On self-affine sets

TL;DR

This paper provides an overview of the dimension theory related to self-affine sets, aiming to make the complex mathematical concepts accessible to a general audience.

Contribution

It offers a comprehensive survey of the current state of dimension theory for self-affine sets, with explanations suitable for non-specialists.

Findings

Summarizes key results in self-affine set dimensions

Highlights open problems and research directions

Provides accessible explanations of complex concepts

Abstract

We survey the dimension theory of self-affine sets for general mathematical audience. The article is in Finnish.

Equations

$$|f_i(x)-f_i(y)|\le {\lambda }_i|x-y|$$

$$E=\bigcup _{i=1}^k{f}_i(E).$$

$$E=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{\mathtt{i}\in\{1,\ldots,k\}^{n}}f_{\mathtt{i}}\bigl{(}B(0,R)\bigr{)}$$

$$\mathrm{di}{\mathrm{m}}_{\mathrm{M}}(A)$$

$$=\sup \{s:M^s(A)>0\},$$

$$M_{\delta }^s(A)=\inf \{N{\delta }^s:A\subset \bigcup _{i=1}^{N}B(x_i,\delta )$$

$$\text{joillain }{x}_i\in {\mathbb{R}}^d\text{ ja }N\in \mathbb{N}\}$$

$$\mathrm{di}{\mathrm{m}}_{\mathrm{H}}(A)$$

$$=\sup \{s:{\mathcal{H}}^s(A)>0\},$$

$${\mathcal{H}}_{\delta }^s(A)=\inf \{\sum _i{r}_i^s:A\subset \bigcup _{i}B(x_i,r_i)$$

$$\text{joillain }{x}_i\in {\mathbb{R}}^d\text{ ja }0<r_i\le \delta \}$$

$$Z(\delta )=\{\mathtt{i}:{\lambda }_{\mathtt{i}}<\delta \le {\lambda }_{i_1}\cdots {\lambda }_{i_{n-1}}$$

$$\text{jollakin }\mathtt{i}=(i_1,\dots ,i_n)\}.$$

$$\sum _{i=1}^k{\lambda }_i^s=1,$$

$$V\supset \bigcup _{i=1}^k{f}_i(V)$$

$${\mathcal{H}}^s(E)\lesssim \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{\mathtt{i}\in \{1,\dots ,k{\}}^n}{\alpha }_1(A_{\mathtt{i}}){\alpha }_2(A_{\mathtt{i}}{)}^{s-1}$$

$${\phi }^s(A_{\mathtt{i}})={\alpha }_1(A_{\mathtt{i}})\cdots {\alpha }_{l+1}(A_{\mathtt{i}}{)}^{s-l},$$

$$P(s)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \sum _{\mathtt{i}\in \{1,\dots ,k{\}}^n}{\phi }^s(A_{\mathtt{i}}).$$

Full text

\setcaptionwidth

0.425

Itseaffiineista joukoista

Antti Käenmäki

Iteroidulla funktiosysteemillä0002. maaliskuuta 2024 tarkoitetaan äärellistä kokoelmaa kutistavia kuvauksia $f_{1},\ldots,f_{k}$. Tässä kuvausten $f_{i}\colon$ $\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$ kutistavuudella tarkoitetaan sitä, että on olemassa $0<\lambda_{i}<1$ siten, että

[TABLE]

aina kun $x,y\in\mathbb{R}^{d}$. Hutchinson osoitti vuonna 1981, että jokaiselle iteroidulle funktiosysteemille on olemassa yksikäsitteinen epätyhjä kompakti joukko $E\subset\mathbb{R}^{d}$, jolle

[TABLE]

Tuloksen todistus on Banachin kiintopistelauseen elegantti sovellus. Jos $R>0$ valitaan riittävän suureksi, niin selvästi pätee f_{i}\bigl{(}B(0,R)\bigr{)}\subset B(0,R), missä $B(x,r)$ on $x$-keskinen ja $r$-säteinen suljettu pallo. Esimerkiksi valinta $R=\max_{i}|f_{i}(0)|/(1-\max_{i}\lambda_{i})$ riittää. Tällöin on helppo nähdä, että

