On equicontinuity of mappings in a case of variable domains

TL;DR

This paper investigates the equicontinuity of a class of mappings in variable domains within Euclidean space, establishing conditions under which these mappings are uniformly continuous on the domain closure.

Contribution

It provides new conditions on the defining functions and domain restrictions that guarantee equicontinuity of mappings with variable images in Euclidean space.

Findings

Established conditions for equicontinuity of mappings in variable domains.

Proved equicontinuity in the closure of the initial domain under specified conditions.

Extended understanding of mapping behavior in variable domain settings.

Abstract

We study a local behavior of one class of mappings, which are defined in a domain of $n$-measured Euclidean space, in a case, when corresponding images of this domain are variable. Under some conditions on a function defining a behavior of mappings mentioned above, and some restrictions on mapped domains, the equicontinuity of the corresponding family of the mappings in the closure of the initial domain is proved.

Equations

$$A(x_0,r_1,r_2):=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:r_1<|x-x_0|<r_2\right\},$$

$$M_p\left(f\left(\Gamma \left(E_1,E_2,D\right)\right)\right)⩽\underset{A}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

$$\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\eta (r)dr⩾1.$$

$$M_p(\Gamma (F^{\ast },F,D_i))⩾\delta$$

$$q_{x_0}(r):=\frac{1}{{\omega }_{n-1}{r}^{n-1}}\underset{|x-x_0|=r}{\int }Q(x)dS,$$

$$q_b^{\prime }(r):=\frac{1}{{\omega }_{n-1}{r}^{n-1}}\underset{|x-b|=r}{\int }{Q}^{\prime }(x)dS,$$

$$\underset{0}{\overset{\beta (x_0)}{\int }}\frac{dt}{t^{\frac{n-1}{p-1}}{q}_{x_0}^{\prime \frac{1}{p-1}}(t)}=\infty ,$$

$$I(\epsilon ,{\epsilon }_0):=\underset{\epsilon }{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\psi (t)dt<\infty ,I(\epsilon ,{\epsilon }_0)\to \infty \text{при}\epsilon \to 0,$$

$$\underset{A(x_0,\epsilon ,{\epsilon }_0)}{\int }Q(x)\cdot {\psi }^p(|x-x_0|)dm(x)=o(I^p(\epsilon ,{\epsilon }_0)),$$

$$h(f_m(x_m),f_m(x_m^{\prime }))⩾a/2\forall m\in \mathbb{N}.$$

$$h(C_m)⩾a/2\forall m\in \mathbb{N},$$

$$M_p(f_m({\Gamma }_m))⩽\underset{A(x_0,\frac{1}{2^m},{\epsilon }_0)}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

$$\eta(t)=\left\{\begin{array}[]{rr}\psi(t)/I(2^{\,-m},\varepsilon_{0}),&t\in(2^{\,-m},\varepsilon_{0}),\\ 0,&t\in{\mathbb{R}}\setminus(2^{\,-m},\varepsilon_{0})\,,\end{array}\right.$$

$$M_p(f_m({\Gamma }_m))⩽\alpha (2^{-m})\to 0$$

$$M_p(f_m({\Gamma }_m))=M_p(\Gamma (C_m,f_m(A),D_m^{\prime }))⩾\sigma \forall m\in \mathbb{N},$$

$$M_p(\Gamma (K_m,C_m,D_m^{\prime }))⩾b.$$

$$M_p(f_m({\Gamma }_m^{\ast }))⩽M_p(f_m(\Gamma ({\gamma }_m,E_{\delta },D)))⩽\underset{A(x_0,\frac{1}{2^m},{\epsilon }_0)}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

$$\eta(t)=\left\{\begin{array}[]{rr}\psi(t)/I(2^{\,-m},\varepsilon_{0}),&t\in(2^{\,-m},\varepsilon_{0}),\\ 0,&t\in{\mathbb{R}}\setminus(2^{\,-m},\varepsilon_{0})\,,\end{array}\right.$$

$$M_p(f_m({\Gamma }_m))⩽\alpha (2^{-m})\to 0$$

$$M_p(f_m({\Gamma }_m))=M_p(\Gamma (K_m,C_m,D_m^{\prime })).$$

$$h(f_k(P_k),f_k(P_0))⩾a\forall k=1,2,\dots ,.$$

$$h(f_k(x_k),f_k(P_0))⩾a/2\forall k=1,2,\dots ,.$$

$$h(f_k(x_k),f_k(x_k^{\prime }))⩾a/4\forall k=1,2,\dots ,$$

$$h(C_k)⩾a/4\forall k\in \mathbb{N},$$

$$M_p(f_k({\Gamma }_k))⩽\underset{A(x_0,r_k,{\epsilon }_0)}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

$$\eta(t)=\left\{\begin{array}[]{rr}\psi(t)/I(r_{k},\varepsilon_{0}),&t\in(r_{k},\varepsilon_{0}),\\ 0,&t\in{\mathbb{R}}\setminus(r_{k},\varepsilon_{0})\,,\end{array}\right.$$

$$M_p(f_k({\Gamma }_k))⩽\alpha (r_k)\to 0$$

$$M_p(f_k({\Gamma }_k))=M_p(\Gamma (C_k,f_k(A),D_k^{\prime }))⩾\sigma \forall k\in \mathbb{N},$$

$$M_p(\Gamma (K_k,C_k,D_k^{\prime }))⩾b.$$

$$M_p(f_k({\Gamma }_k^{\ast }))⩽M_p(f_k(\Gamma ({\gamma }_k,E_{\delta },D)))⩽\underset{A(x_0,r_k,{\epsilon }_0)}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^p(|x-x_0|)dm(x)$$

