Un sous-syst\`eme d'un syst\`eme plat de dimension diff\'erentielle 2 est plat. A subsystem of a flat system of differential dimension 2 is flat

TL;DR

The paper proves that subsystems of flat systems with differential dimension up to 2 are also flat, and stationary flat systems admit time-independent flat outputs, enhancing understanding of system flatness properties.

Contribution

It establishes the flatness of subsystems with differential dimension at most 2 and demonstrates the existence of time-independent flat outputs for stationary flat systems.

Findings

Subsystems of flat systems with differential dimension ≤ 2 are flat.

Stationary flat systems have flat outputs independent of time.

Provides theoretical insights into the structure of flat systems.

Abstract

Un sous-syst\`eme de dimension diff\'erentielle au plus 2 d'une extension plate est plate. Si un tel syst\`eme plat est stationnaire, il admet des sorties plates ind\'ependantes du temps. A subsystem of a flat system of differential dimension at most 2 is flat. Furthermore, if such a flat system is stationary, we show that there exist flat utputs not depending on the time.

Equations

$${\delta }_0+\sum _{i=1}^m\sum _{k=0}^{\infty }{z}_i^{(k+1)}{\partial }_{z_i^{(k)}}.$$

$$P_i:=x_i^{\prime }-h_i(x,x_1^{\prime },x_2^{\prime },u)=0,2<i\le n.$$

Full text

Un sous-système d’un système plat de dimension différentielle $2$ est plat

A subsystem of a flat system of differential dimension $2$ is flat.

François Ollivier

LIX, UMR CNRS 7161

École polytechnique

91128 Palaiseau cedex

France

francois.ollivier@lix.polytechnique.fr

Brahim Sadik

Département de Mathématiques

Faculté des Sciences Semlalia

B.P. 2390 Marrakech

Maroc

sadik@ucam.ac.ma

Mai 2017

Abstract. A subsystem of a flat system of differential dimension at most $2$ is flat. Furthermore, if such a flat system is stationary, we show that there exist flat outputs not depending on the time.

Résumé. Un sous-système de dimension différentielle au plus $2$ d’une extension plate est plate. Si un tel système plat est stationnaire, il admet des sorties plates indépendantes du temps.

Abridged English version

The result that will be proved corresponds in control theory to the fact that a system with $2$ controls which is linearizable by exogenous feedback is linearizable by endogenous feedback or also that any subsystem of a flat system is flat. We refer to [3, 5, 13, 9] for more details on flat systems, a notion that goes back to Monge’s problem [7, 6, 1, 17], and to [14, 15, 4] for the formalism of diffiety theory. We will use Rouchon’s lemma [12, 8], following the notations and definitions of [10]. A diffiety extension, or system, $V/U$ will be a diffiety with a projection $V\mapsto U$ that is a diffiety morphism and a subsystem $W/U$ of $V/U$ is such that ${\mathcal{O}}(W)\subset{\mathcal{O}}(V)$. For brevity, we denote $\partial/\partial x$ by $\partial_{x}$.

A system of differential dimension $m$ $V/U_{\delta_{0}}$ is an open subset of ${\bf R}^{n}\times\left({\bf R}^{{\bf N}}\right)^{m}\times U$ with a derivation $\delta_{0}+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x,z,u)\partial_{x_{i}}+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty}z_{j}^{(k+1)}\partial_{z_{j}^{(k)}}$.

The trivial system of differential dimension $m$, $T^{m}/U_{\delta_{0}}$, is $\left({\bf R}^{{\bf N}}\right)^{m}\times U$ equipped with the derivation $\delta_{0}+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty}z_{j}^{(k+1)}\partial_{z_{j}^{(k)}}$. We may then define flat systems.

