Sur les repr\'esentations du groupe fondamental d'une vari\'et\'e priv\'ee d'un diviseur \`a croisements normaux simples

TL;DR

This paper establishes a correspondence between finite parabolic bundles on a projective variety with a simple normal crossings divisor and representations of the étale fundamental group of the complement, enriching the understanding of fundamental group representations.

Contribution

It proves a bijective correspondence between parabolic bundles and fundamental group representations in the context of varieties with normal crossings divisors.

Findings

Finite parabolic bundles correspond to étale fundamental group representations.

The correspondence applies to projective varieties over algebraically closed fields of characteristic zero.

Provides a new perspective on the relationship between geometric bundles and algebraic fundamental groups.

Abstract

Given a projective variety X over an algebraically closed field of characteristic zero, we show that finite parabolic bundles along a fixed simple normal crossings divisor D are in one to one correspondence with representations of the \'etale fundamental group of X-D.

Equations

$${\mathrm{PAR}}_{\frac{1}{\text{mathds}r}}(X,\text{mathds}D)={\mathrm{Hom}}_{(\text{mathds}{Z}^I{)}^{op}}((\frac{1}{\text{mathds}r}\text{mathds}{Z}^I{)}^{op},\mathrm{MOD}X)$$

$$({\mathcal{E}}_{\cdot }\otimes {\mathcal{E}}_{\cdot }^{\prime }{)}_{\cdot }={\int }^{\text{mathds}l\in \frac{1}{\text{mathds}r}\text{mathds}{Z}^I}{\mathcal{E}}_{\text{mathds}l}\otimes {\mathcal{E}}_{\cdot }^{\prime }[-\text{mathds}l]$$

$${\underline{\mathcal{E}}}_{\cdot }=\mathcal{E}\otimes {\mathcal{O}}_X([-\cdot ]\text{mathds}D)$$

$$\text{mathds}l\to {\mathcal{O}}_X(-\text{mathds}l\text{mathds}r\text{mathds}E)$$

$$F:\{0<1{\}}^J\to \frac{1}{\text{mathds}r}\text{mathds}{Z}^I$$

$$\forall \mathbf{\mu }=({\mu }_i{)}_{i\in J}\in \{0<1{\}}^{J}F(\mathbf{\mu })=F(\text{mathds}0)+\sum _{i\in J}{\mu }_i\frac{{ϵ}_i}{r_i}{e}_i$$

$${\delta }_{\mathbf{\alpha }}^j=(-1{)}^{{\sum }_{i<j}{\alpha }_i}{d}_{\mathbf{\alpha }}^j$$

$$\mathrm{Tot}(C_{\cdot }{)}_n={\oplus }_{\mathbf{\alpha },|\mathbf{\alpha }|=n}{C}_{\mathbf{\alpha }}$$

$${\underline{{\mathcal{O}}_X}}_{\cdot }\circ F_J^{op}\simeq {\otimes }_{i\in J}({\mathcal{O}}_X(-D_i)\to {\mathcal{O}}_X)$$

$${\mathcal{O}}_X(-\cdot \text{mathds}r\text{mathds}E)\circ F_{\frac{\mathbf{ϵ}}{\text{mathds}r}J}^{op}\simeq {\otimes }_{i\in J}({\mathcal{O}}_X(-{ϵ}_i{E}_i)\to {\mathcal{O}}_X)$$

$${\mathcal{E}}_{F(\text{mathds}0)}\otimes ({\underline{{\mathcal{O}}_X}}_{\cdot }\circ F_J^{op})\to {\mathcal{E}}_{\cdot }\circ F^{op}$$

$${\mathrm{Sym}}_{{\mathcal{O}}_X/{\mathcal{I}}_I}({\mathcal{I}}_I/{\mathcal{I}}_I^2)\twoheadrightarrow {\mathrm{gr}}_{{\mathcal{I}}_I}({\mathcal{O}}_X)$$

$$\text{mathds}\mathrm{Spec}({\mathcal{O}}_X[(t_i{)}_{i\in I}]/(t_i^{r_i}-s_i{)}_{i\in I})$$

$$p_{\ast }^{{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}}:{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}{\mathrm{PAR}}_{\frac{1}{\text{mathds}r}}(Y,p^{\ast }\text{mathds}D)\to {\mathrm{PAR}}_{\frac{1}{\text{mathds}r}}(X,\text{mathds}D)$$

$$\mathrm{Tot}({\hat{\mathcal{F}}}_{\cdot }\circ F^{op})\simeq p_{\ast }^{{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}}(\mathrm{Tot}(\mathcal{F}\otimes {\mathcal{O}}_X(-\cdot \text{mathds}r\text{mathds}E)\circ F^{op}))\simeq p_{\ast }^{{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}}(\mathcal{F}\otimes \mathrm{Tot}({\mathcal{O}}_X(-\cdot \text{mathds}r\text{mathds}E)\circ F^{op}))$$

$${\mathcal{O}}_X(-\cdot \text{mathds}r\text{mathds}E)\circ F^{op}\simeq {\mathcal{O}}_Y(-\text{mathds}rF(\text{mathds}0)\text{mathds}E)\otimes ({\mathcal{O}}_X(-\cdot \text{mathds}r\text{mathds}E)\circ F_{\frac{\mathbf{ϵ}}{\text{mathds}r}J}^{op})$$

$$p_{\ast }^{{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}}(\mathcal{F}\otimes {\mathcal{O}}_Y(-\text{mathds}rF(\text{mathds}0)\text{mathds}E)\otimes \mathrm{Tot}({\otimes }_{i\in J}({\mathcal{O}}_Y(-{ϵ}_i{E}_i)\to {\mathcal{O}}_Y)))$$

$$p_{\ast }^{{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}}(\mathcal{F}\otimes {\mathcal{O}}_Y(-\text{mathds}rF(\text{mathds}0)\text{mathds}E)\otimes H_l(\mathrm{Tot}({\otimes }_{i\in J}({\mathcal{O}}_Y(-{ϵ}_i{E}_i)\to {\mathcal{O}}_Y))))$$

$$\sqrt[r]{(\mathcal{L},s)/X}=X{\times }_{\mathcal{U}}\mathcal{U}$$

$$\sqrt[\text{mathds}r]{(\text{mathds}\mathcal{L},\text{mathds}s)/X}\simeq [\text{mathds}\mathrm{Spec}(\frac{\mathrm{Sym}({\oplus }_{i\in I}{\mathcal{N}}_i^{\vee })}{({\mathcal{N}}_i^{\otimes r_i}\simeq {\mathcal{L}}_i{)}_{i\in I}})|{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}]$$

$$\sqrt[\text{mathds}r]{\text{mathds}D/X}\simeq [\text{mathds}\mathrm{Spec}({\mathcal{O}}_X[(t_i{)}_{i\in I}]/(t_i^{r_i}-s_i{)}_{i\in I})|{\mathbf{\mu }}_{\text{mathds}r}]$$

$$\widehat{{\mathcal{E}}_{\cdot }}={\int }^{\frac{1}{\text{mathds}r}\text{mathds}Z}{\pi }^{\ast }{\mathcal{E}}_{\cdot }\otimes {\mathcal{N}}^{\otimes \text{mathds}r\cdot }$$

$$\mathrm{coker}({\int }^{l_i\in \frac{1}{r_i}\text{mathds}Z}{\pi }_i^{\ast }({\mathcal{E}}_{l_i{l}_j^{\prime }}{)}_{\cdot }\otimes {\mathcal{N}}_i^{\otimes r_i{l}_i}\to {\int }^{l_i\in \frac{1}{r_i}\text{mathds}Z}{\pi }_i^{\ast }({\mathcal{E}}_{l_i{l}_j}{)}_{\cdot }\otimes {\mathcal{N}}_i^{\otimes r_i{l}_i})$$

$$0\to \mathrm{Pic}X\to \mathrm{Pic}(\sqrt[\text{mathds}r]{\text{mathds}D|X})\to \prod _{i\in I}{H}^0(D_i,\frac{\text{mathds}Z}{r_i})\to 0$$

$$\frac{\mathrm{Pic}(\sqrt[\text{mathds}r]{\text{mathds}D|X})}{\mathrm{Pic}X}\to \prod _{i\in I}\frac{\mathrm{Pic}\left(\sqrt[\text{mathds}r]{\text{mathds}D|X}\right)}{\mathrm{Pic}\left(\sqrt[(r_j{)}_{j\ne i}]{(D_j{)}_{j\ne i}|X}\right)}$$

$${\mathcal{K}}_0\supset {\mathcal{K}}_{\frac{1}{r}}\supset \cdots \supset {\mathcal{K}}_{1-\frac{1}{r}}\supset {\mathcal{K}}_1\simeq {\mathcal{K}}_0{\otimes }_{{\mathcal{O}}_X}{\mathcal{O}}_X(-D)$$

$$\mathrm{rg}({{\mathcal{K}}_0}_{|D})=\sum _{l=0}^{r-1}\mathrm{rg}\left(\frac{{\mathcal{K}}_{\frac{l}{r}}}{{\mathcal{K}}_{\frac{l+1}{r}}}\right)$$

$${\pi }_{\ast }(q_{\ast }(\widehat{{\mathcal{E}}_{\cdot }}){\otimes }_{i\in I}{\mathcal{M}}_i^{\otimes -l_i})$$

$$\simeq p_{\ast }\left({\varpi }_{\ast }\left({\int }^{\frac{1}{\text{mathds}s}\text{mathds}Z}{\varpi }^{\ast }{\mathcal{E}}_{\cdot }\otimes {\mathcal{N}}^{\otimes \text{mathds}s\cdot -\text{mathds}l\circ \alpha }\right)\right)$$

$$\simeq p_{\ast }\left({\varpi }_{\ast }\left({\int }^{\frac{1}{\text{mathds}s}\text{mathds}Z}{\varpi }^{\ast }{\mathcal{E}}_{\cdot }[\frac{\text{mathds}l\circ \alpha ]}{\text{mathds}s}]\otimes {\mathcal{N}}^{\otimes \text{mathds}s\cdot }\right)\right)$$

$$\simeq p_{\ast }({\mathcal{E}}_{\frac{\text{mathds}l\circ \alpha }{\text{mathds}s}})$$

$${\pi }_1^D(X,x)\simeq \underset{\text{mathds}r}{\underleftarrow{\lim }}{\pi }_1(\sqrt[\text{mathds}r]{\text{mathds}D/X},x)$$

Full text

Sur les représentations du groupe fondamental d’une variété privée d’un diviseur à croisements normaux simples

Niels Borne

1 Introduction

1.1 Une description alternative

En l’absence de lacets, la recherche d’une description alternative du groupe fondamental étale (défini dans [2] en termes de revêtements) est une question classique, motivée essentiellement par la volonté de déterminer algébriquement des groupes fondamentaux qui ne sont connus que par voie transcendante.

L’étude systématique du lien entre revêtements de, disons, une variété algébrique projective $X$, et certain fibrés sur $X$, commence avec Weil ([41]). Celui-ci montre qu’un revêtement galoisien non ramifié de surfaces de Riemann $Y\rightarrow X$ permet d’associer à toute représentation $V$ complexe du groupe de Galois $G$ un fibré sur $X$ : on descend le fibré trivial $Y\times V$ sur $Y$ en $E=Y\times V/G$. Weil remarque que cette opération est compatible avec le produit tensoriel, ce qui confère des propriétés remarquables aux fibrés associés : ils sont en particulier finis, au sens qu’il existe deux polynômes distincts $f,g$ à coefficients entiers positifs tels que $f(E)\simeq g(E)$. Il voit dans ces fibrés la généralisation des fibrés en droite de torsion, et commence à les caractériser.

Ce travail trouve son aboutissement dans la formulation de Nori ([32]): la catégorie des fibrés finis sur $X$ est tannakienne, et le groupe de Tannaka associée est le groupe fondamental (profini) de $X$. Ceci a l’avantage d’être vérifié pour un schéma $X$ propre, réduit, connexe, sur un corps algébriquement clos de caractéristique [math]. En caractéristique $p$, le groupe de Tannaka de la catégorie des fibrés essentiellement finis (le schéma en groupe fondamental de Nori) se surjecte dans le groupe fondamental de $X$. Toutefois, comme le souligne Nori, cette description algébrique (les fibrés finis ne dépendant, en fait, que de la topologie de Zariski de $X$) du groupe fondamental n’a que peu d’utilité, puisque les fibrés finis de rang plus grand que $1$ semblent très difficiles à construire ex nihilo (i.e. sans utiliser de revêtement).

Partant du problème de la détermination algébrique du groupe fondamental, l’étude des courbes ouvertes (par exemple la droite projective moins trois points) apparaît plus abordable que celle des courbes complètes. En effet Nori montre dans [33] qu’il existe une équivalence de catégories tannakiennes entre la catégorie des représentations du groupe fondamental de la courbe ouverte et celles des fibrés paraboliques (au sens de Seshadri, [36]) finis. Il semble ardu, mais peut-être pas impossible, de construire algébriquement de tels fibrés.

Cependant, Nori ne fait qu’esquisser une preuve de cette équivalence. Cet article répond au souci d’en donner une démonstration complète et indépendante, suffisamment générale pour être valable en toute dimension. Plus précisément, on définit, donné un schéma $X$ propre, normal, connexe sur un corps $k$, et $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ une famille de diviseurs irréductibles à croisements normaux simples sur $X$, la catégorie $\operatorname{FPar}(X,\mathds{D})$ (resp. $\operatorname{EFPar}(X,\mathds{D})$) des fibrés paraboliques (modérés) finis (resp. essentiellement finis), et notre résultat principal (théorème 7) s’énonce :

Théorème 1**.**

Soit $D=\cup_{i\in I}D_{i}$, et $x\in X(k)$ un point rationnel, $x\notin D$.

1. (i)

La paire $(\operatorname{EFPar}(X,\mathds{D}),x^{*})$ est une catégorie tannakienne. 2. (ii)

Si $k$ est algébriquement clos de caractéristique [math], tout fibré parabolique essentiellement fini est fini, et le groupe de Tannaka de $(\operatorname{FPar}(X,\mathds{D}),x^{*})$ est canoniquement isomorphe au groupe fondamental $\pi_{1}(X-D,x)$.

Le premier point permet de proposer, en caractéristique positive, une définition du schéma en groupe fondamental modéré $\pi^{D}(X,x)$ comme groupe de Tannaka de la catégorie $(\operatorname{EFPar}(X,\mathds{D}),x^{*})$. Ce schéma en groupe est un hybride du schéma en groupe fondamental de Nori ([32]) et du groupe fondamental modéré de Grothendieck-Murre ([21]).

Un fait marquant est l’omniprésence de certains champs de Deligne-Mumford, les champs des racines, tout au long de cet article. Ils sont construits à partir de la paire $(X,\mathds{D})$ en ajoutant une structure d’orbifold le long des diviseurs, et sont en ce sens des “schémas tordus”. Bien qu’il soient absents de l’énoncé de notre résultat principal, ils en sont absolument au coeur, leur présence éclairant d’un jour nouveau d’anciens problèmes. Par exemple le curieux produit dans la catégorie galoisienne des revêtements modérés de [21] s’avère être un produit fibré usuel sur un tel champ des racines111voir lemme 15 (ii).

Pour conclure, on propose une méthode de construction des fibrés (paraboliques) finis, inspirée de la méthode des petits groupes de Wigner et Mackey en théorie des représentations.

1.2 Organisation de l’article

Dans la partie 2, on définit les fibrés paraboliques sur un schéma $X$ le long d’une famille régulière de diviseurs $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$, à poids rationnels à dénominateurs dans une famille d’entiers fixée $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$. Ceci se fait en deux temps : on définit d’abord (partie 2.1.1) les faisceaux paraboliques, puis (partie 2.2) la notion de liberté locale pour un tel faisceau. On montre le caractère récursif de cette condition (proposition 1), qui se simplifie considérablement lorsque la famille est à croisements normaux simples (proposition 2). On rappelle ensuite (partie 2.4.1) la notion de champ des racines associé à la donnée de $X$, $\mathds{D}$, et $\mathds{r}$, et la partie se poursuit par le théorème 2 qui identifie les fibrés paraboliques aux fibrés usuels sur le champ des racines.

Les deux parties suivantes sont de nature plus technique.

Le résultat essentiel de la partie 3 est la proposition qui donne une interprétation du groupe fondamental modéré comme limite projective de groupes fondamentaux de champs des racines. C’est une conséquence à peu près immédiate du lemme d’Abhyankar.

La partie 4 étudie le lien entre groupe fondamental d’un champ de Deligne-Mumford convenable et fibrés finis. Ce lien s’exprime par une équivalence de catégories tannakiennes entre systèmes locaux $k$-vectoriels de rang fini sur le champ et fibrés finis donné par un foncteur “à la Riemann-Hilbert”, voir le corollaire 7. Le point crucial (théorème 6) est le fait que les fibrés essentiellement finis sur les champs des racines (et un peu plus généralement sur des schémas tordus) propres et réduits sur un corps forment une catégorie tannakienne.

La partie suivante (partie 5) est une partie de synthèse où l’on assemble les différents éléments pour aboutir au théorème 1.

Enfin la dernière partie (partie 6) est consacrée à l’application du théorème 1 au calcul explicite de fibrés paraboliques finis de groupe d’holonomie résoluble.

1.3 Origines et liens avec des travaux existants

La définition des fibrés paraboliques par rapport à une famille régulière de diviseurs $\mathds{D}$ dans la partie 2 est inspirée de celle de Maruyama-Yokogawa [28]. Une différence importante avec ces auteurs est l’emploi d’indices multiples (moralement, autant d’indices que de composantes irréductibles régulières de $\mathds{D}$) ce qui mène naturellement à la définition 1, essentiellement équivalente à celle employée par Iyer et Simpson, voir [23]. Ceci complique singulièrement la condition de liberté locale pour un faisceau parabolique : la définition 4 en termes d’homologie de complexes associés à des facettes est entièrement originale et semble apporter un éclairage nouveau sur la notion de fibré parabolique “localement abélien“ employée dans [23] (voir la remarque 3).

Les champs des racines ont été introduits par Vistoli ([5]) et Cadman ([14]). L’identification des fibrés paraboliques avec les fibrés sur les champs des racines a été initiée dans [10] dans la situation à indice unique, sa généralisation à la situation présente ne pose pas de problème particulier. On peut trouver certains précurseurs de ce résultat, en particulier dans le travail de Biswas ([9], [8]), mais ces auteurs n’employant que des fibrés paraboliques à indice unique, ces résultats ne nous semblent corrects que dans le cas d’un diviseur régulier.

La preuve donnée du théorème de Nori parabolique (théorème 7) est complètement indépendante de la preuve de Nori en dimension $1$ (Nori n’utilisant pas la définition de Seshadri des fibrés paraboliques), mais, grâce à l’utilisation des champs des racines, suit d’assez près la démonstration de la version classique (non parabolique) du théorème : en particulier la démonstration que les fibrés essentiellement finis sur un “schéma tordu“ forment une catégorie tannakienne (théorème 6) est une adaptation directe de la preuve que Nori donne pour un schéma usuel. Toutefois, l’emploi d’un foncteur de type Riemann-Hilbert (voir §4.4) pour faire le lien entre système locaux et fibrés finis, bien que naturelle, semble nouvelle dans ce contexte. Les travaux de Grothendieck-Murre ([21]) sur le groupe fondamental modéré, ainsi que ceux de Noohi ([31]) et Zoonekynd ([43]) sur le groupe fondamental des champs de Deligne-Mumford, sont d’autres ingrédients importants de la preuve.

Élémentaire, mais à priori un peu surprenante, l’idée de construire des fibrés finis par image directe (voir la proposition 12 et le lemme 20) ne semble pas avoir été déjà employée.

Enfin, pour conclure sur les insuffisances de cet article, il serait naturellement souhaitable d’avoir une version du théorème de Nori parabolique pour un diviseur à croisements normaux généraux, ou sur un corps quelconque.

1.4 Remerciements

Ce travail doit beaucoup à Angelo Vistoli, ses contours n’étant apparus nettement qu’à la suite d’une visite à Bologne en janvier 2006. Je l’en remercie chaleureusement. Je tiens également à remercier Alessandro Chiodo, Michel Emsalem, Boas Erez, Madhav Nori, Martin Olsson et Gabriele Vezzosi pour d’intéressantes discussions sur le sujet.