Full text

УДК 517.5

Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов (Житомирский государственный университет имени И. Франко)

Є.О. Севостьянов, С.О. Скворцов (Житомирський державний унiверситет iменi I. Франко)

E.A. Sevost’yanov, S.A. Skvortsov (Zhytomyr Ivan Franko State University)

О равностепенной непрерывности отображений в случае переменных областей

Про одностайну неперервнiсть вiдображень у випадку змiнних областей

On equicontinuity of mappings in a case of variable domains

Изучаются вопрос о локальном поведении одного класса отображений в замыкании области евклидового $n$-мерного пространства в случае, когда отображённая область не является фиксированной. При определённых условиях на измеримую функцию, определяющую поведение указанных отображений, а также ограничениях на отображённые области, установлена равностепенная непрерывность соответствующего семейства отображений в замыкании исходной области.

Вивчається питання про локальну поведiнку одного класу вiдображень в замиканнi областi евклiдового $n$-вимiрного простору в випадку, коли вiдображена область не є фiксованою. За певних умов на вимiрну функцiю, яка визначає поведiнку вказаних вiдображень, а також обмеженнях на вiдображенi областi, встановлено одностайну неперервнiсть вiдповiдної сiм’ї вiдображень в замиканнi вихiдної областi.

We study a local behavior of one class of mappings, which are defined in a domain of $n$-measured Euclidean space, in a case, when corresponding images of this domain are variable. Under some conditions on a function defining a behavior of mappings mentioned above, and some restrictions on mapped domains, the equicontinuity of the corresponding family of the mappings in the closure of the initial domain is proved.

1. Введение. Основные определения и обозначения, встречающиеся в тексте, могут быть найдены в монографиях [1] и [2].

В относительно недавней работе [3] установлена равностепенная непрерывность одного семейства пространственных гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой квазиконформности, переводящих заданную область $D$ на заданную область $D^{\,\prime}.$ Отметим, что в [3] поведение отображений связано с их непрерывным продолжением на границу в поточечном смысле. Основная цель настоящей статьи – распространить те же результаты на случай, когда отображённые области могут меняться и зависят от фиксированного отображения данного семейства. Отдельно будет рассмотрен также случай отображений с ветвлением и случай, когда непрерывное продолжение на границу и равностепенную непрерывность следует понимать в терминах простых концов. По этому поводу см. также классические результаты Р. Някки и Б. Палка для квазиконформных отображений [4]. Теория простых концов для пространственных областей и граничное поведение квазиконформных отображений в их терминах развиты Някки [5]. В случае отображений с неограниченной характеристикой этот подход был использован и развит в работах В.Я. Гутлянского, В.И. Рязанова, Д.А. Ковтонюка и Э. Якубова (см. [6]–[7]).

Здесь и далее

[TABLE]

а $M_{p}(\Gamma)$ означает $p$-модуль семейства кривых $\Gamma.$ Введём в рассмотрение следующее понятие, см. [1, разд. 7.6 гл. 7]. Пусть $p\geqslant 1$ и $Q:{\mathbb{R}}^{n}\rightarrow[0,\infty]$ – измеримая по Лебегу функция, $Q(x)\equiv 0$ при всех $x\not\in D.$ Говорят, что отображение $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ есть кольцевое $Q$-отображение в точке $x_{0}\in\overline{D}$ относительно $p$-модуля, $x_{0}\neq\infty,$ если для некоторого $r_{0}=r(x_{0})$ и произвольных сферического кольца (1) и любых континуумов $E_{1}\subset\overline{B(x_{0},r_{1})}\cap D,$ $E_{2}\subset\left(\overline{{\mathbb{R}}^{n}}\setminus B(x_{0},r_{2})\right)\cap D,$ отображение $f$ удовлетворяет соотношению

[TABLE]

для каждой измеримой функции $\eta:(r_{1},r_{2})\rightarrow[0,\infty],$ такой что

[TABLE]

Аналогично, условимся говорить, что отображение $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ является кольцевым $Q$-отображением в $\overline{D}$ относительно $p$-модуля, если условие (2) выполнено в каждой точке $x_{0}\in\overline{D}.$ В точке $x_{0}=\infty$ данное определение может быть переформулировано при помощи инверсии: $\varphi(x)=\frac{x}{|x|^{2}},$ $\infty\mapsto 0.$

В дальнейшем $h(x,y)$ обозначает хордальное расстояние между токами $x,y\in\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ а $h(E)$ – хордальный диаметр множества $E\subset\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ (см. [1, гл. 1]). Пусть $D_{i}$ – некоторая фиксированная последовательность областей, $i=1,2,\ldots,.$ Согласно [4, разд. 2.4], будем говорить, что семейство областей $D_{i},$ $i\in I,$ является равностепенно равномерной относительно $p$-модуля, если для каждого $r>0$ существует число $\delta>0$ такое, что неравенство

[TABLE]

выполнено для всех $i\in I$ и произвольных континуумов $F,F^{*}\subset D,$ подчинённых условиям $h(F)\geqslant r$ и $h(F^{\,*})\geqslant r.$ Отметим, что в работе [4] рассматривался частный случай $p=n,$ а неравенство (4) здесь требовалось не только для континуумов $F$ и $F^{\,*},$ но и произвольных связных множеств. Указанное обстоятельство (несущественно) отличает приведенное выше определение от аналогичного определения Някки и Палка ([4]). Заметим также, что для фиксированной области $D_{i}$ соотношение (4) влечёт так называемую сильную достижимость её границы относительно $p$-модуля (см. [8, теорема 6.2]).