Definition 1. — * A system $V/U_{\ast}$ is parametrizable if there exist a diffiety extension $U/U_{\ast}$ and $\phi:W/U\mapsto V\times_{U_{\ast}}U$ a morphism of extensions of $U$, where $W$ is an open subset of $T^{\mu}/U$, such that $\mathrm{Im}\phi$ is dense in $V\times_{U_{\ast}}U$.*

*A system $V/U$ is flat if there exists a dense open set $W\subset V$ such that any $x\in W$ admits a neighbourhood $O$ isomorphic by $\phi:O\mapsto\tilde{O}$ to an open subset $\tilde{O}$ of $T^{m}\times U$; the functions $\phi^{\ast}(z_{j})$ that generate ${\mathcal{O}}(O)$ are called flat outputs. *

By convention, ${\rm ord}_{z}A=-\infty$ if $A$ is free from $z$ and its derivatives. In the case of a parametrizable diffiety, we identify a function $x\in{\mathcal{O}}(V)$ with the function $x(z)=\phi^{\ast}(x)\in{\mathcal{O}}(W)$.

Our theorem may be stated as follows. The case $m=1$ is classical [2]. The proof will make a repeated use of Rouchon’s lemma [12, 8], given below.

Theorem 2. — * A parametrizable extension of differential dimension at most $2$ is flat. *

Theorem 3. — * Let $V/U_{\ast}$ be a parametrizable diffiety extension, $x_{i}\in{\mathcal{O}}(V)$, $i=1\ldots n$ a family of nonconstant functions on $V$, $H(x)=0$ a differential equation satisfied by the $x_{i}$ and $e_{i}:={\rm ord}_{x_{i}}H$.*

*Using the notations of def. Abridged English version, let $z_{j}$ be coordinates on $T^{\mu}$ and assume the $\max_{i=1}^{n}{\rm ord}_{z_{1}}x_{i}=r>-\infty$. If $e_{i}=0$ $\Rightarrow$ ${\rm ord}_{z_{1}}x_{i_{0}}<r$, then using the notation $D:=\sum_{e_{i}>0}C_{i}\partial_{x_{i}^{(e_{i})}}$ where the $C_{i}$ are new variables with $DC_{1}=0$, the $n$-tuple $(\partial_{z_{1}^{(r)}}x_{i}^{(e_{i})})$ is a solution of the equations $\phi^{\ast}(D^{k}P)=0$. *

Proof. — It suffices to remark that, $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_{i}^{(e_{i})}=\partial_{z_{1}^{(r)}}x_{i}$ for $e_{i}>0$, so that $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{2}x_{i}=0$. Substituting $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_{i}$ to $C_{i}$ in $D^{k}P$, one gets $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{k}P=0$.

From now on, we only consider differential dimension $2$. We may complete some local coordinates on $V$, considered as functions of the $z_{j}$ using the morphism $\phi$, to get local coordinates on $W$, say by choosing $z_{i},\ldots,z_{i}^{(s_{i})}$, $i=1,2$, ($s_{1}\leq r$), and the $z_{j}^{(k)}$, $j>2$, $k\in{\bf N}$. We may then express the derivations $\partial/\partial z_{1}^{(k)}$ in the $V$ coordinates. In this setting, for state equations defining $V$, Rouchon’s lemma means that $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}$ and $\partial_{z_{1}^{(r)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r+1)}}]$ do commute. The next lemma goes one step further by considering $\partial_{z_{1}^{(r-1)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r)}}]$ (cf. [16]).

Lemma 4. — * Under the hypotheses of th. Abridged English version, assume that the system $V/U$ is locally defined by explicit equations of order $1$. $P_{i}:=x_{i}^{\prime}-h_{i}(x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},u)=0$, $2<i\leq n$.*

a)* If $V/U$ is parametrizable, the homogeneous ideal $(D^{k}P_{i}|1\leq i\leq n-2,\>k\in{\bf N})$ is of projective dimension [math], iff at least one of the equations $P_{i}$ is non linear in the derivatives $x_{i}^{\prime}$.*

b)* In this case, the state equations can be rewritten $x_{i}^{\prime}=f_{i}(x,v_{2},u)v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u)$, where the $v_{i}$ are functions of the $x_{i}$ and the $x_{j}^{\prime}$, $j=1,2$, such that $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$, $f_{1}=1$ (i.e. $v_{1}=x_{1}^{\prime}$) and $f_{2}=v_{2}$ if $f_{2}$ depends on $v_{2}$.*

