Some perfect cards shuffles (French title: Quelques m\'elanges parfaits de cartes)

TL;DR

This paper investigates certain perfect card shuffles used in magic, analyzing whether repeated shuffles can return the deck to its original order, using elementary methods suitable for a broad audience.

Contribution

It provides an accessible elementary analysis of the periodicity of specific perfect card shuffles, a problem in discrete dynamical systems.

Findings

Identifies conditions under which shuffles return the deck to initial state

Calculates explicit periods for specific perfect shuffles

Demonstrates elementary approach to complex dynamical systems

Abstract

In this paper, we study some cards shuffles which are used by magicians. We focus ourselves on the possibility to hit eventually the initial state after several shuffles. This is a classical problem arising in discrete dynamical systems. The computations are performed through an elementary approach, so the paper is easily accessible. ----- Dans cet article, on \'etudie quelques m\'elanges de cartes bien connus du monde de la magie. On examine en d\'etail l'\'eventualit\'e de reconstituer le jeu de cartes initial apr\`es plusieurs m\'elanges cons\'ecutifs. Il s'agit math\'ematiquement d'un probl\`eme de syst\`emes dynamiques discrets pour lequel on recherche explicitement une p\'eriode. Les calculs \'etant pr\'esent\'es de mani\`ere \'el\'ementaire, l'article se veut accessible \`a un large public.

Equations

$$f(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\\[6.45831pt] \displaystyle\frac{i+1}{2}+n&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$f^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j&\mbox{si $1\leqslant j\leqslant n$,}\\ 2j-2n-1&\mbox{si $n+1\leqslant j\leqslant 2n$.}\end{array}\right.$$

$$f^{-1}(j)\equiv 2j[\mathrm{mod}(2n+1)]$$

$$\tilde{f}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}+n&\mbox{si $i$ est pair,}\\[6.45831pt] \displaystyle\frac{i-1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$\tilde{f}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j+1&\mbox{si $0\leqslant j\leqslant n-1$,}\\ 2j-2n&\mbox{si $n\leqslant j\leqslant 2n-1$.}\end{array}\right.$$

$$g(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}+n&\mbox{si $i$ est pair,}\\[6.45831pt] \displaystyle\frac{i+1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$g^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j-1&\mbox{si $1\leqslant j\leqslant n$,}\\ 2j-2n&\mbox{si $n+1\leqslant j\leqslant 2n$.}\end{array}\right.$$

$$\tilde{g}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\\[6.45831pt] \displaystyle\frac{i-1}{2}+n&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$\tilde{g}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j&\mbox{si $0\leqslant j\leqslant n-1$,}\\ 2j+1-2n&\mbox{si $n\leqslant j\leqslant 2n-1$.}\end{array}\right.$$

$${\tilde{g}}^{-1}(j)\equiv 2j[\mathrm{mod}(2n-1)].$$

$$h_{1}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i+1}{2}+n&\mbox{si $i$ est impair,}\\[4.30554pt] \displaystyle n+1-\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair.}\end{array}\right.$$

$$h_{1}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2n+2-2j&\mbox{si $1\leqslant j\leqslant n$,}\\ 2j-2n-1&\mbox{si $n+1\leqslant j\leqslant 2n$.}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{1}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}+n&\mbox{si $i$ est pair,}\\[4.30554pt] \displaystyle n-\frac{i+1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{1}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2n-1-2j&\mbox{si $0\leqslant j\leqslant n-1$,}\\ 2j-2n&\mbox{si $n\leqslant j\leqslant 2n-1$.}\end{array}\right.$$

$$h_{2}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}+n&\mbox{si $i$ est pair,}\\[4.30554pt] \displaystyle n-\frac{i-1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$h_{2}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2n+1-2j&\mbox{si $1\leqslant j\leqslant n$,}\\ 2j-2n&\mbox{si $n+1\leqslant j\leqslant 2n$.}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{2}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i-1}{2}+n&\mbox{si $i$ est impair,}\\[4.30554pt] \displaystyle n-1-\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{2}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2n-2-2j&\mbox{si $0\leqslant j\leqslant n-1$,}\\ 2j-2n+1&\mbox{si $n\leqslant j\leqslant 2n-1$.}\end{array}\right.$$

$$h_{3}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\\ \displaystyle 2n-\frac{i-1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$h_{3}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j&\mbox{si $1\leqslant j\leqslant n$,}\\ 4n+1-2j&\mbox{si $n+1\leqslant j\leqslant 2n$.}\end{array}\right.$$

$$h_3^{-1}(j)\equiv \pm 2j[\mathrm{mod}(4n+1)].$$

$$\tilde{h}_{3}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i-1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\\ \displaystyle 2n-1-\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{3}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j+1&\mbox{si $0\leqslant j\leqslant n-1$,}\\ 4n-2-2j&\mbox{si $n\leqslant j\leqslant 2n-1$.}\end{array}\right.$$

$$h_3=s\circ h_1\circ s=s\circ h_1\circ s^{-1}.$$

$$h_{4}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i+1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\\ \displaystyle 2n+1-\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\end{array}\right.$$

$$h_{4}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j-1&\mbox{si $1\leqslant j\leqslant n$,}\\ 4n+2-2j&\mbox{si $n+1\leqslant j\leqslant 2n$.}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{4}(i)=\left\{\begin{array}[]{ll}\displaystyle\frac{i}{2}&\mbox{si $i$ est pair,}\\ \displaystyle 2n-\frac{i+1}{2}&\mbox{si $i$ est impair,}\end{array}\right.$$

$$\tilde{h}_{4}^{-1}(j)=\left\{\begin{array}[]{ll}2j&\mbox{si $0\leqslant j\leqslant n-1$,}\\ 4n-1-2j&\mbox{si $n\leqslant j\leqslant 2n-1$.}\end{array}\right.$$

$${\tilde{h}}_4^{-1}(j)\equiv \pm 2j[\mathrm{mod}(4n-1)].$$

$$h_4=s\circ h_2\circ s^{-1}.$$

Full text

Quelques m langes parfaits de cartes

par Aim LACHAL 111 Adresse :                                                Institut National des Sciences Appliqu es de Lyon P le de Math matiques                     B timent L onard de Vinci, 20 avenue Albert Einstein 69621 Villeurbanne Cedex, France E-mail: aime.lachal@insa-lyon.fr

I Description du probl me

Le probl me suivant m’a t soumis par l’un de mes l ves222Anthony Tschirhard, INSA de Lyon, 51e promotion qui a une grande pratique de la magie. On dispose d’une pile de $2n$ jetons dont les $n$ du bas sont verts et les $n$ du haut sont rouges. Il divise la pile en deux parties : l’une contenant les $n$ jetons verts, l’autre contenant les $n$ jetons rouges. Avec une dext rit remarquable, de sa seule main droite il prend simultan ment les deux piles de jetons, puis proc de un m lange de ces deux derni res pour former une unique pile (de $2n$ jetons) alternant parfaitement jeton rouge et jeton vert. Cette nouvelle pile est divis e son tour exactement en son milieu donnant deux tas de $n$ jetons et notre magicien proc de un nouveau m lange intercalant alternativement un jeton de chaque tas pour former une nouvelle pile de $2n$ jetons qu’il recoupe de nouveau en deux piles de $n$ jetons et ainsi de suite.

Apr s plusieurs exp riences (pour $n\leqslant 8$), notre magicien s’aper ut qu’il retombait au bout d’un certain nombre de tels m langes sur la pile initiale : les $n$ jetons du bas sont verts et les $n$ du haut sont rouges (voir Fig. 1–6 pour $n=4$). Plus frappant encore, en num rotant et ordonnant les jetons, il semblerait que la premi re fois que l’on retrouve une pile de $n$ jetons verts cons cutifs et de $n$ rouges de bas en haut, les jetons soient en fait exactement dans l’ordre initial. Les questions qu’il m’a soumises taient alors les suivantes : tant donn e une pile de $2n$ jetons num rot s $1,2,\dots,2n-1,2n$ ($n\in\mathbb{N}^{*}$) et superpos s de bas en haut dans l’ordre croissant,

le processus de m lange d crit ci-dessus conduit-il n cessairement au classement initial en un temps fini ? 2. 2.

si oui, peut-on exprimer en fonction de $n$ le nombre minimum de m langes n cessaires pour retrouver le classement initial ? 3. 3.

si les $n$ premiers jetons sont verts et les $n$ derniers rouges, peut-on arriver au regroupement initial des jetons (la pile du bas constitu e de jetons verts, celle du haut de rouges) ventuellement dans le d sordre quant la num rotation ?

Il s’agit d’un probl me classique bien connu du monde de la magie des cartes, la manipulation pr c dente tant souvent faite avec des cartes jouer. Le jeu habituel de $32$ cartes est priviligi car le nombre $32$ se d compose en $2^{5}$, ce qui conduit des propri t s remarquables. Dans la litt rature, ce type de probl me est abord sous le vocable anglophone de << chip-shuffle >> pour les jetons, de << riffle-shuffle >> pour les cartes et plus pr cis ment de << in-shuffle >> et de << out-shuffle >> selon le placement des cartes initiales de chaque paquet lors d’un m lange. Il a t consid r entre autres par le c l bre informaticien et magicien Elmsley en 1957 ([6]). On trouvera galement une large description historique du probl me dans la section intitul e << some history of perfect shuffle >> de [5].

Les in-shuffles et out-shuffles sont des m langes tr s proches. Disposant d’un jeu de cartes que l’on coupe au milieu donnant deux paquets de cartes (un premier et un deuxi me), l’in-shuffle du jeu initial consiste d marrer le processus en pla ant la premi re carte du bas du premier paquet sur la premi re carte du bas du deuxi me paquet. À l’oppos , l’out-shuffle consiste d marrer en pla ant la premi re carte du bas du premier paquet sous la premi re carte du bas du deuxi me paquet. Notons que dans le cas de l’out-shuffle, les premi re et derni re cartes restent immobiles tout au long de l’exp rience. On pourra consulter les sites internet [17, 18] pour un recensement de ces divers m langes ainsi que d’autres.

