Les isomorphismes infinit\'esimaux des tissus de codimension 1

TL;DR

This paper classifies the Lie algebras of infinitesimal symmetries of codimension 1 webs on manifolds, showing they are direct products of specific Lie algebras and providing bounds and examples.

Contribution

It provides a complete description of the possible Lie algebras of infinitesimal diffeomorphisms for these webs, including their structure and limitations.

Findings

Lie algebras are direct products of rak{sl}(2), non-commutative 2D, or commutative algebras

Bound on the number of direct factors in the Lie algebra

Constructed examples illustrating the classification

Abstract

We study local ($n+1$)-webs of codimension 1 on a manifold of dimension $n.$ We give a complete description of their possible Lie algebras of infinitesimal diffeomorphisms. More precisely we show that these Lie algebras are direct products of sub-algebras which are isomorphic to $\frak{sl}(2),$ to the non-commutative 2-dimensional Lie algebra or commutative. We give also a precise limitation of the number of such direct factors and examples.

Equations

$$W=(x_1,\dots ,x_n,f(x_1,\dots ,x_n)),$$

$$n\ge 4S+2N+C-1.$$

$$\overrightarrow{X}.x_i={\varphi }_i(x_i),\overrightarrow{X}.f(x_1,\dots ,x_n)=\varphi (f(x_1,\dots ,x_n)),$$

$$\overrightarrow{X}=\sum _{i=1}^{n}X(x_i)\partial x_i.$$

$$({\overrightarrow{X}}^1,\dots ,{\overrightarrow{X}}^m)$$

$$[{\overrightarrow{X}}^r,{\overrightarrow{X}}^s]=\sum _{u=1}^m{\lambda }_u^{rs}{\overrightarrow{X}}^u$$

$${\overrightarrow{X}}_i^j=X_i^j(x_i)\partial x_i,$$

$$f(x_1,\dots ,x_n)=x_1+\cdots +x_n+\sum _{i<j}{x}_i{x}_j{a}_{ij}(x_1,\dots ,x_n)$$

$$({\overrightarrow{X}}^1(0),\dots ,{\overrightarrow{X}}^m(0))$$

$$[g(t),h(t)]=g(t)h^{\prime }(t)-h(t)g^{\prime }(t).$$

$$[{\overrightarrow{X}}^r,{\overrightarrow{X}}^s]=\sum _{u=1}^m{\lambda }_u^{rs}{\overrightarrow{X}}^u.$$

$$[{\overrightarrow{X}}_i^r,{\overrightarrow{X}}_i^s]=\sum _{u=1}^m{\lambda }_u^{rs}{\overrightarrow{X}}_i^u$$

$$[X_i^r,X_i^s]=\sum _{u=1}^m{\lambda }_u^{rs}{X}_i^u.$$

$$o(g_1)<\cdots <o(g_N).$$

$$[x^r,x^s]=(s-r)x^{r+s-1}.$$

$$M:=\left|\matrix{S&0\cr 0&A\cr}\right|$$

$$S:=\left|\matrix{S_{1}&0&\cdot&\cdot&0\cr 0&S_{2}&0&\cdot&0\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot\cr 0&\cdot&\cdot&0&S_{r}\cr}\right|,$$

$$\left|\matrix{1&\cdot&\cdot&\cdot&1\cr x_{r(i)+1}+c_{r(i)+1}&\cdot&\cdot&\cdot&x_{r(i)+p(i)}+c_{r(i)+p(i)}\cr(x_{r(i)+1}+c_{r(i)+1})^{2}&\cdot&\cdot&\cdot&(x_{r(i)+p(i)}+c_{r(i)+p(i)})^{2}\cr}\right|$$

$$X_1^1=1,X_1^2=x_1,X_1^3=(x_1{)}^2,X_1^4=\cdots =X_1^n=0.$$

$$[{\overrightarrow{X}}^2,{\overrightarrow{X}}^1]=-{\overrightarrow{X}}^1,$$

$$[{\overrightarrow{X}}^1,{\overrightarrow{X}}^3]=2{\overrightarrow{X}}^2,$$

$$[{\overrightarrow{X}}^2,{\overrightarrow{X}}^3]={\overrightarrow{X}}^3.$$

$$\left(\matrix{b/2&c\cr-a&-b/2\cr}\right)\ ;$$

$$[X_i^2,X_i^1]=-X_i^1,[X_i^2,X_i^3]=X_i^3,[X_i^3,X_i^2]=2X_i^2.$$

$$X_i^1=1,X_i^2=x_i+c_i,X_i^3=(x_i+c_i{)}^2.$$

$$\left|\matrix{1&\cdots&1&0&\cdots&0\cr x_{1}+c_{1}&\cdots&x_{p}+c_{p}&0&\cdots&0\cr(x_{1}+c_{1})^{2}&\cdots&(x_{n}+c_{p})^{2}&0&\cdots&0\cr}\right|,$$

$$M:=\left|\matrix{S_{1}&0\cr 0&M^{\prime}\cr}\right|,$$

$$S_{1}=\left|\matrix{1&\cdot&\cdot&\cdot&1\cr x_{1}+c_{1}&\cdot&\cdot&\cdot&x_{p}+c_{p}\cr(x_{1}+c_{1})^{2}&\cdot&\cdot&\cdot&(x_{p}+c_{p})^{2}\cr}\right|,$$

$$M:=\left|\matrix{N&B\cr 0&C\cr}\right|$$

Full text

Keywords: webs

1 Introduction.

Dans ce texte toutes les fonctions que nous introduirons sont supposées analytiques réelles. Nos résultats sont également vrais dans le cas complexe. La notation $\partial x$ est utilisée pour simplifier ${\partial}\over{\partial x}.$

Tous les résultats de ce travail sont locaux : on travaille au voisinage d’un point de $\mathbb{R}^{n}$ que nous appelons l’origine.

