La conjecture $\epsilon$ locale de Kato en dimension $2$

TL;DR

This paper proves a key functional equation for 2-dimensional p-adic Galois representations, completing Nakamura's proof of Kato's local epsilon-conjecture in dimension 2, advancing understanding in p-adic number theory.

Contribution

It establishes an Iwasawa functional equation for 2-dimensional p-adic Galois representations, enabling the completion of Kato's epsilon-conjecture proof in this dimension.

Findings

Proves an Iwasawa functional equation for 2-dimensional p-adic Galois representations.

Completes Nakamura's proof of Kato's local epsilon-conjecture in dimension 2.

Advances the understanding of p-adic Galois representations and epsilon-conjectures.

Abstract

We show an Iwasawa functional equation for a two dimensional $p$-adic representation of the absolute Galois group of $\mathbf{Q}_p$. This allows us to complete Nakamura's proof of Kato's local $\epsilon$-conjecture in dimension $2$.

Equations

$$\exp :{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V)\to H^1({\mathbf{Q}}_p,V),$$

$${\exp }^{\ast }:H^1({\mathbf{Q}}_p,V)\to {\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V)$$

$$⟨,{⟩}_{\mathrm{dR}}:{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V)\times {\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V)\to L,$$

$${\mathbf{e}}_{\eta ,j,{\omega }_V^{\vee }}^{\mathrm{dR},\vee }={\mathbf{e}}_{\eta }^{\mathrm{dR},\vee }\otimes {\mathbf{e}}_{-j}^{\mathrm{dR}}\otimes {\mathbf{e}}_{{\omega }_V}^{\mathrm{dR}},$$

$${\mathbf{e}}_{\eta ,j}^{\mathrm{dR},\vee }={\mathbf{e}}_{\eta }^{\mathrm{dR},\vee }\otimes {\mathbf{e}}_{-j}^{\mathrm{dR}},$$

$$H_{\mathrm{Iw}}^1({\mathbf{Q}}_p,V)=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}^1({\mathbf{Q}}_p({\mu }_{p^n}),T){\otimes }_{{\mathbf{Z}}_p}{\mathbf{Q}}_p$$

$$H_{\mathrm{Iw}}^1({\mathbf{Q}}_p,V)\to H^1({\mathbf{Q}}_p,V(\eta {\chi }^j)):\mu \mapsto {\int }_{\Gamma }\eta {\chi }^j\cdot \mu .$$

$$w_V:H_{\mathrm{Iw}}^1({\mathbf{Q}}_p,V)\to H_{\mathrm{Iw}}^1({\mathbf{Q}}_p,\text{ooalign}\text{raise}7.09259pt\text{scalebox}1.0[-1.0]\text{lower}7.09259pt\widehat{\text{vrule}width=0.0pt,height=6.83331pt\text{vrule}height=0.0pt,width=8.05556pt}\text{cr}V).$$

$${\exp }^{\ast }({\int }_{\Gamma }\eta {\chi }^{-j}\cdot \text{ooalign}\text{raise}6.25pt\text{scalebox}1.0[-1.0]\text{lower}6.25pt\widehat{\text{vrule}width=0.0pt,height=4.30554pt\text{vrule}height=0.0pt,width=6.02548pt}\text{cr}\mu )\otimes {\mathbf{e}}_{\eta ,-j,{\omega }_V^{\vee }}^{\mathrm{dR},\vee }=C(V,\eta ,j)\cdot {\exp }^{-1}({\int }_{\Gamma }{\eta }^{-1}{\chi }^j\cdot \mu )\otimes {\mathbf{e}}_{{\eta }^{-1},j}^{\mathrm{dR},\vee },$$

$$C(V,\eta ,j)={\Omega }^{-1}\frac{(-1{)}^j}{(j+k-1)!(j-1)!}\epsilon ({\eta }^{-1}{)}^{-2}\epsilon (\pi \otimes {\eta }^{-1}\otimes |\cdot {|}^j).$$

$${\phi }^{-n}:{\Delta }^{]0,r_n]}\to L_n((t))\otimes {\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(\Delta ),$$

$$0\to \Pi (\Delta {)}^{\ast }\otimes {\omega }_{\Delta }\to \Delta ⊠{\mathbf{P}}^1\to \Pi (\Delta )\to 0.$$

$$(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\alpha}\xrightarrow{\sim}\Delta^{\psi=\alpha^{-1}}.$$

$${\mathrm{Exp}}^{\ast }:H_{\mathrm{Iw}}^1(\Delta )\stackrel{\sim }{\to }{\Delta }^{\psi =1}.$$

$${\exp }^{\ast }({\int }_{\Gamma }\eta {\chi }^{-j-k}\cdot {\mu }_{\text{ooalign}\text{raise}5.51805pt\text{scalebox}1.0[-1.0]\text{lower}5.51805pt\widehat{\text{vrule}width=0.0pt,height=2.10971pt\text{vrule}height=0.0pt,width=2.49423pt}\text{cr}z})\otimes {\mathbf{e}}_{\eta ,-j-k,{\omega }_{\Delta }^{\vee }}^{\mathrm{dR},\vee }=\ast \cdot {\mathrm{Tr}}_{L_n/L}(G(\eta {)}^{-1}{\Omega }^{-1}[{\phi }^{-n}{\partial }^{j+k-1}\text{ooalign}\text{raise}6.25pt\text{scalebox}1.0[-1.0]\text{lower}6.25pt\widehat{\text{vrule}width=0.0pt,height=4.30554pt\text{vrule}height=0.0pt,width=5.0903pt}\text{cr}z{]}_0).$$

$${\exp }^{-1}({\int }_{\Gamma }\eta {\chi }^j\cdot {\mu }_z)\otimes {\mathbf{e}}_{\eta ,j}^{\mathrm{dR},\vee }=\ast \cdot {\mathrm{Tr}}_{L_n/L}(G(\eta {)}^{-1}[{\phi }^{-n}{\partial }^{-j}z{]}_0).$$

$${\mathrm{LA}}_{\mathrm{c}}({\mathbf{Q}}_p^{\times },{\Delta }_{\mathrm{dif}}^{-}{)}^{\Gamma }\to \Pi (\Delta ),$$

$$({{\big{(}\begin{smallmatrix}a&b\\ 0&d\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot\phi)(x)=\omega_{\Delta}(d)[\varepsilon^{bx/d}]\phi(ax/d).$$

$$\mathrm{Tr}_{L_{n}/L}\big{(}G(\eta)^{-1}\Omega^{-1}\langle[\varphi^{-n}\partial^{{j}+k-1}{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{$\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}$}}}}\cr\hbox{$\displaystyle z$}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}$}}}}\cr\hbox{$\textstyle z$}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{$\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}$}}}}\cr\hbox{$\scriptstyle z$}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{$\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}$}}}}\cr\hbox{$\scriptscriptstyle z$}}}}}]_{0},f_{i}\rangle_{\rm dR}\big{)}=*\cdot[\partial^{j}w\cdot\tilde{z},f^{3-i}_{\eta,k,0}]_{{\bf P}^{1}},$$

$${\mathrm{Tr}}_{L_n/L}(G(\eta {)}^{-1}⟨[{\phi }^n{\partial }^{-j}z{]}_0,f_i{⟩}_{\mathrm{dR}})=\ast \cdot [{\partial }^{-j}\tilde{z},g_{\eta ,m}^{3-i}{]}_{{\mathbf{P}}^1}$$

$$w{\ast }_k{f}_{\eta ,k,m}^i=\ast \cdot \epsilon (\pi \otimes {\eta }^{-1})g_{{\eta }^{-1},-c(\pi \otimes {\eta }^{-1})-m}^i,$$

$$\nabla =\underset{a\to 1}{\lim }\frac{{\sigma }_a-1}{a-1}=\frac{\log (\gamma )}{\log (\chi (\gamma ))}=\frac{1}{\log (\chi (\gamma ))}\sum _{i=1}^{+\infty }(-1{)}^{i+1}\frac{(\gamma -1{)}^i}{i},$$

$$D^{[r,s]}={\mathcal{E}}^{[r,s]}{\otimes }_{{\mathcal{E}}^{]0,s]}}{D}^{]0,s]}.$$

$$D=\underset{s>0}{\underrightarrow{\lim }}\underset{0<r<s}{\underleftarrow{\lim }}{D}^{[r,s]},$$

$${\phi }^{-n}:{\mathcal{R}}^{]0,r_n]}\hookrightarrow L_n[[t]]$$

$${\mathbf{D}}_{\mathrm{dif},n}^{+}(D)=L_n[[t]]{\otimes }_{{\phi }^{-n},{\mathcal{R}}^{]0,r_n]}}{D}^{]0,r_n]},$$

$${\mathbf{D}}_{\mathrm{dif},n}(D)=L_n((t)){\otimes }_{L_n[[t]]}{\mathbf{D}}_{\mathrm{dif},n}^{+}(D),$$

$${\mathbf{D}}_{\mathrm{dif}}(D)=\underset{n}{\underrightarrow{\lim }}{\mathbf{D}}_{\mathrm{dif},n}(D){\mathbf{D}}_{\mathrm{dif}}^{+}(D)=\underset{n}{\underrightarrow{\lim }}{\mathbf{D}}_{\mathrm{dif},n}^{+}(D),$$

$${\mathbf{D}}_{\mathrm{cris}}(D)=(D[1/t]{)}^{\Gamma }=(D{\otimes }_{\mathcal{R}}\mathcal{R}[1/t]{)}^{\Gamma }{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(D)=({\mathbf{D}}_{\mathrm{dif}}(D){)}^{\Gamma },$$

$${\dim }_L{\mathbf{D}}_{\mathrm{cris}}(D)\le {\dim }_L{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(D)\le {\mathrm{rang}}_{\mathcal{R}}D,$$

Full text

1. 0.1 Une équation fonctionnelle locale

2. 0.2 Équation fonctionnelle et conjecture $\varepsilon$ locale de Kato

3. 0.3 Remerciement

4. 1 Notations et préliminaires

5. 1.1 Anneaux de Fontaine

6. 1.2 $(\varphi,\Gamma)$-modules

7. 1.3 Sous-modules naturels de $D$

8. 1.4 Théorie de Hodge $p$-adique

9. 1.5 L’équation différentielle $p$-adique ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$

10. 1.6 $(\varphi,\Gamma)$-modules relatifs

11. 1.7 Cohomologie des $(\varphi,\Gamma)$-modules

12. 1.8 Cohomologie d’Iwasawa des $(\varphi,\Gamma)$-modules

13. 1.9 Dual de Tate et résidus

14. 1.10 Dualité locale

15. 1.11 Applications exponentielles

16. 1.12 Lois de réciprocité

17. 1.13 Accouplement d’Iwasawa

18. 2 Correspondance de Langlands $p$-adique et équation fonctionnelle en dimension $2$

19. 2.1 Notations

20. 2.2 Représentations lisses de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$

21. 2.3 Autour de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$

22. 2.4 Une équation fonctionnelle locale: préliminaires

23. 2.5 L’équation fonctionnelle: le cas de poids de Hodge-Tate nuls

24. 2.6 L’équation fonctionnelle: cas de poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 1$

25. 3 La conjecture $\varepsilon$ locale de Kato en dimension $2$

26. 3.1 Notations

27. 3.2 L’isomorphisme $\varepsilon^{\rm dR}_{L}$

28. 3.3 Énoncé de la conjecture

29. 3.4 Construction de l’isomorphisme

30. 3.5 Interpolation

Introduction

Soit $p$ un nombre premier. La conjecture $\varepsilon$ locale de Kato [18], [17] [24] prédit l’existence d’une trivialisation canonique du déterminant de la cohomologie des représentations galoisiennes à coefficients dans un anneau $p$-adiquement complet $A$, interpolant des trivialisations standard (qui font intervenir les facteurs epsilon de la représentation, d’où le nom de la conjecture) quand $A$ est une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$ et la représentation est de Rham. Elle peut donc être vue comme une interpolation $p$-adique des facteurs locaux des représentations de de Rham.

Ce texte a pour objectif de montrer une équation fonctionnelle dans la théorie d’Iwasawa d’un $(\varphi,\Gamma)$-module sur l’anneau de Robba de rang $2$ et de Rham, ainsi que voir comment elle permet de compléter les résultats de Nakamura [24] pour démontrer la conjecture $\varepsilon$-locale de Kato pour le cas de dimension $2$ pour une certaine classe d’anneaux $A$, en montrant que l’isomorphisme $\varepsilon$ construit dans [24] interpole l’isomorphisme $\varepsilon$ de de Rham pour un tel $(\varphi,\Gamma)$-module (dans [24], ceci a été montré quand les poids de Hodge-Tate du $(\varphi,\Gamma)$-module sont $k_{1}\leq 0$ et $k_{2}\geq 1$).

0.1. Une équation fonctionnelle locale

Voici une description un peu plus détaillée des résultats.

0.1.1. Rappels et notations

Soient ${{\bf Q}_{p}}$ le corps des nombres $p$-adiques et ${{\bf Z}_{p}}$ l’anneau des entiers $p$-adiques. Fixons une clôture algébrique $\overline{{\bf Q}}_{p}$ de ${{\bf Q}_{p}}$ et notons $\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}=\mathrm{Gal}(\overline{{\bf Q}}_{p}/{\bf Q})$ le groupe de Galois absolu de ${{\bf Q}_{p}}$. Notons $\chi\colon\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}\to{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ le caractère cyclotomique, défini par l’identité $\sigma(\zeta)=\zeta^{\chi(\sigma)}$, où $\sigma\in\mathscr{G}_{{{\bf Q}_{p}}}$ et $\zeta\in\mu_{p^{\infty}}$ est une racine de l’unité d’ordre une puissance de $p$. On note $\mathscr{H}=\ker(\chi)=\mathrm{Gal}(\overline{{\bf Q}}_{p}/{{\bf Q}_{p}}(\mu_{p^{\infty}}))$ et $\Gamma=\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}/\mathscr{H}=\mathrm{Gal}({{\bf Q}_{p}}(\mu_{p^{\infty}})/{{\bf Q}_{p}})\cong{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, le dernier isomorphisme étant donné par $\chi$. On fixe $(\zeta_{p^{n}})_{n\in{\bf N}}$ un système de racines $p^{n}$-ièmes de l’unité tel que $\zeta_{p}\neq 1$, $\zeta_{p^{n+1}}^{p}=\zeta_{p^{n}}$, $n\geq 1$

Soit $L$ une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$ 111Le corps $L$ jouera le rôle du corps de coefficients. Il sera fixe mais l’on se permettra éventuellement, si besoin, de remplacer $L$ par une extension finie de lui même. et soit $V\in\mathrm{Rep}_{L}\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ une $L$-représentation continue du groupe $\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$, de dimension $2$, de Rham, non trianguline et à poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 0$. Soit {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.63889pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.02777pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle V}}}}}=V^{*}(1) le dual de Tate de $V$, qui est isomorphe (car $V$ est de dimension $2$) à $V\otimes\omega_{V}^{\vee}$, où $\omega_{V}=\mathrm{det}_{V}\otimes\chi^{-1}$. Notons ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(V)=({\mathbf{B}_{\mathrm{dR}}}\otimes V)^{\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}}$ le module de de Rham de la représentation $V$ et considérons

[TABLE]

[TABLE]

les applications exponentielle et exponentielle duale de Bloch-Kato.

On aura besoin de comparer des éléments habitant dans le module de de Rham des différents tordus de $V$ et de son dual de Tate et les identifications suivantes permettront de voir tous ces éléments dans ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(V)$. Si $\delta\colon{\bf Q}^{\times}_{p}\to L^{\times}$ est un caractère continu unitaire, on note $L(\delta)$ la représentation de dimension $1$ où $\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ agit à travers $\delta$ vu comme caractère de $\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ via la théorie du corps de classes locale 222Explicitement, si $g\in\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ se réduit modulo $p$ à la puissance $\mathrm{deg}(g)\in{\bf Z}$ du Frobenius absolu, alors $\delta(g)=\delta(p)^{-\mathrm{deg}(g)}\delta(\chi(g))$., dont on fixe $e_{\delta}$ une base. Si $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est un caractère constant modulo $p^{n}$, vu comme un caractère de ${\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$ en posant $\eta(p)=1$, l’élément $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta}=G(\eta)e_{\eta}$ est un générateur du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\eta))$, où $G(\eta):=\sum_{a\in({\bf Z}/p^{n}{\bf Z})^{\times}}\eta(a)\zeta_{p^{n}}^{a}$ dénote la somme de Gauss de $\eta$. Notons $e_{\eta}^{\vee}=e_{\eta^{-1}}$ la base de $L(\eta)^{*}$ duale de $e_{\eta}$, d’où ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\eta)^{*})=L\cdot G(\eta)^{-1}e_{\eta}^{\vee}=L\cdot\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta}$. Si $j\in{\bf Z}$, on note aussi $\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}=t^{-j}e_{j}=t^{-j}e_{\chi^{j}}\in{\mathbf{B}_{\mathrm{dR}}}\otimes L(\chi^{j})$, qui est une base de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\chi^{j}))$.

Fixons une base $f_{1},f_{2}$ de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(V)$ et notons

[TABLE]

le produit scalaire défini par la formule $\langle a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2},b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}\rangle_{\rm dR}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$. L’isomorphisme $\wedge^{2}V=L(\chi)\otimes\omega_{V}$ induit un isomorphisme $\wedge^{2}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(V)={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\chi)\otimes\omega_{V})=(t^{-k}L_{\infty}\cdot e_{V})^{\Gamma}$, où $L_{\infty}=L(\mu_{p^{\infty}})$ et $e_{V}$ dénote une base de $L(\mathrm{det}_{V})$. On définit $\Omega\in L_{\infty}$ par la formule $f_{1}\wedge f_{2}=(t^{k}\Omega)^{-1}e_{V}$, ce qui nous permet de fixer les bases $(t^{k}\Omega)^{-1}e_{V}$ et $t^{k}\Omega e_{V}^{\vee}$ du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\wedge^{2}V)$ et de son dual. On fixe aussi les bases $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\omega_{V}}=(t^{k-1}\Omega)^{-1}e_{\omega_{V}}$ et $\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\omega_{V}}=(t^{k-1}\Omega)e_{\omega_{V}}^{\vee}$ du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\omega_{V}))$ et de son dual.

Enfin, notons, pour $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ et $j\in{\bf Z}$ comme ci-dessus,

[TABLE]

[TABLE]

des bases des duaux des modules ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\eta\chi^{j}\omega_{D}^{-1}))$ et ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(L(\eta\chi^{j}))$. L’application $x\mapsto x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{V}^{\vee}}$ induit donc un isomorphisme {{\bf D}_{\mathrm{dR}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.63889pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.02777pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle V}}}}}(\eta\chi^{-{j}}))\xrightarrow{\sim}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.63889pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.02777pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle V}}}}}) et, de même, $x\mapsto x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta^{-1},j}$ induit isomorphisme ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(V(\eta^{-1}\chi^{j}))\xrightarrow{\sim}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(V).$

Soit

[TABLE]

la cohomologie d’Iwasawa de la représentation $V$, où $T$ dénote n’importe quel ${{\bf Z}_{p}}$-réseau de $V$ stable par $\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ et où la limite est prise par rapport aux applications de corestriction. On dispose des applications de spécialisation

[TABLE]

La correspondance de Langlands $p$-adique [10] nous permet de construire une application

[TABLE]

Cette application est définie à partir de l’action de la matrice {\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}\big{)}} sur la représentation de Banach de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ associée à $V$ par la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ et, au même temps, aux facteurs $\varepsilon$ d’une représentation lisse admissible de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ via la théorie du modèle de Kirillov, d’où son importance.

Notons finalement $\pi$ la représentation lisse de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ associée à $V$ par la correspondance de Langlands classique, et $\varepsilon(-)$ le facteur epsilon d’une représentation lisse de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$.

0.1.2. Le théorème principal

Le théorème suivant, dont la preuve est inspirée largement des techniques introduites par Nakamura [24], Dospinescu et Colmez [12], décrit le comportement de l’involution de Colmez en termes de la théorie d’Iwasawa de la représentation $V$.

Théorème 0.1** (Th. 2.23).**

Soit $\mu\in H^{1}_{\rm Iw}({{\bf Q}_{p}},V)$ et notons {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=6.02548pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=6.02548pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=4.21783pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=3.01274pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mu}}}}}=w_{V}(\mu)\in H^{1}_{\rm Iw}({{\bf Q}_{p}},{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.63889pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.02777pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle V}}}}}). Alors, pour tout $j\geq 1$, on a

[TABLE]

où

[TABLE]

Remarque 0.2*.*

D’après la philosophie de Perrin-Riou et Bloch-Kato, si $\mu$ provient par restriction d’un système d’Euler d’une représentation globale, les valeurs que l’on compare dans le théorème 0.1 ci-dessus sont étroitement liées aux valeurs spéciales de la fonction $L$ $p$-adique associée à cette représentation, et le théorème 0.1 ci-dessus implique une équation fonctionnelle pour cette fonction $L$ $p$-adique [26].

