Notes of functional analysis

TL;DR

This paper compiles unpublished notes on functional analysis, providing foundational insights and explanations from Professor Jaime Chica's lectures at the University of Antioquia.

Contribution

It offers a comprehensive collection of lecture notes on functional analysis, serving as an educational resource.

Findings

Clarifies core concepts of functional analysis

Provides detailed proofs and explanations

Serves as a teaching reference

Abstract

These are the unpublished notes on functional analysis, given by Professor Jaime Chica, School of Mathematics, University of Antioquia.

Equations

$$\forall x\in E:\Vert T(x)\Vert ⩽M\Vert x\Vert$$

$$\Vert x-y\Vert <\delta :\Vert T(x)-T(y)\Vert <ϵ$$

$$\forall x\in E:\Vert (T_1+T_2{)}_x\Vert ⩽M\Vert x\Vert$$

$$\forall x\in E:\Vert (T_1{)}_x\Vert ⩽M_1\Vert x\Vert$$

$$\forall x\in E:\Vert (T_2{)}_x\Vert ⩽M_2\Vert x\Vert$$

$$(\alpha T)\in {\mathcal{L}}_c(E,F)$$

$$T\in {\mathcal{L}}_c(E,F),\exists M>0\text{tal que ∀x∈E:∥T(x)∥⩽M∥x∥}$$

$$\forall x\in Econ\Vert x\Vert ⩽1:\Vert T(x)\Vert =0\Rightarrow T(x)=0$$

$$\displaystyle\|T_{1}+T_{2}\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|\bigl{(}T_{1}+T_{2}\bigr{)}(x)\|\bigr{\}}}=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T_{1}(x)+T_{2}(x)\|\bigr{\}}}$$

$$\forall x\in E\text{con ∥x∥E⩽1:∥T(x)∥⩽∥T∥}$$

$$\exists N_1\in \mathbb{N}\text{tal que ∀m,n>N1:∥xn−xm∥<2ϵ}$$

$$\exists N_2\in \mathbb{N}\text{tal que ∀nj>N2:∥xnj−x∥<2ϵ}$$

$$\displaystyle s=\|u\|\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{u}{\|u\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}\underset{\overset{\nearrow}{\|u\|\leqslant 1}}{\leqslant}\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{u}{\|u\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}$$

$$T(x)=y$$

$$\begin{array}{r}|x_1|⩽\Vert x_1\Vert \\ ⋮\\ \underline{|x_n|⩽\Vert x_n\Vert }\\ \sum _{i=1}^n|x_i|⩽n\Vert x\Vert \end{array}$$

$$\forall x\in S(0,1):\Vert T(a)\Vert ⩽\Vert T(x)\Vert$$

$$0<\|T(a)\|\leqslant\|T\bigl{(}\dfrac{x}{\|x\|}\|\bigr{)}\|x\|=\dfrac{1}{\|x\|}\|T(x)\|$$

$$x\in \overline{A}\iff \forall n\in \mathbb{N}:B(x,\frac{1}{x})\bigcap A\ne 0$$

$$x\in A^{\circ }\iff \exists n\in \mathbb{N}:B(x,\frac{1}{x})\subset A$$

$$\forall N\in {\mathcal{N}}_x:N\cap A\ne \varnothing$$

$$\forall n\in\mathbb{N}:B\bigl{(}x,\frac{1}{n}\bigr{)}\bigcap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax$$

$$\displaystyle\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A\,\,\text{tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$}$$

$$B^{\ast }(a,\gamma )=\overline{B(a,\gamma )}$$

$$\Vert y-a\Vert =r$$

$$\underset{n\to \infty }{\text{operator@font}l\acute{ı}m}{w}_n=(1-\mathbf{t})x+\mathsf{t}y$$

$$\Vert w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\Vert <\gamma$$

$$\Vert x-a\Vert <\gamma ,\Vert y-a\Vert <\gamma$$

$$\forall x\in X:a\Vert x{\Vert }_0⩽\Vert x\Vert ⩽b\Vert x{\Vert }_0$$

$$\exists a>0\text{ tal que ∀x∈X:ai=1,…,nmx∣αi∣=a∥X∥0⩽∥X∥mathchar46}$$

$$\exists a>0\text{tal que ∀y∈M:a∥y∥0⩽∥y∥⟹∥y∥0=i=1,…,nmx∣αi∣}$$

Full text

1. 1 Isometrías entre E.L.N

2. 1.1 El teorema de Hahn-Banach. (caso real)

3. 2 Algunas consecuencias del T.H.B

4. 3 Los espacios $\mathfrak{L}^{p}$

5. 4 Mapeos Bilineales

6. 5 La teor a algebra ca del producto tensorial.

Sean $E,F\in\text{Norm}\mathchar 46\relax$

Llamaremos \mathcal{L}(E,F)=\bigl{\{}T:E\longrightarrow F\diagup\text{T es Apli. Lineal}\bigr{\}}\\ \\ \mathcal{L}_{c}(E,F)=\bigl{\{}T:E\longrightarrow F\diagup\text{T es A.L Continua}\bigr{\}}

La proposición que sigue es importantísima en todo el escrito.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

*T es continua, o sea, *$T\in\mathcal{L}_{c}(E,F)$ 2. 2.

T es continua en 0. 3. 3.

$\exists M>0$* tal que *$\forall x\in E:\|T(x)\|\leqslant M\|x\|\mathchar 46\relax$ 4. 4.

T es Uniformemente continua.

$(2)\Rightarrow(3)\mathchar 46\relax$ Supongamos que T es una A.L. continua en 0. Veamos que: $\exists M>0$ tal que

[TABLE]

Tomemos $\epsilon=1/2$

Como T es continua en 0 y \epsilon=1/2>0,\exists\delta>0\,\,\text{tal que \forall x\in E:|x|<\delta\Rightarrow|T(x)|<1/2\hskip 14.22636pt\star}

Tomemos $\underset{fijo}{\underbrace{x}}\in E,x\neq 0\mathchar 46\relax$

Entonces $\begin{Vmatrix}\frac{\delta}{2}\frac{x}{\|x\|}\end{Vmatrix}=\frac{\delta}{2}\frac{\|x\|}{\|x\|}=\frac{\delta}{2}<\delta$

y por \hskip 14.22636pt\star,\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\frac{\delta}{2}\frac{x}{\|x\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}<1/2

O sea $\frac{\delta}{2}\frac{1}{\|x\|}\|T(x)\|<1/2,$ i.e: $\|T(x)\|<\frac{1}{\delta}\|x\|\mathchar 46\relax$

Luego si llamamos $M=\frac{1}{\delta}$ hemos demostrado que \exists M>0\,\,\text{tal que \forall x\in E,x\neq 0:|T(x)|\leqslant M|x|}

desigualdad que es obvia para el caso $x=0\mathchar 46\relax$

$(3)\Rightarrow(4)\mathchar 46\relax$ Supongamos ahora que $T:E\longrightarrow F$ es A.L. y que $\exists M>0$ tal que $\forall x\in E:\|T(x)\|\leqslant M\|x\|\hskip 14.22636pt\star\star$

Veamos que, T es Unif. continua.

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$ Tomemos $\delta=\frac{\epsilon}{M}\mathchar 46\relax$

Entonces, $\forall x,y\in E$ con $\|x-y\|<\delta=\frac{\epsilon}{M},\|T(x)-T(y)\|=\|T(x-y)\|\underset{\overset{\uparrow}{\star\star}}{\leqslant}M\|x-y\|<M\frac{\epsilon}{M}=\epsilon$

Esto demuestra que T es Unif. continua.

$(4)\Rightarrow(1)$ Supongamos ahora que $T:E\longrightarrow F$ es unif. continua. Veamos que T es continua.

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$ Como T es unif. continua, $\exists\delta>0$ tal que $\forall x,y\in E$ con

[TABLE]

Tomemos $\underset{fijo}{\underbrace{x_{0}}}\in E$ y veamos que T es continua en $x_{0}\mathchar 46\relax$

Como $\epsilon>0,$ debemos demostrar que $\exists\delta^{\prime}>0$ tal que $\forall x\in E,\|x-x_{0}\|<\delta^{\prime},\|T(x)-T(x_{0})\|<\epsilon\mathchar 46\relax$

Tomemos $\delta^{\prime}=\frac{\delta}{2}>0\mathchar 46\relax$

Entonces, $\forall x\in E$ con $\|x-x_{0}\|<\dfrac{\delta}{2}<\delta,$ se tiene por [2] que $\|T(x)-T(y)\|<\epsilon\mathchar 46\relax$

Así que dado $\epsilon>0,\exists\delta>0$ tal que $\forall x\in E,$ si $\|x-x_{0}\|<\delta$ entonces $\|T(x)-T(x_{0})\|<\epsilon,$ lo que demuestra que T es continua en $x_{0}$ y como $x_{0}$ es cualquier punto de E, T es continua en E.

∎

Sabemos que $\mathcal{L}(E,F)$ es un $\mathbb{K}$ esp. vectorial.

Podemos ahora probar que $\mathcal{L}_{c}(E,F)$ es un subespacio de $\mathcal{L}(E,F)\mathchar 46\relax$

1. i)

Consideremos el caso 0.

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Veamos que $0\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$

Tomemos $\underset{fijo}{\underbrace{M}}>0\mathchar 46\relax$ Entonces,$\forall x\in E:\|0_{x}\|=\|0_{F}\|=0\leqslant M\|x\|\mathchar 46\relax$

Esto demuestra que $0\in\mathcal{L}_{c}(E,F)$ y por tanto, $\mathcal{L}_{c}(E,F)\neq\emptyset\mathchar 46\relax$ 2. ii)

Sean $T_{1},T_{2}\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$ Veamos que $(T_{1}+T_{2})\subset\mathcal{L}_{c}(E,F)$

Es claro que $T_{1}+T_{2}\in\mathcal{L}(E,F)$

Resta demostrar que $\exists M>0$ tal que

[TABLE]

Como $T_{1}\in\mathcal{L}_{c}(E,F),\exists M_{1}>0$ tal que

[TABLE]

Como $T_{2}\in\mathcal{L}_{c}(E,F),\exists M_{2}>0$ tal que

[TABLE]

As que:

$\|(T_{1}+T_{2})_{x}\|=\|T_{1}(x)+T_{2}(x)\|\underset{\overset{\nearrow}{(4),(5)}}{\leqslant}\|T_{1}(x)\|+\|T_{2}(x)\|\leqslant M_{1}\|x\|+M_{2}\|x\|=(M_{1}+M_{2})\|x\|$

y se tiene  (3) 3. iii)

Se tiene $\alpha\in\mathbb{K}$ y $T\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$ Veamos que

[TABLE]

Si $\alpha=0,\alpha T=0\in\mathcal{L}_{c}(E,F)$

Supongamos $\alpha\neq 0\mathchar 46\relax$

Como

[TABLE]

Ahora, \forall x\in E:\|\bigl{(}\alpha T\bigr{)}(x)\|=|\alpha|\|T(x)\|\leqslant|\alpha|M\|x\|,

lo que nos demuestra  (6)

∎

\begin{diagram}

\begin{diagram}

T; AL, donde E,F:ELN.

La funci n

\begin{diagram}

\begin{diagram}

es una norma en E.

En efecto,

• ${\|x\|}^{*}\geqslant 0$

Si {\|x\|}^{*}=0,\text{m x\bigl{{}|x|{E}|T(x)|{F}\bigr{}}=0}\Rightarrow\|x\|_{E}=0,\|T(x)\|_{F}=0

• {\|\alpha x\|}^{*}=mx\bigl{\{}\|x\|_{E}\|T(x)\|_{F}\bigr{\}}\\ \\ =|\alpha|mx\bigl{\{}\|x\|_{E}\|T(x)\|_{F}\bigr{\}}\\ \\ =|\alpha|{\|x\|}^{*}
• Veamos la desigualdad triangular:

{\|x+y\|}^{*}=mx\bigl{\{}\|x+y\|_{E}\|T(x+y)\|_{F}\bigr{\}}\\ \\ =\|x+y\|_{E}\leqslant\|x\|_{E}+\|y\|_{E}\\ \\ \leqslant mx\bigl{\{}\|x\|_{E}\|T(x)\|_{F}\bigr{\}}+mx\bigl{\{}\|y\|_{E}\|T(y)\|_{F}\bigr{\}}\\ \\ ={\|x\|}^{*}+{\|y\|}^{*}\\ \\ \|T(x+y)\|_{F}=\|T(x)+T(y)\|_{F}\leqslant\|T(x)\|_{F}+\|T(y)\|_{F}\\ \\ \leqslant mx\bigl{\{}\|x\|_{E}\|T(x)\|_{F}\bigr{\}}+mx\bigl{\{}\|y\|_{E}\|T(y)\|_{F}\bigr{\}}\\ \\ ={\|x\|}^{*}+{\|y\|}^{*}

Como ${\|\|}^{*}$ es una norma en E y $dimE=n,{\|\|}^{*}\sim\|\|_{E}$ y por tanto,

\exists\beta>0\,\,\text{tal que \forall x\in E:{|x|}^{*}\leqslant\beta|x|_{E}\mathchar 46\relax}

As que \exists\beta>0\,\,\text{tal que \forall x\in E:}\\ \\ \|T(x)\|_{F}\leqslant mx\bigl{\{}\|x\|_{E}\|T(x)\|_{F}\bigr{\}}={\|x\|}^{*}\leqslant\beta\|x\|_{E}\\ \\ {\|x\|}^{*}=mx\bigl{\{}\|x\|_{E}\|T(x)\|_{F}\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Lo que nos demuestra que T es continua.

∎

Esto demuestra que M es cota superior del conjunto de números reales

\bigl{\{}\|T(x)\|,\|x\|\leqslant 1\bigr{\}}\mathchar 46\relax Luego \exists\,\,\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}\mathchar 46\relax

La funci n \begin{diagram}

\begin{diagram}

es una norma en $\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$

Es claro que $\|T\|\geqslant 0$ 2. 2.

Supongamos que $\|T\|=0\mathchar 46\relax$ Veamos que $T=0$. Entonces \underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}=0\mathchar 46\relax

O sea que $\forall x\in E$ con $\|x\|\leqslant 1:\|T(x)\|=0\Rightarrow T(x)=0\mathchar 46\relax$

Esto demuestra que

[TABLE]

Tomemos ahora $y\in E$   con $y\neq 0\mathchar 46\relax$

$\begin{Vmatrix}\dfrac{y}{\|y\|}\end{Vmatrix}=\dfrac{1}{\|y\|}\|y\|=1\mathchar 46\relax$ Luego por  (8), \begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{y}{\|y\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}=0

O sea que $\dfrac{1}{\|y\|}\begin{Vmatrix}T(y)\end{Vmatrix}=0\Rightarrow\|T(y)\|=0$ i.e, $T(y)=0\mathchar 46\relax$

Luego $\forall y\in E$ con $y\neq 0,T(y)=0\mathchar 46\relax$

Hemos demostrado así que si $\|T\|=0,T$ es la aplicación cero. 3. 3.

Sea $\alpha\in\mathbb{K}$ y $T\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$ Entonces $(\alpha T)\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$

Ahora, \|\alpha T\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|\alpha T(x)\|\bigr{\}}}\\ \\ =|\alpha|\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}=|\alpha|\|T\|\mathchar 46\relax 4. 4.

Sean $T_{1},T_{2}\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$

Entonces $T_{1}+T_{2}\in\mathcal{L}_{c}(E,F)$ y por tanto,

[TABLE]

Ahora, \|T_{1}\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T_{1}(x)\|\bigr{\}}}\mathchar 46\relax Luego \forall x\in E\,\,\text{con |x|\leqslant 1:|T_{1}(x)|\leqslant|T_{1}|}

Como \|T_{2}\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T_{2}(x)\|\bigr{\}}}\mathchar 46\relax Luego \forall x\in E\,\,\text{con |x|\leqslant 1:|T_{2}(x)|\leqslant|T_{2}|}

As que $\forall x\in E:\|T_{1}(x)+T_{2}(x)\|\leqslant\|T_{1}(x)\|+\|T_{2}(x)\|\leqslant\|T_{1}\|+\|T_{2}\|$

desigualdad que nos muestra que $\|T_{1}(x)\|+\|T_{2}(x)\|$ es cota superior del conjunto de lo números reales \bigl{\{}\|T_{1}(x)+T_{2}(x)\|,\|x\|\leqslant 1\bigr{\}}

Luego \underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T_{1}(x)+T_{2}(x)\|\bigr{\}}}\leqslant\|T_{1}(x)\|+\|T_{2}(x)\| y regresando a  (9) se tiene que $\|T_{1}\|+\|T_{2}\|\leqslant\|T_{1}\|+\|T_{2}\|\mathchar 46\relax$

∎

Entonces, $\forall x\in E:\|T(x)\|\leqslant\|T\|\|x\|\mathchar 46\relax$

Luego,

[TABLE]

Ahora, \forall x\in E\,\,\text{con x\neq 0,\begin{Vmatrix}\dfrac{x}{|x|}\end{Vmatrix}=1} y al tener en cuenta  (10), \begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{x}{\|x\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}\leqslant\|T\|

o sea que $\|T(x)\|\leqslant\|T\|\|x\|\mathchar 46\relax$

∎

Demostrar que si una S. de Cauchy en E=\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty} tiene una subsucesión convergente a x, la sucesión $x_{n}\longrightarrow x\mathchar 46\relax$

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$ Entonces $\dfrac{\epsilon}{2}>0$ y con \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty} es una S. Cauchy en E,*

[TABLE]

Como \bigl{\{}x_{n_{1}},x_{n_{2}},\ldots,x_{n_{j}},\ldots\bigr{\}}\longrightarrow x y $\dfrac{\epsilon}{2}>0,$

[TABLE]

*Tomemos n>m\'{a}x\bigl{\{}N_{1},N_{2}\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Entonces \exists_{j}>N_{2}\text{tal que n<_{j}} y se tiene por  (13) que $\|x_{n}-x_{{}_{j}}\|<\dfrac{\epsilon}{2}$

Como $n,_{j}>N_{1},\|x_{n}-x_{{}_{j}}\|<\dfrac{\epsilon}{2}$

Luego \|x_{n}-x\|=\|\bigl{(}x_{n}-x_{{}_{j}}\bigr{)}+\bigl{(}x_{{}_{j}}-x\bigr{)}\|\leqslant\|x_{n}-x_{{}_{j}}\|+\|x_{{}_{j}}-x\|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon

Esto prueba que \forall n>m\'{a}x\bigl{\{}N_{1},N_{2}\bigr{\}}:\|x_{n}-x\|<\epsilon, i.e, $x_{n}\longrightarrow x\mathchar 46\relax$

Probar que \|T\|=\underset{\|x\|=1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}\mathchar 46\relax

Como \|T\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}},\|T\| es cota superior del $2^{do}$ cjto.

Luego $\|T\|$ es cota superior del $1^{er}$ cjto y \exists\,\,\underset{\|x\|=1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}} teniéndose que

\underset{\|x\|=1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}\leqslant\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}=\underset{\|u\|\leqslant 1}{\sup\Biggl{(}\|u\|\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{u}{\|u\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}\Biggr{)}}\underset{\overset{\nearrow}{\star}}{\leqslant}\underset{\|x\|=1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}

Justifiquemos $\star\mathchar 46\relax$

Llamemos S=\bigl{\{}\|u\|\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{u}{\|u\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix},\|u\|\leqslant 1\bigr{\}}

y W=\bigl{\{}\|T(y)\|,\|y\|=1\bigr{\}}\mathchar 46\relax Veamos que $\forall s\in S,\exists w\in W$ tal que $s<w$ con lo que se tendría que $\sup S\leqslant\sup W,$ i.e, se tendría $\star\mathchar 46\relax$

Sea $s\in S\mathchar 46\relax$ Entonces*

[TABLE]

*Tomemos w=\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{u}{\|u\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}\mathchar 46\relax Es claro que $w\in W$ y que s\underset{\overset{\nearrow}{~{}\eqref{d}}}{\leqslant}\begin{Vmatrix}T\Biggl{(}\dfrac{u}{\|u\|}\Biggr{)}\end{Vmatrix}=w

1. Isometrías entre E.L.N

Definición 2**.**

*Sean $E,F\in Norm\mathchar 46\relax$ y $T:E\longrightarrow F,T\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$

*T preserva la norma si *$\forall x\in E:\|T(x)\|=\|x\|$ 2. 2.