Elmsley se posait la question plus complexe : est-il possible de d placer la carte du dessus du paquet une position donn e l’avance l’aide d’une succession de m langes de nature in-shuffle ou out-shuffle ([6]) ? La r ponse est positive et il obtint un proc d pour accomplir une telle manipulation. Inversement, est-il possible de faire appara tre une carte donn e dans le jeu sur le haut du paquet de cartes, voire une place quelconque selon un pr c d similaire ? R cemment, les math maticiens Diaconis et Graham (le premier auteur est galement magicien) ont r pondu positivement la question g n rale du d placement d’une carte donn e vers une position donn e. Ils ont propos un algorithme indiquant le chemin suivre (succession de in- et out-shuffles, [4]).

Reprenons les questions pos es par mon l ve. La r ponse la premi re question est affirmative et la raison en est tr s simple. Sommairement, on travaille dans un groupe fini de permutations, on revient donc la position initiale au bout d’un nombre fini d’exp riences, il s’agit d’un processus p riodique. La r ponse la deuxi me question est galement affirmative ; c’est un calcul de p riode et une formule implicite est disponible, voir e.g. les livres de Conway & Guy, [3, p. 163–165], de Herstein & Kaplansky, [8, Chap. 3.4], ou d’Uspensky & Heaslet, [16, p. 244–245]. N anmoins, une formule explicite ne semble pas accessible except pour les cas particuliers o $n$ est une puissance de $2$ $\pm 1$ pr s. La troisi me question semble rester ma connaissance ouverte.

Dans cet article, je d taille le processus de l’in-shuffle – celui de l’out-shuffle s’en d duisant ais ment – l’aide de permutations de l’ensemble $\{0,1,2,\dots,2n-1\}$ ou $\{1,2,3,\dots,2n\}$. L’un des deux ensembles sera d’une utilisation plus commode que l’autre selon le cas tudi . Les permutations associ es $\{0,1,2,\dots,2n-1\}$ sont particuli rement bien adapt es au calcul explicite des it rations successives (correspondant la succession de m langes parfaits) par le truchement des critures binaires. Aussi, je d taille toutes les permutations relatives aux deux num rotations en signalant laquelle permet de formuler le plus simplement possible la p riode recherch e. Je porte un int r t particulier aux cas sp cifiques mentionn s plus haut, savoir lorsque $n$ est une puissance de $2$ $\pm 1$ pr s. J’examine galement d’autres exemples de m langes parfaits : les m langes de Monge qui sont des in/out-shuffles d form s par une sym trie (voir e.g. [3, 17, 18]). Toute cette analyse permet d’acc der au calcul des p riodes de chacun des m langes d crits ici.

Par souci d’homog n it des notations, on notera $f,g,h,\dots$ les permutations relatives l’ num ration $1,2,3,\dots,2n$ et $\tilde{f},\tilde{g},\tilde{h},\dots$ celles associ es $0,1,2,\dots,2n-1$. On passe par exemple de la permutation $f$ la permutation $\tilde{f}$ selon la relation $\tilde{f}(i)=f(i+1)-1$ pour tout $i\in\{0,1,2,\dots,2n-1\}$.

Il est remarquable de constater que, bien au-del de son aspect ludique, ce probl me suscite des questions de nature alg brique avanc es (th orie des groupes, [5, 7]). L’ tude approfondie de certaines permutations mises en jeu a t entreprise ind pendamment de ce contexte par L vy ([9, 10, 11]). Ce probl me conna t galement des applications notamment en informatique (calcul parall le, r seaux, [2, 14, 15]). Mentionnons enfin l’existence d’autres types de m langes d’une importance notoire qui ont retenu l’attention des math maticiens : les m langes al atoires (voir [1] pour plus d’informations concernant ce type de m lange).

Plan de l’article

• —

Dans la section II, nous pr sentons la mod lisation du probl me en introduisant toutes les permutations relatives aux diff rents m langes de cartes. Certaines permutations redondantes ne seront pas n cessairement utiles, mais nous avons choisi de les crire syst matiquement afin de garder une homog n it de notations ainsi qu’une logique de pr sentation. Selon les cas tudi s, certaines d’entre elles serviront calculer la p riode du m lange en question, alors que d’autres permettront le calcul explicite des it rations successives.

• —

Dans la section III, nous formulons de mani re implicite les r ponses relatives au calcul de p riodes des m langes tudi s.

• —

Dans les sections IV et V, nous calculons explicitement, en faisant appel au calcul binaire, toutes les it rations successives de certaines permutations significatives, dans les cas particuliers o $n$ est une puissance de $2$ $\pm 1$ pr s, ce qui permet de fournir une r ponse explicite aux questions pos es.

• —

Dans la section VI, nous examinons bri vement le cas d’un jeu contenant un nombre impair de cartes.

• —

Dans la section VII, nous d crivons un proc d simple pour d placer une carte donn e vers une position pr d finie dans le cas o $n$ est une puissance de $2$.

• —

Nous terminons dans la section VIII par une tentative de g n ralisation un paquet de cartes divisible par un nombre sup rieur deux.

II Mod lisation

Le jeu de cartes num rot es de bas en haut dans l’ordre $1,2,$ $3,\dots,2n$ est coup en son milieu et donne les deux paquets de cartes num rot es $1,2,\dots,n$ pour le premier et $n+1,n+2,\dots,2n$ pour le deuxi me. On constitue un nouveau jeu de $2n$ cartes en prenant tour de r le une carte de chacun des paquets de $n$ cartes.

II.1 In-shuffle

Si l’on d marre le m lange par le deuxi me paquet (cas d’un in-shuffle), on obtient dans l’ordre la suite de cartes nos $n+1,1,n+2,2,n+3,3,\dots,\linebreak 2n-1,n-1,2n,n$ (voir Fig. 7).

Cela se traduit par une correspondance entre num ros d’ordre avant et apr s m lange : l’issue du m lange, la premi re carte porte le no$n+1$, la deuxi me le no$1$, la troisi me le no$n+2$, la quatri me le no$2$, etc. De mani re g n rale, la $i$e carte porte le no$i/2$ lorsque $i$ est pair et le no$(i+1)/2+n$ lorsque $i$ est impair. Cette correspondance d finit une permutation $f$ des entiers $1,2,3,\dots,2n$ donnant le num ro de la carte se situant la $i\fup{e}$ position l’issue du m lange :

[TABLE]

que l’on peut encore crire $f(i)=[\frac{i+1}{2}]+\varepsilon(i)n$ o $[\,]$ est la fonction partie-enti re et $\varepsilon(i)=0$ si $i$ est pair, $\varepsilon(i)=1$ si $i$ est impair.

La permutation r ciproque est un peu plus simple crire :

[TABLE]

Rappelant la d finition d’une congruence arithm tique, << \mbox{a\equiv b}\;{[\mod n]} >> signifie << $a-b$ est divisible par $n$ >>, on a en particulier la congruence remarquable

[TABLE]

qui sera utile pour calculer la p riode de $f$. Cette r ciproque indique qu’une carte portant un num ro $j$ entre $1$ et $n$ occupe l’issue du m lange la place no$2j$, et qu’une carte portant un num ro $j$ entre $n+1$ et $2n$ occupe la place no$2j-2n-1$. Par exemple, la carte no$1$ occupe la place no$2$, la carte no$2$ occupe la place no$4,\dots$, puis la carte no$n$ occupe la place no$2n$, la carte no$n+1$ occupe la place no$1$, la carte no$n+2$ occupe la place no$3$, etc.

Il est utile de transcrire cette mod lisation en translatant simplement la num rotation des cartes d’une unit . Cela fournit la permutation $\tilde{f}$ des entiers $0,1,2,\dots,2n-1$ d finie par $\tilde{f}(i)=f(i+1)-1$, soit :

[TABLE]

et la permutation r ciproque s’ crit :

[TABLE]

Les permutations $f$ et $\tilde{f}$ nous permettront de calculer explicitement la p riode de l’in-shuffle dans les cas particuliers $n=2^{p-1}$ et $n=2^{p-1}-1$.

II.2 Out-shuffle

Si on d marre le m lange pr sent par le premier paquet (cas d’un out-shuffle), on obtient dans l’ordre les cartes nos $1,n+1,2,n+2,3,\linebreak n+3,\dots,n-1,2n-1,n,2n$ (voir Fig. 8).

Ce processus d finit alors la permutation $g$ des entiers $1,2,\dots,2n$ suivante :

[TABLE]

de r ciproque

[TABLE]

On observe que $g(1)=1$ et $g(2n)=2n$, i.e. les cartes nos $1$ et $2n$ restent immobiles tout au cours de la manipulation.

Retranscrivons cette mod lisation en translatant la num rotation des cartes d’une unit . Cela fournit la permutation $\tilde{g}$ des entiers $0,1,2,\dots,2n-1$ d finie par $\tilde{g}(i)=g(i+1)-1$, soit :

[TABLE]

et la permutation r ciproque s’ crit :

[TABLE]

Notons en particulier la congruence

[TABLE]

La restriction de $\tilde{g}$ l’ensemble $\{1,\dots,2n-2\}$ est une permutation qui correspond un in-shuffle de $2n-2$ cartes. Cette observation indique qu’un out-shuffle de $2n$ cartes est identique un in-shuffle de ce jeu auquel on a retir les premi re et derni re cartes, donnant ainsi un jeu de $2n-2$ cartes.

