Exposants de Lyapounov pour un mod\`ele d'Anderson \`a valeurs matricielles

TL;DR

This paper proves the absence of absolutely continuous spectrum for a matrix-valued random Schrödinger operator on L^2(R)⊗C^N, using Lyapunov exponents and group theory methods to explicitly identify energy intervals.

Contribution

It introduces a new approach combining Furstenberg's formalism and Breuillard-Gelander's group theory to explicitly construct energy intervals with positive Lyapunov exponents for matrix-valued Schrödinger operators.

Findings

Proves absence of absolutely continuous spectrum in certain energy intervals.

Establishes strict positivity of all N Lyapunov exponents in these intervals.

Provides an explicit construction method for the energy intervals.

Abstract

Nous pr\'esentons un r\'esultat d'absence de spectre absolument continu dans un intervalle de $\R$ pour un op\'erateur de Schr\"odinger al\'eatoire continu et \`a valeurs matricielles agissant sur $L^2(\R)\otimes \C^N$ pour $N\geq 1$ arbitraire. Pour cela nous prouvons l'existence d'un intervalle d'\'energies sur lequel a lieu la s\'eparabilit\'e et la stricte positivit\'e des $N$ exposants de Lyapounov positifs de l'op\'erateur. La m\'ethode suivie, bas\'ee sur le formalisme de F\"urstenberg et un r\'esultat de th\'eorie des groupes d\^u \`a Breuillard et Gelander, permet une construction explicite de l'intervalle d'\'energie recherch\'e.