Spectral series of the Schr\"odinger operator with delta-potential on a three-dimensional spherically symmetric manifold

TL;DR

This paper analyzes the spectral properties of the Schrödinger operator with a delta-potential on a three-dimensional spherically symmetric manifold in the semiclassical limit, providing detailed descriptions of the spectral series.

Contribution

It offers a novel description of the spectral series for this operator on such manifolds in the semiclassical regime, extending previous understanding.

Findings

Spectral series characterized in the semiclassical limit

Explicit asymptotic formulas derived for eigenvalues

Insights into the effect of delta-potential on spectral properties

Abstract

The spectral series of the Schr\"odinger operator with a delta-potential on a three-dimensional compact spherically symmetric manifold in the semiclassical limit as $h\to0$ are described.

Equations

$$\frac{1}{2\pi h}{\int }_{\gamma }(p,dx)+\frac{1}{4}\mu (\gamma )=m\in \mathbb{Z},$$

$$\left(-\frac{h^2}{2}\Delta +\alpha {\delta }_{x_0}(x))\right)\Psi =E\Psi ,x\in N,\alpha \in \mathbb{R},$$

$$N=(f(z)\cos \theta \cos \phi ,f(z)\cos \theta \sin \phi ,f(z)\sin \theta ,z),$$

$$H=-\frac{h^2}{2}\Delta +\alpha {\delta }_{x_0}(x),x\in N,\alpha \in \mathbb{R}$$

$$\psi ={\psi }_0+c_{1}G(x,x_0;i)+{с}_{2}G(x,x_0,-i),$$

$$(\Delta -\lambda {)}^{-1}f={\int }_{M}G(x,y;z)f(y)\Omega$$

$$\psi (x)=-\frac{a}{4\pi }{d(x,x_0)}^{-1}+b+o(1),$$

$$a=\frac{2\alpha }{h^2}b.$$

$$\{\begin{array}{rl}& \dot{x}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p};\\ & \dot{p}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x},\end{array}$$

$$\{\begin{array}{rl}& x=X(\omega ,t);\\ & p=P(\omega ,t),\omega \in S_{\sqrt{2E}}^2,t\in \mathbb{R},\end{array}$$

$$\{\begin{array}{rl}& x(0)=x_0;\\ & p(0)=\omega ,\omega \in S_{\sqrt{2E}}^2,|\omega |=\sqrt{2E}.\end{array}$$

$$\tan (\frac{1}{2h}\underset{\gamma }{\oint }(p,dx)+O(h))=\frac{2h^3}{\sqrt{2E}\alpha },$$

$$\tan (\frac{1}{h}{\int }_{z_0}^{z_1}\sqrt{2E(f^{\prime 2}+1)}dz+O(h))=\frac{2h^3}{\sqrt{2E}\alpha }$$

$$\frac{1}{2\pi h}\underset{\gamma }{\oint }(p,dx)=k+\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2\pi h}\underset{\gamma }{\oint }(p,dx)=k.$$

$$H\psi (x)=E\psi (x)+o(h)$$

$$\psi (x)=e_1{\psi }_1(x)+e_2{\psi }_2(x),$$

$$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}{f}^{\prime 2}(z)+1& 0& 0\\ 0& f^2(z)& 0\\ 0& 0& {\cos }^2\theta f^2(z)\end{array}\right),\sqrt{g}=f^2(z)\sqrt{f^{\prime 2}(z)+1}\cos \theta .$$

$$\Delta =\frac{1}{f^2(z)\sqrt{f^{\prime 2}(z)+1}}\frac{\partial }{\partial z}\frac{f^2(z)}{\sqrt{f^{\prime 2}(z)+1}}\frac{\partial }{\partial z}+\frac{1}{f^2(z)}{\Delta }_0,$$

$${\Delta }_0=\frac{1}{\cos \theta }\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\cos \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{\partial }{\partial \phi }\frac{1}{\cos \phi }\frac{\partial }{\partial \phi }\right).$$

$$u^{\prime \prime }(z)+\left(\frac{2f^{\prime }(z)}{f(z)}-\frac{f^{\prime }(z)f^{\prime \prime }(z)}{f^{\prime 2}(z)+1}\right)u^{\prime }(z)+(f^{\prime 2}(z)+1)\left(\frac{2E}{h^2}-\frac{m(m+1)}{f^2(z)}\right)u(z)=0.$$