Для $p\geqslant 1,$ заданного числа $\delta\geqslant 0,$ фиксированной области $D\subset{\mathbb{R}}^{n},$ $n\geqslant 2,$ континуума $A\subset D$ и заданной функции $Q:D\rightarrow[0,\infty]$ обозначим через $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ семейство всех кольцевых $Q$-гомеоморфизмов $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ в $\overline{D}$ относительно $p$-модуля, удовлетворяющих условиям $h(f(A))\geqslant\delta$ и $h(\overline{{\mathbb{R}}^{n}}\setminus f(D))\geqslant\delta.$ Полагаем

[TABLE]

где $dS$ – элемент площади поверхности $S,$ и

[TABLE]

$Q^{\,\prime}(x)=\max\{Q(x),1\}.$ Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.   Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ локально связна в каждой точке $x_{0}\in\partial D,$ и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по всем $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D).$ Пусть при $p=n$ число $\delta>0,$ а при $n-1<p<n$ число $\delta\geqslant 0.$ Если функция $Q$ имеет конечное среднее колебание в $\overline{D},$ либо в каждой точке $x_{0}\in\overline{D}$ при некотором $\beta(x_{0})>0$ выполнено условие

[TABLE]

то каждое из отображений $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ имеет непрерывное продолжение в $\overline{D}$ и семейство $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}.$

В случае отображений с ветвлением теорема 1 допускает некоторое обобщение, в связи с чем напомним следующее определение. Отображение $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ области $D\subset{\mathbb{R}}^{n}$ на область $D^{\,\prime}\subset\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ назовём замкнутым, если $C(f,\partial D)\subset\partial D^{\,\prime},$ где, как обычно, $C(f,\partial D)$ – предельное множество отображения $f$ на $\partial D.$ Для $p\geqslant 1,$ фиксированной области $D\subset{\mathbb{R}}^{n},$ множества $E\subset\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ и числа $\delta>0$ обозначим через $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ семейство всех открытых дискретных замкнутых кольцевых $Q$-отображений $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}\setminus E$ относительно $p$-модуля в $\overline{D}$ со следующим условием: для всякого $f$ и всякой области $D^{\,\prime}_{f}:=f(D)$ найдётся континуум $K_{f}\subset D^{\,\prime}_{f}$ такой, что $h(K_{f})\geqslant\delta$ и $h(f^{\,-1}(K_{f}),\partial D)\geqslant\delta>0.$

Теорема 2.   Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ локально связна в каждой точке $x_{0}\in\partial D$ и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по всем $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D).$ Пусть при $p=n$ множество $E$ имеет положительную ёмкость, а при $n-1<p<n$ является произвольным замкнутым множеством. Если функция $Q$ имеет конечное среднее колебание в $\overline{D},$ либо в каждой точке $x_{0}\in\overline{D}$ при некотором $\beta(x_{0})>0$ выполнено условие (5), то каждое из отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ имеет непрерывное продолжение в $\overline{D}$ и семейство $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}.$

Теоремы 1 и 1 относятся к случаю локально связных границ, когда граничное продолжение отображений и равностепенную непрерывность их семейств необходимо понимать в обычном, <<поточечном>> смысле. Случай более сложных границ соответствуют ситуации так называемых простых концов (определение и соответствующая терминология может быть найдены в работе [7]). Будем говорить, что граница области $D$ в ${\mathbb{R}}^{n}$ является локально квазиконформной, если каждая точка $x_{0}\in\partial D$ имеет окрестность $U$, которая может быть отображена квазиконформным отображением $\varphi$ на единичный шар ${\mathbb{B}}^{n}\subset{\mathbb{R}}^{n}$ так, что $\varphi(\partial D\cap U)$ является пересечением ${\mathbb{B}}^{n}$ с координатной гиперплоскостью. Говорим, что ограниченная область $D$ в ${\mathbb{R}}^{n}$ регулярна, если $D$ может быть квазиконформно отображена на область с локально квазиконформной границей. Если $\overline{D}_{P}$ является пополнением регулярной области $D$ ее простыми концами и $g_{0}$ является квазиконформным отображением области $D_{0}$ с локально квазиконформной границей на $D$, то оно естественным образом определяет в $\overline{D}_{P}$ некоторую метрику (см. [7]). Справедливо следующее утверждения.

Теорема 3.   Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ регулярна и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются ограниченными равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ областями с локально квазиконформной границей. Пусть при $p=n$ число $\delta>0,$ а при $n-1<p<n$ число $\delta\geqslant 0.$ Если функция $Q$ имеет конечное среднее колебание в $\overline{D},$ либо в каждой точке $x_{0}\in\overline{D}$ при некотором $\beta(x_{0})>0$ выполнено условие (5), то каждое из отображений $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ имеет непрерывное продолжение $\overline{f}:\overline{D}_{P}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ в $\overline{D}_{P}$ и семейство $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}_{P}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}_{P}.$

Теорема 4.   Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ регулярна и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются ограниченными равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ областями с локально квазиконформной границей. Пусть при $p=n$ множество $E$ имеет положительную ёмкость, а при $n-1<p<n$ является произвольным замкнутым множеством. Если функция $Q$ имеет конечное среднее колебание в $\overline{D},$ либо в каждой точке $x_{0}\in\overline{D}$ при некотором $\beta(x_{0})>0$ выполнено условие (5), то каждое из отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ имеет непрерывное продолжение в $\overline{D}$ и семейство $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}_{P}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}_{P}.$

2. Формулировка и доказательство основных лемм. Основным инструментом на пути доказательства теорем 1 и 1 являются следующие два утверждения.

