On the family of 0/1-polytopes with NP-complete non-adjacency relation

TL;DR

This paper explores the complexity of non-adjacency recognition in 0/1-polytopes, showing NP-completeness in certain families and the limitations of their relation to other NP-complete problems.

Contribution

It demonstrates that the special family of 0/1-polytopes with NP-complete non-adjacency cannot be faces of polytopes from some well-known NP-complete problems, highlighting structural distinctions.

Findings

Non-adjacency recognition is NP-complete for certain 0/1-polytopes.

These polytopes are faces of polytopes related to several NP-complete problems.

Such polytopes do not appear as faces in polytopes of maximum independent set, set packing, and 3-assignments.

Abstract

In 1995 T. Matsui considered a special family 0/1-polytopes for which the problem of recognizing the non-adjacency of two arbitrary vertices is NP-complete. In 2012 the author of this paper established that all the polytopes of this family are present as faces in the polytopes associated with the following NP-complete problems: the traveling salesman problem, the 3-satisfiability problem, the knapsack problem, the set covering problem, the partial ordering problem, the cube subgraph problem, and some others. In particular, it follows that for these families the non-adjacency relation is also NP-complete. On the other hand, it is known that the vertex adjacency criterion is polynomial for polytopes of the following NP-complete problems: the maximum independent set problem, the set packing and the set partitioning problem, the three-index assignment problem. It is shown that none of the polytopes of the above-mentioned special family (with the exception of a one-dimensional segment) can be the face of polytopes associated with the problems of the maximum independent set, of a set packing and partitioning, and of 3-assignments.

Equations

$$P_{\text{cover}}(A)=\left\{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^n\text{nonscript}|\text{nonscript}A\mathbf{x}⩾1\right\}$$

$$P_{\text{2cover}}(B)=\left\{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^n\text{nonscript}|\text{nonscript}B\mathbf{x}=2\right\},$$

$$\mathrm{conv}\left\{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^4\text{nonscript}|\text{nonscript}{x}_1+x_2+x_3+x_4=2\right\}$$

$$X(s)=\left\{x\in \{0,1{\}}^d\text{nonscript}|\text{nonscript}d=d(s),g(s,x)\right\}.$$

$$P_{\text{pack}}(A)=\left\{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^n\text{nonscript}|\text{nonscript}A\mathbf{x}⩽1\right\}$$

$$P_{\text{part}}(A)=\left\{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^n\text{nonscript}|\text{nonscript}A\mathbf{x}=1\right\},$$

$$P_{\text{stab}}(G)=\left\{\mathbf{x}\in \{0,1{\}}^V\text{nonscript}|\text{nonscript}{x}_v+x_u⩽1\text{ для каждого ребра }\{v,u\}\in E\right\}.$$

$$x_j+{\bar{x}}_j$$

$$y_1+y_2+x_j^{\prime }+{\bar{x}}_j$$

$$y_3+x_i+x_j^{\prime }+x_k^{\prime }=2.$$

$$a+b+x_j+{\bar{x}}_j=2,a=0,b=1.$$

$$y_1=0,y_2=1,y_3=1$$

$$P_{\text{part}}(A){⩽}_A{P}_{\text{matsui}}(A),$$

$$F_1$$

$$F_2$$

$$F_3$$

$$F_4$$

$$F_4=\left\{1-\mathbf{x}\text{nonscript}|\text{nonscript}\mathbf{x}\in F_1\right\},F_3=\left\{1-\mathbf{x}\text{nonscript}|\text{nonscript}\mathbf{x}\in F_2\right\}.$$

$$y_1=y_2=0$$

$$x_j^{\prime }={\bar{x}}_j=1,y_3=x_j=0,j\in [n].$$

$$y_1=y_2=1,$$

$$x_j^{\prime }={\bar{x}}_j=0,y_3=x_j=1,j\in [n].$$

$$P_{\text{matsui}}(A)=F_1\cup F_2\cup F_3\cup F_4\cup \{{\mathbf{x}}^0,{\bar{\mathbf{x}}}^0\},$$