$$u^{\prime \prime }(z)-\frac{2}{z_0-z}{u}^{\prime }(z)+\frac{a_0^2}{4(z_0-z)}\left(\frac{2E}{h^2}-\frac{m(m+1)}{a_0^2(z_0-z)}\right)u(z)=0.$$

$$u(z)=(z-z_0{)}^{\rho }r(z),$$

$$\rho (\rho -1)+2\rho -\frac{m(m+1)}{4}=0,$$

$$\{\begin{array}{r}{R}_1(z)=(z-z_0{)}^{{\rho }_1}{\phi }_1(z);\\ R_2(z)=(z-z_0{)}^{{\rho }_2}{\phi }_2(z),\end{array}$$

$$\{\begin{array}{r}{R}_1(z)={\phi }_1(z);\\ R_2(z)=(z-z_0{)}^{-1}{\phi }_2(z).\end{array}$$

$$d(z,z_0)\sim (z_0-z)\sqrt{f^{\prime 2}(z)+1}$$

$$P^{\prime \prime }(z)-\frac{2}{z_0-z}{P}^{\prime }(z)+\frac{a_0^2}{4(z_0-z)}\frac{2E}{h^2}P(z)=0.$$

$$P_{tt}(t)+\frac{3}{t}{P}_t(t)+P(t)=0.$$

$$P(t)=A{t}^{-1}{N}_1(t)+B{t}^{-1}{C}_1(t)$$

Full text

1 Введение

Исследованию операторов Шрёдингера с дельта-потенциалами (точечными потенциалами, потенциалами нулевого радиуса) посвящено много физических и математических работ. Модель точечных потенциалов может использоваться для описания короткодействующих примесей, дефектов и подобных явлений в различных системах. Одной из первых работ, в которых потенциалы нулевого радиуса применялись для исследования зонного спектра периодических систем, является статья [32], где рассматривалась модель нерелятивистского электрона, движущегося в жесткой кристаллической решетке. С тех пор модель приобрела значительную популярность, особенно в атомной и ядерной физике(см., например, [22], [29], [7], [26], [27], [28], [31], [33], [9]).

Строгое математическое обоснование метода дельта-потенциалов было дано в работе [3], где было предложено использовать формулу М.Г. Крейна для описания резольвент операторов с точечными возмущениями. Обширная библиография работ, посвящённых применениям метода точечных потенциалов содержится в монографиях [20], [21]. В работах [23], [24], [25], [12] на основе теории расширений изучались спектральные свойства операторов с дельта-потенциалами и близких к ним операторов на сингулярных пространствах.

В данной работе описаны спектральные серии оператора Шредингера с дельта-потенциалом вида $H=-\frac{h^{2}}{2}\Delta+\alpha\delta_{x_{0}}(x),\alpha\in\mathbb{R}$ в квазиклассическом пределе $h\to 0$ на трехмерной компактной поверхности, обладающей сферической симметрией. Для широкого класса уравнений с гладкими коэффициентами квазиклассическая теория развита в работах В.П. Маслова (см.,например, [13], [14]); в частности, из них вытекает следующий результат. Пусть $N$ — риманово многообразие и $V:N\to\mathbb{R}$ — гладкая функция (потенциал). Если гамильтонова система в $T^{*}N$, задаваемая гамильтонианом $\frac{1}{2}|p|^{2}+V$ вполне интегрируема, то соответствующие лиувиллевы торы $\Lambda$ определяют квазиклассические спектральные серии оператора $H=-\frac{h^{2}}{2}\Delta+V(x)$ (здесь $x\in N$, $(x,p)$ – стандартные координаты на $T^{*}N$). Именно: асимптотика при $h\to 0$ собственных чисел оператора $H$ вычисляется из условий квантования Бора — Зоммерфельда — Маслова

[TABLE]

где $\gamma$ — произвольный цикл на $\Lambda$, $\mu$ – индекс Маслова, $m=O(1/h)$. Формальная асимптотика собственных функций (квазимоды) имеет вид $\psi=K_{\Lambda}(1)$, где $K_{\Lambda}$ — канонический оператор Маслова на торе $\Lambda$, удовлетворяющем условию квантования.

