démonstration.

Supposons que (21) soit vérifiée pour un entier $k$ non nul. Alors

[TABLE]

Ce qui prouve (21) par récurrence.

Soit maintenant $k\in\mathbb{N}$. Dans les coordonnées affines $\left(u_{0},u_{1}\right)=\left(\frac{w_{0}}{w_{2}},\frac{w_{1}}{w_{2}}\right)$ de $\mathbb{CP}_{2}$, $\Omega_{z}^{k}$ s’écrit

[TABLE]

On fixe un point $q$ de $Q_{\infty}$ et pour simplifier les notations, on écrit $g$ au lieu de $g^{q}$ (et donc $g_{\nu}$ pour $g_{\nu}^{q}$) et $u$ pour $u_{0}$ pour quelque temps. Au voisinage de $q$ dans $Q$, la forme $\eta^{\ast}\Omega_{z}^{k}$ s’écrit dans la coordonnée $u$ sous la forme

[TABLE]

Notant par $\left\langle f,u^{\nu}\right\rangle$ le coefficient de $u^{\nu}$ dans la série de Taylor en [math] d’une fonction $f$ holomorphe au voisinage de [math], on obtient

[TABLE]

En particulier $P_{0}^{q}\left(z\right)=-1$ et donc $P_{0}=-\operatorname{Card}Q_{\infty}$. Supposons désormais $k\geqslant 1$. Notons alors que

[TABLE]

et que si $g^{\prime}g^{k-1}=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\alpha_{n}u^{n}$, $\frac{1}{k}\left(g^{k}-g_{0}^{k}\right)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\frac{\alpha_{n-1}}{n}u^{n}$, ce qui livre

[TABLE]

Par conséquent,

[TABLE]

Puisque $g-g_{0}=O\left(u\right)$, il vient par ailleurs pour $u$ assez petit

[TABLE]

Or pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$

[TABLE]

Donc

[TABLE]

D’où $P_{k}^{q}\left(z\right)=\sum\limits_{m=0}^{k}p_{k,m}^{q}\left(y\right)x^{m}$ avec

[TABLE]

et pour $1\leqslant m\leqslant k-1$,

[TABLE]

En particulier,

[TABLE]

Par ailleurs, pour tout $n\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

D’où

[TABLE]

On remarque que $\left\langle g^{\prime}g^{k-1}\left(g-g_{0}\right)^{k-1},u^{k-1}\right\rangle=g_{1}g_{0}^{k-1}g_{1}^{k-1}=g_{1}^{k}g_{0}^{k-1}$ et que

[TABLE]

ce qui donne

[TABLE]

et

[TABLE]

D’où

[TABLE]

avec

[TABLE]

En sommant sur $q$ décrivant $Q_{\infty}$ les relations obtenues, on produit celles annoncées dans le lemme. ∎

Une conséquence non vitale pour notre but mais somme toute remarquable, est le résultat de confinement suivant.

Corollaire 21

L’ensemble $R_{\infty}$ des racines du polynôme $B_{\infty}$ défini par la formule (22) est contenu dans $\rho\overline{\mathbb{D}}$.

Démonstration.

Pour établir le confinement annoncé, il faut rentrer un peu dans le détail de la preuve de la proposition 19. Notons $v=\left(\frac{w_{1}}{w_{0}},\frac{w_{2}}{w_{0}}\right)$ le couple des coordonnées naturelles de $\left\{w_{0}\neq 0\right\}$. Soit $z_{\ast}=\left(x_{\ast},y_{\ast}\right)\in U$. La droite $L_{z_{\ast}}$ rencontre donc $Q$ en au moins un point et puisque $L_{z_{\ast}}\cap bQ=\varnothing$, $L_{z_{\ast}}\cap Q$ ne possède pas de point d’accumulation dans $bQ$ ni dans $Q$ car sinon $Q$ contiendrait un ouvert non vide de la droite $L_{z_{\ast}}$ et celle-ci aurait à rencontrer $bQ$. $L_{z_{\ast}}\cap Q$ est donc un ensemble fini, contenu dans $\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ car $\left(0:1:0\right)\notin Q$. Si $w_{\ast}=\left(1:v_{\ast 1}:v_{\ast 2}\right)\in Q$, on pose $D\left(w_{\ast},\varepsilon\right)=\left\{\left(1:v_{1}:v_{2}\right);\leavevmode\nobreak\ \left|v-v_{\ast}\right|<\varepsilon\right\}$ et $D_{Q}\left(w_{\ast},\varepsilon\right)=Q\cap D\left(w_{\ast},\varepsilon\right)$. Sélectionnons $\varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ tel que les disques $\overline{D\left(q_{\ast},\varepsilon\right)}$, $q_{\ast}\in L_{z_{\ast}}\cap Q$, soient deux à disjoints. Il existe alors un voisinage $U_{\ast}$ de $z_{\ast}$ tel que $L_{z}\cap Q\subset Q_{\varepsilon}\underset{q_{\ast}\in L_{z_{\ast}}\cap Q}{\cup}D\left(q_{\ast},\varepsilon\right)$ lorsque $z\in U_{\ast}$. Par conséquent, lorsque $z\in U_{\ast}$, on peut appliquer*(555Dans le cas où $Q$ a des singularités quelconques, celle-ci reste valable mais ce n’est pas élémentaire comme dans le cas nodal.)* la formule de Stokes à la forme $\Omega_{z}^{1}$ et $Q\backslash Q_{\varepsilon}$. On obtient avec les notations de la proposition 19

[TABLE]

En prenant $\varepsilon$ suffisamment petit, chaque intégrale ci-dessus se décompose en une somme d’intégrales de la forme $\int_{B\cap\partial D\left(q_{\ast},\varepsilon\right)}\Omega_{z}^{1}$ où $B$ est une branche de $Q$ en $q_{\ast}$. Les théorèmes classiques de régularité s’appliquant à ces dernières, on en déduit que $z\mapsto\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}\operatorname*{Res}\left(\eta^{\ast}\Omega_{z}^{k},q\right)$ est holomorphe au voisinage de $z_{\ast}$. Par ailleurs, les fractions rationnelles $P_{k}$ ne dépendant pas du point de $U_{\operatorname{reg}}$ auquel on applique la proposition 19, on sait aussi que si $z=\left(x,y\right)\in U_{\operatorname{reg}}$, $\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}\operatorname*{Res}\left(\eta^{\ast}\Omega_{z}^{k},q\right)=P_{1}\left(z\right)=\frac{A\left(y\right)}{B_{\infty}\left(y\right)}+x\frac{B_{\infty}^{\prime}\left(y\right)}{B_{\infty}\left(y\right)}$ où $A\in\mathbb{C}\left[Y\right]$. Ceci force $B\left(y_{\ast}\right)\neq 0$. Etant donné que $Z\subset U$, on en déduit que $B_{\infty}\subset\rho\overline{\mathbb{D}}$. ∎

**Remarque. **En fait, $B_{\infty}$ est contenu dans l’image de $\mathbb{C}\backslash\overline{U}$ par la projection $\mathbb{C}^{2}\ni\left(x,y\right)\mapsto y$.

4.4 Développement des indicatrices

La forme des fractions $P_{k}$ dégagée par le lemme 20 suggère d’étudier les fonctions $G_{k}$ sur le domaine $Z$ définit par (15).

Lemme 22

On note $\delta$ l’entier relatif $\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial Q}\frac{d\left(w_{1}/w_{0}\right)}{w_{1}/w_{0}}$. Pour tout $k\in\mathbb{N}$, $G_{k}$ admet sur $Z$ un développement en série de Laurent de la forme

[TABLE]

avec convergence normale sur tout compact de $Z$ et où pour tout $m\in\mathbb{N}^{\ast}$, $\widetilde{G}_{k,m}=\sum\limits_{0\leqslant n<m}G_{k,m}^{n}X^{n}$ est un polynôme degré au plus $m-1$, $G_{k,0}=\delta_{k,0}\delta$, $G_{k,m}=\delta_{k,m}\left(-1\right)^{m}\delta^{m}X^{m}+\widetilde{G}_{k,m}\overset{d\acute{e}f}{=}\sum\limits_{0\leqslant n\leqslant m}G_{k,m}^{n}X^{n}$. En particulier

[TABLE]

avec $G_{1,1}^{0}=\frac{-1}{2\pi i}\int_{\partial Q}\frac{w_{2}}{w_{1}}d\frac{w_{1}}{w_{0}}+\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial Q}\left(\frac{w_{2}}{w_{0}}\right){}^{2}d\frac{w_{2}}{w_{0}}$.

Démonstration.

Fixons $k$ dans $\mathbb{N}$. Soit $y\in\mathbb{C}\backslash\rho\overline{\mathbb{D}}$. La fonction $G_{k}\left(.,y\right)$ est holomorphe sur $D_{y}=D\left(0,m\left(y\right)\right)$ et se développe en série entière sous la forme

[TABLE]

avec pour tout $n\in\mathbb{N}$

[TABLE]

où $\left(\partial Q\right)_{0}$ est l’image de $\partial Q$ dans les coordonnées naturelles $\left(z_{1},z_{2}\right)=\left(\frac{w_{1}}{w_{0}},\frac{w_{2}}{w_{0}}\right)$ de $\left\{w_{0}\neq 0\right\}$. Lorsque $w\in bQ$, $\left|\frac{w_{2}}{w_{1}}\right|\leqslant\rho<\left|y\right|$ et donc $\left|\frac{z_{2}}{yz_{1}}\right|\leqslant\frac{\rho}{\left|y\right|}<1$ ce qui permet d’écrire

[TABLE]

où $C_{-n-1}^{m}=\frac{\left(-1\right)^{m}A_{n+m}^{m}}{m!}$ et avec convergence normale sur tout compact de $\mathbb{C}\backslash\rho\overline{\mathbb{D}}\times bQ$. D’où

[TABLE]

avec convergence normale sur tout compact de $\mathbb{C}\backslash\rho\overline{\mathbb{D}}$. Etant donné que $z_{1}^{k-n-1}dz_{1}=\frac{1}{k-n}dz_{1}^{k-n}$ lorsque $k\neq n$, il vient $G_{k}^{n}\left(y\right)=\sum\limits_{m\geqslant n}\frac{G_{k,m}^{n}}{y^{m}}$ avec

[TABLE]

et

[TABLE]

lorsque $m>n$. La série double de terme général $G_{k,m}^{n}x^{n}y^{-m}$ étant normalement convergente sur les compacts de $Z$, on obtient

[TABLE]

avec $G_{k,m}=\sum\limits_{0\leqslant n<m}G_{k,m}^{n}X^{n}$. D’où les relations annoncées dans le lemme et

[TABLE]

avec $\widetilde{G}_{1,m}=\sum\limits_{0\leqslant n<m}G_{1,m}^{n}X^{n}$ ∎

Corollaire 23

Le nombre $p$ de fonctions $h_{1},...,h_{p}$ qui interviennent dans la proposition 19 est le même pour tous les points de $Z_{\operatorname{reg}}\backslash E_{\infty}$ : $p=\delta+q_{\infty}$ où $q_{\infty}=\operatorname{Card}Q_{\infty}$.

