On lower estimate of distortion of a distance for one class of mappings

TL;DR

This paper investigates a specific class of finite distortion mappings near the origin and establishes a lower bound on how much they can distort distances.

Contribution

It provides a new lower estimate for the distortion of distances under a particular class of finite distortion mappings.

Findings

Proved a lower bound on distance distortion near the origin.

Analyzed behavior of finite distortion mappings in a neighborhood of zero.

Contributed to understanding the limits of distortion for this class of mappings.

Abstract

A behavior of one class of mappings with finite distortion at a neighborhood of the origin is investigated. There is proved a lower estimate of distortion of a distance under mappings mentioned above.

Equations

$$A(x_0,r_1,r_2)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:r_1<|x-x_0|<r_2\},S(x_0,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-x_0|=r\},$$

$$B(x_0,r)=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:|x-x_0|<r\right\},{\mathbb{B}}^n:=B(0,1),{\mathbb{S}}^{n-1}:=S(0,1),$$

$$M_p\left(f\left(\Gamma \left(S_1,S_2,A\right)\right)\right)⩽\underset{A}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x),$$

$$Q_0=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{liminf}}\frac{1}{{\Omega }_n\cdot {\epsilon }^n}\underset{B(0,\epsilon )}{\int }Q(x)dm(x)>0.$$

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{|f(x)|}{|x|}⩾c_0{Q}_0^{\frac{1}{n-p}},$$

$${\mathrm{cap}}_{p}E={\mathrm{cap}}_p(A,C)=\underset{u\in W_0(E)}{\inf }\underset{A}{\int }|\nabla u{|}^{p}dm(x)$$

$${\mathrm{cap}}_{p}E={\mathrm{cap}}_p(A,C)⩾n{{\Omega }_n}^{\frac{p}{n}}{\left(\frac{p-n}{p-1}\right)}^{p-1}{\left((m(A){)}^{\frac{p-n}{n(p-1)}}-(m(C){)}^{\frac{p-n}{n(p-1)}}\right)}^{1-p},$$

$$q_{x_0}(r)=\frac{1}{{\omega }_{n-1}{r}^{n-1}}\underset{S(x_0,r)}{\int }Q(x)d{\mathcal{H}}^{n-1},$$

$$I=I(x_0,r_1,r_2)=\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\frac{dr}{r^{\frac{n-1}{p-1}}{q}_{x_0}^{\frac{1}{p-1}}(r)}.$$

$${\mathrm{cap}}_{p}f(E)⩽\frac{{\omega }_{n-1}}{I^{p-1}}.$$

$$m\left(f(B(0,r))\right)⩾{\Omega }_n{R}^n(r).$$

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{|f(x)|}{R(|x|)}⩾1.$$

$$f\left(B(0,r)\right)\subset B(0,L_f(r))$$

$$M:=\underset{y\in \overline{f(B(0,r_0))}}{\max }|y|=|y_0|,y_0\in f(\overline{B(0,r_0)}).$$

$$|f(x)|<M\forall x\in B(0,r_0).$$

$$|f(x)|<M=|y_0|=|f(x_0)|⩽\underset{x\in S(0,r_0)}{\sup }|f(x)|=L_f(r_0),$$

$$L_f(r)⩾{\left(\frac{m(f(B(0,r)))}{{\Omega }_n}\right)}^{\frac{1}{n}}.$$

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{|f(x)|}{R(|x|)}=\underset{r\to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{L_f(r)}{R(r)}⩾\underset{r\to 0}{\mathrm{limsup}}{\left(\frac{m(f(B(0,r)))}{{\Omega }_n}\right)}^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{R(r)}⩾1.$$

$${\eta }_0(r)=\frac{1}{I{r}^{\frac{n-1}{p-1}}{q}_{x_0}^{\frac{1}{p-1}}(r)},$$

$$\frac{{\omega }_{n-1}}{I^{p-1}}=\underset{A}{\int }Q(x)\cdot {\eta }_0^p(|x-x_0|)dm(x)⩽\underset{A}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

$${\mathrm{cap}}_{p}f(E)⩽\underset{A}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

$$\eta(t)\,=\,\left\{\begin{array}[]{rr}\frac{1}{\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}},&\ t\in(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2})\\ 0,&\ t\in\mathbb{R}\setminus(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2})\end{array}\right.$$

$${\mathrm{cap}}_p\left(f(B(0,{\epsilon }_2)),f(\overline{B(0,{\epsilon }_1)})\right)⩽\frac{1}{({\epsilon }_2-{\epsilon }_1{)}^p}\underset{A(0,{\epsilon }_1,{\epsilon }_2)}{\int }Q(x)dm(x).$$