c)* We have moreover $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$. *

Proof. — a) — By th. Abridged English version, the dimension is at least $1$. Now, if $P_{i}$ is non linear in $x_{i}^{\prime}$, $i=1,2$, then a non trivial relation $D^{2}P_{i}=0$, so that the dimension is at most $1$. b) — Up to a permutation of indices, we may assume that $C_{1}\neq 0$. Now, $C_{2}=F(x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime})C_{1}$ with $\partial_{z_{1}^{(r)}}F=0$. We take $v_{1}=x_{1}^{\prime}$. If $F$ depends on $x_{2}^{\prime}$, we choose $v_{2}=F$, $f_{2}(v_{2})=v_{2}$ and $g_{2}=x_{2}^{\prime}-v_{2}$ or else $f_{2}(x)=F(x)$, $v_{2}=x_{2}^{\prime}-f_{2}(x)v_{1}$ and $g_{2}(v_{2})=v_{2}$. c) — We have $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}=A\partial_{v_{1}}+2A^{\prime}\partial_{v_{1}^{\prime}}+\cdots+B\partial v_{2}^{\prime}+\cdots$ So $\partial_{z_{1}^{(r)}}=\sum_{i=1}^{n}Af_{i}\partial_{x_{i}}+A^{\prime}\partial_{v_{1}}\cdots+B\partial_{v_{2}}+\cdots$ Going one step further, we get, as terms in $A^{\prime}$ cancel: \partial_{z_{1}^{(r-1)}}=\sum_{i=1}^{n}\left(Af_{i}^{\prime}+\hbox{terms of order at most r$in$z_{1}}\right)\partial_{x_{i}}+\cdots As $[\partial_{z_{1}^{(r+1)}},\partial_{z_{1}^{(r-1)}}]=0$, we need have $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}f_{i}^{\prime}=\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}=0$.

Sketch of the proof of th. Abridged English version. — Denote by $z$, $v$, $u$ $u_{\ast}$ coordinate functions on $T^{\mu}$, $V$, $U$, $U_{\ast}$. If the result is false, there exists an open subset $O=\phi(\tilde{O})\subset V$ such that no open subset $O_{\prime}=\phi(\tilde{O}_{\prime})\subset O$ is isomorphic to an open subset of $T^{m}$. We will look for a contradiction.

In the case $m=1$, we choose $x_{i}$, $1\leq i\leq n$ such that the $x_{i}$ and their derivatives are local coordinates of $O_{\prime}\subset O$. We assume moreover that these function satisfy equations of order $1$ $x_{i}^{\prime}=h_{i}(x,x_{1}^{\prime},u_{\ast})$, $1<i\leq n$ and that $n$ is minimal. If $n=1$, $O_{\prime}$ is flat.

If not, th. Abridged English version implies that the $h_{i}$ are linear in $x_{1}^{\prime}$: $h_{i}=f_{i}x_{i}^{\prime}+g_{i}$. Then, we may replace the $x_{i}$ by $n-1$ independent solutions $y(x,u_{\ast})$ of the differential system $\partial_{x_{1}}Y+\sum_{i=2}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}Y=0$. The derivatives $y_{i}^{\prime}$ do not depend on $x_{1}^{\prime}$, and the $y_{i}$ satisfy a new system of order $1$ contradicting the minimality of $n$.

In the case $m=2$, we also consider $x_{i}(z,u,u_{\ast})$, $1\leq i\leq n$, that satisfy a system of order $1$ $x_{i}^{\prime}=h_{i}(x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},u_{\ast})$, $2<i\leq n$ and $\max_{i=1}^{n}{\rm ord}_{z_{1}}x_{i}=r>-\infty$. We assume that the couple $(r,n)$ is minimal for lexicographic ordering.