*T preserva la distancia si *\forall x,y\in E:d\bigl{(}T(x),T(y)\bigr{)}=\|T(x)-T(y)\|=\|x-y\|=d\bigl{(}x,y\bigr{)}\mathchar 46\relax

Proposición 6**.**

Si T preserva la norma, T preseva la distancia. 2. 2.

Si T preserva la distancia, T preserva la norma.

Demostración.

\forall x,y\in E:d\bigl{(}T(x),T(y)\bigr{)}=\|T(x)-T(y)\|=\|T(x-y)\|=\|x-y\|=d\bigl{(}x,y\bigr{)}\mathchar 46\relax 2. 2.

Sea $x\in E\mathchar 46\relax$ Veamos que \|T(x)\|=\|x\|\mathchar 46\relax\\ \\ \|T(x)\|=\|T(x)-0_{F}\|=\|T(x)-T(0_{E})\|=d\bigl{(}T(x),T(0_{E})\bigl{)}\\ \\ =d\bigl{(}x,0_{E}\bigr{)}=\|x-0_{E}\|=\|x\|\mathchar 46\relax

∎

Definición 3**.**

*Sean $E,F\in Norm\mathchar 46\relax$ Una función $T:E\longrightarrow F$ tal que

$T\in\mathcal{L}(E,F)\mathchar 46\relax$ 2. 2.

T preserva la norma (ó la distancia) se llama una $\underline{\text{isometr\'{i}a}}$ entre E,F.

Proposición 7**.**

Toda isometría es 1-1. 2. 2.

La composición de isometrías es una isometría. 3. 3.

Toda isometría es Unif. continua y por tanto, toda isometría es una función continua. 4. 4.

Si T es una isometría entre E y F y T es sobre, $T^{-1}$ es también una isometría de F en E.

Demostración.

Sean $E,F\in Norm$ y $T:E\longrightarrow F,$ una A.L. tal que $\forall x\in E:\|T(x)\|=\|x\|$ i.e, T es una isometría entre E,F.

Veamos que $T$ es 1-1 que KerT=\bigl{\{}0_{E}\bigr{\}}

Sea $x\in KerT\Rightarrow T(x)=0_{F}\Rightarrow\|x\|=\|T(x)\|=\|0_{F}\|=0;$ i.e, $\|x\|=0\Rightarrow x=0_{E}\mathchar 46\relax$ 2. 2 y 3

son inmediatas. 3. 4

Sean $E,F\in Norm$ y $T:E\longrightarrow F,T\in\mathcal{L}(E,F)$ T: isometría (y por tanto 1-1 y sobre.)

Entonces

\begin{diagram}

\begin{diagram}

donde

[TABLE]

es A.L. i.e, ${T^{-1}}\in\mathcal{L}(F,E)\mathchar 46\relax$

Veamos que $\forall y\in F:\|T^{-1}(y)\|=\|y\|\mathchar 46\relax$

Sea $y\in F\mathchar 46\relax$ Entonces $\exists!x\in E$ tal que $T^{-1}(y)=x:\|T^{-1}(y)\|=\|x\|=\|T(x)\|\underset{\overset{\nearrow}{~{}\eqref{e}}}{=}\|y\|$

∎

Observación 2**.**

*Si T es una isometría entre E,F; $T\in\mathcal{L}_{c}(E,F)\mathchar 46\relax$ Luego \|T\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|T(x)\|\bigr{\}}}=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\bigl{\{}\|x\|\bigr{\}}}=1 lo que demuestra que $\underline{\text{la norma de toda isometr\'{i}a es 1.}}$

Definición 4** (Isomorfismo isométrico entre Espacios Normados).**

*Sean $E,F\in Norm$ y $T:E\longrightarrow F,$ una A.L. biyectiva. Si tanto T como $T^{-1}$ son continuas diremos que T es un isomorfismo (topológico) entre E y F. Y si además $\forall x\in E:\|T(x)\|=\|x\|$ se dirá que T es un isomorfismo isométrico entre E y F.

La siguiente Prop. da un criterio para establecer cuando una A.L. biyectiva entre E.N. es un Iso. Topológico.

Proposición 8**.**

*Sea $E\in Norm,dimE=n\mathchar 46\relax$ Entonces $E\cong\mathbb{K}^{n}\mathchar 46\relax$

Demostración.

Sea \bigl{\{}e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\bigr{\}}: base de E, y consideremos la A.L.

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Entonces:

T es A.L. Biyectiva y $T^{-1}$ también es A.L. 2. 2.

Veamos que T es continua. Bastará con demostrar que $\exists M>0$ tal que $\forall x\in\mathbb{K}^{n}:\|T(x)\|\leqslant M\|x\|\mathchar 46\relax$

Tomemos $x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{K}^{n}$ y consideremos en $\mathbb{K}^{n}$ la norma $\|x\|=|x_{1}|+\ldots+|x_{n}|\mathchar 46\relax$

Como

[TABLE]

Sea K=mx\bigl{\{}\|e_{1}\|,\ldots,\|e_{n}\|\bigr{\}}\mathchar 46\relax Entonces \|T(x)\|=\|T(x_{1},\ldots,x_{n})\|\\ \\ =\|x_{1}e_{1}+\ldots+x_{n}e_{n}\|\\ \\ \leqslant|x_{1}|\|e_{1}\|+\ldots+|x_{n}|\|e_{n}\|\\ \\ \leqslant\bigl{(}|x_{1}|+\ldots+|x_{n}|\bigl{)}K\\ \\ =\bigl{(}\sum\limits_{i=1}^{n}|x_{i}|\bigr{)}K\underset{\overset{\nearrow}{~{}\eqref{f}}}{\leqslant}nK\|x\|

Así que $\exists M=nK>0$ tal que: K=m\'{a}x\bigl{\{}\|e_{1}\|,\ldots,\|e_{n}\|\bigr{\}}\mathchar 46\relax

$\forall x\in\mathbb{K}^{n}=\|T(x)\|\leqslant(nK)\|x\|$ lo que demuestra que $T\in\mathcal{L}_{c}(\mathbb{K}^{n},E)\mathchar 46\relax$ 3. 3.

Veamos ahora que $T^{-1}:E\longrightarrow\mathbb{K}^{n}$ es continua.

Bastará con demostrar que $\exists m>0$ tal que $\forall x\in\mathbb{K}^{n}:m\|x\|\leqslant\|T(x)\|\mathchar 46\relax$

Consideremos la esfera unidad en $\mathbb{K}^{n}$ de centro 0 y radio 1:

\underset{\text{cerrado y acotado }}{\underbrace{S(0,1)}}=\bigl{\{}x\in\mathbb{K}^{n}\diagup\|x\|=1\bigr{\}}\subset\mathbb{K}^{n}\mathchar 46\relax

Luego por el Teorema de Heine-Borel- Lebesgue, $S(0,1)$ es compacto.

Consideremos a su vez la función compuesta definida en el diagrama siguiente:

\begin{diagram}

\|\|_{E}\circ T\diagup S(0,1):\\ \begin{diagram}

\begin{diagram}

Como $S(0,1)$ es compacto, la función $\|\|_{E}\circ T\diagup S(0,1)$ alcanza un valor mínimo absoluto en $S(0,1)\mathchar 46\relax$

Así que $\exists a\in S(0,1)$ tal que

[TABLE]

a\in S(0,1)\Rightarrow T(a)\neq 0\,\,\text{(ya que T es 1-1)\Rightarrow|T(a)|>0}

Tomemos $x\in\mathbb{K}^{n},x\neq 0\mathchar 46\relax$

Entonces $\dfrac{x}{\|x\|}\in S(0,1)$ y por tanto, teniéndose en cuenta  (16):

[TABLE]

O sea que $\forall x\in\mathbb{K}^{n}:\|T(a)\|\|x\|\leqslant\|T(x)\|\mathchar 46\relax$

Esto demuestra que $\exists m=\|T(a)\|>0$ tal que $\forall x\in\mathbb{K}^{n}:m\|x\|\leqslant\|T(x)\|$ y por la Prop. anterior, $T^{-1}:E\longrightarrow\mathbb{K}^{n}$ es continua.

T es as un $\mathbb{K}^{n}\cong E$.

∎

Antes de continuar conviene tener presente ciertas propiedades topológicas de los E.N.

Sea $E\in Norm\mathchar 46\relax$ Entonces \bigl{(}E,d\bigr{)} es un Esp. métrico, donde $d(x,y)=\|x-y\|\mathchar 46\relax$ A su vez la distancia $d$ induce una topología sobre E en la que la familia de vecindades $\mathcal{N}_{x}$ de un punto $x\in E$ se define así:

$E\supset N\in\mathcal{N}_{x}\Leftrightarrow\exists\epsilon>0$ tal que $B(0,\epsilon)\subseteq N\mathchar 46\relax$

O sea que un conjunto $N\subset E$ es vecindad del punto $x\in E$ si el conjunto contiene una bola de centro en el punto; B(x,\epsilon)=\bigl{\{}u\in E\diagup d(u,x)=\|u-x\|<\epsilon\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Si consideramos a $E$ dotado de la topolog a inducida por la norma, se tienen los siguientes resultados:

Proposición 9**.**

*Sea $E\in Norm$ y $A\subset E\mathchar 46\relax$

Entonces:*

\overline{A}=\mathcal{\text{cl}}(A)=\bigl{\{}x\in E\diagup\forall n\in\mathbb{N}:B(x,\frac{1}{n})\bigcap A\neq\emptyset\bigr{\}} 2. 2.

{A}^{\circ}=\mathcal{\text{int}}(A)=\bigl{\{}x\in E\diagup\exists n\in\mathbb{N}:B\bigl{(}x,\frac{1}{x}\bigr{)}\subset A\bigr{\}}

De esta manera,

[TABLE]

[TABLE]

Demostración.

Sea $x\in\mathcal{\text{cl}}(A)=\overline{A}\mathchar 46\relax$

Entonces

[TABLE]

Recordemos que $E\supset N\in\mathcal{N}_{x}\Leftrightarrow\exists B(x,\epsilon)\subseteq N\mathchar 46\relax$

As que la familia \bigl{\{}B(0,\epsilon),\epsilon>0\bigr{\}}\subset\mathcal{N}_{x}\mathchar 46\relax

Luego al tener en cuenta  (17), se tiene que

[TABLE]

Sea ahora $x\in E$ con la siguiente propiedad:

\forall n\in\mathbb{N}:B\bigl{(}x,\frac{1}{n}\bigr{)}\bigcap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax

Veamos que: $x\in\mathcal{\text{cl}}(A)$ o que $\forall N\in\mathcal{N}_{x}:N\cap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

Tomemos $\underset{fijo}{\underbrace{N}}\in\mathcal{N}_{x}$

\exists G:\text{abierto, tal que x\in G\subset N}\Rightarrow\exists\epsilon>0 tal que $B(x,\epsilon)\subset G\subset N\mathchar 46\relax$

Pero si $\epsilon>0,\exists n\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<\epsilon\Rightarrow B(x,\frac{1}{n})\subset B(x,\epsilon)\subset N\mathchar 46\relax$

Ahora, por hip tesis, $B(x,\frac{1}{n})\bigcap A\neq 0\mathchar 46\relax$ i.e, A encuentra a la $B(x,\frac{1}{n})\subset N\mathchar 46\relax$

Luego A encuentra a N; i.e, $N\cap A\neq\emptyset,$ cualquiera sea $N\in\mathcal{N}_{x}\mathchar 46\relax$ 2. 2.

Se omite.

∎

Proposición 10**.**

*Sea $E\in Norm,$ $A\subset E$ y $x\in E\mathchar 46\relax$

Entonces x\in\overline{A}\Longleftrightarrow\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\mathchar 46\relax$

Demostración.

$"\Longrightarrow"$ Sea $x\in\overline{A}\mathchar 46\relax$

Entonces, por la Prop. anterior, $\forall n\in\mathbb{N}:B(x,\frac{1}{n})\bigcap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax$ O sea que $\forall n\in\mathbb{N}:\exists x_{n}\in A$ tal que $x_{n}\in B(x,\frac{1}{n})\mathchar 46\relax$

Esto a su vez quiere decir que \exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A tal que

$x_{1}\in B(x,1)\\ \\ x_{2}\in B(x,\frac{1}{2})\\ \\ x_{3}\in B(x,\frac{1}{3})\\ \\ \ldots\ldots\\$

Es claro que fijado $\in\mathbb{N},\forall n>:x_{n}\in B(x,\frac{1}{})\mathchar 46\relax$

Resta demostrar que $x_{n}\longrightarrow x\mathchar 46\relax$

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$ Entonces $\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{}<\epsilon\Longrightarrow B(x,\frac{1}{})\subset B(x,\epsilon)\mathchar 46\relax$

Pero $\forall n>:x_{n}\in B(x,\frac{1}{})\subset B(x,\epsilon)$, i.e, $\forall n>:x_{n}\in B(x,\epsilon)$,

lo que demuestra que $x_{n}\longrightarrow x\mathchar 46\relax$

$"\Longleftarrow"$ Supongamos ahora que $x\in E$ tiene esta propiedad:

[TABLE]

Veamos $x\in\overline{A}\mathchar 46\relax$

Por la Prop. anterior bastar con dm. que \forall n\in\mathbb{N}:B\bigl{(}x,\frac{1}{n}\bigr{)}\bigcap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax

Tomemos $n\in\mathbb{N}\mathchar 46\relax$ Entonces $\frac{1}{n}>0$ y como $x_{n}\longrightarrow x,\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall p>N:x_{p}\in B(x,\frac{1}{n})\mathchar 46\relax$

Pero por  (18), $x_{p}\in A,\forall p>N\mathchar 46\relax$

As que $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $p>N:x_{p}\in B(x,\frac{1}{n})\bigcap A\mathchar 46\relax$

Esto demuestra que $\forall n\in\mathbb{N}:B(x,\frac{1}{n})\bigcap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

∎

Recordemos la definici n de sucesi n convergente en un E. Normado.

Sea E\in Norm,\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty} sucesi n en E y $x\in E\mathchar 46\relax$ x=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\Longleftrightarrow\forall\epsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\text{tal que \forall n>N,|x_{n}-x|<\epsilon}\mathchar 46\relax

La prueba de la unicidad del l mite es trivial.

Los siguientes hechos se establecen tambi n de manera trivial.

Sea $E\in Norm,\forall x,y\in E:\left|\|x\|-\|y\|\right|\leqslant\|x\pm y\|\leqslant\|x\|+\|y\|\mathchar 46\relax$

Si $x_{n}\longrightarrow x,\alpha x_{n}\longrightarrow\alpha x\mathchar 46\relax$

Si $x_{n}\longrightarrow x,y_{n}\longrightarrow y,x_{n}+y_{n}\longrightarrow x+y\mathchar 46\relax$

Proposición 11**.**

*La clausura de todo subespacio de un E.L.N. es un subespacio.

Demostración.

Sea $E\in Norm$ y $E\supset S:$ subespacio de E. Veamos que $\overline{S}$ es un subespacio de E.

Como $E\supset S$ y S: subespacio de E, $S\neq\emptyset\mathchar 46\relax$ Ahora $S\subset\overline{S}\mathchar 46\relax$ Luego $\overline{S}\neq\emptyset\mathchar 46\relax$ 2. 2.

Sean $x,y\in\overline{S}\mathchar 46\relax$ Veamos que $(x+y)\in\overline{S}\mathchar 46\relax$

Batar con demostrar por la Prop. anterior, que \exists\bigl{\{}u_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset S\mathchar 46\relax tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}u_{n}=x+y\mathchar 46\relax$

Como x\in\overline{S},\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset S tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x$

Como y\in\overline{S},\exists\bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}\subset S tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y\mathchar 46\relax$

Como S es subespacio de E, \bigl{\{}u_{n}\bigr{\}}=\bigl{\{}x_{n}+y_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset S\mathchar 46\relax

Luego \bigl{\{}u_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset y adem s, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}u_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}(x_{n}+y_{n})=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=x+y$ 3. 3.

Sea $x\in\overline{S}$ y $\alpha\in\mathbb{K}\mathchar 46\relax$ Veamos que $(\alpha x)\in\overline{S}\mathchar 46\relax$

Como x\in\overline{S},\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset S tal que \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\Longrightarrow\bigl{\{}\alpha x\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset y adem s, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha x_{n})=\alpha\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\alpha x\mathchar 46\relax$

Esto demuestra que $\overline{S}$ es subespacio de E.

∎

Definición 5**.**

*Sea $E\in Norm$ y *\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset E\mathchar 46\relax

*Decimos que \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}} es una S. de Cauchy en E si la sucesi n \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}} tiene la siguiente propiedad: $\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N}$ tal que *$\forall m,n>N:\|x_{m}-x_{n}\|<\epsilon\mathchar 46\relax$ 2. 2.

*Sea *$E\in Norm\mathchar 46\relax$

Decimos que E es un E. de Banach si toda sucesi n de Cauchy en E converge.

Proposición 12**.**

*Todo subespacio cerrado de un E. de Banach es tambi n de Banach.

Demostración.

Es claro que S: Norm. Veamos que S:Banach.

Sea \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset S\mathchar 46\relax Veamos que $x_{n}\longrightarrow x\in S\mathchar 46\relax$

Como \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset S\subset E,\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset E\mathchar 46\relax

Luego, $x_{n}\longrightarrow x\in E\mathchar 46\relax$ Resta demostrar que $x\in S\mathchar 46\relax$

Como S es cerrado, $S=\overline{S},$ bastar con dm. que $x\in\overline{S},$ lo cual resulta claro ya que si \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}\subset S y $x_{n}\longrightarrow x,x\in\overline{S}\mathchar 46\relax$

∎

Vamos a establecer otras propiedades topol gicas de los E.N.

Sea $E\in Norm,a\in E$ y $\gamma>0\mathchar 46\relax$

Consideremos la B(a,\gamma)=\bigl{\{}x\in E\diagup\|x-a\|<\gamma\bigr{\}}

y S(a,\gamma)=\bigl{\{}x\in E\diagup\|x-a\|=\gamma\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Vamos a demostrar que si E es infinito, estos conjuntos tienen infinitos puntos.

• Tomemos $x\in E,x\neq 0\mathchar 46\relax$

Entonces $\left(a+\dfrac{\gamma}{2\|x\|}x\right)\in B(a,\gamma)\mathchar 46\relax$

En efecto:$\left\|a+\dfrac{\gamma}{2\|x\|}x-a\right\|=\dfrac{r}{2}\left\|\dfrac{x}{\|x\|}\right\|=\dfrac{\gamma}{2}<\gamma$

lo que demuestra que $\forall x\in E;\left(a+\dfrac{\gamma}{2\|x\|}x\right)\in B(a,\gamma)$ y por tanto, si E es infinito, la $B(a,\gamma)$ contiene $\infty$ puntos.

• Adem s, $\left\|a+\dfrac{\gamma}{2\|x\|}x-a\right\|=\gamma\left\|\dfrac{x}{\|x\|}\right\|=\gamma$ lo que prueba que $\forall x\in E,\\ \left(a+\dfrac{\gamma}{\|x\|}x\right)\in S(a,\gamma)$ y de nuevo, si E es infinito, $S(a,\gamma)$ es un conjunto infinito.

Proposición 13**.**

*Sea $E\in Norm\mathchar 46\relax$

La clausura de una bola abierta es la bola cerrada con el mismo radio y centro. O sea:*

[TABLE]

Demostración.