$${\mathrm{cap}}_p\left(f(B(0,2\epsilon )),f(\overline{B(0,\epsilon )})\right)⩽\frac{1}{{\epsilon }^p}\underset{A(0,\epsilon ,2\epsilon )}{\int }Q(x)dm(x).$$

$${\mathrm{cap}}_p\left(f(B(0,2\epsilon )),f(\overline{B(0,\epsilon )})\right)⩾{\mathrm{cap}}_p\left(f(B(0,2\epsilon )),f(\overline{B(0,r)})\right)⩾$$

$$⩾n{{\Omega }_n}^{\frac{p}{n}}{\left(\frac{p-n}{p-1}\right)}^{p-1}{\left((m(f(B(0,2\epsilon ))){)}^{\frac{p-n}{n(p-1)}}-(m(f(\overline{B(0,r)})){)}^{\frac{p-n}{n(p-1)}}\right)}^{1-p}.$$

$${\mathrm{cap}}_p\left(f(B(0,2\epsilon )),f(\overline{B(0,\epsilon )})\right)⩾c\cdot (m(f(B(0,2\epsilon ))){)}^{\frac{n-p}{n}},$$

$$\frac{m(f(B(0,2\epsilon ))}{2^n{\Omega }_n{\epsilon }^n}⩾c_1{\left(\frac{1}{2^n{\Omega }_n\cdot {\epsilon }^n}\underset{B(0,2\epsilon )}{\int }Q(x)dm(x)\right)}^{\frac{n}{n-p}},$$

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{|f(x)|}{|x|}=\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{L_f(2\epsilon )}{2\epsilon }⩾\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{limsup}}{\left(\frac{m(f(B(0,2\epsilon ))}{{\Omega }_n(2\epsilon {)}^n}\right)}^{\frac{1}{n}}.$$

$$\underset{x\to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{|f(x)|}{|x|}⩾c_0\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{limsup}}{\left(\frac{1}{2^n{\Omega }_n\cdot {\epsilon }^n}\underset{B(0,2\epsilon )}{\int }Q(x)dm(x)\right)}^{\frac{1}{n-p}}=c_0\cdot Q_0^{\frac{1}{n-p}},$$

Full text

Р.Р. Салимов (Институт математики НАН Украины),

Е.А. Севостьянов, А.А. Маркиш (Житомирский государственный университет имени И. Франко)

Р.Р. Салiмов (Iнститут математики НАН України),

Є.О. Севостьянов, А.О. Маркиш (Житомирський державний унiверситет iменi I. Франко)

R.R. Salimov (Institute of Mathematics of NAS of Ukraine),

E.A. Sevost’yanov, A.A. Markysh (Zhytomyr Ivan Franko State University)

**Об оценке искажения расстояния снизу для одного класса отображений **

Изучается поведение одного подкласса отображений с конечным искажением в окрестности начала координат. При определённых условиях на характеристику квазиконформности установлена оценка искажения расстояния снизу для таких отображений.

Про оцiнку спотворення вiдстанi знизу для одного класу вiдображень

Вивчається поведiнка одного пiдкласу вiдображень зi скiнченним спотворенням у околi початку координат. За певних умов на характеристику квазiконформностi встановлено оцiнку спотворення вiдстанi знизу для таких вiдображень.

On lower estimate of distortion of a distance for one class of mappings

A behavior of one class of mappings with finite distortion at a neighborhood of the origin is investigated. There is proved a lower estimate of distortion of a distance under mappings mentioned above.

1. Введение. Настоящая заметка посвящена изучению отображений, удовлетворяющих верхним оценкам искажения $p$-модуля семейства кривых для $p\neq n.$ Напомним, что в работе [1] первых двух авторов установлена оценка искажения расстояния при таких отображениях, обобщающая классическую теорему К. Икома (см. [2]). Укажем также на публикации [3] и [4], где, как и в [1], присутствует ограничение $n-1<p\leqslant n.$ На наш взгляд, случай $p>n$ также заслуживает внимания, и именно он будет рассмотрен в данной заметке. Как будет показано ниже, в случае $p>n$ мы имеем дело с оценкой соответствующей величины снизу, а не сверху, что контрастирует с ситуацией $n-1<p\leqslant n$. Указанное отличие связано с принципиально иным поведением ёмкости при $p>n,$ на что указывает, напр., неравенство (8.8) в монографии [5].