If $n=2$, $O_{\prime}$ is flat. If the $h_{i}$ do not depend on $x_{1}^{\prime}$ or $x_{2}^{\prime}$, we are reduced to the case $m=1$, already considered. We distinguish two cases.

i) If the $h_{i}$ are all linear in $x_{1}^{\prime}$ and $x_{2}^{\prime}$: $h_{i}=\sum_{j=1}^{2}f_{i,j}x_{j}^{\prime}+g_{i}$, $1\leq i\leq n$, we replace the $x_{i}$ by $n-1$ independent solutions $y(x,u_{\ast})$, of the differential equation $\partial_{x_{1}}Y+\sum_{i=3}^{n}f_{i,1}\partial_{x_{i}}Y=0$. The order $\max_{i=1}^{n-1}{\rm ord}_{z_{1}}y_{i}$ is at most $r$. The $y_{i}^{\prime}$ do not depend on $x_{1}^{\prime}$, so that they satisfy a system of order $1$. If the $y_{i}^{\prime}$ depend on $x_{1}$, they satisfy our hypotheses, which contradicts the minimality of $n$. If not, we are reduced to the case $m=1$ and we just have to complete the flat output for the diffiety defined by the $y_{i}$ with $x_{1}$ to conclude.

ii) If the $h_{i}$ are not linear in $x_{1}^{\prime}$ and $x_{2}^{\prime}$, by lem. Abridged English version the state equations can be rewritten $x_{i}^{\prime}=f_{i}(x,v_{2},u_{\ast})*v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$, with $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$ and $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$. We can replace the $x_{i}$ by $n-1$ independent solutions $y_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$ of the differential equation $\sum_{i=1}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}Y=0$, completed with $v_{2}$ if the $f_{i}$ depend on $v_{2}$. The $y_{i}^{\prime}$ must depend on $x_{1}$; if not the $f_{i}$ must be constants, the $y_{i}^{\prime}$ satisfy linear equations so that the $h_{i}$ should have been linear in the $x_{j}^{\prime}$, $j=1,2$.

So, the $y_{i}$ (and $v_{2}$ if $f_{2}=v_{2}$) must satisfy a system of order $1$ and, according to lem. Abridged English version are of order less than $r$ in $z_{1}$. A final contradiction that concludes the proof.

E.g., the diffieties $U$ and $U_{\ast}$ may be respectively ${\bf R}$, standing for the time variable $t$ with a derivation $\partial/\partial t$ and a single point with derivation [math], if $V$ is associated to a stationary model. Then, the theorem asserts that $V$ is flat with flat outputs not depending on the time, answering a problem raised by Pereira Da Silva and Rouchon [11].

Introduction

Si la notion mathématique remonte aux travaux de Monge [7] et a été étudiée au début du xxe siècle par Hilbert [6], Cartan [1] ou Zervos [17], les systèmes plats ont été inventés sous ce nom pour les besoins de l’automatique [3, 5, 9]. Dans ce cadre, le résultat qui va être prouvé en dimension différentielle au plus $2$, signifie qu’un système linéarisable par bouclage exogène est linéarisable par bouclage endogène. Sommairement, tout sous-système d’un système pla est plat, c’est-à-dire que si les solutions d’un système d’EDO sont paramétrables par $m$ fonctions arbitraires, il existe un tel paramétrage localement bijectif. Le cas $m=1$ est une conséquence des résultat de Charlet et al. [2] ou dans le cas d’un paramétrage rationnel du théorème de Lüroth–Ritt, mais qui n’a pas d’analogue en dimension différentielle $2$ [8].

La définition de la platitude peut varier selon que l’on impose ou non à un système stationnaire de posséder un paramétrage indépendant du temps (cf. Pereira da Silva et Rouchon [11]). On montrera que, en dimension différentielle au plus $2$, ces deux définitions coïncident, c’est-à-dire que si un système stationnaire possède des sorties plates dépendant du temps, il en existe d’autres indépendantes.

1 Diffiétés plates

Pour la notion de diffiété [14, 15], nous adoptons les conventions de [10]. Soit $I$ un ensemble dénombrable, on appellera diffiété un ouvert $V$ de ${\bf R}^{I}$ pour la topologie la plus grossière rendant pour tout $i_{0}\in I$ les projections $\pi_{i_{0}}:(x_{i})_{i\in I}\mapsto x_{i_{0}}$ continues, muni d’une dérivation $\delta=\sum_{i\in I}c_{i}(x){\partial\over\partial x_{i}}$, où les $c_{i}$ appartiennent à ${\mathcal{O}}(V)$, l’anneau des applications ${\mathcal{C}}^{\infty}$ de $V$ dans ${\bf R}$ ne dépendant que d’un nombre fini de coordonnées. Par concision, $\partial/\partial x$ sera noté $\partial_{x}$.