**Remarques. 1. **Dans le cas où $Q_{\infty}\cap\operatorname*{Sing}Q\neq\varnothing$, $q_{\infty}=\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}\nu\left(q\right)$.

**2. **Le corollaire 38 donne que pour une connexion de Chern $D$ appropriée calculable à partir de l’opérateur de Dirichlet-Neumann,

[TABLE]

où $c$ est le nombre de composantes connexes de $bM$. Si le genre de $M$ est connu, cette formule livre la valeur de $q_{\infty}$ puis celle de $p$.

Démonstration.

Notons provisoirement $p\left(z\right)$ le nombre de fonctions $h_{1},...,h_{p\left(z\right)}$ qui interviennent dans la proposition 19 quand $z\in U_{\operatorname{reg}}$. Puisque $P_{0}=-q_{\infty}$, on sait que $G_{0}\left(z\right)=p\left(z\right)-q_{\infty}$ et donc que $p$ est une fonction à valeurs dans $\mathbb{Z}$ continue sur l’ensemble connexe $Z_{\operatorname{reg}}\backslash Z_{\infty}$. Elle est donc constante et puisque $G_{0}\left(z\right)=\delta+\sum\limits_{m\in\mathbb{N}^{\ast}}\frac{G_{0,m}\left(x\right)}{y^{m}}$ lorsque $z=\left(x,y\right)\in Z_{\operatorname{reg}}$, on en déduit que $\delta=p-q_{\infty}$ et que $G_{0,m}=0$ pour tout $m\in\mathbb{N}^{\ast}$. ∎

Corollaire 24

Les notations et les hypothèses sont celles de la proposition 19. Pour tout $k\in\mathbb{N}^{\ast}$, $N_{h,k}$ se prolonge à $Z$ en une fonction holomorphe $N_{Q,k}$ qui ne dépend pas de $z_{\ast}$ et qui se développe en série de Laurent sous la forme $N_{Q,k}\left(x,y\right)=\sum\limits_{m\in\mathbb{N}^{\ast}}\frac{N_{k,m}^{Q}\left(x\right)}{y^{m}}$ où les $N_{k,m}^{Q}$ sont des polynômes de degré au plus $m$. En outre, pour tout $z$ dans $Z_{\operatorname{reg}}$, il existe des ondes de choc $h_{1}^{z},...,h_{p}^{z}$ dont les images sont deux à deux distinctes et telles que pour $z^{\prime}$ suffisamment voisin de $z$, $\left(N_{Q,k}\left(z^{\prime}\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}=\left(N_{h^{z},k}\left(z^{\prime}\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}$ et $L_{z^{\prime}}\cap Q=\left\{\left(1:h_{j}\left(z^{\prime}\right):-x-yh_{j}\left(z^{\prime}\right)\right);\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant j\leqslant p\right\}$.

Démonstration.

Soit $k\in\mathbb{N}$. On sait que $N_{h,k}=G_{k}-P_{k}$ sur $U_{\ast}$ et grâce au lemme 20 et au corollaire 21 que $P_{k}$ est une fraction rationnelle qui ne dépend pas de $z_{\ast}$ et qui est définie sur $Z$. Par conséquent $N_{Q,k}=G_{k}-P_{k}$ prolonge $N_{h,k}$ en une fonction holomorphe sur $Z$. En appliquant la proposition 19 et le corollaire 23 en un point $z$ arbitraire de $Z_{\operatorname{reg}}\backslash E_{\infty}$, on obtient des ondes de chocs $h_{1}^{z},...,h_{p}^{z}$ ayant les propriétés annoncées. Par ailleurs, le lemme 20 donne aussi que

[TABLE]

avec $p_{1,1}=\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}\frac{b_{q}}{1+Yb_{q}}$ et $p_{\nu,0}=\sum\limits_{j=1}^{\nu}\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}\frac{p_{\nu,0,j}^{q}}{\left(1+Yb_{q}\right)^{j}}$. Pour $\left|y\right|>\beta$, on obtient donc

[TABLE]

avec $p_{\nu,0}^{\infty,m}=\left(-1\right)^{m}\sum\limits_{\left(n,j\right)\in\mathbb{N}^{\ast}\times\left\{1,...,\nu\right\},\leavevmode\nobreak\ n+j=m+1}\left(j-1\right)!\sum\limits_{q\in Q_{\infty}}b_{q}^{-n}p_{\nu,0,j}^{q}$. Il suffit alors de combiner ces formules avec le lemme 22 pour obtenir les développements annoncés. ∎

4.5 Une genèse des ondes de chocs multiples

On se donne $A,B\in\mathbb{C}\left[Y\right]$ avec $\deg A<r=\deg B$, $B$ valant $1$ en [math] et dont les racines sont confinées dans $\rho\overline{\mathbb{D}}$ puis on définit $P\in\mathbb{C}\left[X,Y\right)$ et $N$ par les relations

[TABLE]

Il s’agit dans cette section de savoir quand $N$ est une onde de chocs multiples, c’est-à-dire une somme d’onde de choc. Le théorème 4 de [14] donne une caractérisation de telles sommes mais dans cet article, on en utilise une plus adaptée à la situation présente. Ces deux caractérisations correspondent plus ou moins à privilégier l’une ou l’autre des variables $x$ ou $y$ et reposent sur le lemme 16 de [14] rappelé ci-dessous.

Lemme 25** **(Henkin-Michel, 2007)

Soit $D$ un domaine de $\mathbb{C}^{2}$ et $h_{1},...,h_{d}\in\mathcal{O}\left(D\right)$ des fonctions mutuellement distinctes. Alors chaque $h_{j}$ est une onde de choc si et seulement si les fonctions $\Sigma_{h,k}=\left(-1\right)^{k}S_{h,k}$ satisfont au système suivant

[TABLE]

Le corollaire suivant est contenu dans la preuve de la proposition 17 de [14].

Corollaire 26

Soient $D$ un domaine de $\mathbb{C}^{2}$, $N\in\mathcal{O}\left(D\right)$ et $d\in\mathbb{N}^{\ast}$. Il existe localement des ondes de choc $h_{1},...,h_{d}$ mutuellement distinctes telles que $N=h_{1}+\cdots+h_{d}$ si et seulement si il existe dans $\mathcal{O}\left(D\right)$ des fonctions $s_{1},...,s_{d}$ telles que $s_{1}=-N$ et

[TABLE]

et si le discriminant du polynôme $\Sigma=T^{d}+s_{1}T^{d-1}+\cdots+s_{d}\in\mathcal{O}\left(D\right)\left[T\right]$ n’est pas identiquement nul sur $D$. Dans ce cas, on dit que $N$ est une $d$-onde de chocs.

Démonstration.

Si $N$ est la somme de $d$ ondes de choc $h_{1},...,h_{d}$ mutuellement distinctes, $s_{1}=-S_{h,1}=-N_{1}$ et les fonctions $s_{k}=\left(-1\right)^{k}S_{h,k}$, $2\leqslant k\leqslant d$ vérifient (30) d’après le lemme 25. Réciproquement, supposons $d\geqslant 2$ et que $\left(s_{1},...,s_{d}\right)$ soit solution de (30), $s_{1}=-N_{1}$ et que le discriminant $\Delta$ de $S$ n’est pas nul. Pour tout $z_{\ast}\in\left\{\Delta\neq 0\right\}$, $T_{z_{\ast}}$ n’a que des racines simples et il existe un voisinage $U_{\ast}$ de $z_{\ast}$ dans $D$ ainsi que des fonctions holomorphes $h_{1},...,h_{d}$ telles que pour tout $z\in U_{\ast}$, les racines de $\Sigma_{z}$ sont les $d$ nombres complexes $h_{1}\left(z\right),...,h_{d}\left(z\right)$. Le lemme 25 donne alors que $h_{1},...,h_{d}$ sont des ondes de choc. ∎

La définition ci-dessous introduit un opérateur intégro-différentiel adapté à la résolution du système (30).

D finition 27

On sélectionne dans le cercle unité $\mathbb{T}$ de $\mathbb{C}$ une direction $\tau$ et dans $\Omega_{\rho,\tau}=\mathbb{C}\backslash\left(\rho\overline{\mathbb{D}}\cup\mathbb{R}_{+}\tau\right)$, on fixe un point $\omega$. On définit alors un opérateur de primivitisation $\mathcal{P}=\mathcal{P}_{\rho,\tau,\omega}$ sur $\Omega_{\rho,\tau}$ en associant à une fonction holomorphe sur $\Omega_{\rho,\tau}$ sa primitive qui s’annule en $\omega$ et on pose

[TABLE]

On fixe $\rho_{\omega}\in\left]\rho,+\infty\right[$ tel que $m\left(y\right)\geqslant m\left(\omega\right)=m_{\omega}$ lorsque $\left|y\right|\geqslant\rho_{\omega}$ puis on pose $D_{\omega}=D\left(0,\frac{1}{2}m_{\omega}\right)$, $Z_{\omega}=D_{\omega}\times\left(\mathbb{C}\backslash\rho_{\omega}\overline{\mathbb{D}}\right)$ et $Z_{\omega,\tau}=Z_{\omega}\backslash\mathbb{R}_{+}\tau$. On définit les opérateurs intégro-différentiels $\mathcal{D}$ et $\mathcal{E}$ agissant sur $\mathcal{O}\left(Z_{\omega,\tau}\right)$ par

[TABLE]

où les fonctions $H$ et $\widetilde{H}$ sont définies sur $Z$ par

[TABLE]

Etant donné que d’après (27), $G_{1}\left(x,y\right)=\frac{G_{1,1}^{0}-\delta x}{y}+\sum\limits_{m\geqslant 2}\frac{G_{k,m}\left(x\right)}{y^{m}}$ sur $Z$, on obtient que sur $Z$

[TABLE]

et aussi, puisque $\delta\in\mathbb{Z}$,

[TABLE]

Ainsi, $e^{H}$ se prolonge holomorphiquement à $Z$ indépendamment de la coupure faite selon $\mathbb{R}_{+}\tau$. Une autre conséquence de (31) est que $\delta$ est donné pour tout $x\in\mathbb{C}$ par la formule

[TABLE]

Proposition 28

Soient $s_{1},...,s_{d}\in\mathcal{O}\left(Z_{\omega}\right)$. Alors $\left(s_{1},...,s_{d}\right)$ est solution de (30) avec $N=G_{1}-P$ si et seulement si il existe dans $\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$ des fonctions $\mu_{1},...,\mu_{d}$ telles que pour tout $\tau\in\mathbb{T}$, le système ci-dessous est vérifié sur $Z_{\omega,\tau}$

[TABLE]

Démonstration.