Стоит отметить, что классы исследуемых в работе отображений шире традиционного <<конформного>> случая $p=n.$ Наиболее изученными являются отображения с ограниченным искажением $p$-модуля. Ещё в 70-е годы минувшего столетия Ф. Герингом установлена квазиизометричность гомеоморфизмов, искажающих $p$-модуль в ограниченное число раз при $n-1<p<n$ (см. [6, теорема 3]). Поскольку квазиконформные отображения не обладают таким свойством, данный факт указывает на целесообразность отдельного исследования $p$-случая. Отметим также, что при $p>n$ гомеоморфизмы с аналогичным свойством имеют квазиизометричные обратные отображения, в то время как для прямых гомеоморфизмов этот факт, по-видимому, не установлен (см. [6, теорема 3]).

Напомним определения (см. [7], [8] и [9]). Здесь и далее $D$ – область в ${\mathbb{R}}^{n},$ $n\geqslant 2,$ $m$ – мера Лебега в ${\mathbb{R}}^{n},$ отображение $f:D\rightarrow{\mathbb{R}}^{n},$ $x=(x_{1},\ldots,x_{n}),$ $f(x)=(f_{1}(x),\ldots,f_{n}(x)),$ предполагается непрерывным. Напомним, под что семейством кривых $\Gamma$ подразумевается некоторый фиксированный набор кривых $\gamma,$ а $f(\Gamma)=\left\{f\circ\gamma|\gamma\in\Gamma\right\}.$ Всюду далее

[TABLE]

[TABLE]

$\Omega_{n}$ – объём единичного шара ${\mathbb{B}}^{n}$ в ${\mathbb{R}}^{n},$ а $\omega_{n-1}$ – площадь единичной сферы ${\mathbb{S}}^{n-1}$ в ${\mathbb{R}}^{n}.$ Для произвольных множеств $E,$ $F\subset\overline{{\mathbb{R}}^{n}}:={\mathbb{R}}^{n}\cup\{\infty\}$ через $\Gamma(E,F,D)$ в дальнейшем обозначается семейство всевозможных кривых $\gamma:[a,b]\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ соединяющих $E$ и $F$ в $D$ (т.е., $\gamma(a)\in E,$ $\gamma(b)\in F$ и $\gamma(t)\in D$ при $t\in(a,b)$). Следующие определения могут быть найдены, напр., в [10, разд. 1–6, гл. I]. Борелева функция $\rho:{\mathbb{R}}^{n}\,\rightarrow[0,\infty]$ называется допустимой для семейства $\Gamma$ кривых $\gamma$ в ${\mathbb{R}}^{n},$ если $\int\limits_{\gamma}\rho(x)\,|dx|\geqslant 1$ для всех кривых $\gamma\in\Gamma.$ В этом случае мы пишем: $\rho\in{\rm adm}\,\Gamma.$ Пусть $p\geqslant 1,$ тогда $p$* – модулем* семейства кривых $\Gamma$ называется величина $M_{p}(\Gamma)=\inf\limits_{\rho\in\,{\rm adm}\,\Gamma}\int\limits_{D}\rho^{p}(x)\ \ dm(x)\,.$ Пусть $x_{0}\in D,$ $r_{0}\,=\,{\rm dist}\,(x_{0},\partial D),$ $Q:D\rightarrow\,[0,\infty]$ – некоторая заданная измеримая по Лебегу функция. Обозначим через $S_{i}:=S(x_{0},r_{i}),$ где $0<r_{1}<r_{2}<\infty.$ Предположим, что отображение $f$ удовлетворяет для каждых $0<r_{1}<r_{2}<r_{0}={\rm dist}\,(x_{0},\partial D)$ условию

[TABLE]

выполненному для произвольной измеримой по Лебегу функции $\eta:(r_{1},r_{2})\rightarrow[0,\infty]$ такой, что $\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}}\eta(r)dr\geqslant 1,$ где $A=A(x_{0},r_{1},r_{2})$ – сферическое кольцо с центром в точке $x_{0}$ радиусов $r_{1}$ и $r_{2}.$ Тогда будем говорить, что $f$ является кольцевым отображением в точке $x_{0}\,\in\,D$ относительно $p$-модуля. В настоящей работе нами устанавливается справедливость следующего результата.