Un $d$-tissu de codimension 1 est une famille de $d$ feuilletages, de codimension 1, $n$ à $n$ transverses. Il est localement donné par ses $d$ intégrales premières $f_{1},f_{2},\dots,f_{d}.$ Un tel tissu local sera noté $(f_{1},f_{2},\dots,f_{d}).$ Il est dit parallélisable si on peut choisir des coordonnées locales $x_{1},\dots,x_{n}$ dans lesquelles toutes les intégrales $f_{i}$ sont des fonctions linéaires. Si $d$ est inférieur ou égal à $n$ le tissu est toujours parallélisable ; par contre la parallélisabilité n’est plus automatique si $d$ est au moins $n+1.$ De fait nous allons travailler ici dans le cas $d=n+1.$ Dans ce cas nous pouvons supposer les coordonnées choisies pour que notre tissu soit

[TABLE]

où $f$ est une fonction dont toutes les dérivées partielles $f_{x_{i}}$ sont non-nulles.

Un isomorphisme infinitésimal d’un tel tissu est un champ de vecteurs dont le flot préserve chacun des $n+1$ feuilletages du tissu.

Elie Cartan a étudié le cas $n=2,$ voir [C]. Il a montré que l’ensemble des isomorphismes infinitésimaux d’un 3-tissu du plan forme une algèbre de Lie de champs de vecteurs de dimension 0, 1 ou 3 ; jamais de dimension 2. De plus le cas où la dimension est 3 est celui des tissus parallélisables.

Les cas où le tissu est parallélisable est celui où il est isomorphe à $(x_{1},\dots,x_{n},x_{1}+\cdots+x_{n}).$ Dans ce cas on voit facilement que l’algèbre de ses isomorphismes infinitésimaux est de dimension $n+1$ et isomorphe à l’ensemble des translations et homothéties infinitésimales.

Dans ce travail nous étudions le cas des tissus

[TABLE]

non-parallélisables. Nous déterminons les types d’algèbres de Lie d’iso-morphismes infinitésimaux possibles pour de tels tissus.

On note $\mathfrak{n}$ l’algèbre de Lie non-commutative de dimension 2. Notre résultat principal est le suivant.

Théorème 1.1

L’ensemble des isomorphismes infinitésimaux d’un $(n+1)$-tissu de codimension 1 en dimension $n,$ non parallélisable, est une algèbre de Lie de dimension inférieure ou égale à $n$ et qui est isomorphe à un produit direct de sous-algèbres isomorphes soit à $\mathfrak{sl}(2),$ soit à $\mathfrak{n},$ soit commutative. Si cette algèbre est commutative, elle est de dimension strictement plus petite que $n.$ On a aussi la contrainte suivante : si on a $S$ facteurs isomorphes à $\mathfrak{sl}(2)$ avec $S>1,$ $N$ facteurs isomorphes à $\mathfrak{n}$ et un facteur commutatif de dimension $C$ on a

[TABLE]

Définition 1.2

On note $\mathfrak{g}$ l’algèbre de Lie des isomorphismes infinitésimaux du tissu $W.$

La preuve du théorème précédent utilise la stratégie suivante.

Les isomorphismes infinitésimaux du tissu $W$ sont les champs de vecteurs $\overrightarrow{X}$ tels que

[TABLE]

pour tout $i$ variant de 1 à $n$ et où les $\phi_{i}$ et $\phi$ sont des fonctions d’une variable. Si l’on ne retient que les premières relations cela impose que $\overrightarrow{X}$ est de la forme

[TABLE]

Autrement dit les composantes $X_{i}$ sont des fonctions de la seule variable $x_{i}.$

Nous choisissons une base de $\mathfrak{g}$ de la forme

[TABLE]

avec

[TABLE]

où les $\lambda^{rs}_{u}$ sont des constantes (les constantes de structure).

On note

[TABLE]

Ce champ de vecteurs ne dépend que de la variable $x_{i}$ et $\overrightarrow{X}^{1}_{i},$ …, $\overrightarrow{X}^{m}_{i}$ engendrent une algèbre de Lie, de dimension finie, de champs de vecteurs de la droite.

Le point crucial est le fait que la dimension de telles algèbres de Lie est au plus 3. Si c’est 3, elle est isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)\ ;$ si c’est 2, elle est isomorphe à $\mathfrak{n}.$

Le plan de notre travail est le suivant.

Dans la prochaine section nous montrons qu’un tissu de codimension 1 est parallélisable si et seulement s’il admet un isomorphisme infinitésimal non trivial qui s’annule en un point. On en déduit que, dans le cas non parallélisable, la dimension de $\mathfrak{g}$ est inférieure ou égale à $n$. Dans la section suivante nous précisons le choix de l’origine. Dans la section qui suit nous montrons que l’on peut choisir les coordonnées locales pour que les composantes des isomorphismes infinitésimaux soient des polynômes de degré au plus 2.

Ensuite nous travaillons en deux temps. Dans la première étape nous décrivons toutes les algèbres de Lie de dimension inférieure à $n$ formées d’isomorphismes infinitésimaux du $n$-tissu trivial $(x_{1},\dots,x_{n}).$ Elles sont isomorphes à un produit direct de sous-algèbres isomorphes soit à $\mathfrak{sl}(2),$ soit à $\mathfrak{n},$ soit commutative.