[TABLE]

missä $f_{\mathtt{i}}=f_{i_{1}}\circ\cdots\circ f_{i_{n}}$ aina kun $\mathtt{i}=(i_{1},\ldots,i_{n})\in\{1,\ldots,k\}^{n}$. Tarkempi esitys aiheesta löytyy esimerkiksi kirjasta [3, §2.2].

Olemme kiinnostuneita joukon $E$ dimensiosta. Käytän tässä yhteydessä kahta dimensiota, Hausdorffin ja Minkowskin (box counting). Olkoon $A$ epätyhjä ja rajoitettu $\mathbb{R}^{d}$:n osajoukko. Tällöin joukon $A$ Minkowskin dimensio on

[TABLE]

missä $M^{s}(A)=\limsup_{\delta\downarrow 0}M_{\delta}^{s}(A)$ ja

[TABLE]

aina kun $s\geq 0$ ja $\delta>0$. Joukon $A$ Hausdorffin dimensio taas on

[TABLE]

missä $\mathcal{H}^{s}(A)=\lim_{\delta\downarrow 0}\mathcal{H}^{s}_{\delta}(A)$ ja

[TABLE]

aina kun $s\geq 0$ ja $\delta>0$. Molemmat määritelmät antavat esimerkiksi välille dimension $1$ ja neliölle dimension $2$. Mutta Hausdorffin ja Minkowskin dimensiot voivat myös olla ei-kokonaislukuja. Tällaista yleistettyä dimension käsitettä voidaankin pitää parametrina, joka antaa informaatiota joukon koosta. Huomaa, että koska selvästi $\mathcal{H}^{s}_{\delta}(A)\leq M^{s}_{\delta}(A)$ aina kun $s\geq 0$ ja $\delta>0$, pätee $\operatorname{dim_{H}}(A)\leq\operatorname{dim_{M}}(A)$. Lisätietoja dimensioista löytyy esimerkiksi kirjoista [3, §2.1], [2, §2 ja §3] ja [4, §4 ja §5].

Joukon $E$ dimension määrittäminen täytyy siis aloittaa hyvän peitteen löytämisellä. Koska molemmat dimensiot ovat skaalausinvariantteja, voidaan yksinkertaisuuden vuoksi olettaa, että $R=1$. Tällöin havainnon (3) avulla huomataan, että f_{\mathtt{i}}(E)\subset B\bigl{(}f_{\mathtt{i}}(0),\lambda_{\mathtt{i}}\bigr{)}, missä $\lambda_{\mathtt{i}}=\lambda_{i_{1}}\cdots\lambda_{i_{n}}$. Näitä palloja voimme käyttää joukon $E$ peittämiseen. Jotta pääsisimme käsiksi Minkowskin dimensioon, pitää tarkastella samankokoisia palloja. Määritellään jokaiselle $0<\delta<1$ joukko

[TABLE]

Tällöin jokaiselle jonolle $(i_{1},i_{2},\ldots)$ löytyy täsmälleen yksi $n$, jolle $(i_{1},\ldots,i_{n})\in Z(\delta)$. Edelleen, jos valitaan $s\geq 0$ siten, että

[TABLE]

saadaan induktiolla $\#Z(\delta)(\min_{i}\lambda_{i})^{s}\delta^{s}\leq\sum_{\mathtt{i}\in Z(\delta)}\lambda_{\mathtt{i}}^{s}=1$ kaikille $0<\delta<1$. Näin ollen alkioiden määrä joukossa $Z(\delta)$ on korkeintaan $(\min_{i}\lambda_{i})^{-s}\delta^{-s}$ ja joukko $E$ voidaan peittää tällä määrällä $\delta$-säteisiä palloja. Siispä $M_{\delta}^{s}(E)\leq(\min_{i}\lambda_{i})^{-s}$ kaikilla $0<\delta<1$ ja $\operatorname{dim_{M}}(E)\leq s$.