Afin de simplifier les écritures dans cette preuve, on écrit $B$ pour $1\otimes B$ et $\mu_{j}\otimes 1$ pour $\mu_{j}$ . Puisque $N=G_{1}-\frac{A}{B}-x\otimes\frac{B^{\prime}}{B}$, on remarque que si $s\in\mathcal{O}\left(Z_{\omega,\tau}\right)$,

[TABLE]

Comme $e^{H}$ se prolonge holomorphiquement à $Z_{\omega}$ indépendamment de $\tau$, $\left(s_{1},...,s_{d}\right)$ est solution de (30) si et seulement si les équations

[TABLE]

sont satisfaites sur $Z_{\omega}$. La première est équivalente à l’existence d’une fonction $\mu_{d}$ définie sur $D_{\omega}$ telle que pour tout $\left(x,y\right)\in Z_{\omega}$,

[TABLE]

Une telle fonction $\mu_{d}$ est en fait holomorphe sur $D_{\omega}$ puisque pour tout $y\in\Omega_{\tau}\backslash\rho\overline{\mathbb{D}}$ tel que $B\left(y\right)\neq 0$, elle serait donnée sur $D\left(0,m_{\omega}\right)$ par la formule $\mu_{d}=s_{d}\left(.,y\right)\frac{e^{H\left(.,y\right)}}{B\left(y\right)}$. Supposons que pour $k\in\left\{1,...,d-1\right\}$, $\mu_{d},...,\mu_{k}\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$ vérifient sur $Z_{\omega,\tau}$

[TABLE]

lorsque $d\geqslant j\geqslant k+1$. L’équation $\frac{\partial}{\partial y}\left(Bs_{k}e^{-H}\right)=e^{-H}\frac{\partial}{\partial x}\left(Bs_{k+1}\right)$ est alors équivalente à l’existence de $\mu_{k}\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$ telle que pour tout $\left(x,y\right)\in Z_{\omega,\tau}$,

[TABLE]

Par hypothèse,

[TABLE]

Donc

[TABLE]

Par conséquent, l’équation $\frac{\partial}{\partial y}\left(Bs_{k}e^{-H}\right)=e^{-H}\frac{\partial}{\partial x}\left(Bs_{k+1}\right)$ est équivalente à l’existence de $\mu_{k}\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$ telle que pour tout $\left(x,y\right)\in Z_{\omega,\tau}$,

[TABLE]

∎

La proposition 28 donne un procédé simple pour construire a priori des fonctions susceptibles d’être des ondes de chocs multiples. On note $\mathbb{C}_{\mathcal{B}}\left[Y\right]$ l’ensemble des polynômes $B\in\mathbb{C}\left[Y\right]$ valant $1$ en [math] et dont les racines sont confinées dans $\rho\overline{\mathbb{D}}$.

Corollaire 29

Soient $\mu_{1},...,\mu_{d}\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$. On définit des fonctions $s_{k}\left(\mu,B\right)$, $1\leqslant k\leqslant d$, holomorphes sur $Z_{\omega,\tau}$ par les formules

[TABLE]

Alors l’application $\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)^{d}\times\mathbb{C}_{\mathcal{B}}\left[Y\right]\ni\left(\mu,B\right)\mapsto\left(s_{k}\left(\mu,B\right)\right)_{1\leqslant k\leqslant d}$ est injective. En outre $-s_{1}\left(\mu,B\right)$ est une $d$-onde de chocs sur $Z_{\omega,\tau}$ si et seulement si

[TABLE]

et le discriminant $\Delta\left(\mu,B\right)$ de $S\left(\mu,B\right)$ n’est pas identiquement nul. Quand cette condition est vérifiée, on dit que $-s_{1}\left(\mu,B\right)$ est une $\left(d,B\right)$-onde de chocs.

Démonstration.

Supposons que $\left(\mu,B\right)$ et $\left(\nu,C\right)$ sont deux éléments de $\mathcal{O}\left(\mathbb{C}\right)^{d}\times\mathbb{C}_{\mathcal{B}}\left[Y\right]$ tels que $\left(s_{k}\left(\mu,B\right)\right)_{1\leqslant k\leqslant n}=\left(s_{k}\left(\nu,C\right)\right)_{1\leqslant k\leqslant d}$. Alors sur $Z_{\omega,\tau}$

[TABLE]

Comme $B,C\in\mathbb{C}_{\mathcal{B}}\left[Y\right]$, ceci impose $B=C$ et $\mu_{d}=\nu_{d}$. Supposons que $\mu_{j}=\nu_{j}$ lorsque $d\geqslant j\geqslant k>1$. La relation $s_{k-1}\left(\mu,B\right)=s_{k-1}\left(\nu,C\right)$ s’écrit alors $\mathcal{E}_{k-1}\left(\mu\right)=\mathcal{E}_{k-1}\left(\nu\right)$ et celle-ci livre immédiatement $\mu_{k-1}=\nu_{k-1}$. D’où $\mu=\nu$.

Puisque $e^{H}=\left(1\otimes\left(Y/\omega\right)^{-\delta}\right)e^{\widetilde{H}}$, il résulte de la proposition 28 que $\left(s_{k}\left(\mu,B\right)\right)_{1\leqslant k\leqslant d}$ vérifie le système (30). Lorsque $-s_{1}\left(\mu,B\right)=G_{1}-P$, le système (30) est identique au système (29) et $\Delta\left(\mu,B\right)\neq 0$ assure que $-s_{1}\left(\mu,B\right)$ est la somme de $d$ ondes de chocs deux à deux différentes dont les fonctions symétriques sont les $\left(-1\right)^{k}s_{k}\left(\mu,B\right)$. ∎

La proposition ci-dessous donne une décomposition des opérateurs itérés $\mathcal{E}^{k}$.

Proposition 30

On définit des fonctions $\mathcal{E}_{k,k},...,\mathcal{E}_{k,0}$ holomorphes sur $\mathcal{Z}_{\omega,\tau}$ pour tout $k\in\mathbb{N}$ par les relations suivantes

[TABLE]

où $\mathcal{E}_{k,\nu}=0$ si $\nu<0$. Alors pour tout $f\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$,

[TABLE]

En outre, les fonctions $\mathcal{E}_{k,j}$ ont le long de $\mathbb{R}\tau$ au plus des discontinuités de première espèce.

Démonstration.

Par définition pour tout $f\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$, $\mathcal{D}\left(f\otimes 1\right)=f^{\prime}\otimes 1+\left(f\otimes 1\right)\frac{\partial H}{\partial x}$ et donc $\mathcal{E}f=\left(f^{\prime}\otimes 1\right)\mathcal{E}_{1,1}+\left(f\otimes 1\right)\mathcal{E}_{1,0}$ avec $\mathcal{E}_{1,1}=1\otimes\left(Y-\omega\right)$ et $\mathcal{E}_{1,0}=\mathcal{P}H$. Par ailleurs pour tout $\left(x,y\right)\in Z_{\omega,\tau}$

[TABLE]

avec $G_{1,-1}^{\leqslant 3}\left(x,y\right)=\sum\limits_{n\leqslant 3}\frac{G_{n}^{\prime}\left(x\right)/\left(1-n\right)}{y^{n-1}}$. $\mathcal{P}G_{1,-1}^{\leqslant 3}\left(\left(x,y\right)\right)=\sum\limits_{n\leqslant 3}\frac{G_{n}^{\prime}\left(x\right)/\left(1-n\right)\left(2-n\right)}{y^{n-2}}$ se prolonge holomorphiquement à $Z_{\omega}$. Puisque $J_{-1}$ a une discontinuité de première espèce le long de $\mathbb{R}\tau$, il en est de même de $\mathcal{P}J_{-1}$. Par conséquent, $\mathcal{E}_{1,0}=\mathcal{P}H$ a au plus des discontinuités de première espèce le long de $\mathbb{R}\tau$. Supposons le résultat du lemme vrai pour $k\in\mathbb{N}^{\ast}$ donné. Alors pour $f\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)$

[TABLE]

ce qui donne la formule attendue avec

[TABLE]

Le même type de raisonnement que celui fait pour $k=1$ livre que les $\mathcal{E}_{k+1,j}$ ont au plus des discontinuités de première espèce le long de $\mathbb{R}\tau$. ∎

4.6 Systèmes différentiels

Comme dans la section précédente, on se donne $A,B\in\mathbb{C}\left[Y\right]$ avec $\deg A<r=\deg B$ et $B=\underset{1\leqslant q\leqslant r}{\Pi}\left(1+s_{q}Y\right)=\sum\limits_{0\leqslant j\leqslant r}\beta_{j}Y^{j}$ tel que $\left\{B=0\right\}\subset\rho\overline{\mathbb{D}}$. On définit $P\in\mathbb{C}\left[X,Y\right)$ et $N\in\mathcal{O}\left(Z\right)$ par les relations

[TABLE]

Puisque le degré $q_{\infty}$ de $B_{\infty}$ et le nombre $p$ des ondes de chocs sont liés par la relation $p=q_{\infty}+\delta$ où $\delta$ est connu grâce à (32), on pose

[TABLE]

Le corollaire 29 permet de fabriquer à partir d’un jeu $\mu_{1},..,\mu_{d}$ de fonctions holomorphes sur $D_{\omega}$ un polynôme $T^{d}+\sum\limits_{1\leqslant k\leqslant d}s_{k}\left(\mu,B\right)T^{d-k}$ dont les racines sont sur $\left\{\Delta\left(\mu,B\right)\neq 0\right\}$ des ondes de chocs pourvu que $-s_{1}\left(\mu,B\right)=N=G_{1}-P$. La proposition ci-dessous montre que cette condition est équivalente à ce que les $\mu_{j}$ vérifient un système d’équations linéaires avec second membre explicite.

Proposition 31

Soit $\mu\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)^{d}$.

1. On note $(\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}K_{n}^{0}\left(B,A,x\right)y^{n})$ le développement en série de Laurent par rapport à $y$ de $\left[R-\left(1\otimes B\right)G_{1}\right]e^{-H}$. Alors $G_{1}+s_{1}\left(\mu,B\right)=R$ sur $Z_{\omega}$ si et seulement si $\mu$ est solution sur $D_{\omega}$ du système différentiel

[TABLE]

où pour $n\in\mathbb{Z}$, $0\leqslant m<j\leqslant d$ et $R>\rho_{\omega}$,

[TABLE]

En outre les fonctions $K_{n}^{0}\left(B,A,.\right)$ sont nulles pour $n\geqslant d$ et linéaires par rapport à $\left(A,B\right)$ avec des coefficients qui ne dépendent que de $G$ .

2. L’équation $\frac{\partial G_{1}}{\partial x}+\frac{\partial s_{1}\left(\mu,B\right)}{\partial x}=1\otimes\frac{B^{\prime}}{B}$ est équivalente à ce que $\mu$ est solution sur $D_{\omega}$ du système différentiel

[TABLE]

où pour $n\in\mathbb{Z}$, $1\leqslant j\leqslant d$, $0\leqslant m\leqslant j$ et $R>\rho$,

[TABLE]

les fonctions $\mathcal{E}_{j,m}^{1}$ étant déterminées par les relations

[TABLE]

En outre, $K_{n}^{1}\left(B,.\right)=0$ lorsque $n\geqslant d$.

