La G\'eom\'etrie de Compensation Non-Lin\'eaire - Le Probl\`eme Spatial d'Intersection dans l'Option de la G\'eod\'esie Tridimensionnelle

TL;DR

This paper extends the application of non-linear adjustment methods to 3D geodetic trilateration, demonstrating how least squares can be used to determine an unknown point's coordinates from known distances in three-dimensional space.

Contribution

It adapts the non-linear adjustment approach to 3D trilateration, providing a practical example in geodesy for coordinate determination.

Findings

Effective application of least squares in 3D trilateration

Demonstrated method for coordinate estimation from distance measurements

Extended previous planar models to three-dimensional cases

Abstract

In an article, E. Grafarend and B. Schaffrin studied the geometry of non-linear adjustment of the planar trisection problem using the Gauss Markov model and the method of the least squares. This paper develops the same method working on an example of the determination of a point by trilateration in the three-dimensional geodetic option for determining the coordinates $(x, y, z)$ of an unknown point from measurements known distances to $n$ points.

Equations

$$\zeta (X)=L-e;e\in \mathcal{N}(0,\Gamma )$$

$$<{\zeta }_1,{\zeta }_2>={\zeta }_1^T.P.{\zeta }_2$$

$$\Vert \zeta {\Vert }^2=<\zeta ,\zeta >={\zeta }^T.P.\zeta =\sum _{i=1}^n{p}_i.{\zeta }_i^2$$

$$\Vert L-\bar{\zeta }(\bar{X})\Vert =min\left\{\Vert L-\zeta (X)\Vert /X\in U\right\}$$

$$\frac{\partial }{\partial X_i}\Vert L-\zeta (X){\Vert }^2=0\text{mbox}pouri\in \left\{1,2,...,m\right\}$$

$$F(X)=F(X_1,X_2,..,X_m)=\Vert L-\zeta (X)\Vert =\Vert L-\zeta (X_1,X_2,...,X_m)\Vert$$

$$-\frac{\partial G(X)}{\partial X_i}=0\Rightarrow \frac{\partial G(X)}{\partial X_i}=0$$

$$\frac{\partial }{\partial X_i}\Vert L-\zeta (X_1,X_2,...,X_m){\Vert }^2=0\text{mbox}pouri\in \left\{1,2,...,m\right\}$$

$$\Vert L-\zeta (X_1,X_2,...,X_m){\Vert }^2=(L-\zeta (X_1,X_2,...,X_m){)}^T.P.(L-\zeta (X_1,X_2,...,X_m))=$$

$$\zeta (X{)}^T.P.\zeta (X)-2L^T.P.\zeta (X)+L^T.P.L$$

$$\frac{\partial G(X)}{\partial X_i}=2\zeta (X{)}^T.P.\frac{\partial \zeta (X)}{\partial X_i}-2L^T.P.\frac{\partial \zeta (X)}{\partial X_i}\text{mbox}pouri\in \left\{1,2,...,m\right\}$$

$$\frac{\partial G(X)}{\partial X_i}=2(\zeta (X)-L{)}^T.P.\frac{\partial \zeta (X)}{\partial X_i}\text{mbox}pouri\in \left\{1,2,...,m\right\}$$

$$<L-\zeta (X),\frac{\partial \zeta (X)}{\partial X_i}>=0\text{mbox}pouri\in \left\{1,2,...,m\right\}$$

$$\text{mbox}ou<e,\frac{\partial \zeta (X)}{\partial X_i}>=0\text{mbox}pouri\in \left\{1,2,...,m\right\}$$

$$\displaystyle\zeta(X)=\left|\begin{array}[]{l}\zeta_{1}=(x-u_{1})^{2}+(y-v_{1})^{2}+(z-w_{1})^{2}\\ \zeta_{2}=(x-u_{2})^{2}+(y-v_{2})^{2}+(z-w_{2})^{2}\\ \zeta_{3}=(x-u_{3})^{2}+(y-v_{3})^{2}+(z-w_{3})^{2}\\ \zeta_{4}=(x-u_{4})^{2}+(y-v_{4})^{2}+(z-w_{4})^{2}\end{array}\right.$$