Dimensiolle alarajan löytäminen on paljon vaikeampaa. Jos kuvaukset $f_{i}$ ovat similariteetteja eli ehdossa (1) onkin yhtäsuuruus, niin tämä vielä onnistuu kohtuullisella vaivalla. Hutchinsonin tuloksesta (2) seuraa nimittäin suoraan, että joukko $E$ koostuu pienemmistä ja pienemmistä, $E$:n kanssa geometrisesti samanlaisista osista. Joukkoa $E$ kutsutaankin tällöin itsesimilaariksi joukoksi. Jos itsesimilaarin joukon $E$ osat $f_{i}(E)$ ovat ”pahasti päällekkäin”, saattaa itsesimilaarin rakenteen havaitseminen ja hyväksi käyttäminen olla vaikeaa. Luonnollinen ajatus on tietysti yrittää näyttää, että palloilla B\bigl{(}f_{\mathtt{i}}(0),\lambda_{\mathtt{i}}\bigr{)} saadaan muodostettua optimaalisia peitteitä. Tällöin yhtälön (4) määräämä $s$ olisi Hausdorffin dimensiolle myös alaraja. Hutchinson esittelikin nk. avoimen joukon ehdon, joka takaa palloille riittävän erillisyyden. Avoimen joukon ehdossa oletetaan, että on olemassa epätyhjä avoin joukko $V\subset\mathbb{R}^{d}$, jolle

[TABLE]

ja $f_{i}(V)\cap f_{j}(V)=\emptyset$ aina kun $i\neq j$. Hän osoitti, että avoimen joukon ehdon ollessa voimassa on itsesimilaarin joukon $E$ Hausdorffin mitta positiivinen, $\mathcal{H}^{s}(E)>0$. Näin ollen $\operatorname{dim_{H}}(E)=\operatorname{dim_{M}}(E)=s$. Todistus tälle on esitetty kirjassa [2, Lause 9.3]. Schief todisti vuonna 1994, että tulos myös kääntyy: Hausdorffin mitan positiivisuudesta seuraa avoimen joukon ehto.

Entä jos tarkastellaan yleisempiä kuvauksia? Oletetaan, että $A_{i}\in\mathbb{R}^{d\times d}$ on kääntyvä $d\times d$ matriisi, jolla $||A_{i}||<1$, ja $a_{i}\in\mathbb{R}^{d}$ on siirtovektori. Valitsemalla $\lambda_{i}=||A_{i}||$, affiinit kuvaukset $f_{i}=A_{i}+a_{i}$ muodostavat iteroidun funktiosysteemin. Joukkoa $E$, jolle (2) pätee, sanotaan tällöin itseaffiiniksi joukoksi. Yhtälöstä (4) saadaan tietysti yläraja itseaffiinin joukon dimensiolle. Mutta koska f_{\mathtt{i}}\bigl{(}B(0,1)\bigr{)}=A_{\mathtt{i}}\bigl{(}B(0,1)\bigr{)}+a_{\mathtt{i}} jollakin $a_{\mathtt{i}}\in\mathbb{R}^{d}$, voidaan joukko $E$ peittää pallojen sijasta ellipseillä ja siten mahdollisesti parantaa ylärajaa.