3. On suppose $\frac{\partial^{2}G_{1}}{\partial x^{2}}\neq 0$ et on pose $B=\sum\limits_{0\leqslant j\leqslant r}\beta_{j}Y^{j}$. L’équation $\frac{\partial^{2}G_{1}}{\partial^{2}x}+\frac{\partial^{2}s_{1}\left(\mu,B\right)}{\partial x^{2}}=0$ est équivalente à ce que $\mu$ est solution sur $D_{\omega}$ du système différentiel

[TABLE]

où

[TABLE]

les fonctions $\mathcal{E}_{j,m}^{2}$ étant déterminées par les formules suivantes

[TABLE]

avec la convention que $\mathcal{E}_{\alpha,\beta}=0$ si $m\notin\left[2,j-1\right]$

Démonstration.

**1. **D’après les définitions données dans le corollaire 29, $s_{1}\left(\mu,B\right)=L\mathcal{E}_{1}\left(\mu\right)$. La proposition 30 donne

[TABLE]

Donc $G+s_{1}\left(\mu,B\right)=R$ si et seulement si

[TABLE]

où $A=\sum\limits_{0\leqslant j\leqslant r-1}a_{j}Y^{j}$. Le développement en série Laurent de $e^{-\widetilde{H}}$ étant de la forme $e^{-\widetilde{H}}=\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}_{-}}\widetilde{E}_{n}\left(x\right)y^{n}$ où les $\widetilde{E}_{n}$ sont des fonctions holomorphes sur $D_{\omega}$, il vient, puisque $r+\delta=d$, que pour tout $\left(x,y\right)\in Z$

[TABLE]

et

[TABLE]

$G_{1}e^{-\widetilde{H}}$ se développant sous la forme $G_{1}e^{-\widetilde{H}}=\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}_{-}^{\ast}}\widehat{E}_{n}\otimes Y^{n}=\frac{1}{y}\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}_{-}}\widehat{E}_{n-1}\left(x\right)y^{n}$, $\left(1\otimes Y^{\delta}B\right)G_{1}e^{-\widetilde{H}}=\left(1\otimes Y^{\delta-1}B\right)\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}_{-}}\widehat{E}_{n-1}\otimes Y^{n}$ et on a de même

[TABLE]

Ainsi, les coefficients $\omega^{-\delta}K_{n}^{0}\left(B,A,x\right)$ du développement du membre de droite de (38) sont nuls si $n\geqslant d$ et sinon donnés par les formules,

[TABLE]

Si $R$ est assez grand, (38) est équivalent au fait que pour tout $n\in\mathbb{Z}$,

[TABLE]

l’existence des intégrales étant assurée par le fait que les $\mathcal{E}_{k,j}$ ont plus des discontinuités de première espèce le long de $\mathbb{R}\tau$. Ceci prouve le premier point de la proposition.

**2. **Puisque $\frac{\partial\widetilde{H}}{\partial x}=\frac{\partial H}{\partial x}$, $e^{-\widetilde{H}}\frac{\partial}{\partial x}e^{\widetilde{H}}=e^{-H}\frac{\partial}{\partial x}e^{H}$ et posant $L=e^{\widetilde{H}}/\left(1\otimes\left(Y/\omega\right)^{\delta}B\right)$

[TABLE]

avec $\mathcal{E}_{j,j}^{1}=\mathcal{E}_{j-1,j-1}=1\otimes\frac{\left(Y-\omega\right)^{j-1}}{\left(j-1\right)!}$, $\mathcal{E}_{j,0}^{1}=\mathcal{DE}_{j-1,0}$ et pour $\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant m\leqslant j$, $\mathcal{E}_{j,m}^{1}=\mathcal{E}_{j-1,m-1}+\mathcal{DE}_{j-1,m}$. L’équation $\frac{\partial G_{1}}{\partial x}+\frac{\partial s_{1}\left(\mu,B\right)}{\partial x}=1\otimes\frac{B^{\prime}}{B}$ est alors équivalente à

[TABLE]

et donc au système d’équations annoncé. Puisque le développement en série de Laurent de $\frac{\partial G_{1}}{\partial x}e^{\widetilde{H}}$ est de la forme $\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}_{-}^{\ast}}\Lambda_{n}\left(x\right)y^{n}$ où les $\Lambda_{n}$ sont des fonctions holomorphe sur $D_{\omega}$, le coefficient en $y^{n}$ de celui de $\frac{\partial G_{1}}{\partial x}e^{\widetilde{H}}\left(1\otimes B\right)$ est nul lorsque $n\geqslant\deg B=r$. On en déduit que $K_{n}^{1}\left(B,.\right)=0$ lorsque $n\geqslant r+\delta=d$.

**3. **Pour simplifier les écritures, on écrit $f$ pour $f\otimes 1$. Puisque

[TABLE]

et donc

[TABLE]

où les $\mathcal{E}_{j,m}^{2}$ sont définis comme annoncé pour $\mathcal{E}_{j,j+1}^{2}$, $\mathcal{E}_{j,j}^{2}$, $\mathcal{E}_{j,0}^{2}$ et

[TABLE]

ainsi que

[TABLE]

Lorsque $\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}$ n’est pas la fonction nulle, l’équation $\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}s_{1}\left(\mu,B\right)}{\partial x^{2}}=0$ s’écrit donc

[TABLE]

Puisque $Y^{\delta}B=\sum\limits_{\delta\leqslant n\leqslant d}\beta_{n}y^{n}$, ceci est équivalent à ce que pour tout $j\in\mathbb{Z}$ et $R>\rho$,

[TABLE]

∎

4.7 Unicité des décompositions en ondes de choc

On se donne $A,B\in\mathbb{C}\left[Y\right]$ avec $\deg A<r=\deg B$, $B=\underset{1\leqslant q\leqslant r}{\Pi}\left(1+s_{q}Y\right)=\sum\limits_{0\leqslant j\leqslant r}\beta_{j}Y^{j}$ tel que $\left\{B=0\right\}\subset\rho\overline{\mathbb{D}}$ et on pose $P=1\otimes\frac{A}{B}+X\otimes\frac{B^{\prime}}{B}$ ainsi que $d=r+\delta$. On note $\mathcal{M}_{\omega}\left(B\right)$ l’ensemble des $\mu\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)^{d}$ tel que le discriminant $\Delta\left(\mu,B\right)$ du polynôme $S\left(\mu,B\right)=T^{d}+s_{1}\left(\mu,B\right)T^{d-1}+\cdots+s_{d}\left(\mu,B\right)\in\mathcal{O}\left(D_{\omega}\right)\left[T\right]$ n’est pas identiquement nul et tel que $\mu$ est solution de (35).

Lorsque $\mu\in\mathcal{M}_{\omega}\left(B\right)$, on sait que pour tout $\tau\in\mathbb{T}$ la fonction $-s_{1}\left(\mu,B\right)$ est une $d$-onde de chocs sur $Z_{\omega,\tau}$. Pour tout $z_{\ast}$ appartenant au complémentaire dans $Z_{\omega,\tau}$ d’un ensemble analytique de dimension $1$, on sait grâce à la proposition 29 que si $U_{\ast}$ un voisinage suffisamment petit de $z_{\ast}$, il existe des ondes de chocs $g_{1},...,g_{d}$ sur $U_{\ast}$ dont les images sont deux à deux distinctes telles que pour tout $z\in U_{\ast}$,

[TABLE]

où les fonctions $h_{j}$ sont les ondes de chocs $h_{j}^{z_{\ast}}$ définies dans le corollaire 24, c’est-à-dire les ondes de chocs engendrées par la collision de $Q$ avec les droites $L_{z}$, $z\in U_{\ast}$.

A priori, rien ne garantit que $\left\{g_{1},...,g_{d}\right\}=\left\{h_{1},...,h_{p}\right\}$ car il se peut par exemple qu’il existe une partie finie non vide $J$ de $\left\{1,...,d\right\}$ telle que $\sum\limits_{j\in J}g_{j}$ se prolonge comme un élément de l’espace $\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ des fractions rationnelles affines en $X$. Dans ce cas, $G_{1}=N_{\widetilde{g},1}-\widetilde{P}$ avec $\widetilde{P}=P-\sum\limits_{j\in J}g_{j}\in\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ et $\left\{\widetilde{g}_{1},...,\widetilde{g}_{\widetilde{d}}\right\}$ où $\widetilde{d}=d-\operatorname{Card}\widetilde{J}\in\left\{0,..,d-1\right\}$. Itérant cette réduction, on se ramène au cas où

[TABLE]

Le cas $d=0$ ne se produit à l’issue de ces itérations que si au départ, $\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant d}g_{j}$ et donc $G_{1}$, se prolonge comme élément de $\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$. Le lemme ci-dessous étudie ce cas.

Lemme 32

On utilise les notations du corollaire 24. $G_{1}$ se prolonge comme élément de $\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ si et seulement si $Q$ est un domaine dans une courbe compacte connexe $K$ telle que pour tout $z_{\ast}$ dans $Z_{\operatorname{reg}}$ et $z$ dans un voisinage suffisamment petit $U_{\ast}$ de $z_{\ast}$ dans $Z_{\operatorname{reg}}$,

[TABLE]

Démonstration.

Supposons tout d’abord que $K$ est une courbe compacte ayant les propriétés ci-dessus. Fixons $z_{\ast}$ et $U_{\ast}$ comme dans l’énoncé. Puisque $K$ est une courbe algébrique, on sait depuis les travaux d’Abel que $\sum\limits_{1\leqslant j\leqslant p}h_{j}^{z_{\ast}}\in\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ (voir par exemple [12]). Il s’ensuit que $G_{1}=N_{h^{z_{\ast}},1}+P_{1}$ est, sur $U_{\ast}$ et donc sur $Z$, rationnelle en $y$ et affine en $x$.

Réciproquement, supposons que $G_{1}\in\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$. Alors $N_{h^{z_{\ast}},1}=G_{1}-P_{1}$ est sur $U_{\ast}$ rationnelle en $y$ et affine en $x$. Comme $\left\{\left(1:h_{j}^{z_{\ast}}\left(z\right):-x-yh_{j}^{z_{\ast}}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant j\leqslant p\right\}=Q\cap L_{z}$ pour tout $z\in U_{\ast}$, un théorème de Wood [30] stipule l’existence d’une courbe algébrique compacte $K$ de degré $p$ contenant $Q$. Puisque $K$ est de degré $p$, $K\cap L_{z}=\left\{\left(1:h_{j}\left(z\right):-x-yh_{j}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant j\leqslant\lambda\right\}=Q\cap L_{z}$ pour tout $z\in U$.∎

Dans le cas où $G_{1}$ est rationnelle en $y$ et affine en $x$, la courbe algébrique $K$ du lemme 32 est connue au voisinage de $bQ$. On peut alors sélectionner de façon générique des coordonnées homogènes $w$ pour qu’au moins une droite $L_{z}$, $z\in U$, rencontre $K\backslash Q$. On est ainsi ramené au cas général puisque le lemme  32 assure alors que même après réduction, $d$ n’est pas nul.

