Singularit\'es canoniques et actions horosph\'eriques

TL;DR

This paper provides a criterion to determine the nature of singularities in normal G-varieties with horospherical orbits, especially those with a rational curve quotient, using a weight function derived from valuations.

Contribution

It introduces a new criterion based on a weight function for classifying singularities in horospherical G-varieties with rational curve quotients, extending understanding in torus action settings.

Findings

Criterion for canonical, log canonical, and terminal singularities based on the weight function.

The weight function's generating function matches the stringy motivic volume in the log terminal case.

Application to normal k*-surfaces illustrates the criterion's utility.

Abstract

Let $G$ be a connected reductive linear algebraic group. We consider the normal $G$-varieties with horospherical orbits. In this short note, we provide a criterion to determine whether these varieties have at most canonical, log canonical or terminal singularities in the case where they admit an algebraic curve as rational quotient. This result seems to be new in the special setting of torus actions with general orbits of codimension $1$. For the given $G$-variety $X$, our criterion is expressed in terms of a weight function $\omega_{X}$ that is constructed from the set of $G$-invariant valuations of the function field $k(X)$. In the log terminal case, the generating function of $\omega_{X}$ coincides with the stringy motivic volume of $X$. As an application, we discuss the case of normal $k^{\star}$-surfaces.

Equations

$${\mathcal{D}}_{X,\mathcal{V}}:{\sigma }^{\vee }\to \mathrm{CaDiv}(C_X),m\mapsto \sum _{y\in C_X}\underset{v\in {\mathcal{D}}_y}{\min }⟨m,v⟩\cdot [y]$$

$$\text{ deˊfinie par l’eˊgaliteˊ }A=A[C_X,{\mathcal{D}}_{X,\mathcal{V}}]:=\underset{m\in {\sigma }^{\vee }\cap M}{⨁}{H}^0(C_X,{\mathcal{O}}_{C_X}({\mathcal{D}}_{X,\mathcal{V}}(m))\cdot {\chi }^m.$$

$${\mathcal{E}}_{\mathrm{st}}(X)={\int }_{\mathcal{L}(X^{\prime })}{\mathbb{L}}^{-\mathrm{ord}{K}_{X^{\prime }/X}}d{\mu }_{X^{\prime }}.$$

$${\mathcal{E}}_{\mathrm{st}}(X)=[G/H]\left(\sum _{[y,\nu ,\ell ]\in |{\mathcal{D}}_{X,\mathcal{V}}|}{\zeta }_{\ell }\cdot {\mathbb{L}}^{{\omega }_X(y,\nu ,\ell )}\right),$$

$$|{\mathcal{D}}_{X,\mathcal{V}}|=\{[y,\nu ,\ell ]|y\in \mathrm{supp}({\mathcal{D}}_{X,\mathcal{V}}),\nu \in N,\ell \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}\text{ et }(\nu ,\ell )\in C({\mathcal{D}}_y)\},$$

$${\omega }_X(y,\rho ,0)=\lambda \left(\mathrm{deg}{K}_C+\sum _{z\in C}\left(1-\frac{1}{\kappa (v_z)}\right)\right)\text{ avec }\kappa (v_z)=\inf \{\ell \in {\mathbb{Z}}_{>0}|\ell v_z\in N\}.$$

$$X^{\prime }=X({\mathcal{E}}^{\prime })$$

$$K_{X^{\prime }/X}=K_{X^{\prime }}-{\psi }^{\star }{K}_X=\sum _{i=1}^r(-1-{\omega }_X(y_i,p_i))D_{(y_i,p_i)}+\sum _{j=1}^s(-1-{\omega }_X(y_j^{\prime },p_j^{\prime }))D_{(y_j^{\prime },p_j^{\prime })}+\sum _{\ell =1}^t(-1-{\omega }_X(y_{\ell }^{\prime \prime },p_{\ell }^{\prime \prime }))D_{(y_{\ell }^{\prime \prime },p_{\ell }^{\prime \prime })},$$

$$\delta (\underline{v}):=\mathrm{deg}{K}_C+\sum _{z\in C}\left(1-\frac{1}{\kappa (v_z)}\right).$$

$$0\ge {\omega }_X(z,v)=\sum _{y\in C}\frac{1}{\kappa (v_y)}\kappa (v_y)(⟨e,v_y⟩+{\mathrm{ord}}_y(f))=\delta (\underline{v})$$

$$D=\frac{e_1}{m_1}\cdot [0]+\frac{e_2}{m_2}\cdot [1]+\frac{e_3}{m_3}\cdot [2]+\frac{e_4}{m_4}\cdot [\infty ],$$