2 Fibrés paraboliques le long d’une famille régulière de diviseurs

Dans cette partie, on notera $X$ un champ de Deligne-Mumford localement noethérien, $I$ un ensemble fini, $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ une famille de diviseurs de Cartier effectifs sur $X$, $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ une famille d’entiers $r_{i}\geq 1$.

2.1 Faisceaux paraboliques

2.1.1 Définition

Soient d’abord $\mathcal{I},\mathcal{C}$ deux catégories monoïdales, $\mathcal{I}$ étant supposée stricte. Un foncteur monoïdal $F:\mathcal{I}\rightarrow\mathcal{C}$ permet de voir $\mathcal{C}$ comme un $\mathcal{I}$-module (relâché) sur le monoïde $\mathcal{I}$ via l’opération

\textstyle{\mathcal{I}\times\mathcal{C}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\mathcal{C}}$$\textstyle{(I,C)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{F(I)\otimes C}

On considère à présent $\mathcal{I}=(\mathds{Z}^{I})^{op}$, $\mathcal{C}_{1}=(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}$, où par définition $\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}=\prod_{i\in I}\frac{1}{r_{i}}\mathds{Z}$, et $\mathcal{C}_{2}=\operatorname{MOD}X$, la catégorie des faisceaux de $\mathcal{O}_{X}$-modules sur $X$. $\mathcal{I}$ et $\mathcal{C}_{1}$ sont vues comme catégories associées aux ensembles ordonnés correspondants, et munies du produit tensoriel induit par l’addition, quant à $\mathcal{C}_{2}$, elle est munie de sa structure monoïdale canonique. Enfin, on dispose du foncteur d’inclusion $F_{1}:\mathcal{I}\rightarrow\mathcal{C}_{1}$ et du foncteur

\textstyle{F_{2}:\mathcal{I}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\mathcal{C}_{2}}$$\textstyle{\mathds{l}=(l_{i})_{i\in I}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\mathcal{O}_{X}(-\mathds{l}\mathds{D})=\mathcal{O}_{X}(-\sum_{i\in I}l_{i}D_{i})}

qui permettent de voir $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ comme des $\mathcal{I}$-monoïdes.

Définition 1**.**

On définit la catégorie des faisceaux paraboliques sur $X$ le long de $\mathds{D}$ à poids multiples de $\frac{1}{\mathds{r}}$ comme la catégorie des morphismes de modules sur le monoïde $(\mathds{Z}^{I})^{op}$ :

[TABLE]

Plus en détail, un objet de $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ est un couple $(\mathcal{E}_{\cdot},j)$, où $\mathcal{E}_{\cdot}:(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\rightarrow\operatorname{MOD}X$ est un foncteur (non nécessairement monoïdal !), et $j$ est un isomorphisme naturel (dit isomorphisme des pseudo-périodes):

\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{+}$$\scriptstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\mathcal{E}_{\cdot}}$$\textstyle{(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{E}_{\cdot}}$$\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\operatorname{MOD}X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{O}_{X}(-\cdot\mathds{D})\otimes\cdot}$$\scriptstyle{j}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}

On omettra souvent $j$ pour alléger les notations. Un morphisme $(\mathcal{E}_{\cdot},j)\rightarrow(\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot},j^{\prime})$ est une transformation naturelle :

\textstyle{(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{E}_{\cdot}}$$\scriptstyle{\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot}}$$\scriptstyle{\alpha}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}

compatible avec $j$ et $j^{\prime}$, en un sens évident.

2.1.2 Opérations élémentaires sur les faisceaux paraboliques

Pour $\mathds{l}\in\operatorname{obj}\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ et $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ on dispose du décalage défini de la manière usuelle

\textstyle{\mathcal{E}_{\cdot}[\mathds{l}]:(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{+\mathds{l}}$$\textstyle{(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{E}_{\cdot}}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}

l’isomorphisme des pseudo-périodes étant induit par celui de $\mathcal{E}_{\cdot}$ de la manière évidente.

Passons au produit tensoriel des faisceaux paraboliques : donnés $\mathcal{E}_{\cdot},\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$, on dispose, pour tout $\mathds{l}\in\operatorname{obj}\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$, de l’objet $\mathcal{E}_{\mathds{l}}\otimes\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot}[-\mathds{l}]$ de $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ obtenu comme produit tensoriel externe de $\mathcal{E}_{\mathds{l}}\in\operatorname{obj}\operatorname{MOD}X$ par $\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot}[-\mathds{l}]\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$.

Cette quantité étant dinaturelle en $\mathds{l}$, on peut définir $(\mathcal{E}_{\cdot}\otimes\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot})_{\cdot}$ comme la cofin222pour des détails sur la notion de cofin (coend), voir [27], ou bien [10], Appendice B du foncteur de variance mixte correspondant dans $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ (qui est cocomplète vu que $\operatorname{MOD}X$ l’est) :

[TABLE]

Ce produit tensoriel est l’adjoint à gauche (enrichi) du foncteur $\operatorname{\mathds{Hom}}$ interne naturel de $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ (dont nous n’aurons pas usage).

Passons au structures spéciales : l’inclusion $\mathds{Z}^{I}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ admet pour adjoint à gauche le foncteur

\textstyle{\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\mathds{Z}^{I}}$$\textstyle{\mathds{l}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{-[-\mathds{l}]}

où $[\mathds{l}]=([l_{i}])_{i\in I}$, $[\cdot]$ désignant la partie entière (on espère que cela n’entraînera pas de confusion avec la notation du décalage).

On en déduit que le foncteur d’oubli (ou d’évaluation en zéro)

$\operatorname{Hom}_{(\mathds{Z}^{I})^{op}}((\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op},\operatorname{MOD}X)\rightarrow\operatorname{Hom}_{(\mathds{Z}^{I})^{op}}((\mathds{Z}^{I})^{op},\operatorname{MOD}X)\simeq\operatorname{MOD}X$

admet un adjoint à gauche, qu’on notera $\mathcal{E}\rightarrow\underline{\mathcal{E}}_{\cdot}$, défini par

[TABLE]

On appellera $\underline{\mathcal{E}}_{\cdot}$ le faisceau parabolique à structure spéciale induit par $\mathcal{E}$.

Lorsque $\mathds{D}=\mathds{r}\mathds{E}$, on dispose d’un faisceau parabolique particulier, défini comme foncteur par

[TABLE]

l’isomorphisme des pseudo-périodes étant défini de la manière évidente. On le notera simplement $\mathcal{O}_{X}(-\cdot\mathds{r}\mathds{E})$.

Enfin il est clair que si $f:X^{\prime}\rightarrow X$ est un morphisme plat, la paire de foncteurs adjoints $(f^{*},f_{*})$ entre les catégories $\operatorname{MOD}X$ et $\operatorname{MOD}X^{\prime}$ induit une adjonction similaire entre les catégories $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ et $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X^{\prime},f^{*}\mathds{D})$.

2.2 Fibrés paraboliques

2.2.1 Facette

On va définir certaines applications dont le but est $\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}=\prod_{i\in I}\frac{1}{r_{i}}\mathds{Z}$, vu comme ensemble ordonné.

Définition 2**.**

Soit $J\subset I$ un sous-ensemble, et $(e_{i})_{i\in I}$ la base canonique de $\mathds{Z}^{I}$. On appelle facette toute application croissante

[TABLE]

qui est affine au sens suivant : il existe une famille d’entiers $\boldsymbol{\epsilon}=(\epsilon_{i})_{i\in J}$ vérifiant $\forall i\in J\;\;1\leq\epsilon_{i}\leq r_{i}$ telle que :

[TABLE]

Par la suite, on identifiera une facette entre deux ensembles ordonnés avec le foncteur entre les catégories correspondantes.

La donnée d’une facette équivaut bien entendu à celle de $J$, $F(\mathds{0})$, et de la famille $\boldsymbol{\epsilon}$. Dans le cas particulier où $F(\mathds{0})=\mathds{0}$ et $\boldsymbol{\epsilon}=\mathds{r}_{|J}$, on parlera de la facette spéciale associée à $J$, et on la notera $F_{J}$, il s’agit simplement de “l’inclusion” $F_{J}:\{0<1\}^{J}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$. Plus généralement, lorsque $F(\mathds{0})=\mathds{0}$, on notera $F_{\frac{\boldsymbol{\epsilon}}{\mathds{r}}J}$ la facette correspondante.

2.2.2 Complexe associé à un faisceau parabolique et une facette

On commencer par préciser les conventions utilisées concernant les complexes multiples (essentiellement empruntées à [40]). Soit $J$ un ensemble fini. Un complexe (de chaînes) multiple à valeurs dans une catégorie abélienne $\mathcal{A}$ est un foncteur $C.=(\mathds{N}^{J})^{op}\rightarrow\mathcal{A}$ tel que si on note $(e_{i})_{i\in J}$ la base canonique de $\mathds{N}^{J}$, alors pour tout multi-indice $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_{i})_{i\in J}$, et pour tout $j\in J$, les morphismes $d^{j}_{\boldsymbol{\alpha}}:C_{\boldsymbol{\alpha}}\rightarrow C_{\boldsymbol{\alpha}-e_{j}}$ vérifient $d^{j}_{\boldsymbol{\alpha}-e_{j}}\circ d^{j}_{\boldsymbol{\alpha}}=0$.

A un tel complexe, on associe de la manière son complexe total $\operatorname{Tot}(C_{\cdot})_{\cdot}$ de la manière usuelle : on commence par transformer $C_{\cdot}$ en complexe anti-commutatif en fixant un ordre total arbitraire sur l’ensemble $J$ et en modifiant les différentielles de la manière suivante : on pose pour tout multi-indice $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_{i})_{i\in J}$ et pour tout $j\in J$ :

[TABLE]

L’appellation complexe anti-commutatif est justifiée par le fait qu’alors $\delta^{j}\delta^{j^{\prime}}=-\delta^{j^{\prime}}\delta^{j}$, lorsque ces expressions ont un sens, pour tout $j$, $j^{\prime}$ dans $J$. Le complexe total est alors défini par, pour $n\geq 0$ :

[TABLE]

où $|\boldsymbol{\alpha}|=\sum_{i\in J}\alpha_{i}$, et les différentielles étant définies par $\delta_{n}=\oplus_{\boldsymbol{\alpha},|\boldsymbol{\alpha}|=n}\sum_{i\in J}\delta^{i}_{\boldsymbol{\alpha}}$. Le fait qu’on parte d’un complexe anti-commutatif assure qu’on obtient bien ainsi un complexe (simple).

Définition 3**.**

Soient $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ un faisceau parabolique et $F:\{0<1\}^{J}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ une facette.

On appelle complexe multiple associé le prolongement par zéro du foncteur composé $\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}$ à $(\mathds{N}^{J})^{op}$, comme dans le diagramme ci-dessous :

\textstyle{(\mathds{N}^{J})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}$$\textstyle{(\{0<1\}^{J})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}}

Par abus, on notera encore ce complexe multiple $\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}$.

Le sens de ces définitions apparaît dans le cas particulier où $\mathcal{E}_{\cdot}=\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}$, le faisceau structurel muni de la structure parabolique spéciale, et $F=F_{J}$, la facette spéciale associée à $J$.

Lemme 1**.**

Pour $i\in I$ on note $(\mathcal{O}_{X}(-D_{i})\rightarrow\mathcal{O}_{X})$ le complexe de chaînes (simple) concentré en degrés $1$ et [math]. Pour tout $J\subset I$, il existe un isomorphisme naturel de complexes multiples :

[TABLE]

Démonstration.

Cela résulte simplement de l’expression de $\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}$ donnée par (1),§2.1.2. ∎

Cet exemple est crucial pour définir les fibrés paraboliques, puisque ceux-ci seront localement somme directe finie de faisceaux décalés du faisceau structurel, i.e. du type $\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}[\mathds{l}]$, pour $\mathds{l}\in\operatorname{obj}\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ (voir remarque 3), ce qui impose des contraintes fortes aux complexes associés à chaque facette.

De manière similaire, on a :

Lemme 2**.**

Supposons $\mathds{D}=\mathds{r}\mathds{E}$. Pour tout $J\subset I$, et tout $\boldsymbol{\epsilon}=(\epsilon_{j})_{j\in J}$ comme dans §2.2.1, il existe un isomorphisme naturel de complexes multiples :

[TABLE]

Démonstration.

Conséquence directe de la définition 2. ∎

2.2.3 Définition des fibrés paraboliques

Lemme 3**.**

Soit $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ un faisceau parabolique, et $F:\{0<1\}^{J}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ une facette. Il existe un morphisme naturel de complexes multiples

[TABLE]

qui est un isomorphisme en (multi-)degré $\mathds{0}$. Supposons de plus $\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}$ localement libre de rang fini, alors si $i_{J}:\cap_{i\in J}D_{i}\rightarrow X$ désigne l’immersion fermée canonique, il existe une surjection naturelle ${i_{J}}_{*}i_{J}^{*}\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}\twoheadrightarrow H_{0}(\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}))$.

On repousse la preuve après la définition suivante. La deuxième assertion montre que, sous les hypothèses du lemme 3, $H_{0}(\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}))$ est à support dans $\cap_{i\in J}D_{i}$, ce qui donne un sens333cette définition dépend a priori du choix d’un ordre total sur $I$, mais la proposition 1 et la remarque 1 qui s’ensuit montrent qu’il n’en est rien, au moins pour une famille régulière de diviseurs (voir §2.3.1) qui est le seul cas que nous considérerons à la :

Définition 4**.**

Soit $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ un faisceau parabolique. On dit que c’est un faisceau parabolique localement libre ou encore un fibré parabolique si pour toute facette $F:\{0<1\}^{J}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$, l’homologie $H_{l}(\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}))$ du complexe multiple associé est nulle pour $l>0$, et est un faisceau localement libre de rang fini sur $\cap_{i\in J}D_{i}$ pour $l=0$. On notera $\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ la catégorie des faisceaux paraboliques localement libres sur $X$ le long de $\mathds{D}$ à poids multiples de $\frac{1}{\mathds{r}}$.

Démonstration du lemme 3.

La deuxième assertion est une conséquence de la première, puisque celle-ci entraîne l’existence d’un morphisme de complexes simples $\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}\otimes(\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}\circ F_{J}^{op}))\rightarrow\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op})$ qui est un isomorphisme en degré [math], d’où un épimorphisme $H_{0}(\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}\otimes(\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}\circ F_{J}^{op})))\twoheadrightarrow H_{0}(\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op}))$. L’hypothèse sur $\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}$ donne alors $H_{0}(\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}\otimes(\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}\circ F_{J}^{op})))\simeq\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}\otimes H_{0}(\operatorname{Tot}((\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}\circ F_{J}^{op})))$. Le lemme 1 montre que $\operatorname{Tot}((\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}\circ F_{J}^{op}))$ est le complexe de Koszul associé à la famille $(D_{i})_{i\in J}$, ce qui permet de conclure.

Reste à montrer la première assertion. L’hypothèse que $F$ est une facette montre qu’on a en particulier $\forall\boldsymbol{\mu}=(\mu_{i})_{i\in J}\in\{0<1\}^{J}\;\;F(\boldsymbol{\mu})\leq F(\mathds{0})+F_{J}(\boldsymbol{\mu})$. Cette inégalité entre applications croissantes peut s’interpréter comme l’existence d’une transformation naturelle $\leq$ entre les foncteurs correspondants :

\textstyle{\{0<1\}^{J}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{F}$$\scriptstyle{F(\mathds{0})+F_{J}}$$\scriptstyle{\leq}$$\textstyle{\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}}

En passant aux catégories opposées et en composant avec $\mathcal{E}_{\cdot}$

\textstyle{({\{0<1\}^{J}})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{{F}^{op}}$$\scriptstyle{{(F(\mathds{0})+F_{J})}^{op}}$$\scriptstyle{{\leq}^{op}}$$\textstyle{({\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{E}_{\cdot}}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}

on obtient une transformation naturelle : $\mathcal{E}_{\cdot}\circ{\leq}^{op}:\mathcal{E}_{\cdot}\circ{(F(\mathds{0})+F_{J})}^{op}\rightarrow\mathcal{E}_{\cdot}\circ{F}^{op}$.

Le diagramme suivant

\textstyle{({\{0<1\}^{J})}^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{({F_{J}}^{op},F(\mathds{0}))}$$\scriptstyle{{(F(\mathds{0})+F_{J})}^{op}}$$\scriptstyle{({F_{J}}^{op},\mathcal{E}_{F(\mathds{0})})}$$\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{+}$$\scriptstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\mathcal{E}_{\cdot}}$$\textstyle{(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{E}_{\cdot}}$$\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\operatorname{MOD}X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{O}_{X}(-\cdot\mathds{D})\otimes\cdot}$$\scriptstyle{j}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}

montre que l’isomorphisme de pseudo-périodes $j$ de $\mathcal{E}_{\cdot}$ permet d’identifier $\mathcal{E}_{\cdot}\circ{(F(\mathds{0})+F_{J})}^{op}$ avec $\mathcal{E}_{F(\mathds{0})}\otimes(\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}\circ F_{J}^{op})$, ce qui conclut la démonstration du lemme.

∎

2.3 Fibrés paraboliques et revêtements

Pour montrer la pertinence de la définition 4, on doit montrer l’existence de fibrés paraboliques non triviaux, i.e. autre que les sommes directes de décalés de fibrés à structure spéciale (bien qu’ils soient tous localement de ce type). La manière la plus directe de produire de tels fibrés paraboliques est d’utiliser des revêtements de Kummer ramifiés le long d’une famille régulière de diviseurs. On commence par préciser ces notions.

2.3.1 Famille régulière de diviseurs

On rappelle le lemme folklorique suivant, ainsi qu’une preuve, repoussée après la définition 5, à laquelle il donne un sens.

Lemme 4**.**

Soit $X$ un schéma localement noethérien, $I$ un ensemble fini, $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ un ensemble de diviseurs de Cartier effectifs sur $X$, et pour tout $i\in I$, $s_{i}:\mathcal{O}_{X}\rightarrow\mathcal{O}_{X}(D_{i})$ la section canonique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. (i)

En tout point $x$ de $X$, soit une des sections $s_{i}$ est inversible, soit $(s_{i})_{i\in I}$ est une suite 444dans un anneau local noethérien, la régularité d’une suite ne dépend pas de l’ordre de ses éléments, ce qui permet de parler de famille régulière régulière (au sens de Serre), 2. (ii)

la section $(s_{i})_{i\in I}:\mathcal{O}_{X}\rightarrow\oplus_{i\in I}\mathcal{O}_{X}(D_{i})$ est régulière (i.e. le complexe de Koszul associé au morphisme dual n’a pas d’homologie en degré supérieur ou égal à $1$), 3. (iii)

$\cap_{i\in I}D_{i}\rightarrow X$* est une immersion fermée régulière, et si $\mathcal{I}_{I}$ est l’idéal engendré par les $(s_{i})_{i\in I}$, alors en tout point $x$ de $\cap_{i\in I}D_{i}$, les $(s_{i})_{i\in I}$ forment un système minimal (pour le cardinal) de générateurs de $\mathcal{I}_{I,x}$.*

Définition 5**.**

On dira que $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ est une famille régulière de diviseurs si pour tout sous-ensemble $J\subset I$, la sous-famille $\mathds{D}_{J}=(D_{i})_{i\in J}$ vérifie les conditions équivalentes du lemme 4.

Démonstration du lemme 4.

$(i)\implies(ii)$ : ceci résulte du fait que le complexe de Koszul associé soit à un morphisme surjectif, soit à une suite régulière, sont sans homologie en degré plus grand que $1$.

$(ii)\implies(iii)$ : le fait que $\mathcal{I}_{I}$ soit régulier résulte directement de la définition ([3], exposé VII, Définition 1.4). De plus en notant $\mathcal{E}_{I}=\oplus_{i\in I}\mathcal{O}_{X}(D_{i})$, et $i_{I}:\cap_{i\in I}D_{i}\rightarrow X$ l’immersion fermée canonique, la régularité de $s_{I}=(s_{i})_{i\in I}$ montre que $\mathcal{I}_{I}/\mathcal{I}_{I}^{2}\simeq i_{I}^{*}\mathcal{E}_{I}^{\vee}$, donc en un point $x$ de $\cap_{i\in I}D_{i}$, $\mathcal{I}_{I,x}/\mathcal{I}_{I,x}^{2}$ est libre de rang $\#I$, par conséquent $\mathcal{I}_{I,x}$ ne saurait être engendré par moins de $\#I$ éléments.

