$+\infty$-$w\_0$-generated field extensions

TL;DR

This paper investigates the properties of $w_0$-generated purely inseparable field extensions, exploring their limitations and generalizations, especially in the context of unbounded extension sizes and exponents.

Contribution

It extends the concept of $w_0$-generated extensions to unbounded size cases and proposes new generalizations for purely inseparable extensions.

Findings

Unbounded size modular extensions have proper subextensions of unbounded size.

$w_0$-generated extensions can be prolonged to larger extensions.

New generalizations of $w_0$-generated extensions are proposed.

Abstract

In this note, we continue to be interested in the relationship that connects the restricted distribution of finitude at the local level of intermediate fields of a purely inseparable extension $K/k$ to the absolute or global finitude of $K/k$. In "{\it $w\_0$-generated field extensions,}Arch. Math. {\bf 47}, (1986), 410-412", JK Deveney constructed an example of modular extension $K/k$ called $w\_0 $-generated such that for any proper subfield $L$ of $K/k $, $L$ is finite over $k$, and for every $ n \in {\mathbf N}$, we have $ [k^{p^{- n}} \cap K: k] = p^{2n} $. This example has proved to be extremely useful in the construction of other examples of $w\_0$-generated extensions. In particular, we prolong the $w\_0$-generated to an extension of unspecified finite size.However, when $K/k$ is of unbounded size, we show that any modular extension of unbounded exponent admits a proper subextension of unbounded exponent. This brings us to study the $w\_0$-generated in the restricted sense. In addition, with the aim of extending the $w\_0$-generated to a purely inseparable extension of unbounded size, we propose other generalizations.

Equations

$$di(\bigcup _{n\in \mathbf{N}}(K_n)/k)=\underset{n\in \mathbf{N}}{\sup }(di(K_n/k)).$$

$$rp(rp(K/L)/k)=rp(K/k)\text{mbox}etrp(K/rp(L/k))=rp(K/k).$$

$$\begin{array}[]{rcl}k\longrightarrow&&K;\\ &\uparrow&\\ &\hbox{$trou$ }&\end{array}$$

$$di(K/k)\le di(L_r/k)+di(K/L)+di(L/k(L^p))=di(L/k)+di(K/L),$$

$$o_r(K_n/L(M))=o_{j-s+1}(K_n/L(M))=n.$$

$${\Omega }^n$$

$$({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$

Full text

Mathematics Subject Classification MSC2010: Primary 12F15

Keywords: Purely inseparable, Degree of irrationality, Modular extension, $w_{0}$-generated field extensions, $+\infty$-$w_{0}$-generated, $q$-finite extension.

1 Introduction

Soit $K/k$ une extension purement inséparable de caractéristique $p>0$. Une partie $B$ de $K$ est dite $r$-base de $K/k$ si $K=k(K^{p})(B)$, et pour tout $x\in B$, $x\not\in k(K^{p})(B\setminus\{x\})$. En vertu du ([16], III, p. 49, corollaire 3) et de la propriété d’échange des $r$-bases, on en déduit que toute extension admet une $r$-base et que le cardinal d’une $r$-base est invariant. Si de plus $K/k$ est d’exposant fini, on vérifie aussitôt que $B$ est une $r$-base de $K/k$ si et seulement si $B$ est un générateur minimal de $K/k$. Sous ces conditions, on désigne par $di(K/k)=|G|$, où $G$ est un générateur minimal de $K/k$, le degré d’irrationalité de $K/k$, et par $di(k)=|B|$, où $B$ est une $r$-base de $k/k^{p}$, le degré d’imperfection de $k$. Ces deux invariants permettent de mesurer respectivement la taille de $K/k$ et la longueur de $k$. Notamment, la taille d’une extension croit en fonction de l’inclusion. Plus précisément, pour toute chaine d’extensions d’exposant borné $k\subseteq L\subseteq K$, on a $di(L/k)\leq di(K/k)$ (cf. [10]). En particulier, cette propriété permet d’étendre la meseure de la taille à une extension purement inséparable $K/k$ quelconque par prolongement vertical du degré d’irrationalité des sous-extensions intermédiaires d’exposant fini de $K/k$. Ainsi, on pose $di(K/k)=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(di(k^{p^{-n}}\cap K/k))$, ici le $\sup$ est employé dans le sens ([16], III, p. 25, proposition 2). Dans ce contexte, on montre dans (cf. [10]) que la mesure de la taille d’une extension est compatible avec l’inclusion et la linéarité disjointe. En d’autres termes, on a :

• $\bullet$

Pour toute chaine d’extensions purement inséparables $k\subseteq L\subseteq L^{\prime}\subseteq K$, on a $di(L^{\prime}/L)\leq di(K/k)\leq di(k)$

• $\bullet$

Pour tous corps intermédiaires $K_{1}$ et $K_{2}$ de $K/k$, $k$-linéairement disjoints, on a $di(K_{1}(K_{2})/k)=di(K_{1}/k)+di(K_{2}/k)$ et $di(K_{1}(K_{2})/K_{2})=di(K_{1}/k)$.

En outre, $di(K/k)=\sup(di(L/k))$, où $k\subseteq L\subseteq K$. Autrement dit, la mesure de la taille de $K/k$ est vue comme limite inductive du degré d’irrationalité de ces sous-extensions intermédiaires.

Dans cette note, nous continuons à s’intéresser à la relation qui relit la répartition restreinte de la finitude au niveau des corps intermédiaires d’une extension purement inséparable $K/k$ à la finitude absolue ou globale de $K/k$.

Dans [9], J. K. Deveney construit un exemple d’extension modulaire $K/k$ dite extension $w_{0}$-générée tel que toute sous-extension propre de $K/k$ est finie, et telle que pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, on a $[k^{p^{-n}}\cap K:k]=p^{2n}$. Il est facile de vérifier que $di(k^{p^{-n}}\cap K/k))=2$, et donc $K/k$ est relativement parfaite d’exposant non borné dont la mesure de la taille vaut 2. En particulier, $K/k$ ne conserve pas la distribution de la finitude au niveau local des corps intermédiaires de $K/k$. Ainsi, on peut espérer étendre la $w_{0}$-génératrice à une extension de taille quelconque. Dans cette perspective, dans [2] on construit pour tout entier $j$ une extension purement inséparable $K/k$ d’exposant non borné vérifiant :

• (i)

Toute sous-extension propre de $K/k$ est finie;

• (ii)

Pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, $[k^{p^{-n}}\cap K:k]=p^{jn}$.

Améliorant ainsi le contre-exemple de J. K. Deveney, une telle extension est relativement parfaite d’exposant non borné, et pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, $di(k^{p^{-n}}\cap K/k)=j$. Il est également clair que $K/k$ ne conserve pas la finitude restreinte. Il s’agit donc d’une forme d’irréductibilité dans le sens où $K/k$ ne peut se décomposer sous la forme $k\longrightarrow K_{1}\longrightarrow K$ avec $K_{1}/k$ et $K/K_{1}$ ont chacune un exposant non borné. D’autre part, toute extension de taille finie est composée d’extensions $w_{0}$-générées. Toutefois, lorsque la taille de $K/k$ n’est pas borné, on montre que toute extension modulaire d’exposant non borné admet une sous-extension d’exposant non borné. En particulier, on montre pour qu’une extension $w_{0}$-générée soit de taille finie il faut et il suffit que la plus petite sous-extenion $m$ de $K/k$ telle que $K/m$ est modulaire soit non triviale ($m\not=K$), et par suite si l’on tient compte de ce résultat, il est fort probable que la $w_{0}$-génératrice soit liée aux extensions de taille finie. Ceci, nous amène à étudier de près la $w_{0}$-génératrice au sens restreint. Conformément à cette approche, et dans le but d’étendre la $w_{0}$-génératrice aux extensions purement inséparables de taille non bornée, on propose d’autres généralisations. Une extension $K/k$ est dite $j$-$w_{0}$-générée si $K/k$ n’admet aucun corps intermédiaire $L$ d’exposant non borné sur $k$ et de degré d’irrationalité inférieur ou égal $j$. Il s’agit d’une forme d’irrédictubilité locale conditionnée par la mesure de la taille. En particulier, si pour tout entier $j$, $K/k$ est $j$-$w_{0}$-générée, $K/k$ sera appelée $+\infty$-$w_{0}$-générée. On vérifie aussitôt que toute extension $w_{0}$-générée est $+\infty$-$w_{0}$-générée et inversement toute extension $+\infty$-$w_{0}$-générée de taille finie est $w_{0}$-générée. Il s’agit d’une répartition absolue de la $w_{0}$-génératrice au niveau des extensions de taille finie. Par ailleurs, pour des raisons de la non-contradiction, on construit un exemple d’extension $+\infty$-$w_{0}$-générée de taille infinie.

Enfin, il est à noter qu’au cours de cette note, on reprend, les notations et les résultats élémentaires de [10], puisqu’ils sont utilisés avec toute leur force ici.

2 Généralité

D’abord, nous commencerons par donner une liste préliminaire des notations le plus souvent utilisées tout le long de ce travail :

• —

$k$* désigne toujours un corps commutatif de caractéristique $p>0$, et $\Omega$ une clôture algébrique de $k$.*

• —

$k^{p^{-\infty}}$* indique la clôture purement inséparable de $\Omega/k$.*

• —

Pour tout $a\in\Omega$, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, on symbolise la racine du polynôme $X^{p^{n}}-a$ dans $\Omega$ par $a^{p^{-n}}$. En outre, on pose $k(a^{p^{-\infty}})=k(a^{p^{-1}},\dots,a^{p^{-n}},$ $\dots)=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}^{*}}k(a^{p^{-n}})$ et $k^{p^{-n}}=\{a\in\Omega\,|\ ,a^{p^{n}}\in k\}$.

• —

Pour toute famille $B=(a_{i})_{i\in I}$ d’éléments de $\Omega$, on note $k(B^{p^{-\infty}})=k({({a_{i}}^{p^{-\infty}})}_{i\in I})$.

• —

Enfin, |.| sera employé au lieu du terme cardinal.

Il est à signaler aussi que toutes les extensions qui interviennent dans ce papier sont des sous-extensions purement inséparables de $\Omega$, et il est commode de noter $[k,K]$ l’ensemble des corps intermédiaires d’une extension $K/k$.

2.1 $r$-base, $r$-générateur

Définition 2.1

Soit $K/k$ une extension. Une partie $G$ de $K$ est dite $r$-générateur de $K/k$, si $K=k(G)$ ; et si de plus pour tout $x\in G$, $x\not\in k(G\backslash x)$, $G$ sera appelée $r$-générateur minimal de $K/k$.

Définition 2.2

Etant données une extension $K/k$ de caractéristique $p>0$ et une partie $B$ de $K$. On dit que $B$ est une $r$-base de $K/k$, si $B$ est un $r$-générateur minimal de $K/k(K^{p})$. Dans le même ordre d’idées, on dit que $B$ est $r$-libre sur $k$, si $B$ est une $r$-base de $k(B)/k$ ; dans le cas contraire $B$ est dite $r$-liée sur $k$.

Voici quelques cas particuliers :

• —

Toute $r$-base de $k/k^{p}$ s’appelle $p$-base de $k$.

• —

Egalement, toute partie d’éléments de $k$, $r$-libre sur $k^{p}$ sera appelée $p$-indépendante (ou $p$-libre) sur $k^{p}$.

Ici $B$ désigne une partie d’un corps commutatif $k$ de caractéristique $p>0$. Comme conséqueces immédiates on a :

• (1)

$B$* est $p$-base de $k$ si et seulement si pour tout $n\in\mathbf{Z}$, $B^{p^{n}}$ l’est également de $k^{p^{n}}$.*

• (2)

$B$* est $r$-libre sur $k^{p}$ si et seulement si pour tout $n\in\mathbf{Z}$, $B^{p^{n}}$ l’est auusi sur $k^{p^{n+1}}$.*

• (3)

$B$* est $p$-base de $k$ si et seulement si $B$ est un $r$-générateur minimal de $k/k^{p}$.*

• (4)

$B$* est $p$-base de $k$ si et seulement si pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, $k^{p^{-n}}=\otimes_{k}(\otimes_{k}$ $k($ $a^{p^{-n}}$ $))_{a\in B}$ et pour tout $a\in B$, $a\not\in k^{p}$. En particulier, $B$ est $p$-base de $k$ si et seulement si $k^{p^{-\infty}}=\otimes_{k}(\otimes_{k}k(a^{p^{-\infty}}))_{a\in B}$ et pour tout $a\in B$, $a\not\in k^{p}$.*

Il est à noter que le produit tensoriel est utilisé conformément à la définition 5 (cf. [17], III, p. 42). Il est vu comme limite inductive du produit tensoriel d’une famille finie de $k$-algèbre. Toutefois, la proposition ci-dessous permet de ramener l’étude des propriétés des systèmes $r$-libres des extensions de haureur $\leq 1$, ($K^{p}\subseteq k$) au cas fini. Plus précisément, on a :

Proposition 2.1

Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Une partie $B$ de $K$ est $r$-libre sur $k(K^{p})$ si et seulement s’il en est de même pour toute sous-partie finie de $B$.

**Preuve. **Immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 2.2

Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Toute partie finie $B$ de $K$ satisfait $[k(K^{p})(B):k(K^{p})]\leq p^{|B|}$, et il y’a égalité si et seulement si $B$ est $r$-libre sur $k(K^{p})$.

**Preuve. **Notons $B=\{x_{1},\dots,x_{n}\}$, comme pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on a $x_{i}^{p}\in k(K^{p})\subseteq k(K^{p})(x_{1},\dots,x_{i-1})$, alors $[k(K^{p})(x_{1},\dots,x_{i}):k(K^{p})(x_{1},\dots,x_{i-1})]$ $\leq p$, et il y’a égalité si et seulement si $x_{i}\not\in k(K^{p})(x_{1},\dots,x_{i-1})$. Compte tenu de la transitivité de la finitude, on a $[k(K^{p})(x_{1},\dots,x_{n}):k(K^{p})]=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}[k(K^{p})(x_{1},$ $\dots,$ $x_{i}):k(K^{p})(x_{1},\dots,x_{i-1})]\leq p^{n}$, et il y’a égalité si et seulement si $B$ est $r$-libre sur $k(K^{p})$.     \sqcap$$\sqcup

Corollaire 2.3

Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Une partie $B$ de $K$ est $r$-libre sur $k(K^{p})$ si et seulement si pour toute sous-partie finie $B^{\prime}$ de $B$, on a $[k(K^{p})(B^{\prime}):k(K^{p})]=p^{|B^{\prime}|}$.

Comme application, le résultat ci-dessous montre que la $r$-indépendance est transitive dans le cas des extensions de hauteurs $1$. Autrement dit :

Proposition 2.4

Etant donnée une extension $K/k$ de caractéristique $p>0$. Deux parties $B_{1}$ et $B_{2}$ de $K$ sont respectivement $r$-libres sur $k(K^{p})$ et $k(B_{1})(K^{p})$ si et seulement si $B_{1}\cup B_{2}$ l’est sur $k(K^{p})$. En particulier, si $B_{1}$ est une $r$-base de $k(K^{p})/K^{p}$, et $B_{2}$ est une $r$-base de $K/k(B_{1})(K^{p})$, alors $B_{1}\cup B_{2}$ est $p$-base de $K$.

**Preuve. **La condition suffisante résulte aussitôt de la définition des $r$-bases. Par ailleurs, d’après la proposition 2.1, on se ramène au cas où $B_{1}$ et $B_{2}$ sont finies. En vertu de la proposition 2.2, on a $[k(K^{p})(B_{1}\cup B_{2}):k(K^{p})]=[k(K^{p})(B_{1}\cup B_{2}):k(K^{p})(B_{1})].[k(K^{p})(B_{1}):k(K^{p})]=p^{|B_{2}|}.p^{|B_{1}|}=p^{|B_{2}|+|B_{1}|}$ $=p^{|B_{1}\cup B_{2}|}$, et par suite $B_{1}\cup B_{2}$ est $r$-libre sur $k(K^{p})$.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquences immédiates :

Corollaire 2.5

Soient $k\subseteq L\subseteq K$ des extensions purement inséparables et $B_{1}$, $B_{2}$ deux parties respectivement de $K$ et $L$. Si $B_{1}$ est une $r$-base de $K/L$ et $B_{2}$ une $r$-base de $L(K^{p})/k(K^{p})$, alors $B_{1}\cup B_{2}$ est une $r$-base de $K/k$.

Corollaire 2.6

Soient $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$, $x$ un élément de $K$, et $B$ une partie $r$-libre sur $k(K^{p})$. Pour que $B\cup\{x\}$ soit $r$-libre sur $k(K^{p})$ il faut et il suffit que $x\not\in k(K^{p})(B)$.

**Preuve. **immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Théorème 2.7

[théorème de la $r$-base incomplète] Etant données une extension $K/k$ de caractéristique $p>0$, et une partie $B$ de $K$, $r$-libre sur $k(K^{p})$. Pour tout $r$-générateur $G$ de $K/k(K^{p})$, il existe un sous-ensemble $G_{1}$ de $G$ tel que $B\cup G_{1}$ est une $r$-base de $K/k$.

**Preuve. **Le cas où $k(K^{p})(B)=K$ est trivialement évident. Si $k(K^{p})(B)\not=K$, il existe $x\in G$ tel que $x\not\in k(K^{p})(B)$. En effet, si pour tout $x\in G$, $x\in k(K^{p})(B)$, comme $G$ est un $r$-générateur de $K/k(K^{p})$, on aura $k(K^{p})(G)=K\subseteq k(K^{p})(B)$, absurde. D’après le lemme précédent, $B\cup\{x\}$ est une partie $r$-libre sur $k(K^{p})$. Posons ensuite $H=\{L\subset G$ tel que $B\cup L$ est $r$-libre sur $k(K^{p})\}$. IL est clair que $H$ est inductif, et donc d’après le lemme de Zorn, $H$ admet un élément maximal que l’on note $M$. Soit $B_{1}=M\cup B$, nécessairement $K=k(K^{p})(B_{1})$, si $K\not=k(K^{p})(B_{1})$, il existe également un élément $y$ de $G$ tel que $y\not\in k(K^{p})(B_{1})$, et donc $B_{1}\cup\{y\}$ serait $r$-libre sur $k(K^{p})$ ; c’est une contradiction avec le fait que $M$ est maximal.     \sqcap$$\sqcup

Voici quelques conséquences immédiates :

• (1)

De tout $r$-générateur de $K/k(K^{p})$ on peut en extraire une $r$-base de $K/k$.