$$P_{\text{part}}(B){⩽}_A{P}_{\text{matsui}}(A).$$

$${\mathbf{x}}^0+{\bar{\mathbf{x}}}^0={\mathbf{x}}^{2\mathbf{i}-1}+{\bar{\mathbf{x}}}^{2\mathbf{i}-1}={\mathbf{x}}^{2\mathbf{i}}+{\bar{\mathbf{x}}}^{2\mathbf{i}}.$$

$$H=\{{\mathbf{y}}^0,{\bar{\mathbf{y}}}^0,\dots ,{\mathbf{y}}^{2\mathbf{k}},{\bar{\mathbf{y}}}^{2\mathbf{k}}\}$$

$${\mathbf{y}}^0+{\bar{\mathbf{y}}}^0={\mathbf{y}}^{2\mathbf{i}-1}+{\bar{\mathbf{y}}}^{2\mathbf{i}-1}={\mathbf{y}}^{2\mathbf{i}}+{\bar{\mathbf{y}}}^{2\mathbf{i}}.$$

$${\mathbf{y}}^{\ast }+{\bar{\mathbf{y}}}^{\ast }={\mathbf{y}}^0+{\bar{\mathbf{y}}}^0.$$

$${\mathbf{y}}^0$$

$${}^{j_0}$$

$${\bar{\mathbf{y}}}^0$$

$$I=\left\{i\in [m]\text{nonscript}|\text{nonscript}{y}_i^0={\bar{y}}_i^0\right\}.$$

$$y_i^{\ast }={\bar{y}}_i^{\ast }=y_i^0={\bar{y}}_i^0=\cdots =y_i^{2k}={\bar{y}}_i^{2k}\text{ при }i\in I.$$

Full text

Keywords: vertices, faces, affine reduction, set covering, set partitioning.

Пусть $A\in\{0,1\}^{m\times n}$ —  матрица инциденций элементов множества $G=\{g_{1},\ldots,g_{m}\}$ и элементов некоторого множества $S=\{S_{1},\ldots,S_{n}\}\subseteq 2^{G}$. Выпуклая оболочка множества

[TABLE]

называется многогранником покрытий. Семейство всех таких многогранников обозначаем $P_{\textup{cover}}=\{P_{\textup{cover}}(A)\}$. Название многогранника объясняется тем, что каждый $\bm{x}\in P_{\textup{cover}}(A)$ является характеристическим вектором некоторого набора множеств из $S$, покрывающих элементы множества $G$. Так как $P_{\textup{cover}}(A)$ содержит только 0/1-вектора, то оно совпадает с множеством вершин этого многогранника. Далее, для краткости, мы часто будем называть многогранником множество его вершин.

Многогранником двойных покрытий [3] называется выпуклая оболочка множества

[TABLE]

где $B$ —  0/1-матрица размера $m\times n$, каждая строка которой содержит ровно четыре единицы, 2 —  $m$-мерный вектор, все координаты которого равны 2. Семейство всех таких многогранников обозначаем $P_{\textup{2cover}}=\{P_{\textup{2cover}}(B)\}$.

В 1995 году Т. Мацуи показал [9], что задача распознавания несмежности вершин для некоторых многогранников двойных покрытий NP-полна. В 2012 году автор настоящей работы установил [3] (полная версия опубликована в [4]), что все многогранники семейства $P_{\textup{2cover}}$ присутствуют в качестве граней в многогранниках, ассоциированных со следующими NP-полными задачами: задача коммивояжера, задача 3-выполнимость, задача о рюкзаке, задача о покрытии множества, задача о частичном упорядочивании, задача о кубическом подграфе и некоторые другие. Откуда, в частности, следует, что для этих семейств задача распознавания несмежности вершин также NP-полна. Тем самым, были обобщены результаты, полученные в работах Пападимитриу, Чунг, Гейст и Родин, Мацуи, Бондаренко и Юров, Альфаки и Мурти, Фиорини [4]. С другой стороны, известно [6, 7, 5], что критерий смежности вершин полиномиален для многогранников следующих NP-полных задач: задача о независимом множестве в графе, задачи об упаковке и разбиении множества, трехиндексная задача о назначениях. В [8] было показано, что каждый многогранник из этих четырех семейств является гранью многогранника двойных покрытий, но, при этом, многогранник двойных покрытий

[TABLE]

не является гранью ни для одного многогранника из этих семейств.