$(iii)\implies(i)$ $\cap_{i\in I}D_{i}\rightarrow X$ est une immersion fermée régulière donc en particulier quasi-régulière ([3], exposé VII, Proposition 1.3). Autrement dit $\mathcal{I}_{I}/\mathcal{I}_{I}^{2}$ est localement libre de rang fini sur $\cap_{i\in I}D_{i}$ et l’homomorphisme surjectif canonique

[TABLE]

est un isomorphisme. En un point $x$ de $\cap_{i\in I}D_{i}$, le lemme de Nakayama montre que le rang de $\mathcal{I}_{I,x}/\mathcal{I}_{I,x}^{2}$ sur $\mathcal{O}_{X,x}/\mathcal{I}_{I,x}$ est le nombre minimal de générateurs de $\mathcal{I}_{I,x}$ sur $\mathcal{O}_{X,x}$, à savoir $\#I$. Donc $(s_{i})_{i\in I}$ est une base de $\mathcal{I}_{I,x}/\mathcal{I}_{I,x}^{2}$ et par conséquent les $s_{i}$ définissent un isomorphisme $\mathcal{O}_{X,x}/\mathcal{I}_{I,x}[(S_{i})_{i\in I}]\simeq\operatorname{Sym}_{\mathcal{O}_{X,x}/\mathcal{I}_{I,x}}(\mathcal{I}_{I,x}/\mathcal{I}_{I,x}^{2})$, où les $S_{i}$ sont des indéterminées. On en conclut que l’homomorphisme surjectif $\mathcal{O}_{X,x}/\mathcal{I}_{I,x}[(S_{i})_{i\in I}]\twoheadrightarrow\operatorname{gr}_{\mathcal{I}_{I,x}}(\mathcal{O}_{X,x})$ défini par les $(s_{i})_{i\in I}$ est un isomorphisme, autrement dit la famille $(s_{i})_{i\in I}$ est quasi-régulière au sens de [19], ${\mathds{0}}$ Définition 15.1.7, donc régulière ([19], ${\mathds{0}}$ Corollaire 15.1.11).

∎

Lemme 5**.**

1. (i)

Toute sous-famille d’une famille régulière l’est également. 2. (ii)

Si $(l_{i})_{i\in I}$ est un ensemble d’entiers $l_{i}\geq 1$, alors la famille $(D_{i})_{i\in I}$ est régulière si et seulement si la famille $(l_{i}D_{i})_{i\in I}$ l’est.

Démonstration.

$(i)$ est immédiat.

$(ii)$ résulte, par récurrence, de la caractérisation $(i)$ du lemme 4, puisque qu’un élément est diviseur de zéro (resp. inversible) si et seulement une de ses puissances l’est. ∎

La notion de famille régulière de diviseurs s’étend aux champs de Deligne-Mumford localement noethériens, et le lemme 4 est encore valide. On a de plus le résultat utile suivant.

Proposition 1**.**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford localement noethérien, $\mathds{D}$ une famille régulière de diviseurs. Alors le faisceau parabolique $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ est localement libre si et seulement si :

1. (i)

$\forall\mathds{l}\in\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}$* le faisceau $\mathcal{E}_{\mathds{l}}$ est localement libre sur $X$.* 2. (ii)

$\forall i\in I$* $\forall l_{i}<l^{\prime}_{i}\leq l_{i}+1\in\frac{1}{r_{i}}\mathds{Z}$ $\operatorname{coker}((\mathcal{E}_{l^{\prime}_{i}})_{\cdot}\rightarrow(\mathcal{E}_{l_{i}})_{\cdot})$ est localement libre vu comme objet de $\operatorname{PAR}_{(\frac{1}{r_{j}})_{j\neq i}}(D_{i},(D_{j}\cap D_{i})_{j\neq i})$.*

Démonstration.

Pour démontrer l’équivalence, on peut supposer que (i) est vrai. Soit $J\neq\emptyset$, et $i\in J$. La donnée d’une facette $F:\{0<1\}^{J}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ équivaut à celle d’un triplet $(\tilde{F},l_{i},l^{\prime}_{i})$, où $\tilde{F}:\{0<1\}^{J-i}\rightarrow\prod_{j\in J-{i}}\frac{1}{r_{j}}\mathds{Z}$ est une facette, et $l_{i}<l^{\prime}_{i}\leq l_{i}+1$ dans $\frac{1}{r_{i}}\mathds{Z}$, tels que le diagramme suivant (bi)commute.

\textstyle{\{0<1\}^{J}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{F}$$\textstyle{\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}}$$\textstyle{\{0<1\}^{J-i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{0}$$\scriptstyle{1}$$\scriptstyle{\tilde{F}}$$\textstyle{\prod_{j\in J-{i}}\frac{1}{r_{j}}\mathds{Z}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{l_{i}}$$\scriptstyle{l^{\prime}_{i}}

En notant $F^{i}_{0}$ et $F^{i}_{1}$ les deux foncteurs $\{0<1\}^{J-i}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ correspondants, on dispose d’un morphisme de complexes multiples $1>0:\mathcal{E}_{\cdot}\circ{F^{i}_{1}}^{op}\rightarrow\mathcal{E}_{\cdot}\circ{F^{i}_{0}}^{op}$ et le fait qu’on suppose (i) vrai montre que ce morphisme est injectif. Il en est donc de même pour le morphisme induit $\operatorname{Tot}(1>0):\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ{F^{i}_{1}}^{op})\rightarrow\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ{F^{i}_{0}}^{op})$, et on vérifie que $\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op})$ s’identifie canoniquement au cône $\operatorname{cone}(\operatorname{Tot}(1>0))$ de celui-ci. On dispose donc d’un morphisme $\operatorname{Tot}(\mathcal{E}_{\cdot}\circ F^{op})\rightarrow\operatorname{coker}\operatorname{Tot}(1>0)$ qui est un quasi-isomorphisme ([40] 1.5.8), ce qui permet de conclure.

∎

Remarque 1**.**

En particulier, le fait, pour un faisceau parabolique donné, d’être localement libre, ne dépend pas de l’ordre choisi sur l’ensemble d’indices $I$.

2.3.2 Fibrés paraboliques relativement à une famille de diviseurs à croisements normaux simples

Définition 6**.**

Une famille $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ de diviseurs de Cartier effectifs sur un schéma localement noethérien $X$ est dite à croisements normaux simples si pour tout point $x$ de $\cup_{i\in I}D_{i}$ on a :

1. (i)

l’anneau local $\mathcal{O}_{X,x}$ est régulier, 2. (ii)

si $I_{x}=\{i\in I/x\in D_{i}\}$, et $s_{i}$ est une équation locale de $D_{i}$ en $x$, alors $\{s_{i},i\in I_{x}\}$ est une partie d’un système régulier de paramètres.

Remarque 2**.**

C’est une légère adaptation de **[21]**, Definition 1.8.2. 2. 2.

Il revient au même (**[21]**, Lemme 8.1.4) de dire que la famille est à croisements normaux et que chacun des $D_{i}$ est régulier. 3. 3.

Comme un système régulier de paramètres est (**[19]**, Définition 17.1.6) une famille régulière, une famille de diviseurs à croisements normaux simples est en particulier une famille régulière au sens de la définition 5.

Comme cette définition est invariante par un changement de base étale, elle a également un sens pour un champ de Deligne-Mumford. On a de plus :

Proposition 2**.**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford localement noethérien, $\mathds{D}$ une famille de diviseurs à croisements normaux simples. Alors le faisceau parabolique $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ est localement libre si et seulement si $\forall\mathds{l}\in\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}$ le faisceau $\mathcal{E}_{\mathds{l}}$ est localement libre sur $X$.

Démonstration.

Comme, pour tout $i\in I$, la famille $(D_{j}\cap D_{i})_{j\neq i}$ est à croisements normaux simples sur $D_{i}$ (voir [19], preuve de la Proposition 17.1.7), on peut raisonner par récurrence sur $\#I$. On conclut à l’aide de la proposition 1 et du lemme suivant (je remercie Angelo Vistoli pour m’avoir fourni le principe de la preuve) :

Lemme 6**.**

Soit $R$ un anneau local noethérien régulier, d’idéal maximal $\mathfrak{m}$, $t\in\mathfrak{m}$, $t\notin\mathfrak{m}^{2}$. Soient de plus $M$ et $N$ deux modules libres de rang fini tel que $tM\subset N\subset M$. Alors $M/N$ est libre comme $R/t$-module.

Démonstration.

De [19], Corollaire 17.1.8, on déduit que l’anneau local $R/t$ est régulier, et [19], Proposition 16.3.7 montre qu’il est de dimension $\dim R-1$. La formule d’Auslander-Buchsbaum ([19], Proposition 17.3.4) montre que le résultat à démontrer équivaut à $\operatorname{prof}_{R/t}M/N=\dim R-1$. Or [19], proposition 16.4.8 montre que $\operatorname{prof}_{R/t}M/N=\operatorname{prof}_{R}M/N$. De plus, [19], Corollaire 16.4.4 donne pour tout $R$-module de type fini $P$ : si $k=R/\mathfrak{m}$ est le corps résiduel, $\operatorname{prof}_{R}P=\inf\{m\geq 0/\operatorname{Ext}^{m}_{R}(k,P)\neq 0\}$. La suite exacte longue de cohomologie associée au foncteur $\operatorname{Hom}_{R}(k,\cdot)$ et à la suite exacte courte de $R$-modules $0\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow M/N\rightarrow 0$, et une nouvelle application de la formule d’Auslander-Buchsbaum, permettent de conclure.

∎

∎

2.3.3 Revêtements de Kummer

La définition des revêtements de Kummer adoptée ici est celle de [21], §1 : donné un ensemble fini $I$, $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ un ensemble d’entiers $r_{i}\geq 1$, des schémas localement noethériens $X$ et $Y$, $\mathds{s}=(s_{i})_{i\in I}$ un ensemble de sections régulières de $\mathcal{O}_{X}$, un morphisme $p:Y\rightarrow X$ est dit revêtement de Kummer si $Y$ est muni d’une action du schémas en groupes $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}=\prod_{i\in I}\boldsymbol{\mu}_{r_{i}}$ tel qu’il existe un $X$-isomorphisme $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-équivariant de $Y$ avec

[TABLE]

Alors $p:Y\rightarrow X$ est l’application naturelle vers le quotient schématique.

Pour $i\in I$, on notera $D_{i}$ (resp. $E_{i}$) le diviseur de Cartier associé à $s_{i}$ (resp. $t_{i}$), et $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ (resp. $\mathds{E}=(E_{i})_{i\in I}$) la famille correspondante.

Lemme 7**.**

On suppose que $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ est une famille régulière de diviseurs sur $X$. Alors la famille $\mathds{E}=(E_{i})_{i\in I}$ est une famille régulière de diviseurs sur $Y$.

Démonstration.

Comme $p$ est plat, la famille $p^{*}\mathds{D}=(p^{*}D_{i})_{i\in I}$ est régulière, par exemple d’après le lemme 4 $(ii)$. Or $(p^{*}D_{i})_{i\in I}=(r_{i}D_{i})_{i\in I}$, avec $r_{i}\geq 1$, et on peut appliquer le lemme 5 $(ii)$. ∎

2.3.4 Fibrés paraboliques associés à un revêtement de Kummer

Soit $p:Y\rightarrow X$ un revêtement de Kummer. On conserve les notations de la partie 2.3.3. On appellera $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-objet (ou objet $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-équivariant) d’un certain type sur $Y$ tout objet du même type sur le champ quotient $[Y|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]$. On notera $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{MOD}Y$ la catégorie des faisceaux $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-équivariants sur $Y$, $p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}:\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{MOD}Y\rightarrow\operatorname{MOD}X$ l’image directe le long de $[Y|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]\rightarrow X$, et $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(Y,p^{*}\mathds{D})$ la catégorie des $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-faisceaux paraboliques sur $Y$ le long de $p^{*}\mathds{D}$ à poids multiples de $\frac{1}{\mathds{r}}$ (ici $p^{*}\mathds{D}=(p^{*}D_{i})_{i\in I}$ est considérée comme une famille de diviseurs de Cartier effectifs $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-équivariants sur $Y$ de la manière canonique).

Vu la platitude de $[Y|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]\rightarrow X$ et la fonctorialité de $\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(Y,p^{*}\mathds{D})$ en $X$ (§2.1.2), on dispose d’un foncteur canonique

[TABLE]

qu’on peut détailler ainsi : donné un objet $(\mathcal{F}_{\cdot},k)$ de $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(Y,p^{*}\mathds{D})$ ($k$ désignant l’isomorphisme des pseudo-périodes), on lui associe $(\mathcal{E}_{\cdot},j)$, où $\mathcal{E}_{\cdot}=p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}\circ\mathcal{F}_{\cdot}$ (encore noté $p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}(\mathcal{F}_{\cdot})$), et $j$ est donné par la $2$-composition :

\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{+}$$\scriptstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\mathcal{F}_{\cdot}}$$\textstyle{(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I})^{op}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{F}_{\cdot}}$$\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{MOD}Y\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{O}_{Y}(-\cdot p^{*}\mathds{D})\otimes\cdot}$$\scriptstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}}$$\scriptstyle{k}$$\textstyle{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{MOD}Y\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}}$$\textstyle{(\mathds{Z}^{I})^{op}\times\operatorname{MOD}X\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\mathcal{O}_{X}(-\cdot\mathds{D})\otimes\cdot}$$\scriptstyle{proj}$$\textstyle{\operatorname{MOD}X}

la $2$-flèche $proj$ étant donnée par la formule de projection le long de $[Y|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]\rightarrow X$.

En composant ce foncteur avec le foncteur $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{MOD}Y\rightarrow\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(Y,p^{*}\mathds{D})$ donné par $\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{Y}(-\cdot\mathds{r}\mathds{E})$ (voir §2.1.2) on obtient :

Définition 7**.**

On notera $\widehat{\ }_{\cdot}$ le foncteur $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}\operatorname{MOD}Y\rightarrow\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ donné sur les objets par $\widehat{\mathcal{F}}_{\cdot}=p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}(\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{Y}(-\cdot\mathds{r}\mathds{E}))$.

Proposition 3**.**

On suppose que $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ est une famille régulière de diviseurs sur $X$, et que $\mathcal{F}$ est un $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-faisceau localement libre de rang fini sur $Y$. Alors le faisceau parabolique sur $X$ associé $\widehat{\mathcal{F}}_{\cdot}$ est un fibré parabolique sur $X$ (au sens de la définition 4).

Démonstration.

Soit $F:\{0<1\}^{J}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$ une facette correspondant à la donnée de $J$, $F(\mathds{0})$, et de la famille $\boldsymbol{\epsilon}$ (voir définition 2). Il s’agit de calculer l’homologie du complexe

[TABLE]

vu que le foncteur $\operatorname{Tot}$ commute à tout foncteur conservant les sommes directes. Or il est clair d’après la définition 2 que $F=F(\mathds{0})+F_{\frac{\boldsymbol{\epsilon}}{\mathds{r}}J}$ et donc :

[TABLE]

Le lemme 2 montre qu’on doit calculer l’homologie du complexe

[TABLE]

Le foncteur $p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}(\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{Y}(-\mathds{r}F(\mathds{0})\mathds{E}))\otimes\cdot)$ étant exact (en effet $p$ est affine donc $p_{*}$ est exact [[17] 1.3.2], et ${\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}$ est diagonalisable), on trouve donc

[TABLE]

Comme $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ est une famille régulière de diviseurs sur $X$, il en est de même, d’après le lemme 7, pour $\mathds{E}=(E_{i})_{i\in I}$. La définition 2 d’une facette impose que $\forall i\in J$, $\epsilon_{i}\geq 1$, et le lemme 5 montre que la famille $\boldsymbol{\epsilon}\mathds{E}_{|J}=(\epsilon_{i}E_{i})_{i\in J}$ est également une famille régulière de diviseurs.

On déduit du lemme 4 (ii) que $H_{l}(\operatorname{Tot}(\otimes_{i\in J}(\mathcal{O}_{Y}(-\epsilon_{i}E_{i})\rightarrow\mathcal{O}_{Y})))$ est nul pour $l>0$, et est isomorphe à $\mathcal{O}_{\cap_{i\in J}\epsilon_{i}E_{i}}$ pour $l=0$. On peut conclure à l’aide du lemme suivant :

Lemme 8**.**

Pour tout $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$-faisceau $\mathcal{F}$ localement libre de rang fini sur $Y$, le faisceau $p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}(\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{\cap_{i\in J}\epsilon_{i}E_{i}})$ est localement libre comme $\mathcal{O}_{\cap_{i\in J}D_{i}}$-module.

Démonstration.

Vu la commutativité du diagramme

\textstyle{\cap_{i\in J}\epsilon_{i}E_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{q}$$\scriptstyle{j_{J}}$$\textstyle{Y\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{p}$$\textstyle{\cap_{i\in J}D_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{i_{J}}$$\textstyle{X}

on a $p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}(\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{\cap_{i\in J}\epsilon_{i}E_{i}})\simeq p_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}{j_{J}}_{*}{j_{J}}^{*}\mathcal{F}\simeq{i_{J}}_{*}q_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}{j_{J}}^{*}\mathcal{F}$, et il s’agit donc de vérifier que $q_{*}^{\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}{j_{J}}^{*}\mathcal{F}$ est localement libre. Comme $\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}$ est diagonalisable, c’est un facteur direct de $q_{*}{j_{J}}^{*}\mathcal{F}$, et vu que $\mathcal{F}$ localement libre de rang fini sur $Y$, il suffit de prouver que $q$ est fini et plat. Il est clairement fini comme composé de l’immersion fermée $\cap_{i\in J}\epsilon_{i}E_{i}\rightarrow p^{*}(\cap_{i\in J}D_{i})$ (on rappelle que pour tout $i$ on a $\epsilon_{i}\leq r_{i}$) et de $p^{*}(\cap_{i\in J}D_{i})\rightarrow\cap_{i\in J}D_{i}$ (fini car $p$ l’est). Pour la platitude on peut clairement supposer $X$ affine, soit $X=\operatorname{spec}R$. Mais alors $\cap_{i\in J}\epsilon_{i}E_{i}=\operatorname{spec}(\otimes_{i\in J}\frac{R}{s_{i}}\frac{[t_{i}]}{t_{i}^{\epsilon_{i}}}\otimes_{R}\otimes_{i\notin J}\frac{R[t_{i}]}{t_{i}^{r_{i}}-s_{i}})$. Or pour $i\in J$ (resp. $i\notin J$) $t_{i}^{\epsilon_{i}}$ (resp. $t_{i}^{r_{i}}-s_{i}$) est unitaire, donc $\frac{R}{s_{i}}\frac{[t_{i}]}{t_{i}^{\epsilon_{i}}}$ (resp. $\frac{R[t_{i}]}{t_{i}^{r_{i}}-s_{i}}$) est plat sur $\frac{R}{s_{i}}$ (resp. sur $R$), donc $\otimes_{i\in J}\frac{R}{s_{i}}\frac{[t_{i}]}{t_{i}^{\epsilon_{i}}}\otimes_{R}\otimes_{i\notin J}\frac{R[t_{i}]}{t_{i}^{r_{i}}-s_{i}}$ est plat sur $\otimes_{i\in J}\frac{R}{s_{i}}$, qui est l’anneau définissant $\cap_{i\in J}D_{i}$.

∎

∎

2.4 Fibrés paraboliques et champ des racines

Soit $S$ un schéma, et $X\rightarrow S$ un champ de Deligne-Mumford, qu’on supposera toujours localement noethérien.

2.4.1 Champ des racines

Soit $r$ un entier supérieur ou égal à $1$, inversible dans $S$.

Définition 8** ([5],[14]).**

1. (i)

Soit un couple $(\mathcal{L},s)$ constitué d’un faisceau inversible sur $X$ et d’une section de ce faisceau. Soit $\mathcal{U}=[\mathds{A}^{1}|\mathds{G}_{m}]$ le champ classifiant les faisceaux inversibles muni d’une section. On appelle champ des racines $r$-ièmes de $(\mathcal{L},s)$ le champ

[TABLE]

où le produit fibré est pris par rapport aux morphismes $(\mathcal{L},s):X\rightarrow\mathcal{U}$, et l’élévation à la puissance $r$ : $\cdot^{\otimes r}:\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{U}$. 2. (ii)

Soit $D$ un diviseur de Cartier effectif sur $X$, $s_{D}$ la section canonique de $\mathcal{O}_{X}(D)$. On note $\sqrt[r]{D/X}$ le champ $\sqrt[r]{(\mathcal{O}_{X}(D),s_{D})/X}$.