• (2)

Toute partie $r$-libre sur $k(K^{p})$ peut être complétée en une $r$-base de $K/k$. En particulier, toute partie $p$-indépendante sur $k^{p}$ peut être étendue en une $p$-base de $k$.

• (3)

Toute extension $K/k$ admet une $r$-base. En outre, tout corps commutatif de caractéristique $p>0$ admet une $p$-base.

Par ailleurs, toutes les $r$-bases d’une même extension ont même cardinal comme le précise le résultat suivant.

Théorème 2.8

Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Si $B_{1}$ et $B_{2}$ sont deux $r$-bases de $K/k$, alors $|B_{1}|=|B_{2}|$.

Pour la preuve de ce théorème on se sérvira des résultats suivants.

Lemme 2.9

[Lemme d’échange]* Sous les conditions du théorème précédent, pour tout $x\in B_{2}$, il existe $x_{1}\in B_{1}$ tel que $(B_{1}\backslash\{x_{1}\})\cup\{x\}$ est une $r$-base de $K/k$.*

**Preuve. **Choisissons un élément arbitraire $x$ de $B_{2}$, comme $B_{2}$ est une $r$-base de $K/k$, il en résulte que $\{x\}$ est $r$-libre sur $k(K^{p})$. Compte tenu du théorème 2.7, il existe $B^{\prime}_{1}\subset B_{1}$ tel que $B^{\prime}_{1}\cup\{x\}$ est une $r$-base de $K/k$. D’où, $p=[k(K^{p})(B^{\prime}_{1})(\{x\}):k(K^{p})(B^{\prime}_{1})]=[K:k(K^{p})(B^{\prime}_{1})]=[k(K^{p})(B^{\prime}_{1})(B_{1}\backslash B^{\prime}_{1}):k(K^{p})(B^{\prime}_{1})]$, et comme $B_{1}\backslash B^{\prime}_{1}$ est $r$-libre sur $k(K^{p})(B^{\prime}_{1})$, on en déduit que $|B_{1}\backslash B^{\prime}_{1}|=1$, c’est-à-dire $B_{1}\backslash B^{\prime}_{1}$ est réduit à un singleton.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 2.10

Soit $K/k$ une extension de caractéristique $p>0$. Si $K/k$ admet au moins une $r$-base finie, alors toutes les $r$-bases de $K/k$ sont finies et ont même cardinal.

**Preuve. **Immédiat, il suffit d’appliquer la proposition 2.2.     \sqcap$$\sqcup

Preuve du théorème 2.8. D’après la prroposition 2.1, on se ramène au cas où $|B_{1}|$ et $|B_{2}|$ sont infinies. Comme $B_{1}$ est une $r$-base de $K/k$, pour tout $x\in B_{2}$, il existe une partie finie $D(x)$ de $B_{1}$ telle que $x\in k(K^{p})(D(x))$, et par suite $K=k(K^{p})(B_{2})\subseteq k(K^{p})(\displaystyle\bigcup_{x\in B_{2}}(D(x)))$. Il en résulte que $\displaystyle\bigcup_{x\in B_{2}}(D(x))=B_{1}$, et en vertu du ([16], III, p. 49, cor 3), on obtient $|B_{1}|\leq|B_{2}|.|{\mathbf{N}}|=|B_{2}|$. De la même façon on montre que $|B_{2}|\leq|B_{1}|$ ; d’où $|B_{1}|=|B_{2}|$.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence, on a :

Corollaire 2.11

Pour toute partie $B_{1}$ de $K$, $r$-libre sur $k(K^{p})$, et tout $r$-générateur $G$ de $K/k$, on a $|B_{1}|\leq|G|$.

**Preuve. **Immédiat, puisque tout $r$-générateur peut se réduire (respectivement toute famille $r$-libre peut se compléter) en une $r$-base.     \sqcap$$\sqcup

Dans le cas où $K/k(K^{p})$ est finie, compte tenu du théorème de la $r$-base incomplète, un $r$-générateur $G$ de $K/k(K^{p})$ est une $r$-base de $K/k$ si et seulement si $|G|=Log_{p}([K:k(K^{p})])$. En particulier, si $B$ est une $r$-base de $K/k$ et $G$ un $r$-générateur de $K/k(K^{p})$ tels que $|B|=|G|<+\infty$, alors $G$ est une $r$-base de $K/k$.

Soit $K/k$ une extension purement inséparable de caractéristique $p>0$. On rappelle que $K$ est dit d’exposant fini sur $k$, s’il existe $e\in{\mathbf{N}}$ tel que $K^{p^{e}}\subseteq k$, et le plus petit entier qui satisfait cette relation sera appelé exposant (ou hauteur) de $K/k$. Certes, la proposition suivante permet de ramener l’étude des propriétés des $r$-générateurs minimals des extensions d’exposant fini au cas des extensions de hauteur $1$, lesquelles sont plus riches.

Proposition 2.12

Soit $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant fini. Pour qu’une partie de $K$ soit une $r$-base de $K/k$ il faut et il suffit que elle soit $r$-générateur minimal de $K/k$.

**Preuve. **Soit $G$ une $r$-base de $K/k$, donc $K=k(K^{p})(G)=\dots=k(K^{p^{e}})(G)$ $=k(G)$, et s’il existe $x\in G$ tel que $x\in k(G\backslash\{x\})$, on aura $x\in k(K^{p})(G\backslash\{x\})$, c’est une contradiction avec le fait que $G$ est une $r$-base de $K/k$. Inversement, pour tout $r$-générateur minimal $G$ de $K/k$, on a $K=k(G)=k(K^{p})(G)$, et s’il existe $x\in G$ tel que $x\in K=k(K^{p})(G\backslash x)=\dots=k(K^{p^{e}})(G\backslash\{x\}=k(G\backslash\{x\})$, on aura une contradiction avec le fait que $G$ est un $r$-générateur minimal de $K/k$.     \sqcap$$\sqcup

Théorème 2.13

Soit $L/k$ une sous extension d’une extension purement inséparable d’exposant fini $K/k$. Pour toutes $r$-bases $B_{L}$ et $B_{K}$ respectivement de $L/k$ et $K/k$, on a $|B_{L}|\leq|B_{K}|$.

**Preuve. **On distingue deux cas :

1-ier cas. Si $K/k$ est d’exposant 1, c’est-à-dire $K^{p}\subseteq k$, donc $L^{p}\subseteq k$. D’après le théorème 2.7, il existe $B_{1}\subseteq B_{K}$ tel que $B_{L}\cup B_{1}$ est une $r$-base de $K/k$, et par suite $|B_{L}|\leq|B_{L}\cup B_{1}|=|B_{K}|$.

2-ième cas. Etant donné un entier naturel $e$ distinct de [math] et $1$. Raisonnons par récurrence en supposant que le théorème est vérifié pour toute extension d’exposant $<e$, et soit $K/k$ une extension purement inséprable d’exposant $e$. Il est clair que $k(K^{p})\subseteq L(K^{p})\subseteq K$, et donc il existe $B_{1}\subseteq B_{L}$ et $B_{2}\subseteq B_{K}$ telles que $B_{1}$ et $B_{2}$ sont deux $r$-bases respectivement de $L(K^{p})/k(K^{p})$ et $K/L(K^{p})$. D’après la transitivité de la $r$-indépendance, $B_{1}\cup B_{2}$ est une $r$-base de $K/k(K^{p})$. Posons ensuite $k_{1}=k(B_{1})$ et $B^{\prime}_{L}=B_{L}\setminus B_{1}$ ; on vérifie aussitôt que $L\subseteq k_{1}(K^{p})=k_{1}({B_{2}}^{p})$, et $k_{1}(K^{p})/k_{1}$ est d’exposant $<e$. Par application de la propriété de récurrence et du corollaire 2.11, on obtient $|B^{\prime}_{L}|\leq|{B_{2}}^{p}|=|B_{2}|$. Comme $B_{1}\cap B^{\prime}_{L}=\emptyset$ et $B_{1}\cap B_{2}=\emptyset$, alors $|B_{1}\cup B^{\prime}_{L}|\leq|B_{1}\cup B_{2}|$, et par suite $|B_{L}|\leq|B_{K}|$.     \sqcap$$\sqcup

3 Degré d’irrationalité

Soit $K/k$ une extension purement inséparable. Désormais, et sauf mention expresse du contraire, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, on note $k_{n}=k^{p^{-n}}\cap K$, on obtient ainsi $k\subseteq k_{1}\subseteq\dots\subseteq k_{n}\subseteq\dots\subseteq K$, et $k_{n}/k$ est d’exposant fini. Soit $B_{n}$ une $r$-base de $k_{n}/k$, d’après le théorème 2.13, $|B_{n}|\leq|B_{n+1}|$. Ensuite, on pose $di(K/k)=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}^{*}}(|B_{n}|)$, on rappelle que le $\sup$ est utilisé ici au sens du ([16], III, p. 25, proposition 2).

Définition 3.1

L’invariant $di(K/k)$ défini ci-dessus s’appelle le degré d’irrationalité de $K/k$.

En particulier, et pour des raisons de différenciation, le degré d’irrationalité de $k/k^{p}$ sera appelé degré d’imperfection de $k$ et sera noté $di(k)$.

Remarque 3.1

$di(K/k)$* permet de mesurer la taille de l’extension $K/k$, et $di(k)$ la longueur de $k$.*

Toutefois, on vérifie aussitôt que :

• —

$di(K/K)=0$.

• —

Pour tout $n\in\mathbf{Z}$, $di(k)=di(k^{p^{n}})=di(k^{p^{-\infty}}/k)$.

• —

Compte tenu du corollaire 2.5, pour toute sous-extension $L/k$ de $K/k$, on a $di(K/k(K^{p}))=di(K/L(K^{p}))+di(L(K^{p})/k(K^{p}))$. Plus généralement, si $K/k$ est d’exposant $1$, on a $di(K/k)=di(K/L)+di(L/k)$.

• —

En vertu de la proposition 2.2, pour toute extension purement inséparable d’exposant fini $K/k$, on a $di(K/k)=di(K/k(K^{p}))$.

Théorème 3.1

Soient $k\subseteq L\subseteq K$ des extensions purement inséparables, on a $di(L/k)\leq di(K/k)$. En outre, $di(K/k)=\displaystyle\sup(di(L/k))_{L\in[k,K]}$.

**Preuve. **D’après le théorème 2.13, il suffit de remarquer que pour tout $n\geq 1$, on a $di(k^{p^{-n}}\cap L/k)\leq di(k_{n}/k)$, et donc $\displaystyle\sup(di(k^{p^{-n}}\cap L/k))_{n\geq 1}\leq\displaystyle\sup(di(k_{n}/k))_{n\geq 1}$ ; ou encore $di(L/k)\leq di(K/k)$.     \sqcap$$\sqcup

Une conséquence type est le résultat suivant :

Théorème 3.2

Pour toute extension purement inséparable $K/k$, on a $di(K/k)$ $\leq di(k)$.

**Preuve. **Il suffit de remarquer qu’une partie $B$ de $k$ est une $p$-base de $k$ si et seulement si $B^{p^{-n}}$ est une $r$-base de $k^{p^{-n}}/k$ pour tout $n\geq 1$. Comme $k^{p^{-\infty}}=\displaystyle\bigcup_{n\geq 1}k^{p^{-n}}$, on a pour tout $n\geq 1$, $k^{p^{-n}}\cap K\subseteq k^{p^{-\infty}},$ et par suite $di(K/k)\leq di(k^{p^{-\infty}}/k)=di(k)$.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 3.3

Soit $(K_{n}/k)_{n\in{\mathbf{N}}}$ une famille croissante de sous-extensions purement inséparables d’une extension $\Omega/k$. On a :

[TABLE]

**Preuve. **Notons $K=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}K_{n}$, et soit $j$ un entier naturel non nul. Il est immédiat que $k_{j}=k^{p^{-j}}\cap K=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}(k^{p^{-j}}\cap K_{n})$. Dans la suite on distingue deux cas :

1-ier cas : si $di(k_{j}/k)$ est fini, ou encore $k_{j}/k$ est finie. Comme pour tout $n\in N$, on a $k^{p^{-j}}\cap K_{n}\subseteq k^{p^{-j}}\cap K_{n+1}\subseteq k^{p^{-j}}\cap K$, alors la suite d’entiers $([k^{p^{-j}}\cap K_{n}:k])_{n\in{\mathbf{N}}}$ est croissante et bornée, donc stationnaire à partir d’un rang $n_{0}$ ; et par conséquent pour tout $n\geq n_{0}$, $k^{p^{-j}}\cap K_{n}=k^{p^{-j}}\cap K_{n+1}$. En outre, $di(k^{p^{-j}}\cap K/k)=di(k^{p^{-j}}\cap K_{n_{0}}/k)=\displaystyle\sup_{n\in N}(di(k^{p^{-j}}\cap K_{n}/k))$.

2-ième cas : si $di(k^{p^{-j}}\cap K/k)$ est infini, ou encore $\displaystyle\sup_{n\in N}(di(k^{p^{-j}}\cap K_{n}/k))$ n’est pas fini. Comme $k^{p^{-j}}\cap K=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}(k^{p^{-j}}\cap K_{n})$, donc si $B^{j}_{n}$ est une $r$-base de $k^{p^{-j}}\cap K_{n}/k$, alors $\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}B^{j}_{n}$ est un $r$-générateur de $k^{p^{-j}}\cap K/k$. En vertu du corollaire 2.11, $di(k^{p^{-j}}\cap K/k)\leq|\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}B^{j}_{n}|$, et d’après ([16], III, p.49, corollaire 3), $|\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}B^{j}_{n}|\leq\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(|B^{j}_{n}|)=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(di(k^{p^{-j}}\cap K_{n}/k))$.

Compte tenu de ces deux cas, on en déduit que $di(K/k)\leq\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(di(K_{n}/k))$. Mais comme $K_{n}\subseteq K$ pour tout $n\geq 1$, d’après le théoréme 3.1 on obtient $\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(di(K_{n}/k))\leq di(K/k)$, et par suite $di(K/k)=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(di(K_{n}/k))$.     \sqcap$$\sqcup

Le résultat suivant qui est une conséquence bien connue de la linéarité disjointe intervient souvent dans le reste de ce papier.

Proposition 3.4

Soient $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$ deux sous-extensions d’une même extension $K/k$, $k$-linéairement disjointes. Pour touts corps intermédiaires $L_{1}$ et $L_{2}$ respectivement de $K_{1}$ et $K_{2}$, on a $L_{2}(K_{1})$ et $L_{1}(K_{1})$ sont $k(L_{1},L_{2})$-linéairement-disjointes. En particulier, $L_{2}(K_{1})\cap L_{1}(K_{2})=k(L_{1},L_{2})$.

Une famille $(F_{i}/k)_{i\in J}$ d’extensions est dites $k$-linéairement disjointes, si pour toute partie $G$ d’éléments finis de $J$, $(F_{n}/k)_{n\in G}$ sont $k$-linéairement disjointes (cf. [18], p. 36). Il est trivialement évident que $k((F_{i})_{i\in J})=\displaystyle\prod_{i\in J}F_{i}\simeq\otimes_{k}(\otimes_{k}F_{i})_{i\in J}$ si et seulement si $(F_{i}/k)_{i\in J}$ sont $k$-linéairement disjointes. De plus, les propriétés de la linéarité disjointe du cas fini se prolonge naturellement à une famille quelconques d’extensions $k$-linéairement disjointes. En particulier, pour tout $i\in J$, soit $L_{i}$ un sous-corps de $F_{i}$, si $(F_{i}/k)_{i\in J}$ sont $k$-linéairement disjointes, compte tenu de la transitivité de la linéarité disjointe, $(L_{i}/k)_{i\in J}$ (resp. $((\displaystyle\prod_{n\in J}L_{n})F_{i}/k)_{i\in J}$) sont $k$-linéairement (resp. $\displaystyle\prod_{n\in J}L_{n}$-linéairement) disjointes.

Considérons maintenant deux sous-extensions $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$ d’exposant fini d’une même extension purement inséparable $K/k$. On vérifie aussitôt que si $B_{1}$ et $B_{2}$ sont deux $r$-bases respectivement de $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$, alors $B_{1}$ et $B_{1}\cup B_{2}$ sont deux $r$-générateurs respectivement de $K_{1}(K_{2})/K_{2}$ et $K_{1}(K_{2})/k$. En outre, $di(K_{1}(K_{2})/K_{2})\leq di(K_{1}/k)$ et $di(K_{1}(K_{2})/k)\leq di(K_{1}/k)+di(K_{2}/k)$. D’une façon plus précise, on a :

Proposition 3.5

Sous les conditions ci-dessus, et si de plus $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$ sont $k$-linéairement disjointes, on a :

• (i)

$B_{1}\cup B_{2}$* est une $r$-base de $K_{1}(K_{2})/k$.*

• (ii)

$B_{1}$* est une $r$-base de $K_{1}(K_{2})/K_{2}$.*

**Preuve. **Ici, on se contente de présenter uniquement la preuve du premier item, puisque les deux assertions utilisent les mêmes techniques de raisonnement. Il est clair que $K_{1}(K_{2})=k(B_{1}\cup B_{2})$, il suffit donc de montrer que $B_{1}\cup B_{2}$ est minimal. Pour cela, on suppose par exemple l’existence d’un élément $x$ dans $B_{1}$ tel que $x\in k((B_{1}\setminus\{x\})\cup B_{2})=K$. Comme $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$ sont $k$-linéairement disjointes, par transitivité, on a $k(B_{1})=K_{1}$ et $K_{2}(B_{1}\setminus\{x\})=K$ sont $k(B_{1}\setminus\{x\})$-linéairement disjoints, et donc $K_{1}=K\cap K_{1}=k(B_{1}\setminus\{x\})$, c’est une contradiction avec le fait que $B_{1}$ est une $r$-base de $K_{1}/k$.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence immédiate, on a

Corollaire 3.6

Soient $K_{1}$ et $K_{2}$ deux corps intermédiaires d’une même extension purement inséparable $\Omega/k$. Alors :

• (i)

$di(K_{1}(K_{2})/k)\leq di(K_{1}/k)+di(K_{2}/k)$, et il y’a égalité si $K_{1}$ et $K_{2}$ sont $k$-linéairement disjoints.