Grâce à des résultats de Henkin [12] et de Collion [7], cette réduction de la famille $\left(g_{j}\right)$ ramène à sa première équation le système sur-déterminé (20).

Proposition 33

Les notations sont celles énoncées au début de cette section. On suppose que (39) est vérifiée. Pour le cas où $Q$ est contenue dans une courbe algébrique, $\widehat{Q}$ désignant alors la plus petite courbe ayant cette propriété, on suppose que $\left(0:1:0\right)\notin\widehat{Q}$ et qu’au moins une des droites $L_{z}$, $z\in U$, rencontre $Q$ et $\widehat{Q}\backslash Q$. Ceci étant, $\left\{g_{1},...,g_{d}\right\}=\left\{h_{1},...,h_{p}\right\}$ et $P=P_{1}$.

Démonstration.

Avec une éventuelle renumérotation, on se ramène au cas où $g_{\nu}=h_{\nu}$, $1\leqslant\nu\leqslant t\in\mathbb{N}$ et que $\left\{g_{t+1},...,g_{d}\right\}\cap\left\{h_{t+1},...,h_{p}\right\}=\varnothing$.

1. On suppose que $Q$ n’est pas contenue dans une courbe algébrique. Dans ce cas $d\in\mathbb{N}^{\ast}$ car sinon, $N_{h,1}\in\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ et $G_{1}$ se prolonge comme élément de $\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$, ce qui est impossible d’après lemme 32.

Supposons $t<\min\left(p,d\right)$. Quitte à changer le point de référence $z_{\ast}$ et à diminuer $U_{\ast}$, on suppose que les courbes $H_{\nu}=\left\{\left(1:h_{\nu}\left(z\right):-x-yh_{\nu}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ z\in U_{\ast}\right\}$, $t+1\leqslant\nu\leqslant p$ et $C_{\nu}=\left\{\left(1:g_{\nu}\left(z\right):-x-yg_{\nu}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ z\in U_{\ast}\right\}$, $t+1\leqslant\nu\leqslant d$ sont lisses et deux à deux disjointes. On note alors $\varphi$ la forme différentielle définie sur la réunion $C$ de ces courbes par $\varphi\left|{}_{H_{\nu}}\right.=d\frac{w_{1}}{w_{0}}$ lorsque $t+1\leqslant\nu\leqslant p$ et $\varphi\left|{}_{C_{\nu}}\right.=-d\frac{w_{1}}{w_{0}}$ quand $t+1\leqslant\nu\leqslant d$. On note $AR$ la transformée d’Abel-Radon du courant $\varphi\wedge\left[C\right]$. Par définition (voir [12], [7] ou [13]),

[TABLE]

Mais du fait des hypothèses,

[TABLE]

$AR$ est donc algébrique au sens de [7] de sorte que le théorème 1.2 de [7] s’applique et donne en particulier l’existence d’une courbe algébrique $\Lambda$ qui contient $C$. Puisque $Q$ n’est pas contenue dans $\Lambda$, la connexité de $Q$ impose qu’aucune des courbes $H_{\nu}$ n’est contenue dans $\Lambda$ et donc que $\left\{h_{1},...,h_{p}\right\}\subset\left\{g_{1},...,g_{d}\right\}$. Ainsi, $\sum\limits_{p<\nu\leqslant d}g_{\nu}$ est une fonction algébrique affine en $x$, ce qui est impossible de par la réduction faites sur $\left(g_{j}\right)_{1\leqslant j\leqslant d}$. D’où $t=\min\left(p,d\right)$.

Si $t=d<p$, la relation $N_{g,1}+P=N_{h,1}+P_{1}$ se lit aussi $h_{t+1}+\cdots+h_{p}=P_{1}-P\in\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ et le théorème de Wood implique, puisque $Q$ est connexe, que $Q$ est contenue dans une courbe algébrique ce qui est exclu par hypothèse. Si $t=p<d$, $g_{t+1}+\cdots+g_{d}=N_{g,1}-N_{h,1}+P-P_{1}\in\mathbb{C}\left(Y\right)_{1}\left[X\right]$ ce qui est exclu du fait de la réduction faite sur la famille $\left(g_{j}\right)$.

Finalement $t=p=d$, $\left\{h_{1},...,h_{p}\right\}=\left\{g_{1},...,g_{d}\right\}$ et $P_{1}=R$.

2. Supposons maintenant que $Q$ est contenue dans une courbe algébrique $\widehat{Q}$, minimale au sens de l’inclusion. Puisque par hypothèse $\left(0:1:0\right)\notin\widehat{Q}$, on peut appliquer le corollaire 21 à $\widehat{Q}\backslash Q$ qui est bordé par $-\partial Q$ et obtenir que pour $z=\left(x,y\right)\in Z$, $(\widehat{Q}\backslash Q)\cap L_{z}\subset\rho\overline{\mathbb{D}}$. Par conséquent, pour tout $z\in Z$,

[TABLE]

Quitte à changer de point de référence $z_{\ast}$ et à diminuer $U_{\ast}$, on peut supposer que pour tout $z\in U_{\ast}$, $L_{z}$ coupe transversalement $\widehat{Q}$. On note alors $h_{p+1},...,h_{\widehat{p}}$ les ondes de choc sur $U_{\ast}$ telles que pour tout $z\in U$,

[TABLE]

Puisque $\widehat{Q}$ est une courbe algébrique, $N_{\widehat{Q},1}\overset{d\acute{e}f}{=}N_{h,1}+N_{h_{p+1},...,h_{\widehat{p}}}\overset{d\acute{e}f}{=}N_{h,1}+\widehat{N}_{1}$ est rationnelle en $y$ et affine en $x$. D’où

[TABLE]

La somme $N_{g,1}+\widehat{N}_{1}$ se récrit $\sum\limits_{1\leqslant\lambda\leqslant s}c_{\lambda}f_{\lambda}$ où $f_{1},...f_{s}$ sont les fonctions deux à deux distinctes constituant la réunion de $\left\{g_{\nu};\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant\nu\leqslant q\right\}$ et $\left\{h_{\nu};\leavevmode\nobreak\ p+1\leqslant\nu\leqslant\widehat{p}\right\}$ et où $c_{\lambda}=2$ si $f_{\lambda}$ est dans l’intersection de ces deux ensembles et $1$ sinon. Comme précédemment, on peut choisir $z_{\ast}$ et $U_{\ast}$ pour que les fonctions $f_{\lambda}$ aient des images deux à deux disjointes. On peut alors introduire la forme $\psi$ qui sur $F_{\lambda}=\left\{\left(1:f_{\lambda}\left(z\right):-x-yf_{\lambda}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ z\in U\right\}$ vaut $d\frac{w_{1}}{w_{0}}$ si $c_{\lambda}=1$ et $2d\frac{w_{1}}{w_{0}}$ si $c_{\lambda}=2$. La forme $\sum\limits_{1\leqslant\lambda\leqslant s}c_{\lambda}df_{\lambda}$ est la transformée d’Abel-Radon de $\psi\wedge\left[F\right]$ où $F=\cup F_{\lambda}$. Celle-ci étant rationnelle, le théorème principal de Henkin dans [12] s’applique et donne en particulier l’existence d’une courbe algébrique $\widetilde{F}$ et d’une forme rationnelle $\Psi$ telles que pour tout $\lambda$, $\Psi\left|{}_{F_{\lambda}}\right.=\psi$ et pour tout $z\in U_{\ast}$, $\widetilde{F}\cap L_{z}=\cup L_{z}\cap F_{\lambda}$. Etant donné que $\widehat{Q}\cap\widetilde{F}$ contient $(\widehat{Q}\backslash Q)\underset{z\in U_{\ast}}{\cup}L_{z}$, $\widehat{Q}\subset\widetilde{F}$. Si $\widetilde{F}\neq\widehat{Q}$, $\overline{\widehat{Q}\backslash\widetilde{F}}$ est une courbe algébrique dont les intersections avec les $L_{z}$, $z\in U_{\ast}$, se paramètre avec une sous-famille des $g_{j}$. Ceci est impossible car du fait des hypothèses, $d\neq 0$ et aucune sous-famille de $\left(g_{j}\right)$ n’a de somme qui soit rationnelle en $y$ et affine en $x$. Ainsi, $\widehat{Q}=\widetilde{F}$ et lorsque $z\in U_{\ast}$, $\widehat{Q}\cap L_{z}$ est la réunion de $(\widehat{Q}\backslash Q)\cap L_{z}$ et de $\left\{\left(1:g_{j}\left(z\right):-x-yg_{\lambda}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ 1\leqslant j\leqslant d\right\}$. Ceci force $\left\{h_{1},...,h_{p}\right\}=\left\{g_{1},...,g_{d}\right\}$ et $P_{1}=R$. ∎

4.8 Procédé de reconstruction

Pour décrire le procédé algorithmique de reconstruction de $Q$, in reprend intégralement les notations de la section précédente.

Si $G_{1}$ est rationnelle en $y$ et affine en $x$, $Q$ est contenue dans une courbe algébrique connexe $K$ et on choisit des coordonnées pour qu’au moins une des droites $L_{z}$, $z\in Z$, rencontre $Q$ et $K\backslash Q$. 2. 2.

On se donne $A,B\in\mathbb{C}\left[Y\right]$ avec $\deg A<r=\deg B$, $B=\underset{1\leqslant q\leqslant r}{\Pi}\left(1+s_{q}Y\right)=\sum\limits_{0\leqslant j\leqslant r}\beta_{j}Y^{j}$ tel que $\left\{B=0\right\}\subset\rho\overline{\mathbb{D}}$, $R=1\otimes\frac{A}{B}+X\otimes\frac{B^{\prime}}{B}$ et on pose $d=r+\delta$. Etant donné que (35) est un système différentiel linéaire surdéterminé, l’existence d’une solution à (35) est conditionnée par un jeu, forcément fini, d’équations linéaires portant sur $\left(A,B\right)$. Lorsque $\left(A,B\right)$ vérifie ce système linéaire, (35) a au moins une solution $\mu$ dans $\mathcal{M}_{\omega,\tau}\left(B\right)$. 3. 3.