Es claro que $B(a,\gamma)\subset B^{*}(a,\gamma)\hskip 14.22636pt\overline{B(a,\gamma)}\subset\overline{B^{*}{a,\gamma}}=B^{*}(a,\gamma)$

O sea que $\overline{B(a,\gamma)}\subset B^{*}(a,\gamma)\mathchar 46\relax$

Para tener  (16) resta demostrar que $B^{*}(a,\gamma)\subset\overline{B(a,\gamma)}\mathchar 46\relax$

Es claro que $B^{*}(a,\gamma)=B(a,\gamma)\cup S(a,\gamma)\mathchar 46\relax$ Sea $y\in B^{*}(a,\gamma)\mathchar 46\relax$ Veamos que $y\in\overline{B(a,\gamma)}\mathchar 46\relax$

Supongamos que $y\in\overline{B(a,\gamma)}\mathchar 46\relax$ Como $B(a,\gamma)\subset\overline{B(a,\gamma)},y\in\overline{B(a,\gamma)}\mathchar 46\relax$ 2. 2.

Supongamos que $y\in S(a,\gamma),$ i.e:

[TABLE]

Debemos probar que $y\in\overline{B(a,\gamma)}\Longrightarrow\forall N\in\mathcal{N}_{y}:N\cap B(a,\gamma)\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

Sea $N\in\mathcal{N}_{y}\mathchar 46\relax$ Entonces \exists G:\text{abierto en E tal que y\in G\subset N\Longrightarrow\exists\gamma>0}

tal que $B(y,\gamma)\subset G\subset N\mathchar 46\relax$

Si logramos probar que $B(y,\gamma)\cap B(a,\gamma)\neq\emptyset,$ y puesto que $B(y\gamma)\subset N$ se tendr a que $N\cap B(a,\gamma)\neq\emptyset$ como se quiere.

Tomemos $\underset{fijo}{\underbrace{\epsilon}}<2\gamma\mathchar 46\relax$

Sea $z=a+\left(1-\dfrac{\epsilon}{2\gamma}\right)(y-a)$ y veamos que $z\in B(y,\gamma),z\in B(a,\gamma)\mathchar 46\relax$

• $\|z-y\|=\left\|a+\left(1-\dfrac{\epsilon}{2\gamma}\right)(y-a)-y\right\|\\ \\ =\left\|\dfrac{\epsilon}{2\gamma}a-\dfrac{\epsilon}{2\gamma}y\right\|=\dfrac{\epsilon}{2\gamma}\|y-a\|\underset{\overset{\nearrow}{~{}\eqref{j}}}{=}\dfrac{\epsilon}{2\gamma}\gamma=\dfrac{\epsilon}{2}<\gamma$

Lo que prueba que $z\in B(y,\gamma)\mathchar 46\relax$

• $\|z-a\|=\left\|a+\left(1-\dfrac{\epsilon}{2\gamma}\right)(y-a)-y\right\|=\dfrac{(2\gamma-\epsilon)}{2\gamma}\|y-a\|\\ \\ \underset{\overset{\nearrow}{~{}\eqref{j}}}{=}\dfrac{\gamma}{2\gamma}(2\gamma-\epsilon)\\ \\ =\dfrac{1}{2}(2\gamma-\epsilon)<\dfrac{2\gamma}{2}=\gamma$

Lo que demuestra que $z\in B(a,\gamma)\mathchar 46\relax$

∎

Definición 6** (Conjuntos Convexos en un E.L.N).**

*Sea $E\in Norm$ y $A\subset E\mathchar 46\relax$

Decimos que A es convexo si $\forall x,y\in A$ y $\forall\mathsf{t}\in[0,1]$ el vector $\left((1-\mathsf{t}x+\mathsf{t}y)\right)\in A\mathchar 46\relax$

Proposición 14**.**

*Sea $E\in Norm$ y $\underset{convexo}{\underbrace{A}}\subset E\mathchar 46\relax$ Entonces $\overline{A}$ y $A^{\circ}$ son convexos.

Demostración.

Por Hip, A es convexo. Veamos que $\overline{A}$ es convexo.

Tomemos $x,y\in\overline{A}$ y $\mathsf{t}\in[0,1]\mathchar 46\relax$

Bastar con demostrar que $\left[(1-\mathsf{t}x+\mathsf{t}y)\right]\in\overline{A},$ o que \exists\bigl{\{}w_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A tal que

[TABLE]

Como x\in\overline{A},\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset\overline{A} tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\mathchar 46\relax$

Como y\in\overline{A},\exists\bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset\overline{A} tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y$

Fijemos $x\in\mathbb{N}\mathchar 46\relax$ Entonces $x_{n},y_{n}\in A$ y como A es convexo por Hip, $\left[(1-\mathsf{t}x+\mathsf{t}y)\right]\in A$ cualquiera sea $n\in\mathbb{N}\mathchar 46\relax$

Consiremos ahora la sucesi n \bigl{\{}w_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A\mathchar 46\relax

Ahora, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}w_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}\left[(1-\mathsf{t}x+\mathsf{t}y)\right]=(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y$ y se tiene  (21). 2. 2.

Por Hip. A es convexo. Veamos que $A^{\circ}$ es convexo.

De nuevo se toman $x,y\in A^{\circ}$ y $\mathsf{t}\in[0,1]\mathchar 46\relax$ Veamos que $\left[(1-\mathsf{t}x+\mathsf{t}y)\right]\in A^{\circ}\Longrightarrow\exists\gamma>0$ tal que $B\left((1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y,\gamma\right)\subset A\mathchar 46\relax$

Como $x\in A^{\circ},\exists\gamma_{1}>0$ tal que $B(x,\gamma_{1})\subset A\mathchar 46\relax$

Como $y\in A^{\circ},\exists\gamma_{2}>0$ tal que $B(y,\gamma_{2})\subset A\mathchar 46\relax$

Tomando \gamma<mn\bigl{\{}\gamma_{1},\gamma_{2}\bigr{\}} se tiene que $B(x,\gamma)\subset A,B(y,\gamma)\subset A\mathchar 46\relax$

Consideremos la $B\left((1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y,\gamma\right)\mathchar 46\relax$ Veamos que $B\left((1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y,\gamma\right)\subset A\mathchar 46\relax$

Sea $w\in\left((1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y,\gamma\right)\mathchar 46\relax$

Entonces

[TABLE]

Definamos $x_{1}=x+w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\mathchar 46\relax$ Entonces $x_{1}-x=w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y,\gamma\right]$ y por tanto, $\|x_{1}-x\|=\left\|w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\right\|<\gamma$, lo que nos demuestra que $x_{1}\in B(x,\gamma)\subset A,$ i.e, $\boxed{x_{1}\in A}\mathchar 46\relax$

Definamos $y_{1}=y+w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\mathchar 46\relax$ Entonces $y_{1}-y=w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y,\right]$ y por tanto, $\|y_{1}-y\|=\left\|w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\right\|<\gamma$, lo que nos demuestra que $y_{1}\in B(y,\gamma)\subset A,$ i.e, $\boxed{y_{1}\in A}\mathchar 46\relax$

Como $\mathsf{t}\in[0,1]$ y $x_{1},y_{1}\in A;$ convexo se tiene que $(1-\mathsf{t})x_{1}+\mathsf{t}y_{1}\in A\mathchar 46\relax$

O sea que $(1-\mathsf{t})\left\{x+w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\right\}+\mathsf{t}\left\{y+w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\right\}\in A$

i.e, $(1-\mathsf{t})+\mathsf{t}y+w-\left[(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\right]\in A\mathchar 46\relax$

Lo que nos demuestra que $w\in A\mathchar 46\relax$

∎

Proposición 15**.**

*Toda bola abierta cerrada de un E.N. es un conjunto convexo.

Demostración.

$E\in Norm,a\in E$ y $\gamma>0\mathchar 46\relax$

Consideremos la B(a,\gamma)=\bigl{\{}x\in\diagup\|x-a\|<\gamma\bigr{\}}\mathchar 46\relax Veamos que $B(a,\gamma):\text{convexo}\mathchar 46\relax$

Tomemos $x,y\in B(a,\gamma)$ y $\underset{fijo}{\underbrace{\mathsf{t}}}\in[0,1]\mathchar 46\relax$

Entonces

[TABLE]

Entonces $(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y\in B(a,\gamma)\Longrightarrow\left\|(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y-a\right\|<\gamma\mathchar 46\relax$

$\left\|(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}y-a\right\|<\gamma=\left\|(1-\mathsf{t})x+\mathsf{t}a+\mathsf{t}y-a-\mathsf{t}a\right\|\\ \\ =\left\|(1-\mathsf{t})(x-a)+\mathsf{t}(y-a)\right\|\\ \\ \leqslant(1-\mathsf{t})\|x-a\|+\mathsf{t}\|y-a\|\underset{\overset{\nearrow}{~{}\eqref{l}}}{<missing}(1-\mathsf{t})\gamma+\mathsf{t}\gamma=\gamma$

Ahora, $B^{*}(a,\gamma)=\overline{B(a,\gamma)}\mathchar 46\relax$ Como $B(a,\gamma)$ es convexo, $\overline{B(a,\gamma)}$ es convexo y por lo tanto, $B^{*}(a,\gamma)$ es convexo.

∎

El siguente lema ser til al $\underline{\text{completar}}$ un E.N. $(E,\|\|)\mathchar 46\relax$

Lema 1** (Un criterio para establecer cuando un E.L.N. es de Banach).**

*Sea $E\in Norm\mathchar 46\relax$ Si $\exists A\subset E$ tal que:

$\overline{A}=E$* i.e. A es denso E.* 2. 2.

\forall\underset{\text{S. de Cauchy}}{\underbrace{\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}}}\subset A,\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}* converge en E.*

*Entonces *$E\in Ban\mathchar 46\relax$

Demostración.

Sea \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}: S. de Cauchy en E. Veamos que \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}} converge en E.

Tomemos un t rmino $\underset{fijo}{\underbrace{x_{N}}}$ de la sucesi n.

Entonces $x_{N}\in E=\overline{A}$ (Hip.) Luego $x_{N}\in\overline{A}$ y por tanto, $\forall n\in\mathbb{N}:B(x_{N},\frac{1}{n})\bigcap A\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

Si n=1,\exists\beta_{1}^{N}\in A\,\,\text{tal que |\beta_{1}^{N}-x_{N}|<1}

Si n=2,\exists\beta_{2}^{N}\in A\,\,\text{tal que |\beta_{2}^{N}-x_{N}|<\frac{1}{2}}

Si n=3,\exists\beta_{3}^{N}\in A\,\,\text{tal que |\beta_{3}^{N}-x_{N}|<\frac{1}{3}}

$\text{etc}\ldots\ldots\ldots$

De este modo, si variamos a N:

para x_{1},\exists\bigl{\{}\beta_{n}^{1}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A\,\,\text{tal que |\beta_{1}^{1}-x_{1}|<1}

$\|\beta_{2}^{1}-x_{1}\|<\frac{1}{2}$

$\|\beta_{3}^{1}-x_{1}\|<\frac{1}{3}$

$\vdots$

para x_{2},\exists\bigl{\{}\beta_{n}^{2}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A\,\,\text{tal que |\beta_{1}^{2}-x_{2}|<1}

$\|\beta_{2}^{2}-x_{2}\|<\frac{1}{2}$

$\|\beta_{3}^{2}-x_{2}\|<\frac{1}{3}$

$\vdots$

para x_{3},\exists\bigl{\{}\beta_{n}^{3}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset A\,\,\text{tal que |\beta_{1}^{3}-x_{3}|<1}

$\|\beta_{2}^{3}-x_{3}\|<\frac{1}{2}$

$\|\beta_{3}^{3}-x_{3}\|<\frac{1}{3}$

$\vdots$

Consideremos la sucesi n \bigl{\{}\beta_{n}^{n}\bigr{\}}_{n\in\mathbb{N}}\subset A\mathchar 46\relax

Se tiene que $\forall n\in\mathbb{N}:\|\beta_{n}^{n}-x_{n}\|<\frac{1}{n}\mathchar 46\relax$

Se deja como ejercicio al lector probar que la sucesi n \bigl{\{}\beta_{n}^{n}\bigr{\}} es una S. de Cauchy en A (y por la Hip. converger en E).

∎

Continuando entonces con las propiedades de los E.L.N; presentamos ahora, uno de los resultamos m s impotantes del An lisis Funcional.

Proposición 16**.**

*En un espacio vectorial de dimensi n finita, todas las normas son equivalentes.

Demostración.

(La prueba que haremos es tomada del texto, Funtional Analysis, by Bachman-Narici)

Sea X;K esp. vec., $dimX=n$ y sea $\|\|$ una norma cualquiera en X.

1. Paso 1.

Vamos a construir una cierta norma $\|\|_{0}$ en X. 2. Paso 2.

Enseguida demostraremos que $\|\|\sim\|\|_{0}\mathchar 46\relax$

Esto demostrar que todas las normas en X son equivalentes. 3. Paso 1.

Tomemos \underset{fija}{\underbrace{\bigl{\{}X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\bigr{\}}}}: Base de X.

Sea $x\in X\mathchar 46\relax$ Entonces $\exists!\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in K$ tal que $x=\alpha_{1}X_{1}+\ldots+\alpha_{n}X_{n}\mathchar 46\relax$

Esto permite que podamos definir la funci n

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Es f cil probar que $\|\|_{0}$ es una norma en X. La llamaremos

\underline{\text{norma cero en X asociada a la Base \bigl{{}X_{\alpha}\bigr{}}}}\mathchar 46\relax (Si cambiamos de base, cambia la representaci n del vector y por lo tanto, cambia la norma.) 4. Paso 2.

Sea $\|\|$ una norma cualquiera en X. Nuestra tarea es demostrar que $\exists a,b>0$ tal que:

[TABLE]

En efecto: $\left\|x\|=\|\alpha_{1}X_{1}+\ldots+\alpha_{n}X_{n}\right\|\leqslant\|x\|_{0}\|X_{1}\|+\ldots\ldots+\|X\|_{0}\|X_{n}\|\leqslant\\ \underset{b}{\underbrace{\left(\|X_{1}\|+\ldots\ldots+\|X_{n}\|\right)}}\|X\|_{0}$

$\begin{cases}\|X\|_{0}=\underset{i=1,\ldots,n}{mx|\alpha_{i}|}\\ \\ x=\alpha_{1}X_{1}+\ldots+\alpha_{n}X_{n}\\ \\ \therefore\hskip 14.22636pt|\alpha_{1}|\leqslant\underset{i=1,\ldots,n}{mx|\alpha_{i}|}=\|X\|_{0}\\ \\ \hskip 42.67912pt\vdots\\ \\ |\alpha_{n}|\leqslant\underset{i=1,\ldots,n}{mx|\alpha_{i}|}=\|X\|_{0}\end{cases}$

Esto demuestra la desigualdad de la derecha en  (24).

Resta demostrar que $\exists a>0$ tal que $\forall x\in X:a\|x\|_{0}\leqslant\|x\|\hskip 14.22636pt\star$

Esto ya no es tan simple!!

Procederemos por inducci n sobre la dimensi n de X. 5. 1.

Supongamos que $dimX=1\mathchar 46\relax$

Sea \bigl{\{}x_{1}\bigr{\}}: Base de X. Tomemos $x\in X\mathchar 46\relax$ Entonces $x=\alpha_{1}X_{1}\mathchar 46\relax$

$\therefore\|X\|_{0}=|\alpha_{1}|\mathchar 46\relax$ Sea ahora $\|\|$ una norma cualquiera en X.

$\|X\|=\|\alpha_{1}X_{1}\|=|\alpha|_{1}\|X_{1}\|=\|X_{1}\|\|X\|_{0}$ y por tanto, $\underset{a}{\underbrace{\|X_{1}\|}}\|X\|_{0}\leqslant\|X\|$. 6. 2.

Hip. de Inducci n:

Asumimos que la propiedad es cierta para espacios de demensi n $p-1\mathchar 46\relax$

Sea X: K esp. vectorial con $dimX=p$ y sea $\|\|$ una norma cualquiera en X. El plan es demostrar que

[TABLE]

Tomemos M=Sg\bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n-1}\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Es claro que siendo $M\subset(X,\|\|),\|\|$ es una norma en M, \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n-1}\bigr{\}}: Base de M y $dimM=p-1\mathchar 46\relax$

Como $dimM=p-1,$ se tiene, por la Hip. de Inducci n que toda norma en M es $\sim$ a la norma $\|\|_{0}$ en M asociada a la Base de M:\bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n-1}\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Ahora, $\|\|$ es una norma en M. Por tanto, $\|\|\sim\|\|_{0}$ y se tiene que

[TABLE]

Compare  (25) y  (26): Observe los cuantificadores.

Vamos ahora a demostrar que $(M,\|\|):$ Banach.

Sea \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}\subset(M,\|\|)\mathchar 46\relax Veamos que

[TABLE]

Como $\|\|\sim\|\|_{0}$ en M, \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}} es una S. de Cauchy en $(M,\|\|_{0})$

Denotemos \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}=\bigl{\{}y_{1},y_{1},\ldots,y_{n}\bigr{\}}\subset M\mathchar 46\relax

Ahora, como \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n-1}\bigr{\}}: Base de M, podemos escribir:

$y_{1}=\alpha_{1}^{1}x_{1}+\alpha_{1}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{1}^{n-1}x_{n-1}\\ \\ y_{2}=\alpha_{2}^{1}x_{1}+\alpha_{2}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{2}^{n-1}x_{n-1}\\ \\ y_{3}=\alpha_{3}^{1}x_{1}+\alpha_{3}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{3}^{n-1}x_{n-1}\\ \\ \centerline{\hbox{\vdots}}$

Considremos ahora las suces. columna en K (\mathbb{R}\text{ \mathbb{C}}):

\bigl{\{}\alpha_{j}^{1}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty} \bigl{\{}\alpha_{j}^{2}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\ldots\ldots \bigl{\{}\alpha_{j}^{n-1}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}

$\alpha_{1}^{1}$ $\alpha_{1}^{2}\ldots\ldots$ $\alpha_{1}^{n-1}$

$\alpha_{2}^{1}$ $\alpha_{2}^{2}\ldots\ldots$ $\alpha_{2}^{n-1}$

$\alpha_{3}^{1}$ $\alpha_{3}^{2}\ldots\ldots$ $\alpha_{3}^{n-1}$

$\downarrow$ $\downarrow\ldots\ldots$ $\downarrow$

Vamos a demostrar que c/u de estas $(n-1)$ Sucesiones converge en K.