$$\text{mbox}avec{X}_1=x,X_2=y,X_3=z\text{mbox}lesinconnues$$

$$\zeta (X)={\zeta }_k{e}_k$$

$$\frac{\partial\zeta}{\partial X_{1}}=\left|\begin{array}[]{l}2(x-u_{1})\\ 2(x-u_{2})\\ 2(x-u_{3})\\ 2(x-u_{4})\\ \end{array}\right.,\quad\frac{\partial\zeta}{\partial X_{2}}=\left|\begin{array}[]{l}2(y-v_{1})\\ 2(y-v_{2})\\ 2(y-v_{3})\\ 2(y-v_{4})\\ \end{array}\right.,\quad\frac{\partial\zeta}{\partial X_{3}}=\left|\begin{array}[]{l}2(z-w_{1})\\ 2(z-w_{2})\\ 2(z-w_{3})\\ 2(z-w_{4})\\ \end{array}\right.\quad$$

$$\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial X^{2}_{1}}=\left|\begin{array}[]{l}2\\ 2\\ 2\\ 2\end{array}\right.,\quad\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial X^{2}_{2}}=\left|\begin{array}[]{l}2\\ 2\\ 2\\ 2\end{array}\right.,\quad\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial X^{2}_{3}}=\left|\begin{array}[]{l}2\\ 2\\ 2\\ 2\end{array}\right.\quad$$

$$\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial X_{i}\partial X_{j}}=\left|\begin{array}[]{l}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right.$$

$$<L-\zeta (X),\frac{\partial \zeta (X)}{\partial X_i}>=0;i=1,2,3$$

$$(x-u_1)(L_1-{\zeta }_1)+(x-u_2)(L_2-{\zeta }_2)+(x-u_3)(L_3-{\zeta }_3)+(x-u_4)(L_4-{\zeta }_4)=0$$

$$(y-v_1)(L_1-{\zeta }_1)+(y-v_2)(L_2-{\zeta }_2)+(y-v_3)(L_3-{\zeta }_3)+(y-v_4)(L_4-{\zeta }_4)=0$$

$$(z-w_1)(L_1-{\zeta }_1)+(z-w_2)(L_2-{\zeta }_2)+(z-w_3)(L_3-{\zeta }_3)+(z-w_4)(L_4-{\zeta }_4)=0$$

$$(x-u_1)(L_1-{\zeta }_1)+(x-u_2)(L_2-{\zeta }_2)+(x-u_3)(L_3-{\zeta }_3)=0$$

$$(y-v_1)(L_1-{\zeta }_1)+(y-v_2)(L_2-{\zeta }_2)+(y-v_3)(L_3-{\zeta }_3)=0$$

$${\zeta }_1=(x-u_1{)}^2+(y-v_1{)}^2+(z_0-w_1{)}^2$$

$${\zeta }_2=(x-u_2{)}^2+(y-v_2{)}^2+(z_0-w_2{)}^2$$

$${\zeta }_3=(x-u_3{)}^2+(y-v_3{)}^2+(z_0-w_3{)}^2$$

$${\zeta }_i-L_i=x^2+y^2-2x{u}_i-2y{v}_i+a_i$$

$$\text{mbox}avec{a}_i=constante$$

$$(x-u_1)(x^2+y^2-2x{u}_1-2y{v}_1+a_1)+(x-u_2)(x^2+y^2-2x{u}_2-2y{v}_2+a_2)$$

$$+(x-u_3)(x^2+y^2-2x{u}_3-2y{v}_3+a_3)=0$$

$$(y-v_1)(x^2+y^2-2x{u}_1-2y{v}_1+a_1)+(y-v_2)(x^2+y^2-2x{u}_2-2y{v}_2+a_2)$$

$$+(y-v_3)(x^2+y^2-2x{u}_3-2y{v}_3+a_3)=0$$

Full text

1. 1 Introduction

2. 2 La Géométrie Non Linéaire du Modèle de Gauss-Markov

3. 3 Etude d’un cas pratique

4. 3.1 Ecriture des Equations de Lagrange-Euler

5. 3.2 Réduction des Equations de Lagrange-Euler

6. 4 Résolution du Système

7. 5 Résolution du système des inconnues en $\rho$ et $\theta$

8. 6 Calcul de la Matrice Covariance des inconnues

**La Géométrie de Compensation Non-Linéaire - Le Problème Spatial d’Intersection

dans l’Option de la Géodésie Tridimensionnelle**

**Abdelmajid Ben Hadj Salem, Dipl. Ing.1116, rue du Nil, Cité Soliman Er-Riadh, 8020 Soliman, Tunisie **

1 Introduction

Dans un article  [1] E. Grafarend et B. Schaffrin ont étudié la géométrie de la compensation ou ajustement non-linéaire pour le cas du problème d’intersection plane en utilisant le modèle de Gauss Markov, par les moindres carrés. Le présent papier développe la même méthode en travaillant sur un exemple de la détermination d’un point par trilatération dans l’option de la géodésie tridimensionnelle pour la détermination des coordonnées $(x,y,z)$ d’un point inconnu à partir des mesures des distances vers $n$ points connus.