La démonstration du théorème 0.1 est un long processus de traduction et occupe le deuxième chapitre de ce texte. L’idée principale, comme dans [24], est d’exprimer les deux termes du théorème 0.1 en termes de la correspondance de Langlands $p$-adique et d’utiliser la compatibilité locale-globale entre la correspondance de Langlands $p$-adique et classique, ce qui fait naturellement apparaître le facteur epsilon de la représentation lisse de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ associée à $V$ quand on applique l’involution. De fait, nous utilisons les techniques de changement de poids de [12] pour ramener aux calculs faits dans [24].

Nous allons decrire les etapes principales du calcul. Soit $D={\bf D}(V)\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ le $(\varphi,\Gamma)$-module sur l’anneau de Robba 333On renvoie le lecteur non familiarisé aux sections correspondantes du texte pour les définitions des objets introduits sans définition dans cette introduction. associé à la représentation $V$ par les équivalences de catégories de Fontaine, Cherbonnier-Colmez et Kedlaya (prop. 1.1). On dispose aujourd’hui de toute une cosmogonie d’objets et applications permettant d’exprimer un grand nombre d’invariants arithmétiques de la représentation $V$ intrinsèquement en termes de $D$.

0.1.3. L’équation différentielle $p$-adique et le cas de poids nuls

Soit $\Delta={\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ le module construit (cf. §1.5) par Berger. Le module $\Delta$ n’est pas étale et il est de rang $2$, de Rham à poids de Hodge-Tate nuls. On a sur $\Delta$ un opérateur de dérivation $\partial$ au dessus de l’opérateur $\partial=(1+T)\frac{d}{dT}$ sur $\mathscr{R}$. Si $D$ est à poids de Hodge-Tate positifs, alors $D\subseteq\Delta$ et l’on peut donc voir l’élément $z\in D^{\psi=1}$ dans $\Delta^{\psi=1}$.

Rappelons (cf. §1.3) qu’il existe un entier $m(\Delta)\geq 0$ et, pour tout $n\geq m(\Delta)$, des sous-$\mathscr{R}^{]0,r_{n}]}$-modules $\Delta^{]0,r_{n}]}$ libres de rang $2$ tels que $\Delta=\mathscr{R}\otimes_{\mathscr{R}^{]0,r_{n}]}}\Delta^{]0,r_{n}]}$, où $r_{n}=\frac{1}{p^{n-1}(p-1)}$ et qu’on a des applications de localisation

[TABLE]

où $t$ dénote le “$2i\pi$” de Fontaine et $L_{n}=L\cdot{{\bf Q}_{p}}(\mu_{p^{n}})$. L’opérateur $\partial$ sur $\Delta$ satisfait la relation de commutation $\varphi^{-n}\circ\partial=\frac{d}{dt}\circ\varphi^{-n}$.

0.1.4. La correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$

Dans [12], Colmez construit (cf. §2.3) une représentation localement analytique admissible $\Pi(\Delta)$ à caractère centrale $\omega_{\Delta}:=\mathrm{det}_{\Delta}\chi^{-1}$ de $G=\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ et il explique comment retrouver la représentation $\Pi(D)$ associée à $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique par des méthodes de ‘changement de poids’. La représentation $\Pi(\Delta)$ est irréductible mais elle est munie d’un opérateur $\partial$ et, en tordant l’action de $G$ d’une manière appropriée en utilisant $\partial$, l’on peut récupérer les vecteurs localement algébriques de $\Pi(D)$ et donc en particulier la représentation lisse $\pi$ de $G$ associée à $V$ par la correspondance de Langlands classique.

Un $(\varphi,\Gamma)$-module peut être vu comme un faisceau {{\big{(}\begin{smallmatrix}{{\bf Z}_{p}}-\{0\}&{{\bf Z}_{p}}\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}-équivariant 444L’action de $\varphi$, $\sigma_{a}$ et la multiplication par $(1+T)^{b}$, $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}},b\in{{\bf Z}_{p}}$, correspondant à {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}, {{\big{(}\begin{smallmatrix}a&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}} et {{\big{(}\begin{smallmatrix}1&b\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}} respectivement. $U\mapsto\Delta\boxtimes U$ sur ${{\bf Z}_{p}}$ dont les sections globales sont données par $\Delta\boxtimes{{\bf Z}_{p}}=\Delta$ et la construction de $\Pi(\Delta)$ est fondée sur l’extension de ce faisceaux en un faisceau $G$-équivariant $U\mapsto\Delta\boxtimes U$ sur ${\bf P}^{1}={\bf P}^{1}({{\bf Q}_{p}})$. On a un accouplement parfait et $G$-équivariant $[\;,\;]_{{\bf P}^{1}}$ sur $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$ et la suite exacte fondamentale de $G$-modules suivante:

[TABLE]

Dans §2.4.1, on étend des résultats classiques et on démontre que, pour $\alpha=1$ ou $\alpha=\omega_{\Delta}(p)$, l’on a un isomorphisme

[TABLE]

Si $z\in\Delta^{\psi=1}$, on note $\tilde{z}$ l’image inverse de $z$ par cet isomorphisme. En notant w={{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}\big{)}}}, l’élément $w\cdot\tilde{z}$ appartient donc à (\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\omega_{\Delta}(p)} et l’on note {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}={\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1}, où {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}=\Delta^{*}(1) dénote le dual de Tate de $\Delta$, qui s’identifie (car $\Delta$ est de dimension $2$) à $\Delta\otimes\omega_{\Delta}^{-1}$.

On oublie pour l’instant notre $(\varphi,\Gamma)$-module $D$ (et en particulier que $k$ dénote un de ses poids de Hodge-Tate) et on va montrer une équation fonctionnelle sur $\Delta$.

0.1.5. Cohomologie d’Iwasawa

Notons (cf. §1.8) $H^{i}_{\rm Iw}(\Delta)$ le premier groupe de cohomologie d’Iwasawa défini dans [25]. On a un isomorphisme

[TABLE]

Notons $\mu_{z}=(\mathrm{Exp}^{*})^{-1}(z)\in\Delta^{\psi=1}$ et \mu_{{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.51805pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.51805pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.10971pt\vrule height=0.0pt,width=2.49423pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.31712pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.31712pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=1.50694pt\vrule height=0.0pt,width=1.7816pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}}=(\mathrm{Exp}^{*})^{-1}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}})\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1}=\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}.

0.1.6. Lois de réciprocité

Les lois de réciprocité (cf. §1.12) nous permettent d’écrire les valeurs \exp^{*}(\int_{\Gamma}\eta\chi^{-j}\cdot{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=6.02548pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=6.02548pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=4.21783pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=3.01274pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mu}}}}})\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{\Delta}^{\vee}} et $\exp^{-1}(\int_{\Gamma}\eta^{-1}\chi^{j}\cdot\mu)\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta^{-1},j}$ en termes de $z$ et des applications de localisation. On commence par démontrer (lemme 2.14) que, pour $m\gg 0$ et $j,k\in{\bf Z}$ tels que $j+k\geq 1$, on a 555Notons que les deux variables $j$ et $k$ semblent être redondantes, mais elles seront utiles plus tard.

[TABLE]

où $*$ est une constante explicite, $\mathrm{Tr}_{L_{m}/L}\colon L_{n}\to L$ dénote la trace et $[\cdot]_{0}\colon L_{n}((t))\to L_{n}$ dénote le coefficient du terme de degré [math] en $t$. On dispose d’une formule analogue pour les valeurs de l’exponentielle (lemma 2.15): pour $j\geq 1$, on a

[TABLE]

0.1.7. Le modèle de Kirillov

L’étape suivante consiste à exprimer les termes de droite des équations (1) et (2) en termes de la correspondance de Langlands $p$-adique. La théorie du modèle de Kirillov (§2.3.2) et une formule de Colmez (cf. §2.3.3, eq. (9)) nous permettent (cf. §2.3.3) de construire une injection $B$-équivariante

[TABLE]

où B={{\big{(}\begin{smallmatrix}*&*\\ 0&*\end{smallmatrix}\big{)}}}\subseteq G dénote le Borel de $G$, $\Delta_{\rm dif}^{-}=(L((t))/L[[t]])\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\Delta)$ et $\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$ dénote l’espace des fonctions localement analytiques $\phi\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to\Delta_{\rm dif}^{-}$ à support compact vérifiant $\sigma_{a}(\phi(x))=\phi(x)$, et il est muni d’une action de $B$ définie par la formule 666Si $r\in{{\bf Q}_{p}}$ et $n\in{\bf N}$ est tel que $rp^{n}\in{{\bf Z}_{p}}$, on pose $[\varepsilon^{r}]=\varphi^{-n}((1+T)^{p^{n}r})=\zeta_{p^{n}}^{p^{n}r}e^{tr}\in L_{n}[[t]]$.

[TABLE]

En suivant des idées de Nakamura, on construit (cf. §2.4.4 et §2.4.5), pour $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $k\geq 1$, $i\in\{1,2\}$ et $m\in{\bf Z}$, des fonctions $f^{i}_{\eta,k,m}\in\mathrm{LA}_{\mathrm{c}}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$ et $g^{i}_{\eta,m}\in\mathrm{LA}_{\mathrm{c}}({{\bf Q}_{p}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$ et on démontre (lemmes 2.16 et 2.18) que

[TABLE]

[TABLE]

où $(f_{i})_{i=1,2}$ dénote une base fixe de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\Delta)$ comme expliqué avant.

0.1.8. Apparition des vecteurs localement algébriques, facteurs epsilon et fin de la preuve

Plus précisément, dans [12] (cf. §2.3.5) on construit, pour tout $k\geq 1$, une représentation $\Pi(\Delta,k)$ en tordant l’action de $G$ sur $\Pi(\Delta)$ à l’aide de l’opérateur $\partial$. En identifiant $\Pi(\Delta,k)$ et $\Pi(\Delta)$ et en notant $\ast_{k}$ l’action tordue de $G$ sur $\Pi(\Delta)$ on a $w\ast_{k}v=\partial^{k}\circ w\cdot v$, $v\in\Pi(\Delta)$, et on voit que $\Pi(\Delta,k)$ possède des vecteurs localement algébriques et que la représentation lisse $\pi$ associée ne dépend pas de $k$. Le miracle arrive quand on observe que les fonctions $f^{i}_{\eta,k,m}$ et $g^{i}_{\eta,m}$ sont des vecteurs localement algébriques de $\Pi(\Delta,k)$ qui peuvent être exprimés via des fonctions introduites dans [5] pour retrouver le facteur epsilon d’une représentation lisse de $G$ via l’action de l’élément $w$, ce qui nous permet (lemme 2.20) de démontrer que

[TABLE]

où $c(\pi\otimes\eta^{-1})$ dénote le conducteur de la représentation $\pi\otimes\eta^{-1}$.

Enfin, en utilisant la $G$-équivariance de l’accouplement $[\;,\;]_{{\bf P}^{1}}$ (pour passer l’action de $w$ du côté de droite de l’accouplement dans la formule (3) et appliquer l’identité (5)) et les équations (1), (2), (3) (avec $m=0$) et (4) (avec $m=-c(\pi\otimes\eta^{-1})$) ci-dessus, on obtient (théorème 2.21) une équation fonctionnelle en poids nuls et, en tordant cette équation, on montre facilement (théorème 2.23) notre résultat principal.

0.2. Équation fonctionnelle et conjecture $\varepsilon$ locale de Kato

Donnons une application du théorème précedent à la conjecture $\varepsilon$. Des cas particuliers de cette conjecture ont été montrés: elle est connue en dimension $1$ [18], [23], et pour certains types de représentations grâce aux travaux de Benois-Berger [1], Loeffler-Venjakob-Zerbes [21] et Nakamura [23]. Nakamura dans [24] a construit, en utilisant la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules et l’accouplement d’Iwasawa défini par Colmez, un candidat pour l’isomorphisme $\varepsilon$ pour les $(\varphi,\Gamma)$-modules de rang $1$ ou $2$, et il a montré que, dans certaines instances, cet isomorphisme interpole bien les trivialisations standards.

Le théorème 0.1 ci-dessus est un complement de [24, Prop. 3.14] 777Dans les notations de ce texte, [24, Prop. 3.14] est équivalent à montrer une équation fonctionnelle analogue à celle du théorème 0.1 réliant les valeurs \exp^{*}(\int_{\Gamma}\eta\chi^{-j}\cdot{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=6.02548pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=6.02548pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=4.21783pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mu}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=3.01274pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mu}}}}})\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{V}^{\vee}} et $\exp^{*}(\int_{\Gamma}\eta^{-1}\chi^{j}\cdot\mu)\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta^{-1},j}$ pour $1-k\leq j\leq 0$. On peut facilement adapter les techniques de ce texte pour retrouver l’énoncé de [24, Prop. 3.14], mais les nouvelles tehniques introduites ici ne ne sont pas nécessaires dans ce cas., qui est le point clé pour montrer que les isomorphismes construits dans [24] interpolent les isomorphismes $\varepsilon$ classiques quand $V$ est de Rham et à poids de Hodge-Tate $k_{1}\leq 0$ et $k_{2}>0$. Comme un corollaire de nos résultats et de ceux de Nakamura, on obtient

Théorème 0.3** (Th. 3.4).**

La conjecture $\varepsilon$ locale de Kato est vraie pour les représentations galoisiennes de dimension $2$.

0.3. Remerciement

Ce travail fait partie de ma thèse de doctorat, réalisée à l’Institut de Mathématiques de Jussieu sous la direction de Pierre Colmez, à qui j’exprime ma plus sincère gratitude. Je remercie aussi Kentaro Nakamura et Gabriel Dospinescu, dont les travaux ont été une source constante d’inspiration. Je remercie finalement le rapporteur pour ses nombreuses remarques et corrections qui ont aidé à améliorer considérablement la présentation de cet article.

1. Notations et préliminaires

Cette section contient les généralités sur les $(\varphi,\Gamma)$-modules dont on aura besoin dans l’article.

1.1. Anneaux de Fontaine

Fixons $L$ une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$ contenue dans $\overline{{\bf Q}}_{p}$ et notons:

• •

$\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$ l’anneau des séries de Laurent à coefficients dans $\mathscr{O}_{L}$ bornés dont les coefficients négatifs tendent vers [math], i.e, $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}=\mathscr{O}_{L}[[T]][1/T]^{\wedge}$, où la complétion est la $p$-adique;

• •

$\mathscr{E}=\mathscr{O}_{\mathscr{E}}[1/p]$ le corps des fractions de $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$;

• •

$\mathscr{E}^{\dagger}$ l’anneau constitué des éléments de $\mathscr{E}$ convergents sur une couronne d’intérieur non vide;

• •

$\mathscr{R}^{[r,s]}$, $0<r<s\leq+\infty$, l’anneau des séries de Laurent à coefficients dans $L$ et convergeant sur la couronne $r\leq v_{p}(T)\leq s$;

• •

$\mathscr{R}^{]0,s]}:=\varprojlim_{0<r<s}\mathscr{R}^{[r,s]}$;

• •

$\mathscr{R}=\varinjlim_{s>0}\mathscr{R}^{]0,s]}$ l’anneau de Robba, formé des séries de Laurent (non nécessairement bornées) convergentes sur une couronne non vide contenue dans la boule unité ouverte.

On notera souvent $\mathscr{R}^{+}=\mathscr{R}^{]0,+\infty]}$ l’anneau des fonctions analytiques sur la boule unité ouverte. Rappelons que l’on obtient $\mathscr{E}$ (resp. $\mathscr{R}$) en complétant $\mathscr{E}^{\dagger}$ par rapport à sa topologie $p$-adique (resp. la topologie définie par la convergence uniforme sur des couronnes fermées).

1.2. $(\varphi,\Gamma)$-modules

Rappelons que, si $\mathscr{A}\in\{\mathscr{O}_{\mathscr{E}},\mathscr{E},\mathscr{E}^{\dagger},\mathscr{R}\}$, un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{A}$ est un $\mathscr{A}$-module de type fini muni d’actions semi-linéaires continues de $\Gamma$ et d’un opérateur $\varphi$, commutant entre elles. Si $D$ est un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$, on dit que $D$ est étale si $\varphi(D)$ engendre $D$ comme $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$-module. Un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{E}$ est étale s’il possède un $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$-réseau stable par $\Gamma$ et $\varphi$ qui est étale. Un $(\varphi,\Gamma)$-module $D$ sur $\mathscr{E}^{\dagger}$ est étale si $D\otimes_{\mathscr{E}^{\dagger}}\mathscr{E}$ est étale. Finalement, un $(\varphi,\Gamma)$-module $D$ sur $\mathscr{R}$ est dit étale s’il contient un $(\varphi,\Gamma)$-module $D^{\dagger}$ étale sur $\mathscr{E}^{\dagger}$ tel que $D=D^{\dagger}\otimes_{\mathscr{E}^{\dagger}}\mathscr{R}$.

Notons, pour $\mathscr{A}\in\{\mathscr{O}_{\mathscr{E}},\mathscr{E},\mathscr{E}^{\dagger},\mathscr{R}\}$, $\Phi\Gamma(\mathscr{A})$ (resp. $\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{A})$) la catégorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules (resp. étales) sur $\mathscr{A}$. L’intérêt de ces objets réside dans le résultat classique fondamental suivant:

Proposition 1.1** ([16], [6], [19]).**

Il existe des équivalences de catégories $\mathrm{Rep}_{L}\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}\cong\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E})\cong\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E}^{\dagger})\cong\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$.

Si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{A})$ et $\delta\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est un caractère, on note $e_{\delta}$ une base du module $L(\delta)$ muni d’actions de $\varphi$ et $\Gamma$ via les formules $\varphi(e_{\delta})=\delta(p)e_{\delta}$ et $\sigma_{a}(e_{\delta})=\delta(a)e_{\delta}$, $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$. On note $D(\delta)=D\otimes\delta$ le module $D\otimes_{L}L(\delta)$. Le choix de $e_{\delta}$ fournit un isomorphisme de $L$-espaces vectoriels $D\xrightarrow{\sim}D(\delta):x\mapsto x\otimes e_{\delta}$.

1.3. Sous-modules naturels de $D$

Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $d$. L’algèbre de Lie de $\Gamma$ agit sur $D$ (cf. [2, §5.1]) via l’opérateur $L$-linéaire

[TABLE]

où $\gamma\in\Gamma$ dénote un élément assez proche de $1$, ce qui définit un opérateur différentiel au-dessus de l’opérateur $\nabla=t(1+T)\frac{d}{dT}$, où $t=\log(1+T)$ dénote le $2i\pi$ de Fontaine, agissant sur $\mathscr{R}$.

Rappelons que, d’après [4, Th. I.3.3], il existe $m(D)\geq 0$ et, pour tout $s\leq r_{m(D)}:=\frac{1}{(p-1)p^{m(D)-1}}$, des uniques sous-$\mathscr{E}^{]0,s]}$-modules $D^{]0,s]}$ de $D$ tels que $D=\mathscr{R}\otimes_{\mathscr{R}^{]0,s]}}D^{]0,s]}$ et $\varphi(D^{]0,s]})\subseteq D^{]0,s/p]}$ induit un isomorphisme $\mathscr{R}^{]0,s/p]}\otimes_{\varphi,\mathscr{R}^{]0,s]}}D^{]0,s]}\to D^{]0,s/p]}:f\otimes x\mapsto f\varphi(x)$. Pour $0<r<s\leq r_{m(D)}$, on pose

[TABLE]

On a alors

[TABLE]

ce qui montre que $D$ est un espace de type $\mathrm{LF}$ (i.e limite inductive d’espaces de Fréchet).

Rappelons que l’on a des morphismes de localisation

[TABLE]

envoyant $T$ sur $\zeta_{p^{n}}e^{t/p^{n}}-1$. Pour $n\geq m(D)$ on définit

[TABLE]

[TABLE]

qui sont des $L_{n}[[t]]$ et $L_{n}((t))$-modules, respectivement, libres de rang $d$ et munis d’une action semi-linéaire de $\Gamma$. Finalement, on définit

[TABLE]

qui sont, respectivement, des $L_{\infty}((t))=\cup_{n}L_{n}((t))$ et $L_{\infty}[[t]]=\cup_{n}L_{n}[[t]]$-modules libres de rang $d$.

1.4. Théorie de Hodge $p$-adique

Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $d$. On définit (cf. [22, Def. 2.5])

[TABLE]

qui sont des $L$-espaces vectoriels de dimension finie. On munit ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ de sa filtration de Hodge, donnée par $\mathrm{Fil}^{i}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\cap t^{i}{\bf D}_{\mathrm{dif}}^{+}=(t^{i}{\bf D}_{\mathrm{dif}}^{+})^{\Gamma}$. On observe que ${{\bf D}_{\mathrm{cris}}}(D)$ est muni d’une action bijective du Frobenius $\varphi$ ainsi que d’une filtration induite par l’inclusion ${{\bf D}_{\mathrm{cris}}}(D)\subseteq{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ définie par $x\in{{\bf D}_{\mathrm{cris}}}(D)\mapsto\iota_{n}(\varphi^{n}(x))\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$, où on a noté $\iota_{n}=\varphi^{-n}\colon D^{]0,r_{n}]}[1/t]\to{{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D)$ l’application de localisation 888Il existe ici un petit abus évident en notant par $\varphi^{-n}$ deux applications différentes, l’une étant l’application de localisation notée usuellement $\iota_{n}$ et l’autre l’inverse de l’opérateur $\varphi$ agissant sur ${{\bf D}_{\mathrm{cris}}}(D)$, mais cela ne devrait pas causer problèmes de lecture.. On a

[TABLE]

où la première inégalité est évidente par ce qui précède et la dernière suit en remarquant que ${{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D)$ est un $L_{\infty}((t))$-espace vectoriel de rang $d=\mathrm{rang}_{\mathscr{R}}\;D$ et ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)=({{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D))^{\Gamma}$ est donc un $(L_{\infty}((t)))^{\Gamma}=L$-espace vectoriel de rang $\leq d$.