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$

Como \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}: S. de Cauchy en (M,\|\|_{0}),\exists N\in\mathbb{N}\text{tal que \forall p,q>N:\underset{i=1,\ldots,n-1}{mx|\alpha_{p}^{i}-\alpha_{q}^{i}|=|y_{p}-y_{q}|_{0}<\epsilon}}

$y_{p}=\alpha_{p}^{1}x_{1}+\ldots\ldots+\alpha_{p}^{n-1}x_{n-1}\\ \\ y_{q}=\alpha_{q}^{1}x_{1}+\ldots\ldots+\alpha_{q}^{n-1}x_{n-1}$

Fijemos $p,q>N\mathchar 46\relax$

Entonces:

\begin{cases}|\alpha_{p}^{1}-\alpha_{q}^{1}|\leqslant\underset{i=1,\ldots,n-1}{mx|\alpha_{p}^{i}-\alpha_{q}^{i}|}<\epsilon,&\text{siempre que p,q>N}\\ \\ \vdots\\ \\ |\alpha_{p}^{n-1}-\alpha_{q}^{n-1}|\leqslant\underset{i=1,\ldots,n-1}{mx|\alpha_{p}^{i}-\alpha_{q}^{i}|}<\epsilon\end{cases}

Esto significa que

\begin{cases}\text{la sucesi n \bigl{{}\alpha_{j}^{1}\bigr{}}{j=1}^{\infty}$es una S de Cauchy en K y como K es completo,$\alpha{j}^{1}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{1}}\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ \text{la sucesi n \bigl{{}\alpha_{j}^{n-1}\bigr{}}{j=1}^{\infty}$es una S de Cauchy en K y como K es completo,$\alpha{j}^{n-1}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{n-1}}\end{cases}

Definamos $y=\alpha_{1}x_{1}+\ldots\ldots+\alpha_{n-1}x_{n_{1}}\mathchar 46\relax$

Es claro que $y\in M\mathchar 46\relax$

Para tener  (27), veamos que $y_{n}\overset{\|\|}{\longrightarrow}y\mathchar 46\relax$

Bastar con demostrar que $y_{n}\overset{\|\|_{0}}{\longrightarrow}y$ ya que siendo $\|\|\sim\|\|_{0}$ en M, $y_{n}\overset{\|\|}{\longrightarrow}y\mathchar 46\relax$

Veamos pues, que $y_{n}\overset{\|\|_{0}}{\longrightarrow}y\mathchar 46\relax$

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$

Debemos demostrar que $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall q>N:\underset{i=1,\ldots,n}{mx|\alpha_{q}^{i}-\alpha_{i}|}=\|y_{q}-y\|_{0}<\epsilon$

\begin{cases}\text{Dado que \alpha_{j}^{1}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{1}$y que$\epsilon>0,se tiene que}\\ \\ \exists N_{1}\in\mathbb{N}\,\,\text{tal que\forall q>N_{1}:|\alpha_{q}^{i}-\alpha_{i}|<\epsilon}\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ \text{Como \alpha_{j}^{n-1}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{n-1}$y que$\epsilon>0,se tiene que}\\ \\ \exists N_{n-1}\in\mathbb{N}\,\,\text{tal que\forall q>N_{n-1}:|\alpha_{q}^{n-1}-\alpha_{n-1}|<\epsilon}\end{cases}

Luego si escogemos N>mx\bigl{\{}N_{1},\ldots,N_{n-1}\bigr{\}}, se tiene que $\forall q>N$:$\begin{cases}|\alpha_{q}^{1}-\alpha_{1}|<\epsilon\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ |\alpha_{q}^{n-1}-\alpha_{n-1}|<\epsilon\mathchar 46\relax\end{cases}$

y por lo tanto, $\underset{i=1,\ldots,n-1}{mx|\alpha_{q}^{i}-\alpha_{i}|}<\epsilon$ siempre que $q>N\mathchar 46\relax$

Pero $\underset{i=1,\ldots,n-1}{mx|\alpha_{q}^{i}-\alpha_{i}|}=\|y_{q}-y\|_{0}\mathchar 46\relax$

Luego $\|y_{q}-y\|_{0}<\epsilon$ siempre que $q>N\mathchar 46\relax$

Esto demuestra que $y_{n}\overset{\|\|_{0}}{\longrightarrow}y$ y por tanto, $y_{n}\overset{\|\|}{\longrightarrow}y\mathchar 46\relax$

Hemos demostrado as que $(M,\|\|):$ Esp. Banach.

Vamos ahora a probar que $M\subset X$ es un cjto cerrado en X.

Debemos probar que $\overline{M}=M\mathchar 46\relax$

Es claro que $M\subset\overline{M}\mathchar 46\relax$ Resta demostrar que $\overline{M}\subset M\mathchar 46\relax$

Tomemos $x\in\overline{M}$ y veamos que $x\in M\mathchar 46\relax$ x\in\overline{M}\Longrightarrow\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}\subset M\text{tal que \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}{n\rightarrow\infty}x{n}=x\in X\mathchar 46\relax}

Pero $(M,\|\|)\in Banach$ y como \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}\subset M, entonces \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}} es una S. de Cauchy en $(M,\|\|)\Longrightarrow\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{n\rightarrow\infty}x_{n}\in M\mathchar 46\relax$

O sea que $x\in M\mathchar 46\relax$ Esto prueba que M es un cjto cerrado en X.

Consideremos ahora el conjunto x_{n}+M=\bigl{\{}x_{n}+z,z\in M\bigr{\}}\subset X\mathchar 46\relax

$x_{n}+M,$ no es subespacio de X ya que $0\notin x_{n}+M\mathchar 46\relax$ En efecto, si 0\in x_{n}+M,\exists\bigl{(}\beta_{1}x_{1}+\ldots+\beta_{n_{1}}x_{n-1}\bigr{)}\in M tal que $0_{x}=x_{n}+\beta_{1}x_{1}+\ldots,\beta_{n-1}x_{n-1}$ y se tendr a que $x_{n}$ es una C.L. de \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n-1}\bigr{\}},\rightarrow\leftarrow ya que el cjto. \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{\}} es L.I.

Considremos ahora en X la traslaci n definida por el vector $-x_{n}:$

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Es f cil demostrar que T es continua. Ahora, como M es cerrado en X, $T_{-x_{n}}^{-1}(M)$ es cerrado en X.

Pero T_{-x_{n}}^{-1}(M)=\bigl{\{}x\in\text{tal que T_{-x_{n}}(x)=x-x_{n}\in M}\bigr{\}}\\ \\ =\bigl{\{}x\in\text{tal que x-x_{n}=\alpha_{1}x_{1}+\ldots+\alpha_{n-1}x_{n-1},\alpha_{i}\in K}\bigr{\}}\\ \\ =\bigl{\{}x\in\text{tal que \underset{\in M}{\underbrace{x=\alpha_{1}x_{1}+\ldots+\alpha_{n-1}x_{n-1},\alpha_{i}+x_{n}}}\in K}\bigr{\}}\\ \\ =x_{n}+M\mathchar 46\relax

Por lo tanto, $\underset{cerrado}{\underbrace{x_{n}+M}}\subset(X,\|\|)\Longrightarrow$ $C_{x}(x_{n}+M):$ abto en X.

Como $0\in C_{x}(x_{n}+M),\exists c_{n}>0$ tal que $B_{(x,\|\|)}(0;c_{n})\subset C_{x}(x_{n}+M)\mathchar 46\relax$

i.e, $\exists c_{n}>0$ tal que \forall x\in X:\text{si |x|<c_{n},$entonces,$x\in C_{x}(x_{n}+M)}; i.e $x\notin x_{n}+M\mathchar 46\relax$

Tomando contrarec proco, tendremos que $\forall x\in X;$ si $x\in x_{n}+M$ entonces $\|x\|\geqslant c_{n}\mathchar 46\relax$

Tomemos ahora $\underset{fijo}{\underbrace{x}}\in x_{n}+M\mathchar 46\relax$ Entonces $x=\alpha_{1}x_{1}+\ldots+\alpha_{n-1}x_{n-1}+x_{n},\alpha_{i}\in K\mathchar 46\relax$ Y se tiene que:

$\|\alpha_{1}x_{1}+\ldots+\alpha_{n-1}x_{n-1}+x_{n}\|\geqslant c_{n},$ cualquiera sean $\alpha_{1},\alpha_{n-1}\in K\mathchar 46\relax$

Hemos demostrado as que $\exists c_{n}>0$ tal que $\forall\alpha_{1},\alpha_{n-1}\in K:c_{n}\leqslant\|\alpha_{1}x_{1}+\ldots+\alpha_{n-1}x_{n-1}+x_{n}\|\mathchar 46\relax$ De aqu resulta claro que $\forall\underset{\neq 0}{\alpha_{n}}\in K,c_{n}\leqslant\left\|\dfrac{\alpha_{1}}{\alpha_{n}}x_{1}+\ldots+\dfrac{\alpha_{n-1}}{\alpha_{n}}x_{n-1}+x_{n}\right\|,$

o lo que es lo mismo, $|\alpha_{n}|c_{n}\leqslant\|\alpha_{1}x_{1}+\ldots+\alpha_{n-1}x_{n-1}+\alpha_{n}x_{n}\|$ lo que nos dice que $\forall x\in X:|\alpha_{n}|c_{n}\leqslant\|x\|,$ donde $\alpha$ es la cta $n^{a}$ del vector x en la base \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Resumiendo, hemos demostrado que si $M=Sg(x_{1},\ldots,x_{n-1}),$ se tiene que $\exists c_{n}>0$ tal que $\forall x\in X:|\alpha_{n}|c_{n}\leqslant\|x\|$ donde $\alpha$ es la cta $n^{a}$ del vector x en la base \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{\}}.

Si ahora tomamos como $M=Sg(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n-2},x_{n})$ y desarrollamos el mismo an lisis que se hizo para el caso en que M era el $Sg(x_{1},\ldots,x_{n-1}),$ podr amos demostrar que $\exists c_{n-1}>0$ tal que $\forall x\in X:|\alpha_{n_{1}}|c_{n_{1}}\|x\|$ donde $\alpha_{n-1}$ es la cta $(n-1)$ del vector x en la base \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{\}}\mathchar 46\relax

etc$\ldots,\ldots$

As que en el fondo de todo lo que se tiene es que $\exists c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}>0$ tal que $\forall x\in X:$

\begin{cases}|\alpha_{1}|c_{1}\leqslant\|x\|;\alpha_{1}:\text{cte 1^{a}$de X en la base$\bigl{{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{}}}\\ \\ |\alpha_{2}|c_{2}\leqslant\|x\|;\alpha_{1}:\text{cte 2^{a}$de X en la base$\bigl{{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{}}}\\ \\ \vdots\\ \\ |\alpha_{n}|c_{n}\leqslant\|x\|;\alpha_{n}:\text{cte n^{a}$de X en la base$\bigl{{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{}}}\end{cases}

Fijemos x en X. Entonces $x=\beta_{1}x_{1}+\ldots+\beta_{n-1}x_{n-1}+\beta_{n}x_{n}$ y se tiene que:

$\begin{cases}|\beta_{1}|\underset{j=1,\ldots,n}{mnC_{j}}\leqslant\|x\|\\ \\ |\beta_{2}|\underset{j=1,\ldots,n}{mnC_{j}}\leqslant\|x\|\\ \\ \vdots\\ \\ |\beta_{n}|\underset{j=1,\ldots,n}{mnC_{j}}\leqslant\|x\|\end{cases}$

Y si llamamos $a=\underset{j=1,\ldots,n}{mnC_{j}}$ se tiene que $\forall i=1,\ldots,n:a|\beta_{i}|\leqslant\|x\|\Longrightarrow a\underset{i=1,\ldots,n}{mx|\beta_{i}|}\leqslant\|x\|\mathchar 46\relax$ Pero $\underset{i=1,\ldots,n}{mx|\beta_{i}|}=\|x\|_{0}$

As que $a\|x\|_{0}\leqslant\|x\|,$ y como x es cualquier vector en X, hemos conseguido demostrar que $\exists a>0$ tal que $\forall x\in X:a\|x\|_{0}\leqslant\|x\|$ que era plan que nos hab amos propuesto en  16.

∎

Corolario 1**.**

*Sea $(X,\|\|):$ E.L.N. Si $E\subset X$ y $dimE=n,$ entonces $(E,\|\|):$ Banach.

Demostración.

Es claro que siendo $E\subset X,$ $(X,\|\|):$ E.L.N.

Sea \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty} una S. de Cauchy en $(E,\|\|)\mathchar 46\relax$ Veamos que $y_{n}\overset{\|\|}{\longrightarrow}y\in E\mathchar 46\relax$

Como $dimE=n,$ sea \underset{fija}{\bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{\}}}: base de E.

Tomemos $\mathsf{v}\in E\mathchar 46\relax$ Entonces $\exists!\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in K$ tal que $\mathsf{v}=\alpha_{1}x_{1},\ldots,\alpha_{n}x_{n}$ y podemos definir

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Es f cil probar que $\|v\|_{0}$ es una norma en E. As que $(E,\|\|_{0}):$ E.L.N

Dado que $\|\|$ y $\|\|_{0}$ son normas en E y como $dimE=n,$ se tiene, por la Prop. anterior que $\|\|\sin\|\|_{0}\mathchar 46\relax$

Como \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset(E,\|\|), entonces, \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}} es una S. Cauchy en $(E,\|\|_{0})\mathchar 46\relax$

Si logramos demostrar que $y_{n}\overset{\|\|_{0}}{\longrightarrow}y\in E,$ entonces, $y_{n}\overset{\|\|}{\longrightarrow}y\in E$ que es lo que se quiere probar.

As que todo consiste en probar que $y_{n}\overset{\|\|_{0}}{\longrightarrow}y\in E\mathchar 46\relax$

Sea $\varepsilon>0\mathchar 46\relax$ Como \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}: S. de Cauchy en $(E,\|\|_{0}),$

[TABLE]

Como \bigl{\{}x_{1},\ldots,x_{n}\bigr{\}}: Base de E y \bigl{\{}y_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\subset E, los t rminos de la sucesi n $y_{n}$ se pueden escribir as :

$y_{1}=\alpha_{1}^{1}x_{1}+\alpha_{1}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{1}^{n}x_{n}\\ \\ y_{2}=\alpha_{2}^{1}x_{1}+\alpha_{2}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{2}^{n}x_{n}\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ y_{N}=\alpha_{N}^{1}x_{1}+\alpha_{N}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{N}^{n}x_{n}\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ y_{p}=\alpha_{p}^{1}x_{1}+\alpha_{p}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{p}^{n}x_{n}\\ \\ y_{q}=\underset{\downarrow}{\alpha_{q}^{1}x_{1}}+\underset{\downarrow}{\alpha_{q}^{2}x_{2}}+\ldots\ldots+\underset{\downarrow}{\alpha_{q}^{n}x_{n}}$

Regresemos a  (28).

Tomemos $\underset{fijos}{\underbrace{p,q}}>N\mathchar 46\relax$ Entonces $\|y_{p}-y_{q}\|_{0}<\varepsilon\mathchar 46\relax$

\left\|\alpha_{p}^{1}x_{1}+\alpha_{p}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{p}^{n}x_{n}-\bigl{(}\alpha_{q}^{1}x_{1}+\alpha_{q}^{2}x_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{q}^{n}x_{n}\bigr{)}\right\|_{0}\\ \\ =mx\bigl{\{}|\alpha_{p}^{1}-\alpha_{q}^{1}|,\ldots\ldots,|\alpha_{p}^{n}-\alpha_{q}^{n}|\bigr{\}}

As que

\begin{cases}\left|\alpha_{p}^{1}-\alpha_{q}^{1}\right|<\varepsilon,\text{siempre que p,q>N}\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ \left|\alpha_{p}^{n}-\alpha_{q}^{n}\right|<\varepsilon,\text{siempre que p,q>N}\end{cases}

\begin{cases}\text{la sucesi n de columnas \bigl{{}\alpha_{j}^{1}\bigr{}}{j=1}^{\infty}$es una S. de Cauchy en$K(\mathbb{R},,\text{ }\mathbb{C})}\\ \\ \text{y como K es completo, \alpha{1}^{j}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{1}}\\ \\ \ldots\ldots\\ \\ \text{la sucesi n de columnas \bigl{{}\alpha_{j}^{n}\bigr{}}{j=1}^{\infty}$es una S. de Cauchy en$K(\mathbb{R},,\text{ }\mathbb{C})}\\ \\ \text{y como K es completo, \alpha{j}^{n}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{n}}\end{cases}

Definamos ahora el vector $y=\alpha_{1}x_{1}+\ldots\ldots+\alpha_{n}x_{n}$

Resta demostrar que $y\in E$ (lo cual es obvio) y que $y_{n}\overset{\|\|_{0}}{\longrightarrow}y$

Sea $\varepsilon>0\mathchar 46\relax$ Debemos demostrar que $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que

[TABLE]

Como $\alpha_{j}^{1}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{1},\exists N_{1}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall j>N_{1}:\left|\alpha_{j}^{1}-\alpha_{1}\right|<\varepsilon$

Como $\alpha_{j}^{2}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{2},\exists N_{2}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall j>N_{2}:\left|\alpha_{j}^{2}-\alpha_{2}\right|<\varepsilon$

$\ldots\ldots$

Como $\alpha_{j}^{n}\overset{j\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\alpha_{n},\exists N_{n}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall j>N_{n}:\left|\alpha_{j}^{n}-\alpha_{n}\right|<\varepsilon$

Luego si escogemos N>mx\bigl{\{}N_{1},\ldots,N_{n}\bigr{\}} se tendr que

[TABLE]

∎

Corolario 2**.**

*Todo E.L.N. de dimensi n finita es un E. de Banach.

Corolario 3**.**

*Sea $(X,\|\|):$ E.L.N. $E\subset X\mathchar 46\relax$ Entonces:

$(E,\|\|):$* Banach.* 2. 2.

*E es cerrado en X. *

*O sea que **todo subespacio vectorial de dimensi n finita de un E.L.N. es un cjto cerrado. *

Demostración.

$\checkmark$ 2. 2.

Debemos demostrar que $\overline{E}=E\mathchar 46\relax$ $E\subset\overline{E}\checkmark\mathchar 46\relax$ Resta probar que $\overline{E}\subset E\mathchar 46\relax$

Tomemos $x\in\overline{E}$ y veamos que $x\in E\mathchar 46\relax$ x\in\overline{E}\Longrightarrow\exists\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}\subset E tal que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x(x\in X)\mathchar 46\relax$

Pero $(E,\|\|):$Banach y como \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}\subset(E,\|\|),\bigl{\{}x_{n}\bigr{\}} es una S. de Cauchy en $(E,\|\|)\hskip 14.22636pt\therefore\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}\right)\in E\mathchar 46\relax$ O sea que $x\in E\mathchar 46\relax$

∎

Ejemplo 1**.**

*Sabemo que $\mathbb{C}:$Esp. vectorial.

Vamos a demostrar que $(\mathbb{C},\|\|):$ E.L.N. donde $\forall z\in\mathbb{C}:\|z\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=|z|\mathchar 46\relax$

Una vez demostremos que $(\mathbb{C,\|\|}):$ E.L.N, como $dim\mathbb{C}=1,$ se tendr que $(\mathbb{C,\|\|}):$ E.L.N. de dimensi n finita. Luego $(\mathbb{C,\|\|}):$ Banach.

*Es claro que $|z|\geqslant 0\mathchar 46\relax$ Si *$z=0,|z|=|0|=0\mathchar 46\relax$

*Supongamos $|z|=0\mathchar 46\relax$ Entonces *$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0\Rightarrow x=y=0;z=0\mathchar 46\relax$ 2. 2.

$|\alpha z|^{2}=(\alpha z)\overline{(\alpha z)}=\alpha z\overline{\alpha}\overline{z}=(\alpha\overline{\alpha})(z\overline{z})=|\alpha|^{2}|z|^{2}\mathchar 46\relax$ 3. 3.

$|z_{1}+z_{2}|\leqslant|z_{1}|+|z_{2}|\\ \\ |z_{1}+z_{2}|^{2}=(z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}+z_{2}})\\ \\ =(z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}})\\ \\ =z_{1}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}+(z_{1}\overline{z_{2}}+\overline{z_{1}}z_{2})\\ \\ =|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+2\mathsf{Re}(z_{1}\overline{z_{2}})\leqslant|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+2|z_{1}\overline{z_{2}}|\\ \\ =|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+2|z_{1}||z_{2}|\\ \\ =\left(|z_{1}|+|z_{2}|\right)^{2}\Longrightarrow|z_{1}+z_{2}|\leqslant|z_{1}|+|z_{2}|$

Ejemplo 2**.**

*Es posible dm. de una manera directa (i.e, sin utilizar el Tma. ”todo E.V. de dim. finita es Banach”.) que $(\mathbb{C},\|\|)$ es Banach.

$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ siendo $z=x+iy$

1.1. El teorema de Hahn-Banach. (caso real)

Este importante Tma. del An. Funcional establece que todo funcional lineal continuo definido sobre un subespacio de un E.L.N. siempre se puede extender a todo el espacio conserv ndose la norma del funcional.

Comenzamos con un

Lema 2**.**

*Sea $(X,\|\|):\mathbb{R}$ esp.vectorial normado, $M\subset X$ y $f\in M^{\prime}=\mathcal{L}_{c}(M,\mathbb{R})\diagup\text{dual topol gico de M}\mathchar 46\relax$

Sea $x_{0}\in X,x_{0}\notin M\mathchar 46\relax$

Entonces \exists g\in S_{g}(M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}), o sea g:S_{g}M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}\longrightarrow\mathbb{R}

tal que:

$g\diagup M=f$ 2. 2.

$\|g\|=\|f\|\mathchar 46\relax$

Demostración.