Ниже мы рассмотрим подсемейство $P_{\textup{matsui}}$ семейства $P_{\textup{2cover}}$, описанное Мацуи [9] и также имеющее NP-полный критерий несмежности вершин. Мы покажем, что многогранники упомянутых выше четырех семейств с полиномиальным критерием смежности вершин являются гранями многогранников этого подсемейства. С другой стороны, будет доказано, что ни один из многогранников $P_{\textup{matsui}}$, за исключением одномерного отрезка, не может быть гранью многогранников этих семейств.

1 Определения и соглашения

Для $\{1,2,\dots,n\}$ будем пользоваться распространенным обозначением $[n]$.

В этой работе рассматриваются только 0/1-многогранники — выпуклые многогранники, вершины которых являются 0/1-векторами111Координаты 0/1-векторов принадлежат множеству $\{0,1\}$.. Более того, все многогранники определяются посредством описания множества их вершин (более подробно о способе описания — ниже) и рассматриваемые операции над многогранниками сводятся к операциям над множествами их вершин. В частности, мы пользуемся следующими хорошо известными фактами.

Пусть $P$ — многогранник, и $\alpha\colon P\to\mathbb{R}^{k}$ — аффинное (линейное) отображение. Тогда $Q=\alpha(P)$ — многогранник, причем $\operatorname{ext}(Q)=\alpha(\operatorname{ext}(P))$, где $\operatorname{ext}(\cdot)$ — множество вершин соответствующего многогранника. В случае, если отображение $\alpha\colon P\to Q$ биективно, многогранники $P$ и $Q$ называются аффинно эквивалентными.

Пусть $X$ — множество вершин многогранника $P=\operatorname{conv}(X)$, а $H$ — некоторая опорная222Гиперплоскость $H$ называется опорной к многограннику $P$, если $P\cap H\neq\varnothing$ и многогранник $P$ лежит целиком с одной стороны от этой гиперплоскости. гиперплоскость этого многогранника. Множество $F=P\cap H$ называется гранью многогранника $P$. Нетрудно заметить, что $X\cap H$ — множество вершин этой грани.

В настоящей работе мы не будем выходить за рамки этих двух операций (аффинное отображение и пересечение с опорной гиперплоскостью) над многогранниками. Поэтому, в целях краткости, многогранник (а также его грани) отождествляется с множеством его вершин.

Определение 1**.**

Каждое семейство многогранников, упоминаемое в настоящей работе, определяется тройкой:

Множество входных параметров $S$, распознаваемое за полиномиальное время. (Например, для многогранника покрытий $P_{\textup{cover}}(A)$ входными параметрами $s\in S$ является матрица $A\in\{0,1\}^{m\times n}$.) 2. 2.

Размерность $d=d(s)\in\mathbb{N}$, $s\in S$. 3. 3.

Предикат допустимости $g=g(s,x)\in\{\text{истина},\text{ложь}\}$, $s\in S$, $x\in\{0,1\}^{d}$, вычисляемый за полиномиальное время.

Каждый многогранник такого семейства однозначно определяется набором параметров $s\in S$, далее называемым кодом многогранника, и представляет собой выпуклую оболочку множества

[TABLE]

Соответственно, $\{X(s)\nonscript\>|\allowbreak\nonscript\>\mathopen{}s\in S\}$ — все семейство многогранников.

Заметим, что собственная размерность многогранника $\operatorname{conv}(X(s))$ может существенно отличаться от размерности $d(s)$ пространства, в котором он определен.

Для семейства многогранников из определения 1 задача проверки несмежности вершин формулируется следующим образом. Даны: код многогранника $s\in S$ и пара вершин $x_{1},x_{2}\in X(s)$. Верно ли, что $x$ и $y$ несмежны? Данная задача принадлежит классу NP по следующим причинам. Во-первых, условия $s\in S$ и $x_{1},x_{2}\in X(s)$ проверяются за полиномиальное время. Во-вторых, согласно теореме Каратеодори (см., например, [2]), для несмежных вершин $x_{1},x_{2}\in X(s)$ обязательно найдется подмножество $Y\subseteq X(s)\setminus\{x_{1},x_{2}\}$, состоящее не более, чем из $d$ вершин, и такое, что $\operatorname{conv}(Y)\cap\operatorname{conv}\{x_{1},x_{2}\}\neq\varnothing$.