Definition 1**.**

Soit $D$ un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}$. On dit que $D$ est cristallin (resp. de Rham) si l’inégalité $\dim_{{\bf Q}_{p}}{{\bf D}_{\mathrm{cris}}}(D)\leq\mathrm{rang}_{\mathscr{R}}\;D$ (resp. $\dim_{{\bf Q}_{p}}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\leq\mathrm{rang}_{\mathscr{R}}\;D$) est une égalité.

Si $D$ est de Rham, on définit ses poids de Hodge-Tate comme les opposés des entiers où la filtration change, c’est-à-dire l’ensemble $\{-h\in{\bf Z}:\mathrm{Fil}^{h}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)/\mathrm{Fil}^{h+1}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\neq 0\}$.

1.5. L’équation différentielle $p$-adique ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$

Rappelons la construction de l’équation différentielle $p$-adique associée à un $(\varphi,\Gamma)$-module de de Rham.

Proposition 1.2** ([4, Th. III.2.3]).**

Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $d$, de Rham, et, pour chaque $n\geq m(D)$, posons

[TABLE]

et $\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}(D):=\varinjlim_{n}{\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}^{]0,r_{n}]}(D)$. Alors, ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$ est un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}$, de rang $d$, qui satisfait

• •

${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)[1/t]=D[1/t].$**

• •

$\mathbf{D}_{\mathrm{dif},n}^{+}({\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D))=L_{n}[[t]]\otimes_{L}\mathbf{D}_{\mathrm{dR}}(D)$* pour tout $n\geq m(D)$.*

• •

$\nabla({\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D))\subseteq t{\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D).$**

Le $(\varphi,\Gamma)$-module ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$ ainsi obtenu est de Rham à poids de Hodge-Tate tous nuls. Remarquons que l’on peut reconstruire $D$, à partir de la donnée de ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$ et de la filtration de Hodge sur ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$, en utilisant (cf. [4, §II.2] ou bien [12, §3.1]) la formule

[TABLE]

La troisième propriété caractérisant ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$ permet de définir un opérateur différentiel

[TABLE]

satisfaisant les identités $\partial\circ\varphi=p\;\varphi\circ\partial$ et $\partial\circ\sigma_{a}=a\;\sigma_{a}\circ\partial$.

1.6. $(\varphi,\Gamma)$-modules relatifs

Soit $A$ une algèbre affinoïde sur ${{\bf Q}_{p}}$. L’anneau de Robba $\mathscr{R}_{A}$ relatif à $A$ est défini en posant, pour $0<r<s\leq+\infty$,

[TABLE]

où le premier produit tensoriel est le produit tensoriel complété entre deux espaces de Banach.

Si $0<r<s\leq\frac{1}{p-1}$, on a un endomorphisme $A$-linéaire d’anneaux $\varphi\colon\mathscr{R}_{A}^{[r,s]}\to\mathscr{R}_{A}^{[r/p,s/p]}$ (resp. $\varphi\colon\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}\to\mathscr{R}_{A}^{]0,s/p]}$ et $\varphi\colon\mathscr{R}_{A}\to\mathscr{R}_{A}$) qui envoie $T$ sur $(1+T)^{p}-1$, et une action continue du groupe $\Gamma$, agissant par $\sigma_{a}(T)=(1+T)^{a}-1$, $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, sur tous les anneaux définis ci-dessus.

Si $0<r<s$, l’anneau $\mathscr{R}_{A}^{[r/p,s/p]}$ est un $\varphi(\mathscr{R}_{A}^{[r,s]})$-module libre de rang $p$, ce qui permet de définir un inverse à gauche de $\varphi$

[TABLE]

On note aussi $\psi\colon\mathscr{R}_{A}\to\mathscr{R}_{A}$ l’application qui s’en déduit.

Si $D^{]0,s]}$ est un $\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}$-module et $0<s^{\prime}<s$, on note $D^{]0,s^{\prime}]}:=D^{]0,s]}\otimes_{\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}}\mathscr{R}_{A}^{]0,s^{\prime}]}$ et $\varphi^{*}(D^{]0,s]}):=D^{]0,s]}\otimes_{\mathscr{R}_{A}^{]0,s]},\varphi}\mathscr{R}_{A}^{]0,s/p]}$.

Definition 2**.**

Un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}$ est un module projectif de type fini $D^{]0,s]}$ sur $\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}$, muni d’un isomorphisme $\mathscr{R}^{]0,s/p]}$-linéaire $\widetilde{\varphi}\colon\varphi^{*}(D^{]0,s]})\to D^{]0,s/p]}$ et d’une action semi-linéaire de $\Gamma$, commutant avec $\widetilde{\varphi}$ dans le sens évident.

Un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{A}$ est un $\mathscr{R}_{A}$-module projectif de type fini $D$ tel qu’il existe $s>0$ et un $(\varphi,\Gamma)$-module $D^{]0,s]}$ sur $\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}$ tel que $D\cong D^{]0,s]}\otimes_{\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}}\mathscr{R}_{A}$.

Soit $D^{]0,s]}$ un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{A}^{]0,s]}$. L’isomorphisme $\widetilde{\varphi}\colon\varphi^{*}(D^{]0,s]})\to D^{]0,s/p]}$ induit, pour tout $0<s^{\prime}<s$, des opérateurs semi-linéaires $\varphi\colon D^{]0,s^{\prime}]}\to D^{]0,s^{\prime}/p]}$, définis comme la composée

[TABLE]

la première flèche étant celle induite par $D^{]0,s]}\to\varphi^{*}(D^{]0,s]})\colon x\mapsto x\otimes 1$ et la deuxième étant $\widetilde{\varphi}\otimes\varphi$. L’isomorphisme $\varphi^{*}(D^{]0,s^{\prime}]})\cong D^{]0,s^{\prime}/p]}$ induit un morphisme $A$-linéaire $\psi\colon D^{]0,s^{\prime}/p]}\cong\varphi(D^{]0,s^{\prime}]})\otimes_{\varphi(\mathscr{R}_{A}^{]0,s^{\prime}]})}\mathscr{R}_{A}^{]0,s^{\prime}/p]}\to D^{]0,s^{\prime}]}$ pour tout $0<s^{\prime}\leq s$, défini par $\psi(\varphi(z)\otimes f)=z\otimes\psi(f)$. Si $D$ est un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{A}$, on a de même des opérateurs $\varphi\colon D\to D$ et $\psi\colon D\to D$.

Plus généralement, si $X$ est un espace rigide analytique sur ${{\bf Q}_{p}}$ et $r\geq 0$, on définit $\mathscr{R}_{X}^{]0,r]}$ comme le faisceau des fonctions rigides analytiques sur $X\times B_{]0,r]}$, $\mathscr{R}_{X}=\varinjlim_{r<0}\mathscr{R}_{X}^{]0,r]}$ et un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{X}$ est une collection compatible de $(\varphi,\Gamma)$-modules sur $\mathscr{R}_{A}$ pour chaque ouvert admissible $\mathrm{Sp}(A)$ de $X$.

1.7. Cohomologie des $(\varphi,\Gamma)$-modules

Soient $A$ une algèbre affïnoide sur ${{\bf Q}_{p}}$ et $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R}_{A})$. On note $\Gamma^{\prime}\subseteq\Gamma$ la partie de $p$-torsion de $\Gamma$ (qui est triviale si $p\neq 2$ et cyclique d’ordre $2$ quand $p=2$). Soit $\gamma\in\Gamma$ tel que son image dans $\Gamma/\Gamma^{\prime}$ en est un générateur topologique. On pose $\gamma_{0}=\gamma$ et, pour $n\geq 1$, $\gamma_{n}$ un générateur topologique de $\Gamma_{n}$. Pour $\delta\in\{\varphi,\psi\}$ et $\gamma^{\prime}\in\{\gamma_{n}:n\geq 0\}$, on note $D^{\prime}=D^{\Gamma^{\prime}}$ si $n=0$ et $D^{\prime}=D$ si $n\geq 1$, et on définit le complexe

[TABLE]

où les flèches sont données, respectivement, par $x\mapsto((\delta-1)x,(\gamma^{\prime}-1)x)$ et $(x,y)\mapsto(\gamma^{\prime}-1)x-(\delta-1)y$. Les modules $H_{\delta,\gamma^{\prime}}^{\bullet}({{\bf Q}_{p}},D)$ sont définis comme les groupes de cohomologie de ce complexe.

Proposition 1.3** ([20, Prop. 2.3.6 et Th. 4.4.2]).**

Soient $A$ une algèbre affïnoide sur ${{\bf Q}_{p}}$ et $D$ un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{A}$. Les complexes $\mathscr{C}_{\varphi,\gamma^{\prime}}(D)$ et $\mathscr{C}_{\psi,\gamma^{\prime}}(D)$ sont quasi-isomorphes et les groupes de cohomologie $H^{i}_{\varphi,\gamma^{\prime}}(D)$ sont des $A$-modules de type fini, compatibles au changement de base. On a une dualité locale et une formule de Euler-Poincaré.

1.8. Cohomologie d’Iwasawa des $(\varphi,\Gamma)$-modules

Soit $\Lambda={{\bf Z}_{p}}[[\Gamma]]$ l’algèbre d’Iwasawa de $\Gamma$. Si l’on choisit un isomorphisme $\Gamma=\Gamma^{\rm tors}\times\widetilde{\Gamma}$, où $\Gamma^{\rm tors}$ désigne la partie de torsion de $\Gamma$ et $\widetilde{\Gamma}\cong 1+2p{{\bf Z}_{p}}$ via le caractère cyclotomique, on obtient un isomorphisme $\Lambda\cong{{\bf Z}_{p}}[\Gamma^{\rm tors}]\otimes_{{\bf Z}_{p}}{{\bf Z}_{p}}[[\widetilde{\Gamma}]]$. Soit $\gamma$ un générateur topologique de $\widetilde{\Gamma}$ et notons $[\gamma]$ son image dans $\Lambda$. On obtient un isomorphisme $\Lambda\cong{{\bf Z}_{p}}[\Gamma^{\rm tors}]\otimes_{{\bf Z}_{p}}{{\bf Z}_{p}}[[T]]$ en envoyant $[\gamma]$ sur $1+T$.

Soit $\Lambda_{\infty}:=\mathscr{R}^{+}(\Gamma)$ l’algèbre de distributions sur $\Gamma$. Précisément, on obtient $\mathscr{R}^{+}(\Gamma)$ en remplaçant la variable $T$ par $[\gamma]-1$ dans la définition de $\mathscr{R}^{+}$. On peut de la sorte définir les anneaux $\Lambda_{n}=\mathscr{R}^{[r_{n},+\infty]}(\Gamma)$ et on a $\Lambda_{\infty}=\varprojlim_{n}\Lambda_{n}.$ Le choix de l’isomorphisme $\Lambda\cong{{\bf Z}_{p}}[\Gamma^{\rm tors}]\otimes_{{\bf Z}_{p}}{{\bf Z}_{p}}[[T]]$ fait que $\Lambda_{n}$ s’identifie aux fonction analytiques sur la boule $v_{p}(T)\geq r_{n}$ et $\Lambda_{\infty}$ à celui des fonctions analytiques sur la boule ouverte unité. Ce dernier espace s’identifie à l’anneau $H^{0}(\mathfrak{X},\mathcal{O})$ des sections globales sur l’espace des poids $p$-adiques, et aussi, par le théorème d’Amice (cf. [27, Th. 2.2]) à l’espace des distributions $\mathscr{D}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$ sur ${\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ à valeurs dans $L$ 999Soit $\mathrm{LA}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)=\varinjlim_{n>0}\mathrm{LA}_{n}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$ l’espace des fonctions localement analytiques sur ${\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ à valeurs dans $L$, où $\mathrm{LA}_{n}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$ dénote l’espace des fonctions continues $f\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L$ admettant, pour tout $x\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, un développent en séries des puissances autour $x$ convergeant sur la boule $B(x,n)=\{z\in{{\bf C}_{p}}:v_{p}(z-x)\geq n\}$. Chaque $\mathrm{LA}_{n}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$, muni de la valuation $v_{\mathrm{LA}_{n}}(f):=\inf_{x\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}}\inf_{z\in B(x,n)}v_{p}(f(z))$, est un espace de Banach, et l’on munit $\mathrm{LA}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$ de la topologie de la limite inductive. L’espace des distributions $\mathscr{D}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$ est défini comme le dual continu de $\mathrm{LA}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$, muni de la topologie forte. Si $\mu\in\mathscr{D}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$ et $\phi\in\mathrm{LA}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},L)$, on note $\int_{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\phi\cdot\mu$ l’évaluation de $\mu$ en $\phi$. Cf. [9, §I.4] pour plus de détails.

1.8.1. Déformation cyclotomique

On note (cf. [20, Def. 4.4.7]) $\Lambda_{n}^{\iota}$ le module $\Lambda_{n}$ muni de l’action de $\Gamma$ via $\gamma(f)=[\gamma^{-1}]f$, $\gamma\in\Gamma$ et $f\in\Lambda_{n}$. On définit

[TABLE]

Plus généralement, si $D$ est un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}$, on définit sa déformation cyclotomique par

[TABLE]

Les actions $\varphi$, $\psi$ et $\Gamma$ sont données par les formules

[TABLE]

pour $x\in D$, $\lambda\in\Lambda_{\infty}$ et $\gamma\in\Gamma$. Le module $\mathbf{Dfm}(D)$ est un $(\varphi,\Gamma)$-module sur l’anneau $\mathscr{R}_{\mathfrak{X}}=\varprojlim_{n}\mathscr{R}_{\mathfrak{X}_{n}}$ de Robba relatif à l’espace des poids 101010Rappelons d’abord que $\mathscr{R}_{\mathfrak{X}_{n}}=\mathscr{R}\widehat{\otimes}\Lambda_{n}=\varinjlim_{s}\varprojlim_{r}\mathscr{R}^{[r,s]}\widehat{\otimes}\Lambda_{n}$ et que $\Gamma$ agit trivialement sur le deuxième facteur. Si $x\otimes\lambda\in D\widehat{\otimes}\Lambda_{n}^{\iota}$, $f\otimes\mu\in\mathscr{R}_{\mathfrak{X}_{n}}\cong\mathscr{R}\widehat{\otimes}\Lambda_{n}$ et $\gamma\in\Gamma$, alors on a

$\displaystyle\gamma((f\otimes\mu)(x\otimes\lambda))$ $\displaystyle=$ $\displaystyle\gamma(fx\otimes\mu\lambda)=\gamma(fx)\otimes[\gamma^{-1}]\lambda\mu$

$\displaystyle=$ $\displaystyle(\gamma(f)\otimes\mu)(\gamma(x)\otimes[\gamma^{-1}]\lambda)=\gamma(f\otimes\mu)\gamma(x\otimes\lambda),$

ce qui montre que l’action de $\Gamma$ est semi-linéaire, et donc $\mathbf{Dfm}(D)$ est bien un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}_{\mathfrak{X}}$ comme défini dans §1.6..

1.8.2. Cohomologie d’Iwasawa analytique

On définit la cohomologie d’Iwasawa (analytique) de $D$ comme

[TABLE]

Ce sont, d’après la proposition 1.3, des $\Lambda_{\infty}$-modules de type fini.

Si $\eta\colon\Gamma\to L^{\times}$ est un caractère, le changement de base par rapport à $f_{\eta}\colon\Lambda_{\infty}\to L:[\gamma]\mapsto\eta^{-1}(\gamma)$ fournit un isomorphisme

[TABLE]

Si $\mu\in H^{i}_{\rm Iw}(D)$, cet isomorphisme induit des morphismes de spécialisation

[TABLE]

la notation étant justifiée par l’interprétation classique de la cohomologie d’Iwasawa en termes des distributions 111111Rappelons que, si $V\in\mathrm{Rep}_{L}\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ et si $D={\bf D}_{\rm rig}(V)\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ est le $(\varphi,\Gamma)$-module associé à $V$ par l’équivalence de catégories de Fontaine-Kedlaya, alors $H^{i}_{\rm Iw}(D)=H^{i}({{\bf Q}_{p}},\mathscr{D}(\Gamma,V))$ (cf. [20, Cor. 4.4.11] et [8, Prop. II.1.8]). Dans ce cas-là, on peut voir un élément dans $H^{i}_{\rm Iw}(D)$ comme un cocycle à valeurs dans $\mathscr{D}({\mathbf{Z}_{p}^{\times}},V)$ et, si $\eta\colon\Gamma\to L^{\times}$ est un caractère continu, on en déduit une application de spécialisation $H^{i}_{\rm Iw}(D)\to H^{i}({{\bf Q}_{p}},V(\eta))\cong H^{i}(D(\eta))$ envoyant un cocycle $g\mapsto\mu_{g}$ vers le cocycle $g\mapsto\int_{\Gamma}\eta\cdot\mu_{g}$ (cf. [8, §II.1] pour plus de détails).

1.8.3. Cohomologie d’Iwasawa et $(\varphi,\Gamma)$-modules

Si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$, on définit le complexe $\mathscr{C}^{\bullet}_{\psi}(D)$, concentré en $[1,2]$, par

[TABLE]

Le complexe $\mathscr{C}^{\bullet}_{\psi}(D)$ appartient à ${\bf D}^{[0,2]}_{\rm perf}(\Lambda_{\infty})$ et calcule la cohomologie d’Iwasawa de $D$ (cf. [20, Th. 4.4.8]). On a, en particulier, un isomorphisme

[TABLE]

dont l’inverse est donnée par $z\mapsto[\frac{p-1}{p}\log(\chi(\gamma))(z\otimes 1),0]$ 121212Si $p=2$, il faut appliquer à $z$ le projecteur naturel sur le sous espace d’éléments $\Gamma^{\prime}$-invariants. On évitera ce cas-ci, se traitant de la même manière mais avec une complication technique supplémentaire. .

Si $z\in D^{\psi=1}$, on note, afin d’alléger les notation, $\mu_{z}$ l’élément $(\mathrm{Exp}^{*})^{-1}(z)\in H^{1}_{\rm Iw}({{\bf Q}_{p}},D)$. Si $n\geq 0$, on a (cf. [10, §VIII.1.3] ou [24, §2.2.3, Eq. (6)]) la formule pour la spécialisation

[TABLE]

Terminons en mentionnant que $\eta$ induit un automorphisme sur $\Lambda_{\infty}$ donné par $\eta([\gamma])=\eta(\gamma)^{-1}\cdot[\gamma]$, ce qui induit un isomorphisme de $(\varphi,\Gamma)$-modules $\mathbf{Dfm}(D)\cong\mathbf{Dfm}(D(\eta))$, donné par $x\otimes[\gamma]\mapsto(x\otimes e_{\eta})\otimes\eta(\gamma)^{-1}[\gamma]$, et donc un isomorphisme de $\Lambda_{\infty}$-modules

[TABLE]

On a, par exemple,

[TABLE]

1.9. Dual de Tate et résidus

Soit $\mathscr{A}\in\{\mathscr{E},\mathscr{R}\}$, soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{A})$ et notons $\omega_{D}=(\mathrm{det}_{D})\chi^{-1}$. On définit le dual de Tate de $D$ comme {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}=\mathrm{Hom}_{\varphi,\Gamma}(D,\mathscr{A}\frac{dT}{1+T}), où $\mathscr{A}\frac{dT}{1+T}$ est le $(\varphi,\Gamma)$-module étale libre de rang $1$ de base $\frac{dT}{1+T}$ sur lequel $\varphi$ et $\Gamma$ agissent par les formules $\gamma(\frac{dT}{1+T})=\chi(\gamma)\frac{dT}{1+T}$ si $\gamma\in\Gamma$, $\varphi(\frac{dT}{1+T})=\frac{dT}{1+T}$. On note

[TABLE]

l’accouplement naturel. Si $D$ est de dimension $2$, on a une identification {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}=D\otimes\omega_{D}^{-1}.

Si $f=\sum_{n\in{\bf Z}}a_{n}T^{n}\in\mathscr{A}$, on pose $\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_{0}(fdT)=a_{-1}$. Si x\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}} et $y\in D$, la formule

[TABLE]

définit un accouplement parfait \{\;,\;\}:{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}\times D\to L identifiant

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}$

$\textstyle D$ au dual topologique $D^{*}$ de $D$. Si $D$ est de dimension $2$, on a, sous l’identification {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}=D\otimes\omega_{D}^{-1}, la formule 131313On voit ici l’élément $e_{\omega_{D}^{-1}}$ comme $e_{\mathrm{det}_{D}}^{-1}dT$, de sorte que, si $\sigma_{-1}(x)\wedge y=f\cdot e_{\mathrm{det}_{D}}$, alors $(\sigma_{-1}(x)\wedge y)\otimes e_{\omega_{D}^{-1}}=fdT$.

[TABLE]

et on note $[x,y]:=\{x\otimes e_{\omega_{D}^{-1}},y\}$.