Tomemos $\underset{fijo}{\underbrace{y_{1}}}\in M\mathchar 46\relax$

Entonces, $\forall y\in M:\\ \\ \left||f(y_{1})|-|f(y)|\right|\leqslant\left|f(y_{1})-f(y)\right|=\left|f(y_{1}-y)\right|\leqslant\|f\|\|y_{1}-y\|\\ \\ =\|f\|\|(y_{1}+x_{0})+(-y-x_{0})\|\leqslant\|f\|\|y_{1}+x_{0}\|+\|f\|\|y+x_{0}\|\\ \\ \therefore\\ \\ |f(y)|-\|f\|\|y_{1}+x_{0}\|-\|f\|\|y+x_{0}\|\leqslant f(y_{1})\leqslant|f(y)|+\|f\|\|y_{1}+x_{0}\|+\|f\|\|y+x_{0}\|\\ \\ -|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|\leqslant\|f\|\|y_{1}+x_{0}\|-\|f(y_{1})\|$ lo que dm. que el real es cota superior del cjto $\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|,y\in M\right\}\\ \\ \therefore\hskip 14.22636pt\exists Sup\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|,y\in M\right\}=a\\ \\ -\|f(y_{1})\|-\|f\|\|y_{1}+x_{0}\|\leqslant|f(y)|+\|f\|\|y+x_{0}\|$ lo que dm. que el real es cota inferior del cjto $\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|,y\in M\right\}\mathchar 46\relax$

Luego $\exists\text{ nf}\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|,y\in M\right\}=b\mathchar 46\relax$

Veamos que $a\leqslant b\mathchar 46\relax$

Recordemos que el Sup de un cjto de n meros reales es la m nima cota superior del cjto.

Si logramos dm. que b es cota superior del cjto $\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|,y\in M\right\},$ tendremos que $a\leqslant b\mathchar 46\relax$

As que vamos a dm. que b es cota superior del cjto citado, o lo que es lo mismo, que

[TABLE]

Razonemos por R. abs.

O sea, supongamos que  (30) no es cierta.

Entonces $\exists\overset{\sim}{y}\in M$ tal que $b<-|f(\overset{\sim}{y})|-\|f\|\|\overset{\sim}{y}+x_{0}\|\\ \\ \therefore\hskip 14.22636pt0<\varepsilon=-|f(\overset{\sim}{y})|-\|f\|\|\overset{\sim}{y}+x_{0}\|-b$

Pero $b=\text{ nf}\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|\right\}$ y como $\varepsilon>0,$ se tiene, por la propiedad de aproximaci n del nf, que $\exists\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}}\in M$ tal que $-|f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}})|-\|f\|\|\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}}+x_{0}\|<b+\varepsilon\\ \\ =-|f(\overset{\sim}{y})|-\|f\|\|\overset{\sim}{y}+x_{0}\|\\ \\ \therefore\\ \\ \|f\|\left(\|\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}}+x_{0}\|+\|\overset{\sim}{y}+x_{0}\|\right)=\|f\|\|\overset{\sim}{y}+x_{0}\|+\|f\|\|\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}}+x_{0}\|<\left|f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}})-f(\overset{\sim}{y})\right|\\ \\ \|f\|\|\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}}-\overset{\sim}{y}\|\geqslant\left|f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}}-\overset{\sim}{y})\right|=\left|f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}})-f(\overset{\sim}{y})\right|\geqslant\left||f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}})|-|f(\overset{\sim}{y})|\right|$

O sea que $\left||f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}})|-|f(\overset{\sim}{y})|\right|<|f(\overset{\sim}{\overset{\sim}{y}})|-|f(\overset{\sim}{y})|,(\rightarrow\leftarrow)$

Luego $a\leqslant b\mathchar 46\relax$

Supongamos que $a<b$ y tomemos $a<\underset{fijo}{\underbrace{c}}<b\mathchar 46\relax$

Como $\text{Sup}\left\{-|f(y)|-\|f\|\|y+x_{0}\|\right\}=a<c<b=\text{ nf}\left\{-|f(y)|+\|f\|\|y+x_{0}\|\right\}$

se tiene que $\forall m\in M:\\ \\ -|f(m)|-\|f\|\|m+x_{0}\|<c<-|f(m)|+\|f\|\|m+x_{0}\|$

O sea que $-\|f\|\|m+x_{0}\|<f(m)+c<\|f\|\|m+x_{0}\|,$ i.e

[TABLE]

cualquiera sea $m\in M\mathchar 46\relax$

Ahora, es f cil dm. que S_{g}\left(M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}\right)=\left\{m+\lambda x_{0},m\in M,\lambda\in\mathbb{R}\right\}\mathchar 46\relax

Definamos

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Es f cil dm. que $g$ es A.L. H galo!

Veamos que $g\diagup M=f\mathchar 46\relax$

Tomemos $m\in M$ y veamos que $g(m)=f(m)\mathchar 46\relax$

$m=m+0\mathchar 46\relax x_{0}$ y $g(m)=g(m+0\mathchar 46\relax x_{0})=f(m)+0\mathchar 46\relax c=f(m)\mathchar 46\relax$

Veamos que $g$ es continua.

Tomemos x\in S_{g}\left(M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}\right)\mathchar 46\relax Entonces $x=m+\lambda x_{0}\mathchar 46\relax$ Asumamos $\lambda\neq 0\mathchar 46\relax$

$|g(x)|=|g(m+\lambda x_{0})|=|f(m)+\lambda c|=|\lambda f({\lambda}^{-1}m)+\lambda c|\\ \\ =|\lambda||f({\lambda}^{-1}m)+c|\underset{~{}\eqref{u}}{\leqslant}|\lambda|\|f\|\|{\lambda}^{-1}m+x_{0}\|\\ \\ =\|f\|\|m+\lambda x_{0}\|\\ \\ =\|f\|\|x\|\hskip 14.22636pt\star\mathchar 46\relax$

(Si $\lambda=0\text{se llega a lo mismo}$)

As que $\forall x\in M:|g(x)|\leqslant\|f\|\|x\|$ lo que prueba que $g$ es continua. Resta dm que $\|g\|=\|f\|\mathchar 46\relax$

Veamos que

[TABLE]

Como $\|g\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\text{Sup}|g(x)|},$ para obtener  (32) basta con dm. que $\|f\|$ es cota superior del cjto S=\left\{g(x),\|x\|\leqslant 1\diagup x\in S_{g}(M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}})\right\}\mathchar 46\relax

Sea $\xi\in S\mathchar 46\relax$ Veamos que \xi\leqslant\|f\|\mathchar 46\relax\xi\in S\Longrightarrow\exists x=m+\lambda x_{0}\in S_{g}(M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}) con $\|x\|\leqslant 1$ tal que $\xi=|g(x)|\mathchar 46\relax$

Si tenemos en cuenta $\star$ se tiene que:

$\xi=|g(x)|\leqslant\|f\|\|x\|\leqslant\|f\|\,\,\text{l.q.q.d}$

Veamos finalmente que

[TABLE]

$\|f\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\text{Sup}|f(x)|}\mathchar 46\relax$ Para obtener  (33) basta dm. que $\|g\|$ es cota superior del cjto $T=\left\{|f(x)|,\|x\|\leqslant 1,x\in M\right\}\mathchar 46\relax$

Sea $\xi\in T\mathchar 46\relax$ Veamos que $\xi\leqslant\|g\|\mathchar 46\relax$ $\xi\in T\Longrightarrow\exists x\in M$ con $\|x\|\leqslant 1$ tal que $g=|f(x)|\mathchar 46\relax$

Por tanto, $g(x)=g(x+0\mathchar 46\relax x_{0})=f(x)+0\mathchar 46\relax c=f(x)\mathchar 46\relax\\ \\ \therefore\hskip 14.22636pt|g(x)|=|f(x)|=g,$ i.e,

[TABLE]

Como x\in S_{g}(M\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}) y $\|g\|=\underset{\|y\|\leqslant 1}{\text{Sup}|g(y)|}$

$|g(x)|\leqslant\|g\|$ y regresando a  (34) se tiene que $\xi\leqslant\|g\|\mathchar 46\relax$

∎

Proposición 17** (El Teorema de Hahn-Banach).**

*Sea $(X,\|\|):\mathbb{R}$ esp. vectorial normado, $M\subset X$ y sea $f\in M^{\prime}=\mathcal{L}_{c}(M,\mathbb{R})\mathchar 46\relax$ O sea, $f:M\longrightarrow\mathbb{R}\diagup\text{A.L. continua.}$

Entonces $\exists F\in X^{\prime}=\mathcal{L}_{c}(X,\mathbb{R}),$ i.e, $F:X\longrightarrow\mathbb{R}$ tal que:

$F\diagup M=f$ 2. 2.

$\|F\|=\|f\|$

*Y en palabras, ”todo funcional lineal continuo definido sobre un subespacio de un E.L.N se puede extender (prolongar) a todo el espacio preservando la norma.”

Demostración.

Sea S=\begin{cases}(1)\mathchar 46\relax\overline{f}:M\subset D_{\overline{f}}\longrightarrow\mathbb{R},\overline{f}\in(D_{\overline{f}})^{\prime}\\ \\ (2)\mathchar 46\relax\overline{f}\,\,\text{es una extesi n de f$a$D_{\overline{f}}},i\mathchar 46\relax e,\overline{f}\diagup M=f\\ \\ (3)\mathchar 46\relax\|\overline{f}\|=\|f\|\end{cases}

O sea que $\forall\overline{f}\in S,D_{\overline{f}}$ es un subespacio de X m s grande que M y que contiene a M.

Las $\overline{f}\in S$ son A.L.

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Por el lema anterior, $S\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

Vamos a definir en S una $\mathcal{R\mathchar 46\relax O\mathchar 46\relax P}$ as :

Sean $\overline{f_{1}},\overline{f_{2}}\in S\mathchar 46\relax$ Entonces $\overline{f_{1}}\preceq\overline{f_{2}}\Longleftrightarrow D_{\overline{f_{1}}}\subseteq D_{\overline{f_{2}}}$ y $\overline{f_{2}}$ es una extensi n de $\overline{f_{1}}$ i.e, $\overline{f_{2}}\diagup D_{\overline{f_{1}}}=\overline{f_{1}}\mathchar 46\relax$

O sea que $\forall x\in D_{\overline{f_{1}}},\overline{f_{2}}(x)=\overline{f_{1}}(x)$

Vamos a dm. que $(S,\preceq):$ cjto P.O. o que $\preceq$ es reflexiva,antisim trica y transitiva.

$D_{\overline{f_{1}}}\subset D_{\overline{f_{1}}}$ y $\overline{f_{1}}\diagup D_{\overline{f_{1}}}=\overline{f_{1}},\overline{f_{1}}\preceq\overline{f_{1}}$ 2. 2.

Supongamos que $\overline{f_{1}}\preceq\overline{f_{2}}$ y $\overline{f_{2}}\preceq\overline{f_{1}}\mathchar 46\relax$ Veamos que: $\overline{f_{1}}=\overline{f_{2}}$ o que $D_{\overline{f_{1}}}=D_{\overline{f_{2}}}$ y que $\forall x\in D_{\overline{f_{1}}}=D_{\overline{f_{2}}},\overline{f_{1}}(x)=\overline{f_{2}}(x)\mathchar 46\relax$

Como

[TABLE]

y

[TABLE]

Como

[TABLE]

y $\overline{f_{1}}\diagup D_{\overline{f_{2}}}=\overline{f_{2}}\mathchar 46\relax$

De  (35) y  (37): $D_{\overline{f_{1}}}=D_{\overline{f_{2}}}\mathchar 46\relax$

Seg n  (36), $\forall x\in D_{\overline{f_{1}}}=D_{\overline{f_{2}}}:\overline{f_{2}}(x)=\overline{f_{1}}(x)\mathchar 46\relax$

Esto dm. que $\overline{f_{1}}=\overline{f_{2}}\mathchar 46\relax$ 3. 3.

Supongamos ahora que $\overline{f_{1}}\preceq\overline{f_{2}}$ y $\overline{f_{2}}\preceq\overline{f_{2}}\mathchar 46\relax$ Veamos que $\overline{f_{1}}\preceq\overline{f_{3}}\mathchar 46\relax$

Dos cosas se deben probar:

1. i)

$D_{\overline{f_{1}}}\subset\overline{f_{3}}$ 2. ii)

$\overline{f_{3}}\diagup D_{\overline{f_{1}}}=\overline{f_{1}}\mathchar 46\relax$ o que $\forall x\in D_{\overline{f_{1}}},\overline{f_{3}}(x)=\overline{f_{1}}(x)\mathchar 46\relax$

Como $\overline{f_{1}}\preceq\overline{f_{2}},D_{\overline{f_{1}}}\subseteq D_{\overline{f_{2}}}\\ \text{como}\,\,\overline{f_{2}}\preceq\overline{f_{3}},D_{\overline{f_{2}}}\subseteq D_{\overline{f_{3}}}\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636ptD_{\overline{f_{1}}}\subseteq D_{\overline{f_{3}}}$ y se tiene i).

O sea que

[TABLE]

Como $\overline{f_{2}}\preceq\overline{f_{3}},\overline{f_{3}}\diagup D_{\overline{f_{2}}}=\overline{f_{2}}$

i.e que $\forall y\in D_{\overline{f_{2}}}:\overline{f_{3}}(y)=\overline{f_{2}}(y)\hskip 14.22636pt\star$

Sea $x\in D_{\overline{f_{1}}}\Longrightarrow x\in D_{\overline{f_{2}}}\underset{\star}{\Longrightarrow}\overline{f_{3}}(x)=\overline{f_{2}}(x)\mathchar 46\relax$

As que

[TABLE]

De  (38) y  (39) se concluye que $\forall x\in D_{\overline{f_{1}}}:\overline{f_{3}}(x)=\overline{f_{1}}(x)$ y se tiene ii).

Hemos dm. que $(S,\preceq)$ es un cjto. P.O.

V a aplicar el lema de Zorn, sea \underset{\text{cjto. totalmente ordenado }}{\bigl{\{}\overline{f_{\alpha}}\bigr{\}}_{\alpha\in I}}\subset S\mathchar 46\relax

O sea que $\forall\alpha\in I,\overline{f_{\alpha}}$ es una extensi n de f. Siendo \bigl{\{}\overline{f_{\alpha}}\bigr{\}}_{\alpha\in I} totalmente ordenado, se tiene que $\forall\alpha_{1},\alpha_{2}\in I,\overline{f_{\alpha_{1}}}\preceq\overline{f_{\alpha_{2}}}$ $\overline{f_{\alpha_{2}}}\preceq\overline{f_{\alpha_{1}}}$.

Vamos a demostrar que \bigl{\{}\overline{f_{\alpha}}\bigr{\}}_{\alpha\in I} tiene cota superior en S, o que $\exists\overline{f}\in S$ tal que $\forall\alpha\in I:\overline{f_{\alpha}}\preceq f\mathchar 46\relax$

Consideremos el cjto. $\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\subset X\mathchar 46\relax$

Veamos que $\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ es un subespacio de X.

1. i)

Como $\forall\alpha\in I:M\subset D_{\overline{f_{\alpha}}},M\subset\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ y por lo tanto $\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\neq\emptyset\mathchar 46\relax$ 2. ii)

Sea $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}},\beta\in\mathbb{R}\mathchar 46\relax$ Veamos que: $\beta x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\mathchar 46\relax\\ \\ x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\Rightarrow\exists\alpha_{1}\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}}\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636pt(\beta x)\in D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}}$.

$(\beta x)\in D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}}\Rightarrow(\beta x)\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\mathchar 46\relax$ 3. iii)

Sean $x,y\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$. Veamos que $(x+y)\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\mathchar 46\relax$

$x,y\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\Rightarrow\exists\alpha_{1},\alpha_{2}\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}},y\in D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}\mathchar 46\relax$ Pero \bigl{\{}\overline{f_{\alpha}}\bigr{\}}_{\alpha\in I}\subset S\mathchar 46\relax Entonces $\overline{f_{\alpha_{1}}}\preceq\overline{f_{\alpha_{2}}}$ $\overline{f_{\alpha_{2}}}\preceq\overline{f_{\alpha_{1}}},$ i.e, $D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}}\subseteq D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}$ $D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}\subseteq D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}}$

Supongamos que se da $D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}}\subseteq D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}\mathchar 46\relax$ Como $x\in D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}},x\in D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}},y\in D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}\Longrightarrow(x+y)\in D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636pt(x+y)\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\mathchar 46\relax$

Si $D_{\overline{f_{\alpha_{2}}}}\subseteq D_{\overline{f_{\alpha_{1}}}},\cdots\cdots$

Esto demuestra que $\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ es un subespacio de X. Pasemos ahora a definir a $\overline{f}\mathchar 46\relax$

Tomemos $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\mathchar 46\relax$ Entonces $\exists\beta\in I$ tal que $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\beta}}}\Longrightarrow\overline{f_{\beta}}(x)\in\mathbb{R}\mathchar 46\relax$

Definamos

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Debemos dm. que $\overline{f}$ est bi n definida.

Supongamos que $\exists\alpha,\beta\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\alpha}}}$ y $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}\mathchar 46\relax$

Para establecer que $\overline{f}$ est bien definida debemos dm. que

[TABLE]

Como $\alpha,\beta\in I,\overline{f_{\alpha}}\preceq\overline{f_{\beta}}$ $\overline{f_{\beta}}\preceq\overline{f_{\alpha}}\mathchar 46\relax$

Veamos que en cualquier caso, $\overline{f_{\alpha}}(x)=\overline{f_{\beta}}(x)\mathchar 46\relax$

Suponagmos que $\overline{f_{\alpha}}\preceq\overline{f_{\beta}}\mathchar 46\relax$

Entonces $D_{\overline{f_{\alpha}}}\subseteq D_{\overline{f_{\beta}}}$ y $\overline{f_{\beta}}\diagup D_{\overline{f_{\alpha}}}=\overline{f_{\alpha}}\mathchar 46\relax$

O sea que $\forall y\in D_{\overline{f_{\alpha}}}:\overline{f_{\beta}}(y)=\overline{f_{\alpha}}(y)\mathchar 46\relax$

Como $x\in D_{\overline{f_{\alpha}}},\overline{f_{\beta}}(x)=\overline{f_{\alpha}}(x)$ y se tiene  (41).

Si se dice que $\overline{f_{\beta}}\preceq\overline{f_{\alpha}}$ se procede de manera an loga. Esto dm. $\overline{f}$ est bien definida.

Veamos ahora que $\overline{f}\in S$ o que 4. i)

$\overline{f}\diagup M=f$ 5. ii)

$\overline{f}\in\left(\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\right)^{\prime}$ 6. iii)

$\|\overline{f}\|=\|f\|\mathchar 46\relax$ 7. a)

Sea $x\in M\mathchar 46\relax$ Veamos que: $\overline{f}=f(x)\mathchar 46\relax$

Como $x\in M\subset\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}},\exists\beta\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}\Longrightarrow\overline{f}(x)=\overline{f_{\beta}}(x)=f(x)\\ \\ \begin{cases}S\in\overline{f_{\beta}}\,\,\text{y por lo tanto},\\ \\ \overline{f_{\beta}}\diagup M=f\mathchar 46\relax\,\,\text{Como}x\in M,\overline{f_{\beta}}(x)=f(x)\mathchar 46\relax\end{cases}$ 8. ii)

Veamos $\overline{f}\in\left(\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\right)^{\prime}\mathchar 46\relax$ Primero veamos que ${\overline{f}\in\left(\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\right)}^{*},$ i.e, que f es A.L.

Sean $x,y\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\Longrightarrow\exists\beta,\varpi\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}$ y $y\in D_{\overline{f_{\varpi}}}\mathchar 46\relax$ Entonces $x+y\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ ya que es un subespacio de X. Veamos que $\overline{f}(x+y)=\overline{f}(x)+\overline{f}(y)$.