Full text

Introduction

Dans cet article, les variétés algébriques et les groupes algébriques sont définis sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique [math]. Un espace homogène $G/H$ sous un groupe algébrique linéaire réductif connexe $G$ est dit horosphérique si le sous-groupe fermé $H\subseteq G$ contient un sous-groupe unipotent maximal. Dans ce cas, le normalisateur $P=N_{G}(H)$ de $H$ dans $G$ est un sous-groupe parabolique, $P/H$ est un tore algébrique et l’espace homogène $G/H$ est donc réalisé comme $P/H$-torseur au dessus de la variété des drapeaux $G/P$ (voir [Pas08, Section 2]). Rappelons qu’une $G$-variété normale est dite sphérique si elle possède une orbite ouverte sous l’action d’un sous-groupe de Borel. Comme conséquence de la décomposition de Bruhat, l’espace homogène horosphérique $G/H$ est sphérique.

Nous considérons les $G$-variétés normales avec orbites horosphériques. Notre but est d’établir un critère pour déterminer lorsque que ces variétés supposées ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein ont au plus des singularités canoniques (log canoniques ou terminales) sous la condition d’existence d’un quotient rationnel qui est une courbe algébrique (cas de complexité un). Notre résultat est motivé par le cas des variétés toriques (voir [KKMS73, Dan78, Oda78]). Dans [Rei80, Rei83], les singularités toriques intervenant dans le programme du modèle minimal sont caractérisées en termes de géométrie convexe, voir aussi [BG95, Section 1], [Dai02, Sections 3, 4] pour une exposition.

Ces critères ont été généralisés par Brion dans le cadre sphérique [Bri93] en utilisant la théorie de Luna-Vust (cf. [Kno91]). Recemment, Liendo et Suess [LS13] ont étudiés les singularités des variétés normales avec actions de tores algébriques via la description d’Altmann-Hausen (voir [AH06, AHS08]). En particulier, ils obtiennent un critère pour les singularités log terminales des variétés normales ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein dotées d’une opération d’un tore algébrique avec orbites générales de codimension $1$, voir [LS13, Corollary 5.4] et [LS13, Theorem 4.9], [LT16, Theorem 2.22] pour des généralisations de ce critère.

Notations. Nous réunissons maintenant les notations nécessaires pour énoncer notre résultat. Nous utiliserons l’approche de Timashev pour décrire les opérations de groupes algébriques réductifs de complexité un, voir [Tim97]. Nous fixons désormais, une $G$-variété normale $X$ avec orbites horosphériques ayant un quotient rationnel $\pi:X\dashrightarrow C$ sous l’action de $G$, où $C$ est une courbe algébrique complète lisse. En particulier, $C$ s’identifie avec l’ensemble des places du corps de fonctions $k(X)^{G}$. Pour un choix fixé d’un sous-groupe de Borel $B\subseteq G$, nous appellerons couleur de $X$ un diviseur premier $B$-stable de $X$ qui n’est pas $G$-stable. Les couleurs de $X$ constituent un ensemble fini ${\mathscr{F}}$. Désignons par ${\mathscr{F}}_{X}\subseteq{\mathscr{F}}$ le sous-ensemble des couleurs contenant une $G$-orbite. Puisque notre problème est locale, on peut supposer qu’il existe un ouvert affine dense $B$-stable $X_{0}\subseteq X$ intersectant toute $G$-orbite de $X$ [Kno91, Theorem 1.3]. Sous cette condition, $X_{0}$ est le complémentaire de la réunion des couleurs appartenant à ${\mathscr{F}}\setminus{\mathscr{F}}_{X}$ [LT16, Lemma 2.1]. Par ailleurs, $X$ admet un modèle birationnel équivariant de la forme $C\times G/H$, où $G/H$ est un espace homogène horosphérique (voir par exemple [Kno90, Satz 2.2]). Si $G/H\rightarrow G/P$ est la projection naturelle vers la variété des drapeaux, alors ${\mathscr{F}}$ est naturellement en bijection avec l’ensemble des diviseurs de Schubert de $G/P$. En particulier, ${\mathscr{F}}$ s’identifie à l’ensemble des racines simples $\Phi$ de $(G,B)$ qui ne proviennent pas de $P$. Pour $\alpha\in\Phi$ le symbole $\alpha^{\vee}$ représentera la coracine associée et $a_{\alpha}$ le nombre entier $\langle\sum_{\beta\in\Phi}\beta,\alpha^{\vee}\rangle$. Nous désignerons par $\Phi_{X}$ le sous-ensemble de $\Phi$ correspondant aux couleurs de ${\mathscr{F}}_{X}$.