2 La Géométrie Non Linéaire du Modèle de Gauss-Markov

Le modèle non linéaire de Gauss-Markov est défini par:

[TABLE]

avec:

• $L$: le vecteur des observations $(n\times 1)=(L_{1},L_{2},..,L_{n})^{T}$,

• $X$: le vecteur des inconnues $(m\times 1)=(X_{1},X_{2},..,X_{m})^{T}$,

• $e$: le vecteur des erreurs $(n\times 1)=(e_{1},e_{2},..,e_{n})^{T}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0,\Gamma)$ avec $E(e)=0$ et $\Gamma=E(ee^{T})$ la matrice de dispersion ou variance, on prendra $\Gamma=\sigma^{2}_{0}.P^{-1}$. $P$ est la matrice des poids et $\sigma_{0}$ une constante positive.

• $\zeta$: est une fonction donnée injective d’un ouvert $U\subset{\mathbb{R}}^{m}\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ et $m<n$.

Remarque: dans le cas d’un modèle linéaire, la fonction $\zeta=A.X$ où $A$ est une matrice $n\times m$.

On note $Im\zeta=\left\{\zeta(X)/X\in U\right\}$ l’image de $U$ par la fonction $\zeta$. $Im\zeta$ est une variété de dimension $m$ vérifiant les conditions:

(i): les vecteurs $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial X_{1}},\frac{\partial\zeta}{\partial X_{2}},...,\frac{\partial\zeta}{\partial X_{m}}$ sont linéairement indépendants en chaque point $X\in U$,

(ii): les fonctions $\displaystyle\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial X_{i}\partial X_{j}}$ sont continues sur $U$ pour $i,j\in\left\{1,2,...,m\right\}$.

On introduit un produit scalaire:

[TABLE]

D’où la norme du vecteur $\zeta=(\zeta_{1},\zeta_{2},...,\zeta_{n})^{T}$:

[TABLE]

dans l’espace vectoriel ${\mathbb{R}}^{n}$ en prenant la matrice de poids $P$ une matrice diagonale .

Alors la solution par les moindres carrés $\bar{X}$ sera définie par:

[TABLE]

Cette condition est exprimée par les équations de Lagrange-Euler soit:

[TABLE]

En effet, on veut minimiser la fonction:

[TABLE]

Comme $F$ est une fonction positive, minimiser $F$ c’est aussi minimiser $F^{2}$, soit $G(X)=F^{2}(X)$. En appliquant les équations de Lagrange-Euler, on obtient:

[TABLE]

soit:

[TABLE]

or:

[TABLE]

Soit :

[TABLE]

ou encore :

[TABLE]

ce qui donne en utilisant (5):

[TABLE]

Géométriquement, cela veut dire que le vecteur erreur $e=L-\zeta(X)$ est perpendiculaire (produit scalaire nul) au plan tangent de la variété $Im\zeta$ au point $\bar{\zeta}(\bar{X})$ (s’il existe).

Pour le cas non-linéaire, la condition (11) est nécessaire mais non suffisante. Pour obtenir le minimum, il faut que la matrice $(\displaystyle\frac{\partial^{2}G}{\partial X_{i}\partial X_{j}}),i,j\in\left\{1,2,...,m\right\}$ soit définie positive.

3 Etude d’un cas pratique

On considère la détermination d’un point par trilatération dans l’option de la géodésie tridimensionnelle pour la détermination des coordonnées $(x,y,z)$ d’un point $M$ inconnu à partir des mesures des distances vers $4$ points connus $M_{k}(u_{k},v_{k},w_{k})_{k=1,2,3,4}$.

Pour faciliter les calculs, on prendra $P=I,\,\sigma_{0}=1$ et nous adoptons la fonction $\zeta(X)$ comme suit:

[TABLE]

et d’après (16), la fonction $\zeta$ n’est pas une fonction linéaire des variables $X_{i}$. $\zeta$ est une fonction de ${\mathbb{R}}^{3}\rightarrow{\mathbb{R}}^{4}$ qui s’écrit:

[TABLE]

où $e_{k}$ est la base orthonormée de ${\mathbb{R}}^{n}$. Voyons qu’elle vérifie les deux conditions (i) et (ii) cités ci-dessus.