1.10. Dualité locale

Considérons, d’ici jusqu’à la fin de cette section, $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E})$ et $D_{\rm rig}\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ correspondant à $D$ par l’équivalence de catégories de Kedlaya entre $\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E})$ et $\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$. Les accouplements introduits ci-dessous seront utilisés dans la dernière partie de cet article. Pour une référence pour tout ce qui suit, cf. [11] et [10]. Notons $\gamma=\gamma_{0}$ dans la suite. Notons, pour $i\in\{0,1\}$,

[TABLE]

l’accouplement local. Un calcul avec le complexe de Herr et l’isomorphisme de Fontaine nous permet d’exprimer l’accouplement local en termes des $(\varphi,\Gamma)$-modules:

Lemme 1.4** ([10, §VIII.1.3]).**

Soient {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}_{(\rm rig)}^{\psi=1}, $z\in D_{(\rm rig)}^{\psi=1}$ et $\eta:\Gamma\to L^{\times}$ est un caractère continu. Alors

[TABLE]

1.11. Applications exponentielles

Si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ est de Rham et $n\geq 0$, on note

[TABLE]

[TABLE]

les applications exponentielle et exponentielle duale de Bloch-Kato comme définies dans [22, §2.3, §2.4.]. Quand cela ne pose pas de problèmes, on omettra les indices dans les notations des applications exponentielles.

1.11.1. Description de l’application exponentielle

Explicitement ([22, Lem. 2.12(1)]), si $x\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)=({\bf D}_{\mathrm{dif}}(D))^{\Gamma}$, alors il existe $m$ tel que $x\in{\bf D}_{\mathrm{dif},m}(D)$, et il existe aussi $\tilde{x}\in D^{]0,r_{m}]}[1/t]$ tel que $\varphi^{-k}(\tilde{x})-x\in{\bf D}_{\mathrm{dif},k}^{+}(D)$ pour tout $k\geq m$. Alors on a

[TABLE]

On remarque que l’application $\exp_{D}$ est nulle sur $\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$.

1.11.2. Description de l’application exponentielle duale

Si $M$ est un module muni d’une action de $\Gamma$, et $\gamma^{\prime}\in\{\gamma_{n}:n\geq 0\}$, on pose 141414Comme précédemment, $M^{\prime}=M^{\Gamma^{\prime}}$ si $\gamma^{\prime}=\gamma_{0}$ et $M^{\prime}=M$ autrement.

[TABLE]

et on définit les groupes de cohomologie $H^{i}_{\gamma^{\prime}}(M)=H^{i}(C^{\bullet}_{\gamma^{\prime}}(M))$. Par exemple, si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ et $n\geq 0$, alors

[TABLE]

Si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ est de Rham et $n\geq 0$, on a un isomorphisme $L_{\infty}((t))\otimes_{L_{n}}(L_{n}\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D))\cong{\bf D}_{\mathrm{dif}}(D)$ et l’application $L_{n}\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\to H^{1}_{\gamma_{n}}({\bf D}_{\mathrm{dif}}(D))$ qui envoie $x\in L_{n}\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ vers la classe de cohomologie $[\log\chi(\gamma_{n})(1\otimes x)]\in H^{1}_{\gamma_{n}}({\bf D}_{\mathrm{dif}}(D))$ est un isomorphisme (cf. [22], juste avant le lemme 2.14). De plus, on a une application naturelle $H^{1}_{\varphi,\gamma_{n}}(D)\to H^{1}_{\gamma_{n}}({{\bf D}_{\mathrm{dif}}^{+}}(D))\to H^{1}_{\gamma_{n}}({{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D))$ définie par $[(x,y)]\mapsto[\varphi^{-m}x]$, où $m\gg 0$ et $[\cdot]$ dénote la classe de cohomologie correspondante. On définit

[TABLE]

comme la composition $H^{1}_{\varphi,\gamma_{0}}(D)\to H^{1}_{\gamma_{0}}({{\bf D}_{\mathrm{dif}}^{+}}(D))\to H^{1}_{\gamma_{0}}({{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D))\xrightarrow{\sim}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$. Remarquons que, par construction, l’image de $\exp^{*}_{D}$ tombe dans $\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$.

Les applications exponentielle et exponentielle duale sont l’une l’adjointe de l’autre par rapport à la dualité de Tate et à la dualité de Poincaré. Plus précisément, on note

[TABLE]

l’accouplement induit par la dualité entre {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}_{(\rm rig)} et $D_{(\rm rig)}$ composé avec la trace de Tate normalisée. On a alors le résultat suivant.

Lemme 1.5** ([22, Prop. 2.16]).**

Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de de Rham et soient x\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}), $y\in H^{1}_{\varphi,\gamma}(D)$. Alors

[TABLE]

1.12. Lois de réciprocité

On rappelle à continuation les formules permettant d’exprimer l’image par les applications exponentielle et exponentielle duale des différentes spécialisations d’un élément dans la cohomologie d’Iwasawa en termes des $(\varphi,\Gamma)$-modules, normalement connues sous le nom de ‘lois de réciprocité explicite’.

Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de Rham. Si $z\in D^{\psi=1}$, le diagramme commutatif

[TABLE]

où $n\geq m(D)$, montre que les valeurs

[TABLE]

ne dépendent pas de $m$ assez grand, où, pour $\sum_{n\in{\bf Z}}a_{n}t^{n}\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\otimes L_{n}((t))$, l’on note $[\sum_{n\in{\bf Z}}a_{n}t^{n}]_{0}=a_{0}$.

Proposition 1.6**.**

Soit $h\in{\bf Z}$ tel que $\mathrm{Fil}^{-h}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ et soient $z\in D^{\psi=1}$ et $j\geq-h$. On a alors l’égalité suivante dans ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(-j))$:

[TABLE]

Démonstration.

Voir [7, Th. IV.2.1] ou [3, Th. II.6] ou [22, Th. 3.10(2)]. ∎

Remarque 1.7*.*

On a une identification ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(-j))={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}$, où $\mathbf{e}^{\rm dR}_{-j}=t^{j}e_{-j}$ est l’élément défini dans l’introduction (cf. aussi §2.1.1 plus tard). Observons que $\varphi^{-m}(z\otimes e_{-j})=\varphi^{-m}z\otimes e_{-j}$ et que, si $\varphi^{-n}z=\sum_{l\geq 0}a_{l}t^{l}$, $a_{l}\in L_{m}\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$, alors

[TABLE]

Proposition 1.8**.**

Supposons que $D$ est à poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 0$ et soient $z\in D^{\psi=1}$ et $j\geq 1$. On a alors l’égalité suivante dans ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))$:

[TABLE]

Démonstration.

Voir [3, Th. II.3] ou [22, Th. 3.10(1)]. ∎

Remarque 1.9*.*

On a une identification ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}$. Si $\varphi^{-m}(\partial^{-j}z)=\sum_{l\geq 0}b_{l}t^{l}$, $b_{l}\in L_{m}\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$, on a

[TABLE]

1.13. Accouplement d’Iwasawa

Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E})$ et soient $\mathscr{C}=\mathscr{C}(D)=(1-\varphi)D^{\psi=1}\subseteq D^{\psi=0}$ le cœur de $D$ et {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}=(1-\varphi){\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}^{\psi=1} celui de

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}$

$\textstyle D$ . Ce sont des sous-$\Lambda$-modules libres de rang $d$ et l’application naturelle $\mathscr{E}(\Gamma)\otimes_{\Lambda}\mathscr{C}\to D^{\psi=0}$ (resp. \mathscr{E}(\Gamma)\otimes_{\Lambda}{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}\to{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}^{\psi=0}) est un isomorphisme (cf. [11, Corollaire VI.1.3(ii)]). Ces espaces sont les orthogonaux l’un de l’autre pour l’accouplement \{\;,\;\}\colon{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}\times D\to L défini dans §1.9 ([11, Lem. VI.1.1]). Pour x\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}, $y\in\mathscr{C}$, la formule

[TABLE]

définit un accouplement

[TABLE]

qui identifie

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}$

$\textstyle\mathscr{C}$ à $\mathrm{Hom}_{\Lambda}(\mathscr{C},\Lambda)$ ([11, Prop. VI.1.2]).

L’accouplement défini ci-dessus est l’analogue de l’accouplement usuel dans la théorie d’Iwasawa (\;,\;)_{\rm Iw}:H^{1}_{\rm Iw}({{\bf Q}_{p}},{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.05556pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.63889pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle V}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.02777pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle V}}}}})\times H^{1}_{\rm Iw}({{\bf Q}_{p}},V)\to\Lambda dans le sens que ([10, Rem. VIII.1.5])

[TABLE]

pour tous z\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}^{\psi=1}, $z^{\prime}\in D^{\psi=1}$ et où $\mathrm{Exp}^{*}:H^{1}_{\rm Iw}({{\bf Q}_{p}},V)\to D^{\psi=1}$ dénote l’isomorphisme de Fontaine ([7, Th. II.1.3]).

Si $\eta\in\mathfrak{X}(L)$, l’application 151515Les éléments $e_{\eta}$ et $e_{\eta^{-1}}$ dénotent des bases des modules $L(\eta)$ $L(\eta^{-1})$, munies d’une action triviale de $\varphi$ et d’une action de $\Gamma$ donnée par $\sigma_{a}(e_{\eta})=\eta(a)\cdot e_{\eta}$, $\sigma_{a}(e_{\eta^{-1}})=\eta^{-1}(a)\cdot e_{\eta^{-1}}$, $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$. Ces éléments apparaîtront très souvent dans le texte. $x\mapsto x\otimes e_{\eta}$ (resp. $x\mapsto x\otimes e_{\eta}^{-1}$) induit un isomorphisme de $\mathscr{C}(D)$ (resp. {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}(D)) sur $\mathscr{C}(D\otimes\eta)$ (resp. {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}(D\otimes\eta)) et on a ([11, Prop. VI.1.4])

[TABLE]

où $m_{\eta^{-1}}$ dénote la ‘multiplication par $\eta^{-1}$’ d’une mesure, i.e., si \big{(}\sum_{i\in{\bf Z}/p^{n}{\bf Z}}\alpha_{n,i}[\sigma_{i}]\big{)}_{n\in{\bf N}}\in\Lambda, alors on a m_{\eta^{-1}}\big{(}\sum_{i\in{\bf Z}/p^{n}{\bf Z}}\alpha_{n,i}[\sigma_{i}]\big{)}_{n\in{\bf N}}=\big{(}\sum_{i\in{\bf Z}/p^{n}{\bf Z}}\eta^{-1}(i)\alpha_{n,i}[\sigma_{i}]\big{)}_{n\in{\bf N}}.

Notons $\mathscr{C}_{\rm rig}=(1-\varphi)D_{\rm rig}^{\psi=1}$ et {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}_{\rm rig}=(1-\varphi){\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}_{\rm rig}^{\psi=1}. On a des isomorphismes $\mathscr{C}_{\rm rig}\cong\mathscr{R}^{+}(\Gamma)\otimes_{\Lambda}\mathscr{C}$, \mathscr{{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.86249pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle C}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.86249pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle C}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.50374pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle C}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.93124pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle C}}}}}}_{\rm rig}\cong\mathscr{R}^{+}(\Gamma)\otimes_{\Lambda}\mathscr{{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.86249pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle C}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.86249pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle C}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.50374pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle C}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.93124pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle C}}}}}} ([10, Prop. V.1.18]), qui permettent d’étendre par linéarité l’accouplement d’Iwasawa en un accouplement

[TABLE]

Le lemme suivant nous fournit une description des différentes spécialisations de l’accouplement d’Iwasawa en termes des $(\varphi,\Gamma)$-modules:

Lemme 1.10** ([11, Corollaire VI.1.5]).**

Soient x\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=7.22223pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.05556pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\mathscr{C}}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=3.61111pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\mathscr{C}}}}}}_{\rm rig}, $y\in\mathscr{C}_{\rm rig}$ et $\eta\colon\Gamma\to L^{\times}$ un caractère continu. Alors

[TABLE]

On aura besoin plus tard du lemme suivant:

Lemme 1.11**.**

*Soient {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}_{\rm rig}^{\psi=1}, $z\in D_{\rm rig}^{\psi=1}$ et $\eta:\Gamma\to L^{\times}$ un caractère localement constant. On a *

[TABLE]

Démonstration.

Par le lemme 1.10, on a

[TABLE]

En utilisant le lemme 1.4, on obtient

[TABLE]

Or, si $j\ll 0$ (resp. $j\gg 0$), l’application exponentielle (resp. exponentielle duale) de Bloch-Kato pour {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(\eta\chi^{-j}) est bijective. Si, par exemple, $j\ll 0$, ceci nous permet d’écrire

[TABLE]

où la dernière égalité suit de l’adjonction (lemme 1.5 appliqué à $D(\eta^{-1}\chi^{j})$, dont le dual de Tate s’identifie à {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(\eta\chi^{-j})) entre les applications exponentielles. Le cas $j\gg 0$ se traitant de la même manière, ceci nous permet de conclure. ∎

2. Correspondance de Langlands $p$-adique et équation fonctionnelle en dimension $2$

Nous nous inspirons des idées de Nakamura ([24]) et des techniques de changement de poids de Colmez ([12]) pour démontrer, dans cette section, une équation fonctionnelle au niveau de la théorie d’Iwasawa d’un $(\varphi,\Gamma)$-module de rang $2$.

2.1. Notations

Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de dimension $2$, de Rham à poids de Hodge-Tate [math] et $k$ que l’on suppose non triangulin 161616Rappelons qu’un $(\varphi,\Gamma)$-module sur $\mathscr{R}$ de rang $2$ est dit triangulin si il est obtenu comme extension de deux $(\varphi,\Gamma)$-modules de rang $1$. D’après [19], tout $(\varphi,\Gamma)$ module de rang $2$ sur $\mathscr{R}$ est étale à torsion près par un caractère ou triangulin. Comme on le verra dans le texte (cf. la preuve du théorème 3.4), le théorème principal de cet article (théorème 2.21) est équivalent au fait que l’isomorphisme proposé par Nakamura interpole l’isomorphisme de de Rham (cf. Conjecture 3.1(5) ainsi que §3.4); pour le cas d’un $(\varphi,\Gamma)$-module triangullin, la conjecture, et donc nos résultats, sont connus ([23, Corollay 3.12], [24, Corollary 3.10]) pour n’importe quel $(\varphi,\Gamma)$-module triangulin, ce qui fait que l’hypothèse de non triangularité ne soit pas vraiment restrictive. et notons $\Delta={\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$, qui est à poids de Hodge-Tate tous nuls. Comme les poids de Hodge-Tate de $D$ sont [math] et $k$, et ceux de $\Delta$ sont nuls, le caractère $\mathrm{det}_{\Delta}$ est localement constant et $\omega_{D}=\omega_{\Delta}x^{k}$ (et $\mathrm{det}_{D}=x^{k}\mathrm{det}_{\Delta}$). Notons $e_{D}=e_{\mathrm{det}_{D}}$.

2.1.1. Bases et modules de de Rham

On aura besoin de jongler un peu avec des éléments habitant dans le module de de Rham des différents tordus de $D$ et de son dual de Tate et les identifications suivantes permettront de voir tous ces éléments dans ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$. Soit $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère localement constant (vu comme un caractère de ${\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$ en posant $\eta(p)=1$). L’élément $G(\eta)e_{\eta}\in L_{\infty}$ est fixé par l’action de $\Gamma$ et on a donc un isomorphisme ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\eta))=(L_{\infty}((t))\cdot e_{\eta})^{\Gamma}=L\cdot G(\eta)e_{\eta}$, ce qui nous fournit un générateur $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta}=G(\eta)e_{\eta}$ de ce module. Si $j\in{\bf Z}$, on rappelle que l’on a noté $e_{j}=e_{\chi^{j}}$ une base du module $L(\chi^{j})$, de sorte que $\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}=t^{-j}e_{j}$ est une base de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\chi^{j}))$. Notons

[TABLE]

qui est une base de $L(\eta\chi^{j})$. L’élément

[TABLE]

constitue une base du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\eta\chi^{j}))$.

Si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ est de Rham, alors $D(\eta\chi^{j})$ l’est aussi et on a, par ce qui précède,

[TABLE]

de sorte que l’application $x\mapsto x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,j}$ induit un isomorphisme ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\xrightarrow{\sim}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(\eta\chi^{j}))$.

2.1.2. Bases et duaux

Enfin, on note $e_{\eta}^{\vee}=e_{\eta^{-1}}$, $e_{j}^{\vee}=e_{-j}$ les éléments duaux, respectivement, de $e_{\eta}$ et $e_{j}$, ainsi que

[TABLE]

base du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\eta^{-1}\chi^{-j}))$. L’application $x\mapsto x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,j}$ induit un isomorphisme ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(\eta\chi^{j})^{*})\xrightarrow{\sim}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ et on a $x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,j}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,j}=x$ pour tout $x\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$.

Fixons une base $f_{1},f_{2}$ de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ et notons

[TABLE]

le produit scalaire défini par la formule $\langle a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2},b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}\rangle_{\rm dR}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$.

L’isomorphisme $\wedge^{2}D=(\mathscr{R}\frac{dT}{1+T})\otimes\omega_{D}$ induit un isomorphisme $\wedge^{2}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}((\mathscr{R}\frac{dT}{1+T})\otimes\omega_{D})=(t^{-k}L_{\infty}e_{D})^{\Gamma}$. On définit $\Omega\in L_{\infty}$ par la formule $f_{1}\wedge f_{2}=(t^{k}\Omega)^{-1}e_{D}$, ce qui nous permet de fixer les bases $(t^{k}\Omega)^{-1}e_{D}$ et $t^{k}\Omega e_{D}^{\vee}$ du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\wedge^{2}D)$ et de son dual. On fixe aussi les bases $\mathrm{e}^{\rm dR}_{\omega_{D}}=(t^{k-1}\Omega)^{-1}e_{\omega_{D}}$ et $\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\omega_{D}}=(t^{k-1}\Omega)e_{\omega_{D}}^{\vee}$ du module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\omega_{D}))$ et de son dual.

Afin d’alléger les notations dans les calculs futurs, notons, pour $\eta$ comme ci-dessus et $j\in{\bf Z}$,

[TABLE]

bases de $L(\eta\chi^{j}\omega_{D}^{-1})$ et $L(\eta\chi^{j})$ respectivement, et leurs duales

[TABLE]

ainsi que des bases des module ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\eta\chi^{j}\omega_{D}^{-1}))$ et ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\mathscr{R}(\eta\chi^{j}))$

[TABLE]

[TABLE]

et leurs duales

[TABLE]

[TABLE]

et les variantes évidentes que l’on puisse imaginer.

Par exemple, si $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est un caractère d’ordre fini, si $j\geq 0$ et si x\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(\eta\chi^{-{j}})), on écrira $x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{D}^{\vee}}\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ l’image de $x$ par l’isomorphisme

[TABLE]

et de même, si $x\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(\eta^{-1}\chi^{j}))$, on notera $x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta^{-1},j}\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ l’image de $x$ par l’isomorphisme

[TABLE]

Remarque 2.1*.*

• •

Les bases des modules de de Rham, vues comme des éléments dans $L_{\infty}((t))\cdot e_{\xi}$ pour un certain caractère $\xi\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$, héritent une action de l’opérateur $\varphi$ (y agissant sur $L_{\infty}((t))$ $L_{\infty}$-linéairement et via $\varphi(t)=pt$ et sur $e_{\xi}$ par $\varphi(e_{\xi})=\xi(p)e_{\xi}$). On a, par exemple,

[TABLE]

[TABLE]

• •

Il faut faire un peu d’attention et distinguer le caractère identité $x$ et le caractère cyclotomique $\chi=x|x|$. Les deux coïncident sur ${\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ mais $\chi(p)=1$, tandis que le premier prend la valeur $p$. Par exemple, $\Gamma$ agit trivialement sur l’élément $e_{j}\otimes e_{x^{j}}^{\vee}$ mais $\varphi(e_{j}\otimes e_{x^{j}}^{\vee})=p^{-j}\;e_{j}\otimes e_{x^{j}}^{\vee}$.

2.2. Représentations lisses de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$

Dans cette section, on énonce quelques résultats classiques de la théorie des représentations lisses de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ dont on aura besoin dans la suite. La référence principale est [5].

2.2.1. Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_{1}$

Commençons par rappeler la définition des facteurs locaux associés à un caractère. Soit $\eta\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère continu. On dit que $\eta$ est non ramifié si sa restriction à ${\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ est triviale et il est ramifié dans le cas contraire. On définit son conducteur par $1$ s’il est non ramifié, et par $p^{n}$, où $n$ est le plus petit entier tel que la restriction $\eta\mid_{1+p^{n}{{\bf Z}_{p}}}$ soit triviale, dans le cas contraire. Le choix d’un système compatible $(\zeta_{p^{n}})_{n\geq 0}$ de racines de l’unité nous permet de fixer un caractère additif $\psi\in\mathrm{Hom}({{\bf Q}_{p}},L^{\times}_{\infty})$ de niveau [math] (i.e $\ker\psi={{\bf Z}_{p}}$) par la formule $\psi(x)=\zeta_{p^{n}}^{p^{n}x}$ pour n’importe quel $n\geq-v_{p}(x)$. Fixons aussi $\mu$ la mesure de Haar sur ${{\bf Q}_{p}}$ telle que $\mu({{\bf Z}_{p}})=1$. Soit $\mu^{*}$ une mesure de Haar de ${\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$. Pour $\phi\in\mathrm{LC}_{\rm c}({{\bf Q}_{p}},L)$ une fonction localement constante à support compact dans ${{\bf Q}_{p}}$, la fonction 171717On fixe un isomorphisme $\overline{{\bf Q}}_{p}\cong{\bf C}$, de sorte que l’on puisse voir une extension finie $L$ de ${{\bf Q}_{p}}$ comme un sous-corps de ${\bf C}.$

[TABLE]

converge pour $\mathrm{Re}\;s\gg 0$ et admet un prolongement analytique à ${\bf C}$ tout entier. Les facteurs $L$ et $\varepsilon$ associés à $\eta$ sont donnés par les formules 181818 cf. [5, §23.4] pour la première formule et [5, §23.5 Th., Lem. 1] pour se ramener au cas du caractère $\psi$ de niveau zero pour la deuxième.