II.3 M lange de Monge : premi re version

Le m lange de Monge consiste faire passer les cartes d’un jeu complet d’une main l’autre en intercalant alternativement les cartes l’une au-dessus et au-dessous de l’autre.

II.3.1 Premi re fa on de d marrer le processus

On num rote les cartes de $1$ $2n$. On commence par prendre la carte no$1$ qui va d marrer le nouveau paquet, puis la carte no$2$ que l’on place au-dessous du nouveau paquet (donc au-dessous de la carte no$1$), puis la carte no$3$ que l’on place au-dessus du nouveau paquet (donc au-dessus de la no$1$), puis la carte no$4$ que l’on place au-dessous du nouveau paquet (donc au-dessous de la no$2$), puis la carte no$5$ que l’on place au-dessus du nouveau paquet (donc au-dessus de la no$3$), et ainsi de suite (voir Fig. 9). On obtient alors dans l’ordre, de bas en haut, les cartes nos $2n,2n-2,2n-4,\dots,4,2,1,3,\dots,2n-3,2n-1$. On rencontre donc les cartes de num ros pairs dans l’ordre d croissant puis celles de num ros impairs dans l’ordre croissant.

Ce m lange correspond la permutation $h_{1}^{-1}$ des entiers $1,2,\dots,2n$ o $h_{1}$ est donn e par

[TABLE]

La permutation $h_{1}^{-1}$ s’ crit

[TABLE]

La permutation analogue $\tilde{h}_{1}$ associ e la num rotation $0,1,2,\dots,2n-1$ est donn e par

[TABLE]

et sa r ciproque par

[TABLE]

II.3.2 Deuxi me fa on de d marrer le processus

On commence par prendre la carte no$1$ qui va d marrer le nouveau paquet, puis la carte no$2$ que l’on place pr sent au-dessus du nouveau paquet (donc au-dessus de la carte no$1$), puis la carte no$3$ que l’on place au-dessous de la no$1$, puis la carte no$4$ que l’on place au-dessus de la no$2$, puis la carte no$5$ que l’on place au-dessous de la no$3$, et ainsi de suite (voir Fig. 10). On obtient cette fois dans l’ordre, de bas en haut, les cartes nos $2n-1,\linebreak 2n-3,\dots,3,1,2,4\dots,2n-2,2n$, c’est- -dire les cartes de num ros impairs dans l’ordre d croissant puis celles de num ros pairs dans l’ordre croissant.

Remarquons que ce m lange se d duit du pr c dent simplement en retournant le jeu, ou encore en effectuant la sym trie $j\longmapsto 2n+1-j$.En notant $h_{2}^{-1}$ la permutation des entiers $1,2,\dots,2n$ correspondant ce m lange, on a pr cis ment la relation $h_{2}^{-1}(j)=h_{1}^{-1}(2n+1-j)$ pour tout $j\in\{1,2,\dots,2n\}$, qui est quivalente $h_{2}(i)=2n+1-h_{1}(i)$ pour tout $i\in\{1,2,\dots,2n\}$. Donc

[TABLE]

et

[TABLE]

La permutation $\tilde{h}_{2}$ relative la num rotation $0,1,2,\dots,2n-1$ s’ crit :

[TABLE]

et sa r ciproque :

[TABLE]

II.4 M lange de Monge : deuxi me version

Une autre version du m lange de Monge consiste couper le jeu de cartes initialement num rot es $1,2,\dots,2n$ en deux paquets de cartes num rot es $1,2,\dots,n$ et $n+1,n+2,\dots,2n$, retourner le deuxi me paquet qui devient ordonn selon $2n,2n-1,\dots,n+2,n+1$, puis de m langer le premier paquet et le deuxi me ainsi retourn via un in-shuffle ou un out-shuffle. Cela donne un m lange <<  l’espagnole >> : on dispose les deux paquets sous forme d’ ventails, on retourne le deuxi me ventail (Ol !) et on intercale parfaitement les deux ventails.

II.4.1 In-shuffle de Monge

On intercale les deux paquets de cartes num rot es $1,2,\dots,n$ et $2n,2n-1,\dots,n+2,n+1$ en commen ant par le deuxi me (cas d’un in-shuffle, voir Fig. 11). Cela donne la succession de cartes nos $2n,1,2n-1,2,\dots,n+2,n-1,n+1,n.$

Cette s quence est repr sent e par la permutation $h_{3}$ des entiers $1,2,\dots,2n$ suivante :

[TABLE]

de r ciproque

[TABLE]

On a en particulier la congruence importante

[TABLE]

Les permutations analogues des entiers $0,1,2,\dots,\linebreak 2n-1$ sont alors les suivantes :

[TABLE]

et

[TABLE]

Ce m lange est reli celui d crit dans II.3.1 selon la relation $2n+1-h_{3}(2n+1-i)=h_{1}(i)$ valable pour tout $i\in\{1,2,\dots,2n\}$, soit encore en notant $s$ la sym trie $i\longmapsto 2n+1-i$,

[TABLE]

Les permutations $h_{1}$ et $h_{3}$ sont donc conjugu es dans le groupe des permutations $(\mathcal{S}_{2n},\circ)$.

II.4.2 Out-shuffle de Monge

On intercale pr sent les deux paquets de cartes num rot es $1,2,\dots,n$ et $2n,2n-1,\dots,\linebreak n+2,n+1$ en commen ant par le premier (cas d’un out-shuffle, voir Fig. 12). Cela conduit la s quence de cartes nos $1,2n,2,2n-1,\dots,n-1,n+2,n,n+1.$

D’o les permutations des entiers $1,2,\dots,2n$ suivantes :

[TABLE]

et

[TABLE]

On a $h_{4}(1)=1$, ce qui signifie que la carte no1 reste immobile dans cette manipulation. Les permutations des entiers $0,1,2,\dots,2n-1$ associ es sont les suivantes :

[TABLE]

et

[TABLE]

On a en particulier la congruence notoire

[TABLE]

À l’instar du m lange de la section II.4.1, ce m lange est reli celui d crit dans II.3.2 selon

[TABLE]

Les permutations $h_{2}$ et $h_{4}$ sont donc conjugu es.

Pour r sumer et avoir une vision concise des divers m langes consid r s, nous avons d fini les permutations $f$ (in-shuffle), $g$ (out-shuffle) et $h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}$ (m langes de Monge) ainsi que leurs translat es $\tilde{f},\tilde{g},\tilde{h}_{1},\tilde{h}_{2},\tilde{h}_{3},\tilde{h}_{4}$ et leurs r ciproques.

III Une formulation de la solution du probl me

Les m langes r p t s correspondent math matiquement aux it rations successives des permutations d crites pr c demment. Travaillons par exemple avec la permutation de l’in-shuffle $f$. L’issue des $k$ premiers m langes est repr sent e par la permutation

[TABLE]

Plus pr cis ment, la quantit $f^{k}(i)$ d signe le num ro de la carte se trouvant la position no$i$. Ainsi l’int gralit de l’exp rience (suppos e illimit e…) est mod lis e par l’ensemble des it rations successives de $f$ suivant : $\{id,f,f^{2},f^{3},\dots\}\linebreak=\{f^{k},k\in\mathbb{N}\}.$ C’est un sous-ensemble de l’ensemble fini $\mathcal{S}_{2n}$ des permutations de $\{1,2,\dots,2n\}$, il est donc fini lui-m me et il y a au moins deux entiers distincts $k$ et $l$ tels que $f^{k}\neq f^{l}$. Comme $f$ est bijective, on a en supposant par exemple que $k<l$ et en posant alors $r=l-k$, $f^{r}=id$, ou encore $(f^{-1})^{r}=id$. Cela signifie qu’au bout de $r$ m langes parfaits, on retombe n cessairement sur l’ordre initial des cartes. Ceci r pond affirmativement la premi re question pos e dans l’introduction.

L’ensemble $\{f^{k},k\in\mathbb{N}\}$, qui est a posteriori identique $\{f^{k},k\in\mathbb{Z}\}$, s’ crit en extension selon $\{id,f,f^{2},\dots,f^{r-1}\}$. Le nombre $r$ est une p riode de l’application $k\in\mathbb{Z}\longmapsto f^{k}\in\mathcal{S}_{2n}$. Remarquons que la permutation $\tilde{f}$ qui est d finie par $\tilde{f}(i)=f(i+1)-1$ v rifie $\tilde{f}^{k}(i)=f^{k}(i+1)-1$. Ainsi, l’ quation d’inconnue $r$, $f^{r}=id$ est quivalente $\tilde{f}^{r}=id$. Cela signifie que les permutations $f$ et $\tilde{f}$ (et aussi $f^{-1}$ et $\tilde{f}^{-1}$) ont m me p riode, ce qui est bien s r naturel puisque le retour l’ordre initial ne d pend pas du choix de la num rotation. Nous pourrons travailler indiff remment avec $f$ ou $\tilde{f}$ selon le cas. Le calcul de cette p riode – le plus petit $r\geqslant 1$ tel que $f^{r}=id$ – est pr cis ment l’objet de la deuxi me question pos e dans l’introduction. Une m thode de calcul est propos e dans les th or mes 1, 4, 6 et 7 ci-dessous, on peut la trouver e.g. dans les divers livres [3, 8, 16] ainsi que dans les articles [6, 12].