Заметим, что длина входа333Предполагается использование разумной схемы кодирования входных данных [1]. для задачи проверки несмежности вершин пропорциональна сумме длины кода $s$ и размерности $d(s)$. В следующем определении эта сумма будет называться размером соответствующего многогранника.

Определение 2**.**

Будем говорить, что семейство многогранников $P$ аффинно сводится к семейству многогранников $Q$, если для каждого многогранника $p\in P$ найдется $q\in Q$ и аффинное отображение $\alpha\colon p\to q$ такие, что

Образ $\alpha(p)$ является гранью (возможно несобственной) многогранника $q$ и аффинно эквивалентен $p$. Далее этот факт обозначаем так: $p\leqslant_{A}q$. 2. 2.

Размерность пространства, в котором определен многогранник $q$, ограничена сверху полиномом от размерности пространства для $p$. 3. 3.

Длина кода многогранника $q$ ограничена сверху полиномом от размера многогранника $p$. 4. 4.

Коэффициенты аффинного отображения $\alpha$ вычисляются за полиномиальное время относительно размера многогранника $p$.

Замечание 1**.**

Приведенное выше определение отличается от определения аффинной сводимости в [4, 8] наличием условий 3 и 4 (полиномиальность длины кода многогранника $q$ и коэффициентов аффинного отображения). Тем не менее, для всех фактов аффинной сводимости, упоминаемых в работах [4, 8], справедливость этих условий легко проверяется, так как соответствующие аффинные отображения описаны явным образом.

Как правило, доказательство аффинной сводимости семейства $P$ к семейству $Q$ выполняется по следующей схеме. Для каждого $p\in P$ приводится описание многогранника $q\in Q$, его грани $F$ и биективного аффинного отображения $\alpha\colon p\to F$. Справедливость условий 2–4 определения 2, как правило, очевидна.

Аффинная сводимость позволяет сравнивать различные характеристики семейств многогранников [8]. В частности, если семейство $P$ аффинно сводится к $Q$ и для многогранников из $P$ задача проверки несмежности вершин NP-полна, то для $Q$ эта задача также NP-полна.

По аналогии с многогранником покрытий определяются многогранник упаковок

[TABLE]

и многогранник разбиений [2, с. 135]

[TABLE]

где матрица $A\in\{0,1\}^{m\times n}$ служит кодом многогранника. Частным случаем многогранника упаковок является многогранник независимых множеств графа $G=(V,E)$:

[TABLE]

Известно [8], что семейства многогранников независимых множеств, многогранников упаковок, многогранников разбиений и многогранников трехиндексной задачи о назначениях аффинно сводятся друг к другу.

2 Многогранники Мацуи

Далее, с целью упрощения рассуждений, мы рассмотрим более удобное, чем в первоисточнике [9] описание специального подсемейства $P_{\textup{matsui}}$ семейства многогранников двойных покрытий.

Прежде всего отметим, что вопрос <<Содержит ли многогранник разбиений $P_{\textup{part}}(A)$ хотя бы одну точку?>> является NP-полной задачей даже если каждая строка матрицы $A$ содержит ровно три единицы [9, 1]. С каждым многогранником $P_{\textup{part}}(A)$, где $A\in\{0,1\}^{m\times n}$ содержит ровно три единицы в каждой строке, свяжем многогранник, множество вершин $P_{\textup{matsui}}(A)\subset\{0,1\}^{3n+3}$ которого определим следующим образом. Для трех координат вектора $\bm{x}\in P_{\textup{matsui}}(A)$ введем особые обозначения: $y_{1},y_{2},y_{3}$. Каждой координате $z_{j}$, $j\in[n]$, вектора $\bm{z}=(z_{1},\dots,z_{n})\in P_{\textup{part}}(A)$ будут соответствовать три координаты $x_{j}$, $\bar{x}_{j}$ и $x^{\prime}_{j}$ вектора $\bm{x}\in P_{\textup{matsui}}(A)$, и два ограничения

[TABLE]

А для каждого ограничения вида $z_{i}+z_{j}+z_{k}=1$ из описания $P_{\textup{part}}(A)$ (случай, когда $A$ не содержит ни одной строки, исключаем из рассмотрения) добавим к описанию множества $P_{\textup{matsui}}(A)$ уравнение

[TABLE]

Итак, $P_{\textup{matsui}}(A)$ —  множество 0/1-векторов из $\{0,1\}^{3n+3}$, удовлетворяющих ограничениям (2)–(4).

