Ergodicit\'e, collage et transport anomal

TL;DR

This paper investigates the convergence rate of time averages to spatial ergodic means in a Hamiltonian flow with mixed phase space, revealing different scaling behaviors depending on the system's chaotic properties.

Contribution

It introduces a new exponent characterizing convergence speed and establishes a relation between this exponent and transport properties in mixed Hamiltonian systems.

Findings

Convergence scales as t^{0.45} in mixed systems.

Convergence scales as t^{1/2} in fully chaotic systems.

A relation =1-eta/2 is proposed and verified.

Abstract

Nous nous int\'eressons \`a la convergence vers sa moyenne spatiale ergodique de la moyenne temporelle d'une observable d'un flow hamiltonien \`a un degr\'e et demi de libert\'e avec espace des phases mixte. L'analyse est faite au travers de l'\'evolution de la distribution des moyennes en temps fini d'un ensemble de conditions initiales sur la m\^eme composante ergodique. Un exposant caract\'erisant la vitesse de convergence est d\'efini. Les r\'esultats indiquent que pour le syst\`eme consid\'er\'e la convergence \'evolue en $t^{\alpha}$, avec $\alpha=0.45$ pour alors qu'elle \'evolue en $t^{1/2}$ lorsque la dynamique est globalement chaotique dans l'espace des phases. De m\^eme une loi $\alpha=1-\beta/2$ reliant cet exposant $\alpha$ \`a l'exposant caract\'eristique du deuxi\`eme moment associ\'e aux propri\'et\'es de transport $\beta$ est propos\'ee et est v\'erifi\'ee pour les cas consid\'er\'es.