La derni re question pos e dans l’introduction concerne la possibilit de retrouver, partant d’une pile de $2n$ jetons contenant de bas en haut $n$ jetons verts et $n$ jetons rouges, une pile visuellement identique, mais ventuellement correspondant un ordre de jetons (s’ils taient discernables) diff rent. Cela revient d terminer pour la permutation $f$ le plus petit entier $r^{\prime}\geqslant 1$ tel que

[TABLE]

et

[TABLE]

Une des deux galit s est redondante puisque $f$ est bijective. Il est clair que $r^{\prime}\leqslant r$. En fait, l’entier $r^{\prime}$ divise la p riode $r$. En effet, en effectuant la division euclidienne de $r$ par $r^{\prime}$, on a $r=ar^{\prime}+b$ pour deux entiers $a$ et $b$ tels que $0\leqslant b\leqslant r^{\prime}-1$. Alors, par d finition de $r$, $f^{r}=f^{(a+1)r^{\prime}-(r^{\prime}-b)}=id$, donc $f^{r^{\prime}-b}=(f^{r^{\prime}})^{a+1}$ et $f^{r^{\prime}-b}$ v rifie $f^{r^{\prime}-b}(\{1,2,\dots,n\})=\{1,2,\dots,n\}$. Par d finition de $r^{\prime}$, comme $1\leqslant r^{\prime}-b\leqslant r^{\prime}$, on a n cessairement $b=0$ et donc $r^{\prime}$ divise $r$. La recherche de $r^{\prime}$ semble d licate, nous ne l’aborderons pas dans ce travail.

III.1 Cas de l’in-shuffle

Th or me 1

La p riode de l’in-shuffle de $2n$ cartes est le plus petit entier $r\geqslant 1$ v rifiant \mbox{2^{r}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]}. En d’autres termes, $r$ est l’ordre de $2$ modulo $(2n+1)$.

D monstration. Rappelons la congruence pour la permutation $f$ associ e l’in-shuffle :

[TABLE]

On a alors pour tout $k\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

La p riode de $f$ est donc le plus petit entier $r\geqslant 1$ v rifiant \mbox{2^{r}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]}. Notons qu’un tel entier existe effectivement. En effet, en adaptant le raisonnement pr c dent et en rappelant la notation $a\;{\mod n}$ qui d signe le reste de la division euclidienne de $a$ par $n$, l’ensemble $\{2^{k}\;{\mod(2n+1)},k\in\mathbb{N}\}$ est fini, il existe au moins deux entiers distincts $k$ et $l$ tels que $k<l$ et \mbox{2^{k}\equiv 2^{l}}\;{[\mod(2n+1)]}. Les nombres $2$ et $(2n+1)$ tant premiers entre eux, $2$ est inversible modulo $(2n+1)$ et on peut donc << diviser >> par $2^{k}$ pour obtenir \mbox{2^{l-k}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]} avec $l-k\geqslant 1$.

Remarque. Un th or me d’Euler stipule que, si $\varphi(2n+1)$ est le nombre d’entiers premiers avec $2n+1$ compris entre 1 et $2n+1$ (fonction indicatrice d’Euler), on a \mbox{2^{\varphi(2n+1)}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]}. Ainsi $\varphi(2n+1)$ est une p riode de $f$. Lorsque $2n+1$ est premier, $\varphi(2n+1)=2n$ et ceci n’est rien d’autre que le petit th or me de Fermat : \mbox{2^{2n}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]}.

La discussion pr c dente montre que l’ volution de la $i$e carte ($i\in\{1,2,3,\dots,2n\}$) est d crite par l’orbite de $i$ sous l’action de $f$ (ou de mani re quivalente de $f^{-1}$) :

[TABLE]

L’orbite de $1$ est en particulier

[TABLE]

Par d finition de $r$, le cardinal de $\mathcal{O}(1)$ est exactement $r$ : $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(1)=r$. Pour les autres $i$, on a $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(i)\leqslant r$. On voit par ailleurs, puisque $\mathcal{O}(1)\subset\{1,2,3,\dots,2n\}$, que $r\leqslant 2n$. L’ galit $r=2n$ signifie que l’on a une seule orbite : pour tout $i\in\{1,2,3,\dots,2n\}$,

[TABLE]

Dans ce cas, une carte donn e visite toutes les places du jeu avant de revenir sa position initiale.

Proposition 2

$\bullet$* Pour tout $i\in\{1,2,\dots,n\}$, le cardinal de l’orbite de $i$ est un diviseur de celui de l’orbite de $1$ : $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(i)$ divise $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(1)$.

$\bullet$ Dans le cas particulier o $i$ est un nombre premier avec $2n+1$, ces orbites ont m me cardinal : $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(i)=\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(1)$.

$\bullet$ Si $2n+1$ est premier, toutes les orbites ont m me cardinal $r$ et il y a $2n/r$ orbites distinctes.*

D monstration.

$\bullet$ Introduisons le pgcd des entiers $i$ et $2n+1$ : $d_{i}=\mathrm{pgcd}(i,2n+1)$ et posons $r_{i}=\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(i)$ (on a en particulier $r_{1}=r$). Le cardinal $r_{i}$ est le plus petit entier strictement positif tel que \mbox{2^{k}i\equiv i}\;{[\mod(2n+1)]}. Cette derni re galit est quivalente l’assertion << $(2n+1)$ divise $i(2^{k}-1)$ >>, ou encore << $(2n+1)/d_{i}$ divise $(i/d_{i})(2^{k}-1)$ >>. Par d finition de $d_{i}$, les entiers $i/d_{i}$ et $m_{i}=(2n+1)/d_{i}$ sont premiers entre eux, ce qui montre que $m_{i}$ divise $2^{k}-1$. On voit ainsi que r_{i}=\min\{k\in\mathbb{N}^{*}:\mbox{2^{k}\equiv 1}\;{[\mod m_{i}]}\}.

Prouvons que $r_{i}$ divise $r$. Comme $m_{i}$ divise $2n+1$, on a l’implication \mbox{x\equiv y}\;{[\mod(2n+1)]}\Longrightarrow\mbox{x\equiv y}\;{[\mod m_{i}]} ; on peut alors d finir de mani re coh rente, entre les groupes multiplicatifs

[TABLE]

et

[TABLE]

un morphisme

[TABLE]

qui est clairement surjectif. Les groupes $\mathcal{O}(1)/\ker\phi_{i}$ et $G_{i}$ sont donc isomorphes ce qui montre bien que $\mathop{\mathrm{card}}(G_{i})$ (qui vaut $r_{i}$) divise $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(1)$.

$\bullet$ Lorsque $i$ est premier avec $2n+1$, $i$ est inversible modulo $(2n+1)$ et l’application de multiplication par $i$

[TABLE]

est une bijection entre les orbites $\mathcal{O}(1)$ et $\mathcal{O}(i)$. Les orbites de $1$ et de $i$ ont donc m me cardinal (qui vaut $r$).

$\bullet$ Enfin, si $2n+1$ est un nombre premier, tout $i\in\{1,2,\dots,2n\}$ est premier avec $2n+1$ et donc $r_{i}=r$. La r union des diff rentes orbites co ncidant avec $\{1,2,\dots,2n\}$, il y a alors $2n/r$ orbites distinctes.

Exemple. Cas d’un jeu de $52$ cartes (quatre s ries de cartes num rot es de $2$ $10$, valet, dame, roi, as, de couleurs carreau, pique, cœur, tr fle). Ce cas correspond $n=26$. L’ tude de l’in-shuffle de ce jeu s’effectue modulo $2n+1=53$ qui est premier. En renum rotant toutes les cartes de $1$ $52$, il y a une seule orbite : $\mathcal{O}(1)=\{1,2,3,\dots,52\}$ et l’in-shuffle est de p riode $52$.

Exemple. Cas d’un jeu de $54$ cartes (jeu pr c dent avec deux jokers diff rents). Ce cas correspond $n=27$. L’ tude de l’in-shuffle de ce m lange se m ne modulo $2n+1=55$. On trouve, en renum rotant toutes les cartes de $1$ $54$, quatre orbites distinctes :

[TABLE]

On v rifie que les cardinaux de $\mathcal{O}(3),\mathcal{O}(5),\mathcal{O}(11)$, valant respectivement $20,10,4$, divisent le cardinal de $\mathcal{O}(1)$ qui vaut $20$. Ainsi, l’in-shuffle est de p riode $20$.

Corollaire 3

$\bullet$* La p riode de l’in-shuffle d’un jeu de $2^{p}$ cartes ($p\geqslant 1$) est $2p$.

$\bullet$ La p riode de l’in-shuffle d’un jeu de $2^{p}-2$ cartes ($p\geqslant 2$) est $p$.*

D monstration. Écrivons l’orbite de $1$.

$\bullet$ Si $n=2^{p-1}$, alors $2n+1=2^{p}+1$. On voit que \mbox{2^{p}\equiv-1}\;{[\mod(2n+1)]}, puis, en levant au carr , que \mbox{2^{2p}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]}. D’apr s le th or me 1, on tire que $2p$ est une p riode de l’in-shuffle. On a ensuite, pour tout $k\in\{p,\linebreak p+1,\dots,2p\}$, \mbox{2^{k}\equiv 2^{p}-2^{k-p}+1}\;{[\mod(2n+1)]} avec l’encadrement $1\leqslant 2^{p}-2^{k-p}+1\leqslant 2n$. L’orbite de $1$ est dans ce cas

[TABLE]

On constate que $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(1)=2p$ et donc que $2p$ est la p riode de l’in-shuffle.

$\bullet$ Si $n=2^{p-1}-1$, alors $2n+1=2^{p}-1$ et donc \mbox{2^{p}\equiv 1}\;{[\mod(2n+1)]}. Cette fois, l’orbite de $1$ est donn e par

[TABLE]

et l’on obtient $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{O}(1)=p$. Le nombre $p$ est la p riode de l’in-shuffle.

Remarque. D’apr s la remarque suivant le th or me 1, on a prouv au passage que $p$ divise $\varphi(2^{p}-1)$ et $2p$ divise $\varphi(2^{p}+1)$.

