Exercices sur les temps locaux de semi-martingales continues et les excursions browniennes

TL;DR

This paper explores the local times and Brownian excursions of continuous semi-martingales, providing exercises and solutions that illustrate fundamental properties and proofs related to Brownian motion and its applications in stochastic processes.

Contribution

It offers a structured collection of exercises and solutions on local times and excursions of Brownian motion, synthesizing key results for educational purposes.

Findings

Provides detailed exercises with solutions on local times

Illustrates properties of Brownian excursions

Connects theoretical results with practical exercises

Abstract

Depuis le tout d\'ebut du XX${}^\text{e}$ si\`ecle, l'\'etude des processus stochastiques est un domaine tr\`es actif de la recherche en math\'ematiques. Parmi ces processus, le mouvement brownien --- dont l'\'etude math\'ematique a \'et\'e initi\'ee d\`es 1900, avec la th\`ese de Bachelier, entre autres travaux --- a jou\'e, et joue encore, un r\^ole primordial. Ceci peut s'expliquer par le fait que le mouvement brownien est l'objet limite quasi-universel qui appara\^it dans le th\'eor\`eme central limite, lorsqu'on fait agir le temps. Depuis la fin de la seconde guerre mondiale et les travaux d'It\^o, Meyer, Tanaka et bien d'autres, les temps locaux et les excursions sont devenus des outils essentiels pour \'etudier ce processus. Les exercices de ce volume ont \'et\'e \'elabor\'es, ann\'ee apr\`es ann\'ee, par le second auteur, soit \`a la suite de lectures d'articles pr\'esentant, parfois avec des m\'ethodes tr\`es diff\'erentes, telle ou telle propri\'et\'e brownienne, soit simplement pour illustrer le contenu de son cours de DEA (anciennement), de M2 aujourd'hui. Le premier auteur en a organis\'e la synth\`ese, de fa\c{c}on \'economique et n\'eanmoins --- esp\'erons-le --- tr\`es lisible. Les chapitres ont \'et\'e con\c{c}us pour cr\'eer un aller-retour permanent entre les principaux r\'esultats du cours et les exercices corrig\'es, afin que la compr\'ehension des uns renforce celle des autres. C'est ainsi que de nombreuses solutions d'exercices donn\'ees ici offrent un aper\c{c}u de la fa\c{c}on de prouver certains des th\'eor\`emes rappel\'es plus haut.