К операторам с дельта-потенциалами конструкция канонического оператора, вообще говоря, неприменима; геометрия соответствующей классической задачи к настоящему времени остается мало исследованной. Ниже описаны инвариантные лагранжевы многообразия, соответствующие спектральным сериям указанного оператора с дельта-потенциалом и получены условия квантования, определяющие асимптотику собственных значений. Эти условия, вообще говоря, нестандартны; при больших или малых значениях коэффициента $\alpha$ они переходят в равенства вида (1), но с разными значениями индекса Маслова $\mu$ — возможно, это указывает на наличие более сложных геометрических объектов, связанных с квазиклассической теорией операторов с сингулярными коэффициентами. Работа представляет собой продолжение работ [18], [16]; в них аналогичная задача изучалась для стандартной сферы (в этом случае спектр вычисляется точно) и для двумерной поверхности вращения.

2 Постановка задачи.

2.1 Спектральная задача.

Будем рассматривать спектральную задачу

[TABLE]

где $\delta_{x_{0}}(x)$ - дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке $x_{0}$, в квазиклассическом пределе $h\to 0$ на трехмерном многообразии в $\mathbb{R}^{4}$

[TABLE]

где $z\in[z_{0},z_{1}]$, $0\leq\varphi\leq 2\pi$, $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$. Относительно функции $f(z)$ будем предполагать следующее.

$f(z_{0})=f(z_{1})=0$, $f(z)>0$ при $z\in(z_{0},z_{1})$; 2. 2.

$f(z)=\sqrt{(z_{1}-z)(z-z_{0})}\omega(z)$, где $\omega(z)$ — многочлен.

При этих условиях поверхность $N$ — аналитическое многообразие, диффеоморфное трехмерной сфере; точки $x_{0},x_{1}$, соответствующие значениям параметра $z=z_{0},z_{1}$ — полюса этой поверхности (в одном из них сосредоточена дельта-функция).

Замечание 1**.**

Условие 2 можно ослабить — по-видимому, достаточно требовать аналитичность $f$ в некоторой окрестности отрезка $[z_{0},z_{1}]$, за исключением точек $z_{0},z_{1}$, в которых $f$ имеет корневую особенность.

Ниже приведено формальное определение оператора с $\delta$-потенциалом на поверхности $N$.

2.2 Формальное определение оператора $H$.

Оператор

[TABLE]

в пространстве $L_{2}(N)$ определяется с помощью конструкции самосопряженных расширений (см.[3]). Именно: $H$ строится таким образом, чтобы выполнялись следующие требования.

Оператор $H$ самосопряжен. 2. 2.

На функциях, обращающихся в ноль в точке $x_{0}$, $H$ совпадает с оператором $H_{0}=-\frac{h^{2}}{2}\Delta$, где $\Delta$ — оператор Лапласа — Бельтрами.

Точнее: рассмотрим самосопряженный оператор $H_{0}$ с областью определения $D(H_{0})=W^{2}_{2}(N)$, где $W^{2}_{2}(N)$ — второе пространство Соболева. Ограничим действие оператора $H_{0}$ на функции $\psi(x)$, такие что $\psi(x_{0})=0$; получим симметрический оператор $H_{0}|_{\psi(x_{0})=0}$.

Определение 1**.**

Оператором $H=-\frac{h^{2}}{2}\Delta+\alpha\delta_{x_{0}}(x)$ называется самосопряженное расширение оператора $H_{0}|_{\psi(x_{0})=0}$.

Замечание 2**.**

Все такие расширения параметризуются одним вещественным параметром $\alpha$, который естественно трактовать как коэффициент при $\delta$-потенциале в (3) (в частности, при $\alpha=0$ получаем $H=H_{0}$).

Каждое расширение задается граничными условием в точке $x_{0}$; точнее, область определения оператора $H$ состоит из функций следующего вида

[TABLE]

где $\psi_{0}\in W_{2}^{2}(N)$, $\psi_{0}(x_{0})=0$, $G(x,y,\lambda)$ — функция Грина оператора $\Delta$, т.е. интегральное ядро резольвенты:

[TABLE]

($\Omega$ — форма объема на $N$).

В точке $x_{0}$ функции указанного вида имеют особенность; именно, справедливо следующее разложение

[TABLE]

где $a,b\in\mathbb{C},d(x,x_{0})$ — геодезическое расстояние между $x$ и $x_{0}$ на $N$. Область определения расширения $H$, соответствующего параметру $\alpha$, состоит из функций, удовлетворяющих граничному условию

[TABLE]

3 Формулировка результата.

3.1 Описание лагранжева многообразия.