[TABLE]

[TABLE]

Le facteur epsilon satisfait l’équation fonctionnelle

[TABLE]

Enfin, on a une équation fonctionnelle pour tout $\phi\in\mathrm{LC}_{\rm c}({{\bf Q}_{p}},L)$, où les deux membres sont des polynômes en $p^{-s}$,

[TABLE]

où $\hat{\phi}=\int_{{\bf Q}_{p}}\phi(y)\psi(xy)d\mu(y)$ dénote la transformée de Fourier de $\phi$. On notera dans la suite $\varepsilon(\eta):=\varepsilon(\eta,1/2)=p^{-n/2}\eta(p)^{n}G(\eta^{-1})$.

2.2.2. Facteurs epsilon pour $\mathrm{GL}_{2}$

Soit $\pi$ une représentation lisse irréductible de $G=\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ à coefficients dans ${\bf C}$ et notons

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.70027pt}$

$\textstyle\pi$ sa contragrédiente. Notons $K=\mathrm{M}_{2}({{\bf Z}_{p}})$ et $A=\mathrm{M}_{2}({{\bf Q}_{p}})$, $\mathrm{LC}_{\rm c}(A,L)$ les fonctions localement constantes à support compact dans $A$ et $\mathfrak{C}(\pi)$ l’espace des coefficients de la représentation $\pi$: c’est le $L$ espace vectoriel engendré par les fonctions g\in G\mapsto\langle{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.20601pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle v}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.20601pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle v}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.64421pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle v}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.603pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle v}}}}},g\cdot v\rangle, v\in\pi,{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.20601pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle v}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.20601pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle v}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.64421pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle v}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.603pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle v}}}}}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.70027pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\pi}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.70027pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\pi}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.99019pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\pi}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.85013pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\pi}}}}}. Si $\eta\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est un caractère localement constant, on note $\pi\otimes\eta$ 191919On voit $e_{\eta}$ comme un générateur du $L$ espace vectoriel de dimension $1$ que l’on munit d’une action de $G$ par la formule $g\cdot e_{\eta}=\eta(\mathrm{det}g)\;e_{\eta}$. On a un isomorphisme d’espaces vectoriels $v\mapsto c\otimes e_{\eta}$ de $\pi$ sur $\pi\otimes\eta$. la tordue de $\pi$ par $\eta$: si $v\in\pi$ et $g\in G$ alors $g(v\otimes e_{\eta})=\eta(\mathrm{det}g)(gv\otimes e_{\eta})$. On suppose dans la suite que $\pi$* est une représentation supercuspidale* 202020Rappelons qu’une représentation lisse irréductible $\pi$ de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ est dite supercuspidale si elle n’est pas une sous-représentation d’une induite parabolique ou, ce qui revient au même ([5, §9.1 Prop.]), si son module de Jacquet $V_{N}:=V/V(N)$, où $V$ dénote l’espace ambiant de $\pi$ et $V(N)$ est le sous espace engendré par les vecteurs de la forme v-{{\big{(}\begin{smallmatrix}1&x\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}v, $x\in{{\bf Q}_{p}}$, est nul..

Fixons $d\mu$ la mesure de Haar sur $A$ normalisée par $\mu(K)=1$. La transformée de Fourier, définie par

[TABLE]

est alors auto-duale: $\hat{\hat{\phi}}(x)=\phi(-x)$. Enfin, si $f\in\mathfrak{C}(\pi)$, la formule {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.12962pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.12962pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.94444pt\vrule height=0.0pt,width=5.97226pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle f}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.12962pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.12962pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.94444pt\vrule height=0.0pt,width=5.97226pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle f}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.43518pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.43518pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.8611pt\vrule height=0.0pt,width=4.18057pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle f}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.97221pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.97221pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.47221pt\vrule height=0.0pt,width=2.98611pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle f}}}}}(g)=f(g^{-1}) définit un élément

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.94444pt\vrule height=0.0pt,width=5.97226pt}$

$\textstyle f$ dans $\mathfrak{C}(\hat{\pi})$. La fonction

[TABLE]

où $\mu^{*}$ est une mesure de Haar sur $G$, converge pour $\mathrm{Re}\;s\gg 0$ et définit une fonction rationnelle en la variable $p^{-s}$ ([5, §24.2 Th. 1]).

Il existe ([5, §24.2 Th. 2 + Corollary]) une constante $\varepsilon(\pi)\in L$ tel que, si l’on pose $\varepsilon(\pi,s)=p^{-c(\pi)(s-1/2)}\varepsilon(\pi),$ où $c(\pi)$ est le conducteur de $\pi$ 212121Le niveau $c(\pi)$ de $\pi$ est défini comme le plus petit entier $n$ tel que $\pi$ possède un élément fixe par les matrices de la forme K_{n}=\{{{\big{(}\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\big{)}}}\in K, $c=d-1=0$ mod $p^{n}\}$. On a $\dim_{L}\pi^{K_{c(\pi)}}=1$ et on appelle $p^{c(\pi)}$ le conducteur de la représentation $\pi$. , alors pour tous $\phi\in\mathrm{LC}_{\rm c}(A,L)$ et $f\in\mathfrak{C}(\pi)$, on a une équation fonctionnelle

[TABLE]

Observons que, si $j\in{\bf Z}$, alors $\varepsilon(\pi,j+1/2)=p^{-c(\pi)j}\varepsilon(\pi)=\varepsilon(\pi\otimes|\cdot|^{j})$. La fonction $\varepsilon(\pi,s)$ est le facteur epsilon associé à la représentation $\pi$ et elle satisfait l’équation fonctionnelle

[TABLE]

où $\omega_{\pi}$ est le caractère central de la représentation $\pi$.

2.2.3. Modèle de Kirillov et facteurs locaux

Rappelons qu’un modèle de Kirillov d’une représentation lisse $\pi$ de caractère central $\omega_{\pi}$ est une injection $B$-équivariante de $\pi$ dans l’espace $\mathrm{LC}_{\rm rc}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L_{\infty})$ des fonctions localement constantes sur ${\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$ à support compact dans ${{\bf Q}_{p}}$ (i.e $\phi(p^{-n}{\mathbf{Z}_{p}^{\times}})=0$ pour tout $n\gg 0$) 222222$\mathrm{rc}$ dénote ”relativement compact”.. L’action du Borel sur ce dernier espace est donnée par la formule

[TABLE]

La décomposition de Bruhat $G=B\cup BwB$ montre que l’action de $G$ est déterminée par celle du Borel et par l’action de l’involution w={{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}\big{)}}}, et c’est un fait remarquable que ce dernier opérateur puisse être décrit en termes des facteurs locaux de la représentation, comme on le verra à continuation.

Si $\eta\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est un caractère localement constant et $m\in{\bf Z}$, on définit une fonction $\xi_{\eta,m}\in\mathrm{LC}_{c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L_{\infty})$ par la formule

[TABLE]

Proposition 2.2** ([5, Th. 37.3]).**

Soit $\eta\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère et soit $m\in{\bf Z}$. Alors

[TABLE]

Démonstration.

La formule de [5, Th. 37.3] donne

[TABLE]

Observons que {{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ -1&0\end{smallmatrix}\big{)}}}={{\big{(}\begin{smallmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix}\big{)}}}{{\big{(}\begin{smallmatrix}-1&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}w, et que les matrices {{\big{(}\begin{smallmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix}\big{)}}} et {{\big{(}\begin{smallmatrix}-1&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}} agissent, respectivement, via multiplication par $\omega_{\pi}(-1)$ et par ({{\big{(}\begin{smallmatrix}-1&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot\phi)(x)=\phi(-x), d’où

[TABLE]

∎

2.3. Autour de la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$

Dans cette section, on rappelle certains résultats concernant la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$, notamment, la théorie du modèle de Kirillov-Colmez et les techniques de ‘changement de poids’ introduites dans [12], qui seront cruciales dans la preuve de notre résultat principal.

2.3.1. La correspondance

Rappelons brièvement la construction de la correspondance de Langlands $p$-adique ([11], [10], [12]). Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{O}_{\mathscr{E}})$ de dimension $2$. Rappelons que $D^{\sharp}$ désigne le plus grand sous-$\mathscr{O}_{L}[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et sur lequel $\psi$ est surjectif ([11, §II.4]), et $D^{\natural}$ est le plus petit sous-$\mathscr{O}_{L}[[T]]$-module compact de $D$ stable par $\psi$ et engendrant $D$ ([11, §II.5]). Si $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E})$ et $D_{0}\subseteq D$ est un $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$-réseau stable par $\varphi$ et $\Gamma$, on pose $D^{\sharp}=L\otimes_{\mathscr{O}_{L}}D_{0}^{\sharp}$, $D^{\natural}=L\otimes_{\mathscr{O}_{L}}D_{0}^{\natural}$. Si $D$ est absolument irréductible de dimension $\geq 2$, on a ([11, Cor. II.5.21]) $D^{\natural}=D^{\sharp}$.

Soit $G=\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$. Rappelons ([11, §III.1.2]) que, si $U\subseteq{{\bf Z}_{p}}$ est un ouvert compact, en traduisant les opérations de restriction d’une mesure, on peut définir des opérateurs de restriction $\mathrm{Res}_{U}$ sur $D$. Ces opérateurs nous fournissent un faisceau {{\big{(}\begin{smallmatrix}{{\bf Z}_{p}}-\{0\}&{{\bf Z}_{p}}\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}-équivariant $U\mapsto D\boxtimes U$ sur ${{\bf Z}_{p}}$, et on a $D=D\boxtimes{{\bf Z}_{p}}$, $D\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}=D^{\psi=0}$. Soient $w_{D}=m_{\omega_{D}^{-1}}\circ w_{*}\colon D\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to D\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, où $m_{\omega_{D}^{-1}}$ est la multiplication par $\omega_{D}^{-1}$, et $w_{*}\colon D\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to D\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ sont définies dans [10, §V.2.1 et §V.1]. En s’inspirant des formules provenant de l’analyse $p$-adique, on construit ([10, §II.1]) un faisceau $G$-équivariant $U\mapsto D\boxtimes U$ sur ${\bf P}^{1}({{\bf Q}_{p}})$ dont les sections globales sont données par

[TABLE]

et les sections sur ${{\bf Z}_{p}}$ sont $D\boxtimes{{\bf Z}_{p}}=D$. On définit ([10, §II.2]) le module D^{\natural}\boxtimes{\bf P}^{1}=\{z\in D\boxtimes{\bf P}^{1}:\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}({{\big{(}\begin{smallmatrix}p^{n}&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot z)\in D^{\natural}\;\;\;\forall n\in{\bf Z}\}. Ce module est stable par l’action de $G$ ([10, Th. II.3.1(i)]) et on pose

[TABLE]

qui est une $L$-représentation de Banach admissible et topologiquement irréductible de $G$. La représentation $\Pi(D)$ est celle associée à $D$ par la correspondance de Langlands $p$-adique. L’accouplement $[\;,\;]$ sur $D$ s’étend ([12, Lem. II.1.12]) en un accouplement parfait et $G$-équivariant $[\;,\;]_{{\bf P}^{1}}$ sur $D\boxtimes{\bf P}^{1}$ en posant

[TABLE]

pour lequel $\Pi(D)^{*}\otimes\omega_{D}$ est son propre orthogonal ([12, §2.1]). On a ([10, Th. II.3.1(ii)]) une suite exacte de $G$-modules topologiques

[TABLE]

Soient $D^{\dagger}\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E}^{\dagger})$ et $D_{\rm rig}=\mathscr{R}\otimes_{\mathscr{E}^{\dagger}}D^{\dagger}\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ les modules correspondants à $D$ par l’équivalence de catégories de la proposition 1.1 (cf. [10, §V.1.1] pour des rappels des constructions). Le sous-module $D^{\dagger}\boxtimes{\bf P}^{1}=\{(z_{1},z_{2})\in D\boxtimes{\bf P}^{1}:z_{1},z_{2}\in D^{\dagger}\}$ de $D\boxtimes{\bf P}^{1}$ est stable par l’action de $G$ ([10, Prop. V.2.8]) et l’action de $G$ s’étend par continuité ([10, Prop. V.2.9]) en une action sur

[TABLE]

où l’action de $w_{D}$ sur $D_{\rm rig}\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}=D_{\rm rig}^{\psi=0}$ est définie par $\Gamma$-antilinéarité en utilisant l’identité $D_{\rm rig}\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}=\mathscr{R}(\Gamma)\otimes_{\mathscr{E}^{\dagger}(\Gamma)}D^{\dagger}\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ . Ceci permet de définir un faisceau $G$-équivariant $U\mapsto D_{\rm rig}\boxtimes U$ sur ${\bf P}^{1}({{\bf Q}_{p}})$ et on a ([10, Th. V.2.20]) une suite exacte

[TABLE]

où $\Pi(D)^{\rm an}$ dénote les vecteurs localement analytiques de la représentation $\Pi(D)$, ce qui rend naturel de poser $\Pi(D_{\rm rig})=\Pi(D)^{\rm an}$.

Plus généralement, si $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ n’est pas triangulin, il est isocline et il existe un caractère $\delta$ tel que $D(\delta)$ soit étale. On définit alors $U\mapsto D\boxtimes U$ et $\Pi(D)$ par torsion à partir de $D(\delta)\boxtimes U$ et $\Pi(D(\delta))$; en particulier $\Pi(D)=\Pi(D(\delta))\otimes(\delta^{-1}\circ\mathrm{det})$. On obtient ainsi une $L$-représentation localement analytique $\Pi=\Pi(D)$ de caractère central $\omega_{D}$ et une suite exacte comme ci-dessus.

2.3.2. Le modèle de Kirillov, d’après Colmez

Décrivons le modèle de Kirillov construit dans [12, §2.4.1-2]. Soit $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ irréductible de rang $2$ et soit $\Pi=\Pi(D)$ la représentation de $G$ décrite dans la section précédente. Notons B={{\big{(}\begin{smallmatrix}*&*\\ 0&*\end{smallmatrix}\big{)}}}\subseteq\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}}) le Borel supérieur et soit $\mathscr{Y}$ un $L_{\infty}[[t]]$-module muni d’une action de l’algèbre de distributions $\mathscr{D}(\Gamma)=\mathscr{Robba}^{+}(\Gamma)$ de $\Gamma$. On définit

[TABLE]

comme l’espace des fonctions $\phi\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to\mathscr{Y}$ localement analytiques à support compact dans ${{\bf Q}_{p}}$, vérifiant $\sigma_{a}(\phi(x))=\phi(ax)$ pour tout $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$. On munit $\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}({{\bf Q}_{p}},\mathscr{Y})^{\Gamma}$ d’une action de $B$ par la formule 232323Si $r\in{{\bf Q}_{p}}$ et $n\in{\bf N}$ est tel que $rp^{n}\in{{\bf Z}_{p}}$, on pose $[\varepsilon^{r}]=\varphi^{-n}((1+T)^{p^{n}r})\in L_{n}[[t]]$.

[TABLE]

Soit $Y$ un $B$-module de caractère central $\omega_{D}$. On dit que $Y$ admet un modèle de Kirillov s’il existe un $B$-module $\mathscr{Y}$ comme ci-dessus et une injection $B$-équivariante de $Y$ dans $\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\mathscr{Y})^{\Gamma}$. Si $Y$ admet un modèle de Kirillov, on note $Y_{\rm c}$ l’image inverse dans $Y$ du sous-espace des fonctions $\phi\in\mathrm{LA}_{\mathrm{c}}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\mathscr{Y})^{\Gamma}\subseteq\mathrm{LA}_{\mathrm{rc}}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\mathscr{Y})^{\Gamma}$ dont le support est compact dans ${\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$ ($\phi(p^{n}{\mathbf{Z}_{p}^{\times}})=0$ pour tout $|n|\gg 0$).

Rappelons que l’algèbre de Lie $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}_{2}$ de $G$ agit sur le module $D\boxtimes{\bf P}^{1}$ (cf. [14]) et l’action de u^{+}={{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 0&0\end{smallmatrix}\big{)}}}\in\mathfrak{g} sur $D$ est donnée par $u^{+}z=tz$. Notons $\Pi^{u^{+}-\mathrm{fini}}$ l’ensemble des $v\in\Pi$ tués par une puissance de $u^{+}$, qui en est un sous $B$-module. Si $v\in\Pi^{u^{+}-\mathrm{fini}}$ et $\tilde{v}\in D\boxtimes{\bf P}^{1}$ en est un relèvement, la condition $v\in\Pi^{u^{+}-\mathrm{fini}}$ se traduit donc par l’existence de $N,k\geq 0$ tels que ({{\big{(}\begin{smallmatrix}1&p^{N}\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}-1)^{k}\tilde{v}\in\Pi^{*}\otimes\omega_{D}.

Notons $D_{\rm dif}={{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D)$, $D_{\rm dif}^{+}={{\bf D}_{\mathrm{dif}}^{+}}(D)$ et $D_{\rm dif}^{-}=D_{\rm dif}/D_{\rm dif}^{+}$ et rappelons que l’on dispose des applications de localisation $\varphi^{-n}\colon D^{]0,r_{n}]}\to D_{\rm dif}$. L’image de $\Pi^{*}\otimes\omega_{D}$ dans $D$ par l’application $\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}$ est incluse dans $D^{]0,r_{m(D)}]}$ (en effet, elle est incluse dans $D^{]0,r_{a}]}$ pour un certain $a$, car elle est l’image d’un Fréchet dans une limite inductive de Fréchets, et stable par $\psi$ car $\Pi$ l’est par {{\big{(}\begin{smallmatrix}p^{-1}&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}). Ceci nous permet de poser, pour $n\geq m(D)$ et $N,k$ comme ci-dessus,

[TABLE]

Si $x\in{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$, l’image de \varphi^{-n}(\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}({{\big{(}\begin{smallmatrix}{p^{n}}x&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}\tilde{v})) dans $D_{\mathrm{dif}}^{-}$ ne dépend ni du choix de $\tilde{v}$ ni du choix de $n$ assez grand (cf. [12, §2.4.2]). On a donc une application bien définie

[TABLE]

Proposition 2.3** ([12, Prop. 2.10]).**

L’application $\mathscr{K}_{v}$ ci-dessus définit un modèle de Kirillov pour $\Pi^{u^{+}-\text{fini}}$.

2.3.3. Dualité et modèle de Kirillov

Le choix d’un isomorphisme $\wedge^{2}D=(\mathscr{R}\frac{dT}{1+T})\otimes\omega_{D}$ induit un isomorphisme $\wedge^{2}D_{\rm dif}=(L_{\infty}((t))dt)\otimes\omega_{D}$ de $L_{\infty}((t))$-espaces vectoriels munis d’une action de $\Gamma$ 242424L’action de $\Gamma$ sur $dt$ est donnée par $\sigma_{a}(dt)=a\,dt$.. On note

[TABLE]

l’accouplement défini par la formule

[TABLE]

où $\text{r\'{e}s}_{L}\colon L_{\infty}((t))dt\to L$ est défini comme la composée de l’application résidu $L_{\infty}((t))\to L_{\infty}:\sum_{n\in{\bf Z}}a_{n}t^{n}\mapsto a_{-1}$ et la trace de Tate normalisée $T_{L}:=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{[L_{n}:L]}\mathrm{Tr}_{L_{n}/L}\colon L_{\infty}\to L$. L’accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ satisfait $[\sigma_{a}x,\sigma_{a}y]_{\rm dif}=\omega_{D}(a)[x,y]_{\rm dif}$ et on a donc aussi

[TABLE]

Comme $[D_{\rm dif}^{+},D_{\rm dif}^{+}]_{\rm dif}=0$, l’accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ induit un accouplement

[TABLE]

Si $\phi\in\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},D_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$, $z\in\Pi^{*}\otimes\omega_{D}$ et $N\gg 0$, la formule (cf. [12, §2.4.3])

[TABLE]

est bien définie pour $N\geq m(D)$, ne dépend pas du choix $N$ et définit une forme linéaire continue (car la somme est finie, $\phi$ étant à support compact) sur $\Pi^{*}\otimes\omega_{D}$ et fournit donc un plongement $\iota\colon\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},D_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}\to\Pi$ caractérisé par

[TABLE]

pour tout $z\in\Pi^{*}\otimes\omega_{D}$ (cf. [12, §2.4.3]).