Заметим, что каждое уравнение (2) в описании многогранника $P_{\textup{matsui}}(A)$ можно заменить на

[TABLE]

Следовательно, для каждой матрицы $A\in\{0,1\}^{m\times n}$, имеющей ровно три единицы в каждой строке, несложно описать матрицу $B\in\{0,1\}^{(2n+m)\times(3n+5)}$, что $P_{\textup{matsui}}(A)$ является гранью многогранника $P_{\textup{2cover}}(B)$, лежащую в пересечении (опорных для $P_{\textup{2cover}}(B)$) гиперплоскостей $a=0$ и $b=1$. Более того, в [9] описан многогранник двойных покрытий, аффинно эквивалентный $P_{\textup{matsui}}(A)$, но его описание требует большего числа переменных и уравнений и поэтому здесь не рассматривается.

Обратим теперь внимание на то, что ограничения

[TABLE]

определяют грань многогранника $P_{\textup{matsui}}(A)$, аффинно эквивалентную многограннику $P_{\textup{part}}(A)$. Таким образом,

[TABLE]

при условии, что в каждой строке матрицы $A$ содержится ровно три единицы. То же самое верно и для следующих наборов ограничений:

$y_{1}=1$, $y_{2}=0$, $y_{3}=1$; 2. 2)

$y_{1}=0$, $y_{2}=1$, $y_{3}=0$; 3. 3)

$y_{1}=1$, $y_{2}=0$, $y_{3}=0$.

Введем для этих граней (точнее, множеств их вершин) следующие обозначения:

[TABLE]

Заметим, что никакие две из этих четырех граней не имеют общих точек. Кроме того,

[TABLE]

Ограничениям

[TABLE]

удовлетворяет ровно одна вершина многогранника $P_{\textup{matsui}}(A)$, имеющая координаты

[TABLE]

Обозначим эту вершину $\bm{x^{0}}$. Аналогично, если

[TABLE]

то

[TABLE]

Обозначим эту вершину $\bm{\bar{x}^{0}}$. Очевидно, $\bm{x^{0}}+\bm{\bar{x}^{0}}=\bm{1}$.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

[TABLE]

причем никакие два из этих пяти множеств не имеют общих точек. Кроме того, вершины $\bm{x^{0}}$ и $\bm{\bar{x}^{0}}$ смежны тогда и только тогда, когда $F_{1}=\varnothing$ (в противном случае $\operatorname{conv}\{F_{1}\cup F_{4}\}$ и $\operatorname{conv}\{\bm{x^{0}},\bm{\bar{x}^{0}}\}$ имеют общую точку $\bm{1}/2$). Таким образом, в силу того, что $F_{1}$ аффинно эквивалентна $P_{\textup{part}}(A)$, а проверка неравенства $P_{\textup{part}}(A)\neq\varnothing$ NP-полна, приходим к следующему выводу.

Теорема 1** (Мацуи [9, theorem 4.1]).**

Задача проверки несмежности вершин $\bm{x^{0}}$ и $\bm{\bar{x}^{0}}$ многогранника $P_{\textup{matsui}}(A)$ NP-полна.

Покажем теперь, что соотношение (5) выполнено и в тех случаях, когда число единиц в строках матрицы $A$ отличается от трех. Точнее, для каждой матрицы $B$ (с любым числом единиц в строках) можно построить матрицу $A$, имеющую три единицы в каждой строке, что

[TABLE]

Так как семейство $P_{\textup{part}}$ аффинно сводится к $P_{\textup{stab}}$ [8], достаточно показать, что для любого графа $G=(V,E)$, $|V|>0$, $|E|>0$, можно построить матрицу $A$ с тремя единицами в каждой строке, что $P_{\textup{stab}}(G)\leqslant_{A}P_{\textup{part}}(A)$.