Tässä $A_{\mathtt{i}}=A_{i_{1}}\cdots A_{i_{n}}$ aina kun $\mathtt{i}=(i_{1},\ldots,i_{n})$. Olkoon ellipsin f_{\mathtt{i}}\bigl{(}B(0,1)\bigr{)} puoliakselien pituudet $1>\alpha_{1}(A_{\mathtt{i}})\geq\cdots\geq\alpha_{d}(A_{\mathtt{i}})>0$. Nämä pituudet saadaan laskettua ottamalla positiivisesti definiitin matriisin $A_{\mathtt{i}}^{T}A_{\mathtt{i}}$ ominaisarvoista neliöjuuret. Koska esimerkiksi tasossa $\alpha_{2}(A_{\mathtt{i}})$-säteisiä palloja tarvitaan ellipsin f_{\mathtt{i}}\bigl{(}B(0,1)\bigr{)} peittämiseen oleellisesti noin $\alpha_{1}(A_{\mathtt{i}})/\alpha_{2}(A_{\mathtt{i}})$ kappaletta, on

[TABLE]

ja siten ylärajan löytämiseksi Hausdorffin dimensiolle riittää tarkastella kuinka yo. summa käyttäytyy eri $s$:n arvoilla. Tämän esimerkin motivoimana määrittelemme jokaiselle $0\leq s<d$

[TABLE]

missä $l$ on $s$:n kokonaislukuosa, ja

[TABLE]

Raja-arvo edellä on olemassa, koska kyseessä oleva jono on subadditiivinen (tämän todistamiseksi tarvitaan multilineaarialgebraa). Nyt nähdään helposti, että $\sum\varphi^{s}(A_{\mathtt{i}})\asymp e^{nP(s)}$ ja että $P$:llä on yksikäsitteinen nollakohta, jota kutsutaan singulaaridimensioksi. Vuonna 1988 Falconer näytti, että itseaffiinilla joukolla singulaaridimensio on aina yläraja Minkowskin dimensiolle. Huomaa myös, että itsesimilaarissa tilanteessa yhtälön (4) määräämä $s$ on sama kuin singulaaridimensio.

Koska itseaffiinilla joukolla singulaaridimensio on alaraja Hausdorffin tai Minkowskin dimensiolle? Pitäisi siis taas pystyä muodostamaan optimaalisia peitteitä. Nyt pahan päällekkäisyyden lisäksi meillä on kaksi uutta tilannetta, mitkä saattavat aiheuttaa ongelmia. Ellipsit voivat olla sijoittuneet niin, että yhden vähän isomman pallon käyttäminen peitteenä antaisi paremman lopputuloksen kuin kyseessä olevien ellipsien peittäminen pienemmillä palloilla. Lisäksi itseaffiinia joukkoa pitäisi olla ”riittävästi” ellipsin pisimmän akselin suuntaisesti, jotta ellipsiä peitettäessä pienempiä palloja ei käytettäisi turhaan.

Kuva B havainnollistaa näitä tilanteita. Huomaa myös, että peittävät ellipsit saattavat olla päällekkäin sillä tavalla, että pidempien akseleiden välinen kulma on suuri. Tämä ei välttämättä ole optimaalisuuden kannalta huono tilanne.

Bedford ja McMullen (toisistaan riippumatta) laskivat vuonna 1984 ns. itseaffiineille matoille Hausdorffin ja Minkowskin dimensiot. Itseaffiinilla matolla tarkoitetaan joukkoa, joka saadaan seuraavanlaisella konstruktiolla: Jaetaan neliö $p$ moneen samankokoiseen sarakkeeseen ja $q$ moneen samankokoiseen riviin ja näin saaduista suorakaiteista valitaan osa. Jokaisessa valitussa suorakaiteessa tehdään samanlainen jako ja valitaan näissä vastaavat suorakaiteet kuin alussakin. Näin jatkamalla jäljelle jää joukko, jota sanotaan itseaffiiniksi matoksi. Itseaffiini matto on selvästi itseaffiini joukko, sillä affiineiksi kuvauksiksi voidaan valita kuvaukset, jotka vievät neliön valituiksi suorakaiteiksi.

