Field space parametrization in quantum gravity and the identification of a unitary conformal field theory at the heart of 2D Asymptotic Safety

TL;DR

This thesis explores the fundamental aspects of asymptotically safe quantum gravity, demonstrating background independence, unitarity in 2D limits, and the connection to conformal field theories, with novel metric parametrizations and a reconstructed functional integral.

Contribution

It introduces a new connection on the metric space, analyzes metric parametrizations' effects on fixed points, and proves unitarity of the 2D limit as a conformal field theory.

Findings

Revealed a novel connection on the metric space facilitating metric geodesics.

Showed that the 2D limit yields a unitary conformal field theory.

Reconstructed the bare action from effective theories, including Liouville action.

Abstract

In this thesis we investigate various fundamental aspects of asymptotically safe quantum gravity, in particular the compatibility of Asymptotic Safety with the requirements for background independence and unitarity. The first part contains a detailed analysis of the space of metrics. We unveil a novel, specifically designed connection on this space and use the corresponding geodesics to connect all metrics having the same signature. In the second part we study the consequences of different metric parametrizations, i.e. of different connections on the space of metrics, for the Asymptotic Safety scenario by exploring the respective properties of the decisive renormalization group fixed points. Based on a bimetric investigation we show that Asymptotic Safety can be reconciled with background independence. The third part of this work focuses on the 2D limit of quantum gravity. To this end, we show that the 2D limit of the Einstein--Hilbert action at a nontrivial fixed point becomes Polyakov's induced gravity action which describes a conformal field theory. In this way, we can prove that the fixed point theory is unitary. The last part concerns the reconstruction of the functional integral out of a given effective theory, where we reconstruct the bare action for an Einstein--Hilbert-type effective average action and for a Liouville action.

Full text

In this thesis we extend the existing Asymptotic Safety studies by examining all three of the above conditions and their compatibility. We demonstrate that the renormalization group flow and its fixed points are sensitive to changes in the metric parametrization, where different qualified parametrizations, in turn, are seen to correspond to different field space connections. A novel connection is proposed, and the renormalization group flow resulting from the associated parametrization and a particular ansatz for the effective average action is shown to possess the decisive nontrivial fixed point required for nonperturbative renormalizability. For two special parametrizations we argue that background independence can be achieved in the infrared limit where all quantum fluctuations are completely integrated out. In order to study the question of unitarity in an asymptotically safe theory we resort to a setting in two spacetime dimensions. We provide a detailed analysis of an intriguing connection between the Einstein–Hilbert action in $d>2$ dimensions and Polyakov’s induced gravity action in two dimensions. By establishing the 2D limit of an Einstein–Hilbert-type effective average action at the nontrivial fixed point we reveal that the resulting fixed point theory is a conformal field theory, where the associated central charge, shown to be $c=25$, guarantees unitarity. Further properties of this theory and its implications for the Asymptotic Safety program are discussed. In the last part of this work we present a strategy for conveniently reconstructing the bare theory pertaining to a given effective average action. For the Einstein–Hilbert case we prove the existence of a nontrivial fixed point in the bare sector and exploit the dependence of the bare action on the underlying functional measure to simplify the maps between bare and effective couplings. Applying this approach to 2D asymptotically safe gravity coupled to conformal matter we uncover a number of surprising consequences, for instance for the gravitational dressing of matter field operators and the KPZ scaling relations.