Теорема 1.  Пусть $n\geqslant 2,$ $n<p<\infty,$ $f:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ – открытое дискретное кольцевое $Q$-отображение относительно $p$-модуля в точке $x_{0}=0,$ $f(0)=0.$ Предположим, что $Q:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow[0,\,\infty]$ – локально интегрируемая функция в ${\mathbb{B}}^{n},$ удовлетворяющая условию

[TABLE]

Тогда имеет место оценка:

[TABLE]

где $c_{0}$ – некоторая положительная постоянная, зависящая только от размерности пространства $n$ и $p.$

**2. Вспомогательные результаты. Оценка верхнего предела одной функции. ** Пару $E=(A,C),$ где $A\subset{\mathbb{R}}^{n}$ – открытое множество и $C$ – непустое компактное множество, содержащееся в $A,$ будем называть конденсатором в ${\mathbb{R}}^{n}.$ Говорят также, что конденсатор $E=(A,C)$ лежит в области $D,$ если $A\subset D.$ Очевидно, что если $f:D\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ – непрерывное открытое отображение и $E=(A,C)$ – конденсатор в $D,$ то $f(E):=(f(A),f(C))$ также является конденсатором в $f(D).$

Обозначим через $C_{0}(A)$ множество всех непрерывных функций $u:A\rightarrow{\mathbb{R}}^{1}$ с компактным носителем, $W_{0}(E)=W_{0}(A,C)$ – семейство неотрицательных функций $u:A\rightarrow{\mathbb{R}}^{1}$ таких, что 1) $u\in C_{0}(A),$ 2) $u(x)\geqslant 1$ для $x\in C$ и 3) $u$ принадлежит классу $ACL.$ Также обозначим $|\nabla u|={\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\,{\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)}^{2}\right)}^{1/2}.$ При $p\geqslant 1$ величину

[TABLE]

называют $p$-ёмкостью конденсатора $E.$ При $n<p<\infty$

[TABLE]

где ${\Omega}_{n}$ - объем единичного шара в ${\mathbb{R}}^{n},$ см., напр., [5, неравенство (8.7)].

Пусть $Q:D\rightarrow[0,\infty]$ – измеримая по Лебегу функция. Тогда положим

[TABLE]

где $\mathcal{H}^{n-1}$ – $(n-1)$-мерная мера Хаусдорфа. Следующая лемма при $p\in(1,n]$ доказана в [1, лемма 1]. В случае произвольного $p>1$ её доказательство дословно повторяет рассуждения, относящиеся к случаю $p\in(1,n],$ и потому опускается.

Лемма 1. Пусть $n\geqslant 2,$ $p\geqslant 1,$ $Q:D\rightarrow[0,\infty]$ – заданная измеримая по Лебегу функция, $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ – открытое дискретное кольцевое $Q$-отображение в точке $x_{0}\in D$ относительно $p$-модуля и $E$ – конденсатор вида $E=\left(B(x_{0},r_{2}),\overline{B(x_{0},r_{1})}\right),$ $0<r_{1}<r_{2}<{\rm dist}\,(x_{0},\partial D).$ Полагаем

[TABLE]

Тогда для конденсатора $f(E)=\left(f\left(B(x_{0},r_{2})\right),f\left(\overline{B(x_{0},r_{1})}\right)\right)$ выполнено соотношение

[TABLE]

Аналог следующей леммы доказан в [1, лемма 5].

Лемма 2.   Пусть $f:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow{\mathbb{R}}^{n},$ $n\geqslant 2,$ – открытое отображение, удовлетворяющее условию $f(0)=0.$ Предположим, что существует функция $R:[0,1]\rightarrow[0,\infty),$ такая что

[TABLE]

Тогда

[TABLE]

*Доказательство.  * Полагаем $\max\limits_{|x|=r}|f(x)|=L_{f}(r).$ Покажем, что

[TABLE]

при каждом $r\in(0,1).$ Для этого зафиксируем $r_{0}\in(0,1)$ и обозначим $M:=\sup\limits_{y\in\overline{f(B(0,r_{0}))}}|y|.$ По определению точной верхней грани, найдётся последовательность $y_{k}\in f(B(0,r_{0})),$ $|y_{k}|\rightarrow M$ при $k\rightarrow\infty.$ Тогда $y_{k}=f(x_{k}),$ $x_{k}\in B(0,r_{0}).$ Так как $\overline{B(0,r_{0})}$ – компакт в ${\mathbb{B}}^{n},$ мы можем считать, что при некотором $x_{0}\in\overline{B(0,r_{0})}$ выполнено условие $x_{k}\rightarrow x_{0}$ при $k\rightarrow\infty.$ Поскольку $f$ – непрерывное отображение в ${\mathbb{B}}^{n},$ то $f(x_{k})\rightarrow f(x_{0})$ при $k\rightarrow\infty,$ так что $f(x_{0})=y_{0}.$ Таким образом, $y_{0}\in f(\overline{B(0,r_{0})}).$ Значит,