Calculons $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial X_{i}}$, on a alors:

[TABLE]

Pourque les 3 vecteurs soient linéairement indépendants, il faut que les points $M,M_{i},M_{j},M_{k}$ ne soient pas alignés. Pour la condition (ii), on a facilement:

[TABLE]

et pour $i\neq j$, on a:

[TABLE]

Donc les quantités $\displaystyle\frac{\partial^{2}\zeta(X)}{\partial X_{i}\partial X_{j}}$ sont continues et la condition (ii) est vérifiée.

3.1 Ecriture des Equations de Lagrange-Euler

Pour déterminer la solution par les moindres carrés du modèle non-linéaire, on écrit les conditions (10). Le vecteur $L=(L_{1},L_{2},L_{3},L_{4})^{T}$ telque chacun des $L_{i}$ représente le carré de la distance spatiale mesurée. On a alors en utilisant (18):

[TABLE]

soit:

[TABLE]

Les équations (21) représente un système de trois équations non linéaires de trois inconnues $(x,y,z)$ dont la solution est un peu compliquée.

Pour faciliter encore la résolution du système précédent, on va supposer que la variable $z$ est connue égale à $z_{0}$, dans ce cas, on se limite à trois distances mesurées $L_{1},L_{2}$ et $L_{2}$. Alors (21) s’écrit:

[TABLE]

avec:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Les expressions $\zeta_{i}-L_{i}$ s’écrivent sous la forme:

[TABLE]

Le système (22) devient:

[TABLE]

En développant les équations (25) et(26), on obtient:

[TABLE]

Supposons qu’on se limite à deux distances $L_{1}$ et $L_{2}$, alors on a à résoudre :

[TABLE]

3.2 Réduction des Equations de Lagrange-Euler

Dans ce paragraphe, on essaye de réduire l’écrirure du système (29) - (30). A cet effet posons:

[TABLE]

ce qui donne:

[TABLE]

Alors les expressions (29) - (30) deviennent:

[TABLE]

Nous présentons dans la suite la résolution des équations ci-dessus:

4 Résolution du Système

Posons:

[TABLE]

Utilisant les relations:

[TABLE]

Les équations (33) et (34) deviennent:

[TABLE]

Soit:

[TABLE]

Eliminant les termes constants entre (44) et(45) et après simplification par $\rho\neq 0$, on obtient l’équation:

[TABLE]

Maintenant, on élimine les coefficients en $\rho^{3}$ des équations (44) et(45), nous obtenons une équation en deuxième degré en $\rho$:

[TABLE]

5 Résolution du système des inconnues en $\rho$ et $\theta$

On écrit les équations (46) et(47) sous la forme:

[TABLE]

Le système précédent est résolvable si et seulement si:

[TABLE]

soit en choisissant:

[TABLE]

Soit:

[TABLE]

ce qui donne un polynôme en $sin\theta,cos\theta,sin2\theta,cos2\theta$. En posant:

[TABLE]

et utilisant les formules:

[TABLE]

L’équation (52) devient un polynôme du troisième degré en $\xi$ qu’on peut résoudre par les méthodes classiques.

6 Calcul de la Matrice Covariance des inconnues

Comme on a:

[TABLE]

Or, on s’est limité à deux inconnues, le vecteur $\zeta=(\zeta_{1},\zeta_{2})^{T}$. D’où en différentiant (56) en utilisant les deux premières lignes, on obtient alors:

[TABLE]

avec:

[TABLE]

Par suite:

[TABLE]

d’où la matrice covariance du vecteur inconnu $X=(x,y)^{T}$:

[TABLE]

Références

• [1] E.W. Grafarend et B. Schaffrin. The geometry of non-linear adjustment - the planar trisection problem. FESTCHRIFT to TORBEN KRARUP edited by E. Kejlo, K. Poder and C.C. Tscherning. Geodætisk Institut, Meddelelse $n^{\circ}58$. p149-172. København, Danmark. 1989.

[2]** P.J.G Teunissen**. The Geometry of Geodetic Inverse Linear Mapping and Non-Linear Adjustment. Publications On Geodesy, $n^{\circ}1$, Volume 8, Netherlands Geodetic Commission. 1985. 177p.