Exemple. Cas d’un jeu de $32$ cartes (quatre s ries de cartes num rot es de $7$ $10$, valet, dame, roi, as, de couleurs carreau, pique, cœur, tr fle). Ce cas correspond $n=16$ et $p=5$. L’ tude de l’in-shuffle de ce jeu se r alise modulo $2n+1=33$. En renum rotant les cartes de $1$ $32$, l’évolution progressive de la carte no $1$ est d crite selon le cycle

[TABLE]

Plus g n ralement, on trouve quatre orbites distinctes :

[TABLE]

On v rifie que les cardinaux de $\mathcal{O}(3),\mathcal{O}(5),\mathcal{O}(11)$, valant respectivement $10,10,2$, divisent le cardinal de $\mathcal{O}(1)$ qui vaut $10$. Ainsi, l’in-shuffle de ce jeu est de p riode $10$ qui co ncide pr cis ment avec $2p$.

III.2 Cas de l’out-shuffle

Th or me 4

La p riode de l’out-shuffle d’un jeu de $2n$ cartes est le plus petit entier $s\geqslant 1$ v rifiant \mbox{2^{s}\equiv 1}\;{[\mod(2n-1)]}. En d’autres termes, $s$ est l’ordre de $2$ modulo $(2n-1)$.

D monstration. Rappelons la relation remarquable pour la permutation $\tilde{g}$ associ e l’out-shuffle :

[TABLE]

qui donne pour tout $k\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

La p riode de $\tilde{g}$ et donc de $g$ est alors le plus petit entier $s\geqslant 1$ v rifiant \mbox{2^{s}\equiv 1}\;{[\mod(2n-1)]}.

Remarque. Le th or me 4 d coule galement du th or me 1 : en effet, il a t observ qu’un out-shuffle de $2n$ cartes est identique l’in-shuffle du jeu de $2(n-1)$ cartes obtenu en retirant les premi re et derni re cartes.

La discussion pr c dente montre que l’ volution de la $i$e carte ($i\in\{0,1,2,\dots,2n-1\}$) est d crite par l’orbite de $i$ sous l’action de $\tilde{g}$ (ou de mani re quivalente de $\tilde{g}^{-1}$) :

[TABLE]

L’orbite de $1$ est en particulier

[TABLE]

Exemple. Cas d’un jeu de $52$ cartes. L’ tude de l’out-shuffle de ce jeu s’effectue modulo $2n-1=51$. On trouve, en num rotant les cartes de [math] $51$, les neufs orbites suivantes :

[TABLE]

Les cardinaux de ces orbites sont $1$, $2$ ou $8$. La p riode de l’out-shuffle est $s=8$.

Exemple. Cas d’un jeu de $54$ cartes. L’ tude de l’out-shuffle de ce jeu se m ne modulo $2n-1=53$ qui est premier. On trouve pr sent, en num rotant les cartes de [math] $53$, trois orbites distinctes :

[TABLE]

La p riode dans ce cas est $s=52$.

La remarque suivant le th or me 4 fournit l’analogue suivant du corollaire 3.

Corollaire 5

$\bullet$* La p riode de l’out-shuffle d’un jeu de $2^{p}$ cartes ($p\geqslant 1$) est $p$.

$\bullet$ La p riode de l’out-shuffle d’un jeu de $2^{p}+2$ cartes ($p\geqslant 1$) est $2p$.*

Exemple. Cas d’un jeu de $32$ cartes. Ce cas correspond $n=16$ et $p=5$. L’ tude de l’out-shuffle se r alise modulo $2n-1=31$. En num rotant les cartes de [math] $31$, l’évolution de la carte no$1$ est d crite selon le cycle $\tilde{g}^{-1}(1)=2,\,\tilde{g}^{-2}(1)=4,\linebreak\tilde{g}^{-3}(1)=8,\,\tilde{g}^{-4}(1)=16,\,\tilde{g}^{-5}(1)=1.$ Plus g n ralement, on trouve huit orbites distinctes :

[TABLE]

Les cardinaux de ces orbites valent $1$ ou $5$ et l’out-shuffle de ce jeu est de p riode $5$ qui co ncide pr cis ment avec $p$.

III.3 Cas d’un m lange de Monge

Th or me 6

La p riode commune de $h_{1}$ et de $h_{3}$ est le plus petit entier $u\geqslant 1$ v rifiant l’une des deux congruences \mbox{2^{u}\equiv 1}\;{[\mod(4n+1)]} ou \mbox{2^{u}\equiv-1}\;{[\mod(4n+1)]}.

Explication du th or me. Ou bien il existe une puissance de $2$ congrue $-1$ modulo $(4n+1)$ et l’on choisit pour $u$ la plus petite. Dans ce cas, $2u$ est l’ordre de $2$ modulo $(4n+1)$ : \mbox{2^{2u}\equiv 1}\;{[\mod(4n+1)]}. Ou bien il n’existe aucune puissance de $2$ congrue $-1$ modulo $(4n+1)$ et l’on choisit alors pour $u$ l’ordre de $2$ modulo $(4n+1)$.

D monstration. Rappelons tout d’abord que $h_{1}$ et $h_{3}$ sont conjugu es : $h_{3}=s\circ h_{1}\circ s^{-1}$. Cette propri t s’ tend toutes les it r es : $h^{k}_{3}=s\circ h^{k}_{1}\circ s^{-1}$. Ainsi l’ quation $h_{1}^{k}=id$ est quivalente l’ quation $h_{3}^{k}=id$, prouvant que $h_{1}$ et $h_{3}$ ont m me p riode. Rappelons la relation

[TABLE]

On a

[TABLE]

le signe $\pm$ d pendant de $j$ et $k$ est d termin sans ambigu t par la contrainte $1\leqslant h_{3}^{-k}(j)\leqslant 2n$. Plus pr cis ment, si $2^{k}j$ admet un repr sentant modulo $(4n+1)$ compris entre $1$ et $2n$, alors $h_{3}^{-k}(j)$ co ncide avec ce repr sentant et on choisit le signe $+$ dans la congruence : \mbox{h_{3}^{-k}(j)\equiv+2^{k}j}\;{[\mod(4n+1)]}. Sinon, $2^{k}j$ admet un repr sentant entre $2n+1$ et $4n$ ([math] ne peut pas tre un repr sentant car $2^{k}$ et $(4n+1)$ sont premiers entre eux et $1\leqslant j\leqslant 2n$). Dans ce cas, $-2^{k}j$ admet un repr sentant entre $1$ et $2n$ et l’on choisit le signe $-$ : \mbox{h_{3}^{-k}(j)\equiv-2^{k}j}\;{[\mod(4n+1)]}.

Pour avoir en particulier $h_{3}^{-k}(1)=1$, on doit choisir $k$ tel que \mbox{2^{k}\equiv\pm 1}\;{[\mod(4n+1)]}. Consid rons donc le plus petit entier $u\geqslant 1$ tel que \mbox{2^{u}\equiv 1}\;{[\mod(4n+1)]} ou \mbox{2^{u}\equiv!-1}\;{[\mod\!(4n+1)]}. On a ensuite pour tout $j\in\{1,2,\dots,2n\}$, \mbox{h_{3}^{-u}(j)\equiv\pm j}\;{[\mod(4n+1)]}, le signe $\pm$ d pendant de $j$ et $u$. En fait, le repr sentant de $-j\;{\mod(4n+1)}$ compris entre $1$ et $4n+1$ est $4n+1-j$. Mais ce repr sentant est sup rieur $2n$ et la condition $1\leqslant h_{3}^{-u}(j)\leqslant 2n$ n’est remplie que dans le cas o $h_{3}^{-u}(j)=j$. Ainsi $h_{3}^{-u}=id$ et $u$ est la p riode de $h_{3}$.

Exemple. Cas d’un jeu de $52$ cartes. L’ tude de ce m lange de Monge s’effectue modulo $4n+1=105$. On trouve les orbites suivantes :

[TABLE]

Ce m lange a pour p riode $12$.

Exemple. Cas d’un jeu de $54$ cartes. L’ tude de ce m lange de Monge s’effectue modulo $4n+1=109$. On trouve les trois orbites suivantes :

[TABLE]

Ce m lange a pour p riode $18$.

De mani re similaire, la congruence pr c demment signal e

[TABLE]

fournit la p riode de $h_{4}$.

Th or me 7

La p riode commune de $h_{2}$ et de $h_{4}$ est le plus petit entier $v\geqslant 1$ v rifiant l’une des deux congruences \mbox{2^{v}\equiv 1}\;{[\mod(4n-1)]} ou \mbox{2^{v}\equiv-1}\;{[\mod(4n-1)]}.

Exemple. Cas d’un jeu de $52$ cartes. L’ tude de ce m lange de Monge s’effectue modulo $4n-1=103$. On trouve les deux orbites $\mathcal{\tilde{O}}(0)=\{0\}$ et $\mathcal{\tilde{O}}(1)=\{1,2,3,\dots,51\}$. La p riode de ce m lange est $51$.

Exemple. Cas d’un jeu de $54$ cartes. L’ tude de ce m lange de Monge s’effectue modulo $4n-1=107$. On trouve les deux orbites $\mathcal{\tilde{O}}(0)=\{0\}$ et $\mathcal{\tilde{O}}(1)=\{1,2,3,\dots,53\}$. La p riode de ce m lange est $53$.

Corollaire 8

La p riode d’un m lange de Monge de $2^{p}$ cartes ($p\geqslant 1$) est $p+1$.

D monstration. Pour $n=2^{p-1}$, on a $4n+1\linebreak=2^{p+1}+1$. Donc \mbox{2^{p+1}\equiv-1}\;{[\mod(4n+1)]} et \mbox{2^{p+1}\equiv 1}\;{[\mod(4n-1)]}. D’apr s les th or mes 6 et 7, $p+1$ est une p riode de $h_{1},h_{2},h_{3}$ et $h_{4}$. Dans les deux cas, l’orbite de $1$ est l’ensemble $\{1,2,2^{2},\dots,2^{p}\}$ de cardinal $p+1$, ce qui prouve le corollaire.