Pero \overline{f_{\beta}}\text{y \overline{f_{\varpi}}}\in\bigl{\{}\overline{f_{\alpha}}\bigr{\}}_{\alpha\in I}\subset S\mathchar 46\relax

Luego $D_{\overline{f_{\beta}}}\subseteq D_{\overline{f_{\varpi}}}$ $D_{\overline{f_{\varpi}}}\subseteq D_{\overline{f_{\beta}}}\mathchar 46\relax$

Suponganos que $D_{\overline{f_{\beta}}}\subseteq D_{\overline{f_{\varpi}}}\mathchar 46\relax$

Como $x\in D_{\overline{f_{\beta}}},x\in D_{\overline{f_{\varpi}}};y\in D_{\overline{f_{\varpi}}}\Longrightarrow(x+y)\in D_{\overline{f_{\varpi}}}\mathchar 46\relax$

$\overline{f}(x+y)=\overline{f_{\varpi}}(x+y)\mathchar 46\relax\,\,{\overline{f_{\varpi}}\in\left(D_{\overline{f_{\varpi}}}\right)}^{*}=\overline{f_{\varpi}}(x)+\overline{f_{\varpi}}(y)=f(x)+f(y)\mathchar 46\relax$

Sea $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ y $\lambda\in\mathbb{R}\mathchar 46\relax\,\,x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\Longrightarrow\exists\beta\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}:$ subespacio de X.$\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636pt\Longrightarrow\lambda x\in D_{\overline{f_{\beta}}}\Longrightarrow\overline{f}(\lambda x)=\overline{f_{\beta}}(\lambda x)=\lambda\overline{f_{\beta}}(x)=\lambda\overline{f}(x)\mathchar 46\relax$

Veamos $\overline{f}$ es continua. Sea $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\mathchar 46\relax$

Entonces $\exists\beta\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}\Longrightarrow\overline{f}(x)\in\mathbb{R}$ y por la def. de $\overline{f},f(x)=\overline{f_{\beta}}(x)\mathchar 46\relax\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636pt\left|\overline{f}(x)\right|=\left|\overline{f_{\beta}}(x)\right|\leqslant\|\overline{f_{\beta}}\|\|x\|=\|f\|\|x\|$

Como $\overline{f_{\beta}}\in S,\|\overline{f_{\beta}}\|=\|f\|\mathchar 46\relax$

As que $\forall x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}},\left|\overline{f}(x)\right|\leqslant\|f\|\|x\|$ lo que dm. que $\overline{f}$ es continua.

Veamos ahora que $\|\overline{f}\|=\|f\|\mathchar 46\relax$

$\|\overline{f}\|=\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\left|\overline{f}(x)\right|}\mathchar 46\relax$

Sea $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ con $\|x\|\leqslant 1\mathchar 46\relax$ Entonces, por lo establecido antes, $\exists\beta\in I$ tal que $\left|\overline{f}(x)\right|\leqslant\|f\|\|x\|\leqslant\|f\|\mathchar 46\relax$

Esto dm. que el real $\|f\|$ es cota superior del cjto. $\left\{\left|\overline{f}(x)\right|,x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}},\|x\|\leqslant 1\right\}\mathchar 46\relax$

Luego $\underset{\|x\|\leqslant 1}{\sup\left|\overline{f}(x)\right|}\leqslant\|f\|$, i.e, $\|\overline{f}|\leqslant\|f\|\mathchar 46\relax$

Veamos que $\|f\|\leqslant\|\overline{f}\|\mathchar 46\relax$

Batar con dm. que

[TABLE]

ya que el tomar el supremo se tendr que $\underset{x\in M,\|x\|\leqslant 1}{\sup\left|f(x)\right|}\leqslant\underset{x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}}{\sup\left|\overline{f}(x)\right|}$

i.e, $\|f\|\leqslant\|\overline{f}\|\mathchar 46\relax$

Establezcamos pues,  (41).

Sea $y$ un vector en el primer cjto.

Entonces $\exists x\in M\Longrightarrow x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ con $\|x\|\leqslant 1$ y tal que $y=\|f(x)\|$.  $x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}\Longrightarrow\exists\beta\in I$ tal que $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}\Longrightarrow\overline{f}(x)=\overline{f_{\beta}}(x)\Longrightarrow f(x)=\overline{f}(x)\mathchar 46\relax$ Pero $y=\left|f(x)\right|\mathchar 46\relax$ Entonces $y=\left|\overline{f}(x)\right|\mathchar 46\relax$

$\exists\beta\in I\Longrightarrow\overline{f_{\beta}}\in S\mathchar 46\relax\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636pt\overline{f_{\beta}}\diagup M=f\mathchar 46\relax$ Como $x\in M,\overline{f_{\beta}}=f(x)\mathchar 46\relax$

As que $\exists x\in\underset{\alpha\in I}{\bigcup D}_{\overline{f_{\alpha}}}$ con $\|x\|\leqslant 1$ tal que $y=\left|\overline{f}(x)\right|,$ lo que dm. que $y$ est en el $2^{do}$ cjto.

Veamos que $\forall\alpha\in I:\overline{f_{\alpha}}\preceq\overline{f}$ con lo que habremos dm. que $\left\{\overline{f_{\alpha}}\right\}_{\alpha\in I}$ tiene una cota superior en S.

Fijemos $\alpha\in I\mathchar 46\relax$ Veamos que $\overline{f_{\alpha}}\preceq\overline{f}\mathchar 46\relax$

Se debe probar que $D_{\overline{f_{\beta}}}\subseteq D_{\overline{f}}$ (esto es claro). y que $\overline{f}\diagup D_{\overline{f}}=\overline{f_{\alpha}},$ o que $\forall x\in D_{\overline{f_{\alpha}}},\overline{f}=\overline{f_{\alpha}}\mathchar 46\relax$

Tomemos $x\in D_{\overline{f_{\beta}}}\mathchar 46\relax$ Entonces, por la def. de $\overline{f},\overline{f}(x)=\overline{f_{\alpha}}(x)\mathchar 46\relax$

Hemos dm. hasta aqu que

$\left\{(S,\preceq):\text{cjto. P.O. y que}\forall\left(\overline{f_{\alpha}}\right)_{\alpha\in I},\\ \\ \left\{\overline{f_{\alpha}}\right\}_{\alpha\in I}\,\,\text{tiene cota superior en S}\mathchar 46\relax\right\}$

Luego, por el Lema de Zorn, S tiene elemento maximal,  i.e,$\exists D_{F}:$ sub.vect. de X con $M\subset D_{F}$ y $\exists F\in(D_{F})^{\prime}$ i.e,   $F:D_{F}\longrightarrow\mathbb{R}\diagup\text{A.L. Continua}$ tal que

$F\diagup M=f\\ \|F\|=\|f\|$

y $\nexists\overline{f}\in S$ tal que

[TABLE]

o lo que es lo mismo, $\nexists\overline{f}\in S$ tal que $D_{F}\subset D_{f}$ y $\overline{f}\diagup D_{F}=F\mathchar 46\relax$

Para completar la prueba del T.H.B. solo resta dm. que $D_{F}=X\mathchar 46\relax$

Razonemos por R.Abs.

Supongamos que no es as . Entonces $\exists x_{0}\in X,x_{0}\notin D_{F}$ y por el \text{Lema},\exists\overline{f}\in\left(Sg(D_{F})\cup\bigl{\{}x_{0}\bigr{\}}\right)^{\prime}=(D_{F})^{\prime} tal que $\overline{f}\diagup D_{F}=F$ y $\|\overline{f}\|=\|F\|\mathchar 46\relax$

Veamos que $\overline{f}\in S$ y que $F\preceq\overline{f}$

lo que constituye una $(\rightarrow\leftarrow)$ con  (42)

De esta manera $X=D_{F}$ y termina la dm.

Establezcamos pues  (42). Es claro que

[TABLE]

Veamos que $\overline{f}\diagup M=f$ o que $\forall x\in M:\overline{f}(x)=f(x)\mathchar 46\relax$

$\forall x\in M\Longrightarrow F\diagup M=f\mathchar 46\relax F(x)=f(x)\mathchar 46\relax$ Como $x\in M\subset D_{F}$ y $\overline{f}\diagup D_{F}=F,\overline{f}(x)=F(x)\mathchar 46\relax$

Esto dm. que $\overline{f}\in S\mathchar 46\relax$

Finalmente, como $D_{F}\subset D_{\overline{f}}$ y $\overline{f}\diagup D_{F}=F$ se tiene que $F\preceq f$ y se tiene  (42).

∎

2. Algunas consecuencias del T.H.B

Recordemos el enunciado del T.H.B.

”todo funcional continuo definido sobre un subespacio vectorial de un E.L.N se puede extender (prolongar) a todo el espacio conservando la norma”:

$(X,\|\|):\mathbb{R}$ Esp. vec. normado. $\exists F\in X^{\prime}=\mathcal{L}_{c}(X,\mathbb{R})$ tal que

$F\diagup M=f$ 2. 2.

$\|F\|=\|f\|$

lo que es lo mismo, $\underset{x\in X;\|x\|\leqslant 1}{\sup\left|F(x)\right|}=\underset{x\in X;\|x\|\leqslant 1}{\sup\left|f(x)\right|}$

Consecuencia 1**.**

*Sea $(X,\|\|):\mathbb{R}$ esp. vect. normado y sea $\underset{fijo}{\underbrace{x}}\in X,x\neq 0\mathchar 46\relax$ Entonces $\exists x^{\prime}\in X$ tal que

$\|x^{\prime}\|=1$ 2. 2.

$\langle x,x^{\prime}\rangle=\|x\|$

Demostración.

Definamos

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Veamos que f\in\left(Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}\right)^{\prime}=\mathcal{L}_{c}(Sg\bigl{\{}x\bigr{\}},\mathbb{R})\mathchar 46\relax

Tomemos \alpha_{1}x,\alpha_{2}x\in Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}\mathchar 46\relax

Entonces $f\left(\alpha_{1}x+\alpha_{2}x\right)=f\left((\alpha_{1}+\alpha_{2})\right)x\\ \\ =(\alpha_{1}+\alpha_{2})\|x\|=\alpha_{1}\|x\|+\alpha_{2}\|x\|=f(\alpha_{1},x)+f(\alpha_{2},x)\mathchar 46\relax$

Sea \lambda\in\mathbb{R},(\alpha x)\in Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}\mathchar 46\relax

$f\left(\lambda(\alpha x)\right)=f\left((\lambda\alpha)x\right)=\lambda\alpha\|x\|=\lambda f(\alpha x)\mathchar 46\relax$

Esto dm. que f es A.L.

Ahora, \forall(\alpha x)\in Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}:\\ \\ \left|f(\alpha x)\right|=\left|\alpha\|x\|\right|=|\alpha|\|x\|=\|\alpha x\|=1\mathchar 46\relax\|\alpha x\|, lo que dm. que f es continua y de este modo se tiene que f\in\left(Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}\right)^{\prime}\mathchar 46\relax

Luego, por el T.H.B, $\exists x^{\prime}\in X^{\prime}$ i.e

\begin{diagram}

\begin{diagram}

tal que

x^{\prime}\diagup Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}=f 2. 2.

$\|x^{\prime}\|=\|f\|$

Seg n (1), \forall\alpha x\in Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}:\langle\alpha x,x^{\prime}\rangle=f(\alpha x)\mathchar 46\relax

Luego si $\alpha=1,\langle x,x^{\prime}\rangle=f(1\mathchar 46\relax x)=f(x)=\langle x,f\rangle=\|x\|$

De esta manera hemos dm que $\exists x^{\prime}\in X^{\prime}$ tal que $\langle x,x^{\prime}\rangle=\|x\|\mathchar 46\relax$

Veamos ahora que $\|x^{\prime}\|=1\hskip 14.22636pt\star\mathchar 46\relax$

Seg n (2), $\|x^{\prime}\|=\|f\|\mathchar 46\relax$ Luego para tener $\star$ veamos que $\|f\|=1\mathchar 46\relax$

$\|f\|=\underset{\|\alpha x\|\leqslant 1}{\sup\left|\langle\alpha x,f\rangle\right|}=\sup|\alpha|\left|\langle x,f\rangle\right|=\|x\|\sup|\alpha|=\|x\|\dfrac{1}{\|x\|}=1$

∎

Consecuencia 2**.**

*Sea $(X,\|\|):\mathbb{R}$ esp. vect. Normado, $F\subset X,F$ cerrado y $x\in X;x\notin F\mathchar 46\relax$

$\exists x^{\prime}\in X^{\prime}$ tal que

$\langle x,x^{\prime}\rangle=1$ 2. 2.

$\forall\in F:\langle y,x^{\prime}\rangle=0\mathchar 46\relax$

O sea que ”si $F\subset(X,\|\|)$ y $x\notin F,$ hay un funcional continuo en X que vale 1 en x y se anula en F”.

Demostración.

Sea M=F+Sg\bigl{\{}x\bigr{\}}=\left\{y+\alpha x,y\in F,\alpha\in\mathbb{R}\right\}

Es claro que M es un subespacio vect. de X.

Sea

\begin{diagram}

\begin{diagram}

f es A.L. ya que $f\left((y_{1}+\alpha_{1}x)+(y_{2}+\alpha_{2}x)\right)=f\left((y_{1}+y_{2})+(\alpha_{1}+\alpha_{2})x\right)\\ =\alpha_{1}+\alpha_{2}=f(y_{1}+\alpha_{1}x)+f(y_{1}+\alpha_{2}x)\mathchar 46\relax\\ \\ f\left(\lambda(y+\alpha x)\right)=f\left(\lambda y+(\lambda\alpha)x\right)=\lambda\alpha=\lambda f(y+\alpha x)$

Esto dm. que f es A.L.

N tese a dem s que de la def. de f,

[TABLE]

Recordemos ahora el sgte. resultado de la topolog a:

\begin{cases}SeaA\subset(X,\|\|)\,\,\text{yx\in X}\mathchar 46\relax\\ x\in\overline{A}\Longleftrightarrow d(x,A)=\underset{y\in A}{\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\|x-y\|=0}\end{cases}

En nuestro caso $F\subset(X,\|\|)$ y $x\notin F\mathchar 46\relax$ Luego $x\notin\overline{F}$ y por lo tanto $d(x,F)=\underset{y\in F}{\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}\|x-y\|}>0\mathchar 46\relax$

O sea que

[TABLE]

Tomemos $(y-\alpha x)\in M$ con $\alpha\neq 0\mathchar 46\relax$ Entones $\|y-\alpha x\|=\left\|\alpha\left(\frac{1}{\alpha}y-x\right)\right\|\\ \\ =|\alpha|\left\|\frac{1}{\alpha}y-x\right\|\underset{~{}\eqref{8}}{\geqslant}|\alpha|\alpha(x,F)$

O sea que $|\alpha|\leqslant\dfrac{\|y-\alpha x\|}{d(x,F)}\mathchar 46\relax$

∎

3. Los espacios $\mathfrak{L}^{p}$

Definición 7**.**

Sea $\underset{fijo}{p}\geqslant 1\mathchar 46\relax$ El espacio $\mathfrak{L}^{p}$ se define como

[TABLE]

$=\left\{x=(\xi_{j})_{j=1}^{\infty}\in S(\mathbb{K})\,\,\text{tal que}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|^{p}<\infty\right\}$

Proposición 18**.**

$\mathfrak{L}^{p}$* es un subespacio de $S(\mathbb{K})$.

Demostración.

Veamos que $\mathfrak{L}^{p}\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

Consideremos una sucesi n cualquiera que tenga una cola de infinitos ceros:

$x=\left\{\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\ldots,\xi_{n},0,0,\ldots\ldots\right\}$

Es claro que $|\xi_{1}|^{p}+|\xi_{2}|^{p}+\ldots\ldots+$ converge a $\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi_{j}|^{p}$ y por lo tanto $\mathfrak{L}^{p}\neq\emptyset\mathchar 46\relax$

Otra forma de verlo es la siguiente:$\forall p>1,$ si $x=\left\{\dfrac{1}{j}\right\}_{j=1}^{\infty}\in S(\mathbb{R}),$ la serie $1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\ldots\ldots+$ converge. Luego $x=\left\{\dfrac{1}{j}\right\}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}$ lo que dm. una vez m s que $\mathfrak{L}^{p}\neq\emptyset\mathchar 46\relax$ 2. 2.

Sea $x=\{\xi_{j}\}_{j=1}^{\infty},y=\{\eta_{j}\}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},$ o sea que las sucesiones $|\xi_{1}|^{p}+|\xi_{2}|^{p}+\ldots\ldots+\,\,\text{converge a}\,\,\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}\\ |\eta_{1}|^{p}+|\eta_{2}|^{p}+\ldots\ldots+\,\,\text{converge a}\,\,\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\eta_{i}|^{p}$

Veamos que $(x+y)\in\mathfrak{L}^{p}$ o que la serie $|\xi_{1}+\eta_{1}|^{p}+|\xi_{2}+\eta_{2}|^{p}+\ldots\ldots+\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\xi_{i}+\eta_{i}|^{p}$

Fijemos n en $\mathbb{N}$.

Por la Desigualdad de Minkowski en el ELN$(\mathbb{K}^{n},\|\|_{p})\diagup\|x+y\|_{p}\leqslant\|x\|_{p}+\|y\|_{p}$

[TABLE]

Pero como $x\in\mathfrak{L}^{p},\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi_{i}|^{p}\leqslant\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}$

y como $y\in\mathfrak{L}^{p},\sum\limits_{i=1}^{n}|\eta_{i}|^{p}\leqslant\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\eta_{i}|^{p}$

$\Longrightarrow\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|\eta_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leqslant\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\eta_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

que en  (45) $\Longrightarrow\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi_{i}+\eta_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leqslant\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|\eta_{i}|^{p}\right)^{1/p}\\ \\ \\ \Longrightarrow\sum\limits_{i=1}^{n}|\xi_{1}+\eta_{i}|^{p}\leqslant{\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}|\eta_{i}|^{p}\right)^{1/p}\right]}^{p}$

O sea que la sucesi n de S. parciales de la de t rminos positivos $|\xi_{1}+\eta_{1}|^{p}+|\xi_{2}+\eta_{2}|^{p}+\ldots\ldots+$ tiene una cota superior y por tanto converge. 3. 3.

tomemos $\lambda\in\mathbb{K}$ y x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}\mathchar 46\relax Veamos que (\lambda x)=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}\mathchar 46\relax

Debemos dm. que $|\lambda\xi_{1}|^{p}+|\lambda\xi_{2}|^{p}+\ldots\ldots+\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\lambda\xi_{i}|^{p}$

Como x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},|\xi_{1}|^{p}+|\xi_{2}|^{p}+\ldots\ldots+\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}\\ \Longrightarrow|\lambda\xi_{1}|^{p}+|\lambda\xi_{2}|^{p}+\ldots\ldots+|\lambda|^{p}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}

Luego, $\mathfrak{L}^{p}$ es un subespacio de $S(\mathbb{K})$ y por lo tanto $\mathfrak{L}^{p}$ es un $\mathbb{K}$ Esp. Vect.

∎

Proposición 19**.**

*Sea $p\geqslant 1\mathchar 46\relax$ La funci n

\begin{diagram}

\begin{diagram}

es una norma en $\mathfrak{L}^{p}$ y por tanto $(\mathfrak{L}^{p},\|\|_{p}):$ E.L.N

Demostración.

Es claro que $\|x\|_{p}\geqslant 0\mathchar 46\relax$ Supongamos que $\|x\|_{p}=0$ entonces {\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|^{p}\right)}^{1/p}=0\Longrightarrow\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}=0\,\,\forall j, i.e, x es la sucesi n cero. 2. 2.

Sea x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},\alpha\in\mathbb{K}\mathchar 46\relax Entonces \alpha x=\bigl{\{}\alpha\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}\Longrightarrow\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\alpha\xi_{j}|^{p} converge a $|\alpha|\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{i}|^{p}\mathchar 46\relax\\ \\ \|\alpha x\|={\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\alpha\xi_{j}|^{p}\right)}^{1/2}=|\alpha|{\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|^{p}\right)}^{1/2}=|\alpha|\|x\|_{p}$ 3. 3.