Un morphisme de diffiétés est une application $\phi:V_{\delta_{1}}\mapsto V_{\delta_{2}}$, définie par des fonctions ${\mathcal{O}}(V)$ et telle que $\delta_{1}\circ\phi^{\ast}=\phi^{\ast}\circ\delta_{2}$, où $\phi^{\ast}:{\mathcal{O}}(V_{2})\mapsto{\mathcal{O}}(V_{1})$ est l’application duale de $\phi$.

Une extension de diffiétés, ou un système, noté $V/U$, est un couple de diffiétés muni d’une projection $\pi:V\mapsto U$ surjective qui est un morphisme de diffiétés. Il s’agit donc d’un fibré sur $U$, avec une projection compatible avec la structure de diffiété. Un morphime d’extensions $\phi:V_{1}/U\mapsto V_{2}/U$ est un morphisme de $V_{1}$ dans $V_{2}$ tel que $\pi_{2}\circ\phi=\pi_{1}$. Un sous-système $W/U$ de $V/U$ est une extension de $U$ telle que ${\mathcal{O}}(W)\subset{\mathcal{O}}(V)$. Soient $V/U$ et $W/U$ deux extensions de diffiétés, leur produit fibré est muni d’une structure naturelle d’extension de $U$ (ainsi que de $V$ ou de $W$), notée $V\times_{U}W$.

Un système de dimension différentielle $m$ $V/U_{\delta_{0}}$ est un ouvert de ${\bf R}^{n}\times\left({\bf R}^{{\bf N}}\right)^{m}\times U$ muni d’une dérivation de la forme $\delta_{0}+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x,z)\partial_{x_{i}}+\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{\infty}z_{j}^{(k+1)}\partial_{z_{j}^{(k)}}$. L’extension triviale de dimension différentielle $m$, que l’on note $T^{m}/U_{\delta_{0}}$, est $\left({\bf R}^{{\bf N}}\right)^{m}\times U$ muni de la dérivation

[TABLE]

Définition 5. — * Un système $V/U_{\ast}$ est paramétrable s’il existe un système $U/U_{\ast}$ et $\phi:W/U\mapsto V\times_{U_{\ast}}U$ un morphisme d’extension de $U$, où $W$ est un ouvert de $T^{\mu}/U$, tel que $\mathrm{Im}\phi$ est dense dans $V\times_{U_{\ast}}U$.*

*Un système $V/U$ sera dit plat s’il existe un ouvert dense $W$ de $V$ tel que tout $x$ appartenant à $W$ admette un voisinage $O$ isomorphe par $\phi:O\mapsto\tilde{O}$ à un ouvert $\tilde{O}$ de l’extension triviale ${\bf T}^{m}\times U$. Les fonctions ${\phi^{\ast}}(z_{i})$, où les $z_{i}$ définissent l’extension triviale, sont appelées sorties plates. *

Théorème 6. — * (Endogène=exogène) Une extension paramétrable de dimension différentielle au plus $2$ est plate. *

Les diffiétés $U_{\ast}$ et $U$ (déf. 1) peuvent, par exemple, faire intervenir une variable «  temps  » $t$ avec $t^{\prime}=0$: si celui-ci n’apparaît pas dans $U_{\ast}$, il est absent des sorties plates de $V/U_{\ast}$.

2 Lemme de Rouchon et itération

Par convention, ${\rm ord}_{z}A=-\infty$ si $A$ est indépendent de $z$ et de ses dérivées.derivatives. Pour une diffiété paramétrable, on identifiera la fonction $x\in{\mathcal{O}}(V)$ avec la fonction $x(z)=\phi^{\ast}(x)\in{\mathcal{O}}(W)$.