Exemple. Cas d’un jeu de $32$ cartes. L’ tude du m lange de Monge associ $h_{3}$ s’effectue modulo $4n+1=65$. On trouve les orbites suivantes :

[TABLE]

L’ tude du m lange de Monge associ $\tilde{h}_{4}$ s’effectue modulo $4n-1=63$. On trouve les orbites suivantes :

[TABLE]

Dans les deux cas, la p riode est $6$ et co ncide bien avec $p+1$ (ici $n=2^{p-1}$ avec $p=5$).

III.4 Quelques valeurs num riques

Nous donnons ci-dessous les p riodes des in-shuffles et des m langes de Monge associ s $h_{1}$ et $h_{2}$ (baptis s dans le tableau de << in-Monge >> et << out-Monge >>) pour des jeux de $2n$ cartes avec $2n\leqslant 64$.

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

IV In-shuffle : cas particuliers

Dans cette partie, nous calculons explicitement les it rations successives de la permutation associ e l’in-shuffle dans les deux cas particuliers $n=2^{p-1}$ et $n=2^{p-1}-1$. L’astuce de calcul consiste travailler avec les critures binaires des num ros de cartes.

Nous ne calculerons pas les it rations successives de l’out-shuffle dans les cas $n=2^{p-1}$ et $n=2^{p-1}+1$, l’out-shuffle tant quivalent l’in-shuffle associ aux cas respectifs $n=2^{p-1}-1$ et $n=2^{p-1}$.

IV.1 Cas d’un jeu de $2^{p}$ cartes

Nous nous pla ons dans le cas d’un jeu de $2^{p}$ cartes, c’est- -dire $n=2^{p-1}$. Nous travaillons ici avec $\tilde{f}$. Introduisons l’ criture binaire d’un $i\in\{0,1,\dots,2n-1\}$ :

[TABLE]

o les $i_{0},i_{1},\dots,i_{p-1}$ sont des bits [math] ou $1$. On a en particulier $n=\overline{1\underset{p-1}{\underbrace{0-0}}}$ et $2n-1=\overline{\underset{p}{\underbrace{1-1}}}$. Dans ces conditions, l’image de $i$ par la permutation $\tilde{f}$ s’ crit

[TABLE]

soit encore

[TABLE]

IV.1.1 Calcul des it r es $\tilde{f}^{k}(i)$ pour chaque $i$

Avec cette repr sentation de $\tilde{f}$, on voit progressivement que

[TABLE]

et plus g n ralement, pour $0\leqslant k\leqslant p$,

[TABLE]

Pour $k=p$, on obtient

[TABLE]

que l’on peut r crire

[TABLE]

Ainsi $\tilde{f}^{p}$ est la sym trie des entiers $0,1,\dots,2n-1$. Cela signifie que dans le cas d’une pile de $2n$ jetons dont les $n$ jetons du bas sont verts et les $n$ du haut sont rouges, on obtient au bout de $p$ m langes parfaits une pile invers e : les $n$ jetons du bas sont rouges et les $n$ du haut sont verts.

En poursuivant, on trouve pour $p\leqslant k\leqslant 2p$,

[TABLE]

pour aboutir finalement

[TABLE]

On retrouve bien le fait que, dans le cas o $n=2^{p-1}$, le nombre $2p$ est une p riode de $\tilde{f}$ (et aussi de $f$).

IV.1.2 Calcul des it r es $\tilde{f}^{k}(0)$

L’ volution en binaire de la premi re carte (num ro [math]) est int ressante en soi. Les calculs pr c dents donnent

[TABLE]

Plus g n ralement, pour $0\leqslant k\leqslant p$,

[TABLE]

qui conduit

[TABLE]

Puis, pour $p\leqslant k\leqslant 2p$,

[TABLE]

et finalement $\tilde{f}^{2p}(0)=0$. Ainsi, l’orbite de [math] sous l’action de $\tilde{f}$ est

[TABLE]

On voit que $\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{\tilde{O}}(0)=2p$. Le nombre $2p$ est bien la p riode de $\tilde{f}$.

IV.2 Cas d’un jeu de $2^{p}-2$ cartes

Nous nous pla ons dans le cas o $n=2^{p-1}-1$. Nous travaillons ici avec $f$. Introduisons de nouveau l’ criture binaire d’un $i\in\{1,2\dots,2n\}$ : $i=\overline{i_{p-1}\dots i_{0}}$. On a $n+1=2^{p-1}=\overline{1\underset{p-1}{\underbrace{0-0}}}$. Dans ces conditions, l’image de $i$ par la permutation $f$ s’ crit

[TABLE]

soit encore

[TABLE]

Dans ce cas, la permutation $f$ correspond une simple permutation circulaire des chiffres de la d composition binaire de la variable : $(i_{0},i_{1},\dots,i_{p-1})\longmapsto(i_{1},i_{2}\dots,i_{p-1},i_{0})$.

IV.2.1 Calcul des it r es $f^{k}(i)$ pour chaque $i$

On obtient imm diatement, pour $0\leqslant k\leqslant p$,

[TABLE]

Finalement pour $k=p$ :

[TABLE]

Ce proc d est signal dans [1, 5]. On retrouve le fait que, dans le cas o $n=2^{p-1}-1$, $p$ est une p riode de $f$.

IV.2.2 Calcul des it r es $f^{k}(1)$

Examinons l’ volution binaire de la premi re carte (no$1$) : la permutation circulaire des chiffres donne

[TABLE]

puis, pour $0\leqslant k\leqslant p$,

[TABLE]

On arrive finalement $f^{p}(1)=1$ et $p$ est bien la p riode de $f$.

V M lange de Monge : cas d’un jeu de $2^{p}$ cartes

Dans toute cette section, nous nous pla ons dans le cas o $n=2^{p-1}$.

V.1 Version associ e $h_{1}$

Nous travaillons ici avec la permutation $\tilde{h}_{1}$ des entiers $0,1,\dots,2n-1$. On a, pour $i=\overline{i_{p-1}\dots i_{0}}$,

[TABLE]

L’expression de $\tilde{h}_{1}(i)$ ci-dessus d pendant de la parit de $i$, nous sommes amen s d composer l’ criture binaire de $i$ en blocs de [math] et de $1$ cons cutifs. Notons $m$ ($m\geqslant 1$) le nombre de blocs apparaissant dans $i$ et $l_{1},l_{2},\dots,l_{m}$ leurs longueurs respectives en partant de la droite vers la gauche ($l_{1},\dots,l_{m}\geqslant 1$ et $l_{1}+\dots+l_{m}=p$). Pour $m=1$, on a les deux possibilit s $i=\overline{0-0}$ et $i=\overline{1-1}$. Pour $m\geqslant 2$, on a les quatre possibilit s g n riques :

[TABLE]

V.1.1 Calcul des it r es $\tilde{h}_{1}^{k}(i)$ pour chaque $i$

Nous consid rons par exemple le cas d’un nombre $i$ se d composant sous la forme

[TABLE]

On a

[TABLE]

puis

[TABLE]

puis

[TABLE]

On continue ainsi de suite pour arriver

[TABLE]

Finalement, le r sultat de la derni re tape s’ crit exactement

[TABLE]

Les calculs men s ci-dessus s’ tendent ais ment aux autres formes possibles de d compositions binaires par blocs de $i$ quitte faire $l_{1}=0$ ou/et $l_{m}=0$.

V.1.2 Calcul des it r es $\tilde{h}_{1}^{k}(0)$

Les calculs de la section pr c dente donnent en particulier les it rations successives de $\tilde{h}_{1}$ en [math] :

[TABLE]

Plus g n ralement, on a pour $0\leqslant k\leqslant p$,

[TABLE]

jusqu’

[TABLE]

et enfin $\tilde{h}_{1}^{p+1}(0)=0$.

V.2 Version associ e $h_{2}$

En ce qui concerne la permutation $\tilde{h}_{2}$ des entiers $0,1,\dots,2n-1,$ on a pour $i=\overline{i_{p-1}\dots i_{0}}$,

[TABLE]

V.2.1 Calcul des it r es $\tilde{h}_{2}^{k}(i)$ pour chaque $i$

Consid rons de nouveau l’exemple o

[TABLE]

On a

[TABLE]

puis

[TABLE]

puis

[TABLE]

On continue ainsi de suite pour arriver

[TABLE]

Finalement, la derni re tape donne exactement

[TABLE]

V.2.2 Calcul des it r es $\tilde{h}_{2}^{k}(0)$

Les it rations successives de $\tilde{h}_{2}$ en [math] s’ crivent

[TABLE]

Plus g n ralement, on a pour $0\leqslant k\leqslant p$,

[TABLE]

jusqu’

[TABLE]

et enfin $\tilde{h}_{2}^{p+1}(0)=0$.

VI Cas d’un jeu contenant un nombre impair de cartes

On consid re ici rapidement le cas d’un jeu de $2n+1$ cartes, cas tudi dans [12]. Dans cette situation, le coupage de ce jeu en deux parties peut se faire de deux mani res : soit la $n\fup{e}$ carte, soit la $(n+1)\fup{e}$. En d’autres termes, apr s coupage, le premier paquet contient $n$ cartes et le deuxi me en contient $n+1$, ou bien le premier paquet contient $n+1$ cartes et le deuxi me en contient $n$. On intercale alors le paquet de $n$ cartes dans celui de $n+1$.

Examinons les deux situations possibles.