Proposition 2.4** ([12, Prop. $2.13$]).**

L’image de $\iota$ est incluse dans $\Pi^{u^{+}-\text{fini}}$ et la composition

[TABLE]

est l’inclusion naturelle.

Terminons en remarquant (cf. [12, Rem. 2.14]) que, si $D$ est de Rham non triangulin, alors

[TABLE]

2.3.4. $(\varphi,\Gamma)$-modules de de Rham non triangulins de dimension $2$

Rappelons que, d’après §1.5, on a une recette permettant de reconstruire, à partir de l’équation différentielle ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$ et de la filtration de Hodge, tout $(\varphi,\Gamma)$-module $D\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $2$ qui est de Rham à poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 1$. Précisément, on a

[TABLE]

où $\mathscr{L}:=\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\subseteq{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ dénote la droite de la filtration de Hodge de $D$.

Réciproquement, soit $\Delta\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham, non triangulin à poids de Hodge-Tate [math] et [math], et notons dorénavant

[TABLE]

qui est un $L$-espace vectoriel de dimension $2$ (sans filtration). On a ${\bf D}_{\rm dif,n}^{+}(\Delta)=L_{n}[[t]]\otimes M_{\rm dR}$ pour $n\geq m(\Delta)$. Si $k\geq 1$ et $\mathscr{L}\subseteq M_{\rm dR}$ est une droite, on pose

[TABLE]

qui est un $(\varphi,\Gamma)$-module de rang $2$ sur $\mathscr{R}$, de Rham à poids de Hodge-Tate [math] et $k$ tel que ${\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(\Delta_{k,\mathscr{L}})=\Delta$. Tout $(\varphi,\Gamma)$-module $D$ de rang $2$ sur $\mathscr{R}$, de Rham, pas triangulin et à poids de Hodge-Tate distincts est ([12, §3.1]), à torsion près par une puissance du caractère cyclotomique, de la forme $\Delta_{k,\mathscr{L}}$ pour un unique choix de $\Delta$, $k$ et $\mathscr{L}$.

Remarque 2.5*.*

D’après [4, Th. V.2.3] (cf. aussi [12, §3.1]), la donnée de $\Delta={\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$ est équivalente à la donnée d’un $(\varphi,N,\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}})$-module $M$ (dit l’espace de solutions de $\Delta$, dans la terminologie de loc. cit.). Si $D$ est étale et $V=\mathbf{V}(D)\in\mathrm{Rep}_{L}\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ est la représentation galoisienne associée à $D$ par l’équivalence de catégories de la proposition 1.1, alors le $(\varphi,N,\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}})$-module $M$ en question n’est rien d’autre que le module potentiellement semi-stable ${\bf D}_{\rm pst}(V)$ de $V$ de la théorie de Hodge $p$-adique. Le $(\varphi,\Gamma)$-module $\Delta$ est non triangulin si et seulement si l’action de l’inertie de $\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ sur $M$ est absolument irréductible.

2.3.5. Techniques de changement de poids

Nous aurons besoin dans la suite de certains résultats de Colmez ([12]) concernant l’étude des vecteurs localement algébriques des représentations de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ associées aux représentations de de Rham par la correspondance de Langlands $p$-adique.

Soit $\Delta\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham, non triangulin à poids de Hodge-Tate nuls comme dans §2.3.4. Dans [12] (cf., par exemple, [12, Th. 0.6]), on construit, pour $k\in{\bf Z}$, une représentation localement analytique irréductible $\Pi(\Delta,k)$ de $G$, à caractère central $x^{k}\omega_{\Delta}$, en tordant convenablement l’action de $G$ sur le module $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$. Plus précisément, si $a,c\in{{\bf Q}_{p}}$ ne sont pas tous les deux nuls, on montre que l’opérateur $\partial$ sur $\Delta$ s’étend en un opérateur sur $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$ ([12, Lem. 3.3(i)]) et que $c\partial+a$ y est bijectif ([12, Rem. 3.5]) et on définit ([12, Lem. 3.9]), pour n’importe quel entier $k\in{\bf Z}$, une action de $G$ sur $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$ par la formule 252525Dans [12], la formule donnée pour l’action de $G$ est {{\big{(}\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\big{)}}}\ast_{k}v=(-c\partial+a)^{k}\cdot({{\big{(}\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot v). Le changement de signe ci-dessous est justifié par les différentes normalisations entre [12] et ce travail (qui reprend plutôt les normalisations de [10]!) pour la représentation $\mathrm{Sym}^{k-1}$. Ce changement élimine certaines nuisances des signes.

[TABLE]

Par exemple, si w={{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}\big{)}}} dénote l’involution, on a

[TABLE]

On note $(\Delta\boxtimes{\bf P}^{1})[k]$ le $G$-module $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$ muni de l’action $\ast_{k}$. Le sous-module $\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta}$ de $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$ est stable par l’action $\ast_{k}$ de $G$ ([12, Corollaire 3.17]) et on note $\Pi(\Delta,k)$ le quotient de $(\Delta\boxtimes{\bf P}^{1})[k]$ par $\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta}$, qui est une représentation de $G$ de type analytique 262626Une représentation de type analytique de $G$ est un espace de type LF (limite inductive d’espaces de Fréchet), muni d’une action continue de $H$ qui s’étend en une action de l’algèbre $\mathscr{D}(H)$ des distributions sur $H$..

La représentation $\Pi(\Delta,k)$ vérifie les propriétés suivantes (cf. [12, Lem. 3.19] pour le premier point et [12, Th. 3.31] pour les autres):

• •

$\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta}$, vu comme sous-module de $(\Delta\boxtimes{\bf P}^{1})[k]$, est isomorphe à $\Pi(\Delta,-k)^{*}\otimes\omega_{\Delta}$, d’où une suite exacte de $G$-modules

[TABLE]

• •

Il existe une représentation lisse $\mathrm{LL}_{p}(\Delta)$ de $G$, qui ne dépend ni du poids ni de la filtration, de caractère central $x\omega_{\Delta}$, telle que

[TABLE]

où $\Pi(\Delta,k)^{\rm alg}$ dénote les vecteurs localement algébriques de la représentation $\Pi(\Delta,k)$, et $\mathrm{Sym}^{k-1}$ est la puissance symétrique de la représentation standard de $G$ (cf. remarque 2.6 ci-dessous).

• •

$\Pi(\Delta_{k,\mathscr{L}})=\Pi(\Delta,k)/((\mathrm{LL}_{p}(\Delta)\otimes\mathrm{Sym}^{k-1})\otimes\mathscr{L})$.

• •

$\Pi(\Delta_{k,\mathscr{L}})^{\rm alg}=(\mathrm{LL}_{p}(\Delta)\otimes\mathrm{Sym}^{k-1})\otimes(M_{\rm dR}/\mathscr{L})$.

2.3.6. Modèles de Kirillov

Les représentations $\Pi(\Delta)$ et $\Pi(\Delta,k)$ sont isomorphes, à torsion par un caractère près, en tant que $B$-représentations et l’application $v\mapsto\mathscr{K}_{v}$ de la section précédente fournit donc un modèle de Kirillov pour $\Pi(\Delta,k)^{u^{+}-\text{fini}}$ dans $\mathrm{LA}_{\rm rc}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$ muni d’une action de $B$ définie par la formule

[TABLE]

Ceci induit aussi des modèles de Kirillov pour $\Pi(\Delta,k)^{\rm alg}$, ainsi que pour $\mathrm{LL}_{p}(\Delta)$ et $\Pi(D)^{\rm alg}$.

Soient $\mathscr{L}_{1},\mathscr{L}_{2}\subseteq M_{\rm dR}$ deux droites distinctes et soit $W_{\mathscr{L}_{i}}=\ker(\Pi(\Delta,k)\to\Pi(\Delta_{k,\mathscr{L}_{i}}))=(\mathrm{LL}_{p}(\Delta)\otimes\mathrm{Sym}^{k-1})\otimes\mathscr{L}_{i}\subseteq\Pi(\Delta,k)^{\rm alg}$, qui est une représentation localement algébrique de $G$. On a $\Pi(\Delta,k)^{\rm alg}=W_{\mathscr{L}_{1}}\oplus W_{\mathscr{L}_{2}}$ et $W_{\mathscr{L}_{i}}=\mathrm{LL}_{p}(\Delta)\otimes\mathrm{Sym}^{k-1}\otimes\mathscr{L}_{i}$. Enfin, on a le diagramme commutatif suivant, où les flèches horizontales sont des injections et les verticales des isomorphismes de $G$-modules, qui met en scène tous les personnages introduits ci-dessus et qui sera très utile pour nos calculs futurs.

[TABLE]

où l’on a noté $L^{-k}_{\infty}=(t^{-k}L_{\infty}[t]/L_{\infty}[t])$.

Remarque 2.6*.*

Si $e_{1},e_{2}$ la base canonique de $L^{2}$ sur $L$, on a $\mathrm{Sym}^{k-1}=\oplus_{j=0}^{k-1}L\cdot e_{1}^{j}e_{2}^{k-1-j}$ et l’action de $G$ est donnée par

[TABLE]

En particulier, on a

[TABLE]

On a (cf. [10, §VI.2.5]), pour chaque $i=1,2$, un isomorphisme $B$-équivariant

[TABLE]

[TABLE]

où $B$ agit sur $\mathrm{LC}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L_{\infty})^{\Gamma}$ via la formule

[TABLE]

et sur le module de droite par l’action $\ast_{k}$ décrite dans la formule (10). Cet isomorphisme devient un isomorphisme $G$-équivariant si l’on munit ces espaces d’une action de $G$ via les bijections $\mathrm{LL}_{p}(\Delta)\xrightarrow{\sim}\mathrm{LC}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L_{\infty})^{\Gamma}$ et $W_{\mathscr{L}_{i}}\xrightarrow{\sim}\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L^{-k}_{\infty}\otimes\mathscr{L}_{i})^{\Gamma}$.

Lemme 2.7**.**

Soient $k,j\in{\bf Z}$. Alors

1. (1)

On a $w\cdot\partial=\partial^{-1}\cdot w$ sur $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$. 2. (2)

$[g\ast_{-k}x,y]_{{\bf P}^{1}}=\omega_{\Delta}(\mathrm{det}\;g)[x,g^{-1}\ast_{k}y]_{{\bf P}^{1}},$* pour $x,y\in\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$, $g\in G$.*

Démonstration.

Le premier point est [12, Prop. 3.6]. Le deuxième point est une réécriture de la formule $[g\ast_{-k}x,g\ast_{k}y]_{{\bf P}^{1}}=[g\cdot x,g\cdot y]_{{\bf P}^{1}}$ de [12, Prop. 3.13.(iii)] à l’aide de l’identité $[g\cdot x,g\cdot y]_{{\bf P}^{1}}=\omega_{\Delta}(\mathrm{det}\;g)[x,y]_{{\bf P}^{1}}$. En effet, on a

[TABLE]

2.4. Une équation fonctionnelle locale: préliminaires

Cette section contient les calculs techniques qui sont à la base des démonstrations des résultats principaux de cet article (théorèmes 2.21 et 2.23).

2.4.1. Vecteurs propres de $\psi$

Dans toute cette sous-section, on considère $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham non triangulin et à poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 1$ et on note $\Delta={\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$. On aura besoin d’établir le lien entre $\Delta^{\psi=1}$ et la représentation $\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta}$.

Lemme 2.8**.**

*L’image de $(1-\varphi)\Delta^{\psi=1}$ par l’involution $w_{\Delta}$ est égale à $(1-\omega_{\Delta}(p)^{-1}\varphi)\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}$ 272727Ce dernier module s’identifiant à (1-\varphi){\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1} via l’identification entre

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}$

$\textstyle\Delta$ et $\Delta\otimes\omega_{\Delta}^{-1}$..*

Démonstration.

Les ingrédients pour démontrer ce lemme se trouvent déjà dans [10, §VI], où on renvoie le lecteur pour les détails techniques des résultats cités. Rappelons d’abord que l’on a (cf. §1.5) des inclusions $t^{k}\Delta\subseteq D\subseteq\Delta$.

Soit $\nabla_{k}=\prod_{j=0}^{k-1}(\nabla-j)$, où $\nabla$ est l’opérateur introduit dans §1.3. Cet opérateur joue un grand rôle dans l’étude des vecteurs localement algébriques de la représentation de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ associée à $D$ dans [10, §VI] et donc dans la preuve de la compatibilité entre la correspondance de Langlands classique et $p$-adique. On a les propriétés suivantes:

• •

$w_{D}\circ\nabla_{k}=(-1)^{k}\nabla_{k}\circ w_{D}$ sur $D\boxtimes{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ ([10, Lem. VI.4.3(ii)]).

• •

D’après [10, Lem. VI.6.14]. l’opérateur $\nabla_{k}$ induit des isomorphismes $(1-\varphi)\Delta^{\psi=1}\xrightarrow{\sim}(1-\varphi)(t^{k}\Delta)^{\psi=1}$ et $(1-\omega_{D}(p)^{-1}\varphi)\Delta^{\psi=\omega_{D}(p)^{-1}}\xrightarrow{\sim}(1-\varphi)(t^{k}\Delta)^{\psi=\omega_{D}(p)^{-1}}$. Notons que les modules $(1-\varphi)(t^{k}\Delta)^{\psi=1}$ et $(1-\varphi)(t^{k}\Delta)^{\psi=\omega_{D}(p)^{-1}}$ sont inclus dans $D^{\psi=0}$.

• •

On a $w_{D}((1-\varphi)(t^{k}\Delta)^{\psi=1})=(1-\varphi)(t^{k}\Delta)^{\psi=\omega_{D}(p)^{-1}}$ ([10, Th. VI.6.8 et Lem. VI.6.14]).

• •

Dans les notations de §2.3.5, on a $D=\Delta_{k,\mathscr{L}}$, où $\mathscr{L}=\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$, et on sait que $w_{\Delta}=\partial^{k}\circ w_{D}$, $\omega_{D}=\omega_{\Delta}x^{k}$, et que $\partial^{k}$ induit (car il est bijectif sur $\Delta$, cf. [12, §3.2]) un isomorphisme

[TABLE]

Si $z\in(1-\varphi)\Delta^{\psi=1}$, l’action de $w_{\Delta}$ sur $z$ est donc donnée par la composée

[TABLE]

ce qui permet de conclure. ∎

Lemme 2.9**.**

On a \Pi(D)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{-r}}=0 pour tout $r>0$.

Démonstration.

Par dualité, il suffit de montrer que l’adhérence de ({{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}-p^{-r})(\Pi(D)^{*}\otimes\omega_{D}) dans $\Pi(D)^{*}\otimes\omega_{D}$ est égal au module $\Pi(D)^{*}\otimes\omega_{D}$ tout entier. Il suffit donc de montrer que $\Pi(D)^{*}\otimes\omega_{D}$ contient un sous-espace dense sur lequel {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}-p^{-r} agit de manière surjective.

Considérons (cf. [10, §V.1.2]) le module 282828Soit $\widetilde{\mathbf{E}}_{{\bf Q}_{p}}^{+}$ le complété de la clôture radicielle de ${\bf F}_{p}((T))$, $\widetilde{\mathbf{A}}_{{\bf Q}_{p}}^{+}=W(\widetilde{\mathbf{E}}_{{\bf Q}_{p}}^{+})$ son anneau des vecteurs de Witt et posons $\widetilde{\mathscr{O}}^{+}_{\mathscr{E}}=\mathscr{O}_{L}\cdot\widetilde{\mathbf{A}}^{+}_{{\bf Q}_{p}}$. L’anneau $\widetilde{\mathbf{E}}_{{\bf Q}_{p}}^{+}$ est muni naturellement d’actions de $\varphi$ et $\Gamma$ commutant entre elles (et coïncidant avec celles sur ${\bf F}_{p}((T))$ inclus dans le corps résiduel $k_{L}((T))$ de $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$), qui s’étendent de manière unique à $\widetilde{\mathbf{A}}_{{\bf Q}_{p}}^{+}$ et par $\mathscr{O}_{L}$-linéarité à $\widetilde{\mathscr{O}}^{+}_{\mathscr{E}}$, l’action de $\varphi$ devenant bijective, et $\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$ s’identifie naturellement au sous-anneau de $\widetilde{\mathscr{O}}^{+}_{\mathscr{E}}$ engendré topologiquement par $[1+T]-1$ (que l’on identifie à $T\in\mathscr{O}_{\mathscr{E}}$) et son inverse. De la même manière que l’on obtient $\mathscr{R}$ à partir de $\mathscr{O}^{+}_{\mathscr{E}}=\mathscr{O}_{L}[[T]]$ ($\mathscr{R}=\cup_{b\geq 1}\cap_{a\geq b}\mathscr{E}^{[r_{a},r_{b}]}$, où $\mathscr{E}^{[r_{a},r_{b}]}=\mathscr{O}_{\mathscr{E}}^{+}[\frac{T^{n_{a}}}{p},\frac{p}{T^{n_{b}}}]^{\wedge}[1/p]$, où $n_{a}=r_{a}^{-1},n_{b}=r_{b}^{-1}$ et la complétion est prise par rapport à la topologie $p$-adique, cf. §1.1 ou bien [10, §I.1.2]), l’on définit l’anneau $\widetilde{\mathscr{R}}$ à partir de $\widetilde{\mathscr{O}}^{+}_{\mathscr{E}}$. L’intérêt de ces objets réside dans le fait qu’à partir d’eux l’on peut construire des objets où $\varphi$ dévient inversible. cf. [10, §V.1.1] pour plus de détails et des exemples. 292929Un ensemble $X$ dans un espace vectoriel topologique sur $L$ est borné si pour tout voisinage $U$ de zero il existe $\alpha\in L$ tel que $X\subseteq\alpha U$. En particulier, si une suite $(x_{n})_{n\in{\bf N}}$ est bornée, alors $p^{n}x_{n}\to 0$ quand $n\to+\infty$.

[TABLE]

Alors $\widetilde{D}^{+}$ est dense (cf. [10, note (65)], ceci suit essentiellement de l’irréductibilité de $D$ et de [11, Lem. IV.2.2]), et {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}-p^{-r}, qui agit comme $\varphi-p^{-r}$, y est surjectif, car il admet un inverse défini par $\sum_{i\geq 0}p^{ir}\varphi^{i}$ (qui converge sur $\widetilde{D}^{+}$ car le terme général de la série tend vers [math], les $\varphi^{i}(x)$ étant bornés). Ceci permet de conclure. ∎

Lemme 2.10**.**

On a \Pi(\Delta)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1}=0.

Démonstration.

Soit $\mathscr{L}=\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ de sorte que $D=\Delta_{k,\mathscr{L}}$. L’opérateur $\partial^{-k-1}$ induit une bijection entre \Pi(\Delta)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1} et \Pi(\Delta)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{-k-1}} et il suffit donc de montrer que ce dernier module est nul. D’après §2.3.5 (voir l’avant dernier point dans la liste de propriétés), on a une suite exacte

[TABLE]

Comme $\Pi(\Delta,k)$ s’identifie ([12, Rem. 3.18]) à $\Pi(\Delta)$ muni de l’action définie par {{\big{(}\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot_{k}v:=(\partial c+a)^{k}({{\big{(}\begin{smallmatrix}a&b\\ c&d\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot v), on a une identification \Pi(\Delta)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{-k-1}}=\Pi(\Delta,k)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{-1}}. Il suffit donc de montrer que W_{\mathscr{L}}^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{-1}}=\Pi(D)^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{-1}}=0, où l’on a noté $W_{\mathscr{L}}=\mathscr{L}\otimes(\mathrm{LL}_{p}(\Delta)\otimes\mathrm{Sym}^{k-1})$.

Le modèle de Kirillov induit un isomorphisme entre $W_{\mathscr{L}}$ et $\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L^{-k}_{\infty}\otimes\mathscr{L}_{i})$, qui n’a évidement pas de vecteurs satisfaisant {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot v=pv (si $\phi\in\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L^{-k}_{\infty}\otimes\mathscr{L}_{i})$ est telle que {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}\cdot\phi=p\phi, alors \phi(x)=p^{n}({{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}^{n}\phi)(x)=p^{2n}\phi(p^{n}x)=0 si $n\gg 0$ car $\phi$ est à support compact). On conclut en utilisant le lemme 2.9. ∎

Corollaire 2.11**.**

On a (\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1}=(\Delta\boxtimes{\bf P}^{1})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1}.

Démonstration.

Il suffit de prendre les invariants par {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}} de la suite exacte

[TABLE]

et utiliser le lemme 2.10 ci-dessus. ∎

Rappelons que l’action de $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ sur $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$ est déterminée par le squelette d’action ([10, II.1.2]). En particulier, si $z=(z_{1},z_{2})\in\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$, on a

[TABLE]

On en déduit que $z$ est invariant par {{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}} si et seulement si $z_{2}\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}$ et $(1-\varphi)z_{1}=w_{\Delta}((1-\omega_{\Delta}(p)^{-1}\varphi)z_{2})$.

Lemme 2.12**.**

L’application $\mathrm{Res}_{{{\bf Z}_{p}}}$ induit un isomorphisme

[TABLE]

Démonstration.

