On the Validity of the Assumptions of the classical Coupon Collector's Problem

TL;DR

This paper challenges the classical assumptions of independence and uniform distribution in the Coupon Collector's Problem, showing that in practice, these assumptions do not hold, but the classical model still provides an upper bound beneficial to collectors.

Contribution

It systematically models the sticker production process using combinatorial methods and quantifies deviations from independence, revealing practical implications for the classical model.

Findings

Assumption of independence is not fulfilled in practice.

Classical model provides an upper bound, benefiting collectors.

Deviations from randomness are advantageous for collectors.

Abstract

The solution of the classical Coupon Collector's Problem is based on the assumptions that all stickers are independently and uniformly distributed. We can prove statistically as well as analytically that in particular the assumption of independence is not fulfilled in the field. To achieve this result we have systematically modeled and analyzed the production process of the stickers by combinatorial methods. We have also derived measures for the deviation from independence. Thus the results for the classical Coupon Collector's Problem are not valid for practical applications anymore, but we can show that they constitute an a upper bound. This means in particular that in practice the deviation is advantageous for the collectors, not a fraud of the vendors. ------ Im klassischen Sammelbilderproblem wird angenommen, dass die Sammelbilder gleichverteilt und unabh\"angig sind, d. h. alle Bilder kommen gleich h\"aufig vor und werden zuf\"allig auf die P\"ackchen verteilt. Wir k\"onnen sowohl statistisch als auch analytisch nachweisen, dass insbesondere die Annahme der Zuf\"alligkeit bzw. Unabh\"angigkeit in der Praxis nicht erf\"ullt ist. Dazu haben wir den Herstellungsprozess der Sammelbilder systematisch mit kombinatorischen Methoden untersucht. Wir k\"onnen auch Ma{\ss}e daf\"ur angeben, wie gro{\ss} die Abweichung vom Zufall ist. Damit sind die Ergebnisse des klassischen Sammelbildermodells in der Praxis nicht mehr g\"ultig, aber wir k\"onnen zeigen, dass sie eine Absch\"atzung nach oben darstellen. Dies bedeutet insbesondere, dass kein Betrug durch den Hersteller vorliegt, sondern vielmehr eine Bevorteilung der Sammler.