En considérant le radical unipotent $U$ de $B$, l’algèbre des invariants $A:=k[X_{0}]^{U}$ est graduée par les poids provenant des fonctions rationnelles propres de $X$ sous l’opération de $B$. Soient $M$ le réseau des $B$-poids de $A$ (ou indifféremment de $k(X)$), $N={\rm Hom}(M,{\mathbb{Z}})$ le dual et $N_{{\mathbb{Q}}}={\mathbb{Q}}\otimes_{{\mathbb{Z}}}N$, $M_{{\mathbb{Q}}}={\mathbb{Q}}\otimes_{{\mathbb{Z}}}M$ les ${\mathbb{Q}}$-espaces vectoriels associés. Le cône des poids $\sigma^{\vee}\subseteq M_{{\mathbb{Q}}}$ de $A$ est le dual d’un cône polyédral saillant $\sigma\subseteq N_{{\mathbb{Q}}}$ (i.e. ayant [math] comme sommet). De plus, en choisissant un ensemble de fonctions rationnelles propres ${\mathscr{V}}=\{\chi^{m}\in k(X)^{\star},m\in M\}$ sous $B$ avec les conditions $\chi^{m}\cdot\chi^{m^{\prime}}=\chi^{m+m^{\prime}}$ pour tous $m,m^{\prime}\in M$, l’algèbre $A$ est décrite par une unique fonction linéaire par morçeaux

[TABLE]

[TABLE]

Ici $C_{X}\subseteq C$ est un ouvert dense, les sous-ensembles ${\mathscr{D}}_{y}\subseteq N_{{\mathbb{Q}}}$ sont des polyèdres avec cône de récession $\sigma$ étant pour presque tout $y\in C_{X}$ égaux à $\sigma$ et ${\rm CaDiv}(C_{X})$ est l’espace vectoriel des ${\mathbb{Q}}$-diviseurs de Cartier sur $C_{X}$. Le couple $({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}},{\mathscr{F}}_{X})$ est la contrepartie combinatoire de $X$ et sera appelé un diviseur polyédral colorié associé à $X$ (voir [AH06, Section 2] et [LT16, Section 1.3]). Nous renvoyons à [Tim97] pour la construction inverse d’une telle $G$-variété à partir d’un diviseur polyédral colorié abstrait. Le formalisme des diviseurs polyédraux a été introduit dans [AH06], voir [AHS08, Lan16] pour des généralisations. Dans la suite, nous poserons ${\mathrm{supp}}({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})=\{y\in C_{X}\,|\,{\mathscr{D}}_{y}\neq\sigma\}$ et noterons par ${\mathrm{deg}}({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})$ le sous-ensemble de $N_{{\mathbb{Q}}}$ qui est vide si $C_{X}\neq C$ et qui est égal au polyèdre $\sum_{y\in C}{\mathscr{D}}_{y}$ sinon. Notons que l’on a toujours ${\mathrm{deg}}\,{\mathscr{D}}\subseteq\sigma$ (voir [AH06, Example 2.12]).