Supongamos $p=1$ y sean $x,y\in\mathfrak{L}^{1}\mathchar 46\relax$ Veamos que $\|x+y\|_{p}\leqslant\|x\|_{p}+\|y\|_{p}\mathchar 46\relax$

Entonces $|\xi_{1}|+|\xi_{2}|+\ldots+\ldots+$ converge a \bigl{\{}x_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\\ \\ |\eta_{1}|+|\eta_{2}|+\ldots\ldots+ converge a \bigl{\{}\eta_{j}\bigr{\}}

Por la desigualdad triangular, $|\xi_{j}+\eta_{j}|\leqslant|\xi_{j}|+|\eta_{j}|$

Como $|\xi_{1}|+|\xi_{2}|+\ldots+\ldots$ converge y $|\eta_{1}|+|\eta_{2}|+\ldots\ldots+$ converge, la serie $(|\xi_{1}|+|\eta_{1}|)+(|\xi_{2}|+|\eta_{2}|)+\ldots\ldots+$ converge a $\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|+\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\eta_{j}|\right)$

As que $(|\xi_{1}|+|\eta_{1}|)+(|\xi_{2}|+|\eta_{2}|)+\ldots\ldots+$ converge y $|\xi_{j}+\eta_{j}|\leqslant|\xi_{j}|+|\eta_{j}|$ Luego por el criterio de comparaci n, $|\xi_{1}+\eta_{1}|+|\xi_{2}+\eta_{2}|+\ldots\ldots$ converge y su suma es tal que:$\sum\limits_{j=i}^{\infty}|\xi_{j}+\eta_{j}|\leqslant\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|+\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\eta_{j}|$ y se tiene as la desigualdad $\Delta_{r}$ para $p=1\mathchar 46\relax$

Sea ahora $p>1$ y consideremos las sucesiones $x,y\in\mathfrak{L}^{p}\mathchar 46\relax$ Entonces \bigl{\{}x+y\bigr{\}}\in\mathfrak{L}^{p}\mathchar 46\relax Veamos que $\|x+y\|_{p}\leqslant\|x\|_{p}+\|y\|_{p}\mathchar 46\relax$

Fijemos $n\in\mathbb{N}\mathchar 46\relax$

Como x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi|^{p}\leqslant\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi|^{p}\Longrightarrow{\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi|^{p}\right)}^{1/2}\leqslant{\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi|^{p}\right)}^{1/2}=\|x\|_{p}

Como y=\bigl{\{}\eta_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},\sum\limits_{j=1}^{n}|\eta|^{p}\leqslant\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\eta|^{p}\Longrightarrow{\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\eta|^{p}\right)}^{1/2}\leqslant{\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\eta|^{p}\right)}^{1/2}=\|y\|_{p}

Ahora por la Des. de Minkowski: ${\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi_{i}+\eta_{j}|^{p}\right)}^{1/2}\leqslant{\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|\right)}^{1/2}+{\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\eta_{j}|\right)}^{1/2}\leqslant\|x\|_{p}+\|y\|_{p}$

e.i, $\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi_{i}+\eta_{i}|^{p}\leqslant{\left(\|x\|_{p}+\|y\|_{p}\right)}^{p}$ i.e, la suc. de sumas parciales de la serie $|\xi_{1}+\eta_{1}|^{p}+|\xi_{2}+\eta_{2}|^{p}+\ldots\ldots+$ est acotada superiormente. La serie $|\xi_{1}+\eta_{1}|^{p}+|\xi_{2}+\eta_{2}|^{p}+\ldots\ldots+$ converge y $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{i}+\eta_{i}|^{p}\leqslant{\left(\|x\|_{p}+\|y\|_{p}\right)}^{1/2}$ i.e $\|x+y\|_{p}\leqslant\|x\|_{p}+\|y\|_{p}$

∎

Proposición 20** (Desigualdad de Hölder en los $\mathfrak{L}^{p}$ ).**

*Sean p,q exponentes conjungados, y sean x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},y=\bigl{\{}\eta_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q}\mathchar 46\relax

Entonces la serie $|\xi_{1}\eta_{1}|+|\xi_{2}\eta_{2}|+\ldots\ldots$ converge y $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{l}\eta_{j}|\leqslant\|x\|_{p}\|y\|_{q}\mathchar 46\relax$

Demostración.

Como x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},y=\bigl{\{}\eta_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q},\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}|^{p}<\infty,\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\eta_{j}|^{q}<\infty\mathchar 46\relax

Definamos las sucesiones:

[TABLE]

Entonces $|\overline{\xi_{j}}|^{p}=\dfrac{|\xi_{j}|^{p}}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}|^{p}}\hskip 14.22636pt,\hskip 14.22636pt|\overline{\eta_{j}}|^{q}=\dfrac{|\eta_{j}|^{q}}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\eta_{k}|^{q}}$

Y las series $|\overline{\xi_{1}}|^{p}+|\overline{\xi_{2}}|^{p}+\ldots\ldots\\ \\ |\overline{\eta_{1}}|^{p}+|\overline{\eta_{2}}|^{p}+\ldots\ldots$ convergen a 1. En efecto, $|\overline{\xi_{1}}|^{p}+|\overline{\xi_{2}}|^{p}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}|^{p}}\left(|\xi_{1}|^{p}+|\xi_{2}|^{p}+\ldots\ldots\right)=\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}|^{p}}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\xi_{k}|^{p}}=1\\ \\ |\overline{\eta_{1}}|^{q}+|\overline{\eta_{2}}|^{q}\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\eta_{k}|^{q}}\left(|\eta_{1}|^{q}+|\eta_{2}|^{p}+\ldots\ldots\right)=\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\eta_{k}|^{q}}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\eta_{k}|^{q}}=1$

Ahora $|\overline{\xi_{j}}\overline{\eta_{j}}|\leqslant\dfrac{|\overline{\eta_{j}}|^{p}}{p}+\dfrac{|\overline{\eta_{j}}|^{q}}{q}$

Como la serie $\dfrac{1}{p}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\xi_{j}}|^{p}$ converge a $\dfrac{1}{p};$ y como la serie $\dfrac{1}{q}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\eta_{j}}|^{q},$ converge a $\dfrac{1}{q}$ entonces por el criterio de comparaci n, la serie $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\xi_{j}}\overline{\eta_{j}}|$ converge, y se tiene que su suma est acotada $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\xi_{j}}\overline{\eta_{j}}|\leqslant\dfrac{1}{p}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\xi_{j}}|^{p}+\dfrac{1}{q}\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\eta_{j}}|^{q}=\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$

y si se tiene encuenta  (46), $\dfrac{\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\xi_{j}}\overline{\eta_{j}}|}{\|x\|_{p}\mathchar 46\relax\|y\|_{q}}\leqslant 1\Longrightarrow\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\overline{\xi_{j}}\overline{\eta_{j}}|\leqslant\|x\|_{p}\|y\|_{q}$

∎

Proposición 21**.**

$\mathfrak{L}^{2}$* es completo y por lo tanto $\mathfrak{L}^{2}:$ E. Banach.

Demostración.

Sea \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}:x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\ldots, una S. de Cauchy en $\mathfrak{L}^{2}$

i.e, $x_{1}=\left(\xi_{1}^{1},\xi_{2}^{1},\xi_{3}^{1},\ldots\ldots,\xi_{j}^{i},\ldots\right)$ S. de Cauchy en $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{1}|^{2}<\infty\\ \\ x_{2}=\left(\xi_{1}^{2},\xi_{2}^{2},\xi_{3}^{2},\ldots\ldots,\xi_{j}^{2},\ldots\right)$ S. de Cauchy en $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{2}|^{2}<\infty\\ \\ x_{3}=\left(\xi_{1}^{3},\xi_{2}^{3},\xi_{3}^{3},\ldots\ldots,\xi_{j}^{3},\ldots\right)$ S. de Cauchy en $\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{3}|^{2}<\infty\\ \\ \ldots\ldots$

Sea $\varepsilon>0\mathchar 46\relax$ Como \bigl{\{}x_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty} es una S. de Cauchy en $\mathfrak{L}^{2},\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall m,n>N:{\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{m}-\eta_{j}^{n}|^{2}\right)}^{1/2}=\|x_{m}-x_{n}\|_{2}<\varepsilon$

i.e, $\forall m,n>N,\forall j=1,2,\ldots\ldots:|\xi_{j}^{m}-\eta_{j}^{n}|<\varepsilon^{2}$

o tambi n $\forall m,n>N,\forall j=1,2,\ldots\ldots:|\xi_{j}^{m}-\eta_{j}^{n}|<\varepsilon\mathchar 46\relax$

As que si fijamos $j,j=1,2,3,\ldots\ldots$ la columna

$\xi_{j}^{1}$

$\xi_{j}^{2}$

$\vdots$

$\xi_{j}^{m}$

$\xi_{j}^{n}$

$\downarrow$

$\xi_{j}$

es una S. de Cauchy en K y como K es Banach, las sucesi n columna $j^{a}$ converge. Llamemos $\xi_{j}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{m\longrightarrow\infty}\xi_{j}^{m}$

Esto permite que podamos definir la sucesi n $x=\left(\xi_{1},\xi_{2},\ldots\ldots,\right)$

$x=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{m\longrightarrow\infty}\xi_{1}^{m},\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{m\longrightarrow\infty}\xi_{2}^{m},\ldots\ldots,\right)$

Vamos ahora a dm. que

x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{2} 2. 2.

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{m\longrightarrow\infty}=x$ con lo que quedar establecido que $\mathfrak{L}^{2}$ es Banach. 3. 1

Fijemos $p\in\mathbb{N}\mathchar 46\relax$

Sea $\varepsilon>0\mathchar 46\relax$ Entonces $\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt{p}}>0\mathchar 46\relax$

Como $\xi_{1}^{m}\overset{m\rightarrow\infty}{\longrightarrow\xi_{1}},\exists N\in\mathbb{N}^{1}$ tal que $\forall m>N^{1}:|\xi_{1}^{m}-\xi_{1}|<\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt{p}}\\ \\ \xi_{2}^{m}\overset{m\rightarrow\infty}{\longrightarrow\xi_{1}},\exists N\in\mathbb{N}^{2}$ tal que $\forall m>N^{2}:|\xi_{2}^{m}-\xi_{2}|<\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt{p}}\\ \\ \vdots\\ \\ \xi_{p}^{m}\overset{m\rightarrow\infty}{\longrightarrow\xi_{p}},\exists N\in\mathbb{N}^{p}$ tal que $\forall m>N^{p}:|\xi_{p}^{m}-\xi_{p}|<\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt{p}}$

As que si escogemos N_{2}>\mathop{\operator@font m\acute{a}x}\bigl{\{}N^{1},N^{2},\ldots\ldots,N^{p}\bigr{\}} se tendr que $\forall m>N_{2}:|\xi_{j}^{m}-\xi_{j}|<\dfrac{\varepsilon}{2\sqrt{p}},j=1,2,\ldots\ldots,p$ y al colacar y sumar sobre j de a p, $\left(\sum\limits_{j=1}^{p}|\xi_{m}^{j}-\xi_{j}|^{2}\right)<\dfrac{\varepsilon^{2}}{4}$ siempre que $m>N_{2}$ i.e, $\exists N_{2}\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n>N_{2}:{\left(\sum\limits_{j=1}^{p}|\xi_{m}^{j}-\xi_{j}|^{2}\right)}^{1/2}<\dfrac{\varepsilon}{2}$

Por lo tanto, si $\underset{fijo}{m}>N_{2}\\ \\ \left\|(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{p})\right\|_{2}=\left\|(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{p})-(\xi_{1}^{m},\xi_{2}^{m},\ldots,\xi_{p}^{m})+(\xi_{1}^{m},\xi_{2}^{m},\ldots,\xi_{p}^{m})\right\|_{2}\\ \\ \leqslant\left\|(\xi_{1}^{m}-\xi_{1},\ldots\ldots,\xi_{p}^{m}-\xi_{p})\right\|_{2}+\left\|(\xi_{1}^{m},\ldots\ldots,\xi_{p}^{m})\right\|_{2}$

i.e, ${\left(\sum\limits_{j=1}^{p}|\xi_{j}|^{2}\right)}^{1/2}\leqslant{\left(\sum\limits_{j=1}^{p}|\xi_{j}^{m}-\xi_{j}|^{2}\right)}^{1/2}+{\left(\sum\limits_{j=1}^{p}|\xi_{j}^{m}|^{2}\right)}^{1/2}<\dfrac{\varepsilon}{2}+\|x_{m}\|_{2}\\ \\ \Longrightarrow\sum\limits_{j=1}^{2}|\xi_{j}|^{2}\leqslant\left(\dfrac{\varepsilon}{2}+\|x_{m}\|_{2}\right)^{2},\forall p\in\mathbb{N}\mathchar 46\relax$

lo cual significa que es cota superior de la S. Sumas parciales de la serie $|\xi_{1}|^{2}+|\xi_{2}|^{2}+\ldots\ldots$ O sea que la serie $|\xi_{1}|^{2}+|\xi_{2}|^{2}+\ldots\ldots$ converge, i.e, x=\bigl{\{}\xi_{j}\bigr{\}}_{j=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{2}\mathchar 46\relax 4. 2.

Veamos finalmente que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{m\rightarrow\infty}x_{m}=x,$ o que $\forall\epsilon>0\,\,\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n>N:\|x_{m}-x\|_{2}<\epsilon,$ i.e, ${\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{m}-\xi_{j}|^{2}\right)}^{1/2}<\epsilon$ siempre que $m>N\mathchar 46\relax$

Seg n (1), dado $\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall m>N,p\in\mathbb{N},{\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{m}-\xi_{j}|^{2}\right)}^{1/2}<\epsilon\Longrightarrow\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{m}-\xi_{j}|^{2}\right)<\epsilon^{2},\forall p\in\mathbb{N}\Longrightarrow{\left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}|\xi_{j}^{m}-\xi_{j}|^{2}\right)}^{1/2}<\epsilon$ siempre que $m>N\mathchar 46\relax$

∎

Proposición 22**.**

*El dual de $\mathfrak{L}^{p}$ es $\mathfrak{L}^{q},$ o sea que $\mathfrak{L}^{p^{\prime}}:$ el dual de $\mathfrak{L}^{p}$ es isom tricamente isomorfo a $\mathfrak{L}^{q}\mathchar 46\relax$

Demostración.

Sea

\begin{diagram}

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Sea f=\bigl{\{}\alpha_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q}\mathchar 46\relax Veamos que $\phi(f)$ est bien definida. En primer lugar, por la Desigualdad de Hölder:$\sum\limits_{j=1}^{n}|\alpha_{j}\xi_{j}|\leqslant{\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\alpha_{j}|^{q}\right)}^{1/q}{\left(\sum\limits_{j=1}^{n}|\xi_{j}|^{p}\right)}^{1/p}\leqslant\|f\|_{q}\|x\|_{p}$

Lo que nos dm. que la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}$ es ABS. Convergente, y por tanto la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}$ converge. Esto prueba que $\phi(f)$ est bien definida, teni ndose adem s que

[TABLE]

Sea x=\bigl{\{}\xi_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty},y=\bigl{\{}\beta_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}\mathchar 46\relax Veamos que $\phi_{f}(x+y)=\phi_{f}(x)+\phi_{f}(y)\mathchar 46\relax$

x+y=\bigl{\{}\xi_{n}+\beta_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p} y por tanto $\phi_{f}(x+y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}(\xi_{n}+\beta_{n})=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\beta_{n}=\phi_{f}(x)+\phi_{f}(y)\mathchar 46\relax$

Esto dm. que \phi_{f}\in\mathfrak{L}^{p*}:\text{dual algebraico de \mathfrak{L}^{p}}\mathchar 46\relax

Seg n  (47)

[TABLE]

lo que dm. que $\forall f\in\mathfrak{L}^{q}:\phi_{f}$ es continua, i.e, $\forall f\in\mathfrak{L}^{q}:\phi_{f}\in\mathfrak{L}^{p^{\prime}}$

As que

\begin{diagram}

\begin{diagram}

est bien definida.

Veamos ahora que $\phi$ es A.L.

Sean f=\bigl{\{}\alpha_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty},g=\bigl{\{}\theta_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q}\mathchar 46\relax Veamos que

[TABLE]

f+g=\bigl{\{}\alpha_{n}+\theta_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q} y por tanto $\phi_{f+g}\in\mathfrak{L}^{p^{\prime}}\mathchar 46\relax$

Tomemos x=\bigl{\{}\xi_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}\mathchar 46\relax Para dm,  (49) bastar con probar que $\phi_{f+g}(x)=\phi_{f}(x)+\phi_{g}(x)$

$\phi_{f+g}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha_{n}+\theta_{n})\xi_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\theta_{n}\xi_{n}=\phi_{f}(x)+\phi_{g}(x)\mathchar 46\relax$

Esto dm. que $\phi\in\mathcal{L}\left(\mathfrak{L}^{q},\mathfrak{L}^{p^{\prime}}\right)$

Veamos ahora que $\phi$ es continua.

\forall f\in\mathfrak{L}^{q},\phi_{f}\mathfrak{L}^{p^{\prime}},\\ \begin{diagram}

\begin{diagram}

Debemos dm. que $\exists M>0$ tal que $\forall f\in\mathfrak{L}^{q}:\|\phi_{f}\|\leqslant M\|f\|_{q}$

Sea $f\in\mathfrak{L}^{q}\mathchar 46\relax$ Entonces $\phi_{f}\in\mathfrak{L}^{p^{\prime}}$ y

[TABLE]

$\left|\phi_{f}(x)\right|\leqslant\|f\|_{q}\|x\|_{p}\mathchar 46\relax$

As que

[TABLE]

lo que nos dm. que $\phi\in\mathcal{L}_{c}\left(\mathfrak{L}^{q},\mathfrak{L}^{p^{\prime}}\right)\mathchar 46\relax$

Veamos que $\phi$ es sobre y que

[TABLE]

Una vez establezcamos lo anterior, de  (51) y  (52) se concluye que $\|\phi_{f}\|=\|f\|$ y por tanto $\phi$ es isometr a. Luego $\phi$ es A.L. biyectiva y continua y por tanto $\mathfrak{L}^{q}=\mathfrak{L}^{p^{\prime}}$(isomorfismo isom trico)

Sea $\overline{f}\in\mathfrak{L}^{p^{\prime}}\mathchar 46\relax$ Veamos que: $\exists f\in\mathfrak{L}^{p}$ tal que $\phi(f)=\overline{f}\mathchar 46\relax$

\begin{diagram}

\begin{diagram}

es A.L. continua.

Como $\forall n\in\mathbb{N}:e_{n}(0,0,\ldots,1,0,\ldots)\in\mathfrak{L}^{p},\overline{f}(e_{n})\in\mathbb{K}\mathchar 46\relax$

[TABLE]

los $|\alpha_{n}|$ y $\theta_{n}$ conocidos.

Fijemos $m\in\mathbb{N}$ y definamos $\beta_{k}=|\alpha_{k}|^{q-1}e^{-i\theta_{k}},k=1,\ldots,m\Longrightarrow|\beta_{k}|=|\alpha_{k}|^{q-1}$

Consideremos ahora la sucesi n:

\bigl{\{}w_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}=(\beta_{1},\beta_{2},\ldots\ldots,\beta_{m},0,0,\ldots\ldots)=\left(|\alpha_{1}|^{q-1}e^{-i\theta_{1}},|\alpha_{2}|^{q-1}e^{-i\theta_{2}},\ldots\ldots,|\alpha_{m}|^{q-1}e^{-i\theta_{m}},0,0,\ldots\ldots\right)\\ \\ =\left(|\alpha_{1}|^{q-1}e^{-i\theta_{1}}\right)_{e_{1}}+\left(|\alpha_{2}|^{q-1}e^{-i\theta_{2}}\right)_{e_{2}}+\ldots\ldots+\left(|\alpha_{m}|^{q-1}e^{-i\theta_{m}}\right)_{e_{m}}

Es claro que \bigl{\{}w_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p} ya que tiene una cola de ceros.