Заметим, что неравенство $x_{v}+x_{u}\leqslant 1$, при условии $x_{v},x_{u}\in\{0,1\}$, из определения многогранника $P_{\textup{stab}}(G)$ можно заменить равенством $x_{v}+x_{u}+x_{vu}=1$, где $x_{vu}\in\{0,1\}$ —  вспомогательная переменная, линейно зависимая от $x_{v}$ и $x_{u}$. Следовательно, многогранник $P_{\textup{stab}}(G)$, $G=(V,E)$, аффинно эквивалентен некоторому $P_{\textup{part}}(A)$, где матрица $A\in\{0,1\}^{|E|\times(|V|+|E|)}$ содержит ровно три единицы в каждой строке [8]. Таким образом, из соотношения (5) следует

Предложение 1**.**

Семейства $P_{\textup{stab}}$, $P_{\textup{part}}$, $P_{\textup{pack}}$ и многогранники трехиндексной задачи о назначениях аффинно сводятся к $P_{\textup{matsui}}$.

Как известно [6], многогранники $P_{\textup{stab}}(G)$ имеют простой критерий проверки смежности вершин. Соответственно, в предположении $\textup{NP}\neq\textup{P}$ аффинная сводимость $P_{\textup{matsui}}$ к $P_{\textup{stab}}$ невозможна. Покажем, что и без условия $\textup{NP}\neq\textup{P}$ ни один многогранник семейства $P_{\textup{matsui}}$ не может быть гранью многогранников семейства $P_{\textup{stab}}$.

Теорема 2**.**

Если многогранник $P_{\textup{matsui}}(A)$ не является отрезком, то $P_{\textup{matsui}}(A)\leqslant_{A}P_{\textup{stab}}(G)$ невозможно ни для какого графа $G$.

3 Доказательство теоремы 2

Как было замечено выше, многогранник $P_{\textup{matsui}}(A)$ обязательно содержит пару вершин $\bm{x^{0}}$ и $\bm{\bar{x}^{0}}$, и некоторое количество четверок вершин вида $\bm{x^{2i-1}}\in F_{1}$, $\bm{\bar{x}^{2i-1}}\in F_{4}$, $\bm{x^{2i}}\in F_{2}$, $\bm{\bar{x}^{2i}}\in F_{3}$, $i\in[k]$, $k\geqslant 1$. Причем, согласно  (6),

[TABLE]

Предположим, что $P_{\textup{matsui}}(A)$ аффинно эквивалентен некоторой грани

[TABLE]

многогранника $P_{\textup{stab}}(G)$ для некоторого графа $G=(V,E)$. Очевидно, вершины этой грани должны наследовать свойство (7):

[TABLE]

Покажем, что в многограннике $P_{\textup{stab}}(G)$ есть еще пара вершин $\bm{y^{*}}$ и $\bm{\bar{y}^{*}}$, для которых

[TABLE]

Это будет означать, что пересечение $\operatorname{conv}\{\bm{y^{*}},\bm{\bar{y}^{*}}\}$ и $\operatorname{conv}(H)$ не пусто. То есть $H$ не является гранью $P_{\textup{stab}}(G)$.

Пусть $\bm{y^{0}}=(y^{0}_{1},\ldots,y^{0}_{m})$ и $\bm{\bar{y}^{0}}=(\bar{y}^{0}_{1},\ldots,\bar{y}^{0}_{m})$, где $m$ —  число вершин графа $G$. Рассмотрим множество

[TABLE]

Так как каждая вершина в $P_{\textup{stab}}(G)$ является 0/1-вектором, то из (8) и (9) следует

[TABLE]

Далее будем рассматривать только те координаты, значения которых различны для каждой пары вершин (см. рис. 1):

[TABLE]

Очевидно, $J\neq\varnothing$.

Зафиксируем какой нибудь индекс $j_{0}\in J$ и для каждого $i\in\{0,1,\dots,2k\}$ определим множество

[TABLE]

По построению все эти множества попарно различны и $j_{0}\in U_{i}$ (см. рис. 1). Для каждого $U_{i}$ рассмотрим его дополнение $\bar{U}_{i}=J\setminus U_{i}$. Непосредственно из описания $U_{i}$ и $\bar{U}_{i}$ следует

Свойство 1**.**

Для любого $i\in\{0,1,\dots,2k\}$ и для любых $p,r\in U_{i}$ (а также для любых $p,r\in\bar{U}_{i}$) найдется вершина $\bm{y}\in H$ такая, что $y_{p}=y_{r}=1$. То есть неравенство $y_{p}+y_{r}\leqslant 1$ отсутствует в описании многогранника $P_{\textup{stab}}(G)$.