Soit $I$ un ensemble fini, $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ un ensemble d’entiers $r_{i}\geq 1$, inversibles dans $S$.

Définition 9**.**

Soit $(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})=(\mathcal{L}_{i},s_{i})_{i\in I}$ un ensemble de faisceaux inversibles sur $X$ muni chacun d’une section. On note $\sqrt[\mathds{r}]{(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})/X}$ le champ $\times_{i\in I}\sqrt[r_{i}]{(\mathcal{L}_{i},s_{i})/X}$. 2. 2.

Soit $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ un ensemble de diviseurs de Cartier effectifs sur $X$. On note $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ le champ $\times_{i\in I}\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X}$.

Proposition 4**.**

Soit $(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})=(\mathcal{L}_{i},s_{i})_{i\in I}$ un ensemble de faisceaux inversibles sur $X$ munis de sections. Supposons qu’on dispose sur $X$ de faisceaux inversibles $\mathcal{N}_{i}$ et d’isomorphismes $\psi_{i}:\mathcal{N}_{i}^{\otimes r_{i}}\simeq\mathcal{L}_{i}$. Il existe alors un isomorphisme naturel de champs sur $X$ :

[TABLE]

Démonstration.

Le cas où $\#I=1$ est traité dans [14], version 1, Proposition 3.2, (voir aussi [10], théorème 4), et le cas général en résulte immédiatement. ∎

Corollaire 1**.**

Soit $\mathds{s}=(s_{i})_{i\in I}$ un ensemble de sections régulières de $\mathcal{O}_{X}$, $D_{i}=(s_{i})$ les diviseurs de Cartier correspondants. Alors il existe un isomorphisme naturel de champs sur $X$ :

[TABLE]

Démonstration.

Découle directement de la proposition 4. ∎

2.4.2 La correspondance : énoncé

Soit $(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})=(\mathcal{L}_{i},s_{i})_{i\in I}$ un ensemble de faisceaux inversibles sur $X$ munis de sections. Sur $\sqrt[\mathds{r}]{(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})/X}$, on dispose d’une racine $\mathds{r}$-ième canonique $(\mathds{\mathcal{N}},\mathds{t})=(\mathcal{N}_{i},t_{i})_{i\in I}$ de $(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})$.

On note $\pi:\sqrt[\mathds{r}]{(\mathds{\mathcal{L}},\mathds{s})/X}\rightarrow X$ le morphisme canonique.

Dans le cas particulier où les couples $(\mathcal{L}_{i},s_{i})$ sont associés à des diviseurs effectifs $D_{i}$ sur $X$ (i.e. $(\mathcal{L}_{i},s_{i})=(\mathcal{O}_{X}(D_{i}),s_{D_{i}})$ pour tout $i\in I$), les relations $\pi^{*}s_{i}=t_{i}^{\otimes r_{i}}$, et le fait que $\pi$ est plat, montrent que les $t_{i}:\mathcal{O}_{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}}\rightarrow\mathcal{N}_{i}$ sont des monomorphismes (i.e. les $t_{i}$ sont des sections régulières), si bien que les couples $(\mathcal{N}_{i},t_{i})$ sont associés à des diviseurs de Cartier effectifs $E_{i}$ sur $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$.

En imitant la construction du §2.3.4 on obtient un foncteur :

\textstyle{\widehat{\ }_{\cdot}:}$$\textstyle{\operatorname{MOD}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})}$$\textstyle{\mathcal{F}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\widehat{\mathcal{F}}_{\cdot}=\pi_{*}(\mathcal{F}\otimes\mathcal{O}_{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}}(-\cdot\mathds{r}\mathds{E}))}

Théorème 2**.**

On suppose que $\mathds{D}$ est une famille régulière de diviseurs sur le champ de Deligne-Mumford $X$. Alors le foncteur $\widehat{\ }_{\cdot}$ induit une équivalence de catégories tensorielles entre $\operatorname{Vect}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$ et $\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$.

2.4.3 Bonne définition

Il s’agit de voir que si $\mathcal{F}\in\operatorname{obj}\operatorname{Vect}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$, alors le faisceau parabolique $\widehat{\mathcal{F}}_{\cdot}$ est localement libre. Comme il s’agit d’une question locale pour la topologie étale sur $X$, on peut, quitte à prendre un atlas étale, supposer que $X$ est un schéma. Quitte à localiser encore de façon à trivialiser chacun des diviseurs de la famille $\mathds{D}$, le corollaire 1 montre qu’on peut supposer que $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\rightarrow X$ est du type $[Y|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]\rightarrow X$, où $Y\rightarrow X$ est un revêtement de Kummer ramifié le long de $\mathds{D}$. Mais alors la proposition 3 permet de conclure.

2.4.4 Équivalence réciproque

Soit $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$. On pose

[TABLE]

où $\int^{\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}}$ désigne la cofin (coend), voir [27]. C’est à priori un élément de $\operatorname{MOD}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$, mais on va voir que c’est en fait un faisceau localement libre.

Lemme 9**.**

On fixe $i\in I$. Soient les foncteurs

\textstyle{\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})}$$\textstyle{\operatorname{PAR}_{(\frac{1}{r_{j}})_{j\neq i}}(\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X},(\pi_{i}^{*}D_{j})_{j\neq i})}$$\textstyle{L_{i}:\mathcal{E}_{\cdot}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{L_{i}\mathcal{E}_{\cdot}=\int^{l_{i}\in\frac{1}{r_{i}}\mathds{Z}}\pi_{i}^{*}(\mathcal{E}_{l_{i}})_{\cdot}\otimes\mathcal{N}_{i}^{\otimes r_{i}l_{i}}}$$\textstyle{R_{i}\mathcal{F}_{\cdot}:(l_{i}\rightarrow{\pi_{i}}_{*}(\mathcal{F}_{\cdot}\otimes\mathcal{N}_{i}^{\otimes{-l_{i}r_{i}}}))}$$\textstyle{\mathcal{F}_{\cdot}:R_{i}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}

où $\pi_{i}:\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X}\rightarrow X$ désigne la projection canonique, $\mathcal{N}_{i}$ la racine $r_{i}$-ème canonique de $\mathcal{O}_{X}(D_{i})$ sur $\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X}$, et $(\mathcal{E}_{l_{i}})_{\cdot}$ la restriction de $\mathcal{E}_{\cdot}$ via le foncteur $\prod_{j\neq i}\frac{1}{r_{j}}\mathds{Z}\rightarrow\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}$ induit par $l_{i}$.

Ces foncteurs sont adjoints, $L_{i}$ étant adjoint à gauche et $R_{i}$ adjoint à droite.

Démonstration.

Cela résulte de la définition des cofins. ∎

Lemme 10**.**

Le foncteur $L_{i}$ envoie $\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ sur $\operatorname{Par}_{(\frac{1}{r_{j}})_{j\neq i}}(\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X},(\pi_{i}^{*}D_{j})_{j\neq i})$.

Démonstration.

On procède par récurrence sur $\#I$. On commence par le cas où $\#I=1$. Le cas où $X$ est un schéma est traité dans [10]. Le cas général s’y ramène grâce au lemme suivant :

Lemme 11**.**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford, $\mathcal{E}:K\rightarrow\operatorname{Vect}X$ un diagramme, $p:X_{0}\rightarrow X$ un atlas étale. Si $\lim_{\stackrel{{\scriptstyle\rightarrow}}{{k\in K}}}p^{*}\mathcal{E}_{k}$ existe dans $\operatorname{Vect}X_{0}$, alors $\lim_{\stackrel{{\scriptstyle\rightarrow}}{{k\in K}}}{\mathcal{E}_{k}}$ existe dans $\operatorname{Vect}X$.

Démonstration.

C’est à peu près direct à partir de la description suivante des objets de $\operatorname{Vect}X$ : soit $X_{1}=X_{0}\times_{X}X_{0}$, et $s,b:X_{1}\rightrightarrows X_{0}$ le groupoïde correspondant. La catégorie $\operatorname{Vect}X$ est équivalente à la catégorie des couples $(\mathcal{E}_{0},\alpha)$, où $\mathcal{E}_{0}\in\operatorname{obj}\operatorname{Vect}X_{0}$, et $\alpha:s^{*}\mathcal{E}_{0}\simeq b^{*}\mathcal{E}_{0}$ est une donnée de descente, i.e. vérifie la condition de descente : $m^{*}\alpha=pr_{1}^{*}\alpha\circ pr_{2}^{*}\alpha$, où $pr_{1},pr_{2},m:X_{1}\times_{X_{0}}X_{1}\rightarrow X_{1}$ désignent respectivement, les projections et la multiplication dans le groupoïde.

∎

On revient au cas général ($\#I$ quelconque) : pour montrer que $\int^{l_{i}\in\frac{1}{r_{i}}\mathds{Z}}\pi_{i}^{*}(\mathcal{E}_{l_{i}})_{\cdot}\otimes\mathcal{N}_{i}^{\otimes r_{i}l_{i}}$ est un faisceau parabolique localement libre, le plus simple est d’appliquer la proposition 1. La partie $(i)$ du critère résulte du cas $\#I=1$. Pour vérifier la partie $(ii)$ de ce critère, on fixe $j\neq i$, et $l^{\prime}_{j}<l_{j}\leq l_{j}+1\in\frac{1}{r_{j}}\mathds{Z}$. Il s’agit de voir que

[TABLE]

est un objet de $\operatorname{Par}_{(\frac{1}{r_{k}})_{k\neq i,j}}(\pi_{i}^{*}D_{j},(\pi_{i}^{*}(D_{k}\cap D_{j}))_{k\neq i,j})$. Mais comme le foncteur $L_{i}$ est adjoint à gauche (lemme 9), donc exact à droite, et $\pi_{i}^{*}D_{j}=\sqrt[r_{i}]{D_{j}\cap D_{i}/D_{j}}$, cela résulte de l’hypothèse de récurrence.

∎

2.4.5 Preuve de l’équivalence

Lemme 12**.**

Le foncteur $R_{i}$ envoie $\operatorname{Par}_{(\frac{1}{r_{j}})_{j\neq i}}(\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X},(\pi_{i}^{*}D_{j})_{j\neq i})$ sur $\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$, et est une équivalence réciproque de la restriction de $L_{i}$ à $\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$.

Démonstration.

On commence par remarquer que si la première assertion est vérifiée, la seconde à un sens, et est vraie : en effet on peut se contenter de vérifier que $L_{i}$ et $R_{i}$ sont des isomorphismes après évaluation des variables, et on se ramène donc au cas où $\#I=1$. C’est de nouveau un problème local pour la topologie étale, et on peut donc se ramener au cas où $X$ est un schéma. Pour ce dernier cas, on renvoie à [10].

On montre l’ensemble des deux assertions par récurrence sur $\#I$. Pour le cas où $\#I=1$ : la première assertion résulte de la partie 2.4.3, la seconde s’ensuit. Pour $I$ quelconque on applique l’hypothèse de récurrence qui permet de dire que $\operatorname{Vect}\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\simeq\operatorname{Par}_{(\frac{1}{r_{j}})_{j\neq i}}(\sqrt[r_{i}]{D_{i}/X},(\pi_{i}^{*}D_{j})_{j\neq i})$, et à nouveau la partie 2.4.3 permet de conclure à la validité de la première assertion, et donc de la seconde. ∎

2.4.6 Preuve du caractère tensoriel

Vu l’expression du produit tensoriel donnée §2.1.2, le fait que l’équivalence soit compatible au produit tensoriel résulte de la formule de Fubini pour les cofins (voir [27], et [10] pour le détail dans le cas où $\#I=1$).

2.4.7 Structure locale des fibrés paraboliques

Corollaire 2**.**

Avec les notations du théorème 2, pour tout fibré parabolique $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}(\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D}))$, et tout point $x\in X$, il existe un voisinage étale $U\rightarrow X$ de $x$ tel que ${\mathcal{E}_{\cdot}}_{|U}$ soit une somme directe finie de fibrés paraboliques inversibles.

Démonstration.

Vu le théorème 2, il suffit de montrer la propriété correspondante pour les fibrés champêtres, mais alors la preuve de [10], Proposition 3.2, s’adapte immédiatement. ∎

Remarque 3**.**

Si $X$ est de plus un schéma, on peut imposer à $U\rightarrow X$ d’être un ouvert pour la topologie de Zariski. 2. 2.

La preuve montre qu’on peut choisir les fibrés paraboliques de la forme $\underline{\mathcal{O}_{X}}_{\cdot}[\mathds{l}]$, pour $\mathds{l}\in\operatorname{obj}\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}$. En termes champêtres, si $X=\operatorname{spec}R$, où $R$ est un anneau local, alors $\operatorname{Pic}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})\simeq\frac{\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z}^{I}}{\mathds{Z}^{I}}$, voir §2.4.8. 3. 3.

On suppose de plus que $\mathds{D}$ une famille de diviseurs à croisements normaux simples. Alors la proposition 2 et le corollaire 2 montrent que si les composantes du faisceau parabolique $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{PAR}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ sont localement libres, il est localement abélien au sens de **[23]**, Definition 2.2.

2.4.8 Groupe de Picard des champs des racines

Le corollaire suivant est énoncé, dans le cas particulier des courbes tordues, dans [13]. Le théorème 2 n’est pas indispensable pour le démontrer (on peut aussi utiliser [14], Corollary 3.1.2), mais en fournit une preuve commode.

Corollaire 3**.**

Avec les notations du théorème 2, on a une suite exacte naturelle

[TABLE]

Démonstration.

On peut supposer les $D_{i}$ connexes (en effet si $D$ et $D^{\prime}$ sont deux diviseurs de Cartier effectifs à supports disjoints, et $r\geq 1$ est un entier, alors $\sqrt[r]{D+D^{\prime}|X}\simeq\sqrt[r]{D|X}\times_{X}\sqrt[r]{D^{\prime}|X}$).

On note $\mathcal{N}_{i}$ la racine $r_{i}$-ème canonique de $\mathcal{O}_{X}(D_{i})$ sur $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}$, et $\pi:\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}\rightarrow X$ le morphisme naturel. On va montrer plus précisément : il existe un unique morphisme surjectif $\operatorname{Pic}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})\rightarrow\prod_{i\in I}\frac{\mathds{Z}}{r_{i}}$ envoyant $[\mathcal{N}_{i}]$ sur le générateur canonique de la $i$-ème composante, et dont le noyau est $\pi^{*}:\operatorname{Pic}X\rightarrow\operatorname{Pic}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})$.

Il suffit de le montrer pour $\#I=1$. En effet en supposant cette propriété vérifiée dans ce cas, le morphisme naturel

[TABLE]

envoie $[\mathcal{N}_{i}]$ sur le générateur canonique de la $i$-ème composante, et est donc surjectif. Comme une récurrence immédiate donne l’égalité des cardinaux, c’est un isomorphisme.

Reste à voir le cas où $\#I=1$. Cela résulte immédiatement de l’assertion : pour tout faisceau inversible $\mathcal{K}$ sur $\sqrt[r]{D|X}$, il existe un unique entier $l$ dans $\{0,\cdots,r-1\}$ tel qu’il existe $\mathcal{M}$ faisceau inversible sur $X$ tel que $\mathcal{K}\otimes\mathcal{N}^{\otimes l}\simeq\pi^{*}\mathcal{M}$. En traduisant en termes de fibrés paraboliques grâce au théorème 2555en fait la version à indice unique montrée dans [10]. on voit qu’il faut montrer : pour tout faisceau parabolique inversible $\mathcal{K}_{\cdot}$ à poids dans $\frac{1}{r}\mathds{Z}$, il existe un unique entier $l$ dans $\{0,\cdots,r-1\}$ tel qu’il existe $\mathcal{M}$ faisceau inversible sur $X$ tel que $\mathcal{K}_{\cdot}[\frac{l}{r}]\simeq\underline{\mathcal{M}}_{\cdot}$ (le faisceau parabolique à structure spéciale associé à $\mathcal{M}$, voir §2.1.2). La donnée de $\mathcal{K}_{\cdot}$ équivaut à celle d’une filtration

[TABLE]

telle que pour $l\leq l^{\prime}$, le faisceau $\mathcal{K}_{\frac{l}{r}}/\mathcal{K}_{\frac{l^{\prime}}{r}}$ est localement libre sur $\mathcal{O}_{D}$. Ceci implique l’égalité des rangs :

[TABLE]

mais comme $\mathcal{K}_{0}$ est inversible et $D$ est connexe, il existe un unique entier $l$ dans $\{0,\cdots,r-1\}$ tel que $\mathcal{K}_{\frac{l}{r}}\neq\mathcal{K}_{\frac{l+1}{r}}$, et pour cet entier $\mathcal{K}_{\cdot}[\frac{l}{r}]\simeq\underline{\mathcal{K}_{0}}_{\cdot}$.

∎

2.4.9 Image directe de fibrés paraboliques

On se donne $S$ un schéma de base, $X\rightarrow S$ (respectivement $Y\rightarrow S$) un $S$-champ de Deligne-Mumford localement noethérien, $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ (respectivement $\mathds{E}=(E_{j})_{j\in J}$) une famille régulière de diviseurs sur $X$ (respectivement sur $Y$), et $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ (respectivement $\mathds{s}=(s_{j})_{j\in J}$) une famille d’entiers (supérieurs à $1$, inversibles dans $S$). On fixe de plus $p:Y\rightarrow X$ un $S$-morphisme représentable fini et plat, $\alpha:J\rightarrow I$ une application, vérifiant

$\forall j\in J\;\;s_{j}|r_{\alpha(j)}$ 2. 2.

$\forall i\in I\;\;p^{*}D_{i}=\sum_{j\in\alpha^{-1}(i)}\frac{r_{i}}{s_{j}}E_{j}$

Enfin, on note $q:\sqrt[\mathds{s}]{\mathds{E}/Y}\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ le morphisme naturel.

Définition 10**.**

Sous les conditions ci-dessus, on définit l’image directe d’un fibré parabolique par la formule :

\textstyle{p_{*}:}$$\textstyle{\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{s}}}(Y,\mathds{E})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})}$$\textstyle{\mathcal{E}_{\cdot}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{(p_{*}{\mathcal{E}_{\cdot}})_{\cdot}=(\frac{\mathds{l}}{\mathds{r}}\rightarrow p_{*}(\mathcal{E}_{\frac{\mathds{l}\circ\alpha}{\mathds{s}}}))}

Proposition 5**.**

Les foncteurs d’images directes champêtre et parabolique sont compatibles : on a un isomorphisme fonctoriel en $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{s}}}(Y,\mathds{E})$ : $\widehat{(p_{*}{\mathcal{E}_{\cdot}})_{\cdot}}\simeq q_{*}(\widehat{\mathcal{E}_{\cdot}})$.

Démonstration.

On note $\pi:\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\rightarrow X$ et $\varpi:\sqrt[\mathds{s}]{\mathds{E}/Y}\rightarrow Y$ les morphismes canoniques. On a un $2$-isomorphisme naturel $\pi\circ q\simeq p\circ\varpi$.

Pour tout $i$ dans $I$ (respectivement $j$ dans $J$), soit $\mathcal{M}_{i}$ (respectivement $\mathcal{N}_{j})$ la racine $r_{i}$-ème (respectivement $s_{j}$-ème) canonique de $\mathcal{O}_{X}(D_{i})$ (respectivement de $\mathcal{O}_{Y}(E_{j})$) sur $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ (respectivement sur $\sqrt[\mathds{s}]{\mathds{E}/Y})$, elle est muni de sa section canonique. Le morphisme $q$ est défini par la condition : pour tout $i$ dans $I$, $q^{*}(\mathcal{M}_{i})=\otimes_{j\in\alpha^{-1}(i)}\mathcal{N}_{j}$, et la condition correspondante évidente sur les sections.

On fixe $\mathcal{E}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{s}}}(Y,\mathds{E})$ et $(\frac{\mathds{l}}{\mathds{r}})=(\frac{l_{i}}{r_{i}})_{i\in I}\in\operatorname{obj}(\frac{1}{\mathds{r}}\mathds{Z})$, et on calcule :

[TABLE]

d’où la conclusion.

∎

3 Groupe fondamental modéré comme groupe fondamental champêtre

3.1 Groupe fondamental champêtre

Noohi ([31]) et Zoonekynd ([43]) ont étendu la théorie classique du groupe fondamental profini de [2] du cas d’un schéma à celui d’un champ de Deligne-Mumford. On rappelle brièvement leur définition.

