On a criterion of properness of multimaps

TL;DR

This paper establishes a general criterion for the properness of multimaps, linking it to closedness, with implications for topological degree theories and extending properties known for Fredholm maps.

Contribution

It introduces a new criterion for properness of multimaps, providing both necessary and sufficient conditions, inspired by properties of Fredholm maps.

Findings

Provides a general criterion for properness of multimaps.

Establishes direct and converse theorems relating properness and closedness.

Enhances understanding of topological degree theories for multimaps.

Abstract

The close relation between properness and closedness of maps is well-known. For instance, for Fredholm mappings of infinite dimensional Banach manifolds, these properties are equivalent. On the other hand, properness of maps plays an important role for construction of various topological degree theories. In this work we give a general criterion of properies of multimaps, congenial to the just mentioned property of Fredholm maps. The criterion is formulated in the form of two theorems: direct and converse.

Equations

$$y\in {\tilde{F}}_{-}^{-1}(A)\iff \tilde{F}(y)\cap A\ne \varnothing \iff$$

$$\iff \exists x\in A,x\in F_{-}^{-1}(y)\iff \exists x\in A,F(x)\ni y\iff y\in F(A).$$

Full text

Об о¤ном критерии собственности много§начных отображений

Воротников Д.А.111Работа пержана грантом РФФИ №01-01-00425222Current address: CMUC, Apartado 3008, 3001 - 454 Coimbra, Portugal, mitvorot@mat.uc.pt

И§вестна тесная свя§ь меж¤у собственностью и §амкнутостью о¤но§начных отображений. Например [1], ¤«я отображений банаховых бесконечномерных многообра§ий, об«а¤ающих свойством фре¤го«ьмовости, эти понятия эквива«ентны. В то же время свойство собственности отображения яв«яется о¤ним и§ центра«ьных при построении р৫ичных теорий топо«огической степени.

В этой работе приво¤ится общий критерий собственности ¤«я много§начных отображений, б«и§кий по ¤уху к вышеупомянутому свойству фре¤го«ьмовых отображений. Критерий приве¤ен в форме ¤вух теорем: прямой и обратной.

1 О му«ьтиотображениях

О свойствах му«ьтиотображений можно по¤робно у§нать, например, в [2]. Мы же §¤есь отметим «ишь э«ементарные вопросы.

Пусть $X,Y$ - метрические пространства. Много§начным отображением $F$ и§ $X$ в $Y$ (обо§начается $F:X\multimap Y$) на§ывается соответствие, сопостав«яющее каж¤ой точке $x\in X$ некое непустое по¤множество пространства $Y$, обо§начаемое $F(x)$. Много§начные отображения на§ывают также му«ьтиотображениями.

Д«я $A\subset X$обра§ом $F(A)$ на§ывается множество $\{y\in Y|\exists x\in A,$ $F(x)\ni y\}$.

Д«я $B\subset Y$по«ным прообра§ом $F_{-}^{-1}(B)$ на§ывается множество $\{x\in X|F(x)\cap B\neq\emptyset\}$.

В частности, ¤«я $y\in Y:F_{-}^{-1}(y)=\{x\in X|y\in F(x)\}$.

Ес«и ¤«я «юбого §амкнутого $B\subset Y$ множество $F_{-}^{-1}(B)$ §амкнуто, то $F$ на§ывается по«унепрерывным сверху.

Ес«и $F$ по«унепрерывно сверху и обра§ $F(x)$ всякой точки $x\in X$ компактен, то обра§ $F(A)$ всякого компактного $A\subset X$ компактен [2].

Ес«и ¤«я «юбого открытого $B\subset Y$ множество $F_{-}^{-1}(B)$ открыто, то $F$ на§ывается по«унепрерывным сни§у.

Отображение $F$ на§ывается §амкнутым, ес«и ¤«я «юбых пос«е¤овате«ьностей $x_{n}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty}x_{0}$ и§ $X$ и $y_{n}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty}y_{0}$ и§ $Y$, $y_{n}\in F(x_{n})$ выпо«нено $y_{0}\in F(x_{0})$.

Всякое по«унепрерывное сверху му«ьтиотображение, у которого обра§ каж¤ой точки §амкнут, яв«яется §амкнутым [2].

Бу¤ем на§ывать много§начное отображение $F:X\multimap Y$собственным, ес«и ¤«я «юбого компактного $B\subset Y$ множество $F_{-}^{-1}(B)$ компактно.

Бу¤ем на§ывать отображение $F$ топо«огически §амкнутым, ес«и ¤«я «юбого §амкнутого $A\subset X$ §амкнутым бу¤ет и $F(A)$.

Замечание. О¤но§начные топо«огически §амкнутые отображения часто на§ывают просто §амкнутыми. В теории много§начных отображений §амкнутыми на§ывают неско«ько ¤ругие отображения (см. выше).

Симво«ами $R,N,Z$ бу¤ем обо§начать соответственно множества ¤ействите«ьных, натура«ьных, це«ых чисе«.

Вве¤ем еще ¤ва термина.