Dans la deuxième étape, nous précisons dans quels cas il existe une fonction $f(x_{1},\dots,x_{n})$ tels que $(x_{1},\dots,x_{n},f(x_{1},\dots,x_{n}))$ soit un tissu ayant ce type d’algèbres d’isomorphismes infinitésimaux.

Cela donnera la preuve de notre théorème.

Dans notre dernière section nous donnons la classification complète, à isomorphisme près, des 4-tissus de codimension 1 en dimension 3 qui sont non-parallélisables et qui admettent une algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux non-nulle.

Il est probable que la méthode utilisée dans ce texte pour démontrer notre théorème principal s’étende aux cas des $(n+1)$-tissus de codimension $r$ en dimension $nr,$ au moins pour $r=2.$

2 Conditions pour qu’un tissu de codimension 1 soit parallélisable.

Proposition 2.1

Si le tissu $W$ admet un isomorphisme infinitésimal qui s’annule à l’origine, mais qui n’est pas identiquement nul, alors il est parallélisable.

Pour prouver cette proposition on rappelle la notion de forme normale pour un tissu $W$ (voir [DJ]) : après des changements de variables ad hoc la fonction $f$ a la forme normale locale

[TABLE]

avec $\sum_{i<j}a_{ij}(0,\dots,0)=0.$ De plus cette forme normale est unique à une homothétie près $(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n}).$

On voit qu’il n’existe une homothétie non triviale qui laisse $f$ invariante que si la partie non linéaire de la forme normale de $f$ est nulle. S’il existe un isomorphisme infinitésimal non trivial qui fixe l’origine, son flot ne peut être formé que d’homothéties ; cela prouve que la forme normale de $f$ est $x_{1}+\cdots+x_{n}$ et donc que $W$ est parallélisable, achevant ainsi la preuve de la proposition précédente.

Corollaire 2.2

Si $W$ est non-parallélisable $\mathfrak{g},$ son algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux, est au plus de dimension $n.$

Preuve. Raisonnant par l’absurde on suppose que $\mathfrak{g}$ est de dimension $m$ avec $m>n$ et choisissons une de ses bases $(\overrightarrow{X}^{1},\dots,\overrightarrow{X}^{m}).$ Les valeurs

[TABLE]

de ces champs à l’origine donnent $m$ champs de vecteurs constants. Comme on a plus de champs que de vecteurs, on voit qu’il existe une combinaison linéaire non triviale des $\overrightarrow{X}^{j}$ qui s’annule à l’origine. Le résultat découle alors de la proposition précédente.

Soit $P$ un point de notre domaine de travail. L’orbite de $P$ pour $\mathfrak{g}$ est l’ensemble des points que l’on peut joindre à $P$ en suivant des trajectoires de champs de vecteurs de $\mathfrak{g}.$ La proposition précédente a aussi le corollaire suivant.

Corollaire 2.3

Si $W$ est non-parallélisable, ces orbites forment un feuilletage (régulier).

Définition 2.4

On note $\cal G$ ce feuilletage.

3 Choix de l’origine.

On considère un $(n+1)$-tissu $\cal W$, de codimension 1, non-parallélisable sur un ouvert de $\mathbb{R}^{n}.$ On note ${\cal F}_{i},$ pour $i$ variant de 1 à $n+1,$ les feuilletages qui le composent. On suppose qu’il admet une algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux $\mathfrak{g}$ de dimension $m.$ Etudions le feuilletage associé $\cal G.$

Choisissons un $i$ particulier et des coordonnées locales $x_{1},$ …, $x_{n}$ pour que le feuilletage ${\cal F}_{i}$ ait l’intégrale première $x_{1}.$ Si $\overrightarrow{X}=\sum_{i}X_{i}\partial x_{i}$ est dans $\mathfrak{g}$ alors sa première composante $X_{1}$ n’est fonction que de la variable $x_{1}.$ On en déduit que l’on a trois cas. Ou bien cette composante est identiquement nulle et les trajectoires de $\overrightarrow{X}$ sont incluses dans les feuilles de ${\cal F}_{i}.$ Ou bien cette composante est partout non-nulle et les trajectoires de $\overrightarrow{X}$ sont transverses à toutes les feuilles de ${\cal F}_{i}.$ Ou bien cette composante est nulle en un point mais non-nulle ailleurs et les trajectoires de $\overrightarrow{X}$ sont transverses à toutes les feuilles de ${\cal F}_{i}$ sauf celle qui contient ce point.

On en déduit qu’il y a trois types de feuilles de $\cal G$ au voisinage de l’origine. Soit elles sont toutes incluses dans les feuilles de ${\cal F}_{i}.$ Soit elles sont toutes transverses aux feuilles de ${\cal F}_{i}.$ Soit elles sont toutes transverses à toutes les feuilles de ${\cal F}_{i}$ sauf à un certain nombre de feuilles isolées.

Nous choisissons notre origine hors de ces feuilles isolées pour les différents feuilletages ${\cal F}_{i},$ $i$ variant de 1 à $n+1.$

Remarque 3.1

Avec un tel choix de notre origine on peut supposer que, pour tout $i,$ ou bien les feuilles de $\cal G$ sont transverses à toutes les feuilles de ${\cal F}_{i}$, ou bien elles sont toutes incluses dans les feuilles de ce feuilletage.

Notons que, si $\mathfrak{g}$ est de dimension $m,$ les feuilles de $\cal G$ ne peuvent être incluses que dans les feuilles de, au plus, $n-m$ feuilletages du tissu.