Intégration motivique et fonctions de poids. Nous introduisons la fonction de poids $\omega_{X}$ attachée à la donnée $({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}},{\mathscr{F}}_{X})$. Dans le cas où les singularités de $X$ sont au plus log terminales, cette fonction apparaît dans le calcul du volume motivique des cordes defini par l’intégrale motivique

[TABLE]

Le symbole $K_{X^{\prime}/X}$ désigne un diviseur canonique relatif provenant d’une log résolution et ${\mathscr{L}}(X^{\prime})$ est le schéma des arcs de la désingularisation. L’intégrale ${\mathcal{E}_{\rm st}}(X)$ appartient à une certaine modification et complétion ${\mathcal{M}}$ du localisé de l’anneau de Grothendieck $K_{0}({\rm Var}_{k})[{\mathbb{L}}^{-1}]$ de la catégorie des $k$-variétés par rapport à la classe de la droite affine ${\mathbb{L}}:=[\mathbb{A}^{1}_{k}]$ et ne depend ni du choix de la log résolution ni de celui du diviseur canonique relatif $K_{X^{\prime}/X}$. Nous renvoyons à [DL99, Loe09, Vey06] pour plus de détails sur l’intégration motivique et à [Bat98] pour la construction des invariants des cordes. Plus precisément, le résultat principal de [LPR16] est la formule suivante inspirée par celle de Batyrev et Moreau dans [BM13, Theorem 4.3]:

[TABLE]

où ici $\zeta_{\ell}$ est égale à la classe $[C_{X}\setminus{\mathrm{supp}}({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})]$ si $\ell=0$ et à ${\mathbb{L}}-1$ si $\ell\geq 1$ vue dans le complété ${\mathcal{M}}$; le second membre étant interprété comme la fonction génératrice de $\omega_{X}$.

Supposons que la $G$-variété $X$ avec orbites horosphériques associée à la donnée $({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}},{\mathscr{F}}_{X})$ est ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein (et possiblement non log terminale). Nous renvoyons à [LT16, Corollary 2.19] pour un critère explicite de la condition ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein. On définit alors l’ensemble $|{\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}}|$ par l’égalité

[TABLE]

où $C({\mathscr{D}}_{y})\subseteq N_{{\mathbb{Q}}}\oplus{\mathbb{Q}}$ est le cône engendré par la réunion de $({\mathscr{D}}_{y},1)$ et de $(\sigma,0)$. Le symbole $[y,\nu,\ell]$ désigne la classe modulo la relation d’équivalence $\sim$ définie par $(y,\nu,\ell)\sim(y^{\prime}.\nu^{\prime},\ell^{\prime})$ si et seulement si ($y=y^{\prime}$, $\nu=\nu^{\prime}$, $\ell=\ell^{\prime}$) ou ($\ell=\ell^{\prime}=0$, $\nu=\nu^{\prime}$). Soit $C({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})$ l’ensemble $\bigcup_{y\in C_{X}}\{y\}\times C({\mathscr{D}}_{y})$ modulo $\sim$. Sous l’hypothèse ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein la fonction $\omega_{X}:C({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})\rightarrow{\mathbb{Q}}$ est uniquement déterminée par les conditions suivantes pour tout $y\in C_{X}$ (voir [LPR16, Section 5.2 et Proposition 5.11]).

• (i)

$\omega_{X}$ induit une fonction ${\mathbb{Q}}$-linéaire sur chaque cône $C({\mathscr{D}}_{y})$;

• (ii)

Nous avons $\omega_{X}(y,\rho)=-1$ pour tout vecteur primitif générateur $\rho\in N\oplus{\mathbb{Z}}$ d’une face de dimension $1$ de $C({\mathscr{D}}_{y})$ tel que l’intersection de ${\mathbb{Q}}_{\geq 0}\rho$ avec ${\mathrm{deg}}({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})\cup\varrho({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})$ est vide;

• (iii)

On a $\omega_{X}(y,\alpha^{\vee}_{|M},0)=-a_{\alpha}$ pour tout $\alpha\in\Phi_{X}$.

• (iv)

Si $\rho\in N$ est un générateur primitif d’une face de dimension 1 de $\sigma$ tel que ${\mathbb{Q}}_{\geq 0}\rho\cap{\mathrm{deg}}({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})\neq\emptyset$, alors il existe $\lambda\in{\mathbb{Q}}_{>0}$ tel que $\rho=\lambda v$ où $v=\sum_{z\in C_{X}}v_{z}$ et $v_{z}$ est un sommet de ${\mathscr{D}}_{z}$ [LPR16, Lemma 5.22]. Dans ce cas, on a $C_{X}=C$ et

[TABLE]

Les éléments de $|{\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}}|$ correspondent à certaines valuations (géométriques) $G$-invariantes de $k(X)$ à valeurs dans ${\mathbb{Z}}$ dont le centre est une sous-variété fermée irréductible $G$-stable de $X$. Pour chaque $\xi\in|{\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}}|$ correspondant à un diviseur exceptionnel $G$-stable d’une désingularisation équivariante de $X$, la valeur $-1-\omega_{X}(\xi)$ est égale à sa discrépance (voir [LPR16, Propositions 5.9 et 5.15]).