[TABLE]

Заметим, что в силу открытости отображения $f$ случай $y_{0}\in f(B(0,r_{0}))$ невозможен. В самом деле, если бы $y_{0}\in f(B(0,r_{0})),$ то тогда $y_{0}$ входило бы во множество $f(B(0,r_{0}))$ вместе с некоторой своей окрестностью $B(y_{0},\delta),$ кроме того, $y_{0}\neq 0$ ввиду открытости отображения $f.$ Представим $y_{0}$ в виде: $y_{0}=|y_{0}|\cdot\frac{y_{0}}{|y_{0}|}.$ Тогда вектор $\widetilde{y_{0}}:=(|y_{0}|+\delta/2)\cdot\frac{y_{0}}{|y_{0}|}$ имеет модуль больший, чем $y_{0}$ и всё ещё лежит в $f(B(0,r_{0})).$ Однако, последнее противоречит определению $y_{0}.$ Полученное противоречие указывает на то, что $y_{0}\not\in f(B(0,r_{0}))$ и, значит, $y_{0}\in\partial f(B(0,r_{0})).$ В частности, отсюда следует, что

[TABLE]

Поскольку $y_{0}\in\partial f(B(0,r_{0})),$ в силу открытости отображения $f$ имеем: $y_{0}\in f(S(0,r_{0})).$

Итак, $y_{0}=f(x_{0}),$ где $x_{0}\in S(0,r_{0}).$ В таком случае, ввиду соотношений (6) и (7) для всякого $x\in B(0,r_{0})$ мы получим, что

[TABLE]

так что $f(x)\in B(0,L_{f}(r_{0})).$ Включение (5) установлено.

Из соотношения (5), учитывая условие $f(0)=0,$ имеем $\Omega_{n}\,L_{f}^{n}(r)\geqslant m(f(B(0,r)))$ и, следовательно,

[TABLE]

Таким образом, учитывая неравенства (4) и (8), получаем

[TABLE]

Лемма 1 доказана. $\Box$

3. Доказательство основного результата. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим кольцо $A=A(0,\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}),$ $0<\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<1.$ Пусть $E$ – конденсатор вида $E=\left(B(0,\varepsilon_{2}),\overline{B(0,\varepsilon_{1})}\right).$ Положим

[TABLE]

где $I$ – величина, определённая в (3). Согласно [11, лемма 2.2])

[TABLE]

для фиксированной измеримой функции $Q:{\mathbb{R}}^{n}\,\rightarrow[0,\infty]$ такой, что $q_{x_{0}}(r)\neq\infty$ для п.в. $r>0,$ и любой функции $\eta:(r_{1},r_{2})\rightarrow[0,\infty]$ такой, что $\int\limits_{r_{1}}^{r_{2}}\eta(r)dr=1.$ Ввиду леммы 1 и соотношения (9) неравенство

[TABLE]

будет выполнено для произвольной измеримой по Лебегу функции $\eta:(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2})\rightarrow[0,\infty]$ такой, что $\int\limits_{\varepsilon_{1}}^{\varepsilon_{2}}\eta(r)dr\geqslant 1.$ Заметим, что функция

[TABLE]

удовлетворяет условию $\int\limits_{\varepsilon_{1}}^{\varepsilon_{2}}\eta(r)dr\geqslant 1,$ поэтому, согласно (10) мы получим, что

[TABLE]

Далее, выбирая $\varepsilon_{1}=\varepsilon$ и $\varepsilon_{2}=2\varepsilon$, получим

[TABLE]

С другой стороны, в силу неравенства (2) при каждом фиксированном $\varepsilon>r>0$ мы имеем оценку:

[TABLE]

[TABLE]

Соотношение (12) имеет место при любом $r\in(0,\varepsilon),$ поэтому можно перейти к пределу при $r\rightarrow 0.$ В таком случае, мы получим:

[TABLE]

где $c:=n^{1/(1-p)}{\Omega_{n}}^{p/(n(1-p))}\cdot(p-1)/(p-n).$ Комбинируя (11) и (13), мы получаем, что

[TABLE]

где $c_{1}$ - положительная постоянная зависящая только от $n$ и $p.$

Положим $L_{f}(\varepsilon)=\max\limits_{|x|=\varepsilon}|f(x)|.$ Используя соотношение (8), мы получим, что

[TABLE]

Наконец, комбинируя (14) и (15), имеем:

[TABLE]

где $c_{0}>0$ – некоторая постоянная, зависящая только от $n$ и $p.$ Теорема доказана. $\Box$

Из теоремы 1 получаем следующее (даже более общее) утверждение.