Kuva C havainnollistaa tilannetta. Osoittautuu, että sopivilla suorakaiteiden valinnoilla tällaiselle matolle $E$ saadaan $\operatorname{dim_{H}}(E)<\operatorname{dim_{M}}(E)$ $<s$, missä $s$ on singulaaridimensio. Dimensio siis riippuu siirtovektoreiden valinnasta! Katso [2, Esimerkki 9.11]. Bedfordin ja McMullenin konstruktiota on sittemmin yleistetty monella eri tapaa. Esimerkiksi vuonna 2007 Barański määritti hyvin yleisille itseaffiineille matoille Hausdorffin ja Minkowskin dimensiot. Hänen konstruktiossaan neliö voidaan jakaa suorakaiteisiin hyvin vapaasti: mikä tahansa ositus, joka saadaan äärellisillä määrillä vaakasuoria ja pystysuoria viivoja kelpaa.

Näiden esimerkkien valossa näyttäisi kovasti siltä, että useimmiten itseaffiinin joukon dimensio eroaisi singulaaridimensiosta. Kuitenkin Falconer osoitti vuonna 1988, että jos $s$ on singulaaridimensio ja $||A_{i}||<\tfrac{1}{3}$ kaikilla $i$, niin $\operatorname{dim_{H}}(E_{a})=s$ $\mathcal{L}^{dk}$-melkein jokaisella siirtovektoreiden $a=(a_{i},\ldots,a_{k})$ valinnalla. Tässä $\mathcal{L}^{dk}$ on $dk$-ulotteinen Lebesguen mitta ja merkintä $E_{a}$ tarkoittaa sitä, että itseaffiini joukko $E$ riippuu siirtovektoreista, mutta matriisit $A_{i}$ ovat kiinnitetty. Tulos on hämmästyttävä: se osoittaa, että tyypillisellä itseaffiinilla joukolla ellipseillä muodostetut peitteet ovat optimaalisia. Edgar näytti samana vuonna esimerkillä, että tulos ei pidä paikkaansa, jos yhdelläkin matriisilla on $||A_{i}||$ $>\tfrac{1}{2}$. Solomyak taas osoitti vuonna 1998, että tuloksessa matriisien normin yläraja $\tfrac{1}{3}$ voidaan korvata $\tfrac{1}{2}$:lla. Vuonna 2007 Jordan, Pollicott ja Simon todistivat satunnaisen version Falconerin tuloksesta. Olettamatta matriisien normeille ylärajaa he osoittivat, että todennäköisyydellä $1$ satunnaisen itseaffiinin joukon Hausdorffin dimensio on sama kuin singulaaridimensio. Tässä satunnainen itseaffiini joukko muodostetaan kuten kohdassa (3) paitsi, että konstruktion joka vaiheessa affiinin kuvauksen siirtovektoriin lisätään satunnainen virhe. Mainittakoon vielä, että Falconer ja Miao ovat (vielä julkaisemattomassa artikkelissaan) tutkineet niiden siirtovektoreiden $a$, joilla $\operatorname{dim_{H}}(E_{a})<t$ annetulla $t$, muodostaman joukon Hausdorffin dimensiota. He osoittivat, että tämä dimensio on korkeintaan $dk-c(s-t)$, missä $s$ on singulaaridimensio ja $c$ jokin positiivinen vakio.