• (ii)

$di(K_{1}(K_{2})/K_{2})\leq di(K_{1}/k)$, et il y’a égalité si $K_{1}$ et $K_{2}$ sont $k$-linéairement disjoints.

**Preuve. **Il suffit de remarquer que $K_{1}(K_{2})=\displaystyle\bigcup_{j\in{\mathbf{N}}}(k^{p^{-j}}\cap K_{1})(k^{p^{-j}}\cap K_{2})=\displaystyle\bigcup_{j\in{\mathbf{N}}}K_{2}(k^{p^{-j}}\cap K_{1})$, et si $K_{1}$ et $K_{2}$ sont $k$-linéairement disjoints, d’après la transitivité de la linéarité disjoint, $k^{p^{-j}}\cap K_{1}$ et $k^{p^{-j}}\cap K_{2}$ sont aussi $k$-linéairement disjoints pour tout $j\geq 1$. On se ramène ainsi au cas où $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$ sont d’exposant fini auquel cas le résultat découle immédiatement de la proposition précédente.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence immédiate, on a :

Corollaire 3.7

Pour toute sous-extension $L/k$ d’une extension purement inséparable $K/k$, on a $di(L(K^{p})$ $/k(K^{p}))\leq di(L/k(L^{p}))$, et il y’a égalité si $k(K^{p})$ et $L$ sont $k(L^{p})$-linéairement disjointes.

**Preuve. **Due au corollaire 3.6.     \sqcap$$\sqcup

Le résultat suivant améliore naturelement les conditions du théorème 3.1

Théorème 3.8

Pour toute famille d’extensions purement inséparables $k\subseteq L\subseteq L^{\prime}\subseteq K$, on a $di(L/L^{\prime})\leq di(K/k)$.

**Preuve. **Il est clair que $K=\displaystyle\bigcup_{j\in{\mathbf{N}}}L(k_{j})$, et d’après la proposition 3.3, et le théorème 3.1, on a $di(L^{\prime}/L)\leq di(K/L)=\displaystyle\sup_{j\in{\mathbf{N}}}(di(L(k_{j})/k))\leq\displaystyle\sup_{j\in{\mathbf{N}}}(di(k_{j}/k))=di(K/k)$.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence immédiate, on a :

Corollaire 3.9

Pour toute extension purement inséparable $K/k$, on a $di(K)\leq di(k)$.

**Preuve. **Il suffit de remarque que $K\subseteq k^{p^{-\infty}}$, et $di(K)=di(K/K^{p})\leq di(k^{p^{-\infty}}/k^{p})=di(k)$.     \sqcap$$\sqcup

3.1 Extensions relativement parfaites

Au cours de cette section, on reprend, en les améliorant, quelques notions et résultats de [5], puisqu’ils sont utilisés fréquemment ici.

Un corps $k$ de caractéristique $p$ est dit parfait si $k^{p}=k$ ; dans le même ordre d’idées, on dit que $K/k$ est relativement parfaite si $k(K^{p})=K$. On vérifie aisément que :

• —

La relation "être relativement parfaite" est transitive, c’est-à-dire si $K/L$ et $L/k$ sont relativement parfaites, alors $K/k$ l’est aussi.

• —

Si $K/k$ est relativement parfaite, il en est de même de $L(K)/k(L)$.

• —

La propriété "être relativement parfaite" est stable par un produit quelconque portant sur $k$. Autrement dit, pour toute famille $(K_{i}/k)_{i\in I}$ d’extensions relativement parfaites, on a alors $\displaystyle\displaystyle\prod_{i}K_{i}/k$ est aussi relativement parfaite.

Par suite, il existe une plus grande sous-extension relativement parfaite de $K/k$ appelée clôture relativement parfaite de $K/k$, et se note $rp(K/k)$. On a les relations d’associativité-transitivité suivantes.

Proposition 3.10

Soit $L$ un corps intermédiaire de $K/k$. Alors

[TABLE]

**Preuve. **Cf. [5], p. 50, proposition 5.2.     \sqcap$$\sqcup

Corollaire 3.11

Pour tout $L\in[k,K]$, on a $K/L\hbox{ finie}\Longrightarrow rp(K/k)\subset L.$

En particulier, si $K/k$ est relativement parfaite, on a K/L\hbox{ finie }\Longrightarrow L=K. Schématiquement on a un $trou$

[TABLE]

et ce $trou$ caractérise le fait que $K/k$ est relativement parfaite. En effet, supposons que $K/k$ vérifie le $trou$ et soit $B$ une $r$-base de $K/k$. Supposons $B\neq\emptyset$; soit $x\in B$ et $L=k(K^{p})(B\setminus\left\{x\right\})$; on a $K/L$ est finie, donc $K=L$ ce qui est absurde.

Proposition 3.12

Soit $K/k$ une extension purement inséparable telle que $[K:k(K^{p})]$ est fini. Alors on a :

• (i)

$K$* est relativement parfaite sur une extension finie de $k$.*

• (ii)

La suite décroissante $(k(K^{p^{n}}))_{n\in{\mathbf{N}}}$ est stationnaire sur $k(K^{p^{n_{0}}})=rp(K$ $/$ $k)$.

**Preuve. **Cf. [5], p. 51, lemme 2.1.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence de la proposition précédente, on a :

Proposition 3.13

Soit $K/k$ une extension purement inséparable telle que $[K:k(K^{p})]$ est fini. Pour tout $L\in[k,K]$, on a $rp(K/L)=L(rp(K/k)).$

**Preuve. **Cf. [5], p. 51, proposition 6.2.     \sqcap$$\sqcup

En utilisant le lemme 1.16 qui se trouve dans ([12], p. 10), on peut affirmer que la condition de finitude de $[K:k(K^{p}]$ est nécéssaire, et par suite, le résultat précédent peut tomber en défaut si $K/k(K^{p})$ n’est pas finie. Par ailleurs, on vérifie aussitôt que $k(K^{p})=rp(K/k)(K^{p})$, et donc pour qu’une partie $G$ de $K$ soit $r$-base de $K/k$ il faut et il suffit qu’elle en soit de même de $K/rp(K/k)$. De plus, comme $2$-ième conséquence de la proposition 3.12, le résultat suivant exprime une condition nécessaire et suffisant pour que $K/rp(K/k)$ soit finie. Plus précisément, on a :

Proposition 3.14

Soit $K/k$ une extension purement inséparable, alors $K/rp($ $K/$ $k)$ est finie si est seulement il en est de même de $K/k(K^{p})$.

**Preuve. **Résulte de la proposition 3.12.     \sqcap$$\sqcup

4 Extensions $q$-finies

Définition 4.1

Toute extension de degré d’irrationalité fini s’appelle extension $q$-finie.

En d’autres sens, la $q$-finitude est synonyme de la finitude horizontale. Toutefois, la finitude se traduit par la finitude horizontale et verticale, il s’agit de la finitude au point de vue taille et hauteur. Autrement dit, $K/k$ est finie si et seulement si $K/k$ est $q$-finie d’exposant borné. Par ailleurs, on vérifie que le degré d’irrationalité d’une extension $K/k$ vaut 1 si est seulement si l’ensemble de corps intermédiaires de $K/k$ est totalement ordonné. Ensuite, on appelle extension $q$-simple toute extension qui satisfait l’affirmation précédente.

Remarque 4.1

On rappelle que lorsque $di(k)$ est fini, et après avoir montré dans [2] que $K/k(K^{p})$ est finie et $di(K)\leq di(k)$, le degré d’irrationalité d’une extension purement inséparable $K/k$ a été défini par l’entier $di(K/k)=di(k)-di(K)+di(K/k(K^{p}))$. En outre, toute extension est $q$-finie si $di(k)$ est fini. Avec quelques modifications légères, on peut toujours prolonger cette définition au cas où $di(k)$ est non borné. Commençons par le choix d’une extension $K/k$ relativement parfaite et $q$-finie. Etant donnée une $p$-base $B$ de $k$, donc $k=k^{p}(B)$, et par suite $k(K^{p})=K^{p}(B)$. Comme $K/k$ est relativement parfaite, alors $K=k(K^{p})=K^{p}(B)$. D’après le théorème 2.7, il existe $B_{1}\subseteq B$ telle que $B_{1}$ est une $p$-base de $K$. Ainsi, on aura $k^{p^{-\infty}}=k(B^{p^{-\infty}})=k({B_{1}}^{p^{-\infty}})\otimes_{k}k((B\setminus B_{1})^{p^{-\infty}})\simeq K^{p^{-\infty}}\simeq K\otimes_{k}k({B_{1}}^{p^{-\infty}})$. En particulier, d’après le corollaire 3.6, $di(K/k)=di(K\otimes_{k}k({B_{1}}^{p^{-\infty}})/k({B_{1}}^{p^{-\infty}}))=di(k^{p^{-\infty}}/k({B_{1}}^{p^{-\infty}}))=di(k((B\setminus B_{1})^{p^{-\infty}})/k)=|B\setminus B_{1}|$. Si on interprète (par abus de langage) $|B\setminus B_{1}|$ comme différence de degré d’imperfection de $k$ et $K$ en écrivant $|B\setminus B_{1}|=di(k)-di(K)$, on obtiendra $di(K/k)=di(k)-di(K)$. Dans le cas général, supposons que $K/k$ est $q$-finie quelconque, donc $K/rp(K/k)$ est finie, d’où $di(K)=di(rp(K/k))$; et par suite $di(K/k)=di(rp(K/k)/k)+di(K/k(K^{p}))=di(k)-di(K)+di(K/k(K^{p}))$ (cf. proposition 4.4 ci-dessous).

Il est à signaler en tenant compte de cette considération que tous les résultats des articles [3], [2], [6], [1] se généralisent naturellement par translation à une extension $q$-finie quelconque.

Soient $L/k$ une sous-extension d’une extension $q$-finie $K/k$, pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, on note toujours $k_{n}=k^{p^{-n}}\cap K$. On vérifie aussitôt que :

• (i)

La $q$-finitude est transitive, en particulier, pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, $K/k(K^{p^{n}})$ et $k_{n}/k$ sont finies.

• (ii)

Il existe $n_{0}\in{\mathbf{N}}$, pour tout $n\geq n_{0}$, $di(k_{n}/k)=di(K/k)$.

Par ailleurs, voici quelques applications immédiates des propositions 3.12 et 3.14.

Proposition 4.1

Soit $K/k$ une extension $q$-finie. La suite $(k(K^{p^{n}}))_{n\in{\mathbf{N}}}$ s’arrête sur $rp(K/k)$ à partir d’un $n_{0}$. En particulier, $K/rp(K/k)$ est finie.

Comme conséquence, on a :

Corollaire 4.2

La clôture relativement parfaite d’une extension $q$-finie $K/k$ n’est pas triviale. Plus précisément, $rp(K/k)/k$ est d’exposant non borné si $K/k$ l’est.

**Preuve. **Immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.3

Pour toute extension $q$-finie $K/k$, il existe $n\in{\mathbf{N}}$ tel que $K/k_{n}$ est relativement parfaite. En outre, $k_{n}(rp(K/k))=K$.

**Preuve. **Immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.4

Le degré d’irrationalité d’une extension $q$-finie $K/k$ vérifie l’égalité suivante : $di(K/k)$ $=di(rp(K/k)/k)+di(K/k(K^{p}))=di(K/rp(K/k))$ $+di(rp(K/k)/k)$.

**Preuve. **Soient $G$ une $r$-base de $K/k$ et $K_{r}=rp(K/k)$, donc $k(G)/k$ admet un exposant fini noté $m$ et, $K=K_{r}(G)$. En paticulier, pour tout $n\geq m$, $k(G)\subseteq k_{n}$. Compte tenu de la $r$-indépendance de $G$ sur $k(K^{p})$ et vu que $k({k_{n}}^{p})$ est un sous-ensemble de $k(K^{p})$, on en déduit que $G$ est $r$-libre sur $k({k_{n}}^{p})$ pour tout $n\geq m$. Complétons $G$ en une $r$-base de $k_{n}/k$ par une partie $G_{n}$ de $k_{n}$. Dans ces conditions, pour $n$ suffisamment grand, on aura $|G|+|G_{n}|=\displaystyle\sup_{j\geq m}(|G|+|G_{j}|)=di(K/k)=di(K_{r}(G)/k)\leq di(K_{r}/k)+di(k(G)/k)=di(K_{r}/k)+|G|$, et donc $|G_{n}|\leq di(K_{r}/k)$. Toutefois, comme $\displaystyle\bigcup_{n\geq m}k({k_{n}}^{p^{m}})=\displaystyle\bigcup_{n\geq m}k({G_{n}}^{p^{m}},G^{p^{m}})=\displaystyle\bigcup_{n\geq m}k({G_{n}}^{p^{m}})=k(K^{p^{m}})=K_{r}(K^{p^{m}})$, d’après le théorème 3.1, pour $n$ suffisamment grand, on aura également $di(K_{r}/$ $k)$ $\leq di(K_{r}(K^{p^{m}})/k)=di(k({k_{n}}^{p^{m}})/k)\leq|{G_{n}}^{p^{m}}|=|G_{n}|$. D’où, $|G_{n}|$ $=di(K_{r}/k)$ pour $n$ assez grand, et par suite $di(K/k)$ $=di(K_{r}/k)+di(K/k(K^{p}))$.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence immédiate, on a :

Corollaire 4.5

Pour qu’une extension $q$-finie $K/k$ soit finie il faut et il suffit que $di(K/k)=di(K/k(K^{p}))$.

Théorème 4.6

Pour toutes extensions $q$-finies $k\subseteq L\subseteq K$, on a $di(K/k)\leq di(K/L)+di(L/k)$, avec l’égalité si et seulement si $L/k(L^{p})$ et $k(K^{p})/k(L^{p})$ sont $k(L^{p})$-linéairement disjointes.

**Preuve. **Comme $K=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}L^{p^{-n}}\cap K$ et $K/k$ est $q$-finie, d’après le théorème 3.1, pour $n$ assez grand, on a $di(K/k)=di(L^{p^{-n}}\cap K/k)$ ; donc on est amené au cas où $K/L$ est finie, ou encore $rp(K/k)=rp(L/k)$. Dans la suite, on posera $L_{r}=K_{r}=rp(K/k)$. D’après la proposition 4.4 ci-dessus, on aura $di(K/k)=di(K_{r}/k)+di(K/k(K^{p}))=di(L_{r}/k)+di(K/L(K^{p}))+di(L(K^{p})/k(K^{p}))=di(L_{r}/k)+di(K/L)+di(L(K^{p})/k(K^{p}))$. Compte tenu du corollaire 3.7, on aura $di(L($ $K^{p}$ $)$ $/k(K^{p}))\leq di(L/k(L^{p}))$, et donc

[TABLE]

toutefois il y’a égalité si et seulement si $di(L/k(L^{p}))=di(L(K^{p})/k($ $K^{p}))$, ou encore $[L:k(L^{p})]=[L(K^{p}):k(K^{p})]$, c’est-à-dire $L/k(L^{p})$ et $k(K^{p})/k($ $L^{p})$ sont $k(L^{p})$-linéairement disjointes.     \sqcap$$\sqcup

Remarque 4.2

La condition de la linéarité disjointe qui figure dans la proposition ci-dessus se traduit en terme de $r$-indépendance par toute $r$-base de $L/k$ se complète en une $r$-base de $K/k$.

Comme application immédiate, on a :

Corollaire 4.7

Toute sous-extension relativement parfaite $L/k$ d’une extension $q$-finie $K/k$ vérifie $di(K/k)=di(K/L)+di(L/k)$.

D’une façon assez générale, on a :

Proposition 4.8

Pour toute suite de sous-extensions relativement parfaites $k=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}$ d’une extension $q$-finie $K/k$, on a $di(K/k)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}di(K_{n+1}/K_{n})+di(K/K_{n})$.

**Preuve. **Résulte immédiatement du corollaire précédent.     \sqcap$$\sqcup

Dans la suite on va étudier de plus près les propriétés des exposants d’une extension $q$-finie.

4.1 Exposants d’une extension $q$-finie

Dans cette section nous distinguons deux cas :

Cas où ${K/k}$ est purement inséparable finie. Soit $x\in K$, posons $o(x/k)=\inf\{$ $m\in\mathbf{N}|\;x^{p^{m}}\in k\}$ et $o_{1}(K/k)=\inf\{m\in\mathbf{N}|\;K^{p^{m}}\subset k\}$. Une $r$-base $B=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}$ de $K/k$ est dite canoniquement ordonnée si pour $j=1,2,\dots,n$, on a $o(a_{j}/k(a_{1},a_{2},$ $\dots$ $,a_{j-1}))=o_{1}(K/k(a_{1},a_{2},\dots,a_{j-1})).$ Ainsi, l’entier $o(a_{j}/k(a_{1},\dots,$ $a_{j-1}))$ défini ci-dessus vérifie $o(a_{j}/k(a_{1},\dots,a_{j-1}))=\inf\{m$ $\in\mathbf{N}|\;di(k(K^{p^{m}})/k)\leq j-1\}$ (cf. [2], p. 138, lemme 1.3). On en déduit aussitôt le résultat de ([13], p. 90, satz 14) qui confirme l’indépendance des entiers $o(a_{i}/k(a_{1},$ $\dots,a_{i-1}))$, $(1\leq i\leq n)$, vis-à-vis au choix des $r$-bases canoniquement ordonnées $\{a_{1},\dots,$ $a_{n}\}$ de $K/k$. Par suite, on pose $o_{i}(K/k)=o(a_{i}/k(a_{1},$ $\dots,a_{i-1}))$ si $1\leq i\leq n$, et $o_{i}(K/k)=0$ si $i>n$, où $\{a_{1},\dots,a_{n}\}$ est une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/k$. L’invariant $o_{i}(K/k)$ ci-dessus s’appelle le $i$-ème exposant de $K/k$. Voici les principales relations dont on aura besoin, et qui font intervenir les exposants.

Proposition 4.9

Soient $K$ et $L$ deux corps intermédiaires d’une extension $\Omega/k$, avec $K/k$ purement inséparable finie. Alors pour tout entier $j$, on a $o_{j}(K($ $L)/k(L))\leq o_{j}(K/k)$.