Définition 11** ([2],[31],[43]).**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford. On note $\operatorname{Rev}X$ la $2$-sous-catégorie pleine de la $2$-catégorie $\operatorname{Champs}X$ des champs sur $X$ dont les objets sont les morphismes $Y\rightarrow X$ représentables étales finis. On note $\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X$ la catégorie associée (i.e. la catégorie dont les morphismes sont les classes de $2$-isomorphisme de $1$-morphismes dans $\operatorname{Rev}X$).

Théorème 3** ([31] Theorem 4.2, [43] §3).**

Si $X$ est un champ de Deligne-Mumford connexe, et $x:\operatorname{spec}\Omega\rightarrow X$ un point géométrique, la paire $(\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X,x^{*})$ est une catégorie galoisienne au sens de [2].

Définition 12**.**

Avec les notations du théorème, on notera $\pi_{1}(X,x)$ le groupe fondamental de la catégorie galoisienne $(\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X,x^{*})$.

3.2 Groupe fondamental modéré

On rappelle le résultat suivant :

Théorème 4** ([21] Theorem 2.4.2).**

Soit $X$ un schéma localement noethérien, normal, connexe, $D$ un diviseur à croisements normaux, et $x:\operatorname{spec}\Omega\rightarrow X$ un point géométrique, $x\notin D$. La catégorie $\operatorname{Rev}^{D}(X)$ des revêtements de $X$ modérément ramifiés le long de $X$ est une catégorie galoisienne, dont on note $\pi_{1}^{D}(X,x)$ le groupe fondamental.

On va se restreindre à étudier le cas d’une famille de diviseurs à croisements normaux simples (définition 6). Le but de ce paragraphe est de démontrer :

Proposition 6**.**

Avec les hypothèses du théorème 4, si on suppose de plus $X$ défini sur un corps $k$, et $D$ est la réunion d’une famille $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ de diviseurs irréductibles à croisements normaux simples, alors il existe un isomorphisme naturel :

[TABLE]

où la limite est prise sur les multi-indices $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ d’entiers non divisibles par la caractéristique $p$ de $k$.

Dans le reste de ce paragraphe 3, on conservera les hypothèses de la proposition 6. On va montrer que l’on a une équivalence naturelle de catégories galoisiennes666la notion de $2$-limite filtrée de catégories utilisée ici et par la suite est précisée dans l’appendice A:

[TABLE]

La compatibilité de cet isomorphisme aux foncteurs fibres induits par $x$ impliquera bien la proposition 6777Comme $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ admet $X$ pour espace des modules, $x$ définit aussi un point géométrique de ce champ.

3.3 Le foncteur $C$

Lemme 13**.**

Soit $\pi:Y\rightarrow X$ dans $\operatorname{obj}\operatorname{Rev}^{D}(X)$ galoisien de groupe $G$ (au sens de [21] 2.4.5), de multi-indice de ramification $\mathds{r}$. Alors le morphisme naturel de champs $[Y|G]\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ est un isomorphisme.

Démonstration.

Cela résulte, essentiellement, de l’hypothèse que $D$ est à croisements normaux simples, et du lemme d’Abhyankar.

En détail : on précise d’abord la définition du morphisme naturel $[Y|G]\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$. Soit $\mathds{E}=(E_{i})_{i\in I}$ la famille de diviseurs sur $Y$ défini par $\forall i\in I\;E_{i}=(\pi^{*}D_{i})_{red}$, si bien que $\forall i\in I\;\pi^{*}D_{i}=r_{i}E_{i}$.

Soit $S$ un schéma, et $(f,p)$ un objet de $[Y|G](S)$, i.e. une paire constituée d’un $G$-torseur $p:T\rightarrow S$ et d’un morphisme $G$-équivariant $f:T\rightarrow Y$. On a les quotients schématiques $S=T/G$ et $X=Y/G$, si bien qu’il existe un unique morphisme $g:S\rightarrow X$ tel que $g\circ p=\pi\circ f$. Pour tout $i\in I$, le faisceau $\mathcal{O}_{T}(f^{*}E_{i})$ définit une racine $r_{i}$-ème de $D_{i}$ sur $T$, comme ce faisceau est $G$-équivariant, on peut le descendre canoniquement le long du $G$-torseur $p:T\rightarrow S$, et les racines $r_{i}$-ièmes $p_{*}^{G}(\mathcal{O}_{T}(f^{*}E_{i}))$ de $D_{i}$ sur $S$ définissent un objet de $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}(S)$.

Pour montrer que ce morphisme $[Y|G]\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ est un isomorphisme, il suffit de le vérifier sur les fibres géométriques, et on peut donc supposer que $X=\operatorname{spec}R$, où $R$ est un anneau local noethérien strictement hensélien. Comme c’est évident en dehors du support de $\mathds{D}$, on peut supposer de plus $R$ régulier.

On choisit pour tout $i\in I$ une équation locale $s_{i}$ de $D_{i}$. On pose $R^{\prime}=\frac{R[(T_{i})_{i\in I}]}{(T_{i}^{r_{i}}-s_{i})_{i\in I}}$, où les $(T_{i})_{i\in I}$ sont des indéterminées, et $X^{\prime}=\operatorname{spec}R^{\prime}$. Le morphisme $X^{\prime}\rightarrow X$ est modérément ramifié ([21] Example 2.2.4). Comme les $s_{i}$ sont tous dans l’idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $R$, $R^{\prime}$ est un anneau local. Vu que la famille $(D_{i})_{i\in I}$ est à croisements normaux simples, $R^{\prime}$ est même régulier ([21], Proposition 1.8.5).

On a encore $Y=\operatorname{spec}S$, où $S$ est une $R$-algèbre finie, donc un produit fini d’anneaux locaux strictement henséliens (en effet l’hypothèse de modération impose que les extensions résiduelles sont séparables [[21] Definition 2.1.2], donc ici triviales). On réduit facilement le problème au cas où $Y$ est irréductible. Vu que les $r_{i}$ sont non nuls résiduellement, on peut choisir des équations $t_{i}$ des $E_{i}$ telles que $t_{i}^{r_{i}}=s_{i}$ dans $S$. Celles-ci définissent un $X$-morphisme $Y\rightarrow X^{\prime}$.

Soit $Y^{\prime}$ le produit fibré de $Y$ et $X$ sur $X^{\prime}$ dans $\operatorname{Rev}^{D}(X)$, c’est à dire la normalisation du produit fibré schématique $Y\times_{X}X^{\prime}$. On a donc $Y=\operatorname{spec}S^{\prime}$, où $S^{\prime}$ est la clôture intégrale de $R^{\prime}$ dans l’extension des anneaux de fractions totaux $R(Y)/R(X)$. Comme celle-ci est finie étale d’après l’hypothèse de modération, le morphisme $Y^{\prime}\rightarrow X^{\prime}$ est fini. Comme $Y^{\prime}\rightarrow X$ est modéré, toute composante irréductible de $Y^{\prime}$ domine $X$, et donc toute composante irréductible de $Y^{\prime}$ domine $X^{\prime}$. On peut donc appliquer le théorème de pureté de Zariski-Nagata ([2], X Théorème 3.1) pour voir que le lieu où $Y^{\prime}\rightarrow X^{\prime}$ est ramifié est de pure codimension $1$. Mais le lemme d’Abhyankar ([2], X Lemme 3.6) montre que ce morphisme n’est pas non plus ramifié en codimension $1$. Il est donc étale, et comme $X^{\prime}$ est strictement local, c’est un revêtement trivial de $X^{\prime}$.

Comme $Y^{\prime}\rightarrow Y$ est séparé (car affine), la section définie par le morphisme $Y\rightarrow X^{\prime}$ ci-dessus est une immersion fermée. L’égalité des dimensions, et le fait que $Y$ et $Y^{\prime}$ sont réduits (car normaux), impliquent que cette section identifie $Y$ à une composante irréductible de $Y^{\prime}$. Donc le morphisme $Y\rightarrow X^{\prime}$ construit au départ est en fait un isomorphisme au dessus de $X$. Le groupe $G=\operatorname{Aut}_{X}Y$ s’identifie canoniquement à $\operatorname{Aut}_{X}X^{\prime}={\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}}$, et on conclut grâce au corollaire 1 (ou plutôt, grâce à sa preuve, qui donne une version explicite de l’isomorphisme).

∎

Lemme 14**.**

Soit $Y\rightarrow X$ dans un objet de $\operatorname{Rev}^{D}(X)$, $Z\rightarrow X$ un objet galoisien de $\operatorname{Rev}^{D}(X)$, de groupe $G$, dominant $Y\rightarrow X$, $\mathds{r}$ les indices de ramification de $Z\rightarrow X$, $H$ le groupe de Galois de $Z\rightarrow Y$. Le morphisme de champs $[Z|H]\rightarrow[Z|G]$ est étale, et composé avec l’isomorphisme canonique $[Z|G]\simeq\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ défini dans la proposition 13 il définit un objet de $\varinjlim_{\mathds{r}}\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$, qui est, à isomorphisme près, indépendant du choix de $Z$.

Définition 13**.**

On notera $C(Y\rightarrow X)$ l’objet de $\varinjlim_{\mathds{r}}\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$ défini dans le lemme 14.

Il est clair qu’on a en fait défini un foncteur

[TABLE]

3.4 Le foncteur $M$

Lemme 15**.**

Soit $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ une famille d’entiers non divisibles par la caractéristique $p$ de $k$ et $T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ un revêtement étale. Soit $N(T)$ la fermeture intégrale de $X$ dans $R(T)/R(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})=R(X)$.

1. (i)

Il existe un unique morphisme de champs $T\rightarrow N(T)$ faisant commuter le diagramme

\textstyle{T\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{N(T)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{X}

et ce morphisme est surjectif. 2. (ii)

Le morphisme canonique $N(T)\rightarrow X$ est un revêtement modérément ramifié de $X$ le long de $D$, et le foncteur obtenu

\textstyle{\operatorname{Rev}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\operatorname{Rev}^{D}(X)}

commute au produit fibré. 3. (iii)

Si de plus $T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ est galoisien de groupe $G$, $N(T)\rightarrow X$ l’est également, de multi-indice de ramification $\mathds{r}^{\prime}$ divisant $\mathds{r}$, et le morphisme $N(T)\rightarrow[N(T)|G]\simeq\sqrt[\mathds{r}^{\prime}]{\mathds{D}/X}$ défini dans le lemme 13 s’inscrit dans un diagramme cartésien :

\textstyle{T\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\Box}$$\textstyle{N(T)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\sqrt[\mathds{r}^{\prime}]{\mathds{D}/X}}

Démonstration.

1. (i)

Pour l’existence et l’unicité du morphisme : soit $T_{0}\rightarrow T$ un atlas étale, et $s,b:T_{1}\rightrightarrows T_{0}$ le groupoïde correspondant. Il résulte de [21] Proposition 1.8.5 et [2] Exposé I, Corollaire 9.10, que $T_{1}$ et $T_{0}$ sont normaux. L’affirmation résulte alors de la propriété universelle de la fermeture intégrale ([16] 6.3.9).

Pour montrer la surjectivité, on peut supposer $X=\operatorname{spec}R$, où $R$ est un anneau. On pose $R^{\prime}=\frac{R[(T_{i})_{i\in I}]}{(T_{i}^{r_{i}}-s_{i})_{i\in I}}$, où les $(T_{i})_{i\in I}$ sont des indéterminées, et $X^{\prime}=\operatorname{spec}R^{\prime}$ (quitte à renommer $I$, on peut supposer qu’aucun des $s_{i}$ n’est inversible). D’après le corollaire 1 il existe un isomorphisme naturel de champs sur $X$ : $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\simeq[X^{\prime}|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]$. Posons $T^{\prime}=X^{\prime}\times_{[X^{\prime}|\boldsymbol{\mu}_{\mathds{r}}]}T$, c’est un atlas étale de $T$. De plus $T^{\prime}\rightarrow X$ est fini (car $T^{\prime}\rightarrow T$ et $T\rightarrow X$ le sont) et $N(T)\rightarrow X$ est séparé (car affine), et donc $T^{\prime}\rightarrow N(T)$ est fini, et en particulier entier. Comme ce morphisme est de plus dominant (car $T^{\prime}\rightarrow T$ est surjectif, et $T\rightarrow N(T)$ est birationnel), il est surjectif, d’après le théorème de Cohen-Seidenberg. 2. (ii)

$N(T)\rightarrow X$ est modérément ramifié le long de $D$ : il faut vérifier les cinq conditions de la Définition 2.2.2 de [21].

$N(T)\rightarrow X$ est fini : ça résulte de la finitude de la fermeture intégrale d’un anneau noethérien normal dans une extension séparable finie ([12], V, Proposition 18, Corollaire 1). 2. 2)

$N(T)\rightarrow X$ est étale au dessus de $U=X-D$ : posons $V=T\times_{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}}U$, c’est un revêtement étale de $U$, et comme $U$ est normal, $V$ s’identifie d’après [20], Corollaire 18.10.12.à la fermeture intégrale de $U$ dans $R(V)=R(T)$, qui n’est autre que $N(T)\times_{X}U$. 3. 3)

Toute composante irréductible de $N(T)$ domine $X$ : les composantes irréductibles de $N(T)$ sont les mêmes que celle de son ouvert dense $V$, or $V\rightarrow U$ étant étale, toute composante irréductible de $V$ domine $U$. 4. 4)

$N(T)$ est normal : clair d’après [16] Proposition 6.3.7, ou simplement d’après la propriété universelle définissant $N(T)$. 5. 5)

Pour tout point générique $x$ de $D$, $N(T)$ est modérément ramifié au dessus de $\mathcal{O}_{X,x}$ : c’est également clair d’après $\it{(i)}$, qui permet d’appliquer [21] Lemma 2.2.5, vu qu’un revêtement de Kummer est modérément ramifié ([21] Example 2.2.4). On en tire également la propriété sur les indices de ramification du $\it{(iii)}$.

Le foncteur obtenu commute au produit fibré : donnés $T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$, $T^{\prime}\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ deux revêtements étales, on a un morphisme canonique $N(T\times_{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}}T^{\prime})\rightarrow N(T)\times_{X}N(T^{\prime})$ (produit fibré schématique), comme ce morphisme est entier et birationnel, et $N(T\times_{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}}T^{\prime})$ est normal, il identifie $N(T\times_{\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}}T^{\prime})$ à la normalisation de $N(T)\times_{X}N(T^{\prime})$, qui par définition est le produit fibré de $N(T)$ et $N(T^{\prime})$ sur $X$ dans $\operatorname{Rev}_{D}(X)$. 3. (iii)

La première assertion résulte de la seconde affirmation de $\it{(ii)}$. Pour la seconde assertion, il suffit de remarquer que le morphisme naturel $T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}\times_{\sqrt[\mathds{r}^{\prime}]{\mathds{D}/X}}N(T)$ est un morphisme birationnel de revêtements étales de $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$, c’est donc un isomorphisme d’après [20], Corollaire 18.10.12.

∎

Le lemme 15 permet de poser :

Définition 14**.**

On définit un foncteur $M:\varinjlim_{\mathds{r}}\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})\rightarrow\operatorname{Rev}^{D}(X)$ sur les objets en posant, pour une famille $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ d’entiers non divisibles par la caractéristique $p$ de $k$ : $M(T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})=N(T)\rightarrow X$.

3.5 Conclusion

Preuve de la proposition 6.

Il suffit de montrer que le foncteur $C$ est une équivalence.

Le fait qu’un revêtement modéré est par définition normal permet de définir une transformation naturelle $1\rightarrow MC$, et la propriété universelle de la normalisation montre que c’est un isomorphisme.

Le lemme 15 (ii) permet à son tour de définir une transformation naturelle $(T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})\rightarrow CM(T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$ dans $\varinjlim_{\mathds{r}}\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})$, et le point (iii) montre que c’est un isomorphisme pour $T\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ galoisien, et on en déduit que c’est vrai pour tout objet. Donc $C$ et $M$ sont des équivalences de catégories réciproques.

∎

4 Faisceaux localement constants et fibrés finis sur un champ de Deligne-Mumford

Dans cette partie, on fixe à nouveau un champ de Deligne-Mumford localement noethérien $X$.

4.1 Topologies

La définition suivante est une adaptation888je remercie l’auteur pour avoir fourni le fichier source de son texte, me permettant ainsi de reproduire les diagrammes de [43], Lemme 1.2.

Définition 15**.**

On définit le site étale $X_{et}$ (resp. le site étale fini $X_{etf}$) du champ $X$ comme le site dont la catégorie sous-jacente a pour objets les morphismes représentables étales $f:T\rightarrow X$ d’un champ de Deligne-Mumford vers $X$, a pour flèches les classes d’isomorphismes de couples $(\phi,\alpha)$

[TABLE]

où $\phi$ est un morphisme représentable, $\alpha$ un $2$-isomorphisme, et dont les recouvrements sont les familles épimorphiques (resp. les familles épimorphiques $(T_{i}\rightarrow T)_{i\in I}$ constituée de morphismes finis).

On parlera aussi de topologie étale pour $X_{et}$, et de topologie étale finie globale pour $X_{etf}$.

Remarque 4** ([43] Lemme 1.2).**

On obtient une topologie équivalente à $X_{et}$ si dans la définition des objets, on impose à $T$ d’être un schéma.

4.2 Systèmes locaux ensemblistes et groupe fondamental

Zoonekynd ([43]) a remarqué que l’on pouvait interpréter la définition 12 comme un cas particulier du groupe fondamental d’un topos donnée par Leroy ([25]).

4.2.1 Systèmes locaux ensemblistes

Définition 16** ([25],[43]).**

Donné un topos $\mathcal{T}$, on définit la sous-catégorie $\operatorname{LC}(\mathcal{T})$ (resp. $\operatorname{LCF}(\mathcal{T})$) comme celle des objets localement constants (resp. localement constants finis) et $\operatorname{SLC}(\mathcal{T})$ (resp. $\operatorname{SLCF}(\mathcal{T})$) comme celle des unions disjointes d’objets de $\operatorname{LC}(\mathcal{T})$ (resp. de $\operatorname{LCF}(\mathcal{T})$).

$\operatorname{SLC}(\mathcal{T})$ (resp. $\operatorname{SLCF}(\mathcal{T})$) est un topos galoisien (resp. un topos galoisien fini). Si on suppose $\mathcal{T}$ connexe, et que l’on fixe un point géométrique $x$ de $\mathcal{T}$, on associe canoniquement à cette catégorie un progroupe strict $\pi_{1}(\mathcal{T},x)$ (resp. un groupe profini $\hat{\pi_{1}}(\mathcal{T},x)$), vérifiant $\operatorname{SLC}(\mathcal{T})\simeq\pi_{1}(\mathcal{T},x)-\operatorname{Ens}$ (resp. $\operatorname{SLCF}(\mathcal{T})\simeq\hat{\pi_{1}}(\mathcal{T},x)-\operatorname{Ens}$), les ensembles étant munis d’action continues des pro-groupes considérés. De plus $(\operatorname{LCF}(\mathcal{T}),x^{*})$ est une catégorie galoisienne dont le groupe fondamental s’identifie à $\hat{\pi_{1}}(\mathcal{T},x)-\operatorname{Ens}$.

4.2.2 Systèmes locaux ensemblistes et revêtements

On dispose d’un foncteur naturel $\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X\rightarrow\operatorname{LCF}(\widetilde{X_{et}})$ donné sur les objets par $(Y\rightarrow X)\rightarrow\operatorname{Hom}_{X}(\cdot,Y)$, où $\operatorname{Hom}_{X}(\cdot,Y)$ est donné comme foncteur sur les objets par $(T\rightarrow X)\rightarrow\operatorname{Hom}_{T}(T,T\times_{Y}X)$. Pour voir que cela définit bien un préfaisceau d’ensembles, on peut, en utilisant la remarque 4, supposer que $T$ est un schéma, mais ça résulte alors du fait que $Y\rightarrow X$ est représentable, donc que $T\times_{Y}X$ est également un schéma. Le fait que $\operatorname{Hom}_{X}(\cdot,Y)$ est effectivement un faisceau sur $X_{et}$ découle immédiatement du fait que c’est vrai lorsque $X$ est un schéma ([4], VII.2, [38]).