$\bullet$ Premier coupage : le jeu de cartes num rot es dans l’ordre $1,2,$ $3,\dots,2n,2n+1$ est coup en deux paquets de cartes num rot es $1,2,\dots,n$ pour le premier et $n+1,n+2,\dots,2n,2n+1$ pour le deuxi me. On constitue un nouveau jeu de $2n+1$ cartes en intercalant le premier paquet dans le deuxi me, donnant ainsi la suite de cartes nos $n+1,1,n+2,2,\dots,n-1,2n,n,2n+1$ (voir Fig. 13). On observe que la carte no$(2n+1)$ reste immobile et qu’en la retirant du jeu, cette manipulation est identique l’in-shuffle du jeu des $2n$ cartes restantes.

$\bullet$ Deuxi me coupage : le jeu de cartes renum rot es dans l’ordre $0,1,2,3,\dots,2n$ est coup pr sent en deux paquets de cartes num rot es $0,1,2,\dots,n$ pour le premier et $n+1,n+2,\dots,2n$ pour le deuxi me. On forme un nouveau jeu de $2n+1$ cartes en intercalant le deuxi me paquet dans le premier, fournissant ainsi la suite de cartes nos $0,n+1,1,n+2,2,\dots,2n-1,\linebreak n-1,2n,n$ (voir Fig. 13). Dans ce cas, la carte no[math] reste immobile ; en la retirant du jeu, cette manipulation est identique l’in-shuffle du jeu des $2n$ cartes restantes.

En conclusion, on a le r sultat suivant.

Th or me 9

La p riode du m lange parfait de $2n+1$ cartes est l’ordre de $2$ modulo $(2n+1)$.

VII D placement d’une carte vers une position donn e dans

le cas d’un jeu de $2^{p}$ cartes

Dans cette section, nous consid rons le probl me d’Elmsley consistant d terminer une succession d’in- et d’out-shuffles d pla ant une carte donn e une position donn e. Nous nous pla ons dans le cas simple d’un jeu de $2^{p}$ cartes ($p\geqslant 1$) et renvoyons le lecteur  [4] o une proc dure algorithmique est propos e dans le cas g n ral. Les cartes sont num rot es de bas en haut $0,1,2,\dots,2^{p}-1$.

VII.1 Proc dure g n rale

Rappelons que les d placements de la carte no$j$ o $j=\overline{j_{p-1}\dots j_{0}}$, par un in- et un out-shuffles sont repr sent s, en posant pour simplifier les notations $\tilde{f}^{-1}=\mathfrak{f}$ et $\tilde{g}^{-1}=\mathfrak{g}$, par

[TABLE]

Si l’on effectue cons cutivement $k_{1}$ in-, $k_{2}$ out-, $k_{3}$ in-, $k_{4}$ out-, $\dots$, $k_{m-1}$ in- et $k_{m}$ out-shuffles o $k_{1},k_{2},\dots,k_{m}$ sont des nombres positifs ( ventuellement $k_{1},k_{m}$ pouvant tre nuls) de somme $p$, la carte no$j$ se retrouve la position de num ro

[TABLE]

D terminons explicitement l’ criture binaire du num ro $i$. On a

[TABLE]

puis

[TABLE]

puis

[TABLE]

De proche en proche, on arrive

[TABLE]

et enfin

[TABLE]

En d’autres termes, les bits de $i$ co ncident avec les bits de $j$ ou leur compl mentaire (le compl mentaire d’un bit $\jmath$ tant $1-\jmath$) selon la r gle suivante : de gauche droite,

• —

les $k_{1}$ premiers bits de $i$ sont les compl mentaires de ceux des $k_{1}$ premiers de $j$,

• —

les $k_{2}$ bits de $i$ suivants sont identiques aux $k_{2}$ suivants de $j$,

• —

les $k_{3}$ bits de $i$ suivants sont les compl mentaires des $k_{3}$ suivants de $j$,

• —

les $k_{4}$ bits de $i$ suivants sont identiques aux $k_{4}$ suivants de $j$,

• —

etc.

Ce calcul permet d’ laborer un algorithme pour d placer une carte de num ro donn $j$ vers une position de num ro donn $i$ ($i\neq j$). On d compose $i$ et $j$ en criture binaire : $i=\overline{i_{p-1}\dots i_{0}}$ et $j=\overline{j_{p-1}\dots j_{0}}$. Puis on compare les bits de $i$ et $j$ situ chaque m me place et l’on fait appara tre dans $i$ des blocs de bits successifs identiques ceux de $j$ et des blocs de bits successifs compl mentaires ceux de $j$. On d compose ainsi $i$ en << blocs de co ncidence >> et << blocs de compl mentarit  >> avec ceux de $j$. Plus pr cis ment, en introduisant la suite des longueurs de ces blocs

[TABLE]

on a, s’il y a $m$ tels blocs ($\lambda_{1}+\dots+\lambda_{m}=p$ avec $\lambda_{1},\lambda_{m}\geqslant 0$ et $\lambda_{2},\dots,\lambda_{m-1}\geqslant 1$),

[TABLE]

Les calculs pr c dents montrent, en choisissant $k_{1}=\lambda_{m},k_{2}=\lambda_{m-1},\dots,k_{m}=\lambda_{1}$, que

[TABLE]

Cela indique que $\lambda_{m}$ in-, $\lambda_{m-1}$ out-, $\dots$, $\lambda_{2}$ in- et $\lambda_{1}$ out-shuffles m nent la carte no$j$ la position no$i$. En d’autres termes, le proc d recherch se sch matise selon la succession suivante (de gauche droite) :

[TABLE]

D’un point de vue pratique, on effectue un out-shuffle chaque fois que l’on rencontre, dans la lecture de gauche droite des critures binaires de $i$ et $j$, une co ncidence de bits et un in-shuffle lorsque l’on rencontre une compl mentarit de bits. Notons que les num ros $i$ et $j$ jouent un r le sym trique dans cette analyse. Ainsi, ce processus qui d place la carte no$j$ la place no$i$ d place galement la carte no$i$ la position no$j$.

Exemple. Consid rons le cas d’un jeu de $32$ cartes num rot es $0,1,2,\dots,31$. On souhaite d placer la carte no$19$ vers la position no$7$. On crit les nombres $7$ et $19$ en binaire $7=\overline{00111}$ et $19=\overline{10011}$, on superpose les deux s ries de bits et on compare les paires de bits verticaux. Lorsque l’on a une paire de bits identiques, on inscrit un out-shuffle ; lorsque l’on a une paire de bits diff rents, on inscrit un in-shuffle. Cela donne concr tement :

[TABLE]

L’algorithme pour amener la carte no$19$ la place no$7$ est sch matis par la succession d’in- et d’out-shuffles $IOIOO$, soit : $\mathfrak{f}(19)=6$, $\mathfrak{g}(6)=12$, $\mathfrak{f}(12)=25$, $\mathfrak{g}(25)=19$, $\mathfrak{g}(19)=7$. Globalement,

[TABLE]

L’algorithme pour amener la carte no$7$ la place no$19$ est le m me : $\mathfrak{f}(7)=15$, $\mathfrak{g}(15)=30$, $\mathfrak{f}(30)\linebreak=28$, $\mathfrak{g}(28)=25$, $\mathfrak{g}(25)=19$, qui donne

[TABLE]

On observe que cette proc dure est loin d’ tre optimale dans le premier cas puisque seul un out-shuffle suffit d placer la carte no$19$ vers la position no$7$ : $\mathfrak{g}(19)=7$… N anmoins, elle a l’avantage de fonctionner syst matiquement. D’ailleurs dans le deuxi me cas, nous avons v rifi l’aide de Maple qu’aucune composition de moins de cinq in-/out-shuffles ne permettait la manipulation requise ; dans ce cas, l’algorithme se r v le optimal. Dans [4], les auteurs proposent un algorithme minimal pour ex cuter le d placement souhait et cet algorithme est valable dans le cas d’un jeu contenant un nombre quelconque de cartes.

VII.2 D placement de la carte du dessous du paquet vers une position donn e

Examinons le d placement de la carte du dessous du paquet, i.e. la carte no[math], vers la position donn e no$i$. Les calculs pr c dents donnent imm diatement

[TABLE]

Introduisons la d composition binaire de $i$ par blocs

[TABLE]

o les $l_{1},\dots,l_{m}$ sont les longueurs positives des blocs de bits de $i$ lus de droite gauche. Éventuellement, on posera $l_{m}=0$ si la d composition d marre par un bloc de [math] et $l_{1}=0$ si elle finit par un bloc de $1$. La r gle pr c dente nous enseigne que

[TABLE]

Dans le cas o $l_{m}=0$, c’est- -dire dans le cas o la d composition de $i$ commence par un bloc de [math], puisque $\mathfrak{g}(0)=0$ (un out-shuffle n’affecte pas la carte no[math]), on peut retirer la manipulation redondante $\mathfrak{g}^{l_{m-1}}$ ci-dessus pour obtenir

[TABLE]

Ainsi, en effectuant successivement $l_{m}$ in-, $l_{m-1}$ out-, $\dots$, $l_{2}$ in- et $l_{1}$ out-shuffles, la carte no$i$ se retrouve au bas du paquet. C’est le fameux algorithme propos par Elmsley [6]. D’un point de vue pratique, comme cela est mentionn dans [4], [5] et [6], on suit le sch ma d’in/out-shuffles dict par l’ criture binaire de $i$ de gauche droite en interpr tant un bit $1$ par un in-shuffle $I$ et un bit [math] par un out-shuffle $O$, le premier bloc de $O$ tant omis lorsque $l_{m}=0$ :

[TABLE]

Remarque. En fait, la proc dure pr c demment d crite pour amener la carte no[math] la position no$i$ reste valable pour un jeu de $2n$ cartes, $n$ tant un nombre quelconque. En effet, rappelons que pour $j\in\{0,1,\dots,n-1\}$, $\mathfrak{f}(j)=2j+1$ et $\mathfrak{g}(j)=2j.$ Soit alors un $j\in\{0,1,\dots,n-1\}$ d’ criture binaire $j=\overline{j_{p-1}\dots j_{0}}$. Pour un tel $j$, on a