Следствие 1.  Пусть $D$ – область в ${\mathbb{R}}^{n},$ $n\geqslant 2,$ $n<p<\infty,$ $f:D\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ – открытое дискретное кольцевое $Q$-отображение относительно $p$-модуля в точке $x_{0},$ $x_{0}\in D.$ Предположим, что $Q:D\rightarrow[0,\,\infty]$ – локально интегрируемая функция, удовлетворяющая условию

[TABLE]

Тогда имеет место оценка:

[TABLE]

где $c_{0}$ – некоторая положительная постоянная, зависящая от точки $x_{0},$ размерности пространства $n$ и числа $p.$

Доказательство следствия 1 легко вытекает из теоремы 1. В самом деле, если имеется кольцевое $Q$-отображение $f:D\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ в точке $x_{0}\in D,$ то зафиксируем $r>0$ так, чтобы $\overline{B(x_{0},r)}\subset D.$ Заметим, что вспомогательное преобразование $\widetilde{f}(y):=f(ry+x_{0})-f(x_{0})$ также является $\widetilde{Q}$-кольцевым отображением $f:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ относительно $p$-модуля в точке 0, где $\widetilde{Q}(y)=r^{n-p}\cdot Q(ry+x_{0})$ и, кроме того, $f(0)=0$ (см., напр., [10, теорема 8.2] по поводу изменения $p$-модуля при растяжениях). Кроме того, заметим, что условие (16) выполняется для функции $\widetilde{Q}$ при $\widetilde{Q}_{0}$ вместо $Q_{0},$ где $\widetilde{Q}_{0}=r^{n-p}\cdot Q_{0}.$ Из этой теоремы следует, что

[TABLE]

Если в последнем соотношении перейти к переменной $x:=ry+x_{0},$ то оно запишется в виде (17), что и требовалось установить. $\Box$

В качестве ещё одного полезного следствия из теоремы 1 имеем следующее утверждение.

Следствие 2. Предположим, что в условиях теоремы 1 выполнено равенство $Q_{0}=0.$ Тогда $\limsup\limits_{x\rightarrow 0}\frac{|f(x)|}{|x|}=\infty.$

*Доказательство.  * Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 1, на основании соотношения вида (8), будем иметь:

[TABLE]

где, как и ранее, $L_{f}(r):=\sup\limits_{x\in S(0,r)}|f(x)|.$ Повторяя также рассуждения, приведённые при доказательстве теоремы 1, мы получим соотношение вида (14), из которого следует, что

[TABLE]

Тогда из (18) и (19) получаем:

[TABLE]

что и требовалось установить. $\Box$

Пример. Следующий пример указывает на содержательность условий и заключения следствия 1. При фиксированном $\theta\in(0,1)$ рассмотрим отображение

[TABLE]

Заметим, что $|f(x)|/|x|\rightarrow\infty$ при $x\rightarrow 0.$ Покажем, что $f$ – кольцевое $Q$-отображение в нуле. Для этого воспользуемся [12, теорема 2.2]. Очевидно, $f\in C^{1}({\mathbb{B}}^{n}\setminus\{0\}),$ так что $f$ дифференцируемо почти всюду в ${\mathbb{B}}^{n},$ принадлежит классу $W^{1,p}_{loc}({\mathbb{B}}^{n}\setminus\{0\})$ и обладает $N$-свойством. По тем же причинам отображение $f^{\,-1}(y)=\frac{|y|^{1/\theta}}{|y|}y$ также принадлежит классу $W^{1,p}_{loc}({\mathbb{B}}^{n}\setminus\{0\})$ и обладает $N$-свойством. По [12, теорема 2.2] отображение $f$ является кольцевым $Q$-отображением в каждой точке $x_{0}\in{\mathbb{B}}^{n}$ при

[TABLE]

где $l\left(f^{\,\prime}(x)\right)\,=\,\,\,\min\limits_{h\in{\mathbb{R}}^{n}\setminus\{0\}}\frac{|f^{\,\prime}(x)h|}{|h|}$ и $J(x,f)={\rm det}\,f^{\,\prime}(x).$ Подсчитаем $K_{I,p}(x,f),$ для чего воспользуемся предложением 5.1 в [13]. В обозначениях этого предложения

[TABLE]