On dispose également d’un foncteur naturel dans la direction opposée $\operatorname{LCF}(\widetilde{X_{et}})\rightarrow\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X$. En effet, soit $p:X_{0}\rightarrow X$ un atlas étale, $X_{1}=X_{0}\times_{X}X_{0}$, et $s,b:X_{1}\rightrightarrows X_{0}$ le groupoïde correspondant. Soit $\mathds{E}\in\operatorname{obj}\operatorname{LCF}(\widetilde{X_{et}})$, on peut l’interpréter ([38], Example 4.11) comme un faisceau localement constant fini équivariant sur $X_{0}$, c’est à dire un couple $(\mathds{F},\psi)$, où $\mathds{F}\in\operatorname{obj}\operatorname{LCF}(\widetilde{{X_{0}}_{et}})$, et $\phi:s^{*}\mathds{F}\rightarrow b^{*}\mathds{F}$ est un isomorphisme vérifiant la condition de cocycle habituelle. L’équivalence de catégories usuelle $\operatorname{LCF}(\widetilde{{X_{i}}_{et}})\simeq\operatorname{Rev}X_{i}$ pour $i\in\{0,1\}$, permet d’interpréter cette donnée comme un revêtement étale $Y_{0}\rightarrow X_{0}$, muni d’un isomorphisme $\phi:{X_{1}}_{\searrow s}\times_{X_{0}}Y_{0}\simeq{X_{1}}_{\searrow b}\times_{X_{0}}Y_{0}$. En posant $Y_{1}={X_{1}}_{\searrow s}\times_{X_{0}}Y_{0}$, on obtient un nouveau groupoïde $(pr_{2},pr_{2}\circ\phi:Y_{1}\rightrightarrows Y_{0})$ et l’on obtient ainsi un champ $Y=[Y_{1}\rightrightarrows Y_{0}]$ et même en fait un objet de $\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X$.

Théorème 5** ([43], Théorème 3.1).**

Les foncteurs ci-dessus définissent des équivalence de catégories réciproques $\operatorname{Cat}\operatorname{Rev}X\simeq\operatorname{LCF}(\widetilde{X_{et}})$.

Corollaire 4**.**

Si $X$ est un champ de Deligne-Mumford connexe, et $x:\operatorname{spec}\Omega\rightarrow X$ un point géométrique, on a un isomorphisme naturel

[TABLE]

Remarque 5**.**

${\pi_{1}}(\widetilde{X_{et}},x)$* porte le nom de groupe fondamental élargi de $X$ (voir [1] X 7.6 pour le cas d’un schéma).*

4.2.3 Interprétation à l’aide de la topologie étale finie globale

Proposition 7**.**

Soit $X$ champ de Deligne-Mumford connexe. Le foncteur $\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{etf}})\rightarrow\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{et}})$ induit un isomorphisme de $\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{etf}})$ sur $\operatorname{SLCF}(\widetilde{X_{et}})$. En particulier, si $x$ est un point géométrique, on a un isomorphisme naturel $\hat{\pi_{1}}(\widetilde{X_{et}},x)\simeq\pi_{1}(\widetilde{X_{etf}},x)$.

Démonstration.

Le morphisme de sites $f:X_{etf}\rightarrow X_{et}$ induit un morphisme de topos $(f^{*},f_{*}):\widetilde{X_{et}}\rightarrow\widetilde{X_{etf}}$ dont l’adjoint à gauche $f^{*}$ induit un foncteur fidèlement plein $\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{etf}})\rightarrow\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{et}})$, et dont on va montrer que l’image essentielle est $\operatorname{SLCF}(\widetilde{X_{et}})$. Via l’équivalence $\operatorname{SLC}(\mathcal{T})\simeq{\pi_{1}}(\mathcal{T},x)-\operatorname{Ens}$, ce foncteur s’interprète comme la restriction le long du morphisme ${\pi_{1}}(\widetilde{X_{et}},x)\rightarrow\pi_{1}(\widetilde{X_{etf}},x)$.

Soit d’abord $\mathds{E}\in\operatorname{obj}\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}})$. Il existe une famille couvrante $(T_{i}\rightarrow X)_{i\in I}$ constituée de morphismes représentables étales finis telle que pour tout $i\in I$, $\mathds{E}_{|T_{i}}$ soit constant. L’image de $T_{i}\rightarrow X$ est ouverte car le morphisme est étale, et fermé car il est fini, c’est donc $\emptyset$ ou $X$. On peut donc se ramener à une famille couvrante à un élément $T\rightarrow X$, revêtement qu’on peut supposer de plus galoisien. Soit $G$ son groupe de Galois. Alors $\mathds{E}$ correspond (via l’équivalence $\pi_{1}(\widetilde{X_{etf}},x)-\operatorname{Ens}\simeq\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{etf}})$) à un $G$-ensemble $E$, qui se décompose en $E=\coprod_{j\in J}E_{j}$, ses orbites sous $G$. Chaque ensemble $E_{j}$ est fini car $G$ l’est, donc correspond (via l’équivalence $\pi_{1}(\widetilde{X_{et}},x)-\operatorname{Ens}\simeq\operatorname{SLC}(\widetilde{X_{et}})$) à un $\mathds{E}_{j}\in\operatorname{obj}\operatorname{LCF}(\widetilde{X_{et}})$. Donc $\mathds{E}=\coprod_{j\in J}\mathds{E}_{j}$ s’envoie sur un objet de $\operatorname{SLCF}(\widetilde{X_{et}})$.

Réciproquement si $\mathds{E}\in\operatorname{obj}\operatorname{LCF}(\widetilde{X_{et}})$, alors le théorème 5 montre que $\mathds{E}$ définit un revêtement $Y\rightarrow X$, dont une clôture galoisienne trivialise $\mathds{E}$, donc $\mathds{E}$ vient bien d’un objet de $\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}})$.

∎

Corollaire 5**.**

Si $X$ est un champ de Deligne-Mumford connexe, et $x:\operatorname{spec}\Omega\rightarrow X$ un point géométrique, on a un isomorphisme naturel

[TABLE]

4.3 La catégorie tannakienne des systèmes locaux de $k$-vectoriels

Définition 17** ([34], chapitre VI, 1.1.2).**

Donné un topos $\mathcal{T}$ connexe localement connexe, et un corps $k$, on définit la catégorie $\operatorname{LC}(\mathcal{T},k)$ des systèmes locaux de $k$-vectoriels de rang fini.

Si on choisit de plus un point géométrique $x$, c’est une catégorie tannakienne. Son groupe de Tannaka est alors l’enveloppe $k$-algébrique du progroupe strict $\pi_{1}(\mathcal{T},x)$, au sens suivant.

Proposition 8** ([34], chapitre VI, 1.1.2.1).**

Si $\pi_{1}(\mathcal{T},x)=(G_{i})_{i\in I}$ et $H_{i}$ est l’enveloppe $k$-algébrique de $G_{i}$, alors le groupe de Tannaka de $(\operatorname{LC}(\mathcal{T},k),x^{*})$ est canoniquement isomorphe à $\varprojlim_{i\in I}H_{i}$.

On déduit du corollaire 5 et de la proposition 8 :

Corollaire 6**.**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford connexe, et $x$ un point géométrique. Le groupe de Tannaka de $(\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}},k),x^{*})$ est canoniquement isomorphe au groupe fondamental profini $\pi_{1}(X,x)$.

Remarque 6**.**

Il vaudrait mieux ici parler du $k$-groupe proconstant associé à $\pi_{1}(X,x)$. 2. 2.

Le groupe de Tannaka de $(\operatorname{LC}(\widetilde{X_{et}},k),x^{*})$ est, d’après ce qui précède, isomorphe l’enveloppe $k$-algébrique du groupe fondamental élargi de $X$.

Lemme 16**.**

Soit $X$ champ de Deligne-Mumford connexe. Si $\mathds{V}\in\operatorname{obj}\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}},k)$, alors il existe un revêtement $Y\rightarrow X$ de $X$ trivialisant $\mathds{V}$.

Démonstration.

C’est immédiat à partir du corollaire 6. ∎

4.4 Foncteur à la Riemann-Hilbert

4.4.1 Définition

Donné un champ de Deligne-Mumford $X$, on peut définir la catégorie $\operatorname{Vect}X$ des fibrés vectoriels sur $X$ comme la catégorie $[X,\operatorname{Vect}]$ des morphismes de champs de $X$ vers le champ $\operatorname{Vect}$ des fibrés vectoriels, parfois appelés représentations du champ $X$, c’est le point de vue que l’on a adopté jusqu’à présent.

La théorie de la descente des fibrés vectoriels (et plus généralement des faisceaux quasi-cohérents [2]) fournit un point de vue alternatif, en effet les faisceaux de $\mathcal{O}_{X}$-modules $\mathcal{F}$ sur $X_{et}$, tels qu’il existe un atlas étale $X^{\prime}\rightarrow X$, tel que $\mathcal{F}_{|X^{\prime}}$ est libre, forment une catégorie équivalente ([24], chapitre 13). On utilisera librement cette équivalence par la suite. La définition suivante est inspirée de [34] VI 1.2.4.

Définition 18**.**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford localement noethérien sur un corps $k$. On définit le foncteur à la Riemann-Hilbert

[TABLE]

comme le foncteur composé du foncteur canonique $\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}},k)\rightarrow\operatorname{LC}(\widetilde{X_{et}},k)$ et du foncteur $\operatorname{LC}(\widetilde{X_{et}},k)\rightarrow\operatorname{Vect}X$ donné sur les objets par $\mathds{V}\rightarrow\mathcal{O}_{X}\otimes_{k}\mathds{V}$.

4.4.2 Propriétés du foncteur $\operatorname{RH}$

Proposition 9**.**

Soit $X$ un champ de Deligne-Mumford localement noethérien sur un corps $k$.

Le foncteur $\operatorname{RH}$ est fidèle. 2. 2.

Si $X$ est de plus complet, réduit, et $k$ est algébriquement clos, il est fidèlement plein.

Démonstration.

Pour $\mathds{V}\in\operatorname{obj}\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}},k)$, on note $\phi_{X,\mathds{V}}:\mathds{V}\rightarrow\mathcal{O}_{X}\otimes_{k}\mathds{V}$ le morphisme de faisceaux sur $X_{etf}$ défini à partir du morphisme canonique $\mathds{k}\rightarrow\mathcal{O}_{X}$. Quitte à remplacer $\mathds{V}$ par $\operatorname{\mathds{Hom}}(\mathds{V},\mathds{W})$, il suffit de voir :

$H^{0}(X,\phi_{X,\mathds{V}})$ est injectif. 2. 2.

Si $X$ est complet et réduit sur $k$ algébriquement clos, $H^{0}(X,\phi_{X,\mathds{V}})$ est bijectif.

Le premier point est évident car $\mathds{k}\rightarrow\mathcal{O}_{X}$ est injectif, et les foncteurs $\cdot\otimes_{k}\mathds{V}$ et $H^{0}(X,\cdot)$ sont exacts à gauche.

Pour le second point, $X$ étant localement noethérien (ce qui assure que les composantes connexes sont ouvertes), on peut supposer $X$ connexe. Le lemme 16 donne l’existence d’un revêtement $\pi:Y\rightarrow X$ trivialisant $\mathds{V}$. On peut supposer $\pi$ galoisien de groupe $G$.

On a alors un diagramme commutatif :

\textstyle{0\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{H^{0}(X,\mathds{V})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi^{-1}}$$\scriptstyle{H^{0}(X,\phi_{X,\mathds{V}})}$$\textstyle{H^{0}(Y,\pi^{-1}\mathds{V})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{H^{0}(Y,\phi_{Y,\pi^{-1}\mathds{V}})}$$\scriptstyle{pr_{1}^{-1}}$$\scriptstyle{pr_{2}^{-1}}$$\textstyle{H^{0}(Y\times_{X}Y,p^{-1}\mathds{V})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{H^{0}(Y\times_{X}Y,\phi_{Y,p^{-1}\mathds{V}})}$$\textstyle{0\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{H^{0}(X,\mathcal{O}_{X}\otimes_{k}\mathds{V})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\pi^{*}}$$\textstyle{H^{0}(Y,\mathcal{O}_{Y}\otimes_{k}\pi^{-1}\mathds{V})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{pr_{1}^{*}}$$\scriptstyle{pr_{2}^{*}}$$\textstyle{H^{0}(Y\times_{X}Y,\mathcal{O}_{Y\times_{X}Y}\otimes_{k}p^{-1}\mathds{V})}

où $p$ désigne le morphisme canonique $p:Y\times_{X}Y\rightarrow X$.

$Y$ étant encore propre (car fini sur $X$) et réduit ([2] I Proposition 9.2) on s’est donc ramené au cas où $\mathds{V}$ est trivial. On peut à nouveau supposer $X$ connexe, et donc $\mathds{V}=s_{X}^{-1}V$, où $s_{X}:X\rightarrow\operatorname{spec}k$ est le morphisme structurel, et $V$ un $k$-vectoriel de rang fini. On est alors immédiatement ramené à $V=k$, et il s’agit de voir que le morphisme naturel $k\rightarrow H^{0}(X,\mathcal{O}_{X})$ est un isomorphisme, mais ça résulte du fait que $X$ est propre, réduit, connexe, et $k$ algébriquement clos.

∎

4.5 Fibrés finis

Définition 19**.**

On appellera schéma tordu un champ de Deligne-Mumford $X$ admettant pour espace des modules un schéma $M$, tel qu’il existe un ouvert dense $U$ de $M$, tel que $X\rightarrow M$ soit un isomorphisme en restriction à $U$.

On adapte les définitions de [32], [33] au cas d’un schéma tordu $X$ modéré (au sens de [7], définition 2.3.2) réduit sur un corps $k$, dont l’espace des modules $M$ est propre et connexe sur $k$.

Définition 20** ([32], [33]).**

Un faisceau localement libre $\mathcal{E}$ sur $X$ est dit fini s’il existe deux polynômes distincts $P,Q$ à coefficients entiers positifs tels que $P(\mathcal{E})\simeq Q(\mathcal{E})$.

Pour identifier l’image essentielle du foncteur $RH$, on va suivre la stratégie de Nori, qui consiste à plonger la catégorie des fibrés finis dans la catégorie abélienne des fibrés semi-stables sur $X$.

Définition 21**.**

Une orbicourbe dans $X$ est un morphisme birationnel sur son image $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/C}\rightarrow X$, où $C$ est une courbe projective, connexe, et lisse sur $k$, $\mathds{D}=(D_{i})_{i\in I}$ un ensemble de diviseurs de Cartier effectifs réduits sur $C$.

Définition 22** ([32], [33]).**

Un faisceau localement libre $\mathcal{E}$ sur $X$ est dit semi-stable s’il est semi-stable de degré [math] en restriction à toute orbicourbe dans $X$. On notera $\SS_{0}X$ la sous-catégorie pleine de $\operatorname{Vect}X$ des faisceaux localement libres semi-stables sur $X$.

Proposition 10**.**

La catégorie $\SS_{0}X$ est une catégorie abélienne.

Démonstration.

La preuve est identique à celle de [32], Lemma 3.6, (b) : étant donné un morphisme $f:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{E}^{\prime}$ dans $\SS_{0}X$, le point clé est de voir que $\ker f$ et $\operatorname{coker}f$ sont localement libres. Il est aisé de voir qu’ils sont sans torsion 999les arguments généraux de [37], §3 s’appliquent ici, à l’aide de [10], §5 pour les adapter au cas des orbicourbes ; comme c’est par ailleurs bien connu dans le cadre -équivalent- des fibrés paraboliques sur les courbes (voir [36]), nous ne rentrons pas dans les détails , et donc localement libres si $X$ est une orbicourbe. Dans le cas général, $X$ étant réduit cela revient à voir que la fonction qui à un point géométrique $x:\operatorname{spec}\overline{k}\rightarrow X$ associe le rang de $x^{*}f:x^{*}\mathcal{E}\rightarrow x^{*}\mathcal{E}^{\prime}$ est constant sur $X$. Or, le cas particulier envisagé ci-dessus montre que cette fonction est constante sur toute orbicourbe dans $X$. On peut donc conclure à l’aide du lemme suivant :

Lemme 17**.**

La relation d’équivalence sur les points $x:\operatorname{spec}\overline{k}\rightarrow X$ engendrée par $x\sim x^{\prime}$ s’il existe une orbicourbe dans $X$ dont l’image contient $x$ et $x^{\prime}$ admet une unique orbite.

Démonstration.

Dans le cas où $X$ est un schéma, on se ramène au cas où $X$ est projectif sur $k$ grâce au lemme de Chow ([16], 5.6), où c’est un fait classique.

Dans le cas général, on note $U$ comme dans la définition 19 un ouvert de l’espace de modules $M$ de $X$ tel que la flèche $X\rightarrow M$ de $X$ vers son espace de modules $M$ soit un isomorphisme en restriction à $U$. Soit $y$, $y^{\prime}$ les images respectives de $x$, $x^{\prime}$ dans $M$, on peut supposer que $y\in U$. D’après le cas particulier ci-dessus, il existe une courbe $C$ dans $M$ (au sens de [32], ou de la définition 21) contenant $y$ et $y^{\prime}$. Le champ de Deligne-Mumford $C\times_{M}X$ admet $C$ pour espace des modules, et il en est de même de $(C\times_{M}X)_{red}$ ([7] Lemma 2.3.3 ou [6] Corollary 3.3). D’après [14], Theorem 4.1, on a un isomorphisme $(C\times_{M}X)_{red}\simeq\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/C}$ sur $X$ pour un choix convenable d’une famille $\mathds{D}$ de diviseurs effectifs et d’une famille d’entiers naturels $\mathds{r}$. Comme on dispose d’un morphisme birationnel surjectif $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}_{red}/C}\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/C}$, comme de plus $(C\times_{M}X)_{red}$ est birationnel sur son image dans $X$ et que celle-ci contient $x$ et $x^{\prime}$, on a terminé.

∎

∎

Proposition 11**.**

Tout fibré fini sur $X$ est semi-stable.

Démonstration.

Comme la restriction d’un fibré fini l’est encore, il suffit de le vérifier sur les orbicourbes. Mais on peut alors adapter la preuve de [32] au cas des orbicourbes : voir [10], Proposition 6. ∎

Définition 23** ([32], [33]).**

Un faisceau localement libre $\mathcal{E}$ sur $X$ est dit essentiellement fini si c’est un quotient de deux sous-fibrés semi-stables d’un fibré fini. On notera $\operatorname{EF}X$ la sous-catégorie pleine de $\SS_{0}X$ des faisceaux localement libres essentiellement finis sur $X$.

Théorème 6**.**

Soit $X$ un schéma tordu modéré et réduit sur un corps $k$, dont l’espace des modules $M$ est propre et connexe sur $k$, et $x\in X(k)$ un point rationnel. La paire $(\operatorname{EF}X,x^{*})$ est une catégorie tannakienne.

Démonstration.

Compte tenu de la proposition 10, la preuve est la même que celle donnée dans [32], §3. ∎

Corollaire 7**.**

Si on suppose, en plus des hypothèses du théorème 6, que $k$ est algébriquement clos de caractéristique [math], alors tout fibré essentiellement fini est fini, et le foncteur $\operatorname{RH}$ induit une équivalence de catégories tensorielles entre $\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}},k)$ et $\operatorname{F}X$. En particulier $(\operatorname{F}X,x^{*})$ est une catégorie tannakienne dont le groupe est canoniquement isomorphe à $\pi_{1}(X,x)$.

Démonstration.

Soit $\mathds{V}\in\operatorname{obj}\operatorname{LC}(\widetilde{X_{etf}},k)$. Le fait que $\operatorname{RH}(\mathds{V})$ soit fini résulte du lemme 16 : si $\pi:Y\rightarrow X$ est un revêtement galoisien de groupe $G$ trivialisant $\mathds{V}$, il existe une représentation $V$ de $G$ sur le corps $k$ telle que $\pi^{-1}\mathds{V}=V_{Y}$. On suit alors l’argument de [32] Proposition 3.8 : cette représentation se plonge dans un $k[G]$-module libre et est donc essentiellement finie, comme la caractéristique de $k$ est [math], elle en en fait finie. Or le morphisme naturel $\operatorname{RH}(\mathds{V})\rightarrow\pi_{*}^{G}(\mathcal{O}_{Y}\otimes_{k}V)$ est un isomorphisme, et donc $\operatorname{RH}(\mathds{V})$ est lui-même fini.

La proposition 9 montre que le foncteur $RH$ est fidèlement plein.