Лемма 1.  Предположим, область $D$ локально связна в каждой точке $x_{0}\in\partial D,$ и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по всем $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D).$ Пусть при $p=n$ число $\delta>0,$ а при $n-1<p<n$ число $\delta\geqslant 0.$ Предположим также, что для каждой точки $x_{0}\in\overline{D}$ найдётся $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(x_{0})>0$ и измеримая по Лебегу функция $\psi(t):(0,\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty]$ со следующим свойством: для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ выполнено условие

[TABLE]

и, кроме того, при $\varepsilon\rightarrow 0$

[TABLE]

где, как обычно, сферическое кольцо $A(x_{0},\varepsilon,\varepsilon_{0})$ определено как в (1). Тогда каждое из отображений $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ имеет непрерывное продолжение в $\overline{D}$ и семейство $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}.$

*Доказательство.  * Равностепенная непрерывность внутри области $D$ вытекает из [2, лемма 3.2.2] в случае $p=n$ и [9, лемма 2.4] при $n-1<p<n,$ а возможность продолжения каждого элемента $f$ семейства отображений $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ до непрерывного отображения в замыкании $D$  — из [10, лемма 1] при $p=n$ (доказательство этого факта в случае $n-1<p<n$ проводится аналогично).

Осталось показать, что семейство $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D})$ равностепенно непрерывно в точках $\partial D.$ Предположим противное, тогда найдётся $x_{0}\in\partial D$ и число $a>0$ такое, что для каждого $m=1,2,\ldots$ существуют точка $x_{m}\in\overline{D}$ и элемент ${f}_{m}$ семейства $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D})$ такие, что $|x_{0}-x_{m}|<1/m$ и $h(f_{m}(x_{m}),f_{m}(x_{0}))\geqslant a.$ Поскольку $f_{m}$ имеет непрерывное продолжение в точку $x_{0},$ то мы можем найти такую последовательность $x^{\,\prime}_{m}\in D,$ $x^{\,\prime}_{m}\rightarrow x_{0}$ при $m\rightarrow\infty$ такую, что $h(f_{m}(x^{\,\prime}_{m}),f_{m}(x_{0}))\leqslant 1/m.$ Таким образом,

[TABLE]

Можно считать, что $x_{0}\neq\infty.$ В виду возможности непрерывного продолжения каждого $f_{m}$ на границу $D,$ мы можем считать, что $x_{m}\in D.$

В силу локальной связности области $D$ в точке $x_{0}$ найдётся последовательность окрестностей $V_{m}$ точки $x_{0}$ с ${\rm diam}\,V_{m}\rightarrow 0$ при $m\rightarrow\infty,$ такие что множества $D\cap V_{m}$ являются областями и $D\cap V_{m}\subset B(x_{0},2^{\,-m}).$ Не ограничивая общности рассуждений, переходя к подпоследовательности, если это необходимо, мы можем считать, что $x_{m},x^{\,\prime}_{m}\in D\cap V_{m}.$ Соединим точки $x_{m}$ и $x^{\,\prime}_{m}$ непрерывной кривой $\gamma_{m}(t):[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ такой, что $\gamma_{m}(0)=x_{m},$ $\gamma_{m}(1)=x^{\,\prime}_{m}$ и $\gamma_{m}(t)\in V_{m}$ при $t\in(0,1).$ Обозначим через $C_{m}$ образ кривой $\gamma_{m}(t)$ при отображении $f_{m}.$ Из соотношения (8) вытекает, что

[TABLE]

где $h$ обозначает хордальный диаметр множества.

Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что континуум $A,$ участвующий в определении класса $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D),$ лежит вне шаров $B(x_{0},2^{\,-m}),$ $m=1,2,\ldots,.$ Более того, не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что $B(x_{0},\varepsilon_{0})\cap A=\varnothing.$ Пусть $\Gamma_{m}$ – семейство кривых, соединяющих $\gamma_{m}$ и $A$ в $D.$ Из определения кольцевого $Q$-отображения относительно $p$-модуля в точке $x_{0}$ вытекает, что

[TABLE]

для каждой измеримой функции $\eta:(\frac{1}{2^{m}},\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty],$ такой что $\int\limits_{\frac{1}{2^{m}}}^{\varepsilon_{0}}\eta(r)dr\geqslant 1.$ Заметим, что функция

[TABLE]

где $I(\varepsilon,\varepsilon_{0}):=\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_{0}}\psi(t)dt,$ удовлетворяет условию нормировки вида (3) при $r_{1}:=2^{\,-m},$ $r_{2}:=\varepsilon_{0},$ поэтому из условий (7) и (10) вытекает, что

[TABLE]

при $m\rightarrow\infty,$ где $\alpha(\varepsilon)$ – некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при $\varepsilon\rightarrow 0,$ которая существует ввиду условия (7).

С другой стороны, заметим, что $f_{m}(\Gamma_{m})=\Gamma(C_{m},f_{m}(A),D_{m}^{\,\prime}).$ По условию леммы $h(f_{m}(A))\geqslant\delta$ при всех $m\in{\mathbb{N}}.$ Следовательно, ввиду (9) $h(f_{m}(A))\geqslant\delta_{1}$ и $h(C_{m})\geqslant\delta_{1},$ где $\delta_{2}:=\min\{\delta,a/2\}.$ Воспользовавшись тем, что области $D_{m}^{\,\prime}:=f_{m}(D)$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля, мы заключаем, что существует $\sigma>0$ такое, что

[TABLE]

что противоречит условию (11). Полученное противоречие указывает на то, что предположение об отсутствии равностепенной непрерывности семейства $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D})$ было неверным. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. $\Box$

В случае отображений с ветвлением лемма 1 принимает следующий вид.