4 On peut supposer que les composantes de la base de $\mathfrak{g}$ sont polynomiales.

On considère le tissu $W$ de la section précédente et l’algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ de ses isomorphismes infinitésimaux.

Nous utilisons les notations de l’introduction.

Définition 4.1

On notera $M$ la matrice de fonctions dont la i-ème colonne est formée des $X^{j}_{i}(x_{i}),$ $j$ variant de 1 à $m$.

Le corollaire 2.3 peut se traduire de la façon suivante.

Lemme 4.2

La matrice $M$ est une matrice de rang maximum à $n$ colonnes et $m$ lignes avec $m\leq n.$

Le résultat essentiel de cette section est le suivant.

Proposition 4.3

Quitte à faire des changements de variables $x_{i}\mapsto g_{i}(x_{i})$ ad hoc, on peut supposer que $M$ a tous ses coefficients polynomiaux de degré au plus 2. De plus les colonnes qui ne sont pas identiquement nulles contiennent toutes au moins un coefficient égal à 1.

Pour prouver cette proposition on commence par remarquer que l’on peut faire des opérations de lignes dans $M\ ;$ cela revient à modifier la base de $\mathfrak{g}.$ On peut aussi permuter des colonnes ; cela revient à permuter les variables. Par contre on ne peut pas faire des opérations de colonnes arbitraires.

Pour deux fonctions $g(t)$ et $h(t)$ de l’unique variable $t$, on note

[TABLE]

Cela définit un crochet de Lie sur les fonctions différentiables d’une seule variable : ce n’est qu’une autre façon d’écrire le crochet de Lie des deux champs $g(t)\partial t$ et $h(t)\partial t.$ On notera que deux fonctions $k(t)$ et $l(t)$ commutent pour ce crochet (i.e. $[k(t),l(t)]=0$) si et seulement si l’une est égale à l’autre multipliée par une constante.

On rappelle les relations

[TABLE]

Elles ont comme corollaire les relations

[TABLE]

pour tout $i$ qui, avec le crochet de fonctions d’une variable défini ci-dessus, deviennent, plus simplement,

[TABLE]

Définition 4.4

On note $\mathfrak{g}_{i}$ l’algèbre de Lie de champs de la droite engendrée par $\overrightarrow{X}_{i}^{j}$, $j$ variant de 1 à $m.$

Par la suite $\mathfrak{g}_{i}$ pourra être vue soit comme une algèbre de Lie de champs de vecteurs de la droite soit comme une algèbre de Lie de fonctions d’une variable.

Rappelons le résultat classique suivant.

Lemme 4.5

Les sous-algèbres de Lie de dimensions finies de l’espace des champs de vecteurs de la droite sont de dimension 0, 1, 2 ou 3. Après un bon choix de coordonnée, celles qui contiennent un champ non nul au voisinage de l’origine, sont des sous-algèbres de l’algèbre des champs polynomiaux de degré deux à une variable.

On peut redémontrer ce lemme comme suit. On considère une base $(g_{1}(x)\partial x,\dots,g_{N}(x)\partial x)$ de notre algèbre. On note $o(g)$ l’ordre de $g(x)\ ;$ c’est dire que le développement de Taylor de $g$ en 0 est de la forme $ax^{o(g)}+bx^{o(g)+1}+\cdots$ avec $a$ non nul. Quitte à modifier notre base par des transformations linéaires, on peut supposer

[TABLE]

Or pour le crochet des fonctions d’une variable défini plus haut, on la formule évidente

[TABLE]

Cette formule montre que, pour $N>1,$ $g_{N-1}$ est d’ordre au plus 1. le premier résultat en découle. Enfin s’il y a un champ non nul alors $o(g_{1})=0$ et un bon changement de variables nous ramène à $g_{1}=1\ ;$ ce qui permet d’achever la preuve de notre lemme.

Il suffit d’appliquer ce dernier lemme pour chaque variable $x_{i}$ pour achever la preuve de la proposition 4.3.

5 Cas où $M$ a des coefficients de degré deux.

Dans cette section nous montrons le résultat suivant.

Proposition 5.1

On suppose que la matrice $M$ a au moins un coefficient polynomial de degré deux. Quitte à faire des opérations de lignes et permuter des colonnes, elle a la forme par blocs

[TABLE]

où $A$ est une matrice à coefficients affines et $S$ est une matrice diagonale par blocs du type

[TABLE]

où chaque bloc $S_{i}$ est de la forme

[TABLE]

où les $c_{j}$ sont des constantes et $p(i)$ est supérieur ou égal à 3.

Sous l’hypothèse de cette proposition, quitte à permuter les variables, on peut supposer que $\mathfrak{g}_{1}$ est de dimension 3. C’est donc l’algèbre des polynômes de degré 2 en $x_{1}.$

En faisant des opérations de lignes sur $M$ on peut supposer

[TABLE]

On en déduit les 3 relations

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Remarque 5.2

On retrouve là le résultat classique suivant : l’algèbre des polynômes de degré 2 est isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ ; l’isomorphisme est celui qui associe au polynôme $a+bx+cx^{2}$ la matrice

[TABLE]

de plus $(x^{2},x,1)$ est, à multiplication par des constantes près, une base de Chevalley de cette algèbre.