Soit à présent $\mathcal{E}$ un fibré essentiellement fini. Soit $<\mathcal{E}>$ la sous-catégorie tannakienne engendrée, et $G$ son groupe de Tannaka (i.e. le groupe d’holonomie de $\mathcal{E}$). Comme $\mathcal{E}$ est essentiellement fini, $G$ est un schéma en groupe fini sur $k$ ([32] Theorem 1.2), comme ce corps est de caractéristique [math], $G$ est réduit d’après un théorème de Cartier ([39], Chapter 11), donc étale, et $k$ étant de plus algébriquement clos, $G$ est donc constant.

Le foncteur tensoriel $G\operatorname{Rep}\rightarrow\operatorname{Vect}X$ correspond d’après [32] Proposition 2.9 101010qui, du fait de sa fonctorialité, vaut aussi pour les champs de Deligne-Mumford, voir sur le sujet [26] à un $G$-revêtement $\pi:Y\rightarrow X$, et $\mathcal{E}$ s’identifie via l’équivalence $<\mathcal{E}>\simeq G\operatorname{Rep}$ à une représentation $V$ de $G$. Si $\mathds{V}$ est le système local correspondant, on a vu ci-dessus que $\operatorname{RH}(\mathds{V})$ est isomorphe à $\pi_{*}^{G}(\mathcal{O}_{Y}\otimes_{k}V)$, lui-même isomorphe à $\mathcal{E}$. D’où les deux premières assertions.

La dernière résulte alors du corollaire 6. ∎

5 Théorème de Weil-Nori

5.1 Fibrés paraboliques modérés

Soit $X$ un schéma localement noethérien sur un corps $k$, $\mathds{D}$ une famille de diviseurs irréductibles à croisements normaux simples sur $X$.

5.1.1 Fibrés paraboliques finis

Définition 24**.**

On définit la catégorie $\operatorname{Par}(X,\mathds{D})$ des fibrés paraboliques modérés sur $(X,\mathds{D})$ par :

[TABLE]

où les multi-indices varient parmi les familles $\mathds{r}=(r_{i})_{i\in I}$ d’entiers non divisibles par la caractéristique $p$ de $k$. 2. 2.

$\operatorname{Par}(X,\mathds{D})$* est munie d’un produit tensoriel vérifiant, pour $\mathcal{E}_{\cdot},\mathcal{E}^{\prime}_{\cdot}\in\operatorname{obj}\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$, la formule de convolution suivante :*

[TABLE]

où $\int$ désigne la cofin (coend), voir §2.1.2. 3. 3.

Un fibré parabolique modéré $\mathcal{E}_{\cdot}$ sur $(X,\mathds{D})$ est dit fini s’il existe deux polynômes distincts $P,Q$ à coefficients entiers positifs tels que $P(\mathcal{E}_{\cdot})\simeq Q(\mathcal{E}_{\cdot})$. On notera $\operatorname{FPar}(X,\mathds{D})$ la catégorie des fibrés paraboliques modérés sur $(X,\mathds{D})$.

Remarque 7**.**

Ces notions sont compatibles, via l’équivalence $\operatorname{Vect}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})\simeq\operatorname{Par}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D})$ du théorème 2, avec les notions champêtres du §4.5, voir [10].

5.1.2 Fibrés paraboliques essentiellement finis

Définition 25**.**

Un fibré parabolique modéré $\mathcal{E}_{\cdot}$ sur $(X,\mathds{D})$ à poids multiples de ${\frac{1}{\mathds{r}}}$ est dit semi-stable si le faisceau localement libre sur $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ associé par la correspondance du théorème 2 est semi-stable au sens de la définition 22. On notera $\SS_{0}\operatorname{Par}(X,\mathds{D})$ la sous-catégorie pleine de $\operatorname{Par}(X,\mathds{D})$ dont les objets sont semi-stables. 2. 2.

Un fibré parabolique modéré semi-stable $\mathcal{E}_{\cdot}$ est dit essentiellement fini si c’est un quotient de deux sous-fibrés paraboliques modérés semi-stables d’un fibré parabolique modéré fini. On notera $\operatorname{EFPar}(X,\mathds{D})$ la sous-catégorie pleine de $\SS_{0}\operatorname{Par}(X,\mathds{D})$ dont les objets sont essentiellement finis.

Remarque 8**.**

La définition de semi-stabilité est indépendante du choix de $\mathds{r}$. 2. 2.

Il serait intéressant de donner une définition de la semi-stabilité ne faisant intervenir que la topologie de Zariski.

5.2 Lien avec le groupe fondamental

5.2.1 Énoncé

Théorème 7**.**

Soit $X$ un schéma propre, normal, connexe sur un corps $k$, $\mathds{D}$ une famille de diviseurs irréductibles à croisements normaux simples sur $X$, $D=\cup_{i\in I}D_{i}$, $x\in X(k)$ un point rationnel, $x\notin D$.

1. (i)

La paire $(\operatorname{EFPar}(X,\mathds{D}),x^{*})$ est une catégorie tannakienne. 2. (ii)

Si $k$ est algébriquement clos de caractéristique [math], tout fibré parabolique modéré essentiellement fini est fini, et le groupe de Tannaka de $(\operatorname{FPar}(X,\mathds{D}),x^{*})$ est canoniquement isomorphe au groupe fondamental $\pi_{1}(X-D,x)$.

Démonstration.

On commence par remarquer que $\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ est normal ([21], Proposition 1.8.5).

1. (i)

Ceci résulte alors des théorèmes 2 et 6. 2. (ii)

La première assertion découle du théorème 2 et du corollaire 7. Pour la seconde, notons $\pi$ ce schéma en groupe. Alors $\pi\simeq\varprojlim_{\mathds{r}}\pi_{\mathds{r}}$, où $\pi_{\mathds{r}}$ est le groupe de Tannaka de la catégorie $(\operatorname{FPar}_{\frac{1}{\mathds{r}}}(X,\mathds{D}),x^{*})$, avec des notations évidentes. D’après la proposition 6, il suffit de voir qu’on a des isomorphismes naturels $\pi_{\mathds{r}}\simeq\pi_{1}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X},x)$, compatibles avec les systèmes projectifs (vu qu’on est en caractéristique zéro, on a un isomorphisme naturel $\pi_{1}(X-D,x)\simeq\pi_{1}^{D}(X,x)$ donné, au niveau des revêtements, par le foncteur de normalisation). On conclut donc en appliquant à nouveau le théorème 2 et le corollaire 7.

∎

5.2.2 Schéma en groupe fondamental modéré

On est naturellement conduit à poser :

Définition 26**.**

Avec les notations du théorème 7, on appellera schéma en groupe fondamental modéré de $(X,D)$ le groupe fondamental $\pi^{D}(X,x)$ de la catégorie tannakienne $(\operatorname{EFPar}(X,\mathds{D}),x^{*})$.

Remarque 9**.**

Ce schéma en groupe $\pi^{D}(X,x)$ est une limite inverse de schémas en groupes finis, se spécialise sur le schéma en groupe fondamental de Nori (**[32]) lorsque $D=\emptyset$, et sur le groupe fondamental modéré de Grothendieck-Murre ([21]**) lorsque $k$ est algébriquement clos de caractéristique [math], d’où son nom. 2. 2.

Lorsque $k$ est quelconque, les arguments de corollaire 7 montrent qu’on a un morphisme $\pi^{D}(X,x)\rightarrow\pi_{1}^{D}(X,x)$ qui est un épimorphisme lorsque $k$ est algébriquement clos. 3. 3.

Toutefois, il conviendrait de préciser la nature des “torseurs modérément ramifiés” que $\pi^{D}(X,x)$ classifie.

6 Application au calcul de fibrés paraboliques finis de groupe d’holonomie résoluble

6.1 Introduction et notations

On reprend les hypothèses de la partie 5: $X$ est un schéma propre, normal, connexe sur un corps $k$, qu’on suppose de plus algébriquement clos de caractéristique [math], $\mathds{D}$ une famille de diviseurs irréductibles à croisements normaux simples sur $X$, $D=\cup_{i\in I}D_{i}$, $x\in X(k)$ un point rationnel, $x\notin D$. Le but de cette partie est d’utiliser le théorème 7 pour construire explicitement certains objets de $\operatorname{FPar}(X,\mathds{D})$.

Puisqu’on est en fait intéressé par le groupe fondamental modéré de $X-D$, on évite bien sûr de construire un tel fibré parabolique fini à partir d’un revêtement de $Y\rightarrow X$ modérément ramifié le long de $D$ le trivialisant. L’idée de la méthode présentée est de n’utiliser que des sous-revêtements d’un tel $Y\rightarrow X$, et repose essentiellement sur la proposition 12. Cette observation est inspirée par une transcription directe de la méthode des petits groupes de Wigner et Mackey de la théorie des représentations à la théorie des revêtements, rendue possible grâce au théorème 7.

Par la suite, on note $\mathcal{X}=\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X}$ le champ des racines.

6.2 Compléments sur les fibrés finis

On commence par quelques remarques générales concernant les fibrés finis. Comme la structure parabolique n’entre pas vraiment en jeu, ce qui va être dit est aussi valable dans la situation classique où $\mathcal{X}$ est un schéma, propre, réduit et connexe sur un corps $k$ algébriquement clos de caractéristique [math]. Dans cette situation, il suffit de remplacer l’utilisation du théorème 7 par le théorème de Nori originel [32].

6.2.1 Image directe d’un fibré fini

La base de la méthode pour construire des fibrés finis est la remarque élémentaire suivante :

Proposition 12**.**

Soit $p:\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{X}$ un revêtement étale. Si $\mathcal{F}\in\operatorname{obj}F\mathcal{Y}$, alors $p_{*}\mathcal{F}\in\operatorname{obj}F\mathcal{X}$.

Démonstration.

On peut choisir $\mathcal{Y}$ connexe, et aussi un point $y\in\mathcal{Y}(k)$ au dessus de $x$.

Soit $G$ un groupe fini, $B_{k}G=[\operatorname{spec}k|G]$ le champ classifiant, $\pi_{1}^{et}(\mathcal{X},x)\rightarrow G$ un morphisme, $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{X}$ le revêtement galoisien associé, correspondant aussi à un morphisme $m:\mathcal{X}\rightarrow B_{k}G$. Alors le foncteur $\operatorname{RH}$ induit une équivalence entre la catégorie $G\operatorname{Rep}$ des représentations de $G$ et la catégorie $F_{\mathcal{Z}}\mathcal{X}$ des fibrés finis sur $\mathcal{X}$ trivialisés par $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{X}$. Si $V$ est une représentation de $G$, et $\mathds{V}$ est le système local sur $\mathcal{X}_{et}$ associé, alors cette correspondance associe à $V$ le fibré $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}\otimes_{k}\mathds{V}$, qui est canoniquement isomorphe à $m^{*}V$.

On choisit à présent un morphisme $\pi_{1}^{et}(\mathcal{Y},y)\rightarrow A$, tel que le revêtement galoisien associé $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{Y}$ trivialise $\mathcal{F}$, et tel que le revêtement composé $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{X}$ soit galoisien, de groupe $G$. D’après ce qui précède, il existe une représentation $W$ du groupe $A$ telle que $\mathcal{F}\simeq\mathcal{O}_{\mathcal{Y}}\otimes_{k}\mathds{W}$. La proposition résulte alors du

Lemme 18**.**

$p_{*}(\mathcal{O}_{\mathcal{Y}}\otimes_{k}\mathds{W})\simeq\mathcal{O}_{\mathcal{X}}\otimes_{k}\mathds{V}$* où $V=\operatorname{Ind}_{A}^{G}W$.*

Démonstration.

Il s’agit d’une formule de changement de base dans le diagramme cartésien :

[TABLE]

∎

∎

Dans la pratique, il est utile de savoir calculer le produit tensoriel de deux fibrés finis obtenus par la méthode de la proposition 12. Pour cela, il suffit d’adapter à ce contexte les formules classiques, dues à Mackey, donnant le produit tensoriel de deux représentations induites comme somme directe de représentations induites (voir par exemple [15] §44). On obtient ainsi :

Lemme 19**.**

Soit $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{X}$ un revêtement galoisien connexe, $G$ le groupe de Galois, $H_{1}$, $H_{2}$ deux sous-groupes. Pour $i\in\{1,2\}$, on note $p_{i}:\mathcal{Y}_{i}\rightarrow\mathcal{X}$ le revêtement intermédiaire correspondant au sous-groupe $H_{i}$, et $\mathcal{F}_{i}\in\operatorname{obj}F_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}_{i}$. De plus pour $g\in G$, on note $p_{g}:\mathcal{Y}_{g}\rightarrow\mathcal{X}$ le revêtement correspondant au sous-groupe $H_{1}\cap gH_{2}g^{-1}$ et $q_{g,i}:\mathcal{Y}_{g}\rightarrow\mathcal{Y}_{i}$ le morphisme naturel. Alors

[TABLE]

Démonstration.

On a un isomorphisme naturel de $B_{k}G$-groupoïdes $B_{k}H_{1}\times_{B_{k}G}B_{k}H_{2}\simeq\coprod_{H_{1}\backslash G/H_{2}}B_{k}(H_{1}\cap gH_{2}g^{-1})$. En le tirant par le morphisme $\mathcal{X}\rightarrow B_{k}G$ définissant $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{X}$, on obtient un $\mathcal{X}$-isomorphisme $\mathcal{Y}_{1}\times_{\mathcal{X}}\mathcal{Y}_{2}\simeq\coprod_{H_{1}\backslash G/H_{2}}\mathcal{Y}_{g}$. De plus si $p:\mathcal{Y}_{1}\times_{\mathcal{X}}\mathcal{Y}_{2}\rightarrow\mathcal{X}$ est le morphisme canonique, la formule de changement de base donne ${p_{1}}_{*}\mathcal{F}_{1}\otimes{p_{2}}_{*}\mathcal{F}_{2}\simeq p_{*}(\operatorname{pr}_{1}^{*}\mathcal{F}_{1}\otimes\operatorname{pr}_{2}^{*}\mathcal{F}_{2})$, d’où la formule annoncée. ∎

6.2.2 La méthode des petits groupes de Wigner et Mackey

Comme application de la partie précédente, on décrit les fibrés finis associés à une extension triviale d’un revêtement galoisien par un groupe abélien.

On se donne donc un revêtement galoisien connexe $\mathcal{Z}\rightarrow\mathcal{X}$ de groupe $G=A\ltimes H$, où $H$ est quelconque, et $A$ est abélien, d’exposant $n$ premier à l’ordre de $H$. On note $\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{X}$ le revêtement intermédiaire correspondant à $A$, et on fixe un point $z\in\mathcal{Z}(k)$ au dessus de $x$, d’image $y$ dans $\mathcal{Y}(k)$. D’après la dualité de Tannaka, on a une équivalence naturelle $\operatorname{F}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}\simeq A\operatorname{Rep}$. En particulier le groupe $\operatorname{Pic}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}$ des classes d’isomorphisme de fibrés inversibles sur $\mathcal{Y}$ trivialisés par $\mathcal{Z}$ est canoniquement isomorphe au groupe $\hat{A}$ des caractères de $A$, et détermine complètement $\operatorname{F}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}$.

Le but est de décrire complètement la catégorie tannakienne $\operatorname{F}_{\mathcal{Z}}\mathcal{X}$ en fonction de $\operatorname{F}_{\mathcal{Y}}\mathcal{X}^{\prime}$ (pour les extensions $\mathcal{X}^{\prime}$ intermédiaires entre $\mathcal{Y}$ et $\mathcal{X}$) et de $\operatorname{Pic}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}$. On commence par décrire la structure additive.

On remarque qu’on a une action naturelle de $H$ sur $\hat{A}\simeq\operatorname{Pic}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}$. Alors l’inclusion $\operatorname{Pic}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}\subset H^{1}_{et}(\mathcal{Y},\boldsymbol{\mu}_{n})$ est $H$-équivariante. Soit $\mathcal{L}$ un fibré inversible sur $\mathcal{Y}$ trivialisé par $\mathcal{Z}$ . On note $H_{\mathcal{L}}$ le stabilisateur de sa classe dans $\operatorname{Pic}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y}$, et $\pi_{\mathcal{L}}:\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{Y}/H_{\mathcal{L}}$ le morphisme quotient. Comme celui-ci est étale, on dispose de la suite spectrale de Hochschild-Serre, qui s’écrit ici :

[TABLE]

L’hypothèse que $n$ est premier à l’ordre de $H$ et la suite exacte des termes de bas degré associée à la suite spectrale montrent que $H^{1}_{et}(\mathcal{Y}/H_{\mathcal{L}},\boldsymbol{\mu}_{n})\simeq H^{1}_{et}(\mathcal{Y},\boldsymbol{\mu}_{n})^{H_{\mathcal{L}}}$, et donc il existe, à isomorphisme près, un unique fibré inversible de $n$-torsion $\tilde{\mathcal{L}}$ sur $\mathcal{Y}/H_{\mathcal{L}}$ tel que $\mathcal{L}\simeq\pi_{\mathcal{L}}^{*}\tilde{\mathcal{L}}$. On note de plus $p_{\mathcal{L}}:\mathcal{Y}/H_{\mathcal{L}}\rightarrow\mathcal{X}$ le morphisme canonique.

Proposition 13**.**

Soit $\mathcal{L}$ un fibré inversible sur $\mathcal{Y}$ trivialisé par $\mathcal{Z}$ et $\mathcal{E}\in\operatorname{obj}\operatorname{F}_{\mathcal{Y}}(\mathcal{Y}/H_{\mathcal{L}})$. Le fibré ${p_{\mathcal{L}}}_{*}(\tilde{\mathcal{L}}\otimes\mathcal{E})$ sur $\mathcal{X}$ est fini. 2. 2.

Lorsque $\mathcal{L}$ varie dans un système de représentants de $(\operatorname{Pic}_{\mathcal{Z}}\mathcal{Y})/H$ et $\mathcal{E}$ varie dans une base de générateurs additifs de $\operatorname{F}_{\mathcal{Y}}(\mathcal{Y}/H_{\mathcal{L}})$, ces faisceaux forment une base de générateurs additifs de $\operatorname{F}_{\mathcal{Z}}\mathcal{X}$.

Démonstration.

C’est une application directe de la proposition 12. 2. 2.

C’est, en fait, via la correspondance de Tannaka entre fibrés finis et représentations du groupe fondamental (corollaire 7), un problème de théorie des groupes, pour lequel on renvoie à [35], 8.2, Proposition 25.

∎

La structure tensorielle de $\operatorname{F}_{\mathcal{Z}}\mathcal{X}$ est alors complètement déterminée par le lemme 19.

6.2.3 Fibrés finis de groupe d’holonomie résoluble

En poursuivant la même idée, on voit que la méthode conduit au calcul des fibrés finis dont le groupe d’holonomie (i.e. le groupe de Tannaka de la catégorie tannakienne engendrée) est résoluble.

En effet, soit $p:\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{X}$ un revêtement connexe, étale, galoisien de groupe d’automorphismes $H$, et $y\in\mathcal{Y}(k)$ un point au dessus de $x$. On note $\operatorname{\mathcal{P}\it{ic}}(\mathcal{Y})[n]$ la sous-catégorie pleine de $F\mathcal{Y}$ dont les objets sont les fibrés inversibles de $n$-torsion, où $n\geq 1$ est un entier.

Donné un groupe (abstrait, ou profini) $\pi$, on note $D_{n}(\pi)$ le noyau du morphisme de groupe $\pi\rightarrow\frac{\pi^{ab}}{n}$, c’est un sous-groupe caractéristique.

Lemme 20**.**

Le groupe de Tannaka de la catégorie tannakienne engendrée par l’image du foncteur $p_{*}:\operatorname{\mathcal{P}\it{ic}}(\mathcal{Y})[n]\rightarrow F\mathcal{X}$ est canoniquement isomorphe à $\frac{\pi_{1}(\mathcal{X},x)}{D_{n}(\pi_{1}(\mathcal{Y},y))}$.

Démonstration.