Résultat principal

Théorème 0.1**.**

Soit $X$ une $G$-variété normale ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein avec orbites horosphériques. Supposons que $X$ admette un quotient rationnel $X\dashrightarrow C$, où $C$ est une courbe algébrique complète lisse, et que $X$ soit décrite par le diviseur polyédral colorié $({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}},{\mathscr{F}}_{X})$. Alors $X$ a au plus des singularités log canoniques si et seulement si au moins une des assertions $(a),(b),(c)$ est vraie:

• $(a)$

$C_{X}$* est une courbe algébrique affine.*

• $(b)$

$C_{X}$* s’identifie à la droite projective ${\mathbb{P}}_{k}^{1}$ et $\sum_{y\in C_{X}}\left(1-\frac{1}{\kappa_{y}}\right)\leq 2,$ où $\kappa_{y}=\max\{\kappa(v)\,|v\text{ sommet de }{\mathscr{D}}_{y}\}$ et $\kappa(v)=\inf\{\ell\in{\mathbb{Z}}_{>0}\,\,|\,\,\ell v\in N\}.$*

• $(c)$

$C_{X}$* est une courbe elliptique et pour tout $y\in C_{X}$ les sommets du polyèdre ${\mathscr{D}}_{y}$ sont des vecteurs entiers.*

Par ailleurs, $X$ a au plus des singularités canoniques (resp. terminales) si et seulement si:

• $(d)$

*Pour tout $y\in C_{X}$ et tout vecteur entier primitif $\xi$ tel que $\xi$ soit dans l’interieur relatif de $C_{y}({\mathscr{D}})$ ou un générateur d’une face de dimension $1$ de $C_{y}({\mathscr{D}})$ tel que ${\mathbb{Q}}_{\geq 0}\xi\cap({\mathrm{deg}}({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})\cup\varrho({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}}))\neq\emptyset$, on a l’inégalité $\omega_{X}(y,\xi)\leq-1$ *$($resp. $\omega_{X}(y,\xi)<-1$ $)$.

Proof.

Nous commençons par rappeler la construction de [LPR16, Section 5.3] pour une désingularisation de $X$. Elle est donnée par une suite de morphismes propres birationnels $G$-equivariants

[TABLE]

Les $G$-variétés $X({\mathscr{E}}^{\prime}),X(\tilde{{\mathscr{E}}}),X({\mathscr{E}})$ sont décrites par des ensembles finis de diviseurs polyédraux coloriés, appelés éventails divisoriels coloriés (voir [Tim97],[LPR16, Section 3] pour plus de détails); chacun d’autres eux décrivant un recollement en des ouverts $G$-stables de $G$-variétés normales avec orbites horosphériques. On a ${\mathscr{E}}=\{({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}},\emptyset)\}$ et $\pi$ est le morphisme naturel de décolorisation (voir [LT16, Section 2.2]). De plus, en considérant un recouvrement fini $(C_{X}^{i})_{i\in I}$ d’ouverts affines de $C_{X}$, l’ensemble $\tilde{{\mathscr{E}}}$ est $\{({{\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}}}_{|C_{X}^{i}},\emptyset)\,|\,i\in I\}$ et $q$ est le morphisme de contraction ou d’affinisation (voir par exemple [AH06, Theorem 3.1], [LPR16, Section 4.2]). Enfin la variété lisse $X({\mathscr{E}}^{\prime})$ est induite par une subdivision régulière de $C({\mathscr{D}}_{X,{\mathscr{V}}})$ (voir [LPR16, Section 5.3] pour une construction inspirée de [KKMS73]).