Comme l’on a déjà mentionné, l’injectivité suit de [12, Prop. 2.20]. Si $z\in\Delta^{\psi=1}$ alors, par le lemme 2.8 ci-dessus, $w_{\Delta}((1-\varphi)z)\in(1-\omega_{\Delta}(p)^{-1}\varphi)\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}$ et il existe donc $z^{\prime}\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}$ tel que $w_{\Delta}((1-\varphi)z)=(1-\omega_{\Delta}(p)^{-1}\varphi)z^{\prime}$. Alors \tilde{z}=(z,z^{\prime})\in(\Delta\boxtimes{\bf P}^{1})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1}=(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1} (corollaire 2.11) et satisfait $\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}(\tilde{z})=z$, ce qui permet de conclure.

∎

Remarque 2.13*.*

Soit $\alpha\in L^{\times}$ tel que $v_{p}(\alpha)\in{\bf Z}$. En appliquant $\partial^{-r}$, $r=v_{p}(\alpha)$, et en tordant par le caractère non-ramifié $\delta\colon{\mathbf{Q}_{p}^{\times}}\to\mathscr{O}_{L}^{\times}$ tel que $\delta(p)=\alpha^{-1}p^{r}$ à l’égalité du lemme 2.12 (ou bien en répétant la même preuve), on montre que $\mathrm{Res}_{{{\bf Z}_{p}}}$ induit un isomorphisme

[TABLE]

Ceci s’applique en particulier à $\alpha=\omega_{\Delta}(p)^{-1}=\omega_{D}(p)^{-1}p^{k}$ car $\omega_{D}(p)\in\mathscr{O}_{L}^{\times}$ (car $D$ est étale et donc son caractère centrale est unitaire). Pour un tel $z\in\Delta^{\psi=\alpha^{-1}}$, on notera \tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\alpha} l’élément correspondant.

2.4.2. Lois de réciprocité (encore)

Dans cette section, on paraphrase les lois des réciprocité de §1.12 sous une forme appropriée pour les calculs futurs. Plus précisément, on tient compte de toutes les identifications faites entre les modules de de Rham d’un $(\varphi,\Gamma)$, de son dual de Tate et de ses différents tordus par des caractères localement algébriques. Ceci nous permettra de comparer tous ces éléments sans peine dans un même module de de Rham.

Soit $\Delta\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham non triangulin à poids de Hodge-Tate tous nuls comme dans §2.3.4.

Lemme 2.14**.**

Soient $z\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}$, $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $k\geq 1$ un entier, $j\in{\bf Z}$ tel que $j\geq-k$ et $m\in{\bf Z}$. Notons {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}=z\otimes e_{\omega_{\Delta}}^{\vee}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1}. Alors

[TABLE]

Démonstration.

Par la proposition 1.6 on a, pour $n\gg 0$,

[TABLE]

Comme $\varphi^{-n}(\mathbf{e}_{\eta,-j-k,\omega_{\Delta}^{\vee}})=\omega_{\Delta}(p)^{n}\mathbf{e}_{\eta,-j-k,\omega_{\Delta}^{\vee}}$, on a

[TABLE]

Clarifions la notation utilisée. L’élément $\varphi^{-n}z\otimes\mathbf{e}_{\eta,-j-k,\omega_{\Delta}^{\vee}}$ appartient à

[TABLE]

et peut être exprimé sous la forme $x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,-j-k,\omega_{\Delta}^{\vee}}$, $x=G(\eta)^{-1}t^{1-k-j}\Omega^{-1}\varphi^{-n}z\in L_{n}((t))\otimes M_{\rm dR}$. Si on écrit $\varphi^{-n}z$ sous la forme $\sum_{l\geq 0}a_{l}t^{l}$, $a_{l}\in L_{n}\otimes M_{\rm dR}$, on a alors

[TABLE]

Notons que l’élément $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,-j-k,\omega_{\Delta}^{\vee}}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc à $\mathrm{Tr}_{L_{n}/L}$. On en déduit

[TABLE]

En utilisant la formule $[t^{-{j}-k+1}\varphi^{-n}z]_{0}=[\varphi^{-n}z]_{{j}+k-1}=\frac{p^{-n({j}+k-1)}}{({j}+k-1)!}[\varphi^{-n}\partial^{{j}+k-1}z]_{0}$ on en déduit

[TABLE]

ce qui permet de conclure. ∎

Lemme 2.15**.**

Soient $z\in\Delta^{\psi=1}$, $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini et ${j}\geq 1$. Alors

[TABLE]

Démonstration.

Par la proposition 1.8 on a, pour $n\gg 0$,

[TABLE]

et, comme $\varphi^{-n}(e_{\eta}\otimes t^{-j}e_{j})=p^{nj}\,e_{\eta}\otimes t^{-j}e_{j}$, on a

[TABLE]

Comme précédemment, l’élément $\varphi^{-n}\partial^{-{j}}z\otimes e_{\eta}\otimes t^{-j}e_{j}$ appartient à $L_{n}[[t]]\otimes{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\Delta(\eta\chi^{j}))=L_{n}[[t]]\otimes M_{\rm dR}\otimes L\cdot\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,j}$ et peux donc être exprimé sous la forme $x\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,j}$, avec $x=G(\eta)^{-1}\varphi^{-n}\partial^{-j}z\in L_{n}[[t]]\otimes M_{\rm dR}$. On a alors

[TABLE]

Notons finalement que l’élément $\mathbf{e}^{\rm dR}_{\eta,j}$ est invariant par $\Gamma$ et commute donc à la trace, ce qui donne

[TABLE]

ce qui donne

[TABLE]

et permet de conclure. ∎

2.4.3. Dualité et modèle de Kirillov (encore)

On revient à la situation de §2.4.1 et on considère $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham non triangulin à poids de Hodge-Tate distincts et on note $\Delta={\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D)$. Considérons dans la suite le modèle de Kirillov de $\Pi(\Delta)^{u^{+}-\text{fini}}$ à valeurs dans $\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\Delta_{\rm dif}^{+})^{\Gamma}$. Soit $\alpha\in L^{\times}$ et soit $z\in\Delta^{\psi=\alpha}$ obtenu par restriction à ${{\bf Z}_{p}}$ d’un élément \tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\alpha^{-1}}, i.e. $z=\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}(\tilde{z})$. On a donc \mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}({{\big{(}\begin{smallmatrix}p^{i+n}&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}\tilde{z})=\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}(\alpha^{-(i+n)}\tilde{z})=\alpha^{-(i+n)}z et, si $\phi\in\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$, la formule (9) pour l’accouplement prend la forme très simple suivante:

[TABLE]

Plus généralement, si $j\in{\bf Z}$, on peut appliquer $\partial^{j}$ à $\tilde{z}$ pour obtenir un élément dans (\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\alpha^{-1}p^{-j}} et on a

[TABLE]

Rappelons que l’on a fixé une base $f_{1},f_{2}$ de $M_{\rm dR}$. Les éléments $1\otimes f_{1},1\otimes f_{2}$ forment une base du $L_{\infty}((t))$-espace vectoriel $\Delta_{\rm dif}=L_{\infty}((t))\otimes M_{\rm dR}$ et l’on identifie $(1\otimes f_{1})\wedge(1\otimes f_{2})=\Omega^{-1}dt\otimes e_{\omega_{\Delta}}$ sous l’isomorphisme $\wedge^{2}\Delta_{\rm dif}=(L_{\infty}((t))dt)\otimes\omega_{\Delta}$. Nous étendons l’accouplement $\langle\;,\;\rangle_{\rm dR}$ par $L_{\infty}((t))$-linéarité en un accouplement $\langle\;,\;\rangle_{\rm dR}\colon\Delta_{\rm dif}\times\Delta_{\rm dif}\to L_{\infty}((t))$ satisfaisant

[TABLE]

pour $x\in\Delta_{\rm dif}$, $h\in L_{\infty}((t))$ et $i=1,2$.

2.4.4. Exponentielle duale et accouplement $[\;,\;]_{{\bf P}^{1}}$

En s’inspirant de Nakamura ([24, §3.4.5]) et de la formule de la proposition 2.2 permettant de retrouver les facteurs epsilon d’une représentation lisse à partir de son modèle de Kirillov, on définit, pour $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $k\geq 1$, $i\in\{1,2\}$ et $m\in{\bf Z}$, la fonction $f^{i}_{\eta,k,m}\in\mathrm{LA}_{\mathrm{c}}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$ par la formule

[TABLE]

où $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, $n\in{\bf Z}$. Notons que, pour $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, on a tout simplement

[TABLE]

Lemme 2.16**.**

*Soient $z\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}(p)^{-1}}$, $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $k\geq 1$ un entier, $j\in{\bf Z}$ tel que $j>-k$, $i\in\{1,2\}$ et $m\in{\bf Z}$. Notons {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}=z\otimes e_{\omega_{\Delta}}^{\vee}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1}. Alors 303030Rappelons que \tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\omega_{\Delta}(p)} l’élément correspondant par le lemme 2.12 *

[TABLE]

Démonstration.

Traitons le cas $i=1$, l’autre étant évidement analogue. Rappelons que \partial^{j}\tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=\omega_{\Delta}(p)p^{-{j}}} et que, si $n\gg 0$, on a

[TABLE]

où la première égalité suit de la formule (13) et la deuxième égalité du fait que $f_{\eta,k,m}^{2}(p^{i})=0$ dès que $i\neq m$. Par définition de l’accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ (cf. formule (8)), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1}t^{-k}\otimes f_{2})=\eta(-1)(-1)^{k}(G(\eta)^{-1}t^{-k}\otimes f_{2}$, on a aussi

[TABLE]

On en déduit

[TABLE]

En utilisant la formule de l’équation (14), on peut écrire

[TABLE]

Enfin, la formule (15), l’identité $[\varphi^{-n}z]_{k-1}=\frac{p^{-n(k-1)}}{(k-1)!}[\varphi^{-n}\partial^{k-1}z]_{0}$ et l’égalité $T_{L}=\frac{p}{p-1}p^{-n}\mathrm{Tr}_{L_{n}/L}$ en donnent

[TABLE]

ce qui permet de conclure. ∎

Proposition 2.17**.**

Soient $z\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}^{-1}(p)}$, $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $k\geq 1$ un entier, $j\in{\bf Z}$ tel que $j\geq-k$, $i\in\{1,2\}$ et $m\in{\bf Z}$. Notons {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}=z\otimes e_{\omega_{\Delta}}^{\vee}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1}. Alors

[TABLE]

Démonstration.

En projetant l’égalité du lemme 2.14 sur la droite engendrée par $f_{i}$ on obtient la formule

[TABLE]

L’égalité du lemme 2.16 et la formule (16) ci-dessus donnent

[TABLE]

ce qui permet de conclure. ∎

2.4.5. Exponentielle et accouplement $[\;,\;]_{{\bf P}^{1}}$

On définit, pour $\eta$ un caractère d’ordre fini, $i=1,2$ et $m\in{\bf Z}$, la fonction $g^{i}_{\eta,m}\in\mathrm{LA}_{\mathrm{c}}({{\bf Q}_{p}},\Delta_{\rm dif}^{-})^{\Gamma}$ par la formule

[TABLE]

Pour $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, on a donc

[TABLE]

Lemme 2.18**.**

Soient $z\in\Delta^{\psi=1}$, $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $i\in\{1,2\}$ et ${j}\geq 1$. Alors 313131Rappelons une dernière fois que \tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1} l’élément correspondant à $z$ par le lemme 2.12.

[TABLE]

Démonstration.

Il suffit de traiter le cas $i=1$. On a \tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1}, \partial^{-{j}}\tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{j}} et on a, pour $n\gg 0$,

[TABLE]

où la première égalité est la formule pour l’accouplement $[\;,\;]_{{\bf P}^{1}}$ en termes du modèle de Kirillov (cf. formule (13)), et la deuxième suit de ce que $g^{2}_{\eta,m}(p^{i})=0$ dès que $i\neq m$. Par définition de l’accouplement $[\;,\;]_{\rm dif}$ (cf. formule (8)), et en notant que $\sigma_{-1}(G(\eta)^{-1})=\eta(-1)G(\eta)^{-1}$, $\sigma_{a}(\Omega t^{-1})=\mathrm{det}_{\Delta}(a)a^{-1}\Omega t^{-1}=\omega_{\Delta}(a)\,\Omega t^{-1}$, on obtient

[TABLE]

Or, la formule

[TABLE]

$x\in\Delta_{\rm dif}$, $h\in L_{\infty}((t))$ et $i=1,2$, et la définition de $\text{r\'{e}s}_{L}$ comme la composée du résidu avec la trace de Tate normalisée donnent

[TABLE]

On conclut alors que

[TABLE]

ce qui finit la preuve du lemme. ∎

Proposition 2.19**.**

Soient $z\in\Delta^{\psi=1}$, $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $i\in\{1,2\}$ et ${j}\geq 1$. Alors

[TABLE]

Démonstration.

En accouplant la formule du lemme 2.15 avec $f_{i}$, on en déduit la formule

[TABLE]

Par ailleurs, \tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=1}, \partial^{-{j}}\tilde{z}\in(\Pi(\Delta)^{*}\otimes\omega_{\Delta})^{{{\big{(}\begin{smallmatrix}p&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\big{)}}}=p^{j}} et, par le lemme 2.18 on a, pour $n\gg 0$,

[TABLE]

Enfin, en comparant avec la formule (18) on conclut que

[TABLE]

et on finit la preuve. ∎

2.4.6. Vecteurs localement algébriques

La représentation $\Pi(\Delta)$ ne possède pas de vecteurs localement algébriques et on va tordre l’action de $G$ de sorte que l’on fasse en apparaître, ce qui nous permettra de regarder les fonctions $f^{i}_{\eta,k,m}$ et $g^{i}_{\eta,m}$ comme des éléments du modèle de Kirillov d’une certaine représentation localement algébrique.

Reprenons les notations de la section §2.3.5 et notons $\pi=\mathrm{LL}_{p}(\Delta)$ dans la suite. Rappelons qu’on a la relation $\omega_{\pi}=x\omega_{\Delta}$ entre les caractères centraux de $\Pi(\Delta)$ et $\pi$. Soit $k\geq 1$ et soit $i\in\{1,2\}$. On peut regarder les fonctions $f^{i}_{\eta,k,m}$ et $g^{i}_{\eta,m}$ comme des éléments de $\mathrm{LA}_{\rm c}({\mathbf{Q}_{p}^{\times}},L_{\infty}^{-k}\otimes M_{\rm dR})^{\Gamma}$ qui, d’après le diagramme (11), s’identifie aux vecteurs localement algébriques $\Pi(\Delta,k)^{\rm alg}$ de la représentation $\Pi(\Delta,k)$. Rappelons que l’on dispose des isomorphisme de $G$-modules (cf. remarque 2.6)

[TABLE]

[TABLE]

Alors

• •

On a 323232Observons que $\eta$ est vu comme un caractère sur ${\mathbf{Q}_{p}^{\times}}$ en posant $\eta(p)=1$. $f^{i}_{\eta,k,m}(p^{n}a)=0$ si $n\neq m$ et

[TABLE]

et donc

[TABLE]

où $\xi_{\eta,m}$ est la fonction définie dans §2.2.3.

• •

On a $g^{i}_{\eta^{-1},m}(p^{n}a)=0$ si $n\neq m$ et

[TABLE]

où pour la dernière égalité on a utilisé $\mathrm{det}_{\Delta}(a)=\omega_{\pi}(a)$. D’où

[TABLE]

Lemme 2.20**.**

Soient $k\geq 1$ et $i\in\{1,2\}$. On a

[TABLE]

Démonstration.

Par la discussion précédente et la proposition 2.2, on a 333333Le facteur $(-1)^{k}$ vient de l’action de $w$ sur le facteur $\mathrm{det}^{-k}$ du terme de gauche de l’isomorphisme $\iota_{i}$.

[TABLE]

où, dans la deuxième égalité on a utilisé le fait que \mathrm{det}{{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}\big{)}}}=-1. Ceci permet de conclure. ∎

2.5. L’équation fonctionnelle: le cas de poids de Hodge-Tate nuls

Soit $\Delta\in\Phi\Gamma(\mathscr{R})$ De Rham, non triangulin et à poids de Hodge-Tate nuls comme dans §2.3.4. Si $z\in\Delta^{\psi=1}$, on note $w_{\Delta}(z)=\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}(w\cdot\tilde{z})\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}^{-1}(p)}$. L’élément $w_{\Delta}(z)$ est aussi (cf. lemme 2.8) l’unique élément $x\in\Delta^{\psi=\omega_{\Delta}^{-1}(p)}$ tel que $(1-\omega_{\Delta}^{-1}(p)\varphi)x=w_{\Delta}((1-\varphi)z)$, où $w_{\Delta}\colon\Delta^{\psi=0}\to\Delta^{\psi=0}$ est l’involution définie par restriction à ${\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$ de l’action de {{\big{(}\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}\big{)}}} sur $\Delta\boxtimes{\bf P}^{1}$.

On est maintenant en condition de montrer le résultat principal de cette section:

Théorème 2.21**.**

Soient $z\in\Delta^{\psi=1}$ et notons {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}=w_{\Delta}(z)\otimes e_{\omega_{\Delta}}^{\vee}\in{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.33336pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.83334pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle\Delta}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.16667pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle\Delta}}}}}^{\psi=1}. Soient $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ un caractère d’ordre fini, $i\in\{1,2\}$ et $m\in{\bf Z}$. Alors

[TABLE]

où

[TABLE]

pour tout $j\geq 1$.

Démonstration.

Il suffit de montrer le résultat en projetant sur $f_{i}$, pour $i\in\{1,2\}$. Soient $j\geq 0$ et $k\geq 1$ et notons

[TABLE]

[TABLE]

En posant $m=0$ dans la formule de la proposition 2.17 on obtient

[TABLE]

Or, on a

[TABLE]

et, en utilisant la formule $[g\ast_{-k}x,y]_{{\bf P}^{1}}=\omega_{\Delta}(\mathrm{det}\;g)[x,g^{-1}\ast_{k}y]_{{\bf P}^{1}}$ du lemme 2.7, on en déduit

[TABLE]

Grâce au lemme 2.20, on sait que

[TABLE]

Enfin, en appliquant la proposition 2.19 avec $j=j+k$, on a

[TABLE]

Observons que $\varepsilon(\pi\otimes\eta^{-1})p^{-c(\pi\otimes\eta^{-1})(j+k)}=\varepsilon(\pi\otimes\eta^{-1}\otimes|\cdot|^{j+k})$. En simplifiant toutes ces jolies formules, et en utilisant la formule $\eta(-1)\frac{G(\eta^{-1})}{G(\eta)}=p^{n}G(\eta)^{-2}=\varepsilon(\eta^{-1})^{-2}$, on obtient

[TABLE]

Comme $j\geq 0$ et $k\geq 1$ ont été choisis arbitrairement, ceci achève la démonstration.

∎

Remarque 2.22*.*

• •

Si $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est le caractère trivial, la constante $C(\Delta,\eta,j)$ dévient

[TABLE]

• •

La valeur $\Omega^{-1}$ n’est que superflue car elle apparaît aussi dans le terme de gauche comme facteur dans $\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{\Delta}^{\vee}}$. L’équation fonctionnelle du théorème ne dépend donc pas du choix de la base $f_{1}$ et $f_{2}$ de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\Delta)$.

2.6. L’équation fonctionnelle: cas de poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 1$

L’équation fonctionnelle du théorème 2.21 peut être tordue pour obtenir une équation fonctionnelle analogue quand le $(\varphi,\Gamma)$-module est de Rham à poids de Hodge-Tate $0,k\geq 1$. Commençons par fixer quelques notations.

Soient $k\geq 1$, $\mathscr{L}\subseteq M_{\rm dR}$ une droite et notons $D=\Delta_{k,\mathscr{L}}$. On a alors $\omega_{D}=\omega_{\Delta}x^{k}$ et l’involution $w_{D}$ sur $D^{\psi=0}$ est donnée par (la restriction à $D^{\psi=0}$ de) l’action $w_{\Delta}\ast_{-k}z=\partial^{-k}w_{\Delta}\cdot z=w_{\Delta}\partial^{k}\cdot z$, $z\in D^{\psi=0}$. Notons

[TABLE]

Ce module contient tous les duaux de Tate des $(\varphi,\Gamma)$-modules de la forme $\Delta_{k,\mathscr{L}}$ (en effet, comme $\Delta_{k,\mathscr{L}}$ est de dimension $2$, son dual de Tate s’identifie à $\Delta_{k,\mathscr{L}}\otimes\omega_{\Delta_{k,\mathscr{L}}}^{-1}=\Delta_{k,\mathscr{L}}\otimes\omega_{\Delta}^{-1}x^{-k}\subseteq\Delta\otimes\omega_{\Delta}^{-1}x^{-k}$). Le module $D$ est à poids de Hodge-Tate [math] et $k$ et les poids de Hodge-Tate de

$\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}$

$\textstyle D$ sont dont $1-k$ et $1$, d’où {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(k-1) est à poids $0,k$.

Soit $z\in D^{\psi=1}\subseteq\Delta^{\psi=1}$ et soit $y=(1-\varphi)z\in D^{\psi=0}$. Posons

[TABLE]

[TABLE]

On a bien

[TABLE]

En effet,

[TABLE]

L’équation fonctionnelle du théorème 2.21 en poids de Hodge-Tate positifs prend la forme suivante:

Théorème 2.23**.**

Les notations comme ci-dessus. On a, pour tout $j\geq 0$,

[TABLE]

où

[TABLE]

Démonstration.