Localement, dans $Z_{\omega,\tau}\cap U_{\operatorname{reg}}$, il existe $d$-onde de chocs $g_{1},..,g_{d}$ telles que $-s_{1}\left(\mu,B\right)=N_{h,1}$. Appliquant à cette famille $\left(g_{j}\right)$ la réduction décrite au début de cette section puis la proposition 33, on en déduit que $d\geqslant p$, $r=d-\delta\geqslant p-\delta=q_{\infty}$ et que si $\left(\widetilde{g}_{j}\right)_{1\leqslant j\leqslant p}$ est le jeu de fonctions obtenu à partir de $\left(g_{j}\right)$ par réduction, $\left\{\widetilde{g}_{1},...,\widetilde{g}_{p}\right\}=\left\{h_{1},...,h_{p}\right\}$ et $P_{1}=R$. En conséquence, on connaît aussi $\left(P_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}^{\ast}}$ comme le prolongement en fraction rationnelle de $\left(G_{k}\left|{}_{U_{\ast}}\right.-N_{h,k}\right)_{k\in\mathbb{N}^{\ast}}$. 4. 4.

On sait qu’il existe une fonction localement constante $\pi:U_{\operatorname{reg}}\rightarrow\mathbb{N}$ telle que lorsque $z_{\ast}\in U_{\operatorname{reg}}$, il existe un voisinage $U_{z_{\ast}}$ de $z_{\ast}$ dans $Z_{\operatorname{reg}}$ et des ondes de chocs $h_{1}^{z_{\ast}},...,h_{\pi\left(z_{\ast}\right)}^{z_{\ast}}$ deux à deux distinctes telles que $Q$ contient $Q_{z_{\ast}}=\underset{1\leqslant k\leqslant\pi\left(z_{\ast}\right)}{\cup}\left\{\left(1:h_{j}^{z_{\ast}}\left(z\right):-x-yh_{j}^{z_{\ast}}\left(z\right)\right);\leavevmode\nobreak\ z\in U_{z_{\ast}}\right\}$ et $\left(G_{k}\left|{}_{U_{z_{\ast}}}\right.\right)_{k\in\mathbb{N}^{\ast}}=\left(N_{h^{z_{\ast}},k}+P_{k}\left|{}_{U_{z_{\ast}}}\right.\right)_{k\in\mathbb{N}^{\ast}}$. Grâce aux formules de Newton (18), on connaît donc $\left(S_{h^{z_{\ast}},k}\right)_{k\in\mathbb{N}^{\ast}}$. En outre, $\pi\left(z_{\ast}\right)=G_{0}\left|{}_{U_{z_{\ast}}}\right.-q_{\ast}$ est connu. On peut donc calculer individuellement les fonctions $h_{j}^{z_{\ast}}$, $1\leqslant j\leqslant\pi\left(z_{\ast}\right)$ à partir $\left(S_{h^{z_{\ast}},k}\right)_{1\leqslant k\leqslant\pi\left(z_{\ast}\right)}$. 5. 5.

Grâce au lemme 18, $Q\cap\left\{w_{0}\neq 0\right\}$ et donc $Q$ sont connues.

Pour reconstruire une surface de Riemann à bord $M$ équipée d’une conductivité $\sigma$ à partir de $\left(\partial M,N_{d}^{\sigma}\right)$, on peut procéder comme suit :

Le théorème de Henkin-Santacesaria produit une surface de Riemann nodale à bord $\mathcal{M}$ dont $M$ est une normalisation. $\mathcal{M}$ est une courbe complexe de $\mathbb{C}^{2}$ qu’on peut déterminer explicitement à partir de formules de type de Cauchy. 2. 2.

Avec la section 3.2, on produit à partir de $\mathcal{M}$ une fonction de Green pour la surface de Riemann $M$. 3. 3.

Avec le théorème 4 et l’étape précédente, on obtient une surface de Riemann à bord $S$ plongée dans $\mathbb{CP}_{3}$, isomorphe à $M$ et dont les projections sur $\left\{w_{2}\neq 0\right\}$ et $\left\{w_{3}\neq 0\right\}$ sont des surfaces de Riemann nodales $Q_{2}$ et $Q_{3}$ vérifiant les hypothèses génériques énoncées au début de la section 4.2. 4. 4.

On applique à $Q_{2}$ et $Q_{3}$ le procédé précédent pour construire un atlas de $S$. 5. 5.

$S$ étant connue, le théorème de Henkin-Novikov 17 permet de reconstruire le coefficient de conductivité $s$ de la conductivité qui est l’image directe de $\sigma$ par l’isomorphisme du point 3. Désignant alors par $c_{S}$ la conductivité de coefficient $1$ associée à la structure complexe de $S$ induite par celle de $\mathbb{CP}_{3}$, $\left(S,sc_{S}\right)$ est une solution explicite du problème posé.

4.9 Genre d’une surface de Riemann à bord

Connaître a priori le nombre $p$ des fonctions inconnues $h_{j}$ intervenant dans la proposition 19 permettrait d’améliorer grandement l’efficacité de l’algorithme proposé dans la section précédente. Dans [5], Belishev donne une formule pour calculer le genre à partir de l’opérateur de Dirichlet-Neumann

[TABLE]

où $T$ est la dérivation tangentielle, $N^{\nu}$ est l’opérateur Dirichlet-Neumann dans sa présentation métrique, c’est à dire celui qui à $u\in C^{\infty}\left(bM\right)$ associe la dérivée normale le long de $bM$ de l’extension harmonique de $u$ à $M$ et $J$ est l’opérateur de primivitisation défini de la façon suivante : on note $\Gamma$ l’ensemble des composantes connexes de $bM$, pour chaque $\gamma\in\Gamma$ on fixe un point $p_{\gamma}$ de $\gamma$ et lorsque $q\in\gamma$, on note $\gamma_{q}$ l’arc de $\gamma$ dont le bord orienté est $q-p_{\gamma}$. $J$ est alors l’opérateur qui à $u\in C^{0}\left(bM\right)$ telle que $\int_{\gamma}u\tau^{\ast}=0$ pour tout $\gamma\in\Gamma$ associe la fonction définie par $\left(Ju\right)\left|{}_{\gamma}\left(p\right)\right.=\int_{\gamma_{p}}u\tau^{\ast}$, $\gamma\in\Gamma$. Cependant le calcul a priori du rang de $T+\left(N^{\nu}J\right)^{2}T$ n’est pas forcément facile. Pour contourner cette difficulté, [6] et [28] proposent d’utiliser des opérateurs de Dirichlet-Neumann agissant sur les formes. Ceci donne des formules simples pour $g\left(M\right)$ dans le cas où la conductivité se réduit à une structure complexe mais il n’est pas clair que ces opérateurs aient un sens physique.

La formule (28), prouvée par le corollaire 38, relie le nombre $p$ ci-dessus au nombre $q_{\infty}$ de points d’intersection de la surface de Riemann nodale à bord $Q$ à reconstruire avec $\left\{w\in\mathbb{CP}_{2};\leavevmode\nobreak\ w_{0}=0\right\}$.

Lemme 34

Soit $M$ une surface de Riemann à bord. On note $c$ le nombre de composantes connexes du bord de $M$ et $\widehat{M}$ le double de $M$. Le genre $g\left(\widehat{M}\right)$ de $\widehat{M}$ et celui $g\left(M\right)$ de $M$, qui par définition est le genre de la variété compacte obtenue en recollant $c$ disques conformes (deux à deux disjoints) le long des $c$ composantes connexes de $M$, sont liés par la relation

[TABLE]

Démonstration.

On se donne une triangulation $T$ de $M$. Lorsque $\alpha$ est une composante connexe de $\gamma=bM$, on note $\Sigma_{\gamma}$ l’ensemble des sommets d’éléments $T$ qui sont sur $\gamma$ et $A_{\gamma}$ celui des arrêtes d’éléments $T$ qui sont incluses dans $\gamma$. On pose $\Sigma^{b}=\underset{\gamma\in\mathcal{C}}{\cup}M_{\gamma}$ et $A^{b}=\underset{\gamma\in\mathcal{C}}{\cup}T_{\gamma}$ où $\mathcal{C}$ est l’ensemble des composantes connexes de $bM$. Pour chaque $\gamma\in\mathcal{C}$, $\left|\Sigma_{\gamma}\right|=\left|A_{\gamma}\right|$ et supposant, quitte à changer de triangulation, que les ensembles $\underset{t\in T,\ T\cap M_{\gamma}\neq\varnothing\ }{\cup}$ sont deux à deux disjoints quand $\gamma$ décrit $\mathcal{C}$, on obtient $\left|\Sigma^{b}\right|=\left|A^{b}\right|$. Enfin, on note $\sigma\left(T\right)$ le nombre de sommets de $T$, $a\left(T\right)$ le nombre d’arrêtes de $T$, $f\left(T\right)$ le nombre de faces de $T$ et on pose $\widetilde{M}=\widehat{M}\backslash\overline{M}$. On note $\widetilde{T}$ la triangulation de $\widetilde{M}$ obtenue comme symétrique de $T,$ c’est-à-dire celle obtenue en faisant agir sur $T$ l’involution naturelle de $\widehat{M}$. $\widehat{T}=T\cup\widetilde{T}$ est alors une triangulation de $\widehat{M}$. Par définition de la caractéristique d’Euler d’une surface, il vient alors

[TABLE]

On sait grâce à la théorie usuelles sur les surfaces de Riemann compactes que $\chi\left(\widehat{M}\right)=2-2g\left(\widehat{M}\right)$. D’où

[TABLE]

Notons $M^{\prime}$ la surface obtenu en rattachant $c$ disques le long des composantes connexes de $\gamma$. Alors $\chi\left(M^{\prime}\right)=\chi\left(M\right)+c$ et par définition, $g\left(M\right)=g\left(M^{\prime}\right)$. On obtient donc

[TABLE]

D’où $g\left(\widehat{M}\right)=2g\left(M\right)+c-1$. ∎

D finition 35

Soit $M$ une surface de Riemann à bord. On se donne une fonction définissante $\rho$ de $bM$, ce qui signifie $\rho\in C^{\infty}\left(M,\mathbb{R}\right)$ telle que $\rho\left|{}_{B\cap M}\right.<0$, $\rho\left|{}_{B\cap bM}\right.=0$ et $\left(d\rho\left|{}_{B}\right.\right)_{s}\neq 0$ pour tout $s\in bM$. Dans ces conditions, toute section $\omega$ de $\Lambda^{p,q}T^{\ast}\overline{M}$ de classe $C^{k}$ sur un ouvert $U$ de $\overline{M}$ peut s’écrire sous la forme $\omega_{0}+\rho\omega_{1}$ où $\omega_{j}$, $j=0,1$, est une section de $\Lambda^{p,q}T^{\ast}\overline{M}$ sur $U$ de classe $C^{k-j}$, le couple $\left(\omega_{\rho}^{\left(0\right)},\omega_{\rho}^{\left(1\right)}\right)=\left(\omega_{0}\left|{}_{U\cap M}\right.,\omega_{1}\left|{}_{U\cap M}\right.\right)$ étant le même pour tout $\left(\omega_{0},\omega_{1}\right)$ tel que $\omega=\omega_{0}+\rho\omega_{1}$. Le fait que $\omega_{\rho}^{\left(1\right)}$ soit nulle ne dépend pas du choix de la fonction définissante $\rho$ choisie. On dit que $\omega$ est tangente à $bM$ lorsque $\omega_{\rho}^{\left(1\right)}=0$.