Лемма 2.  Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ локально связна в каждой точке $x_{0}\in\partial D$ и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по всем $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D).$ Пусть при $p=n$ множество $E$ имеет положительную ёмкость, а при $n-1<p<n$ является произвольным замкнутым множеством. Предположим также, что для каждой точки $x_{0}\in\overline{D}$ найдётся $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(x_{0})>0$ и измеримая по Лебегу функция $\psi(t):(0,\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty]$ со следующим свойством: для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ выполнено условие (6) и, кроме того, при $\varepsilon\rightarrow 0$ выполнено условие (7). Тогда каждое из отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ имеет непрерывное продолжение в $\overline{D}$ и семейство $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}.$

*Доказательство.  * Равностепенная непрерывность внутри области $D$ вытекает из [2, лемма 3.6.1] в случае $p=n$ и [9, лемма 2.4] при $n-1<p<n,$ а возможность продолжения каждого элемента $f$ семейства отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ до непрерывного отображения в замыкании $D$  — из [10, лемма 1] при $p=n$ (доказательство этого факта в случае $n-1<p<n$ проводится аналогично).

Осталось показать, что семейство $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D})$ равностепенно непрерывно в точках $\partial D.$ Предположим противное, тогда найдётся $x_{0}\in\partial D$ и число $a>0$ такое, что для каждого $m=1,2,\ldots$ существуют точка $x_{m}\in\overline{D}$ и элемент ${f}_{m}$ семейства $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D})$ такие, что $|x_{0}-x_{m}|<1/m$ и выполнено условие (8). Можно считать, что $x_{0}\neq\infty.$ В виду возможности непрерывного продолжения каждого $f_{m}$ на границу $D,$ мы можем считать, что $x_{m}\in D.$ Более того, ввиду того, что $f_{m}$ продолжается по непрерывности в точку $x_{0},$ найдётся последовательность $x^{\,\prime}_{m}\in D,$ сходящаяся к точке $x_{0}$ при $m\rightarrow\infty,$ такая, что при некотором $a>0$ выполнены неравенства в (8). Соединим точки $x_{m}$ и $x^{\,\prime}_{m}$ кривой $\gamma_{m}:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ такой, что $\gamma_{m}(0)=x_{m},$ $\gamma_{m}(1)=x^{\,\prime}_{m}$ и $\gamma_{m}\in V_{m}\cap D$ при $t\in(0,1).$ Обозначим через $C_{m}$ образ кривой $\gamma_{m}$ при отображении $f_{m}.$ Из соотношения (8) вытекает, что выполнено условие вида (9), где $h$ обозначает хордальный диаметр множества.

По определению семейства отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ для всякого $f_{m}$ и всякой области $D^{\,\prime}_{m}:=f_{m}(D)$ найдётся континуум $K_{m}\subset D^{\,\prime}_{m}$ такой, что $h(K_{m})\geqslant\delta$ и $h(f_{m}^{\,-1}(K_{m}),\partial D)\geqslant\delta>0.$ Поскольку по условию леммы области $D^{\,\prime}_{m}$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля, то ввиду сказанного и учитывая условие (9) мы получим, что при всех $m=1,2,\ldots$ и некотором $b>0$ выполняется неравенство

[TABLE]

Рассмотрим семейство $\Gamma_{m},$ состоящее из всех кривых $\beta:[0,1)\rightarrow D^{\,\prime}_{m},$ где $\beta(0)\in C_{m}$ и $\beta(t)\rightarrow p\in C_{m}$ при $t\rightarrow 1.$ Пусть $\Gamma^{*}_{m}$ – семейство всех полных поднятий $\alpha:[0,1)\rightarrow D$ семейства $\Gamma_{m}$ при отображении $f_{m}$ с началом на $\gamma_{m}.$ Такое семейство корректно определено ввиду [11, теорема 3.7]. Ввиду замкнутости отображения $f_{m}$ имеем: $\alpha(t)\rightarrow f^{\,-1}_{m}(K_{m}),$ где $f^{\,-1}_{m}(K_{m})$ – полный прообраз континуума $K_{m}$ при отображении $f_{m}.$ Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что $\gamma_{m}\in B(x_{0},2^{-m}).$

Заметим, что ввиду компактности пространства $\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ при каждом фиксированном $\delta>0$ множество $C_{\delta}:=\{x\in D:h(x,\partial D)\geqslant\delta\}$ является компактом в $D$ и $f_{m}^{\,-1}(K_{m})\subset C_{\delta}.$ Ввиду [12, лемма 1] множество $C_{\delta}$ можно вложить в континуум $E_{\delta},$ лежащий в области $D,$ при этом, можно считать, что ${\rm dist}\,(x_{0},E_{\delta})\geqslant\varepsilon_{0}$ за счёт уменьшения $\varepsilon_{0},$ если это необходимо. Тогда на основании (2) вытекает, что

[TABLE]

для каждой измеримой функции $\eta:(\frac{1}{2^{m}},\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty],$ такой что $\int\limits_{\frac{1}{2^{m}}}^{\varepsilon_{0}}\eta(r)dr\geqslant 1.$ Заметим, что функция