Квазиклассическая асимптотика собственных чисел оператора $H$ вычисляется из условия квантования на лагранжевом многообразии, которое мы сейчас опишем. Пусть $(x,p)\in T^{*}N$, где $T^{*}N$ — кокасательное расслоение к $N$, $x\in N$, $p$ — кокасательный вектор к $N$ (импульс). Рассмотрим гамильтонову систему (геодезический поток)

[TABLE]

где $\mathcal{H}=\frac{|p|^{2}}{2}$, и ее траектории

[TABLE]

заданные начальными условиями

[TABLE]

Здесь $S^{2}_{\sqrt{2E}}$ —- двумерная сфера радиуса $\sqrt{2E}$ в кокасательном пространстве в точке $x_{0}$. Таким образом, из точки $x_{0}$ (в которой сосредоточен дельта-потенциал) по поверхности $N$ с импульсом, "бегающим"по сфере $S^{2}_{\sqrt{2E}}$ (т.е. $p\in\Lambda_{0}$, где $\Lambda_{0}=\{x=x_{0},|p|=\sqrt{2E}\}$), выпускаются траектории гамильтоновой системы. Эти траектории лежат на многообразии $\Lambda=\bigcup_{t}g_{t}\Lambda_{0}$ ($g_{t}$ — гамильтонов фазовый поток), диффеоморфном $S^{2}\times S^{1}$ (см. Рис. 1); оно описывает классические движения, соответствующие данной квантовой задаче. Проекции траекторий на $N$ — геодезические.

На многообразии $\Lambda$ имеется один базисный цикл $\gamma$, интегралы по нему и дают вклад в спектр. В качестве этого цикла можно взять замкнутую траекторию гамильтоновой системы (6) с начальными условиями (7) (см. Рис. 2).

Проекция $\Lambda$ на $x$-пространство устроено следующим образом: в каждую точку $N$, кроме $x_{0}$ и $x_{1}$, проецируется две точки многообразия $\Lambda$ вида $(x,p)$ и $(x,-p)$. В каждую из точек $x_{0}$ и $x_{1}$ проецируется двумерная сфера.

3.2 Формулировка результата: условие квантования.

Условие квантования на многообразии $\Lambda$ по циклу $\gamma$ и есть искомое уравнение на спектр задачи; точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1**.**

Пусть $Ch^{-\epsilon}<\frac{\alpha}{h^{3}}<Ch^{\epsilon}$ для некоторого достаточно малого $\epsilon$. Пусть существует число $E=O(1)$, удовлетворяющее условию квантования

[TABLE]

где $\gamma$ — указанный выше цикл (замкнутая траектория) на лагранжевом многообразии $\Lambda$. Тогда существует собственное значение $E_{0}$ оператора $H$, такое что $|E-E_{0}|=o(h)$, при $h\to 0$.

Замечание 3**.**

Явный аналитический вид условия квантования таков

[TABLE]

Замечание 4**.**

Асимптотика собственной функции вне сколь угодно малой не зависящей от $h$ окрестности точки $x_{0}$ имеет вид $K_{\tilde{\Lambda}}(1)$, где $K$ — канонический оператор Маслова, а $\tilde{\Lambda}$ — некомпактное лагранжево многообразие, полученное из $\Lambda$ выбрасыванием двумерной сферы, проецирующейся в точку $x_{0}$ (это многообразие, очевидно, гомеоморфно цилиндру $S^{2}\times\mathbb{R}$.

3.3 Скачок индекса Маслова.

Рассмотрим предельные случаи условия квантования, описанного в теореме. Пусть $\frac{\alpha}{h^{3}}\to 0$, тогда условия квантования принимают стандартный вид

[TABLE]

(отметим, что индекс Маслова цикла $\gamma$ равен двум). Пусть теперь $\frac{\alpha}{h^{3}}\to\infty$; тогда имеем

[TABLE]

Это равенство также имеет вид условия Бора — Зоммерфельда — Маслова; однако в этом случае ‘‘индекс Маслова’’ цикла $\gamma$ оказывается равным нулю. Таким образом, при переходе через критическое значение $\alpha=O(h^{3})$ происходит скачок целочисленного инварианта, совпадающего в случае гладкого потенциала с индексом Маслова: наличие дельта-функции приводит к его изменению на 2. Возможно, это указывает на существование некоторой топологической конструкции (пока нам неясной), обобщающей канонический оператор Маслова на случай сингулярных коэффициентов.

Замечание 5**.**

Теорема остается справедливой и без сформулированного ограничения на $\alpha$. Однако вне указанного диапазона условие квантования всегда имеет вид правила Бора — Зоммерфельда — Маслова; кроме того, при доказательстве теоремы может, вообще говоря, потребоваться построение нескольких поправок к асимптотике (соответствующая процедура аналогична описанной ниже), причем количество поправок зависит от порядка отношения $\alpha/h^{3}$.