En utilisant [LPR16, Proposition 5.9], un diviseur canonique relatif à $\psi$ et porté sur le lieu exceptionnel peut être exprimé comme la somme

[TABLE]

où $D_{(y_{i},p_{i})},D_{(y_{j}^{\prime},p_{j}^{\prime})},D_{(y_{\ell}^{\prime\prime},p_{\ell}^{\prime\prime})}$ sont les diviseurs premiers correspondants. Ceux de la forme $D_{(y_{\ell}^{\prime\prime},p_{\ell}^{\prime\prime})}$ sont obtenus comme composantes irréductibles du lieu exceptionnel de $q^{\prime}$ et ceux de la forme $D_{(y_{i},p_{i})},D_{(y_{j}^{\prime},p_{j}^{\prime})}$ sont obtenus comme images inverses de composantes irréductibles des lieux exceptionnels de $q$ et $\pi$, respectivement. Supposons que $X$ satisfasse au moins une des assertions $(a),(b),(c)$. Nous rappelons que la condition log canonique est équivalente à ce que tous les coefficients de $K_{X^{\prime}/X}$ sont $\geq-1$. Si $X$ vérifie $(a)$, alors $\omega_{X}\leq 0$ et donc $X$ a des singularités log canoniques. Donc on peut supposer que $C_{X}=C$ est complète. Dans ce cas, pour toute suite ${\underline{v}}=(v_{y})_{y\in C}$ où $v_{y}$ est un sommet de ${\mathscr{D}}_{y}$ on pose

[TABLE]

Pour tout $1\leq i\leq r$, l’inégalité $-1-\omega_{X}(y_{i},p_{i})\geq-1$ est équivalente à $\delta({\underline{v}}^{i})\leq 0,$ où ${\underline{v}}^{i}=(v_{y}^{i})_{y\in C}$ est une suite telle que $v_{y}^{i}$ est un sommet de ${\mathscr{D}}_{y}$ pour tout $y\in C$ et telle qu’il existe $\lambda\in{\mathbb{Q}}_{>0}$ tel que $\lambda\cdot p_{i}=\sum_{y\in C}v_{y}^{i}$. Cette dernière condition est consequence de la validité de l’assertion $(b)$ ou $(c)$.

Réciproquement, supposons que $X$ a des singularités log canoniques et que $C_{X}=C$ est une courbe complète lisse. Soit ${\underline{v}}=(v_{y})_{y\in C}$ une suite arbitraire telle que pour tout $y\in C$, le vecteur $v_{y}$ est un sommet de ${\mathscr{D}}_{y}$. Notons $v=\sum_{y\in C}v_{y}$. Alors en reprenant les notations ci-dessus les inégalités $\delta({\underline{v}}^{i})\leq 0$ pour $1\leq i\leq r$ impliquent ${\mathrm{deg}}\,K_{C}\leq 0$, c’est à dire ${\mathrm{deg}}\,K_{C}=-2$ ou ${\mathrm{deg}}\,K_{C}=0$. Elles impliquent en outre que $(\omega_{X})_{|\sigma}\leq 0$. Puisque $C_{X}$ est complète, on a $(K_{X})_{|X_{0}}={\mathrm{div}}(f\chi^{e})$ (cf. [LT16, Section 2.3]) pour le diviseur canonique $K_{X}$ défini dans [LT16, Theorem 2.18], où $f\chi^{e}$ est une fonction rationnelle $B$-propre de $k(X)$ avec $f\in k(C)^{\star}$ et $e\in M$. En adaptant l’argument de la preuve de [LPR16, Lemma 5.23], on déduit la formule

[TABLE]

où $z\in C$. Considérons le cas ${\mathrm{deg}}\,K_{C}=0$. Alors $C_{X}$ est une courbe elliptique et l’inégalité $\delta({\underline{v}})\leq 0$ donne $v_{y}\in N$ pour tout $y\in C$. Comme la suite $(v_{y})_{y\in C}$ est choisie de façon arbitraire, on obtient l’assertion $(c)$. Si maintenant ${\mathrm{deg}}\,K_{C}=-2$, alors $C_{X}$ s’identifie à la droite projective et à nouveau en maximisant $\delta({\underline{v}})\leq 0$ sur toute suite ${\underline{v}}$, on a $(b)$.