[TABLE]

где $I(\varepsilon,\varepsilon_{0}):=\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_{0}}\psi(t)dt,$ удовлетворяет условию нормировки вида (3) при $r_{1}:=2^{\,-m},$ $r_{2}:=\varepsilon_{0},$ поэтому из условий (7) и (13) вытекает, что

[TABLE]

при $m\rightarrow\infty,$ где $\alpha(\varepsilon)$ – некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при $\varepsilon\rightarrow 0,$ которая существует ввиду условия (7). Заметим, кроме того, что $f_{m}(\Gamma_{m})>\Gamma_{m}$ и, одновременно, $f_{m}(\Gamma_{m})\subset\Gamma_{m},$ так что ввиду [13, теоремы 6.2, 6.4]

[TABLE]

Однако, соотношения (14) и (15) в совокупности противоречат (12). Полученное противоречие указывает на то, что исходное предположение (8) было неверным, и, значит, семейство отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D})$ равностепенно непрерывно в каждой точке $x_{0}\in\partial D.$ $\Box$

В случае не локально связных границ заданной области имеют место следующие аналоги лемм 1 и 1.

Лемма 3.   Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ регулярна и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются ограниченными равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ областями с локально квазиконформной границей. Пусть при $p=n$ число $\delta>0,$ а при $n-1<p<n$ число $\delta\geqslant 0.$ Предположим также, что для каждой точки $x_{0}\in\overline{D}$ найдётся $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(x_{0})>0$ и измеримая по Лебегу функция $\psi(t):(0,\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty]$ со следующим свойством: для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ выполнено условие (6) и, кроме того, при $\varepsilon\rightarrow 0$ выполнено условие (7). Тогда каждое из отображений $f\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ имеет непрерывное продолжение $\overline{f}:\overline{D}_{P}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ в $\overline{D}_{P}$ и семейство $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}_{P}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}_{P}.$

*Доказательство.  * Равностепенная непрерывность внутри области $D$ вытекает из [2, лемма 3.2.2] в случае $p=n$ и [9, лемма 2.4] при $n-1<p<n,$ а возможность продолжения каждого элемента $f$ семейства отображений $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ до непрерывного отображения в замыкании $D$  — из [14, лемма 3].

Покажем равностепенную непрерывность семейства $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D})$ в точках $E_{D},$ где $E_{D}$ обозначает пространство простых концов, соответствующее области $D.$ Предположим противное, а именно, что семейство $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D})$ не является равностепенно непрерывным в некоторой точке $P_{0}\in E_{D}.$ Тогда найдутся число $a>0,$ последовательность $P_{k}\in\overline{D}_{P},$ $k=1,2,\ldots$ и элементы $f_{k}\in\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D)$ такие, что $d(P_{k},P_{0})<1/k$ и

[TABLE]

Ввиду возможности непрерывного продолжения каждого $f_{k}$ на границу $D$ в терминах простых концов, для всякого $k\in{\mathbb{N}}$ найдётся элемент $x_{k}\in D$ такой, что $d(x_{k},P_{k})<1/k$ и $h(f_{k}(x_{k}),f_{k}(P_{k}))<1/k.$ Тогда из (16) вытекает, что

[TABLE]

Аналогично, в силу непрерывного продолжения отображения $f_{k}$ в $\overline{D_{P}}$ найдётся последовательность $x_{k}^{\,\prime}\in D,$ $x_{k}^{\,\prime}\rightarrow P_{0}$ при $k\rightarrow\infty$ такая, что $|f_{k}(x_{k}^{\,\prime})-f_{k}(P_{0})|<1/k$ при $k=1,2,\ldots\,.$ Тогда из (17) вытекает, что

[TABLE]

где последовательности $x_{k}$ и $x_{k}^{\,\prime}$ принадлежат $D$ и сходятся к простому концу $P_{0}$ при $k\rightarrow\infty.$

В силу [7, лемма 2] простой конец $P_{0}$ регулярной области $D$ в ${\mathbb{R}}^{n}$, $n\geqslant 2,$ содержит цепь разрезов $\sigma_{k}$, лежащую на сферах $S_{k}$ с центром в некоторой точке $x_{0}\in\partial D$ и с евклидовыми радиусами $r_{k}\rightarrow 0$ при $k\rightarrow\infty$. Пусть $D_{k}$ – области, ассоциированные с разрезами $\sigma_{k}$, $k=1,2,\ldots$. Поскольку последовательности $x_{k}$ и $x_{k}^{\,\prime}$ сходятся к простому концу $P_{0}$ при $k\rightarrow\infty,$ мы можем считать, что точки $x_{k},x^{\,\prime}_{k}\in D_{k}$ при всех $k=1,2,\ldots,.$ Соединим точки $x_{k}$ и $x_{k}^{\,\prime}$ кривой $\gamma_{k},$ полностью лежащей в $D_{k}.$ Можно также считать, что континуум $A,$ относящийся к определению класса $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(D),$ не пересекается ни с одной из областей $D_{k}$ и что ${\rm dist}\,(\partial D,A)>\varepsilon_{0}.$

Обозначим через $C_{k}$ образ кривой $\gamma_{k}$ при отображении $f_{k}.$ Из соотношения (18) вытекает, что

[TABLE]

где $h$ обозначает хордальный диаметр множества.