[TABLE]

Plus g n ralement, si $\overline{j_{p-1}\dots j_{0}\underset{k}{\underbrace{1-1}}}\leqslant 2n-1$,(cette condition montrant que $\overline{j_{p-1}\dots j_{0}\underset{k-1}{\underbrace{1-1}}}\linebreak\leqslant n-1$ et que l’utilisation de l’expression de $\mathfrak{f}$ ci-dessus est licite), alors

[TABLE]

De m me, si $\overline{j_{p-1}\dots j_{0}\underset{k}{\underbrace{0-0}}}\leqslant 2n-1,$ alors

[TABLE]

Ainsi, pour $l_{m}$ tel que $\overline{\underset{l_{m}}{\underbrace{1-1}}}\leqslant 2n-1$, on a

[TABLE]

puis, pour $l_{m-1}$ tel que $\overline{\underset{l_{m}}{\underbrace{1-1}}\underset{l_{m-1}}{\underbrace{0-0}}}\leqslant 2n-1$, on a

[TABLE]

De mani re g n rale, si les nombres $l_{1},\dots,l_{m}$ v rifient $\overline{\underset{l_{m}}{\underbrace{1-1}}\underset{l_{m-1}}{\underbrace{0-0}}\dots\underset{l_{2}}{\underbrace{1-1}}\underset{l_{1}}{\underbrace{0-0}}}\leqslant 2n-1$, alors

[TABLE]

Cette derni re galit prouve que la carte no[math] peut effectivement atteindre n’importe quelle position $i\in\{1,2,\dots,2n-1\}.$

VII.3 D placement de la carte du dessus du paquet vers une position donn e

De mani re analogue, regardons le d placement de la carte du dessus du paquet, i.e. la carte no$2^{p}-1$, vers la position no$i$. Puisque $2^{p}-1$ admet la simple d composition binaire $\overline{\underset{p}{\underbrace{1-1}}}$, on a, en inversant l’ordre de $\mathfrak{f}$ et $\mathfrak{g}$ dans les calculs pr c dents et en se souvenant que $\mathfrak{g}(2^{p}-1)=2^{p}-1$,

[TABLE]

Donc, pour atteindre la position $i$ avec

[TABLE]

on suivra le sch ma

[TABLE]

VII.4 D placement d’une carte donn e vers le dessous du paquet

Regardons maintenant le d placement d’une carte de num ro donn $i$ vers le dessous du paquet, i.e. vers la position no[math]. Avec la m me d composition binaire de $i$, on a

[TABLE]

Puisque $\mathfrak{g}(0)=0$, on peut omettre la manipulation redondante $\mathfrak{g}^{l_{1}}$ ci-dessus pour obtenir

[TABLE]

Ainsi, le sch ma suivant d place la carte no$i$ au-dessous du paquet :

[TABLE]

VII.5 D placement d’une carte donn e vers le dessus du paquet

Enfin, le d placement de la carte de num ro donn $i$ vers le dessus du paquet, i.e. vers la position no$2^{p}-1$, est d crit par la relation

[TABLE]

Ainsi, le sch ma suivant, en omettant le dernier bloc de $O$ lorsque $l_{1}=0$, d place la carte no$i$ au-dessus du paquet :

[TABLE]

VIII G n ralisation : $k$ paquets de $n$ cartes

On dispose de $k$ paquets de $n$ cartes, donc de $kn$ cartes que l’on num rote de $1$ $kn$ ou de [math] $kn-1$. Cette situation peut se r aliser avec le concours de $k$ joueurs install s une table ronde, ayant chacun un jeu de $n$ cartes en supposant que toutes les cartes sont diff rentes : le premier joueur a un jeu de cartes num rot es de bas en haut $1,2,\dots,n$, le deuxi me a un jeu de cartes num rot es de bas en haut $n+1,n+2,\dots,2n$, etc., le $k\fup{e}$ a un jeu de cartes num rot es de bas en haut $(k-1)n+1,\linebreak(k-2)n+2,\dots,kn$. On r alise un in-shuffle ou un out-shuffle en prenant une carte partir du haut du paquet chaque joueur dans un ordre circulaire jusqu’ puisement des cartes. On constitue ainsi un nouveau jeu de $kn$ cartes que l’on recoupe en $k$ paquets de $n$ cartes que l’on redistribue chaque joueur et l’on reproduit la manipulation ad lib. Cette g n ralisation est abord e dans [13].

VIII.1 In-shuffle

Dans le cas d’un in-shuffle g n ralis , on commence par pr lever la carte de dessus au premier joueur, puis celle de dessus au deuxi me que l’on place sous la pr c dente, etc., puis celle de dessus au dernier joueur que l’on place au-dessous des pr c dentes. On recommence partir du premier joueur et ainsi de suite jusqu’ puisement des cartes. On obtient de la sorte un paquet de cartes r parties de bas en haut selon la succession$(k-1)n+1,(k-2)n+1,\dots,2n+1,n+1,1,$ puis $(k-1)n+2,(k-2)n+2,\dots,2n+2,n+2,2,$ puis $(k-1)n+3,(k-2)n+3,\dots,2n+3,n+3,3,$ et ainsi de suite jusqu’ $kn,(k-1)n,\dots,3n,2n,n$ (voir Fig. 14).

L’in-shuffle g n ralis est math matiquement d crit par la permutation $f$ des entiers $1,2,\dots,kn$ suivante (voir Fig. 15) :

[TABLE]

De mani re plus condens e, pour $l\in\{0,1,2,\dots,\linebreak k-1\}$ et \mbox{i\equiv l}\;{[\mod k]},

[TABLE]

La r ciproque de $f$ est donn e par

[TABLE]

La forme g n rique est, pour $l\in\{0,1,2,\dots,k-1\}$ et $ln+1\leqslant j\leqslant(l+1)n$,

[TABLE]

On note en particulier la congruence

[TABLE]

Cette observation conduit la formulation suivante de la p riode de $f$.

Th or me 10

La p riode de $f$ est l’ordre de $k$ modulo $(kn+1)$, c’est- -dire le premier entier $r\geqslant 1$ tel que \mbox{k^{r}\equiv 1}\;{[\mod(kn+1)]}.

Corollaire 11

Si $n$ est de la forme $k^{p-1}$ pour un $p\geqslant 1$, alors la p riode de $f$ est $2p$.

D monstration. Lorsque $n=k^{p-1}$, alors $kn+1\linebreak=k^{p}+1$ et \mbox{k^{p}\equiv-1}\;{[\mod(kn+1)]}. On a donc \mbox{k^{2p}\equiv 1}\;{[\mod(kn+1)]} qui prouve que $f^{2p}=id$. Par ailleurs, l’orbite de la carte no$1$ sous l’action de la permutation $f$ est

[TABLE]

qui est de cardinal $2p$. C’est la p riode de $f$.

VIII.2 Out-shuffle

Dans le cas d’un out-shuffle g n ralis , on commence par pr lever la carte de dessus au dernier joueur, puis celle de dessus l’avant-dernier que l’on place sous la pr c dente, etc., puis celle de dessus au premier joueur. On recommence partir du dernier joueur et ainsi de suite jusqu’ puisement des cartes. On obtient alors la r partition des cartes de bas en haut selon la succession $0,n,2n,\dots,(k-2)n,(k-1)n,$ puis $1,n+1,2n+1,\dots,(k-2)n+1,(k-1)n+1,$ puis $2,n+2,2n+2,\dots,(k-2)n+2,(k-1)n+2,$et ainsi de suite jusqu’ $n-1,2n-1,3n-1,\dots,\linebreak(k-1)n-1,kn-1$ (voir Fig. 16).

L’out-shuffle g n ralis est mod lis par la permutation $\tilde{g}$ des entiers $0,1,2,\dots,kn-1$ suivante (voir Fig. 15) :

[TABLE]

La r ciproque de $\tilde{g}$ est donn e par

[TABLE]

On a en particulier la congruence

[TABLE]

qui conduit la formulation suivante de la p riode de $\tilde{g}$.

Th or me 12

La p riode de $\tilde{g}$ est l’ordre de $k$ modulo $(kn-1)$, c’est- -dire le premier entier $s\geqslant 1$ tel que \mbox{k^{s}\equiv 1}\;{[\mod(kn-1)]}.

Corollaire 13

Si $n$ est de la forme $k^{p-1}$ pour un $p\geqslant 1$, alors la p riode de $\tilde{g}$ est $p$.

D monstration. Lorsque $n=k^{p-1}$, on a $kn-1\linebreak=k^{p}-1$ et alors \mbox{k^{p}\equiv 1}\;{[\mod(kn+1)]}. On a donc $\tilde{g}^{p}=id$. L’orbite de la carte no$1$ sous l’action de la permutation $\tilde{g}$ est simplement

[TABLE]

qui est de cardinal $p$. C’est la p riode de $\tilde{g}$.

Remerciements. J’adresse mes sinc res remerciements deux de mes l ves, Matthieu Bacconnier et Anthony Tschirhard (INSA de Lyon, 51e promotion), le premier pour son aide relative aux calculs num riques pr sent s dans la section III.4, le second pour m’avoir soumis ces probl mes de m lange qui auront abouti au pr sent travail. D’autres remerciements s’adressent Philippe Biane pour m’avoir communiqu certaines r f rences sur le sujet.

R f rences

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http://mathworld.wolfram.com/In-Shuffle.html

http://mathworld.wolfram.com/Out-Shuffle.html

http://mathworld.wolfram.com/MongesShuffle.html