Остальная часть работы посвящена доказательству теоремы 1.

4 Доказательство теоремы 1.

4.1 Разделение переменных.

Асимптотическое решение задачи

[TABLE]

строим в виде

[TABLE]

где $e_{1},e_{2}$ — разбиение единицы $e_{1}+e_{2}=1$, причем носитель функции $\psi_{1}(x)$ лежит вблизи $x_{0}$, носитель функции $\psi_{2}(x)$ вне $x_{0}$. В точках пересечения носителей функции должны совпадать $\mathrm{mod}o(h)$.

Метрика на поверхности вращения $N$ имеет вид

[TABLE]

Оператор Лапласа в координатах записывается следующим образом

[TABLE]

где $\Delta_{0}$ — оператор Лапласа на двумерной сфере:

[TABLE]

Будем искать решение (9) в виде $\psi=u(z)Y$, где $-\Delta_{0}Y=m(m+1)Y$. После подстановки уравнение (8) будет выглядеть так

[TABLE]

4.2 Структура решений в окрестности особых точек.

В уравнении (10) две регулярных особых точки: $z_{0}$ и $z_{1}$. Выясним локальную структуру решений в окрестности этих точек; пусть, для определенности, $z\to z_{0}$. Подставим разложение $f(z)=\sqrt{z-z_{0}}\,\sum^{\infty}_{j=0}a_{j}(z-z_{0})^{j}$ в уравнение (10) и учтем только члены порядка $(z-z_{0})^{-1}$. Получим

[TABLE]

Для вычисления характеристических показателей (см., например, [17]), подставим в уравнение (11)

[TABLE]

где $r(z)=\sum^{\infty}_{k=0}{r_{k}(z-z_{0})^{k}}$. Приравняем к нулю коэфициент при $(z-z_{0})^{\rho-2}$, получим

[TABLE]

то есть $\rho=\frac{-1\pm\sqrt{1+m(m+1)}}{2}$, и, пользуясь [17], получаем, что (10) имеет два линейно независимых решения следующего вида

[TABLE]

где $\varphi_{1}(z),\varphi_{2}(z)$ голоморфны в окрестности $z_{0}$.

Нам нужно найти решение (10), аналитическое в окрестности точки $z_{1}$ и имеющее особенность вида $(z-z_{0})^{-1}$ в окрестности точки $z_{0}$. Ясно, что такие решения существуют лишь при $m=0$; этим случаем мы в дальнейшем и ограничимся. В этом случае имеем

[TABLE]

В окрестности точки $z_{1}$ решения устроены аналогично.

Замечание 6**.**

Если $m\neq 0$, уравнение (10) допускает решения, обращающиеся в нуль в точке $z_{0}$. Такое решение определяет собственную функцию оператора Лапласа — Бельтрами (без дельта-потенциала); асимптотика в этом случае строится по стандартной схеме [14]

4.3 Эталонное уравнение в окрестности $z_{0}$.

Согласно формуле для длины кривой на поверхности, заданной параметрически, $d(z,z_{0})=\int^{z_{0}}_{z}\sqrt{f^{\prime 2}(z)+1}\,\,dz,z\in(z_{1},z_{0})$, причем

[TABLE]

вблизи $z_{0}$.

Исследуем фундаментальную систему решений уравнения (11), учитывая, что $m=0$:

[TABLE]

Сделаем замену $t=\frac{a_{0}\sqrt{2E}}{h}\sqrt{z_{0}-z}$, тогда уравнение (12) принимает такой вид

[TABLE]

Это уравнение — уравнение Бесселя (см., например, [2]), его решение вблизи точки $z_{0}$ представляет собой линейную комбинацию функции Бесселя и функции Неймана первого порядка, умноженных на степень аргумента, а именно

[TABLE]

Эти функции мы будем использовать при построении асимптотики решения уравнения (10) в окрестности точки $z_{0}$.

4.4 Асимптотика решения в окрестности точки $z_{0}$. Переменная Лангера.

Теперь рассмотрим общий вид уравнения (10)

[TABLE]

Это — уравнение с двумя регулярными особыми точками $z_{0}$ и $z_{1}$. Для удобства обозначим

[TABLE]

[TABLE]

тогда уравнение (15) примет вид

[TABLE]

где $p(z),q(z)$ аналитические функции при $z\to z_{0}$.