Rappelons que l’opérateur $\partial$ commute à la restriction et l’on a donc {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}[k]=\partial^{-k}\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}(w_{\Delta}(\tilde{z}))\otimes e_{\omega_{\Delta}}^{\vee}\otimes e_{x^{-k}}=\partial^{-k}{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}\otimes e_{x^{-k}}. On a alors, pour $n\gg 0$,

[TABLE]

Observons que, comme dans les démonstrations des propositions 2.17 et 2.19, le terme [t^{-k}\partial^{-k}\varphi^{-n}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.25pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.25pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.30554pt\vrule height=0.0pt,width=5.0903pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.81944pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.81944pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.01389pt\vrule height=0.0pt,width=3.5632pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle z}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.53241pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.53241pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.15277pt\vrule height=0.0pt,width=2.54514pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle z}}}}}\otimes e_{\eta}\otimes e_{-j})]_{0} appartient à ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(\Delta\otimes\omega_{\Delta}^{\vee}\otimes\eta\chi^{-j})={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\otimes\mathbf{e}_{\eta,-j,\omega_{\Delta}^{\vee}}^{\rm dR}$. Si $\varphi^{-n}(\mathrm{Res}_{{\bf Z}_{p}}(w_{\Delta}(\tilde{z})))=\sum_{n}a_{l}t^{l}$, en utilisant le fait que le terme de degré $l$, $l\geq 0$, en $t$ de $t^{-k}\partial^{-k}(a_{l}t^{l})$ est $\frac{1}{(l+1)(l+2)\ldots(l+k)}a_{l}t^{l}$ on en déduit

[TABLE]

Comme $\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{D}^{\vee}}\otimes t^{k}e_{x^{-k}}=\mathbf{e}^{\rm dR,\vee}_{\eta,-j,\omega_{\Delta}^{\vee}}$, on en déduit

[TABLE]

Par le théorème 2.21, on a

[TABLE]

où

[TABLE]

d’où le résultat. ∎

Remarque 2.24*.*

Si $\eta\colon{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to L^{\times}$ est le caractère trivial, la constante $C(D,\eta,j)$ du théorème 2.23 dévient

[TABLE]

3. La conjecture $\varepsilon$ locale de Kato en dimension $2$

3.1. Notations

Fixons les notations dont on aura besoin dans la suite, pour lesquelles on renvoie à [24], [23].

• •

Soit $A$ une ${{\bf Z}_{p}}$-algèbre commutative satisfaisant l’une des deux conditions suivantes

• –

$A$ est un anneau semi-local noethérien complet pour la topologie définie pour son idéal de Jacobson $\mathrm{Jac}(A)$ et tel que $A/\ \mathrm{Jac}(A)$ est un anneau fini d’ordre une puissance de $p$.

• –

$A=L$ est une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$.

Si $A$ satisfait une des ces conditions, on dit que $A$ est une ${{\bf Z}_{p}}$-algèbre de type (*). Pour une telle $A$, on note $\mathscr{R}_{A}$ l’anneau de Robba relatif sur $A$ (cf. §1.6) et notons $\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R}_{A})$ la catégorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules étales sur $\mathscr{R}_{A}$.

• •

Soit ${\bf D}_{\rm perf}(A)$ la catégorie des complexes de $A$-modules parfaits (i.e quasi-isomorphes à un complexe borné de $A$-modules projectifs de type fini). On note

[TABLE]

le foncteur déterminant (cf. [23, §3A]) vers la catégorie des $A$-modules inversibles (i.e localement libres de rang $1$). Si $P$ est un $A$-module projectif, on a $\mathrm{Det}_{A}(P)=\wedge_{A}^{r_{P}}P$, où $r_{P}:\mathrm{Spec}\,A\to{\bf Z}$ dénote le rang de $P$. On note $\mathbf{1}_{A}=\mathrm{Det}_{A}(0)=A$ est l’objet unité (relatif au produit induit par le produit tensoriel).

• •

Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R}_{A})$ de rang $2$ et de Rham. On pose

[TABLE]

le déterminant de la $\varphi,\gamma$-cohomologie de $D$ (cf. §1.7). Soit $\mathscr{E}_{A}$ définit comme précédemment si $A=L$ est une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$ et $\mathscr{E}_{A}=\varprojlim A/\mathrm{Jac}(A)^{n}[[T]][T^{-1}]$ autrement. Notons $D_{0}\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{E}_{A})$ le $(\varphi,\Gamma)$-module correspondant à $D$. On définit

[TABLE]

et on pose

[TABLE]

Enfin, on définit la droite fondamentale locale de $D$ comme

[TABLE]

Cette droite est compatible au changement de base, multiplicative pour les suites exactes courtes et se comporte bien sous la dualité.

Remarquons que, si $T\in\mathrm{Rep}_{A}\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}}$ et $i\in\{1,2\}$, on peut définir des modules $\Delta_{A,i}(T)\in\mathfrak{Inv}_{A}$ (cf. [18, §1.7], [24, §2.1.2], [23, §3B]) et on a ([23, Corollary 3.2], [24, §2.2.2]) des isomorphismes canoniques

[TABLE]

3.2. L’isomorphisme $\varepsilon^{\rm dR}_{L}$

Soient $A=L$ une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$ et $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ de Rham. On a besoin (cf. [24, §2.1.3]) de trois ingrédients pour définir l’isomorphisme $\varepsilon^{\rm dR}_{L}$:

• •

La suite exacte fondamentale et les propriétés d’adjonction entre les applications exponentielle et exponentielle duale induisent ([23, §3C eq. (25)]) la suite exacte

[TABLE]

où $t_{D}={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)/\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$. Par dualité, on sait que H^{0}_{\varphi,\gamma}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}})^{*}=H^{2}_{\varphi,\gamma}(D) et (t_{{\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.93092pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.93092pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.34833pt\vrule height=0.0pt,width=4.1929pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.61203pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.61203pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=2.39166pt\vrule height=0.0pt,width=2.99492pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}})^{*}=\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D). Le déterminant du complexe ci-dessus nous fournit donc un isomorphisme

[TABLE]

• •

On note, pour $r\in{\bf Z}$, $n_{r}=\dim_{L}\mathrm{gr}^{-r}{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$ et on définit

[TABLE]

où \Gamma^{*}(r)=\left\{\begin{array}[]{c c}(r-1)!&\quad\text{ si r>0}\\ \frac{(-1)^{r}}{(-r)!}&\quad\text{si r\leq 0}\\ \end{array}.\right.

• •

Soit $h_{D}=\sum_{r\in{\bf Z}}r\,n_{r}$. On a un isomorphisme (où on voit les deux espaces dans $\mathrm{Det}_{L_{\infty}((t))}(D_{\rm dif}))$

[TABLE]

où ${\bf D}_{\rm pst}(D)={\bf D}_{\rm pst}(\mathbf{V}(D))$ est le $(\varphi,N,\mathscr{G}_{{\bf Q}_{p}})$-module filtré associé à $D$ (cf. [4, §3.2] et remarque 2.5) et $\varepsilon({\bf D}_{\rm pst}(D))$ dénote le facteur local de la représentation de Weil-Deligne ([13]) 343434La définition des facteurs epsilon dépend du choix d’un caractère additif ainsi que d’une mesure de Haar sur ${{\bf Q}_{p}}$ que l’on fixe comme dans §2.2.1. On sait, grâce à la compatibilité locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique [15], que les facteurs locaux des représentations de Weil-Deligne coïncident avec les facteurs locaux des représentations lisses fournies par la théorie du modèle de Kirillov. On pourrait donc définir les isomorphismes $\varepsilon$ de de Rham en utilisant ces derniers et, dans ce cas-là, la preuve de la conjecture présentée dans ce chapitre ne dépendrait pas de telle compatibilité, et elle serait en conséquence purement locale..

Avec les applications définies ci-dessus, on définit

[TABLE]

3.3. Énoncé de la conjecture

Rappelons (cf. [24, §2.1.4]) la conjecture en question.

Conjecture 3.1**.**

Il existe une unique famille d’isomorphismes

[TABLE]

pour tout triplet $(A,D)$, avec $A$ une ${{\bf Z}_{p}}$ algèbre de type (*) et $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R}_{A})$, satisfaisant les propriétés suivantes

1. (1)

Pour tout morphisme $A\to A^{\prime}$ de ${{\bf Z}_{p}}$-algèbres, on a

[TABLE] 2. (2)

Pour toute suite exacte $0\to D^{\prime}\to D\to D^{\prime\prime}\to 0$ on a

[TABLE] 3. (3)

Pour tout $a\in{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}$, si l’on remplace le système $(\zeta_{p^{n}})_{n\in{\bf N}}$ par $(\sigma_{a}(\zeta_{p^{n}}))_{n\in{\bf N}}=(\zeta_{p^{n}}^{a})_{n\in{\bf N}}$ et l’on note $\varepsilon_{A,\sigma_{a}(\zeta)}$ la nouvelle famille d’isomorphismes ainsi obtenues, on a

[TABLE] 4. (4)

La composition

[TABLE]

donne l’identité, où l’isomorphisme du milieu est celui induit par la dualité locale. 5. (5)

Pour toute paire $(L,D)$, où $L$ est une extension finie de ${{\bf Q}_{p}}$ et $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R}_{L})$ est de Rham, on a

[TABLE]

3.4. Construction de l’isomorphisme

Dans [24], Nakamura construit, pour toute paire $(A,D)$ comme ci-dessus, un candidat pour l’isomorphisme $\varepsilon_{A}:\mathbf{1}_{A}\xrightarrow{\sim}\Delta_{A}(D)$ et il démontre le résultat suivant:

Théorème 3.2** ([24, Th. 3.1]).**

Les isomorphismes $\varepsilon_{A}(D)$, pour $(A,D)$ tel que $D$ est de rang $\leq 2$, satisfont les propriétés $(1),(2)$ et $(3)$ et $(4)$ de la conjecture. De plus, si $(A,D)=(L,D)$ est tel que $D$ est de Rham et soit triangulin soit non-triangulin à poids de Hodge-Tate $k_{1}\leq 0$ et $k_{2}\geq 1$, alors $\varepsilon_{L}(D)=\varepsilon_{L}^{\rm dR}(D)$.

Rappelons brièvement la construction de l’isomorphisme (cf. [24, §3.2.2] pour les détails). Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R}_{A})$ absolument irréductible et notons $\mathbf{Dfm}(D)\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R}^{+}_{A}(\Gamma))$ sa déformation cyclotomique (§1.8) et

[TABLE]

L’opérateur $1-\varphi$ induit ([10, Corollaire V.1.13(iii)]) un isomorphisme de $\mathscr{R}_{A}(\Gamma)$-modules $D^{\psi=1}\otimes_{\mathscr{R}_{A}^{+}(\Gamma)}\mathscr{R}_{A}(\Gamma)\xrightarrow{\sim}D^{\psi=0}$ et donc un isomorphisme

[TABLE]

Comme $\mathscr{L}_{\mathscr{R}^{+}_{A}(\Gamma)}(\mathbf{Dfm}(D))=\mathscr{L}_{A}(D)\otimes_{A}\mathscr{R}^{+}_{A}(\Gamma)$, l’isomorphisme ci-dessus induit

[TABLE]

Enfin, l’accouplement d’Iwasawa (cf. §1.13) nous permet de trivialiser ce dernier module en définissant un isomorphisme

[TABLE]

par $(x\wedge y)\otimes z^{\vee}\mapsto[\sigma_{-1}]\langle w_{D}(x)\otimes z^{\vee}\otimes e_{1},y\rangle_{\rm Iw}.$ Ceci induit donc

[TABLE]

On montre (cf. [24, Prop. 3.4]) que l’isomorphisme $\eta_{A}(D)$ descend en un isomorphisme

[TABLE]

et, pour $\delta:{\mathbf{Z}_{p}^{\times}}\to A^{\times}$ un caractère localement analytique, on définit

[TABLE]

où on note $f_{\delta}:\mathscr{R}^{+}_{A}(\Gamma)\to A$ le morphisme induit par $[\gamma]\mapsto\delta(\gamma)$, $\gamma\in\Gamma$.

Si on déroule les définitions ci-dessus (cf. aussi [24, Rem. 3.8]), on voit que la trivialisation du module $\Delta_{A}^{\rm Iw}(D)=\mathrm{Det}(D^{\psi=1})\otimes_{A}\mathscr{L}_{A}(D)^{\vee}\xrightarrow{\sim}\mathrm{Det}_{\mathscr{R}_{A}(\Gamma)}(D^{\psi=0})\otimes_{A}\mathscr{L}_{A}(D)^{\vee}$ construite pour définir l’isomorphisme $\varepsilon_{A}(D(\delta))$ est induite par

[TABLE]

3.5. Interpolation

Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ de dimension $2$, de Rham non-triangulin à poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 0$. Pour $j\in{\bf Z}$, notons 353535Par un petit abus de notation, on note par $\langle\;,\;\rangle_{\rm dif}$ l’accouplement pour tous le différents tordus de $D$.

[TABLE]

l’accouplement naturel induit par restriction de l’accouplement $\langle\;,\;\rangle_{\rm dif}$ entre {{\bf D}_{\mathrm{dif}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(-j)) et ${{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D(j))$ défini par $\langle x,y\rangle_{\rm dif}:=T_{L}(\mathrm{r\acute{\mathrm{e}}s}_{0}(\langle x,y\rangle))$ pour $n\gg 0$, x\in{{\bf D}_{\mathrm{dif}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(-j))=\mathrm{Hom}({{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D(j)),L_{\infty}((t))dt),y\in{{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D(j)) (cf. [10, §VI.3.4]). Notons que l’accouplement ci-haut n’est rient d’autre que l’accouplement $\{\;,\;\}_{\rm dR}$ défini dans §1.11. Rappelons que l’on a une identification entre $D(j)\otimes\omega_{D(j)}^{\vee}$ et {\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(-j), envoyant $x\otimes e_{\omega_{D(j)}^{\vee}}$ sur la forme linéaire $y\mapsto(x\wedge y)\otimes e_{\omega_{D(j)}^{\vee}}$. On en déduit des isomorphismes entre ${{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D(j))\otimes\omega_{D(j)}^{\vee}$ et {{\bf D}_{\mathrm{dif}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(-j)) envoyant $x\otimes e_{\omega_{D(j)}^{\vee}}$ sur la forme linéaire $y\mapsto(x\wedge y)\otimes e_{D(j)}^{\vee}dt$.

Rappelons que l’on a fixé une base $\{f_{1},f_{2}\}$ de ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)$, ce qui permet de fixer des bases $\{f_{1}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j},f_{2}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}\}$ des modules ${{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D)\otimes L\cdot\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}$. Ce choix induit un produit scalaire

[TABLE]

défini par la formule $x=\sum_{i=1,2}\langle x,f_{i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}\rangle\,(f_{i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j})$. Rappelons aussi que $\Omega$ est défini par la formule $f_{1}\wedge f_{2}=\Omega^{-1}t^{-k}e_{\omega_{D}}\cdot dt$.

Lemme 3.3**.**

Sous les identifications faites ci-dessus, on a, pour x\in{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}({\mathchoice{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\displaystyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\displaystyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 7.09259pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 7.09259pt\hbox{\textstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=6.83331pt\vrule height=0.0pt,width=8.55695pt}}}}}\cr\hbox{\textstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 6.40926pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 6.40926pt\hbox{\scriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=4.78333pt\vrule height=0.0pt,width=5.98985pt}}}}}\cr\hbox{\scriptstyle D}}}}{{\ooalign{\hbox{\raise 5.9537pt\hbox{\scalebox{1.0}[-1.0]{\lower 5.9537pt\hbox{\scriptscriptstyle\widehat{\vrule width=0.0pt,height=3.41666pt\vrule height=0.0pt,width=4.27846pt}}}}}\cr\hbox{\scriptscriptstyle D}}}}}(-j)),

[TABLE]

Démonstration.

En écrivant $x=x^{\prime}\otimes e_{\omega_{D(j)}^{\vee}}$, $x^{\prime}\in{{\bf D}_{\mathrm{dif}}}(D)$, on a

[TABLE]

Or,

[TABLE]

et, comme $(f_{3-i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}\wedge f_{i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j})=(f_{3-i}\wedge f_{i})\otimes\mathbf{e}^{\rm dR,\otimes 2}_{j}=(-1)^{i}\Omega^{-1}t^{-k-2j}e_{D(j)}$, on en déduit

[TABLE]

ce qui permet de conclure. ∎

Théorème 3.4**.**

Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham non-triangulin. Alors

[TABLE]

Démonstration.

Soit $D\in\Phi\Gamma^{\text{\'{e}t}}(\mathscr{R})$ de rang $2$, de Rham non-triangulin à poids de Hodge-Tate [math] et $k\geq 0$. Pour montrer le théorème, il suffit de montrer que les isomorphismes epsilon coïncident sur $D(j)$ pour tout $j\in{\bf Z}$. La preuve du théorème consiste à expliciter les deux isomorphismes en question pour se ramener à l’équation fonctionnelle des théorèmes 2.21 et 2.23.

La suite exacte définissant le morphisme $\theta_{L}(D)$ acquiert, dans le cas non-triangulin, la forme suivante:

[TABLE]

De plus, on sait que $H^{0}_{\varphi,\gamma}(D(j))=H^{2}_{\varphi,\gamma}(D(j))=0$ et donc $\mathrm{Det}(\mathscr{C}^{\bullet}_{\varphi,\gamma}(D(j))=\mathrm{Det}(H^{1}_{\varphi,\gamma}(D(j))^{\vee}$. On a trois situations possibles:

1. (1)

Soit $\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))=0$ (le cas de poids de Hodge-Tate strictement positifs). 2. (2)

Soit $\dim_{L}\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))=1$ (le cas de poids de Hodge-Tate $k_{1}\leq 0$ et $k_{2}>0$). 3. (3)

Soit $\mathrm{Fil}^{0}\,{{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))={{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j))$ (le cas de poids de Hodge-Tate négatifs).

Comme on a remarqué, le deuxième cas a été traité par Nakamura, et les deux autres cas sont en dualité (condition $(4)$ de la conjecture). Il suffit donc de montrer le résultat dans le premier cas. Les deux lemmes suivants explicitent les deux isomorphismes en jeu.

Lemme 3.5**.**

Le morphisme $\beta_{L}^{\rm dR}(D(j))\colon\mathrm{Det}(H^{1}_{\varphi,\gamma}(D(j)))\to\mathscr{L}_{L}(D(j))$ déduit de $\varepsilon^{\rm dR}_{L}(D(j))$ satisfait

[TABLE]

où

[TABLE]

Démonstration.

Notons $\theta_{1}^{\prime}(D(j))\colon\mathrm{Det}(H^{1}_{\varphi,\Gamma}(D(j)))\to\mathrm{Det}({{\bf D}_{\mathrm{dR}}}(D(j)))$ le morphisme qui s’en déduit en prenant le déterminant de la suite exacte (24). On a alors

[TABLE]

Comme $(f_{3-i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j}\wedge f_{i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j})=(-1)^{i}\Omega^{-1}t^{-k-2j}e_{D(j)}$, la dernière expression est égale à

[TABLE]

On conclut à partir de la formule $\beta^{\rm dR}_{L}=\theta_{2}\circ\theta_{1}=\Gamma_{L}\cdot\theta_{2}\circ\theta_{1}^{\prime}$ que $\beta^{\rm dR}_{L}(D(j)\left((\int_{\Gamma}\chi^{j}\cdot\mu_{z})\wedge(f_{i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j})\right)$ est donné par

[TABLE]

ce qui finit la preuve du lemme. ∎

Lemme 3.6**.**

Le morphisme $\beta_{L}(D(j))\colon\mathrm{Det}(H^{1}_{\varphi,\gamma}(D(j)))\to\mathscr{L}_{L}(D(j))$ déduit de $\varepsilon_{L}(D(j))$ satisfait

[TABLE]

où

[TABLE]

Démonstration.

Soit $z^{\prime}\in D^{\psi=1}$ tel que $\int_{\Gamma}\chi^{j}\cdot\mu_{z^{\prime}}=\exp(f_{i}\otimes\mathbf{e}^{\rm dR}_{j})$. On a, par définition de $\beta_{L}(D(j))$ (cf. la dernière formule de §3.4),

[TABLE]

où la deuxième égalité suit du lemme 1.11, et la dernière suit par définition de l’action de $\Lambda$ sur la cohomologie d’Iwasawa. Par le lemme 3.3 ci-dessus, cette dernière expression coïncide avec

[TABLE]

ce qui permet de conclure. ∎

Revenons à la preuve du théorème. Les poids de Hodge-Tate de la représentation $D(j)$ sont $j\geq 1$ et $k+j\geq 1$ et on a

[TABLE]

Enfin, la compatibilité locale-globale dans la correspondance de Langlands $p$-adique pour $\mathrm{GL}_{2}({{\bf Q}_{p}})$ ([15]) montre que

[TABLE]

où $\pi=\mathrm{LL}_{p}({\mathbf{N}_{\mathrm{rig}}}(D))$ est comme dans §2.3.5. Le théorème est donc équivalent à l’identité

[TABLE]

On conclut en utilisant le théorème 2.23 (voir aussi la remarque après sa démonstration) si $k\neq 0$, ou le théorème 2.21 si $k=0$. ∎

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