Theorem 7. — * Soit $V/U_{\ast}$ un système paramétrable, $x_{i}\in{\mathcal{O}}(V)$, $i=1\ldots n$ une famille de fonctions non constantes sur $V$, $H(x)=0$ une équation différentielle satisfaite par les $x_{i}$ et $e_{i}:={\rm ord}_{x_{i}}H$.*

*Avec les notations de la déf. 1, soient $z_{j}$ des coordonnées sur $T^{\mu}$ telles que $\max_{i=1}^{n}{\rm ord}_{z_{1}}x_{i}=r>-\infty$. Si $e_{i}=0$ $\Rightarrow$ ${\rm ord}_{z_{1}}x_{i_{0}}<r$, alors notant $D:=\sum_{e_{i}>0}C_{i}\partial_{x_{i}^{(e_{i})}}$ où les $C_{i}$ sont de nouvelles variables avec $DC_{1}=0$, le $n$-uplet $(\partial_{z_{1}^{(r)}}x_{i}^{(e_{i})})$ est solution des équations $\phi^{\ast}(D^{k}P)=0$. *

Preuve. —

Il suffit de remarquer que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_{i}^{(e_{i})}=\partial_{z_{1}^{(r)}}x_{i}$ pour $e_{i}>0$, de sorte que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{2}x_{i}=0$. Substituant $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}x_{i}$ to $C_{i}$ dans $D^{k}P$, on obtient $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}^{k}P=0$.

Nous nous limitons maintenant à la dimension différentielle $2$. On peut compléter des coordonnées $x_{i}$ sur $V$, considérées comme des fonctions des $z_{j}$ grâce au morphisme $\phi$, pour obtenir des coordonnées locales sur $W$, e.g. en choisissant $z_{i},\ldots,z_{i}^{(s_{i})}$, $i=1,2$, ($s_{1}\leq r$), et les $z_{j}^{(k)}$, $j>2$, $k\in{\bf N}$. On peut alors exprimer les dérivations $\partial_{z_{1}^{(k)}}$ dans les coordonnées de $V$. De la sorte, pour des équations d’état définissant $V$, le lemme 2 signifie que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}$ et $\partial_{z_{1}^{(r)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r+1)}}]$ commutent. Le lemme suivant va un cran plus loin en considérant $\partial_{z_{1}^{(r-1)}}=[\delta,\partial_{z_{1}^{(r)}}]$ (cf. [16]).

Lemma 8. — * Sous les hypothèses du th. 2, supposons que le système $V/U$ est localement défini par des équations explicites d’ordre $1$:*

[TABLE]

a)* Si $V/U$ est paramétrable, l’idéal homogène $(D^{k}P_{i}|1\leq i\leq n-2,\>k\in{\bf N})$ est de dimension projective [math] ssi ssi l’une des équations $P_{i}$ est non linéaire en les dérivées $x_{i}^{\prime}$.*

b)* Alors, les équations (1) se réécrivent $x_{i}^{\prime}=f_{i}(x,v_{2},u)v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u)$ $(2)$, où les $v_{i}$ sont des fonctions des $x_{i}$ et des $x_{j}^{\prime}$, $j=1,2$, telles que $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$, $f_{1}=1$ (i.e. $v_{1}=x_{1}^{\prime}$) et $f_{2}=v_{2}$ si $f_{2}$ dépend de $v_{2}$.*

