Nouvelles conditions pour l'inexistence des nombres parfaits impairs

TL;DR

This paper investigates conditions under which odd perfect numbers cannot exist, providing new modular restrictions on their prime factorizations and extending previous results in number theory.

Contribution

It introduces novel conditions involving quadratic residues in modular arithmetic that must be satisfied if an odd perfect number exists, advancing understanding of their nonexistence.

Findings

If an odd perfect number exists, certain primes must be non-squares modulo specific primes.

At least one prime factor must be a non-zero square in some modular setting.

Provides new modular restrictions that limit the structure of potential odd perfect numbers.

Abstract

We will show the two following results: If there existe an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, where the $\alpha_i$ are even, the $\beta$ are odd and $q \equiv 5 \mod 8$. Then there is at least one $p_i$, $1 \leq i \leq k$ that is not a square in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. More precisely there is an odd number of $p_i$ that are not squares in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. If there exist an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, where the $\alpha_i$ are even, the $\beta$ are odd and $p_{k+1} \equiv {1\mod 8}$. Then at least one $p_i$, $1 \leq i \leq k+1$ is a non zero square in at least one $\mathbb{Z}/{p_j}\mathbb{Z}$, $1 \leq j \leq k+1$. Contains an appendix of known results. ----- Un nombre, $n$, est dit parfait s'il est \'egal \`a la somme de ses diviseurs propres plus 1. Par exemple $6=1+2+3$. Dans ce document, les deux propositions suivantes seront d\'emontr\'ees: S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de d\'ecomposition en nombre premier $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, o\`u les $ \alpha_i$ sont pairs, $\beta$ est impair et $q \equiv 5 \mod 8$. Alors, au moins un $p_i$, $1 \leq i \leq k$ n'est pas un carr\'e dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. Plus pr\'ecis\'ement un nombre impair de $p_i$ ne sont pas des carr\'es dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de d\'ecomposition en nombre premier $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, o\`u les $\alpha_i$ sont pairs, $\beta$ est impair et $p_{k+1} \equiv {1\mod 8}$. Alors au moins un $p_i$, $1 \leq i \leq k+1$ est un carr\'e non nul dans au moins un $\mathbb{Z} / {p_j}\mathbb{Z}$, $1 \leq j \leq k+1$. Contiens une annexe contenant les r\'esultats d\'ej\`a connus et des preuves que j'en ai faites.