Luego $\overline{f}_{(w_{n})}=|\alpha_{1}|^{q-1}e^{-i\theta_{1}}\overline{f}_{e_{1}}+|\alpha_{2}|^{q-1}e^{-i\theta_{2}}\overline{f}_{e_{2}}+\ldots\ldots,|\alpha_{m}|^{q-1}e^{-i\theta_{m}}\overline{f}_{e_{m}}\\ \\ ~{}\eqref{16}=|\alpha_{1}|^{q-1}e^{-i\theta_{1}}|\alpha_{1}|e^{i\theta_{1}}+|\alpha_{2}|^{q-1}e^{-i\theta_{2}}|\alpha_{2}|e^{i\theta_{2}}+\ldots\ldots+|\alpha_{m}|^{q-1}e^{-i\theta_{m}}|\alpha_{m}|e^{i\theta_{m}}\\ \\ =|\alpha_{1}|^{q}+\ldots\ldots+|\alpha_{m}|^{q}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\alpha_{k}|^{q}$

Como \overline{f}\in\mathfrak{L}^{p^{\prime}},\text{y \bigl{{}w_{n}\bigr{}}\in\mathfrak{L}^{p}};\left|\overline{f}_{(w_{n})}\right|\leqslant\left\|\overline{f}\right\|\left\|\bigl{\{}w_{n}\bigr{\}}\right\|_{p}

O sea que $\sum\limits_{k=1}^{m}|\alpha_{k}|^{q}\leqslant\|\overline{f}\|{\left(\sum\limits_{k=1}^{m}|\beta_{k}|^{p}\right)}^{1/p}\\ \\ =\|\overline{f}\|{\left(\sum\limits_{k=1}^{m}{\left(|\alpha_{k}|^{q-1}\right)}^{p}\right)}^{1/p}=\|\overline{f}\|{\left(\sum\limits_{k=1}^{m}|\alpha_{k}|^{q}\right)}^{1/q}\\ \\ \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\ \\ p+q=pq\\ \\ (q-1)p=pq-p=p+q-p=q\hskip 14.22636pt\therefore\hskip 14.22636pt{\left(\sum\limits_{k=1}^{m}|\alpha_{k}|^{q}\right)}^{1-\frac{1}{p}}\leqslant\|\overline{f}\|$

i.e ${\left(\sum\limits_{k=1}^{m}|\alpha_{k}|^{q}\right)}^{\frac{1}{p}}\leqslant\|\overline{f}\|,$ cualqiuera sea $m\in\mathbb{N}$ lo cual significa que f=\bigl{\{}\alpha_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q} y que

[TABLE]

Veamos ahora que

[TABLE]

Como f=\bigl{\{}\alpha_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{q},{\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n}|^{q}\right)}^{1/q}=\|f\|_{q}

\begin{diagram}

\begin{diagram}

\begin{diagram}

\begin{diagram}

Para obtener  (55) debemos dm. que \forall x=\bigl{\{}\xi_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p}:\phi_{f}(x)=\overline{f}(x)\mathchar 46\relax

Tomemos x=\bigl{\{}\xi_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p} Entonces $\phi_{f}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}$

Como x=\bigl{\{}\xi_{n}\bigr{\}}_{n=1}^{\infty}\in\mathfrak{L}^{p},S_{m}=\sum\limits_{n=1}^{m}|\xi_{n}|^{p}\overset{m\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\xi_{n}|^{p}

Sea $\epsilon>0\mathchar 46\relax$ Entonces $\exists M\in\mathbb{N}$ tal que $\forall m>M:\left|S_{m}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\xi_{n}|^{p}\right|<\epsilon^{p},$ i.e, $\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}|\xi_{n}|^{p}<\epsilon^{p}$ siempre que $m>M\mathchar 46\relax$ O sea que

[TABLE]

siempre que $m>M\mathchar 46\relax$ $x_{m}=(\xi_{1},\xi_{2},\ldots\ldots,\xi_{m},0,0,\ldots\ldots,)\in\mathfrak{L}^{p};(x-x_{m})\in\mathfrak{L}^{p}$

De otra parte,$x_{m}=(\xi_{1},\xi_{2},\ldots\ldots,\xi_{m},0,0,\ldots\ldots,)\in\mathfrak{L}^{p}=\xi_{1}e_{1}+\xi_{2}e_{2}+\ldots\ldots+\xi_{m}e_{m}\\ \\ \therefore\hskip 14.22636pt\overline{f}(x_{m})=\xi_{1}\overline{f}(e_{1})+\xi_{2}\overline{f}(e_{2})+\ldots\ldots+\xi_{m}\overline{f}(e_{m})=\alpha_{1}\xi_{1}+\alpha_{2}\xi_{2}+\ldots\ldots+\alpha_{m}\xi_{m}=\sum\limits_{n=1}^{m}\alpha_{n}\xi_{n}\\ \\ \|\overline{f}(x)-\overline{f}{x_{m}}\|=\|\overline{f}{x-x_{m}}\|\leqslant\|\overline{f}\|\|x-x_{m}\|_{p}\underset{~{}\eqref{19}}{\leqslant}\|f\|\epsilon,\\ \\ \left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}-\sum\limits_{n=1}^{m}\alpha_{n}\xi_{n}\right|=\left|\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}\right|\leqslant\sum\limits_{n=m+1}^{\infty}|\alpha_{n}\xi_{n}|\leqslant\|f\|_{q}\|x-x_{m}\|_{p}<\|\overline{f}\|\epsilon$

siempre que $m>M$

$\left|\overline{f}(x)-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}\right|\leqslant\left|\overline{f}(x)-\sum\limits_{n=1}^{m}\alpha_{n}\xi_{n}\right|+\left|\sum\limits_{n=1}^{m}\alpha_{n}\xi_{n}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}\right|\\ \\ \|\overline{f}\|\epsilon+\epsilon\|\overline{f}\|=2\|\overline{f}\|\epsilon,\hskip 14.22636pt\forall\epsilon$

Luego, $\overline{f}(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\xi_{n}\mathchar 46\relax$

∎

4. Mapeos Bilineales

En esta secci n se tratan los Mapeos Bilineales y se realiza un especial nfasis al respecto sobre las diferencias entre stos y los Mapeos Lineales; aunque estos est n relacionados ntimamente con el tema.

Sean $E,F,G$ esp.vectoriales sobre alg n campo escalar $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ de n meros reales o complejos. Un mapeo

\begin{diagram}

es denominado bilineal si los mapeos

\begin{diagram}\hskip 14.22636pt\text{y}\hskip 14.22636pt\begin{diagram}

\begin{diagram}

son lineales $\forall x\in E,F,$ s mbolos: $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F,G)$ si

[TABLE]

$\forall x\in E\,\,\text{y}\,\,y\in F\mathchar 46\relax$ Por simplicidad: $\mathsf{Bil}(E,F)=\mathsf{Bil}(E,F,\mathbb{K})\mathchar 46\relax$ Si $E,F,G$ son espacios normados (m s generalmente espacios vectoriales topol gicos), el conjunto de mapeos bilineales continuos $E\times F\longrightarrow G$ se puede denotar por $\mathsf{Bil}(E,F,G)$ y $\mathsf{Bil}(E,F)$ si $G=\mathbb{K}\mathchar 46\relax$

Para

[TABLE]

Los siguientes desarrollos son sencillos de deducir.

Proposición 23**.**

*Para $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F;G)$ las siguientes afirmaciones son equivalentes entre s :

1. (a)

$\phi$* es continua* 2. (b)

$\phi$* es continua (0,0)* 3. (c)

*Sea C una constante, tal que $C\geqslant 0,$ se tiene *$\|\phi(x,y)\|_{G}\leqslant C\|x\|_{E}\|y\|_{F},\forall(x,y)\in E\times F$

Se observa claramente que \|\phi\|=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\bigl{\{}C\geqslant 0\bigr{\}}=\sup\bigl{\{}\|\phi(x,y)\|_{G}\diagup x\in B_{E},y\in B_{F}\bigr{\}}

define una norma sobre $\mathsf{Bil}(E,F;G)$ que es uniforme y una norma completa si $\|\mathchar 46\relax\|_{G}$ lo es.

N tese que el mapeo Bilineal continuo no es uniformemente continuo puesto que, la resticci n $\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R},(x,y)\rightsquigarrow xy$ sobre la diagonal es la funci n $\mathbb{R}\ni x\rightsquigarrow x^{2}\in\mathbb{R}\mathchar 46\relax$

Un mapeo Bilineal $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F;G)$ es separable continuo si para todo $\phi_{x}:F\longrightarrow G$ y $\phi_{y}:E\longrightarrow G$ son continuos.

Teorema 1**.**

*Sean $E,F,G$ espacios normados y E es completo. Para todo mapeo Bilineal continuo separable $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F;G)$ es continuo.

Demostración.

El conjunto D=\bigl{\{}z^{\prime}\circ\phi_{y}\diagup z^{\prime}\in B_{G}^{\prime},y\in B_{F}\bigr{\}}\subset E^{\prime} es $\sigma(E^{\prime},E)-$ continuo puesto que para todo $x\in E$

[TABLE]

Por teorema de MacKey’s $\diagup$ la uniformidad principal continua muestra que D es $\textit{uniformemente continuo},$ i.e all la constante $c\geqslant 0$ tal que $\forall z^{\prime}\in B_{G}^{\prime}$ y $y\in B_{F}$

[TABLE]

para todo $x\in E\mathchar 46\relax$ Esto prueba que $\|\phi\|\leqslant c\mathchar 46\relax$

∎

Algunos ejemplos de mapeos Bilineales:

Para $x^{\prime}\in E^{\prime}$ y $y^{\prime}\in F^{\prime}$

[TABLE]

define una forma Bilineal continua y $\|x^{\prime}\underline{\otimes}y^{\prime}\|=\|x^{\prime}\|\|y^{\prime}\|\mathchar 46\relax$ Si $x^{\prime}_{n}$ y $y^{\prime}_{n}$ pertenecen a una bola unitaria y $(\lambda_{n})\in\mathcal{L}_{1}$, entonces $\varphi(x,y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}[x^{\prime}\underline{\otimes}y^{\prime}](x,y)$ es una funci n bien definida y $\|\varphi\|\leqslant\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\lambda_{n}|;$ pertenecen a la clase de las formas bilineales denominadas $\textit{nucleares}\mathchar 46\relax$ 2. 2.

La condici n del mapeo sobre el espacio $\mathcal{L}(E,F)$ de operadores lineales continuos

\begin{diagram}

tiene norma 1 (si E y F son no triviales). 3. 3.

Si E y F son esp. vectoriales de dimensi n finita, entonces todo mapeo bilineal $E\times F\longrightarrow G$ es continuo (empleando bases). 4. 4.

El mapeo de convoluci n

\begin{diagram}

es bilineal. 5. 5.

Tomemos las funciones continuas sobre un espacio compacto K y sea E un espacio normado. Entonces

\begin{diagram}

es bilineal.

Los mapeos

\begin{diagram}

\begin{diagram}

son espacios vectoriales isomorfos y son inversos a cualquier otro. Puesto que \|\varphi\|=\sup\bigl{\{}\left|\varphi(x,y)\right|\diagup x\in B_{E},y\in B_{F}\bigr{\}}=\sup\bigl{\{}\|L\varphi x\|\diagup x\in B_{F}\bigr{\}}=\|L\varphi\|\in[0,\infty]; este isomorfismo reduce las formas bilineales continuas a espacios isom tricos normados

[TABLE]

[TABLE]

Esta relaci n es b sica para la compresi n de las ideas que desarrollaremos acontinuaci n: La forma bilineal continua sobre $E\times F$ son ex ctamente los operadores lineales continuos $E\longrightarrow F^{\prime}\mathchar 46\relax$

El Teorema de Hahn-Banach para operadores, no es completo para formas bilineales continuas en el siguiente sentido: Sea $G\subset E$ un subespacio y $\varphi\in\mathsf{Bil}(G,F)$;

¿No existe all una extensi n $\overline{\varphi}\in\mathsf{L}(E,F^{\prime})$ de $\varphi$? Esto puede pensarse, por la identificaci n de las formas bilineales y los operadores; $\forall T\in\mathcal{L}(G,F^{\prime})$ puede tener una extensi n $\overline{T}\in\mathcal{L}(E,F^{\prime})\mathchar 46\relax$

As se pueden observar algunos ejemplos de operadores que no son extensi n del caso especial dado en que $G=F^{\prime}$ y $T=idG$. La identidad del mapeo: La extensi n $\overline{T}$ puede ser una proyecci n de E sobre G.

• Debido a un resultado famoso de Lindenstrauss-Tzafriri [Sobre el problema del complemento de los subespacios; Israel J. Math. 9(1971) 263-69] todos los espacios de Banach de dimensi n infinita que no son isomorfos al espacio de Hilbert no son complemento de subespacios cerrados.
• Puede observarse m s en concreto en el ejemplo dado por la funci n de Rademacher definida sobre $[0,1]$

[TABLE]

(La forma es ortonormal al sistema en $L_{2}[0,1],$ medida de Lebesgue) y consid rese la inyecci n

\begin{diagram}

La desigualdad de $\textit{Khintchine}:$ ”Para $1\leqslant p<\infty$ all son constantes $a_{p}$ y $b_{p}\geqslant 1$ tal que $a_{p}^{-1}{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}|\alpha_{k}|^{2}\right)}^{1/2}\leqslant{\left(\int\limits_{D_{n}}{|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{k}\xi_{k}(w)|}^{p}\mu_{n}(dw)\right)}^{1/2}\leqslant b_{p}{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}|\alpha_{k}|^{2}\right)}^{1/2}$

para todo $n\in\mathbb{N}$ y $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\in\mathbb{C}\mathchar 46\relax$”

puede mostrarnos que $L_{1}$ induce una norma equivalente sobre $\mathcal{L}_{2}$

La extensi n de las complexiones, afortunadamente, no es un problema. bservese que all no son uniformemente continuas!

Proposición 24**.**

*Sean E,F,G espacios normados y G completo. Para todo $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F;G)$ existe una extensi n nica $\overline{\phi}\in\mathsf{Bil}(\overline{E},\overline{F};G)\mathchar 46\relax$ Adem s, $\|\phi\|=\|\overline{\phi}\|\mathchar 46\relax$

Este desarrollo es sencillo para la relaci n isom trica

[TABLE]

y la extensi n de los operadores lineales continuos.

Observación 3**.**

*Si E es un espacio normado de dimensi n menor que 2, entonces la multiplicaci n por el escalar $k,\mathbb{K}\times E\longrightarrow E$ es bilineal, continua, sobreyectiva s lo s E es cerrado.

Demostración.

Tomemos un conjuto abierto no vac o $V\subset E$ y un funcional $y^{\prime}\in E^{\prime}$ con

[TABLE]

Si U es la bola unitaria abierta en $\mathbb{K},$ entonces $0\in U\mathchar 46\relax V,$ s lo si 0 no es un punto interior de $U\mathchar 46\relax V$ puesto que U\mathchar 46\relax V\cap\ker y^{\prime}=\bigl{\{}0\bigr{\}}

∎

Esto tambi n es posible para los ejemplos $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F;G)$ que son sobreyectivos y conjuntos cerrados en cero, i.e, cero pertenece al interior de $\phi(B_{E},B_{F})\mathchar 46\relax$

Otro propiedad negativa de los mapeos bilineales continuos es que ellos no permanecen continuos para las topolog as d viles: los vectores unitarios $e_{n}$ en $\mathcal{L}_{2}$  (en $\mathbb{R}$) convergen d vilmente a cero exceptuando $(e_{n}|e_{n})_{\mathcal{L}_{2}}=1$

Para espacios normados E y F se tiene el siguiente desarrollo isom trico:

[TABLE]

[TABLE]

donde la ltima igualdad es la ”transposici n” obvia $U^{t}(x,y)=U(y,x)\mathchar 46\relax$ Para todo $\phi\in\mathsf{Bil}(E,F)$ se define ${\varphi}^{\wedge}=\phi(\varphi)\in\mathsf{Bil}(E,F^{\prime}{}^{\prime});$ si satisface $\|{\varphi}^{\wedge}\|=\|\varphi\|=\|L_{\varphi}\|$ y

[TABLE]

para todo $(x,y^{\prime}{}^{\prime})\in E\times F^{\prime}{}^{\prime}\mathchar 46\relax$ Puesto que, por definici n $\varphi(x,y)=\langle y,L_{\varphi}(x)\rangle_{F,F^{\prime}{}^{\prime}}$ para todo $x\in E$ y $y\in F,$ el mapeo ${\varphi}^{\wedge}$ extensi n de $\varphi$ para $E\times F$ a $E\times F^{\prime}{}^{\prime}$ con igual normal. ${\varphi}^{\wedge}$ es denominada la extensi n can nica derecha de $\varphi$.

Proposición 25**.**

*Sean E y F espacios normados y $\varphi\in\mathsf{Bil}(E,F)\mathchar 46\relax$ Entonces ${\varphi}^{\wedge}$ es la nica forma bilineal separada $\sigma(E,E^{\prime})-\sigma(F^{\prime}{}^{\prime},F^{\prime})$-mapeo continua $\psi:E\times F^{\prime}{}^{\prime}\longrightarrow\mathbb{K}$ que extiende a $\varphi\mathchar 46\relax$

Demostración.

Que ${\varphi}^{\wedge}$ es una extensi n es claro por el desarrolllo de la definici n para la ecuaci n; se obtiene de las desigualdades para los funcionales $\sigma(F^{\prime}{}^{\prime},F^{\prime})$- densidad de F en F”.

Claro, all se tiene la extensi n can nica izquierda ${}^{\wedge}{\varphi}$ sobre $E^{\prime}{}^{\prime}\times F$ definida por ${}^{\wedge}{\varphi}={\left({(\varphi^{t})}^{\wedge}\right)}^{t}$ dado por

[TABLE]

∎

De que manera ¿Son los funcionales ${(^{\wedge}{\varphi}})^{\wedge}$ y ${}^{\wedge}{({\varphi}}^{\wedge})$ sobre $E^{\prime}{}^{\prime}\times F^{\prime}{}^{\prime}$ relativos? Bastante sorprendente, el siguiente desarrollo exacto:

Corolario 4**.**

*Para $\varphi\in\mathsf{Bil}(E,F)$ el desarrollo de los tres estamentos siguientes son equivalentes:

Las dos extensiones ”can nicas” ${(^{\wedge}{\varphi}})^{\wedge}$ y ${}^{\wedge}{({\varphi}}^{\wedge})$ de $\varphi$ en $E^{\prime}{}^{\prime}\times F^{\prime}{}^{\prime}$ coinciden. 2. 2.

All $\psi\in\mathsf{Bil}(E^{\prime}{}^{\prime},F^{\prime}{}^{\prime})$ que es separable $\sigma(E^{\prime}{}^{\prime},E^{\prime})-\sigma(F^{\prime}{}^{\prime},F^{\prime})-$ son continuos y extensiones de $\varphi$. 3. 3.

$L_{\varphi}:E\longrightarrow F$* es compacto-d vil.*

*En este caso el funcional $\psi$ en [2] aes igual a *${(^{\wedge}{\varphi}})^{\wedge}=^{\wedge}{({\varphi}}^{\wedge})$

Demostración.

La proposici n implica sencillamente que $(a)\Leftrightarrow(b)$. Se observa la equivalencia de (a) y (c), por

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Ahora afirmamos que $L_{\varphi}$ es compacto-d vil sii $L^{\prime}{}^{\prime}_{\varphi}(E^{\prime}{}^{\prime})\subset F^{\prime}\mathchar 46\relax$

∎

5. La teor a algebra ca del producto tensorial.

El objeto de estudio de los mapeos bilineales puede reducirse al estudio de los mapeos lineales. La construcci n de estos nuevos espacios vectoriales $E\otimes F$ es, dada por el an lisis, de una manera simple.

Para un conjunto arbitrario A definamos $\mathcal{F}(A)$ como el conjunto de todos las funciones $f:A\longrightarrow\mathbb{K}$ dentro de un soporte finito, i.e. $$