Пусть $\Gamma_{k}$ – семейство кривых, соединяющих $\gamma_{k}$ и $A$ в $D.$ Из определения кольцевого $Q$-отображения относительно $p$-модуля в точке $x_{0}$ вытекает, что

[TABLE]

для каждой измеримой функции $\eta:(r_{k},\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty],$ такой что $\int\limits_{r_{k}}^{\varepsilon_{0}}\eta(r)dr\geqslant 1.$ Заметим, что функция

[TABLE]

где $I(\varepsilon,\varepsilon_{0}):=\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_{0}}\psi(t)dt,$ удовлетворяет условию нормировки вида (3) при $r_{k}$ и $\varepsilon_{0}$ вместо $r_{1}$ и $r_{2},$ поэтому из условий (7) и (20) вытекает, что

[TABLE]

при $k\rightarrow\infty,$ где $\alpha(\varepsilon)$ – некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при $\varepsilon\rightarrow 0,$ которая существует ввиду условия (7).

С другой стороны, заметим, что $f_{k}(\Gamma_{k})=\Gamma(C_{k},f_{k}(A),D_{k}^{\,\prime}),$ где $D_{k}^{\,\prime}=f_{k}(D).$ Поскольку по условию леммы $h(f_{k}(A))\geqslant\delta$ при всех $k\in{\mathbb{N}},$ ввиду (9) $h(f_{k}(A))\geqslant\delta_{1}$ и $h(C_{k})\geqslant\delta_{1},$ где $\delta_{1}:=\min\{\delta,a/4\}.$ Воспользовавшись тем, что области $D_{k}^{\,\prime}$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля, мы заключаем, что существует $\sigma>0$ такое, что

[TABLE]

что противоречит условию (21). Полученное противоречие указывает на то, что предположение об отсутствии равностепенной непрерывности семейства $\mathfrak{F}_{Q,A,p,\delta}(\overline{D})$ было неверным. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. $\Box$

Лемма 4.   Предположим, $p\in(n-1,n],$ область $D$ регулярна и что области $D_{f}^{\,\prime}=f(D)$ являются ограниченными равностепенно равномерными относительно $p$-модуля по $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ областями с локально квазиконформной границей. Пусть при $p=n$ множество $E$ имеет положительную ёмкость, а при $n-1<p<n$ является произвольным замкнутым множеством. Предположим также, что для каждой точки $x_{0}\in\overline{D}$ найдётся $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(x_{0})>0$ и измеримая по Лебегу функция $\psi(t):(0,\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty]$ со следующим свойством: для любого $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ выполнено условие (6) и, кроме того, при $\varepsilon\rightarrow 0$ выполнено условие (7). Тогда каждое из отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ имеет непрерывное продолжение в $\overline{D}$ и семейство $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D}),$ состоящее из всех, таким образом, продолженных отображений $\overline{f}:\overline{D}_{P}\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ является равностепенно непрерывным в $\overline{D}_{P}.$

*Доказательство.  * Равностепенная непрерывность внутри области $D$ вытекает из [2, лемма 3.6.1] в случае $p=n$ и [9, лемма 2.4] при $n-1<p<n,$ а возможность продолжения каждого элемента $f$ семейства отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ до непрерывного отображения в замыкании $D_{P}$  — из [14, лемма 3].

Осталось показать, что семейство $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D})$ равностепенно непрерывно в точках $\partial_{P}D:=\overline{D}_{P}\setminus D.$ Предположим противное. Рассуждая также, как и при доказательстве леммы 1, мы построим две последовательности $x_{k}$ и $x_{k}^{\,\prime}\in D,$ сходящиеся к простому концу $P_{0}$ при $k\rightarrow\infty,$ для которых верно соотношение вида (18). Соединим точки $x_{k}$ и $x^{\,\prime}_{k}$ кривой $\gamma_{k}:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ такой, что $\gamma_{k}(0)=x_{k},$ $\gamma_{k}(1)=x^{\,\prime}_{k}$ и $\gamma_{k}\in D$ при $t\in(0,1).$ Обозначим через $C_{k}$ образ кривой $\gamma_{k}$ при отображении $f_{k}.$ Из соотношения (18) вытекает, что $h(C_{k})\geqslant a/4$ при всех $k=1,2,\ldots.$

В силу [7, лемма 2] простой конец $P_{0}$ регулярной области $D$ в ${\mathbb{R}}^{n}$, $n\geqslant 2,$ содержит цепь разрезов $\sigma_{k}$, лежащую на сферах $S_{k}$ с центром в некоторой точке $x_{0}\in\partial D$ и с евклидовыми радиусами $r_{k}\rightarrow 0$ при $k\rightarrow\infty$. Пусть $D_{k}$ – области, ассоциированные с разрезами $\sigma_{k}$, $k=1,2,\ldots$. Поскольку последовательности $x_{k}$ и $x_{k}^{\,\prime}$ сходятся к простому концу $P_{0}$ при $k\rightarrow\infty,$ мы можем считать, что точки $x_{k},x^{\,\prime}_{k}\in D_{k}$ при всех $k=1,2,\ldots,.$

По определению семейства отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(D)$ для всякого $f_{k}$ и всякой области $D^{\,\prime}_{k}:=f_{k}(D)$ найдётся континуум $K_{k}\subset D^{\,\prime}_{k}$ такой, что $h(K_{k})\geqslant\delta$ и $h(f^{\,-1}(K_{k}),\partial D)\geqslant\delta>0.$ Поскольку по условию леммы области $D^{\,\prime}_{k}$ являются равностепенно равномерными относительно $p$-модуля, то ввиду сказанного и учитывая условие (9) мы получим, что при всех $k=1,2,\ldots$ и некотором $b>0$ выполняется неравенство