**Preuve. **Cf. [4], p. 373, proposition 5.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.10

Soit $K/k$ une extension purement inséparable finie. Pour toute sous-extension $L/L^{\prime}$ de $K/k$, et pour tout $j\in\mathbf{N}$, on a $o_{j}(L/L^{\prime})\leq o_{j}(K/k)$.

**Preuve. **cf. [4], p. 374, proposition 6.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.11

Soient $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/k$, et $m_{j}$ le $j$-ième exposant de $K/k$, $1\leq j\leq n$. On a :

• (1)

$k(K^{p^{m_{j}}})=k(\alpha_{1}^{p^{m_{j}}},\dots,\alpha_{j-1}^{p^{m_{j}}})$.

• (2)

Soit $\Lambda_{j}=\{(i_{1},\dots,i_{j-1})$ tel que $0\leq i_{1}<p^{m_{1}-m_{j}},\dots,0\leq i_{j-1}<p^{m_{j-1}-m_{j}}\}$, alors $\{{(\alpha_{1},\dots,\alpha_{j-1})}^{{p^{m_{j}}}\xi}$ tel que $\xi\in\Lambda_{j}\}$ est une base de $k(K^{p^{m_{j}}})$ sur $k$.

• (3)

Soient $n\in\mathbf{N}$ et $j$ le plus grand entier tel que $m_{j}>n$. Alors $\{\alpha_{1}^{p^{n}},\dots,$ $\alpha_{j}^{p^{n}}\}$ est une $r$-base canoniquement ordonnée de $k(K^{p^{n}})/k$, et sa liste des exposants est $(m_{1}-n,\dots,m_{j}-n)$.

**Preuve. **cf. [2], p. 140, proposition 5.3.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.12

Soient $K_{1}/k$ et $K_{2}/k$ deux sous-extensions purement inséparables de $K/k$. $K_{1}$ et $K_{2}$ sont $k$-linéairement disjointes si et seulement si $o_{j}(K_{1}(K_{2})/K_{2})=o_{j}(K_{1}/k)$ pour tout $j\in\mathbf{N}$.

**Preuve. **cf. [4], p. 374, proposition 7.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.13

(Algorithme de la complétion des r-bases) Soient K/k une extension purement inséparable finie, $G$ un $r$-générateur de $K/k$, et $\{\alpha_{1},\dots,$ $\alpha_{s}\}$ un système de $K$ tel que pour tout $j\in\{1,\dots,s\}$, $o(\alpha_{j},$ $k($ $\alpha_{1},\dots,\alpha_{j-1}))=o_{j}(K/k)$. Pour toute suite $\alpha_{s+1},\alpha_{s+2},\dots,$ d’éléments de $G$ vérifiant $o(\alpha_{m},$ $k($ $\alpha_{1},$ $\dots,\alpha_{m-1}))=\displaystyle\sup_{a\in G}(o(a,$ $k($ $\alpha_{1},\dots,\alpha_{m-1})))$, la suite $(\alpha_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}}$ s’arrête sur un plus grand entier $n$ tel que $o(\alpha_{n},k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n-1}))>0$. En particulier, $\{\alpha_{1},\dots,$ $\alpha_{n}\}$ est une r-base canoniquement ordonnée de $K/k$.

**Preuve. **Cf. [2], p. 139, proposition 1.3.     \sqcap$$\sqcup

Cas où $K/k$ est $q$-finie d’exposant non borné. Soit $K/k$ une extension $q$-finie. Rappelons que pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, $k_{n}$ désigne toujours $k^{p^{-n}}\cap K$. En vertu de la proposition 4.10, pour tout $j\in{\mathbf{N}}^{*}$, la suite des entiers naturels $(o_{j}(k_{n}/k))_{n\geq 1}$ est croissante, et donc $(o_{j}(k_{n}/k))_{n\geq 1}$ converge vers $+\infty$, ou $(o_{j}(k_{n}/k))_{n\geq 1}$ est stationnaire à partir d’un certain rang. Lorsque $(o_{j}(k_{n}/k))_{n\geq 1}$ est bornée, par construction, pour tout $t\geq j$, $(o_{t}(k_{n}/k))_{n\geq 1}$ est aussi bornée (et donc stationnaire).

Définition 4.2

Soient $K/k$ une extension $q$-finie et $j$ un entier naturel non nul. On appelle le $j$-ième exposant de $K/k$ l’invariant $o_{j}(K/k)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(o_{j}(k_{n}$ $/k))$.

Lemme 4.14

Soit $K/k$ une extension $q$-finie, alors $o_{s}(K/k)$ est fini si et seulement s’il existe un entier naturel $n$ tel que $di(k(K^{p^{n}})/k)<s$, et on a $o_{s}(K/k)=\inf\{m\in{\mathbf{N}}\,|\,di(k(K^{p^{m}})/k)<s\}$. En particulier, $o_{s}(K/k)$ est infini si et seulement si pour tout $m\in{\mathbf{N}}$, $di(k(K^{p^{m}})/k)\geq s$.

**Preuve. **Pour simplifier l’écriture, on note $e_{t}=o_{t}(K/k)$ si $o_{t}(K/k)$ est fini. Compte tenu du [2], p. 138, lemme 1.3, on vérifie aussitôt que $o_{s}(K/k)$ est infini si et seulement si pour tout $m\in{\mathbf{N}}$, $di(k(K^{p^{m}})/k)\geq s$, donc on se ramène au cas où $o_{s}(K/k)$ est fini. Par suite, il existe un entier $n_{0}$, pour tout $n\geq n_{0}$, $e_{s}=o_{s}(k_{n}/k)$. D’après [2] p. 138, lemme 1.3, $di(k({k_{n}}^{p^{e_{s}}})/k)<s$ et $di(k({k_{n}}^{p^{e_{s}-1}})/k)\geq s$. En vertu du théorème 3.1, $di(k(K^{p^{e_{s}}})/k)<s$ et $di(k({K}^{p^{e_{s}-1}})/k)\geq s$. Autrement dit, $o_{s}(K/k)=\inf\{m\in{\mathbf{N}}\,|\,di(k(K^{p^{m}})/k)<s\}$.     \sqcap$$\sqcup

Le résultat ci-dessous permet de ramener l’étude des propriétés des exposants des extensions $q$-finies aux extensions finies par le biais des clôtures relativement parfaites.

Théorème 4.15

Soit $K_{r}/k$ la clôture relativement parfaite de degré d’irrationalité $s$ d’une extension $q$-finie $K/k$, alors on a :

• (i)

Pour tout $t\leq s$, $o_{t}(K/k)=+\infty$.

• (ii)

Pour tout $t>s$, $o_{t}(K/k)=o_{t-s}(K/K_{r})$.

En outre, $o_{t}(K/k)$ est fini si et seulement si $t>s$.

**Preuve. **Pour tout $t\in{{\mathbf{N}}}^{*}$, notons $e_{t}=o_{t}(K/K_{r})$. Comme pour tout entier $e$, on a $k(K^{p^{e}})=K_{r}(K^{pe})=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbf{N}}}k({k_{n}}^{p^{e}})$, donc $s=di(K_{r}/k)\leq di(k(K^{p^{e}})/k)=di(k({k_{n}}^{p^{e}})/k)$ pour $n$ suffisament grand. D’après le lemme 4.14, on aura d’une part $o_{t}(K/k)=+\infty$ pour tout $t\leq s$, et d’autrs part pour tout $n>s$, $di(K_{r}(K^{p^{e_{n-s}}})/k)=di(K_{r}/k)+di(K_{r}(K^{p^{e_{n-s}}})/K_{r})<s+n-s=n$ et $di(K_{r}(K^{p^{e_{n-s}-1}})/k)=di(K_{r}/k)+di(K_{r}(K^{p^{e_{n-s}-1}})/K_{r})\geq n$. Notamment, pour tout $n>s$, $o_{n}(K/k)=o_{n-s}(K/K_{r})$. Toutefois, $o_{n}(K/k)$ est fini si et seulement si $n\leq s$.     \sqcap$$\sqcup

Voici une liste de conséquences immédiates :

Proposition 4.16

Soient $K$ et $L$ deux corps intermédiaires d’une extension $q$-finie $M/k$. Pour tout $j\in{\mathbf{N}}^{*}$, on a $o_{j}(L(K)/L)\leq o_{j}(K/k)$.

**Preuve. **Due au lemme 4.14, et à l’inégalité suivante résultant du corllaire 3.6: $di(L(L^{p^{n}},K^{p^{n}})/L)=di(L(K^{p^{n}})/L)\leq di(k(K^{p^{n}})/k)$ pour tout $n\in{\mathbf{N}}$.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 4.17

Etant données des extensions $q$-finies $k\subseteq L\subseteq K$. Pour tout $j\in{\mathbf{N}}^{*}$, on a $o_{j}(L/k)\leq o_{j}(K/k).$

**Preuve. **Application immédiate du lemme 4.14, et de l’inégalité suivante résultant du théorème 3.1 : $di(k(L^{p^{n}})/k)$ $\leq di(k(K^{p^{n}})/k)$ pour tout $n\in{\mathbf{N}}$.

Par ailleurs la taille d’une extension relativement parfaite reste invariant, à une extension finie près comme l’indique le résultat suivant.

Proposition 4.18

Etant donnée une sous-extension $K/k$ relativement parfaite d’une extension $q$-finie $M/k$. Pour toute sous-extension finie $L/k$ de $M/k$, on a $di(L(K)/L)=di(K/k)$.

**Preuve. **En vertu du corollaire 3.6, il suffit de montrer que $di(L(K)/L)\geq di(K/k)$. Pour cela, on pose d’abord $e=o_{1}(L/k)$ et $t=di(K/k)$. D’après le théorème 4.15, pour tout $s\in\{1,\dots,t\}$, $o_{s}(K/k)=+\infty$, donc pour $n$ assez grand, on aura $o_{t}(k_{n}/k)>e+1$, en outre $L\subseteq k_{n}$ et $di(k_{n}/k)=di(K/k)$. Soit $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{t}\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $k_{n}/k$, s’il existe $s\in\{1,\dots,t\}$ tel que $\alpha_{s}\in L({k_{n}}^{p})(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})$, d’après la proposition 4.10, on aura $e<o_{t}(k_{n}/k)\leq o_{s}(k_{n}/k)=o(\alpha_{s},k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1}))\leq o_{1}(L({k_{n}}^{p})(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})/$ $k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1}))\leq\displaystyle\sup(o_{1}(L/k),o_{s}(k_{n}/k)-1)=o_{s}(k_{n}/k)-1$, et donc $o_{s}(k_{n}/k)$ $\leq o_{s}(k_{n}/k)-1$, contradiction. D’où, $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{t}\}$ est une $r$-base de $L(k_{n})/L$, et par suite, $t=di(K/k)=di(L(k_{n})/L)\leq di(L(K)/L)$.     \sqcap$$\sqcup

5 Extensions modulaires

On rappelle qu’une extension $K/k$ est dite modulaire si et seulement si pour tout $n\in\mathbf{N}$, $K^{p^{n}}$ et $k$ sont $K^{p^{n}}\cap k$-linéairement disjointes. Cette notion a été définie pour la première fois par Swedleer dans [14], elle caractérise les extensions purement inséparables, qui sont produit tensoriel sur $k$ d’extensions simples sur $k$. Par ailleurs, toute $r$-base $B$ de $K/k$ telle que $K\simeq\otimes_{k}(\otimes_{k}k(a))_{a\in B}$ sera appelée $r$-base modulaire. En particulier, d’après le théorème de Swedleer, si $K/k$ est d’exposant borné, il est équivalent de dire que :

• (i)

$K/k$* admet une $r$-modulaire.*

• (ii)

$K/k$* est modulaire.*

Soient $m_{j}$ le $j$-ième exposant d’une extension purement inséparable finie $K/k$ et $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/k$, donc d’après la proposition 4.11, pour tout $j\in\{2,\dots,n\}$, il existe des constantes uniques $C_{\varepsilon}\in k$ telles que ${\alpha_{j}}^{p^{m_{j}}}=\displaystyle\sum_{\varepsilon\in\Lambda_{j}}{C_{\varepsilon}}{(\alpha_{1},\dots,\alpha_{j-1})}^{p^{m_{j}}\varepsilon}$, où $\Lambda_{j}=\{(i_{1},\dots,i_{j-1})$ tel que $0\leq i_{1}<p^{m_{1}-m_{j}},\dots,0\leq i_{j-1}<p^{m_{j-1}-m_{j}}\}$. Ces relations s’appellent les équations de définition de $K/k$.

Le critère ci-dessous permet de tester la modularité d’une extension.

Théorème 5.1

[Critère de modularité]* Sous les notations ci-dessus, les propriétés suivantes sont équivalentes :*

• (1)

$K/k$* est modulaire.*

• (2)

Pour toute $r$-base canoniquement ordonnée $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ de $K/k$, les $C_{\varepsilon}\in k\cap K^{p^{m_{j}}}$ pour tout $j\in\{2,\dots,n\}$.

• (3)

Il existe une $r$-base canoniquement ordonnée $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ de $K/k$ telle que les $C_{\varepsilon}\in k\cap K^{p^{m_{j}}}$ pour tout $j\in\{2,\dots,n\}$.

**Preuve. **cf. [2], p. 142, proposition 1.4.     \sqcap$$\sqcup

Exemple 5.2

Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, $k=Q(X,Y,$ $Z)$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $X,Y,Z$, et $K=k(\alpha_{1},$ $\alpha_{2})$ avec $\alpha_{1}=X^{p^{-2}}$ et $\alpha_{2}=X^{p^{-2}}Y^{p^{-1}}+Z^{p^{-1}}$. On vérifie aussitôt que

• $\bullet$

$o_{1}(K/k)=2$* et $o_{2}(K/k)=1$,*

• $\bullet$

$\alpha_{2}^{p}=Y\alpha_{1}^{p}+Z$.

Si $K/k$ est modulaire, d’après le critère du modularité, on aura $Y\in k\cap K^{p}$ et $Z\in k\cap K^{p}$, et donc $Y^{p^{-1}}$ et $Z^{p^{-1}}\in K$. D’où $k(X^{p^{-2}},Y^{p^{-1}},Z^{p^{-1}})$ $\subset$ $K$, et par suite, $di(k(X^{p^{-2}},Y^{p^{-1}},Z^{p^{-1}})/k)=3<$ $di(K/k)=2$, contradiction.

Le résultat suivant est conséquence immédiate de la modularité.

Proposition 5.3

Soient $m,n\in\mathbf{Z}$ avec $n\geq m$. Si $K/k$ est modulaire, alors $K^{p^{m}}/k^{p^{n}}$ est modulaire.

La condition $n\geq m$ assure $k^{p^{n}}\subset K^{p^{m}}$.

Proposition 5.4

Soit $K/k$ une extension purement inséparable finie (respectivement, et modulaire), et soit $L/k$ une sous-extension de $K/k$ (respectivement, et modulaire) avec $di(L/k)=s$. Si $K^{p}\subseteq L$, il existe une r-base canoniquement ordonnée (respectivement, et modulaire) $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})$ de $K/k$, et $e_{1},e_{2},\dots,e_{s}\in\{1,p\}$ tels que $({\alpha_{1}}^{e_{1}},{\alpha_{2}}^{e_{2}},\dots,{\alpha_{s}}^{e_{s}})$ soit une r-base canoniquement ordonnée (respectivement, et modulaire) de $L/k$. De plus, pour tout $j\in\{1,\dots,s\}$, on a $o_{j}(K/k)=o_{j}(L/k)$, auquel cas $e_{j}=1$, ou $o_{j}(K/k)=o_{j}(L/k)+1$, auquel cas $e_{j}=p$.

**Preuve. **Cf. [2], p. 146, proposition 8.4.     \sqcap$$\sqcup

Le théorème suivant de Waterhouse joue un rôle important dans l’étude des extensions modulaires (cf. [15] Théorème 1.1).

Théorème 5.5

Soient $(K_{j})_{j\in I}$ une famille de sous-corps d’un corps commutatif $\Omega$, et $K$ un autre sous-corps de $\Omega$. Si pour tout $j\in I$, $K$ et $K_{j}$ sont $K\cap K_{j}$-linéairement disjoints, alors $K$ et $\displaystyle\bigcap_{j}K_{j}$ sont $K\cap(\displaystyle\bigcap_{j}K_{j})$-linéairement disjoint.

Comme conséquence, la modularité est stable par une intersection quelconque portant soit au dessus ou en dessous d’un corps commutatif. Plus précisément, on a :

Corollaire 5.6

Sous les mêmes hypothèses du théorème ci-dessus, on a :

• (i)

Si pour tout $j\in I$, $K_{j}/k$ est modulaire, il en est de même de $\displaystyle\bigcap_{j}K_{j}/k$.

• (ii)

Si pour tout $j\in I$, $K/K_{j}$ est modulaire, il en est de même de $K/\displaystyle\bigcap_{j}K_{j}$.

D’après le théorème de Waterhouse, il existe une plus petite sous-extension $m/k$ de $K/k$ (respectivement une plus petite extension $M/K$) telle que $K/m$ (respectivement $M/k$) est modulaire. Désormais, on note $m=lm(K/k)$ et $M=um(K/k)$. Toutefois, l’extension $um(K/k)$ sera appelée clôture modulaire de $K/k$.

Comme application immédiate de la proposition 3.4, on a

Proposition 5.7

Etant données une $r$-base modulaire $B$ d’une extension modulaire $K/k$ et une famille $(e_{a})_{a\in B}$ d’entiers tels que $0\leq e_{a}\leq o(a,k)$. Soit $L=k(({a}^{p^{e_{a}}})_{a\in B})$, alors $L/k$ et $K/L$ sont modulaires, et $(B\setminus L)$, $(({a}^{p^{e_{a}}})_{a\in B}\setminus L)$ sont deux $r$-bases modulaires respectivement de $K/L$ et $L/k$. En outre, pour tout $a\in B$, $o(a,L)=e_{a}$.

**Preuve. **On se ramène au cas fini auquel le résultat découle de la transitivité de la linéarité disjointe. En outre, pour toute partie $\{a_{1},\dots,a_{n}\}$ d’élément de $B$, $[L(a_{1},\dots,a_{n}):L]=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}p^{e_{a_{i}}}$.     \sqcap$$\sqcup

Dans la suite, pour tout $a\in B$, on pose $n_{a}=o(a,k)$. Considérons maintenant les sous-ensembles $B_{1}$ et $B_{2}$ de $B$ définis par $B_{1}=\{a\in B\,|\,n_{a}>j\}$, $B_{2}=B\setminus B_{1}=\{a\in B\,|\,n_{a}\leq j\}$, ($j$ étant un entier ne dépassant pas $o(K/k)$).

