Feuilletage de Hirsch, mesure harmonique, et g-mesure

TL;DR

This paper constructs harmonic measures on Hirsch foliations from g-measures of associated circle endomorphisms, providing examples of metrics with multiple harmonic measures and highlighting the importance of regularity in ergodic properties.

Contribution

It introduces a method to build harmonic measures on Hirsch foliations using g-measures, and demonstrates the existence of metrics with multiple harmonic measures, emphasizing the role of regularity.

Findings

Existence of metrics with multiple harmonic measures on Hirsch foliations.

Construction of harmonic measures from g-measures of circle endomorphisms.

Regularity of the metric affects ergodic uniqueness.

Abstract

Les feuilletages de Hirsch sont des feuilletages par surfaces de vari\'et\'es compactes ferm\'ees de dimension 3, dont la dynamique transverse est celle d'un endomorphisme du cercle de degr\'e strictement sup\'erieur \`a 1. Le but de cette note est de construire, \`a partir d'une g-mesure associ\'ee \`a un tel endomorphisme, une mesure harmonique sur le feuilletage de Hirsch correspondant, au sens de Lucy Garnett. Ceci nous permet de donner des exemples de m\'etriques riemanniennes sur le fibr\'e tangent du feuilletage de Hirsch, lisses le long des feuilles et continues transversalement, pour lesquelles il existe plusieurs mesures harmoniques. De tels exemples montrent que le r\'esultat d'unique ergodicit\'e obtenu par le premier auteur et Victor Kleptsyn pour les feuilletages transversalement conformes [GAFA, 2007, Vol. 17, No 4, 1043-1105] n'est valable que lorsque la m\'etrique riemannienne est H\"old\'erienne transversalement, mais pas juste continue.