Далее нам понадобится определение симметрической разности двух множеств $X$ и $Y$:

[TABLE]

Симметрическая разность обладает следующими свойствами:

$X\bigtriangleup Y=\varnothing\iff X=Y$. 2. 2.

Результат выражения $X\bigtriangleup Y\bigtriangleup Z$ не зависит от перестановки множеств и порядка выполнения операций. 3. 3.

$X\bigtriangleup Y=Z\iff X\bigtriangleup Z=Y$.

Введем в рассмотрение множество

[TABLE]

Рассмотрим вектор $\bm{y^{*}}=\bm{y^{*}}(S)$ с координатами

[TABLE]

и вектор $\bm{\bar{y}^{*}}=\bm{\bar{y}^{*}}(S)$ с координатами

[TABLE]

Лемма 1**.**

Векторы $\bm{y^{*}}$ и $\bm{\bar{y}^{*}}$ принадлежат $P_{\textup{stab}}(G)$.

Доказательство.

Достаточно показать, что если координаты вершин грани $H$ удовлетворяют некоторому неравенству вида $y_{p}+y_{r}\leqslant 1$ из описания многогранника $P_{\textup{stab}}(G)$, то координаты точек $\bm{y^{*}}$ и $\bm{\bar{y}^{*}}$ тоже ему удовлетворяют.

Возможны несколько случаев.

I. Пусть $p,r\in I$, $p\neq r$. Так как при $i\in I$ $i$-е координаты вершин грани $H$ и векторов $\bm{y^{*}}$ и $\bm{\bar{y}^{*}}$ совпадают, то из того, что неравенство $y_{p}+y_{r}\leqslant 1$ выполнено для $H$ следует, что оно также выполнено и для векторов $\bm{y^{*}}$ и $\bm{\bar{y^{*}}}$.

II. Пусть $p\in I$, $r\in J$. (Случай $r\in I$, $p\in J$ разбирается аналогично.) Тогда $y^{0}_{r}+\bar{y}^{0}_{r}=y^{*}_{r}+\bar{y}^{*}_{r}=1$. Следовательно, $\max\{y^{*}_{r},\bar{y}^{*}_{r}\}=\max\{y^{0}_{r},\bar{y}^{0}_{r}\}=1$. И опять из выполнения неравенства $y_{p}+y_{r}\leqslant 1$ для $H$ следует, что оно также выполнено для $\bm{y^{*}}$ и $\bm{\bar{y^{*}}}$.

III. Пусть $p\in S$, $r\in J\setminus S$. (Случай $r\in S$, $p\in J\setminus S$ разбирается аналогично.) Тогда $y^{*}_{p}+y^{*}_{r}=\bar{y}^{*}_{p}+\bar{y}^{*}_{r}=1$ и требуемое ограничение выполнено.

IV. Пусть $p,r\in S$, $p\neq r$, где $S=S(i,j,t)$. (Случай $p,r\in J\setminus S$, $p\neq r$, разбирается аналогично.) Покажем, что в этом случае $p$ и $r$ принадлежат одновременно одному из шести множеств: $U_{i}$, $U_{j}$, $U_{t}$, $\bar{U}_{i}$, $\bar{U}_{j}$, $\bar{U}_{t}$. Если это действительно так, то, согласно свойству 1, неравенство $y_{p}+y_{r}\leqslant 1$ отсутствует в описании многогранника $P_{\textup{stab}}(G)$.