Nous passons au critère pour les singularités canoniques (resp. terminales). Supposons que $X$ a des singularités canoniques (resp. terminales). Soit $\xi\in C_{y}({\mathscr{D}})$ un vecteur primitif entier où $y\in C_{X}$. Alors on peut construire l’application $q^{\prime}$ de sorte qu’il existe $1\leq\ell\leq t$ tel que $\xi=(y_{\ell}^{\prime\prime},p_{\ell}^{\prime\prime})$. En particulier, le fait que la discrépance au diviseur $D_{(y_{\ell}^{\prime\prime},p_{\ell}^{\prime\prime})}$ est $\geq 0$ (resp. $>0$) implique la condition $(d)$. La réciproque est aisée à démontrer et laissée au lecteur. ∎

Dans l’exemple suivant, nous regardons le cas particulier des surfaces affines normales avec une opération algébrique fidèle du groupe multiplicatif (voir [LS13, Theorem 5.7] pour le cas des singularités canoniques222Le lecteur notera que la série $E$ dans loc. cit. devrait être $E_{i}:\frac{1}{2}\cdot[0]+\frac{1}{3}\cdot[1]-\frac{i-4}{i-3}\cdot[\infty]$ pour $i=6,7,8$.). Plus généralement, nous renvoyons à [Sem80], [Ish14, Section 7] pour plus de détails sur les singularités de surfaces. Notons que toute surface normale ayant des singularités rationnelles est $\mathbb{Q}$-Gorenstein et celles ayant des singularités terminales sont lisses (voir [Ish14, Theorems 7.1.18, 7.3.2]).

Exemple 0.2**.**

$k^{\star}$-surfaces. Supposons que $X$ est une surface affine normale et que le groupe opérant $G$ est le groupe ${\mathbb{G}}_{m}(k)=(k^{\star},\times)$. Alors on a $X=X_{0}$, $M={\mathbb{Z}}$ et ${\mathscr{F}}_{X}=\emptyset$. Si $\sigma\neq 0$, alors on peut supposer que $\sigma={\mathbb{Q}}_{\geq 0}$ et donc ${\mathscr{D}}$ est uniquement déterminé par le diviseur $D:={\mathscr{D}}(1)$. Dans ce cas, on dit que la $k^{\star}$-surface $X$ est de type parabolique si $C_{X}$ est affine et de type elliptique si $C_{X}$ est complète. Le cas restant est lorsque $\sigma=\{0\}$, $C_{X}$ est affine, et ${\mathscr{D}}$ est alors uniquement déterminé par le couple $(D_{-},D_{+})$, où $D_{-}={\mathscr{D}}(-1)$ et $D_{+}={\mathscr{D}}(1)$; la surface correspondante est dite de type hyperbolique. Voir [FZ03] pour une description géométrique de cette trichotomie. Si $X$ est elliptique, alors d’après le théorème 0.1, $X$ est log canonique si et seulement si l’un des deux cas suivant est vrai:

• (1)

($X$ est rationnelle) La courbe $C_{X}$ s’identifie à la droite projective ${\mathbb{P}}^{1}_{k}$ et après réductions par des isomorphismes $k^{\star}$-equivariants (i.e., en changeant $D$ par $D+E$ où $E$ est un diviseur entier de degré [math] sur $C_{X}$), on peut écrire le diviseur $D$ comme la somme

[TABLE]

où pour tout $1\leq i\leq 4$, les entiers $e_{i},m_{i}$ sont premiers entre eux et le quadruplet $(m_{1},m_{2},m_{3},m_{4})$ est de la forme $(2,2,r,1)$ (pour $r\in{\mathbb{Z}}_{>1}$), $(1,p,q,1)$ (pour des entiers $p\geq q\geq 1$), $(2,3,3,1)$, $(2,3,4,1)$, $(2,3,5,1)$, $(2,3,6,1)$, $(2,4,4,1)$, $(3,3,3,1)$, et $(2,2,2,2)$.

• (2)

($X$ n’est pas rationnelle) Alors $C_{X}$ est une courbe elliptique et $D$ est un diviseur entier de degré $>0$. En particulier, tout cône affine normale au dessus d’une courbe elliptique a des singularités log canoniques; ces derniers correspondant au cas où $D$ est très ample, c’est à dire satisfaisant la condition ${\mathrm{deg}}\,D\geq 3$.