Comme Application de la proposition précédente, on a :

Théorème 5.8

Sous les conditions précisées ci-dessus, pour tout entier $j<o(K/k)$, on a $k_{j}=k((a^{n_{a}-j})_{a\in B_{1}},B_{2})$.

**Preuve. **Comme $K/k$ est réunion inductive d’extentions modulaires engendrées par des parties finies de $B$, et compte tenu de la distributivité de l’intersection par rapport à la réunion, on peut supposer sans perdre de généralité que $K/k$ est finie d’exposant noté $e$. Soient $\{\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\}$ une $r$-base modulaire et canoniquement ordonnée de $K/k$, et $m_{j}$ le j-ième exposant de $K/k$. Désignons par $s$ le plus grand entier tel que $m_{s}>j$, et $L=k(\alpha_{1}^{p^{m_{1}-j}},\dots,$ $\alpha_{s}^{p^{m_{s}-j}},$ $\alpha_{s+1},\dots,$ $\alpha_{n})$. On vérifie aussitôt que :

• (i)

$L\subseteq k_{j}$,

• (ii)

$K\simeq k(\alpha_{1})\otimes_{k}\dots\otimes_{k}k(\alpha_{n})\simeq L(\alpha_{1})\otimes_{L}\dots\otimes_{L}L(\alpha_{s})$.

Ainsi, pour tout $x\in K$, il existe des constantes uniques $C_{\varepsilon}\in L$ telles que $x=\displaystyle\sum_{\varepsilon\in\Lambda}{C_{\varepsilon}}{(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})}^{\varepsilon}$, où $\Lambda=\{(i_{1},\dots,i_{s})$ tel que $0\leq i_{1}<p^{m_{1}-j},\dots,0\leq i_{s}<p^{m_{s}-j}\}$, et donc $x^{p^{j}}=\displaystyle\sum_{\varepsilon\in\Lambda}{C_{\varepsilon}}^{p^{j}}{({\alpha_{1}}^{p^{j}},\dots,{\alpha_{s}}^{p^{j}})}^{\varepsilon}$. Compte tenu de la proposition 4.11, $x^{p^{j}}\in k$ (c’est-à-dire $x\in k_{j}$) si et seulement si $x^{p^{j}}={C_{(0,\dots,0)}}^{p^{j}}$, ou encore $x=C_{(0,\dots,0)}$. Par suite $x\in k_{j}$ si et seulement si $x\in L$, autrement dit $k_{j}=L$.

Comme conséquence immédiate, dans le cas de modulaire le résultat suivant exprime une propriété de stabilité de la taille d’un certains corps intermédiaires. Plus précisément,

Corollaire 5.9

Pour toute extension modulaire $K/k$, pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, on a $di(k_{n}/k)=di(k_{1}/k)$. En particulier, $di(K/k)=di(k_{1}/k)$.

Le résultat suivant est bien connu (cf. [11]).

Proposition 5.10

Soit $K/k$ une extension purement inséparable et modulaire ; soit pour tout $n\in\mathbf{N}$, $K_{n}=k(K^{p^{n}})$. Alors $k_{n}/k$, $K/k_{n}$, $K_{n}/k$ et $K/K_{n}$ sont modulaires.

Proposition 5.11

Soient $K_{1}$ et $K_{2}$ deux sous-extensions de $K/k$ telles que $K\simeq K_{1}\otimes K_{2}$. Si pour tout $i\in\{1,2\}$, $K_{i}/k$ est modulaire, il en est de même de $K/k$.

**Preuve. **Cf. [5], p. 55, lemme 3.4.     \sqcap$$\sqcup

Le résultat suivant étend trivialement les hypothèses de la proposition 3.3, [12], p. 94, ainsi que le théorème 3.2, [7], p. 289. Il utilise plus particulièrement les propriétés du système canoniquement générateur (pour plus d’information cf. [12], définition 1.32, p. 29).

Proposition 5.12

Soient $K_{1}$ et $K_{2}$ deux sous-extensions de $K/k$ telles que $K\simeq K_{1}\otimes K_{2}$. Si $K/K_{1}$ est modulaire, et $K_{2}/k$ est d’exposant borné, il existe une partie $B$ de $K$ telle que $K\simeq K_{1}\otimes_{k}(\otimes_{k}(k(\alpha)_{\alpha\in B})$.

**Preuve. **D’abord, comme $K\simeq K_{1}\otimes_{k}K_{2}$, alors pour tout $i\in{\mathbf{N}}$, pour toute $r$-base $C$ de $k({K_{2}}^{p^{i}})/k$, $C$ est aussi une $r$-base de $K_{1}({K_{2}}^{p^{i}})/K_{1}$. Choisissons ensuite une $r$-base $B$ de $K_{2}/k$, comme $K_{2}/k$ est d’exposant fini, alors $B$ est un $r$-générateur minimal de $K_{2}/k$. Soit $B_{1},\dots,B_{n}$ une partition de $B$ vérifiant $B_{1}=\{x\in B|\,o(x,k)=o_{1}(K_{2}/k)=e_{1}\}$ et, pour tout $1<i\leq n$, $B_{i}=\{x\in B|\,o(x,k(B_{1},\dots,B_{i-1}))=o_{1}(K_{2}/k(B_{1},\dots,B_{i-1}))=e_{i}\}$. Il est clair que $e_{1}>\dots>e_{n}$, et en vertu de la linéarité disjointe, pour tout $i\in\{1\dots,n\}$, pour tout $x\in B_{i}$, on a également $o(x,K_{1}(B_{1},\dots,B_{i-1}))=o_{1}(K/K_{1}(B_{1},\dots,B_{i-1}))\}=e_{i}$. En particulier, pour tout $i\in\{2,\dots,n\}$, $(\displaystyle\prod_{\alpha}{(G)}^{{\alpha}p^{e_{i}}})_{G}$, où $G$ est une partie finie d’éléments de $B_{1}\cup\dots\cup B_{i-1}$ et les $\alpha$ sont convenablement choisis, est une base respectivement de $k({K_{2}}^{p^{e_{i}}})$ sur $k$ et $K_{1}({K_{2}}^{p^{e_{i}}})=K_{1}({K}^{p^{e_{i}}})$ sur $K_{1}$. Notons $M_{i}$ cette base, et soit $x\in B_{i}$, il existe des $c_{\alpha}\in k$ uniques tels que $x=\displaystyle\sum_{\alpha}c_{\alpha}y_{\alpha}$, ($y_{\alpha}\in M_{i}$), en outre les $c_{\alpha}$ sont aussi uniques dans $K_{1}$. D’autre part, en vertu de la modularité, pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $K^{p^{e_{i}}}$ et $K_{1}$ sont $K_{1}\cap K^{p^{e_{i}}}$-linéairement disjointes. Comme $K_{1}({K_{2}}^{p^{e_{i}}})=K_{1}({K}^{p^{e_{i}}})$ et $M_{i}\subseteq K^{p^{e_{i}}}$, alors $M_{i}$ est aussi une base de $K^{p^{e_{i}}}$ sur $K_{1}\cap K^{p^{e_{i}}}$. En tenant compte de l’unicité de l’écriture de $x$ dans la base $M_{i}$, on en déduit par identification que les $c_{\alpha}\in k\cap K^{p^{e_{i}}}$, et donc ${B_{i}}^{p^{e_{i}}}\subseteq k\cap K^{p^{e_{i}}}({K_{1}}^{p^{e_{i}}}({B_{1}}^{p^{e_{i}}},\dots,{B_{i-1}}^{p^{e_{i}}}))$ pour tout $i\in\{1\dots,n\}$. Par application du ([12], proposition 3.3, p. 94), il existe une sous-extension modulaire $J/k$ d’exposant fini de $K/k$ telle que $K\simeq K_{1}\otimes_{k}J$. Ainsi, le résultat découle immédiatement du théorème de Swedleer.     \sqcap$$\sqcup

Dans le cas fini, le résultat suivant généralise la proposion ci-dessus.

Proposition 5.13

Soient $K_{1}$ et $K_{2}$ deux corps intermédiaires ; $k$-linéairement disjoints d’une extension purement inséparable finie $L/k$ avec $di(L/K_{1})=di(K_{2}$ $/k)=n$. Soit $s$ le plus petit entier tel que $o_{s}(K_{2}/k)=o_{n}(K_{2}/k)$. Si $L/K_{1}$ est modulaire, il existe une $r$-base $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ canoniquement ordonnée de $K_{1}(K_{2})/K_{1}$ vérifiant $K_{1}(K_{2})\simeq K_{1}\otimes k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})\otimes_{k}k(\alpha_{s+1})\otimes_{k}\dots\otimes_{k}k(\alpha_{n})$.

**Preuve. **Pour simplifier l’écriture, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on note $o_{j}(K_{2}/k)$ $=e_{j}$, et $K=K_{1}(K_{2})$ . Soit $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $K_{2}/k$. Compte tenu de la proposition 4.12, $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ est aussi une $r$-base canoniquement ordonnée de $K/K_{1}$, et pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, $o_{j}(K/K_{1})=e_{j}$. D’après la proposition 4.11, pour tout $i\in\{s,\dots,n\}$, il existe des constantes uniques $C_{\varepsilon}^{i}\in k$ telles que ${\alpha_{i}}^{p^{e_{n}}}=\displaystyle\sum_{\varepsilon\in\Lambda_{s-1}}C_{\varepsilon}^{i}{(\alpha_{1}\dots\alpha_{s-1})}^{p^{\varepsilon}}$ ($*$). En vertu de la proposition 4.12, pour tout $i\in\{s\dots,n\}$, l’équation de définition de $\alpha_{i}$ par rapport à $K_{1}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})$ est aussi définie par la relation ($*$) ci-dessus. Comme $L/K_{1}$ est modulaire, en se servant du critère de modularité, pour tout $(i,\varepsilon)\in\{s,\dots,n\}\times\Lambda_{s-1}$, on aura ${(C_{\varepsilon}^{i})}^{p^{-e_{n}}}\in L$. Posons ensuite, $F=k({(C_{\varepsilon}^{i})}^{p^{-e_{n}}})$ où $(i,\varepsilon)$ parcourt l’ensemble $\{s,\dots,n\}\times\Lambda_{s-1}$, et $H=K_{1}(F)(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})$. Il est clair que $o_{1}(F/k)\leq e_{n}$, et $K\subseteq H\subseteq L$. De plus, d’après le théorème 3.1 et la proposition 4.10, $n=di(K/K_{1})\leq di(H/K_{1})\leq di(L/K_{1})=n$, et pour tout $i\in\{s,\dots,n\}$, $e_{n}=o_{i}(K/K_{1})\leq o_{i}(H/K_{1})\leq e_{n}$. Il en résulte que $di(H/K_{1})=n$, et pour tout $i\in\{s,\dots,n\}$, $e_{n}=o_{i}(H/K_{1})$. Comme $e_{s-1}>e_{s}=e_{n}$, d’après l’algorithme de la complétion des $r$-bases, il existe des éléments $b_{s},\dots,b_{n}\in F$ tels que $\{\alpha_{1}\dots,\alpha_{s-1},b_{s},\dots,b_{n}\}$ soit une $r$-base canoniquement ordonnée de $H/K_{1}$. En particulier, on aura :

• $\bullet$

Pour tout $i\in\{1,\dots,s-1\}$, $e_{i}=o_{i}(H/K_{1})=o_{i}(K_{1}(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})/K_{1})=o_{i}(k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})/k)$.

• $\bullet$

Pour tout $j\in\{s,\dots,n\}$, $e_{n}=o_{j}(H/K_{1})=o(b_{j},K_{1}(\alpha_{1}\dots,\alpha_{s-1},b_{s},\dots,$ $b_{j-1}))\leq o(b_{j},k(b_{s},\dots,b_{j-1})/k)\leq o_{1}(F/k)\leq e_{n}$, et donc $e_{n}=o_{j}(H/K_{1})$ $=o_{j}(k(b_{s},\dots,b_{n})/k)$.

D’où, $H=K\simeq K_{1}\otimes k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s-1})\otimes_{k}k(b_{s})\otimes_{k}\dots\otimes_{k}k(b_{n})$.     \sqcap$$\sqcup

6 Extensions équiexponentielles

Proposition 6.1

Soit $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant $e$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

• (1)

Il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ vérifiant $K\simeq\otimes_{k}(k(a))_{a\in G}$, et pour tout $a\in G$, $o(a,k)=e$.

• (2)

Toute $r$-base $G$ de $K/k$ satisfait $K\simeq\otimes_{k}(k(a))_{a\in G}$, et $o_{1}(K/k)=e$.

• (3)

Il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ telle que pour tout $a\in G$, $o(a,k(G\setminus\{a\}))=o(a,k)=e$.

• (4)

Pour toute $r$-base $G$ de $K/k$, pour tout $a\in G$, $o(a,k(G\setminus\{a\}))=o(a,k)=e$.

**Preuve. **D’après le théorème de la $r$-base incomplète, on se ramène au cas où $K/k$ est finie auquel cas $[K:k]=p^{en}$, où $e=o_{1}(K/k)$ et $n=di(K/k)$, et en vertu de la proposition 4.12, le résultat est immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Définition 6.1

Une extension qui vérifie l’une des conditions de la proposition ci-dessus est dite équiexponentielle d’exposant $e$.

Il est clair que toute extension équiexponentielle est modulaire. De plus, on vérifie aussitôt qu’il est équivalent de dire que :

• (1)

$K/k$* est équiexponentielle d’exposant $e$.*

• (2)

Il existe une $r$-base $G$ de $K/k$, pour toute partie finie $G_{1}$ de $G$, on a $k(G_{1})/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$.

• (3)

Pour toute $r$-base $G$ de $K/k$, pour toute partie finie $G_{1}$ de $G$, on a $k(G_{1})/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$.

Proposition 6.2

Pour toute extension $K/k$ relativement parfaite et modulaire, pour tout entier $n$, $k_{n}/k$ est équiexponentielle d’exposant $n$.

**Preuve. **D’après le théorème 5.8, il suffit de montrer que $k({k_{n}}^{p})=k_{n-1}$. Compte tenu de la modularité de $K/k$, $K^{p^{n}}$ et $k$ sont $k\cap K^{p^{n}}$-linéairement disjointes pour tout $n\geq 1$, et en vertu de la transitivité de la linéarité disjointe, $k^{p^{n-1}}(K^{p^{n}})$ et $k$ sont $k^{p^{n-1}}(k\cap K^{p^{n}})$-linéairement disjointes. Or $K/k$ est relativement parfaite, donc $k^{p^{n-1}}(K^{p^{n}})=K^{p^{n-1}}$, et par suite $k\cap K^{p^{n-1}}=k^{p^{n-1}}(k\cap K^{p^{n}})$, ou encore $k({k_{n}}^{p})=k_{n-1}$.     \sqcap$$\sqcup

Le résultat suivant, rapporte plus de précision à la proposition 6.2 dans le cas des extensions $q$-finies, notamment aux extensions finies.

Proposition 6.3

Soit $K/k$ une extension purement inséparable de degré d’irrationalité $t$, relativement parfaite et modulaire (respectivement finie et équiexponentielle). Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tels que $n<m\hbox{ }(\hbox{respectivement, }n$ $<o_{1}(K/k))$. Les propriétés suivantes sont vérifiées:

• (1)

$di(k_{m}/k_{n})=t$.

• (2)

$k_{m}/k_{n}$* est équiexponentielle d’exposant $m-n$;*

• (3)

$k_{n}^{p^{-(m-n)}}\cap K=k_{m}\;$* et $\;k(k_{m}^{p^{m-n}})=k_{n}$.*

En particulier, pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, on a $[k_{n},k]=p^{nt}$.

**Preuve. **cf. [2], p. 147, proposition 9.4.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence immédiate, on a :

Corollaire 6.4

Si $K/k$ est une extension équiexponentielle d’exposant $e$, alors:

• (i)

Pour tout $i\in\{1,\dots,e\}$, $k_{i}/k$ et $K/k_{i}$ sont équiexponentielles d’exposant respectivement $i$ et $e-i$.

• (ii)

Pour tout $i\in\{1,\dots,e\}$, $k(K^{p^{i}})/k$ et $K/k(K^{p^{i}})$ sont équiexponentielles d’exposant respectivement $e-i$ et $i$.

**Preuve. **Immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Le théorème ci-dessus reproduit dans un cadre plus étendu le corollaire 4.5 qui se trouve dans [7], p. 292, et pour plus d’information au sujet d’extraction des $r$-bases modulaires, on se réfère aux [7] et [8].

Théorème 6.5

Soient $k\subseteq L\subseteq K$ des extensions purement inséparables telles que $K/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$. Si $K/L$ est modulaire, il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ telle que $\{a^{p^{o(a,L)}}|\,{a\in G}$ et $o(a,L)<e\}$ est une $r$-base modulaire de $L/k$.