Notons que l’existence d’une décomposition $\omega=\omega_{0}+\rho\omega_{1}$ découle de ce que $\rho$ peut être prise comme l’une des coordonnées d’un système de coordonnées réelles pour (chaque branche) de $\overline{M}$ au voisinage de $bM$. L’unicité de $\left(\omega_{\rho}^{\left(0\right)},\omega_{\rho}^{\left(1\right)}\right)$ provient de la même raison et si $\rho^{\prime}$ est une autre fonction définissante de $bM$, on peut écrire $\rho^{\prime}=\lambda\rho$ où $\lambda$ est une fonction de classe $C^{k-1}$ qui ne s’annule pas, de sorte que l’annulation de $\omega_{\rho^{\prime}}^{\left(1\right)}=\lambda\left|{}_{M}\right.\omega_{\rho}^{\left(1\right)}$ et $\omega_{\rho}^{\left(1\right)}$ est simultanée.

Notons que lorsque $M$ est munie d’une métrique hermitienne et que $\rho$ est la distance à $bM$, $\frac{\partial\omega}{\partial\rho}$ n’est rien d’autre que la dérivée de $\omega$ par rapport au vecteur unitaire qui oriente la normale extérieure à $\overline{M}$ aux points de $bM$. Le lemme ci-dessous assure qu’il existe des formes volumes satisfaisant l’hypothèse du théorème principal de cette section.

Lemme 36

Une surface de Riemann à bord admet des formes volumes de classe $C^{2}$ tangentes à son bord.

Démonstration.

Soit $V$ une forme volume arbitraire de classe $C^{2}$ sur le double $\widehat{M}$ de $M$. On se donne $\rho\in C^{\infty}\left(\widehat{M},\mathbb{R}\right)$ telle que $M=\left\{\rho<0\right\},bM=\left\{\rho=0\right\}$ et $\left(d\rho\right)_{s}\neq 0$ pour tout $s\in bM$. La restriction $V_{0}$ de $V$ à $bM$ est donc une section de $\Lambda^{1,1}T\widehat{M}$ de classe $C^{2}$ sur $bM$. En utilisant le théorème d’extension de Whitney (voir [3, prop. 2.2]), on peut construire une section $\widetilde{V}$ de $\Lambda^{1,1}T\widehat{M}$ de classe $C^{2}$ telle que $\widetilde{V}\left|{}_{M}\right.=V_{0}$ et $V_{\rho}^{\left(1\right)}=\frac{\partial\widetilde{V}}{\partial\rho}=0$. Par continuité, il existe un voisinage $\Sigma$ de $bM$ dans $\widehat{M}$ tel que $\widetilde{V}\left|{}_{\Sigma}\right.$ est une forme volume. Soit $\chi\in C^{\infty}\left(M,\left[0,1\right]\right)$ valant $1$ au voisinage de $bM$ dans $\Sigma$ et dont le support est contenu dans $\Sigma$. $W=\chi\widetilde{V}+\left(1-\chi\right)V$ est une forme volume $W$ de classe $C^{2}$ sur $\widehat{M}$ telle que $\frac{\partial W}{\partial\rho}=0$. ∎

Th or me 37

Soit $M$ une surface de Riemann à bord dont le bord est constitué de $c$ composantes connexes. On se donne une forme volume $\mu$ de classe $C^{2}$ sur $\overline{M}$ tangente à $bM$ puis on munit le fibré des $\left(1,0\right)$-formes sur $\overline{M}$ de la métrique $h^{\ast}$ définie pour tout $s\in\overline{M}$ et $\alpha\in\Lambda^{1,0}T^{\ast}M$ par

[TABLE]

où $\ast$ est l’opérateur de conjugaison associé à la structure complexe de $M$. On note $D$ la connexion de Chern associée à $h^{\ast}$. Alors, quand $\omega$ est une $\left(1,0\right)$-forme méromorphe sur $\overline{M}$, sans pôle ni zéro sur $bM$,

[TABLE]

où $N_{z}\left(\omega\right)$ et $N_{p}\left(\omega\right)$ sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de $\omega$ comptés avec leur multiplicité.

**Remarque. **Supposons que $\mu^{\prime}$ est une forme volume pour $\overline{M}$ ayant les mêmes propriétés que $\mu$. La fonction $\kappa:\overline{M}\rightarrow\mathbb{R}$ telle que $\mu=e^{2\kappa}\mu^{\prime}$ vérifie $D_{\mu}=D_{\mu^{\prime}}-\partial\kappa$, ce qui donne $\int_{\partial M}\frac{D_{\mu}\omega}{\omega}=\int_{\partial M}\frac{D_{\mu^{\prime}}\omega}{\omega}-\int_{\partial M}j_{bM}^{\ast}\partial\kappa$. (42) indique alors que $\int_{\partial M}j_{bM}^{\ast}\partial\kappa=0$. Pour vérifier cela a priori, considérons une fonction définissante $\rho$ de $bM$. De la relation $\frac{\partial\mu}{\partial\rho}=e^{\kappa\left|{}_{M}\right.}\frac{\partial\mu^{\prime}}{\partial\rho}+\mu^{\prime}\left|{}_{M}\right.\frac{\partial\kappa}{\partial\rho}$, on tire $\frac{\partial\kappa}{\partial\rho}=0$. Munissons $M$ d’une métrique hermitienne et considérons une section lisse $\left(\nu,\tau\right)$ de $\left(T_{bM}\overline{M}\right)^{2}$ telle que pour chaque $s\in bM$, $\left(\nu_{s},\tau_{s}\right)$ une base orthonormée directe de $T_{s}\overline{M}$. Alors pour tout $s\in bM$, $\left(\partial\kappa\right)_{s}=\frac{1}{2}\left(\left(\nu\kappa\right)_{s}-i\left(\tau\kappa\right)_{s}\right)\left(\tau_{s}^{\ast}+i\nu_{s}^{\ast}\right)$ où $\left(\tau_{s}^{\ast},\nu_{s}^{\ast}\right)$ est la base duale de $\left(\nu_{s},\tau_{s}\right)$. Lorsque $s\in bM$, le fait que $\frac{\partial\kappa}{\partial\rho}\left(s\right)=0$ indique que $\left(d\kappa\right)_{s}\in\mathbb{R}\tau_{s}^{\ast}$ et donc que $\left(\nu\kappa\right)_{s}=0$, ce qui donne $\left(\partial\kappa\right)_{s}=\frac{1}{2i}\left(\tau\kappa\right)_{s}\left(\tau_{s}^{\ast}-i\nu_{s}^{\ast}\right)$. D’où $j_{bM}^{\ast}\partial\kappa=\frac{1}{2i}\left(\tau\kappa\right)\tau^{\ast}\left|{}_{M}\right.=\frac{1}{2i}j_{bM}^{\ast}d\kappa$. Ainsi, $j_{bM}^{\ast}\partial\kappa$ est exacte et son intégrale sur $\partial M$ est nulle.

Preuve du théorème 37.

Commençons par détailler une construction du double $\widehat{M}$ de $M$ qu’on trouve par exemple dans [2]. Soit $\mathcal{U}$ un atlas de $M$. On utilise les notations suivantes : pour $\nu\in\left\{-1,+1\right\}$ et $X\subset\overline{M}$, $X_{\nu}=X\times\left\{\nu\right\}$ et si $\left(s,\nu\right)\in M_{1}\cup M_{-1}$, $\pi\left(s,\nu\right)=s$ ; quand $s\in bM$; les points de $\widehat{M}=\overline{M_{1}}\cup\overline{M_{-1}}$ de la forme $\left(s,-1\right)$ et $\left(s,1\right)$ sont identifiés et forment la courbe réelle $\gamma$. On munit $M_{1}$ de la structure complexe associée à l’atlas $\mathcal{U}_{1}$ constitué par les applications $\varphi_{1}:U_{1}\ni p\mapsto\varphi\left(\pi\left(p\right)\right)$ où $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ décrit $\mathcal{U}$. Pour $M_{-1}$, on utilise l’atlas $\mathcal{U}_{-1}$ des applications $\varphi_{-1}:U_{-1}\ni p\mapsto-\overline{\varphi\left(\pi\left(p\right)\right)}$, $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ décrivant $\mathcal{U}$. On obtient un atlas $\widehat{\mathcal{U}}=\mathcal{U}_{1}\cup\mathcal{U}_{b}\cup\mathcal{U}_{-1}$ conférant à $\widehat{M}$ une structure complexe en définissant $\mathcal{U}_{b}$ comme l’ensemble des applications $\varphi_{b}$ définies de la manière suivante : on se donne une carte de bord pour $\overline{M}$ c’est à dire $\varphi\in C^{\infty}\left(U,\mathbb{C}\right)$ où $U$ est un ouvert de $\overline{M}$ tel que $b_{U}M=\overline{U}\cap bM$ est un ouvert de $bM$, $\varphi\left(U\backslash M\right)=\mathbb{D}^{+}=\mathbb{D}\cap\left\{\operatorname{Im}>0\right\}$ et $\varphi\left(b_{U}M\right)=\left]-1,1\right[$ ; $\varphi_{b}$ est l’application de $U_{b}=U_{1}\cup U_{-1}$ dans $\mathbb{C}$ obtenue en posant $\varphi_{b}\left(s,1\right)=\varphi\left(s\right)$ et $\varphi_{b}\left(s,-1\right)=\overline{\varphi\left(s\right)}$ pour tout $s\in U$.

On définit des formes volumes $\mu_{1}$ et $\mu_{-1}$ sur $\overline{M}_{1}$ et $\overline{M}_{-1}$ en posant lorsque $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ est une carte de $\overline{M}$,

[TABLE]

Cette définition est évidemment cohérente pour $\mu_{1}$. Supposons que $\psi:V\rightarrow\mathbb{C}$ est une autre carte de $M$ et $\psi_{\ast}\mu=\lambda_{\psi}idz\wedge d\overline{z}$. On note $\Phi:\psi\left(U\cap V\right)\ni z\mapsto\varphi\left(\psi^{-1}\left(z\right)\right)$ le changement de carte de $\psi$ à $\varphi$. On a donc $\lambda_{\psi}=\left|\Phi^{\prime}\right|^{2}\lambda_{\varphi}\circ\Phi$. Le changement de carte de $\psi_{-1}:V_{-1}\rightarrow\mathbb{C}$ à $\varphi_{-1}:U_{-1}\rightarrow\mathbb{C}$ est alors l’application $\Phi_{-1}$ définie sur $\psi_{-1}\left(V_{-1}\cap U_{-1}\right)=-\overline{\psi}\left(U\cap V\right)$ par

[TABLE]

D’où

[TABLE]

ce qui prouve la cohérence de la définition de $\mu_{-1}$.