Le morphisme canonique $\pi_{1}(\mathcal{X},x)\rightarrow\frac{\pi_{1}(\mathcal{X},x)}{D_{n}(\pi_{1}(\mathcal{Y},y))}$ correspond à un nouveau revêtement étale, galoisien, connexe $\mathcal{Y}^{\prime}\rightarrow\mathcal{X}$, muni d’un point géométrique $y^{\prime}\in\mathcal{Y}^{\prime}(k)$ au dessus de $x$, et dominant $\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{X}$. Par dualité de Tannaka, la catégorie $\operatorname{Rep}\frac{\pi_{1}(\mathcal{X},x)}{D_{n}(\pi_{1}(\mathcal{Y},y))}$ est canoniquement isomorphe à la catégorie $F_{\mathcal{Y}^{\prime}}\mathcal{X}$ des fibrés finis sur $\mathcal{X}$ trivialisés par $\mathcal{Y}^{\prime}$. Or, soit $\mathcal{E}$ un tel fibré, $p^{*}\mathcal{E}$ est un objet de $F_{\mathcal{Y}^{\prime}}\mathcal{Y}$, dont le groupe de Tannaka est isomorphe à $\frac{\pi_{1}(\mathcal{Y},y)^{ab}}{n}$, donc est abélien et de $n$-torsion. On peut donc écrire $p^{*}\mathcal{E}\simeq\oplus_{i=1}^{N}\mathcal{L}_{i}$, où les $\mathcal{L}_{i}$ sont dans $\operatorname{\mathcal{P}\it{ic}}(\mathcal{Y})[n]$. Mais comme $k$ est supposé de caractéristique [math], $\mathcal{E}\simeq p_{*}^{H}p^{*}\mathcal{E}$ est un facteur direct de $p_{*}p^{*}\mathcal{E}\simeq\oplus_{i=1}^{N}p_{*}\mathcal{L}_{i}$. ∎

On garde les notations de la preuve, en particulier $\mathcal{Y}^{\prime}$ est le plus grand revêtement abélien $n$-élémentaire de $\mathcal{Y}$. Soit de plus $A$ le dual de Cartier du groupe $\operatorname{Pic}^{0}(\mathcal{Y})[n]$. La théorie de Kummer usuelle affirme que $\frac{\pi_{1}(\mathcal{Y},y)^{ab}}{n}\simeq A$. L’avantage de la méthode utilisée ici, qui peut être vue comme une version relative de la théorie de Kummer, est qu’elle donne une interprétation tannakienne du groupe $G=\frac{\pi_{1}(\mathcal{X},x)}{D_{n}(\pi_{1}(\mathcal{Y},y))}$ : si l’on sait calculer la catégorie tannakienne engendrée par l’image du foncteur $p_{*}:\operatorname{\mathcal{P}\it{ic}}(\mathcal{Y})[n]\rightarrow F\mathcal{X}$, on sait déterminer $G$ comme extension de $H$ par $A$.

On peut en particulier itérer le procédé, en partant de $(\mathcal{Y},y)=(\mathcal{X},x)$, et en choisissant une suite d’entiers $n_{1},\cdots,n_{m}$, ce qui conduit au calcul des quotients $\frac{\pi_{1}(\mathcal{X},x)}{D_{n_{m}}\cdots D_{n_{1}}(\pi_{1}(\mathcal{X},x))}$. La limite naturelle de la méthode est bien le plus grand quotient pro-résoluble $\pi_{1}^{res}(\mathcal{X},x)$ de $\pi_{1}(\mathcal{X},x)$, vu qu’on obtient ainsi un sous-ensemble cofinal de l’ensemble de ses quotients finis.

6.3 Fibrés paraboliques finis de groupe d’holonomie résoluble

6.3.1 Fibrés paraboliques finis obtenus comme image directe le long d’un morphisme modérément ramifié

On conserve les notations de la partie 6.1.

Soit $p:Y\rightarrow X$ dans $\operatorname{obj}\operatorname{Rev}^{D}(X)$, avec $Y$ connexe. On note $(E_{j})_{j\in J}$ la famille des composantes irréductibles (munies de la structure réduite) de $p^{-1}(D)$. Soit $Z\rightarrow X$ une clôture galoisienne, $(r_{i})_{i\in I}$ (respectivement $(s_{j})_{j\in J}$) la famille des indices de ramification de la famille $(D_{i})_{i\in I}$ (respectivement $(E_{j})_{j\in J}$) dans $Z$.

Lemme 21**.**

Le morphisme naturel $q:\sqrt[\mathds{s}]{\mathds{E}|Y}\rightarrow\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}$ est fini étale.

Démonstration.

Ceci résulte du lemme d’Abhyankar. En effet si $G$ (respectivement $A$) est le groupe de Galois de $Z\rightarrow X$ (respectivement $Z\rightarrow Y$) le lemme 13 montre que $q$ s’identifie au morphisme entre champs quotients $[Z|A]\rightarrow[Z|G]$, qui est fini étale, car obtenu par changement de base à partir du morphisme des champs classifiants $B_{k}A\rightarrow B_{k}G$ par le morphisme $[Z|G]\rightarrow B_{k}G$ correspondant au $G$-torseur $Z\rightarrow[Z|G]$. ∎

On peut donc utiliser la proposition 12 pour construire des fibrés paraboliques finis. De plus, ces fibrés finis sont explicitement calculables111111dans la mesure où l’on sait déterminer l’image directe d’un fibré vectoriel usuel par $p$, mais ce problème peut-être pris en charge par le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. grâce à la proposition 2.4.9.

Plus précisément, si on veut calculer des fibrés paraboliques finis de groupe d’holonomie résoluble, on peut appliquer le lemme 20 aux champs des racines. Ainsi, il est naturel d’essayer de déterminer la $n$-torsion $\operatorname{Pic}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}/X})[n]$ du groupe de Picard des champ des racines, pour $n\geq 1$ entier, ce qui est l’objet de la partie suivante.

6.3.2 Fibrés inversibles de torsion sur les champs des racines

Le foncteur de Picard des champs algébriques a été récemment étudié par S.Brochard (voir [13]). Il a en particulier montré qu’on pouvait en étudier la composante neutre comme dans le cas classique des schémas. On rappelle brièvement les définitions dont on aura besoin.

Définition 27**.**

Deux faisceaux inversibles $\mathcal{L}$ et $\mathcal{L}^{\prime}$ sur le champ $\mathcal{X}$ sont dits algébriquement équivalents s’ils sont équivalents pour la relation d’équivalence engendrée par la relation : $\mathcal{L}\sim\mathcal{L}^{\prime}$ s’il existe un $k$-schéma connexe de type fini $T$, des points géométriques $t,t^{\prime}:\operatorname{spec}\Omega\rightarrow T$, un faisceau inversible $\mathcal{M}$ sur $\mathcal{X}\times_{k}T$, et des isomorphismes $(\mathcal{L}\times_{k}T)_{|\mathcal{X}_{t}}\simeq\mathcal{M}_{|\mathcal{X}_{t}}$, $(\mathcal{L}^{\prime}\times_{k}T)_{|\mathcal{X}_{t^{\prime}}}\simeq\mathcal{M}_{|\mathcal{X}_{t^{\prime}}}$. 2. 2.

On note $\operatorname{Pic^{0}}\mathcal{X}$ le sous-groupe des éléments $[\mathcal{L}]$ de $\operatorname{Pic}\mathcal{X}$ tels que $\mathcal{L}$ est algébriquement équivalent à $\mathcal{O}_{\mathcal{X}}$. 3. 3.

On appelle groupe de Néron-Severi le groupe $\operatorname{NS}(\mathcal{X})=\operatorname{Pic}\mathcal{X}/\operatorname{Pic^{0}}\mathcal{X}$. 4. 4.

Si $T(A)$ désigne la torsion du groupe abélien $A$, on note

[TABLE]

Lemme 22**.**

$\operatorname{Pic}X\cap\operatorname{Pic^{0}}\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}=\operatorname{Pic^{0}}X$** 2. 2.

$\operatorname{Pic}X\cap\operatorname{Pic^{\tau}}\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}=\operatorname{Pic^{\tau}}X$**

Démonstration.

On note comme d’habitude $\pi:\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}\rightarrow X$ le morphisme vers l’espace des modules, et $\mathcal{X}=\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X}$. Soient $\mathcal{L}$, $\mathcal{L}^{\prime}$ deux faisceaux inversibles sur $X$ tels que $\pi^{*}\mathcal{L}\sim\pi^{*}\mathcal{L}^{\prime}$, $T$ un $k$-schéma connexe de type fini, $t,t^{\prime}:\operatorname{spec}\Omega\rightarrow T$ des points géométriques, $\mathcal{M}$ un faisceau inversible sur $\mathcal{X}\times_{k}T$, et des isomorphismes $(\pi^{*}\mathcal{L}\times_{k}T)_{|\mathcal{X}_{t}}\simeq\mathcal{M}_{|\mathcal{X}_{t}}$, $(\pi^{*}\mathcal{L}^{\prime}\times_{k}T)_{|\mathcal{X}_{t^{\prime}}}\simeq\mathcal{M}_{|\mathcal{X}_{t^{\prime}}}$. Alors $(\pi\times_{k}T)_{*}\mathcal{M}$ est un faisceau inversible sur $X\times_{k}T$ : en effet il est localement libre comme image directe d’un faisceau localement libre par un morphisme fini et plat, et comme $\pi$ est génériquement un isomorphisme, son rang est $1$. En appliquant les formules de changement de base pour un morphisme affine ou le long d’un morphisme plat on obtient des isomorphismes naturels $(\mathcal{L}\times_{k}T)_{|X_{t}}\simeq((\pi\times_{k}T)_{*}\mathcal{M})_{|X_{t}}$, $(\mathcal{L}^{\prime}\times_{k}T)_{|X_{t^{\prime}}}\simeq((\pi\times_{k}T)_{*}\mathcal{M})_{|X_{t^{\prime}}}$, ce qui montre que $\mathcal{L}\sim\mathcal{L}^{\prime}$. 2. 2.

C’est une conséquence claire du premier point et des définitions.

∎

On a donc des monomorphismes canoniques

[TABLE]

On rappelle (corollaire 3) qu’on a un isomorphisme canonique $\frac{\operatorname{Pic}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})}{\operatorname{Pic}X}\simeq\prod_{i\in I}\frac{\mathds{Z}}{r_{i}}$.

On note

[TABLE]

les sous-groupes associés aux images des monomorphismes ci-dessus.

Comme $X$ est propre sur le corps algébriquement clos $k$, le groupe $\operatorname{NS}(X)$ est de type fini ([3], XIII, Théorème 5.1), ce qui prouve qu’il en est de même pour $\operatorname{NS}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})$ et donne un sens à l’énoncé suivant.

Proposition 14**.**

Soit $n$ premier à $\#T(\operatorname{NS}(X))$. Il y a une suite exacte naturelle :

[TABLE]

Démonstration.

D’après les définitions, on a clairement $\operatorname{Pic^{\tau}}(X)[n]=\operatorname{Pic}(X)[n]$ et $\operatorname{Pic^{\tau}}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})[n]=\operatorname{Pic}(\sqrt[\mathds{r}]{\mathds{D}|X})[n]$.

Pour conclure, on doit justifier que $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathds{Z}}(\mathds{Z}/n,\operatorname{Pic^{\tau}}(X))=0$. Or (voir par exemple [40] 3.3.2) $\operatorname{Ext}^{1}_{\mathds{Z}}(\mathds{Z}/n,\operatorname{Pic^{\tau}}(X))\simeq\operatorname{Pic^{\tau}}(X)/n\operatorname{Pic^{\tau}}(X)$, et on peut conclure en appliquant le foncteur $\frac{\mathds{Z}}{n}\otimes_{\mathds{Z}}\cdot$ à la suite exacte :

[TABLE]

En effet $\operatorname{Pic}^{0}(X)$ est un groupe divisible : comme $X/k$ est complet le foncteur de Picard $\operatorname{\mathds{Pic}}_{X/k}$ est représentable par un schéma ([30]), comme $X$ est de plus normal $(\operatorname{\mathds{Pic}}^{0}_{X/k})_{red}$ est une variété abélienne sur $k$ ([18], 236, Corollaire 3.2), et on peut appliquer [29] II, §6, Application 2.

∎

Remarque 10**.**

On a une interprétation assez directe en termes de revêtements : si $Y\rightarrow X$ est le revêtement étale galoisien de groupe abélien $n$-élémentaire maximal pour ces propriétés, et de même $Z\rightarrow X$ en remplaçant étale par modérément ramifié de multi-indice divisant $\mathds{r}$, alors par dualité de Tannaka on voit que la suite exacte duale (pour la dualité de Cartier) de la suite exacte précédente est isomorphe à la suite exacte des groupes de Galois de la tour $Z\rightarrow Y\rightarrow X$.

6.3.3 Un exemple explicite

L’exemple le plus simple possible de construction de fibré parabolique fini indécomposable de rang plus grand que $1$ est le suivant.

On considère le morphisme $p:Y=\mathds{P}^{1}\rightarrow X=\mathds{P}^{1}$ donné par l’équation $y^{2}=\frac{x}{x-1}$, il est modérément ramifié le long du diviseur $(0)+(1)$, avec indices de ramification $2$. $p$ induit un morphisme fini étale $q:Y\rightarrow\sqrt[(2,2)]{(0,1)|X}$, et par changement de base on en déduit un morphisme fini étale $r:\sqrt[(3,3)]{(1,-1)|Y}\rightarrow\sqrt[(2,2,3)]{(0,1,\infty)|X}$.

A présent la proposition 14 montre que $\operatorname{Pic^{0}}(\sqrt[(3,3)]{(1,-1)|Y})\simeq\left(\frac{\mathds{Z}}{3}\times\frac{\mathds{Z}}{3}\right)^{\tau}$, et on voit facilement que

[TABLE]

où $\Sigma$ désigne la somme, donc $\operatorname{Pic}^{0}(\sqrt[(3,3)]{(1,-1)|Y})$ est cyclique d’ordre $3$. Pour $y\in\{1,-1\}$, soit $\mathcal{N}_{y}$ une racine cubique de $\mathcal{O}_{Y}((y))$ sur $\sqrt[(3,3)]{(1,-1)|Y}$, et soit $\mathcal{L}=\mathcal{N}_{1}^{\vee}\otimes\mathcal{N}_{-1}$. Alors le fibré $r_{*}(\mathcal{L})$ est un fibré fini indécomposable de rang $2$ sur $\sqrt[(2,2,3)]{(0,1,\infty)|X}$.

Le fibré parabolique correspondant a été considéré par L.Weng, voir [42], Appendix, §6, dans le langage du à Seshadri. Il nous semble que la description fournie ici en termes de champs des racines permet de préciser la description des drapeaux donnée par l’auteur, facilite le calcul de la structure tensorielle de la catégorie tannakienne engendrée (naturellement, dans ce cas précis, le groupe fondamental est isomorphe au groupe symétrique $\mathfrak{S}_{3}$), et enfin, donne une méthode de construction des fibrés paraboliques finis de groupe d’holonomie résoluble.

6.3.4 Problème ouvert

Dans [11] est donnée une preuve algébrique du théorème de structure du groupe fondamental pro-résoluble $\pi_{1}^{res}(X-D,x)$ pour $X$ une courbe projective et lisse sur un corps $k$ algébriquement clos de caractéristique [math] , et $D$ un diviseur (non vide) sur celle-ci. Peut on utiliser le lemme 20 pour donner une preuve alternative ?

Annexe A $2$-limite inductive filtrée de catégories

A.1 $2$-limite

On emprunte les définitions de [22]. On note $\mathfrak{Cat}$ la $2$-catégorie dont les objets sont les catégories, les $1$-flèches les foncteurs, les $2$-flèches les transformations naturelles.

Soit $\mathfrak{C}$ une $2$-catégorie, $I$ une catégorie usuelle.

Pour tout objet $\mathcal{D}$ de $\mathfrak{C}$, on note $c_{\mathcal{D}}$ le foncteur constant $I\rightarrow\mathfrak{C}$ envoyant tout objet de $I$ sur $\mathcal{D}$, et toute flèche de $I$ sur l’identité.

On note de plus $(I,\mathfrak{C})$ la $2$-catégorie des pseudo-foncteurs de $I$ dans $\mathfrak{C}$.

Si $\mathcal{F},\mathcal{F}^{\prime}:I\rightarrow\mathfrak{C}$ sont deux pseudo-foncteurs, on note $(I,\mathfrak{C})(\mathcal{F},\mathcal{F}^{\prime})$ la catégorie des transformations naturelles de pseudo-foncteurs entre $\mathcal{F}$ et $\mathcal{F}^{\prime}$.

Définition 28**.**

Soit $\mathcal{F}:I\rightarrow\mathfrak{C}$ un pseudo-foncteur. On appelle $2$-limite inductive de $\mathcal{F}$ le $2$-foncteur :

\textstyle{\mathfrak{C}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{\mathfrak{Cat}}$$\textstyle{\mathcal{D}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\textstyle{(I,\mathfrak{C})(\mathcal{F},c_{\mathcal{D}})}

Si ce foncteur est $2$-représentable, on appelle aussi $2$-limite inductive et on note $\varinjlim_{I}\mathcal{F}(i)$ l’objet de $\mathfrak{C}$ le représentant.

Plus précisément, un représentant est un couple $(\mathcal{C},\lambda)$, où $\mathcal{C}$ est un objet de $\mathfrak{C}$, et $\lambda:\mathcal{F}\rightarrow c_{\mathcal{C}}$ est une transformation naturelle entre pseudo-foncteurs, qui est $2$-universelle au sens suivant : pour tout objet $\mathcal{D}$ de $\mathfrak{C}$, et toute transformation naturelle $\mu:\mathcal{F}\rightarrow c_{\mathcal{D}}$, il existe un couple $(f,\theta)$ formé d’un $1$-morphisme $f:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ de $\mathfrak{C}$ et d’un $2$-isomorphisme $\theta$ de $(I,\mathfrak{C})$ :

[TABLE]

qui est unique à $2$-isomorphisme unique près : si $(f^{\prime},\theta^{\prime})$ est un autre tel couple, il existe un unique $2$-isomorphisme $\rho$ de $\mathfrak{C}$ :

\textstyle{\mathcal{C}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{f^{\prime}}$$\scriptstyle{f}$$\scriptstyle{\rho}$$\textstyle{\mathcal{D}}

tel que $\theta\circ(c_{\rho}\circ\lambda)=\theta^{\prime}$.

A.2 Cas des catégories

On suppose désormais que la catégorie $I$ est filtrante et que $\mathfrak{C}=\mathfrak{Cat}$. Dans ce cas, on dispose d’une description naturelle et probablement bien connue de la $2$-limite d’un pseudo-foncteur $\mathcal{F}:I\rightarrow\mathfrak{Cat}$. Pour $f:i\rightarrow j$, on note $f_{*}:\mathcal{F}(i)\rightarrow\mathcal{F}(j)$, plutôt que $\mathcal{C}(f)$. Soit $\mathcal{C}$ la catégorie

dont les objets sont les couples $(i,C)$, où $i$ est un objet de $I$, et $C$ est un objet de $\mathcal{F}(i)$, 2. 2.

dont les morphismes $(i,C)\rightarrow(j,D)$ sont les classes d’équivalence121212on ignore délibérément les problèmes d’univers en omettant de vérifier qu’il s’agit d’un ensemble, pour être correct, il faut probablement supposer la catégorie $I$ petite de triplets $(f,g,\alpha)$ :

\textstyle{i\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{f}$$\textstyle{k,}$$\textstyle{f_{*}C\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\alpha}$$\textstyle{g_{*}D}$$\textstyle{j\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{g}

pour la relation

\textstyle{i\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{f}$$\textstyle{i\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{f^{\prime}}$$\textstyle{k,}$$\textstyle{f_{*}C\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\alpha}$$\textstyle{g_{*}D}$$\textstyle{\sim}$$\textstyle{k^{\prime},}$$\textstyle{f^{\prime}_{*}C\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{\alpha^{\prime}}$$\textstyle{g^{\prime}_{*}D}$$\textstyle{j\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{g}$$\textstyle{j\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{g^{\prime}}

s’il existe

\textstyle{k\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{h}$$\textstyle{l}$$\textstyle{k^{\prime}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$$\scriptstyle{h^{\prime}}

tel que $h\circ f=h^{\prime}\circ f^{\prime}$, $h\circ g=h^{\prime}\circ g^{\prime}$ et $h_{*}\alpha=h^{\prime}_{*}\alpha^{\prime}$.

Proposition 15**.**

La catégorie $\mathcal{C}$, munie de la transformation naturelle canonique $\mathcal{F}\rightarrow c_{\mathcal{C}}$, est une $2$-limite pour $\mathcal{F}$.

Démonstration.

C’est une vérification longue mais directe de la définition 28 dans ce cas précis.

∎

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