Preuve. Comme $K/L$ est modulaire d’exposant fini, il existe une $r$-base $B_{1}$ de $K/L$ telle que $K\simeq\otimes_{L}(\otimes_{L}L(a))_{a\in B_{1}})$, (*). Pour des raisons d’écriture, pour tout $a\in B_{1}$, on pose $e_{a}=o(a,L)$ et $C=(a^{p^{e_{a}}})_{a\in B_{1}}$. Soit $B_{2}$ une partie de $L$ telle que $B_{2}$ est une $r$-base de $L(K^{p})/k(K^{p})$. Compte tenu de la transitivité de $r$-indépendance, $B_{1}\cup B_{2}$ est aussi une $r$-base de $K/k$. Dans la suite, notons $M=k(C,B_{2})$. Il est clair que $M\subseteq L$, de plus, comme $K/k$ est équiexponentielle, on aura $K\simeq\otimes_{k}(\otimes_{k}k(a))_{a\in B_{1}\cup B_{2}}$. En vertu de la transitivité de la linéarité disjointe, $K\simeq\otimes_{M}(\otimes_{M}M(a))_{a\in B_{1}}$, (). En particulier, d’après les relations (*) et (), pour toute famille finie $\{a_{1},\cdots,a_{n}\}$ d’éléments de $B_{1}$, $L(a_{1},\dots,a_{n})\simeq L(a_{1})\otimes_{L}\dots\otimes_{L}L(a_{n})$ et $M(a_{1},\dots,a_{n})\simeq M(a_{1})\otimes_{M}\dots\otimes_{M}M(a_{n})$. Par application de la proposition 4.12, on a successivement $[L(a_{1},\dots,a_{n}):L]=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}p^{e_{a_{i}}}$ et $[M(a_{1},\dots,a_{n}):M]=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}p^{e_{a_{i}}}$, ou encore $L$ et $K$ sont $M$-linéairement disjointes. D’où $L=L\cap K=M$.     \sqcap$$\sqcup

7 $q$-finitude et modularité

Soit $K/k$ une extension $q$-finie d’exposant non borné. Dans tout ce qui suit, nous utilisons les notations suivantes : $k_{j}=k^{p^{-j}}\cap K$, $U_{s}^{j}(K/k)=j-o_{s}(k_{j}/k)$, et $Ilqm(K/k)$ désigne le premier entier $i_{0}$ pour lequel la suite $(U_{i_{0}}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est non bornée. Le résultat ci-dessus est une application immédiate de la proposition 4.10.

Proposition 7.1

Etant donnée une extension $q$-finie $K/k$. Pour tout entier $s$, la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est croissante.

**Preuve. **Comme ${k_{n+1}}^{p}\subseteq k_{n}$, il est clair que $o_{s}(k_{n}/k)\leq o_{s}(k_{n+1}/k)\leq o_{s}(k_{n}/k)+1$, et donc $n+1-o_{s}(k_{n+1}/k)\geq n-o_{s}(K_{n}/k)$ ; c’est-à-dire la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est croissante.     \sqcap$$\sqcup

En outre, on vérifie aussitôt que :

• (i)

Pour tout $s\geq Ilqm(K/k)$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(U_{s}^{n}(K/k))=+\infty$.

• (ii)

Pour tout $s<Ilqm(K/k)$, la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est bornée ;

et par suite, pour tout $n\geq\displaystyle\sup_{j\in\mathbf{N}}(\displaystyle\sup(U_{s}^{j}(K/$ $k$ $)))_{s<Ilqm(K/k)}$, on a $U_{s}^{n}(K/k)=U_{s}^{n+1}(K/k)$. Autrement dit, $o_{s}(k_{n+1}/k)=o_{s}(k_{n}/k)+1$.

Dans toute la suite, on pose $e(K/k)=\displaystyle\sup_{j\in\mathbf{N}}(\displaystyle\sup(U_{s}^{j}(K/k)))_{s<Ilqm(K/k)}$, et pour tout $(s,j)\in{{\mathbf{N}}}^{*}\times{{\mathbf{N}}}^{*}$, $e_{s}^{j}=o_{s}(k_{j}/k)$

Théorème 7.2

Soit $K/k$ une extension $q$-finie, avec $t=di(rp(K/k)/k)$. Les affirmations suivantes sont équivalentes ;

• (1)

$K/k$* est modulaire sur une extension finie de $k$.*

• (2)

Pour tout $s\in\{1,2,\dots,t\}$, la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_{j\in\mathbf{N}}$ est bornée.

• (3)

$Ilqm(K/k)=t+1$.

**Preuve. **Il est clair que $(2)\Leftrightarrow(3)$. Par ailleurs, compte tenu de la proposition 4.3, il existe un entier $j_{0}$ tel que $K/k_{j_{0}}$ est relativement parfaite et $k_{j_{0}}(rp(K/k))=K$, et d’après la proposition 4.18, on aura $di(K/k_{j_{0}})=di(rp(K/$ $k)/k)=t$. Supposons ensuite que la condition $(1)$ est vérifiée. On distingue deux cas :

Si $K/k$ est modulaire, en vertu de la proposition 6.3, pour tout $j\geq j_{0}$, on a $k_{j}/k_{j_{0}}$ est équiexponentielle d’exposant $j-j_{0}$ et $di(k_{j}/k_{j_{0}})=t$. D’où pour tout $s\in\{1,\dots,t\}$, on a $U_{s}^{j}(K/k)=U_{s}^{j+1}(K/k)$.

Si $K$ est modulaire sur une extension finie $L$ de $k$, compte tenu de la finitude de $L/k$, il existe un entier naturel $n$ tel que $L\subseteq k_{n}$. Par suite, $L^{p^{-j}}\cap K\subseteq k_{n+j}$, et donc $U_{s}^{n+j}(K/k)\leq n+U_{s}^{j}(K/L)$. D’où, la suite $(U_{s}^{j}(K/k))_{j}$ est stationnaire pour tout $s\in\{1,\dots,t\}$.

Inversement, si la condition $(2)$ est vérifiée, il existe $m_{0}\geq\sup(e(K/k),j_{0})$, pour tout $j\geq m_{0}$, pour tout $s\in\{1,\dots,t\}$, on a $o_{s}(k_{j+1}/k)=o_{s}(k_{j}/k)+1$ (et $di(k_{j}/k_{m_{0}})=t$). Par suite, $k_{j}/k_{j_{0}}$ est équiexponentielle, donc modulaire. D’où $K=\displaystyle\bigcup_{j>m_{0}}k_{j}$ est modulaire sur $k_{j_{0}}$.     \sqcap$$\sqcup

Théorème 7.3

La plus petite sous-extension $M/k$ d’une extension $q$-finie $K/k$ telle que $K/M$ est modulaire n’est pas triviale ($M\not=K$). Plus précisément, si $K/k$ est d’exposant non borné, il en est de même de $K/M$.

**Preuve. **Le cas où $K/k$ n’est pas relativement parfaite (en particulier le cas fini) est trivialement évident, puisque $K/k(K^{p})$ est modulaire. Ainsi, on est amené à considérer que $K/k$ est relativement parfaite d’exposant non borné. On emploiera ensuite un raisonnement par récurrence sur $di(K/k)=t$. Si $t=1$, ou encore si $K/k$ est $q$-simple, il est immédiat que $K/k$ est modulaire. Supposons maintenant que $t>1$, si $Ilqm(K/k)=t+1$, en vertu du théorème 7.2, $M/k$ est finie, et donc $K/M$ est d’exposant non borné. Si $Ilqm(K/k)\leq t$, pour tout $j>e(K/k)$, pour tout $s\in[1;i-1]$ où $i=Ilqm(K/k)$, on a $e^{j+1}_{s}=e^{j}_{s}+1$. Comme $k^{p}_{j+1}\subseteq k_{j}$, d’après la proposition 5.4, il existe une r-base canoniquement ordonnée $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$ de $k_{j+1}/k$, il existe $\varepsilon_{i},\dots,\varepsilon_{t}\in\{1,p\}$ tels que $(\alpha_{1}^{p},\dots,\alpha_{i-1}^{p},\alpha_{i}^{\varepsilon_{i}}\dots,\alpha_{t}^{\varepsilon_{t}})$ est une r-base canoniquement ordonnée de $k_{j}/k$. Dans la suite, pour tout $j>e(K/k)$, notons $K_{j}=k(k_{j}^{p^{e^{j}_{i}}})$. D’une part, $K_{j}=k(\alpha_{1}^{p^{e^{j}_{i}+1}},\dots,\alpha_{i-1}^{p^{e^{j}_{i}+1}})$ et $K_{j+1}=k(\alpha_{1}^{p^{e^{j+1}_{i}}},\dots,\alpha_{i-1}^{p^{e^{j+1}_{i}}})$. D’autre part, on a $e^{j+1}_{i}=e^{j}_{i}+\varepsilon$, avec $\varepsilon=0$ ou $1$, cela conduit à $K_{j}\subseteq K_{j+1}$. Toutefois, par définition de $Ilqm(K/k)$, on a $1+e^{j}_{i}>e^{j+1}_{i}$ (c’est-à-dire $e^{j}_{i}=e^{j+1}_{i}$) pour une infinité de valeurs de $j$. Pour ces valeurs, on a $di(K_{j+1}/k)=i-1$, sinon d’après le lemme 4.14, $e^{j+1}_{i}=e^{j+1}_{i-1}=1+e^{j}_{i-1}=e^{j}_{i}$ , et donc $e^{j}_{i}>e^{j}_{i-1}$, ce qui contredit la définition des exposants. Comme $(di(K_{j}/k))_{j>e(K/k)}$ est une suite croissante d’entiers bornée par $di(K/k)$, donc elle stationne sur $Ilqm(K/k)-1$. De plus, $K_{j}\not=K_{j+1}$, en effet si $K_{j}=K_{j+1}=k(K^{p}_{j+1})$, comme $K_{j+1}/k$ est d’exposant borné, on aura $K_{j+1}=k$, ce qui est absurde. Posons ensuite $H=\displaystyle\bigcup_{j>e(K/k)}K_{j}$. On vérifie aussitôt que $H/k$ est d’exposant non borné et $di(H/k)=i-1$, de plus $H/k$ est relativement parfaite car $k(K^{p}_{j+1})=K_{j}$ pour une infinité de $j$. Par ailleurs, d’après les corollaires 4.5 et 4.7, $di(K/H)<t$ et $K/H$ est d’exposant non borné. Compte tenu de l’hypothèse de récurrence appliquée à $K/H$, on aura $K$ est modulaire sur une extension $M^{\prime}$ de $H$ avec $K/M^{\prime}$ est d’exposant non borné; comme $M\subseteq M^{\prime}$, alors $K/M$ est aussi d’exposant non borné.     \sqcap$$\sqcup

Une version équivalente de ce résultat se trouve dans [2]. Toutefois, le théorème ci-dessus peut tomber en défaut lorsque l’hypothèse de la $q$-finitude n’est pas vérifiée comme le montre le contre-exemple ci-dessus

Exemple 7.4

Soient $Q$ un corps parfait de caractéristique $p>0$, et $(X,(Y_{i}$ $)_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},$ $(Z_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},(S_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}})$ une famille algébriquement indépendante sur $Q$. Soit $k=Q(X,(Y_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},(Z_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},(S_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}})$ le corps des fractions rationnelles aux indéterminées $(X,(Y_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},(Z_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},(S_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}})$. Posons ensuite :

• $K_{1}=\displaystyle\bigcup_{n\geq 1}k(\theta_{1,n})$, avec $\theta_{1,1}={X}^{p^{-1}}$ et $\theta_{1,n}={\theta_{1,n-1}}^{p^{-1}}$ pour tout entier $n>1$.
• $K_{2}=\displaystyle\bigcup_{n\geq 1}K_{1}(\theta_{2,n})$, où $\theta_{2,1}={Z_{1}}^{p^{-1}}\theta_{1,2}+{Z_{2}}^{p^{-1}}$, et pour tout $n>1$, $\theta_{2,n}={Z_{1}}^{p^{-1}}\theta_{1,2n}+{\theta_{2,n-1}}^{p^{-1}}$.
• Par récurrence, on pose $K_{j}=\displaystyle\bigcup_{n\geq 1}K_{j-1}(\theta_{j,n})$, où $\theta_{j,1}={Z_{j-1}}^{p^{-1}}\theta_{j-1,2}$ $+{Z_{j}}^{p^{-1}}$, et pour tout $n>1$, $\theta_{j,n}={Z_{j-1}}^{p^{-1}}\theta_{j-1,2n}$ $+{\theta_{j,n-1}}^{p^{-1}}$.

Enfin, on note $K=\displaystyle\bigcup_{j\in{\mathbf{N}}^{*}}K_{j}$, et par conventient on pose $K_{0}=k$, et pout tout $i\in{\mathbf{N}}$, $\theta_{i,0}=0$. Comme pour tout $j\in{\mathbf{N}}^{*}$, $K_{j}\subseteq K_{j+1}$, alors $K$ est un corps commutatif.

Théorème 7.5

Sous les conditions ci-dessus, la plus petite sous-extension $m$ telle que $K/m$ est modulaire est triviale, c’est-à-dire $lm(K/k)=K$

Pour la preuve de ce théorème, on se servira des résultats suivants :

Lemme 7.6

Sous les mêmes conditions ci-dessus, pour tout $(j,n)\in{\mathbf{N}}\times{\mathbf{N}}^{*}$, $K_{j}(\theta_{j+1,n})=K_{j}({\theta_{j+1,{n+1}}}^{p})$ et $\theta_{j+1,1}\not\in K_{j}$. En particulier, $o(\theta_{j+1,n},K_{j})=n$.

**Preuve. **Il est trivialement évident que $K_{j}(\theta_{j+1,n})=K_{j}({\theta_{j+1,{n+1}}}^{p})$ pour tout $(j,n)\in{\mathbf{N}}\times{\mathbf{N}}^{*}$. Pour achever la preuve, il suffit de remarquer que $K_{j}\subseteq k({X}^{p^{-\infty}},$ ${Z_{1}}^{p^{-\infty}},$ $\dots,{Z_{j}}^{p^{-\infty}})$ et $k(\theta_{j+1,n},{X}^{p^{-\infty}},{Z_{1}}^{p^{-\infty}},$ $\dots,{Z_{j}}^{p^{-\infty}})=k({Z_{j+1}}^{p^{-n}},{X}^{p^{-\infty}},$ ${Z_{1}}^{p^{-\infty}},$ $\dots,{Z_{j}}^{p^{-\infty}})$, et donc, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, $n=o(\theta_{j+1,n},k({X}^{p^{-\infty}},{Z_{1}}^{p^{-\infty}},$ $\dots,{Z_{j}}^{p^{-\infty}}$ $))\leq o(\theta_{j+1,n},K_{j})\leq n$.     \sqcap$$\sqcup

Comme conséquence immédiate, pour tout $j\in{\mathbf{N}}^{*}$, $K_{j}/K_{j-1}$ est $q$-simple d’exposant non borné. En particulier, $di(K_{j}/k)=j$.

Lemme 7.7

Pour tout $i\in{\mathbf{N}}^{*}$, la famille $(Z_{i},(S_{j})_{j\in{\mathbf{N}}^{*}})$ est $r$-libre sur $K^{p}$.

**Preuve. **Puisque pour tout $i\geq 1$, ${S_{i}}^{p^{-1}}\not\in k({X}^{p^{-\infty}},({Z_{j}}^{p^{-\infty}})_{j\geq 1})({S_{1}}^{p^{-1}},\dots,$ ${S_{i-1}}^{p^{-1}})=K({Z_{1}}^{p^{-\infty}})({S_{1}}^{p^{-1}},\dots,{S_{i-1}}^{p^{-1}})$, il suffit de montrer que ${Z_{i}}\not\in K^{p}$; ou encore ${Z_{i}}^{p^{-1}}\not\in K$. Par construction, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on a $\theta_{j,1}={Z_{j-1}}^{p^{-1}}\theta_{j-1,2}$ $+{Z_{j}}^{p^{-1}}$ avec $K_{n}$ contient $\theta_{j,1}$ et $\theta_{j-1,2}$, et donc s’il existe $n>i$ tel que ${Z_{i}}^{p^{-1}}\in K_{n}$, par itération, on aura ${Z_{i-1}}^{p^{-1}},\dots,{Z_{1}}^{p^{-1}}\in K_{n}$ et ${Z_{i+1}}^{p^{-1}},\dots,{Z_{n}}^{p^{-1}}\in K_{n}$. Par suite, d’après le théorème 3.1, $di(k(X^{p^{-1}},{Z_{1}}^{p^{-1}},$ $\dots,{Z_{n}}^{p^{-1}})/k)\leq di(K_{n}/k)$, ou encore $n+1\leq n$, absurde. D’où pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, ${Z_{i}}^{p^{-1}}\not\in K_{n}$, et comme $K$ est réunion de la famille croissante d’extensions $(K_{n})_{n\in{\mathbf{N}}^{*}}$, alors ${Z_{i}}^{p^{-1}}\not\in K$.     \sqcap$$\sqcup

Preuve du théorème 7.5. Posons $m=lm(K/k)$. En utilisant un raisonnement par récurrence on va montrer que $K_{i}\subseteq m$ pour tout $i\in{{\mathbf{N}}}$, et par suite obtenir $K=m$. Il est immédiat que $K_{0}=k\subseteq m$, donc le résultat est vérifié pour le rang [math]. Soit $i\in{\mathbf{N}}^{*}$, supposons par application de l’hypothèse de récurrrence que $K_{i}\subseteq m$. S’il existe un entier naturel $s$ tel que $\theta_{{i+1},s}\not\in m$, désignons par $n$ le plus grant entier tel que $\theta_{{i+1},n}\in m$. D’où pour tout $t\in\{0,\dots,n\}$, $\theta_{{i+1},t}\in m$ et $\theta_{{i+1},n+1}\not\in m$, en outre $\theta_{{i+1},2n}^{p^{n}}\in m$, et ${\theta_{{i+1},2(n+1)}}^{p^{n+1}}$ $\not\in m$. Il en résulte que le système $({\theta_{{i+1},2(n+1)}}^{p^{n+1}},1)$ est libre sur $m$, en particulier, il en est de même sur $m\cap K^{p^{n+1}}$. Complétons ce système en une base $B$ de $K^{p^{n+1}}$ sur $m\cap K^{p^{n+1}}$. Comme $K^{p^{n+1}}$ et $m$ sont $m\cap K^{p^{n+1}}$-linéairement disjointes ($K/m$ est modulaire), $B$ est aussi une base de $m(K^{p^{n+1}})$ sur $m$. Or, par construction, $\theta_{{i+2},n+1}={Z_{i+1}}^{p^{-1}}\theta_{{i+1},2(n+1)}+{\theta_{{i+2},n}}^{p^{-1}}$, donc ${\theta_{{i+2},n+1}}^{p^{n+1}}={Z_{i+1}}^{p^{n}}{\theta_{{i+1},2(n+1)}}^{p^{n+1}}+{\theta_{{i+2},n}}^{p^{n}}$, avec ${\theta_{{i+2},n}}^{p^{n}}={Z_{i+1}}^{p^{n-1}}{\theta_{i+1,2n}}^{p^{n}}+\cdots+Z_{i+1}{\theta_{i+1,2}}^{p}+Z_{i+2}\in m$. Par identification, ${Z_{i+1}}^{p^{n}}\in m\cap K^{p^{n+1}}\subseteq K^{p^{n+1}}$, et donc ${Z_{i+1}}^{p^{-1}}\in K$, absurde. D’où pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, $\theta_{{i+1},n}\in m$, ou encore $K_{i+1}\subseteq m$. D’où $m=K$.     \sqcap$$\sqcup

8 Extensions $+\infty$-$w_{0}$-générées

8.1 $i$-suite

Définition 8.1

Une suite $k=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}\subseteq\dots\subseteq K$ de sous-extensions d’une extension purement inséparable $K/k$ est dite $i$-suite dans $K$ si pour tout indice $i$, on a $K_{i+1}/K_{i}$ est d’exposant non borné.