Заметим, что $l\left(f^{\,\prime}(x)\right)=\min\{\lambda_{r}(x),\lambda_{\tau}(x)\}$ и $|J(x,f)|=\lambda^{n-1}_{\tau}(x)\cdot\lambda_{r}(x)$ (см. [13, разд. 5.1]). Очевидно, $\lambda_{r}(x)<\lambda_{\tau}(x)$ и

[TABLE]

Вычислим $Q_{0}$ по формуле (1). По теореме Фубини будем иметь:

[TABLE]

[TABLE]

где $C:=\frac{\omega_{n-1}\theta^{1-p}}{(n-p)(\theta-1)+n}.$ Учитывая полученное выше, имеем:

[TABLE]

Ещё одно утверждение может быть получено в случае, если $Q\in L_{loc}^{\alpha}({\mathbb{B}}^{n}).$

Теорема 2.  Пусть $n\geqslant 2,$ $n<p<\infty,$ $f:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ – открытое дискретное кольцевое $Q$-отображение относительно $p$-модуля в нуле, $f(0)=0.$ Предположим, что $Q:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow[0,\,\infty]$ – локально интегрируемая функция в ${\mathbb{B}}^{n}$ в степени $\alpha>1.$ Пусть $K\subset{\mathbb{B}}^{n}$ – произвольный компакт, удовлетворяющий условию $0\in{\rm Int}\,K.$ Тогда имеет место оценка:

[TABLE]

где $C$ – некоторая положительная постоянная, зависящая только от размерности пространства $n,$ $p,$ $\alpha$ и компакта $K.$

*Доказательство.  * Выберем произвольным образом компакт $K\subset{\mathbb{B}}^{n},$ удовлетворяющий условию $0\in{\rm Int}\,K.$ Поскольку $Q\in L_{loc}^{\alpha}({\mathbb{B}}^{n}),$ найдётся постоянная $\overline{C}=\overline{C}(K)<\infty$ такая, что $\int\limits_{K}Q^{\alpha}(x)\,dm(x)\leqslant\overline{C}(K).$ Повторяя теперь рассуждения, проведённые при доказательстве теоремы 1, мы вновь получаем соотношения (11) и (13). Кроме того, поскольку по выбору компакта $K$ точка 0 является его внутренней точкой, при достаточно малых $\varepsilon>0$ кольцо $A(0,\varepsilon,2\varepsilon)$ лежит в $K.$

Оценим теперь интеграл справа в (11) сверху, используя неравенство Гёльдера с показателями $\alpha$ и $\alpha^{\,\prime}=\frac{\alpha}{\alpha-1}>1,$ $1/{\alpha}+1/{\alpha^{\,\prime}}=1.$ Учитывая сказанное выше, будем иметь:

[TABLE]

где $C_{1}=C_{1}(K)$ – некоторая новая постоянная, зависящая только от функции $Q,$ компакта $K,$ $n$ и степени $\alpha.$ Применяя (11) и (13), мы будем иметь:

[TABLE]

где $C_{2}$ – некоторая положительная постоянная, зависящая только от функции $Q,$ компакта $K,$ $n$ и степени $\alpha.$ Из (20) вытекает, что

[TABLE]

Полагая $L_{f}(\varepsilon)=\max\limits_{|x|=\varepsilon}|f(x)|$ и используя соотношения (8) и (21), мы получим, что

[TABLE]

[TABLE]

Полагая $C:=C_{2}/2^{1+\frac{n}{\alpha(p-n)}},$ получаем необходимое заключение. $\Box$

Заметим, что от условия $Q\in L^{\alpha}_{loc}({\mathbb{B}}^{n}),$ участвующего в теореме 1, вообще говоря, нельзя отказаться, что составляет содержательную часть следующего утверждения.

Теорема 3. Для произвольного $\alpha>1$ найдётся кольцевой $Q$-гомеоморфизм $f:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow{\mathbb{B}}^{n}$ в точке $x_{0}=0$ относительно $p$-модуля, $p>n,$ такой что $Q\not\in L^{\alpha}_{loc}({\mathbb{B}}^{n})$ и, при этом,

[TABLE]

*Доказательство.  *Зафиксируем произвольным образом $\alpha>1,$ $\varepsilon>0$ и $p>n.$ Положим

[TABLE]