Мы бу¤ем говорить, что множество $A\subset X$ равномерно те«есно, ес«и пересечение $A$ с «юбым открытым шаром «ибо пусто, «ибо со¤ержит ¤ругой открытый шар.

Понятно, что «юбое открытое множество равномерно те«есно. По«уинтерва«ы и отре§ки в $R$ также равномерно те«есны.

Мы бу¤ем на§ывать много§начное отображение $F:X\multimap Y$почти по«унепрерывным сни§у, ес«и ¤«я «юбого открытого $B\subset Y$ множество $F_{-}^{-1}(B)$ равномерно те«есно.

Всякое по«унепрерывное сни§у му«ьтиотображение, в частности, о¤но§начное непрерывное отображение, почти по«унепрерывно сни§у.

Вместе с каж¤ым $F:X\multimap Y$можно рассмотреть много§начное отображение $\widetilde{F}:F(X)\multimap X$, которое опре¤е«яется так: $\widetilde{F}(y)=F_{-}^{-1}(y)$. Легко ви¤еть, что ¤«я $B\subset Y:\widetilde{F}(B\bigcap F(X))=F_{-}^{-1}(B)$. Отметим также, что $\widetilde{F}_{-}^{-1}(A)=F(A)$ ¤«я всех $A\subset X$. Действите«ьно,

[TABLE]

[TABLE]

2 Критерий собственности

Теперь мы сформу«ируем основной ре§у«ьтат работы.

Теорема 1. *Пусть X, Y – метрические пространства, *

$F:X\multimap Y$*почти по«унепрерывно сни§у. Пусть X по«но. Пусть ¤«я всякого $y\subset Y$множество * $F_{-}^{-1}(y)$ §амкнуто, но не со¤ержит ни о¤ного открытого шара. Тог¤а, ес«и F топо«огически §амкнуто, то F собственно.

Дока§ате«ьство.

Пусть $y_{0}\subset Y$ – прои§во«ьная точка. Покажем снача«а, что $F_{-}^{-1}(y_{0})$ относите«ьно компактно. Пре¤по«ожим, что это не так. Тог¤а по теореме Хаус¤орфа $F_{-}^{-1}(y_{0})$ не имеет конечной $3\delta$ - сети, г¤е $\delta>0$ ¤остаточно ма«о. Поэтому $F_{-}^{-1}(y_{0})$ со¤ержит бесконечную пос«е¤овате«ьность $z_{1},z_{2},...$ точек, попарные расстояния меж¤у которыми не меньше $3\delta$ (ес«и бы таких точек бы«о «ишь конечное чис«о $z_{1},...,z_{m}$, то оста«ьные точки $F_{-}^{-1}(y_{0})$ отстоя«и бы от этих меньше, чем на $3\delta$; т.е. $z_{1},...,z_{m}$ бы«о бы $3\delta$-сетью). Вместе с каж¤ой $z_{i}(i\in N)$ рассмотрим открытый шар $\widetilde{G}_{i}=B(z_{i},\delta)$ с центром в $z_{i}$ ра¤иуса $\delta$. Ясно, что ес«и ¤ве точки «ежат в ра§ных $\widetilde{G}_{i}$ и $\widetilde{G}_{j}$, то расстояние меж¤у ними не менее $\delta$. Рассмотрим теперь в $Y$ открытые шары $B_{n}=B(y_{0},\frac{{1}}{{n}})$ $(n\in N)$. Т.к. $F$ почти по«унепрерывно сни§у, то $F_{-}^{-1}(B_{n})$ равномерно те«есно. Рассмотрим множество $\widetilde{\widetilde{G}}_{n}=\widetilde{G}_{n}\bigcap F_{-}^{-1}(B_{n})$. Оно не пусто, т.к. со¤ержит $z_{n}$. Т.к. $F_{-}^{-1}(B_{n})$ равномерно те«есно, то най¤ется какой-нибу¤ь открытый шар, со¤ержащийся в $\widetilde{\widetilde{G}}_{n}$. Обо§начим этот шар чере§ $G_{n}$. По ус«овию теоремы $G_{n}$ не со¤ержится по«ностью в $F_{-}^{-1}(y_{0})$, т.е. най¤ется $x_{n}\in G_{n},y_{0}\notin F(x_{n})$. Но $x_{n}\in G_{n}\subset F_{-}^{-1}(B_{n})$. Поэтому най¤ется $y_{n}\in B_{n}$ такое, что $y_{n}\in F(x_{n})$. Т.к. точки $x_{n}$ «ежат в $\widetilde{G}_{n}$, то попарные расстояния меж¤у ними не менее $\delta$. Т.е. $\{x_{n}\}_{n\in N}$ – множество бе§ пре¤е«ьных точек. Поэтому оно §амкнуто. Но $F$ топо«огически §амкнуто, поэтому $F(\{x_{n}\}_{n\in N})$ §амкнуто. Но $\{y_{n}\}_{n\in N}\in F(\{x_{n}\}_{n\in N})$. Т.к. $y_{n}\in B_{n}$, то $y_{n}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty}y_{0}$; по«учается, что $y_{0}\in F(\{x_{n}\}_{n\in N})$. Но этого не может быть, т.к. ¤«я всякого $n$ $y_{0}\notin F(x_{n})$. Противоречие.