Итак, предположим, что $p,r\in U_{i}\bigtriangleup U_{j}\bigtriangleup U_{t}$, и покажем, что тогда $p$ и $r$ принадлежат одновременно одному из множеств: $U_{i}$, $U_{j}$, $U_{t}$, $\bar{U}_{i}$, $\bar{U}_{j}$, $\bar{U}_{t}$. Заметим, что $U_{i}\bigtriangleup U_{j}\bigtriangleup U_{t}$ представляет собой объединение четырех множеств:

[TABLE]

Если $p$ и $r$ принадлежат одному из этих четырех множеств, то требуемое условие выполнено. Нетрудно проверяется, что условие выполнено и в случае, когда $p$ и $r$ принадлежат разным множествам. Например, если $p\in U_{i}\cap\bar{U}_{j}\cap\bar{U}_{t}$, а $r\in\bar{U}_{i}\cap\bar{U}_{j}\cap U_{t}$, то $p,r\in\bar{U}_{j}$. ∎

Для завершения доказательства теоремы остается показать, что найдется множество $S$ такое, что вектор $\bm{y^{*}}=\bm{y^{*}}(S)$ (а вместе с ним и вектор $\bm{\bar{y}^{*}}=\bm{\bar{y}^{*}}(S)$) будет отличаться от всех остальных вершин грани $H$.

Лемма 2**.**

Существует $t\in\{2,3,\dots,2k\}$ такое, что $S(0,1,t)$ отличается от каждого из множеств $U_{p}$ и $\bar{U}_{p}$, $0\leqslant p\leqslant 2k$.

Доказательство.

Начнем с простого случая, когда $k=1$. Нетрудно проверить, что

[TABLE]

так как все множества различны и, кроме того, все $U_{i}$ имеют общий элемент $j_{0}$:

[TABLE]

Предположим теперь, что $k>1$. Рассмотрим тройки вида

[TABLE]

Как было замечено выше,

[TABLE]

Кроме того, $U_{0}\bigtriangleup U_{1}\bigtriangleup U_{i}\neq\bar{U}_{j}$ при любом $j\in\{0,1,\dots,2k\}$, так как $j_{0}\notin\bar{U}_{j}$. Предположим, что

[TABLE]

при некотором $j\in\{2,3,\dots,2k\}\setminus\{i\}$. Но тогда, в силу свойств симметрической разности,

[TABLE]

Причем

[TABLE]

так как иначе $U_{t}=U_{i}$, что невозможно по условию. По тем же соображениям,

[TABLE]

Таким образом, все возможные индексы $i$ и $j$, для которых выполнено условие (11), разбиваются на непересекающиеся пары. Но множество $\{2,3,\dots,2k\}$ содержит нечетное число индексов. Значит, обязательно найдется $i\in\{2,3,\dots,2k\}$, для которого $S(0,1,i)=U_{0}\bigtriangleup U_{1}\bigtriangleup U_{i}$ будет отличаться от каждого из множеств $U_{p}$ и $\bar{U}_{p}$, $0\leqslant p\leqslant 2k$. ∎

4 Благодарности

Настоящая работа появилась благодаря вопросу М. Н. Вялого, заданному на одном из семинаров в Вычислительном центре РАН. Особых слов благодарности заслуживает анонимный рецензент, ценные замечания которого привели к появлению раздела 1.

Список литературы

• [1]

Гэри, М., Джонсон, Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.

• [2]

Емеличев, В.А., Ковалев, М.М., Кравцов, М.К. Многогранники, графы, оптимизация. М.: Наука, 1981. 346 c.

• [3]

Максименко, А.Н. Об аффинной сводимости комбинаторных многогранников // Доклады Академии наук, 443(6), 661–663 (2012)

• [4]

Максименко, А.Н. Общая грань некоторых 0/1-многогранников с NP-полным критерием несмежности вершин // Фундаментальная и прикладная математика, 18(2), 105–118 (2013)

• [5]

Balas E., Saltzman M. J. Facets of the three-index assignment polytope // Discrete Applied Mathematics, 23(3), 201–229 (1989)

• [6]

Chvátal V. On certain polytopes associated with graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series B, 18(2), 138–154 (1975)

• [7]

Ikura Y., Nemhauser G. L. Simplex pivots on the set packing polytope // Mathematical programming, 33(2), 123–138 (1985)

• [8]

Maksimenko A. N. A special role of Boolean quadratic polytopes among other combinatorial polytopes // Моделирование и анализ информационных систем, 23(1), 23–40 (2016)

• [9]

Matsui, T. NP-completeness of non-adjacency relations on some 0-1-polytopes // Lecture Notes in Operations Research, Vol. 1, 249–258 (1995)