Lorsque $K/k$ est d’exposant non borné, il est immédiat que $k\subseteq K$ est une $i$-suite dite triviale, et donc l’ensemble des $i$-suites de $K/k$ est non vide. Cependant, $K/k$ n’admet pas de $i$-suite si $K/k$ est d’exposant fini, donc pour écarter ce cas, on suppose tout au long de cette paragraphe que $K/k$ est d’exposant non borné. Si de plus, $K/k$ est $q$-finie, on vérifie aussitôt que $k=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}\subseteq\dots\subseteq K$ est une $i$-suite si et seulement si il en est de même de $L=L(K_{0})\subseteq L(K_{1})\subseteq\dots\subseteq L(K_{n})\subseteq\dots\subseteq K$ pour toute sous-extension finie $L$ de $K/k$. En particulier, $k=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}\subseteq\dots\subseteq K$ est une $i$-suite si et seulement si $k=K_{0}\subseteq rp(K_{1}/k)\subseteq\dots\subseteq rp(K_{n}/k)\subseteq\dots\subseteq K$ l’est aussi.

Proposition 8.1

Toute suite décroissante d’une extension $q$-finie est stationnaire.

**Preuve. **Soient $(K_{n}/k)_{n\in{\mathbf{N}}}$ une suite décroissante de sous-extensions de $K/k$ et $(F_{i}/k)_{i\in{\mathbf{N}}}$ la suite associée à leurs clôtures relativement parfaites. Compte tenu du théorème 3.1 et de la proposition 4.1, la suite des entiers $(di(F_{i}/k))_{i\in{\mathbf{N}}}$ est décroissante, donc stationnaire à partir d’un entier $n_{0}$, ou encore pour tout $n\geq n_{0}$, $F_{i}=F_{n_{0}}$. En vertu de la monotonie, pour tout $n\geq n_{0}$, $[K_{n+1}:F_{n_{0}}]\leq[K_{n}:F_{n_{0}}]$. Autrement dit, la suite des entiers $([K_{n}:F_{n_{0}}])_{n\geq n_{0}}$ est décroissante, donc stationnaire à partir d’un entier $e$, ou encore pour tout $n\geq e$, $[K_{n}:F_{n_{0}}]=[K_{e}:F_{n_{0}}]$. Comme pour tout $n\geq e$, $K_{n}\subseteq K_{e}$, on en déduit que $K_{n}=K_{e}$, pour tout $n\geq e$.     \sqcap$$\sqcup

Corollaire 8.2

Dans une extension $q$-finie, toute $i$-suite est finie.

**Preuve. **Immédiat.     \sqcap$$\sqcup

Soit $K/k$ une extension $q$-finie, on dit que $K/k$ admet une $i$-suite de longueur $n$ si $K$ peut se décomposer sous-forme d’extensions : $k=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}=K$ telles que $K_{i+1}/K_{i}$ est d’exposant non borné pour tout $i\in\{0,\dots,n-1\}$. D’après la proposition précédente toute extension $q$-finie d’exposant non borné admet une $i$-suite de longueur maximale $n$, elle sera qualifiée de $i$-suite maximale. En outre, toute $i$-suite peut se prolonger en une $i$-suite de longueur maximale. Par ailleurs, une $i$-suite de longueur maximale présente en quelque sorte une certaine forme d’irréductibilité dans la mesure où entre deux termes consécutifs n’existe aucune extension propre d’exposant non borné, et donc impossible de décomposer deux termes consécutifs en $i$-suite de longueur $2$. Il est à signaler que cette forme d’irréductibilité sera étudiée avec précision dans les sections qui suivent.

Remarque 8.1

En générale, les termes d’une $i$-suite maximale ne sont pas uniques. Toutefois, on peut chercher d’autres formes d’unicité, par exemple on peut se demander si une $i$-suite maximale conserve la taille et les exposants des termes à une permutation près.

8.2 Extensions $w_{0}$-générées

Définition 8.2

Une extension purement inséparable est dite $w_{0}$-générée, s’elle n’admet pas de sous-extensions propres d’exposant non borné.

En d’autres termes, $K/k$ est $w_{0}$-générée si toutes les sous-extensions propres de $K/k$ ont un exposant borné. En particulier, si $K/k$ est $q$-finie, alors $K/k$ est $w_{0}$-générée si pour toute sous-extension propre $L/k$ de $K/k$, on a $L/k$ est finie, et par suite on retrouve la définition du J.K Devney cf. [9]. Par ailleurs, la $w_{0}$-génératrice exprime une certaine forme d’irréductibilité dans la mesure où $K/k$ est indécomposable sous forme d’extensions d’exposant non borné. Si de plus $K/k$ est d’exposant non borné, on vérifie aussitôt que :

• —

Toute extension $w_{0}$-générée est relativement parfaite.

• —

Toute extension $w_{0}$-générée et $q$-finie est modulaire sur une extension finie de $k$.

• —

$K/k$* est $w_{0}$-générée si et seulement si $k\longrightarrow K$ est une $i$-suite de longueur maximale, et $K/k$ est relativement parfaite.*

• —

Pour toute sous-extension $L/k$ d’exposant borné de $K/k$, on a $L(K)/L$ est $w_{0}$-générée si $K/k$ l’est.

Le résultat ci-dessous assure l’existence des extensions $w_{0}$-générées. Plus précisément, on a :

Théorème 8.3

L’ensemble $H$ des sous-extensions d’exposant non borné d’une extension $q$-finie $K/k$ d’exposant non borné est inductif pour la relation d’ordre $K_{1}\leq K_{2}$ si et seulement si $K_{2}\subseteq K_{1}$. En particulier, $K/k$ admet une sous-extension $w_{0}$-générée d’exposant non borné.

**Preuve. **Découle immédiatement de la proposition 8.1.     \sqcap$$\sqcup

Proposition 8.4

Toute extension $q$-finie est composée finie d’extensions $w_{0}$-générées.

**Preuve. **Le résultat est évidemment trivial si $K/k$ est finie. Sinon, d’après le corollaire 8.2, $K/k$ admet une $i$-suite $k=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq\dots\subseteq K_{n}=K$ de longueur maximale $n$. Nécessairement, $K_{i}\subseteq K_{i+1}$ est une $i$-suite de longueur maximale $1$, sinon $K/k$ admet une $i$-suite de la longueur dépassant $n$, contradiction. Par suite, on est amené à démontrer le résultat pour $k\subseteq K$ de longueur maximale $1$. En particulier, $rp(K/k)$ est irréductible dans la mesure où $rp(K/k)/k$ n’admet aucune sous-extension proppre d’exposant non borné. Toutefois, d’après la proposition 4.1, $K/rp(K/k)$ est finie, et par suite $K/k$ est composée finie d’extensions $w_{0}$-générées.     \sqcap$$\sqcup

Dans le cas des extensions modulaires, le résultat suivant montre que la $w_{0}$-génératrice devient une propriété intrinsèque exclusivement liée aux extensions $q$-finies.

Théorème 8.5

Pour qu’une extension $w_{0}$-générée $K/k$ soit $q$-finie il faut et il suffit que $lm(K/k)\not=K$.

La démonstration de ce théorème fait appel au résultat suivant :

Lemme 8.6

Soit $K/k$ une extension purement inséparable d’exposant non borné et de degré d’irratinalité infini. Si $K/k$ est relativement parfaite et modulaire, alors $K/k$ contient une sous-extension propre $L/k$ d’exposant non borné et modulaire.

**Preuve. **On va construire par récurrence une suite strictement croissante $(K_{n}/k)_{n\geq 1}$ de sous-extensions modulaires d’exposant $n$ de $K/k$. Comme $K/k$ est relativement parfaite, d’après la proposition 6.2 et le corollaire 5.9, pour tout $n\geq 1$, $di(k^{p^{-n}}\cap K/k)=di(k^{p^{-1}}\cap K/k)=di(K/k)$ et $k^{p^{-n}}\cap K/k$ est équiexponentielle d’exposant $n$. Soit $G_{1}$ une $r$-base de $k^{p^{-1}}\cap K/k$, il en résulte que $k^{p^{-1}}\cap K\simeq\otimes_{k}(k(a))_{a\in G_{1}}$. Choisissons un élément $x$ de $G_{1}$, comme $|G_{1}|$ est infini, il existe un sous-ensemble fini $G^{\prime}_{1}$ de $G_{1}$ tel que $x\not\in k(G^{\prime}_{1})$. Posons $K_{1}=k(G^{\prime}_{1})$, il est clair que $K_{1}/k$ est modulaire. Supposons qu’on a construit une suite de sous-extensions finies $k\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq\dots K_{n}$ de $K/k$ telle que

• (1)

Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $K_{i}/k$ est modulaire.

• (2)

Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $o_{1}(K_{i}/k)=i$.

• (3)

$x\not\in K_{n}$*. *

Soit $G_{n+1}$ une $r$-base de $k^{p^{-n-1}}\cap K/k$, d’après la proposition 6.1, $k^{p^{-n-1}}\cap K\simeq\otimes_{k}(k(a))_{a\in G_{n+1}}$. Comme $o_{1}(K_{n}/k)=n$, on en déduit que $K_{n}\subseteq k^{p^{-n-1}}\cap K$. Or $K_{n}/k$ est finie et $|G_{n+1}|$ est infini, donc il existe une partie finie $G^{\prime}_{n+1}$ de $G_{n+1}$ telle que $K_{n}\subseteq k(G^{\prime}_{n+1})$. Deux cas peuvent se produire :

1-ier cas si $x\not\in k(G^{\prime}_{n+1})$, alors $K_{n+1}=k(G^{\prime}_{n+1})$ convient.

2-ième cas si $x\in k(G^{\prime}_{n+1})$, comme $k^{p^{-n-1}}\cap K\simeq\otimes_{k}(\otimes_{k}(k(a))_{a\in G^{\prime}_{n+1}})\otimes_{k}(\otimes_{k}(k(a))_{a\in G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1}})$, donc $x\not\in k(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})$ ; sinon puisque $k(G^{\prime}_{n+1})$ et $k(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})$ sont $k$-linéairement disjoints, alors $x\in k(G^{\prime}_{n+1})\cap k(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})=k$, absurde. Soit $y$ un élément de $G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1}$, ($y$ existe car $|G_{n+1}|$ est infini et $|G^{\prime}_{n+1}|$ est fini). Notons $K_{n+1}=K_{n}(y)$, on vérifie aussitôt que :

• —

$K_{n+1}/k$* est finie, et $o_{1}(K_{n+1}/k)=o(y,k)=n+1$.*

• —

$K_{n+1}\simeq K_{n}\otimes_{k}k(y)$, (application de la transitivité de la linéarité disjointe de $k(G^{\prime}_{n+1})$ et $k(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})$), et comme $K_{n}/k$ est modulaire, d’après la proposition 5.11, $K_{n+1}/k$ est modulaire.

• —

$x\not\in K_{n+1}$*, sinon comme $k^{p^{{-n-1}}}\cap K\simeq k(G^{\prime}_{n+1})\otimes_{k}k(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})\simeq K_{n}(G^{\prime}_{n+1})\otimes_{K_{n}}K_{n}(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})$, alors $x\in k(G^{\prime}_{n+1})\cap K_{n}(y)\subseteq K_{n}(G^{\prime}_{n+1})$ $\cap K_{n}(G_{n+1}\setminus G^{\prime}_{n+1})=K_{n}$, absurde. *

D’où $K_{n+1}/k$ convient, et par suite $L=\displaystyle\bigcup_{i\geq 1}K_{i}$ satisfait les conditions du lemme ci-dessus.     \sqcap$$\sqcup

Preuve du théorème 8.5. La condition nécessaire résulte immédiatement du théorème 7.3. Inversement, soit $m$ la plus petite sous-extension de $K/k$ telle que $K/m$ est modulaire. Comme $K/k$ est $w_{0}$-générée et $m\not=K$, alors $m/k$ admet un exposant fini que l’on note $e$, et d’après le lemme 8.6 ci-dessus, $K/m$ sera $q$-finie. Dans la suite, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, posons $K_{n}=m^{p^{-e-n}}\cap K$ et $di(K/m)=l$. Soit $G_{n}$ une $r$-base de $K_{n}/m$, compte tenu de la proposition 6.2 et le corollaire 5.9, $|G_{n}|=l$ et $o_{1}(K_{n}/m)=e+n$. Par ailleurs, on a $k({K_{n}}^{p^{e}})=k(m^{p^{e}},{G_{n}}^{p^{e}})=k({G_{n}}^{p^{e}})$. En outre, $di(k({K_{n}}^{p^{e}})/k)\leq l$, et $o_{1}(k({K_{n}}^{p^{e}})/k)\geq o_{1}(m({K_{n}}^{p^{e}})/m)=n$. En particulier, l’extension $L=\bigcup k({K_{n}}^{p^{e}})$ est d’exposant non borné, mais comme $K/k$ est $w_{0}$-générée, on obtient $K=L$. Toutefois, en vertu de la proposition 3.3, $di(L/k)=\displaystyle\sup_{n\in{\mathbf{N}}}(di(K_{n}/k))\leq l$, donc $K/k$ est $q$-finie.

Corollaire 8.7

Toute extension modulaire et $w_{0}$-générée est $q$-finie.

Compte tenu du théorème ci-dessus et dans le but d’étendre la notion de $w_{0}$-génératrice, on adopte le point de vue suivante :

8.3 Généralisation d’une extension $w_{0}$-générée

Définition 8.3

Soit $j$ un entier naturel non nul. Une extension purement inséparable $K/k$ est dite $j$-$w_{0}$-générée si $K/k$ n’admet pas de sous-extensions propres d’exposant non borné et degré d’irrationalité inférieur à $j$.

Autrement dit, toute extension propre de $K/k$ dont le degré d’irrationalité ne dépasse pas $j$ strictement est d’exposant fini.

Définition 8.4

Une extension purement inséparable $K/k$ est dite $+\infty$-$w_{0}$-générée si pour tout $j\in{\mathbf{N}}^{*}$, $K/k$ est $j$-$w_{0}$-générée.

Il est clair que toute extension $w_{0}$-générée est $+\infty$-$w_{0}$-générée. Notamment, ces deux notions coîncident dans le cas de la $q$-finitude. Toutefois, pour éviter la non-contradiction, la construction d’un exemple d’extension $+\infty$-$w_{0}$-générée de degré d’irrationalité infini nécessite les résultats suivants :

Théorème 8.8

Etant donnée une extension purement inséparable $K/k$ relativement parfaite et modulaire ; et soit $L/k$ une sous-extension propre finie de $K/k$. Si $K/L$ est modulaire, alors pour tout entier $n>e=o_{1}(L/k)$, $k^{p^{-n}}\cap K/k(L^{p^{e-1}})$ est modulaire. En particulier, $K/k(L^{p^{e-1}})$ est modulaire.

Pour la preuve de ce théorème, on se servira des résultats suivants. D’abord pour tout $n\in{\mathbf{N}}$, on pose $K_{n}=k^{p^{-e-n}}\cap K$ et $L_{n}=L^{p^{-n}}\cap K$.

Lemme 8.9

Sous les mêmes hypothèses du théorème ci-dessus. Pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, il existe deux sous-extensions $N$ et $M$ de $K_{n}/k$ vérifiant :

• —

$L\subseteq k(N^{p^{n}})$, avec $N/k$ est finie.

• —

$K_{n}\simeq M\otimes_{k}N\simeq(M\otimes_{k}L)\otimes_{L}N$. En outre, $M/k$ et $N/k$ sont équiexponentielles d’exposant $n+e$

• —

$L(M)/L(M^{p})$* et $L({L_{n+e}}^{p})/L(M^{p})$ sont $L(M^{p})$-linéairement disjointes.*

• —

$L_{n+e}/L(M)$* est modulaire avec $di(L_{n+e}/L(M))=di(K_{n}/M)=di(N/k)$.*

**Preuve. **Puisque $L/k$ est d’exposant $e$, donc $L\subseteq k^{p^{-e}}\cap K$. D’où $L\rightarrow L^{p^{-n}}\cap K\rightarrow K_{n}\rightarrow L_{n+e}$. Soit $G$ une $r$-base de $K_{n}/k$, comme $K/k$ est relativement parfaite et modulaire, alors d’après la proposition 6.2, $K_{n}/k$ est équiexponentielle d’exposant $e+n$. En outre, $K_{n}\simeq\otimes_{k}(k(a))_{a\in G}$, et donc $K_{0}=k({K_{n}}^{p^{n}})\simeq\otimes_{k}(k(a^{p^{n}}))_{a\in G}$. Or, $L/k$ est finie, et $L\subseteq K_{0}$, donc il existe une partie finie $G_{1}$ de $G$ telle que $L\subseteq k({G_{1}}^{p^{n}})$. Notons le complémentaire de $G_{1}$ dans $G$ par $G_{2}$, ($G_{2}=G\setminus G_{1}$), et désignons respectivement par $M$ et $N$ les corps $k(G_{2})$ et $k(G_{1})$. On vérifie aussitôt que :

• —

$K_{n}\simeq M\otimes_{k}N\simeq(M\otimes_{k}L)\otimes_{L}N$.