Koska Falconerin tulos ei kerro onko annetun itseaffiinin joukon dimensio sama kuin singulaaridimensio, on mielenkiintoista yrittää löytää ehtoja, joiden voimassa ollessa näin kävisi. Falconer osoitti vuonna 1992, että jos $s$ on singulaaridimensio, avoimen joukon ehto on voimassa yhtenäiselle joukolle $V\subset\mathbb{R}^{d}$ ja joukon $E$ projektiolla mille tahansa $(d-1)$-ulotteiselle aliavaruudelle on positiivinen Lebesguen mitta, niin $\operatorname{dim_{M}}(E)=s$. Huomaa, että täytyy olla $\operatorname{dim_{H}}(E)\geq d-1$, jotta projektioehto voisi olla voimassa. Ehdolla varmistetaankin, että itseaffiinia joukkoa on ”riittävästi” peittävien ellipsien pisimmän akselin suuntaisesti. Vuonna 1995 Hueter ja Lalley esittelivät tason itseaffiineille joukoille ehdot, joiden voimassa ollessa $\operatorname{dim_{H}}(E)=s<1$, missä $s$ on singulaaridimensio. He olettivat, että peittävien ellipsien muoto on rajoitettu, $\alpha_{1}(A_{i})^{2}<\alpha_{2}(A_{i})$, ja että ne ovat riittävästi erillään. Lisäksi he vaativat lineaarikuvausten $A_{i}$ kuvaavan tason ensimmäisen neljänneksen $\mathcal{Q}_{2}$ osakseen sillä tavalla, että $A_{i}(\mathcal{Q}_{2})\cap A_{j}(\mathcal{Q}_{2})=\emptyset$ aina kun $i\neq j$. Koska $s<1$, riippuu dimensio Hueterin ja Lalleyn tapauksessa vain ellipsien pisimmän puoliakselin pituudesta. Shmerkin ja allekirjoittanut ovat (vielä julkaisemattomassa artikkelissa) esitelleet tasossa ehdot, joiden voimassa ollessa $\operatorname{dim_{M}}(E)=s\geq 1$, missä $s$ on singulaaridimensio. Ehdoissa oletetaan samantapainen vaatimus koskien lineaarikuvauksia $A_{i}$ ja neljännestä $\mathcal{Q}_{2}$ kuin Hueterilla ja Lalleylla sekä joukon $E$ projektio mille tahansa suoralle, jolla on positiivinen kulmakerroin, oletetaan positiivimittaiseksi. Koska nyt $s\geq 1$, dimensio riippuu ellipsien molempien puoliakselien pituuksista. Lisäksi huomion arvoista on, että matriisien normeille ei ehdoissa vaadita ylärajaa ja että peittävillä ellipseillä saa olla päällekkäisyyttä. Tuloksessa on käytetty hyväksi Kakeya-joukkojen teoriaa. Lisätietoja Kakeya-joukoista löytyy esimerkiksi Arkhimeden artikkelista [5]. Kuvassa D on esimerkki nämä ehdot täyttävästä itseaffiinista joukosta.

Itseaffiinin joukon dimension määrittäminen on siis hankalaa. Jopa yksinkertaisen oloisissa tilanteissa (esim. itseaffiinit matot) dimension selville saaminen on hyvin vaikeaa. Jos kuitenkin saadaan osoitettua yleinen tulos (esim. Falconerin tulos), on tulos geneerinen eli se ei sano mitään annetulle itseaffiinille joukolle. Riittävien ehtojen löytämiseksi täytyy usein tehdä hyvin rajaavia oletuksia (esim. Hueterin ja Lalleyn tulos). Hankalaa on myös singulaaridimension laskeminen. Falconer ja Miao löysivät vuonna 2007 singulaaridimensiolle suljetun kaavan olettamalla matriisit $A_{i}$ yläkolmiomatriiseiksi.

Mainitaan vielä lopuksi, että itseaffiineilla joukoilla on käytännön sovelluksia kuvankäsittelyssä. Kirjoilla [2, §9.5] ja [1, §9.8] pääsee aiheessa alkuun.

Viitteet

• [1]

M. Barnsley.

Fractals everywhere.

Academic Press Inc., Boston, MA, 1988.

• [2]

K. Falconer.

Fractal geometry.

John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 1990.

Mathematical foundations and applications.

• [3]

K. Falconer.

Techniques in fractal geometry.

John Wiley & Sons Ltd., Chichester, 1997.

• [4]

P. Mattila.

Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, volume 44 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics.

Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

Fractals and rectifiability.

• [5]

P. Mattila.

Voiko näkymätön näkyä: geometrisen mittateorian paradokseja.

Arkhimedes, (2):17–22, 2004.