Les formes $\mu_{1}$ et $\mu_{-1}$ se recollent continûment le long de $\gamma$ en une forme volume $\widehat{\mu}$ pour $\widehat{M}$. En effet, considérons une carte de bord $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ pour $\overline{M}$ et la carte $\varphi_{b}:U_{b}\rightarrow\mathbb{C}$ définie comme plus haut. Posons $\varphi_{\ast}\mu=\lambda_{\varphi}idz\wedge d\overline{z}$ . Lorsque $s\in U$, $\varphi_{b}\left(s,-1\right)=\overline{\varphi\left(s\right)}$ et $\varphi_{-1}\left(s,-1\right)=-\overline{\varphi\left(s\right)}$. Donc le changement de carte de $\varphi_{b}$ à $\varphi_{-1}$ est l’application de $\overline{U}$ dans $-\overline{U}$, $z\mapsto-z$. D’où

[TABLE]

pour tout $z\in\mathbb{D}^{-}\cup\left]-1,1\right[$ où $\mathbb{D}^{-}=\mathbb{D}\cap\left\{\operatorname{Im}>0\right\}$. Etant donné que $\varphi\left(b_{U}M\right)=\left]-1,1\right[$, ceci montre que $\mu_{-1}=\mu_{1}$ en chaque point de $\gamma\cap U$. Ecrivons au voisinage dans $\mathbb{D}^{+}\cup\left]-1,1\right[$ la fonction $\lambda_{\varphi}$ sous la forme $\lambda_{\varphi,0}\left(x\right)+\lambda_{\varphi,1}\left(x\right)y+\lambda_{\varphi,2}\left(x\right)y^{2}+o\left(y^{2}\right)$. Puisque $\mu$ est tangente à $bM$ par hypothèse, $0=\lambda_{\varphi,1}$ sur $bM$ et il apparaît que $\widehat{\mu}$ est de classe $C^{2}$.

On peut maintenant munir $\Lambda^{1,0}T_{p}^{\ast}\widehat{M}$, $p\in\widehat{M}$, de la métrique $\widehat{h_{p}^{\ast}}$ définie par

[TABLE]

pour tout $\alpha\in\Lambda^{1,0}T_{p}^{\ast}\widehat{M}$. La connexion de Chern $D$ qui lui est associée est donc de classe $C^{2}$ sur $\widehat{M}$ car $\widehat{h^{\ast}}$ et la formule de Stokes livre que lorsque $\omega$ est une $\left(1,0\right)$-forme méromorphe sur $M$ sans pôle ni zéro sur $bM$,

[TABLE]

où $\widehat{\Theta}$ est la courbure de $D$. Si on admet que $\frac{1}{2\pi}\int_{M_{1}}i\widehat{\Theta}=\frac{1}{2\pi}\int_{M_{-1}}i\widehat{\Theta}$, (42) résulte des formules (43) et (40) car alors $\frac{1}{2\pi}\int_{M_{1}}i\widehat{\Theta}=\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi}\int_{\widehat{M}}i\widehat{\Theta}=g\left(\widehat{M}\right)-1$ puisque $\widehat{M}$ est compacte et $D$ de classe $C^{2}$.

Notons $j$ la symétrie naturelle de $\widehat{M}$ par rapport à $\gamma$ et $c$ la conjugaison de $\mathbb{C}$. Lorsque $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ est une carte de $M$, l’expression de $j$ dans les cartes $\varphi_{1}$ et $\varphi_{-1}$ est $\varphi_{-1}\circ j\circ\left(\varphi_{1}\right)^{-1}$ c’est à dire $-c\left|{}_{U}^{\overline{U}}\right.$. $j$ échange donc les orientations de $M_{1}$ et $M_{-1}$ ce qui donne

[TABLE]

Lorsque $\psi:V\rightarrow\mathbb{C}$ est une carte de $\widehat{M}$, l’application $\widetilde{\psi}:j\left(V\right)\rightarrow\mathbb{C}$ définie par $\widetilde{\psi}=\overline{\psi}\circ j$ est aussi une carte de $\widehat{M}$. Ceci permet (voir [2] par exemple) à partir d’une section $\omega$ de $\Lambda T^{\ast}\widehat{M}$ sur une partie $X$ de $\widehat{M}$, de définir une section $\widetilde{\omega}$ de $\Lambda T^{\ast}\widehat{M}$ sur $j\left(X\right)$ en posant pour chaque carte $\psi:V\rightarrow\mathbb{C}$ de $\widehat{M}$ telle que $V\cap X\neq\varnothing$, $\left(\widetilde{\psi}_{\ast}\widetilde{\omega}\right)_{w}=\beta\left(\overline{w}\right)dw+\alpha\left(\overline{w}\right)d\overline{w}$ quand $\psi_{\ast}\omega=\alpha dz+\beta d\overline{z}$ et $\overline{w}\in\psi\left(V\cap X\right)$. En particulier, $\omega$ étant une section fixée de $\Lambda^{1,0}T^{\ast}M$ sans zéro sur $\overline{M}$, holomorphe sur $bM$ et de classe $C^{\infty}$ sur $\overline{M}$, $\omega_{1}=\pi^{\ast}\omega$ (resp. $\omega_{-1}=\overline{\widetilde{\omega_{1}}}$) est une section de $\Lambda^{1,0}T^{\ast}\widehat{M}$ holomorphe sans zéro sur $\overline{X}_{1}$ (resp. $\overline{X_{-1}}$), holomorphe sur $X_{1}$ et de classe $C^{\infty}$ sur (resp. $\overline{X_{-1}}$). Posant $f_{\nu}=\ln\widehat{h}\left(\omega_{\nu}\right)^{2}$, on sait alors que

[TABLE]

Fixons une carte $\varphi:U\rightarrow\mathbb{C}$ et posons $\varphi_{\ast}\omega=\alpha dz$. Alors $\left(\varphi_{1}\right)_{\ast}\omega_{1}=\alpha dz$ et $\left(\widetilde{\varphi_{1}}\right)_{\ast}\omega_{-1}=\overline{\alpha\left(\overline{w}\right)}dw$. Puisque $\ast$ agit sur les $\left(0,1\right)$-formes comme la multiplication par $\frac{i}{2}$, on obtient que

[TABLE]

Posons $\mu=\lambda_{\varphi}\frac{i}{2}dz\wedge d\overline{z}$. L’expression de $\mu_{-1}$ dans la carte $\varphi_{-1}$ est par définition $\varphi_{-1\ast}\mu_{-1}=\lambda_{\varphi}\left(-\overline{z}\right)\frac{i}{2}dz\wedge d\overline{z}$. $\widetilde{\varphi_{1}}$ est aussi une carte définie sur $j\left(U_{1}\right)=U_{-1}$ et le changement de carte de $\widetilde{\varphi_{1}}$ à $\varphi_{-1}$ est l’application $\Phi$ qui à $w\in\widetilde{\varphi_{1}}\left(U_{-1}\right)=\overline{U}$ associe le nombre $\Phi\left(w\right)$ défini par

[TABLE]

Par conséquent, pour $w\in\mathbb{D}^{-}\cup\left[-1,1\right]$,

[TABLE]

et donc

[TABLE]

On en déduit que $\widehat{h}\left(\omega_{-1}\right)\circ\widetilde{\varphi_{1}}^{-1}=\widehat{h}\left(\omega_{1}\right)\circ\left(\varphi_{1}\right)^{-1}\circ c$ et donc $\left(\widetilde{\varphi_{1}}\right)_{\ast}f_{-1}=\left(\varphi_{1}\right)_{\ast}f_{1}\circ c$ (ce qui, au passage, livre $f_{-1}=f_{1}\circ j$).Dérivant deux fois cette relation et en utilisant que $d\overline{\partial}=-d\partial$, on obtient finalement que $j^{\ast}\widehat{\Theta}=-\widehat{\Theta}$ et donc que $\int_{M_{1}}\widehat{\Theta}=\int_{M_{-1}}\widehat{\Theta}$, ce qui achève la preuve du théorème. ∎

Le théorème 37 contient le corollaire.

Corollaire 38

On se donne une surface de Riemann à bord $M$ et une fonction harmonique $u$ non localement constante. On désigne par $q$ le nombre de zéros de $\partial u$ comptés avec multiplicité et par $c$ le nombre de composantes connexes de $bM$. On équipe $M$ d’une forme volume $\mu$ telle que $j_{bS}^{\ast}\partial\mu$ est exacte puis on construit pour $\Lambda^{1,0}T^{\ast}M$ une métrique hermitienne $h^{\ast}$ et une connexion $D$ comme dans le théorème 37. Alors

[TABLE]

Démonstration.

C’est un cas particulier du théorème 37. ∎

Les formules de cette section nécessitent de pouvoir calculer des connexions de Chern le long du bord d’une surface de Riemann à bord. La proposition ci-dessous explique comment ceci est possible quand on connaît l’opérateur de Dirichlet-Neumann.

Lemme 39

On se donne une surface de Riemann à bord $M$. L’opérateur de Dirichlet-Neumann $N$ de $M$ et la structure complexe de $M$ le long de $bM$ déterminent l’action sur $\Lambda^{1,0}T_{bM}^{\ast}M$ d’une connexion associée à une métrique tangente à $bM$.

Démonstration.

L’opérateur $\ast$ de conjugaison associé à la structure complexe de $M$ est par hypothèse connu quand il agit sur le fibré réel $T_{bM}^{\ast}\overline{M}=\underset{s\in bM}{\cup}T_{s}\overline{M}$. $bM$ étant connu, on peut se donner une section lisse et génératrice $\tau^{\ast}$ de $T^{\ast}bM$. Pour tout $s\in bM$, on pose alors $\nu_{s}^{\ast}=-\ast_{s}\tau_{s}^{\ast}$. Par définition d’une conductivité, $\mu_{0}:bM\ni s\mapsto\nu_{s}^{\ast}\wedge\tau_{s}^{\ast}$ est alors une section du fibré des formes volumes de $\overline{M}$. On se donne alors une forme volume $\mu$ sur $\overline{M}$ qui est tangentielle à $bM$ et telle que $\mu\left|{}_{M}\right.=\mu_{0}$ puis On munit $T^{\ast}\overline{M}$ de la métrique $h^{\ast}$ définie pour $s\in M$ et $\alpha\in T_{s}\overline{M}$ par

[TABLE]

Lorsque $u$ est une fonction réelle de classe $C^{\infty}$ sur $\overline{M}$ et harmonique sur $M$, telle que $\partial u$ ne s’annule pas sur $bM$, il existe un voisinage $\Sigma$ de $bM$ dans $\overline{M}$ tel que $\partial u$ ne s’annule pas dans $\Sigma$, est de classe $C^{\infty}$ sur $\Sigma$ et holomorphe sur $\Sigma\backslash M$. On sait alors que pour tout $s\in bM$

[TABLE]

ce qui prouve le lemme. ∎

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