\birthplace

Dernbach

\dateofexam19. Januar 2017

\maketitlepage

{abstractgerman}

Auch wenn über den genauen Quantencharakter der gravitativen Wechselwirkung bislang nur wenig bekannt ist, können wir einige Forderungen aufstellen, die eine konsistente Theorie der Quantengravitation zwingend erfüllen muss: Sie muss renormierbar sein, um auch im Hochenergielimes wohldefiniert zu bleiben, sie muss unitär sein, um eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zuzulassen, und sie muss hintergrundunabhängig sein, da die Raumzeitgeometrie keine Vorgabe, sondern ein Ergebnis der Theorie sein sollte. Da eine gewöhnliche Quantenversion der allgemeinen Relativitätstheorie aus störungstheoretischer Sicht nicht-renormierbar ist, scheint bereits die erste dieser Bedingungen ausgeschlossen. Das Asymptotic-Safety-Programm schlägt jedoch einen allgemeineren, nicht-störungstheoretischen Begriff von Renormierbarkeit vor, anhand dessen Quantengravitation im Rahmen konventioneller Quantenfeldtheorie definiert werden könnte. Die Grundidee basiert auf einem nicht-trivialen Renormierungsgruppenfixpunkt, an dem der Limes des unendlichen Cutoffs gebildet werden kann, sodass das Hochenergieverhalten in diesem Zugang wohldefiniert bleibt. Während es inzwischen vermehrt Hinweise für die Existenz eines geeigneten Fixpunktes gibt, haben die Untersuchungen zur Hintergrundabhängigkeit gerade erst begonnen, und das Unitaritätsproblem ist derzeit noch unklarer.

In der vorliegenden Arbeit werden die bisherigen Studien zu Asymptotic Safety erweitert, indem alle drei der obigen Bedingungen sowie deren Kompatibilität untersucht werden. Wir zeigen, dass der Renormierungsgruppenfluss und dessen Fixpunkte von der Parametrisierung der Metrik abhängen, wobei unterschiedliche Parametrisierungen wiederum auf unterschiedliche Zusammenhänge im Feldraum zurückgeführt werden können. Im Hinblick darauf schlagen wir einen neuen, eigens konstruierten Zusammenhang vor und weisen nach, dass der Renormierungsgruppenfluss, der sich aus der zugehörigen Parametrisierung und einem speziellen Ansatz für die effektive Mittelwertwirkung ergibt, einen für die nicht-störungstheoretische Renormierbarkeit erforderlichen Fixpunkt aufweist. Für zwei bestimmte Parametrisierungen legen wir dar, dass im Infrarotlimes, in dem alle Quantenfluktuationen vollständig ausintegriert sind, Hintergrundunabhängigkeit tatsächlich erreicht werden kann. Um die Frage nach Unitarität in einer asymptotisch sicheren Theorie zu erörtern, bedienen wir uns eines Szenarios in einer $2$-dimensionalen Raumzeit. Hierbei decken wir einen verblüffenden Zusammenhang zwischen der Einstein–Hilbert-Wirkung in $d>2$ Dimensionen und Polyakovs induzierter Gravitationswirkung in zwei Dimensionen auf. Indem wir den 2D-Limes einer effektiven Mittelwertwirkung des Einstein–Hilbert-Typs am nicht-trivialen Fixpunkt bilden, können wir zeigen, dass die resultierende Fixpunkttheorie eine konforme Feldtheorie ist, und dass die entsprechende zentrale Ladung, die wir zu $c=25$ berechnen, Unitarität gewährleistet. Darüber hinaus diskutieren wir weitere Eigenschaften dieser Theorie sowie die Implikationen für das Asymptotic-Safety-Programm. Im letzten Teil der Arbeit stellen wir eine Strategie vor, mittels derer die nackte (mikroskopische) Theorie zu einer gegebenen effektiven Mittelwertwirkung zweckmäßig rekonstruiert werden kann. Für den Einstein–Hilbert-Fall beweisen wir die Existenz eines nicht-trivialen Fixpunktes auf nackter Ebene und nutzen die Abhängigkeit der nackten Wirkung von dem zugrundeliegenden Funktionalmaß aus, um die Abbildungen zwischen den nackten und den effektiven Kopplungen zu vereinfachen. Durch Anwenden dieser Methode auf 2D asymptotisch sichere Gravitation, die an konforme Materie gekoppelt ist, enthüllen wir eine Reihe überraschender Konsequenzen, die sich beispielsweise für den gravitativen Effekt auf Materiefeldoperatoren und für die KPZ-Relationen ergeben.

{Spacing}

1.15

1. List of abbreviations

List of abbreviations

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