c)* On a en outre $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$. *

Preuve. — a) — Par le th. 2, la dimension est au moins [math]. Si $P_{i}$ est non linéaire en les $x_{i}^{\prime}$, $i=1,2$, alors il existe une équation non triviale $D^{2}P_{i}=0$, et la dimension est au plus [math]. b) — À permutation près, on peut supposer $C_{1}\neq 0$. Alors, $C_{2}=F(x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime})C_{1}$ avec $\partial_{z_{1}^{(r)}}F=0$. Nous prenons $v_{1}=x_{1}^{\prime}$. Si $F$ dépend de $x_{2}^{\prime}$, on pose $v_{2}=F$, $f_{2}(v_{2})=v_{2}$ et $g_{2}=x_{2}^{\prime}-v_{2}$ ou sinon $f_{2}(x)=F(x)$, $v_{2}=x_{2}^{\prime}-f_{2}(x)v_{1}$ et $g_{2}(v_{2})=v_{2}$. c) — Nous avons $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}=A\partial_{v_{1}}+2A^{\prime}\partial_{v_{1}^{\prime}}+\cdots+B\partial v_{2}^{\prime}+\cdots$ Donc $\partial_{z_{1}^{(r)}}=\sum_{i=1}^{n}Af_{i}\partial_{x_{i}}+A^{\prime}\partial_{v_{1}}\cdots+B\partial_{v_{2}}+\cdots$ Au cran suivant, comme les terme en $A^{\prime}$ s’annulent, on a: \partial_{z_{1}^{(r-1)}}=\sum_{i=1}^{n}\left(Af_{i}^{\prime}+\hbox{des termes d'ordre au plus r$en$z_{1}}\right)\partial_{x_{i}}+\cdots Comme $[\partial_{z_{1}^{(r+1)}},\partial_{z_{1}^{(r-1)}}]=0$, on doit avoir, $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}f_{i}^{\prime}=\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}=0$.

3 Mise en œuvre du lemme de Rouchon

Soient $z$, $v$, $u$ $u_{\ast}$ des coordonnées sur $T^{\mu}$, $V$, $U$, $U_{\ast}$. Si le théorème est faux, il existe un ouvert $O=\phi(\tilde{O})\subset V$ tel qu’aucun ouvert $O_{\prime}=\phi(\tilde{O}_{\prime})\subset O$ n’est plat. Nous allons chercher une contradiction.

Dans le cas $m=1$, soient $x_{i}$, $1\leq i\leq n$ des fonctions définissant avec leurs dérivées des coordonnées locales de $O_{\prime}\subset O$. On suppose en outre qu’elles satisfont des équations d’ordre $1$ $x_{i}^{\prime}=h_{i}(x,x_{1}^{\prime},u_{\ast})$, $1<i\leq n$ et que $n$ est minimal. Si $n=1$, $O_{\prime}$ est plat.

Sinon, le th. 2 implique que les $h_{i}$ sont linéaires en $x_{1}^{\prime}$: $h_{i}=f_{i}x_{i}^{\prime}+g_{i}$. On peut alors remplacer les $x_{i}$ par $n-1$ solutions indépendantes $y(x,u_{\ast})$ de l’équation $\partial_{x_{1}}Y+\sum_{i=2}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}Y=0$. Les dérivées $y_{i}^{\prime}$ ne dépendent pas de $x_{1}^{\prime}$, de sorte que les $y_{i}$ satisfont un nouveau système d’ordre $1$ contredisant la minimalité de $n$.

Dans le cas $m=2$, on considère aussi $x_{i}(z,u,u_{\ast})$, $1\leq i\leq n$, qui satisfont un système d’ordre $1$ $x_{i}^{\prime}=h_{i}(x,x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},u_{\ast})$, $2<i\leq n$ and $\max_{i=1}^{n}{\rm ord}_{z_{1}}x_{i}=r>-\infty$. Nous supposons le couple $(r,n)$ minimal pour l’ordre lexicographique.

Si $n=2$, $O_{\prime}$ est plat. Si les $h_{i}$ ne dépendent pas de $x_{1}^{\prime}$ ou $x_{2}^{\prime}$, on se ramène au cas $m=1$, déjà traité. On distingue deux situations.

i) Si les $h_{i}$ sont tous linéaires en $x_{1}^{\prime}$ et $x_{2}^{\prime}$: $h_{i}=\sum_{j=1}^{2}f_{i,j}x_{j}^{\prime}+g_{i}$, $1\leq i\leq n$, on remplace les $x_{i}$ par $n-1$ solutions indépendantes $y(x,u_{\ast})$ de l’équation $\partial_{x_{1}}Y+\sum_{i=3}^{n}f_{i,1}\partial_{x_{i}}Y=0$. L’ordre $\max_{i=1}^{n-1}{\rm ord}_{z_{1}}y_{i}$ est au plus $r$. Les $y_{i}^{\prime}$ ne dépendent pas de $x_{1}^{\prime}$, et satisfont donc un nouveau système d’ordre $1$. Si les $y_{i}^{\prime}$ dependent de $x_{1}$, ils satisfont nos hypothèses, contredisant la minimalité de $n$. Sinon, on est ramené au cas $m=1$ et il suffit de compléter la sortie plate de la diffiété définie par les $y_{i}$ avec $x_{1}$ pour conclure.