Из определения вытекает, что $f$ – гомеоморфизм единичного круга в себя, $f(0)=0,$ кроме того, $f^{-1}(y)=\frac{y}{|y|}\cdot|y|^{1/\beta},$ где $\beta=\frac{n}{\alpha(p-n)}+\varepsilon+1.$ Отсюда следует, что $f,f^{-1}\in C^{1}({\mathbb{B}}^{n}\setminus\{0\});$ в частности, $f$ дифференцируемо почти всюду, обладает $N$ и $N^{\,-1}$-свойствами Лузина и, кроме того, $f^{\,-1}$ абсолютно непрерывно на $p$-почти всех кривых. Тогда по [12, теорема 1.1] отображение $f$ является кольцевым $Q$-отображением в каждой точке $x_{0}\in{\mathbb{B}}^{n}$ при

[TABLE]

где $l\left(f^{\,\prime}(x)\right)\,=\,\,\,\min\limits_{h\in{\mathbb{R}}^{n}\setminus\{0\}}\frac{|f^{\,\prime}(x)h|}{|h|}$ и $J(x,f)={\rm det}\,f^{\,\prime}(x).$ Подсчитаем $K_{I,p}(x,f),$ для чего воспользуемся предложением 5.1 в [13]. В обозначениях этого предложения

[TABLE]

[TABLE]

Заметим, что $l\left(f^{\,\prime}(x)\right)=\min\{\lambda_{r}(x),\lambda_{\tau}(x)\}$ и $|J(x,f)|=\lambda^{n-1}_{\tau}(x)\cdot\lambda_{r}(x)$ (см. [13, разд. 5.1]). Очевидно, $\lambda_{\tau}(x)<\lambda_{r}(x),$ поэтому

[TABLE]

[TABLE]

где $C=\frac{n}{\alpha(p-n)}+\varepsilon+1.$ Пусть $K$ – произвольный компакт в ${\mathbb{B}}^{n}$ такой, что $B(0,\varepsilon_{0})\subset K$ при некотором $0<\varepsilon_{0}<1.$ Тогда по теореме Фубини

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

так как показатель степени при $r$ меньше $-1.$ Очевидно также, что соотношение (22) имеет место, т.е., заключение теоремы 1 не выполнено. Причиной последнего является расходимость интеграла слева в (24). $\Box$

Список литературы

• [1] Салимов Р.Р. и Севостьянов Е.А. Аналоги леммы Икома-Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с неограниченной характеристикой // Укр. матем. ж. – 2011. – 63, № 10. – С. 1368–1380.
• [2] Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya Math. J. – 1965. – 25. – P. 175–203.
• [3] Салимов Р.Р. О кольцевых $Q$-отображениях относительно неконформного модуля // Дальневост. матем. журн. –

2014. – 14, № 2. – С. 257–-269.

• [4] Салимов Р.Р. и Севостьянов Е.А. О некоторых свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий // Мат. Заметки. – 2017. – Т. 101, № 4. – С. 594–610.
• [5]

Maz’ya V., Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces // Contemp. Math. – 2003. – 338. – P. 307–-340.

• [6] Gehring F. Lipschitz mappings and $p$-capacity of rings in $n$-space // Ann. of Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175–193.
• [7] Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov  E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New York: Springer Science

• Business Media, LLC, 2009.

• [8] Gutlyanskii V.Ya., Ryazanov V.I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation: A Geometric Approach. – New York etc.: Springer, 2012.
• [9] Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Український математичний вiсник. – 2015. – V. 12, № 1. – С. 27–-66.
• [10] Väisälä J. Lectures on $n$–Dimensional Quasiconformal Mappings. – Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
• [11] Салимов Р.Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. матем. журн. – 2012. – 53, № 4. – С. 920–930.
• [12] Salimov R.R. and Sevost’yanov E.A. The Poletskii and Väisälä inequalities for the mappings with $(p,q)$-distortion // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2014. – V. 59, no. 2. – P. 217–231.
• [13] Ильютко Д.П., Севостьянов Е.А. Об открытых дискретных отображениях с неограниченной характеристикой на римановых многообразиях // Мат. Сборник. – 2016. – Т. 207, № 4. – С. 65–112.
• [14]

КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Руслан Радикович Салимов

Институт математики НАН Украины

ул. Терещенковская, д. 3

г. Киев-4, Украина, 01 601

тел. +38 095 630 85 92 (моб.), e-mail: ruslan.salimov1@gmail.com

Евгений Александрович Севостьянов, Антонина Александровна Маркиш

Житомирский государственный университет им. И. Франко

ул. Большая Бердичевская, 40

г. Житомир, Украина, 10 008

тел. +38 066 959 50 34 (моб.), e-mail: esevostyanov2009@gmail.com, tonya@bible.com.ua