Пользуясь методом Лангера-Вазова, асимптотическое решение уравнения (18) будем искать в виде

[TABLE]

где $\tau=\frac{S(z)}{h^{2}}$ — переменная Лангера, $S(z)$ — неизвестная функция, аналитическая в окрестности точки $z_{0}$. Функции $F$, $S$ выберем так, чтобы $u$ имела особенность нужного вида в точке $z_{0}$. Подставим (19) в (18), получим

[TABLE]

Поскольку $S=h^{2}\tau$, последнее слагаемое мало (оценка получена ниже); отбрасывая его и обозначая

[TABLE]

[TABLE]

приведем уравнение (20) к виду

[TABLE]

Произвольное решение уравнения (20) — это линейная комбинация следующих функций

[TABLE]

[TABLE]

где $N_{\nu}(t)$ – функция Неймана, $C_{\nu}(t)$ - функция Бесселя порядка $\nu$ (см., например,[2]).

Для того, чтобы функция $F$ зависела только от $\tau$, величины $k(z)$ и $n(z)$ должны быть константами. Можно считать, что $k(z)=1$; это равенство приводит к уравнению Гамильтона — Якоби

[TABLE]

Отсюда находим $S(z)$

[TABLE]

отметим, что эта функция голоморфна в окрестности точки $z_{0}$ и $S(z_{0})=0$, $S^{\prime}(z_{0})\neq 0$. Функция $n(z)$, вообще говоря, не константа; однако нетрудно понять, что замена в уравнении (23) $n(z)$ на $n(z_{0})$ приводит к добавлению малого слагаемого. Действительно,

[TABLE]

(аккуратная оценка приведена ниже).

Прямое вычисление показывает, что $n(z_{0})=2$; таким образом, функцию $F$ представляем в виде

[TABLE]

где $A_{1},A_{2}$ - константы. Связь между этими константами находится из краевого условия в точке $z_{0}$. Отметим, что

[TABLE]

Подставим (27) в (26) и получим асимптотическое решение в окрестности точки $z_{0}$ в виде

[TABLE]

Пусть $A_{2}=1$; учитывая асимптотики функций Бесселя и Неймана при $\tau\to 0$ (см., например, [1]), получим

[TABLE]

Воспользуемся разложением (4) и граничным условием (5)

[TABLE]

Подставим (28) в (26) и выпишем асимптотическое решение уравнения (15), которое лежит в области определения оператора $H$, т.к. удовлетворяет граничному условию (5)

[TABLE]

где $2\sqrt{\tau}=\frac{\sqrt{2E}}{h}\int^{z}_{z_{0}}\sqrt{(f^{\prime 2}(z)+1)}dz$.

Поскольку мы рассматриваем случай $m=0$, соответствующая функция $\psi_{1}(x)$ совпадает с $u_{1}$ (т.е. не зависит от углов $\theta,\varphi$).

Докажем теперь, что на интервале, где $\psi_{1}\neq 0,\psi_{2}=0$, выполнено

[TABLE]

Функция $\psi_{1}=u_{1}$ удовлетворяет уравнению $H\psi_{1}=E\psi_{1}$ с точностью до двух слагаемых, каждое из которых имеет вид

[TABLE]

где функция $w(z)$ голоморфна в окрестности $z_{0}$, $\tau=\frac{S(z)}{h^{2}}$. Оценим эту функцию по норме в $L_{2}$

[TABLE]

поскольку $|\tau F_{\tau}|\leq\frac{Ch^{-\epsilon}}{\sqrt{h}}$. Отсюда

[TABLE]

что и требовалось доказать.

Сформулируем результат этого пункта

Лемма 1**.**

Функция $\psi_{1}$ (см. (29)) удовлетворяет уравнению $H\psi_{1}=E\psi_{1}+o(h)$ в некоторой не зависящей от $h$ окрестности точки $x_{0}$

4.5 Решение вне окрестности точки $z_{0}$.