Ainsi dans chaque colonne ($i$ variant de 2 à $n$) on a

[TABLE]

On a alors deux cas. Ou bien $(X_{i}^{1},X_{i}^{2},X_{i}^{3})$ forme une base “de Chevalley” d’une algèbre de Lie isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ (pour le crochet des fonctions d’une seule variable) ou bien $X_{i}^{1},$ $X_{i}^{2}$ et $X_{i}^{3}$ sont tous les trois nuls, car on a les constantes de structure d’une algèbre de Lie semi-simple. Supposons que pour un indice $i>1,$ on soit dans le premier cas. Un calcul simple montre alors que $X_{i}^{1}$ et $X_{i}^{3}$ ne peuvent être simultanément nuls à l’origine. Si $X_{i}^{1}$ est non nul on peut faire un changement de la variable $x_{i}$ pour avoir $X_{i}^{1}=1$ et l’on en déduit l’existence d’une constante $c_{i}$ telle que l’on ait

[TABLE]

Rappelons maintenant que la matrice $M(0)$ est de rang maximum. Alors ses trois premières lignes doivent être indépendantes. Cela implique que l’on a au moins 2 colonnes, autres que la première, qui sont du type précédent. Quitte à permuter les colonnes nous supposerons que ce sont les trois premières. Alors par des opérations de ligne on peut se ramener au cas où il existe $p>2$ tel que les $p$ premières colonnes soient du type précédent.

Ainsi nous avons montré que l’on peut supposer que la sous-matrice de $M$ formée par ses trois premières lignes a la forme

[TABLE]

avec $p\geq 3$ et des constantes $c_{i}$ telles que $c_{1},$ $c_{2}$ et $c_{3}$ sont deux à deux différentes.

Montrons maintenant que la sous-matrice de $M$ obtenue en lui enlevant les trois premières lignes et les $n-p$ dernières colonnes est nulle.

On sait déjà que la première colonne de $M$ a tous ses coeficients, autres que les trois premiers, nuls. Etudions la deuxième colonne de $M.$ Comme ses coefficients $X^{j}_{2}$ doivent satisfaire les mêmes relations de commutations, vis à vis du crochet de Lie, que les $X_{1}^{j},$ on en déduit que les $X_{2}^{j}$ pour $j>3$ doivent commuter avec $1,$ $x_{2}+c_{2}$ et $(x_{2}+c_{2})^{2}$ : on en tire la nullité de tous ces coefficients. On recommence ce raisonnement dans chacune des $p$ premières colonnes pour prouver la nullité de notre sous-matrice

Par les calculs précédents on s’est ramené au cas

[TABLE]

avec

[TABLE]

où $M^{\prime}$ est une matrice à coefficients polynomiaux de degré au plus deux.

Si $M^{\prime}$ est à coefficients affines nous avons prouvé notre proposition. Si $M^{\prime}$ a des coefficients de degré deux, on recommence la procédure précédente en remplaçant $M$ par $M^{\prime}$ : cela fait apparaitre un second bloc $S_{2}$ et nous ramène au cas d’une matrice $M$ de taille strictement plus petite. Ce processus prouve notre proposition en un nombre fini d’étapes.

On a le corollaire évident.

Corollaire 5.3

Dans le cas où $M$ a des coefficients de degré deux, l’algèbre $\mathfrak{g}$ est la somme directe d’un nombre fini (non nul) de sous-algèbres isomorphes à $\mathfrak{sl}(2)$ et d’une sous-algèbre $\mathfrak{a}$ correspondant à une matrice $A$ à coefficients affines. Chaque feuilletage de notre tissu ne peut être transverse qu’aux orbites d’une seule de ces sous-algèbres.

6 Cas où $M$ est à coefficients affines.

La proposition 5.1 nous ramène à l’étude du cas où $M$ n’a que des coefficients affines. Si ces coefficients sont tous constants cela veut dire que $\mathfrak{g}$ est commutative. C’est le cas le plus simple que nous étudierons plus précisément plus loin. Dans cette section nous nous intéressons d’abord au cas où $M$ a au moins un coefficient non constant.

Dans cette section nous allons prouver le résultat suivant.

Proposition 6.1

On suppose que la matrice $M$ est à coefficients affine pas tous constants. Quitte à faire des opérations de lignes et permuter des colonnes, elle a la forme par blocs

[TABLE]

où $B$ et $C$ sont à coefficients constants et $N$ est une matrice diagonale par blocs du type

[TABLE]

où chaque bloc $N_{i}$ est de la forme

[TABLE]

où les $c_{j}$ sont des constantes.

Démontrons cette proposition.

Quitte à permuter des colonnes de $M$ et faire des opérations de lignes, on peut supposer que la première colonne est

[TABLE]

Cela impose la relation $[\overrightarrow{X}^{1},\overrightarrow{X}^{2}]=\overrightarrow{X}^{1}$ et donc

[TABLE]

pour tout $i.$ On en déduit, utilisant la remarque 3.1, que toutes les colonnes sont de l’un des deux types suivants

[TABLE]

où les $c_{i}$ sont des constantes.

On peut donc supposer que la sous-matrice de $M$ formée par ses deux premières lignes est

[TABLE]

où les $c_{j}$ sont des constantes.

On voit ainsi que $M$ est de la forme

[TABLE]

où $B_{1}$ est à coefficients constants. Si $C_{1}$ n’a que des coefficients constants la proposition 6.1 est prouvée. Sinon des permutations des $n-p$ dernières colonnes et des opérations sur les $m-2$ dernières lignes permettent de supposer que la $(p+1)$-ième colonne est de la forme

[TABLE]

Avec des arguments analogues à ceux utilisés ci-dessus, on peut supposer que les colonnes de $p+1$ à $p+q$ sont toutes du même type et l’on obtient que $M$ est de la forme

[TABLE]

où $A_{2}$ et $B_{2}$ sont des matrices à coefficients constants et $C_{2}$ est à coefficient affines avec

[TABLE]

On achève donc la démonstration de la proposition 6.1 en itérant cette méthode.