[TABLE]

Рассмотрим семейство $\Gamma_{k},$ состоящее из всех кривых $\beta:[0,1)\rightarrow D^{\,\prime}_{k},$ где $\beta(0)\in C_{k}$ и $\beta(t)\rightarrow p\in C_{k}$ при $t\rightarrow 1.$ Пусть $\Gamma^{*}_{k}$ – семейство всех полных поднятий $\alpha:[0,1)\rightarrow D$ семейства $\Gamma_{k}$ при отображении $f_{k}$ с началом на $\gamma_{k}.$ Такое семейство корректно определено ввиду [11, теорема 3.7]. Ввиду замкнутости отображения $f_{k}$ имеем: $\alpha(t)\rightarrow f^{\,-1}_{k}(K_{k})$ при $t\rightarrow 1,$ где $f^{\,-1}_{k}(K_{k})$ – полный прообраз континуума $K_{k}$ при отображении $f_{k}.$

Заметим, что ввиду компактности пространства $\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ при каждом фиксированном $\delta>0$ множество $C_{\delta}:=\{x\in D:h(x,\partial D)\geqslant\delta\}$ является компактом в $D$ и $f_{k}^{\,-1}(K_{k})\subset C_{\delta}.$ Ввиду [12, лемма 1] множество $C_{\delta}$ можно вложить в континуум $E_{\delta},$ лежащий в области $D,$ при этом, можно считать, что ${\rm dist}\,(x_{0},E_{\delta})\geqslant\varepsilon_{0}$ за счёт уменьшения $\varepsilon_{0},$ если это необходимо. Тогда на основании (2) вытекает, что

[TABLE]

для каждой измеримой функции $\eta:(r_{k},\varepsilon_{0})\rightarrow[0,\infty],$ такой что $\int\limits_{r_{k}}^{\varepsilon_{0}}\eta(r)dr\geqslant 1.$ Заметим, что функция

[TABLE]

где $I(\varepsilon,\varepsilon_{0}):=\int\limits_{\varepsilon}^{\varepsilon_{0}}\psi(t)dt,$ удовлетворяет условию нормировки вида (3) при $r_{k}$ и $\varepsilon_{0}$ вместо $r_{1}$ и $r_{2},$ поэтому из условий (7) и (23) вытекает, что

[TABLE]

при $k\rightarrow\infty,$ где $\alpha(\varepsilon)$ – некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при $\varepsilon\rightarrow 0,$ которая существует ввиду условия (7). Заметим, кроме того, что $f_{k}(\Gamma_{k})>\Gamma_{k}$ и, одновременно, $f_{k}(\Gamma_{k})\subset\Gamma_{k},$ так что ввиду [13, теоремы 6.2, 6.4]

[TABLE]

Однако, соотношения (24) и (25) в совокупности противоречат (22). Полученное противоречие указывает на то, что исходное предположение (8) было неверным, и, значит, семейство отображений $\mathfrak{R}_{Q,\delta,p,E}(\overline{D})$ равностепенно непрерывно в каждой точке $x_{0}\in E_{D}.$ $\Box$

3. Доказательство основных результатов. Утверждение теорем 1, 1, 1 и 1 непосредственно вытекает из доказанных выше лемм 1–1 и [15, лемма 3.1 и детали доказательства теоремы 4.2] (см. также [2, лемма 2.3.1]). $\Box$

Список литературы

• [1] Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
• [2] Севостьянов Е.А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. – Киев: Наукова думка, 2014.
• [3] Севостьянов Е.А. О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой // Математические труды. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 178–204.
• [4] Näkki R. and Palka B. Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – V. 37, no. 2. – P. 427–433.
• [5] Näkki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 1979. – V. 35. – P. 13-40.
• [6] Gutlyanskii V.,, Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Український математичний вiсник. – 2015. – V. 12, № 1. – С. 27–-66.
• [7] Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И. Простые концы и классы Орлича–Соболева // Алгебра и анализ. – 2015. – Т. 27, № 5. – С. 81–116.
• [8] *Näkki R. * Extension of Loewner’s Capacity Theorem // Trans. Amer. Math. Soc. – 1973. – V. 180. – P. 229–236.
• [9] Golberg A., Salimov R. and Sevost’yanov E. Normal Families of Discrete Open Mappings with Controlled $p$-Module // Contemporary Mathematics. – 2016. – V. 667. – P. 83–103.
• [10] Севостьянов Е.А. О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характеристикой // Укр. матем. ж. –

2012. – 64, № 6. – С. 855–859.

• [11] Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in $n$-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. Dissertationes. – 1976. – 11. – P. 1–44.
• [12] Смоловая Е.С. Граничное поведение кольцевых $Q$-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. матем. ж. – 2010. – 62, № 5. – С. 682–689.
• [13] Väisälä J. Lectures on $n$-Dimensional Quasiconformal Mappings. – Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
• [14] Sevost’yanov E.A. On boundary behavior of mappings in terms of prime ends // www.arxiv.org, arXiv:1602.00660, 27 pages.
• [15] Golberg A., Salimov R. and Sevost’yanov E. Singularities of discrete open mappings with controlled $p$-module // J. Anal. Math. – 2015. – 127. – P. 303–328.
• [16]

КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Евгений Александрович Севостьянов

Сергей Александрович Скворцов

Житомирский государственный университет им. И. Франко

кафедра математического анализа, ул. Большая Бердичевская, 40

г. Житомир, Украина, 10 008

тел. +38 066 959 50 34 (моб.), e-mail: esevostyanov2009@mail.ru