Уравнение вида (15) вне окрестности особой точки $z_{0}$ имеет решение, аналитическое в окрестности точки $z_{1}$, асимптотика которого с помощью комплексного метода ВКБ строится с точностью до $O(h^{2})$ (см. [17]). При использовании этого метода условие $H\psi_{2}=E\psi_{2}+o(h)$ выполняется по построению. Решение вне сколь угодно малой не зависящей от $h$ окрестности точки $z_{1}$ представляется в виде ([17]):

[TABLE]

где $\nu_{1},\nu_{2}$ константы, а $\omega_{1},\omega_{2}$ — фундаментальные асимптотические решения уравнения (15) при $h\to 0$. А именно

[TABLE]

[TABLE]

Найдем константы $\nu_{1},\nu_{2}$ — это компоненты собственного вектора матрицы монодромии уравнения (15), соответствующей точке $z_{1}$. Асимптотика этой матрицы также вычислена в [17]; она имеет вид

[TABLE]

где $D=-\exp\left(\pm\frac{\sqrt{2E}}{h}\int_{\beta}\sqrt{f^{\prime 2}(t)+1}\,dt\right)$. Здесь $\beta$ — замкнутый контур, охватывающий точку $z_{1}$. Отсюда получаем

[TABLE]

где $C$ — константа. Далее подставим выражения для функций и констант в (30) и получим асимптотическое решение вне окрестности точки $z_{0}$

[TABLE]

[TABLE]

Сформулируем результат этого пункта.

Лемма 2**.**

Существует функция $\psi_{2}(x)$, определенная вне любой не зависящей от $h$ окрестности точки $x_{0}$ и удовлетворяющая вне такой окрестности равенству

[TABLE]

где $A_{1}$ — константа. Вне любой не зависящей от $h$ окрестности точки $z_{1}$ эта функция имеет вид (31)

4.6 Склейка локальных асимптотик. Условие квантования.

Известны асимптотики функций Бесселя и Неймана при $z\to\infty$ (см., например [1]):

[TABLE]

[TABLE]

подставим их в решение (29), полученное в окрестности точки $z_{0}$

[TABLE]

преобразуем

[TABLE]

где $A=-\frac{\sqrt{2E}\alpha}{2h^{3}}$.

Приравняв аргументы функций (31) и (32) вне окрестностей точек $z_{0}$, $z_{1}$, получим уравнение на спектр, описанное в теореме 1

[TABLE]

где $(p,dx)=\sqrt{2E(f^{\prime 2}(z)+1)}\,dz\,,\gamma$ — указанный выше цикл на лагранжевом многообразии $\Lambda$. При выполнении этого условия функции $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ вне сколь угодно малых окрестностей точек $z_{0},z_{1}$ совпадают $\mathrm{mod}O(h^{3/2-\epsilon})$.

Пусть $(H-E)\psi(x)=r$, оценим остаток $r$ на всем отрезке $[z_{0},z_{1}]$ по норме в $L_{2}$. Подставим $\psi(x)=e_{1}\psi_{1}(x)+(1-e_{1})\psi_{2}$ в уравнение (8). Имеем

[TABLE]

где

[TABLE]

Ранее получено, что $I_{1}\leq h^{3/2-\epsilon}A_{2},I_{3}\leq h^{2-\epsilon}A_{1}$, где $A_{1},A_{2}$ - константы. На интервале $(z_{0}+\delta,z_{1}-\delta)$ имеем $\psi_{1}(z)\neq 0,\psi_{2}(z)\neq 0$ и $\psi_{1}=\psi_{2}+O(h^{3/2-\epsilon})$, а значит, по крайней мере $I_{2}\leq h^{3/2-\epsilon}A_{3}$, где $A_{3}$ - константа. То есть

[TABLE]

Таким образом, построено решение, такое что

[TABLE]

Для завершения доказательства теоремы 1 воспользуемся следующей леммой

Лемма 3**.**

(см., например, [14]) Пусть оператор $H$ - самосопряжен и

[TABLE]

где $\psi\in D(H)$, $||\psi||=1$. Тогда существует точка $E_{0}$, принадлежащая спектру оператора $H$, для которой $|E-E_{0}|\leq||f||$.

Из этой леммы и равенства (33) вытекает утверждение теоремы.