On en déduit directement le résultat suivant.

Corollaire 6.2

Dans le cas où $M$ est à coefficients affines l’algèbre $\mathfrak{g}$ est somme directe d’un nombre fini de sous-algèbres isomorphes à $\mathfrak{n}$ ou commutative.

Les sous-algèbres isomorphes à $\mathfrak{n}$ sont engendrées par les deux lignes qui correspondent à une sous-matrice $N_{i}.$ La sous-algèbre commutative est donnée par les dernières lignes. On voit que chacun des feuilletages qui constituent le tissu peuvent être transverses à plusieurs des orbites de sous-algèbres isomorphes à $\mathfrak{n}$ (ou commutative).

Les propositions 6.1 et 5.1 montrent que, comme annoncé dans le théorème 1.1, $\mathfrak{g}$ est nécessairement produit direct de sous-algèbres isomorphes à $\mathfrak{sl}(2),$ $\mathfrak{n}$ ou commutatives. Pour achever la preuve de ce théorème il faut montrer que, si l’on se place dans ses hypothèses, on sait exhiber une $(n+1)$-ième fonction $f=f(x_{1},\dots,x_{n})$ telle que $W=(x_{1},\dots,x_{n},f(x_{1},\dots,x_{n}))$ ait l’algèbre d’isomorphismes infinitésimaux $\mathfrak{g}$ correspondante.

7 Exemples avec $\mathfrak{g}$ commutative.

Dans les dernières sections de ce texte nous donnons des exemples de tissus $W=(x_{1},\dots,x_{n},f(x_{1},\dots,x_{n})),$ non-parallélisables qui admettent les types possibles d’algèbres de Lie $\mathfrak{g}$ d’isomorphismes infinitésimaux. On commence par le cas où $\mathfrak{g}$ est commutative.

Lemme 7.1

Il existe des $(n+1)$-tissus $W$ non-parallélisables qui possèdent des $\mathfrak{g}$ commutatives de dimension $m$ pour tout $m<n$ mais pas avec $m=n.$

Pour $m<n-1$ peut prendre des exemples du type

[TABLE]

où $g$ est une fonction de $n-m$ variables telle que le tissu

[TABLE]

n’ait pas d’isomorphismes infinitésimaux.

Pour obtenir un cas avec $m=n-1$ on peut prendre une fonction $f$ du type

[TABLE]

avec une fonction $g$ non linéaire.

Si le tissu $W$ admettait $n$ isomorphismes infinitésimaux qui commutent, on pourrait suposer que ces isomorphismes soient $\partial x_{1},\dots,\partial x_{n}$ et cela entrainerait que $f$ serait linéaire.

On remarque que ce dernier lemme est la généralisation du résultat d’Elie Cartan pour la dimension 2.

8 Exemples avec des facteurs isomorphes à $\mathfrak{n}$

Rappelons que nous travaillons en dimension $n>2.$

Lemme 8.1

Il existe des $(n+1)$-tissus non-parallélisables tels que $\mathfrak{g}$ est le produit de $N$ facteurs $\mathfrak{n}$ avec une algèbre commutative de dimension $C$ pour tout $N\geq 1$ et tout $C$ avec $2N+C\leq n.$

Pour prouver ce lemme on pose

[TABLE]

on voit que l’on a

[TABLE]

pour tout $j$ variant de 1 à $N$ et $k$ variant de $2N+1$ à $n,$ et que tous les autres crochets des champs $\overrightarrow{F}^{r}$, $\overrightarrow{E}^{s}$ et $\overrightarrow{Z}^{k}$ sont nuls. Donc l’ensemble de ces champs forme la base d’une algèbre de Lie $\mathfrak{h}$ de champs de vecteurs isomorphe au produit direct de $N$ sous-algèbres isomorphes à $\mathfrak{n}$ et d’une algèbre commutative de dimension $n-2N.$ On voit aussi que c’est une algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux du tissu trivial $(x_{1},\dots,x_{n})$ et qu’elle est de dimension $n.$

On considère maintenant la fonction $f$ définie par

[TABLE]

avec $2N$ inférieur ou égal à $n.$

On a les relations

[TABLE]

pour tous $j$ variant de 1 à $N$ et $k$ variant de $2N+1$ à $n.$

On en déduit que le feuilletage défini par les surfaces de niveau de $f$ est laissé invariant par $\mathfrak{h}.$

Cela nous donne un exemple de tissu $W$ avec un $\mathfrak{g}$ isomorphe au produit direct de $N$ copies de $\mathfrak{n}$ et d’une algèbre commutative de dimension $n-2N.$

On modifie cet exemple facilement pour construire des $(n+1)$-tissus de codimension 1 avec une algèbre d’isomorphismes infinitésimaux isomorphe à ${\mathfrak{n}}^{N}\oplus{\mathbb{R}}^{S}$ avec $N\geq 1$ et $2N+S<n.$ Cela prouve le lemme.

9 Exemples avec des facteurs isomorphes à $\mathfrak{sl}(2).$

C’est le cas le plus difficile.