ii) Si les $h_{i}$ ne sont pas linéaires en $x_{1}^{\prime}$ et $x_{2}^{\prime}$, par le lem. 2 les équation d’état peuvent être réécrites $x_{i}^{\prime}=f_{i}(x,v_{2},u_{\ast})*v_{1}+g_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$, avec $\partial_{z_{1}^{(r+1)}}v_{2}=0$ et $\partial_{z_{1}^{(r)}}f_{i}(x,v_{2},u)=0$. On remplace les $x_{i}$ par $n-1$ solutions indépendantes $y_{i}(x,v_{2},u_{\ast})$ de l’équation différentielle $\sum_{i=1}^{n}f_{i}\partial_{x_{i}}Y=0$, cpomplétées avec $v_{2}$ si les $f_{i}$ dépendent de $v_{2}$. Les $y_{i}^{\prime}$ doivent dépendre de $x_{1}$; sinon les $f_{i}$ seraient des constantes, et les $y_{i}^{\prime}$ satisferaient un système linéaire de sorte que $h_{i}$ seraient aussi linéaires en les $x_{j}^{\prime}$, $j=1,2$.

Donc, les $y_{i}$ (et $v_{2}$ si $f_{2}=v_{2}$) engendrent ${\mathcal{O}}(O_{\prime})$, doivent satisfaire un système d’ordre $1$ et, selon le lem. 2 sont d’ordre strictement inférieur à $r$ en $z_{1}$: une contradiction finale qui achève la preuve.

Exemple 9. — Considérons $V$ défini par un modèle de voiture $\theta^{\prime}=u/d\tan\phi$, $x^{\prime}=u\cos\theta$, $y^{\prime}=u\sin\theta$ (cf. [3, (18)]). Les diffiétés $U=U_{0}$ sont définies par $d^{\prime}=0$. Soient les paramétrages $\phi$ exprimés par $\theta=\arctan(z_{2}^{\prime}/z_{1}^{\prime})\mp\arctan(z_{3}^{\prime}/((z_{1}^{\prime})^{2}+(z_{2}^{\prime})^{2}-(z_{3}^{\prime})^{2})^{1/2})+(1\mp 1)\pi/2$, $x=z_{1}+z_{3}\sin\theta$ et $y=z_{2}-z_{3}\cos\theta$. Quand ${x_{3}^{\prime}}^{2}$ tend vers ${x_{1}^{\prime}}^{2}+{x_{2}^{\prime}}^{2}$, les deux paramétrages tendent vers le lieu où $x^{\prime}=y^{\prime}=0$. Une famille de sorties plates est donnée, e.g., par $B_{1}:=x+C\sin\theta$ et $B_{2}:=y-C\cos\theta$, $C\in{\bf R}$.

Tout choix de fonctions $B_{i}$ de $x$, $y$ et $\theta$ minimise $\epsilon(=2)$, mais pas nécessairement $e_{2}(\in\{0,1\})$. Si $e_{2}=1$, il peut être abaissé en remplaçant $P_{1}$ par une solution de (1) (cf. i) supra). Si $e_{2}=0$ et $s=1$, alors on obtient $s=0$ en remplaçant $A_{2}$ par $P_{1}$ (cf. ii) a) supra).

Exemple 10. — En prenant $U$ défini par $t^{\prime}=1$ et en substituant $t$ à $z_{3}$ dans les formules de l’exemple précédent, on obtient bien de nouveaux paramétrages indépendants de $t$.

Conclusion

Nous espérons une adaptation de cette preuve dans le cadre de l’algèbre différentielle ou en dimension différentielle supérieure à $2$, mais de nombreuses difficultés se présentent que nous ne savons pas surmonter.

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