Список литературы

• [1] Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н, Трифонов А.Ю. Методы математической физики. III. Специальные функции, Томск: Изд-во НТЛ, 2002.
• [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, Т.1, Наука, 1973.
• [3] Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. Докл. Акад. Наук СССР Т.137, 1961. С.1011-1014.
• [4] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, Мир. 1968.
• [5] Гейлер В.А., Лобанов И.С. Спектр трёхмерного изотропного гармонического осциллятора с точечным возмущением. Труды 12-ой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи часть 3, Самара 2002. 2000. С. 33–36.
• [6] Гейлер В.А., Маргулис В.А., Чучаев И.И. Потенциалы нулевого радиуса и операторы Карлемана. Сибирский математический журнал, Т.36, №4, 1995. C. 828–841.
• [7] Зельдович Я.Б.Уровни энергии в искажённом кулоновом поле. Физ. твёрд. тела, Т.1, 1959. С. 1638–1645.
• [8] Коган В.Р. Асимптотика оператора Лапласа-Бельтрами на единичной сфере $S^{n-1}$. Известия ВУЗов, Радиофизика, Т.12, №11, 1969. С. 1675–1680.
• [9] Кревчик В.Д., Зайцев Р.В. Примесное поглощение света в структурах с квантовыми точками. Физика твёрдого тела, Т.43, №3, 2001. С. 504-507.
• [10] Кучеренко В.В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника для стационарного ураднения Шредингера. Теор. и мат. физика. Т.1, №3, 1969. С 384–406.
• [11] Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика, Т.3. Москва: Физматлит, 2001. С. 208–217.
• [12] Лобанов И.С. Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные графы и квантовые точки. Диссерт. Саранск: ГОУВПО «Мордовский Государственный Университет имени Н.П. Огарева», 2005. С. 63–78.
• [13] Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. Москва: Наука, 1988.
• [14] Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики . Москва: Наука. 1976.
• [15] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва: Изд. техн.-теор. лит-ры, 1954
• [16] Т. Ратью, Т. А. Филатова, А. И. Шафаревич. Некомпактные лагранжевы многообразия, соответствующие спектральным сериям оператора Шредингера с дельта-потенциалом на поверхности вращения. Доклады РАН, 2012, том 446, № 6, с. 618–620.
• [17] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1977.
• [18] Филатова Т.А., Шафаревич А.И. Квазиклассические спектральные серии оператора Шредингера с дельта-потенциалом на прямой и на сфере. Теоретическая и математическая физика, Т.164, №2, 2010. С.278-298.
• [19] Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Москва: Наука, 1964.
• [20] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden. Solvable models in quantum mechanics. Providence: AMS Chelsea Publishing, 2005.
• [21] S. Albeverio, P. Kurasov. Singular perturbations of differential operators. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
• [22] H. Bethe, R. Peieris. Quantum theory of the diplon. Proc.Roy.Soc.A., Vol.148, 1935. С. 146–156.
• [23] J. Bruening, V. Geyler Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns, Russian Journal of Mathematical Physics, 2003, Vol. 44, P. 371-405.
• [24] J. Brüning, V. Geyler, K. Pankrashkin. Spectra of self-adjoint extensions and applications to solvable Schrödinger operators. Rev. Math. Phys. Vol. 20, 2008. 1–70.
• [25] J. Brüning, V. Geyler. Gauge periodic point perturbations on the Lobachevsky plane (in Russian). Engl. transl.: Theor. Math. Phys. Vol. 119, 1999. P. 387–697.
• [26] S. Fassari, G. Inglese. On the spectrum of the harmonic oscillator with a $\delta$-type perturbation. Helv. Phys. Acta. Vol. 67, № 6, 1994. P. 650–659.
• [27] S. Fassari, G. Inglese. Spectroscopy of a three-dimensional isotropic harmonic oscillator with a $\delta$-type perturbation. Helv. Phys. Acta. Vol. 69, № 2, 1996. P. 130–140.
• [28] S. Fassari, G. Inglese. On the spectrum of the harmonic oscillator with a $\delta$-type perturbation. II. Helv. Phys. Acta. Vol. 70, № 6, 1997. P. 858–865.
• [29] M. Goldberger, F. Seltz. Theory of the refractions and the diffraction of neutrons by crystals. Phys.Rev., Vol.71, 1947. С. 294–310.
• [30] M. Krein. The theory of self-adjoint extensions of semi-bounded Hermitian operators and its applications. I (Russian)// Matem. Sbornik. Vol. 20, 1947. P. 431–495.
• [31] V. Krevchik, A. Grunin, A. Aringazin, M. Semenov. Magneto-optical properties of the quantum dot – impurity center systems synthesized in a transparent dielectric matrix. Hadronic J. Suppl. Vol. 18, 2003. P. 261–294.
• [32] R. de L.Kronig, W.G. Penney, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A, 130:814, 499-513, 1931
• [33] Q.-Z. Peng, X. Wang, J.-Y. Zeng. Analytic solution to the Schrödinger equation with a harmonic oscillator potential plus $\delta$-potential. Sci. China, Ser.A. Vol. 34, №10, 1991. P. 1215–1221.