Итак, ¤«я всякого $y_{0}$ множество $F_{-}^{-1}(y_{0})$ относите«ьно компактно. Но $F_{-}^{-1}(y_{0})$ §амкнуто по ус«овию. Значит, $\widetilde{F}(y_{0})=F_{-}^{-1}(y_{0})$ компактно ¤«я всякого $y_{0}\in F(X)$.

Да«ее, $\widetilde{F}:F(X)\multimap X$ по«унепрерывно сверху. Действите«ьно, ес«и $A$ §амкнуто в $X$, то $\widetilde{F}_{-}^{-1}(A)=F(A)$ §амкнуто в $Y$, т.к. $F$ топо«огически §амкнуто. Очеви¤но тог¤а, что $\widetilde{F}_{-}^{-1}(A)$ §амкнуто и в $F(X)$.

С«е¤овате«ьно (см. п.1.), при му«ьтиотображении $\widetilde{F}$ обра§ «юбого компактного множества компактен.

Пусть $B$ – компактное множество в $Y$. Т.к. $F(X)$ §амкнуто в $Y$, то $F(X)\cap B$ компактно (в $F(X)$). Тог¤а $\widetilde{F}(F(X)\cap B)$ компактно. Т.е. $F_{-}^{-1}(B)$ компактно, и собственность $F$ ¤ока§ана.

3 Замечания

Замечание 1. В форму«ировке теоремы 1 почти по«унепрерывность сни§у не«ь§я §аменить на по«унепрерывность сверху, что пока§ывает с«е¤ующий пример. Рассмотрим отображение $F:R\multimap R$:

$F(x)=\{x\}$ (множество, состоящее и§ о¤ной точки $x$), ес«и $x\notin Z$;

$F(x)=R,$ ес«и $x\in Z$.

Отображение $F$ по«унепрерывно сверху и топо«огически §амкнуто. По«ный прообра§ всякой точки $y$ есть множество $\{y\}\cup Z$. Понятно, что оно §амкнуто и не со¤ержит ни о¤ного шара, но не компактно. Поэтому $F$ не собственно.

Замечание 2. Требование почти по«унепрерывности сни§у в теореме 1 существенно с«абее требования по«унепрерывности сни§у. Действите«ьно, рассмотрим с«е¤ующий пример. Пусть отображение $F:R\multimap R$ §а¤ано так:

$F(x)=\{\left|{x}\right|+1\}$ при $\left|{x}\right|>1$;

$F(x)=\{\left|{x}\right|+1,1-\left|{x}\right|\}$ при $\left|{x}\right|=1$;

$F(x)=\{\left|{x}\right|+1,1-\left|{x}\right|,\left|{x}\right|-1\}$ при $\left|{x}\right|<1$.

При отображении $F$ по«ный прообра§ всякой точки конечен, а потому §амкнут и не со¤ержит шара. Ясно также, что $F$ топо«огически §амкнуто. По«ный прообра§ «юбого открытого множества равномерно те«есен, но не обя§ате«ьно открыт: например, по«ный прообра§ ма«ой окрестности ну«я со¤ержит крайние точки +1 и -1. Итак, отображение $F$ у¤ов«етворяет ус«овиям теоремы, но не яв«яется по«унепрерывным сни§у.

4 Обратная теорема

Этот пункт посвящен теореме, которую можно на§вать обратной к теореме 1.

**Теорема 2. ***Пусть X, Y – метрические пространства, *

$F:X\multimap Y$– §амкнутое му«ьтиотображение. Тог¤а, ес«и F собственно, то F топо«огически §амкнуто.

Дока§ате«ьство.

Пусть $A$ - §амкнутое множество в $X$. Покажем, что $F(A)$ §амкнуто. Действите«ьно, пусть $y_{n}\in F(A)$, $y_{n}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty}y$. Множество $Y_{0}=\{y\}\cup\{y_{n}\}_{n\in N}$ компактно. Поэтому и $F_{-}^{-1}(Y_{0})$ компактно. Т.к. $y_{n}\in F(A)$, то най¤ется $x_{n}\in A$ такое, что $y_{n}\in F(x_{n})$. Понятно, что $\{x_{n}\}_{n\in N}\in F_{-}^{-1}(Y_{0})$. Поэтому $\{x_{n}\}_{n\in N}$ бе§ ограничения общности схо¤ится; $x_{n}\mathop{\to}\limits_{n\to\infty}x$. Т.к. $x_{n}\in A$, то $x\in A$. Но $F$ §амкнуто, поэтому $y\in F(x)\subset F(A)$. Итак, $F(A)$ §амкнуто. Теорема ¤ока§ана.

Литература.

1. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Не«инейные фре¤го«ьмовы отображения и теория Лере - Шау¤ера // УМН, 1977. - Т.32. - Вып.4. - С.3-54.

2. Борисович Ю.Г., Ге«ьман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Вве¤ение в теорию много§начных отображений. - Воронеж: И§¤. Воронежского университета, 1986.-104с.