Supposons que $\mathfrak{g}$ ait $S$ facteurs isomorphes à $\mathfrak{sl}(2).$ Cela veut dire qu’elle contient $3S$ champs de vecteurs

[TABLE]

avec

[TABLE]

pour tout $j$ variant de 1 à $S,$ les autres crochets deux à deux de ces champs étant nuls. On doit aussi avoir $3S$ fonctions d’une variable

[TABLE]

telles que

[TABLE]

pour tout $j.$

Toutes ces relations impliquent

[TABLE]

pour tout $j,$ les autres crochets de ces fonctions deux à deux étant nuls.

On en déduit qu’il ne peut y avoir que deux cas. Ou bien un seul des triplets $(\phi^{j},\psi^{j},\rho^{j})$ possède des fonctions non nulles, ou bien toutes ces fonctions sont nulles. Dans le premier cas, et si l’on impose que le triplet non nul est celui d’indice $j=1,$ cela entraine qu’il existe un difféomorphisme local $\theta$ avec

[TABLE]

avec une constante $c,$ tous les autres $\phi^{j},$ $\psi^{j}$ et $\rho^{j}$ étant nuls. Comme dans notre tissu $W$ on peut remplacer $f$ par $\theta\circ f,$ cela nous permet de simplifier nos relations.

Remarquons que le premier cas est celui où le feuilletage par les surfaces de niveau de $f$ est transverse aux orbites de l’un des facteurs $\mathfrak{sl}(2)$, et alors les autres sont incluses dans des surfaces de niveau de $f.$ Le deuxième est celui où les orbites des facteurs $\mathfrak{sl}(2)$ sont toutes incluses dans des surfaces de niveau de $f.$

On considère le facteur $\mathfrak{sl}(2)$ donné par $\overrightarrow{F}^{1},\overrightarrow{H}^{1},\overrightarrow{E}^{1}.$ Comme nous l’avons vu dans la section 5, on peut supposer

[TABLE]

avec des constantes $c_{i}.$ On a déjà vu que l’on peut supposer $c_{1}=0.$ Pour simplifier la rédaction des prochains calculs, nous supposerons $c_{2}=1.$ Il est facile de traiter, de manière analogue, le cas où $c_{2}$ est plus général.

On définit les $p-2$ fonctions $\theta_{3},\dots,\theta_{p}$ par

[TABLE]

et on vérifie de façon élémentaire les deux lemmes suivants.

Lemme 9.1

Soit $h(y_{3},\dots,y_{p},x_{p+1},\dots,x_{n})$ une fonction de $n-2$ variables qui vérifie l’équation aux dérivées partielles

[TABLE]

Alors la fonction $f$ définie en prenant pour $f(x_{1},\dots,x_{n})$ la quantité

[TABLE]

vérifie les relations

[TABLE]

Lemme 9.2

Soit $h(y_{3},\dots,y_{p},x_{p+1},\dots,x_{n})$ une fonction de $n-2$ variables qui vérifie l’équation aux dérivées partielles

[TABLE]

Alors la fonction $f$ définie en prenant pour $f(x_{1},\dots,x_{n})$ la quantité

[TABLE]

vérifie les relations

[TABLE]

Via des changements rationnels des variables $y_{i}$ on peut donner des solutions explicites des équations (1) et (2).

Le lemme 9.1 montre qu’il existe des exemples de fonctions $f$ pour lesquelles le tissu $W=(x_{1},\dots,x_{n},f(x_{1},\dots,x_{n}))$ admet un $\mathfrak{g}$ contenant un facteur direct isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ de façon que les orbites de ce facteur soient transverses au feuilletage par les surfaces de niveau de $f.$ Il existe même des exemples avec $p=3.$ En effet le cas $n=3$ avec $\mathfrak{g}$ isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ a fait l’objet de la publication [D]. Nous rappelons son résultat principal.

Proposition 9.3

On considère la fonction

[TABLE]

avec $a,$ $b$ et $c$ non nuls et $a+b+c=0.$ Alors $(x,y,z,f(x,y,z))$ est, au voisinage de presque tout point $(x_{0},y_{0},z_{0}),$ un 4-tissu qui a une algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux isomorphe à $\mathfrak{sl}(2).$ Réciproquement tout 4-tissu de codimension 1 sur $\mathbb{R}^{3}$ qui a une algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ est localement isomorphe au 4-tissu ci-dessus.

Les calculs sont basés sur le fait que $M$ est une matrice de Van Der Monde.

Le lemme 9.2 donne des exemples de fonctions $f$ pour lesquelles le tissu $W$ admet un $\mathfrak{g}$ contenant un facteur direct isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ de façon que les orbites de ce facteur soient toutes incluses dans les feuilles du feuilletage par les surfaces de niveau de $f.$ Il y a cependant une subtilité dans ce deuxième cas. En effet, pour avoir une fonction $f$ qui donne un vrai tissu il faut que les dérivées partielles de $f$ à l’origine soient toutes non-nulles. Or si l’on choisit un exemple comme dans le lemme 9.2 avec $p=3,$ les trois relations

[TABLE]

impliquent que $f$ est indépendante de $x_{1},$ $x_{2}$ et $x_{3}$. Cela interdit ce cas. Il faut donc imposer $p>3$ pour qu’une $f$ donnée par le lemme 9.2 convienne. De tels exemples existent toujours. En particulier

[TABLE]

est une fonction des quatre variables $x,$ $y,$ $z$ et $t$ telle que le tissu $(x,y,z,t,f)$ admette un $\mathfrak{g}$ isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ avec des orbites incluses dans les surfaces de niveau de $f.$ C’est l’exemple avec $c_{1}=0,$ $c_{2}=1,$ $c_{3}=2$ et $c_{4}=3.$

Ce dernier exemple a une généralisation du type proposition 9.3.