• —

$M$* et $N$ sont équiexponentielle d’exposant $e+n$. *

En particulier, pour tout $x\in G_{2}$, $o(x,L(G_{2}\setminus\{x\}))=n+e$ ; et par suite s’il existe $x\in G_{2}$ tel que $x\in L({L_{n+e}}^{p})(G_{2}\setminus\{x\})$, on aura $n+e=o(x,L(G_{2}\setminus\{x\}))\leq o_{1}(L({L_{n+e}}^{p})(G_{2}\setminus\{x\})/L(G_{2}\setminus\{x\}))\leq o_{1}(L({L_{n+e}}^{p})/L)=n+e-1$, c’est une contradiction. D’où, $G_{2}$ est $r$-libre sur $L({L_{n+e}}^{p})$, ou encore $L(M)/L(M^{p})$ et $L({L_{n+e}}^{p})$ sont $L(M^{p})$-linéairement disjointes. D’après le théorème de la $r$-base incomplète, il existe une partie $G_{3}$ de $L_{n+e}$ telle que $G_{2}\cup G_{3}$ est une $r$-base de $L_{n+e}/L({L_{n+e}}^{p})$, compte tenu de la proposition 2.12, $G_{2}\cup G_{3}$ est aussi un $r$-générateur minimal de $L_{n+e}/L$. Puisque $K/L$ est modulaire et relativement parfaite, donc $L_{n+e}\simeq\otimes_{L}(L(a))_{a\in G_{2}\cup G_{3}}\simeq(L\otimes_{k}M)\otimes_{L}(\otimes_{L}(L(a))_{a\in G_{3}})\simeq M\otimes_{k}(\otimes_{L}(L(a))_{a\in G_{3}})$. D’où $L_{n}(M)\simeq M\otimes_{k}(\otimes_{L}(L(a^{p^{e}}))_{a\in G_{3}}\simeq(M\otimes_{k}L)\otimes_{L}(\otimes_{L}(L(a^{p^{e}}))_{a\in G_{3}}\subseteq K_{n}$ et $K_{n}\simeq M\otimes_{k}N\simeq(M\otimes_{k}L)\otimes_{L}N\subseteq L_{n+e}$. D’une part, comme $N/k$ est équiexponnetielle d’exposant $n+e$ et $L\subseteq k(N^{p^{n}})$, on aura $|G_{1}|=di(N/k)=di(N/k(N^{p^{n}}))\leq di(N/L)\leq di(N/k)$, et donc $di(N/L)=|G_{1}|$. D’autre part, en vertu du théorème 3.8 et du corollaire 3.6, on a $|G_{3}|=di(L_{n}(M)/L(M))\leq di(K_{n}/L(M))=di(N/L)$ et $di(K_{n}/L(M))\leq di(L_{n+e}/$ $L($ $M))=|G_{3}|$, (car $K_{n}\subseteq L_{n+e}$). Par suite, on aura $|G_{3}|=|G_{1}|=di(N/k)$.     \sqcap$$\sqcup

Comme $K_{n}\simeq M\otimes_{k}N\simeq(M\otimes_{k}L)\otimes_{L}N$ et $K_{n}/k$ équiexponentielle d’exposant $n+e$, on vérifie aussitôt que :

• —

Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $k({K_{n}}^{p^{i}})=K_{n-i}=k(M^{p^{i}})\otimes_{k}k(N^{p^{i}})$.

• —

Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $M({K_{n}}^{p^{i}})=M(K_{n-i})=M\otimes_{k}k(N^{p^{i}})$. En particulier, pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, $M(K_{i})/M$ est équiexponentielle d’exposant $e+i$ et $di(M(K_{i})/M)=di(N/k)$.

• —

$L_{n+e}/L(M)$* est équiexponentielle d’exposant $n+e$. En outre, $L_{n+e}/L(M)$ est modulaire. *

Dans la suite, on pose $di(N/k)=j$, et désignons par $s$ le plus grand entier tel que $o_{s}(L/k)=o_{1}(L/k)=e$.

Lemme 8.10

Sous les conditions ci-dessus, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, on a :

• (i)

Pour tout $i\in\{0,\dots,n-1\}$, $di(M({K_{n}}^{p^{i}})/L(M))=di(N/k)$.

• (ii)

$di(M({K_{n}}^{p^{n}})/L(M))=di(M(K_{0})/L(M))=j-s$.

En particulier, pour tout $r\in\{j-s+1,\dots,j\}$,

[TABLE]

**Preuve. **Soit $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}\}$ une $r$-base canoniquement ordonnée de $L/k$, donc $k\rightarrow k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})\rightarrow L\rightarrow K_{0}\rightarrow K_{n}$. Soit $B$ une $r$-base de $M(K_{0})/M(L)$, donc $M(K_{0})=M(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m},B)$. Or, $L(M)\simeq L\otimes_{k}M$, donc $M(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})/M$ est équiexponentielle d’exposant $e$. Complétons le système $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}\}$ en une $r$-base de $M(K_{0})/M$ par une partie $C$ de $K_{0}$. En particulier, on aura $|B|=di(M(K_{0})/L(M))\leq di(M(K_{0})/M(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}))$ $=|C|=j-s$. Par ailleurs, pour tout $r\in\{s+1,\dots,m\}$, $o(\alpha_{r},k(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}))<e$, ainsi par application de l’algorithme de la complétion des $r$-bases $M(K_{0})=M(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s},B)$ ; et donc $B$ est une $r$-base de $M(K_{0})/M(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})$. D’où, $di(M(K_{0})/M(L))=j-s=|B|$. De même, on a $L(M)({K_{n}}^{p^{n-1}})=K_{1}(M)$ et $L(M)({K_{n}}^{p^{n}})=M(K_{0})$. Comme $K_{n}\simeq L(M)\otimes_{L}N$, et donc $M({K_{n}}^{p^{n-1}})\simeq L(M)\otimes_{L}L(N^{p^{n-1}})$, il en résulte que $di(M(L)({K_{n}}^{p^{n-1}})/M(L))=di(M(K_{1})/M(L))=di(L(N^{p^{n-1}})/L)$. Or, $N/k$ est équiexponentielle d’exposant $n+e$ et $L\subseteq k(N^{p^{n}})$, en vertu du théorème 3.1 et le corollaire 3.6, on aura $j=di(k(N^{p^{n-1}})/k(N^{p^{n}}))\leq di(L(N^{p^{n-1}})/L)\leq di(k(N^{p^{n-1}})/k)=j$. Par suite, $di(M(K_{1})/M(L))$ $=j$. D’où, d’après le lemme 4.14, pour tout $r\in\{j-s+1,\dots,j\}$, $o_{r}(K_{n}/L(M))=o_{j-s+1}(K_{n}/L(M))=n$.

Preuve du théorème 8.8. Tout au long de cette démonstration, on se servira des notations précédentes. D’abord, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, on a :

• (1)

$K_{n}\subseteq L_{n+e}$.

• (2)

$L_{n+e}/L(M)$* est modulaire, avec $di(L_{n+e}/L(M))=j=di(K_{n}/L(M))$.*

• (3)

$K_{n}\simeq L(M)\otimes_{L}N$*. *

En vertu de la proposition 5.13, il existe une $r$-base canoniquement ordonnée $\{a_{1},\dots,a_{j}\}$ de $K_{n}/L(M)$ telle que $K_{n}\simeq L(M)\otimes_{L}L(a_{1},\dots,a_{j-s})\otimes_{L}L(a_{j-s+1})\otimes_{L}\dots\otimes_{L}L(a_{j})$ ; et donc pour tout $i\in\{j-s+1,\dots,j\}$, ${a_{i}}^{p^{n}}\in L$. Soit $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{m}\}$ une $r$-base de $L/k$, donc $K_{n}=M(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m},a_{1},\dots,a_{j})$. Comme $o(\alpha_{i},k)\leq e$ pour tout $i\in\{1,\dots,m\}$ et $K_{n}/M$ est équiexponentielle d’exposant $n+e$, d’après l’algorithme de la complétion des $r$-bases et le lemme 8.9, $K_{n}\simeq M(a_{1},\dots,a_{j})\simeq M\otimes_{k}k(a_{1})\otimes_{k}\dots\otimes_{k}k(a_{j})$. Or, $K_{n}/k$ et $K_{n}/M$ sont équiexponentielles d’exposant $n+e$, donc $k({a_{j-s+1}}^{p^{n}},\dots,{a_{j}}^{p^{n}})/k$ est équiexponentielle d’exposant $e$. D’autre part, $k({a_{j-s+1}}^{p^{n}},\dots,{a_{j}}^{p^{n}})\subseteq L$, donc en complétant ce système en une $r$-base canoniquement ordonnée de $L/k$, on obtient $k(L^{p^{e-1}})=k({a_{j-s+1}}^{p^{n+e-1}},$ $\dots,{a_{j}}^{p^{n+e-1}})$. Par suite, en vertu de la proposition 5.7, on aura $K_{n}\simeq M\otimes k(a_{1})\otimes_{k}\dots\otimes_{k}k(a_{j})\simeq M\otimes_{k(L^{p^{e-1}})}k(L^{p^{e-1}})$ $(a_{1})\otimes_{k(L^{p^{e-1}})}\dots\otimes_{k(L^{p^{e-1}})}k(L^{p^{e-1}})(a_{j})$, avec $M/k$ est modulaire. D’après la proposition 5.11, on en déduit que $K_{n}/k(L^{p^{e-1}})$ est aussi modulaire.     \sqcap$$\sqcup

Lemme 8.11

Soit $K/k$ une extension purement inséparable équiexponentielle d’exposant $n>1$, et telle que $k\not\subseteq K^{p}$. Soit $L/k$ une sous extension propre de $k^{p^{-1}}\cap K$. Il existe une extension $K^{\prime}/K$ vérifiant les conditions ci-dessous :

• (1)

$di(K/k)=di(K^{\prime}/k)$**

• (2)

$K^{\prime}/k$* est équiexponentielle d’exposant $n+1$.*

• (3)

$K^{\prime}/L$* n’est pas modulaire.*

**Preuve. **1-ier cas : si $K/L$ est non modulaire, alors $K^{\prime}=K^{p^{-1}}$ convient.

2-ième cas : si $K/L$ est modulaire, d’après le théorème 6.5, il existe une $r$-base $G$ de $K/k$ telle que $G_{1}=\{(a^{p^{o(a,L)}})_{a\in G}|\,o(a,L)<n\}$ est une $r$-base modulaire de $L/k$ et $K\simeq\otimes_{L}(\otimes_{L}L(a))_{a\in G}$. Puisque $L\subseteq k^{p^{-1}}\cap K$ et $K/k$ est équiexponentielle d’exposant $n$, alors pour tout $a\in G$, on a $o(a,k^{p^{-1}}\cap K)=n-1\leq o(a,L)\leq o_{1}(K/k)=n$. Il en résulte que $G_{1}=\{a\in G$ tel que $o(a,L)=n-1\}$ ; et par suite $K\simeq\otimes_{L}(L(a))_{a\in G_{1}}\otimes_{L}(\otimes_{L}(L(a))_{a\in G\setminus G_{1}}$. Nécessairement, $G\setminus G_{1}$ et $G_{1}$ sont non vides, sinon $k^{p^{-1}}\cap K=L$ ou $L=k$, contradiction avec le fait que $L$ est un sous-corps propre de $k^{p^{-1}}\cap K/k$. Soient $\alpha\in G\setminus G_{1}$ et $\beta\in G_{1}$. Comme $k\not\subseteq K^{p}$, il existe $t\in k$ tel que $t\not\in K^{p}$. Notons $G^{\prime}=(a^{p^{-1}})_{a\in G\setminus\{\beta\}}\cup\{t^{p^{-1}}{\alpha}^{p^{-1}}+{\beta}^{p^{-1}}\}$ et $K^{\prime}=k(G^{\prime})$. On vérifie aussitôt que :

• —

$K^{\prime}/k$* est équiexponentielle d’exposant $n+1$.*

• —

$K\subseteq K^{\prime}$*, et $di(K/k)=di(K^{\prime}/k)$. *

Si $K^{\prime}/L$ est modulaire, alors ${K^{\prime}}^{p^{n}}$ et $L$ sont $L\cap{K^{\prime}}^{p^{n}}$-linéairement disjointes. Comme ${\alpha}^{p^{n-1}}\not\in L$, ou encore $(1,{\alpha}^{p^{n-1}})$ est $L$-libre, donc $(1,{\alpha}^{p^{n-1}})$ est en particulier $L\cap{K^{\prime}}^{p^{n}}$-libre. Complétons ce système en une base $B$ de ${K^{\prime}}^{p^{n}}$ sur $L\cap{K^{\prime}}^{p^{n}}$. Compte tenu de la linéarité disjointe, $B$ est aussi une base de $L({K^{\prime}}^{p^{n}})$ sur $L$. Or, $({\alpha}^{p^{-1}}t^{p^{-1}}+{\beta}^{p^{-1}})^{p^{n}}=t^{p^{n-1}}{\alpha}^{p^{n-1}}+{\beta}^{p^{n-1}}$, par identification on aura $t^{p^{n-1}}\in k\cap{K^{\prime}}^{p^{n}}$, et donc $t^{p^{-1}}\in k^{p^{-1}}\cap K^{\prime}=k^{p^{-1}}\cap K\subseteq K$, c’est une contradiction avec le fait que $t\not\in K^{p}$. Il en résulte que $K^{\prime}/L$ est non modulaire.

Lemme 8.12

Etant donnés un corps $k$ de caractéristique $p>0$, et $\Omega$ une clôture algébrique de $k$. Soit $H$ l’ensemble des sous-extensions finies de $\Omega/k$. Si $k$ est dénombrable, il en est de même de $\Omega$ et $H$.

**Preuve. **Dans $\Omega$ on définit la relation $\sim$ de la façon suivante : $\alpha\sim\beta$ si et seulement si $irr(\alpha,k)=irr(\beta,k)$, où $irr(\alpha,k)$ et $irr(\beta,k)$ sont respectivement les polynômes minimals sur $k$ de $\alpha$ et $\beta$. On vérifie immédiatement que $\sim$ est une relation d’équivalence. Soit $E$ un système de représentants dans $\Omega$ de cette relation (on peut choisir les éléments de $E$ parmi les racines de tous les polynômes irréductibles unitaires de telle manière que chaque polynôme sera identifié par une et une seule racine, c’est-à-dire par un élément de $E$). D’où, $\Omega=\displaystyle\bigcup_{a\in E}\overline{a}$. Comme les racines d’un polynôme sont finies, donc pour tout $a\in E$, $|\overline{a}|$ est fini. De même, on a $k[X]$ est dénombrable, en particulier $E$ l’est aussi ; et par suite $\Omega$ est dénombrable (cf. [16], III, p.49, corollaire 3). Dans la suite, pour tout $n\in{\mathbf{N}}^{*}$, notons $H_{n}=\{L\in H$ tel que $L/k$ est engendrée par au plus $n$ éléments$\}$. Il est clair que :

• $\bullet$

L’application

[TABLE]

est surjective, donc $|H_{n}|\leq|\Omega^{n}|$ ; et par suite $H_{n}$ est dénombrable.

• $\bullet$

Comme $H=\displaystyle\bigcup_{n\geq 1}H_{n}$, alors $H/k$ est dénombrable (cf. **[16], III, p.49, corollaire 3).     \sqcap$$\sqcup

Construisons maintenant, une extension $+\infty$-$w_{0}$-générée de degré d’irrationalité infini. Pour cela, considérons un corps commutatif dénombrable $k$ de caractéristique $p>0$ et de degré d’imperfection infini, et soit $((X_{i})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}},t)$ une famille $p$-libre sur $k$ . Notons $M_{1}=k(({X_{i}}^{p^{-1}})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}})$ et $M_{2}=k(({X_{i}}^{p^{-2}})_{i\in{\mathbf{N}}^{*}})$. Désignons par $E$ l’ensemble des sous-extensions propres de $M_{1}$. Compte tenu du lemme 8.12, $E$ est dénombrable, donc on peut présenter $E$ sous la forme $E=(L_{n})_{n\geq 3}$. Par application du lemme 8.11, on construit une suite d’extensions croissantes $(M_{n}/k)_{n\geq 3}$ vérifiant :

• (i)

$M_{n}/L_{n}$* est non modulaire.*

• (ii)

$M_{n}/k$* est équiexponentielle d’exposant $n$. *

Posons $K=\displaystyle\bigcup_{i\in{\mathbf{N}}^{*}}M_{n}$.

Théorème 8.13

L’extension $K/k$ ci-dessus est modulaire et $+\infty$-$w_{0}$-générée de degré d’irrationalité infini.

Pour la preuve on se servira en plus du résultat suivant :

Lemme 8.14

Etant donnée une extension purement inséparable, relativement parfaite et modulaire $K/k$. Soient $S/k$ une sous-extension relativement parfaite de $K/k$ et $L/k$ une sous-extension de $S/k$. Si $S/L$ est modulaire, alors $K/L$ est modulaire, (et en particulier, $K/S$ est modulaire).

**Preuve. **cf. [2], p. 155, lemme 2.6.     \sqcap$$\sqcup

Preuve du théorème 8.13 D’abord, par construction $K/k$ est relativement parfaite de degré d’irrationalité infini. Soit ensuite $S/k$ une sous-extension propre de $K/k$ de taille finie $di(S/k)=j$ ; supposons que $S/k$ est d’exposant non borné. En vertu du théorème 8.3, $S/k$ admet une sous-extension $w_{0}$-générée que l’on note $S^{\prime}$, en particulier $S^{\prime}/k$ est relativement parfaite. Posons $L^{\prime}=lm(S^{\prime}/k)$, donc $L^{\prime}/k$ est finie. Soit $L={L^{\prime}}^{p^{-1}}\cap S^{\prime}$ ; d’après la proposition 5.10, $S^{\prime}/L$ est modulaire. Compte tenu du lemme 8.14 ci-dessus, $K/L$ est modulaire. Par application du théorème 8.8, pour $n$ assez grand, $k_{n}/k(L^{p^{e-1}})$ est modulaire, où $e=o_{1}(L/k)$. De plus, on a $k(L^{p^{e-1}})/k$ est finie d’exposant $1$, donc il existe $t\in{\mathbf{N}}$ tel que $L_{t}=k(L^{p^{e-1}})$. Or, $k_{n}=M_{n}$ pour tout $n\geq 3$, donc $M_{m}/L_{t}$ est modulaire pour un entier assez grand $m>t$, et par suite $L_{t}(M_{m}^{m-t})/L_{t}$ est modulaire. D’où $M_{t}/L_{t}$ est modulaire, c’est une contradiction avec la construction des $M_{n}$.     \sqcap$$\sqcup

Références

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• [18] Michael D. Fried and Moshe Jarden, Field Arithmetic, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008

*Authors’ addresses: EL Hassane Fliouet, Regional Center for the Professions of Education and Training, Agadir, Morocco e-mail: fliouet@yahoo.fr. *