Proposition 9.4

On considère la fonction

[TABLE]

Alors $(x,y,z,t,g(x,y,z,t))$ est, au voisinage de presque tout point, un 5-tissu qui a une algèbre de Lie d’isomorphismes infinitésimaux isomorphe à $\mathfrak{sl}(2)$ et dont les orbites sont incluses dans les hypersurfaces de niveau de $g.$

Cette proposition a une généralisation avec réciproque que nous ne donnerons pas ici car nous n’en avons pas besoin pour démontrer le théorème 1.1.

Supposons que l’on veuille construire un exemple de tissu $W$ avec un $\mathfrak{g}$ qui contient plusieurs facteurs isomorphes à $\mathfrak{sl}(2).$ Cela peut se faire en combinant les deux lemmes précédents (et à la condition $n>6$). Pour deux facteurs, un avec orbites transverses, un avec orbites incluses dans les surfaces de niveau de $f,$ on peut prendre pour $f$ une fonction qui associe à $(x_{1},\dots,x_{n})$ la valeur

[TABLE]

où $\theta_{3}$ est défini comme juste avant le lemme 9.1 mais avec

[TABLE]

pour $j$ égal à 6 et 7. On impose alors que la fonction $h$ de variables $y_{3},y_{6},y_{7},x_{8},\dots,x_{n},$ vérifie les deux équations aux dérivées partielles :

[TABLE]

[TABLE]

On peut rajouter d’autres facteurs $\mathfrak{sl}(2)$ en itérant le procédé précédent. Da façon un peu plus précise : si l’on a $n\geq 4S-1$ (i.e. $n\geq 3+4(S-1)$) on peut construire des exemples de $f$ qui donnent un tissu $W$ dont le $\mathfrak{g}$ a $S$ facteurs directs isomorphes à $\mathfrak{sl}(2)$.

Enfin si l’on fait le produit d’une telle $f$ avec une des fonctions $f$ de la section 8, mais avec des variables différentes, on construit des tissus $W$ qui ont tous les $\mathfrak{g}$ permis par le théorème 1.1. Ceci achève la preuve de ce théorème.

10 En dimension 3.

Dans cette dernière section nous résumons les résultats des sections précédentes en dimension 3. Cela nous donne une classification, à isomorphisme près, des tissus non-parallélisables $W=(x,y,z,f(x,y,z))$ qui admettent une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ d’isomorphismes infinitésimaux non-nulle.

10.1 Cas où $\mathfrak{g}$ est commutative.

Si $\mathfrak{g}$ est de dimension 1. Il y a trois cas : ou bien elle est engendrée par $\partial x,$ ou bien par $\partial x+\partial y,$ ou bien par $\partial x+\partial y+\partial z.$ Dans le premier cas

[TABLE]

dans le deuxième

[TABLE]

dans le troisième

[TABLE]

pour une fonction $g$ générique (il faut imposer des contraintes sur la partie linéaire pour que $W$ soit un vrai tissu et éviter qu’il soit parallélisable) et $a$ est égale à 0 ou 1.

Si $\mathfrak{g}$ est de dimension 2. Il y a un seul cas : celui où elle est engendrée par $\partial x$ et $\partial y+\partial z.$ On a alors

[TABLE]

pour une fonction $h$ générique et $a$ égal à 0 ou 1.

10.2 Cas où $\mathfrak{g}$ est isomorphe à $\mathfrak{n}.$

On a les différents sous-cas suivants.

Sous-cas 1. On se place dans le cas où $\mathfrak{g}$ est engendrée par $\partial x$ et $x\partial x+\partial y$ et on a

[TABLE]

pour une fonction $h$ générique.

Sous-cas 2. On se place dans le cas où $\mathfrak{g}$ est engendrée par $\partial x$ et $x\partial x+\partial y+\partial z$ et on a

[TABLE]

pour une fonction $h$ générique.

Sous-cas 3. On se place dans le cas où $\mathfrak{g}$ est engendrée par $\partial x+\partial y$ et $x\partial x+(y+b)\partial y$ et on a

[TABLE]

pour une fonction $h$ générique et où $a$ est 0 ou 1.

Sous-cas 4. On se place dans le cas où $\mathfrak{g}$ est engendrée par $\partial x+\partial y$ et $x\partial x+(y+b)\partial y+\partial z$ et on a

[TABLE]

pour une fonction $h$ générique et où $a$ est 0 ou 1.

Sous-cas 5. On se place dans le cas où $\mathfrak{g}$ est engendrée par $\partial x+\partial y+\partial z$ et $x\partial x+(y+b)\partial y+(z+c)\partial z$ et $f(x,y,z)$ a l’expression

[TABLE]

pour une fonction $h$ générique et où $a$ est 0 ou 1.

10.3 Cas où $\mathfrak{g}$ est isomorphe à $\mathfrak{n}\oplus\mathbb{R}.$

On a le seul cas

[TABLE]

avec un $\mathfrak{g}$ engendré par $\partial x+\partial y,$ $x\partial x+(y+1)\partial y$ et $\partial z.$

10.4 Cas où $\mathfrak{g}$ est isomorphe à $\mathfrak{sl}(2).$

On a le modèle

[TABLE]

qui se déduit directement de la proposition 9.3. Le paramètre $\lambda$ est différent de -1 et 0. Des valeurs différentes de $\lambda$ donnent des tissus non-isomorphes. Par contre on peut choisir $b$ et $c$ arbitrairement de façon qu’ils soient distincts, non-nuls ainsi que $\lambda b-(1+\lambda)c.$